江苏省通锡苏学大教育高三高考高考密卷数学试题(一)

β⊂m α⊂n n m //2013年江苏高考数学模拟试卷（一）第1卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．设复数z 满足()i i z i 23+-=+(i 为虚数单位),则z 的实部是 . 2．若全集U {}23|||2,{|log (1)1}x x A x x =<=-<，则A =U ð .3．某单位招聘员工，有200名应聘者参加笔试，随机抽查了其中20名应聘者笔试试卷，统计他们的成绩如下表：若按笔试成绩择优录取40名参加面试，由此可预测参加面试的分数线为 分. 4．若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具），先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是 ． 5．运行如图所示程序框图后，输出的结果是 ． 6．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题：（1）若，， ， ，则 ； （2）若， ， ， ，则 ；（3）若βα⊥，α⊥m ，β//n ，则n m //； （4）若βα⊥，α⊥m ，β⊥n ，则n m ⊥. 上面命题中，所有真命题的序号为 ．7．已知圆C 经过直线022=+-y x 与坐标轴的两个交点,又经过抛物线x y 82=的焦点,则圆C 的一般方程为 ．8．已知集合2{|(1),}A x x a a x a =+≤+∈R ,a ∃∈R ,使得集合A 中所有整数的元素和为28, 则a 的范围是 ____ ____．9．如图，ABC ∆是边长为P 是以C 为圆心， 1为半径的圆上的任意一点，则BP AP ∙的最小值 ．10．已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且2=，则C 的离心率为 ． （第9题图）PBAC（第5题图）βα//βα//β⊥m α//n n m ⊥11．已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，{b n }是等比数列，其中a 1＝3，b 1＝1，a 2＝b 2，3a 5＝b 3，若存在常数u ，v 对任意正整数n 都有a n ＝3log u b n ＋v ，则u ＋v ＝ ． 12．已知△ABC 中，设,,,,,a b c A B C ∠∠∠分别为的对边长，AB 边上的高与AB 边的长相等，则2b a c a b ab++的最大值为 . 13．将一个长宽分别是,(0)a b b a <<的铁皮的四角切去相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则ab的取值范围是 ．14．已知实数b a ,分别满足15323=+-a a a ，55323=+-b b b ， 则b a +的值为 ．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 15．（本小题满分14分）已知函数21()(1)sin sin()sin()tan 44f x x m x x x ππ=+++-， (1) 当m =0时，求()f x 在区间(0,)2π上的取值范围；(2) 当tan 2α=时， 3()5f α=，求m 的值．16．（本小题满分14分）已知正方体1111ABCD-A B C D ，1AA =2，E 为棱1CC 的中点．(1) 求证：11B D AE ⊥； (2) 求证：//AC 平面1B DE ．17.（本题满分14分）如图，有一位于A处的雷达观测站发现其北偏东45°，与A相距海里的B处有一货船正以匀速直线行驶，20分钟后又测得该船只位于观测站A北偏东45θ︒+（其中1tan,0455θθ=︒<<︒）且与观测站A相距海里的C处．（1）求该船的行驶速度v（海里/小时）；（2）在离观测站A的正南方20海里的E处有一暗礁（不考虑暗礁的面积），如货船不改变航向继续前行，该货船是否有触礁的危险？试说明理由．北BA18．(本小题满分16分)已知双曲线221. 62x y-=（1）点P在以双曲线的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆E上，点C(2,1)关于坐标原点的对称点为D，直线CP和DP的斜率都存在且不为0，试问直线CP和DP的斜率之积是否为定值？若是，求此定值;若不是，请说明理由;（2）平行于CD的直线l交椭圆E于M、N两点，求CMN∆面积的最大值，并求此时直线l的方程.19．（本小题满分16分）设12,x x 是()()321,,032a b f x x x x a b R a -=++∈>的两个极值点，()f x 的导函数是()y f x '=（1）如果1224x x <<< ，求证：()23f '->； （2）如果1212,2x x x <-= ，求b 的取值范围；（3）如果2a ≥ ，且()21122,,x x x x x -=∈时，函数()()()22g x f x x x '=+-的最小值为()h a ，求()h a 的最大值.20．（本小题满分16分）如果无穷数列{a n }满足下列条件：① a n ＋a n ＋22≤a n ＋1；② 存在实数M ，使得a n ≤M，其中n ∈N *，那么我们称数列{a n }为Ω数列．(1) 设数列{b n }的通项为b n ＝5n －2n，且是Ω数列，求M 的取值范围； (2) 设{c n }是各项为正数的等比数列，S n 是其前n 项和，c 3＝14，S 3＝74，证明：数列{S n }是Ω数列；(3) 设数列{d n }是各项均为正整数的Ω数列，求证：d n ≤d n ＋1.第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答．．．．．．．．．．．．．．题区域内作答．．．．．．． A ．（选修４－１：几何证明选讲）从⊙O 外一点P 向圆引两条切线PA 、PB 和割线PCD.从A 点作弦AE 平行于CD ，连结BE 交CD 于F.求证：BE 平分CD.B ．（选修４－２：矩阵与变换）已知二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 3c1，矩阵A 属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1.(1) 求矩阵A 的另一个特征值及其对应的一个特征向量；(2) 若向量m ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－4，求A 4m .C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）在极坐标系中，点A ⎝⎛⎭⎪⎫22，－π4，圆O 1：ρ＝4cos θ＋4sin θ.(1) 将圆O 1的极坐标方程化为直角坐标方程； (2) 判断点A 与圆O 1的位置关系．D ．（选修４－５：不等式选讲）已知a ，b ，x ，y 均为正数，且1a ＞1b ，x ＞y ．求证：x x ＋a ＞yy ＋b.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.22．已知甲盒有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球.现从甲、乙两个盒内各任取2个球.（1）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（2）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望.23． 已知2012(1)(1)(1)(1),(*).n n n x a a x a x a x n N +=+-+-++-∈(1) 求0a 及1nn i i S a ==∑；(2) 试比较n S 与2(2)22n n n -+的大小，并说明理由.。

2021届南通市数学学科基地密卷(一)数 学I一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共计70分．请把答案填写在答卷纸的相应位．．．．．．．置上．．． 1． 2z mi =+,m R ∈,假设11zi-+对应点在第二象限,那么m 的取值范围为 ▲ ． U R =，集合{}250A x Z x x =∈-+≤，{}40B x x =-<那么()U C A B 中最大的元素是 ▲ ．3．(cos ,sin )(0),(1,3)m x x n ωωω=>=，假设函数()f x m n =•的最小正周期是2, 那么(1)f = ▲ ．4.执行以下语句后,打印纸上打印出的结果应是: ▲ ．5．函数()f x =12tan x x +-，(0,)2x π∈，那么()f x 的单调减区间是 ▲ ．6．在数轴上区间[]3,6-内，任取三个点,,A B C ，那么它们的坐标满足不等式：()()0A B B C x x x x --<的概率为 ▲ ．7．P 为抛物线24y x =上任意一点，P 在y 轴上的射影为Q ，点M 〔4，5〕，那么PQ 与PM 长度之和的最小值为： ▲ ．8、设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，以下正确命题序号是 ▲ ．(1)假设m ∥α,n ∥α,那么m ∥n ， (2)假设,m m n α⊥⊥那么//n α (3)假设m α⊥，n β⊥且m n ⊥，那么αβ⊥；(4)假设β⊂m ，βα//，那么α//m 9. 定义在R 上()f x 满足:(2)()1f x f x +=，当(0,2)x ∈时，()f x =1()2x ，那么(2011)f = ▲ ．10.过平面区域202020x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩内一点P 作圆22:1O x y +=的两条切线，切点分别为,A B ，记APB α∠=，那么当α最小时cos α= ▲ ． 11.如以下列图的数阵叫“莱布尼兹调和三角形〞，他们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为1(2)n n≥，每个数是它下一行左右相邻两数的和， 如：111111111,,1222363412=+=+=+…，那么第(3)n n ≥行第3个数字是 ▲ ．12. 正方形ABCD 的坐标分别是(1,0)-,(0,1),(1,0)，(0,1)-，动点M 满足：12MB MD k k =- 那么MA MC += ▲ ．13. “18a ≥〞是“对∀正实数x ，2ax c x+≥〞的充要条件，那么实数c = ▲ ．14.函数()f x 的定义域为D ,假设满足①()f x 在D 内是单调函数,②存在[],a b D ⊆,使()f x 在[],a b 上的值域为[],b a --,那么()y f x =叫做对称函数,现有()2f x x k =--是对称函数, 那么k 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．(此题总分值14分)二次函数f (x )=x 2+mx+n 对任意x ∈R ，都有f (－x ) = f (2＋x )成立，设向量 →a = ( sinx , 2 ) ，→b = (2sinx , 12)，→c = ( cos 2x , 1 )，→d =(1,2)，〔Ⅰ〕求函数f (x )的单调区间；〔Ⅱ〕当x ∈[0,π]时，求不等式f (→a ·→b )＞f (→c ·→d )的解集.16．(此题总分值14分)在如图的多面体中，EF ⊥平面AEB ，AE EB ⊥,//AD EF ，//EF BC ， 24BC AD ==，3EF =，2AE BE ==，G 是BC 的中点． (Ⅰ) 求证：//AB 平面DEG ； (Ⅱ) 求证：BD EG ⊥；(Ⅲ)求多面体ADBEG 的体积.17．(此题总分值14分)双曲线2212x y -=的两焦点为12,F F ，P 为动点，假设124PF PF +=． 〔Ⅰ〕求动点P 的轨迹E 方程；〔Ⅱ〕假设12(2,0),(2,0),(1,0)A A M -，设直线l 过点M ，且与轨迹E 交于R 、Q 两点，直线1A R 与2A Q 交于点S ．试问：当直线l 在变化时，点S 是否恒在一条定直线上？假设是，请写出这条定直线方程，并证明你的结论；假设不是，请说明理由．18．(此题总分值16分)如以下列图：一吊灯的下圆环直径为4m ，圆心为O ，通过细绳悬挂在天花板上，圆环A D FE B G CA 12呈水平状态，并且与天花板的距离)(OB 即为2m ，在圆环上设置三个等分点A 1，A 2，A 3。

绝密★启用前普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页，包含非选择题（第1题 ~ 第20题，共20题）.本卷满分为160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

5.如需改动，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上 1.已知集合{}=1,2A ，{}=+2,3B a a ，若A B ={1}则实数a 的值为________2.已知复数z=（1+i ）（1+2i ）,其中i 是虚数单位，则z 的模是__________3.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件4.右图是一个算法流程图，若输入x 的值为116，则输出的y 的值是5.若tan 1-=46πα⎛⎫⎪⎝⎭,则tan α= 6.如图，在圆柱O 1 O 2 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下面及母线均相切。

记圆柱O 1 O 2 的体积为V 1 ,球O 的体积为V 2 ，则12V V 的值是7.记函数2()6f x x x =+-的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x ，则x ∈ D 的概率是8.在平面直角坐标系xoy k ,双曲线2213x y -= 的右准线与学科&网它的两条渐近线分别交于点P,Q ，其焦点是F 1 , F 2 ,则四边形F 1 P F 2 Q 的面积是 9.等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项的和为Sn ，已知36763，44S S ==， 则8a =10.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储之和最小，则x 的值是11.已知函数()3xx12x+e -e-f x=x ，其中e 是自然数对数的底数，若()()2a-1+2a ≤f f 0，则实数a 的取值范围是 。

2021届南通密卷高三模拟试卷数学(考试时间：150分钟满分：150分)注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交监考老师.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{(,)|||2|,,}A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，则A 中元素的个数为（ ） A.9 B.10 C.12 D.132.设z 是复数，则下列命题中正确的是（ ） A.若z 是纯虚数，则20z ≥ B.若z 的实部为0，则z 为纯虚数 C.若0z z -=，则z 是实数 D.若0z z +=，则z 是纯虚数3.关于函数32()(0)f x ax bx cx a =++≠，有下列四个命题： 甲：a <0；乙：()0f x =的三根分别为1231,0,2x x x =-==； 丙：()f x 在(0,2)上恒为负； 丁：()f x 在(2,)∞+上单调递增.如果只有一个假命题，那么该命题是（ ） A.甲 B.乙 C.丙 D.丁4.四色定理(Fourcolortheorem )又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一.它是于1852年由毕业于伦敦大学的格斯里(FrancisGuthrie )提出来的，其内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色”四色问题的证明进程缓慢，直到1976年，美国数学家运用电子计算机证明了四色定理.某校数学兴趣小组在研究给四棱锥P ﹣ABCD 的各个面涂颜色时，提出如下的“四色问题”：要求相邻面(含公共棱的平面)不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，那么不同的涂法有（ ） A.36种 B.72种 C.48种 D.24种5.函数()sin 2cos f x x x =-在[0,3]π上的零点个数为（ ）A.5B.6C.7D.86.已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则“1q >”是“112n n n S S S -++>的”（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ） A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形8.已知()(),x f x e g x ==若()()1221,f x g x d x x ==-，则d 的最小值为（ ）A.1ln22- B.1ln2- C.14 D.1e二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若非负实数a ，b 满足21a b +=，则下列不等式中成立的有（ ）A.214ab ≤B.2412a b +≥b ≥D.2234a b +≥10.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，那么下列说法中正确的有（ ）A.若点P 在双曲线C 上，则1222PF PFb k k a⋅= B.双曲线22221y x a b-=的焦点均在以12F F 为直径的圆上C.双曲线C 上存在点P ，使得122PF PF a +=D.双曲线C 上有8个点P ，使得12PF F 是直角三角形11.法国数学家柯西(A.Cauchy ，17891857-研究了函数21,0()0,0x e x f x x -⎧⎪≠=⎨⎪=⎩的相关性质，并证明了()f x 在0x =处的各阶导数均为0.对于函数()f x ，有如下判断，其中正确的有（ ）A.()f x 是偶函数B.()f x 在是(),0∞-上单调递减C.()()f f e π-<D.若()a f x b ≤<恒成立，则b a -的最小值为112.在锐角三角形ABC 中，三个内角满足A B C <<，则下列不等式中正确的有（ ） A.cos 2C C π+< B.cos cos A B B A ->-C.sin 2C C π>D.sin sin B B A A>三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设02πθ<<，向量()3cos2,cos ,1,sin .2a b θθθ⎛⎫==- ⎪⎝⎭若a b ⊥则tan θ=__________. 14.已知椭圆22122:1(0)x y C a b a a+=>>的右焦点F 与抛物线2C 的焦点重合，1C 的中心与2C 的顶点重合.若椭圆1C 与抛物线2C 相交于点A ，B ，且直线AB 经过点F ，则椭圆1C 的离心率为___________.15.已知()f x 在(0,)∞+上是减函数，且()()()1f x f y f xy +=+对任意的(0,)x ∞∈+都成立，写出一个满足以上特征的函数()f x =___________. 16.已知菱形ABCD 的边长为2，3ABC π∠=.现将菱形沿对角线AC 折成空间几何体ABCD '.设空间几何体ABCD '的外接球为球O ，若球O 的表面积为8π，则二面角B ﹣AC ﹣D '的余弦值为___________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.在①1a ，3a 的等差中项是3，①24,a a 的等比中项是a 12，①13514a a a ++=.这三个条件中任选择两个，补充在下面问题中并解答.如果选多种方案解答，按第一种方案计分. 已知正项等比数列{}n a 满足_____，____. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列{}n a 的前n 项积为n T ，求数列21log n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .18.在①ABC 中，①ABC =2①ACB ，①ABC 和①ACB 的平分线交于点D. （1）若58AB AC =，求cos DCB ∠的值； （2）若AB CD =，求①BDC 的大小.19.某厂工会在征求职工对节假日期间的业余生活安排意见时，随机抽取200名职工(其中35岁以下职工占75%)进行问卷调查.统计数据显示，35岁以下职工愿意观看电影的占80%，35岁及以上职工愿意观看电影的占40%. （1）完成下列2×2联列表，并判断能否有99.9%的把握认为观看电影与年龄有关.愿意观看电影不愿意观看电影合计35岁以下 35岁及以上 合计（2）该厂工会节假日期间共组织4次观看电影活动，统计35岁以下职工观看电影场次如表： 观看场次 1 2 3 4 占比40%30%20%10%现采用分层抽样的方法从中抽取10人，再从这10人中随机抽取2人，记这2人观看电影的总场次为X ，求X 的概率分布和数学期望.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.20()P K k ≥0.010 0.005 0.001 k 06.6357.87910.82820.如图，在正三棱锥S ﹣ABC 中，E 是高SO 上一点，12AO SA =，直线EA与底面所成角的正切值为2.（1）求证：AE ①平面EBC ；（2）求三棱锥E ABC -外接球的体积.21.已知抛物线24y x =，点(2,0),(4,0)P Q .过点Q 的直线交抛物线于点A ，B ，AP ，BP 分别交抛物线于点C ，D ，连接AD ，DC ，CB .（1）若直线AB ，CD 的斜率分别为1k ，2k ，求21k k 的值； （2）过点P 与x 轴垂直的直线分别交AD ，BC 于点E ，F ，求证：.PE PF = 22.已知函数()cos ,()ln (1ln )cos f x x g x x x x x xππππ=+=-+-.（1）求证：函数()f x 在区间30,2π⎛⎤⎥⎝⎦上有2个零点； （2）求证：函数()g x 有唯一的极值点.2021届南通密卷高三模拟试卷数学 参考答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤17.解：（1）记数列{}n a的公比为(0)q q >.选①①，则2131124424116,,a a a a q a a a q a ⎧+=+=⎨==⎩ 解得12,a q ==所以数列{}n a 的通项公式为122n na +=.选①①，则21311241351116,14,a a a a q a a a a a q a q ⎧+=+=⎨++=++=⎩ 解得12,a q ==所以数列{}n a 的通项公式为122n na +=.选①①，则24424112413511114,a a a q a a a a a a q a q ⎧==⎨++=++=⎩解得12,a q ==所以数列{}n a 的通项公式为122n na +=.（2）由题意得()()33231242n n n n n n T L +++=⨯⨯⨯==，所以()214411log 333n T n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，从而411111111111134253621123n S n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦4111111323123n n n ⎛⎫=++--- ⎪+++⎝⎭()()()22212484493123n n n n n ++=-+++ 18.解：（1）在ABC 中，由正弦定理得sin sin AB ACACB ABC∠∠=.因为52,8ABC ACB AB AC ∠∠==，所以4cos 5ACB ∠=.因为CD 平分ACB ∠，所以24cos 2cos 15ACB DCB ∠∠=-=，解得cos DCB ∠=负根舍去). （2）因为2,2ABC ACB ABC DBC ∠∠∠∠==，所以.ACB DBC ∠∠= 在ABC 和BCD 中，由正弦定理得sin sin AB BCACB BAC∠∠=，sin sin CD BCCBD BDC∠∠=因为AB CD =，所以sin sin .BAC BDC ∠∠=因为(),0,BAC BDC ∠∠π∈，所以.BAC BDC ∠∠π+= 记DCB ∠θ=，则6,3BAC BDC ∠πθ∠πθ=-=-， 所以()()63πθπθπ-+-=，解得9πθ=，所以23BDC π∠=. 19.解：（1）从而22200(120302030)28.5710.8281401506050K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99.9%的把握认为观看电影与年龄有关.（2）用分层抽样的方法抽取的10人中，观看场次为1,2,3,4的人数分别为4，3，2，1.从这10人中随机抽取2人，观看电影的总场次x 的可能取值为2,3,4,5,6,7，其概率分别为：()()()11112243423422210101024112,3,4151545C C C C C C P X P X P X C C C +========= ()()()1111112114132312212221010102425,6,794545C C C C C C C C C P X P X P X C C C ++========= 所以X 的概率分布为所以()42234567415154594545E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.20.（1）证明：延长,AO 交BC 于点.D因为SO ⊥平面ABC ，所以EAO ∠即为直线EA 与底面所成的角， 从而tan 2EAO ∠=，所以2EO AO =.设2,AO =则1,4,OE OD SA AB SO =====以O 为坐标原点，与CB 平行的直线为x 轴，OD 所在直线为y 轴，OS 所 在直线为z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -， 则()())()(0,0,0,0,2,0,,,O A BC E -，所以()()(23,0,0,3,1,2,0,2,.BC BE AE =-=--=设平面EBC 的法向量为(),,n x y z =，由00n BC n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得0,y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩ 取1z =，则0y x =，即()0,2,1n = 所以()20,2,12AE n ==，即//AE n ，所以AE ⊥平面EBC .（2）解：由题意知三棱锥E ABC -为正三棱锥，设其外接球的球心为()0,0,Ot '由O A O E '='=解得t=，所以外接球的半径r ⎛==⎝⎭所以外接球的体积3432V π⎛== ⎝⎭. 21.（1）解：设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，直线AC 的方程为12x m y =+，所以4343122122344334121244,44y y y y y y k k y y x x y y x x y y ---=====-+-+-.联立122,4,x m y y x -+⎧⎨=⎩得21480,y m y --= 所以2113113Δ16320,4,8.m y y m y y ⎧=+>⎪+=⎨⎪=-⎩同理248y y =-由题意得直线AB 的方程为()14.y k x =-联立()124,4,y k x y x ⎧=-⎨=⎩得()222211184160,k x k x k -++=所以()2221121122112Δ8464084,16,k k k x x k x x ⎧=+->⎪⎪+⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩从而()()()2212112112124441616y y k x x k x x x x ⎡⎤=--=-++=-⎣⎦，所以2121212134122888k y y y y y yk y y y y ++===-=+-- （2）证法1:由题意得直线PF 的方程为2x =. 设直线AD 的斜率为3k ，则14314144y y k x x y y -==-+，所以直线AD 的方程为()11144y y x x y y -=-+.令2x =，则()111442E y x y y y =-++.同理()122342F y x y y y =-++.所以()()()()11212121212122212121122221428848814288488E F x y y y x y y y y y y y y PEx PF y y y y x y y y y y y y -+--+--=====---+-+-∣∣∣ 证法2：设()()2,,2,E F E y F y . 因为A ，,E D 三点共线，所以()()14141112214142244E y y y yy y x x y y x x ---=-=---，即()111442E y y x y y -=-+，所以2111442.4E y y y y y ⎛⎫=+- ⎪+⎝⎭因为41228,16y y y y =-=-. 所以2222121212121111121244222848464324E y y y y y y y y y y y y y y y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-=--=-+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭-()2111221333y y y y y =--=- 同理()222212341243F y y y y y y y ⎛⎫=+-=- ⎪+⎝⎭.所以E F y y =， 从而.PE PF =22.证明：(1)由题意得()2sin f x x x π'=--.①当()0,x π∈时，()0f x '<，所以()f x 在区间()0,π上单调递减， 从而()()0f x f π>=，所以()f x 在区间()0,π上没有零点.①当3,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()32cos 0f x x x π-+''=>，所以()f x '在区间3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增. 因为134()0,1029f f ππππ''⎛⎫=-<=-> ⎪⎝⎭，所以存在3,2t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()0f t '=， 从而可列下表：所以存在3,2t πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0.f α=又因为()0f π=，所以()f x 在区间3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个零点. 综上，所以()f x 在区间30,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦上有2个零点. （2）由题意得()g x 的定义域为()()0,,sin ln ln g x x x ∞πππ++-'=. 记()()sin ln ln ,h x g x x x πππ==+-'则()()cos h x x f x x π='+=. ①当()0,x α∈时，由（1）知，若()0,x π∈，则()0h x '>，所以()h x 在区间()0,π上单调递增； 若[),x πα∈，则()0h x '≤，所以()h x 在区间[),πα上单调递减. 又因为()0h π=，所以()0h x ≤在()0,α上恒成立，且()0h α<， 即()0g x '≤在()0,α上恒成立，且()0g α'<，所以()g x 在区间()0,α上不存在极值点.①当3,2x πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时 由（1）知()0h x '>，所以()h x 在区间3,2πα⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，即()g x '在区间3,2πα⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增. 又因为()333270,1ln 13ln ln 02228g g e παπ⎛⎫<=-+>-+=> ⎪⎭''⎝， 所以存在3,2πβα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0g β'=，从而可列下表：所以x β=是()g x 在区间3,2πα⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的极小值点.（3）当3,2x π∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()33sin ln ln sin ln ln 1ln 022g x x x x ππππππππ=+->+-≥-+>' 即()g x 在区间3,2π∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以()g x 在区间3,2π∞⎛⎫+⎪⎝⎭上不存在极值点 综上，函数()g x 有唯一的极值点.。

江苏省苏、锡、常、镇2025届高三第一次模拟考试数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知双曲线)，其右焦点F 的坐标为，点是第一象限内双曲线渐近线上的一点，为坐标原点，满足，线段交双曲线于点.若为的中点，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．2C ．D ．2．函数()[]()cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象的交点横坐标的和为（ ） A ．53π B ．2πC ．76π D ．π3．已知等差数列{}n a 的公差不为零，且11a ，31a ，41a 构成新的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若存在n 使得0n S =，则n =（ ） A ．10B ．11C ．12D ．134．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一书中才正式出现.如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1，粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的表面积为（ ）A ．()85424πB ．()85824πC ．()854216πD ．()858216π5．若复数z 满足(1)12i z i +=+，则||z =( )A ．22B ．32C 10D ．126．已知集合1|2A x x ⎧⎫=<-⎨⎬⎩⎭，{|10}B x x =-<<则AB =（ ）A ．{|0}x x <B ．1|2x xC ．1|12x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭D ．{|1}x x >-7．上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角.由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表： 黄赤交角 2341︒'2357︒'2413︒'2428︒'2444︒'正切值 0.439 0.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是( ) A ．公元前2000年到公元元年 B ．公元前4000年到公元前2000年 C ．公元前6000年到公元前4000年D ．早于公元前6000年8．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x 值的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．已知六棱锥P ABCDEF -各顶点都在同一个球（记为球O ）的球面上，且底面ABCDEF 为正六边形，顶点P 在底面上的射影是正六边形ABCDEF 的中心G ，若6PA =，2AB =，则球O 的表面积为（ ）A ．163πB ．94π C ．6πD ．9π10．点O 为ABC ∆的三条中线的交点，且OA OB ⊥，2AB =，则AC BC ⋅的值为( ) A ．4B ．8C ．6D ．1211．设()ln f x x =，若函数()()g x f x ax =-在区间()20,e 上有三个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．211,e e ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．222,e e ⎛⎫⎪⎝⎭ D ．221,e e ⎛⎫⎪⎝⎭ 12．过圆224x y +=外一点(4,1)M -引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是（ ）． A ．440x y --=B ．440x y +-=C ．440x y ++=D ．440x y -+=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年江苏省南通市、泰州市高考数学一模试卷答案解析一、填空题（共14题，共70分）1．已知集合A＝{﹣1，0，2}，B＝{﹣1，1，2}，则A∩B＝{﹣1，2} ．【解答】解：∵集合A＝{﹣1，0，2}，B＝{﹣1，1，2}，∴A∩B＝{﹣1，2}．故答案为：{﹣1，2}．2．已知复数z满足（1+i）z＝2i，其中i是虚数单位，则z的模为．【解答】解：由（1+i）z＝2i，&得．则复数z的模为：．故答案为：．3．某校高三数学组有5名党员教师，他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为35，35，41，38，51，则这5名党员教师学习积分的平均值为40 ．【解答】解：根据题意，5名党员教师的学习积分依次为35，35，41，38，51，则这5名党员教师学习积分的平均值＝（35+35+41+38+51）＝40，故答案为：404．根据如图所示的伪代码，输出的a的值为11 ．—【解答】解：模拟程序语言的运行过程知，该程序的功能是计算并输出a＝1+1+2+3+4＝11．故答案为：11．5．已知等差数列{a n}的公差d不为0，且a1，a2，a4成等比数列，则的值为 1 ．【解答】解：由题意，可知＝a1a4，∴（a1+d）2＝a1（a1+3d），即+2a1d+d2＝+3a1d．$化简，得a1＝d．∴＝1．故答案为：1．6．将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，则恰好出现2次正面向上的概率为．【解答】解：将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，则恰好出现2次正面向上的概率为：P＝＝．故答案为：．:7．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝2，则三棱锥A1﹣BB1C1的体积为．【解答】解：如图所示，由正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝2，则三棱锥A 1﹣BB1C1的体积＝＝••B1B＝＝．故答案为：．8．已知函数（ω＞0），若当时，函数f（x）取得最大值，则ω的最小值为5．【解答】解：当x＝时，f（x）取得最大值，~即f（）＝sin（ω﹣）＝1，即ω﹣＝+2kπ，k∈Z，即ω＝12k+5，k∈Z，由于ω＞0，所以当k＝0时，ω的最小值为5．故答案为：5．9．已知函数f（x）＝（m﹣2）x2+（m﹣8）x（m∈R）是奇函数，若对于任意的x∈R，关于x的不等式f（x2+1）＜f（a）恒成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，1）．【解答】解：由奇函数的性质可得，f（﹣x）＝﹣f（x）恒成立，[即（m﹣2）x2﹣（m﹣8）x＝﹣（m﹣2）x2﹣（m﹣8）x，故m﹣2＝0即m＝2，此时f（x）＝﹣6x单调递减的奇函数，由不等式f（x2+1）＜f（a）恒成立，可得x2+1＞a恒成立，结合二次函数的性质可知，x2+1≥1，所以a＜1．故答案为：（﹣∞，1）10．在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B分别在双曲线C：x2﹣y2＝1的两条渐近线上，且双曲线C经过线段AB的中点．若点A的横坐标为2，则点B的横坐标为．【解答】解：设点B的横坐标为m，;因为双曲线C：x2﹣y2＝1，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x，不妨设点A在直线y＝x上，点B在直线y＝﹣x上．则点A坐标为（2，2），点B坐标为（m，﹣m），所以线段AB的中点坐标为，因为双曲线C经过线段AB的中点，所以，解得，故答案为：．11．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如．地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+1.5M.2008年5月汶川发生里氏8.0级地震，它释放出来的能量是2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量的1000倍．【解答】解：地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE ＝4.8+1.5M．、2008年5月汶川发生里氏8.0级地震，它释放出来的能量满足：lgE1＝4.8+1.5×8.0，2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量满足：lgE2＝4.8+1.5×6.0．∴lgE1﹣lgE2＝3，解得：＝103＝1000．故答案为：1000．12．已知△ABC的面积为3，且AB＝AC，若，则BD的最小值为．【解答】解：如图，设AB＝AC＝x，由，得AD＝，【设∠BAC＝θ（0＜θ＜π），由余弦定理可得：cosθ＝，得，①由△ABC的面积为3，得，即，②联立①②，得，∴，令y＝，则y sinθ＝5﹣3cosθ，∴y sinθ+3cosθ＝5，即（θ+φ）＝5，得sin（θ+φ）＝，由，解得y≥4或y≤﹣4（舍）．]即，得BD，∴BD的最小值为．故答案为：．13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2+y2＝8与圆C2：x2+y2+2x+y﹣a＝0相交于A、B两点．若圆C1上存在点P，使得△ABP为等腰直角三角形，则实数a的值组成的集合为{8，8﹣2，8+2}．【解答】解：已知圆C1：x2+y2＝8与圆C2：x2+y2+2x+y﹣a＝0相交于A、B两点，则AB所在直线的方程为2x+y﹣a+8＝0，若圆C1上存在点P，使得△ABP为等腰直角三角形，分2种情况讨论：①，P为直角顶点，则AB为圆C1的直径，|即直线2x+y﹣a+8＝0经过圆C1的圆心C1，必有﹣a+8＝0，解可得a＝8；②，A或B为直角顶点，则点C1到直线AB的距离d＝r＝×2＝2，则有d＝＝2，解可得a＝8﹣2或8+2，综合可得：a的取值的集合为{8，8﹣2，8+2}；故答案为：{8，8﹣2，8+2}．14．已知函数f（x）＝，若关于x的方程f2（x）+2af（x）+1﹣a2＝0有五个不相等的实数根，则实数a的取值范围是．【解答】解：令f（x）＝t，则g（t）＝t2+2at+1﹣a2，作f（x）的图象如下，>设g（t）的零点为t1，t2，由图可知，要满足题意，则需，故，解得．故答案为：．二、解答题（共6题，共90分）15．如图，在三棱锥P﹣ABC中，P A⊥平面ABC，PC⊥AB，D，E分别为BC，AC的中点．求证：（1）AB∥平面PDE；（2）平面P AB⊥平面P AC．~【解答】证明：（1）∵D，E分别为BC，AC的中点，∴DE是三角形ABC的一条中位线，∴DE∥AB，∵AB不在平面PDE内，DE在平面PDE内，∴AB∥平面PDE；（2）∵P A⊥平面ABC，AB在平面ABC内，∴P A⊥AB，又PC⊥AB，P A∩PC＝P，且P A，PC都在平面P AC内，%∴AB⊥平面P AC，∵AB在平面P AB内，∴平面P AB⊥平面P AC．16．在△ABC中，已知AC＝4，BC＝3，cos B＝﹣．（1）求sin A的值．（2）求的值．【解答】解：（1）如图，∵，∴，!又AC＝4，BC＝3，∴根据正弦定理得，，解得；（2）∵，∴，∴cos C＝cos[π﹣（A+B）]＝﹣cos（A+B）＝sin A sin B﹣cos A cos B＝，∴＝＝^＝．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：＝1（a＞b＞0）的焦距为4，两条准线间的距离为8，A，B分别为椭圆E的左、右顶点．（1）求椭圆E的标准方程：（2）已知图中四边形ABCD是矩形，且BC＝4，点M，N分别在边BC，CD上，AM与BN相交于第一象限内的点P．①若M，N分别是BC，CD的中点，证明：点P在椭圆E上；②若点P在椭圆E上，证明：为定值，并求出该定值．}【解答】解：（1）设椭圆的E的焦距为2c，则由题意，得，解得，所以b2＝a2﹣c2＝4，所以椭圆E的标准方程为；（2）①证明：由已知，得M（2，2），N（0，4），B（2，0），直线AM的方程为，直线BN的方程为，联立，解得，即P（，），因为，，所以点P在椭圆上；②解法一：设P（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），则，，直线AP的方程为，令，得，直线BP的方程，令y＝4，得，所以＝＝＝＝＝．<解法二：设直线AP的方程为（k 1＞0），令，得，设直线BP的方程为（k 2＜0），令y＝4，得，所以＝＝|k1k2|，设P（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），则，所以k1k2＝•＝＝＝，所以＝．(18．在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫作图形的旋转，如图，小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标，他将边长为a的正三角形ABC绕其中心O逆时针旋转θ到三角形A1B1C1，且顺次连结A，A1，B，B1，C，C1，A，得到六边形徽标AA1BB1CC1．（1）当θ＝时，求六边形徽标的面积；（2）求六边形微标的周长的最大值．【解答】解：（1）因为正三角形ABC的边长为a，所以∠AOB＝120°，且OA＝OA1＝OB＝OB1＝OC＝OC1＝，由旋转图形的性质可知，△A1AC1≌△AA1B≌△B1BA1≌△BB1C≌△C1CB1≌△CC1A，所以∠AA1B＝∠A1BB1＝∠BB1C＝∠B1CC1＝∠CC1A＝∠C1AA1＝120°，在等腰△AOA1中，因为∠AOA1＝θ＝，所以∠AA1O＝，…所以∠BA1O＝，因此∠A1OB＝，依此类推可得，∠BOB1＝∠COC1＝，∠B1OC＝∠C1OA＝，所以六边形徽标的面积S＝+＝3（）＝3•＝，故六边形徽标的面积为．（2）由（1）可知，A1A＝B1B＝C1C，A1B＝B1C＝C1A，不妨设A1A＝x，A1B＝y，则六边形徽标的周长L＝3（x+y）．在△AA1B中，由余弦定理得，cos∠AA1B＝cos120°＝\所以xx2+y2+xy＝a2，变形得（x+y）2﹣xy＝a2①由基本不等式可知，②由①②解得，x+y≤，当且仅当x＝y＝时取等号所以六边形徽标的周长L＝3（x+y）≤3×＝故六边形徽标的周长的最大值为．19．已知数列{a n}满足：a1＝1，且当n≥2时，a n＝λa n﹣1+（λ∈R）．（1）若λ＝1，证明：数列{a2n﹣1}是等差数列；（2）若λ＝2．）①设b n＝a2n+，求数列{b n}的通项公式；②设∁n＝，证明：对于任意的p，m∈N*，当p＞m，都有∁p≥∁m．【解答】解：（1）当λ＝1时，则根据a1＝1，a n＝a n﹣1+（n≥2），得，所以a2n+1＝a2n﹣1+1，即a2n+1﹣a2n﹣1＝1为常数，即数列{a2n﹣1}是首项为1，公差为1的等差数列；（2）λ＝2时，a1＝1，且当n≥2时，a n＝2a n﹣1+，①当n≥2时，，所以a2n＝4a2n﹣2+2，则a2n+＝4（a2n﹣2+），又因为b n＝a2n+，即有b n＝a2n+＝4（a2n﹣2+），%而b1＝a2+＝2a1+＝≠0，所以＝4是常数，所以数列{b n}时首项为，公比为4的等比数列，则b n的通项公式为b n＝•4n﹣1＝•4n （n∈N+）；②由①知，a2n＝b n﹣＝（4n﹣1），a2n﹣1＝a2n＝（4n﹣1），则＝＝＝（）﹣n＝，所以∁n＝＝[]（n∈N+），则C n+1﹣∁n＝﹣＝，当n＝1时，C2﹣C1＝0，则C2＝C1；当n＝2时，C3﹣C2＝0，则C3＝C2；@当n≥3时，C n+1﹣∁n＞0，则C n+1＞∁n，故对于任意的p，m∈N*，当p＞m，都有∁p≥∁m．20．设函数（a∈R），其中e为自然对数的底数．（1）当a＝0时，求函数f（x）的单调减区间；（2）已知函数f（x）的导函数f'（x）有三个零点x1，x2，x3（x1＜x2＜x3）．①求a的取值范围；②若m1，m2（m1＜m2）是函数f（x）的两个零点，证明：x1＜m1＜x1+1．【解答】解：（1）当a＝0时，，其定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），．—令f'（x）＜0，则x＞1，∴f（x）的单调递减区间为（1，+∞）．（2）①由，得，设g（x）＝ax3﹣x+1，则导函数f'（x）有三个零点，即函数g（x）有三个非零的零点．又g′（x）＝3ax2﹣1，若a≤0，则g′（x）＝3ax2﹣1＜0，∴g（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，g（x）至多有1个零点，不符合题意，∴a＞0．令g′（x）＝0，，则当x∈∪时，g'（x）＞0；当x∈，g'（x）＜0，∴g（x）在上单调递减，在和上单调递增，·∴，即，∴．又g（0）＝1＞0，∴g（x）在上有且只有1个非零的零点．∵当时，，，且，又函数g（x）的图象是连续不间断的，∴g（x）在和上各有且只有1个非零的零点，∴实数a的取值范围是．②由f（m1）＝f（m2）＝0，得，^设p（x）＝ax2﹣ax﹣1（a＞0），且p（m1）＝p（m2）＝0，∴．又∵m1＜m2，∴m1＜0＜m2．∴x＜m1或x＞m2时，p（x）＞0；m1＜x＜m2时，p（x）＜0．由①知a＞0，x1＜0＜x2＜x3．∵，∴，，∴，，∴x1＜m1＜x1+1成立．$【选做题】（3选2，每题10分）21．已知a，b∈R，向量是矩阵A＝的属于特征值3的一个特征向量．（1）求矩阵A；（2）若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P'（2，2），求点P的坐标．【解答】解：（1）由矩阵特征值和特征向量的关系可知：Aα＝3α，带入可知：＝3，即，解得a＝2，b＝﹣1，故矩阵A＝．.（2）设P为（x，y），因为点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P'（2，2），所以，解得x＝1，y＝0，故P（1，0）．22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程（t为参数），椭圆C的参数方程为（θ为参数），求椭圆C上的点P到直线l的距离的最大值．【解答】解：已知直线l的参数方程（t为参数），转换为直角坐标方程为x+2y+3＝0，椭圆C的参数方程为（θ为参数），设椭圆上的点P（2cosθ，sinθ）到直线l 的距离d＝＝，？当sin（）＝1时，．23．已知a，b，c都是正实数，且＝1．证明：（1）abc≥27；（2）≥1．【解答】证明：（1）∵a，b，c都是正实数，∴，又∵＝1，∴，即abc≥27，得证；}（2）∵a，b，c都是正实数，∴，，，由①+②+③得，，∴，得证．【必做题】（每题10分）24．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，AB⊥AD，AB＝AD＝AA1＝2BC＝2．（1）求二面角C1﹣B1C﹣D1的余弦值；（2）若点P为棱AD的中点，点Q在棱AB上，且直线B1C与平面B1PQ所成角的正弦值为，求AQ的长．&【解答】解：（1）在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∵AA1⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，∴AB⊥AA1，AD⊥AA1，∵AB⊥AD，∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，∵AB＝AD＝AA1＝2BC＝2．∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，1，0），D（0，2，0），A1（0，0，2），B1（2，0，2），C1（2，1，2），D1（0，2，2），＝（﹣2，2，0），＝（0，1，﹣2），设平面B1CD1的一个法向量＝（x，y，z），则，取x＝2，则＝（2，2，1），∵AB⊥平面B1C1C，∴平面B1CC1的一个法向量＝（2，0，0），设二面角C1﹣B1C﹣D1的的平面角为α，由图形得锐角，∴二面角C1﹣B1C﹣D1的余弦值为：cosα＝＝．（2）设AQ＝λ（0≤λ≤2），则Q（λ，0，0），∵点P是AD中点，则P（0，1，0），＝（λ，﹣1，0），＝（λ﹣2，0，﹣2），设平面B1PQ的法向量＝（x，y，z），则，取x＝2，得＝（2，2λ，λ﹣2），设直线B1C与平面B1PQ所成角大小为β，∵直线B1C与平面B1PQ所成角的正弦值为，∴sinβ＝＝＝，解得λ＝1或．∴AQ＝1．25．一只口袋装有形状、大小完全相同的5只小球，其中红球、黄球、绿球、黑球、白球各1只．现从口袋中先后有放回地取球2n次（n∈N*），且每次取1只球．（1）当n＝3时，求恰好取到3次红球的概率；（2）随机变量X表示2n次取球中取到红球的次数，随机变量，求Y 的数学期望（用n表示）．【解答】解：（1）当n＝3时，从装有5只小球的口袋中有放回地取球6次，共有n＝56个基本事件，记“恰好取到3次红球”为事件A，则事件A包含的基本事件个数为m＝，∴当n＝3时，恰好取到3次红球的概率P（A）＝＝．（2）由题意知随机变量Y的所在可能取值为0，1，3，5，…，2n﹣1，（n∈N*），则P（Y＝2t+1）＝•（2i+1）＝＝．（0≤i≤n﹣1，i∈N），∴E（Y）＝0•P（Y＝0）+3P（Y＝3）+5P（Y＝5）+…+（2n﹣1）P（Y＝2n﹣1）＝（+++…+），令x n＝+++…+，y n＝++，则，x n﹣y n＝（4﹣1）2n﹣1＝32n﹣1．∴．∴E（Y）＝＝＝．。

2015年江苏高考南通密卷一一、填空题1.已知集合{}9,5,3,1=U ，{}9,3,1=A ，{}9,1=B ，则=)(B A C U .2.已知复数z 满足)(1)2(为虚数单位i i i z +=-，则复数z 的模是 .3.已知函数xax f =)(在1=x 处的导数为2-，则实数a 的值是 . 4.右图是某算法的流程图，则输出的T 的值为 .5.有红心3,2,1和黑桃5,4这5张扑克牌，现从中随机抽取一张，则抽到的牌为红心的概率是 .6.某单位在岗职工624人，为了调查工人用于上班途中的时间，决定采用系统抽样的方法抽取%10的工人进行调查。

首先在总体中随机剔除4人，将剩下的620名职工编号（分别为,000,001，⋯⋯,002619），若样本中的最小编号是,007则样本中的最大编号是 .7.等差数列{}n a 中，若20-37=a a ，则3070-a a 的值为 . 8.函数x y 2sin =的图像可由函数)32sin(π+=x y 的图像向右至少．．．．平移 个单位得到.9.已知,0,0>>y x 且,2052=+y x 则y x lg lg +的最大值为 .10.已知)(x f y =是R 上的奇函数，且0>x 时，0)(>x f ，则不等式0)(2<-x x f 的解集为 .11.在平面直角坐标系中，已知向量)25sin ,25(cos ︒︒=a ，)20cos ,20(sin ︒︒=b ，若t 是实数，且b t a u +=，则u 的最小值为 . 12.在锐角三角形ABC 中，31)tan(,53sin -=-=B A A ，则C tan 的值为 . 13.某同学的作业不小心被墨水玷污，经仔细辨认，整理出以下两条有效信息：①题目：“在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆1222=+y x 的左顶点为A ，过点A 作两条斜率之积为2的射线与椭圆交于B ，C ，……”②解：设AB 的斜率为k ，……点)212,2121(222k k k k B ++-，)0,35(-D ，…… 据此，请你写出直线CD 的斜率为 .（用k 表示）14.若二次函数)(x f y =满足对任意的正整数n ，当 5n 555个⋅⋅⋅=x 时，52n 555y 个⋅⋅⋅=，则)(x f 的零点之和为 . 二．解答题15.已知向量)sin ,(cos x x m -=，)cos 32sin ,(cos x x x n -=，R x ∈.设n m x f ⋅=)(. （1）求函数)(x f 的最小正周期； （2）若1324)(=x f ，且26ππ≤≤x ，求x 2sin 的值.16.如图，在四棱锥ABCD P -中，BC AD //，且BC AD 2=，CD AD ⊥，PD PA =，点M 为棱AD 的中点.（1）求证：PBM //平面CD ； （2）求证：PBM PAD 平面平面⊥.17.在平面直角坐标系xoy 中，设B A ,是双曲线1222=-y x 上的两点，)2,1(M 是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于D C ,两点. （1）求直线AB 与CD 的方程；（2）判断,,B A D C ,四点是否共圆？如共圆，求出圆的方程，若不共圆，说明理由.18.某生物探测器在水中逆流行进时，所消耗的能量为T cv E n=，其中v 为行进时相对于水的速度，T 为行进时的时间（单位：h ），c 为常数，n 为能量次级数.如果水的速度为h km /4，该生物探测器在水中逆流行进km 200. （1）求T 关于v 的函数关系式； （2）（i ）当能量次级数为2时，求该探测器消耗的最少能量；（ii ）当能量次级数为3时，试确定v 的大小，使该探测器消耗的能量最少.19.已知函数)(x f 的导函数)('x f 是二次函数，0)('=x f 的两根为1±，且)(x f 的极大值与极小值之和为0，2)2(=-f . （1）求函数)(x f 的解析式；（2）若函数)(x f 在开区间)9,9(m m --上存在最大值与最小值，求实数m 的取值范围； （3）设函数)()(x g x x f ⋅=，正实数c b a ,,满足0)()()(>⋅=⋅=⋅a g c c g b b g a ，证明：c b a ==.20.设数列{}n a 是公差为d 的等差数列，且65=a .（1）若*N d ∈，且数列{}n a 中的任意连续两项的和仍为数列{}n a 中的项，求d 的值；（2）若13>a ，且自然数）（*21N t ,,,,∈⋯⋯t n n n 满足⋯<<⋯<<<t n n n 215，使得⋯⋯,,,,,,2153n n n a a a a a t成等比数列，求3a 的所有可能值.附加题21.选做题（本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按前两题评分）A ．选修4-1：几何证明选讲（10分）如图，D C ,是直径为AB 的半圆上的两个不同的点，AC 与BD 交于点E ，点F 在弦BD 上，且BCF ACD ∆∆∽，证明：DFCABC ∆∆∽B ．选修4-2：矩阵与变换（10分） 设x 为实数，若矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=x M 251为不可逆矩阵，求2M .C ．选修4-4：坐标系与参数方程（10分）已知极坐标系中的曲线θθρsin cos 2=与曲线2)4sin(=+πθρ交于B A ,两点，求线段AB 的长.D ．选修4-5：不等式选讲（10分）设321,,a a a 均为正数，且,1321=++a a a 求证：9111321≥++a a a .必做题（第22、23题，每题10分，共20分）22.（10分）如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，)10(,111<<==λλC A P A AB . （1）若21=λ，求直线PB 与PD 所成角的正弦值； （2）若直线PBD 1平面⊥C A ，求实数λ的值.23.（10分）设i 为虚数单位，n 为正整数. （1）证明：nx i nx x i x nsin cos )sin (cos +=+；（2）结合等式“nnx i x x i x ]sin )cos 1[()]sin (cos 1[++=++”证明：2cos2cos 2cos 2cos cos 121nx x nx C x C x C n n nn n n =+⋯+++。