【全国百强校】山东省栖霞二中2020-2021学年高二下学期期末考试理数试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．现有党员6名，从中任选2名参加党员活动，则不同选法的种数为（ ） A ．15 B ．14 C ．13 D ．12 2．8(12)x -展开式中第5项的二项式系数为（ ）A ．56B ．70C ．1120D ．-1120 3．自2021年起,高考成绩由“33+”组成，其中第一个“3”指语文、数学、英语3科，第二个“3”指学生从物理、化学、生物、政治、历史、地理6科中任选3科作为选考科目，某同学计划从物理、化学、生物3科中任选两科，从政治、历史、地理3科中任选1科作为选考科目，则该同学3科选考科目的不同选法的种数为（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．94．已知随机变量X 服从正态分布(4,1)N ，且(5)0.1587P x >=，则(34)P x <<=（ ）A ．0.6826B ．0.1587C ．0.1588D ．0.3413 5．设随机变量X 的分布列为1()(1,3,5,7)4P X k k ===，则()D X =（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．66．下列关于正态分布2(,)(0)N μσσ>的命题：①正态曲线关于y 轴对称；②当μ一定时，σ越大，正态曲线越“矮胖”，σ越小，正态曲线越“瘦高”； ③设随机变量~(2,4)X N ，则1()2D X 的值等于2；④当σ一定时，正态曲线的位置由μ确定，随着μ的变化曲线沿x 轴平移. 其中正确的是（ ）A ．①②B ．③④C ．②④D ．①④ 7．已知函数()f x 与'()f x 的图象如图所示，则函数()x f x y e=（ ）A ．在区间(1,2)-上是减函数B ．在区间31(,)22-上是减函数C ．在区间1(,3)2上减函数 D ．在区间(1,1)-上是减函数 8．可以整除632123n n --+（其中*n N ∈）的是（ ）A ．9B ．10C ．11D ．129．下列关于独立性检验的叙述：①常用等高条形图展示列联表数据的频率特征；②独立性检验依据小概率原理；③样本不同，独立性检验的结论可能有差异；④对分类变量X 与Y 的随机变量2K 的观测值k 来说，k 越小，X 与Y 有关系的把握程度就越大.其中正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．在2310(1)(1)(1)x x x ++++⋅⋅⋅++的展开式中，含2x 项的系数为（ ）A ．45B ．55C ．120D ．16511．设函数2()ln 2a f x x x bx =+-，若1x =是函数()f x 的极大值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞B ．(,1]-∞C ．(,0)-∞D ．(,0]-∞ 12．已定义在R 上的函数()f x 无极值点，且对任意x ∈R 都有()()32f f x x -=，若函数()()g x f x kx =-在[]1,2-上与()f x 具有相同的单调性，则实数k 的取值范围为（ ）A ．(],0-∞B ．(],12-∞C ．[)0,+∞D ．[)1,+∞二、填空题13．用0到9这10个数字，组成没有重复数字且能被5整除的三位数的个数为__________． 14．加工某种零件需要两道工序，第一道工序出废品的概率为0.4，两道工序都出废品的概率为0.2，则在第一道工序出废品的条件下，第二道工序又出废品的概率为__________．15．NBA 总决赛采用7场4胜制，2021年总决赛两支球队分别为勇士和骑士，假设每场比赛勇士获胜的概率为0.7，骑士获胜的概率为0.3，且每场比赛的结果相互独立，则恰好5场比赛决出总冠军的概率为__________．16．已知函数2()(3)x f x x e =-，给出以下结论：①曲线()y f x =在点(0,3)处的切线方程为310x y -+=；②在曲线()y f x =上任一点处的切线中有且只有两条与x 轴平行；③若方程()f x m =恰有一个实数根，则36m e -<-；④若方程()f x m =恰有两个不同实数根，则02m e ≤<或36m e -=-.其中所有正确结论的序号为__________．三、解答题17．已知2220122(12)n n n x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+*()n N ∈.（1）求0242n a a a a +++⋅⋅⋅+的值；（2）当5n =时，求(0,1,2,,2)k a k n =⋅⋅⋅的最大值.18．食品安全一直是人们关心和重视的问题，学校的食品安全更是社会关注的焦点.某中学为了加强食品安全教育，随机询问了36名不同性别的中学生在购买食品时是否看保质期，得到如下“性别”与“是否看保质期”的列联表：（1）请将列联表填写完整，并根据所填的列联表判断，能否有95%的把握认为“性别”与“是否看保质期”有关？（2）从被询问的14名不看保质期的中学生中，随机抽取3名，求抽到女生人数ξ的分布列和数学期望.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，（n a b c d =+++）. 临界值表：19．随着共享单车的蓬勃发展，越来越多的人将共享单车作为短距离出行的交通工具.为了解不同年龄的人们骑乘单车的情况，某共享单车公司对某区域不同年龄的骑乘者进行了调查，得到数据如下：（1）求y 关于x 的线性回归方程，并估计年龄为40岁人群的骑乘人数；（2）为了回馈广大骑乘者，该公司在五一当天通过APP 向每位骑乘者的前两次骑乘分别随机派送一张面额为1元，或2元，或3元的骑行券.已知骑行一次获得1元券，2元券，3元券的概率分别是12，13，16，且每次获得骑行券的面额相互独立.若一名骑乘者五一当天使用了两次该公司的共享单车，记该骑乘者当天获得的骑行券面额之和为X ，求X 的分布列和数学期望.参考公式：121()()()n i i i n ii x x y y b x x ==--=-∑∑1221ni ii n i i x y nx y x nx ==-=-∑∑，a y bx =-.参考数据：6110400ii i x y ==∑，62111350i i x ==∑.20．已知函数2()(1)2x f x ax x e =++-（e 是自然对数的底数）.（1）当1a =-时，求函数在[3,2]-上的最大值和最小值；（2）当0a >时，讨论函数()f x 的单调性.21．“微信运动”是由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号.用户可以通过关注“微信运动”公众号查看自己及好友每日行走的步数、排行榜，也可以与其他用户进行运动量的PK 或点赞.现从某用户的“微信运动”朋友圈中随机选取40人，记录他们某一天的行走步数，并将数据整理如下：规定：用户一天行走的步数超过8000步时为“运动型”，否则为“懈怠型”.（1）将这40人中“运动型”用户的频率看作随机抽取1人为“运动型”用户的概率.从该用户的“微信运动”朋友圈中随机抽取4人，记X 为“运动型”用户的人数，求(3)P X ≤和X 的数学期望；（2）现从这40人中选定8人（男性5人，女性3人），其中男性中“运动型”有3人，“懈怠型”有2人，女性中“运动型”有2人，“懈怠型”有1人.从这8人中任意选取男性3人、女性2人，记选到“运动型”的人数为Y ，求Y 的分布列和数学期望. 22．已知函数()ln ()a f x x x a R x=++∈. （1）若函数()f x 在[1,)+∞上为增函数，求a 的取值范围；（2）若函数2()()(1)g x xf x a x x =-+-有两个不同的极值点，记作1x ，2x ，且12x x <，证明：2312x x e >（e 为自然对数）.参考答案1．A【解析】分析：直接利用组合数求解即可．详解：现有党员6名，从中任选2名参加党员活动，则不同选法的种数为2615.C =故选A点睛：本题考查组合的应用，属基础题..2．B【解析】分析：直接利用二项展开式的通项公式求解即可.详解：()812x -展开式的通项公式为()()8188122,r r r r r r r T C x C x -+=-=- 则()812x -展开式中第5项的二项式系数为4870.C = 点睛：本题考查二项展开式的通项公式，属基础题.3．D【解析】分析：直接利用组合数进行计算即可.详解：某同学计划从物理、化学、生物3科中任选两科，从政治、历史、地理3科中任选1科作为选考科目，则该同学3科选考科目的不同选法的种数为21339C C =种.故选D.点睛：本题考查组合的应用，属基础题..4．D【解析】分析：根据随机变量符合正态分布，知这组数据是以4x =为对称轴的，根据所给的区间的概率与要求的区间的概率之间的关系，单独要求的概率的值．详解：∵机变量X 服从正态分布()4,1N ，，(5)0.1587P x >=， ∴10.15872(34)?0.34132P x -⨯<<==. 故选：D ．点睛：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查根据正态曲线的性质求某一个区间的概率，属基础题．5．C【解析】分析：根据方差的定义计算即可.详解：随机变量X 的分布列为()()11,3,5,74P X k k ===，则()4,E X =则()()()()()222214143454754D X ⎡⎤=-+-+-+-=⎣⎦ 、 故选D 点睛：本题考查随机变量的数学期望和方差的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意方差计算公式的合理运用．6．C【解析】分析：根据正态分布的定义，及正态分布与各参数的关系结合正态曲线的对称性，逐一分析四个命题的真假，可得答案．详解：①正态曲线关于x μ=轴对称，故①不正确，②当μ一定时，σ越大，正态曲线越“矮胖”，σ越小，正态曲线越“瘦高”；正确； ③设随机变量()~2,4X N ，则12D X ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值等于1；故③不正确； ④当σ一定时，正态曲线的位置由μ确定，随着μ的变化曲线沿x 轴平移.正确. 故选C.点睛：本题以命题的真假判断为载体考查了正态分布及正态曲线，熟练掌握正态分布的相关概念是解答的关键．7．B【解析】分析：求出函数y 的导数，结合图象求出函数的递增区间即可．详解：()()xf x f x y e '='-， 由图象得：3122x -＜＜时，0f x f x '-（）（）＞ ，故()x f x y e =在31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭递增， 故选B ．点睛：本题考查了函数的单调性问题，考查数形结合思想，考查导数的应用，是一道中档题． 8．C【解析】分析：()21632121231133n n n n ----+=-+，利用二项展开式可证明632123n n --+能被11整除. 详解：()21632121231133n n n n ----+=-+ ()()()()()()210221021012121212121113113...1133n n n n n n n n C C C --------=-+-++-+ ()()()()()()21022112201222121212121113113...11333n n n n n n n n n C C C ---------=-+-++--+ ()()()()()()2102211220122212121113113...113n n n n n n n C C C -------=-+-++- . 故能整除632123n n --+ （其中*n N ∈）的是11.故选C .点睛：本题考查利用二项式定理证明整除问题，属基础题.9．C【解析】分析：根据独立性检验的定义及思想，可得结论．详解：①常用等高条形图展示列联表数据的频率特征；正确；②独立性检验依据小概率原理；正确；③样本不同，独立性检验的结论可能有差异；正确；④对分类变量X 与Y 的随机变量2K 的观测值k 来说，k 越大，X 与Y 有关系的把握程度就越大.故④错误.故选C.点睛：本题考查了独立性检验的原理，考查了推理能力，属于基础题．10．D【解析】分析：由题意可得展开式中含2x 项的系数为222223410 C C C C +++⋯+ ，再利用二项式系数的性质化为 311C ，从而得到答案．详解：()()()2310111x x x ++++⋅⋅⋅++的展开式中含2x 项的系数为222232341011 165.C C C C C +++⋯+== 故选D.点睛：本题主要考查二项式定理的应用，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．11．A【解析】分析：()f x 的定义域为10'f x ax b x+∞=+-（，），（） ，由'10f =（）， 得1b a =+． 所以()1(1)'ax x f x x--=（） 能求出a 的取值范围． 详解：()f x 的定义域为10'f x ax b x +∞=+-（，），（） ，由'10f =（）， 得1b a =+． 所以()1(1)'ax x f x x--=（）． ①若0a = ，当01x ＜＜时，'0f x （）＞，此时()f x 单调递增； 当1x ＞时，'0f x （）＜ ，此时()f x 单调递减．所以1x =是函数()f x 的极大值点． 满足题意，所以0a =成立．②若0a ＞，由'0f x =（），得11x x a ==．，当1 1a＞ 时，即1a < ，此时 当01x ＜＜时，'0f x （）＞，此时()f x 单调递增； 当1x ＞时，'0f x （）＜ ，此时()f x 单调递减．所以1x =是函数()f x 的极大值点． 满足题意，所以1a <成立．．如果11a x =＞， 函数取得极小值，不成立；②若0a ＜ ，由'0f x =（） ，得11x x a ==．． 因为1x =是f （x ）的极大值点，成立；综合①②：a 的取值范围是1a < ．故选：A ．点睛：本题考查函数的单调性、极值等知识点的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化． 12．A 【解析】分析：易得函数()f x 是单调函数，令()3f x x t -=，则3f x t x =+（） ，（t 为常数），求出()f x 的单调性，从而求出()g x 在[]1,2-的单调性，得到23k x ≤在[]1,2-恒成立，求出k 的范围即可．详解：∵定义在R 上的函数()f x 的导函数f x '（）无零点，∴函数()f x 是单调函数，令()3f x x t -=，则3f x t x =+（），230f x x '=≥（） 在[]1,2-]恒成立，故()f x 在[]1,2-递增，结合题意()()g x f x kx =-在[]1,2-上递增，故230gx x k '=-≥（）在[]1,2-恒成立， 故23k x ≤ 在[]1,2-恒成立，故0k ≤ ， 故选A ．点睛：本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，属于中档题 13．136 【解析】分析：由题意，末尾是0或5，分类讨论，即可得出结论． 详解：由题意，末尾是0或5．末尾是0时，没有重复数字且被5整除的三位数有2972A = ，末尾是5时，没有重复数字且被5整除的三位数有8864⨯=，∴用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字且被5整除的三位数有7264136+=， 即答案为136.点睛：本题考查计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础． 14．0.5 【解析】分析：利用条件概率求解.详解：设第一道工序出废品为事件,A 则()0.4P A = ，第二道工序出废品为事件B ，则根据题意可得()0.2P AB =，故在第一道工序出废品的条件下，第二道工序又出废品的概率()()()1.2P AB P B A P A ==即答案为0.5点睛：本题考查条件概率的求法，属基础题. 15．0.3108 【解析】分析：设“勇士以比分4：1获胜”为事件A ，“第i 场比赛取胜”记作事件i A ，由12345123451234512345P A P A A A A A P A A A A A P A A A A A P A A A A A =+++（）（）（）（）（），能求出勇士队以比分4：1获胜的概率．设“骑士以比分4：1获胜”为事件B ，“第i 场比赛取胜”记作事件i B ，由12345123451234512345P B P B B B B B P B B B B B P B B B B B P B B B B B =+++（）（）（）（）（），能求出骑士队以比分4：1获胜的概率．则恰好5场比赛决出总冠军的概率为()()P A P B +.详解：设“勇士以比分4：1获胜”为事件A ，“第i 场比赛取胜”记作事件i A ，由12345123451234512345P A P A A A A A P A A A A A P A A A A A P A A A A A =+++（）（）（）（）（），能求出勇士队以比分4：1获胜的概率．则12345123451234512345P A P A A A A A P A A A A A P A A A A A P A A A A A =+++（）（）（）（）（）314377;101010C ⎛⎫=⨯⨯ ⎪⎝⎭ 设“骑士以比分4：1获胜”为事件B ，“第i 场比赛取胜”记作事件i B ，由12345123451234512345P B P B B B B B P B B B B B P B B B B B P B B B B B =+++（）（）（）（）（），能求出骑士队以比分4：1获胜的概率．则12345123451234512345P B P B B B B B P B B B B B P B B B B B P B B B B B =+++（）（）（）（）（），314733;101010C ⎛⎫=⨯⨯ ⎪⎝⎭ 则恰好5场比赛决出总冠军的概率为()()3311443777330.3108.101010101010P A P B C C ⎛⎫⎛⎫+=⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 即答案为0.3108.点睛：本题主要考查了n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率，同时考查了分析问题的能力和计算能力，属于中档题． 16．②④ 【解析】分析：对函数()f x 进行求导，通过导数研究函数()f x 的性质从而得到答案．详解：()()()()()2223332x x x f x x e x e x x e ''=-+-=--'，①()()03,03,f f ='=则曲线()y f x =在点()0,3处的切线方程为()330,y x -=- 即330x y -+=，故①不正确；②令()0,1f x x ='∴=或3x =-，即在曲线()y f x =上任一点处的切线中有且只有两条与x 轴平行；正确；③由②知函数()f x 在()(),3,1,-∞-+∞上单调递减，在()3,1-上单调递增，当()(),0;,;x f x x f x →-∞→→+∞→-∞函数的极小值 ()336,f e --=-极大值()12,f e = 故若方程()f x m =恰有一个实数根，则36m e -<-或2m e =，③不正确；④若方程()f x m =恰有两个不同实数根，则02m e ≤<或36m e -=-.正确 点睛：本题考查导数的应用以及数形结合思想，是一道中档题．17．（1）912n +（2）15360【解析】分析：（1）分别令1x =，1x =-，两式相加可得0242n a a a a +++⋅⋅⋅+的值；设k a 最大，则有11k k k k a a a a +-≥⎧⎨≥⎩，即1110101110102222k k k k k k k k C C C C ++--⎧≥⎨≥⎩解之即可. 详解：（1）令1x =可得， ()20122129nn n a a a a +=++++=，令1x =-可得， ()()2201221211nnn a a a a -=-+-+=-=，两式相加可得：()022291n n a a a +++=+，所以022912n n a a a ++++=； （2）因为()1101022rr r r rr T C x C x +==，所以102k k k a C =， 设k a 最大，则有11k k k k a a a a +-≥⎧⎨≥⎩，即1110101110102222k k k k k k k k C C C C ++--⎧≥⎨≥⎩，解得192233k ≤≤， 因为0,1,2,,2k n =，所以7k =，此时k a 的最大值为7710215360C =.点睛：本题主要考查二项式定理的应用，属于中档题．18．（1）有95%的把握认为“性别”与“是否看食品保质期”有关系 （2）分布列见解析，6()7E ξ= 【解析】 （分析：1）将列联表填写完整，求出2K ，然后判断性别与是否看保质期之间是否有关系． （2）判断ξ的取值为0，1，2．3，求出概率，然后得到分布列，求解期望即可． 详解：（1）填表如下：根据列联表中的数据，可得()236841410 4.208 3.84122141818k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯.故有95%的把握认为“性别”与“是否看食品保质期”有关系. （2）由题意可知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3，()3010431412030036491C C P C ξ====，()2110431418045136491C C P C ξ====， ()121043146015236491C C P C ξ====，()0310431441336491C C P C ξ====，所以()3045151786012391919191917E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯==. 点睛：本题考查离散型随机变量的分布列期望的求法，对立检验的应用，考查计算能力．19．（1） 1.6119ˆy x =-+，大致为55人（2）分布列见解析，10()3E X =【解析】分析：（1）根据题意求得40,55x y ==，代入公式求得回归直线方程，令40x =代入方程 可估计年龄为40岁人群的骑乘人数；（2）由题意．X 的所有可能取值为2,3,4,5,6．分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望．详解：（1）由题意可知40,55x y ==，代入公式可得，10400640551.61135064040ˆb-⨯⨯==--⨯⨯，()55 1.6401ˆ19a=--⨯=， 所以线性回归方程为 1.6119ˆyx =-+， 令40x =可得， 1.640195ˆ15y=-⨯+=， 故年龄为40岁人群的骑乘人数大致为55人.（2）由题意可知X 的所有可能取值为2,3,4,5,6，其相应概率为：()1112224P X ==⨯=，()11132233P X ==⨯⨯=，()1111542332618P X ==⨯+⨯⨯=，()11152369P X ==⨯⨯=，()11166636P X ==⨯=，所以X 的分布列为：()11511102345643189363E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.点睛：本题考查回归直线方程的求法及其应用，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法及应用，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 20．（1）max ()f x =2e - ，min ()f x =2e 2--（2）见解析 【解析】分析：（1）当1a =-时，()()212xf x x x e =-++-，()()()12xf x x x e =--+'，令()0f x '=，可得1x =或2x =-， 列表可求函数在[]3,2-上的最大值和最小值； （2）由题意()()()()()()2221121212x x x xf x ax e ax x e ax a x e ax x e ⎡⎤=++++=+++=++⎣⎦'，分类讨论可求函数()f x 的单调性. 详解：（1）当1a =-时，()()212xf x x x e =-++-，()()()12xf x x x e =--+'，令()0f x '=，可得1x =或2x =-， 则有：因为31122e e ---<-，252e --- > 22e --， 所以()max f x = 2e - ，()min f x = 22e --.（2）()()()()22211212xxxf x ax e ax x e ax a x e ⎡⎤=++++=+++⎣⎦'()()12x ax x e =++，当12a =时，()()21202xf x x e =+≥'，函数在().-∞+∞上单调递增； 当102a <<时，12a -<-，当1,x a ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭或()2,x ∈-+∞时，()0f x '>，函数单调递增，当1,2x a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数单调递减； 当12a >时，12a ->-，当(),2x ∈-∞-或1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数单调递增，当12,x a ⎛⎫∈--⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数单调递减； 综上所述，当102a <<时，()f x 在1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()2,-+∞上单调递增，在1,2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减；当12a =时，()f x 在().-∞+∞在上单调递增；当12a >时，()f x 在(),2-∞-，1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在12,a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减. 点睛：本题考查利用导数研究函数的性质，属中档题. 21．（1）4015(3)4096P X ≤=，3(X)2E =（2）分布列见解析，4715E Y =（）【解析】分析：（1）由题意可知，“运动型”的概率为153408=， 且34,8X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭,由此可求求()3P X ≤和X 的数学期望；（2）由题意可知，Y 的所有取值为2,3,4,5，求出相应的概率，即可得到Y 的分布列和数学期望. 详解：（1）由题意可知，“运动型”的概率为153408=， 且34,8X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭ ,则()444340153184096P X C ⎛⎫≤=-= ⎪⎝⎭， ()33482E X =⨯=.（2）由题意可知，Y 的所有取值为2,3,4,5， 相应的概率分别为：()121132213253125C C C C P Y C C ===,()211112203221322132325353132C C C C C C C C P Y C C C C ==+=， ()3011212032213221323253534415C C C C C C C C P Y C C C C ==+=，()3020322132531530C C C C P Y C C ===， 所以Y 的分布列为：114147234552153015E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=（）.点睛：本题考查二项分布，超几何分布及其期望，属基础题. 22．（1）2a ≤（2）见解析 【解析】分析：（1）由题意可知，函数()f x 的定义域为()0,+∞，()22211a x x af x x x x ='+-=+-，因为函数()f x 在[)1,+∞为增函数，所以()0f x '≥在[)1,+∞上恒成立，等价于()2mina x x≤+，由此可求a 的取值范围；（2）求出()ln 2g x x ax '=-，因为()g x 有两极值点12,x x ，所以1122ln 2,ln 2x ax x ax ==， 设令21x t x =，则1t >，上式等价于要证()31ln 12t t t ->+，令()()31ln 12t h t t t-=-+，根据函数的单调性证出即可． 详解：（1）由题意可知，函数()f x 的定义域为()0,+∞，()22211a x x af x x x x='+-=+-， 因为函数()f x 在[)1,+∞为增函数，所以()0f x '≥在[)1,+∞上恒成立， 等价于20x x a +-≥在[)1,+∞上恒成立，即()2mina x x≤+，因为2211224x x x ⎛⎫+=+-≥ ⎪⎝⎭，所以2a ≤，故a 的取值范围为2a ≤.（2）可知()()222ln 1ln g x x x x a a x x x x ax x a =++-+-=--+，所以()ln 2g x x ax '=-，因为()g x 有两极值点12,x x ，所以1122ln 2,ln 2x ax x ax ==，欲证2312x x e ⋅>，等价于要证：()2312ln ln 3x x e ⋅>=，即12ln 2ln 3x x +>，所以12322ax ax +>，因为120x x <<，所以原式等价于要证明：12324a x x >+，① 由1122ln 2,ln 2x ax x ax ==，可得()2211ln2x a x x x =-，则有2121ln2x x a x x =-（），② 由①②原式等价于要证明：212112ln 32x x x x x x >-+，即证()2211221121313ln 212x x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭>=++， 令21x t x =，则1t >，上式等价于要证()31ln 12t t t->+， 令()()31ln 12t h t t t-=-+，则()()()()()()()223126114111212t t t t h t t t t t +----=-=++' 因为1t >，所以()0h t '>，所以()h t 在()1,+∞上单调递增， 因此当1t >时，()()10h t h >=，即()31ln 12t t t->+.所以原不等式成立，即2312x x e ⋅>.点睛：本题考查了函数的单调性，考查导数的应用以及不等式的证明，属难题．。
