上海市七宝中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题

七宝中学2019-2020学年度第二学期高二年级期中考数学试卷（时间：120分钟；满分：150分）2020.5一、填空题（1-6题每小题4分，7-12每小题5分，共54分）1.若直线,a b 均平行于平面α,那么a 与b 位置关系是__________；2.若1121101211(21)x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+，则2202101311()()a a a a a a ++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+=___3.某学生在上学的路上要经过三个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13,则这名学生在上学的路上到第三个路口时第一次遇到红灯的概率为____4.在0120的二面角内有一点P ,P 到二面角的两个半平面的距离分别为1米和3米，则P 到该二面角棱的距离为__________5.若12232113C +3C ++3C 385n n n n n n n C ---+⋅⋅⋅+=,则n =__________6.7271除以100的余数是__________7.甲、乙、丙、丁四位同学各自在五一5天小长假里选择连续两天旅游，则至少有两位同学选择时间相同的概率为__________8.设,a b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列四个命题：①若,a b a α⊥⊥,则//b α②若//,a ααβ⊥,则//a β③若,a βαβ⊥⊥,则//a α④若,,a b a b αβ⊥⊥⊥,则αβ⊥其中正确的命题序号是__________9.若y =+则y 的取值范围是__________10.从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员3人，组成5人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有__________种不同的选法。

（用数字作答）11.在5月6日返校体检中，学号为(1,2,3,4,5)i i =的五位同学的体重增加量()f i 是集合{}1,1.5,2,2.5kg,3,3.5kg kg kg kg kg 中的元素，并满足f(1)≤f(2)≤f(3)≤f(4)≤f(5),则这五同学的体重增加量所有可能的情况有__________种12.设S 为一个非空有限集合，记S 为集合S 中元素的个数，若集合S 的两个子集,A B 满足：A B k =I 并且A B S =U ,则称子集{},A B 为集合的一个“k -覆盖”（其中0k S ≤≤.若S n =,则S 的“k -覆盖”个数为__________二、选择题（每小题5分，共20分）13.在一次数学测试中，高二某班40名学生成绩的平均分为82,方差为10.2,则下列四个数中不可能是该班数学成绩的是（)A.100 B.85 C.65 D.5514.在正方体1111ABCD A B C D -中与1AD 成060角的面对角线的条数是（)A.4条 B.6条 C.8条 D.10条15.电子钟－－天显示的时间是从00:00到23:59,每一时刻都由4个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为22的概率为（)A.1240 B.1160 C.11440 D.118016.四棱锥P ABCD -底面为正方形，侧面PAD 为等边三角形，且侧面PAD ⊥底面ABCD ,点M 在底面正方形ABCD 内运动，且满足MP MC =,则点M 在正方形ABCD 内的轨迹一定是（)三、解答题（12分＋14分＋16分＋16分＋18分，共76分）17.若n 展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列。

七宝中学高二期中数学试卷一.填空题1.若直线a 、b 均平行于平面α，那么a 与b 位置关系是________ 【答案】相交、平行、异面 【解析】 【分析】依据题意画出图形，即可判断．【详解】解：由题意可知：直线//a 平面α，直线//b 平面α，则a 与b 的位置关系是：图1是相交；图2是平行；图3是异面直线．故答案为：相交、平行、异面【点睛】本题考查空间直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，考查空间想象能力．2.若1121101211(21)x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+，则2202101311()()a a a a a a ++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+=________【答案】177147- 【解析】 【分析】利用赋值法求二项式展开式系数和，令1x =则，可得01211a a a a +++⋅⋅⋅+的值，令1x =-则，可得01231011a a a a a a -+-+⋅⋅⋅+-的值，从而得解；【详解】解：因为1121101211(21)x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+ 令1x =得11012113a a a a +++⋅⋅⋅+=，令1x =-得()110123101111a a a a a a -+-+⋅⋅⋅+-=-=-则2202101311()()a a a a a a ++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+[][]0210131102101311()()()()a a a a a a a a a a a a =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+⋅++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+()1131=⨯-177147=-故答案为：177147-【点睛】本题考查利用赋值法求二项式展开式的系数和的问题，属于中档题.3.某学生在上学的路上要经过三个路过，假设在各路口是否遇到红绿灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，则这名学生在上学的路上到第三个路口时第一次遇到红灯的概率为______ 【答案】427【解析】 【分析】依题意，在各路口是否遇到红绿灯是相互独立的，要使这名学生在上学的路上到第三个路口时第一次遇到红灯，即前两个路口遇到的都不是红灯，第三个路口恰是红灯，根据相互独立事件同时发生的概率公式计算可得；【详解】解：依题意，在各路口是否遇到红绿灯是相互独立的，要使这名学生在上学的路上到第三个路口时第一次遇到红灯，即前两个路口遇到的都不是红灯，第三个路口恰是红灯，根据相互独立事件同时发生的概率公式可得11141133327P ⎛⎫⎛⎫=-⋅-⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故答案为：427【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率公式的应用，属于基础题.4.在120°的二面角内有一点P ，P 到二面角的两个半平面的距离分别为1米和3米，则P 到该二面角棱的距离为________【解析】 【分析】设垂足分别为C ，B ，先计算CB 的长，再利用PCB 外接圆的直径为P 到棱的距离，即可求得结论．【详解】由题意，设垂足分别为C ，B ，则在PCB ∆中，1PC =，3PB =，60CPB ，219213cos 7CB CPB =+-⨯⨯⨯∠= 7CB ∴=设P 到棱的距离为l ，则221sin120CB l ==︒ 故答案为：221【点睛】本题考查点线距离的计算，解题的关键是正确运用余弦定理，正弦定理，属于中档题．5.若1223211333385n n n n n n n C C C C ---+++++=，则n 的值为 ．【答案】4 【解析】 【分析】由题意可得 1+3∁n 1+32∁n 2+33∁n 3+…+3n ﹣1∁n n ﹣1+3n ＝3×85+1，再利用二项式定理解方程求得n 的值． 【详解】解：由题意可得3[∁n 1+3∁n 2+32∁n 3+…+3n ﹣2∁n n ﹣1+3n ﹣1 ]＝3×85， ∴1+3∁n 1+32∁n 2+33∁n 3+…+3n ﹣1∁n n ﹣1+3n ＝3×85+1， 即（1+3）n＝3×85+1＝256，∴n ＝4， 故答案为4．【点睛】本题考查组合数公式，二项式定理，得到即（1+3）n ＝3×85+1，是解题的关键，属于基础题．6.7271除以100的余数是________ 【答案】41 【解析】 【分析】利用二项式定理化简()727271701=+，求出展开式的后2项，即可得到7271除以100的余数；【详解】解：()727217172727270727127270170177070C C C C +==++++21072701()m m N =+⨯+∈ 2105041m =+即7271除以100的余数为41． 故答案为：41．【点睛】本题考查二项式定理的应用，注意二项式定理的展开式的后2项，属于基础题． 7.甲、乙、丙、丁四位同学各自在五一5天小长假里选择连续两天旅游，则至少有两位同学选择时间相同的概率为________ 【答案】2932【解析】 【分析】依题意，本题实际为甲、乙、丙、丁四位同学在前4天随机选一天出发外出旅游，首先求出基本事件总数，至少有两位同学选择时间相同，其对立事件为四位同学的出发时间都不相同，求出四位同学的出发时间都不相同的事件数，最后根据古典概型的概率公式计算可得； 【详解】解：依题意可知，甲、乙、丙、丁四位同学在前4天随机选一天出发外出旅游， 则共有4444256⨯⨯⨯=（种），至少有两位同学选择时间相同，其对立事件为四位同学的出发时间都不相同，而四位同学的出发时间都不相同有4424A =（种），故至少有两位同学选择时间相同的概率2429125632P =-= 故答案为：2932【点睛】本题考查古典概型的概率计算，对立事件的概率公式的应用，属于基础题. 8.设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题： ①若a b ⊥，a α⊥，则b ∥α②若a ∥α，αβ⊥，则a β⊥③若a β⊥，αβ⊥，则a ∥α④若a b ⊥，a α⊥，b β⊥，则αβ⊥ 其中正确的命题序号是________【答案】④ 【解析】 【分析】根据题意，结合线面垂直、面面垂直的有关性质、判定定理可得①可能b α⊂；②只有a 与α，β的交线垂直，才能够推出a β⊥；③a 可能在平面α内；根据两个平面的法线所成角与两平面所成角相等或互补，可证出④是真命题．由此即可得到本题答案．【详解】解：对于①，根据a b ⊥，a α⊥，则//b α或b α⊂，不一定得出//b α，由此可得①不正确；对于②，若//a α，αβ⊥，则//a β或a β⊂，或a 与β相交，故②是假命题； 对于③，a β⊥，αβ⊥，则//a α或a α⊂，不一定得出//a α，由此可得③不正确； 对于④，由a α⊥且b β⊥，可得直线a 、b 所成角或其补角等于平面α、β所成角， 又因为a b ⊥，可得直线a 、b 所成角等于90︒，由此可得αβ⊥，所以④是真命题 综上所述，可得正确命题的序号为④ 故答案为：④【点睛】本题给出关于空间位置关系的几个命题，要我们找出其中的真命题．着重考查了直线与平面平行、垂直的判定与性质，以及面面平行、面面垂直的判定与性质等知识，属于基础题．9.若y =y 的取值范围是________【答案】 【解析】 【分析】首先求出x 的取值范围，令242sin x t =+，0,2t π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦将函数转化为三角函数，再根据三角恒等变换及三角函数的性质计算可得；【详解】解：因为y =所以401830x x -≥⎧⎨-≥⎩解得46x ≤≤，令242sin x t =+，0,2t π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则y t t ==+3t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以3y t π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 因为0,2t π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以5,336t πππ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以1sin ,132t π⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦所以y ∈故答案为：【点睛】本题考查函数的值域的计算，换元法的应用，三角函数及三角恒等变换公式的应用，属于中档题.10.从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员3人，组成5人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法（用数字作答） 【答案】1000 【解析】 【分析】根据题意，分为1女4男和2女3男，再利用排列、组合求解每类的种数，结合计数原理，即可求解.【详解】由题意，可分为两类：第一类：先选1女4男，有142630C C =种，再在这5人中选2人作为队长和副队长有2520A =种，所以共有3020600⨯=； 第二类：先选2女3男，有232620C C =种，再在这5人中选2人作为队长和副队长有2520A =种，所以共有2020400⨯=，根据分类计数原理，共有6004001000+=种不同的选法. 故答案为：1000【点睛】本题主要考查了分类计数原理和分步计数原理，以及排列、组合的综合应用，其中解答中认真审题，合理分类，结合排列、组合的知识求得每类的种数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.11.在5月6日返校体检中，学号为i （1,2,3,4,5i =）的五位同学的体重增加量()f i 是集合{1,1.5,2,2.5,3,3.5}kg kg kg kg kg kg 中的元素，并满足(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f ≤≤≤≤，则这五位同学的体重增加量所有可能的情况有________种 【答案】252 【解析】 【分析】按照五位同学的体重增加量数字的个数分五种情况讨论得解.【详解】当五位同学的体重增加量是1个数字时，有166C =种情况；当五位同学的体重增加量是2个不同数字时，有124660C C =种情况（类似隔板法，把五个同学按照1,2,3,4,5的顺序排好，他们之间有4个空，从4个空里选1个空放隔板把他们分隔成两个部分，有14C 种方法，再从6个体重增加量的集合里选两个数给他们，有26C 种方法，即此时有124660C C =种方法，下面操作方法都相同.）；当五位同学的体重增加量是3个不同数字时，有2346120C C =种情况； 当五位同学的体重增加量是4个不同数字时，有324660C C =种情况；当五位同学的体重增加量是5个不同数字时，有566C =种情况.所以共有6+60+120+60+6=252种不同的方法. 故答案为：252【点睛】本题主要考查排列组合的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.设S 为一个非空有限集合，记||S 为集合S 中元素的个数，若集合S 的两个子集A 、B 满足：||AB k =并且A B S =，则称子集{,}A B 为集合S 的一个“k —覆盖”（其中0||k S ≤≤），若||S n =，则S 的“k —覆盖”个数为________【答案】2k n k n C -⋅【解析】【分析】 当||AB k =时，共有k nC 种情况，当A B S =时，共有2n k -种情况，由此可计算得到答案.【详解】由题意，当||A B k =时，即A B 中有k 个元素，所以共有kn C 种情况，此时集合S 中剩下n k -个元素，其子集个数为2n k -个， 即AB S =共有2n k -种情况，所以S 的“k —覆盖”个数为2k n kn C -⋅. 故答案为：2k n kn C -⋅【点睛】本题主要考查组合数的应用和集合子集个数的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题. 二.选择题13.在一次数学测试中，高二某班40名学生成绩的平均分为82，方差为10.2，则下列四个数中不可能是该班数学成绩的是（ ） A. 100 B. 85 C. 65 D. 55【答案】D 【解析】 【分析】可检验与平均数差最大的数，计算2()x x -，看是否满足题意，即可求得答案.详解】方差()22110.2nii x x s n=-==∑，40n =∴()402110.240408i i x x =-=⨯=∑若存在55x =，则()402221()(8255)729408i i x x x x =-=-=>=-∑导致方差必然大于10.2，不符合题意.∴55不可能是该班数学成绩故选：D.【点睛】本题考查平均数、方差的相关运算，解题关键是掌握方差的计算公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.14.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中与AD 1成600角的面对角线的条数是 ( ) A. 4条 B. 6条C. 8条D. 10条【答案】B 【解析】试题分析：12条对角线中与之平行的1BC ,与之垂直的11,A D B C ，其余的所成角为60 考点：两直线所成角点评：两直线所成角包括相交角和异面角15.电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都由4个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为22的概率为（ ） A.1240B.1160C.71440D.1180【答案】B 【解析】 【分析】电子钟一天显示的时间共有1440种,显示的四个数字之和为22的有9种,再结合古典概型概率公式求解即可.【详解】解: 电子钟一天显示的时间共有24601440⨯=种,显示的四个数字之和为22的有08：59，17：59，09：49，18：49，09：58，18：58，19：39，19：48，19：57共9种,即一天中任一时刻显示的四个数字之和为22的概率为911440160=， 故选:B.【点睛】本题考查了古典概型概率公式，重点考查了阅读能力，属基础题.16.四棱锥P ABCD -底面为正方形，侧面PAD 为等边三角形，且侧面PAD ⊥底面ABCD ，点M 在底面正方形ABCD 内运动，且满足MP MC =，则点M 在正方形ABCD 内的轨迹一定是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】先找出符合条件的特殊位置，然后根据符合条件的轨迹为线段PC 的垂直平分面与平面AC 的交线，即可求得点M 的轨迹.【详解】根据题意，可知PD DC =，则点D 符合“点M 在正方形ABCD 内的一个动点”， 且满足MP MC =，设AB 的中点为E ，根据题目条件可知PAE ∆和CBE ∆全等，所以PE CE =，点E 也符合“点M 在正方形ABCD 内的一个动点，且满足MP MC =”， 故动点M 的轨迹肯定过点D 和点E ，而到点P 到点C 的距离相等的点为线段PC 的垂直平分面， 线段PC 的垂直平分面与平面AC 的交线是一直线， 所以M 的轨迹为线段DE . 故选：A .【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的性质，以及平面的基本性质等知识的应用，同时考查了空间想象能力，以及推理能力. 三.解答题17.若66nx x ⎛+ ⎪⎝⎭ 展开式中第2,3,4项的二项式系数成等差数列． (1)求n 的值．(2)此展开式中是否有常数项？为什么？ 【答案】（1）7；（2）无常数项 【解析】试题分析：（1）根据题设条件可得132=2n n n C C C +，解方程即可求得n 的值；（2）先写出二项展开式的通项，然后令x 的次方为0，求出k 即可判断. 试题解析：(1)26616()()n kkn kk kk nn T C x C x x--+=⋅⋅=⋅.由题意可知132=2n n n C C C +，即29140n n -+=，解得2n =(舍)或7n =.∴7n = (2)由(1)知72617k k k T C x-+=⋅.当7206k -=时，72k =，由于k N *∉，所以此展开式中无常数项． 18.已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是AB 、PC 的中点.（1）求证：EF ∥平面PAD ；（2）若45PDA ∠=︒，求EF 与平面ABCD 所成的角的大小. 【答案】（1）证明见解析；（2）45°. 【解析】 【分析】（1）取PD 中点G ，连接AG 、FG ，利用三角形中位线定理，我们易判断四边形AEFG 是平行四边形，//AG EF ，进而结合线面平行的判定定理，我们易得到//EF 平面PAD ； （2）过G 作GH AD ⊥，垂足为H ，则可得GAH ∠为AG 与平面ABCD 所成的角，即为所求角．【详解】（1）证明：取PD 中点G ，连接AG 、FG ， 因为EF 分别为AB 、PC 的中点， 所以12AE AB =，//GF DC 且12GF DC =， 又在矩形ABCD 中//AB CD 且AB CD =， 所以//AE GF 且AE GF =， 所以四边形AEFG是平行四边形，所以//AG EF 且AG EF =又AG ⊂平面PAD ，EF ⊂/平面PAD ． 所以//EF 平面PAD ； （2）解：//AG EF ，AG ∴与平面ABCD 所成的角等于EF 与平面ABCD 所成的角过G 作GH AD ⊥，垂足为H ，则//GH PAPA ⊥平面ABCD ，GH ∴⊥平面ABCD ，GAH ∴∠为AG 与平面ABCD 所成的角，即为所求角， 45PDA ∠=︒，G 为PD 的中点 45GAH ∴∠=︒即EF 与平面ABCD 所成的角为45︒．【点睛】本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，考查线面角，熟练掌握判定定理内容、正确找出线面角是关键.19.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90ABC ∠=︒，AB a ，3AD a =，且25arcsinADC ∠=，又PA ⊥平面ABCD ，AP a =.求：（1）二面角P CD A --的大小（用反三角函数表示）； （2）点A 到平面PBC 的距离. 【答案】（1）5；（22. 【解析】 【分析】（1）过A 作AE CD ⊥，连接PE ，根据PA ⊥平面ABCD ，得到PA CD ⊥，由线面垂直判定定理得到CD ⊥平面PAE ，从而PEA ∠二面角P CD A --的平面角，然后根据25arcsin5ADC ∠=求得AE ，再利用tan AP PEA AE ∠=求解.（2）过A 作⊥AF PB ，根据90ABC ∠=︒，得到AB CB ⊥，易得PA BC ⊥，从而得到BC ⊥平面PAE ，由面面垂直的判定定理可得PAB ⊥平面PBC ，得到AF ⊥平面PBC ，即AF 为点A 到平面PBC 的距离，然后在Rt PAB 中求解. 【详解】（1）如图所示：过A 作AE CD ⊥，连接PE ，因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD 所以PA CD ⊥，又PA AE A =所以CD ⊥平面PAE ，所以PEA ∠二面角P CD A --的平面角， 因为25ADC ∠= 所以65sin 5AE AD ADC =⨯∠=， 所以5tan AP PEA AE ∠==所以5arctanPEA ∠=， 即二面角P CD A --的大小5. （2）如图所示：过A 作⊥AF PB ， 因为90ABC ∠=︒， 所以AB CB ⊥因为PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD 所以PA BC ⊥，又PAAB A =所以BC ⊥平面PAE ，又BC ⊂平面PBC ，所以PAB ⊥平面PBC ，又平面PAB ⋂平面PBC PB =， 所以AF ⊥平面PBC ，所以AF 为点A 到平面PBC 的距离， 在Rt PAB 中，222PA AB AF a PB a⨯===. 所以点A 到平面PBC 的距离为22a . 【点睛】本题主要考查二面角的求法以及点到直线的距离，还考查了转化化归的思想和逻辑推理，运算求解的能力，属于中档题.20.是否存在等差数列{}n a ，使012112312n n n n n n n a C a C a C a C n +++++⋅⋅⋅+=⋅对任意n *∈N 都成立？若存在，求出数列{}n a 的通项公式；若不存在，请说明理由. 【答案】存在，44n a n =-. 【解析】 【分析】假设存在等差数列1(1)n a a n d=+-，满足题意，通过对012112312n n n n n n n a C a C a C a C n +-+++⋅⋅⋅+=⋅整理，找出10a =，4d =，即可说明存在数列，求出数列{}n a 的通项公式即可．【详解】证明：假设存在等差数列1(1)n a a n d =+- 满足要求012123121101()(2)n n n n n n n n n n n n n n a C C C d C C n a C a C C a C C a ++++⋅=++⋯++++⋯+⋅⋅+0111111112()22n n n n n n n a nd C C C a nd -----=+++⋯+=+ 依题意111222n n n a nd n -++=，1(2)02da n +⋅-=对*n N ∈恒成立， 10a ∴=，4d =，所求的等差数列存在，其通项公式为44n a n =-．【点睛】本题考查数列的存在性问题，数列求和，数列的应用，以及二项式定理的应用，是难度较大题目．21.规定(1)(1)!mx x x x m C m -⋅⋅⋅-+=，其中x ∈R ，m 是正整数，且01x C =，这是组合数mnC （n 、m 是正整数，且m n ≤）的一种推广.（1）求412C -的值；（2）设0x >，当x 为何值时，313()xx C C 取得最小值？（3）组合数的两个性质：①m n m n n C C -=.②11m m m n n n C C C -++=.是否都能推广到mx C （x ∈R ，m 是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由.【答案】（1）4121365C -=；（2）当43x =时，313()x x C C 取得最小值（3）性质①不能推广，详见解析；性质②能推广，它的推广形式为11m m mx x x C C C -++=（x ∈R ，m 是正整数），证明见解析； 【解析】 【分析】（1）由题意可得241(12)(13)(14)(15)4!C -----=，运算求得结果．（2）根据13323(1)(2)1131[()]()64163x x C x x x C x x --==--，再利用二次函数的性质求得式子的最小值．（3）性质①不能推广，通过举反例可知．性质②能推广，它的推广形式是11m m mx x x C C C -++=，x ∈R ，m 是正整数．根据题中的规定化简运算可以证得．【详解】（1）由题意可得241(12)(13)(14)(15)13654!C -----==．（2）13323(1)(2)1131[()]()64163x x C x x x C x x --==--， 0x，故当134x =，即43x =时，313()x x C C 取得最小值。

2019-2020学年上海市闵行区七宝中学高二下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共12.0分）1.若复数z=a+i1−2i(a∈R,i是虚数单位)是纯虚数，则|a+2i|等于()A. 2B. 2√2C. 4D. 82.条件p：π4<α<π2，条件q：f(x)=log tanαx在(0,+∞)是增函数，则p是q的()A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件3.在三棱锥中，，是等腰直角三角形，，为中点.则与平面所成的角等于()A. B. C. D.4.如图，长方体ABCD−A1B1C1D1中，AD=CD=1，DD1=2，则直线DB1与直线BC1所成角的余弦值为()A. √3010B. √1010C. √7010D. 3√1010二、单空题（本大题共12小题，共36.0分）5.已知复数z1=3+4i，z2=t+i，，且z1⋅z2是实数，则实数t等于______．6.设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则|z2z1|=______ ．7.设复数z1=1+i，z2=−2+xi(x∈R)，若z1⋅z2∈R，则x的值等于______．8.如果我们把高和底面半径相等的圆锥称为“标准圆锥”，那么母线长为2√2的“标准圆锥”的体积为______ ．9.若z∈C，且|z+3+4i|≤2，则|z|的取值范围为____________．10.在复数集中分解因式：a4−b4=．11.在复平面内，三点A，B，C分别对应复数z A，z B，z C，若z B−z Az C−z A =1+43i，则△ABC的三边长之比为______．12.若2cos2x=1，则x=______13.已知正三棱柱ABC−A1B1C1的底面边长与侧棱长相等．蚂蚁甲从A点沿表面经过棱BB1，CC1爬到点A1，蚂蚁乙从B点沿表面经过棱CC1爬到点A1.如图，设∠PAB=α，∠QBC=β，若两只蚂蚁各自爬过的路程最短，则α+β=______ ．14.如图，长方体ABCD−A1B1C1D1的棱AB=3，AD=AA1=2，E点在棱D1C1上，且D1E=13D1C1，则直线AE与DB1所成角的余弦值为______．15.给出下列命题：①如果，是两条直线，且//，那么平行于经过的任何平面；②如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面；③若直线，是异面直线，直线，是异面直线，则直线，也是异面直线；④已知平面⊥平面，且∩=，若⊥，则⊥平面；⑤已知直线⊥平面，直线在平面内，//，则⊥．其中正确命题的序号是．16.如图，一个立方体的六个面上分别标有字母A、B、C、D、E、F，如图是此立方体的两种不同放置，则与D面相对的面上的字母是______ ．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.计算下列问题：18.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AB⊥BC，AA1=AB=BC=2．(Ⅰ)求证：BC1⊥平面A1B1C；(Ⅱ)求异面直线B1C与A1B所成角的大小；=λ(λ∈(0,1)，点N在线段A1B上，(Ⅲ)点M在线段B1C上，且B1MB1C的值(用含λ的代数式表示)．若MN//平面A1ACC1，求A1NA1B19.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD．(1)求证：AB⊥平面PAD；(2)求直线PC与底面ABCD所成角的余弦值．20.已知多面体ABCDE中，DE⊥平面ACD，AB//DE，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，M为CD的中点．(1)求证：AM//平面BCE；(2)求证：AM⊥平面CDE；(3)求直线BD与平面BCE所成角的正弦值．21.在区间D上，如果函数f(x)为增函数，而函数f(x)为减函数，则称函数f(x)为“弱增函数”.已x．知函数f(x)=1−1+x(1)判断函数f(x)在区间(0,1]上是否为“弱增函数”；|x1−x2|；(2)设x1，x2∈[0,+∞)，且x1≠x2，证明：|f(x2)−f(x1)|<12≤1−bx恒成立，求实数a，b的取值范围．(3)当x∈[0,1]时，不等式1−ax≤√1+x【答案与解析】1.答案：B解析：先用复数的乘除运算将z计算化简，根据纯虚数的概念求出a，再代入|a+2i|计算即可．本题考查了复数代数形式的混合运算，纯虚数的概念、复数的模．考查的均为复数中基本的运算与概念．解：z=a+i1−2i =(a+i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=a−2+(2a+1)i5.根据纯虚数的概念得出{2a+1≠0a−2=0∴a=2．∴|a+2i|=|2+2i|=√22+22=2√2故选B．2.答案：B解析：解：∵π4<α<π2，∴1<tanα，∴f(x)=log tanαx在(0,+∞)是增函数，∴p是q的充分条件；而f(x)=log tanαx在(0,+∞)是增函数，必有tanα>1，解得α∈(kπ+π4,kπ+π2)(k∈Z)，由q不是p的充分条件．综上可知：p是q的充分不必要条件．故选B．由π4<α<π2，可得1<tanα；而反之不成立．当a>1时，函数y=log a x在(0,+∞)是增函数．据此即可判断出答案．充分函数y=tanα、y=log a x的单调性及充分、必要条件的意义是解题的关键．3.答案：B解析：试题分析：先作PO⊥平面ABC，垂足为O，根据条件可证得点O为三角形ABC的外心，从而确定点O为AC的中点，然后证明BO是面PAC的垂线，从而得到∠BEO为BE与平面PAC所成的角，在直角三角形BOE中求解即可。

上海市七宝中学2019-2020学年高二数学9月月考试题（含解析）一.填空题1.若“0x <”是“x a <”的充分非必要条件，则实数a 的取值范围是________ 【答案】0a > 【解析】 【分析】“0x <”⇒ “x a <”,但是“x a <”⇏“0x <”，即可求解.【详解】“0x <”是“x a <”的充分非必要条件，故前者是后者的真子集，即可求得0a >。

【点睛】本题考查充分必要条件，是基础题2.函数0(2)()lg(3)1x f x x x -=-++的定义域是________【答案】(3,)+∞ 【解析】 【分析】结合对数的真数大于0，分母不为0以及0次幂底数不为0，即可求解。

【详解】解：3020310x x x x ->⎧⎪-≠⇒>⎨⎪+≠⎩，故原函数定义域为(3,)+∞.【点睛】本题考查定义域的求法，属于基础题。

3.已知向量(2,1)a =-r ，(3,4)b =r ，则向量a r 在向量b r方向上的投影为________【答案】25- 【解析】 【分析】a r 在向量b r方向上的投影为a b br r g r ，即可求解.【详解】向量a r 在向量b r方向上的投影为642cos ,55a b a b a a b a a b b-+<>====-r r r rr r r r g g g r r r g【点睛】a r 在向量b r 方向上的投影a b b r r g r ， b r 在向量a r 方向上的投影a b ar r g r ，可以直接使用，基础题。

4.已知点P是直线12PP 上一点，且1213PP PP =-uu u r uuu r ，若212P P PP λ=uuu r uuu r ，则实数λ=________【答案】23-【解析】 【分析】利用向量的三角形加法法则，即可求解。

2020-2021学年上海市闵行区七宝中学高二（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共12.0分）1. 在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为( )A.B.C.D.2. 参数方程{x =e t −e −ty =e t +e −t(t 为参数)表示的曲线是( ) A. 双曲线 B. 双曲线的下支 C. 双曲线的上支 D. 圆3. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，下列结论正确的是( )①向量AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角是60°； ②(A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=3A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2； ③A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=0；④正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的体积为|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |． A. ①③ B. ②③ C. ①②③ D. ①②④4. 两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放于棱长为1的正方体中，重合的底面与正方体的某一个图平行，各顶点均在正方体的表面上(如图)，该八面体的体积可能值有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 无数个二、单空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 已知n ∈N ∗，若C n 2=10，则n =______．6. 直线l ：{x =2ty =1−4t(t 为参数)的倾斜角为______． 7. 在狂欢节上，有六名同学想报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，每个项目都有人报名，则共有______种不同的报名方法． 8. 已知A(1,0，0)，B(2,3，1)，C(3,0，2)，则AB⃗⃗⃗⃗⃗ 在AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影为______． 9. 如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的平面图形OABC 的直观图，其中O′A′=6，O′C′=3，则原图形OABC 的面积为______．10. 已知a ⃗ ，b ⃗ ，c⃗ 是空间三个不共面的向量，下列各组向量中不共面的是______． ①l a ⃗ ，m b ⃗ ，n c ⃗ (lmn ≠0)；②a ⃗ +2b ⃗ ，2b ⃗ +3c ⃗ ，−9c ⃗ +3a ⃗ ；③a ⃗ +2b ⃗ ，b ⃗ +2c ⃗ ，c ⃗ +2a ⃗ ．11. 公元前3世纪，古希腊数学家阿基米德研究过自然数的平方和，并得到公式12+22+32+⋯+n 2=n(n+1)(2n+1)6.执行如图所示的程序，若输出的结果为6，则判断框中的实数k 的取值范围是______．12. 北纬30°线贯穿四大文明古国：是一条神秘而又奇特的纬线．在这条纬线附近有神秘的百慕大三角、著名的埃及金字塔、世界最高峰珠穆朗玛峰、长江等，沿地球北纬30°线前行，会发现许多奇妙且神秘的自然是观，在地球北纬30°圈上有A ，B 两地，它们的经度相差180°，A ，B 两地沿纬线圈的弧长与A ，B 两地的球面距离之比为______．13. 已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，且P 到B ，C ，D 三点的距离分别是√5，√17，√13，则P 到矩形对角线BD 的距离等于______．14. 已知a ∈(1,43)，若不等式组{x −y ≥02x +y ≤2y ≥0x +y ≤a表示的平面区域的面积为f(a)，则f(a)=______．15. 方程ay =b 2x 2+c 中的a ，b ，c ∈{−3,−2,0，1，2，3}，且a ，b ，c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有______条． 16. 小明在研究三棱锥的时候，发现下面一个真命题，在三棱锥A −BCD 中，已知∠BAC =α，∠CAD =β，∠DAB =γ(如图)，设二面角B −AC −D 的大小为θ，则cosθ=f(λ)−cosαcosβsinαsinβ，其中f(γ)是一个与γ有关的代数式，请写出符合条件的f(γ)=______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17. 如图，已知点P 在圆柱OO′的底面圆O 上，∠AOP =120°，圆O 的直径AB =4，圆柱的高OO′=3． (1)求圆柱的表面积和三棱锥A′−APB 的体积； (2)求点A 到平面A′PB 的距离．18. 2021年3月25日《人民日报》报道：“作为世界最大棉花消费国、第二大棉花生产国，我国2020−2021年度棉花产量约595万吨．其中，新疆棉产量520万吨，占国内总产量约87%.除了新疆，河南、河北、山东、湖北等也是我国的棉花主要产地．”某公司为响应国家扶贫号召，为某小型纺织工厂提供资金和技术的支持，并搭建销售平台．现该公司为该厂提供新疆棉2.5吨，河南棉12吨．该工厂打算生产两种不同类型的抱枕，A款抱枕需要新疆棉100g，河南棉300g，B款抱枕需要新疆棉50g，河南棉400g，且一个A款抱枕的利润为10元，一个B款抱枕的利润为8元．假设工厂所生产的抱枕可全部售出．(1)求工厂生产A款抱枕和B款抱枕各多少个时，可获得最大利润，最大利润是多少？(2)若工厂有两种销售方案可供选择，方案一：自行出售抱枕，则所获利润需上缴公司10%；方案二：由公司代售，则公司不分抱枕类型，让工厂每个抱枕获得8元的利润．请问该工厂选择哪种方案更划算？请说明理由．19.如图，从左到右有5个空格．(1)若向这5个格子填入0，1，2，3，4五个数，要求每个数都要用到，且第三个格子不能填0，则一共有多少不同的填法？(2)若给这5个空格涂上颜色，要求相邻格子不同色，现有红黄蓝3颜色可供使用，问一共有多少不同的涂法？(3)若向这5个格子放入7个不同的小球，要求每个格子里都有球，问有多少种不同的放法？20. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，∠ABC =∠BAD =π2，PA =AD =2，AB =BC =1.E 是PD 中点． (1)求直线CE 与平面ABCD 所成角的大小； (2)求平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值；(3)点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成的角最小时，求线段BQ 的长．21. 已知直线l ：{x =m +tcosαy =tsinα(t 为参数，α≠kπ，k ∈Z)经过椭圆C ：{x =3cosφy =√5sinφ(φ为参数)的左焦点F ． (1)求m 的值；(2)设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求|FA|⋅|FB|的最小值．(3)设△PQR 的三个顶点在椭圆C 上，求证，当O 是△PQR 的重心时，△PQR 的面积是定值．答案和解析1.【答案】D【解析】 【分析】本题考查简单空间图形的三视图，考查由三视图看出原几何图形，再得到余下的三视图，属于基础题．由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，根据组合体的结构特征，得到组合体的侧视图． 【解答】解：由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体， 是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成， ∴侧视图是一个中间有分界线的三角形， 故选：D ．2.【答案】C【解析】解：由{x =e t −e −ty =e t +e −t (t 为参数)， 两式平方作差可得，y 2−x 2=4， 又∵y =e t +e −t >0，∴参数方程{x =e t −e −t y =e t +e −t (t 为参数)表示的曲线是双曲线y 2−x 2=4的上支． 故选：C ．直接把两式平方作差消去参数t ，注意y 的范围，即可得到曲线的形状． 本题考查参数方程化普通方程，注意y 的范围是关键，是基础题．3.【答案】B【解析】解：如图，①连接AC ，D 1C ，则△AD 1C 为等边三角形，又A 1B//D 1C ，∴向量AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角是120°，不正确；②A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴(A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=3A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2，正确； ③A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，正确；④∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=0，而正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的体积V =(AB)3，因此不正确． 故选：B ．①连接AC ，D 1C ，可得△AD 1C 为等边三角形，即可判断出正误； ②利用A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用数量积运算性质即可判断出正误；③A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即可判断出正误；④利用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=0，进而判断出正误． 本题考查了正方体的性质、空间向量运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题4.【答案】D【解析】解：设ABCD 与正方体的截面四边形为A′B′C′D′，设AA′=x(0≤x ≤1)，则AB′=1−x ，|AD|2=x 2+(1−x)2=2(x −12)2+12 故S ABCD =|AD|2∈[12,1]V =13S ABCD ⋅ℎ⋅2=13S ABCD ∈[16,13].∴该八面体的体积可能值有无数个， 故选：D ．把正子体分成两个四棱锥，分别求两个四棱锥的体积，根据底面的范围，得到正子体的体积在一个取值范围中，不是一个定值，即可得出结论．本题主要考查求棱锥的体积，体现了转化的数学思想，属于中档题．5.【答案】5【解析】解：因为C n 2=10，所以n(n−1)2=10，解得n =5，n =−4(舍)．故答案为：5．直接利用组合数的计算公式求解即可．本题考查了组合数公式的应用，考查了运算能力，属于基础题．6.【答案】π−arctan2【解析】解：直线l ：{x =2ty =1−4t (t 为参数)转换为直角坐标方程为y =1−2x ，即y =−2x +1，故tanθ=−2，整理得θ=π−crctan2， 故答案为：π−arctan2．直接利用转换关系，在参数方程和直角坐标方程之间进行转换，最后利用直线的倾斜角和斜率之间的关系求出结果．本题考查的知识要点：参数方程和直角坐标方程之间的转换，直线的倾斜角和斜率之间的关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．7.【答案】120【解析】解：根据题意，要求每项限报一人，且每人至多参加一项， 则第一个项目有6种报名方法， 第二个项目有5种报名方法， 第三个项目有4种报名方法，则共有6×5×4=120种不同的报名方法； 故答案为：120．根据题意，依次分析每个项目的报名方法，由分步计数原理计算可得答案． 本题考查分步计数原理的应用，注意分步、分类计数原理的不同，属于基础题．8.【答案】√2【解析】解：因为A(1,0，0)，B(2,3，1)，C(3,0，2)， 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,3，1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，2)， 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2+0+2=4， |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√4+0+4=2√2，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影为|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosθ=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√2=√2． 故答案为：√2．根据空间向量的坐标表示与投影的定义，计算即可．本题考查了空间向量的坐标表示与投影的定义应用问题，是基础题．9.【答案】36√2【解析】解：矩形O′A′B′C′中，O′A′=6，O′C′=3， 所以矩形O′A′B′C′的面积为S′=O′A′⋅O′C′=6×3=18， 所以原平面图形OABC 的面积为S =2√2S′=2√2×18=36√2． 故答案为：36√2．求出直观图形的S′，再根据斜二测画法规则求出原平面图形的面积．本题考查了斜二测画法规则求出原平面图形和对应直观图的面积问题，是基础题．10.【答案】①②③【解析】解：对于①，∵a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 是空间三个不共面的向量， ∴l a ⃗ ，m b ⃗ ，n c ⃗ (lmn ≠0)是不共面的向量，故①正确； 对于②，a ⃗ +2b ⃗ ，2b ⃗ +3c ⃗ ，−9c⃗ +3a ⃗ ， 假设存在实数s ，t ，使得−9c ⃗ +3a ⃗ =s(a ⃗ +2b ⃗ )+t(2b ⃗ +3c ⃗ )=s a ⃗ +(2s +2t)b ⃗ +3t c ⃗ ， 则s =3，2s +3t =0，3t =−9，解得：s =3，t =−3，6−9=0，因此无解， ∴假设不成立，因此a ⃗ +2b ⃗ ，2b ⃗ +3c ⃗ ，−9c⃗ +3a ⃗ 不共面，故②正确． 对于③.假设存在实数s ，t ，使得a ⃗ +2b ⃗ =s(b ⃗ +2c ⃗ )+t(c ⃗ +2a ⃗ )=2t a ⃗ +b ⃗ +(2s +t)c ⃗ ， 则2t =1，1=2，2s +t =0，无解，∴假设不成立，因此a ⃗ +2b ⃗ ，b ⃗ +2c ⃗ ，c ⃗ +2a ⃗ 不共面，故③正确． 故答案为：①②③．利用向量共面定理即可判断出结论．本题考查了向量共面定理、方程组的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.【答案】(55,91]【解析】解：模拟程序的运行，可得当i=5时，S=1+22+32+42+52=55<k，继续循环，当i=6时，S=1+22+32+42+52+62=91≥k，退出循环，输出i的值为6，从而可得判断框中的实数k的取值范围是(55,91]．故答案为：(55,91]．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算S的值并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．12.【答案】l1：l2=3√3：4【解析】解：设地球半径为r，则北纬30°圈对应的小圆半径为rcos300=√32r，所以A，B两地沿纬线圈的弧长l1=√32πr，劣弧AB⏜在大圆内对应的圆心角为2π3，所以A，B两地的球面距离l2=23πr，故A，B两地沿纬线圈的弧长与A，B两地的球面距离之比为l1：l2=3√3：4．故答案为：l1：l2=3√3：4．设地球半径为r，则北纬30°圈对应的小圆半径为√32r，进而可得A，B两地沿纬线圈的弧长l1=√32πr，A，B两地的球面距离l2=23πr，由此可得A，B两地沿纬线圈的弧长与A，B两地的球面距离之比为l1：l2=3√3：4．本题考查维度，球面距离比，解题中需要理清思路，属于中档题．13.【答案】2【解析】解：设PA=x，AB=y，AD=z，因为PA⊥矩形ABCD所在平面，易得PA⊥AB，PA⊥AD，PA⊥BC，由BC⊥AB，AB∩PA=A可证BC⊥平面PAB，从而BC⊥PB，在Rt △PAB 中，PB =√x 2+y 2=√5，同理PD =√y 2+z 2=√13，PC =√x 2+y 2+z 2=√17， 解得x =1，y =2，z =2√3，所以PA =1，AB =2，AD =2√3， 所以PB =√5,PD =√13，BD =4，作AE ⊥BD 于E ，连接PE ， P 到矩形对角线BD 的距离为PE.AE =2×2√3√4+12=√3，所以PE =√1+3=2， 故答案为：2．设PA =x ，AB =y ，AD =z ，推出BC ⊥PB ，作AE ⊥BD 于E ，连接PE ，P 到矩形对角线BD 的距离为PE.转化求解P 到矩形对角线BD 的距离即可．本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，空间点、线、面距离的求法，是中档题．14.【答案】−34a 2+2a −23【解析】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知B(1,0)，联立{x −y =02x +y =2，解得A(23,23)，联立{x −y =0x +y =a，解得D(a 2,a 2)，联立{x +y =a2x +y =2，解得C(2−a,2a −2)． S △OAB =12×2×23=23，|AD|=√(23−a2)2+(23−a2)2=√2(23−a2)，|DC|=√(a2−2+a)2+(a2−2a +2)2=√2(2−32a)， S △ADC =12×2×(23−a2)×(2−32a)=34a 2−2a +43．∴f(a)=23−34a2+2a−43=−34a2+2a−23．由题意画出可行域，由两个三角形面积作差得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，考查运算求解能力，是中档题．15.【答案】62【解析】解：当方程表示抛物线时，有ab≠0，故该方程等价为y=b2a x+ca，①若c=0，从{−3,−2,1，2，3}，中任取2个数作为a，b的值，有A 52=20种不同的方法，当a一定，b的值互为相反数时，对应的抛物线相同，这样的抛物线共有4×3=12条，重复6条，此时满足条件的抛物线有20−6=14条．②当c≠0时，从{−3,−2,1，2，3}，中任取3个数作为a，b，c的值，有A 53=60种不同的方法，当a，c一定，b的值互为相反数时，对应的抛物线相同，这样的抛物线共有4A 32=24，重复12条，此时满足条件的抛物线有60−12=48条．综上满足条件的抛物线共有14+48=62条．故答案为：62．将方程转化为抛物线形式，然后利用排列组合的知识进行求解．本题主要考查排列组合知识，以及分类讨论思想，利用正难则反的思想是解决本题的关键．16.【答案】cosγ【解析】解：如图，在平面ABC内，作CB⊥AC于C，在平面ACD内作CD⊥AC于C，连接BD，则∠BCD为二面角B−AC−D的平面角，大小为θ，设AB=a，AD=b，则BC=asinα，CD=bsinβ，BD2=a2+b2−2abcosγ，∴在△BCD中，cosθ=a2sin2α+b2sin2β−a2−b2+2abcosγ2asinα⋅bsinβ=2abcosγ−a2cos2α−b2cos2β2absinαsinβ．在Rt△ACB中，AC=cosα，在Rt△ACD中，AC=bcosβ，∴a2cos2α=b2cos2β=AC2，∴a2cos2α+b2cos2β=2AC2=2abcosαcosβ，∴cosθ=2abcosγ−2abcosαcosβ2absinαsinβ=cosγ−cosαcosβsinαsinβ．∴f(γ)=cosγ．故答案为：cosγ．在平面ABC内，作CB⊥AC于C，在平面ACD内作CD⊥AC于C，连接BD，则∠BCD为二面角B−AC−D的平面角，大小为θ，设AB=a，AD=b，把BC，CD，BD用含有α，β，γ及a，b的代数式表示，利用余弦定理得答案．本题考查二面角的平面角的求法，考查三角形的解法，体现了数学转化思想方法，是中档题．17.【答案】解：(1)由已知可得，圆柱的底面半径r=2，又圆柱的高OO′=3，∴圆柱表面积：S=2πr2+2πrℎ=2π×4+2π×2×3=20π；∵AB为直径，∴∠APB=90°，在Rt△APB中，由∠AOP=120°⇒∠ABP=60°，则BP=2，AP=2√3，∴S△ABP=12×2×2√3=2√3，则V A′−APB=13S△APB×AA′=13×2√3×3=2√3；(2)设点A到平面A′PB的距离为h，由(1)知，BP=2，AP=2√3，则A′P=√32+(2√3)2=√21，由A′A⊥底面APB，AP⊥BP，可得BP⊥A′P，∴S△A′PB=12×2×√21=√21，又由(1)知，V A′−APB=2√3，由等体积法V A′−APB=V A−A′PB，得2√3=13×√21×ℎ，解得：ℎ=6√77．即点A到平面A′PB的距离为6√77．【解析】(1)直接由已知求得圆柱的表面积，求出三角形APB的面积，再由棱锥体积公式求三棱锥A′−APB的体积；(2)证明三角形A′PB为直角三角形，求其面积，再由等体积法求点A到平面A′PB的距离．本题考查圆柱表面积与棱锥体积的求法，训练了利用等体积法求点到平面的距离，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题．18.【答案】解：(1)设该工厂生产A 款抱枕x 个，B 款抱枕y 个时，获得的利润为z 元．则{100x +50y ≤2500000300x +400y ≤12000000x ≥0,y ≥0，即{2x +y ≤500003x +4y ≤120000x ≥0,y ≥0， 目标函数z =10x +8y ，(x,y ∈N)．由图可知，当直线z =10x +8y 经过点(16000,18000)时，z 取得最大值304000， 即该工厂生产A 款抱枕16000个，B 款抱枕18000时可获得最大利润，最大利润为304000元；(2)若工厂选择方案一，则其收益为304000×(1−10%)=273600元； 若工厂选择方案二，则工厂生产的抱枕越多越好，设其生产的抱枕个数为t ， 则t =x +y ，(x,y ∈N)，由(1)知即{2x +y ≤500003x +4y ≤120000x ≥0,y ≥0，由(1)图可知，当x =16000，y =18000时，t 取得最大值，此时工厂的收益为(16000+18000)×8=272000元，故选择方案一更划算．【解析】(1)设该工厂生产A 款抱枕x 个，B 款抱枕y 个时，获得的利润为z 元，由题意列出x ，y 所满足的不等式组，再由线性规划知识求解；(2)分别计算采用方案一与方案二工厂的收益，比较大小得结论．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：(1)根据题意，分2步进行分析：①、第三个格子不能填0，则0有4种选法；②、将其余的4个数字全排列，安排在其他四个格子中，有A 44种情况， 则一共有4A 44=96种不同的填法；(2)根据题意，第一个格子有3种颜色可选，即有3种情况，第二个格子与第一个格子的颜色不能相同，有2种颜色可选，即有2种情况， 同理可得：第三、四、五个格子都有2种情况，则五个格子共有3×2×2×2×2=48种不同的涂法； (3)根据题意，分2步进行分析： ①、将7个小球分成5组，有2种分法： 若分成2−2−1−1−1的5组，有C 72C 52A 22种分法，若分成3−1−1−1−1的5组，有C 73种分组方法，则有(C 72C 52A 22+C 73)种分组方法，②、将分好的5组全排列，对应5个空格，有A 55种情况， 则一共有(C 72C 52A 22+C 73)A 55=16800种放法．【解析】(1)根据题意，分2步进行分析：①、分析0，易得0有4种选法；②、将其余的4个数字全排列，安排在其他四个格子中，由分步计数原理计算可得答案， (2)根据题意，依次分析5个格子的涂色方法数目，由分步计数原理计算可得答案； (3)根据题意，分2步进行分析：①、将7个小球分成5组，有2种分法：即分成2−2−1−1−1的5组或分成3−1−1−1−1的5组，②、将分好的5组全排列，对应5个空格，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的实际应用，(3)要先分好5组，再对应放到5个格子中．20.【答案】解：(1)过E 作EF ⊥AD 交AD 于F ，连结CF ， 则∠ECF 即为直线CE 与平面ABCD 所成角．因为E 是PD 中点．PA =AD =2，所以EF =1，CF =1，所以∠ECF =π4，所以直线CE 与平面ABCD 所成角的大小为π4．(2)以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴、y 轴和z 轴， 则B(1,0，0)，C(1,1，0)，D(0,2，0)，P(0,0，2)，因为AD ⊥平面PAB ，所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面PAB 的一个法向量，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0)， 因为PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,−2),PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−2)，设平面PCD 的法向量n ⃗ =(x,y,z)，则n ⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 令y =1，解得z =1，x =1，所以n⃗ =(1,1,1)是平面PCD 的一个法向量， 设平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角为θ，则cosθ=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√33．所以平面PAB 与平面PCD 所成的锐二面角的余弦值为√33．(3)设直线CQ 与DP 所成的角为α，BP⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,2)， 设BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−λ,0,2λ),(0≤λ≤1)，又CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,0)， 则CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−λ,−1,2λ)， 又DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,2)，所以cosα=CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ||DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√10λ2+2， 设1+2λ=t ，t ∈[1,3]，则cos 2α=2t 25t 2−10t+9=29(1t −59)2+209≤910．当且仅当t =95，即λ=25时，|cosα|的最大值为3√1010，因为y =cosx 在(0,π2)上单调递减， 此时直线CQ 与DP 所成的角取得最小值， 因为BP =√5，所以BQ =25BP =2√55．【解析】(1)过E 作EF ⊥AD 交AD 于F ，连结CF ，∠ECF 即为直线CE 与平面ABCD 所成角．通过求解三角形推出结果．(2)以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴、y 轴和z 轴，说明AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面PAB 的一个法向量，求出平面PCD 的法向量，利用空间向量的数量积求解平面PAB 与平面PCD 所成的锐二面角的余弦值即可．(3)设直线CQ 与DP 所成的角为α，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,2)，设BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−λ,0,2λ),(0≤λ≤1)，求出CQ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−λ,−1,2λ)，利用空间向量的数量积求解余弦函数值的表达式，利用基本不等式转化求解最小值即可．本题考查直线与平面所成角，二面角的求法，直线与平面的位置关系的综合应用，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．21.【答案】解：(1)因为椭圆C ：{x =3cosφy =√5sinφ的普通方程为x 29+y 25=1，所以F(−2,0)．因为直线l ：{x =m +tcosαy =tsinα的普通方程为x =m +cotα⋅y ， 其中α≠kπ，k ∈Z.又直线过点F ， 所以m =−2．(2)将直线l 的参数方程{x =−2+tcosαy =tsinα代入椭圆C 的普通方程x 29+y 25=1中，整理得(5cos 2α+9sin 2α)t 2−20tcosα−25=0．设点A ，B 在直线参数方程中对应的参数分别为t 1，t 2， 则|FA|⋅|FB|=|t 1⋅t 2|=255cos 2α+9sin 2α=255+4sin 2α， 当sinα=±1时，|FA|⋅|FB|取得最小值为259．(3)法一：设P(3cosθ1,√5sinθ2),Q(3cosθ2,√5sinθ2),R(3cosθ3,√5sinθ3)，θ1，θ2，θ3∈[0,2π)，因为O 为△PQR 的重心，所以{cosθ1+cosθ2+cosθ3=0sinθ1+sinθ2+sinθ3=0，得{cos(θ1−θ2)=−12cos(θ2−θ3)=−12cos(θ1−θ3)=−12 所以S △PQR =3S △OPQ=3|12∣∣∣∣∣3cosθ1√5sinθ113cosθ2√5sinθ21001∣∣∣∣∣|=32|3√5sin(θ2−θ1)|=9√154． 法二：设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，R(x 3,y 3)，则有{x 1+x 2+x 3=0y 1+y 2+y 3=0⇒{x 3=−x 1−x 2y 3=−y 1−y 2，代入椭圆得10x 1x 2+18y 1y 2=−45， 所以(18y 1y 2)2=(45+10x 1x 2)2⇒x 12+x 22+x 1x 2=274S △PQR =3S △POQ =32|x 1y 2−x 2y 1|，所以S △PQR =√454(x 12+x 22+x 1x 2)=9√154【解析】(1)追截利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换； (2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．(3)利用三角形的面积公式和一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果． 本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，三角形的面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．。

七宝中学2019学年第二学期高二4月考试数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分）1.某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________． 【答案】分层抽样. 【解析】分析：由题可知满足分层抽样特点详解：由于从不同龄段客户中抽取，故采用分层抽样 故答案为分层抽样．点睛：本题主要考查简单随机抽样，属于基础题． 2.若事件E 与F 相互独立，且1()()4P E P F ==，则()P E F I 的值为_______（用最简分数表示）. 【答案】116【解析】 【分析】直接利用公式()=()()P E F P E P F I 计算即可.【详解】因为事件E 与F 相互独立，所以111()=()()4416P E F P E P F =⨯=I . 故答案为：116【点睛】本题考查独立事件同时发生的概率，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.3.12x⎛+ ⎝的二项式展开式中的常数项为________（用数值作答）.【答案】495 【解析】 【分析】由二项式定理可得12x⎛+ ⎝展开式的通项为3122112rr r T C x -+=，再令31202r -=得8r =，再代入通项计算即可.【详解】由已知，12x ⎛+ ⎝展开式的通项为31212211212r r r r r r T C x C x --+==，令31202r -=， 得8r =，所以常数项为812495C =.故答案为：495【点睛】本题考查求二项展开式中的特定项，考查学生的运算能力，是一道容易题.4.计算：103237n nn n C C -+++=________（用数值作答）【答案】46 【解析】 【分析】由已知，1001023037n n n n n -≥⎧⎪-≤+⎨⎪≤≤+⎩，解不等式组可得3n =，再代入原式计算即可.【详解】由已知，1001023037n n n n n -≥⎧⎪-≤+⎨⎪≤≤+⎩，解得7732n ≤≤，又n N ∈，所以3n =，所以10379237910361046nnn n C C C C -+++=+=+=. 故答案为：46【点睛】本题考查组合数公式的计算，要注意题目中隐含的条件，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.5.从总体中抽取6个样本：4，5，6，10，7，4，则总体方差的点估计值为________. 【答案】133【解析】 【分析】先算出6个样本数据的平均数，然后再利用方差公式计算即可. 【详解】6个样本的平均数456107466x +++++==，所以方差22222221[(46)(56)(66)(106)(76)(46)]6s =-+-+-+-+-+-261363==. 故答案为：133【点睛】本题主要考查方差的计算，考查学生的运算能力，是一道容易题.6.从正方体的6个面中取3个，其中有2个面不相邻的概率为________（用最简分数表示）. 【答案】35【解析】 【分析】利用间接法，先找到所取3个面都相邻的种数，并求出其概率，利用对立事件的概率计算公式计算即可. 【详解】从正方体的6个面中取3个共有36C 种不同结果，从8个顶点出发，3个面都相邻 共有8种不同结果，而其中有2个面不相邻的对立面是3个面都相邻， 故2个面不相邻的概率为3681231205C -==. 故答案为：35【点睛】本题考查古典概型的概率计算问题，正面情况较多可以考虑其对立事件，是一道容易题.7.直线1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数，t R ∈）与曲线2sin cos sin cos x y θθθθ=⎧⎨=-⎩（θ为参数，[0,2)θπ∈）的公共点的坐标为________. 【答案】()1,0 【解析】 【分析】直接利用参数方程与普通方程互化的方法分别得到直线与曲线的普通方程，解方程组即可.【详解】由15x y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去t ，得210x y --=①，2sin cos sin cos x y θθθθ=⎧⎨=-⎩消去参数θ，得21,(11)y x x =--≤≤②，由①②解得10x y =⎧⎨=⎩或32x y =-⎧⎨=-⎩（舍），所以公共点的坐标为()1,0. 故答案为：()1,0【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，涉及到解方程组，考查学生的计算能力，是一道容易题.8.在5(231)x y -+在展开式中，不含y 的所有项的系数和为________（用数值作答）. 【答案】243 【解析】 【分析】先将问题转化为5(21)x +各项的系数之和，再通过赋值法即可得到答案.【详解】5(231)x y -+=5(213)x y +-，其展开式的通项为515(21)(3)rrr r T C x y -+=+-，不含y 的项的系数和等于5(21)x +各项的系数之和，令1x =，得53243=. 故答案为：243【点睛】本题考查二项展开式的通项公式，考查学生的数学运算能力，本题可以直接令1,0x y ==得到答案，是一道中档题.9.从集合{}23|1,nM z z i i i i n N ==+++++∈L ________（用最简分数表示）. 【答案】13【解析】 【分析】先化简集合M ，再利用古典概型的概率计算公式计算即可.【详解】由已知，123111n ni z i i i i i+-=+++++=-L ，当4,n k k N =∈时，41411()111n n i i iz i i+--⋅===--；当41,n k k N =+∈时，424211()21111n n i i i z i i i i +--⋅====+---；当42,n k k N =+∈时，434311()1111n n i i i iz i i i i +--⋅+====---；当43,n k k N =+∈时，444111()011n n i i z i i++--===--；所以{}0,1,,1M i i =+，故从M 中任取2个元素相加有246C =种不同结果，{1,1}i +，{,1}i i +共2种不同结果，根据古典概型的概率计算公式可得所求的概率为2163=. 故答案为：13【点睛】本题考查古典概型的概率计算问题，涉及到复数的运算，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.10.已知袋中有()*82,n n n N+≥∈个大小相同的编号球，其中黄球8个，红球n 个，从中任取两个球，取出的两球是一黄一红的概率为n P ，则n P 的最大值为________（用最简分数表示）. 【答案】815【解析】 【分析】先求出11828165615n nn C C C n n P +⋅==++，只需求出56n n+的最小值即可，结合对勾函数的性质即可得到答案. 【详解】由已知，11822816161656(8)(7)155615n n n C C n n C n n n n n nP +⋅====++++++，又易知函数56y x x =+在上单调递减，在)+∞上单调递增，因为78<<， 所以56n n +的最小值应在7n =或8n =处取得，又5656781578+=+=， 所以min 56()15n n +=，118281616856301515n n n C C C n nP +⋅==≤=++. 故答案为：815【点睛】本题考查古典概型的概率计算问题，涉及到利用对勾函数的性质求函数的最值问题，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.11.已知关于x 的实系数方程2220x x +=-和2210x mx ++=的四个不同的根在复平面内对应的点共圆．则m 取值的集合是______. 【答案】3112m m m ⎧⎫-<<=-⎨⎬⎩⎭或【解析】【详解】易知方程2220x x -+=的两根为11x i =+，21x i =-.当2440m ∆=-<，即11m -<<时，方程2210x mx ++=有两个共轭的虚根34x x 、，且34x x 、的实部为1m -≠，此时，12x x 、对应的点在以34x x 、对应的点为直径端点的圆上，该圆的方程为()()2340x x x x y --+=，即()2234340x y x x x x x +-++=.将342x x m +=-，341x x =及12x x 、对应点的坐标()1,1±代入方程，得32m =-. 故m 的取值范围是3112m m m 或⎧⎫-<<=-⎨⎬⎩⎭.12.假设一个随机数发生器一次只能从1，2，3，…，9这九个数学中等可能地选一个数，则该随机数发生器完成了(1)n n >次选择后，选出的n 个数的乘积能被10整除的概率为________（用含n 的代数式示）.【答案】85419n n nn+-- 【解析】 【分析】由题意n 个数中，至少有一次选择了5，至少有一次选择了偶数2、4、6、8之一，设事件A 表示没有一次选择了5，事件B 表示没有一次选择了偶数，则所求概率是1()P A B -U ，再利用加法公式()()()()P A B P A P B P A B ⋃=+-⋂计算即可.【详解】为使选出的n 个数的乘积能被10整除，其中至少有一次选择了5，并且至少有一次选择了 偶数2、4、6、8之一，设事件A 表示没有一次选择了5，事件B 表示没有一次选择了偶数， 则所求概率是1()P A B -U ，从而1()1()()()P A B P A P B P A B -=--+U I8541()()()999n n n =--+=85419n n nn+--. 故答案为：85419n n nn+-- 【点睛】本题考查古典概型的概率计算以及概率的加法公式，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）13.若虚数1z ，2z 满足12=z z ，则“1z 与2z 互为共轭复数”是“12z z R ⋅∈”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 即不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】利用定义法判断即可.【详解】当1z 与2z 互为共轭复数，则12z z =，所以1221||z z z R =⋅∈， 令121,1z z ==-，满足12z z R ⋅∈，但1z 与2z 不互为共轭复数， 所以1z 与2z 互为共轭复数是12z z R ⋅∈的充分非必要条件. 故选：A【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，涉及到共轭复数的相关知识，考查学生的逻辑推理能力，是一道容易题.14.某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）A. 56B. 60C. 140D. 120【答案】C 【解析】【详解】试题分析：由题意得，自习时间不少于22.5小时的频率为(0.160.080.04) 2.50.7++⨯=，故自习时间不少于22.5小时的频率为0.7200140⨯=，故选C. 考点：频率分布直方图及其应用．15.某个比赛安排4名志愿者完成6项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式有多少种（ ） A. 7200种 B. 4800种 C. 2640种 D. 1560种【答案】D 【解析】 【分析】分两类，第一类，4人完成的工作数是3，1，1，1，第二类，4人完成的工作数是2，2，1，1，再将工作分组，进行分配即可. 【详解】由题意，分两类：第一类，当4人完成的工作数是3，1，1，1时，首先将6项工作分成4组，一组3项，另外三组各1项，共有3111632133C C C C A 种不同方式，再分配给4个人共311146321433480C C C C A A = 种不同方式；第二类，当4人完成的工作数是2，2，1，1时，首先将6项工作分成4组，两组2项，另外两组各1项，共有221164212222C C C C A A 种不同方式，再分配给4个人共221146421422221080C C C C A A A = 种不同方式；综上，共有1560种不同安排方式. 故选：D【点睛】本题考查排列与组合的综合应用问题，涉及到部分均匀分组问题，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.16.空间内有三条直线，其中任意两条都不共面但相互垂直，直线l 与这三条直线所成角皆为θ，则tan θ=（ ）A.B.C. 1D. 直线l 不存在【答案】B 【解析】 【分析】在正方体中，设,,AB a AD b AE c ===，直线l 为AC ，由已知，BAC EAC CAD θ∠=∠=∠=，可得a b c ==，从而tan tan BC BAC AB aθ=∠==，代入a b c ==即可得到答案. 【详解】由题意，可将问题放入长方体中研究，设,,AB a AD b AE c ===，直线l 为AC ，由已知，BAC EAC CAD θ∠=∠=∠=，易得AB ⊥平面BCF ,所以222cos AB BAC AC a b c∠==++，同理可得 222cos AE EAC AC a b c ∠==++，222cos AD CAD AC a b c∠==++， 所以222a b c =++222a b c ++222a b c =++，即a b c ==，所以22tan tan 2BC c b BAC AB aθ+=∠===.故选：B【点睛】本题考查求空间中直线所成的角，考查学生的空间想象能力、数学运算能力，是一道中档题.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17.从A ，B ，C 等8人中选出5人排成一排. （1）A 必须在内，有多少种排法？ （2）A ，B ，C 三人不全内，有多少种排法？（3）A ，B ，C 都在内，且A ，B 必须相邻，C 与A ，B 都不相邻，都多少种排法？ （4）A 不允许站排头和排尾，B 不允许站在中间（第三位），有多少种排法？ 【答案】（1）4200种；（2）5520；（3）240；（4）4440 【解析】 【分析】（1）只需从余下的7人中选4人出来排列即可； （2）采用间接法；（3）先从余下5人中选2人有25C 种不同结果，由于A ，B 必须相邻，C 与A ，B 都不相邻，利用捆绑法、插空法即可解决；（4）分所选的5人无A 、B ，有A 、无B ，无A 、有B ，有A 、B 四种情况讨论即可.【详解】（1）由题意，先从余下的7人中选4人共有47C 种不同结果，再将这4人与A 进行全排 列有55A 种不同的排法，故由乘法原理可知共有45754200C A =种不同排法；（2）从8人中任选5人排列共有58A 种不同排法，A ，B ，C 三人全在内有2555C A 种不同排 法，由间接法可得A ，B ，C 三人不全在内共有58A -25555520C A =种不同排法； （3）因A ，B ，C 都在内，所以只需从余下5人中选2人有25C 种不同结果，A ，B 必须 相邻，有22A 种不同排法，由于C 与A ，B 都不相邻，先将选出的2人进行全排列共有22A 种不同排法，再将A 、B 这个整体与C 插入到选出的2人所产生的3各空位中有23A 种不同 排法，由乘法原理可得共有22225223240C A A A =种不同排法； （4）分四类：第一类：所选的5人无A 、B ，共有56720A =种排法；第二类：所选的5人有A 、无B ，共有4146341080C C A =种排法； 第三类：所选的5人无A 、有B ，共有4146441440C C A =种排法； 第四类：所选5人有A 、B ，若A 排中间时，有3464C A 种排法，若A 不排中间时，有31136233C C C A 种排法，共有3411364233()1200C A C C A +=种排法； 综上，共有4440种不同排法.【点睛】本题考查排列与组合的综合应用，求排列与组合的应用题的主要方法有：1.优先法，2.捆绑法，3.插空法，4.间接法，5.先整体后局部，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.18.某工厂生产A ，B ，C 三种纪念品，每种纪念品均有普通型和精品型两种，某一天产量如下表（单位：个）：现采用分层抽样的方法在这一天生产的纪念品中抽取100个，其中有A 种纪念品40个.（1）若再用分层抽样的方法在所有B 种纪念品中抽取一个容量为13的样本.将该样本看成一个总体，从中任取2个纪念品，求至少有1个精品型纪念品的概率（用最简分数表示）；（2）从C 种精品型纪念品中抽取6个，其某种指标的数据分别如下：4，7，x ，y ，8，5.把这6个数据看作一个总体，其均值为7、方差为6，求x y -的值. 【答案】（1）1126；（2）【解析】 【分析】（1）先由抽样比算出n ，进一步得到13个样本中精品型的个数，再利用古典概型的概率计算公式计算即可；（2）利用平均数、方差可得18x y +=，22176x y +=，进一步得到2148xy =，代入x y -.【详解】（1）由已知，10040(800200)800200150500350n =+⨯+++++，解得500n =，B 种纪念品中抽取一个容量为13的样本中，精品型有131503150500⨯=+个， 从13个纪念品中任取2个有213C 中不同结果，无精品型有210C 种不同结果，所以至少有1个精品型纪念品的概率为210213151126C C -=-=1126. （2）由题意，1(4785)76x y +++++=，所以18x y +=， 又2222221[(47)(77)(7)(7)(87)(57)]66x y -+-+-+-+-+-=， 所以22(7)(7)22x y -+-=，即2214()9822176x y x y +=+-+=， 所以2222()()148xy x y x y =+-+=，故x y -=.【点睛】本题考查统计与概率的简单应用，涉及到分层抽样、平均数、方差的计算，考查学生的运算能力，是一道容易题.19.如图所示，某街道居委会拟在EF 地段的居民楼正南方向的空白地段AE 上建一个活动中心，其中30AE =米．活动中心东西走向，与居民楼平行. 从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD ，上部分是以DC 为直径的半圆. 为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE 不超过2.5米，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足3tan 4θ=.（1）若设计18AB =米，6AD =米，问能否保证上述采光要求？（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB 与AD 的长度，可使得活动中心的截面面积最大？（注：计算中π取3）【答案】（Ⅰ）能（Ⅱ）20AB =米且5AD =米 【解析】 【分析】 （1）以点A坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．设太阳光线所在直线方程为y=34x+b ，利用直线与圆相切，求出直线方程，令x=30，得EG=1.5米＜2.5米，即可得出结论；（2）欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG 恰为2.5米，即可求出截面面积最大. 【详解】解：如图，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．（1）因为AB ＝18米，AD ＝6米， 所以半圆的圆心为H (9,6)，半径r ＝9. 设太阳光线所在直线方程为y ＝－34x ＋b ， 即3x ＋4y －4b ＝02227+24-4b 3+4＝9，解得b ＝24或b ＝32(舍)． 故太阳光线所在直线方程为y ＝－34x ＋24, 令x ＝30，得EG ＝1.5＜2.5. 所以此时能保证上述采光要求． （2）设AD ＝h 米，AB ＝2r 米，则半圆的圆心为H(r，h)，半径为r.方法一设太阳光线所在直线方程为y＝－34x＋b，即3x＋4y－4b＝0，r，解得b＝h＋2r或b＝h－r2(舍)．故太阳光线所在直线方程为y＝－34x＋h＋2r，令x＝30，得EG＝2r＋h－452，由EG≤52，得h≤25－2r.所以S＝2rh＋12πr2＝2rh＋32×r2≤2r(25－2r)＋32×r2＝－52r2＋50r＝－52(r－10)2＋250≤250.当且仅当r＝10时取等号．所以当AB＝20米且AD＝5米时，可使得活动中心的截面面积最大．方法二欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG恰为2.5米，则此时点G为(30,2.5)，设过点G的上述太阳光线为l1，则l1所在直线方程为y－52＝－34(x－30)，即3x＋4y－100＝0.由直线l1与半圆H相切，得r＝3r+4h-1005.而点H(r，h)在直线l1的下方，则3r＋4h－100＜0，即r＝－3r+4h-1005，从而h＝25－2r.又S＝2rh＋12πr2＝2r(25－2r)＋32×r2＝－52r2＋50r＝－52(r－10)2＋250≤250.当且仅当r＝10时取等号．所以当AB＝20米且AD＝5米时，可使得活动中心的截面面积最大．【点睛】本题考查利用数学知识直线与圆的相切位置关系解决实际问题，考查二次函数配方法的运用和分析解决实际问题的能力，属于中档题．20.已知数列{}n a 的首项为1.记()12*12()knn n k n n n f n a C a C a C a C n N=++⋅⋅⋅+⋅⋅+∈+⋅.（1）若{}n a 为常数列，求(3)f 的值：（2）若{}n a 为公比为2的等比数列，求()f n 的解析式：（3）是否存在等差数列{}n a ，使得()1(1)2n f n n -=-对一切*n N ∈都成立？若存在，求出数列{}n a 的通项公式：若不存在，请说明理由.【答案】（1）(3)7f =（2）31()2n f n -=（3）存在等差数列{}n a 满足题意，21n a n =-【解析】 【分析】(1)根据常数列代入其值得解；(2)根据等比数列和用赋值法解决二项式展开式的相关问题求解；(3)对于开放性的问题先假设存在等差数列，再推出是否有恒成立的结论存在，从而得结论. 【详解】解：（1）∵{}n a 为常数列，∴()1n a n N +=∈.∴123333(3)7f C C C =++=（2）∵{}n a 为公比为2的等比数列，()12n n a n N -+=∈.∴1231()242n nn n n n f n C C C C -=+++L∴1223312()12222n nn n n n f n C C C C +=++++L(12)3n n +=故31()2n f n -=. （3）假设存在等差数列{}n a ，使得()1(1)2nf n n -=-对一切*n N ∈都成立，设公差为d ，则()12*12()k nn n k n n n f n a C a C a C a C n N=+++++∈L L1111()n n k n n n n k n n f n a C a C a C a C --=+++++L L相加得()()121112()2k n n n n n n n f n a a a C C C C --=++++++L L∴()11()222nn n a a f n a -+=+-()11(1)[2(2)]21n n d n d -=+-++--. ∴1()1(2)[2(2)]2(1)2n n f n d n d n --=-++-=-恒成立， 即1(2)(2)(2)20n d d n --+--=n ∈+N 恒成立，∴2d =故{}n a 能为等差数列，使得()1(1)2n f n n -=-对一切n ∈+N 都成立，它的通项公式为21n a n =- 【点睛】本题关键在于观察所求式子的特征运用二项式展开式中的赋值法的思想，属于难度题.21.已知点1F 、2F 为双曲线222:1y C x b-=(0)b >的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且1230MF F ∠=︒，圆O 的方程是222x y b +=. （1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P 、2P ，求12PP PP ⋅u u u v u u u v的值； （3）过圆O 上任意一点Q 作圆O 的切线l 交双曲线C 于A 、B 两点，AB 中点为M ，求证：||2||AB OM = 【答案】（1）2212y x -=；（2）1229PP PP ⋅=u u u r u u u r ；（3）详见解析. 【解析】 【分析】（1）222b MF b a==，根据1230MF F ∠=o可得21||2MF b =，利用双曲线的定义可得22b =从而得到双曲线的方程.（2）设点()00,P x y ，利用渐近线的斜率可以得到12,PP PP u u u v u u u v 夹角的余弦为13，利用点在双曲线上又可得12PP PP ⨯u u u v u u u v 为定值23，故可得12·PP PP u u u vu u u v 的值. （3）设1122(,),(,)A x y B x y ，切线l 的方程为:002x x y y +=，证明2AB OM =等价于证明OA OB ⊥，也就是证明 12120x x y y +=，联立切线方程和双曲线方程，消元后利用韦达定理可以证明12120x x y y +=.【详解】(1)设2,F M 的坐标分别为,0)y因为点M 在双曲线C 上,所以22021+1y b b-=,即20y b =±,所以22||MF b =，在21Rt MF F ∆中, 1230MF F ∠=o,22||MF b =,所以21||2MF b =， 由双曲线的定义可知: 212||||2MF MF b -==，故双曲线C 的方程为: 2212y x -=.(2)由条件可知:两条渐近线分别为10l y -=；20l y +=. 设双曲线C 上的点00(,)Q x y , 设1l 的倾斜角为θ，则tan θ=0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos θ=， 故21cos 22cos 13θθ=-=-， 所以12,PP PP u u u v u u u v的夹角为2πθ-，且()1cos 23πθ-=. 点Q到两条渐近线的距离分别为1||PP =，2||PP =.因为00(,)Q x y 在双曲线22:12y C x -=上,所以220022x y -= ，所以12PP PP ⋅=u u u r u u ur ()2200212cos 2339x y πθ--=⋅=. (3)由题意,即证: OA OB ⊥,设1122(,),(,)A x y B x y , 切线l 的方程为: 002x x y y +=.00y ≠时,切线l 的方程代入双曲线C 中,化简得:(222000(2)4y x x x x -+20(24)0y -+=，所以01222004(2)x x x y x +=--，20122200(24)(2)y x x y x +=--. 又01021200(2)(2)x x x x y y y y --=⋅012201[42()x x x y =-+220012220082]2x x x x y x -+=-， 所以1212OA OB x x y y ⋅=+u u u r u u u r 220022220000(24)82(2)2y x y x y x +-=-+--2200220042()02x y y x -+==-. 00y =时,易知上述结论也成立.所以12120OA OB x x y y ⋅=+=u u u r u u u r.综上, OA OB ⊥,所以||2||AB OM =u u u r u u u u r.【点睛】（1）过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线()222210.0x y a b a b -=>> 交于,A B ，则22b AB a=（通径）.（2）直线与圆锥曲线的位置关系，一般可通过联立方程组并消元得到关于x 或y 的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系式中含有1212,x x x x +或1212,y y y y +，最后利用韦达定理证明该关系式为恒等式.。

2018-2019学年上海市七宝中学高二下学期期中数学试题一、单选题1．设12,z z 是复数，则下列命题中的假命题是（） A.若120z z -=，则12z z = B.若12z z =，则12z z = C.若12z z =，则1122z z z z ⋅=⋅D.若12z z =，则2212z z =【答案】D【解析】试题分析：对（A ），若120z z -=，则12120,z z z z -==，所以为真；对（B ）若12z z =，则1z 和2z 互为共轭复数，所以12z z =为真；对（C ）设111222,z a b i z a b i =+=+，若12z z ==222211112222,z z a b z z a b ⋅=+⋅=+，所以1122z z z z ⋅=⋅为真；对（D ）若121,z z i ==，则12z z =为真，而22121,1z z ==-，所以2212z z =为假．故选D ．【考点】1.复数求模；2.命题的真假判断与应用．2．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m β”是“αβ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】试题分析：，得不到，因为可能相交，只要和的交线平行即可得到；，，∴和没有公共点，∴，即能得到；∴“”是“”的必要不充分条件．故选B ．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【方法点晴】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念，属于基础题；并得不到，根据面面平行的判定定理，只有内的两相交直线都平行于，而，并且，显然能得到，这样即可找出正确选项.3．如图，已知正四面体D ABC -中，P 、Q 、R 分别为AB 、BC 、CA 上的点，AP PB =，2BQ CRQC RA==，分别记二面角D PR Q --、D PQ R --、D QR P --的平面角为α、β、γ，则α、β、γ的大小关系为（ ）A.αβγ<<B.αγβ<<C.βαγ<<D.γαβ<<【答案】B【解析】设O 为正三角形ABC ，以点O 为坐标原点，OC 、OP 所在的直线分别为y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，设3OP =，利用空间向量法计算出α、β、γ的值，即可得出这三个角的大小关系. 【详解】设底面正ABC ∆的中心为点O ，以点O 为坐标原点，OC 、OP 所在的直线分别为y 轴、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系O xyz -.设3OP =，则()0,0,0O、()0,3,0P -、()0,6,0C -、(D 、)Q、()R -，()PR ∴=-uu r，(PD =uu u r，)PQ =uu u r，()2,0QR =--uu u r.设平面PDR 的法向量为(),,n x y z =，则00n PR n PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即3030y y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，取y =x =1z =-，可得()6,22,1n =-r，可取平面ABC 的法向量()0,0,1m =，则cos ,m n m n m n⋅==⋅u r ru r r u r r，取α=同理可得β=γ=，>>，因此，αγβ<<. 故选：B. 【点睛】本题考查二面角大小的比较，解题的关键就是建立空间直角坐标系求出二面角的大小，考查计算能力，属于中等题.二、填空题4．复数()()123i i -+的虚部为________. 【答案】5-【解析】利用复数的乘法法则将复数()()123i i -+表示为一般形式，可得出该复数的虚部. 【详解】()()212335255i i i i i -+=--=-Q ，因此，复数()()123i i -+的虚部为5-.故答案为：5-. 【点睛】本题考查复数的虚部的求解，考查复数的乘法运算，考查计算能力，属于基础题. 5．如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A 、B 对应的复数分别是1z 、2z ，则221z z =________.【答案】5【解析】先根据复数的几何题意得出复数1z 、2z ，并利用复数的乘方法则和除法法则求出复数221z z ，然后利用复数的模长公式求出221z z . 【详解】由图形可得点()0,1A 、()2,1B -，1z i ∴=，22z i =-，()222123443i zii z ii--∴===--， 因此，2215z z ==.故答案为：5. 【点睛】本题考查复数的模的计算，同时也考查了复数的几何意义与复数的乘方、除法运算，解题的关键就是将复数利用四则运算法则将复数表示为一般形式，考查计算能力，属于基础题.6．复数352019i i i i ++++=L ________. 【答案】0【解析】将352019i i i i ++++L 视为等比数列{}21n i -的前1010项和，利用等比数列的求和公式可计算出代数式的值. 【详解】由题意可知，352019i i i i ++++L 为等比数列{}21n i -的前1010项和，且该数列的首项为i ，公比为2i ，所以，()()1010101023520192111012i i i i i i i i ⎡⎤⎡⎤---⎢⎥⎣⎦⎣⎦++++===-L . 故答案为：0. 【点睛】本题考查复数的计算，考查复数乘方的计算，注意复数乘方周期性的应用，同时也可以转化为等比数列求和来处理，考查计算能力，属于中等题.7．一个圆柱侧面展开是正方形，它的高与底面直径的比值是________. 【答案】π【解析】设圆柱底面圆的半径为r ，利用底面圆周长等于高，可得出该圆柱高与底面直径的比值. 【详解】设圆柱底面圆的半径为r ，由于该圆柱的侧面展开图为正方形，则圆柱的高等于底面圆周长，所以，圆柱的高为2r π，因此，圆柱的高与底面直径的比值为22rrππ=. 故答案为：π. 【点睛】本题考查圆柱的相关计算，解题时要结合题中的条件得出底面半径与高的等量关系，考查计算能力，属于基础题.8．如果复数z 满足2z i z i ++-=，那么1z i ++的最小值是________. 【答案】1【解析】先得出复数z 对应的点的轨迹为复平面内连接点()0,1和()0,1-的线段，1z i ++的几何意义为复数z 对应的点到点()1,1--的距离，利用数形结合思想可得出1z i ++的最小值.【详解】设z x yi =+，由复数模的三角不等式可得()()222z i z i z i z i i =++-≥+--==，所以，复数z 在复平面的轨迹是连接点()0,1和()0,1-的线段，如下图所示：当z i =-时，则1z i ++取得最小值1.故答案为：1. 【点睛】本题考查与复数相关的点的轨迹问题，解本题的关键在于确定出复数对应的点的轨迹，利用数形结合思想求解，考查分析问题的和解决问题的能力，属于中等题. 9．设z 是复数，()a z 表示满足1n z =时的最小正整数n ，i 是虚数单位，则1i ()1ia +=-________. 【答案】4【解析】∵21(1)1211(1)(1)11i i i i i i i +++-===--++ ∴1()()1ia a i i+=- ∵()a z 表示满足1n z =的最小正整数n ∴当4n =时满足1n i =第一次成立 ∴()4a i = 故答案为4.10．已知a 是实系数一元二次方程22(21)10x m x m --++=的一个虚数根，且2a ≤，则实数m 的取值范围是________.【答案】34⎛-⎝ 【解析】根据一元二次方程的判别式和虚数根的模列出不等式组，求得其范围. 【详解】由已知得()()222141430m m m ∆=--+=--<，解得34m >-；又因为 2a ≤，所以2221422m ⎛-⎛⎫+≤ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，解得m ≤≤；所以实数m 的取值范围是34m -<≤ 故得解. 【点睛】本题考查一元二次方程的判别式和复数的模，属于基础题.11．圆锥底面半径为10，母线长为30，从底面圆周上一点，绕侧面一周再回到该点的最短路线的长度是_____．【答案】【解析】作出侧面展开图，则扇形的弦长为最短距离，利用余弦定理求解即可. 【详解】圆锥的侧面展开图为半径为30，弧长为20π的扇形AOB ， ∴最短距离为AB 的长． 扇形的圆心角为202303ππ=，∴AB ==故答案为：【点睛】本题考查了圆锥的结构特征，最短距离求解，将曲面转化为平面是解题关键，属于中档题．12．已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为__________．【解析】如图所示，设,,M N P 分别为1,AB BB 和11B C 的中点，则11,AB BC 夹角为MN 和NP夹角或其补角，112MN AB ==，112NP BC ==，作BC 中点Q ，则PQ M ∆为直角三角形，11,,2PQ MQ AC ABC ==∆中，由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠14122172⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，AC MQ ∴=∴=，在MQP ∆中，MP == 在PMN ∆中，由余弦定理得222222cos 2MN NP PM MNP MN NP +-+-∠===⋅⋅，又异面直线所成角的范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，1AB ∴与1BC所成角的余弦值为5，故答案为5. 【方法点晴】本题主要考查异面直线所成的角以及余弦定理，属于中档题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解. 13．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，对于以下命题： （1）若//m n ，//αβ，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等； （2）若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则αβ⊥； （3）若m β⊥，αβ⊥，则//m α；（4）若//m α，αβ⊥，则m β⊥. 其中正确命题的序号是________. 【答案】（1）（2）【解析】在（1）中，由线线、面面平行和线面所成角的定义可以判断； 在（2）中，运用线面垂直的判定和性质、面面垂直的定义即可判断； 在（3）中，由面面垂直的性质定理可判断；在（4）中，运用线面平行的性质定理和面面垂直的性质定理即可判断. 【详解】在（1）中，若//m n ，//αβ，则m 与α、n 与α所成的角相等，n 与α、m 与β所成的角相等，可得（1）正确；在（2）中，若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，m 、n 平移为相交直线，确定一个平面与α、β相交使得交线垂直，由面面垂直的定义可得αβ⊥，可得（2）正确；在（3）中，若m β⊥，αβ⊥，则//m α或m α⊂，可知（3）错误；在（4）中，//m α，αβ⊥，过m 作平面γ，使得a αγ⋂=，由线面平行的性质定理可得//m a ，但a 与β不一定垂直，则m 与β也不一定垂直. 故答案为：（1）（2）. 【点睛】本题考查线面角的定义以及空间线面关系、面面关系有关命题的判断，可充分利用相应的定义以及线面、面面平行和垂直的判定与性质定理进行判断，考查逻辑推理能力，属于中等题. 14．在四面体中，面与面成的二面角，顶点在面上的射影是的垂心，是的重心．若，则______．【答案】【解析】【详解】如图，设面AHD 与BC 交于点F.因为AB = AC ，所以，点G 在AF 上，且.则，.在△GFH 中，由余弦定理得. 15．过平面α外一点A 引斜线段AB 、AC 以及垂线段AO ，若AB 与α所成角是30，6AO =，AC BC ⊥，则线段BC 长的取值范围是（ ）A.()0,6B.()6,+∞C.(D.()+∞【答案】C【解析】画出已知图形，可得出OBC ∆是以OB 为斜边的直角三角形，求出OB 的长度，则线段BC 长的范围即可求出. 【详解】 如下图所示：AO α⊥，BC α⊂，BC AO ∴⊥.又BC AC ⊥，AOAC A =，AO 、AC ⊂平面ACO ，BC ∴⊥平面ACO .OC ⊂Q 平面ACO ，OC BC ∴⊥，在Rt OAB ∆中，6AO =，30ABO =∠，tan 30AOOB ∴==o. 在平面α内，要使得OBC ∆是以OB 为斜边的直角三角形，则0BC OB <<，即0BC <<BC 长的取值范围是(.故选：C.【点睛】本题考查线段长度的取值范围的求解，同时也考查了线面角的定义，解题的关键就是推导出线面垂直，得出线线垂直关系，从而构造直角三角形来求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三、解答题16．在复数范围内分解因式：42625x x -+= ________.【答案】()()()()2222x i x i x i x i ++--+--+【解析】配方为()()()222422262531634x x x x i -+=-+=--，由()2234i i ±=±结合平方差公式即可求得答案.【详解】 ()2234i i -=-Q ，()2234i i +=+， ()()()()()222422222625316343434x x x x i x i x i ∴-+=-+=--=---+()()()()222222343422x i x i x i x i ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-+--=-+--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()()2222x i x i x i x i ++--+--+=.故答案为：()()()()2222x i x i x i x i ++--+--+.【点睛】本题考查在复数范围内进行因式分解，充分利用平方差公式进行分解是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.17．已知复数21i 22z ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭是一元二次方程21(,)0m n x nx m ++=∈R 的一个根. （1）求m 和n 的值；（2）若1(2i)z a z =-，a ∈R ，1z 为纯虚数，求|2i |a +的值.【答案】（1）1m n ==；（2）4.【解析】（1）利用复数代数形式的乘除运算化简z ，再由实系数一元二次方程虚根成共轭复数这一性质，结合韦达定理求解；（2）化简()12z a i z =-，由实部为0且虚部不为0求出a 的值，然后利用复数模的计算公式求解.【详解】（1）213144212z =--=-⎛⎫= ⎪⎪⎝- ⎭Q 是一元二次方程210mx nx ++=的一个虚根，则12-+是一元二次方程210mx nx ++=的另一个虚根，111122m ⎛⎫⎛⎫∴=--+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，得1m =，11122n m ⎛⎫⎛⎫-=--+-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1n =， 因此，1m n ==；（2）()()1112212222z a i z a i i a i ⎛⎫⎛⎫⎛=-=---=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎝⎭Q 是纯虚数，则102102a a ⎧-=⎪⎪⎨⎪-≠⎪⎩，即a =-224a i i +=-==. 【点睛】本题考查虚根与实系数一元二次方程之间的关系，同时也考查了复数相关的概念以及复数模的计算，解题时要利用复数的四则运算法则将复数化为一般形式，针对实部和虚部进行求解，考查计算能力，属于中等题.18．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1.（1）正方体1111ABCD A B C D -中哪些棱所在的直线与直线1A B 是异面直线； （2）若M 、N 分别是1A B 、1BC 的中点，求异面直线MN 与BC 所成角的大小.【答案】（1）AD 、DC 、1CC 、1DD 、11C D 、11B C ；（2）4π.【解析】（1）利用图形列举出与直线1A B 是异面直线的棱所在的直线；（2）以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，利用空间向量法可求出异面直线MN 与BC 所成角的大小.【详解】（1）在正方体1111ABCD A B C D -中，与直线1A B 是异面直线的棱所在的直线有：AD 、DC 、1CC 、1DD 、11C D ，共6条；（2）以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系D xyz -，则()11,0,1A 、()1,1,0B 、()10,1,1C 、111,,22M ⎛⎫ ⎪⎝⎭、11,1,22N ⎛⎫ ⎪⎝⎭、()1,1,0B 、()0,1,0C ， 11,,022MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭uuu r ，()1,0,0BC =-uu u r ，设异面直线MN 与BC 所成角的大小为θ，则1cos cos ,MN BC MN BC MN BC θ⋅====⋅uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r 4πθ∴=. 因此，异面直线MN 与BC 所成角的大小为4π. 【点睛】 本题考查异面直线的判断，考查异面直线所成角的计算，考查空间中线线、线面、面面间位置关系等基础知识，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中等题.19．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，首届中国国际进门博览会是某展馆棚顶一角的钢结构可以抽象为空间图形阳马，如图所示，在阳马P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD .（1）若4AD CD m ==，斜梁PB 与底面ABCD 所成角为15，求立柱PD 的长；（精确到0.01m ）（2）请证明四面体PDBC 为鳖臑；若2PD =，2CD =，1BC =，点E 为线段PB 上一个动点，求ECD ∆面积的最小值.【答案】（1）1.52；（2）证明见解析，ECD ∆. 【解析】（1）推导出侧棱PB 在底面ABCD 上的射影为DB ，从而可得出PBD ∠是侧棱PB 所在直线与底面ABCD 所成的角，得出15PBD ∠=o ，由此能求出立柱PD 的长；（2）底面ABCD 是矩形，从而BCD ∆是直角三角形，推导出PD CD ⊥，PD BD ⊥，可得出PCD ∆、PBD ∆都是直角三角形，由BC ⊥平面PCD ，可推导出PBC ∆是直角三角形，由此能证明出四面体PDBC 为鳖臑；利用转化法求出异面直线CD 与PB 的距离，即可求出ECD ∆面积的最小值.【详解】（1）侧棱PD ⊥平面ABCD ，∴侧棱PB 在底面ABCD 上的射影为DB ， 所以，PBD ∠是侧棱PB 所在直线与底面ABCD 所成的角，则有15PBD ∠=o ，在PBD ∆中，90PDB ∠=o ，)BD m ==.由tan PD PBDBD∠=，得tan152==o (()2 1.52PD m ∴=≈；（2）由题意可知，底面ABCD 是矩形，则BCD ∆是直角三角形，PD ⊥底面ABCD ，BD 、CD ⊂平面ABCD ，PD BD ∴⊥，PD CD ⊥. 所以，PBD ∆、PCD ∆都是直角三角形，易证BC PD ⊥，又BC CD ⊥，PD CD D ⋂=，PD 、CD ⊂平面PCD ， BC ∴⊥平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，BC PC ∴⊥，则PBC ∆是直角三角形， 因此，四面体PDBC 为鳖臑. PB 与CD 是异面直线，//CD AB ，且CD ⊄平面PAB ，AB Ì平面PAB ， //CD ∴平面PAB ，则两异面直线PB 与CD 的距离等于CD 到平面PAB 的距离， 即点D 到平面PAB 的距离，等于D 到直线PA 的距离.2PD =Q，1AD =，PA ∴=D 到PA5=.所以，线段PB 上的动点E 到CD .因此，ECD ∆面积的最小值为122⨯=【点睛】 本题考查空间中线线、线面位置关系的判定与应用，考查异面直线距离的求法，同时也考查了线面角的定义，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20．如图所示，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ⊥底面ABCD ，//AB 平面1111D C B A ，//AB DC ，AB AD ⊥，1AD CD ==，12AA AB ==，E 为棱1AA 的中点.（1）证明：11B C CE ⊥；（2）求二面角11B CE C --的平面角的正弦值；（3）设点M 在线段1C E 上，且直线AM 与平面11ADD A 所成角的正弦值为6，求线段AM 的长.【答案】（1）证明见解析；（2）7；（3）AM =【解析】（1）以A 为原点，分别以AD ，1AA ，AB 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，计算出110B C CE ⋅=uuu u r uu r ，可证明出11B C CE ⊥；（2）计算出平面1B CE 和平面1C CE 的法向量m 、11B C uuu u r，然后利用空间向量法计算出二面角11B CE C --的余弦定理，利用同角三角函数的基本关系可得出其正弦值； （3）设()101EM EC λλ=≤≤uuu r uuu r ，计算出AM ，利用空间向量法并结合条件直线AM 与平面11ADD A所成角的正弦值为6，求出λ的值，即可求出AM . 【详解】（1）如图所示，以A 为原点，分别以AD ，1AA ，AB 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，依题意得()0,0,0A ，()0,0,2B ，()1,0,1C ，()10,2,2B ，()11,2,1C ，()0,1,0E .易得()111,0,1B C =-，()1,1,1CE =--uur ，于是110B C CE ⋅=uuu u r uu r ，所以11B C CE ⊥；（2）易得()11,2,1B C =--uuu r .设平面1B CE 的法向量为(),,m x y z =，()11,2,1B C =--uuu r , 则120000x y z B C m x y z CE m ⎧--=⎧⋅=⇒⎨⎨-+-=⋅=⎩⎩， 消去x ，得20y z +=，不妨取1z =，可得法向量()3,2,1m =--.由（1）知11B C CE ⊥，又111CC B C ⊥，可得11B C ⊥平面1CEC ，故()111,0,1B C =-为平面1CEC 的一个法向量.于是111111cos ,m B C m B C m B C ⋅===⋅u r uuu u r u r uuu u r u r uuu u r，从而11sin ,7m B C =u r uuu u r ，故二面角11B CE C --的平面角的正弦值为7； （3）易得()0,1,0AE =uu u r ，()11,1,1EC =uuu r .设()1,,EM EC λλλλ==uuu r uuu r ，01λ≤≤，则有(),1,AM AE EM λλλ=+=+uuu r uu u r uuu r ， 可取()0,0,2AB =uu u r 为平面11ADD A 的一个法向量，设θ为直线AM 与平面11ADD A 所成的角， 则sin cos ,AM AB AM AB AM ABθ⋅==⋅uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r==，163λ=⇒=（15λ=-舍去），则141,,333AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭uuu r ，所以AM ==uuu r 【点睛】本题考查异面直线垂直、二面角的计算以及直线与平面所成角的动点问题，可以利用空间向量法来进行等价转化与计算，考查运算求解能力，属于中等题.21．设z C ∈，且()()()Re 0Re 0z z f z z z ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩. （1）已知()()()2429f z f z z i z C +-=-+∈，求z 的值；（2）若Re 0z ≥，设集合()()()(){}122120,P z f z f z i f z i f z z C =⋅-⋅+⋅-=∈，{}21,P iz z P ωω==∈，求复平面内2P 对应的点集表示的曲线的对称轴；（3）若()1z u u C =∈，()()211n n n z f z z n *+=++∈N ，是否存在u ，使得数列1z 、2z 、满足n m n z z +=（m 为常数，且m *∈N ）对一切正整数n 均成立？若存在，试求出所有的u ，若不存在，请说明理由.【答案】（1）23z i =-；（2）2x =；（3）存在u i =±符合要求，详见解析.【解析】（1）设z a bi =+，分0a ≥和0a <两种情况讨论，即可求出z 的值；（2）求解集合1P 、2P ，得到两集合的关系，再求两集合所表示的曲线的对称轴即可；（3）假设存在u C ∈满足题设要求，令Re n n a z =，Im n n b z =，易得对一切n *∈N 均有0n a ≥，且2211n n n n a a a b +=++-，()121n n n b a b +=+，根据数学归纳法可证：对任意的n *∈N ，()()(){},0,1,0,1n n a b ∈-，再记222n n n x a b =+，证明对任意m 、n *∈N ，均有m n n x x +>，可得n m n z z +=，从而，此时的{},u i i ∉-不满足要求，从而得出结论.【详解】（1）设(),z a bi a b R =+∈，则Re z a =.若0a ≥，则()f z z =，由已知条件可得329a bi i --=-+， a 、b R ∈，239a b -=-⎧∴⎨-=⎩，解得23a b =⎧⎨=-⎩，23z i ∴=-； 若0a <，则()f z z =-，由已知条件可得7529a bi i --=-+， a 、b R ∈，7259a b -=-⎧∴⎨-=⎩，解得27a =（舍去），95b =-. 综上所述，23z i =-；（2）设(),z a bi a b R =+∈，则Re z a =，且0a ≥.集合()()()(){}122120,P z f z f z i f z i f z z C =⋅-⋅+⋅-=∈，得()()()()22120a bi a bi i a bi i a bi +--++--=，化简得224120a b b ++-=，且0a ≥，()22216a b ++=.则点(),a b 是表示在以()0,2-为圆心，半径为4的右侧半圆周上的点. {}21,P iz z P ωω==∈，可得iz b ai ω==-+，集合2P 中的点为(),b a -，由于(),a b 是表示在以()0,2-为圆心，半径为4的右侧半圆周上的点.且点(),b a -与点(),a b 关于直线y x =-对称，则点(),b a -是表示在以点()2,0为圆心，半径为4的上侧半圆周上的点，故其对称轴为直线2x =；（3）设存在u C ∈满足题设要求，令Re n n a z =，Im n n b z =，易得对一切n *∈N ，都有0n a ≥，且2211n n n n a a a b +=++-，()121n n n b a b +=+.①（i ）若{},u i i ∈-，则{}n z 显然为常数数列，故u i =±满足题设要求；（ii ）若{},u ii ∉-，则用数学归纳法可证：对任意的n *∈N ，()()(){},0,1,0,1n n a b ∉-. 证明：当1n =时，由{},u i i ∉-，可知()()(){}11,0,1,0,1a b ∉-.假设当n k =时，()()(){},0,1,0,1k k a b ∉-，那么当1n k =+时，若()()(){}11,0,1,0,1k k a b ++∈-，则10k a +=，11k b +=，故2210k k k a a b ++-=，()211k k a b +=，② 如果0k a =，那么()()(){},0,1,0,1k k a b ∉-，可知1k b ≠，这与②矛盾； 如果0k a >，那么()()(){}11,0,1,0,1a b ∉-，可知1k b ≠，这与②矛盾.综上可得，对任意的n *∈N ，()()(){},0,1,0,1n n a b ∉-.记222n n n x a b =+，注意到()()222211122n n n n n n x x a b a b +++-=+-+()()22222210n n n n n a a a a b ⎡⎤=++++-≥⎢⎥⎣⎦， 即10n n x x +-≥，当且仅当0n a =，1n b =±，即()()(){},0,1,0,1n n a b ∈-时等号成立， 于是有()1n n x x n N *+<∈，进而对任意的m 、n *∈N ，均有n m n x x +>，所以n m n z z +=. 从而，此时的{},u i i ∉-不满足要求.综上所述，存在u i =±，使得数列1z 、2z 、满足n m n z z +=（m 为常数，且m *∈N ）对一切正整数n 均成立.【点睛】本题考查了复数的有关概念，考查复数的几何意义，同时也考查了以复数为载体的数列问题，涉及到数学归纳法的应用，综合性较强，属于难题.。

2019上海市高二第二学期期中数学试题一、单选题1．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛【答案】B【解析】试题分析：设圆锥底面半径为r，则，所以，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为÷1.62≈22，故选B.【考点】圆锥的性质与圆锥的体积公式2．“两条直线没有公共点”是“两条直线为异面直线”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】B【解析】两直线没有公共点则平行或异面；根据异面直线定义可知异面直线无公共点，从而得到结果.【详解】两条直线没有公共点，则两条直线平行或异面，充分条件不成立；若两条直线为异面直线，则两条直线不共面，则必然没有公共点，必要条件成立“两条直线没有公共点”是“两条直线为异面直线”的必要非充分条件故选：B【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判定，涉及到异面直线定义的应用，属于基础题. 3．集合{M =正四棱柱}，{P =直四棱柱}，{N =长方体}，{Q =正方体}，则这四个集合之间的关系是（ ） A.P n N n M n Q B.P n M n N n Q C.Q n M n N n P D.Q n N n M n P【答案】C【解析】根据直四棱柱、长方体、正四棱柱和正方体的定义可得到结果. 【详解】直四棱柱是底面为四边形，侧棱和底面垂直的四棱柱； 长方体是底面为矩形的直四棱柱； 正四棱柱是底面为正方形的直四棱柱； 正方体是侧棱长和底面边长相等的正四棱柱；∴Q n M n N n P故选：C 【点睛】本题考查空间几何体的结构特征，需熟练掌握直四棱柱、长方体、正四棱柱和正方体的结构特征，属于基础题.4．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值（ ）正视图 侧视图 俯视图 A.15B.16C.12D.18【答案】A【解析】由三视图可确定截面为平面11AB D ，可知截掉部分为三棱锥111A AB D -，由三棱锥体积公式求得111A A B D V -，即为截去部分体积，从而得到剩余部分体积为3316a a -，作比得到结果. 【详解】由三视图可知，剩余部分为正方体1111ABCD A B C D -沿平面11AB D 截掉三棱锥111A AB D -后得到的图形设正方体棱长为a 11113ABCD A B C D V a -∴=，111111111311136A AB D A A B D A B D V V S AA a --∆==⋅=∴截去部分体积与剩余部分体积之比为：333111:665a a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭故选：A 【点睛】本题考查正方体截面的问题，关键是能够通过三视图确定截面，从而得到确定截掉的部分的体积.5．如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，()1,2,,8i P i =L 是上底面上其余的八个点，则()1,2,,8i AB AP i ⋅=⋅⋅⋅u u u r u u u r的不同值的个数为（ ）A.8B.4C.2D.1【答案】D【解析】根据平面向量运算法则可知2i i AB AP AB AB BP ⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，由线面垂直性质可知0i AB BP ⋅=u u u r u u u r，从而得到21i AB AP AB ⋅==u u u r u u u r u u u r ，进而得到结果. 【详解】()2i i i AB AP AB AB BP AB AB BP ⋅=⋅+=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rAB ⊥Q 平面286BP P P i AB BP ∴⊥u u u r u u u r 0i AB BP ∴⋅=u u u r u u u r21i AB AP AB ∴⋅==u u u r u u u r u u u r则()1,2,,8i AB AP i ⋅=⋅⋅⋅u u u r u u u r 的不同值的个数为1个故选：D 【点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够利用平面向量线性运算将所求向量数量积转化为已知模长的向量和有垂直关系向量的数量积的运算问题，考查了转化与化归的思想.二、填空题6．空间不共面的四个点可以确定__________个平面. 【答案】4【解析】由三点确定一个平面可知共有4种情况，由此得到结果. 【详解】不共面的四个点中任意三个点可构成一个平面，则共可确定4个平面 故答案为：4 【点睛】本题考查空间中平面的确定，属于基础题.7．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，异面直线BD 与11A B 的距离为__________. 【答案】a【解析】根据线面垂直性质可得1BB BD ⊥，又111BB A B ⊥，可知所求距离为1BB ，从而得到结果. 【详解】1BB ⊥Q 平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD 1BB BD ∴⊥又111BB A B ⊥ ∴异面直线BD 与11A B 之间距离为1BB a = 故答案为：a 【点睛】本题考查异面直线间距离的求解，属于基础题.8．在正方体1111ABCD A B C D -中，二面角1C AB D --的大小为__________. 【答案】4π 【解析】由线面垂直性质得1BC AB ⊥，又BC AB ⊥，可得二面角平面角为1C BC ∠，由14C BC π∠=得到结果.【详解】AB ⊥Q 平面11BCC B ，1BC ⊂平面11BCC B 1BC AB ∴⊥又BC AB ⊥，BC ⊂平面ABD 1C BC ∴∠即为二面角1C AB D --的平面角14C BC π∠=Q ∴二面角1C AB D --的大小为4π 故答案为：4π 【点睛】本题考查立体几何中二面角的求解，关键是能够根据二面角平面角的定义找到二面角的平面角.9．如图，在棱长为3cm 的正四面体A BCD -中，若以ABC ∆为视角正面，则其主视图的面积是__________2cm .【答案】36 2【解析】确定正视图为三角形，且底边长为底面三角形边长，高为四面体的高；求得正四面体的高后，即可求得结果.【详解】由题意可得，正视图是以底面三角形边长为底边长，正四面体A BCD-的高为高的三角形Q正四面体棱长为3∴933 942 -=∴正四面体的高22339632AO⎛⎫=-⨯=⎪⎪⎝⎭∴正视图的面积为：1363622⨯=36【点睛】本题考查几何体三视图的求解问题，关键是能够根据给定视角确定正视图的图形构成，属于基础题.10．若正六棱柱的所有棱长均为m，且其体积为123m=__________.【答案】2【解析】根据底面为边长为m的正六边形可求得底面面积，进而利用棱柱体积公式构造方程求得结果.【详解】Q正六棱柱底面为边长为m的正六边形∴底面面积为：()2222m m +⨯=∴正六棱柱体积2V m =⋅=2m =故答案为：2 【点睛】本题考查棱柱体积的相关计算，关键是能够熟悉正棱柱的定义，并准确求解出底面面积. 11．给出以下结论：①空间任意两个共起点的向量是共面的；②两个相等向量就是相等长度的两条有向线段表示的向量；③空间向量的加法满足结合律：()()a b c a b c ++=++r r r r rr ；④首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量. 请将正确的说法题号填在横线上：__________. 【答案】①③④【解析】根据起点和终点3点共面，可知①正确；由相等向量定义可知②错误；根据向量加法运算律和线性运算法则可知③④正确. 【详解】①中，两个向量共起点，与两向量终点共有3个点，则3点共面，可知两向量共面，①正确；②中，两个相等向量需大小相等，方向相同，②错误； ③中，空间向量加法满足结合律，③正确； ④中，由向量加法的三角形法则可知④正确. 故答案为：①③④ 【点睛】本题考查向量部分相关命题的判定，涉及到相等向量的概念、向量加法的运算律和三角形法则的运用等知识，属于基础题.12．已知球的半径为5cm ，有两个平行平面截球所的截面面积分别等于29cm π与216cm π，则这两个平行平面的距离为__________cm .【答案】1或7【解析】利用截面面积求得截面圆半径，利用勾股定理可求得球心到两截面的距离；由两截面与球心的相对位置可确定两平行平面间距离.【详解】由截面面积可知截面圆半径分别为：3cm 和4cm∴球心到两截面的距离分别为：12594d =-=，225163d =-=∴当两截面在球心同侧时，两平行平面间距离为：431-=当两截面在球心两侧时，两平行平面间距离为：437+= 故答案为：1或7 【点睛】本题考查球的平行截面间距离的问题，易错点是忽略两平行平面可位于球心的同侧或两侧，求解时丢失其中一种情况.13．如图，在空间直角坐标系O xyz -中，四面体C OAB -的主视图AOC 是面积为43的直角三角形，且23CO =，OAB ∆是正三角形，且点B 在平面xOy 上，则此四面体的左视图的面积等于__________.【答案】6【解析】作//BD AO ，根据AO ⊥平面yOz 可知BD ⊥平面yOz ，得到左视图为COD ∆；根据AOC S ∆可求得底面正三角形边长，进而求得OD ，从而得到左视图面积.【详解】作//BD AO ，交y 轴于D ，连接CDAO ⊥Q 平面yOz ，//BD AO BD ∴⊥平面yOz∴此四面体的左视图为COD ∆12AOC S AO CO ∆=⋅==Q 4AO ∴= 122BD AO ∴==OD ∴=== 11622COD S CO OD ∆∴=⋅=⨯=故答案为：6 【点睛】本题考查空间几何体的三视图问题的求解，关键是能够根据垂直关系确定左视图的图形，从而利用长度关系来进行求解.14．已知()cos ,1,sin a θθ=r ，()sin ,1,cos b θθ=r ，则向量a b +rr 与a b -r r 的夹角是__________. 【答案】2π 【解析】利用向量坐标运算表示出a b +rr 与a b -r r ，根据数量积运算法则可求得()()0a b a b +⋅-=r rr r ，即两向量垂直，得到夹角.【详解】()sin cos ,2,sin cos a b θθθθ+=++r r ，()cos sin ,0,sin cos a b θθθθ-=--rr()()2222cos sin sin cos 0a b a b θθθθ∴+⋅-=-+-=r rr r()()a b a b ∴+⊥-r r r r ，即a b +r r 与a b -r r 的夹角为2π故答案为：2π 【点睛】本题考查向量夹角的求解，关键是能够通过向量的坐标运算求得两向量的数量积，属于基础题.15．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 ． 【答案】3π 【解析】由题意得：1:(2)222rl h r l h ππ⋅=⇒=⇒母线与轴的夹角为3π 【考点】圆锥轴截面【名师点睛】掌握对应几何体的侧面积，轴截面面积计算方法.如 圆柱的侧面积，圆柱的表面积，圆锥的侧面积，圆锥的表面积，球体的表面积，圆锥轴截面为等腰三角形.16．已知函数22,01(){23,13x x f x x x x ≤≤=-++<≤，将f （x ）的图像与x 轴围成的封闭图形绕x 轴旋转一周，则所得旋转体的体积为________． 【答案】203π【解析】试题分析：将的图像与轴围成的封闭图形绕轴旋转一周，所得旋转体为一个圆锥和一个半个球的组合体，其中球的半径为2，棱锥的底面半径为2，高为1，所以所得旋转体的体积为23114202123233πππ=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=. 【考点】旋转体体积17．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卵结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱分成三组，经90︒榫卯起来.若正四棱柱的高为5，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为__________.（容器壁的厚度忽略不计，结果保留π）【答案】30π【解析】由榫卯结构可确定球形容器半径的最小值，进而利用球的表面积公式求得结果. 【详解】22213052122++=∴该球形容器表面积的最小值为：230430ππ⨯=⎝⎭故答案为：30π本题考查球的表面积的求解问题，关键是能够根据位置关系确定球的半径的最小值，进而应用球的表面积公式求得结果.三、解答题18．已知向量b r 与向量()2,1,2a =-r 共线，且18a b ⋅=r r ，()()ka b ka b +⊥-r r r r ，求实数k 的值.【答案】2k =±【解析】根据向量共线可设b a λ=r r ，由18a b ⋅=r r 可构造方程求得λ，得到b r；由向量垂直可得()()0ka b ka b +⋅-=r r r r ，由数量积运算律可构造方程求得k . 【详解】,a b r r Q 共线 ∴可设()2,,2b a λλλλ==-r r44918a b λλλλ∴⋅=++==r r ，解得：2λ= ()4,2,4b ∴=-r()()ka b ka b +⊥-r r r r Q ()()2220ka b ka b k a b ∴+⋅-=-=r r r r r r 即()()2414164160k ++-++=，解得：2k =± 【点睛】本题考查根据向量的平行、垂直关系求解参数值的问题，关键是能够明确向量共线的条件、向量垂直的坐标表示，属于基础题.19．已知地球的半径为R ，在北纬30°圈上有A 、B 两点.若点A 的经度为东经65︒，点B 的经度为西经25︒，求A 、B 两点的球面距离.【答案】1arccos 4R ⋅ 【解析】根据纬度的定义可知30OBO '∠=o ，从而得到纬线圈所在圆的半径，根据经度差可知90AO B '∠=o ，由勾股定理求得AB ；在AOB ∆中，由余弦定理求得cos AOB ∠，从而得到AOB ∠，由扇形弧长公式可求得球面距离.设北纬30o 的纬线圈的圆心为O '由题意可知：90AO B '∠=o ，30OBO '∠=o 122R OO OB '∴==，33O B OB R '== 3O A O B R ''∴== 226AB O A O B R ''∴=+= 在AOB ∆中，由余弦定理得：2222312cos 24R R R AOB R +-∠== 1arccos 4AOB ∴∠= ,A B ∴两点的球面距离为：1arccos 4R ⋅ 【点睛】本题考查球面距离的求解问题，关键是能够熟练掌握经度和纬度的定义，从而得到图形中的角度关系.20．底面边长为2的正三棱锥P ABC -，其表面展开图是正三角形123PP P ，如图所示.求：（1）123PP P ∆的各边长；（2）三棱锥P ABC -的体积.【答案】（1）各边均为4；（2）23【解析】（1）由123PP P ∆为正三角形，可知三边长均为2AB ，根据2AB =可得结果； （2）根据正三棱锥的特点可求得三棱锥的高，求得底面面积后，根据三棱锥体积公式可求得结果.（1）123PP P ∆Q 为正三角形12231324PP P P PP AB ∴====（2）23234ABC S ∆=⨯=立体图形中求三棱锥的高：()22323633h ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭ 11222363333P ABC ABC V S h -∆∴=⨯⨯=⨯⨯= 【点睛】本题考查正三棱锥的结构特征、三棱锥体积的求解问题，属于基础题.21．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，过1A 、1C 、B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体111ABCD AC D -，且这个几何体的体积为10.（1）求直线1A B 与平面1ADD 所成的角的大小；（2）求点1D 到平面11A BC 的距离.【答案】（1）2arctan 3；（2）32211【解析】设长方体高为h ，由长方体体积减去截掉的三棱锥体积可得几何体111ABCD AC D -体积，由此建立方程求得3h =；（1）根据直线与平面所成角定义可知1BA A ∠即为所求角，由112tan 3AB BA A AA ∠==可（2）设所求距离为d ，由等体积法可知111111D A BC B A D C V V --=，由此构造关于d 的方程，解方程求得结果.【详解】设长方体的高1AA h =则几何体111ABCD AC D -体积：142103V h h =-⨯⨯=，解得：3h =（1）AB ⊥Q 平面11ADD A ∴直线1A B 与平面1ADD 所成角即为1BA A ∠ 112tan 3AB BA A AA ∠==Q ∴所求线面夹角为：2arctan 3（2）设点1D 到平面11A BC 的距离为d则由111111D A BC B A D C V V --=得：1111111133A BC A D C S d S BB ∆∆⋅⋅=⋅⋅ 11A BC ∆Q 为等腰三角形，114913A B BC ==+=，114422AC =+=∴13211-= 1112211222A BC S ∆∴=⨯=又11112222A D C S ∆=⨯⨯= 11222333d ∴=⨯⨯，解得：322d =即点1D 到面11A BC 的距离为32211 【点睛】本题考查立体几何中直线与平面所成角、点到面的距离的求解问题；立体几何中求解点到面的距离常采用等体积法，将问题转化为三棱锥高的求解，从而利用等体积转化构造方程求得结果，属于常考题型.22．已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，母线长为4，23PO =OA 、OB 是底面半径，且：0OA OB ⋅=u u u r u u u r，M 为线段AB 的中点，N 为线段PB 的中点，如图所示：（1）求圆锥的表面积；（2）求异面直线PM 和OB 所成的角的大小，并求A 、N 两点在圆锥侧面上的最短距离.【答案】（1）12π；（2）PM 、OB 夹角为arctan 13，最短距离为2522-【解析】（1）由22r l PO =-求得底面圆半径，根据圆锥表面积公式可求得结果； （2）作//MH BO ，根据异面直线所成角定义可知所成角为PMH ∠；根据向量数量积为零可知OA OB ⊥，进而得到MH AO ⊥，根据线面垂直性质知MH PO ⊥，得到线面垂直关系MH ⊥平面AOP ，由线面垂直性质得MH PH ⊥，根据长度关系可求得tan PMH ∠，进而求得异面直线所成角；求得圆锥侧面展开图圆心角后，根据弧长关系可求得APB ∠，由余弦定理可求得结果.【详解】（1）由题意得：底面圆半径()22224232r l PO =-=-=∴圆锥表面积28412S rl r πππππ=+=+=（2）作//MH BO ，交OA 于H ，连接PH∴异面直线PM 与OB 所成角即为PM 与MH 所成角，即PMH ∠0OA OB ⋅=u u u r u u u r Q OA OB ∴⊥，又//MH BO MH AO ∴⊥PO ⊥Q 平面OAB ，MH ⊂平面OAB MH PO ∴⊥,AO PO ⊂Q 平面AOP ，AO PO O ⊥= MH ∴⊥平面AOP又PH ⊂平面AOP MH PH ∴⊥M Q 为AB 中点，//MH BO H ∴为AO 中点 112MH OB ∴==，221121132PH PO OA ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭tan 13PH PMH MH∴∠== arctan 13PMH ∴∠= 即异面直线PM 与OB 所成角大小为arctan 13由44πα=得：απ=，即圆锥侧面展开图扇形圆心角为π圆锥侧面展开图如下图所示：124AB r ππ=⋅=Q 4APB BP ππ∴∠== N Q 为BP 中点 2PN ∴=在APN ∆中，由余弦定理可得：2222cos 2082AN AP PN AP PN APN =+-⋅∠=-2522AN ∴=-,A N 两点在圆锥侧面上的最短距离为2522-【点睛】本题考查圆锥表面积的求解、异面直线所成角的求解、利用侧面展开图求解两点间的最短距离问题；求解最短距离的方法为利用侧面展开图，通过两点之间线段最短，从而确定所求的线段，利用余弦定理求得结果.。

第二学期期中考试高二数学试卷（2019.4）一、填空题1、设ii z +=3，则z Im =______ 2、已知直线α平面//m ，直线n 在α内，则m 与n 所有可能的位置关系是________3、已知复数22)21()3()31(i i i z --+=，则||z =______ 4、已知R b a ∈,，且i b ai ++,2是实系数一元二次方程02=++q px x 的两个根，则pq =_______5、若1|2|≤-i z ，则复数||z 的取值范围是_________6、正四棱锥ABCD P -的底面边长为1，2=PA ，则顶点P 到底面ABCD 的距离为______7、若一圆柱的侧面积为π6，则经过圆柱的轴的截面积为______8、已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为a ，点P 为线段1BC 上一点，Q 是平面ABCD 上一点，那么PQ P D +1的最小值是______二、 选择题9、0=x 是),(R y x yi x z ∈+=为纯虚数的（ ）A 、充分而不必要条件B 、必要而不充分条件C 、充要条件D 、不充分且不必要条件10、下列命题中错误的是（ ）A 、过平面α外的一点可以作无数条直线与平面α平行B 、与同一个平面所成角相等的两条直线必平行C 、若直线l 垂直于平面α内的两条相交直线，则直线l 必垂直于平面αD 、垂直于同一个平面的两条直线平行11、若b a 、为非零实数，则以下四个命题都成立：①01≠+aa ②2222)(b ab a b a ++=+③若||||b a =，则b a ±=④若ab a =2，则b a = 则对于任意非零复数b a 、，上述命题中仍为真命题的个数为（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4三、解答题12、已知ABC ∆的三边分别是5,4,3===AB BC AC ，以AB 所在直线为轴将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积13、在长方体1111D C B A ABCD -中，F E 、分别是棱AB AA 、1的中点，4==BC AB ，31=AA ，求（1）EF 与11C A 所成的角（2）C A 1与平面ABCD 所成的角14、在复数集中，解方程0||2=+z z 解：0||2=+z z 0)1|(|||0||||2=+=+∴z z z z ，即0,11||0||=≥+=∴z z z 解得）（又0=∴z 方程的解是请你仔细阅读上述解题过程，判断是否有错误，如果有，请指出错误之处，并写出正确的解答过程15、在空间四边形ABCD 中，BCD AB 平面⊥，︒=∠90BCD ，且1==BC AB ，3=BD （1）若AD EF BD CE ⊥⊥,，求证：CEF AD 平面⊥（2）求二面角B AD C --的大小。

2019-2020学年上海闵行区七宝中学高二下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共12.0分）1.某校在一年一度的“校园十佳歌手”比赛中，9位评委为参赛选手A给出的分数的茎叶图如图所示．在去掉一个最高分和一个最低分后，得出选手A得分的中位数是()A. 93B. 92C. 91D. 902.如图所示，AB是⊙O的直径，VA垂直于⊙O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是()A. MN//ABB. MN与BC所成的角为45°C. OC⊥平面VACD. 平面VAC⊥平面VBC3.甲、乙、丙三名毕业生参加某公司人力资源部安排的面试，三人依次进行，每次一人，其中甲、乙两人相邻的概率为A. B. C. D.4.已知z1≠−1，z1−1z1+1=bi(b∈R)，z=4(z1+1)2−1，则z对应的点在()A. 圆上B. 抛物线上C. 双曲线上D. 椭圆上二、单空题（本大题共12小题，共36.0分）5.已知集合={直线}，={平面}，.若，给出下列四个命题：①②③④其中所有正确命题的序号是．6.已知(x+1x)9展开式中x5的系数是______；7. 两人射击命中目标的概率分别为现两人同时射击目标，则目标能被命中的概率为。

(用数字作答)8. 如图，在直角梯形ABCD 中，AD//BC ，AD =12BC =2，∠ABC =90°，∠C =45°，E 为BC 中点，现将△CDE 沿DE 折起，使得平面CDE ⊥平面ABED ，连接AC 、BC ，设M 为CE 中点，动点P 在平面CBE 和平面CDE 上运动，且始终满足AM ⊥MP ，则点P 形成的轨迹长度为______．9.10. 在(2x −1√x )5的展开式中，x 2的系数为______．11. 某学生参加2门选修课的考试．假设该学生第一门、第二门课程取得A 的概率依次为45、35，且不同课程是否取得A 相互独立．则该生只取得一门课程A 的概率为______ 12. 给出下列命题：①若f′(x 0)=0，则函数f(x)在x =x 0处有极值； ②m >0是方程x 2m+y 24=1表示椭圆的充要条件；③若f(x)=(x 2−8)e x ，则f(x)的单调递减区间为(−4,2)； ④双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的离心率为e 1，双曲线x 2b 2−y 2a 2=1的离心率为e 2，则e 1+e 2的最小值为2√2 其中为真命题的序号是______ ．13. 已知f(x +1)=x 2+2x +3，则f(2)的值为______．14. 第一排有5个座位，安排4个老师坐下，其中老师A 必须在老师B 的左边，共有______ 种不同的排法(结果用数字表示)．15. 周五下午，我们1，2两个班的课分别都是语文，数学，物理，和自习．由于我们两个班的语文，数学，物理老师都一样的，即同一时间，某位老师只能在其中一个班上课，现教务处有______种排课方案．16. 已知集合M ={x||x|<1}，N ={a}，若M ∪N =M ，则实数a 的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知(1−x+x2)7=a0+a1x+a2x2+⋯+a14x14.求：(1)a0+a1+a2+⋯+a14．(2)a1+a3+a5+⋯+a13．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面是边长为2的菱形，且∠BAD=120°，且PA⊥平面ABCD，PA=，M，N分别为PB，PD的中点．(1)证明：MN//平面ABCD；(2)过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A−MN−Q的平面角的余弦值．19.(本小题满分12分)已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，是的中点。

七宝中学高二期中数学试卷2019.04一. 填空题1. 复数(12i)(3i)-+的虚部为2. 如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1， 点A 、B 对应的复数分别是1z 、2z ，则221||z z = 3. 复数352019i i i i +++⋅⋅⋅+=4. 一个圆柱侧面展开是正方形，它的高与底面直径的比值是5. 如果复数z 满足|i ||i |2z z ++-=，那么|i 1|z ++的最小值是6. 在复数范围内分解因式：42625x x -+=7. 设z 是复数，()a z 表示满足1n z =是最小正整数n ，则1i ()1ia +=- 8. 已知α是实系数一元二次方程22(21)10x m x m --++=的一个虚数根，且||2α≤，则 实数m 的取值范围是9. 圆锥底面半径为10，母线长为30，从底面圆周上一点，绕侧面一周再回到该点的最短路 线的长度是10. 已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为11. 设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，对于以下命题：（1）若m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等；（2）若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则αβ⊥；（3）若m β⊥，αβ⊥，则m ∥α；（4）若m ∥α，αβ⊥，则m β⊥.其中正确命题的序号是12. 在四面体ABCD 中，面ABC 与面BCD 成60°的二面角，顶点A 在面BCD 上的射影H 为△BCD 的垂心，G 为△ABC 的重心，若4AH =，AB AC =，则GH =二. 选择题13. 设1z 、2z 是复数，则下列命题中假命题是（ ）A. 若12||0z z -=，则12z z =B. 若12z z =，则12z z =C. 若12||||z z =，则1122z z z z ⋅=⋅D. 若12||||z z =，则2212z z =14. 设α、β是两个不同的两个平面，m 是直线且m α⊆，则“m ∥β”是“α∥β”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件15. 过平面α外一点A 引斜线段AB 、AC 以及垂线段AO ，若AB 与α所成角是30°，6AO =，AC BC ⊥，则线段BC 长的取值范围是（ ）A. (0,6)B. (6,)+∞C. (0,63)D. (63,)+∞16. 如图，已知正四面体D ABC -中，P 、Q 、R 分别为AB 、BC 、CA 上的点，AP PB =，2BQ CR QC RA==，分别记二面角 D PR Q --、D PQ R --、D QR P --的平面角为α、β、γ，则α、β、γ的大小关系为（ ）A. αβγ<<B. αγβ<<C. βαγ<<D. γαβ<<三. 解答题17. 已知复数213(i)2z =-是一元二次方程210mx nx ++=(,)m n ∈R 的一个根. （1）求m 和n 的值；（2）若1(2i)z a z =-，a ∈R ，1z 为纯虚数，求|2i |a +的值.18. 如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1.（1）正方体1111ABCD A B C D -中哪些棱所在的直线与直线1A B 是异面直线；（2）若M 、N 分别是1A B 、1BC 的中点，求异面直线MN 与BC 所成角的大小.19. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，首届中国国际进门博览会是某展馆棚顶一角的钢结构可以抽象为空间图形阳马，如图所示，在阳马P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD .（1）若4AD CD m ==，斜梁PB 与底面ABCD 所成角为15°，求立柱PD 的长； （精确到0.01m ）（2）请证明四面体PDBC 为鳖臑；若2PD =，2CD =，1BC =，点E 为线段PB 上一个动点，求△ECD 面积的最小值.20. 如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1AA ⊥底面ABCD ，AB ∥CD ，AB AD ⊥，1AD DC ==，12AA AB ==，E 为棱1AA 的中点.（1）证明：11B C CE ⊥；（2）求二面角11B CE C --的正弦值；（3）设点M 为线段1C E 上，且直线AM 与平面 11ADD A 所成角正弦值为2，求线段AM 的长.21. 设z C ∈，且(Re 0)()(Re 0)z z f z z z ≥⎧=⎨-<⎩. （1）已知2()()429i f z f z z +-=-+（z C ∈），求z 的值；（2）若Re 0z ≥，设集合1{|()()2i ()2i ()120,}P z f z f z f z f z z C =⋅-⋅+⋅-=∈，21{|i ,}P z z P ωω==∈，求复平面内2P对应的点集表示的曲线的对称轴； （3）若1()z u u C =∈，21(1)()n n n z f z z n *+=++∈N ，是否存在u ，使得数列12,,z z ⋅⋅⋅满足n m n z z +=（m 为常数，且m *∈N ）对一切正整数n 均成立？若存在，试求出所有的u ，若不存在，请说明理由.参考答案一. 填空题1. 5-2. 53. 04. π5. 16. (2i)(2i)(2i)(2i)x x x x ++--+--+7. 48. 3(4-9. 10. 5 11. （1）（2）（4）12.9二. 选择题13. D 14. B 15. C 16. B三. 解答题17.（1）1m n ==；（2）4.18.（1）AD ，DC ，1CC ，1DD ，11C D ，11B C ；（2）4π.19.（1）1.52；（2.20.（1）略；（2）7；（321.（1）23i z =-；（2）2x =；（3）i u =±.。