四川省成都市石室中学2021届高三一诊模拟测试一诊模拟试卷简答理科数学

高2021届成都“一诊”理科数学第I 卷 (选择题，共60分)一、 选择题:本大题共12小题, 每小题5分,共60分.1.设集合A={}2340,x x x --< B={}13,x x x N -<∈，，则AB=(A) {}1,2,3 (B) {}0,1,2,3 (C) {}14x x -<< (D) {}24x x -<<2.复数12(iz i i+=为虚数单位),则z 的共轭复数是 (A) 2i -- (B) 2i -+ (C) 2i - (D) 2i +3.若等比数列{}n a 满足23242,6a a a a +=-=,则6a =(A) 32- (B) 8 (C) 8 (D) 64 4.甲乙两台机床同时生产-种零件,10天中,两台机床每天出的次品数分别是:1x 、2x 分别表示甲乙两组数据的平均数，S 1、S 2分别表示甲乙两组数据的方差,则下列选项正确的是(A)1212,x x S S => (B) 1212,x x S S >> (C) 1212,x x S S <> (D) 1212,x x S S >< 5.若函数32()3f x x x a =-+有且仅有一个零点,则实数a 的取值范围为 (A) (,0)(4,)-∞+∞ (B) (,8)(0,)-∞-+∞(C) [0,4] (D) (8,0)-6.若向量,a b 满足2,(2)6a a b b =+=,则b 在a 方向上的投影为 (A) 1 (B) 12 (C) 12- (D) 1- 7.设1202120202020ln ,20212021a b c === ,则a 、b 、c 的大小关系是(A)a >b .>c (B) a >c > b (C)c >a >b (D)c >b >a 8.若α、β、γ是空间中三个不同的平面，=,,l m n αβαγγβ==,则l m 是n m 的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件9.已知平行于x 轴的一条直线与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>相交于P 、Q 两点，4,(3PQ a PQO O π=∠=为坐标原点) ，则该双曲线的离心率为(A)2(B) 2(C)(D)10.已知锐角ϕcos 1ϕϕ-=.若要得到函数21()sin ()2f x x ϕ=-+的图象,则可 以将函数1sin 22y x =的图象 (A)向左平移712π个单位长度 (B)向左平移12π个单位长度， (C)向右平移712π个单位长度 (D)向右平移12π个单位长度11.已知抛物线24x y =的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线相交于A ， B 两点，P(0, 7)2- 若PB ⊥AB ，则AF = (A)32 (B)2. (C) 52(D) 3 12.已知函数()ln ,()ln f x x x g x x x =+= .若12()ln ,()f x t g x t ==，则122()ln x x x t -的最小值为 (A)21e (B) 2e (C) 12e- (D) 1e - 第II 卷(非选择题,共90分) 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡上.13.71)x的展开式中1x -的系数是______________（用数字做答案）14.若x 、y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩,则23z x y =-的最小值为_________。

四川省成都石室中学高2021届高三一诊模拟考试理科综合本试卷分选择题和非选择题两部分。

第Ⅰ卷（选择题）1至21题，第Ⅱ卷（非选择题）22至38题。

试卷共12页，满分300分，考试时间150分钟。

注意事项：1. 答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。

2. 答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。

3. 答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4. 所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 N-14 O-16 P-31 Cu-64 Sn-119 Ag-108 Pb-207第Ⅰ卷（共126分）一、选择题：本题共13个小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．原核生物核糖体直径约为20 nm，由65% rRNA和35%蛋白质组成。

研究表明，在大肠杆菌核糖体的肽键形成区域内没有蛋白质，只有RNA。

下列说法正确的是A．使用高倍镜观察大肠杆菌核糖体需调节细准焦螺旋B．大肠杆菌核糖体在核仁中合成好之后运送到细胞质C．大肠杆菌核糖体中的蛋白质在翻译过程中不起作用D．大肠杆菌核糖体中催化蛋白质肽键形成的是rRNA2．细胞色素C（Cyt C）是线粒体内膜上的嵌入蛋白，位于线粒体内膜的外侧，参与细胞呼吸过程。

细胞凋亡发生时，都伴随着Cyt C从线粒体释放出来，从而体现出线粒体在细胞凋亡中的重要作用。

下列说法正确的是A．Cyt C含量减少，线粒体内CO2的生成将会直接受影响B．阻碍Cyt C从线粒体释放，细胞凋亡过程将会受到抑制C．被病毒感染的细胞清除时，细胞质基质中Cyt C含量降低D．线粒体内膜上的Cyt C的合成和释放不受细胞核基因控制3．淡化海水可以采用反渗透技术。

反渗透技术通过对半透膜一侧的海水施加压力，让水分子可以通过半透膜，但其他物质不能通过，如图所示。

【高三】2021届高三数学理科一诊模拟试题（带答案）石室中学高2021届2021-2021学年度上期“一诊”模拟考试（二）数学（科学）问题一．：本大题共有10个小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.如果已知完整的集合，则集合，，然后集合（）a．b．c．d．2.复数（虚数单位）的模数为（）a.b.c.5d.83.下列命题的否定是错误的（）a.b.，c、所有可被3整除的整数都是奇数D4.已知的面积为2，在所在的平面内有两点、，满足,,则的面积为（）a、不列颠哥伦比亚省。

5.将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的安排方法物种数量为（）a．10b．20c．30d．406.右图显示了几何体的三个视图，因此几何体的体积为（）a．b．c。

d。

7.执行右图所示的程序框图（其中表示不超过的最大整数），输出值为（）a.7b.6c.5d.48.将函数图像向右移动单位长度，以获得函数图像。

如果图像和通过点，则的值可以是（）a．b．c．d．9.已知如果向量与向量共线，则的最大值为（）a．6b．4c．3d．10.当定义字段为R的函数满足时，如果时间常数保持不变，则实数的取值范围为（）a.b.c.d.二、问题：这个主要问题有5个子问题，每个子问题都有5分，总共25分11.已知则=12.在区间上随机取一个实数，则事件发生的概率为“”______13.若等比数列的第项是二项式展开式的常数项，则14.如果函数已知，不等式的解集为_______15.若直线与曲线恰有四个公共点，则的取值集合是______三、答：这个主要问题有6个小问题，共75分。

答案应写上文字描述、证明过程或计算步骤16．（本小题满分12分）设函数.其中（1）求最小正周期；（2）当时，求实数的值，使函数的值域恰为并求此时在上的对称中心.17.（本子题满分为12分）在三棱柱abc-a1b1c1中，ab=BC=CA=Aa1=2，侧棱aa1⊥面abc，d、e分别是棱a1b1、aa1的中点，点f在棱ab上，和（ⅰ）求证：ef∥平面bdc1；（二）求二面角e-bc1-d的余弦18．（本小题满分12分）设等差数列的前n项和为，且，．（一）序列的通项公式；（ⅱ）设数列前n项和为，且，令．求数列的前n项和.19.（本子问题的满分为12分）调查公司根据进入服务区的顺序，从服务区座位少于7个的小型车中选择40名驾驶员，每50个间隔一名，将它们在高速公路某一路段的速度（K/T）分为六个路段：然后得到频率分布直方图，如图4所示。

成都石室中学2022—2023学年度上期高2023届一诊模拟考试数学试题(理科)（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i 是虚数单位，复数212i z i=+，则复数z 的虚部为（ ）A. 25iB. 25C. 15i −D. 15−2.已知集合{}{}ln ,e 1x A xy x B y y ====−∣∣，则A B ⋃=（ ） A.R B.[)0,∞+ C.()1,∞−+ D.∅3.522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为( )A.10B. 20C.40D. 804.已知(0,0)O ,(3,0)A ,动点(,)P x y 满足2PAPO=,则动点P 的轨迹与圆()2221x y −+=的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相离C. 内切D. 外切5.若tan 3α=，则sin2cos2αα−=（ ） A.15−B.14C.12D.756.如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，点,E F 分别是棱111,B B B C 的中点，点G 是棱1C C 的中点，则过线段AG 且平行于平面1A EF 的截面图形为（ ）A. 等腰梯形B. 三角形C. 正方形D. 矩形7．函数(ln ()x xx f x e e −+=+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8.某化工企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量M （单位：mg /L ）与时间t （单位：h ）之间的关系为：0e kt M M −=（其中0M ，k 是正常数）．已知经过1h ，设备可以过滤掉20%的污染物，则过滤60%的污染物需要的时间最接近（ ）（参考数据：lg 20.3010=） A.3h B.4h C.5h D.6h9.在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数，则两数之和大于74的概率为（ ）A. 79B. 2332C. 932D. 2910.某校安排一至五班的同学去,,,A B C D 四个劳动实践基地学习，每班去一个基地，每个基地至少安排一个班，则一班被安排到A 基地的排法总数为（ ） A. 24 B. 36 C.60 D.24011.已知双曲线C :22221x y a b−=，过右焦点F 作C 的一条渐近线的垂线l ，垂足为点A ，l 与C 的另一条渐近线交于点B ，若3AB AF =，则C 的离心率为( )A.2B.2C. 3D.312.已知0.21,ln1.2,tan 0.2e a b c =−==，其中e 2.71828=为自然对数的底数，则（ ） A.c a b >> B. a c b >> C. b a c >> D.a b c >>二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．13.若sin 2x x =，则cos 2x =__________． 14.若直线y kx b =+是曲线e 1x y =−和1ex y −=的公切线，则实数k 的值是___________．15. 已知抛物线C ：22x y =上有两动点,P Q ，线段PQ 的中点E 到x 轴距离的是2，则线段PQ 长度的最大值为___________.16．中国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”的底面是边长为3的正方形，垂直于底面的侧棱长为4，则该“阳马”的内切球表面积为 ，内切球的球心和外接球的球心之间的距离为 ．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分.某校为了解本校学生课间进行体育活动的情况，随机抽取了60名男生和60名女生，通过调查得到如下数据：60名女生中有10人课间经常进行体育活动，60名男生中有20人课间经常进行体育活动. （Ⅰ）请补全22⨯X ，求X 的分布列、数学期望和方差. 附表：)20k2附：)()()()()22n ad bc K a b c d a c b d −++++=，其中n a b c d =+++.18.（本小题满分12分）已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，已知11a =且()12n n nS n S +=+，*n ∈N . （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设()()*24141nn n a b n N n =−∈−，求数列{}n b 的前n 项和n T .19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD −中，AB BD BP ===PA PD ==90APD ∠=︒，E 是棱PA 的中点，且BE ∥平面PCD . （Ⅰ）证明：CD ⊥平面PAD ；（Ⅱ）若1CD =，求二面角A PB C −−的正弦值.已知椭圆C ：)0,0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，)0,(1a A −，)0,(2a A ，),0(b B ，12A BA △的面积为2.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设M 是椭圆C 上一点，且不与顶点重合，若直线B A 1与直线M A 2交于点P ，直线M A 1与直线B A 2交于点Q ．求证：BPQ △为等腰三角形．21.（本小题满分12分）已知函数()()xf x x p e =−的极值为1−.（Ⅰ）求p 的值，并求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()()()f a f b a b =≠，证明：2aba b e e +++<.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.选修4－4：极坐标与参数方程在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为1cos tan x y αα⎧=⎪⎨⎪=⎩（α为参数）． （Ⅰ）写出曲线C 的普通方程；（Ⅱ）设P 为曲线C 上的一点，将OP 绕原点O 逆时针旋转4π得到OQ ．当P 运动时，求Q 的轨迹方程．23.选修4－5：不等式选讲已知函数()124lg 3x x af x ++=（a R ）．（Ⅰ）若2a =−，求()f x 的定义域；（Ⅱ）若01a <<，求证：()()22f x f x >．。

2021年高三数学第一次诊断性考试试题理（含解析）【试卷综析】本套试卷能从学科结构上设计试题，已全面覆盖了中学数学教材中的知识模块，同时，试卷突出了学科的主干内容，集合与函数、不等式、数列、概率统计、解析几何、导数的应用等重点内容在试卷中占有较高的比例，也达到了必要的考查深度．本套试卷没有刻意追求覆盖面，还有调整和扩大的空间，注重了能力的考查，特别是运算能力，逻辑思维能力和空间想象能力的强调比较突出，实践能力和创新意识方面也在努力体现.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）。

第I卷1至2页，第II 卷2至4页.共4页。

满分150分。

考试时间120分钟.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。

考试结束后，将答题卡交回。

第Ⅰ卷（选择题，共50分）注意事项：必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑.第I卷共10小题.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．【题文】1.已知集合A={x∈Z|x2-1≤0}，B={x|x2-x-2=0}，则A∩B=(A) (B) {2} (C) {0} (D) {-1}【知识点】集合运算. A1【答案解析】D 解析：因为A={-1，0，1}, B={-1，2}，所以，故选B.【思路点拨】化简集合A、B,从而求得.【题文】2．下列说法中正确的是(A) 命题“，”的否定是“，≤1”(B) 命题“，”的否定是“，≤1”(C) 命题“若，则”的逆否命题是“若，则”(D) 命题“若，则”的逆否命题是“若≥，则≥”【知识点】四种命题A2【答案解析】B 解析：根据命题之间的关系可知命题的否定是只否定结论，但全称量词要变成特称量词，而逆否命题是即否定条件又否定结论，所以分析四个选项可知应该选B.【思路点拨】根据命题之间的关系可直接判定.【题文】3．设各项均不为0的数列{a n}满足(n≥1)，S n是其前n项和，若，则S4=(A) 4 (B)(C) (D)【知识点】等比数列. D3【答案解析】D 解析：由知数列是以为公比的等比数列，因为，所以，所以，故选D. 【思路点拨】由已知条件确定数列是等比数列，再根据求得，进而求.【题文】4．如图，正六边形ABCDEF的边长为1，则=(A) -3 (B)(C) 3 (D)【知识点】向量的数量积. F3【答案解析】A 解析：因为,所以()2+⋅=⋅+⋅=-=-,故选 A.AB BD DB AB DB BD DB BD03【思路点拨】利用向量加法的三角形法则，将数量积中的向量表示为夹角、模都易求的向量的数量积.【题文】5．已知，那么=(A) (B) (C) (D)【知识点】二倍角公式；诱导公式.C2,C6【答案解析】C 解析：因为，所以27cos 22cos 14425x x ππ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即，故选C. 【思路点拨】利用二倍角公式求得值，再用诱导公式求得sin2x 值.【题文】6．已知x ，y 满足则2x -y 的最大值为(A) 1(B) 2 (C) 3 (D) 4http//【知识点】简单的线性规划.E5 【答案解析】B 解析：画出可行域如图：平移直线z=2x-y 得 ，当此直线过可行域中的点A （1,0）时 2x-y 有最大值2，故选B.【思路点拨】设目标函数z=2x-y ，画出可行域平移目标函数得点A （1,0）是使目标函数取得最大值的最优解.【题文】7.已知x ∈[，]，则“x ∈”是“sin(sin x )<cos(cos x )成立”的(A) 充要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充分不必要条件(D) 既不充分也不必要条件 【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 A2【答案解析】C 解析：解：（1）∵x∈[﹣，]，∴sinx+cosx≤，即＜sinx ＜﹣cosx ， ∴sin（sinx ）＜sin （﹣cosx ），即sin （sinx ）＜cos （cosx ）成立，（2）∵sin（sinx ）＜cos （cosx ）∴s in （sinx ）＜sin （﹣cosx ），sinx ＜﹣cosxsinx+cosx ＜，x ∈[﹣π，π]，∴x∈[，]，不一定成立，根据充分必要条件的定义可判断：“x∈[﹣，]是“sin（sinx ）＜cos （cosx ）成立”的充分不必要条件，故选：C【思路点拨】利用诱导公式，结合三角函数的单调性判断，命题成立，再运用充分必要条件定义判断【题文】8．是定义在非零实数集上的函数，为其导函数，且时，，记，则(A) (B)(C) (D)【知识点】函数的单调性.B3【答案解析】C 解析：因为对任意两个不相等的正数，都有，即对任意两个不相等的正数，都有，所以函数是上的减函数，因为，所以b>a>c,故选C. 【思路点拨】构造函数，根据条件可以判断它是上的减函数，由此可以判断a,b,c的大小关系.【题文】9．已知函数的图象上关于轴对称的点至少有3对，则实数的取值范围是(A) (B) (C) (D)【知识点】分段函数的应用B1【答案解析】D 解析：解：若x＞0，则﹣x＜0，∵x＜0时，f（x）=sin（）﹣1，∴f（﹣x）=sin（﹣）﹣1=﹣sin（）﹣1，则若f（x）=sin（）﹣1，（x＜0）关于y轴对称，则f（﹣x）=﹣sin（）﹣1=f（x），即y=﹣sin（）﹣1，x＞0，设g（x）=﹣sin（）﹣1，x＞0作出函数g（x）的图象，要使y=﹣sin（）﹣1，x＞0与f（x）=log a x，x＞0的图象至少有3个交点，则0＜a＜1且满足g（5）＜f（5），即﹣2＜log a5，即log a5＞，则5，解得0＜a＜，故选：A【思路点拨】求出函数f（x）=sin（）﹣1，（x＜0）关于y轴对称的解析式，利用数形结合即可得到结论【题文】10．已知R，且≥对x∈R恒成立，则的最大值是(A) (B) (C) (D)【知识点】分类讨论 E8【答案解析】A 解析：由≥对x ∈R 恒成立，显然a ≥0，b ≤-ax ．若a =0，则ab =0．若a >0，则ab ≤a -a 2x ．设函数，求导求出f (x )的最小值为．设，求导可以求出g(a )的最大值为，即的最大值是，此时．【思路点拨】利用导数证明不等关系第II 卷（非选择题 共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指的答题区域内作答。

成都市2022级高中毕业班第一次诊断性检测数学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分。

第1卷（选择题）1至2页，第Ⅱ卷（非选择题）2至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟。

第I卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)设集合U=R，A={x|x2-x-2>0）．则(A)（-∞，-1) ⋃(2,+∞) (B)[-1,2](C)（-∞，-1] ⋃[2，+∞）(D)（-1，2）(2)命题“若a>b，则a+c>b+c"的否命题是(A)若a≤6，则a+c≤b+c(B)若a+c≤b+c，则a≤6(C)若a+c>b+c，则a>b(D)若a>b，则a+c≤b+c(3)执行如图所示的程序框图，假如输出的结果为0，那么输入的x为(A)19(B) -1或1 (C)l (D)一1(4)已知双曲线2222-1(0x ya ba b=＞＞）的左，右焦点分别为F1，F2，双曲线上一点P满足PF2⊥x轴，若|F1F2|=12，|PF2|=5，则该双曲线的离心率为(A) 1312(B)125(C)32(D)3(5)已知α为其次象限角，且sin2α=2425，则cosα-sinα的值为(A)75(B) 一75(C)15(D) 一15(6)（x+1)5(x-2）的开放式中x2的系数为(A) 25 (B)5 (C) - 15 (D) - 20(7)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为(A) 136π (B) 34π (C) 25π (D) 18π(8)将函数f(x)=sin2x+3cos2x图象上全部点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将图象上全部点向右平移6π个单位长度，得到函数g (x)的图象，则g(x)图象的一条对称轴方程是(A)x=一6π(B)x=6π(C)x=2425π(D)x= 3π(9)在直三棱柱ABC-A1BlC1中，平面口与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面d．有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α上平面BCFE．其中正确的命题有(A)①②(B)②③(C)①③(D)①②③(10)已知A,B是圆O:x2+y2=4上的两个动点，若M是线段AB的中点，则的值为(A)3 (B) 23(C)2 (D) -3(11)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f（-x-1）=f（x-1），当x∈[-1，0]时，f(x)= 一x3．则关于x的方程f(x ) =|cosπx|在[一52，12]上的全部实数解之和为(A) -7 (B) -6 (C) -3 (D) -1(12)已知曲线C1:y2 =tx (y>0，t>0)在点M(4t,2)处的切线与曲线C2:y=e x+l—1也相切，则tln24et的值为(A) 4e2 (B) 8e (C)2 (D)8第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．(13)若复数z=1aii+（其中a∈R，i为虚数单位）的虚部为-1，则a= ．(14)我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势’’即是高，“幂”是面积．意思是：假如两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个外形不规章的封闭图形，图2是一个上底为l的梯形，且当实数t取[0，3]上的任意值时，直线y=t被图l和图2所截得的两线段长始终相等，则图l的面积为.(15)若实数x，y满足约束条件，则的最小值为(16)已知△ABC中，AC=2，BC=6，△ABC的面积为32，若线段BA的延长线上存在点D，使∠BDC=4π，则CD = .三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (17)（本小题满分12分）已知数列{a n }满足a l = -2，a n+1 =2a n +4． (I)证明数列{a n +4)是等比数列； (Ⅱ)求数列{|a n |}的前n 项和S n ． (18)（本小题满分12分）某省2022年高中数学学业水平测试的原始成果采 用百分制，发布成果使用等级制．各等级划分标准为：85 分及以上，记为A 等；分数在[70，85）内，记为B 等；分数 在[60，70）内，记为C 等；60分以下，记为D 等．同时认 定A ，B ，C 为合格，D 为不合格，已知甲，乙两所学校同学 的原始成果均分布在[50，100]内，为了比较两校同学的 成果，分别抽取50名同学的原始成果作为样本进行统 计，依据[50,60), [60,70), [70,80), [80,90),[90 ,100]的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1所示，乙 校的样本中等级为C ，D 的全部数据的茎叶图如图2所示． (I)求图中x 的值，并依据样本数据比较甲乙两校的合 格率；(II)在选取的样本中，从甲，乙两校C 等级的同学中随 机抽取3名同学进行调研，用X 表示所抽取的3名同学中 甲校的同学人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．(19)（本小题满分12分）如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是 AB ，BC 的中点，BD 与EF 交于点H ，G 为BD 中点，点R 在线段BH 上，且BRRH =λ(λ>0)．现将△AED ，△CFD ，△DEF 分别沿DE ，DF ，EF 折起，使点A ，C 重合于点B （该点记为P ），如图2所示． (I)若λ=2，求证：GR ⊥平面PEF ；(Ⅱ)是否存在正实数λ，使得直线FR 与平面DEF 所成角的正弦值为225？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．(20)（本小题满分12分）已知椭圆22:154x y E +=的右焦点为F ，设直线l ：x=5与x 轴的交点为E ，过点F 且斜率为k 的直线l 1与椭圆交于A ，B 两点，M 为线段EF 的中点．(I)若直线l 1的倾斜角为4π，求△ABM 的面积S 的值；(Ⅱ)过点B 作直线BN ⊥l 于点N ，证明：A ，M ，N 三点共线 (21)（本小题满分12分）已知函数f(x)=xln(x+1)+（12一a ）x+2一a ，a ∈R ． (I)当x>0时，求函数g(x)=f(x)+ln(x+1)+ 12x 的单调区间；(Ⅱ)当a ∈Z 时，若存在x ≥0，使不等式f(x)<0成立，求a 的最小值． 请考生在第(22)、(23)题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题计分． (22)（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α(α≠2π）的直线l 的参数方程为1cos ,sin ,x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρcosx θ - 4sin θ=0．(I)写出直线l 的一般方程和曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)已知点P(1，0)．若点M 的极坐标为（1，2π），直线l 经过点M 且与曲线C 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为Q ，求|PQ|的值．(23)（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲 已知函数f(x ）=x +1+ |3 -x|，x ≥-1． (I)求不等式f(x ）≤6的解集；(Ⅱ)若f(x ）的最小值为n ，正数a ，b 满足2nab =a+2b ，求2a+b 的最小值.。

2021年四川省成都市高三高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1，2}B．{﹣2，﹣1，0，1}C．{0，1}D．{﹣1，0}2．已知i是虚数单位，设z＝，则复数+2对应的点位于复平面（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．抛物线y＝2x2的焦点坐标为（）A．（1，0）B．（，0）C．（0，）D．（0，）4．已知a＝log0.22，b＝0.32，c＝20.3，则（）A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．b＜c＜a5．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n6．若tan（α+）＝﹣3，则sin2α＝（）A．B．1C．2D．﹣7．设函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（）A．y＝﹣2x B．y＝4x﹣2C．y＝2x D．y＝﹣4x+28．已知函数y＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则此函数的解析式为（）A．y＝sin（2x+）B．y＝sin（2x+）C．y＝sin（4x+）D．y＝sin（4x+）9．下列命题中的真命题有（）A．已知a，b实数，则“”是“log3a＞log3b”的充分而不必要条件B．已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）e x＞1，则￢p：∃x0≤0，使得（x0+1）e x≤1C．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α．“m∥β”是“α∥β”的充要条件D．“∃x0∈R，＞x02”的否定为“∀x∈R，2x≤x2”10．如图为某几何体的三视图，已知正视图为一正方形和其内切圆组成，圆半径为1，则该几何体表面积为（）A．16﹣2πB．16+πC．16﹣πD．16+2π11．自古以来，人们对于崇山峻岭都心存敬畏，同时感慨大自然的鬼斧神工，一代诗圣杜甫曾赋诗《望岳》：“岱宗夫如何？齐鲁青未了．造化钟神秀，阴阳割昏晓．荡胸生曾云，决毗入归鸟．会当凌绝顶，一览众山小．”然而，随着技术手段的发展，山高路远便不再人们出行的阻碍，伟大领袖毛主席曾作词：“一桥飞架南北，天堑变通途”．在科技腾飞的当下，路桥建设部门仍然潜心研究如何缩短空间距离方便出行，如港珠澳跨海大桥等．如图为某工程队将A到D修建一条隧道，测量员测得一些数据如图所示（A，B，C，D在同一水平面内），则A，D间的距离为（）A．km B．km C．km D．km12．已知双曲线＝1，O为坐标原点，P，Q为双曲线上两动点，且OP⊥OQ，则△POQ 面积的最小值为（）A．20B．15C．30D．25二、填空题（共3小题）.13．已知向量＝（2，1），＝（﹣1，k），•（2﹣）＝0，则k等于．14．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为．7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 01983204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481．15．的展开式中x2y2项的系数是三、解答题（共1小题，满分0分）16．函数f（x）＝e x﹣1﹣e﹣x+1+a sinπx（x∈R，a＞0）存在唯一的零点，则实数a的取值范围是．三、解答题17．已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a1，a3的等差中项为10，a2＝8．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{b n}的前n项和S n．18．为了认真贯彻落实北京市教委关于做好中小学生延期开学期间“停课不停学”工作要求，各校以教师线上指导帮助和学生居家自主学习相结合的教学模式积极开展工作，并鼓励学生积极开展锻炼身体和课外阅读活动．为了解学生居家自主学习和锻炼身体的情况，从某校高三年级随机抽取了100名学生，获得了他们一天中用于居家自主学习和锻炼身体的总时间分别在[2，3），[3，4），[4，5），…，[8，9），[9，10）（单位：小时）的数据，整理得到的数据绘制成频率分布直方图（如图）．（Ⅰ）由图中数据求a的值，并估计从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在[5，6）的概率；（Ⅱ）为了进一步了解学生该天锻炼身体的情况，现从抽取的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在[2，3）和[8，9）的人中任选3人，求其中在[8，9）的人数X的分布列和数学期望；（Ⅲ）假设同一时间段中的每个数据可用该时间段的中点值代替，试估计样本中的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间的平均数在哪个时间段？（只需写出结论）19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，AB∥DC，∠ADC＝，AB＝AD＝CD＝2，PD＝PB＝，PD⊥BC．（1）求证：平面PBD⊥平面PBC；（2）在线段PC上存在点M，使得，求平面ABM与平面PBD所成锐二面角的大小．20．已知F1，F2分别为椭圆C1：＝1（a＞b＞0），且焦距是2，离心率是．（1）求椭圆C1的方程；（2）不平行于坐标轴的直线与圆x2+（y+1）2＝1相切，且交椭圆C1于A，B，若椭圆C1上一点P满足，求实数λ2的取值范围．21．已知函数f（x）＝2x3+3（1+m）x2+6mx（x∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（1）＝5，函数g（x）＝a（lnx+1）﹣≤0在（1，+∞）上恒成立，求整数a的最大值．[选修4-4，坐标系与参数方程]22．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）已知P（2，1），直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值．[选修4-5，不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+|+|x﹣a|．（1）若f（2）＞a+1，求a的取值范围；（2）若对∀a∈（0，+∞），f（x）≥m恒成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1，2}B．{﹣2，﹣1，0，1}C．{0，1}D．{﹣1，0}解：A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝Z，∴A∩B＝{﹣1，0，1，2}．故选：A．2．已知i是虚数单位，设z＝，则复数+2对应的点位于复平面（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：∵z＝＝，∴，则+2对应点为（2，1），在第一象限．故选：A．3．抛物线y＝2x2的焦点坐标为（）A．（1，0）B．（，0）C．（0，）D．（0，）解：整理抛物线方程得x2＝y∴焦点在y轴，p＝∴焦点坐标为（0，）故选：D．4．已知a＝log0.22，b＝0.32，c＝20.3，则（）A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．b＜c＜a 解：∵a＝log0.22＜log0.21＜0，∴a＜0，b＝0.32＝0.09，∵c＝20.3＞20＝1，∴c＞1，∴c＞b＞a，故选：C．5．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n解：A、m，n平行于同一个平面，故m，n可能相交，可能平行，也可能是异面直线，故A 错误；B、α，β垂直于同一个平面γ，故α，β可能相交，可能平行，故B错误；C、α，β平行于同一条直线m，故α，β可能相交，可能平行，故C错误；D、垂直于同一个平面的两条直线平行，故D正确．故选：D．6．若tan（α+）＝﹣3，则sin2α＝（）A．B．1C．2D．﹣解：由tan（α+）＝﹣3，得＝﹣3，解得tanα＝2，所以sin2α＝＝＝＝．故选：A．7．设函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（）A．y＝﹣2x B．y＝4x﹣2C．y＝2x D．y＝﹣4x+2解：函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax，若f（x）为奇函数，可得a＝1，所以函数f（x）＝x3+x，可得f′（x）＝3x2+1，f（1）＝2；曲线y＝f（x）在点（1，2）处的切线的斜率为：4，则曲线y＝f（x）在点（1，2）处的切线方程为：y﹣2＝4（x﹣1）．即y＝4x﹣2．故选：B．8．已知函数y＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则此函数的解析式为（）A．y＝sin（2x+）B．y＝sin（2x+）C．y＝sin（4x+）D．y＝sin（4x+）解：由函数的图象可得A＝1，＝＝﹣，∴ω＝2．再根据五点法作图可得2×+φ＝π，求得φ＝，故有函数y＝sin（2x+），故选：B．9．下列命题中的真命题有（）A．已知a，b实数，则“”是“log3a＞log3b”的充分而不必要条件B．已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）e x＞1，则￢p：∃x0≤0，使得（x0+1）e x≤1C．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α．“m∥β”是“α∥β”的充要条件D．“∃x0∈R，＞x02”的否定为“∀x∈R，2x≤x2”解：对于A：已知a，b实数，则“”是“log3a＞log3b”的必要不充分条件，故A错误；对于B：已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）e x＞1，则￢p：∃x0＞0，使得（x0+1），故B错误；对于C：设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α．“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件，故C错误；对于D：“∃x0∈R，＞x02”的否定为“∀x∈R，2x≤x2”，故D正确．故选：D．10．如图为某几何体的三视图，已知正视图为一正方形和其内切圆组成，圆半径为1，则该几何体表面积为（）A．16﹣2πB．16+πC．16﹣πD．16+2π解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为一个长为2，宽为2，高为1的长方体，挖去一个半径为1的半球．故几何体的表面积为S＝4×2×1+2×2+4﹣π•12+2•π•12＝16+π．故选：B．11．自古以来，人们对于崇山峻岭都心存敬畏，同时感慨大自然的鬼斧神工，一代诗圣杜甫曾赋诗《望岳》：“岱宗夫如何？齐鲁青未了．造化钟神秀，阴阳割昏晓．荡胸生曾云，决毗入归鸟．会当凌绝顶，一览众山小．”然而，随着技术手段的发展，山高路远便不再人们出行的阻碍，伟大领袖毛主席曾作词：“一桥飞架南北，天堑变通途”．在科技腾飞的当下，路桥建设部门仍然潜心研究如何缩短空间距离方便出行，如港珠澳跨海大桥等．如图为某工程队将A到D修建一条隧道，测量员测得一些数据如图所示（A，B，C，D在同一水平面内），则A，D间的距离为（）A．km B．km C．km D．km 解：如图所示，连接BD，在△BCD中，∵BD2＝BC2+CD2﹣2BC•CD•cos∠BCD＝9+25﹣2×3×5×（﹣）＝49，∴BD＝7，又∵，即，解得：sin∠DBC＝，∵∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC，∴cos∠ABD＝cos（90°﹣∠DBC）＝sin∠DBC＝，在△ABD中，AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BD•cos∠ABD＝16+49﹣2×4×7×＝65﹣12，即A，D间的距离为km，故选：A．12．已知双曲线＝1，O为坐标原点，P，Q为双曲线上两动点，且OP⊥OQ，则△POQ 面积的最小值为（）A．20B．15C．30D．25解：设直线OP的方程为y＝kx，k＞0，且P在第一象限内，代入双曲线＝1，可得P（，k），由OP⊥OQ，可将上面中的k换为﹣，可得Q（k，﹣），所以△POQ面积S＝|OP|•|OQ|＝•••＝10（1+k2）≥10（1+k2）•＝20，当且仅当5﹣4k2＝5k2﹣4，即k＝1时，上式取得等号，所以△POQ面积的最小值为20．故选：A．二、填空题13．已知向量＝（2，1），＝（﹣1，k），•（2﹣）＝0，则k等于12．解：∵＝（2，1），＝（﹣1，k），∴2﹣＝2（2，1）﹣（﹣1，k）＝（5，2﹣k），又∵•（2﹣）＝0，∴2×5+1×（2﹣k）＝0，解得k＝12故答案为：1214．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为01．7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 01983204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481．解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次为08，02，14，07，02，01；其中第二个和第四个都是02，重复，舍去；可知对应的数值为08，02，14，07，01，04；则第5个个体的编号为01．故答案为：01．15．的展开式中x2y2项的系数是420解：∵表示8个因式（1+2x﹣）的乘积，要得到含x2y2的项，需其中有2个因式取2x，2个因式取﹣，其余的因式都取1．故展开式中x2y2项的系数为•22•••＝420，故答案为：420．三、解答题（共1小题，满分0分）16．函数f（x）＝e x﹣1﹣e﹣x+1+a sinπx（x∈R，a＞0）存在唯一的零点，则实数a的取值范围是（0，]．解：函数f（x）＝e x﹣1﹣e﹣x+1+a sinπx（x∈R，a＞0）存在唯一的零点，等价于函数φ（x）＝a sinπx与函数g（x）＝e1﹣x﹣e x﹣1只有唯一一个交点，∵φ（1）＝0，g（1）＝0，∴函数φ（x）＝a sinπx与函数g（x）＝e1﹣x﹣e x﹣1唯一交点为（1，0），又∵g′（x）＝﹣e1﹣x﹣e x﹣1，且e1﹣x＞0，e x﹣1＞0，∴g′（x）＝﹣e1﹣x﹣e x﹣1在R上恒小于零，即g（x）＝e1﹣x﹣e x﹣1在R上为单调递减函数，又∵φ（x）＝a sinπx（a＞0）是最小正周期为2，最大值为a的正弦函数，∴可得函数φ（x）＝a sinπx与函数g（x）＝e1﹣x﹣e x﹣1的大致图象如图：∴要使函数φ（x）＝a sinπx与函数g（x）＝e1﹣x﹣e x﹣1只有唯一一个交点，则φ′（1）≥g′（1），∵φ′（1）＝πa cosπ＝﹣πa，g′（1）＝﹣e1﹣1﹣e1﹣1＝﹣2，∴﹣πa≥﹣2，解得a≤，又∵a＞0，∴实数a的范围为（0，]．故答案为：（0，]．三、解答题17．已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a1，a3的等差中项为10，a2＝8．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{b n}的前n项和S n．解：（Ⅰ）由题意可得：，∴2q2﹣5q+2＝0，∵q＞1，∴，∴数列{a n}的通项公式为．（Ⅱ），∴，＝，上述两式相减可得∴＝．18．为了认真贯彻落实北京市教委关于做好中小学生延期开学期间“停课不停学”工作要求，各校以教师线上指导帮助和学生居家自主学习相结合的教学模式积极开展工作，并鼓励学生积极开展锻炼身体和课外阅读活动．为了解学生居家自主学习和锻炼身体的情况，从某校高三年级随机抽取了100名学生，获得了他们一天中用于居家自主学习和锻炼身体的总时间分别在[2，3），[3，4），[4，5），…，[8，9），[9，10）（单位：小时）的数据，整理得到的数据绘制成频率分布直方图（如图）．（Ⅰ）由图中数据求a的值，并估计从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在[5，6）的概率；（Ⅱ）为了进一步了解学生该天锻炼身体的情况，现从抽取的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在[2，3）和[8，9）的人中任选3人，求其中在[8，9）的人数X的分布列和数学期望；（Ⅲ）假设同一时间段中的每个数据可用该时间段的中点值代替，试估计样本中的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间的平均数在哪个时间段？（只需写出结论）解：（Ⅰ）因为（0.05+0.1+0.18+a+0.32+0.1+0.03+0.02）×1＝1，所以a＝0.2．因为0.2×1×100＝20，所以该天居家自主学习和锻炼身体总时间在[5，6）的学生有20人．所以从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间在[5，6）的概率为．（Ⅱ）由图中数据可知，该天居家自主学习和锻炼身体总时间在[2，3）和[8，9）的人分别为5人和3人．所以X的所有可能取值为0，1，2，3．P（X＝0）＝，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝．所以X的分布列为：X0123P所以数学期望E（X）＝．（Ⅲ）样本中的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间的平均数在[5，6）．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，AB∥DC，∠ADC＝，AB＝AD＝CD＝2，PD＝PB＝，PD⊥BC．（1）求证：平面PBD⊥平面PBC；（2）在线段PC上存在点M，使得，求平面ABM与平面PBD所成锐二面角的大小．【解答】（1）证明：因为四边形ABCD是直角梯形，且AB∥DC，∠ADC＝，AB＝AD ＝2，所以BD＝，又CD＝4，∠BDC＝45°，由余弦定理可得，BC＝，所以CD2＝BD2+BC2，故BC⊥BD，又因为BC⊥PD，PD∩BD＝D，PD，BD⊂平面PBD，所以BC⊥平面PBD，又因为BC⊂平面PBC，所以平面PBD⊥平面PBC；（2）设E为BD的中点，连结PE，因为PB＝PD＝，所以PE⊥BD，PE＝2，由（1）可得平面ABCD⊥平面PBD，平面ABCD∩平面PBD＝BD，所以PE⊥平面ABCD，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，4，0），D（2，0，0），P（1，1，2），因为，所以，所以，平面PBD的一个法向量为，设平面ABM的法向量为，因为，，则有，即，令x＝1，则y＝0，z＝﹣1，故，所以，故平面ABM与平面PBD所成锐二面角的大小为．20．已知F1，F2分别为椭圆C1：＝1（a＞b＞0），且焦距是2，离心率是．（1）求椭圆C1的方程；（2）不平行于坐标轴的直线与圆x2+（y+1）2＝1相切，且交椭圆C1于A，B，若椭圆C1上一点P满足，求实数λ2的取值范围．解：（1）由已知可得2c＝2，且，所以a＝2，c＝1，则b2＝a2﹣c2＝3，所以椭圆C1的方程为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），由，则x1+x2＝λx0，y1+y2＝λy0，且…①又因为直线y＝k（x+t），（kt≠0）与圆相切，所以，即k＝）…②联立方程，消去y整理可得：（4+3k2）x2+6k2tx+3k2t2﹣12＝0，所以x，所以y，所以P（﹣），代入①得，②代入③得，t≠±1，t≠0，因为（），（）2++1≠3，所以λ2∈（0，．21．已知函数f（x）＝2x3+3（1+m）x2+6mx（x∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（1）＝5，函数g（x）＝a（lnx+1）﹣≤0在（1，+∞）上恒成立，求整数a的最大值．解：（1）f′（x）＝6x2+6（1+m）x+6m＝6（x+1）（x+m），①当m＝1时，f′（x）≥0，f（x）在R上单调递增；②当m＞1时，﹣m＜﹣1，令f'（x）＝0⇒x＝﹣m，或x＝﹣1，则有f′（x）＞0⇒x＜﹣m或x＞﹣1，此时函数f（x）为单调递增；f′（x）＜0⇒﹣m＜x ＜﹣1，此时函数f（x）单调递减；③当m＜1时，﹣m＞﹣1，f'（x）＝0⇒x＝﹣m，或x＝﹣1，则有f′（x）＞0⇒x＜﹣1或x＞﹣m，此时函数f（x）为单调递增；f′（x）＜0⇒﹣1＜x ＜﹣m，此时函数f（x）单调递减；综上，m＝1时，f（x）在R上单调递增；m＞1时，f（x）在（﹣∞，﹣m）和（﹣1，+∞）上单调递增，在（﹣m，﹣1）上单调递减；m＜1时，f（x）在（﹣∞，﹣1）和（﹣m，+∞）上单调递增，在（﹣1，﹣m）上单调递减．（2）由f（1）＝2+3（1+m）+6m＝5得，m＝0，所以f（x）＝2x3+3x2，又因为当x∈（1，+∞）时，lnx+1＞0，所以g（x）＝a（lnx+1）﹣≤0在（1，+∞）上恒成立，即在（1，+∞）上恒成立，此时，令h（x）＝（x∈（1，+∞）），则有a≤h（x）min，∵＝，令F（x）＝2lnx﹣（x＞1），则有F'（x）＝＞0，即得F（x）在（1，+∞）上单调递增，又因为F（2）＝2ln2﹣＜0，F（e）＝2﹣＞0，故可得h'（x）＝0在（1，+∞）上有且只有一个实根x0，且2＜x0＜e，此时，所以当1＜x＜x0时，h'（x）＜0，此时函数h（x）单调递减，当x＞x0时，h'（x）＞0，此时函数h（x）单调递增，因此可得h（x）min＝h（x0）＝＝2x0＜2e．从而可得a＜2x0＜2e，所以：当a＝5时，不等式g（x）≤0不恒成立；当a＝4时，不等式g（x）≤0恒成立；故有实数a的最大值为4．[选修4-4，坐标系与参数方程]22．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）已知P（2，1），直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值．解：（1）由（t为参数），消去参数t，可得直线l的普通方程为x+y﹣3＝0，由，即，又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为；（2）将直线l的参数方程化为，代入代入曲线C的直角坐标方程，得，＞0，＜0，∴＝＝＝．[选修4-5，不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+|+|x﹣a|．（1）若f（2）＞a+1，求a的取值范围；（2）若对∀a∈（0，+∞），f（x）≥m恒成立，求实数m的取值范围．解：（1）函数f（x）＝|x+|+|x﹣a|，又f（2）＞a+1，可得|2+|+|2﹣a|＞a+1，等价为或或或，解得a≤﹣或﹣＜a＜0或0＜a＜或a∈∅，则a的取值范围为（﹣∞，0）∪（0，）；（2）对∀a∈（0，+∞），f（x）≥m恒成立，可得m≤f（x）min，由f（x）＝|x+|+|x﹣a|≥|x++a﹣x|＝|a+|＝a+≥2，当且仅当﹣1≤x≤1时，上式取得等号，则m≤2，即m的取值范围是（﹣∞，2]．。

石室中学高2021届一诊模拟考试数学试卷简答（理科）一、选择题：CDBBB BAACD BB 二、填空题：13. []8,0z ∈- 14. 72 15. 12e <≤ 16. 2211,e e e e ⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭.三、解答题：17.（本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）ABC ∆中，角,A B C ，，的对边分别是,,,a b c (2)sin (2)sin 2sin a b A b a B c C +++=.∴由已知，得(2)(2)2222a b ca b b a c R R R+⋅++⋅=⋅，即222a b c ab +-=-，2221cos 22a b c C ab +-∴==-，由0C π<<，23C π∴=…………………………………6分 （Ⅰ）3c =，sin sin a bA B∴== 2sin a A ∴=，2sin b B =.设ABC ∆的周长为l ，则l a b c =++2sin 2sin A B =++2sin 2sin 3A A π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭2sin 2sincos 2cossin 33A A A ππ=+-+sin A A =++2sin 3A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭03A π<<，2sin 3A π⎛⎫∴<++ ⎪⎝⎭2≤+ABC ∆周长的最大值为2……12分18.（本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）设PD 的中点为E ，连接,,AE CE GF . //,2AB CD AB DC=ACBD F ==2AF AB FC CD ∴== 又G 为的重心G 2AG GE∴= GF CE ∴ 又,GF PDC CE PDC ⊄⊂面面∴平面………………………………….5分（Ⅰ）设O 为AD 的中点，PAD ∆为正三角形，则PO AD ⊥PAD ∆//GFPDC平面PAD ⊥平面ABCD ,平面PAD 平面ABCD AD =PO ABCD ∴⊥平面，过O 分别作,BC AB 的平行线，建系如图：……………….7分()330,0,3,,22P B C ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 易知平面PAD 的法向量()1=1,3,0n ，设平面PBC 的法向量分别为()2222,,n x y z =()333,,3,3002PBBC ⎛⎫∴=--=- ⎪ ⎪⎝⎭，， 2222223302230PB n x y z BC n x ⎧⋅=-+-=⎪∴⎨⎪⋅=-=⎩得23=032n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， ..10分 121212cos ,21n n n n n n ⋅==分 从而，平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值为7…………………………………….12分 19.（本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）由表格中的数据，182.479.2>，所以()()772211182.479.2iii i y y y y ==>--∑∑，所以()()772211182.479.211iit t y y y y ==-<---∑∑．可见模型①的相关指数21R 小于模型②的相关指数22R ．所以回归模型②的拟合效果更好．………………………………………………………………2分 所以当17x =亿元时，科技升级直接收益的预测值为ˆ21.314.421.3 4.114.472.93y=≈⨯-=（亿元）．…………………………………………..3分 （Ⅰ）当17x >时，由已知可得2122232425235x ++++==，68.56867.5666667.25y ++++==．所以0.767.20.72383.3a y x =+=+⨯=．…………………………………………………5分所以当17x >时，y 与x 满足的线性回归方程为ˆ0.783.3yx =-+． 当20x 时，科技升级直接收益的预测值为ˆ0.72083.369.3y=-⨯+=亿元． 当20x 亿元时，实际收益的预测值为69.3574.3+=亿元72.93>亿元，所以技术升级投入20亿元时，公司的实际收益更大．……………………………………..8分 （Ⅰ）因为20.50μσ-=，0.53μσ+=，所以(0.500.53)(2)P X P X μσμσ<≤=-<≤+(2)()P X P X μσμσμσμσ=-<≤-+-<≤+0.95450.68270.68270.81862-=+=；10.6827(0.53)()2P X P X μσ->=>+=．所以10.6827()020.818642E Y -=+⨯+⨯ 2.2718 2.27=≈（元）．……………………….12分 20.（本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）依题意可得：2222211112b c x a b c C y a a b c =⎧⎪⎪=⇒===⇒+=⎨⎪=+⎪⎩，椭圆：………..3分 （Ⅰ）圆M 过A 的切线方程可设为l ：1y kx =+，代入椭圆C 的方程得：()222421212kx kx x k-++=⇒=+， 可得21122114121212k k B k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，；同理可得22222224121212k k D k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， ……………………………..5分 由圆M 与l()2221210r r k k r =⇒--+-= 由韦达定理得：12122211k k k k r+==-，………………………..……………………………6分 所以直线BD 的斜率()()()22212222212112122212121122221121212124424442111212k k y y k k k k k k k k k x x k k k k r k k ----++-====-+=-----+++ …………………………………………………………………………………………………………9分直线BD 的方程为：21122221124212112k k y x k r k ⎛⎫--=+ ⎪+-+⎝⎭化简为：2211122221111412223112121k k k y x x r k k k r +-=-⨯+=--++-，即2231y x r =--………..11分所以，当(01)r r <<变化时，直线BD 总过定点()03R -，……………………………………12分 21．（本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）()e sin x f x x '=-，令()e sin x g x x =-，0x ≥，则()e cos x g x x '=-.①当[)0,πx ∈时，()g x '为增函数，()()00g x g ''≥=；②当[),x π∈+∞时，()πe 10g x '≥->.故0x ≥时，()0g x '≥，()g x 为增函数，故()()min 01g x g ==，即()f x '的最小值为1……5分（Ⅰ）令()e cos 2x h x x ax =+--，()e sin xh x x a '=--，则本题即证当π2x ≥-时，()0x h x ⋅≥恒成立.①当1a >时，由（1）可知()e sin xh x x a '=--在[)0,+∞上为增函数，且()010h a '=-<，()1110a h a e a +'+≥-->，故存在唯一()20,x ∈+∞，使得()20h x '=.则当()20,x x ∈时，()0h x '<，()h x 为减函数，所以()()00h x h <=，此时()0x h x ⋅<，与()0x h x ⋅≥恒成立矛盾…………………………………………………………………………….7分②当1a ≤时，（i ）若0x ≥，则由（1）可知，()10h x a '≥-≥，所以()h x 为增函数，故()()00h x h ≥=恒成立，即()0x hx ⋅≥恒成立；………………………………………………………………………8分（ii ）若π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则()e cos xh x x ''=-，()e sin x h x x '''=+在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，又()01h '''=，π2πe 102h -⎛⎫'''-=-< ⎪⎝⎭，故存在唯一0π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()00h x '''=.当0π,2x x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0h x '''<，()h x ''为减函数；()0,0x x ∈时，()0h x '''≥，()h x ''为增函数.又π2πe 02h -⎛⎫''-=> ⎪⎝⎭，()00h ''=，故存在唯一1π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭使得()10h x ''=.故1π,2x x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()10h x ''>，()h x '为增函数；()1,0x x ∈时，()10h x ''<，()h x '为减函数.又π2πe 102h a ⎛⎫'-=+-> ⎪⎝⎭，()010h a '=-≥，所以π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()0h x '>，()h x 为增函数，故()()00h x h ≤=，即()0x h x ⋅≥恒成立…11分综上所述，1a ≤………………………………………………………………………………………….12分22．（本小题满分10分）【解析】（Ⅰ）曲线C 的参数方程为1x cos y sin αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），所以消去参数α得曲线C 的普通方程为2220x y y +-=，因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，代入曲线C 可得C 的极坐标方程：2sin ρθ=.将直线3πθ=，56πθ=代入圆的极坐标方程可知:1ρ=21ρ=，故A ，B 两点的极坐标为3A π⎫⎪⎭，51,6B π⎛⎫⎪⎝⎭…………………………………..5分（Ⅰ）由cos x ρθ=，sin y ρθ=得：32A ⎫⎪⎪⎝⎭，12B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以的极坐标方程为：13y x =+.所以AB 的极坐标方程为sin 6πρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭可知直线AB 恰好经过圆的圆心，故ABO ∆为直角三角形，且OA 1OB =，故122ABO S ∆==分 23．（本小题满分10分）【解析】（Ⅰ）由题意知，原不等式等价于12251x x x≤-⎧⎨---≥-⎩或112251x x x-<≤⎧⎨+-≥-⎩或12251x x x >⎧⎨+-≥-⎩，解得8x ≤-或∅或2x ≥， 综上所述，不等式()1f x x ≥-的解集为(][),82,-∞-+∞.………………………………..5分（Ⅰ）当1m =-时，则()2251g x x x =+-++ 315x =+-，此时()gx 的图象与x 轴围成一个三角形，满足题意：当1m >-时，()225g x x x m =+-+- 37,13,133,x m x x m x m x m x m -+-≤-⎧⎪=+--<≤⎨⎪-->⎩，则函数()gx 在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增.要使函数()g x 的图象与x 轴围成一个三角形，则()()140230g m g m m ⎧-=-<⎪⎨=-≥⎪⎩，解得342m ≤<；综上所述，实数m 的取值范围为{}3,412⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.…………………………………………..10分。

四川省成都市2021届高中毕业班第一次诊断性检测 数学试题（理科）【试卷综述】本试卷是高三理科试卷，以基础学问和基本技能为载体，以力量测试为主导，在留意考查学科核心学问的同时，突出考查考纲要求的基本力量，重视同学科学素养的考查.学问考查留意基础、留意常规、留意主干学问，兼顾掩盖面.试题重点考查：集合、不等式、向量、三视图、导数、简洁的线性规划、直线与圆、数列、充要条件等；考查同学解决实际问题的综合力量，是份较好的试卷。

【题文】一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【题文】1．设全集{|0}=≥U x x ，集合{1}=P ，则UP =（A ）[0,1)(1,)+∞ （B ）(,1)-∞ （C ）(,1)(1,)-∞+∞ （D ）(1,)+∞【学问点】集合的补集 A1【答案】【解析】A 解析：由于{|0}=≥U x x ，{1}=P ，所以U P =[0,1)(1,)+∞,故选A.【思路点拨】由补集运算直接计算可得.【题文】2．若一个几何体的正视图和侧视图是两个全等的正方形，则这个几何体的俯视图不行能是（A ） （B ） （C ） （D ） 【学问点】三视图 G2 【答案】【解析】C 解析：由题意可得，A 是正方体，B 是三棱柱，C 是半个圆柱，D 是圆柱，C 不能满足正视图和侧视图是两个全等的正方形，故选C. 【思路点拨】由三视图的基本概念即可推断.【题文】3．已知复数z 43i =--（i 是虚数单位），则下列说法正确的是（A ）复数z 的虚部为3i - （B ）复数z 的虚部为3 （C ）复数z 的共轭复数为z 43i =+ （D ）复数z 的模为5 【学问点】复数运算 L4【答案】【解析】D 解析：由复数概念可知虚部为-3，其共轭为43i -+，故选D. 【思路点拨】由复数概念直接可得.【题文】4．函数31,0()1(),03xx x f x x ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩的图象大致为（A ） （B ） （C ） （D ） 【学问点】函数的图像 B6 B8【答案】【解析】A 解析：当0x <时，将3y x =的图像向上平移一个单位即可；当0x ≥时，取1()3xy =的图像即可，故选A.【思路点拨】由基本函数3y x =和1()3xy =的图像即可求得分段函数的图像. 【题文】5．已知命题p ：“若22≥+x a b ，则2≥x ab ”，则下列说法正确的是（ ） （A ）命题p 的逆命题是“若22<+x a b ，则2<x ab ” （B ）命题p 的逆命题是“若2<x ab ，则22<+x a b ”（C ）命题p 的否命题是“若22<+x a b ，则2<x ab ” （D ）命题p 的否命题是“若22x a b ≥+，则2<x ab ”【学问点】四种命题 A2【答案】【解析】C 解析：“若p 则q ”的逆命题是“若q 则p ”，否命题是“若p ⌝则q ⌝”，故选C. 【思路点拨】将原命题的条件和结论互换位置即可得到逆命题，分别写出条件和结论的否定为否命题. 【题文】6．若关于x 的方程240+-=x ax 在区间[2,4]上有实数根，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）(3,)-+∞ （B ）[3,0]- （C ）(0,)+∞ （D ）[0,3]【学问点】二次函数 B5【答案】【解析】B 解析：由于240+-=x ax 在区间[2,4]上有实数根，令2(x)4f x ax =+-所以(2)(4)0f f ≤ ，即()21240a x +≤，30a ∴-≤≤ ，故选B.【思路点拨】二次函数在给定区间上根的分布问题，只需找准条件即可，不能丢解.yx OxyOx y Ox yO【题文】7．已知F是椭圆22221+=x y a b （0>>a b ）的左焦点，A 为右顶点，P 是椭圆上一点，⊥PF x 轴.若14=PF AF ，则该椭圆的离心率是（ ）（A ）14 （B ）34 （C ）12 （D ）32【学问点】椭圆的几何性质 H5【答案】【解析】B 解析：Rt PFA 中，222|PF ||FA ||PA |+=，||c FA a =+，2|PF |b a =， 又14=PF AF ，21(c)4b a a =+，得22430c ac a +-=,34c a ∴=,故选B.【思路点拨】Rt PFA 中, ||c FA a =+，2|PF |b a =，且14=PF AF，得22430c ac a +-=，可求离心率.【题文】8．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，且//m α，n ⊂β，则下列叙述正确的是（A ）若//αβ，则//m n （B ）若//m n ，则//αβ （C ）若n α⊥，则m β⊥ （D ）若m β⊥，则αβ⊥ 【学问点】线线关系，线面关系 G4 G5【答案】【解析】D 解析：A 中m ，n 可能异面；B 中α，β可能相交；C 中可能m β⊂或//m β，故选D. 【思路点拨】生疏空间中线线，线面关系的推断，逐一排解即可.【题文】9．若552sin =α，1010)sin(=-αβ，且],4[ππα∈，]23,[ππβ∈，则αβ+的值是 （A ）74π （B ）94π （C ）54π或74π （D ）54π或94π【学问点】两角和与差的正弦、余弦 C7【答案】【解析】A 解析：()2αββαα+=-+，552sin =α，],4[ππα∈25cos 25α∴=-且[,]42ππα∈，又1010)sin(=-αβ，[,]42ππα∈，]23,[ππβ∈， 310cos()10βα∴-=-，因此sin()sin[()2]αββαα+=-+sin()cos 2cos()sin 2βααβαα=-+-102531052()()1051052=⨯-+-⨯=-，又5[,2]4παβπ+∈，所以74παβ+=，故选A. 【思路点拨】利用角的变换()2αββαα+=-+，得sin()sin[()2]αββαα+=-+sin()cos 2cos()sin 2βααβαα=-+-即可求解.【题文】10．如图，已知正方体1111ABCD A BC D -棱长为4，点H 在棱1AA 上，且11HA =．在侧面11BCC B 内作边长为1的正方形1EFGC ，P 是侧面11BCC B 内一动点，且点P 到平面11CDDC 距离等于线段PF 的长.则当点P 运动时，2HP最小值是（ ）（A ）21 （B ）22 （C ）23 （D ）25 【学问点】点、线、面间的距离计算 G11 【答案】【解析】B 解析：点P 到平面11CDDC 距离就是点P 到直线1CC 的距离，所以点P 到点F 的距离等于点P 到直线1CC 的距离，因此点P 的轨迹是以F 为焦点，以1CC 为准线的抛物线，在面11A ABB 中作1HK BB ⊥于K ，连接KP ，在Rt HKP 中，222|HK ||PK ||HP |+=，而|HK |4=，要想2|HP |最小，只要|K |P 最小即可，由题意易求得min2|K |6P =，所以2|HP |最小值为22，故选B. 【思路点拨】留意到点P 到点F 的距离等于点P 到直线1CC 的距离，即点P 的轨迹是以F 为焦点，以1CC 为准线的抛物线，在Rt HKP 中，222|HK ||PK ||HP |+=，而|HK |4=，要想2|HP |最小，只要|K |P 最小即可.【题文】二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．【题文】11．若非零向量a ，b 满足a b a b +=-，则a ，b 的夹角的大小为__________．【学问点】向量的夹角 F3【答案】【解析】090解析：a b a b +=-22||||a b a b ∴+=-，即0a b =，所以a b ⊥，a ，b 的夹角为090，故答案为090.【思路点拨】由a b a b +=-可得0a b =，所以夹角为090.【题文】12．二项式261()x x -的开放式中含3x 的项的系数是__________．（用数字作答）【学问点】二项式定理 J3【答案】【解析】-20解析：2r 6r 6r 361661()()(1)r r r r T C x C x x ---+=-=-，求开放式中含3x 的项的系数，此时3633r r -=∴=，因此系数为6r 366(1)120r C C --=-⨯=-，故答案为-20.【思路点拨】利用通项2r 6r 6r 361661()()(1)r r r r T C x C xx ---+=-=-，可求r,即可求出系数.【题文】13．在∆ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2=c a ，4=b ，1cos 4=B ，则∆ABC 的面积=S __________．【学问点】余弦定理，正弦定理 C8【答案】152222cos b a c ac B =+-，得222116444a a a =+-⨯，2,4a c ∴==.面积1115sin 241522S ac B ==⨯⨯=15【思路点拨】【思路点拨】由余弦定理2222cos b a c ac B =+-可求24a =，再利用1sin 2S ac B =即可.【题文】14．已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，3()log (1)=+f x x ．若关于x 的不等式2[(2)](22)f x a a f ax x ++≤+的解集为A ，函数()f x 在[8,8]-上的值域为B ，若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是__________．【学问点】充分、必要条件 A2【答案】【解析】[2,0]-解析：由于0x ≥时，奇函数3()log (1)=+f x x ，所以函数()f x 在R 上为增函数，2[(2)](22)f x a a f ax x ++≤+，2(2)22x a a ax x ∴++≤+，即()222(2)0x a x a a -+++≤，2a x a ∴≤≤+，{|2}A x a x a =≤≤+，{|22}B x x =-≤≤,由于“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，所以A B ⊄，即22022a a a ≥-⎧∴-≤≤⎨+≤⎩，故答案为[2,0]-.【思路点拨】由于“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，所以A B ⊄，然后依据题意分别求出集合,A B 即可.【题文】15．已知曲线C ：22y x a =+在点n P (2)n n a +（0,a n >∈N ）处的切线n l 的斜率为n k ，直线n l 交x 轴，y 轴分别于点(,0)n n A x ，(0,)n n B y ，且00=x y ．给出以下结论：①1a =；②当*n ∈N 时，n y 的最小值为54；③当*n ∈N 时，221n k n <+；④当*n ∈N 时，记数列{}n k 的前n 项和为n S ，则2(11)<+n S n ．其中，正确的结论有 （写出全部正确结论的序号）【学问点】命题的真假推断A2 【答案】【解析】①③④解于曲线C ：析：由22y x a =+，所以()2'2'2y yy ==，即1'y k y ===，n k =，点nP (n （0,a n >∈N ）处的切线n l为)y x n =-，,n n x n a y ∴=--=， ①00|x ||y |=，0,||1n a a ∴=-=∴= ，正确；②1122n y ===12=112≥⨯=，所以n y 的最小值为1,错误；③1012n <≤，sin ∴><亦即n k<，正确；④n k==121n n n<++=+，22(2n 1)<+，<，<=，由于n k =，所以122(21321)n n S kk k n n =+++<-+-+++- 1)=， 故正确.【思路点拨】依题意，分别求出n k =,n n x n a y =--=，依次进行推断即可.【题文】三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【题文】16．（本小题满分12分）口袋中装有除颜色，编号不同外，其余完全相同的2个红球，4个黑球．现从中同时取出3个球． （Ⅰ）求恰有一个黑球的概率；（Ⅱ）记取出红球的个数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望()E X ． 【学问点】古典概型，分布列 K2 K6【答案】【解析】（Ⅰ）15 （Ⅱ）X 的分布列为:X 的数学期望1310121555=⨯+⨯+⨯=EX（Ⅰ）记“恰有一个黑球”为大事A ，则21243641()205⋅===C C P A C ．……………………………………………………4分（Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2，则343641(0)205====C P X C ………………………………………………………2分122436123(1)205⋅====C C P X C …………………………………………………2分1(2)()5===P X P A ……………………………………………………2分∴X 的分布列为∴X 的数学期望1310121555=⨯+⨯+⨯=EX ．………………………………2分【思路点拨】）X 的可能取值为0,1,2，再分别求出(0)P X =，(1)P X =，(2)P X = 即可.【题文】17．（本小题满分12分）如图，ABC ∆为正三角形，EC ⊥平面ABC ，//DB EC ，F 为EA 的中点，2EC AC ==，1BD =． （Ⅰ）求证：DF //平面ABC ；（Ⅱ）求平面DEA 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值．DBCAFE【学问点】线面平行，空间向量解决线面位置关系 G4 G10【答案】【解析】（Ⅰ）略（Ⅱ）22（Ⅰ）证明：作AC 的中点O ，连结BO ． 在∆AEC 中，//=FO 12EC ，又据题意知，//=BD 12EC ．∴//=FO BD ，∴四边形FOBD 为平行四边形． ∴//DF OB ，又⊄DF 平面ABC ，⊂OB 平面ABC ． ∴//DF 平面ABC ．……………………………………4分 （Ⅱ）∵//FO EC ，∴⊥FO 平面ABC ．在正∆ABC 中，⊥BO AC ，∴,,OA OB OF 三线两两垂直． 分别以,,OA OB OF 为,,z x y 轴，建系如图．则(1,0,0)A ，(1,0,2)-E ，3,1)D ． ∴(2,0,2)=-AE ，(13,1)=-AD ． 设平面ADE 的一个法向量为1(,,z)=x y n ，则1100⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩AE AD n n ，即22030-+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩x z x z ，令1=x ，则1,0==z y ． ∴平面ADE 的一个法向量为1(1,0,1)=n ． 又平面ABC 的一个法向量为2(0,0,1)=n ．∴1212122,22⋅>===cos <n n n n n n ．∴平面DEA 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值2．…………………………8分【思路点拨】（Ⅰ）求证线面平行，可以利用线线平行，本题很简洁找出//DF OB ； （Ⅱ）分别求平面DEA 与平面ABC 的法向量1(1,0,1)=n 2(0,0,1)=n ，∴1212122,22⋅>===cos <n n n n n n ，即可求出余弦值．【题文】18．（本小题满分12分） 已知数列{}n a 的前n 项和为nS ，且22n n S a =-；数列{}n b 满足11b =，12n n b b +=+.*n ∈N ．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记n n nc a b =，*n ∈N ．求数列{}n c 的前n 项和nT ．【学问点】等差数列，等比数列 【答案】【解析】（Ⅰ）2n n a =,21n b n =-（Ⅱ）1(23)24+=-+n n T n（Ⅰ）∵22n n S a =- ①当2≥n 时，1122--=-n n S a ②①-②得，122-=-n n n a a a ，即12-=n n a a （2≥n ）．又当1≥n 时，1122=-S a ，得12=a ．∴数列{}n a 是以2为首项，公比为2的等比数列，∴数列{}n a 的通项公式为1222-=⋅=n nn a ．…………………………………4分又由题意知，11b =，12n n b b +=+，即12+-=n n b b∴数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列，∴数列{}n b 的通项公式为1(1)221=+-⨯=-n b n n ．………………………2分（Ⅱ）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，(21)2=-nn c n …………………………………………1分∴231123252(23)2(21)2-=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅n nn T n n231121232(25)2(23)2(21)2-+=⨯+⨯++-⋅+-⋅+-⋅n n n n T n n n ④由-④得2311222222222(21)2-+-=+⨯+⨯++⋅+⋅--⋅n n n n T n ……………1分23112(12222)(21)2-+-=++++--⋅n n n n T n∴12222(21)212+-⋅-=⨯--⋅-n n n T n ……………………………………………1分∴111224222+++-=⋅--⋅+n n n n T n 即1(32)24+-=-⋅-n n T n∴1(23)24+=-+n n T n∴数列{}n c 的前n 项和1(23)24+=-+n n T n …………………………………3分【思路点拨】（Ⅰ）由条件直接求解即可； （Ⅱ）数列(21)2=-nn c n ，为差比数列，利用错位相减法直接求解.【题文】19．（本小题满分12分）某大型企业一天中不同时刻的用电量y （单位：万千瓦时）关于时间t （024t ≤≤，单位：小时）的函数()y f t =近似地满足()sin()(0,0,0)f t A t B A ωϕωϕπ=++>><<，下图是该企业一天中在0点至12点时间段用电量y 与时间t 的大致图象．（Ⅰ）依据图象，求A ，ω，ϕ，B 的值；（Ⅱ）若某日的供电量()g t （万千瓦时）与时间t （小时）近似满足函数关系式205.1)(+-=t t g （012t ≤≤）．当该日内供电量小于该企业的用电量时，企业就必需停产．请用二分法计算该企业当日停产的大致时刻（精确度0.1）. 参考数据:【学问点】函数模型及其应用B10【答案】【解析】（Ⅰ）1,22A B == ,12T =，6πω=（Ⅱ）11．625时 （Ⅰ）由图知12T =，6πω=．………………………………………………1分2125.15.22min max =-=-=y y A ，225.15.22min max =+=+=y y B ．……………2分∴0.5sin()26y x πϕ=++．又函数0.5sin()26y x πϕ=++过点(0,2.5)．代入，得22k πϕπ=+，又0ϕπ<<，∴2πϕ=．…………………………………2分综上，21=A ，6πω=，2πϕ=，21=B ． ………………………………………1分 即2)26sin(21)(++=ππt t f ．（Ⅱ）令)()()(t g t f t h -=，设0)(0=t h ，则0t 为该企业的停产时间．t （时）101112 11.5 11.25 11.75 11.625 11.6875 ()f t （万千瓦时） 2．25 2.433 2.5 2.48 2.462 2.496 2.490 2.493 ()g t （万千瓦时） 5 3.522.753.1252.3752.5632.469由0)11()11()11(<-=g f h ，0)12()12()12(>-=g f h ，则)12,11(0∈t ． 又0)5.11()5.11()5.11(<-=g f h ，则)12,5.11(0∈t ． 又0)75.11()75.11()75.11(>-=g f h ，则)75.11,5.11(0∈t ． 又0)625.11()625.11()625.11(<-=g f h ，则)75.11,625.11(0∈t ．又0)6875.11()6875.11()6875.11(>-=g f h ，则)6875.11,625.11(0∈t ．…4分∵1.00625.0625.116875.11<=-． ……………………………………………1分∴应当在11．625时停产．……………………………………………………………1分（也可直接由0)625.11()625.11()625.11(<-=g f h ，0)6875.11()6875.11()6875.11(>-=g f h ，得出)6875.11,625.11(0∈t ；答案在11．625—11．6875之间都是正确的；若换算成时间应为11点37分到11点41分停产）.【思路点拨】（Ⅰ）由三角函数图像可直接求）1,22A B == ,12T =，6πω=，代点(0,2.5)可求2πϕ=；（Ⅱ）理解二分法定义即可求解本题.【题文】20．（本小题满分13分）已知椭圆Γ：12222=+b ya x （0>>b a ）的右焦点为)0,22(，且椭圆Γ上一点M 到其两焦点12,F F 的距离之和为43．（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅱ）设直线:(l y x m m =+∈R)与椭圆Γ交于不同两点A ，B ，且32AB =．若点0(,2)P x 满足=PA PB，求x 的值．【学问点】直线与椭圆H8【答案】【解析】（Ⅰ）141222=+yx （Ⅱ）0x 的值为3-或1-（Ⅰ）由已知243=a 得23=a ，又22=c ． ∴2224=-=b a c ．∴椭圆Γ的方程为141222=+y x ．…………………………………………………4分（Ⅱ）由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,1412,22y x m x y 得01236422=-++m mx x ① ………………………1分∵直线l 与椭圆Γ交于不同两点A 、B ，∴△0)123(163622>--=m m ， 得216<m ．设),(11y x A ，),(22y x B ，则1x ，2x 是方程①的两根，则2321mx x -=+， 2123124-⋅=m x x ．∴2222129312(312)21244=+-=⨯--=⨯-+AB k x x m m m ．又由32AB =，得231294-+=m ，解之2m =±．……………………………3分据题意知，点P 为线段AB 的中垂线与直线2=y 的交点．设AB 的中点为),(00y x E ，则432210m x x x -=+=，400mm x y =+=，当2m =时，31(,)22E - ∴此时，线段AB 的中垂线方程为13()22y x -=-+，即1y x =--．令2=y ，得03x =-．…………………………………………………………………2分当2m =-时，31(,)22E - ∴此时，线段AB 的中垂线方程为13()22y x +=--，即1y x =-+．令2=y ，得01x =-．………………………………………………………………2分综上所述，0x 的值为3-或1-．【思路点拨】联立直线与椭圆，可得2m =±，由于=PA PB，所以点P 为线段AB 的中垂线与直线2=y 的交点，分状况争辩即可求0x .【题文】21．（本小题满分14分）已知函数2()ln mx f x x =-，2()e mxmx g x m =-，其中m ∈R 且0m ≠．e 2.71828=为自然对数的底数．（Ⅰ）当0m <时，求函数()f x 的单调区间和微小值；（Ⅱ）当0m >时，若函数()g x 存在,,a b c 三个零点，且a b c <<，试证明：10e a b c -<<<<<；（Ⅲ）是否存在负数m ，对1(1,)x ∀∈+∞，2(,0)x ∀∈-∞，都有12()()f xg x >成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【学问点】函数综合B14【答案】【解析】（Ⅰ）()2f x me=-极小值（Ⅱ）略（Ⅲ）(,(21)∈-∞-+m e e解：（Ⅰ）2222)(ln )ln 21()(ln ln 2)(ln 1ln 2)(x x mx x x x x m x x x x x mx f -⋅=-=⋅--='（0>x 且1≠x ）．∴由0)(>'x f ，得21e x >；由0)(<'xf ，得210e x <<，且1≠x ．…………………1分∴函数)(x f的单调递减区间是(0,1),(1，单调递增区间是),(+∞e ．……………2分 ∴mee f x f 2)()(-==极小值.……………………………………………………………1分（Ⅱ）222(2)(),(0)mx mx mx mxmxe mx e m mx mx g x m e e --'=-=>．∴()g x 在(,0)-∞上单调递增，2(0,)m 上单调递减，2(,)m +∞上单调递增．∵函数()g x 存在三个零点．∴20(0)02402()00>⎧>⎧⎪⎪⎪⇒⇒<<⎨⎨<⎪⎪-<⎩⎪⎩m g m e g m m m e ．∴02<<me …………………………………………………………………………………3分由(1)(1)0-=-=-<m mg m me m e ． ∴22()(1)0=-=-<em em me e g e m m e e ．……………………………………………………1分综上可知，()0,(0)0,(1)0<>-<g e g g ，结合函数()g x 单调性及a b c <<可得：(1,0),(0,),(,)a b e c e ∈-∈∈+∞．即10a b e c -<<<<<，得证．…………………………………………………………1分 （III ）由题意，只需min max()()>f x g x∵2(12ln )()(ln )-'=mx x f x x由0<m ，∴函数()f x 在12(1,)e 上单调递减，在12(,)e +∞上单调递增． ∴12min ()()2==-f x f e me ．………………………………………………………………2分∵(2)()-'=mx mx mx g x e由0<m ，∴函数()g x 在2(,)m -∞上单调递增，2(,0)m 上单调递减．∴max 224()()==-g x g m m e m ．…………………………………………………………2分 ∴242->-me m e m ，不等式两边同乘以负数m ，得22242-<-m e m e ．∴224(21)e m e +>，即224(21)m e e >+． 由0<m，解得m <．综上所述，存在这样的负数(,∈-∞m 满足题意．……………………………1分【思路点拨】（Ⅰ）2(12ln )()(ln )mx x f x x ⋅-'=，由0)(>'x f 和0)(<'x f ，求得其单调区间，进而可求极值 ；（Ⅱ）(2)(),(0)mx mx mx g x m e -'=>，∴()g x 在(,0)-∞上单调递增，2(0,)m 上单调递减，2(,)m +∞上单调递增，得()0,(0)0,(1)0<>-<g e g g ，结合函数()g x 单调性及a b c <<可得10a b e c -<<<<<．（III ）由题意，只需min max()()>f x g x ，12min()()2==-f x f e me ，max 224()()==-g x g m m e m ，求解即可.。

数学(理科)试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.设集合}1,0,1{-=M，},{2aaN=则使M∩N＝N成立的a的值是（）A．1 B．0 C．－1 D．1或－12.复数ii(113-为虚数单位）的共轭复数在复平面上对应的点的坐标是 ( ）A．(1,1) B．(1,1)- C．(1,1)- D．(1,1)--3.已知函数,,)21(,)(21⎪⎩⎪⎨⎧≤>=xxxxfx则=-)]4([ff（）A．4- B．41- C．4 D．64.函数ln||||x xyx=的图像可能是（）5.实数yx,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤-+,0224yxyxyx,则yx-2的最小值为（）A．16B．4C．1 D．126.下列说法中正确的是（）A．“5x>”是“3x>”必要条件B．命题“x R∀∈，210x+>”的否定是“x R∃∈，210x+≤”C．Rm∈∃，使函数)()(2Rxmxxxf∈+=是奇函数D．设p，q是简单命题，若p q∨是真命题，则p q∧也是真命题7.阅读程序框图，若输入4m=，6n=，则输出ia,分别是（）A．12,3a i== B．12,4a i== C．8,3a i== D．8,4a i==8.设函数)22,0)(sin(3)(πφπωφω<<->+=xxf的图像关于直线32π=x对称,它的周期是π,则（）A ．)(x f 的图象过点)21,0( B ．)(x f 的一个对称中心是)0,125(πC ．)(x f 在]32,12[ππ上是减函数 D ．将)(x f 的图象向右平移||φ个单位得到函数x y ωsin 3=的图象9. 设三位数10010n a b c =++,若以,,{1,2,3,4}a b c ∈为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三位数n 有（ ）A ．12种B ．24种C ．28种D ．36种10. 定义在R 上的函数1ln )(2++=x ex f x，且)()(x f t x f ＞+在()∞+-∈，1x 上恒成立，则关于x 的方程(21)()f x f t e -=-的根的个数叙述正确的是( ).A ．有两个B ．有一个C ．没有D ．上述情况都有可能二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.已知向量a 、b满足(1,0),(2,4)a b ==，则=+→→||b a .12.45)1)(1(x x x 展开式中-+的系数是 （用数字作答）.13. 在数列}a {n 中，)N n (a a a ,a ,a n n n *∈-===++122151，则2014a = .14.已知二次函数)R (4)(2∈+-=x c x ax x f 的值域为)0[∞+，，则ac 91+的最小值为 . 15. 已知D 是函数],[),(b a x x f y ∈=图象上的任意一点，B A ,该图象的两个端点， 点C 满足0=⋅=→→→→i DC AB AC ，λ，（其中→<<i ,10λ是x 轴上的单位向量），若T DC ≤→||(T 为常数)在区间],[b a 上恒成立，则称)(x f y =在区间],[b a 上具有 “T 性质”.现有函数： ①12+=x y ; ②12+=xy ； ③2x y =； ④x x y 1-=.则在区间]2,1[上具有“41性质”的函数为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16. (本小题满分12分)设{}n a 是公差大于零的等差数列，已知12a =，23210a a =-.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设{}n b 是以函数24sin y x π=的最小正周期为首项，以3为公比的等比数列，求数列{}n n a b -的前n 项和n S .17. (本小题满分12分) 已知ABC ∆ 的内角A 、B 、C 所对的边为,,a b c ， (sin ,cos )m b A a a B =-,(2,0)n =，且m 与n 所成角为3π. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）求C A sin sin +的取值范围.18. (本小题满分12分)某高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座。

2021年四川省成都市高考数学一诊试卷（理科）（附解析）2021年成都市高2021届高三第一次诊断考试数学问题（科学）第ⅰ卷（选择题，共50分）一、多项选择题：本主题共有10个子题，每个子题得5分，每个子题给出的四个选项共50分，只有一个符合问题要求1．已知集合a?{x?z|(x?1)(x?2)?0}，b?{x|?2?x?2}，则ab?（a） {x | 1 | x | 2}（b）{1,0,1}（c）{0,1,2}（d）{1,1}2？在ABC中，“a？？2”是“cosa？”424（a）充分和不必要条件（b）必要和不充分条件（c）充要条件（d）既不充分也不必要条件3.如图所示，剩余部分与开挖部分的体积比为（a）3:1（b）2:1（c）1:1（d）1:2正视图侧视图77?19154c?log4．设a?()，b?()，，则a,b,c的大小顺序是2997俯视图（a）b?a?c（b）c?a?b（c）c?b?a（d）b?c?a已知空间中的两条线，N和m，是不同的，？，？对于空间中的两个不同平面，以下命题是正确的的是（a）如果M/？，m/然后呢？/？（b）如果我？？，Mn、那么n/？（c）若m//?,m//n，则n//?（d）若m??,m//?，则6.执行如图所示的程序框图，如果输出结果不大于50，则输入整数k的最大值为（a）4（b）5（c）6（d）77．已知菱形abcd边长为2，?b?开始输入KS？0，n？0n？K不，是吗？s2n？2n？N1输出s？，P点满足AP？？AB，3结束？？r、如果是BD？内容提供商？？3.那么？价值在于121（c）3（a）121（d）?3（b）？1X2y28。

在双曲线2上？2.1的左顶点a（a？0，B？0）是一条斜率为1的直线，这是两条双曲线ab1渐近线的交点分别为b,c.若ab?bc，则此双曲线的离心率为2（a）10（b）5（c）3（d）2xy409．设不等式组?x?y?2?0表示的平面区域为d.若指数函数y?ax(a?0且a?1)的图Y2.0如果图像通过区域D上的点，则a的值范围为（a）[2，3]（b）[3,??)（c）(0，]（d）[,1)10.如果序列{an}中的任意三个连续奇数项和三个连续偶数项可以构成三角形的边长，则{an}称为“次三角形”序列；对于“次三角形”序列{an}，如果函数y？F（x）使1313bn?f(an)仍为一个“亚三角形”数列，则称y?f(x)是数列{an}的一个“保亚三角形函数（n？n），数字序列{CN}的第一n项的总和是Sn，C1？2022，5Sn？1？席席？10080，如果{CN}的项目n的最大值是G（x）？LGX是序列{CN}（参考数据：LG2×10.301，LG2022×3.304）（A）33（B）34（C）35（D）36的“次三角保留函数”。

四川省成都石室中学2022-2023学年高三上学期一诊模拟考试数学（理科）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知i 是虚数单位，复数2i 12i z =+，则复数z 的虚部为（）A ．2i 5B ．25C ．1i5-D ．15-2．已知集合{}|ln A x y x ==，{}|e 1xB y y ==-，则A B ⋃=（）A ．RB ．[)0,∞+C ．()1,-+∞D ．∅3．522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为A ．10B ．20C ．40D ．804．已知()0,0O ，()3,0A ，动点(),P x y 满足2PA PO=，则动点P 的轨迹与圆()2221x y -+=的位置关系是（）A ．相交B ．外切C ．内切D ．相离5．若tan 3α=，则sin 2cos 2αα-=（）A ．15-B ．14C ．12D ．756．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是棱1B B ，11B C 的中点，点G 是棱1C C 的中点，则过线段AG 且平行于平面1A EF 的截而图形为（）A ．等腰梯形B ．三角形C ．正方形D ．矩形7．函数(ln ()e exxx f x -=+的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．8．某化工企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量M （单位：mg/L ）与时间t （单位：h ）之间的关系为：0ektM M -=（其中0M ，k 是正常数）.已知经过1h ，设备可以过滤掉20%的污染物，则过滤60%的污染物需要的时间最接近（）（参考数据：lg 20.3010=）A ．3hB ．4hC ．5hD ．6h9．在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数，则两数之和大于74的概率为（）A ．79B ．2332C ．932D ．2910．某校安排5名同学去A ，B ，C ，D 四个爱国主义教育基地学习，每人去一个基地，每个基地至少安排一人，则甲同学被安排到A 基地的排法总数为（）A ．24B ．36C ．60D ．24011．已知双曲线C :22221x y a b-=，过右焦点F 作C 的一条渐近线的垂线l ，垂足为点A ，l 与C 的另一条渐近线交于点B ，若3AB AF =，则C 的离心率为（）A ．2B ．2C ．3D ．312．已知0.21,ln1.2,tan 0.2e a b c =-==，其中e 2.71828= 为自然对数的底数，则（）A ．c a b >>B ．a c b >>C ．b a c>>D ．a b c>>二、填空题13．若sin 2x x =，则cos 2x =__________．14．若直线y kx b =+是曲线e 1x y =-和1e x y -=的公切线，则实数k 的值是______.15．已知抛物线2:2C x y =上有两动点P ，Q ，线段PQ 的中点E 到x 轴距离的是2，则线段PQ 长度的最大值为______.三、双空题16．中国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”的底面是边长为3的正方形，垂直于底面的侧棱长为4，则该“阳马”的内切球表面积为_________，内切球的球心和外接球的球心之间的距离为________．四、解答题17．某校为了解本校学生课间进行体育活动的情况，随机抽取了60名男生和60名女生，通过调查得到如下数据：60名女生中有10人课间经常进行体育活动，60名男生中有20人课间经常进行体育活动.(1)请补全22⨯列联表，试根据小概率值0.05α=的独立性检验，判断性别与课间经常进行体育活动是否有关联；课间不经常进行体育活动课间经常进行体育活动合计男女合计(2)以样本的频率作为概率的值，在全校的学生中任取4人，记其中课间经常进行体育活动的人数为X ，求X 的分布列、数学期望和方差.附表：α0.10.050.010.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.828附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.18．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，已知11a =目()12n n nS n S +=+，n *∈N (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()()24141nnn a b n n *=-∈-N ，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．如图，在四棱锥P ABCD -中，5AB BD BP ===，2PA PD ==，90APD ∠=︒，E 是棱PA 的中点，且BE 平面PCD(1)证明：CD ⊥平面PAD ；(2)若1CD =，求二面角A PB C --的正弦值.20．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>123(,0),(,0),(0,)A a A a B b -，12A BA ∆的面积为2.(I)求椭圆C 的方程；(II)设M 是椭圆C 上一点，且不与顶点重合，若直线1A B 与直线2A M 交于点P ，直线1A M 与直线2A B 交于点Q .求证:△BPQ 为等腰三角形.21．已知函数()()e xf x x p =-的极值为1-．(1)求p 的值，并求()f x 的单调区间；(2)若()()()f a f b a b =≠，证明：e e 2a b a b +++<．22．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为1cos tan x y αα⎧=⎪⎨⎪=⎩（α为参数）．(1)写出曲线C 的普通方程；(2)设P 为曲线C 上的一点，将OP 绕原点O 逆时针旋转4π得到OQ ．当P 运动时，求Q 的轨迹．23．已知函数()()124lg 3x x af x a ++=∈R .(1)若2a =-，求()f x 的定义域；(2)若01a <<，0x ≠，求证：()()22f x f x >.参考答案：1．B【分析】根据复数运算法则即可得到答案.【详解】因为1(12i)12i 12i (12i)(12i)55z ---===-+++-,所以复数z 的虚部为25.故选：B.2．C【分析】根据集合的表示求得集合,A B ，按照集合的并集运算即可.【详解】解：由已知有{}()|ln 0,A x y x ∞===+，{}()|e 11,xB y y ∞==-=-+所以()1,A B =-+∞ .故选：C.3．C【详解】分析：写出103152r r rr T C x -+=⋅⋅，然后可得结果详解：由题可得()5210315522rrrr r r r T C xC x x --+⎛⎫== ⋅⋅⎪⎝⎭⋅⋅令103r 4-=,则r 2=所以22552240r r C C ⋅⋅==故选C.点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题．4．B【分析】由题意求出动点P 的轨迹方程,再由两圆圆心距与半径的关系判断.【详解】设(,)P x y ,由题意可知,()222222||4||,(3)4PA PO x y x y =∴-+=+ 整理得,点P 的轨迹方程为22(1)4x y ++=,其图形是以(1,0)-为圆心，以2为半径的圆，而圆22(2)1x y -+=的圆心坐标为(2,0),半径为1,可得两圆的圆心距为3,等于213+=,则动点P 的轨迹与圆22(2)1x y -+=的位置关系是外切.故选：B.5．D【分析】通过化弦为切得222tan 1tan sin 2cos 2tan 1ααααα-+-=+，代入数据即可.【详解】由已知可得tan 3α=,则cos 0α≠则sin 2cos 2αα-22222sin cos cos sin sin cos αααααα-+=+222tan 1tan 6197tan 1915ααα-+-+===++故选：D.6．A【分析】利用平行作出截面图形，即可判断形状.【详解】取BC 中点H ，连接AH ，GH ，1AD ，1D G .如下图所示：由题意得//GH EF ，1//AH A F .又GH ⊄平面1A EF ，EF ⊂平面1A EF ，//GH ∴平面1A EF ，同理//AH 平面1A EF .又GH AH H = ，,GH AH ⊂平面1AHGD ，∴平面1//AHGD 平面1A EF ，故过线段AG 且与平面1A EF 平行的截面为四边形1AHGD ，显然四边形1AHGD 为等腰梯形.故选：A 7．A【分析】根据函数的奇偶性以及特殊点的函数值求得正确答案.【详解】0x x x x >=+≥，所以()f x 的定义域为R ，()(ln ln e e e e x xx xx x x f x --⎡⎤-++-+⎣⎦-==++(()lne ex xxf x-⎛⎫==-=-+，所以()f x是奇函数，图象关于原点对称，排除BD选项.()(1ln110e ef-=>+，排除C选项，所以A选项正确.故选：A8．B【分析】由题意可得()0.40.8t=，进而利用指数与对数的关系可得0.8log0.4t=，再用换底公式结合对数的运算性质求解即可【详解】由题意可知()00120%e kM M--=，所以e0.8k-=，设过滤60%的污染物需要的时间为t，则()00160%e ktM M--=，所以()()0.4e e0.8t tkt k--===，所以0.82lglg0.4lg2lg55log0.44lg0.82lg2lg5lg5t-===-()()lg21lg22lg2120.301010.3984.1032lg21lg23lg2130.301010.097---⨯--====≈---⨯--，比较接近4.故选：B9．B【分析】设从区间()()0,1,1,2中随机取出的数分别为,x y，则实验的所有结果构成区域为(){},01,12x y x yΩ=<<<<，设事件A表示两数之和大于74，则构成的区域为()7,01,12,4A x y x y x y⎧⎫=<<<+⎨⎬⎩⎭，分别求出,AΩ对应的区域面积，根据几何概型的的概率公式即可解出．【详解】如图所示：设从区间()()0,1,1,2中随机取出的数分别为,x y ，则实验的所有结果构成区域为(){},01,12x y x y Ω=<<<<，其面积为111SΩ=⨯=．设事件A 表示两数之和大于74，则构成的区域为()7,01,12,4A x y x y x y ⎧⎫=<<<+⎨⎬⎩⎭，即图中的阴影部分，其面积为133********A S =-⨯⨯=，所以()2332A S P A S Ω==．故选：B.【点睛】本题主要考查利用线性规划解决几何概型中的面积问题，解题关键是准确求出事件,A Ω对应的区域面积，即可顺利解出．10．C【分析】分两种情况分类计算，一种是A 基地只有甲同学在，另外一种是A 基地有甲同学还有另外一个同学也在，两种情况相加即可.【详解】当A 基地只有甲同学在时，那么总的排法是2343C A 36=种；当A 基地有甲同学还有另外一个同学也在时，那么总的排法是1343C A 24=种；则甲同学被安排到A 基地的排法总数为362460+=种.故选：C 11．C【分析】结合点到直线的距离公式、角平分线的性质求得22b a，进而求得离心率.【详解】右焦点(),0F c ，一条渐近线为0bx ay -=，F 到0bx ay -=的距离为bcb c=，即,,AF b OF c OA a ===，由于3AB AF =，所以2BF b =，由于FOA FOB ∠=∠，由正弦定理得,sin sin sin sin AF OABFOB FOAOFA FOBOFB==∠∠∠∠，而sin sin OFA OFB ∠=∠，所以122OA AF b OB BF b ==，所以221,3b e a ==故选：C12．B【分析】观察0.21,ln1.2,tan 0.2e a b c =-==，发现都含有0.2，把0.2换成x ，自变量在(0,1)或其子集范围内构造函数，利用导数证明其单调性，比较,,a b c 的大小.【详解】令cos cos sin ()1tan cos e e x xx x x f x x x--=--=，04x π<<，令()cos cos sin e x g x x x x =--，()(sin cos )sin cos (1)(cos sin )e e x x g x x x x x x x '=-++-=-⋅-，当04x π<<时，()0g x '>，()g x 单调递增，又(0)110g =-=，所以()0g x >，又cos 0x >，所以()0f x >，在(0,)4π成立，所以(0.2)0f >即a c >，令()ln(1)h x x x =+-，1()111xh x x x -=-=++'，()h x 在(0,2x π∈为减函数，所以()(0)0h x h <=，即ln(1)x x +<，令()tan m x x x =-，21()1cos m x x '=-，()m x 在(0,2x π∈为减函数，所以()(0)0m x m <=，即tan x x <，所以ln(1)tan x x x +<<，(0,2x π∈成立，令0.2x =，则上式变为ln(0.21)0.2tan 0.2+<<，所以0.2b c <<所以b c <，所以b<c<a .故答案为：B.【点睛】比较大小题目，是高考的热点，也是难点，通过观察和构造函数是基本的解题要求，难点在于构造后的证明，需要平时多积累常见的结论，达到深入理解，举一反三，融会贯通.13．12##0.5【分析】利用辅助角公式得πsin 13x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭即可求出π2π,6x k k =+∈Z 即可求解cos 2x .【详解】因为πsin 2sin 23x x x ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭,所以ππ2π,32x k +=+即π2π,6x k k =+∈Z ，所以π24π,3x k k =+∈Z ，所以ππ1cos 2cos 4πcos 332x k ⎛⎫=+==⎪⎝⎭故答案为:12.14．1【分析】设直线y kx b =+与曲线1,e 1e x x y y -=-=分别相切于点()()12112,,e 1,e x x A x B x --,利用导数求出曲线e 1x y =-在点A 处的切线方程,以及曲线1e x y -=在点B 处的切线方程,可得出关于12,x x 的方程组,解出这两个量的值,即可求得k 的值.【详解】设直线y kx b =+与曲线1,e 1e x x y y -=-=分别相切于点()()12112,,e 1,e x x A x B x --,对函数e 1x y =-求导得e x y '=,则1e x k =，曲线e 1x y =-在点A 处的切线方程为()111e 1e x xy x x -+=-,即()111e 1e 1x xy x x =+--,对函数1e x y -=求导得1e x y -'=,则21e x k -=,曲线1e x y -=在点B 处的切线方程为()22112ee x x y x x ---=-,即()22112e1e x x y x x --=+-,所以()()12121112e e 1e 11e x x x x k b x x --⎧==⎪⎨=--=-⎪⎩，化简可得120110x x k b =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，故答案为：1.15．5【分析】根据椭圆定义及三角形三边关系得11||||||PQ PF QF PP QQ ≤+=+，再结合梯形中位线性质即可得到最值.【详解】设抛物线C 的焦点为F ,点P 在抛物线的准线12y =-上的投影为1P ,点Q 在直线12y =-上的投影为1Q ,线段PQ 的中点为E ,点E 到x 轴的距离为2,则1111||||||222522E PQ PF QF PP QQ y ⎛⎫⎛⎫≤+=+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当且仅当||||||PF QF PQ +=,即P 、F 、Q 三点共线时等号成立，所以PQ 的最大值为5.故答案为：5.16．4π【分析】因为内切球的球心到几何体每个面的距离相等，利用半径，几何体表面面积，几何体体积之间的关系，可以求出半径；建立空间直角坐标系，由第一空可得内切球球心坐标，将几何体补全成长方体可得外接球球心坐标，计算两点间距离.【详解】如图，ABCD 为正方形，设PD 垂直于平面ABCD ，由题4PD =，3AB =，因为PD AB ⊥，AD AB ⊥，所以AB ⊥平面ADP ，所以AB AP ⊥，ABP 为直角三角形，由题，5AP =，四棱锥表面积33343536S =⨯+⨯+⨯=，体积2134123V =⨯⨯=，设内切球半径为r ，则13Sr V =，得31V r S==，内切球表面积为244r ππ=；以DA ，DC ，DP 分别为x ，y ，z 轴建立如图空间直角坐标系，因为内切球半径1r =，所以内切球球心()11,1,1O ，因为该四棱锥可以补全为棱长分别为3，3，4的长方体，所以外接球球心233,,222O ⎛⎫⎪⎝⎭，两点间距离12O O ==故答案为：4π；217．(1)表格见解析，有关联(2)分布列见解析，数学期望为1，方差为34【分析】（1）计算卡方，根据独立性检验方法求解即可；（2）根据二项分布的分布列与数学期望和方差公式求解即可【详解】（1）零假设为0H ：性别与课间经常进行体育活动相互独立，即性别与课间是否经常进行体育活动无关，依题意，列出22⨯列联表如下：课间不经常进行体育活动课间经常进行体育活动合计男402060女501060合计9030120220.05120(40102050)40 4.444 3.841606090309x χ⨯⨯-⨯==≈>=⨯⨯⨯，根据小概率值0.05α=的独立性检验，我们推断0H 不成立，即认为性别与课间是否经常进行体育活动有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05（2）由题意得，经常进行体育活动者的频率为3011204=，所以在本校中随机抽取1人为经常进行体育活动者的概率为14，随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，由题意得14,4X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，所以4411()C 1,0,1,2,3,444kkk P X k k -⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎝⎭⎝⎭，4041181(0)C 144256P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13141127(1)C 14464P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22241127(2)C 144128P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=⎪ ⎝⎭⎝⎭，3134113(3)C 14464P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4044111(4)C 144256P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，X 的分布列为：X01234P812562764271283641256X 的数学期望为1()414E X np ==⨯=，X 的方差为113()(1)41444D X np p ⎛⎫=-=⨯⨯-= ⎪⎝⎭.18．(1)n a n =，n *∈N .(2)11221112121n n k n T n k n ⎧-+=⎪⎪+=⎨⎪--=-⎪-⎩，，其中k *∈N .【分析】对于（1），先由()12n n nS n S +=+可得n S 表达式，再由1112n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，，，其中n *∈N .可得{}n a 的通项公式；对于（2），由（1）可得n a n =，则()()()22411414111412121nn n n n a b n n n n n ⎛⎫=+ ⎪-=-=----+⎝⎭，据此可得数列{}n b 的前n 项和n T .【详解】（1）由题111S a ==，又由()12n n nS n S +=+，n *∈N .可得12n n S n S n++=，n *∈N .故()312112211341112212n n n n n n n S S S S n n S S S S S S n n ---++=⋅⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯⨯=-- .则当2n ≥，n *∈N 时，()()11122n n n n n n n a S S n -+-=-=-=.又1n =时，11a =，故数列{}n a 的通项公式是n a n =，n *∈N .（2）由（1）可知n a n =，n *∈N ，则()()()22411414111412121nn n n n a b n n n n n ⎛⎫=+ ⎪-=-=----+⎝⎭.则当n 为偶数时，12321n n n nT b b b b b b --=++++++ 11111111111133557252323212121n n n n n n =--++--+++--++-----+ 1121n =-++.当n 为奇数时，1111111123212321n n n T T b n n n n ++=-=-+--=--++++.综上：11221112121n n k n T n k n ⎧-+=⎪⎪+=⎨⎪--=-⎪-⎩，，其中N k *∈.19．(1)证明见解析6【分析】（1）取AD 中点Q ，连接QE ，QB ，PQ ，证明故BQ ⊥面ADP ，//BQ CD ，得到答案.（2）建立空间直角坐标系，计算各点坐标，得到平面APB 法向量和平面PBC 法向量，根据向量的夹角公式计算得到答案.【详解】（1）取AD 中点Q ，连接QE ，QB ，PQ ，EQ PD ∥，EQ ⊄面PCD ，PD ⊂面PCD ，故EQ 面PCD ，//BE 面PCD ，BE EQ E ⋂=，面//BEQ 面PCD ，平面ABCD ⋂平面PBQ BQ =，平面ABCD ⋂平面PCD CD =，故BQ CD ∥.2AD =，1PQ =，2BQ ==，222BQ PQ BP +=，故PQ BQ ⊥，AB BD =，Q 是AD 中点，故AD BQ ⊥，PQ AD Q = ，,PQ AD ⊂平面ADP ，故BQ ⊥面ADP ，//BQ CD ，故CD ⊥面PAD .（2）如图所示以,,QB QD QP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，(0,0,0)Q ，(0,1,0)A -，(0,0,1)P ，(2,0,0)B ，(1,1,0)C ，，设平面APB 法向量为(),,n x y z =r ，200n PB x z n AP y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取=1x -，(1,2,2)n =--，设平面PBC 法向量为(),,m a b c = ，200m PB a c m PC a b c ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ ，取1a =，()1,1,2m =，cos ,||||m n m n m n ⋅<>===设二面角A PB C --的平面角为θ，6sin θ=.20．(I)2214x y +=；(II)证明见解析【解析】(I)运用椭圆离心率公式和三角形面积公式，结合,,a b c 的关系，解方程可得2,1a b ==，从而得到椭圆方程(II)设(),M m n ，直线2A M 的直线方程为()22n y x m =--直线1A B 的直线方程为112y x =+，联解求出P 点坐标，同理求出Q 坐标，22225(1)4p p p BP x y x =+-=,22225(1)4Q Q Q BQ x y x =+-=，只需证明22=P Q x x ,利用作差法可证明.【详解】(I)由题意得22221222c a ab b c a ⎧=⎪⎪⎪⋅=⎨⎪+=⎪⎪⎩，解得2,1,a b c ===2214x y +=.(II)由题意得()()()122,0,2,0,0,1A A B -,设点(),M m n ，则有2244m n +=，又直线2A M 的直线方程为()22n y x m =--，直线1A B 的直线方程为112y x =+，()22112n y x m y x ⎧=-⎪⎪-∴⎨⎪=+⎪⎩，解得24422422m n x n m n y n m +-⎧=⎪⎪-+⎨⎪=⎪-+⎩，P ∴点的坐标为2444,2222m n n n m n m +-⎛⎫⎪-+-+⎝⎭.又直线1A M 的直线方程为()22ny x m =++，直线2A B 的直线方程为112y x =-+.()22112n y x m y x ⎧=+⎪⎪+∴⎨⎪=-+⎪⎩，解得24422422m n x n m n y n m -+⎧=⎪⎪++⎨⎪=⎪++⎩，Q ∴点的坐标为2444,2222m n n n m n m -+⎛⎫⎪++++⎝⎭.22225(1)4p p p BP x y x ∴=+-=，22225(1)4Q Q Q BQ x y x ∴=+-=.2222244244()()2222P Q m n m n x x n m n m +--+-=--+++()()()()()()22222242222422222222m n n m m n n m n m n m +-++--+-+=-+++()()222264(44)02222mn m n n m n m +-=-+++，22=BP BQ ∴，BP BQ ∴=，∴△BPQ 为等腰三角形.【点睛】圆锥曲线中的几何证明问题多出现在解答题中，难度较大，多涉及线段或角相等以及位置关系的证明等.通常利用代数方法，即把要求证的等式或不等式用坐标形式表示出来，然后进行化简计算等进行证明21．(1)1p =；单调减区间为(),0∞-，单调增区间为()0,∞+；(2)证明见解析.【分析】（1）根据极值点处导数为零，以及函数的极值，列出方程求得参数；再利用导数判断函数单调性即可；（2）构造函数()()e 1ln 1xg x x =-+-，根据其单调性，通过证明e 1b a <-，e 1a b <-即可证明结果.【详解】（1）设()f x 的极值点为0x ，()()1e xf x x p =+-'，则()()00001e 0e 1x x x p x p ⎧+-=⎪⎨-=-⎪⎩，解得00x =，1p =，经检验，1p =时满足题意．所以()()1e x f x x =-，()e xf x x '=，当0x <时，()0f x '<，当0x >时，()0f x ¢>，所以()f x 的单调减区间为(),0∞-，单调增区间为()0,∞+．（2）不妨设a b <，因为()()()1e 0af a f b a ==-<，由（1）知，01a b <<<，()()01f x f ≥=-．设函数()()e 1ln 1xg x x =-+-，1x <，则()()1e 11e 011x xx g x x x⎡⎤--'+⎣⎦=-=≤--，所以()g x 在(),1-∞上单调递减，所以()()00g a g >=，即()ln 11e aa -->-，所以()()()ln 1ln 11e1e a a a a -⎡⎤--⋅>-⎣⎦，即()()()()ln 1f a f a f b ->=．又()ln 10a ->，0b >，所以()ln 1a b ->，即e 1b a <-．由()()f a f b =，得e e111a b b a=<--，又1b <，所以e 1a b<-所以e e 2a b a b +<--，即e e 2a b a b +++<，得证．【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数由函数极值求参数，以及利用导数求函数单调性和证明不等式；第二问处理的关键是如何逆向思考，得到构造()()e 1ln 1xg x x =-+-的思路，属综合困难题.22．(1)221x y -=(2)12xy =【分析】(1)由参数方程消去参数方程可得其普通方程；(2)设(),Q ρθ，则,4P πρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭，将P 的直角坐标代入对应的直角坐标方程可得其极坐标，再将其化为直角坐标方程可得.【详解】（1）∵2222221sin 1sin 1cos cos cos x y ααααα-⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴曲线C 的普通方程为221x y -=；（2）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设(),Q ρθ，则,4P πρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则点P 的直角坐标为cos sin 44ππρθρθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，∴22cos sin 144ππρθρθ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦∴22cos sin 1ρθθ=，∴1cos sin 2ρθρθ⋅=，即12xy =，∴点Q 的轨迹方程为12xy =．23．(1)(,0)-∞(2)见解析【分析】（1）当2a =-时,由对数的真数大于0,解不等式122·403x x+->得21x <,从而得到()f x 的定义域为(,0)-∞;（2）将式子2()f x 与(2)f x 作差,化简整理得()()2221242()(2)lg 3124xxxxa f x f x a ++⋅-=++⋅,再令2xt =,以t 为单位将真数的分子与分母的差进行放缩,可得2()(2)lg10f x f x -<=.【详解】（1）当2a =-时,1224()lg3x xf x +-⋅=令122403x x +-⋅>,即12240x x +-⋅>，整理得()()212210x x-⋅+<解这个不等式,得1212x -<<,结合20x >,得2(0,1)x ∈，0x ∴<,得()f x 的定义域为(,0)-∞（2）当01a <<且0x ≠时,()()222221241241242()(2)2lglg lg 333124x xx x x xx xa a a f x f x a ++⋅++⋅++⋅-=-=++⋅设2x t =,因为0x ≠,所以1t ≠,则()()()2224232124312432(22)2(1)xx x x a a t a a at t a t ++⋅-++⋅=-++-+-，()()42324223232(22)2(1)32(22)2(1)t a a at t a t t a a at t a t -++-+-<-++-+- 而()()242232222232(22)2(1)(1)1(1)0t a a at t a t at t at t -++-+-=------<，()()222124013124xxxxa a ++⋅∴<<++⋅，则2()(2)0f x f x -<，综上所述,可得当01a <<且0x ≠时,()()22f x f x >.。

一、单选题二、多选题1. 已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．2. 柯西分布(Cauchy distribution)是一个数学期望不存在的连续型概率分布．记随机变量服从柯西分布为，其中当，时的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为．已知，，，则（ ）A．B．C．D．3.已知函数，若集合含有4个元素，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．4. 已知复数满足（为虚数单位），则的最小值为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．45.是等差数列的前项和，，，则（ ）A ．9B ．16C ．20D ．276. 已知命题，，则命题P 的否定为（ ）A．B．C．D．7.已知等差数列的前项和为，，，则（ ）A．B．C．D．8. 锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．9. 已知函数是定义在上的奇函数，且为偶函数，当时，，则下列说法正确的是（ ）A．B．的值域为C ．在单调递减D ．关于中心对称10. 已知棱长为的正方体中，是的中点，点在正方体的表面上运动，且总满足，则下列结论中正确的是（ ）A ．点的轨迹中包含的中点B．点的轨迹与侧面的交线长为C．的最大值为D ．直线与直线所成角的余弦值的最大值为11. 已知函数的最小正周期为，且满足，，若在上有三个不同的零点，则的取值可以是（ ）四川省成都石室中学2022-2023学年高三上学期一诊模拟考试数学（理科）试题 (2)四川省成都石室中学2022-2023学年高三上学期一诊模拟考试数学（理科）试题 (2)三、填空题四、解答题A．B．C．D ．312.如图，扇形是某社区的一块空地平面图，点在弧上（异于两点），，垂足分别为，米.该社区物业公司计划将四边形区域作为儿童娱乐设施建筑用地，其余的地方种植花卉，则下列结论正确的是（）A ．当时，儿童娱乐设施建筑用地的面积为平方米B．当时，种植花卉区域的面积为平方米C ．儿童娱乐设施建筑用地面积的最大值为平方米D ．种植花卉区域的面积可能是平方米13. 已知两个单位向量与的夹角为，则__________．14. 已知圆心为的圆C与倾斜角为的直线相切于点，则圆C 的方程为___________15. 设A 是非空数集，若对任意，都有，则称A 具有性质P .给出以下命题：①若A 具有性质P ，则A 可以是有限集；②若具有性质P，且，则具有性质P ；③若具有性质P，则具有性质P ；④若A 具有性质P，且，则不具有性质P .其中所有真命题的序号是___________.16. 如图，在四棱锥中，平面，正方形边长为，，是的中点.(1)求证:平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求平面与平面夹角.17.已知等差数列的前项和为，，正项等比数列满足，，．(1)求数列，的通项公式．(2)记，求数列的前项和．18. 已知动点与，两点连线的斜率之积为，点的轨迹为曲线，过点的直线交曲线于，两点.(1)求曲线的方程；(2)若直线，的斜率分别为，，试判断是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由.19. 如图，在四棱锥中，底面，，是的中点．（Ⅰ）证明；（Ⅱ）证明平面；（Ⅲ）求二面角的大小．20.已知抛物线E：的焦点为F，为抛物线E上一点，且（O为坐标原点）的面积为．(1)求抛物线E的方程；(2)已知A，B，C，D是抛物线E上的动点，且，直线AB恒过点Q，点P关于点Q的对称点为M，直线CD过点M，证明：以CD为直径的圆过点P．21. 已知数列满足.（1）证明：；（2）设，证明：.。

2021年四川省成都市石室中学高考数学模拟试卷（理科）（一）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.在复平面内，复数z=2+3ii对应的点的坐标为()．A. (3,2)B. (2,3)C. (−2,3)D. (3,−2)2.已知集合A={x|y=ln(−x2−3x+4)}，B={y|y=22−x2}，则A∪B=()A. (−4,4]B. (0,1)C. (−∞,4]D. (−4,+∞)3.设命题p：∀x≤0，√x2=−x，则￢p为()A. ∀x≤0，√x2≠−xB. ∃x0≤0，√x02=−x0C. ∀x>0，√x2=−xD. ∃x0≤0，√x02≠−x04.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=12(弦+矢)×矢，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差现有圆心角为2π3，半径等于20米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是()(参考数据：π≈3.14，√3≈1.73)A. 220平方米B. 246平方米C. 223平方米D. 250平方米5.已知双曲线8x2−8y2=−1有一个焦点在抛物线C：x2=2py(p>0)准线上，则p的值为()A. 2B. 1C. 12D. 146.已知正项递增等比数列{a n}的前n项和为S n，若a4+a7=20，a4⋅a7=64，则S6S9= ()A. 313B. 521C. 14D. 157.如图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入()A. P =3N1000B. P =3M1000C. P =3M2000D. P =3N20008. 已知√2sin(θ−π4)cos(π+θ)=cos2θ，且sinθ≠0，则tan(θ+π6)的值为( )A. √3B. √33C. 2−√3D. 2+√39. 某柱体的正视图与侧视图是全等的正方形，俯视图是圆，记该柱体的表面积为S 1，其内切球的表面积为S 2，且S 1=λS 2，则λ=( )A. 1B. 23C. 32D. 4310. 已知AB 是半径为2的圆M 的一条直径，四边形ABCD 是圆M 内接四边形，∠CMD =120°，若P 在线段CD 上(端点C 、D 除外)运动，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围( )A. (0,3)B. (1,3)C. [−3,0)D. (−3,3)11. 已知椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，双曲线C 2：x 2b 2−y 2a 2−2b2=1，F 1，F 2分别为C 2的左、右焦点，P 为C 1和C 2在第一象限内的交点，若△PF 1F 2的内切圆的圆心的横坐标为2，C 1和C 2的离心率之积为32，则该内切圆的半径为( )A. 4√2−2√6B. 4√2+2√6C. 4√3−2√6D. 4√6−2√312. 已知函数f(x)=xe x +lnx+1x，若关于x 的方程f 2(x)−mf(x)+m 2−1=0恰好有4个不相等的实根，则m 的取值范围是( )A. (1,1e +1)B. (0,1e +1)C. (1,2√33) D. (0,2√33) 二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 如图，动点P(x,y)在平行四边形ABCD 内部(含边界)运动，则z =2x −4y 的最小值为______．14. 将6个相同的小球放入4个不同的盒子中，要求不出现空盒，共有______种放法．(用数字作答)15. 已知函数f(x)={13x 3−ax +1,0≤x <1alnx,x ≥1，若f(x)≥f(1)恒成立，则正实数a 的取值范围是______．16. 已知f(x)=msinωx −cosωx(m >0,ω>0)，g(x)=e x ，若对∀x 1∈R ，∃x 2∈[0,ln2]，使得f(x 1)≤g(x 2)成立，若f(x)在区间[0,π]上的值域为[−1,√2]，则实数ω的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17. 已知数列{a n }，a 1=3，且对任意n ∈N ∗，都有a n +a n+22=a n+1．(1)设b n =a n+1−a n ，判断数{b n }是否为等差数列或等比数列． (2)若a 2=5，c n ={a n ,n 为奇数2a n −1,为偶数，求数列{c n }的前2n 项的和S 2n ．18. 某房产中介公司对2018年成都市前几个月的二手房成交量进行统计，y 表示2018年x 月该中介公司的二手房成交量，得到统计表格如下：(1)通过散点图初步分析可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明；(计算结果精确到0.01)；(2)该房产中介为增加业绩，决定针对二手房成交客户开展抽奖活动．若抽中“一等奖”获5千元奖金；抽中“二等奖”获3千元奖金；抽中“祝您平安”，则没有奖金．已知一次抽奖活动中获得“一等奖”的概率为14，获得“二等奖”的概率为12，现有甲、乙两个客户参与抽奖活动，假设他们是否中奖相互独立，求此二人所获奖金总额X(千元)的分布列及数学期望．参考数据：∑x i 8i=1y i =850，∑x i 28i=1=204，∑y i 28i=1=3776，√21≈4.58，√31≈5.57．参考公式：相关系数r =x i n i=1y i −nx −y−√∑x i i=1−nx −2√∑y i i=1−ny−219. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，△PAD 是等边三角形，四边形ABCD 是矩形，CD =√2，F 为棱PA 上一点，且AF =λAP(0<λ<1)，M 为AD 的中点，四棱锥P −ABCD 的体积为2√63．(1)若无λ=12，N 是PB 的中点，求证：平面MNF//平面PCD ，(2)是否存在λ，使得平面FMB 与平面PAD 所成的二面角余弦的绝对值为√3311？20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上任意一点到其两个焦点F1，F2的距离之和等于2√5，焦距为2c，圆O：x2+y2=c2，A1，A2是椭圆的左、右顶点，AB是圆O 的任意一条直径，四边形A1AA2B面积的最大值为2√5．(1)求椭圆C的方程；(2)如图，若直线l1：y=kx+m(m≠0)与圆O相切，且与椭圆相交于M，N两点，直线l1与l2平行且与椭圆相切于P(O,P两点位于l1的同侧)，求直线l1、l2距离d的取值范围．21.已知函数f(x)=12x2+mln(1−x)，其中．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)存在两个极值点x1，x2，且x1<x2，证明：f(x1)+f(x2)>14−14ln4．22. 在平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为{x =3cosθy =2sinθ，(θ为参数)，P(x 0,y 0)是曲线C 上的任意一点，动点Q(x,y)满足{x =x 02y =3y 0，记Q(x,y)轨迹为E ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极轴建立极坐标系，l 的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R)，A 点的极坐标为(5,0)． (1)求E 的普通方程；(2)若l 与E 交于M ，N 两点，求△AMN 的面积；23. 已知函数f(x)=|x|．(1)求不等式f(x −1)+f(2x −1)≤2x 的解集；(2)若a >0，b >0，c >0，且1a +4b +9c =1，证明：f(x +a)+f(x −b −c)≥36．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z=2+3ii =(2+3i)(−i)−i2=3−2i，∴在复平面内，复数z=2+3ii对应的点的坐标为(3,−2)．故选：D．2.【答案】A【解析】解：∵集合A={x|y=ln(−x2−3x+4)}={x|−4<x<1}，B={y|y=22−x2}={x|0<y≤4}，∴A∪B={x|−4<x≤4}=(−4,4]．故选：A．分别求出集合A，B，由此能求出A∪B．本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】D【解析】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即，∃x0≤0，√x02≠−x0，故选：D．根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键．4.【答案】C【解析】解：如图，由题意可得：∠AOB=2π3，OA=20，在Rt△AOD中，可得：∠AOD=π3，∠DAO=π6，OD=12AO=12×20=10，可得：矢=20−10=10，由AD=AO⋅sinπ3=20×√32=10√3，可得：弦=2AD=2×10√3=20√3，所以：弧田面积=12(弦+矢)×矢=12(20√3+10)×10≈223平方米．故选：C．在Rt△AOD中，由题意OA=20，∠DAO=π6，即可求得OD，AD的值，根据题意可求矢和弦的值，即可利用公式计算求值得解．本题考查扇形的面积公式，考查学生对题意的理解，考查学生的计算能力，属于基础题．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查了双曲线和抛物线的方程和简单性质，考查了运算能力，属于基础题．根据双曲线的方程可得c=12，再求出抛物线的准线方程，即可求出p的值．【解答】解：双曲线8x2−8y2=−1即为y 21 8−x218=1，∴c2=18+18=14，∴c=12，∵抛物线C：x2=2py(p>0)准线为y=−p2，∴−p2=−12，即p=1，故选：B．6.【答案】B【解析】本题主要考查了等比数列的性质，考查运算求解能力，属于基础题．推导出a 4，a 7是一元二次方程x 2−20x +64=0的两个根，且a 4<a 7，解方程x 2−20x +64=0，得a 4=4，a 7=16，列方程组求出a 1=1，q 3=4，由此能求出S 6S 9的值．【解答】解：∵正项递增等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4+a 7=20，a 4⋅a 7=64， ∴a 4，a 7是一元二次方程x 2−20x +64=0的两个根，且a 4<a 7， 解方程x 2−20x +64=0，得a 4=4，a 7=16， ∴{a 1q 3=4a 1q 6=16，解得a 1=1，q 3=4， ∴S 6S 9=a 1(1−q 6)1−q a 1(1−q 9)1−q=1−q 61−q9=1−161−64=1563=521．故选：B ．7.【答案】B【解析】解：随机输入X i ∈(0,1)，Y i ∈(0,1)，Z i ∈(0,1)， 那么点P(X i ,Y i ,Z i )构成的区域为以1为边长的正方形， 判断框内x i 2+y i 2+z i 2≤1，若是，说说明点P(x i ,y i ,z i )在单位球内部(18球)内，并累计记录点的个数M ， 若否，则说明点P(x i ,y i )在单位圆内部(18球)外，并累计记录点的个数N ，第2个判断框i >2000，是进入计算此时落在18单位球内的点的个数为M ，一共判断了2000个点，那么18球的体积/正方体的体积=M2000， 即18×43π×131=M 2000，解得：π=3M1000，(π的估计值)， 即执行框内计算的是P =3M1000． 故选：B ．由题意以及框图的作用，直接推断空白框内应填入的表达式．本题考查程序框图的作用，考查模拟方法估计圆周率π的方法，考查计算能力．【解析】解：∵√2sin(θ−π4)cos(π+θ)=√2(√22sinθ−√22cosθ)⋅(−cosθ)=cos2θ−sinθcosθ，∵cos2θ=cos2θ−sin2θ，而已知√2sin(θ−π4)cos(π+θ)=cos2θ，∴cos2θ−sinθcosθ=cos2θ−sin2θ，即sinθcosθ=sin2θ.∵sinθ≠0，∴tanθ=2，则tan(θ+π6)=tanθ+tanπ61−tanθtanπ6=√33−√3=2+√3，故选：D．由题意利用两角和差的三角公式，化简所给的式子，求得tanθ=2，从而求得tan(θ+π6)的值．本题主要考查两角和差的三角公式的应用，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：由题意知，该柱体是圆柱体，且底面圆的直径等于母线长，如图所示；设底面圆的半径为R，则圆柱的母线长为2R，内切球的半径也为R，则圆柱体的表面积为S1=2πR2+2πR⋅2R=6πR2，其内切球的表面积为S2=4πR2，又S1=λS2，则λ=S1S2=6πR24πR2=32．故选：C．由题意知该柱体是圆柱，且底面圆的直径等于母线长，设底面圆的半径为R，求出圆柱的表面积和内切球的表面积，计算λ的值即可．本题考查了利用三视图求几何体表面积的应用问题，也考查了旋转体的结构特征应用问题，是基础题．10.【答案】C【解析】解：根据题意，建立平面直角坐标系，如图所示；不妨设CD//AB ，由AB =4，∠CMD =120°， 得M(0,0)，A(−2,0)，B(2,0)，C(√3,1)，D(−√3,1)，由P 在线段CD 上(端点C 、D 除外)，可设P(x,1)，其中x ∈(−√3,√3)； 则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2−x,−1)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−x,−1)， 所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2−x)(2−x)+1=x 2−3； 又x ∈(−√3,√3)， 所以γx 2−3∈[−3,0)， 即PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是[−3,0)． 故选：C ．根据题意，建立平面直角坐标系，不妨设CD//AB ，设出点P 的坐标，用坐标表示向量，即可求出PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围． 本题考查了平面向量的数量积与应用问题，也考查了圆与三角形的应用问题，是中档题．11.【答案】A【解析】解：设△PF 1F 2的内切圆的圆心为I ，且与PF 1，PF 2，F 1F 2的切点为M ，N ，K ，可得|PM|=|PN|，|F 2N|=|F 2K|，|MF 1|=|F 1K|， 由双曲线的定义可得|PF 1|−|PF 2|=2b ， 即有|F 1K|−|F 2K|=2b ，又|F 2K|+|F 1K|=2c ，可得|F 1K|=c +b ， 可得内切圆的圆心I 的横坐标为b =2， C 1和C 2的离心率之积为32，可得√a2−4a ⋅√a2−42=32，解得a=4，可得椭圆方程为x216+y24=1，即有|PF1|−|PF2|=4，|PF1|+|PF2|=8，解得|PF2|=2，可得4−√32x P=2，解得x P=4√3，P的纵坐标为√83，设内切圆的半径为r，可得12r(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)=12⋅4√3⋅√83，即r=8√28+4√3=4√2−2√6．故选：A．设△PF1F2的内切圆的圆心为I，且与PF1，PF2，F1F2的切点为M，N，K，由切线长相等，以及双曲线的定义，可得内切圆的圆心横坐标为b，运用离心率公式，可得a=4，运用椭圆的焦半径公式可得P的坐标，再由三角形的等积法，解方程可得所求内切圆的半径．本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，考查离心率公式和三角形的内切圆的切线性质，以及等积法，考查运算能力，属于中档题．12.【答案】C【解析】【解答】解：因为f(x)=xe x +lnx+1x，所以f′(x)=1−xe x −lnxx2，当0<x<1时，f′(x)>0，当x>1时，f′(x)<0，即函数f(x)在(0,1)为增函数，在(1,+∞)为减函数，设t=f(x)，则关于x的方程f2(x)−mf(x)+m2−1=0可化为t2−mt+m2−1=0，设关于t的方程t2−mt+m2−1=0有两根t=t1，t=t2，则关于x的方程f2(x)−mf(x)+m2−1=0恰好有4个不相等的实根，等价于函数t=f(x)的图象与直线t=t1，t=t2的交点个数为4个，函数t =f(x)的图象与直线t =t 1，t =t 2位置关系如图，得：关于t 的方程t 2−mt +m 2−1=0有两不等实根，且t 1，t 2∈(0,e+1e)，设g(t)=t 2−mt +m 2−1，则有：{m 2−4(m 2−1)>00<m 2<e+1eg(0)>0g(e+1e )>0，解得：1<m <2√33，故选：C ． 【分析】由方程解的个数与函数图象的交点个数的关系可得：关于x 的方程f 2(x)−mf(x)+m 2−1=0恰好有4个不相等的实根等价于函数t =f(x)的图象与直线t =t 1，t =t 2的交点个数为4个，利用导数研究函数的图象t =f(x)的图象，再利用二次方程区间根问题可得：关于t 的方程t 2−mt +m 2−1=0有两不等实根，且t 1，t 2∈(0,e+1e)，设g(t)=t 2−mt +m 2−1，则有：{m 2−4(m 2−1)>00<m 2<e+1eg(0)>0g(e+1e)>0，解得：1<m <2√33，得解本题考查了方程解的个数与函数图象的交点个数的转化，利用导数研究函数的图象及二次方程区间根问题，属中档题13.【答案】−12【解析】解：由动点P(x,y)在平行四边形ABCD 内部(含边界)运动，可行域如图，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0)+(−1,2)+(3,2)=(2,4)． 可得C(2,4)化目标函数z =2x −4y 的最小值为×2−4×4=−12． 故答案为：−12．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14.【答案】10【解析】【分析】本题考查排列、组合的应用，注意用挡板法分析，属于基础题．根据题意，用挡板法分析，将6个小球排成一排，排好后有5个可用的空位，在其中任选3个插入挡板即可，由组合数公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，将6个小球排成一排，排好后有5个可用的空位，在5个空位中任选3个，插入挡板，有C53=10种情况，可以将6个小球分成4组，依次放入4个不同的盒子中即可，则有10种不同的放法；故答案为：10．15.【答案】(0,43]【解析】【分析】本题考查分段函数最值得求法、导数在求解函数最值中的应用，属于中档题．由f(x)≥f(1)恒成立，又f(1)=0，故f(x)≥0，即函数f(x)在0≤x<1和x≥1时f(x)≥0恒成立．【解答】因为由f(x)≥f(1)恒成立，又f(1)=0，故f(x)≥0恒成立．当a>0时，x≥1时，f(x)=alnx是增函数，所以f(x)≥f(1)=0成立；当a<0时，f(x)=alnx是减函数，此时f(x)≥f(1)=0不成立，故a>0，当0≤x<1时，f(x)=13x3−ax+1≥0恒成立，此时f′(x)=x2−a，故f(x)在(0,√a)上单调递减，在((√a,+∞)上单调递增，当a≥1时，f(x)在[0,1)上单调递减，故13−a+1≥0，解得1≤a≤43；当0<a<1时，f(x)min=f(√a)=1−23a√a>0成立；综上可知，a的取值范围是(0,43]．故答案为：(0,43].16.【答案】43【解析】解：已知f(x)=msinωx −cosωx =√m 2+1sin(ωx +θ)，其中tanθ=−1m ； 可得f(x)的最大值为√m 2+1， 由g(x)=e x 在x ∈[0,ln2]的最大值2， ∴√m 2+1≤2， 可得：0<m ≤1．要使ω最大，周期T 最小，那么x ∈[0,π]上单调性． ∴12T ≥π．则ω≤2．根据区间[0,π]上的值域为[−1,√2]，可得{√m 2+1sinθ=−1√m 2+1sin(ωπ+θ)=√2(0<m ≤1) ∴m =1，那么θ=−π6或7π6， 当θ=−π6时，则πω−π6=π2+2kπ，k ∈Z ； ∴ω=23+2k ．ω最大值为23． 当θ=7π6时则πω+7π6=π2+2kπ，k ∈Z ； ∴ω=−23+2k ． 可得ω最大值为43． 故答案为：43．由题意，求解f(x 1)的最大值和)，g(x)=e x 在x ∈[0,ln2]的最大值，结合f(x)在区间[0,π]上的值域为[−1,2]，即可求解实数ω的最大值．本题主要考查三角函数的图象和性质，恒成立问题的转化思想，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．17.【答案】解：(1)数列{a n }，a 1=3，且对任意n ∈N ∗，都有a n +a n+22=a n+1．所以：a n+2−a n+1=a n+1−a n ，所以：数列{a n }的公差为0时，b n+1=b n =0， 所以：数列{b n }是等差数列，不是等比数列． 当数列{a n }的公差不为0时，b n+1=b n ≠0， 所以：数列{b n }既是等差数列，又是等比数列． (2)若a 2=5，由(1)知：a n+1−a n =a 2−a 1=2， 所以：a n =2n +1．则：c n ={2n +1(n =2k −1)4n (n =2k)，则：S 2n =S 奇+S 偶，=(3+7+11+⋯+2n +1)+(42+44+⋯+42n )， =2n 2+n +16(16n −1)15．【解析】(1)首先利用分类讨论思想的应用，求出数列的通项公式． (2)利用分组法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组法在数列的求和中项的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.【答案】解：(1)由题意，计算x −=(1+8)×82×8=4.5，y −=12+14+20+22+24+20+26+308=21又∑x i 8i=1y i =850，∑x i 28i=1=204，∑y i 28i=1=3776，√21≈4.58，√31≈5.57；所以相关系数r =i 8i=1i −−√∑x i i=1−8x 2√∑y i i=1−8y2=√204−8×452⋅√3776−8×212=√42×√248=944×4.58×5.57≈0.92；因为0.92非常趋近1，所以变量x、y线性相关性很强，可用线性回归模型拟合y与x的关系；(2)二人所获奖金总额X的所有可能取值有0，3，5，6，8，10千元，计算P(X=0)=14×14=116，P(X=3)=2×12×14=14，P(X=5)=2×14×14=18，P(X=6)=12×12=14，P(X=8)=2×12×14=14，P(X=10)=14×14=116；所以随机变量X的分布列为：X0356810P 11614181414116数学期望为E(X)=0×116+3×14+5×18+6×14+8×14+10×116=5.5(千元)．【解析】本题考查了利用相关系数判断线性相关性问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望计算问题，是中档题．(1)由题意计算x−、y−，求出相关系数r，判断变量x、y线性相关性的强弱情况，以及是否可用线性回归模型拟合y与x的关系；(2)二人所获奖金总额X的所有可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望．19.【答案】证明：(1)∵λ=12，∴F是A的中点，∵N是PB的中点，∴FN//AB，∵四边形ABCD是矩形，∴AB//CD，故F N//CD，∵CD⊂平面PCD，FN⊄平面PCD，∴FN//平面PCD，FM//DP，DP⊂平面PCD，FM⊄平面PCD，∴FM//平面PCD ，FM ∩FN =F ，FM ，FN ⊂平面FMN ， ∴平面FMN//平面PCD ．解：(2)连结PM ，过M 作ME//CD ，交BC 于E ， 由△PAD 是等边三角形，得PM ⊥AD ，面PAD ⊥面ABCD ，面PAD ∩面ABCD =AD ，PM ⊥AD ，PM ⊂面PAD ， ∴PM ⊥平面ABCD ，以M 为原点，MA 为x 轴，ME 为y 轴，MP 为z 轴，建立空间直角坐标系， 假设存在λ，满足题意，设AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，λ∈(0,1)， 则A(1,0，0)，P(0,0，√3)，B(1,√2,0)，M(0,0，0)， MB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√2,0)，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−λ,0,√3λ)， 则MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ,0,√3λ)， 设面FMN 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{x +√2y =0(1−λ)x +√3λz =0，取y =−√2，得m⃗⃗⃗ =(2,−√2,3λ)，取PAD 的法向量n⃗ =(0,1，0)， 由题知|cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√2|√6+(2λ−2√3λ)=√3311，解得λ=12， ∴存在λ=12，使得平面FMB 与平面PAD 所成的二面角余弦的绝对值为√3311．【解析】(1)由λ=12，推导出四边形ABCD 是矩形，从而AB//CD ，FN//CD ，进而FN//平面PCD ，同理FM//平面PCD ，由此能证明平面FMN//平面PCD ．(2)连结PM ，过M 作ME//CD ，交BC 于E ，以M 为原点，MA 为x 轴，ME 为y 轴，MP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出存在λ=12，使得平面FMB 与平面PAD 所成的二面角余弦的绝对值为√3311．本题考查面面平行的证明，考查满足二面角的余弦值的实数值是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.【答案】解：(1)椭圆C ：x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)中，2a =2√5，解得a =√5； 又圆的直径AB ⊥x 轴时四边形A 1AA 2B 的面积最大，最大为2ac =2√5，解得c =1，所以b 2=a 2−c 2=4， 所以椭圆C 的方程为x 25+y 24=1；(2)由直线l 1：y =kx +m(m ≠0)与圆O 相切， 得√k 2+1=1，即|m|=√k 2+1；再设直线l 2：y =kx +n ，联立{x 25+y 24=1y =kx +n ，消去y 得(5k 2+4)x 2+10knx +5n 2−20=0； 所以△=(10kn)2−4(5k 2+4)(5n 2−20)=0， 化简得n 2=5k 2+4； 因为d =√k 2+1=|m−n||m|=|1−nm |，且(nm)2=5k 2+4k 2+1=5−1k 2+1；由k 2≥0，得0<1k 2+1≤1，所以4≤(nm )2<5；由O 、P 两点位于l 1的同侧，m 、n 异号，所以−√5<nm ≤−2； 所以d =1−nm ∈[3,1+√5)，即直线l 1、l 2距离d 的取值范围是[3,1+√5).【解析】(1)根据题意求出a 、a 和b 2，即可写出椭圆C 的方程； (2)由直线l 1与圆O 相切，得出d =r ，列出方程|m|=2+1； 再由直线l 2与椭圆方程联立，消去y 得关于x 的方程； 再结合椭圆，从而求出直线l 1、l 2距离d 的取值范围．本题考查了椭圆的定义与简单几何性质的应用问题，也考查了直线与圆方程的应用问题，是中档题．21.【答案】解：(1)函数的定义域为(−∞,1)，f ′(x)=x −m1−x =−x 2+x−m 1−x，1−x >0，令−x 2+x −m =0，判别式Δ=1−4m ，当Δ=1−4m ≤0，即m ≥14，则f ′(x)≤0恒成立，即f(x)在(−∞,1)上是减函数， 当Δ=1−4m >0，即m <14时，由x 2−x +m =0，得x 3=1−√1−4m2，x 4=1+√1−4m2，若0<m <14，则x 3<x 4<1，则当x <x 3时，f ′(x)<0，f(x)单调递减， 当x 3<x <x 4时，f ′(x)>0，f(x)单调递增， 当x 4<x <1时，f ′(x)<0，f(x)单调递减，若m ≤0，则x 3<1≤x 4，则x <x 3时，f ′(x)<0，f(x)单调递减， x 3<x <1时，f ′(x)>0，f(x)单调递增 综上m ≤0时，f(x)的单调递减区间为(−∞,1−√1−4m2)，单调递增区间为(1−√1−4m2,1)；0<m <14时，f(x)的单调递减区间为(−∞,1−√1−4m 2)，(1+√1−4m 2,1)，单调递增区间为(1−√1−4m 2,1+√1−4m2)；m ≥14时，f(x)的单调递减区间为(−∞,1)．(2)函数的定义域为(−∞,1)， f ′(x)=x −m 1−x=−x 2+x−m 1−x，若函数f(x)存在两个极值点x 1，x 2，且x 1<x 2， ∴f ′(x)=0在(−∞,1)上有两个不同的根x 1，x 2，设g(x)=−x 2+x −m ，则{Δ=1−4m >0−12×(−1)<1g(1)<0，得0<m <14，从而{x 1+x 2=1x 1x 2=m ，且x 1<x 2，得0<x 1<12，0<x 2<12，f(x 1)+f(x 2)=12x 12+mln(1−x 1)+12x 22+mln(1−x 2) =1(x 12+x 22)+mln[(1−x 1)(1−x 2)] =12[(x 1+x 2)2−2x 1x 2]+mln[(1−(x 1+x 2)+x 1x 2] =12(1−2m)+mlnm ，构造函数ℎ(x)=xlnx −x +12，0<x <14， 则ℎ′(x)=lnx <0，即ℎ(x)在0<x <14上单调递减， ∴ℎ(x)>ℎ(14)=14−14ln4，即证．【解析】本题主要考查导数的综合应用，结合函数单调性，进行转化为一元二次方程，结合根与系数之间的关系是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，属于难题．(1)求函数的导数，结合一元二次方程根与判别式Δ的关系进行判断即可；(2)根据函数f(x)存在两个极值点x 1，x 2，得到f ′(x)=0有两个不同的根x 1，x 2，利用根与系数之间的关系转化证明即可．22.【答案】解：(1)由已知Q(x,y)满足{x =x 02y =3y 0及{x 0=3cosθy 0=2sinθ得{x =3cosθy =3sinθ， ∴曲线E ：x 2+y 2=9，(2)由于l 的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R)，即为y =x ，A(5,0)∵|MN|=6，d =√2，S =12⋅6√2=15√22．【解析】(1)由已知Q(x,y)满足{x =x 02y =3y 0及{x 0=3cosθy 0=2sinθ得{x =3cosθy =3sinθ，消去θ可得E 的普通方程，(2)l 的极坐标方程化为直角坐标方程为y =x ，MN 为圆的直径，点到直线的距离求出三角形的高，代入面积公式可得．本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题． 23.【答案】解：(1)f(x −1)+f(2x −1)=|x −1|+|2x −1|，当x >1时，|x −1|+|2x −1|=3x −2≤2x ，解得：x ≤2，故1<x ≤2，当12≤x ≤1时，|x −1|+|2x −1|=x ≤2x ，解得：x ≥0，故12≤x ≤1， 当x <12时，|x −1|+|2x −1|=2−3x ≤2x ， 解得：x ≥25，故25≤x <12，综上，不等式的解集是{x|25≤x ≤2}；(2)由绝对值不等式的性质得：f(x +a)+f(x −b −c)=|x +a|+|x −b −c|≥|x +a −x +b +c|=a +b +c ，∵a >0，b >0，c >0，且1a +4b +9c =1，∴a +b +c=(a+b+c)(1a+4b+9c)=1+4+9+b+ca+4a+4cb+9a+9bc≥14+2√ba ⋅4ab+2√ca⋅9ac+2√4cb⋅9bc=36，当且仅当b=2a，c=3a，即a=6，b=12，c=18时，“=”成立，故原命题成立．【解析】本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，属于一般题．(1)通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；(2)根据基本不等式的性质求出代数式的最小值，从而证明结论．。