位育中学高一上数学期中考(2015.11)

位育中学高一上学期期中数学试卷2015.11一．填空题（本大题共14题，每题3分，共42分）1.已知全集}2,1,0,1,2{--=U ，集合}1,0,1{-=A ，}0,1,2{--=B ，则=B A C U )(_____；2.“1≤m ”是“一元二次方程02=++m x x 有实数解”的________________条件；3.不等式23+>ax x 的解集是),4(b ，则=b ______________； 4.若集合}0)1(|{2=-+-=k x x k x A 有且仅有两个子集，则实数k 的值是_____________；5.函数3223)(2+--=x x x x f 的定义域是________________； 6.设函数⎩⎨⎧>≤-=0,0,)(2x x x x x f ，若2)(=a f ，则实数a 为_____________________； 7.不等式042≥+-x x 的解集是___________________； 8.不等式||22x x x >-的解集是_________________；9.已知0,0>>y x 且3222=+y x ，则221y x +的最大值是__________________；10.下面几个不等式的证明过程：①若R b a ∈,，则22=⋅≥+ba ab b a a b ；②R x ∈且0≠x ，则||4||2||4|||4|x x x x x x ⋅≥+=+；③若R b a ∈,，0<ab ，则≤-+--=+)(b a a b b a a b 22-=-⋅--ba ab ；其中正确的序号是_______________； 11.若实数y x ,满足122=++xy y x ，则y x +的最大值是_______________；12.某种商品将在某一段时间内进行提价，提价方案有三种：①先提价%m ，再提价%n ；②先提价%2n m +，再提价%2n m +；③一次性提价)%(n m +；已知0>>n m ，则提价最多的方案是第_______________种；13.对R b a ∈,，记⎩⎨⎧≥<=ba b b a a b a ,,},min{，函数)}(2|1|,21min{)(R x x x x f ∈+--=的最大值为__________________；14.对R y R x ∈∈,，已知)()()(y f x f y x f ⋅=+，且2)1(=f ，则+++)3()4()2()3()1()2(f f f f f f )2015()2016()2014()2015(f f f f ++ 的值为________________； 二．选择题（本大题共4题，每题3分，共12分）15.设0>>y x ，则下列各式中正确的是（ ） A.y xy y x x >>+>2 B.y xy x y x >>>+2C.xy y y x x >>+>2D.y x xy y x >>>+2 16.已知d c b a ,,,为实数，且d c >，则“b a >”是“d b c a ->-”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件17.下列各队函数中，相同的是（ ） A.1)(,)(2-=-=x x g xx x x f B.0)(,1)(x x g x f == C.vv v g u u u f -+=-+=11)(,11)( D.2)(,)(x x g x x f == 18.设c b a ,,为实数，)1)(1()())(()(22+++=+++=bx cx ax x g c bx x a x x f ，，记集合},0)(|{R x x f x S ∈==，},0)(|{R x x g x T ∈==，若|||,|T S 分别为集合T S ,的元素个数，则下列结论不可能的是（ ）A.1||=S 且0||=TB.1||=S 且1||=TC.2||=S 且2||=TD.2||=S 且3||=T三．解答题（本大题共5题，共8+8+8+12+10=46分）19.接下列不等式组（1）⎪⎩⎪⎨⎧>-+>+-2130862x x x x ； （2）⎪⎩⎪⎨⎧≥----<-0158431|1||22x x x x x ；20.（1）已知1->x ，求11072+=+=x x x y 的最小值； （2）已知1243=+y x ，求xy 的最大值；21.已知适合不等式5|3||4|2≤-++-x a x x 的最大值为3，求实数a 的值，并解该不等式；22.已知二次函数)(x f y =满足条件m x x f x f m f 24)1()1(,21)0(-=--+=，m 为已知实数；（1）求函数)(x f 的解析式；（2）如果函数)(x f y =的图像与x 轴的两个不同交点在区间)4,0(内，求m 的取值范围；（3）当函数)(x f y =的图像与x 轴的两个交点时，这两个交点能否在点)0,5.0(的两旁？请说明理由；23.提高提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20020≤≤x 时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．（1） 当2000≤≤x 时，求函数)(x v 的表达式；（2） 当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）)()(x v x x f ⋅=可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）。

位育中学2015学年第一学期监控考试 高一数学试题 一.填空题（每题3分，共42分） 1. 设集合{}24,,3A m m m =+中实数m 的取值集合为M ，设全集U=R 则U C M =_______________.2. 已知集合{}23100,A x x x =--≤{}121,B x m x m =+≤≤-若,A B A =U 则实数m 的取值范围是_____________________.3. 设全集 {}*3,30,.U x x n x n N ==<∈{}6,15,U C A B =I {}3,21,U A C B =I {}9,18,24,U U C A C B =I 则集合A =___________________.4. 已知集合{}2260,,A x x ax a x R =+-≤∈{}2,.B x x a x R =-<∈且,B A ⊆则实数a 的取值范围是_____________________.5. 集合A 有10个元素，集合B 有8个元素，全集U 有15个元素，那么集合A B U 中元素最少有__________________个.6. 给出下列两个命题：① 若0,a b >>则11;a b > ②若0,a b >>则11;a b a b->- 其中正确命题的序号是_________________（把你认为正确命题的序号都填上）7. “2a b -<”是“11a -<且11b -<”的________________条件.8. 设:21,P x a +>1:0,21x Q x ->-若Q 是P 的充分非必要条件，则正数a 的取值集合是__________________. 9. 设命题:P 方程2210x mx ++=有两个不相等的正根；命题:Q 方程22(2)3100x m x m +--+=无实根，则使P 或Q 为真，P 且Q 为假的实数m 的取值范围是_____________________.10. 判断下列命题：①若,ac bc =则;a b =②若,a b >则11;a b <③对于实数,x 若20,x -=则20;x -≤④若0,p >则2;p p >⑤“若1,xy =则x 、y 互为倒数”的逆命题；⑥“面积相等的三角形全等”的否命题；⑦“若1,m ≤则220x x m -+=有实根”的逆否命题。

位育中学2014学年第一学期期中考试试卷高 一 数 学一、填空题：(每小题3分，共36分)1、设全集}42|{<<-=x x U ，集合}41|{<<-=x x A ，则A C U =_________2、不等式02312≤++x x 的解集是_________3、设⎩⎨⎧+∞∈-∞∈=),[,),(,)(2a x x a x x x f ，若4)2(=f ，则a 的取值范围是_________4、满足}5,4,3,2,1,0{}1,0{≠⊂⊆P 的集合P 的个数是_________5、命题“已知R y x ∈,，若2≠+y x ，则0≠x 或2≠y ”是_________命题(填“真”或“假”)6、函数xx x x f -+=||)1()(0的定义域是_________7、若不等式02<++q px x 的解集是}|{p x q x <<，则=+22q p _________ 8、若关于x 的不等式3|2|<-ax 的解集为}3135|{<<-x x ，则a =_________ 9、已知集合}2,1{-=A ，}01|{>+=mx x B ，且B B A = ，则实数m 的取值范围是_________10、设函数2)(-=x x f ，若不等式m x f x f +>+|)(||)3(|对任意实数x 恒成立，则m 的取值范围是_________ 11、已知b a ,均为正数，且14122=+b a ，则21b a +的最大值为_________ 12、满足不等式||(0,)x A B B A -<>∈R 的实数x 的集合叫做A 的B 邻域，若2-+b a 的b a +邻域是一个关于原点对称的区间，则ba 41+的取值范围是_________二、选择题：（每小题3分，共12分）13、设b a >，R c ∈，则下列不等式中恒成立的是 ( )(A)ba 11< (B)22b a > (C)||||c b c a > (D)1122+>+c bc a14、下面四组函数中，)(x f 与)(x g 表示同一函数的是 （ ） (A)1)(=x f ，0)(x x g =(B)||)(x x f =，2)(t t g =(C)x x f =)(，2)()(x x g = (D)x x f =)(，2)(x x g =15、设U 为全集，B A ,是集合，则“存在集合M 使得M A ⊆且)(M C B U ⊆”是“φ=B A ”的 ( ) (A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件(C)充要条件 (D)既非充分条件又非必要条件16、集合},42|{Z k k x x A ∈+==ππ，},24|{Z k k x x B ∈+==ππ之间关系是 ( ) (A)B A = (B)B A ⊆(C)B A ⊇ (D)φ=B A三、解答题：（共52分）17、(8分)已知集合}02|{2=--=px x x A ，}0|{2=++=r qx x x B ，若}5,1,2{-=B A ，}2{-=B A ，求r q p ++的值18、(10分)已知集合}0161|{2有解不等式≤++=ax x a P ， 集合}044|{2恒成立对任意实数不等式x ax ax a Q <-+=，求Q P19、(10分)解关于x 的不等式：12)1(<--x x m20、(12分)某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场内消费一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠。

位育中学第一学期期中考试高三年级数学试卷(理科)一、填空题(每题4分，共计56分)1、已知集合},3,1{m A =，}4,3{=B ，}4,3,2,1{=B A ，则=m __________2、不等式3|2|<-x 的解集是__________3、设)(x f 为定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，b x x f x++=22)((b 为常数)，则)2(-f =__________4、已知+∈R y x ,，且满足143=+yx ，则xy 的最大值为__________ 5、对任意不等于1的正数a ，函数)3(log )(+=x x f a 的反函数的图像都经过点P ，则点P 的坐标是__________6、若函数x a x y 2cos 2sin +=的图像关于直线6π-=x 对称，则a =__________7、函数||log )(b x x f a -=(0>a 且1≠a )是偶函数，且在),0(+∞上单调递减，则)3(-a f 与)2(-b f 的大小关系是______________8、定义在R 上的函数⎪⎩⎪⎨⎧>---≤=0),2()1(0,23sin)(x x f x f x xx f π，则)2010(f 的值为__________ 9、某种商品，若定价为p 元，则每月可卖出n 件，设定价上涨x 成(一成即%10)，卖出数量将减少32x成，为了使售货金额有所增加，则x 的取值范围是__________ 10、无论m 取何值，函数)43sin(2π+=kx y 在区间))(43,32[R m m m ∈++上至少有一个最大值和最小值，则正整数k 的最小值为11、若关于x 的方程x x k =++2有两个不相等的实数解，则实数k 的取值范围是__________12、设1>a ，若仅有一个常数c 使得对于任意的[]a a x 2,∈，都有[]2,aa y ∈满足方程c y x a a =+log log ，这时，a 的取值的集合为13、若关于x 的两个不等式0)(<x f 和0)(<x g 的解集分别为),(b a 和)1,1(ab ，则称这两个不等式为对偶不等式。

位育中学2015学年第一学期期中考试数学试卷2015-11-6_____班，_____号，姓名_____________一、填空题（本大题满分56分，每小题4分）1．设集合{1,2,3,4,5,6},{1,2,4}U U M ==ð；则集合M =______________． 2．已知3sin 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()cos πα-=______________．3．公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数，且31116a a =，则210log a =______________． 4．求值：4arcsin(cos)7π=______________． 5．在等差数列{}n a 中，若2576543=++++a a a a a ，则82a a +=______________． 6．在∆ABC 中，a =3，b =，3A π=，则B =______________．7．已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于______． 8．若函数6,2,()3log , 2.a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩（a >0且a ≠1）的值域是[4,+∞)，则实数a 的取值范围是______________．9．若函数()ln(f x x x =为偶函数，则a =______________．10．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =______________． 11．设函数21()ln(1||)1f x x x =+-+，则使得f (x )>f (2x -1)成立的x 的取值范围是______________． 12．已知函数f (x )=sin ωx +cos ωx (ω >0),x ∈R ，若函数f (x )在区间(-ω,ω)内单调递增，且函数f (x )的图像关于直线x =ω 对称，则ω 的值为______________．13．若a ,b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且a ,b ,-2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p +q 的值等于______________． 14．已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22x g x =-，若同时满足条件：①对任意实数x 都有()0f x <或()0g x <； ②总存在0(,4)x ∈-∞-时，使00()()0f x g x <成立． 则m 的取值范围是______________．二、选择题（本大题满分20分，每小题5分）15．设n S 是公差为d （d ≠0）的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，则下列命题错误．．的是 （ ）A ．若d <0，则数列{S n }有最大项B ．若数列{S n }有最大项，则d <0C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意n ∈N *，均有S n >0D ．若对任意n ∈N *，均有S n >0，则数列{S n }是递增数列16．将函数f (x )=sin2x 的图像向右平移ϕ (02πϕ<<)个单位后得到函数g (x )的图像，若对满足|f (x 1)-g (x 2)|=2的x 1,x 2，有12min ||3x x π-=，则ϕ=（ ）A ．512π B ．3π C ．4π D ．6π17．已知f (x )是定义在R 上的偶函数且以2为周期，则“f (x )为[0,1]上的增函数”是“f (x )为[3,4]上的减函数”的 （ ） A ．充分而不必要的条件 B ．必要而不充分的条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要的条件 18．对于函数f (x )，若存在区间A =[m ,n ]，使得(){},y y f x x A A =∈=，则称函数f (x )为“可等域函数”，区间A 为函数f (x )的一个“可等域区间”．给出下列4个函数：①()sin 2f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭；②()221f x x =-；③()12x f x =-；④()()2log 22f x x =-．其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为（ ）A ．①②③B ．②③C ．①③D ．②③④三、解答题（本大题满分74分） 19．（本题满分12分）第1小题5分，第2小题7分．已知二次函数f (x )=mx 2-2x -3，若不等式f (x )<0的解集为(-1,n ) (1) 解关于x 的不等式：2x 2-4x +n >(m +1)x -1；(2) 是否存在实数a ∈(0,1)，使得关于x 的函数y =f (a x )-4a x +1 (x ∈[1,2])的最小值为-4？若存在，求a 的值；若不存在，说明理由．20．（本题满分14分）第1小题6分，第2小题8分．在ABC ∆中，已知5cos 13A =，10tan cot 223B B +=，21c =． (1) 求cos()A B -的值；(2) 求ABC ∆的面积．21．（本题满分14分）第1小题6分，第2小题8分．已知函数2()cos 10cos 222x x xf x =+．(1) 求函数f (x )的最小正周期；(2) 将函数f (x )的图象向右平移6π个单位长度，再向下平移a （a >0）个单位长度后得到 函数g (x )的图象，且函数g (x )的最大值为2．○1 求函数g (x )的解析式； ○2 证明：存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)>0． 22．（本题满分16分）第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n a a S S =+对一切正整数n 都成立． (1) 求1a ，2a 的值；(2) 若10a >，设数列{}n b 的前n 项和为nT ，且满足110lg n na b a =，证明{}n b 是等差数列； (3) 当n 为何值时，n T 最大？并求出n T 的最大值．23．（本题满分18分）第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．已知函数()f x ，如果存在给定的实数对),(b a ，使得b x a f x a f =-⋅+)()(恒成立，则称)(x f 为“-Γ函数”．(1) 判断函数x x f x x f 3)(,)(21==是否是“-Γ函数”；(2) 若x x f tan )(3=是一个“-Γ函数”，求出所有满足条件的有序实数对),(b a ；(3) 若定义域为R 的函数)(x f 是“-Γ函数”，且存在满足条件的有序实数对(0,1)和(1,4)，当x ∈[0,1]时，()f x 的值域为[1,2]，求当x ∈[-2016,2016]时函数()f x 的值域．参考答案： 一、填空题 1．{3,5,6} 2．35-3．5 4．14π- 5．106．4π 7．21n-8．(1,2] 9．110．1n-11．1(,1)31213．914．m ∈(-4,-2) 二、选择题 15．C16．D 17．C18．B三、解答题19．解：(1)由不等式2230mx x --≤的解集为(1,)n -知关于x 的方程2230mx x --=的两根为1-和n ，且0m >，解得13m n =⎧⎨=⎩， 3分 原不等式化为(2)(1)0x x -->，∴原不等式的解集为( 1)(2 )-∞+∞ ，，；5分(2)设xt a =，由(0 1)a ∈，，[1 2]x ∈，得2[ ]xa a a ∈，函数2(42)3y t a t =-+-，对称轴21t a a =+>9分∴2min (42)34y a a a =-+-=-，解得13a =或1a =-(舍去) ∴13a =为所求．20．解：(1) 由已知可得：12sin 13A =，3sin 5B =，∵sin A >sin B ，∴A >B ，4cos 5B =56cos()cos cos sin sin 65A B A B A B -=+=； (2) 63sin sin()sin cos cos sin 65C A B A B A B =+=+= 由正弦定理：sin 13sin Bb c C== ∴1sin 1262ABC S bc A ∆==．21．解：(1)∵()5cos 510sin()56f x x x x π=++=++，∴函数f (x )的最小正周期T =2π；(2) ○1 将f (x )的图象向右平移6π个单位长度后得到y =10sin x +5的图象， 再向下平移a （a >0）个单位长度后得到g (x )=10sin x +5-a 的图象，又已知函数g (x )的最大值为2，所以10+5-a =2，解得a =13， ∴g (x )=10sin x -8；○2 要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)>0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得10sin x 0-8>0，即04sin 5x >，由45<003πα<<，使得04sin 5α=，由正弦函数的性质可知，当00(,)x απα∈-时，均有4sin 5x >， ∵y =sin x 的周期为2π，∴当00(2,2)()x k k k παππα∈++-∈Z 时，均有4sin 5x >， 12分∵对任意的整数k ，000(2)(2)213k k πππαπαπα+--+=->>，∴对任意的正整数k ，都存在正整数00(2,2)()k x k k k παππα∈++-∈Z ，使得4sin 5k x >， 亦即存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)>0．14分 注：也可直接如下证明○2由4sin 5x >，解得44(2arcsin ,2arcsin )()55x k k k πππ∈++-∈Z 12分 ∵对任意的整数k ，444(2arcsin )(2arcsin )2arcsin 1555k k ππππ+--+=->，∴对任意的正整数k ，都存在正整数44(2arcsin ,2arcsin )()55k x k k k πππ∈++-∈Z ，使得4sin 5k x >， 亦即存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)>0． 14分22．解：(1) 取1n =，得2121122a a S S a a =+=+ ①，取2n =，得221222a a a =+ ②， 又②-①，得 2212()a a a a -= ③若20a =，由①知10a =； 若20a ≠，易知211a a -=，④ 由①④得：11a =，22a =11a =22a =(2) 当10a >时,由(1)知，11a =，22a =当2n ≥时，有2(2n n a S S =+，121(2n n a S S --=+，∴1(2)n n a n -=≥，∴111(1n n n a a --==⋅， 令110lgn na b a =，则111100lg 2lg 21lg 12222n n n b n --=-==-++，∵111lg22n n n n b b -+-=-+=-是常数，∴数列{}n b 是以1lg 22-为公差，且单调递减的等差数列． (3) 123710lg lg108b b b b >>>>=>= ， 当8n ≥时，811001lglg1021282n b b ≤=<=， 所以，7n =时，n T 取得最大值，且n T 的最大值为1777()217lg 222b b T +==-．23．解：(1) 若x x f =)(1是“-Γ函数”，则存在常数),(b a ，使得b x a x a =-+))((．即b a x -=22时，对x ∈R 恒成立．而b a x -=22最多有两个解，矛盾， 因此x x f =)(1不是“-Γ函数”．2分 若x x f 3)(2=是“-Γ函数”，则存在常数b a ,使得2333a x a x a b +-⋅==， 即存在常数对)3,(2a a 满足条件．因此x x f 3)(2=是“-Γ函数”； 4分(2) x x f tan )(3=是一个“-Γ函数”，有序实数对),(b a 满足b x a x a =-⋅+)tan()tan(恒成立，当,2a k k ππ=+∈Z 时，x x a x a 2cot )tan()tan(-=-⋅+，不是常数．∴,2a k k ππ≠+∈Z ，当,2x m m ππ≠+∈Z 时，有2222tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan 1tan tan a x a x a xb a x a x a x+--⋅==-⋅+⋅-恒成立即0)(tan tan )1tan (222=-+-⋅b a x a b 恒成立．则⇒⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=-⋅11tan 0tan 01tan 222b a b a a b ,41a k kb ππ⎧=±⎪∈⎨⎪=⎩Z ， 8分 当,2x m m ππ=+∈Z ,4ππ±=k a 时，1cot )tan()tan(2==-⋅+a x a x a 成立．因此满足x x f tan )(3=是一个“-Γ函数”，(,)(,1)()4a b k k ππ=±∈Z ． 10分 (3) 函数)(x f 是“-Γ函数”，且存在满足条件的有序实数对)1,0(和)4,1(，于是()()1,(1)(1)4f x f x f x f x ⋅-=+⋅-=，(1)(1)4()(2)4f x f x f x f x +⋅-=⇔⋅-=． x ∈[1,2]时，2-x ∈[0,1]，f (2-x )∈[1,2]，]4,2[)2(4)(∈-=x f x f ，∴x ∈[0,2]时，]4,1[)(∈x f ，1()()()1()(2)4()(1)(1)44()(2)f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x ⎧-=⎪⋅-=⎧⎪⇒⇒+=⎨⎨+⋅-=⎩⎪-=⎪+⎩， x ∈[2,4]时，f (x )∈[4,16]，x ∈[4,6]时，f (x )∈[16,64]，…… 以此类推可知：x ∈[2k ,2k +2]时，f (x )∈[22k ,22k +2]，x ∈[2014,2016]时，f (x )∈[22014,22016]，因此2016[0,2016]()[1,2]x f x ∈∈时，，201620161[2016,0],(),[0,2016],()[1,2]()[2,1]()x f x x f x f x f x -∈-=-∈-∈⇒∈-时，综上可知当[2016,2016]x ∈-时函数)(x f 的值域为-20162016[22]，． (2) 另解：sin()sin()cos 2cos 2tan()tan()cos()cos()cos 2cos 2a x a x x aa x a x ba x a x x a+--+⋅-===+-+恒成立即(b -1)cos2x +(b +1)cos2a =0恒成立，即cos2a =0,b =1，∴(,)(,1)()24k a b k ππ=+∈Z ．。

2014学年第一学期位育中学期中考试高三数学试题一、 填空题（每题4分，共56分）1. 已知i 为虚数单位，复数12,2,z a i z i =+=-且12,z z =则实数a 的值为__________________.2. 方程2cos 21x =的在[)0,x π∈上解是__________________.3. 不等式11111x x+<-的解为_____________________.4. 已知函数2log ,0().2,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩若1(),2f a a ==则_________________. 5. 已知复数122,2,z m i z i =+=-若12z z 为实数，则实数m 的值为___________________. 6. 在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c，若)cos cos ,c A a C -=则cos A =_______________.7. 若函数[]2()23,0,f x x x x m =-+∈的最大值为3，最小值为2，则m 的取值范围为__________________. 8. 要使函数k y x x =+在[)2,x ∈+∞上有最小值2,2kk +则的取值范围是______________. 9. 非零向量a 、b 夹角为060,且1,a b -=则a b +的最大值为__________________. 10. 已知等差数列{}n a 的公差2,d = n S 表示{}n a 的前n 项和，若数列{}n s 是递增数列，则1a 的取值范围是_________.11. ()()()sin f x x x θθ=++-为偶函数，则θ的值为____________. 12. 如图，在半径为r 的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设n S 为前n 个圆的面积之和,则lim n →∞n S =______.13.已知数列{}n b 的各项都是正整数，且135,,2n n n nn k b b b b b ++⎧⎪=⎨⎪⎩n+1为奇数为偶数，k 是使b 为奇数的正整数 若存在*m N ∈，当n m >且b n 为奇数时，n b 恒为常数α，则α=_________.14. 对于定义在R 上的函数(),f x 有下述命题： ①若()f x 是奇函数，则(1)f x -的图像关于点A （1,0）对称； ②若函数(1)f x -的图像关于直线1x =对称，则()f x 为偶函数； ③若对,x R ∈有(1)(),f x f x -=-则2是()f x 的一个周期； ④函数(1)(1y f x y f x=-=-与的图像关于直线1x =对称。

2014-2015学年上海市徐汇区位育中学高三（上）期中数学试卷一、填空题（每题4分，共56分）1．（4分）已知i为虚数单位，复数z1=a+i，z2=2﹣i，且|z1|=|z2|，则实数a的值为．2．（4分）方程2cos2x=1的在x∈[0，π）上解是．3．（4分）不等式：≤1的解集是．4．（4分）已知函数f（x）=若f（a）=，则a=．5．（4分）已知复数z1=m+2i，z2=2﹣i，若为实数，则实数m的值为．6．（4分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、C、若（b﹣c）cosA=acosC，则cosA=．7．（4分）已知f（x）=x2﹣2x+3，在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是．8．（4分）要使函数y=x+在x∈[2，+∞）上有最小值2+，则k的取值范围是．9．（4分）已知非零向量的夹角为60°，且，则的最大值是．10．（4分）已知等差数列{a n}的公差d=2，S n表示{a n}的前n项和，若数列{s n}是递增数列，则a1的取值范围是．11．（4分）f（x）=sin（x+θ）+cos（x﹣θ）为偶函数，则θ的值为．12．（4分）在半径为r的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设S n为前n个圆的面积之和，则s n=．13．（4分）已知数列{b n}的各项都是正整数，且b n+1=，若存在m∈N*，当n＞m且b n为奇数时，b n恒为常数a，则a=．14．（4分）对于定义在R上的函数f（x），有下述命题：①若f（x）是奇函数，则f（x﹣1）的图象关于点A（1，0）对称；②若函数f（x﹣1）的图象关于直线x=1对称，则f（x）为偶函数；③若对x∈R，有f（x﹣1）=﹣f（x），则2是f（x）的一个周期；④函数y=f（x﹣1）与y=f（1﹣x）的图象关于直线x=1对称．其中正确的命题是．（写出所有正确命题的序号）二、选择题（每题5分，共20分）15．（5分）在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是（）A．=（0，0），=（1，2）B．=（﹣1，2），=（5，﹣2）C．=（3，5），=（6，10）D．=（2，﹣3），=（﹣2，3）16．（5分）设a，b，c，d∈R，若a，1，b成等比数列，且c，1，d 成等差数列，则下列不等式恒成立的是（）A．a+b≤2cd B．a+b≥2cd C．|a+b|≤2cd D．|a+b|≥2cd17．（5分）设函数，若f（x）的值域为R，则常数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）B．[﹣1，2]C．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）D．[﹣2，1]18．（5分）已知定义域为R的函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有3个不同的实根x1，x2，x3，则x12+x22+x32等于（）A．13 B．C．5 D．三、解答题19．（12分）某专卖店销售一新款服装，日销售量（单位为件）f （n）与时间n （1≤n≤30、n∈N*）的函数关系如下图所示，其中函数 f （n）图象中的点位于斜率为5和﹣3的两条直线上，两直线交点的横坐标为m，且第m天日销售量最大．（Ⅰ）求f （n）的表达式，及前m天的销售总数；（Ⅱ）按以往经验，当该专卖店销售某款服装的总数超过400件时，市面上会流行该款服装，而日销售量连续下降并低于30件时，该款服装将不再流行．试预测本款服装在市面上流行的天数是否会超过10天？请说明理由．20．（14分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，0＜φ＜）图象如图，P是图象的最高点，Q为图象与x轴的交点，O为原点．且|OQ|=2，|OP|=，|PQ|=．（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；（Ⅱ）将函数y=f（x）图象向右平移1个单位后得到函数y=g（x）的图象，当x ∈[0，2]时，求函数h（x）=f（x）•g（x）的最大值．21．（14分）已知n∈N*，数列{d n}满足，数列{a n}满足a n=d1+d2+d3+…+d2n；数列{b n}为公比大于1的等比数列，且b2，b4为方程x2﹣20x+64=0的两个不相等的实根．（Ⅰ）求数列{a n}和数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）将数列{b n}中的第a1项，第a2项，第a3项，…，第a n项，…删去后剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{c n}，求数列{c n}的前2013项和．22．（16分）已知：函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设函数f（x）=．（1）求a、b的值及函数f（x）的解析式；（2）若不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]时恒成立，求实数k的取值范围；（3）如果关于x的方程f（|2x﹣1|）+t•（﹣3）=0有三个相异的实数根，求实数t的取值范围．23．（18分）已知数列{a n}满足：a1=1，a2=2，且a n+2=（2+cosnπ）（a n﹣1）+3，n∈N*．（1）求数列{a n}前20项的和S20；（2）求通项公式a n；（3）设{a n}的前n项和为S n，问：是否存在正整数m、n，使得S2n=mS2n﹣1？若存在，请求出所有符合条件的正整数对（m，n），若不存在，请说明理由．2014-2015学年上海市徐汇区位育中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题4分，共56分）1．（4分）已知i为虚数单位，复数z1=a+i，z2=2﹣i，且|z1|=|z2|，则实数a的值为±2．【解答】解：z1=a+i，z2=2﹣i，且|z1|=|z2|，所以|z1|2=|z2|2，根据复数模的计算公式得出a2+1=22+（﹣1）2=5，整理a2=4，∴a=2或﹣2，故答案为：±2．2．（4分）方程2cos2x=1的在x∈[0，π）上解是或．【解答】解：方程2cos2x=1，即cos2x=，∵x∈[0，π），∴2x∈[0，2π），∴2x=，2x=，故该方程在x∈[0，π）上解为x=，或x=，故答案为：或．3．（4分）不等式：≤1的解集是{x|﹣1≤x≤0} ．【解答】解：不等式：≤1化为x（x+1）﹣（﹣1）≤1，即x2+x≤0，解得﹣1≤x≤0．因此不等式的解集为{x|﹣1≤x≤0}．故答案为：{x|﹣1≤x≤0}．4．（4分）已知函数f（x）=若f（a）=，则a=﹣1或．【解答】解：当a＞0时，log2a=∴a=，当a≤0时，2a==2﹣1，∴a=﹣1．∴a=﹣1或．故答案为：﹣1或．5．（4分）已知复数z1=m+2i，z2=2﹣i，若为实数，则实数m的值为﹣4．【解答】解：复数z1=m+2i，z2=2﹣i，===，∵为实数，∴m﹣4=0，即m=﹣4故答案为：﹣4．6．（4分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、C、若（b﹣c）cosA=acosC，则cosA=．【解答】解：由正弦定理，知由（b﹣c）cosA=acosC可得（sinB﹣sinC）cosA=sinAcosC，∴sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，∴cosA=．故答案为：7．（4分）已知f（x）=x2﹣2x+3，在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是[1，2] ．【解答】解：通过画二次函数图象观察图象，欲使得闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，区间[0，m]的右端点必须在抛物线顶点的右侧，且在2的左侧（否则最大值会超过3）∴知m∈[1，2]．答案：[1，2]8．（4分）要使函数y=x+在x∈[2，+∞）上有最小值2+，则k的取值范围是（﹣∞，4] ．【解答】解：函数y=x+，可得y′=1﹣=．当k≤0时，y′在x∈[2，+∞）上恒为正数，函数y=x+在x∈[2，+∞）上是增函数，x=2时函数取得最小值2+，满足题意．当k＞0时，x2﹣k=0，解得x=，要使函数y=x+在x∈[2，+∞）上s是增函数，函数的最小值2+，可得，解得0＜k≤4，综上k∈（﹣∞，4]．故答案为：（﹣∞，4]．9．（4分）已知非零向量的夹角为60°，且，则的最大值是．【解答】解：∵非零向量的夹角为60°，且，∴，即，则，∴，当且仅当||=||=1时取等号．∴||===，∴1＜2||||+1≤3，∴1＜||≤．∴的最大值是．故答案为：．10．（4分）已知等差数列{a n}的公差d=2，S n表示{a n}的前n项和，若数列{s n}是递增数列，则a1的取值范围是（﹣2，+∞）．【解答】解：若数列{s n}是递增数列，即是说，对于任意的正整数n，都有Sn＜Sn+1成立，移向即为a n+1＞0，∴a1+2n＞0，a1＞﹣2n．只需要a1大于﹣2n的最大值即可．当n=1时，﹣2n取得最大值﹣2，所以a1＞﹣2，a1的取值范围是（﹣2，+∞）故答案为：（﹣2，+∞）11．（4分）f（x）=sin（x+θ）+cos（x﹣θ）为偶函数，则θ的值为kπ﹣（k ∈Z）．【解答】解：∵f（x）=sin（x+θ）+√3cos（x﹣θ）f（x）=sinxcosθ+cosxsinθ+√3cosxcosθ+√3sinxsinθf（﹣x）=﹣sinxcosθ+cosxsinθ+√3cosxcosθ﹣√3sinxsinθ∵f（x）是偶函数，f（x）=f（﹣x）∴cosθ+√3sinθ=0化简得：2sin（θ+）=0∴θ+=0+kπ，（k∈Z）解得∴θ=kπ﹣，（k∈Z）故答案为θ=kπ﹣，（k∈Z）12．（4分）在半径为r的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设S n为前n个圆的面积之和，则s n=4πr2．【解答】解：依题意可知，图形中内切圆半径分别为：r，r•cos30°，（r•cos30°）cos30°，（r•cos30°cos30°）cos30°，…，即内切圆半径组成以r为首项，为公比的等比数列∴圆的面积组成以πr2为首项，为公比的等比数列∴S n==4πr2故答案为：4πr2．13．（4分）已知数列{b n}的各项都是正整数，且b n+1=，若存在m∈N*，当n＞m且b n为奇数时，b n恒为常数a，则a=1或5．【解答】解：若存在m∈N*，当n＞m且b n为奇数时，b n恒为常数a，则b n=a，b n+1=3a+5，b n+2==a，∴（3﹣2m）a=﹣5，∵数列{b n}的各项均为正整数，∴当m=2时，a=5，当m=3时，a=1．故答案为：1或514．（4分）对于定义在R上的函数f（x），有下述命题：①若f（x）是奇函数，则f（x﹣1）的图象关于点A（1，0）对称；②若函数f（x﹣1）的图象关于直线x=1对称，则f（x）为偶函数；③若对x∈R，有f（x﹣1）=﹣f（x），则2是f（x）的一个周期；④函数y=f（x﹣1）与y=f（1﹣x）的图象关于直线x=1对称．其中正确的命题是①②③④．（写出所有正确命题的序号）【解答】解：①若f（x）是奇函数，则其对称中心是（0，0）由于f（x﹣1）的图象可以由f（x）的图象向右平移1个单位得到，则f（x﹣1）关于（1，0）对称．故①是正确的．②由于f（x）的图象可以由f（x﹣1）的图象向左平移1个单位得到，又由于函数f（x﹣1）的图象关于直线x=1对称，则函数f（x）的图象关于直线x=0对称，即f（x）为偶函数．故②也正确．③由于若对x∈R，有f（x﹣1）=﹣f（x），则f（x﹣2）=﹣f（x﹣1）=﹣（﹣f（x））=f（x），所以2是f（x）的一个周期．故③也正确．④由于f（x）=f（﹣x）时f（x）为偶函数，其对称轴是y轴即x=0，而f（1﹣x）=f（﹣（x﹣1））且f（x﹣1）的图象可以由f（x）的图象向右平移1个单位得到，所以f（x﹣1）与y=f（1﹣x）的图象关于直线x=1对称．故④也正确．故正确的是①②③④．二、选择题（每题5分，共20分）15．（5分）在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是（）A．=（0，0），=（1，2）B．=（﹣1，2），=（5，﹣2）C．=（3，5），=（6，10）D．=（2，﹣3），=（﹣2，3）【解答】解：根据，选项A：（3，2）=λ（0，0）+μ（1，2），则3=μ，2=2μ，无解，故选项A不能；选项B：（3，2）=λ（﹣1，2）+μ（5，﹣2），则3=﹣λ+5μ，2=2λ﹣2μ，解得，λ=2，μ=1，故选项B能．选项C：（3，2）=λ（3，5）+μ（6，10），则3=3λ+6μ，2=5λ+10μ，无解，故选项C不能．选项D：（3，2）=λ（2，﹣3）+μ（﹣2，3），则3=2λ﹣2μ，2=﹣3λ+3μ，无解，故选项D不能．故选：B．16．（5分）设a，b，c，d∈R，若a，1，b成等比数列，且c，1，d 成等差数列，则下列不等式恒成立的是（）A．a+b≤2cd B．a+b≥2cd C．|a+b|≤2cd D．|a+b|≥2cd【解答】解：由题意可得ab=1，c+d=2由于a，b，c，d的正负不确定A：例如a=﹣2，b=﹣，c=﹣8，d=10，此时a+b＞2cd，故A错误B：例如a=﹣2，b=﹣，c=1，d=1，此时a+b＜2cd，故B错误由于ab=1＞0，则a，b同号，|a+b|=|a|+|b|=2，当cd＜0时，c+d＞0＞2cd当cd＞0时，由c+d=2可知，c＞0，d＞0，则可知cd=1∴|a+b|≥2cd综上可得，|a+b|≥2cd17．（5分）设函数，若f（x）的值域为R，则常数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）B．[﹣1，2]C．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）D．[﹣2，1]【解答】解：当x＞2时，y=2x+a＞4+a当x≤2时，y=x+a2≤2+a2∵f（x）的值域为R，∴a2+2≥a+4解不等式可得，a≥2或a≤﹣1故选：A．18．（5分）已知定义域为R的函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有3个不同的实根x1，x2，x3，则x12+x22+x32等于（）A．13 B．C．5 D．【解答】解：作出f（x）的图象由图知，只有当f（x）=1时有两解；∵关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有3个不同的实数解x1，x2，x3，∴必有f（x）=1，从而x1=1，x2=2，x3=0．故可得x12+x22+x32=5．故选C．三、解答题19．（12分）某专卖店销售一新款服装，日销售量（单位为件）f （n）与时间n （1≤n≤30、n∈N*）的函数关系如下图所示，其中函数 f （n）图象中的点位于斜率为5和﹣3的两条直线上，两直线交点的横坐标为m，且第m天日销售量最大．（Ⅰ）求f （n）的表达式，及前m天的销售总数；（Ⅱ）按以往经验，当该专卖店销售某款服装的总数超过400件时，市面上会流行该款服装，而日销售量连续下降并低于30件时，该款服装将不再流行．试预测本款服装在市面上流行的天数是否会超过10天？请说明理由．【解答】解：（I）根据题意，设f（n）=，（n∈N*）而f（1）=2，∴5+a=2，即a=﹣3．又5m+a=﹣3m+b，∴b=8m+a=8m﹣3，∴f（n）=．（n∈N*）由f（m）=57得m=12．∴f（n）=（n∈N*）前12天的销售总量为5（1+2+3++12）﹣3×12=354件．（II）第13天的销售量为f（13）=﹣3×13+93=54件，而354+54＞400件，∴从第14天开始销售总量超过400件，即开始流行．设第x天的日销售量开始低于30件（12＜x≤30），即f（x）=﹣3x+93＜30，解得x＞21．∴从第22天开始日销售量低于30件．∵21﹣13=8，∴该服装流行的时间不超过10天．20．（14分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，0＜φ＜）图象如图，P是图象的最高点，Q为图象与x轴的交点，O为原点．且|OQ|=2，|OP|=，|PQ|=．（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；（Ⅱ）将函数y=f（x）图象向右平移1个单位后得到函数y=g（x）的图象，当x ∈[0，2]时，求函数h（x）=f（x）•g（x）的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由余弦定理得cos∠POQ==，…（2分）∴sin∠POQ=，得P点坐标为（，1），∴A=1，=4（2﹣），∴ω=．…（5分）由f（）=sin（+φ）=1 可得φ=，∴y=f（x）的解析式为f（x）=sin（x+）．…（6分）（Ⅱ）根据函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律求得g（x）=sin x，…（7分）h（x）=f（x）g（x）=sin（x+）sin x=+sin xcos x=+sin=sin（﹣）+．…（10分）当x∈[0，2]时，∈[﹣，]，∴当，即x=1时，h max（x）=．…（12分）21．（14分）已知n∈N*，数列{d n}满足，数列{a n}满足a n=d1+d2+d3+…+d2n；数列{b n}为公比大于1的等比数列，且b2，b4为方程x2﹣20x+64=0的两个不相等的实根．（Ⅰ）求数列{a n}和数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）将数列{b n}中的第a1项，第a2项，第a3项，…，第a n项，…删去后剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{c n}，求数列{c n}的前2013项和．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴a n=d1+d2+d3+…+d2n=…（3分）因为b2，b4为方程x2﹣20x+64=0的两个不相等的实数根．所以b2+b4=20，b2•b4=64…（4分）解得：b2=4，b4=16，所以：…（6分）（Ⅱ）由题知将数列{b n}中的第3项、第6项、第9项…删去后构成的新数列{c n}中的奇数列与偶数列仍成等比数列，首项分别是b1=2，b2=4公比均是8，…（9分）T2013=（c1+c3+c5+…+c2013）+（c2+c4+c6+…+c2012）=…（12分）22．（16分）已知：函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设函数f（x）=．（1）求a、b的值及函数f（x）的解析式；（2）若不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]时恒成立，求实数k的取值范围；（3）如果关于x的方程f（|2x﹣1|）+t•（﹣3）=0有三个相异的实数根，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）g（x）=ax2﹣2ax+1+b，函数的对称轴为直线x=1，由题意得：①得②得（舍去）∴a=1，b=0…（4分）∴g（x）=x2﹣2x+1，…（5分）（2）不等式f（2x）﹣k•2x≥0，即k…（9分）设，∴，∴k≤（t﹣1）2∵（t﹣1）2min=0，∴k≤0…（11分）（3）f（|2x﹣1|）+t•（﹣3）=0，即|2x﹣1|++﹣3t﹣2=0．令u=|2x﹣1|＞0，则u2﹣（3t+2）u+（4t+1）=0…（①…（13分）记方程①的根为u1，u2，当0＜u1＜1＜u2时，原方程有三个相异实根，记φ（u）=u2﹣（3t+2）u+（4t+1），由题可知，或．…（16分）∴时满足题设．…（18分）23．（18分）已知数列{a n}满足：a1=1，a2=2，且a n+2=（2+cosnπ）（a n﹣1）+3，n∈N*．（1）求数列{a n}前20项的和S20；（2）求通项公式a n；（3）设{a n}的前n项和为S n，问：是否存在正整数m、n，使得S2n=mS2n﹣1？若存在，请求出所有符合条件的正整数对（m，n），若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）（2）当n是奇数时，cosnπ=﹣1；当n是偶数时，cosnπ=1．所以，当n是奇数时，a n=a n+2；当n是偶数时，a n+2=3a n．+2又a1=1，a2=2，所以a1，a3，…，a2n﹣1，…是首项为1，公差为2的等差数列；a2，a4，…，a2n，…是首项为2，公比为3的等比数列．所以，a n =．（3）由（2），得S2n=（a1+a3+…+a2n﹣1）+（a2+a4+…+a2n）=3n+n2﹣1，S2n﹣1=S2n﹣a2n=3n+n2﹣1﹣2×3n﹣1=3n﹣1+n2﹣1．所以，若存在正整数m、n，使得S2n=mS2n﹣1，则m===1+≤1+=3．显然，当m=1时，S2n=3n+n2﹣1≠1×3n﹣1+n2﹣1=S2n﹣1；当m=2时，由S2n=2S2n﹣1，整理得3n﹣1=n2﹣1．显然，当n=1时，31﹣1≠12﹣1；当n=2时，32﹣1=22﹣1，所以（2，2）是符合条件的一个解．当n≥3时，3n﹣1=（1+2）n﹣1=1+C n﹣11×2+C n﹣12×22+…≥1+2C n﹣11+4C n﹣12=2n2﹣1＞n2﹣1．当m=3时，由S2n=3S2n﹣1，整理得n=1，所以（3，1）是符合条件的另一个解．综上所述，所有的符合条件的正整数对（m，n），有且仅有（3，1）和（2，2）两对．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法yxo②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。

第一学期高一数学期中考试试题卷一、填空题：（每空3分，共42分）1、已知集合{1,1,2,4},{1,0,2},A B =-=- 则B A Y =2、不等式032≥+-x x 的解集为_____________（用区间表示） 3、已知集合M={(x ，y )|4x ＋y =6}，P={(x ，y )|3x ＋2y =7}，则M ∩P ＝4、已知全集U=R ，集合}065|{2≥--=x x x P ，那么U C P =5、已知集合A={1，3，2m+3}，B={3, 2m }，若A B ⊆，则实数m=_____6、设全集{1,2,3,4,5},{2,4},U U M N M C N ===U I 则N =7、满足{1，2}M ⊆{1，2，3，4，5，6}的集合M 的个数是8、已知R x ∈，命题“若52<<x ，则01072<+-x x ”的否命题是9、设0>x ，则13++x x 的最小值为 10、若关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为{x |－1＜x ＜2}，则关于x 的不等式02>++a bx cx 的解集是11、在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立，则实数a 的取值范围是12、若关于x 的不等式123222--≤+-a a x x 在R 上的解集为∅，则实数a 的取值范围是 。

13、设实数b a ,满足302=++b ab a ，且0,0>>b a ，那么ab 1的最小值为 14. 已知f x x x x x f f ()()()()()().=->=-<⎧⎨⎪⎩⎪=-=320010712π，则，二、选择题：（每题3分，共12分）15. 下列函数中哪个与函数y x =是同一个函数（ ）A. y x =()2B. y x x =2C. y x =33D. y x =216.设集合{}20M x x x =-<，{}2N x x =<，则( )（A ）M N =∅I （B ） M N M =I （C ）M N M =U （D ）M N R=U 17.下列命题中正确的是：（ ）（A ）若bc ac >，则b a > (B) 若a 2>b 2，则b a >（C ）若b a 11>，则b a < (D) 若b a <，则b a <18.设命题甲为“0<x<5”，命题乙为“|x-2|<3”，那么甲是乙的：（） （A ）充分非必要条件； （B ）必要非充分条件；（C ）充要条件； （D ）既非充分又非必要条件三、解答题：（6＋6＋8＋6＋8＋12分，共46分）19、解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<--≤++862132x x x x20、记关于x 的不等式0111<++-x a 的解集为P ，不等式3|2|<+x 的解集为Q（1）若3a =，求P ；（2）若Q Q P =Y ，求正数a 的取值范围。

2024学年第一学期位育中学期中考试试卷高三年级 数学学科(考试时间 120分钟，总分150分 )一、填空题(本大题共有12题, 第1-6题每题4分, 第7-12 题每题 5分, 满分54分)1. 已知集合A=(0,4), B=(1,5), 则A∩B= .2. 抛物线 y²=8x 的准线方程为 .3. 不等式 x−1x +2≥0的解集为 .4. 若正数a 、b 满足a+2b=1, 则 ab的最大值为.5. 已知复数 z =2−i i(i 为虚数单位)，则 .6. 已知 f (x )={2x ,x <1log 2x,x ≥1,若, 则 .7. 若不等式 2kx²+2kx−3<0对一切实数都成立，则实数的取值范围是 .8. 已知点A(-2,3), B(1,-1), 则OA 在 OB 方向上的投影为 .9. 若 (1−x )6=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 6x 6, 则的值为 .IO. 设无穷等比数列的公比 q =−12, a 1=1, 则.11. 日常生活中，较多产品的包装盒呈长方体形状，烘焙店的包装盒如图所示，在长方体 ABCD−A₁B₁C₁D₁中, AB=3 , BC=2, AA ₁=1.店员认为在彩绳扎紧的情况下，按照图A 中 H−E−E₁−F₁−F−G−G₁−H₁−H 的方向捆扎包装盒会比按照图B 中的十字捆扎法更节省彩绳(不考虑打结处的用绳量和彩绳的宽度).则图A 比图B 最多节省的彩绳长度为 .）（4,12-=x ()[)∞+⋃-∞-，，1281=z i 21+-2)(=a f =a 4x k (]0,6-⎪⎭⎫ ⎝⎛-2525，621a a a +++ 1-}{n a ∑+∞==12n na 32-412. 已知实数x ₁,x ₂,y ₁,y ₂满足: x 21+y 21=1，x 22+y 22=1，x 1y 2−y 1x 2=1,则 |x₁+y₁−2|+|x₂+y₂−2|的最大值是 .二、选择题(本大题共有4题, 第13-14题每题4分, 第15-16题每题5分, 满分18分)13. 已知a∈R, 则“”是 ”的 （ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件14. 下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为 ( )A. B. C.y =x³+x D.y =−1x15. 已知集合M={(x,y)|}, 若对于任意实数对 (x₁,y₁)∈M,存在 (x₂,y₂)∈M,使 x₁x₂+y₁y₂=0成立，则称集合M 是“垂直对点集”.给出下列四个集合：①M={(x ,y )|y =1x2}, ②M ={(x ,y )|y =log 2x };③M ={(x ,y )|y =2x −2};④M={(x ,y )|y =sinx +1}. 其中是“垂直对点集”的序号的个数为 ( )A. 0B. 1C. 2D. 316. 数列中, 是数列的前项和, 若对任意正整数, 总存在正整数, 使得 Sₙ=aₘ, 则称数列为“P 数列”，现有如下两个命题：① 等比数列为“P 数列”;② 对任意的等差数列 ，总存在两个“P 数列”和 ,使得 aₙ=bₙ+cₙ 。

一、填空题上海市位育中学2015-2016学年高一上学期期中数学试题1. 已知全集，集合，则__________. 2. “”是“一元二次方程有实数解”的__________条件.3. 不等式的解集是（），则__________.4. 若集合A ＝{x|（k-1）x 2＋x －k ＝0}有且仅有两个子集，则实数k 的值是_______5. 函数的定义域是__________.6.设函数若，则实数为__________.7. 不等式的解集为________；8. 不等式的解集是__________.9. 已知且，则的最大值是__________.10. 下面几个不等式的证明过程:①若､，则；②且，则；③若､，则.其中正确的序号是__________.11. 若实数满足，则的最大值是__________.12. 某种商品在某一段时间内进行提价，提价方案有三种:第一种:先提价，再提价；第二种:先提价，再提价；第三种:一次性提价.已知，则提价最多的方案是第__________种.13. 对､.记函数的最大值为__________.14. 对，，已知，且，则的值为__________.二、单选题三、解答题15.设0，则下列各式中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．16. 已知，，，为实数，且＞.则“＞”是“－＞－”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件17. 下列各对函数中，相同的是（ ）A ．B ．C ．D ．18. 设a ，b ，c 为实数，f （x ）=（x+a ）（x 2+bx+c ），g （x ）=（ax+1）（cx 2+bx+1）．记集合S={x|f （x ）=0，x ∈R}，T={x|g （x ）=0，x ∈R}．若{S}，{T}分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论不可能的是（）A ．{S}=1且{T}=0B ．{S}=1且{T}=1C ．{S}=2且{T}=2D ．{S}=2且{T}=319. 解下列不等式组：（1）；（2）.20. （1）已知，求的最小值；（2）已知，求的最大值.21. 已知适合不等式的的最大值为3，求实数的值；并解该不等式.。

上海市位育中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
三、计算题
17．已知方程240x x m ++=有两个不同实根1x ，2
x ，令2212A x x =+，()1212B x x x x =+，试比较A ，B 的大小.
五、问答题
19．（1）用反证法证明：对任意的m R Î，关于x 的方程2320x x m -+=与
22550x x m +-=至少有一个方程有实根；
（2）若不等式222424ax ax x x +-<+对于一切实数x 都成立，求实数a 的取值范围.
六、解答题
20．如图所示，将一个矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求M 在射线AB 上，N 在射线AD 上，且对角线MN 过C 点.已知4AB =米，3AD =米，设AN
的长为()3x x >米
.
(1)要使矩形AMPN 的面积大于54平方米，则AN 的长应在什么范围内？
(2)求当AM，AN的长度分别是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小，并求出此最小值；。

2024学年第一学期位育中学阶段练习试卷高一年级数学学科（考试时间100分钟，总分100分）一、填空题（本大题共有12题，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分，满分42分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果1. 用列举法写出所有小于13的素数组成的集合__________.【答案】{}2,3,5,7,11【解析】【分析】找出所有小于13的素数，即可用列举法表示集合.【详解】小于13的素数有2,3,5,7,11，所以所有小于13的素数组成的集合为{}2,3,5,7,11.故答案为：{}2,3,5,7,112. 已知{}240,2,a a∈，则实数a =___________.【答案】2-【解析】【分析】讨论24a =、24a =，结合集合的性质求参数a 即可.【详解】由题设，当24a =时2a =，则24a =，此时22a a =，不符合互异性；当24a =时2a =±，由上2a =不符合，而2a =-时24a =-，此时集合为{0,4,4}-.综上，2a =-.故答案为：2-3.集合{{}2,A x y B y y x ====，则A B = ____________.【答案】{0x x ≥或}1x ≤-【解析】【分析】先分别求出集合,A B ，再根据并集定义即可得解.【详解】{{}{2101A x y x x x x ===-≥=≥或}1x ≤-，{}{}20B y y x y y ===≥，所以{0A B x x ⋃=≥或}1x ≤-.的故答案为：{0x x ≥或}1x ≤-.4. 不等式2111x x -≥-+的解集为______．【答案】()[),10,-∞-⋃+∞【解析】【分析】由分式不等式的解法求解即可.【详解】由2111x x -≥-+可得：21101x x -+≥+，即211011x x x x x -++=≥++，所以()1010x x x ⎧+≥⎨+≠⎩，解得：0x ≥或1x <-.故答案为：()[),10,-∞-⋃+∞.5. 已知集合A 中元素x 满足2x ＋a>0，a ∈R.若1∉A ，2∈A ，则实数a 的取值范围为________．【答案】42a -<≤-【解析】【分析】根据已知条件列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围.【详解】因为1∉A ，2∈A ，所以210220a a ⨯+≤⎧⎨⨯+>⎩，即42a -<≤-.故答案为：42a -<≤-6. 用反证法证明命题“若2x y +>，则1x >或1y >”的过程中，应当作出的假设是______________．【答案】1x ≤且1y ≤【解析】【分析】根据反证法的基本思想求解即可.【详解】用反证法证明命题“若2x y +>，则1x >或1y >”，应假设1x ≤且1y ≤.故答案为：1x ≤且1y ≤.7. 若11x y -<<<，则x y -的取值范围是__________．【答案】()20-，【解析】【分析】根据已知条件利用不等式乘法和加法性质计算得结论．【详解】因为11x y -<<<，所以1<<11<<1<x y x y --⎧⎪⎨⎪⎩，则1<<11<<1<0x y x y ----⎧⎪⎨⎪⎩，得20x y -<-<，因此x y -的取值范围是()20-，，故答案为：()20-，．8. 若不等式22230kx kx +-<对一切实数x 都成立，则实数k 的取值范围是____________.【答案】60k -<≤【解析】【分析】分情况讨论，当0k =时，满足题意；当0k ≠时，只需要满足()20Δ4830k k k <⎧⎨=-⨯-<⎩解不等式组即可.【详解】不等式22230kx kx +-<对一切实数x 都成立，当0k =时，30-<对一切实数x 都成立，满足题意；当0k ≠时，只需要满足()20Δ4830k k k <⎧⎨=-⨯-<⎩解得60k -<<综上结果为：60k -<≤.故答案为： 60k -<≤9. 已知关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集是{1x x <-或2}x >，则不等式20bx ax c +-≤的解集是________．【答案】{}1|2x x -≤≤【解析】【分析】依题意可得1-、2为关于x 的方程20ax bx c ++=的两根且0a <，利用韦达定理，即可得到=-b a ，2c a =-，再代入目标不等式，解得即可.【详解】因为关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集是{1x x <-或2}x >，所以1-、2为关于x 的方程20ax bx c ++=的两根且0a <，所以12120b a c a a ⎧-+=-⎪⎪⎪-⨯=⎨⎪<⎪⎪⎩，则=-b a ，2c a =-，所以不等式20bx ax c +-≤，即220ax ax a -++≤，即220x x --≤，解得12x -≤≤，所以不等式20bx ax c +-≤的解集是{}1|2x x -≤≤.故答案为：{}1|2x x -≤≤10. 已知:31x m α<-或x m >-，:2x β<或4x ≥，若α是β的必要条件，则实数m 的取值范围是___________.【答案】14m >【解析】【分析】α是β的必要条件，即B A ⊆，分31m m ->-，31m m -≤-两种情况讨论分析，即得解【详解】设{|31A x x m =<-或}x m >-，{|2B x x =<或4}x ≥若α是β的必要条件，则B A⊆（1）当31m m ->-时，即14m >，此时A R =，B A ⊆成立；（2）当31m m -≤-时，即14m ≤，若B A ⊆，此时3124m m -≥⎧⎨-<⎩，无解.综上：14m >故答案为：14m >11. 已知集合2{|()(1)0}M x x a x ax a =--+-=各元素之和等于3，则实数a =___________【答案】2或32【解析】【分析】先求得方程的解为123,1,1x a x x a ===-，根据题意，结合集合元素的互异性，列出方程，分类讨论，即可求解.【详解】由方程2()(1)0x a x ax a --+-=，可得化为()(1)[(1)]0x a x x a ----=，解得123,1,1x a x x a ===-，当1a =时，此时{1,0}M =，可得103+≠，不符合题意，舍去；当11a -=时，即2a =时，可得{2,1}M =，此时213+=，符合题意；当1a ≠且2a ≠时，可得113a a ++-=，解得32a =，符合题意，所以实数a 的值为2或32.故答案为：2或32.12. 若关于 x 的不等式 ()2221x ax -< 的解集中的整数恰有 3 个，则实数 a 的取值范围是________________．【答案】2549,916⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【详解】试题分析：关于x 的不等式（2x －1）2<ax 2等价于2(4)410a x x -+-+<，其中40a ∆=>且有40a ->，故有04a <<x <<，所以1142<<解集中一定含有1,2,3，可得，所以5374≥≤，解得2549916a ≤≤.考点：含参数的一元二次方程的解法.二、选择题（本大题共有4题，每题4分，满分16分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分13. 如图表示图形阴影部分的是（ ）A. ()()A CBC B. ()()A B A C C. ()()A B B C D. ()A B C⋃⋂【答案】B【解析】【分析】由韦恩图可以看出，阴影部分中的元素满足“是B 的元素且C 的元素，或是A 的元素”，由韦恩图与集合之间的关系可得答案．【详解】图中阴影部分表示元素满足：是A 中的元素，或者是B 与C 的公共元素故可以表示为()A B C ，也可以表示为：()()A B A C .故选：B ．14. 已知a b c d ,,,均为实数，则下列命题正确的是（ ）A. 若,a b c d >>，则a d b c+>+ B. 若,a b c d >>，则ac bd >C. 若,0a b c d >>>，则a b d c > D. 若0,0ab bc ad >->，则c d a b >【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质结合反例说明选项A 、B 、C 错误，利用作差法说明选项D 正确.【详解】A.令4,3,2,1a b c d ====，则a d b c +=+，选项A 错误.B.令7,3,1,2a b c d ===-=-，则7,6ac bd =-=-，ac bd <，选项B 错误.C. a b ac bd d c cd--=.由0c d >>得0cd >.令1,2,7,3a b c d =-=-==，则7(6)10ac bd -=---=-<，此时0ac bd cd -<，即0a b d c -<，a b d c<，选项C 错误.D. c d bc ad a b ab --=.由0,0ab bc ad >->得，0bc ad ab ->，即0c d a b ->，c d a b>，选项D 正确.故选：D.15. 对于x ∀∈R ，用[]x 表示不大于x 的最大整数，例如：[]π3=，[]2.13-=-，则“[][]x y >”是“x y >”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据取整函数的定义，对两个条件进行正反推理，即可求解.【详解】当x y >时，如 3.2x =， 3.1y =，不能得到[][]x y >，由[][]x y >，则[][]x y y >≥，又[]x x ≥，所以一定能得到x y >，所以“[][]x y >”是“x y >”成立的充分不必要条件.故选：A .16. 对于集合{}()12,,,Z,3n A a a a n n =∈≥ ，A 中每个元素均为正整数，如果去掉A 中任意一个元素()11,2,,a i n = 之后，剩余的所有元素组成集合()1,2,,i A i n = ，并且i A 都能分成两个集合B 和C ，满足,i B C B C A =∅= ，且B 和C 的所有元素之和相等，就称集合A 为“可分集合”.以下命题中，①{}1,2,3不是“可分集合”；②三元集{}123,,a a a 可能是“可分集合”；③{}1,2,3,4是“可分集合”；④四元集{}1234,,,a a a a 可能是“可分集合”；⑤五元集{}12345,,,,a a a a a 一定不是“可分集合”.真命题的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】根据题意，利用集合“可分集合”的定义，结合,i B C B C A =∅= ，逐项判定，即可求解.【详解】对于①中，集合{}1,2,3，当去掉元素1时，剩余元素组成的集合为{}2,3，此时不能分为两个交集为空集且这两个集合的所有元素之和相等的集合，所以集合{}1,2,3不是“可分集合”，所以①正确；对于②，对于三元集{}123,,a a a ，若去掉元素3a ，剩余的元素组成的集合为{}12,a a ，把集合{}12,a a 分成两个非空集合，可得集合{}1a ，{}2a ，根据集合元素的互异性，可得12a a ≠，所以分成两个的集合的元素之和不相等，所以三元集{}123,,a a a 可能“可分集合”，所以②不正确；对于③中，集合{}1,2,3,4，若去掉元素3，剩余元素组成集合{}1,2,4，此时不能分为两个交集为空集且这两个集合的所有元素之和相等的集合，所以集合{}1,2,3,4不是“可分集合”，所以③不正确；对于④中，若四元集{}1234,,,a a a a 是“可分集合”，不妨设1234a a a a <<<，若去掉1a ，则234a a a +=；若去掉2a ，则134a a a +=，所以12a a =，显然与12a a <矛盾，所以集合{}1234,,,a a a a 不可能是“可分集合”；对于⑤中，假设五元集{}12345,,,,a a a a a 是“可分集合”，不妨设123450a a a a a <<<<<，则必能将集合{}1245,,,a a a a 分成两个交集为空集的子集，且两个子集的元素之和相等，所以1534a a a a +=+或1345a a a a ++=，也必能将集合{}2345,,,a a a a 分成两个交集为空集的子集，且两个子集的元素之和相等，所以有2534a a a a +=+或2345a a a a ++=，由1534a a a a +=+和2534a a a a +=+，可得12a a =，矛盾；由1534a a a a +=+和2345a a a a ++=，可得12a a =-，矛盾；由1345a a a a ++=和2534a a a a +=+，可得12a a =-，矛盾；由1345a a a a ++=和2345a a a a ++=，可得12a a =，矛盾，是所以假设不成立，所以五元集{}12345,,,,a a a a a 一定不是“可分集合”，所以⑤正确.综上可得，只有①⑤正确.故选：B.【点睛】方法点拨：解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点：1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.三、解答题（本大题共有5题，满分42分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17. 求关于x 的不等式的解集：()21210m x mx m +-+-≥.【答案】答案见解析【解析】【分析】将不等式变形为()()(1)110x m x m -+--≥⎡⎤⎣⎦，然后根据12111m m m -=-++与1的关系进行分类讨论，求解即可．【详解】不等式()21210m x mx m +-+-≥，即()()(1)110x m x m -+--≥⎡⎤⎣⎦，当1m =-时，不等式为220x -≥，解得1x ≥，则不等式的解集[)1,+∞；当1m >-时，不等式变形为1(1)01m x x m -⎛⎫--≥ ⎪+⎝⎭，由于121111m m m -=-<++，解得1x ≥或11x m m ≤-+，故此时不等式的解集为[)1,1,1m m ⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎦-+⎝；当1m <-时，不等式变形为1(1)01m x x m -⎛⎫--≤ ⎪+⎝⎭，由于121111m m m -=->++，解得111x m m ≤≤-+，故此时不等式的解集为11,1m m -⎡⎤⎢⎥+⎣⎦．综上所述，当1m =-时，不等式的解集为[)1,+∞；当1m >-时，不等式的解集为[)1,1,1m m ⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎦-+⎝；当1m <-时，不等式的解集为11,1m m -⎡⎤⎢⎥+⎣⎦．18. 某工厂生产商品A ，每件售价80元，每年产销80万件.工厂为了开发新产品，经过市场调查，决定将商品A 的年产销量减少10p 万件，同时将商品A 的销售金额的%p 作为新产品开发费（即每销售100元提出p 元）.若新产品开发费不少于96万元，求实数p 的取值范围.（注：工厂永不停产，新产品永在开发）【答案】26p ≤≤【解析】【分析】由题可得关于p 的不等式，解一元二次不等式即可得答案.【详解】由题，商品的年销量为()800000100000p -件，又每件售价80元，则()80000010000080%9600000p p -⋅⋅≥，即()80108096100p p -≥，所以()8896p p -≥，所以28120p p -+≤，解得26p ≤≤.19. 已知集合{}{}280,,10,A x x x m m B x ax a =-+=∈=-=∈R R ，且A B A = ．（1）若12m =，求实数a 组成的集合．（2）若全集为A ，{3}B =，求m ，a 的值．【答案】（1）110,,62⎧⎫⎨⎬⎩⎭； （2）115,5m a ==【解析】【分析】（1）12m =，可得{}2,6A =，由A B A = 得B A ⊆，对B 分类讨论即可求；（2）由全集为A ，{3}B =，即{3}A B =ð得3,3A B ∈∉，代入280x x m -+=可得m ，{}3,5A =，即5∈B ，代入10ax -=可得a【小问1详解】12m =，{}{}281202,6A x x x =-+==，由A B A = 得B A ⊆，当B =∅，则0a =；当{}2B =，则12a =；当{}6B =，则16a =.综上可得实数a 组成的集合为110,,62⎧⎫⎨⎬⎩⎭；【小问2详解】由全集为A ，{3}B =，即{3}A B =ð得3,3A B ∈∉，∴2383015m m -⨯+=⇒=，∴{}{}281503,5A x x x =-+==，∴155105B a a ∈⇒-=⇒=.综上，115,5m a ==20. （1）已知关于x 和y 的方程组22221x y y kx ⎧+=⎨=+⎩（其中k ∈R ）.当1k =时，求该方程组的解集；（2）记关于x 和y 方程组22221x y y kx ⎧+=⎨=+⎩（其中k ∈R ）的两组不同的解分别为11x x y y =⎧⎨=⎩和22x x y y =⎧⎨=⎩，判断()121232y y y y +-是否为定值.若为定值，求出该值；若不是定值，说明理由；（3）已知12x x 、是关于x 的一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实根.若满足12212Z x x x x +-∈，求整数k 的值.【答案】（1）10x y =-⎧⎨=⎩和1343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（2）是定值，定值为4；（3）2-或3-或5-.【解析】【分析】（1）消去y 求出所对应的一元二次方程的解，从而求出方程组的解；（2）消去y 整理得()222210k x kx ++-=，利用韦达定理得到12x x +，21x x ，即可求出12y y +、12y y ，从而得解；（3）首先可根据已知条件得出0k <，然后根据韦达定理得出1214k x x k +=、12414k x x k-+=-=，可将12212Z x x x x +-∈转化为4Z 1k -∈+，再根据k 为整数以及0k <即可得出结果.的【详解】（1）当1k =时22221x y y x ⎧+=⎨=+⎩，消去y 得23210x x +-=，解得1x =-或13x =，当1x =-时，0y =，当13x =时，43y =，因此，方程组的解为10x y =-⎧⎨=⎩和1343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.（2）关于x 和y 的方程组22221x y y kx ⎧+=⎨=+⎩（其中k ∈R ）的两组不同的解分别为11x x y y =⎧⎨=⎩和22x x y y =⎧⎨=⎩，消去y 整理得()222210k x kx ++-=，显然220k +≠，且2880k ∆=+>，其两根为12x x 、，由韦达定理得12222k x x k +=-+，12212x x k =-+，所以()12122422y y k x x k +=++=+，()2212121222212k y y k x x k x x k -+=+++=+，所以()2121222124432422k y y y y k k -++-=-=++，因此，()121232y y y y +-是定值，且定值为4.（3）因为1x 、2x 是关于x 的一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实根，所以()()2044410k k k k ≠⎧⎪⎨--⨯⨯+≥⎪⎩，解得0k <，1214k x x k +=，12414k x x k-+=-=，则()22212121221121244224411x x x x x x k x x x x x x k k +++-=-=-=-=-++，因为12212Z x x x x +-∈，所以4Z 1k -∈+，因为k 为整数，所以11k +=±、2±、4±，因为0k <，所以整数k 的值为2-或3-或5-.21. 已知集合{}()12,,2,k A a a a k k N =≥∈ ，其中()Z 1,2,i a i k ∈= ，且满足：对任意的x A ∈，有x A -∉，则称集合A 具有性质G .由A 中元素可构成两个点集P 和Q ：和集(){},,,P x y x A y A x y A =∈∈+∈，差集(){},,,Q x y x A y A x y A =∈∈-∈，其中P 中有m 个元素，Q 中有n 个元素.（1）已知集合{}0,1,2,3J =，集合{}1,2,3K =-和集合{}222L y y x x ==-+，判断它们是否具有性质G .若是，则直接写出其对应的集合P 和集合Q ；若否，请说明理由；（2）试判断“集合A 具有性质G ”是“m n =”的什么条件，并证明.【答案】（1）集合,J L 不具有性质G ；集合K 具有性质G ，对应集合()(){}1,3,3,1P =--，()(){}2,1,2,3Q =-；（2）充分不必要条件.【解析】【分析】（1）根据定义做出判断，直接写出集合P ，Q .（2）利用充分条件、必要条件的定义，结合集合P 与Q 集合个数的大小关系，推理得证.【小问1详解】①集合0J ∈，不符合定义故J 不具有性质G ；②集合K 具有性质G ，对应集合()(){}1,3,3,1P =--，()(){}2,1,2,3Q =-；③集合L 不是整数集所以不具有性质G .【小问2详解】当集合A 具有性质G 时，①对于(),a b P ∈，根据定义可知：,,a A b A a b A ∈∈+∈，又因为集合A 具有性质G ，则(),a b a Q +∈，如果(),a b ，(),c d 是P 中的不同元素，那么a c =，b d =中至少有一个不成立，于是b d =，a b c d +=+中至少有一个不成立，故(),a b b +和(),c d d +也是Q 中不同元素，可见P 的元素个数不多于Q 的元素个数，即m n ≤，②对于(),a b Q ∈，根据定义可知：,,a A b A a b A ∈∈-∈，又因为集合A 具有性质G ，则(),a b b Q -∈，如果(),a b ，(),c d 是Q 中的不同元素，那么a c =，b d =中至少有一个不成立，于是b d =，a b c d -=-中至少有一个不成立，故(),a b b -和(),c d d -也是P 中不同元素，可见Q 的元素个数不多于P 的元素个数，即m n ≤，由①②可知m n=集合{1,1,2,3}A =-，则{(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,1),(1,2),(2,1)}P =----，{(1,2),(2,3),(2,1),(3,2),(1,1),(3,1),(2,1)}Q =--，满足m n =，而集合A 不具有性质G ，所以集合A 具有性质G 是m n =的充分不必要条件.的的。

位育中学2015学年第一学期第二次监控考试高一数学试题一•填空题(每题3分，共42分)设函数 /(%) = x 一 - , g ⑴=亠 一 2兀,则 /(x) + g(x) \JXyJX2. 若函数./*⑴的定义域是[2,4],则函数/(x 2)的定义域是 _______________________ •3. 若f(x}= ---- -- 。

是奇函数，则。

=.2'_14. 函数y = 一2尤+ 8的单调递减区间是 ______________________ .5. 已知函数y = f(x)是开口向上的二次函数，且/(l-x) = /(l + x)x /(0) = 3.若/(兀)的最小值为2,则函数的解析式为 _______________________ •6. 幕函数y = #的图像，当XG (0,1)时，在直线y = x 上方,当兀w (1,+°°)时在直线y = x 下方，则实数/的取值范围是 ____________________・7. 不等式(2a 2-l)x<1的解集为(-8,0),则实数a 的取值范围是 ________________________ • 8. 函数/(兀)的定义域为R,对于任意的xeR, W/(3 + x) = -/(l-x),那么函数/(劝的图像关于点 ______ 对称.9. 已知 y = /(x) + x 2 是奇 函数， 且 /(1) = 1.若 g(x) = /(x) + 2,则g(T)= _______________ ・10. 己知两数/(x) = 2HH-m 的图像与x 轴有交点，则实数加的取值范圉是12. 己知函数/(x) = x 2 -2x(xe [a.h])的值域为[一1,3],则b-a 的取值范圉是13. 已知函数/(兀)是偶函数，并且对于定义域内任意的兀满足/(x + 2) = -一 ，若当 /(兀)2vxv3 时，/(%) = %,则/(2015.5)=1.11.化简log ： 3 +譽曽二log 2614•对于函数①/(x) = Jx-2+l ②f(x) = (x-2)2(3)/(x)=—— 命题甲:/(兀+2)是x-2个偶函数；命题乙：/(兀)在(-8,2)上是减函数，在(2,+oo)上是增函数；命题丙：/(X+2)-/(X )在(-oo,+oo)上是增函数.能使命题甲，乙，丙均为真的所有函数的序号是 _________________ .二、选择题(每题4分，共16分)15. 设y =于⑴ 和y = g(x)是两个不同的幕函数，集合M ={x|/(x) =则集合中的元素个数是()A, 1或2或0 B, 1或2或3 C, 1或2或3或4D, 0或1或2或3「兀彳+ 4x 兀n 016. 己知函数f(x)= ；-'若/(2 —/)>/«),则实数d 的取值范围是()[4%-x~,x<0.A, (—oo, — l)U(2,+oo) B, (-1,2)C, (—2, 1)D, (-8,—2)U(1,+8)17. 在R 上定义的函数/(x)是奇函数，且f(x) = f(2-x),若/(兀)在区间(1,2)是减函数, 则函数f(x)()A,在(-2, -1)上增，在(3,4)上增 B,在(-2, -1)上减，在(3, 4)上减C,在(-2, -1)上减，在(3,4)上增 D,在(-2, -1)上增，在(3, 4)上减(x 2 -x })[f(x 2)-f(x l )] > 0.则当 ne 时，有()18. 定义在R 上的偶函数/(x)满足对任意的X p X 2 G (一8,0](兀]工无2)，有A. /(-n)</(H-l)<y (n + l)C, /(H + 1)</(-H )</(/7-1)B ，/(,：-])</(-,2)</(^ + l) D, /(7?+ l)< /(H-l)< /(-71)三、解答题19.(本题8分，每小题4分)已知/(x)=疋宀心伙G Z)满足/(2) < /(3).(1) 求£的值；(2) 是否存在正数加，使g(x) = l -吋(x) + (2加-l)x," [-1,2]为单调增函数？若存在，求出加的范围，若不存在，说明理由.20. (本题8分，每小题4分)⑴求/(X )的定义域并判断函数的奇偶性；⑵求/(X )的值域.21. (本题8分,每小题4分)定义域为R 的函数/(尢)二二半°是奇函数.2X +,+6Z(1) 求的值；(2) 若对任意的虫R,不等式/(r 2-2/) + /(2r-Z ：)< 0恒成立，求£的取值范围.22. (本题8分,每小题4分)(1)已知二次函数/(兀)满足/(2) = -!,/(-1) = -1,且/(兀)的最大值是8,试确定此二次函数；(2)设函数/(x) = m 2-2x4-2,对于满足\<x< 4的一切兀值都有f(x) > 0 ,求实数Q 的取值范围.已知函数/(%) =io”-i(r io”+ i(r23.(本题10分,第⑴题2分，第(2)、(3)题各4分)函数/(x) = 21和g(x) = x3的图像的示意图如图所示，设两函数的图像交于点4(西，刃),3(兀2，力)，且兀1 V兀2・(1)请指出示意图屮曲线C「C?分别对应哪一个函数？(2)若X)e[a,a + \],x2e [b,b + l],且a,be {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12},指出a、b的值, 并说明理由；(3)结合函数图像示意图,请把/(6)、g⑹、/(2007)、§(2007)四个数按从小到大的顺序排列.位育中学2015学年第一学期第二次监控考试高一数学试题答案一、填空题(每题3分，共42分)1.—兀，x > 02. x G—2,—A/2 J U 2J3. —4. [—1,2]5. f (x)= x~ — 2x 4~ 36. (-00,1) tG Q7. (-oo,-l)U(l,+oo) & (2,o) 9.-1 10. 0</7?<l 11. 1 12. [2,4] 213.——14.②5二、选择题(每题4分，共16分)15, B; 16, C; 17, C; 1&C.三、解答题(19、20、21、22每题8分，23题10分)19、解且/⑵</(3),知伦)在+Q上单调递増.卜糾讯>0,T<K2屈此日或0；仞/Cr)=£尸-也(I-晋丄畀吕'氏[~1，2],对牖为力二1 -£测勿律応-*与加>0料馳川不融20、解：(1)定义域为R,奇函数；(2) (-1,1) 21、解:⑴•：心展奇函数，所以/(o)-o,即]¥+=o倫得a】,从而有f(x)=~~.又由f⑴n⑵雜-価⑴知他戶謂=-*+右,由上鵡知/(£在(-9 +8)上为减函数，又困/Lr)是奇觸■；1从而不等式/(D+f(2iD<0等价于f(D<-f(2R -上n+D a几r>是减函敦,由上対一2f>w+k ：、・—•；「—即对-如€R仔32% - EXh从而朋拭i=4+!2K0.解得&-*22、解:⑴解法-般/(T)二加+加+心刮),・m ^..:l .m f D n i 3r ?-?盲al n H Y 筈心“二巴«4律・?•」・p・$+甲昼"8「只十—z 丄十0W£* ■、 $+T g <十罕」次异6三匚•J •♦t y +J I r «m s器n l.l T d y l■11 卜r D _ 右t r *・(s z 二Y S Z )玄 9)Y 9)J・・・s s y 9):r •(之S Z W :H )A H )S ?・(9)丈9)J*:・3V E 丘b v ^m 黑5S W三•6电n癌二三s 豈.已5蛊愆13广邑y <s ■•・6y T T <6〉T J >策・x T =0・・• 心t s J L f u 0。

2015-2016学年上海市徐汇区位育中学新疆部高一（上）期中数学试卷一、填空题：（每小题4分，共40分）1．（4分）2cos2﹣1=．2．（4分）已知角α的终边过点（a，2a），其中a＞0，则cosα=．3．（4分）方程tanx=的解集为．4．（4分）若三角形的三个内角之比为1：2：3，则它们所对的边长之比为．5．（4分）已知，则的值为．6．（4分）函数y=的定义域为．7．（4分）函数y=cos2x+sinx﹣1的最大值是．8．（4分）sin（+）=．9．（4分）将函数y=3sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是．10．（8分）关于x的函数f（x）=sin（x+φ）有以下命题：①对任意的φ，f（x）都是非奇非偶函数；②不存在φ，使f（x）既是奇函数，又是偶函数；③存在φ，使f（x）是奇函数；④对任意的φ，f（x）都不是偶函数．其中一个假命题的序号是．因为当φ=时，该命题的结论不成立．二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）11．（3分）“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件12．（3分）函数y=sin2x的图象的一条对称轴的方程是（）A．x=﹣B．x=﹣C．x=D．x=13．（3分）在下列四个函数中，周期为的偶函数是（）A．y=2sin2xcos2x B．y=sin22x﹣cos22xC．y=xsinx D．y=cos2x﹣sin2x14．（3分）方程|x|=cosx在（﹣∞，+∞）内（）A．没有根B．有且仅有一个根C．有且仅有两个根 D．有无穷多个根三、解答题：（共44分）15．（8分）在△ABC中，已知a=2；B=；面积S=3+；求C和c．16．（8分）设方程x2﹣3x+4=0两实根为x1和x2，记α=arctanx1，β=arctanx2，求α+β的值．17．（8分）已知一个矩形内接于半径为5的圆．（1）当矩形周长最大时，求其面积．（2）当矩形面积最大时，求其周长．18．（10分）已知函数f（x）=4cosxsin（x+）﹣1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调增区间；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．19．（10分）已知关于x的方程sinx+cosx=a（1）若方程有实数解，求实数a的取值范围（2）若方程x∈[0，π]时有两个相异的实数解，求实数a的范围及两实数解的和．2015-2016学年上海市徐汇区位育中学新疆部高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（每小题4分，共40分）1．（4分）（2015秋•徐汇区校级期中）2cos2﹣1=．【考点】GT：二倍角的余弦．【专题】56 ：三角函数的求值．【分析】直接利用二倍角的余弦公式，计算求得结果．【解答】解：2cos2﹣1=cos=，故答案为：．【点评】本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．2．（4分）（2015秋•徐汇区校级期中）已知角α的终边过点（a，2a），其中a＞0，则cosα=．【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；49 ：综合法；56 ：三角函数的求值．【分析】直接利用三角函数的定义，即可得出结论．【解答】解：由题意，x=a，y=2a，r=a，∴cosα==．故答案为：．【点评】本题考查三角函数的定义，考查学生的计算能力，比较基础．3．（4分）（2015秋•徐汇区校级期中）方程tanx=的解集为{x|x=kπ+arctan2，k∈Z} ．【考点】HC：正切函数的图象．【专题】34 ：方程思想；4O：定义法；57 ：三角函数的图像与性质．【分析】由tanx=2，解得x=kπ+arctan2，k∈Z；写出方程tanx=2的解集．【解答】解：∵tanx=2，∴x=kπ+arctan2，k∈Z；∴方程tanx=2的解集为{x|x=kπ+arctan2，k∈Z}．故答案为：{x|x=kπ+arctan2，k∈Z}．【点评】本题考查了正切函数方程的解法与应用问题，是基础题目．4．（4分）（2015春•海南期末）若三角形的三个内角之比为1：2：3，则它们所对的边长之比为1：：2．【考点】HR：余弦定理．【专题】58 ：解三角形．【分析】由三角形内角和定理，可得三个内角分别为30°、60°、90°，可得此三角形为含有30°的直角三角形，利用三角函数的定义即可算出此三角形的三边之比．【解答】解：∵△ABC三个内角之比为1：2：3，∴设A：B：C=1：2：3，由三角形内角和定理可得A=30°，B=60°，C=90°，因此，Rt△ABC中，sinA=，cosA=，由此可得a：b：c=1：：2．故答案为：1：：2．【点评】本题给出三角形的三个内角之比，求它的三条边的比．着重考查了三角形内角和定理、直角三角形的三角函数定义等知识，属于基础题．5．（4分）（2011•江苏）已知，则的值为．【考点】GU：二倍角的正切；GR：两角和与差的正切函数．【专题】56 ：三角函数的求值．【分析】先利用两角和的正切公式求得tanx的值，从而求得tan2x，即可求得．【解答】解：∵，∴=2，解得tanx=；∴tan2x===∴==故答案为：．【点评】本题考查了二倍角的正切与两角和的正切公式，体现了方程思想，是个基础题．6．（4分）（2015秋•徐汇区校级期中）函数y=的定义域为[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z．【考点】H7：余弦函数的图象．【专题】35 ：转化思想；49 ：综合法；57 ：三角函数的图像与性质．【分析】根据函数y=，可得cosx≥0，再结合余弦函数的图象，求得x的范围．【解答】解：根据函数y=，可得cosx≥0，可得2kπ﹣≤x≤2kπ+（k ∈Z），故函数的定义域为[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z，故答案为：[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z．【点评】本题主要考查余弦函数的图象的特征，解三角不等式，属于基础题．7．（4分）（2015秋•徐汇区校级期中）函数y=cos2x+sinx﹣1的最大值是．【考点】HW：三角函数的最值．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；51 ：函数的性质及应用．【分析】直接利用换元法，通过三角函数的有界性，转化函数为二次函数，求出值域即可．【解答】解：由y=cos2x+sinx﹣1⇔y=﹣sin2x+sinx，令sin x=t，则有y=﹣t2+t，t∈[﹣1，1]，函数的对称轴：t=，开口向下，当t=时，函数y取最大值，代入y=﹣t2+t可得y max=故答案为：．【点评】本题考查三角函数的有界性，二次函数的最值，考查转化思想以及计算能力．属于基础题．8．（4分）（2015秋•徐汇区校级期中）sin（+）=．【考点】HV：反三角函数的运用．【专题】11 ：计算题；33 ：函数思想；49 ：综合法；5M ：推理和证明．【分析】由题意，=，再利用和角的正弦公式求解即可．【解答】解：由题意，=，∴sin（+）=sin（+）==．故答案为：．【点评】本题考查反三角函数的运用，考查和角的正弦公式，考查学生的计算能力，比较基础．9．（4分）（2015秋•徐汇区校级期中）将函数y=3sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是y=3sin（2x+）+1．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】35 ：转化思想；49 ：综合法；57 ：三角函数的图像与性质．【分析】利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：将函数y=3sin2x的图象向左平移个单位，可得y=3sin2（x+）=3sin（2x+）的图象；再把所得图象向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y=3sin（2x+）+1，故答案为：y=3sin（2x+）+1．【点评】本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．10．（8分）（2001•上海）关于x的函数f（x）=sin（x+φ）有以下命题：①对任意的φ，f（x）都是非奇非偶函数；②不存在φ，使f（x）既是奇函数，又是偶函数；③存在φ，使f（x）是奇函数；④对任意的φ，f（x）都不是偶函数．其中一个假命题的序号是①．因为当φ=kπ（k∈Z）时，该命题的结论不成立．【考点】H3：正弦函数的奇偶性．【专题】16 ：压轴题．【分析】由题意确定φ的值，是得函数是奇函数，或者是偶函数，然后判断选项的真假，得到答案即可．【解答】解：当φ=2kπ，k∈Z时，f（x）=sinx是奇函数．当φ=2（k+1）π，k∈Z时f（x）=﹣sinx仍是奇函数．当φ=2kπ+，k∈Z时，f（x）=cosx或当φ=2kπ﹣，k∈Z时，f（x）=﹣cosx，f（x）都是偶函数．所以②和③都是正确的．无论φ为何值都不能使f（x）恒等于零．所以f（x）不能既是奇函数又是偶函数．①和④都是假命题．故答案为：：①，kπ（k∈Z）；或者①，+kπ（k∈Z）；或者④，+kπ（k∈Z）三者选一填写即可．【点评】本题是基础题，考查正弦函数的奇偶性，命题的真假判断，掌握三角函数的基本性质，是解好本题的依据，可见掌握基本知识的重要性．二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）11．（3分）（2009•北京）“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】29：充要条件．【专题】5L ：简易逻辑．【分析】当α=时，cos2；反之，当时，，k∈Z，或．所以“”是“”的充分而不必要条件．【解答】解：当α=时，cos2，反之，当时，可得⇒，k∈Z，或⇒，“”是“”的充分而不必要条件．故应选：A．【点评】本题考查充分条件、必要条件、充分条件，解题时要认真审题，仔细解答．12．（3分）（2012春•温州期中）函数y=sin2x的图象的一条对称轴的方程是（）A．x=﹣B．x=﹣C．x=D．x=【考点】H2：正弦函数的图象．【专题】57 ：三角函数的图像与性质．【分析】根据正弦函数的对称性即可得到结论．【解答】解：由2x=+kπ，得x=，k∈Z，当k=0时，x=﹣，故x=﹣是函数的一条对称轴，故选：B．【点评】本题主要考查正弦函数的对称性，由正弦函数的图象和性质是解决本题的关键．13．（3分）（2015秋•徐汇区校级期中）在下列四个函数中，周期为的偶函数是（）A．y=2sin2xcos2x B．y=sin22x﹣cos22xC．y=xsinx D．y=cos2x﹣sin2x【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【专题】11 ：计算题；49 ：综合法；51 ：函数的性质及应用；57 ：三角函数的图像与性质．【分析】利用降幂公式化简A，B，D，分别求出其周期，对于y=xsinx不是周期函数，进而逐一分析各个函数的奇偶性即可得解．【解答】解：对于A，y=2sin2xcos2x=sin4x，其周期T==，为奇函数，故错误；对于B，y=sin22x﹣cos22x=﹣cos4x，其周期T==，为偶函数，故正确；对于C，y=xsinx，因为没有周期，不是周期函数，故错误；对于D，y=cos2x﹣sin2x=cos2x，其周期T==π，故错误；故选：B．【点评】本题主要考查了降幂公式，三角函数的周期性及其求法的应用，属于基础题．14．（3分）（2011•陕西）方程|x|=cosx在（﹣∞，+∞）内（）A．没有根B．有且仅有一个根C．有且仅有两个根 D．有无穷多个根【考点】H7：余弦函数的图象．【专题】13 ：作图题；31 ：数形结合．【分析】由题意，求出方程对应的函数，画出函数的图象，如图，确定函数图象交点的个数，即可得到方程的根．【解答】解：方程|x|=cosx在（﹣∞，+∞）内根的个数，就是函数y=|x|，y=cosx 在（﹣∞，+∞）内交点的个数，如图，可知只有2个交点．故选C【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象，一次函数的图象的画法，函数图象的交点的个数，就是方程根的个数，考查数形结合思想．三、解答题：（共44分）15．（8分）（2015秋•徐汇区校级期中）在△ABC中，已知a=2；B=；面积S=3+；求C和c．【考点】HP：正弦定理．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4R：转化法；58 ：解三角形．【分析】根据三角形的面积公式可求c的值，利用余弦定理可求b的值，再利用三角形面积公式可求sinA的值，结合大边对大角可求A，再由三角形内角和定理即可得解C的值．【解答】解：∵a=2，B=，面积S=3+，=absinC，可得：3=××c×，∴根据三角形的面积公式S△ABC解得：c=+，∴由余弦定理可得，b2=a2+c2﹣2accosB=（2）2+（+）2﹣2×（+）×=8，解得：b=2，∴根据三角形的面积公式S=bcsinA，可得：3=×2×（+）×△ABCsinA，解得：sinA=，∵a＜c，A为锐角，可得A=，∴C=π﹣A﹣B=．【点评】本题主要考查了三角形的面积公式及余弦定理等公式在解题中的应用，属于基础题．16．（8分）（2015秋•徐汇区校级期中）设方程x2﹣3x+4=0两实根为x1和x2，记α=arctanx1，β=arctanx2，求α+β的值．【考点】HV：反三角函数的运用．【专题】15 ：综合题；35 ：转化思想；49 ：综合法；56 ：三角函数的求值．【分析】由条件利用韦达定理求得x1+x2 =3，x1•x2=4，α+β∈（0，π），再利用两角和的正切公式求得tan（α+β）的值，可得α+β的值．【解答】解：由x1、x2是方程x2﹣3x+4=0的两根，可得x1+x2 =3，x1•x2=4，故x1、x2均大于零，故arctanx1+arctanx2∈（0，π），即α+β∈（0，π），∵α=arctanx1，β=arctanx2，∴tanα=x1，tanβ=x2，∴tan（α+β）==﹣，∴α+β=．【点评】本题主要考查韦达定理，两角和的正切公式，属于中档题．17．（8分）（2015秋•徐汇区校级期中）已知一个矩形内接于半径为5的圆．（1）当矩形周长最大时，求其面积．（2）当矩形面积最大时，求其周长．【考点】7F：基本不等式．【专题】15 ：综合题；36 ：整体思想；48 ：分析法；5T ：不等式．【分析】（1）设矩形的对角线与一边的夹角为α，则矩形的边长为10cosα，10sinα，C=10cosα+10sinα，利用辅助角公式化简函数，即可得出结论．（2）S=10cosα•10sinα=50sin2α，利用三角函数的性质即可求出最大值．【解答】解：（1）设矩形的对角线与一边的夹角为α，则矩形的边长为10cosα，10sinα，∴C=10cosα+10sinα=10sin（α+），∴sin（α+）=1，即α=时，C最大∴S=10cosα•10sinα=50sin2α=50，（2）∵S=10cosα•10sinα=50sin2α，当sin2α=1时，即α=时，面积大，此时周长为C=10cosα+10sinα=10，【点评】本题考查最值问题，考查三角函数知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．（10分）（2017春•城关区校级期末）已知函数f（x）=4cosxsin（x+）﹣1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调增区间；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．【考点】GQ：两角和与差的正弦函数；GT：二倍角的余弦；H5：正弦函数的单调性．【专题】57 ：三角函数的图像与性质．【分析】将函数解析式先利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后再利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，最后利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，（Ⅰ）找出ω的值，代入周期公式，即可求出f（x）的最小正周期，由正弦函数的递增区间即可求出函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）又x的范围，求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质求出函数f （x）的值域，即可得到f（x）的最大值与最小值．【解答】解：f（x）=4cosx（sinx+cosx）﹣1=2sinxcosx+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+），（Ⅰ）∵ω=2，∴T=π；令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，则f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；（Ⅱ）∵﹣≤x≤，∴﹣≤2x+≤，∴﹣1≤2sin（2x+）≤2，即﹣1≤f（x）≤2，则f（x）的最小值为﹣1，最大值为2．【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，正弦函数的单调性，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．19．（10分）（2008春•徐汇区校级期末）已知关于x的方程sinx+cosx=a（1）若方程有实数解，求实数a的取值范围（2）若方程x∈[0，π]时有两个相异的实数解，求实数a的范围及两实数解的和．【考点】GQ：两角和与差的正弦函数；H4：正弦函数的定义域和值域．【分析】（1）利用两角和与差公式可得a=sin（x+），进而由正弦函数的特点求出sin（x+）的值域即可知a的取值范围；（2）利用两角和与差公式可得a=sin（x+），进而把问题转化成y1=a y2=sin （x+），x∈[0，π]有两个交点问题，将图象画出即可得出答案．【解答】解：（1）∵sinx+cosx=a∴a=sin（x+），∴﹣≤a≤（2））∵sinx+cosx=a∴a=sin（x+），设y1=a y2=sin（x+），由题意可知y1=a y2=sin（x+），x∈[0，π]有两个交点如图示知a∈[1，）设两相异实根为x1，x2，由图示⇒x1+x2=2×=【点评】本题考查三角函数的值域以及两角和与差公式，（2）问将图画出是解题的关键．考点卡片1．充要条件【知识点的认识】1、概念：充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．2、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q 是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．2．基本不等式【概述】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：≥（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．【实例解析】例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．A：a，b均为负数，则．B：．C：．D：．解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．对于C选项中sinx≠±2，不满足“相等”的条件，再者sinx可以取到负值．故选：C．A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．例2：利用基本不等式求的最值？当0＜x＜1时，如何求的最大值．解：当x=0时，y=0，当x≠0时，=，用基本不等式若x＞0时，0＜y≤，若x＜0时，﹣≤y＜0，综上得，可以得出﹣≤y≤，∴的最值是﹣与．这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．【考点预测】基本不等式地位非常重要，因为简单实用，也是高考考查的一个重点，出题范围也比较广，包括选择题、填空题，甚至应用题里面，要求是会用，在能用基本不等式解题的时候尽量用基本不等式．3．任意角的三角函数的定义【知识点的认识】任意角的三角函数1定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么sin α=y，cos α=x，tan α=．2．几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1，0）．【命题方向】已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（）A．B．C．﹣D．﹣【分析】由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值．解：∵角α的终边经过点（﹣4，3），∴x=﹣4，y=3，r==5．∴cosα===﹣，故选：D．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．【解题方法点拨】利用三角函数的定义求三角函数值的方法利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：（1）角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x；（2）纵坐标y；（3）该点到原点的距离r．若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况（点所在象限不同）．4．两角和与差的正弦函数【知识点的认识】（1）C：cos （α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ；（α﹣β）：cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ；（2）C（α+β）：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：tan（α+β）=．（5）T（α+β）（6）T：tan（α﹣β）=．（α﹣β）5．两角和与差的正切函数【知识点的认识】：cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ；（1）C（α﹣β）（2）C：cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ；（α+β）：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ；（3）S（α+β）（4）S：sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ；（α﹣β）：tan（α+β）=．（5）T（α+β）（6）T：tan（α﹣β）=．（α﹣β）【命题方向】（1）第一类常考题型：（2）第二类常考题型：【解题方法点拨】6．二倍角的余弦【二倍角的余弦】二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α=β的一种特例，其公式为：cos2α=cos2α﹣sin2α=2cos2α﹣1=1﹣2sin2α．【例题解析】例：函数y=2sinx﹣cos2x的值域是．解：由题意可得：y=2sinx﹣cos2x=2sin2x+2sinx﹣1=，又sinx∈[﹣1，1]当sinx=时，函数f（x）取到最小值为，当sinx=1时，函数f（x）取到最大值为3，综上函数f（x）的值域是．故答案为．这个题的第一步就是利用余弦函数二倍角的性质把cos2x化成关于sinx的函数，最后再用换元法把三角函数看成是一元二次函数．【考点点评】二倍角的余弦也是很重要的一个考点，而且这个公式的变形比较多，大家在熟记的时候也要注意区分它们的用途，最后多与其他的相似的一些公式作比较．7．二倍角的正切【二倍角的正切】二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α=β的一种特例，其公式为：tan2α=．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．【例题解析】例：已知cosx+3sinx=，求tan2x．解：∵（cosx+sinx）=，即cosx+sinx=，∴sin（x+y）=（cosy=，siny=，tany=），∴x+y=2kπ+，k∈Z，即x=2kπ+﹣y，∴tanx=tan（2kπ+﹣y）=tan（﹣y）===，则tan2x===．这个例题算是三角函数当中比较难的一个题了，它的解题思想主要还是先求出tanx的值，在套用公式求出最后的解，而要求出tanx的值，需先求出sinx或者cosx的值，题干给出了一种方法，其实也可以通过正余弦函数的平方和为1来求．【考点点评】二倍角的正切关键是要掌握二倍角的变换，比方说α=，然后就是要学会利用公式求值、化简．应该说这个考点还是比较重要的．8．三角函数的周期性及其求法【知识点的认识】周期性①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．③函数y=A sin（ωx+φ），x∈R及函数y=A cos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T=．【解题方法点拨】1．一点提醒求函数y=A sin（ωx+φ）的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx+φ看作一个整体，代入y=sin t的相应单调区间求解，否则将出现错误．2．两类点y=sin x，x∈[0，2π]，y=cos x，x∈[0，2π]的五点是：零点和极值点（最值点）．3．求周期的三种方法①利用周期函数的定义．f（x+T）=f（x）②利用公式：y=A sin（ωx+φ）和y=A cos（ωx+φ）的最小正周期为，y=tan （ωx+φ）的最小正周期为．③利用图象．图象重复的x的长度．9．正弦函数的图象【知识点的知识】正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y=sin x y=cos x y=tan x图象定义R R k∈Z值域[﹣1，1][﹣1，1]R单调性递增区间：[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）；递减区间：[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）递增区间：[2kπ﹣π，2kπ]（k∈Z）；递减区间：[2kπ，2kπ+π]（k∈Z）递增区间：[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）最值x=2kπ+（k∈Z）时，y max=1；x=2kπ﹣（k∈Z）时，y min=﹣1x=2kπ（k∈Z）时，y max=1；x=2kπ+π（k∈Z）时，y min=﹣1无最值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心：（kπ，0）（k∈Z）对称轴：x=kπ+，k∈Z对称中心：（kπ+，0）（k∈Z）对称轴：x=kπ，k∈Z对称中心：（，0）（k∈Z）无对称轴周期2π2ππ10．正弦函数的奇偶性【知识点的知识】三角函数的奇偶性、周期性和对称性1．判断三角函数的奇偶性和周期性时，一般先将三角函数式化为一个角的一种三角函数，再根据函数奇偶性的概念、三角函数奇偶性规律、三角函数的周期公式求解．2．求三角函数的周期主要有三种方法：（1）周期定义；（2）利用正（余）弦型函数周期公式；（3）借助函数的图象．11．正弦函数的定义域和值域三角函数的定义域和值域的规律方法1．求三角函数的定义域实际上是解三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．求解三角函数的值域（最值）的常见类型及方法．（1）形如y=a sin x+b cos x+c的三角函数化为y=A sin（ωx+φ）+k的形式，再求最值（值域）；（2）形如y=a sin2x+b sin x+c的三角函数，可先设sin x=t，化为关于t的二次函数求值域（最值）；（3）形如y=a sin x cos x+b（sin x±cos x）+c的三角函数，可设t=sin x±cos x，化为关于t的二次函数求解．12．正弦函数的单调性【知识点的知识】三角函数的单调性的规律方法1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．2．求形如y=A sin（ωx+φ）或y=A cos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．13．余弦函数的图象【知识点的知识】正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y=sin x y=cos x y=tan x图象定义域R R k∈Z 值域[﹣1，1][﹣1，1]R单调性递增区间：（k∈Z）；递减区间：（k∈Z）递增区间：[2kπ﹣π，2kπ]（k∈Z）；递减区间：[2kπ，2kπ+π]（k∈Z）递增区间：（k∈Z）最值x=2kπ+（k∈Z）时，y max=1；x=2kπ﹣（k∈Z）时，y min=﹣1x=2kπ（k∈Z）时，y max=1；x=2kπ+π（k∈Z）时，y min=﹣1无最值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心：（kπ，0）（k∈Z）对称轴：x=kπ+，k∈Z 对称中心：（k∈Z）对称轴：x=kπ，k∈Z对称中心：（k∈Z）无对称轴周期2π2ππ14．正切函数的图象【知识点的知识】正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y=sin x y=cos x y=tan x 图象定义域R R k∈Z 值域[﹣1，1][﹣1，1]R单调性递增区间：（k∈Z）；递减区间：（k∈Z）递增区间：[2kπ﹣π，2kπ]（k∈Z）；递减区间：[2kπ，2kπ+π]（k∈Z）递增区间：（k∈Z）最值x=2kπ+（k∈Z）时，y max=1；x=2kπ﹣（k∈Z）时，y min=﹣1x=2kπ（k∈Z）时，y max=1；x=2kπ+π（k∈Z）时，y min=﹣1无最值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心：（kπ，0）（k∈Z）对称轴：x=kπ+，k∈Z对称中心：（kπ+，0）（k∈Z）对称轴：x=kπ，k∈Z对称中心：（，0）（k∈Z）无对称轴周期2π2ππ15．函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【知识点的知识】函数y=sin x的图象变换得到y=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的步骤两种变换的差异先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的．【解题方法点拨】1．一个技巧列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标．2．两个区别（1）振幅A与函数y=A sin （ωx+φ）+b的最大值，最小值的区别：最大值M=A+b，最小值m=﹣A+b，故A=．（2）由y=sin x变换到y=A sin （ωx+φ）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由y=sin x的图象变换到y=A sin （ωx+φ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．3．三点提醒（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；（3）由y=A sin ωx的图象得到y=A sin（ωx+φ）的图象时，需平移的单位数应为，而不是|φ|．16．正弦定理【知识点的知识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容=2R（R是△ABC外接圆半径）a2=b2+c2﹣2bccos A，b2=a2+c2﹣2accos B，c2=a2+b2﹣2abcos C变形形式①a=2Rsin A，b=2Rsin B，c=2Rsin C；②sin A=，sin B=，sin C=；③a：b：c=sinA：sinB：sinC；④asin B=bsin A，bsin C=csin B，asinC=csin Acos A=，cos B=，cos C=解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a=bsin A bsin A＜a＜ba≥b a＞b解的个数一解两解一解一解由上表可知，当A为锐角时，a＜bsin A，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，。

2019-2020学年上海市位育中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．若a b >，c d >，则下列不等式中正确的是（ ） A ．a b d c> B ．ac bd > C ．a c b d +>+ D ．a c b d ->-【答案】C【解析】由条件利用不等式的性质可得a c b d +>+，其它选项可利用特值法检验排除. 【详解】因为a b >，c d >，由不等式的性质可得a c b d +>+，故C 正确； 令2,1,1,2a b c d ===-=-，所以1,1a b d c =-=-，所以a bd c=，故A 错；2ac bd =-=,故B 错；3a c b d -==-，故D 错. 故选：C .【点睛】本题主要考查不等式的性质，熟记不等式的性质是求解的关键，特值法也是求解选择题的常用方法，侧重考查逻辑推理的核心素养. 2．“11x<”是“1x >”的（ ）条件 A ．充分非必要 B ．必要非充分C ．充要D ．既非充分也非必要 【答案】B 【解析】先解11x<，得0x <或1x >，由0x <或1x >和1x >的关系可得答案. 【详解】因为11x<，所以110x -<，所以10x x ->，可得0x <或1x >，于是有0x <或1x >是1x >的必要非充分条件，所以“11x<”是“1x >”的必要非充分条件.故选：B.【点睛】本题主要考查充要条件的判定，化简不等式是求解关键，熟记四类条件的判定方法是求解的前提，侧重考查逻辑推理的核心素养.3．下列函数是奇函数且在[1,)+∞上单调递增的是（ ） A ．1y x=B ．2y x =C ．2y x x=+D ．1y x x=-【答案】D【解析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，便可得到答案. 【详解】 对于A ，1y x=是奇函数，但在[1,)+∞上单调递减，不符合题意； 对于B ，2y x =是偶函数，不符合题意；对于C ，2y x x=+是奇函数，但在[1,)+∞上先减再增，不符合题意； 对于D ，1y x x=-是奇函数，且在[1,)+∞上单调递增，所以正确.故选：D. 【点睛】本题主要考查函数的性质，奇偶性判定一般利用定义可判定，单调性结合常见函数的单调性可以判定，侧重考查数学抽象的核心素养. 4．记方程①：，方程②：，方程③：，其中，，是正实数．当，，成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ）A ．方程①有实根，且②有实根B ．方程①有实根，且②无实根C ．方程①无实根，且②有实根D ．方程①无实根，且②无实根【答案】B【解析】当方程①有实根，且②无实根时，，从而即方程③：无实根，选B.而A,D 由于不等式方向不一致，不可推；C 推出③有实根【考点】不等式性质二、填空题5．设全集．若集合，，则．【答案】【解析】因为，所以【考点】集合运算6．函数()2f x x =- 的定义域为_______________ 【答案】[1,2)(2,)+∞【解析】函数()2f x x =-，有：1020x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得1x ≥且2x ≠.所以定义域为：[)()1,22,⋃+∞.7．函数2()2f x x x =-+的单调递增区间为________ 【答案】(,1]-∞【解析】先求出函数的对称轴，再结合函数图像的开口方向写出函数的单调递增区间 【详解】因为2()2f x x x =-+是图像开口向下的二次函数，其对称轴为1x =，所以()f x 的单调递增区间为(,1]-∞. 故答案为：(,1]-∞. 【点睛】本题主要考查二次函数的单调区间，二次函数单调区间的求解主要关注其图像的开口方向和对称轴，侧重考查直观想象的核心素养.8．已知集合{||1|2,}A x x x =-≤∈Z ，则集合A 的非空子集个数为________个 【答案】31【解析】先求出集合A 的元素，从而求出其非空子集个数. 【详解】因为|1|2x -≤，所以212x -≤-≤，所以13x -≤≤，所以有{}{|13,}1,0,1,2,3A x x x =-≤≤∈=-Z ，则集合A 中元素有5个，则集合A 的非空子集个数为52131-=.故答案为：31. 【点睛】本题主要考查集合子集个数问题，确定集合子集个数的关键是确定集合的所有元素，然后利用公式可求，若集合含有n 个元素，则其子集有2n 个，非空子集有21n -个，真子集有21n -个.9．命题“若5a b +≤，则3a ≠或3b ≤”为________命题（填“真”或“假”） 【答案】真【解析】先写出原命题的逆否命题，再由逆否命题的真假，即可得出原命题的真假.【详解】命题“若5a b +≤，则3a ≠或3b ≤”的逆否命题为“若3a =且3b >，则5a b +>”，易知该命题成立，再由命题与其逆否命题等价，可得命题“若5a b +≤，则3a ≠或3b ≤”成立.故答案为：真. 【点睛】本题主要考查四种命题，命题真假的判定可以直接根据命题来判定，也可以通过它的等价命题来判定，侧重考查逻辑推理的核心素养.10．已知函数22()32x x x f x x x x ⎧-<=⎨-≥⎩，若()2f x =-，则x =________【答案】2【解析】分段函数已知函数值求自变量，分段代入函数值，讨论即可. 【详解】若2x <，则2x x -=-，可得x 无解；若2x ≥，则232x x -=-，求得2x =或1x =（舍去）.故答案为：2. 【点睛】本题主要考查分段函数的求值问题，已知函数值求解自变量时，要根据分段情况进行讨论求解，侧重考查数学运算的核心素养.11．已知定义在R 上的函数()f x 为奇函数，且0x >时，2()23f x x x =+-，则0x <时，()f x =________ 【答案】223x x -++【解析】求0x <的解析式()f x ，可先求出()f x -的解析式，再利用奇函数()f x 与()f x -的关系求出()f x .【详解】设0x <，则0x ->，所以2()23f x x x -=--，又因为()f x 为定义在R 上的奇函数，所以()2()23f x f x x x =--=-++.故答案为：223x x -++. 【点睛】本题主要考查利用奇偶性求解函数的解析式，主要利用转化法把所求转化到已知区间，结合奇偶性可得，侧重考查数学抽象的核心素养.12．已知,x y +∈R 且41y x +=，则y x的最大值为________ 【答案】116【解析】由题意可得41y x =+≥y x的最大值，注意等号成立的条件即可. 【详解】因为,x y +∈R 且41y x +=，所以41y x =+≥14≤，即116y x ≤，当且仅当4y x =，即8x =且12y =时取等号，此时yx取最大值为116.故答案为：116. 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，利用基本不等式求解最值时，要注意不等式的使用条件“一正，二定，三相等”，尤其不要忘记验证等号成立，侧重考查逻辑推理的核心素养. 13．若关于x 的不等式22kx x k >--的解集为R ，则k 的取值范围是________ 【答案】1k >【解析】恒成立问题求k 的取值范围，分别讨论0k =和0k ≠时是否符合题意，进一步由2440k k >⎧⎨∆=-<⎩求出k 的取值范围. 【详解】由题意，即求对于任意x ∈R ，不等式220kx x k ++>恒成立. 当0k =时，不等式为20x >，解得0x >，不符合题意；当0k ≠时，满足题意，需满足20440k k >⎧⎨∆=-<⎩，解得1k >.故答案为：1k >. 【点睛】本题主要考查不等式的恒成立问题，二次型不等式恒成立一般成立策略是：先验证二次项为零时是否成立，再结合二次函数图像的开口方向及零点情况可求，侧重考查直观想象的核心素养. 14．关于x 的不等式01x a bx +>-解集是(1,2)-，则20x bx a-≥+的解集为________ 【答案】(2,2]-【解析】先利用不等式的解集与对应方程根的关系，求出,a b 的值，然后再求20x bx a-≥+的解集即可. 【详解】 关于x 的不等式01x abx +>-可化为()()10x a bx +->，则()()10x a bx +->的解集为(1,2)-，所以()()1=0x a bx +-的两个解为1,2-.则有0(1)(1)0(2)(21)0b a b a b <⎧⎪---=⎨⎪+-=⎩，所以2,1a b =-=-.所以易求202x x -≥--的解集为(2,2]-.故答案为：(2,2]-.【点睛】本题主要考查分式不等式的求解，分式不等式一般转化为整式不等式求解，注意转化的等价性；利用不等式的解集与其对应方程的根的关系，能简便的求解参数，侧重考查数学运算的核心素养.15．设集合A 、B 是实数集R 的子集，[2,0]A B =-R ðI ，[1,2]B A =R ðI ，()()[3,5]A B =R R 痧I ，则A =________【答案】(,1)(2,3)(5,)-∞+∞U U 【解析】根据条件()()[3,5]A B =R R 痧I可得()(),35,AB =-∞+∞，结合[1,2]B A =R ðI 的意义，可得集合A .【详解】因为集合A 、B 是实数集R 的子集，若AB =∅,则[2,0]A B A =-=R ðI ，[1,2]B A B ==R ðI ，但不满足()()[3,5]A B =R R 痧I，所以A B ⋂≠∅.因为()()[3,5]A B =R R 痧I,所以()()()[3,5]A B A B ==R R R 痧?U I ，所以有()(),35,A B =-∞+∞.又因为[1,2]B A =R ðI 表示集合B 的元素去掉集合A 中的元素，()(),35,A B =-∞+∞表示A 集合和B 集合中的所有元素，所以把()(),35,A B =-∞+∞中的元素去掉[1,2]B A =R ðI中元素，即为所求的集合A ，所以(,1)(2,3)(5,)A =-∞+∞.故答案为：(,1)(2,3)(5,)-∞+∞U U .【点睛】本题主要考查集合的运算，根据集合的运算性质可求也可借助数轴或者韦恩图求解，侧重考查逻辑推理的核心素养.16．已知关于x 的不等式2(6)(4)0mx m x --+<（其中m ∈R ）的解集为A ，若满足A B =Z I （其中Z 为整数集），则使得集合B 中元素个数最少时m 取值范围是________【答案】23m ≤≤【解析】先对m 分类讨论，利用一元二次不等式的解法求出解集确定出A ，再根据A B =Z I （其中Z 为整数集），写出当集合B 中元素个数最少时m 的取值范围.【详解】 分情况讨论：当0m =时，()640x -+<，解得{}4A x x =>-；当0m <时，()2640m x x m ⎛⎫+-+> ⎪⎝⎭，266=4m m m m ++≤-<-，解得26m A x x m ⎧+⎪=<⎨⎪⎩或}4x >-；当0m >时，()2640m x x m ⎛⎫+-+< ⎪⎝⎭，解得264m A x x m ⎧⎫+⎪⎪=-<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭. 因为A B =Z I ，集合B 中元素个数最少，所以0m ≤不符合题意；当0m >时，2664m m m m+=+≥>，所以要使集合B 中元素个数最少，需要265m m+≤，解得23m ≤≤.故答案为：23m ≤≤. 【点睛】本题主要考查不等式的解法，不等式的整数解问题需要关注边界值的影响，稍有难度，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养.三、解答题17．若a +∈R ，b +∈R ，且a b <，试比较44a b -与3322a b ab -的大小. 【答案】443322a b a b ab -<-.【解析】利用作差比较法来比较大小，44a b -33322()()a b ab a b a b -+=+-，结合,a b 的大小可得. 【详解】443322222222()()2()a b a b ab a b a b ab a b --+=-+--2223()()()()a b a b a b a b =--=+-因为a +∈R ，b +∈R ，且a b <，所以0a b +>，0a b -< 所以443322a b a b ab -<-. 【点睛】本题主要考查作差比较法比较大小，作差、变形、定号是求解的主要步骤，侧重考查逻辑推理的核心素养.18．解关于x 的不等式：2(1)10ax a x +--<.【答案】当1a <-时，解集为1(,1)(,)a-∞-+∞U ；当1a =-时，解集为(,1)(1,)-∞-⋃-+∞；当10a -<<时，解集为1(,)(1,)a-∞-+∞U ；当0a =时，解集为(1,)-+∞；当0a >时，解集为1(1,)a-.【解析】通过对a 分类讨论，并且利用一元二次不等式的解法即可得出答案. 【详解】不等式2(1)10ax a x +--<可化为：()()110ax x -+<.当0a >时，不等式化为()110x x a ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭，解得11x a-<<；当0a =时，不等式化为10x --<，解得1x >-； 当0a <时，不等式化为()110x x a ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭， 若110a -<<，即1a <-，解得1x <-或1x a>； 若11a=-，即1a =-，解得1x ≠-；若11a<-，即10a -<<，解得1x >-或1x a <；综上所述：当1a <-时，解集为1(,1)(,)a-∞-+∞U ；当1a =-时，解集为(,1)(1,)-∞-⋃-+∞；当10a -<<时，解集为1(,)(1,)a-∞-+∞U ；当0a =时，解集为(1,)-+∞；当0a >时，解集为1(1,)a-. 【点睛】本题主要考查分类讨论求解不等式，分类的依据主要有开口方向，根的大小等，侧重考查逻辑推理的核心素养.19．某商场预计全年分批购入电视机3600台，其中每台价值2000元，每批购入的台数相同，且每批均需付运费400元，储存购入的电视机全年所付保管费与每批购入的电视机的总价值（不含运费）成正比，比例系数为k ，若每批购入400台，则全年需要支付运费和保管费共43600元. （1）求k 的值；（2）请问如何安排每批进货的数量，使支付运费与保管费的和最少？并求出相应最少费用.【答案】（1）0.05k =；（2）每批进货120台，支付运费与保管费的和最少，最少费用为24000元.【解析】（1）根据每批购入400台的需要支付运费和保管费共43600元可求k 的值； （2）先求解关于进货量的所支付的费用之和，结合解析式的特点求解最值即可. 【详解】（1）由题意，当每批购入400台时，全年的运费为36004003600400⨯=， 每批购入的电视机的总价值为4002000800000⨯=（元），所以保管费为800000k ⋅（元）因为全年需要支付运费和保管费共43600元，所以360080000043600k +⋅=，解得0.05k =.（2）设每批进货x 台，则运费为36001440000400x x⨯=，保管费为0.052000100x x ⨯=，所以支付运费与保管费的和为1440000100x x+，因为144000010024000x x +≥=，当且仅当1440000100x x =，即120x =时取到等号，所以每批进货120台，支付运费与保管费的和最少，最少费用为24000元. 【点睛】本题主要考查基本不等式的实际应用，构建数学模型是求解的关键，注意不等式求解最值时的条件，侧重考查数学建模的核心素养.20．已知函数2()(1)f x ax a x =+-，其中a 为常数且a ∈R . （1）若函数()f x 为奇函数，求实数a 的值；（2）若函数()f x 在[0,2]x ∈上单调递减，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）0a =；（2）15a ≤. 【解析】（1）利用奇函数的定义可求实数a 的值； （2）结合函数的图象，观察对称轴和区间的位置关系可求. 【详解】（1）因为函数()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，而22()()(1)()(1)f x a x a x ax a x -=-+--=--，所以0a =.经检验符合题意. （2）当0a =时，()f x x =-，符合题意；当0a >时，若函数()f x 在[0,2]x ∈上单调递减，则有122a a --≥，解之得105a <≤； 当0a <时，若函数()f x 的对称轴102a x a-=-≤，符合题意； 综上可得15a ≤. 【点睛】本题主要考查函数的性质，利用奇偶性求解参数时，一般是利用奇偶性的定义求解，也可以利用特殊的函数值求解；已知函数的单调性求解参数时，要注意数形结合 21．如果存在常数c （0c ≠），对于任意x ∈R ，都有()()f x c f x +>成立，那么称该函数为“()P c 函数”.（1）分别判断函数()2f x x =，2()g x x =是否为“(1)P 函数”，若不是，说明理由；（2）若函数3()f x ax x =+是“(1)P 函数”，求实数a 的取值范围；第 11 页 共 11 页 （3）记所有定义在R 上的单调函数组成的集合为M ，所有函数()P c 组成的集合为N ，求证：M N .【答案】（1）()f x 是“(1)P 函数”，()g x 不是“(1)P 函数”；详见解析（2）0a ≥；（3）证明见解析【解析】（1）根据()P c 函数的定义逐个检验可得；（2）根据题意可得(+1)()0f x f x ->恒成立，结合恒成立问题可求；（3）结合单调函数的定义可证单调函数均为()P c 函数，通过特殊函数可得()P c 函数不一定是单调函数，所以可证结论.【详解】（1）因为()2f x x =，所以(+1)2+2f x x =，所以(+1)()f x f x >，故()2f x x =是“(1)P 函数”； 因为(+1)()21g x g x x -=+不恒大于0，所以()g x 不是“(1)P 函数”. （2）因为函数3()f x ax x =+是“(1)P 函数”，所以332(+1)()=(1)(1)3310f x f x a x x ax x ax ax a -+++--=+++>恒成立， 当0a =时，显然成立；当0a ≠时，需要20912(1)0a a a a >⎧⎨-+<⎩，解之得0a >， 综上可得0a ≥.（3）证明：若()f x 为单调递增函数，则0c >时，都有()()f x c f x +>成立；若()f x 为单调递减函数，则0c <时，都有()()f x c f x +>成立；所以单调函数一定是()P c 函数，即M N .反之，()P c 函数不一定是单调函数，比如，取整函数[]()f x x =是(1)P 函数，但是它不是单调函数.综上可得M N .【点睛】本题主要考查新定义问题，结合题目环境，精准把握定义是求解的关键，虽然是新定义，但还是考查旧知识，转化回归到熟悉的问题是求解这类问题的关键.。

2024—2025学年上海市位育中学高一上学期期中考试数学试卷一、填空题(★) 1. 已知集合A={1， 2}，B={2， 3， 4}，则A B= _____________ .(★★) 2. 若，则 ______ ．(★★) 3. 已知集合，，且，则实数的值为 ______ .(★★) 4. 已知集合，则集合可以用列举法表示为 ______ .(★★) 5. 设：，：，是的充分条件，则实数m的取值范围是 ______ . (★) 6. 若恒成立，则的值 ______ ．(★) 7. 已知实数a，b满足，则的最大值为 ______ .(★) 8. 若关于x的不等式的解集为，则实数a的值为 ______ .(★★★) 9. 已知全集，若，，，则集合 ______ .(★★) 10. 设，则方程的解集为 ______ .(★★) 11. 设关于x的不等式的解集为A，若，则实数m的取值范围是______ .(★★★★) 12. 若对于任意的实数，关于x的不等式在区间上总有解，则实数m的取值范围是 ______ .二、单选题(★) 13. 设，下列计算中正确的是（）A．B．C．D．(★) 14. 已知，且，则下列不等式恒成立的是（）A．B．C．D．(★★) 15. 设，则“”是“且”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(★) 16. 设，关于的方程组.对于命题：①存在a，使得该方程组有无数组解；②对任意a，该方程组均有一组解，下列判断正确的是（）A．①和②均为真命题B．①和②均为假命题C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题三、解答题(★★) 17. 已知集合，集合，设全集为实数集R，若，求实数m的取值范围.(★★) 18. （1）已知且，且，证明：当时，；（2）设，，用a，b表示.(★★★) 19. 去年某商户销售某品牌服装9000套，每套服装利润为50元.为提高销售利润，今年计划投入适当的广告费进行产品促销，据测算若投放广告费用x万元，则该品牌服装的年销售量将增长.(1)若要使得今年净利润比去年净利润至少增长，求投放广告费用的范围；(2)当投放广告费用为多少万元时，该品牌服装的净利润最大？(★★★) 20. 已知关于x和y的方程组.(1)当时，求方程组的解集；(2)设和是方程组的两组不同的解，若，求实数m的取值范围.(★★★) 21. 设为实数集，若非空集合满足条件：（1）；（2）对任意，都有且，则称集合为封闭集.(1)判断集合，是否为封闭集，并说明理由；(2)设全集为，已知集合是封闭集，求证：不是封闭集.。