数列极限的运算性质

数列极限的概念与性质数列是数学中一种非常重要的数学对象，它在许多领域都有广泛的应用。

而数列的极限是数列理论中的一个基本概念，通过对数列的极限的研究，可以揭示数列的性质和规律，进一步拓展数学的应用领域。

一、数列极限的概念数列极限是数学中一个非常重要的概念，它描述了数列随着项数增加而趋近的某个确定值。

对于一个数列{an}，当n趋近于无穷大时，如果存在一个实数A，使得对于任意给定的正实数ε，总存在自然数N，使得当n>N时，有|an - A|< ε成立，那么数A就是数列{an}的极限，记作lim(n→∞) an = A。

二、数列极限的性质1. 唯一性：数列的极限如果存在，则唯一。

这意味着一个数列不可能有两个不同的极限。

2. 有界性：如果一个数列存在极限，则它是有界的，即数列中的所有项都在某个范围内。

3. 保号性：如果数列{an}的极限为A，则当n足够大时，数列的每一项与A的关系与A的正负号相同。

4. 极限的四则运算：如果两个数列{an}和{bn}的极限都存在，则它们的和、差、乘积、商的极限也存在，并且有相应的运算规律。

5. 夹逼定理：如果数列{an}、{bn}和{cn}满足an≤bn≤cn，且li m(n→∞) an = lim(n→∞) cn = A，那么lim(n→∞) bn = A。

6. 收敛数列的有界性：如果数列{an}的极限存在，则数列{an}是有界的。

7. 子列的极限：如果数列{an}的极限为A，则它的任意一个子列的极限也为A。

三、数列极限的应用1. 无穷级数：通过对数列极限的研究，可以求解各种无穷级数的和，如等比级数、调和级数等。

2. 函数极限：函数极限可以看作是数列极限的推广，通过对数列的极限性质的研究，可以进一步推导函数的极限性质。

3. 微积分：微积分中的导数和积分都与数列的极限密切相关，数列极限的概念和性质对于理解微积分理论非常重要。

4. 计算机科学：数列极限的思想也可以应用到计算机科学中，通过数值计算的方法来逼近数列的极限，解决计算问题。

如果 lim xn = a , ∃n0 , n > n0时有xn ≥ 0, 那么a ≥ 0.
4.保不等式性 (保序性 ) 保不等式性 保序 保序性 保不等式 命题4 命题 如果 lim xn = a , lim yn = b均存在,
n →∞ n →∞
且有a > b, 那么∃N , ∀n > N ,有xn > yn . 有
仿照上面命题 的推论 可得命题 的推论2. 仿照上面命题3的推论 可得命题 的推论 命题 的推论1可得命题4的推论
5. 极限的四则运算法则 定理 1 设limxn = a,limxn = b,
n→ ∞ n→ ∞
(1) lim xn ± yn ) = a ± b; ( 则 (2) lim( xn ⋅ yn ) = a⋅ b;
n→ ∞ n→ ∞
xn a (3) lim = , 其 b ≠ 0. 中 n→ y ∞ b n xn a 对 (3) lim = ( b ≠ 0) 的 明 以 于 证 予 n→ y ∞ b n
视 明 到 极 的 号 . 重 ,证 用 了 限 保 性
a0 nm + a1nm −1 + L + am 例1 求 lim n →∞ b n n + b n n −1 + L + b 0 1 n
n→∞
例3 求 lim ( n→ ∞
1 n +1
2
n +2 n +n 1 解 倘若我们由 lim = 0 ( k = 1, 2,L , n ) , n →∞ n2 + k 根据极限的四则运算法则得 1 1 1 + +L+ lim( ) n →∞ n2 + 1 n2 + 2 n2 + n 1 1 1 = lim + lim + L + lim =0 2 2 2 n →∞ n →∞ n + 1 n→∞ n + 2 n +n 那就错了.

数列极限的定义与性质数列是由一系列按特定规律排列的数字组成的序列。

在数学中，了解数列的极限是非常重要的。

通过研究数列的极限，我们可以揭示数列的性质，并且可以应用到不同的领域中。

本文将探讨数列极限的定义与性质，帮助读者更好地理解和应用数列。

一、极限的定义数列的极限是指当数列中的项趋近于某个值时，数列的值也趋近于该值。

数列极限可以用以下方式进行定义：设有数列 {a_n}，其中 n 表示数列中的项的索引（在数列中的位置）。

若对于任意给定的正实数ε，都存在正整数 N，使得当 n > N 时，有|a_n - A| < ε 成立，则称数列 {a_n} 的极限为 A，记作lim(n→∞) a_n = A。

其中，|a_n - A| 表示 a_n 与 A 之间的差的绝对值。

ε (epsilon) 是一个任意小的正实数，N 是一个正整数。

二、极限的性质数列极限具有以下性质：1. 极限的唯一性：设数列 {a_n} 的极限为 A，则数列的极限是唯一的，即不存在另外的极限值。

2. 极限的有界性：若数列 {a_n} 的极限为 A，则对于任意给定的正实数ε，存在正整数 N，使得当 n > N 时，有|a_n| < |A|+ε 成立。

换句话说，当 n 足够大时，数列的值都在 A 的某个邻域内。

3. 极限的保号性：若数列 {a_n} 的极限为 A，且 A > 0 (或 A < 0)，则存在正整数 N，使得当 n > N 时，有 a_n > 0 (或 a_n < 0) 成立。

也就是说，当 n 足够大时，数列的值与其极限符号一致。

4. 极限的四则运算：设数列 {a_n} 和 {b_n} 的极限分别为 A 和 B，则有以下四则运算定理：- 两个数列的和的极限等于两个数列的极限的和，即lim(n→∞) (a_n + b_n) = A + B。

- 两个数列的差的极限等于两个数列的极限的差，即lim(n→∞) (a_n - b_n) = A - B。

xn

a
，
lim
n
yn
b
，
且 a b ，则 N N ，当 n N xn yn 。
2
数列极限的性质和运算法则
性质 1（唯一性）若{ xn } 收敛，则其极限唯一。
证明：用反证法。
假设
lim
n
xn

a
，
lim
n
xn
b ，（ a b），取

ba 2
0，
∴收敛数列的极限是唯一的。
3
数列极限的性质和运算法则
性质 2（有界性） 若{ xn } 收敛，则{ xn } 必有界，
即 M 0， n N , 有 xn M 。
注证明：②①：收性设敛质ln数im2列的x必n等有价a界命，；题反是之:若有界xn数无列界未，必则收敛xn。发散。
lim
n
n3

lim
n
n(n

1)(2n 6n3

1)
1 3
11
数列极限的性质和运算法则
（2） lim[ 1 2 L n 1 2 L (n 1)] n
解： lim[ 1 2 L n 1 2 L (n 1)] n
lim[ n (n 1) n (n 1) ] lim 1 [ n2 n n2 n]
n yn lim yn b
n
说明：可以推广到有限多个数列的和差或乘积。
7
数列极限的性质和运算法则
思考：
① 若：{ xn } 收敛，{ yn } 发散， 它们的和、差、积、商 数列的敛散性如何？
② 若：{ xn } ， { yn } 都发散呢？

数列的极限性质与计算方法数列在数学中起着重要的作用，它们与极限的关系密切相关。

本文将介绍数列的极限性质以及常用的计算方法。

通过了解数列的极限性质，我们可以更好地理解和处理数学问题。

一、数列的极限性质数列的极限是指数列随着项数的增加趋向于某个确定的值。

数列的极限性质包括数列的有界性、单调性和收敛性。

1. 数列的有界性对于数列{an}，如果存在常数M，使得对所有的n，有|an| ≤ M，那么数列{an}是有界的。

数列的有界性是指数列中的所有项都不会无限增加或减小，而是有一个上界和下界。

2. 数列的单调性对于数列{an}，如果对于所有的n，都有an ≤ an+1 或an ≥ an+1，那么数列{an}是单调的。

数列的单调性是指数列中的项是否按照一定的规律递增或递减。

3. 数列的收敛性对于数列{an}，如果存在常数L，使得当n趋向于无穷大时，an趋向于L，那么数列{an}收敛于L。

数列的收敛性是指数列是否有一个确定的极限值。

二、数列的计算方法在计算数列的极限时，我们常用的方法包括通项公式、夹挤准则以及数列的运算法则。

1. 通项公式有些数列可以通过通项公式来表示，通项公式可以帮助我们计算数列的任意一项。

例如，斐波那契数列可以通过通项公式an = (φ^n - (1-φ)^n)/√5来计算。

2. 夹挤准则夹挤准则是一种常用的计算数列极限的方法。

如果存在数列{bn}和数列{cn}，满足对于所有的n，有bn ≤ an ≤ cn，并且{bn}和{cn}的极限都为L，那么数列{an}的极限也是L。

3. 数列的运算法则数列的运算法则包括数列的加法、减法、乘法和除法的性质。

例如，如果数列{an}和{bn}都收敛于L，那么它们的和数列{an + bn}也收敛于2L。

总结：数列的极限性质和计算方法是数学中的重要知识点。

通过了解数列的有界性、单调性和收敛性，我们可以判断数列的特性。

在计算数列的极限时，可以运用通项公式、夹挤准则和数列的运算法则等方法。

PART ONE
数列的极限
PART TWO
定义及性质
定义：数列的极限是指当数列的项数趋于无穷大时，数列的项趋于某一固定值。
性质：极限具有唯一性、有界性、局部保序性等性质。
极限的运算性质
极限的四则运算性质：lim(a+b)=lim a + lim b，lim(a-b)=lim a - lim b，lim(a×b)=lim a × lim b，lim(a/b)=lim a / lim b（当lim b≠0）
性质：收敛数列具有唯一确定的极限值；收敛数列的项的绝对值随着项数的增加而趋于无穷小
单调有界定理
定义：如果数列在某个区间内单调递增（或递减），并且存在一个正数M，使得对于该区间内的任意x，都有|a_n|≤M（或-M≤a_n≤M），则称该数列在该区间内有界。
定理：如果数列单调递增（或递减）且有界，则该数列收敛。
定义：如果一个数列从某一项开始，其后续各项都无限接近于某个确定的数，则称该数为该数列的极限。
添加标题
性质：收敛数列的极限是唯一的，即不存在两个不同的数都作为该数列的极限。
添加标题
证明：假设存在两个不同的数 A 和 B 都作为数列 {an} 的极限。由于数列是收敛的，根据定义，对于任意小的正数 ε，存在一个正整数 N，使得当 n > N 时，|an - A| < ε 和 |an - B| < ε 同时成立。这意味着 |A - B| = |(an - A) - (an - B)| < ε，这与 A 和 B 是两个不同的数相矛盾。因此，收敛数列的极限是唯一的。
不收敛：数列不趋近于任何值，没有极限
关系：无穷大数列和无界数列都不收敛，但无界数列不一定是无穷大
无穷小量与无穷大量在数列中的应用

数列极限名词解释数列极限是数学中重要的概念之一，它在分析、微积分以及实际问题的建模与求解中扮演着关键角色。

本文将对数列极限进行解释，并介绍其基本概念和性质。

一、数列的定义数列是一系列按照特定规律排列的数字的集合。

通常用{an}或{a1, a2,a3,...}表示，其中每个数an称为数列的项，n表示项的位置或索引。

二、数列的极限定义对于数列{an}，当n逐渐增大时，如果数列的项趋向于某个确定的值L，即对于任意给定的正数ε，存在正整数N，当n>N时，满足|an-L|<ε，那么我们说数列的极限存在，记为lim(n→∞)an= L。

这里，L称为数列的极限，n→∞表示当n趋向于无穷大时。

三、极限的直观理解数列的极限可以被理解为当n趋近于无穷大时，数列的项逐渐接近于某个值。

直观上，我们可以将数列的项画在数轴上，随着n增大，数列的项逐渐靠近极限值L。

例如，考虑数列{1/n}，当n取不断增大的正整数时，数列的项会逐渐接近0，因此该数列的极限为0。

四、数列极限的性质1.数列的极限是唯一的：如果数列{an}的极限存在，那么它的极限是唯一的，即极限值L唯一确定。

2.有界性：如果数列{an}的极限存在，那么数列必定是有界的，即存在正数M，使得对于任意的n，|an|≤M。

3.极限运算法则：设{an}和{bn}是两个数列，并且它们的极限都存在，则有以下运算法则：a)lim(n→∞)(an±bn)=lim(n→∞)an±lim(n→∞)bnb)lim(n→∞)(k*an)=k*lim(n→∞)an，其中k是常数c)lim(n→∞)(an*bn)=lim(n→∞)an*lim(n→∞)bnd)lim(n→∞)(an/bn)=lim(n→∞)an/lim(n→∞)bn，其中bn≠0五、常见数列极限1.常数数列：对于数列{an}，如果an=c，其中c为常数，则该数列的极限为lim(n→∞)an=c。

高中数学数列极限的性质与计算方法详解数列是高中数学中的重要概念，而数列的极限更是数学分析的基础。

在高中数学中，数列极限的性质和计算方法是一个重要的考点。

本文将详细解析数列极限的性质和计算方法，并通过具体题目进行举例，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和掌握这一知识点。

一、数列极限的性质1. 有界性：如果数列{an}存在有界的上界和下界，那么该数列必定收敛。

例如，考虑数列{an} = (-1)^n，该数列的值在-1和1之间，因此数列{an}是有界的，且极限为0。

2. 单调性：如果数列{an}单调递增且有上界，或者单调递减且有下界，那么该数列必定收敛。

例如，考虑数列{an} = 1/n，该数列单调递减且有下界0，因此数列{an}是收敛的，且极限为0。

3. 夹逼定理：如果数列{an}满足an≤bn≤cn，并且lim an = lim cn = L，那么数列{bn}也收敛，并且极限为L。

例如，考虑数列{an} = 1/n，{bn} = (1 + 1/n)^n，{cn}= (1 + 1/n)^(n+1)，显然有an≤bn≤cn，并且lim an = lim cn = 0，因此数列{bn}也收敛，且极限为0。

二、数列极限的计算方法1. 基本四则运算法则：如果数列{an}和{bn}的极限分别为A和B，那么数列{an + bn}的极限为A + B，数列{an - bn}的极限为A - B，数列{an * bn}的极限为A * B，数列{an / bn}的极限为A / B（其中B ≠ 0）。

2. 极限的乘法法则：如果数列{an}的极限为A，数列{bn}的极限为B，那么数列{an * bn}的极限为A * B。

例如，考虑数列{an} = 1/n，{bn} = n，显然lim an = 0，lim bn = ∞，但是lim (an * bn) = 1。

3. 极限的倒数法则：如果数列{an}的极限为A（A ≠ 0），那么数列{1/an}的极限为1/A。

数列极限概念与性质例题和知识点总结一、数列极限的概念数列是按照一定顺序排列的一列数，例如1，2，3，4，…，n，… 。

数列极限则是描述当数列中的项数无限增大时，数列的取值趋近于某个确定的常数。

用数学语言来表示，如果对于任意给定的正数ε ，总存在正整数 N ，使得当 n ＞ N 时，｜an A| ＜ε 恒成立，那么就称常数 A 是数列｛an} 的极限，记作lim(n→∞） an ＝ A 。

通俗地说，就是当数列的项数变得非常大时，数列的项与某个常数A 的距离可以任意小。

二、数列极限的性质1、唯一性：如果数列｛an} 有极限，那么极限值是唯一的。

2、有界性：如果数列｛an} 有极限，那么数列｛an} 一定是有界的。

3、保号性：如果lim(n→∞） an ＝ A ，且 A ＞ 0 （或 A ＜ 0 ），那么存在正整数 N ，当 n ＞ N 时，an ＞ 0 （或 an ＜ 0 ）。

三、数列极限的例题例 1：求数列｛1 ／ n} 的极限。

解：对于任意给定的正数ε ，要使｜ 1 ／ n 0 ｜＜ε ，即 1 ／ n＜ε ，解得 n ＞ 1 ／ε 。

取 N ＝ 1 ／ε ＋ 1 （其中 x 表示不超过 x 的最大整数），当 n ＞ N 时，｜ 1 ／ n 0 ｜＜ε 恒成立。

所以lim(n→∞） 1 ／ n ＝ 0 。

例 2：证明数列｛（－1)＾n ／ n} 的极限为 0 。

解：对于任意给定的正数ε ，因为｜（－1)＾n ／ n 0 ｜＝ 1 ／ n ，要使 1 ／ n ＜ε ，解得 n ＞ 1 ／ε 。

取 N ＝ 1 ／ε ＋ 1 ，当 n ＞ N 时，｜（－1)＾n ／ n 0 ｜＜ε 恒成立。

所以lim(n→∞）（－1)＾n ／ n ＝ 0 。

例 3：判断数列｛n ／（n ＋ 1)｝的极限。

解：lim(n→∞） n ／（n ＋ 1) ＝lim(n→∞） 1 ／（1 ＋ 1 ／ n)当n → ∞ 时，1 ／n → 0 ，所以 1 ／（1 ＋ 1 ／n) → 1 。

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极限四则运算法则
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01
极限四则运算的基本概念
极限的定义与性质
极限的定义
• 数列极限：当自变量趋向某一值时，数列的项趋向另一值
• 函数极限：当自变量趋向某一值时，函数的值趋向另一值
极限的性质
• 极限存在唯一性：如果一个函数在某个点存在极限，那么这个极限是唯一的
DOCS
间接法求解极限的步骤
• 通过已知条件和极限的性质，间接求出极限的值
• 分析已知条件，找出与极限相关的表达式
• 根据极限的性质，将表达式变形
• 求出极限的值
无穷小量与无穷大量在极限运算中的应用


无穷小量的概念
• 当自变量趋向某一值时，函数值趋向于0，但永远无法等于0
无穷大量的概念
• 当自变量趋向某一值时，函数值趋向于无穷大，但永远无法等于无穷
• 将复杂的极限问题转化为导数问题
过求导数的方法求解极限
• 通过洛必达法则求解极限，简化运算过程
对数函数与指数函数在极限运算中的技巧
对数函数与指数函数在极限运算中的性质
• 对数函数的极限：当自变量趋向于无穷大时，对数函数的极限等于无穷小量
• 指数函数的极限：当自变量趋向于无穷大时，指数函数的极限等于无穷大量
对数函数与指数函数在极限运算中的应用
• 利用对数函数和指数函数的性质，简化极限运算
• 通过变换函数形式，将复杂的极限问题转化为简单的极限问题
04
极限四则运算的案例分析
连续函数与间断函数的极限分析
连续函数的极限分析
断续函数的极限分析
• 连续函数在一点的极限等于函数在该点的值

数列极限的知识点总结一、数列极限的定义1.1 数列首先要了解数列的概念。

数列是由一系列按照一定顺序排列的数所组成的有序集合。

数列通常用符号{an}表示，其中an代表数列的第n个元素。

数列是数学中一种基本的数学概念，它在许多数学问题中都起着重要的作用。

1.2 数列极限接着要了解数列的极限。

数列{an}的极限是指当n趋向于无穷大时，数列中的元素an的值趋近于一个常数L，即lim(an) = L。

如果这样一个数L存在，那么我们就说数列{an}收敛，并且把L称为数列的极限，记作lim(an) = L。

如果这样一个数L不存在，那么我们就说数列{an}发散。

1.3 数列极限的形式化定义对于给定的数ε，如果存在一个正整数N，使得当n大于N时，|an - L| < ε恒成立，那么称L是数列{an}的极限。

这样的N存在的话，就称这N是数L和ε的函数。

1.4 无穷大数列如果数列{an}中的元素an当n趋向于无穷大时，它的绝对值|an|趋向于无穷大，那么就称数列{an}是无穷大的。

对于无穷大数列，我们通常用符号lim(an) = ±∞来表示。

1.5 注意事项在讨论数列极限的问题时，需要注意以下几点：1) 数列的极限可能是一个有限的常数，也可能是无穷大。

2) 一般来说，数列的极限不一定存在，也可能有多个极限（一般在不同n的取值范围内）。

3) 要特别注意当n趋于无穷大时，数列中的元素an的绝对值的行为，关系到数列是否是无穷大数列。

以上是数列极限的基本概念和定义，下面我们将介绍数列极限的相关性质。

二、数列极限的相关性质2.1 唯一性如果数列{an}收敛，那么它的极限是唯一的。

换句话说，如果lim(an) = L1和lim(an) = L2，那么L1 = L2。

2.2 有界性如果数列{an}收敛，那么它一定是有界的，即存在一个正实数M，使得|an| < M（n∈N）。

2.3 保号性如果数列{an}收敛到一个有限的极限L，那么当n充分大时，数列{an}的元素和L有相同的正负号。

极限运算法则总结
1. 极限的唯一性：如果一个数列存在极限，则极限唯一。

2. 有界性原理：如果一个数列有极限，则它是有界数列。

3. 递推数列的极限性质：如果一个数列存在极限，那么这个数列的递推数列也存在极限，且极限相等。

4. 夹逼准则：如果一个数列在两个极限之间夹逼，那么这个数列也存在极限，且极限等于夹逼的两个极限。

5. 极限与函数连续性的关系：如果一个函数在某点处连续，那么在这个点处的极限就等于函数值。

6. 极限与函数单调性的关系：如果一个函数单调递增且有上界（或单调递减且有下界），那么这个函数存在极限，且极限等于上（或下）界。

7. 极限的四则运算法则：对于两个数列，若它们存在极限，则它们的和、差、积、商（分母不为0）也存在极限，且按照运算法则计算。

8. 乘积的极限性质：如果一个数列存在极限，那么它与另一个数列的乘积也存在极限，且极限等于原数列和另一个数列的极限的乘积。

9. 商的极限性质：如果两个数列都存在极限且分母数列的极限不为0，那么它们的商也存在极限，且极限等于分子和分母各自的极限的商。

10. 多项式函数与指数函数的极限：在正无穷大和负无穷大两个方向上，多项式函数的极限为正无穷或负无穷，而指数函数的极限为0（负指数）或正无穷（正指数）。

高等数学：数列的极限一、引言在高等数学中，数列是极为重要的概念之一。

数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。

而数列的极限则是指在数列中的某种规律性趋势下，数列中的项逐渐接近一个确定的数。

本文将深入探讨高等数学中数列的极限这一概念。

二、数列的定义数列是由一系列有序的数按确定的规律排列而成的序列。

一般来说，数列可以表示为 $a_1, a_2, a_3, \\ldots$，其中a a表示数列的第a项。

数列可以有无穷多项，也可以有有限项。

三、数列极限的定义考虑一个数列 $a_1, a_2, a_3, \\ldots$，如果数列中的项a a随着a的增大趋近于一个常数a，那么我们称常数a是该数列的极限，记作 $\\lim_{n\\to\\infty} a_n = A$。

简单来说，数列的极限就是数列中的项在逐渐接近一个确定的值。

四、数列极限的性质在研究数列的极限时，我们可以利用一些性质来简化计算或判断。

以下是一些常用的数列极限性质：1.数列极限的唯一性：若数列的极限存在，那么极限是唯一的。

2.数列加减乘除的极限性质：若$\\lim_{n\\to\\infty}a_n = A$，$\\lim_{n\\to\\infty} b_n = B$，则$\\lim_{n\\to\\infty} (a_n \\pm b_n) = A \\pm B$，$\\lim_{n\\to\\infty} a_n b_n = A \\cdot B$，$\\lim_{n\\to\\infty} \\frac{a_n}{b_n} =\\frac{A}{B}$（当a aa0时）。

五、数列的极限计算方法计算数列的极限通常可以通过分析数列的规律性和使用一些极限运算法则来进行。

以下是一些常用的数列极限计算方法：1.利用等式化简：有时数列的极限可以通过等式化简来得到。

例如，将复杂的数列分解成更简单的形式，进而计算极限。

2.利用夹逼准则：对于某些比较复杂的数列，我们可以利用夹逼准则来证明数列的极限值。

数列极限的定义与性质数列是数学中一个非常重要的概念，而数列的极限更是数学分析中的基础知识之一。

数列极限的定义与性质对于理解数学分析、微积分等学科具有重要意义。

本文将从数列极限的定义入手，逐步介绍数列极限的性质，帮助读者更好地理解这一概念。

1. 数列极限的定义数列极限的定义是数学分析中的基础概念之一。

对于数列${a_n}$，当$n$趋于无穷大时，如果数列的项$a_n$可以无限接近某个常数$A$，那么称常数$A$为数列${a_n}$的极限，记作$\lim\limits_{n \to\infty} a_n = A$。

换句话说，对于任意给定的正实数$\varepsilon$，总存在正整数$N$，使得当$n>N$时，数列的项$a_n$与极限$A$之间的差的绝对值$|a_n - A|$小于$\varepsilon$。

数学上也可以用$\lim\limits_{n \to \infty} a_n = A$来表示数列${a_n}$的极限。

这个定义是数列极限的基础，也是理解数列极限性质的前提。

2. 数列极限的性质数列极限具有一些重要的性质，下面将逐一介绍这些性质：（1）数列极限的唯一性：如果数列${a_n}$的极限存在，那么这个极限是唯一的。

也就是说，如果$\lim\limits_{n \to \infty} a_n = A$且$\lim\limits_{n \to \infty} a_n = B$，那么$A=B$。

（2）数列极限的有界性：如果数列${a_n}$的极限存在，那么这个数列是有界的。

即存在一个实数$M$，使得对于数列的每一项$a_n$，都有$|a_n| \leq M$。

（3）数列极限的保号性：如果数列${a_n}$的极限存在且大于（小于）零，那么从某项开始，数列的每一项都大于（小于）零。

（4）数列极限的四则运算性质：设$\lim\limits_{n \to \infty} a_n = A$，$\lim\limits_{n \to \infty} b_n = B$，则有：- $\lim\limits_{n \to \infty} (a_n \pm b_n) = A \pm B$- $\lim\limits_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n) = A \cdot B$- 若$B \neq 0$，$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{A}{B}$（5）夹逼准则：如果数列${a_n}$、${b_n}$、${c_n}$满足$a_n\leq b_n \leq c_n$，且$\lim\limits_{n \to \infty} a_n =\lim\limits_{n \to \infty} c_n = A$，那么$\lim\limits_{n \to\infty} b_n = A$。

定理(保序性) 设 lim f ( x) A, lim g( x) B.
x x0
x x0
若 0,x U 0( x0 ,),有f ( x) g( x),则A B.
定理1.4.2 若 lim f ( x) A,且A 0(或A 0), x x0
则 0,当x U 0( x0 ,)时, f ( x) 0(或f ( x) 0).
数列极限的性质
1.有界性 定理“收敛的数列必定有界”
注意：有界性是数列收敛的必要条件. 如：{(1)n1}发散. 推论：无界数列必定发散.
2.唯一性 定理“每个收敛的数列只有一个极限”
3.保号性定理
若 lim n
xn
A, 且A
0(或A
0), 则正整数N
0,
当n N时,都有xn 0(或xn 0).
2)给出了函数f (x)在x0附近的近似表达式
f (x) A,误差为(x).
2. 无穷大 定义：“若lim f (x) (或 )，
x
则称f(x)在这种趋向下为无穷大”
注意 无穷大是变量,不能与很大的数混淆;
3. 无穷小与无穷大的关系
定理 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.
练习：P20 1，2
作业：P20 3，4
1、定义：自变量各种趋向下函数极限的定义； 2、性质：唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质、
左右极限、无穷小的性质:
3、计算：用定义、极限运算法则（1.5）、极限存在准则（1.6）
两个重要极限（1.6）、等价无穷小替换、左右极限、 罗比达法则；常用方法：（例1.5.1~1.5.9）。。。

.
A
.
. . . . . . . . .... .... . .... . . . . . . .. .
n
.
o
§2.1 数列的极限
xn lim zn A, 定理5（夹逼性）设 xn yn zn (n 1,2,) ，且 nlim n yn A. 则nlim
思考题：
作业 P23: 7, 8(1), 9,10,12
lim f ( x) A 0, 0, 当 x x0 0 时, 有 f ( x) A .
f ( x) A lim f ( x) lim f ( x) A 定理1 xlim x x
定理2
x x0
lim f ( x) A lim f ( x) lim f ( x) A
un A
§2.2 函数的极限
定义1 设 f ( x)在 (a,) 内有定义,若存在常数 A ,使得对于 N 任意的正数 , 存在正数 ,N 当时 x ,恒有
f ( x) A
则称 f ( x) 在过程 x 中存在极限 A ,记为
x
lim f ( x) A
定义2 设 f ( x)在 x0 的某去心邻域内有定义,若存在常数 A , 使得 0 , 0 ,当时 0 x x0 ,恒有
f ( x) A
则称 f ( x)在过程中 x x0 存在极限 A ,记为
xx0
lim f ( x) A 或 f ( x) A ( x x0 ) .
x x0 x x0
总结与练习
本讲主要内容：
子数列的概念及其收敛性 函数极限的定义（6种情形） 各种极限之间的关系

lim 1 x2 x2 2x

1
1
limx2lim2x 4
x2
x2
5、通分法 两 个 分 式 相 减 ，， 可若 考是 虑0通 式 分 。 化
0
例
求
极lx i限 1m 12x2
1 。 1x
答案 1 2
练习 求极xl i限 m 111x13x3。
(1 ) lim[ f ( x ) g ( x )] A B ;
( 2 ) lim[ f ( x ) g ( x )] A B ;
( 3 ) lim f ( x ) A , 其中 B 0 . g(x) B
推论1 如果 limf(x)存在 ,而c为常,则 数 limc[f(x)]climf(x).
0

lx i m b am nxxm n a bm n 1 1xxn m 11 a b00

a b
n m


nm nm nm
消极大公因子法对分子、分母含指数形式也适用。
例 求 极l限 im (2)n 3n 。计算过程 n(2)n1 3n1
常数因子可以提到极限记号外面.
推论2 如l果 im fi(x)存,而 在 ai为常 (i1 数 ,2,,n)则 ,
lim a1f1 [(x)a2f2(x)anfn(x)] lim a1f1(x)lim a2f2(x)lim anfn(x)
推论3 如果 limfi(x)存在 (i1,2,,n),则 l i mf1[(x)f2(x) fn(x)]
§2.4 极限的性质与四则运算法则
一、性质
性质1(唯一性) 若极限lim f(x)存在，则极限唯一。 注 此定理对数列也成立。