2020年山东省聊城中考数学试题(教师版含解析)

2020年山东省聊城市中考数学试卷一、选择题（本题共12个小题，每小题3分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1. 在实数−1，−√2，0，14中，最小的实数是( ) A.14 B.−1 C.−√2D.02. 如图所示的几何体的俯视图是( )A.B.C.D.3. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠C =65∘，点D 是BC 边上任意一点，过点D 作DF // AB 交AC 于点E ，则∠FEC 的度数是( )A.130∘B.120∘C.150∘D.145∘4. 下列计算正确的是( ) A.a 6÷a −2=a −3B.a 2⋅a 3=a 6C.(2a +b)2=4a 2+b 2D.(−2ab 2)3=−8a 3b 65. 为了增强学生预防新冠肺炎的安全意识，某校开展疫情防控知识竞赛．来自不同年级的30名参赛同学的得分情况如下表所示，这些成绩的中位数和众数分别是( )A.94分，96分B.92分，96分C.96分，100分D.96分，96分6. 计算√45÷3√3×√35的结果正确的是( )A.53 B.1 C.9 D.57. 如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin ∠ACB 的值为( )A.√175B.3√55C.45D.358. 用配方法解一元二次方程2x 2−3x −1=0，配方正确的是( ) A.(x −34)2=12 B.(x −34)2=1716C.(x −32)2=114D.(x −32)2=1349. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB ，垂足为点M ，连接OC ，DB ．如果OC // DB ，OC =2√3，那么图中阴影部分的面积是( )A.2πB.πC.4πD.3π10. 如图，有一块半径为1m ，圆心角为90∘的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（ ）A.34m B.14mC.√32mD.√154m11. 人行道用同样大小的灰、白两种不同颜色的小正方形地砖铺设而成，如图中的每一个小正方形表示一块地砖．如果按图①②③⋯的次序铺设地砖，把第n个图形用图ⓝ表示，那么图㊿中的白色小正方形地砖的块数是()A.200B.150C.505D.35512. 如图，在Rt△ABC中，AB=2，∠C=30∘，将Rt△ABC绕点A旋转得到Rt△AB′C′，使点B的对应点B′落在AC上，在B′C′上取点D，使B′D=2，那么点D到BC的距离等于()A.√33+1 B.2(√33+1) C.√3+1 D.√3−1二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分．只要求填写最后结果）因式分解：x(x−2)−x+2=________．如图，在⊙O中，四边形OABC为菱形，点D在AmĈ上，则∠ADC的度数是________．计算：(1+a1−a )÷1a2−a=________．某校开展读书日活动，小亮和小莹分别从校图书馆的“科技”、“文学”、“艺术”三类书籍中随机地抽取一本，抽到同一类书籍的概率是________．如图，在直角坐标系中，点A(1, 1)，B(3, 3)是第一象限角平分线上的两点，点C的纵坐标为1，且CA=CB，在y轴上取一点D，连接AC，BC，AD，BD，使得四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值为________．三、解答题（本题共8个小题，共69分．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤）解不等式组{12x+1<7−32x,3x−23≥x3+x−44,并写出它的所有整数解．为了提高学生的综合素养，某校开设了五门手工活动课，按照类别分为：A“剪纸”，B“沙画”，C“葫芦雕刻”，D“泥塑”，E“插花”．为了了解学生对每种活动课的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．根据以上信息，回答下列问题：(1)本次调查的样本容量为________；统计图中的a=________，b=________；(2)通过计算补全条形统计图；(3)该校共有2500名学生，请你估计全校喜爱“葫芦雕刻”的学生人数．今年植树节期间，某景观园林公司购进一批成捆的A，B两种树苗，每捆A种树苗比每捆B种树苗多10棵，每捆A种树苗和每捆B种树苗的价格分别是630元和600元，而每棵A种树苗和每棵B种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的0.9倍和1.2倍．(1)求这一批树苗平均每棵的价格是多少元？(2)如果购进的这批树苗共5500棵，A 种树苗至多购进3500棵，为了使购进的这批树苗的费用最低，应购进A 种树苗和B 种树苗各多少棵？并求出最低费用．如图，在▱ABCD 中，E 为BC 的中点，连接AE 并延长交DC 的延长线于点F ，连接BF ，AC ，若AD =AF ，求证：四边形ABFC 是矩形．如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼AB 的高度进行测量，先测得居民楼AB 与CD 之间的距离AC 为35m ，后站在M 点处测得居民楼CD 的顶端D 的仰角为45∘，居民楼AB 的顶端B 的仰角为55∘，已知居民楼CD 的高度为16.6m ，小莹的观测点N 距地面1.6m ．求居民楼AB 的高度（精确到1m ）．（参考数据：sin 55∘≈0.82，cos 55∘≈0.57，tan 55∘≈1.43）．如图，已知反比例函数y=kx 的图象与直线y =ax +b 相交于点A(−2, 3)，B(1, m)．(1)求出直线y =ax +b 的表达式；(2)在x 轴上有一点P 使得△PAB 的面积为18，求出点P 的坐标．如图，在△ABC 中，AB =BC ，以△ABC 的边AB 为直径作⊙O ，交AC 于点D ，过点D 作DE ⊥BC ，垂足为点E ．(1)试证明DE 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径为5，AC =6√10，求此时DE 的长．如图，二次函数y =ax 2+bx +4的图象与x 轴交于点A(−1, 0)，B(4, 0)，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，其对称轴与线段BC 交于点E ，垂直于x 轴的动直线l 分别交抛物线和线段BC 于点P 和点F ，动直线l 在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x 轴正方向移动到B 点．(1)求出二次函数y =ax 2+bx +4和BC 所在直线的表达式；(2)在动直线l 移动的过程中，试求使四边形DEFP 为平行四边形的点P 的坐标；(3)连接CP ，CD ，在动直线l 移动的过程中，抛物线上是否存在点P ，使得以点P ，C ，F 为顶点的三角形与△DCE 相似？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2020年山东省聊城市中考数学试卷一、选择题（本题共12个小题，每小题3分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.【答案】此题暂无答案【考点】实数根盖比较【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】简单组水都的三视图【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】等体三火暗服判定与性质平行体的省质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】同底射空的除法完全明方养式同底水水的乘法幂的乘表与型的乘方【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】众数中位数【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】二都还定出乘除混合运算二次根式根性质与有简【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】锐角三较函数严定义勾体定展【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】解因末二什方似-配方法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】圆明角研理扇形体积硫计算垂都着理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】圆于凸计算勾体定展【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】此题暂无答案【考点】规律型：三形的要化类【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】此题暂无答案【考点】特殊角根三角函股值旋因末性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分．只要求填写最后结果）【答案】此题暂无答案【考点】因式分解根提公因股法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】圆明角研理菱都资性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】分式因混合似算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】列表法三树状图州【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】勾体定展轴明称月去最键路线问题坐标正测形性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题（本题共8个小题，共69分．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤）【答案】此题暂无答案【考点】一元三次实等另组每整数解解一元表次镜等式组【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】条都连计图扇表统病图用样射子计总体【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】一次水根的应用分式较程的腾用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】全根三烛形做给质与判定矩根的惯定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】解直角明角念的应用备仰角俯城问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】反比于函数偏压史函数的综合待定正数键求一程植数解析式三角表的病积待定明数护确游比例函数解析式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】等腰使方形的刻质：总线合一相验极角家的锰质与判定切验极判定勾体定展【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】相验极角家的锰质与判定待定正数键求一程植数解析式二次使如综合题待定水体硫故二次函数解析式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。

2020年山东省聊城市中考数学试卷一、选择题1．在实数﹣1，﹣，0，中，最小的实数是（）A．﹣1B．C．0D．﹣2．如图所示的几何体的俯视图是（）A．B．C．D．3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝65°，点D是BC边上任意一点，过点D作DF ∥AB交AC于点E，则∠FEC的度数是（）A．120°B．130°C．145°D．150°4．下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．a6÷a﹣2＝a﹣3C．（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6D．（2a+b）2＝4a2+b25．为了增强学生预防新冠肺炎的安全意识，某校开展疫情防控知识竞赛．来自不同年级的30名参赛同学的得分情况如下表所示，这些成绩的中位数和众数分别是（）成绩/分84889296100人数/人249105A．92分，96分B．94分，96分C．96分，96分D．96分，100分6．计算÷3×的结果正确的是（）A．1B．C．5D．97．如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为（）A．B．C．D．8．用配方法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，配方正确的是（）A．（x﹣）2＝B．（x﹣）2＝C．（x﹣）2＝D．（x﹣）2＝9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M，连接OC，DB．如果OC∥DB，OC＝2，那么图中阴影部分的面积是（）A．πB．2πC．3πD．4π10．如图，有一块半径为1m，圆心角为90°的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（）A．m B．m C．m D．m11．人行道用同样大小的灰、白两种不同颜色的小正方形地砖铺设而成，如图中的每一个小正方形表示一块地砖．如果按图①②③…的次序铺设地砖，把第n个图形用图ⓝ表示，那么图㊿中的白色小正方形地砖的块数是（）A．150B．200C．355D．50512．如图，在Rt△ABC中，AB＝2，∠C＝30°，将Rt△ABC绕点A旋转得到Rt△AB′C′，使点B的对应点B′落在AC上，在B′C′上取点D，使B′D＝2，那么点D到BC的距离等于（）A．2（+1）B．+1C．﹣1D．+1二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分．只要求填写最后结果）13．因式分解：x（x﹣2）﹣x+2＝．14．如图，在⊙O中，四边形OABC为菱形，点D在上，则∠ADC的度数是．15．计算：（1+）÷＝．16．某校开展读书日活动，小亮和小莹分别从校图书馆的“科技”、“文学”、“艺术”三类书籍中随机地抽取一本，抽到同一类书籍的概率是．17．如图，在直角坐标系中，点A（1，1），B（3，3）是第一象限角平分线上的两点，点C的纵坐标为1，且CA＝CB，在y轴上取一点D，连接AC，BC，AD，BD，使得四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值为．三、解答题（本题共8个小题，共69分．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤）18．解不等式组并写出它的所有整数解．19．为了提高学生的综合素养，某校开设了五门手工活动课，按照类别分为：A“剪纸”、B“沙画”、C“葫芦雕刻”、D“泥塑”、E“插花”．为了了解学生对每种活动课的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．根据以上信息，回答下列问题：（1）本次调查的样本容量为；统计图中的a＝，b＝；（2）通过计算补全条形统计图；（3）该校共有2500名学生，请你估计全校喜爱“葫芦雕刻”的学生人数．20．今年植树节期间，某景观园林公司购进一批成捆的A，B两种树苗，每捆A种树苗比每捆B种树苗多10棵，每捆A种树苗和每捆B种树苗的价格分别是630元和600元，而每棵A种树苗和每棵B种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的0.9倍和1.2倍．（1）求这一批树苗平均每棵的价格是多少元？（2）如果购进的这批树苗共5500棵，A种树苗至多购进3500棵，为了使购进的这批树苗的费用最低，应购进A种树苗和B种树苗各多少棵？并求出最低费用．21．如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，若AD＝AF，求证：四边形ABFC是矩形．22．如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼AB的高度进行测量，先测得居民楼AB与CD之间的距离AC为35m，后站在M点处测得居民楼CD 的顶端D的仰角为45°，居民楼AB的顶端B的仰角为55°，已知居民楼CD的高度为16.6m，小莹的观测点N距地面1.6m．求居民楼AB的高度（精确到lm）．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈l.43）．23．如图，已知反比例函数y＝的图象与直线y＝ax+b相交于点A（﹣2，3），B（1，m）．（1）求出直线y＝ax+b的表达式；（2）在x轴上有一点P使得△PAB的面积为18，求出点P的坐标．24．如图，在△ABC中，AB＝BC，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．（1）试证明DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，AC＝6，求此时DE的长．25．如图，二次函数y═ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，垂直于x轴的动直线l 分别交抛物线和线段BC于点P和点F，动直线l在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x轴正方向移动到B点．（1）求出二次函数y＝ax2+bx+4和BC所在直线的表达式；（2）在动直线l移动的过程中，试求使四边形DEFP为平行四边形的点P的坐标；（3）连接CP，CD，在动直线l移动的过程中，抛物线上是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△DCE相似？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（本题共12个小题，每小题3分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．在实数﹣1，﹣，0，中，最小的实数是（）A．﹣1B．C．0D．﹣【分析】直接利用实数比较大小的方法得出答案．解：∵|﹣|＞|﹣1|，∴﹣1＞﹣，∴实数﹣1，﹣，0，中，﹣＜﹣1＜0＜．故4个实数中最小的实数是：﹣．故选：D．2．如图所示的几何体的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．解：从上面看，是一个矩形，矩形的靠右边有一条纵向的实线，故选：C．3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝65°，点D是BC边上任意一点，过点D作DF ∥AB交AC于点E，则∠FEC的度数是（）A．120°B．130°C．145°D．150°【分析】由等腰三角形的性质得出∠B＝∠C＝65°，由平行线的性质得出∠CDE＝∠B＝65°，再由三角形的外角性质即可得出答案．解：∵AB＝AC，∠C＝65°，∴∠B＝∠C＝65°，∵DF∥AB，∴∠CDE＝∠B＝65°，∴∠FEC＝∠CDE+∠C＝65°+65°＝130°；故选：B．4．下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．a6÷a﹣2＝a﹣3C．（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6D．（2a+b）2＝4a2+b2【分析】根据同底数幂的乘法和除法法则，积的乘方法则以及完全平方公式逐一计算判断即可．解：A、a2•a3＝a5，原计算错误，故此选项不合题意；B、a6÷a﹣2＝a8，原计算错误，故此选项不合题意；C、（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6，原计算正确，故此选项合题意；D、（2a+b）2＝4a2+4ab+b2，原计算错误，故此选项不合题意．故选：C．5．为了增强学生预防新冠肺炎的安全意识，某校开展疫情防控知识竞赛．来自不同年级的30名参赛同学的得分情况如下表所示，这些成绩的中位数和众数分别是（）成绩/分84889296100人数/人249105A．92分，96分B．94分，96分C．96分，96分D．96分，100分【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．解：把这些数据从小到大排列，最中间的两个数是第15、16个数的平均数，所以全班30名同学的成绩的中位数是：＝94；96出现了10次，出现的次数最多，则众数是96，所以这些成绩的中位数和众数分别是94分，96分．故选：B．6．计算÷3×的结果正确的是（）A．1B．C．5D．9【分析】根据二次根式的性质化简二次根式后，再根据二次根式的乘除法法则计算即可．解：原式＝＝＝＝＝1．故选：A．7．如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为（）A．B．C．D．【分析】如图，过点A作AH⊥BC于H．利用勾股定理求出AC即可解决问题．解：如图，过点A作AH⊥BC于H．在Rt△ACH中，∵AH＝4，CH＝3，∴AC＝＝＝5，∴sin∠ACH＝＝，故选：D．8．用配方法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，配方正确的是（）A．（x﹣）2＝B．（x﹣）2＝C．（x﹣）2＝D．（x﹣）2＝【分析】化二次项系数为1后，把常数项﹣移项，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣的一半的平方．解：由原方程，得x2﹣x＝，x2﹣x+＝+，（x﹣）2＝，故选：A．9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M，连接OC，DB．如果OC∥DB，OC＝2，那么图中阴影部分的面积是（）A．πB．2πC．3πD．4π【分析】连接OD，BC，根据垂径定理和等腰三角形的性质得到DM＝CM，∠COB＝∠BOD，推出△BOD是等边三角形，得到∠BOC＝60°，根据扇形的面积公式即可得到结论．解：连接OD，BC，∵CD⊥AB，OC＝OD，∴DM＝CM，∠COB＝∠BOD，∵OC∥BD，∴∠COB＝∠OBD，∴∠BOD＝∠OBD，∴OD＝DB，∴△BOD是等边三角形，∴∠BOD＝60°，∴∠BOC＝60°，∵DM＝CM，∴S△OBC＝S△OBD，∵OC∥DB，∴S△OBD＝S△CBD，∴S△OBC＝S△DBC，∴图中阴影部分的面积＝＝2π，故选：B．10．如图，有一块半径为1m，圆心角为90°的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（）A．m B．m C．m D．m【分析】根据已知条件求得圆锥的底面半径，然后利用勾股定理求得其高即可．解：设底面半径为rm，则2πr＝，解得：r＝，所以其高为：＝m，故选：C．11．人行道用同样大小的灰、白两种不同颜色的小正方形地砖铺设而成，如图中的每一个小正方形表示一块地砖．如果按图①②③…的次序铺设地砖，把第n个图形用图ⓝ表示，那么图㊿中的白色小正方形地砖的块数是（）A．150B．200C．355D．505【分析】由图形可知图ⓝ的地砖有（7n+5）块，依此代入数据计算可求图㊿中的白色小正方形地砖的块数．解：由图形可知图ⓝ的地砖有（7n+5）块，当n＝50时，7n+5＝350+5＝355．故选：C．12．如图，在Rt△ABC中，AB＝2，∠C＝30°，将Rt△ABC绕点A旋转得到Rt△AB′C′，使点B的对应点B′落在AC上，在B′C′上取点D，使B′D＝2，那么点D到BC的距离等于（）A．2（+1）B．+1C．﹣1D．+1【分析】根据直角三角形的性质得到BC＝2，AC＝4，根据旋转的性质得到AB′＝AB＝2，B′C′＝BC＝2，求得B′C＝2，延长C′B′交BC于F，解直角三角形即可得到结论．解：∵在Rt△ABC中，AB＝2，∠C＝30°，∴BC＝2，AC＝4，∵将Rt△ABC绕点A旋转得到Rt△AB′C′，使点B的对应点B′落在AC上，∴AB′＝AB＝2，B′C′＝BC＝2，∴B′C＝2，延长C′B′交BC于F，∴∠CB′F＝∠AB′C′＝90°，∵∠C＝30°，∴∠CFB′＝60°，B′F＝B′C＝，∵B′D＝2，∴DF＝2+，过D作DE⊥BC于E，∴DE＝DF＝×（2+）＝+1，故选：D．二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分．只要求填写最后结果）13．因式分解：x（x﹣2）﹣x+2＝（x﹣2）（x﹣1）．【分析】利用提取公因式法因式分解即可．解：原式＝x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝（x﹣2）（x﹣1）．故答案为：（x﹣2）（x﹣1）．14．如图，在⊙O中，四边形OABC为菱形，点D在上，则∠ADC的度数是60°．【分析】根据菱形的性质得出∠B＝∠AOC，根据圆内接四边形的性质得出∠B+∠D＝180°，即可得出∠D+∠AOC＝180°，根据圆周角定理得出3∠D＝180°，即可求得∠ADC＝60°．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B+∠D＝180°，∵四边形OABC为菱形，∴∠B＝∠AOC，∴∠D+∠AOC＝180°，∵∠AOC＝2∠D，∴3∠D＝180°，∴∠ADC＝60°，故答案为60°．15．计算：（1+）÷＝﹣a．【分析】直接将括号里面通分运算进而结合分式的混合运算法则计算得出答案．解：原式＝•a（a﹣1）＝•a（a﹣1）＝﹣a．故答案为：﹣a．16．某校开展读书日活动，小亮和小莹分别从校图书馆的“科技”、“文学”、“艺术”三类书籍中随机地抽取一本，抽到同一类书籍的概率是．【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出他们抽到同一类书籍的结果数，然后根据概率公式求解．解：画树状图如下：由树状图知，共有9种等可能结果，其中抽到同一类书籍的有3种结果，所以抽到同一类书籍的概率为＝，故答案为：．17．如图，在直角坐标系中，点A（1，1），B（3，3）是第一象限角平分线上的两点，点C的纵坐标为1，且CA＝CB，在y轴上取一点D，连接AC，BC，AD，BD，使得四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值为4+2．【分析】根据平行线的性质得到∠BAC＝45°，得到∠C＝90°，求得AC＝BC＝2，作B关于y轴的对称点E，连接AE交y轴于D，则此时，四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值＝AC+BC+AE，过E作EF⊥AC交CA的延长线于F，根据勾股定理即可得到结论．解：∵点A（1，1），点C的纵坐标为1，∴AC∥x轴，∴∠BAC＝45°，∵CA＝CB，∴∠ABC＝∠BAC＝45°，∴∠C＝90°，∵B（3，3）∴C（3，1），∴AC＝BC＝2，作B关于y轴的对称点E，连接AE交y轴于D，则此时，四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值＝AC+BC+AE，过E作EF⊥AC交CA的延长线于F，则EF＝BC＝2，AF＝6﹣2＝4，∴AE＝＝＝2，∴最小周长的值＝AC+BC+AE＝4+2，故答案为：4+2．三、解答题（本题共8个小题，共69分．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤）18．解不等式组并写出它的所有整数解．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可得．解：，解不等式①，x＜3，解不等式②，得x≥﹣，∴原不等式组的解集为﹣≤x＜3，它的所有整数解为0，1，2．19．为了提高学生的综合素养，某校开设了五门手工活动课，按照类别分为：A“剪纸”、B“沙画”、C“葫芦雕刻”、D“泥塑”、E“插花”．为了了解学生对每种活动课的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．根据以上信息，回答下列问题：（1）本次调查的样本容量为120；统计图中的a＝12，b＝36；（2）通过计算补全条形统计图；（3）该校共有2500名学生，请你估计全校喜爱“葫芦雕刻”的学生人数．【分析】（1）从两个统计图可知a组的有18人，占调查人数的15%，可求出调查人数，即样本容量；进而求出a、b的值；（2）求出E组的频数即可补全条形统计图；（3）样本估计总体，样本中喜欢“葫芦雕刻”的占，即，因此估计总体2500人的是喜欢“葫芦雕刻”的人数．解：（1）18÷15%＝120（人），因此样本容量为120；a＝120×10%＝12（人），b＝120×30%＝36（人），故答案为：120，12，36；（2）E组频数：120﹣18﹣12﹣30﹣36＝24（人），补全条形统计图如图所示：（3）2500×＝625（人），答：该校2500名学生中喜爱“葫芦雕刻”的有625人．20．今年植树节期间，某景观园林公司购进一批成捆的A，B两种树苗，每捆A种树苗比每捆B种树苗多10棵，每捆A种树苗和每捆B种树苗的价格分别是630元和600元，而每棵A种树苗和每棵B种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的0.9倍和1.2倍．（1）求这一批树苗平均每棵的价格是多少元？（2）如果购进的这批树苗共5500棵，A种树苗至多购进3500棵，为了使购进的这批树苗的费用最低，应购进A种树苗和B种树苗各多少棵？并求出最低费用．【分析】（1）设这一批树苗平均每棵的价格是x元，根据题意列方程解答即可；（2）分别求出A种树苗每棵的价格与B种树苗每棵的价格，设购进A种树苗t棵，这批树苗的费用为w元，根据题意求出w与t的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可．解：（1）设这一批树苗平均每棵的价格是x元，根据题意列，得：，解这个方程，得x＝20，经检验，x＝20是原分式方程的解，并符合题意，答：这一批树苗平均每棵的价格是20元；（2）由（1）可知A种树苗每棵的价格为：20×0.9＝18（元），B种树苗每棵的价格为：20×1.2＝24（元），设购进A种树苗t棵，这批树苗的费用为w元，则：w＝18t+24（5500﹣t）＝﹣6t+132000，∵w是t的一次函数，k＝﹣6＜0，∴w随t的增大而减小，又∵t≤3500，∴当t＝3500棵时，w最小，此时，B种树苗每棵有：5500﹣3500＝2000（棵），w＝﹣6×3500+132000＝111000，答：购进A种树苗3500棵，BA种树苗2000棵时，能使得购进这批树苗的费用最低，最低费用为111000元．21．如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，若AD＝AF，求证：四边形ABFC是矩形．【分析】根据平行四边形的性质得到两角一边对应相等，利用AAS判定△ABE≌△FCE，从而得到AB＝CF；由已知可得四边形ABFC是平行四边形，BC＝AF，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得到四边形ABFC是矩形．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAE＝∠CFE，∠ABE＝∠FCE，∵E为BC的中点，∴EB＝EC，∴△ABE≌△FCE（AAS），∴AB＝CF．∵AB∥CF，∴四边形ABFC是平行四边形，∵BC＝AF，∴四边形ABFC是矩形．22．如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼AB的高度进行测量，先测得居民楼AB与CD之间的距离AC为35m，后站在M点处测得居民楼CD 的顶端D的仰角为45°，居民楼AB的顶端B的仰角为55°，已知居民楼CD的高度为16.6m，小莹的观测点N距地面1.6m．求居民楼AB的高度（精确到lm）．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈l.43）．【分析】过点N作EF∥AC交AB于点E，交CD于点F，可得AE＝MN＝CF＝1.6，EF＝AC＝35，再根据锐角三角函数可得BE的长，进而可得AB的高度．解：过点N作EF∥AC交AB于点E，交CD于点F，则AE＝MN＝CF＝1.6，EF＝AC＝35，∠BEN＝∠DFN＝90°，EN＝AM，NF＝MC，则DF＝DC﹣CF＝16.6﹣1.6＝15，在Rt△DFN中，∵∠DNF＝45°，∴NF＝DF＝15，∴EN＝EF﹣NF＝35﹣15＝20，在Rt△BEN中，∵tan∠BNE＝，∴BE＝EN•tan∠BNE＝20×tan55°≈20×1.43≈28.6，∴AB＝BE+AE＝28.6+1.6≈30．答：居民楼AB的高度约为30米．23．如图，已知反比例函数y＝的图象与直线y＝ax+b相交于点A（﹣2，3），B（1，m）．（1）求出直线y＝ax+b的表达式；（2）在x轴上有一点P使得△PAB的面积为18，求出点P的坐标．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）S△PAB＝PE•CA+PE•BD＝PE PE＝PE＝18，即可求解．解：（1）将点A的坐标代入反比例函数表达式并解得：k＝﹣2×3＝﹣6，故反比例函数表达式为：y＝﹣，将点B的坐标代入上式并解得：m＝﹣6，故点B（1，﹣6），将点A、B的坐标代入一次函数表达式得，解得，故直线的表达式为：y＝﹣3x﹣3；（2）设直线与x轴的交点为E，当y＝0时，x＝﹣1，故点E（﹣1，0），分别过点A、B作x轴的垂线AC、BD，垂足分别为C、D，则S△PAB＝PE•CA+PE•BD＝PE PE＝PE＝18，解得：PE＝4，故点P的坐标为（3，0）或（﹣5，0）．24．如图，在△ABC中，AB＝BC，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．（1）试证明DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，AC＝6，求此时DE的长．【分析】（1）连接OD、BD，求出BD⊥AC，瑞成AD＝DC，根据三角形的中位线得出OD∥BC，推出OD⊥DE，根据切线的判定推出即可；（2）根据题意求得AD，根据勾股定理求得BD，然后证得△CDE∽△ABD，根据相似三角形的性质即可求得DE．【解答】（1）证明：连接OD、BD，∵AB是⊙O直径，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AC，∵AB＝BC，∴D为AC中点，∵OA＝OB，∴OD∥BC，∵DE⊥BC，∴DE⊥OD，∵OD为半径，∴DE是⊙O的切线；（2）由（1）知BD是AC的中线，∴AD＝CD＝＝3，∵O的半径为5，∴AB＝6，∴BD＝＝＝，∵AB＝AC，∴∠A＝∠C，∵∠ADB＝∠CED＝90°，∴△CDE∽△ABD，∴，即＝，∴DE＝3．25．如图，二次函数y═ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，垂直于x轴的动直线l 分别交抛物线和线段BC于点P和点F，动直线l在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x轴正方向移动到B点．（1）求出二次函数y＝ax2+bx+4和BC所在直线的表达式；（2）在动直线l移动的过程中，试求使四边形DEFP为平行四边形的点P的坐标；（3）连接CP，CD，在动直线l移动的过程中，抛物线上是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△DCE相似？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）由题意得出方程组，求出二次函数的解析式为y＝﹣x2+3x+4，则C（0，4），由待定系数法求出BC所在直线的表达式即可（2）证DE∥PF，只要DE＝PF，四边形DEFP即为平行四边形，由二次函数解析式求出点D的坐标，由直线BC的解析式求出点E的坐标，则DE＝，设点P的横坐标为t，则P的坐标为：（t，﹣t2+3t+4），F的坐标为：（t，﹣t+4），由DE＝PF得出方程，解方程进而得出答案；（3）由平行线的性质得出∠CED＝∠CFP，当∠PCF＝∠CDE时，△PCF∽△CDE，则＝，得出方程，解方程即可．解：（1）将点A（﹣1，0），B（4，0），代入y═ax2+bx+4，得：，解得：，∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+3x+4，当x＝0时，y＝4，∴C（0，4），设BC所在直线的表达式为：y＝mx+n，将C（0，4）、B（4，0）代入y＝mx+n，得：，解得：，∴BC所在直线的表达式为：y＝﹣x+4；（2）∵DE⊥x轴，PF⊥x轴，∴DE∥PF，只要DE＝PF，四边形DEFP即为平行四边形，∵y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣）2+，∴点D的坐标为：（，），将x＝代入y＝﹣x+4，即y＝﹣+4＝，∴点E的坐标为：（，），∴DE＝﹣＝，设点P的横坐标为t，则P的坐标为：（t，﹣t2+3t+4），F的坐标为：（t，﹣t+4），∴PF＝﹣t2+3t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2+4t，由DE＝PF得：﹣t2+4t＝，解得：t1＝（不合题意舍去），t2＝，当t＝时，﹣t2+3t+4＝﹣（）2+3×+4＝，∴点P的坐标为（，）；（3）存在，理由如下：如图2所示：由（2）得：PF∥DE，∴∠CED＝∠CFP，又∵∠PCF与∠DCE有共同的顶点C，且∠PCF在∠DCE的内部，∴∠PCF≠∠DCE，∴只有∠PCF＝∠CDE时，△PCF∽△CDE，∴＝，∵C（0，4）、E（，），∴CE＝＝，由（2）得：DE＝，PF＝﹣t2+4t，F的坐标为：（t，﹣t+4），∴CF＝＝t，∴＝，∵t≠0，∴（﹣t+4）＝3，解得：t＝，当t＝时，﹣t2+3t+4＝﹣（）2+3×+4＝，∴点P的坐标为：（，）．。

2020年山东省聊城市中考数学试卷一、选择题（本题共12个小题，每小题3分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（3分）在实数﹣1，−√2，0，14中，最小的实数是（ ）A ．﹣1B ．14C ．0D ．−√22．（3分）如图所示的几何体的俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．3．（3分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠C ＝65°，点D 是BC 边上任意一点，过点D 作DF ∥AB 交AC 于点E ，则∠FEC 的度数是（ ）A ．120°B ．130°C ．145°D ．150°4．（3分）下列计算正确的是（ ） A ．a 2•a 3＝a 6B ．a 6÷a ﹣2＝a ﹣3C ．（﹣2ab 2）3＝﹣8a 3b 6D ．（2a +b ）2＝4a 2+b 25．（3分）为了增强学生预防新冠肺炎的安全意识，某校开展疫情防控知识竞赛．来自不同年级的30名参赛同学的得分情况如下表所示，这些成绩的中位数和众数分别是（ ）成绩/分 84 88 92 96 100 人数/人 249105A ．92分，96分B ．94分，96分C ．96分，96分D ．96分，100分6．（3分）计算√45÷3√3×√35的结果正确的是（ ） A ．1B ．53C ．5D ．97．（3分）如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin ∠ACB 的值为（ ）A ．3√55B ．√175C ．35D ．458．（3分）用配方法解一元二次方程2x 2﹣3x ﹣1＝0，配方正确的是（ ） A ．（x −34）2=1716 B ．（x −34）2=12C ．（x −32）2=134D ．（x −32）2=1149．（3分）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为点M ，连接OC ，DB ．如果OC ∥DB ，OC ＝2√3，那么图中阴影部分的面积是（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π10．（3分）如图，有一块半径为1m ，圆心角为90°的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（ ）A ．14mB ．34mC ．√154m D ．√32m 11．（3分）人行道用同样大小的灰、白两种不同颜色的小正方形地砖铺设而成，如图中的每一个小正方形表示一块地砖．如果按图①②③…的次序铺设地砖，把第n 个图形用图ⓝ表示，那么图㊿中的白色小正方形地砖的块数是（ ）A ．150B ．200C ．355D ．50512．（3分）如图，在Rt △ABC 中，AB ＝2，∠C ＝30°，将Rt △ABC 绕点A 旋转得到Rt △AB ′C ′，使点B 的对应点B ′落在AC 上，在B ′C ′上取点D ，使B ′D ＝2，那么点D 到BC 的距离等于（ ）A ．2（√33+1）B ．√33+1C ．√3−1D ．√3+1二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分．只要求填写最后结果） 13．（3分）因式分解：x （x ﹣2）﹣x +2＝ ．14．（3分）如图，在⊙O 中，四边形OABC 为菱形，点D 在AmC ̂上，则∠ADC 的度数是 ．15．（3分）计算：（1+a1−a ）÷1a 2−a= ． 16．（3分）某校开展读书日活动，小亮和小莹分别从校图书馆的“科技”、“文学”、“艺术”三类书籍中随机地抽取一本，抽到同一类书籍的概率是 ．17．（3分）如图，在直角坐标系中，点A （1，1），B （3，3）是第一象限角平分线上的两点，点C 的纵坐标为1，且CA ＝CB ，在y 轴上取一点D ，连接AC ，BC ，AD ，BD ，使得四边形ACBD 的周长最小，这个最小周长的值为 ．三、解答题（本题共8个小题，共69分．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤）18．（7分）解不等式组{12x +1＜7−32x ，3x−23≥x 3+x−44，并写出它的所有整数解． 19．（8分）为了提高学生的综合素养，某校开设了五门手工活动课，按照类别分为：A “剪纸”、B “沙画”、C “葫芦雕刻”、D “泥塑”、E “插花”．为了了解学生对每种活动课的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．根据以上信息，回答下列问题：（1）本次调查的样本容量为 ；统计图中的a ＝ ，b ＝ ； （2）通过计算补全条形统计图；（3）该校共有2500名学生，请你估计全校喜爱“葫芦雕刻”的学生人数．20．（8分）今年植树节期间，某景观园林公司购进一批成捆的A ，B 两种树苗，每捆A 种树苗比每捆B 种树苗多10棵，每捆A 种树苗和每捆B 种树苗的价格分别是630元和600元，而每棵A 种树苗和每棵B 种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的0.9倍和1.2倍．（1）求这一批树苗平均每棵的价格是多少元？（2）如果购进的这批树苗共5500棵，A 种树苗至多购进3500棵，为了使购进的这批树苗的费用最低，应购进A 种树苗和B 种树苗各多少棵？并求出最低费用．21．（8分）如图，在▱ABCD 中，E 为BC 的中点，连接AE 并延长交DC 的延长线于点F ，连接BF ，AC ，若AD ＝AF ，求证：四边形ABFC 是矩形．22．（8分）如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼AB的高度进行测量，先测得居民楼AB与CD之间的距离AC为35m，后站在M点处测得居民楼CD的顶端D的仰角为45°，居民楼AB的顶端B的仰角为55°，已知居民楼CD的高度为16.6m，小莹的观测点N距地面1.6m．求居民楼AB的高度（精确到lm）．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈l.43）．23．（8分）如图，已知反比例函数y=kx的图象与直线y＝ax+b相交于点A（﹣2，3），B（1，m）．（1）求出直线y＝ax+b的表达式；（2）在x轴上有一点P使得△P AB的面积为18，求出点P的坐标．24．（10分）如图，在△ABC中，AB＝BC，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．（1）试证明DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，AC＝6√10，求此时DE的长．25．（12分）如图，二次函数y═ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F，动直线l在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x轴正方向移动到B点．（1）求出二次函数y＝ax2+bx+4和BC所在直线的表达式；（2）在动直线l移动的过程中，试求使四边形DEFP为平行四边形的点P的坐标；（3）连接CP，CD，在动直线l移动的过程中，抛物线上是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△DCE相似？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．2020年山东省聊城市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每小题3分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（3分）在实数﹣1，−√2，0，14中，最小的实数是（ ）A ．﹣1B ．14C ．0D ．−√2【解答】解：∵|−√2|＞|﹣1|， ∴﹣1＞−√2，∴实数﹣1，−√2，0，14中，−√2＜−1＜0＜14．故4个实数中最小的实数是：−√2． 故选：D ．2．（3分）如图所示的几何体的俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：从上面看，是一个矩形，矩形的靠右边有一条纵向的实线， 故选：C ．3．（3分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠C ＝65°，点D 是BC 边上任意一点，过点D 作DF ∥AB 交AC 于点E ，则∠FEC 的度数是（ ）A ．120°B ．130°C ．145°D ．150°【解答】解：∵AB ＝AC ，∠C ＝65°， ∴∠B ＝∠C ＝65°， ∵DF ∥AB ，∴∠CDE ＝∠B ＝65°，∴∠FEC ＝∠CDE +∠C ＝65°+65°＝130°； 故选：B ．4．（3分）下列计算正确的是（ ） A ．a 2•a 3＝a 6B ．a 6÷a ﹣2＝a ﹣3C ．（﹣2ab 2）3＝﹣8a 3b 6D ．（2a +b ）2＝4a 2+b 2【解答】解：A 、a 2•a 3＝a 5，原计算错误，故此选项不合题意； B 、a 6÷a ﹣2＝a 8，原计算错误，故此选项不合题意；C 、（﹣2ab 2）3＝﹣8a 3b 6，原计算正确，故此选项合题意；D 、（2a +b ）2＝4a 2+4ab +b 2，原计算错误，故此选项不合题意． 故选：C ．5．（3分）为了增强学生预防新冠肺炎的安全意识，某校开展疫情防控知识竞赛．来自不同年级的30名参赛同学的得分情况如下表所示，这些成绩的中位数和众数分别是（ ）成绩/分 84 88 92 96 100 人数/人 249105A ．92分，96分B ．94分，96分C ．96分，96分D ．96分，100分【解答】解：把这些数据从小到大排列，最中间的两个数是第15、16个数的平均数， 所以全班30名同学的成绩的中位数是：92+962=94；96出现了10次，出现的次数最多，则众数是96， 所以这些成绩的中位数和众数分别是94分，96分． 故选：B ．6．（3分）计算√45÷3√3×√35的结果正确的是（ ） A ．1B ．53C ．5D ．9【解答】解：原式=3√5÷3√3×√155 =3√5×√39×√155 =√5×3×1515=1515 ＝1．故选：A ．7．（3分）如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin ∠ACB 的值为（ ）A ．3√55B ．√175C ．35D ．45【解答】解：如图，过点A 作AH ⊥BC 于H ．在Rt △ACH 中，∵AH ＝4，CH ＝3， ∴AC =√AH 2+CH 2=√42+32=5， ∴sin ∠ACH =AH AC =45， 故选：D ．8．（3分）用配方法解一元二次方程2x 2﹣3x ﹣1＝0，配方正确的是（ ） A ．（x −34）2=1716 B ．（x −34）2=12C ．（x −32）2=134D ．（x −32）2=114【解答】解：由原方程，得 x 2−32x =12，x 2−32x +916=12+916， （x −34）2=1716， 故选：A ．9．（3分）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为点M ，连接OC ，DB ．如果OC ∥DB ，OC ＝2√3，那么图中阴影部分的面积是（ ）A．πB．2πC．3πD．4π【解答】解：连接OD，BC，∵CD⊥AB，OC＝OD，∴DM＝CM，∠COB＝∠BOD，∵OC∥BD，∴∠COB＝∠OBD，∴∠BOD＝∠OBD，∴OD＝DB，∴△BOD是等边三角形，∴∠BOD＝60°，∴∠BOC＝60°，∵DM＝CM，∴S△OBC＝S△OBD，∵OC∥DB，∴S△OBD＝S△CBD，∴S△OBC＝S△DBC，∴图中阴影部分的面积=60⋅π×(2√3)2360=2π，故选：B．10．（3分）如图，有一块半径为1m，圆心角为90°的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（）A ．14mB ．34mC ．√154m D ．√32m 【解答】解：设底面半径为rm ，则2πr =90π×1180， 解得：r =14，所以其高为：√12−(14)2=√154m ，故选：C ．11．（3分）人行道用同样大小的灰、白两种不同颜色的小正方形地砖铺设而成，如图中的每一个小正方形表示一块地砖．如果按图①②③…的次序铺设地砖，把第n 个图形用图ⓝ表示，那么图㊿中的白色小正方形地砖的块数是（ ）A ．150B ．200C ．355D ．505【解答】解：由图形可知图ⓝ的地砖有（7n +5）块， 当n ＝50时，7n +5＝350+5＝355． 故选：C ．12．（3分）如图，在Rt △ABC 中，AB ＝2，∠C ＝30°，将Rt △ABC 绕点A 旋转得到Rt △AB ′C ′，使点B 的对应点B ′落在AC 上，在B ′C ′上取点D ，使B ′D ＝2，那么点D 到BC 的距离等于（ ）A ．2（√33+1） B ．√33+1 C ．√3−1 D ．√3+1【解答】解：∵在Rt △ABC 中，AB ＝2，∠C ＝30°， ∴BC ＝2√3，AC ＝4，∵将Rt △ABC 绕点A 旋转得到Rt △AB ′C ′，使点B 的对应点B ′落在AC 上， ∴AB ′＝AB ＝2，B ′C ′＝BC ＝2√3， ∴B ′C ＝2，延长C ′B ′交BC 于F ， ∴∠CB ′F ＝∠AB ′C ′＝90°， ∵∠C ＝30°，∴∠CFB ′＝60°，B ′F =√33B ′C =2√33， ∵B ′D ＝2， ∴DF ＝2+2√33， 过D 作DE ⊥BC 于E ，∴DE =√32DF =√32×（2+2√33）=√3+1， 故选：D ．二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分．只要求填写最后结果） 13．（3分）因式分解：x （x ﹣2）﹣x +2＝ （x ﹣2）（x ﹣1） ． 【解答】解：原式＝x （x ﹣2）﹣（x ﹣2）＝（x ﹣2）（x ﹣1）． 故答案为：（x ﹣2）（x ﹣1）．14．（3分）如图，在⊙O 中，四边形OABC 为菱形，点D 在AmC ̂上，则∠ADC 的度数是 60° ．【解答】解：∵四边形ABCD 内接于⊙O ， ∴∠B +∠D ＝180°， ∵四边形OABC 为菱形， ∴∠B ＝∠AOC ， ∴∠D +∠AOC ＝180°， ∵∠AOC ＝2∠D ， ∴3∠D ＝180°， ∴∠ADC ＝60°， 故答案为60°． 15．（3分）计算：（1+a 1−a ）÷1a 2−a = ﹣a ． 【解答】解：原式=1−a+a1−a•a （a ﹣1） =11−a •a （a ﹣1） ＝﹣a ． 故答案为：﹣a ．16．（3分）某校开展读书日活动，小亮和小莹分别从校图书馆的“科技”、“文学”、“艺术”三类书籍中随机地抽取一本，抽到同一类书籍的概率是 13．【解答】解：画树状图如下：由树状图知，共有9种等可能结果，其中抽到同一类书籍的有3种结果， 所以抽到同一类书籍的概率为39=13，故答案为：13．17．（3分）如图，在直角坐标系中，点A （1，1），B （3，3）是第一象限角平分线上的两点，点C 的纵坐标为1，且CA ＝CB ，在y 轴上取一点D ，连接AC ，BC ，AD ，BD ，使得四边形ACBD 的周长最小，这个最小周长的值为 4+2√5 ．【解答】解：∵点A （1，1），点C 的纵坐标为1， ∴AC ∥x 轴， ∴∠BAC ＝45°， ∵CA ＝CB ，∴∠ABC ＝∠BAC ＝45°， ∴∠C ＝90°， ∵B （3，3） ∴C （3，1）， ∴AC ＝BC ＝2，作B 关于y 轴的对称点E ， 连接AE 交y 轴于D ，则此时，四边形ACBD 的周长最小，这个最小周长的值＝AC +BC +AE ， 过E 作EF ⊥AC 交CA 的延长线于F ， 则EF ＝BC ＝2，AF ＝6﹣2＝4， ∴AE =√EF 2+AF 2=√22+42=2√5， ∴最小周长的值＝AC +BC +AE ＝4+2√5， 故答案为：4+2√5．三、解答题（本题共8个小题，共69分．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤）18．（7分）解不等式组{12x +1＜7−32x ，3x−23≥x 3+x−44，并写出它的所有整数解． 【解答】解：{12x +1＜7−32x①3x−23≥x 3+x−44②，解不等式①，x ＜3， 解不等式②，得x ≥−45，∴原不等式组的解集为−45≤x ＜3， 它的所有整数解为0，1，2．19．（8分）为了提高学生的综合素养，某校开设了五门手工活动课，按照类别分为：A “剪纸”、B “沙画”、C “葫芦雕刻”、D “泥塑”、E “插花”．为了了解学生对每种活动课的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．根据以上信息，回答下列问题：（1）本次调查的样本容量为 120 ；统计图中的a ＝ 12 ，b ＝ 36 ； （2）通过计算补全条形统计图；（3）该校共有2500名学生，请你估计全校喜爱“葫芦雕刻”的学生人数． 【解答】解：（1）18÷15%＝120（人），因此样本容量为120； a ＝120×10%＝12（人），b ＝120×30%＝36（人），故答案为：120，12，36；（2）E组频数：120﹣18﹣12﹣30﹣36＝24（人），补全条形统计图如图所示：（3）2500×30120=625（人），答：该校2500名学生中喜爱“葫芦雕刻”的有625人．20．（8分）今年植树节期间，某景观园林公司购进一批成捆的A，B两种树苗，每捆A种树苗比每捆B种树苗多10棵，每捆A种树苗和每捆B种树苗的价格分别是630元和600元，而每棵A种树苗和每棵B种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的0.9倍和1.2倍．（1）求这一批树苗平均每棵的价格是多少元？（2）如果购进的这批树苗共5500棵，A种树苗至多购进3500棵，为了使购进的这批树苗的费用最低，应购进A种树苗和B种树苗各多少棵？并求出最低费用．【解答】解：（1）设这一批树苗平均每棵的价格是x元，根据题意列，得：630 0.9x −6001.2x=10，解这个方程，得x＝20，经检验，x＝20是原分式方程的解，并符合题意，答：这一批树苗平均每棵的价格是20元；（2）由（1）可知A种树苗每棵的价格为：20×0.9＝18（元），B种树苗每棵的价格为：20×1.2＝24（元），设购进A种树苗t棵，这批树苗的费用为w元，则：w＝18t+24（5500﹣t）＝﹣6t+132000，∵w是t的一次函数，k＝﹣6＜0，∴w随t的增大而减小，又∵t≤3500，∴当t＝3500棵时，w最小，此时，B种树苗每棵有：5500﹣3500＝2000（棵），w＝﹣6×3500+132000＝111000，答：购进A种树苗3500棵，BA种树苗2000棵时，能使得购进这批树苗的费用最低，最低费用为111000元．21．（8分）如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，若AD＝AF，求证：四边形ABFC是矩形．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAE＝∠CFE，∠ABE＝∠FCE，∵E为BC的中点，∴EB＝EC，∴△ABE≌△FCE（AAS），∴AB＝CF．∵AB∥CF，∴四边形ABFC是平行四边形，∵BC＝AF，∴四边形ABFC是矩形．22．（8分）如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼AB的高度进行测量，先测得居民楼AB与CD之间的距离AC为35m，后站在M点处测得居民楼CD的顶端D的仰角为45°，居民楼AB的顶端B的仰角为55°，已知居民楼CD的高度为16.6m，小莹的观测点N距地面1.6m．求居民楼AB的高度（精确到lm）．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈l.43）．【解答】解：过点N作EF∥AC交AB于点E，交CD于点F，则AE＝MN＝CF＝1.6，EF＝AC＝35，∠BEN＝∠DFN＝90°，EN＝AM，NF＝MC，则DF＝DC﹣CF＝16.6﹣1.6＝15，在Rt△DFN中，∵∠DNF＝45°，∴NF＝DF＝15，∴EN＝EF﹣NF＝35﹣15＝20，在Rt△BEN中，∵tan∠BNE=BE EN，∴BE＝EN•tan∠BNE＝20×tan55°≈20×1.43≈28.6，∴AB＝BE+AE＝28.6+1.6≈30．答：居民楼AB的高度约为30米．23．（8分）如图，已知反比例函数y=kx的图象与直线y＝ax+b相交于点A（﹣2，3），B（1，m）．（1）求出直线y＝ax+b的表达式；（2）在x轴上有一点P使得△P AB的面积为18，求出点P的坐标．【解答】解：（1）将点A 的坐标代入反比例函数表达式并解得：k ＝﹣2×3＝﹣6， 故反比例函数表达式为：y =−6x ，将点B 的坐标代入上式并解得：m ＝﹣6，故点B （1，﹣6），将点A 、B 的坐标代入一次函数表达式得{3=−2a +b −6=a +b ，解得{a =−3b =−3，故直线的表达式为：y ＝﹣3x ﹣3；（2）设直线与x 轴的交点为E ，当y ＝0时，x ＝﹣1，故点E （﹣1，0）， 分别过点A 、B 作x 轴的垂线AC 、BD ，垂足分别为C 、D ，则S △P AB =12PE •CA +12PE •BD =32PE +62PE =92PE ＝18，解得：PE ＝4， 故点P 的坐标为（3，0）或（﹣5，0）．24．（10分）如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，以△ABC 的边AB 为直径作⊙O ，交AC 于点D ，过点D 作DE ⊥BC ，垂足为点E ． （1）试证明DE 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为5，AC ＝6√10，求此时DE 的长．【解答】（1）证明：连接OD、BD，∵AB是⊙O直径，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AC，∵AB＝BC，∴D为AC中点，∵OA＝OB，∴OD∥BC，∵DE⊥BC，∴DE⊥OD，∵OD为半径，∴DE是⊙O的切线；（2）由（1）知BD是AC的中线，∴AD＝CD=12AC=3√10，∵O的半径为5，∴AB＝6，∴BD=√AB2−AD2=√102−(3√10)2=√10，∵AB＝AC，∴∠A＝∠C，∵∠ADB＝∠CED＝90°，∴△CDE∽△ABD，∴CDAB =DEBD，即3√1010=√10，∴DE＝3．25．（12分）如图，二次函数y ═ax 2+bx +4的图象与x 轴交于点A （﹣1，0），B （4，0），与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，其对称轴与线段BC 交于点E ，垂直于x 轴的动直线l 分别交抛物线和线段BC 于点P 和点F ，动直线l 在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x 轴正方向移动到B 点．（1）求出二次函数y ＝ax 2+bx +4和BC 所在直线的表达式；（2）在动直线l 移动的过程中，试求使四边形DEFP 为平行四边形的点P 的坐标；（3）连接CP ，CD ，在动直线l 移动的过程中，抛物线上是否存在点P ，使得以点P ，C ，F 为顶点的三角形与△DCE 相似？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将点A （﹣1，0），B （4，0），代入y ═ax 2+bx +4，得：{0=a −b +40=16a +4b +4， 解得：{a =−1b =3， ∴二次函数的表达式为：y ＝﹣x 2+3x +4，当x ＝0时，y ＝4，∴C （0，4），设BC 所在直线的表达式为：y ＝mx +n ，将C （0，4）、B （4，0）代入y ＝mx +n ，得：{4=n 0=4m +n，解得：{m =−1n =4， ∴BC 所在直线的表达式为：y ＝﹣x +4；（2）∵DE ⊥x 轴，PF ⊥x 轴，∴DE ∥PF ，只要DE ＝PF ，四边形DEFP 即为平行四边形，∵y ＝﹣x 2+3x +4＝﹣（x −32）2+254，∴点D 的坐标为：（32，254）， 将x =32代入y ＝﹣x +4，即y =−32+4=52，∴点E 的坐标为：（32，52）， ∴DE =254−52=154，设点P 的横坐标为t ，则P 的坐标为：（t ，﹣t 2+3t +4），F 的坐标为：（t ，﹣t +4）， ∴PF ＝﹣t 2+3t +4﹣（﹣t +4）＝﹣t 2+4t ，由DE ＝PF 得：﹣t 2+4t =154， 解得：t 1=32（不合题意舍去），t 2=52，当t =52时，﹣t 2+3t +4＝﹣（52）2+3×52+4=214， ∴点P 的坐标为（52，214）；（3）存在，理由如下：如图2所示：由（2）得：PF ∥DE ，∴∠CED ＝∠CFP ，又∵∠PCF 与∠DCE 有共同的顶点C ，且∠PCF 在∠DCE 的内部， ∴∠PCF ≠∠DCE ，∴只有∠PCF ＝∠CDE 时，△PCF ∽△CDE ，∴PF CE =CF DE ，∵C （0，4）、E （32，52）， ∴CE =√(32)2+(4−52)2=3√22，由（2）得：DE =154，PF ＝﹣t 2+4t ，F 的坐标为：（t ，﹣t +4）， ∴CF =√t 2+[4−(−t +4)]2=√2t ， ∴23√22=√2t 154，∵t ≠0，∴154（﹣t +4）＝3，解得：t =165，当t =165时，﹣t 2+3t +4＝﹣（165）2+3×165+4=8425， ∴点P 的坐标为：（165，8425）．。

2020年山东省聊城市中考数学试卷一、选择题（本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求）1.在实数1-，2-，0，14中，最小的实数是（ ）． A. 1- B.14C. 0D. 2-【答案】D 【解析】 【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可． 【详解】∵10124>>->-， ∴在实数1-，2-，0，14中，最小的实数是2-， 故选：D ．【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小． 2.如图所示的几何体的俯视图是（ ）A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】找到从几何体的上面看所得到的图形即可．【详解】从上面看几何体所得到的图形为俯视图，其中看得见的轮廓画实线，选项C 符合题意． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握俯视图所看的位置．3.如图，在ABC 中，AB ＝AC ，∠C ＝65°，点D 是BC 边上任意一点，过点D 作DF ∥AB 交AC 于点E ，则∠FEC 的度数是（ ）A. 120°B. 130°C. 145°D. 150°【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C ，利用平行线的性质得到∠ EDC ＝∠B ，利用三角形的外角性质即可求解．【详解】∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C ＝65°， ∵DF ∥AB ，∴∠ EDC ＝∠B ＝65°，∴∠FEC ＝∠EDC ＋∠C ＝65°＋65°＝130°． 故选：B ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角性质，需熟练掌握． 4.下列计算正确的是（ ）． A. 236a a a ⋅= B. 623a a a --÷= C. ()323628ab a b -=-D. 222(2)4a b a b +=+【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方、完全平方公式逐一分析即可． 【详解】A ．23235a a a a +⋅==，该项不符合题意； B ．()86622a a a a ---÷==，该项不符合题意； C ．()()()33323236228ab a b a b -=-⋅⋅=-，该项符合题意；D ．222(2)44a b a ab b +=++，该项不符合题意； 故选：C ．【点睛】本题考查同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方、完全平方公式等内容，解题的关键是掌握运算法则．5.为了增强学生预防新冠肺炎的安全意识，某校开展疫情防控知识竞赛．来自不同年级的30名参赛同学的得分情况如下表所示，这些成绩的中位数和众数分别是（）A. 92分，96分B. 94分，96分C. 96分，96分D. 96分，100分【答案】B【解析】【分析】根据中位数的定义和众数的定义分别求解即可．【详解】解：由统计表得共有30个数据，第15、16个数据分别是92,96，∴中位数是9296=942+；由统计表得数据96出现的次数最多，∴众数为96．故选：B【点睛】本题考查了求一组数据的中位数和众数．中位数是将一组数据由小到大（由大到小）排序后，位于中间位置的数据，当有偶数个数据时，取中间两数的平均数；众数是一组数据出现次数最多的数．6.）．A. 1B. 53C. 5D. 9【答案】A【解析】【分析】利用二次根式的乘除法则计算即可得到结果．÷=÷=1=，【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．7.如图，在45⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin ACB ∠的值为（ ）．A.355B.175C.35D.45【答案】D 【解析】 【分析】过点A 作AD BC ⊥于点D ，在Rt ACD △中，利用勾股定理求得线段AC 的长，再按照正弦函数的定义计算即可．【详解】解：如图，过点A 作AD BC ⊥于点D ，则90ADC ∠=︒，∴225AC AD CD =+=，∴4sin 5AD ACB AC ∠==， 故选：D ．【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键． 8.用配方法解一元二次方程22310x x --=，配方正确的是（ ）．A. 2317416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B. 23142x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C. 231324x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ D. 231124x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 【答案】A【分析】按照配方法的步骤进行求解即可得答案. 【详解】解：22310x x --= 移项得2231x x -=， 二次项系数化1的23122x x -=， 配方得22233132424x x ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即2317416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 故选：A【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤为（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 9.如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为点M ．连接OC ，DB ．如果OC//DB ，23OC =，那么图中阴影部分的面积是（ ）．A. πB. 2πC. 3πD. 4π【答案】B 【解析】 【分析】 根据AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，由垂径定理得CM DM =，再根据OC//DB 证得MCO CDB ∠=∠，即可证明OMC BMD ≅△△，即可得出OBC S S =阴影扇形． 【详解】解：AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，90OMC ∴∠=︒，CM DM =．90MOC MCO ∴∠+∠=︒OC//DB MCO CDB ∴∠=∠又12 CDBBOC∠=∠1902MOC MOC∴∠+∠=︒60MOC∴∠=︒在OMC△和BMD中，OCM BDMCM DMOMC BMD∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩OMC BMD∴≅△△，OMC BMDS S∴=△△()260232360OBCS Sππ⨯⨯∴===阴影扇形故选：B【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，平行线的性质，全等三角形的判定，扇形的面积，等积变换，解此题的关键是证出OMC BMDS S=△△，从而将阴影部分的面积转化为扇形OBC的面积，题目比较典型，难度适中．10.如图，有一块半径为1m，圆心角为90︒的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（）．A.1m4B.3m4C.154D.3m2【答案】C【解析】【分析】首先利用扇形的弧长公式求得圆锥的底面周长，求得底面半径的长，然后利用勾股定理求得圆锥的高．【详解】解：设圆锥的底面周长是l，则l=9011801802n rπππ⨯⨯==m，则圆锥的底面半径是：()1224ππ÷=m，则圆锥的高是：2211514⎛⎫-= ⎪⎝⎭m ． 故选：C ．【点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．11.人行道用同样大小的灰、白两种不同颜色的小正方形地砖铺设而成，如图中的每一个小正方形表示一块地砖．如果按图①②③…的次序铺设地砖，把第n 个图形用图表示，那么图㊿中的白色小正方形地砖的块数是（ ）．…A. 150B. 200C. 355D. 505【答案】C 【解析】 【分析】由图形可知图①中白色小正方形地砖有12块，图②中白色小正方形地砖有12+7块，图③中白色小正方形地砖有12+7×2块，…，可知图中白色小正方形地砖有12+7(n-1)=7n+5，再令n=50，代入即可． 【详解】解：由图形可知图中白色小正方形地砖有12+7(n-1)=7n+5（块） 当n=50时，原式=7×50+5=355（块） 故选：C【点睛】考查了规律型：图形的变化，解决这类问题首先要从简单图形入手，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．12.如图，在Rt ABC △中，2AB =，30C ∠=︒，将Rt ABC △绕点A 旋转得到Rt A B C '''∆，使点B 的对应点B '落在AC 上，在B C ''上取点D ，使2B D '=，那么点D 到BC 的距离等于（ ）．A. 3213⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭B.31 C.31D.31【解析】 【分析】根据旋转的性质和30°角的直角三角形的性质可得AB '的长，进而可得B C '的长，过点D 作DM ⊥BC 于点M ，过点B '作B E BC '⊥于点E ，B F DM '⊥于点F ，如图，则四边形B EMF '是矩形，解Rt △B EC '可得B E '的长，即为FM 的长，根据三角形的内角和易得30B DN C '∠=∠=︒，然后解Rt △B DF '可求出DF 的长，进一步即可求出结果．【详解】解：在Rt ABC △中，∵2AB =，30C ∠=︒， ∴AC =2AB =4，∵将Rt ABC △绕点A 旋转得到Rt A B C '''∆，使点B 的对应点B '落在AC 上， ∴2AB AB '==， ∴2B C '=，过点D 作DM ⊥BC 于点M ，过点B '作B E BC '⊥于点E ，B F DM '⊥于点F ，交AC 于点N ，如图，则四边形B EMF '是矩形， ∴FM B E '=，在Rt △B EC '中，1sin 30212B E BC ''=⋅︒=⨯=，∴FM =1， ∵90,DB N CMN B ND MNC ''∠=∠=︒∠=∠， ∴30B DN C '∠=∠=︒，在Rt △B DF '中，3cos3023DF B D '=⋅︒=⨯=， ∴13DM FM DF =+=+， 即点D 到BC 的距离等于31+． 故选：D ．【点睛】本题考查了解直角三角形、矩形的判定和性质以及旋转的性质等知识，正确作出辅助线、熟练掌握解直角三角形的知识是解题的关键．13.因式分解：(2)2x x x --+=________． 【答案】(2)(1)x x -- 【解析】 【分析】先把二、三两项分为一组，提取一个负号，再提取公因式(2)x -即可． 【详解】解：原式(2)(2)x x x =---(2)(1)x x =--【点睛】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确确定公因式． 14.如图，在O 中，四边形OABC 为菱形，点D 在AmC 上，则ADC ∠的度数是________．【答案】60︒ 【解析】 【分析】连接OB ，证明△OAB ，△OBC 都是等边三角形，得到∠AOC=120°，进而求出ADC ∠． 【详解】解：连接OB ，∵四边形OABC 为菱形，OA=OB ， ∴OA=OB=OC=AB=BC,∴△OAB ，△OBC 都是等边三角形， ∴∠AOB=∠BOC=60°， ∴∠AOC=120°， ∵=AC AC ， ∴1602ADC AOC ∠=∠=︒ ．故答案为：60°【点睛】本题考查了菱形的性质，圆的半径都相等，圆周角定理，等边三角形性质，综合性较强．解题关键是连接OB ，得到△OAB ，△OBC 都是等边三角形． 15.计算：2111a a a a⎛⎫+÷= ⎪--⎝⎭________． 【答案】a - 【解析】 【分析】分式的混合运算，根据分式的加减乘除混合运算法则可以解答本题，括号里先通分运算，再进行括号外的除法运算，即可解答本题. 【详解】解：2a 111a a a⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭ =21a a 11a 1a a a ⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭－－ =2111a aa ÷-－ =()1×a a 11a－－ =−a故答案是：-a【点睛】本题考查的是分式的混合运算，能正确运用运算法则是解题的关键.16.某校开展读书日活动，小亮和小莹分别从校图书馆的“科技”、“文学”、“艺术”三类书籍中随机地抽取一本，抽到同一类书籍的概率是________．【答案】13【解析】 【分析】先画出树状图求出所有等可能的结果数，再找出抽到同一类书籍的结果数，然后根据概率公式求解即可．【详解】解：“科技”、“文学”、“艺术”三类书籍分别用A 、B 、C 表示，则所有可能出现的结果如下图所示：由上图可知：共有9种等可能的结果数，其中抽到同一类书籍的结果数有3种， ∴抽到同一类书籍的概率=3193=． 故答案为：13． 【点睛】本题考查了求两次事件的概率，属于基础题型，熟练掌握画树状图或列表的方法是解题的关键． 17.如图，在直角坐标系中，点(1,1)A ，(3,3)B 是第一象限角平分线上的两点，点C 的纵坐标为1，且CA CB =，在y 轴上取一点D ，连接AC ，BC ，AD ，BD ，使得四边形ACBD 的周长最小，这个最小周长的值为________．【答案】425+【解析】 【分析】先求出AC=BC=2，作点B 关于y 轴对称的点E ，连接AE ，交y 轴于D ，此时AE=AD+BD ，且AD+BD 值最小，即此时四边形ACBD 的周长最小；作FG ∥y 轴，AG ∥x 轴，交于点G ，则GF ⊥AG ，根据勾股定理求出AE 即可．【详解】解：∵(1,1)A ，点C 的纵坐标为1， ∴AC ∥x 轴，∵点(1,1)A ，(3,3)B 是第一象限角平分线上的两点， ∴∠BAC=45°， ∵CA CB =，∴∠BAC=∠ABC=45°， ∴∠C=90°， ∴BC ∥y 轴， ∴AC=BC=2，作点B关于y轴对称的点E，连接AE，交y轴于D，此时AE=AD+BD，且AD+BD值最小，∴此时四边形ACBD的周长最小，作FG∥y轴，AG∥x轴，交于点G，则GF⊥AG，∴EG=2，GA=4，在Rt△AGE中，22224225AE AG EG=+=+=，∴四边形ACBD的周长最小值为2+2+25=4+25．【点睛】本题考查了四条线段和最短问题．由于AC=BC=2,因此本题实质就是求AD+BD最小值，从而转化为“将军饮马”问题，这是解题关键．三、解答题18.解不等式组131722324334x xx x x⎧+<-⎪⎪⎨--⎪≥+⎪⎩，并写出它的所有整数解．【答案】该不等式组的解集是435x-≤<，它的所有整数解为0，1，2．【解析】【分析】分别求出两个不等式，确定不等式组的解集，写出整数解即可．【详解】解：131722324334x xx x x⎧+<-⎪⎪⎨--⎪≥+⎪⎩①②解不等式①，得3x<．解不等式②，得45x≥-．在同一数轴上表示出不等式①，②的解集：所以该不等式组的解集是435x -≤<． 它的所有整数解为0，1，2．【点睛】本题考查了解不等式组，确定不等式组的解集可以借助数轴分别表示各不等式的解集，确定公共部分即可．19.为了提高学生的综合素养，某校开设了五门手工活动课．按照类别分为：A “剪纸”、B “沙画”、C “葫芦雕刻”、D “泥塑”、E “插花”．为了了解学生对每种活动课的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，回答下列问题：（1）本次调查的样本容量为________；统计图中的a =________，b =________； （2）通过计算补全条形统计图；（3）该校共有2500名学生，请你估计全校喜爱“葫芦雕刻”的学生人数． 【答案】（1）120，12，36；（2）详见解析；（3）625 【解析】 【分析】（1）由A 所占的百分比及参加A 类活动课的人数可求得总人数，再由总人数及B 和D 所占的百分比即可求得a 和b 的值，（2）先求得E 类活动课参加的人数，再补全条形统计图即可；（3）先求出抽样调查中喜爱“葫芦雕刻”的学生所占的百分比，即可求得全校喜爱“葫芦雕刻”的学生人数． 【详解】解：（1）1815%120÷=，12010%12a =⨯=，12030%36b =⨯=， 故答案为：120，12，36；（2）E 类别的人数为：1201812303624----=（人） 补全条形统计图如图所示：（3）C 类别所占的百分比为：3012025%÷=，302500625120⨯=（人） 答：全校喜爱“葫芦雕刻”的学生人数约为625人．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，扇形统计图可以看出每个量所占的百分比．20.今年植树节期间，某景观园林公司购进一批成捆的A ，B 两种树苗，每捆A 种树苗比每捆B 种树苗多10棵，每捆A 种树苗和每捆B 种树苗的价格分别是630元和600元，而每棵A 种树苗和每棵B 种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的0.9倍和1.2倍． （1）求这一批树苗平均每棵的价格是多少元？（2）如果购进的这批树苗共5500棵，A 种树苗至多购进3500棵，为了使购进的这批树苗的费用最低，应购进A 种树苗和B 种树苗各多少棵？并求出最低费用．【答案】（1）这一批树苗平均每棵的价格是20元；（2）购进A 种树苗3500棵，B 种树苗2000棵，能使得购进这批树苗的费用最低为111000元． 【解析】 【分析】（1）设这一批树苗平均每棵的价格是x 元，分别表示出两种树苗的数量，根据“每捆A 种树苗比每捆B 种树苗多10棵”列方程即可求解；（2）设购进A 种树苗t 棵，这批树苗的费用为w ，得到w 与t 的关系式，根据题意得到t 的取值范围，根据函数增减性即可求解．【详解】解：（1）设这一批树苗平均每棵的价格是x 元， 根据题意，得630600100.9 1.2x x-=， 解之，得20x ．经检验知，20x是原分式方程的根，并符合题意．答：这一批树苗平均每棵的价格是20元．（2）由（1）可知A 种树苗每棵价格为0.12098⨯=元，种树苗每棵价格为20 1.224⨯=元， 设购进A 种树苗t 棵，这批树苗的费用为w ，则1824(5500)6132000w t t t =+-=-+．∵w 是t 的一次函数，60k =-<，w 随着t 的增大而减小，3500t ≤， ∴当3500t =棵时，w 最小．此时，B 种树苗有550035002000-=棵，35001320060111000w ⨯+==-．答：购进A 种树苗3500棵，B 种树苗2000棵，能使得购进这批树苗的费用最低为111000元．【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，一次函数实际应用，不等式应用等问题，根据题意得到相关“数量关系”，根据数量关系得到方程或函数解析式是解题关键．21.如图，已知平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，连接AE 并延长，交DC 的延长线于点F ，且AF ＝AD ，连接BF ，求证：四边形ABFC 是矩形．【答案】见解析 【解析】 【分析】先根据平行四边形的性质、平行线的性质得到两角一边对应相等，再根据三角形全等的判定定理与性质可得AB CF =，然后根据平行四边形的判定可得四边形ABFC 是平行四边形，又根据等量代换可得BC AF =，最后根据矩形的判定（对角线相等的平行四边形是矩形）可得四边形ABFC 是矩形．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴//,,AB CD AB CD AD BC == ∴,BAE CFE ABE FCE ∠=∠∠=∠ ∵E 为BC 的中点 ∴EB EC =∴()ABE FCE AAS ≅ ∴AB CF = ∵//AB CF∴四边形ABFC 是平行四边形AF AD =BC AF ∴=∴平行四边形ABFC 是矩形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、矩形的判定等知识点，熟练运用各判定与性质是解题关键．22.如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼AB的高度进行测量．先测得居民楼AB与CD之间的距离AC为35m，后站在M点处测得居民楼CD的顶端D的仰角为45°．居民楼AB的顶端B的仰角为55°．已知居民楼CD的高度为16.6m，小莹的观测点N距地面1.6m．求居民楼AB 的高度（精确到1m）．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）【答案】约为30m【解析】【分析】过点N作EF∥AC交AB于点E，交CD于点F，可得AE=MN=CF=1.6，EF=AC=35，再根据锐角三角函数可得BE的长，进而可得AB的高度．【详解】解：过点N作EF∥AC交AB于点E，交CD于点F．则AE＝MN＝CF＝1.6，EF＝AC＝35，∠BEN＝∠DFN＝90°，EN＝AM，NF＝MC，则DF＝CD－CF＝16.6－1.6＝15．在Rt△DFN中，∵∠DNF＝45°，∴NF＝DF＝15．∴EN＝EF－NF＝35－15＝20．在Rt△BEN中，∵tan∠BNE＝BE EN，∴BE＝EN·tan∠BNE＝20×tan55°≈20×1.43＝28.6°．∴AB＝BE＋AE＝28.6＋1.6≈30．答：居民楼AB的高度约为30m．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．23.如图，已知反比例函数ky x=的图象与直线y ax b =+相交于点(2,3)A -，(1,)B m ．（1）求出直线y ax b =+的表达式；（2）在x 轴上有一点P 使得PAB △的面积为18，求出点P 的坐标．【答案】（1）33y x =--；（2）当点P 在原点右侧时，(3,0)P ，当点P 在原点左侧时，(5,0)P -． 【解析】 【分析】（1）通过点A 的坐标确定反比例函数的解析式，再求得B 的坐标，利用待定系数法将A ，B 的坐标代入，即可得到一次函数的解析式；（2）直线33y x =--与x 轴的交点为(1,0)E -，过点A ，B 作x 轴的垂线AC ，BD ，垂足分别为C ，D ，得到9182PABSPE ==，即4PE =，分情况讨论即可解决． 【详解】解：（1）∵(2,3)A -在ky x=的图象上， ∴32k=-，6k =-， 又点(1,)B m 在6y x-=的图象上，6m =-，即(1,6)B -． 将点A ，B 的坐标代入y ax b =+，得326a ba b =-+⎧⎨-=+⎩，解得33a b =-⎧⎨=-⎩．∴直线的表达式为33y x =--．（2）设直线33y x =--与x 轴的交点为E ， 当0y =时，解得1x =-．即(1,0)E -．分别过点A ，B 作x 轴的垂线AC ，BD ，垂足分别为C ，D ．1136922222PABSPE AC PE DB PE PE PE =⋅+⋅=+=． 又18PABS=，即9182PE =，∴4PE =．当点P 在原点右侧时，(3,0)P ， 当点P 在原点左侧时，(5,0)P -．【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的性质，解题的关键是掌握数形结合的思想.24.如图，在ABC 中，AB ＝BC ，以△ABC 的边AB 为直径作⊙O ，交AC 于点D ，过点D 作DE ⊥BC ，垂足为点E ．（1）试证明DE 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为5，AC ＝610，求此时DE 的长．【答案】（1）见解析；（2）3 【解析】 【分析】（1）连接OD 、BD ，求出BD ⊥AD ，AD=DC ，根据三角形的中位线得出OD ∥BC ，推出OD ⊥DE ，根据切线的判定推出即可；（2）先利用勾股定理求出BD 的长，证得Rt △CDE 和Rt △ABD ，利用对应边成比例即可求解． 【详解】（1）证明：连接OD ，BD ，∵AB 为⊙O 的直径， ∴BD ⊥AD ，又∵AB=BC ，△ABC 是等腰三角形， ∴AD=DC ，∴OD 是△ABC 的中位线， ∴OD ∥BC ， 又DE ⊥BC ， ∴DE ⊥OD ， ∴DE 是⊙O 的切线；（2）由（1）知，BD 是AC 边上的中线，10， 得10， ∵⊙O 的半径为5， ∴AB=10，在Rt △ABD 中，()22221031010AB AD -=-=，∵AB=BC ，∴∠A=∠C ，在Rt △CDE 和Rt △ABD 中，∵∠DEC=∠ADB=90°，∠C=∠A ， ∴Rt △CDE ∽Rt △ABD ， ∴CD DE AB BD =，即3101010=， 解得：DE=3．【点睛】本题综合考查了切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质以及三角形中位线的判定与性质．解题的关键是熟练掌握和圆有关的各种性质定理，并且能够熟练运用．25.如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋4的图象与x 轴交于点A(－1，0)，B(4，0)，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，其对称轴与线段BC 交于点E ．垂直于x 轴的动直线l 分别交抛物线和线段BC 于点P 和点F ，动直线l 在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x 轴正方向移动到B 点．（1）求出二次函数y ＝ax 2＋bx ＋4和BC 所在直线的表达式；（2）在动直线l 移动的过程中，试求使四边形DEFP 为平行四边形的点P 的坐标；（3）连接CP ，CD ，在移动直线l 移动的过程中，抛物线上是否存在点P ，使得以点P ，C ，F 为顶点的三角形与DCE 相似，如果存在，求出点P 的坐标，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）y=-x 2＋3x ＋4，y=-x ＋4；（2）521,24⎛⎫⎪⎝⎭；（3）存在，1684,525⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）运用待定系数法，利用A ，B 两点的坐标构建二元一次方程组求解二次函数的表达式，利用B ，C 两点的坐标确定直线BC 的表达式；（2）先求得DE 的长，根据平行四边形的性质得到PF=DE ，点P 与点F 的横坐标相同，故利用抛物线与直线的解析式表示它们的纵坐标，根据其差等于DE 长构建一元二次方程求解；（3）结合图形与已知条件，易于发现若两三角形相似，只可能存在△PCF ∽△CDE 一种情况．△CDE 的三边均可求，（2）中已表示PF 的长，再构建直角三角形或借助两点间距离公式，利用勾股定理表示出CF 的长，这样根据比例式列方程求解，从而可判断点P 是否存在，以及求解点P 的值． 【详解】（1）由题意，将A(-1．0)，B(4．0)代入24y ax bx =++，得4016440a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得13a b =-⎧⎨=⎩， ∴二次函数表达式为234y x x =-++，当0x =时，y=4， ∴点C 的坐标为(0，4)，又点B 的坐标为(4，0)， 设线段BC 所在直线的表达式为y mx n =+，∴440n m n =⎧⎨+=⎩，解得14m n =-⎧⎨=⎩，∴BC 所在直线的表达式为4y x =-+；（2）∵DE⊥x轴，PF⊥x轴，∴DE∥PF，只要DE=PF，此时四边形DEFP即为平行四边形．由二次函数y=-2x+3x+4=(x-32) 2+254，得D的坐标为(32，254)，将32x=代入4y x=-+，即y=-32+4=52，得点E的坐标为(32，52)，∴DE=254-52=154，设点P的横坐标为t，则P(t，-t2+3t+4)，F(t，-t+4)，PF=-t2+3t+4-(-t+4)=-t2+4t，由DE=PF，得-t2+4t=154，解之，得t1=32(不合题意，舍去)，t2=52，当t=52时，-t2+3t+4=-(52)2+3×52+4=214，∴P的坐标为(52，214)；（3）由（2）知，PF∥DE，∴∠CED=∠CFP，又∠PCF与∠DCE有共同的顶点C，且∠PCF在∠DCE的内部，∴∠PCF≠∠DCE，∴只有当∠PCF=∠CDE时，△PCF∽△CDE，由D (32，254)，C(0，4)，E(32，52)，利用勾股定理，可得=DE=25515 424-=，由（2）以及勾股定理知，PF=-t2+4t，F(t，-t+4)，CF==，∵△PCF∽△CDE，∴PF CFCE DE=21542=，∵t≠0，∴154(4t-+)=3，∴t=165，当t=165时，-t2+3t+4=-(165)2+3×165+4=8425．∴点P的坐标是(165，8425)．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了一次函数的性质，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理的应用等知识，解题的关键是，学会用数形结合的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．。

绝密★启用前2020年山东省聊城市初中学业水平考试数学亲爱的同学，伴随着考试的开始，你又走到了一个新的人生驿站.请你在答题之前，一定要仔细阅读以下说明：1.试题由选择题与非选择题两部分组成，共8页。

选择题36分，非选择题84分，共120分。

考试时间120分钟.2.将姓名、考场号、座号、考号填写在试题和答题卡指定的位置.3.试题答案全部写在答题卡上，完全按照答题卡中的“注意事项”答题.4.考试结束，答题卡和试题一并交回.5.不允许使用计算器.愿你放松心情，认真审题，缜密思考，细心演算，交一份满意的答卷.选择题（共36分）一、选择题（本题共12个小题，每小题3分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求）1.在实数1-，0，14中，最小的实数是（）A.1-B.14C.0D.2.如图所示的几何体的俯视图是（）A B C D 3.如图，在ABC△中，AB AC=，°65C∠=，点D是BC边上任意一点，过点D作DF AB交AC于点E，则FEC∠的度数是（）A.120°B.130°C.145°D.150°4.下列计算正确的是（）A.236a a a=B.623a a a--÷=C.()323628ab a b-=-D.()22224a b a b+=+5.为了增强学生预防新冠肺炎的安全意识，某校开展疫情防控知识竞赛.来自不同年级的30（）A.92分，96分B.94分，96分C.96分，96分D.96分，100分6.（）A.1B.53C.5D.97.如图，在45⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，ABC△的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin ACB∠的值为（）-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效------------毕业学校_____________姓名________________考生号_____________________________________________ABC .35D .458.用配方法解一元二次方程22310x x --=，配方正确的是（ ）A .2317416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B .23142x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C .231324x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭D .231124x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭9.如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为点M ．连接OC ，DB ．如果OC DB，OC = （ ）A .πB .2πC .3πD .4π10.如图，有一块半径为1m ，圆心角为90°的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（ ）A .1m 4B .3m 4Cm Dm 11.人行道用同样大小的灰、白两种不同颜色的小正方形地砖铺设而成，如图中的每一个小正方形表示一块地砖.如果按图①②③…的次序铺设地砖，把第n 个图形用图表示，那么图㊿中的白色小正方形地砖的块数是（ ）… A .150B .200C .355D .50512.如图，在Rt ABC △中，2AB =，30C ︒∠=，将Rt ABC △绕点A 旋转得到Rt AB C ''△，使点B 的对应点B '落在AC 上，在B C ''上取点D ，使2B D '=，那么点D 到BC 的距离等于（ ）A.21⎫+⎪⎪⎝⎭B1+ C1 D1非选择题（共84分）二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分.只要求填写最后结果）13.因式分解：()22x x x --+=________. 14.如图，在O 中，四边形OABC 为菱形，点D 在AmC 上，则ADC ∠的度数是________.15.计算：2111a a a a⎛⎫+÷= ⎪--⎝⎭________. 16.某校开展读书日活动，小亮和小莹分别从校图书馆的“科技”、“文学”、“艺术”三类书籍中随机地抽取一本，抽到同一类书籍的概率是________.17.如图，在直角坐标系中，点()11A ，，()33B ，是第一象限角平分线上的两点，点C 的纵坐标为1，且CA CB =，在y 轴上取一点D ，连接AC ，BC ，AD ，BD ，使得四边形ACBD 的周长最小，这个最小周长的值为________.三、解答题（本题共8个小题，共69分.解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤）18.（本题满分7分）解不等式组131722324.334x x x x x ⎧+-⎪⎪⎨--⎪+⎪⎩＜，≥并写出它的所有整数解. 19.（本题满分8分）为了提高学生的综合素养，某校开设了五门手工活动课.按照类别分为：A “剪纸”、B “沙画”、C “葫芦雕刻”、D “泥塑”、E “插花”.为了了解学生对每种活动课的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.根据以上信息，回答下列问题：（1）本次调查的样本容量为________；统计图中的a =________，b =________； （2）通过计算补全条形统计图；（3）该校共有2500名学生，请你估计全校喜爱“葫芦雕刻”的学生人数.20.（本题满分8分）今年植树节期间，某景观园林公司购进一批成捆的A ，B 两种树苗，每捆A 种树苗比每捆B 种树苗多10棵，每捆A 种树苗和每捆B 种树苗的价格分别是630元和600元，而每棵A 种树苗和每棵B 种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的0.9倍和1.2倍.（1）求这一批树苗平均每棵的价格是多少元？（2）如果购进的这批树苗共5500棵，A 种树苗至多购进3500棵，为了使购进的这批树苗的费用最低，应购进A 种树苗和B 种树苗各多少棵？并求出最低费用. 21.（本题满分8分）如图，已知ABCD 中，E 是BC 的中点，连接AE 并延长交DC的延长线于点F ，连接BF ，AC ，若AD AF =，求证：四边形ABFC 是矩形.22.（本题满分8分）如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼AB 的高度进行测量．先测得居民楼AB 与CD 之间的距离AC 为35m ，后站在M 点处测得居民楼CD 的顶端D 的仰角为45°.居民楼AB 的顶端B 的仰角为55°.已知居民楼CD 的高度为16.6m ，小莹的观测点N 距地面1.6m .求居民楼AB 的高度（精确到1m ）.（参考数据：°sin550.82≈，°cos550.57≈，°tan55 1.43≈）.毕业学校_____________姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效------------23.（本题满分8分）如图，已知反比例函数ky x=的图象与直线y ax b =+相交于点()23A -，，()1B m ，.（1）求出直线y ax b =+的表达式；（2）在x 轴上有一点P 使得PAB △的面积为18，求出点P 的坐标.24.（本题满分10分）如图，在ABC △中，AB BC =，以ABC △的边AB 为直径作O ，交AC 于点D ，过点D 作DE BC ⊥，垂足为点E . （1）试证明DE 是O 的切线；（2）若O 的半径为5，AC =DE 的长.25.（本题满分12分）如图，二次函数24y ax bx =++的图象与x 轴交于点()10A -，，()40B ，，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，其对称轴与线段BC 交于点E .垂直于x 轴的动直线l 分别交抛物线和线段BC 于点P 和点F ，动直线l 在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x 轴正方向移动到B 点.（1）求出二次函数24y ax bx =++和BC 所在直线的表达式；（2）在动直线l 移动的过程中，试求使四边形DEFP 为平行四边形的点P 的坐标； （3）连接CP ，CD ，在动直线l 移动的过程中，抛物线上是否存在点P ，使得以点P ，C ，F 为顶点的三角形与DCE △相似，如果存在，求出点P 的坐标，如果不存在，请说明理由.2020年山东省聊城市初中学业水平考试数学答案解析选择题一、 1.【答案】D【解析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可.1014-∵＞＞＞，∴在实数1-，0，14中，最小的实数是D . 【考点】实数大小比较的方法 2.【答案】C【解析】找到从几何体的上面看所得到的图形即可.从上面看几何体所得到的图形为俯视图，其中看得见的轮廓画实线，选项C 符合题意.故选：C . 【考点】简单几何体的三视图 3.【答案】B【解析】根据等腰三角形的性质得到B C ∠=∠，利用平行线的性质得到EDC B ∠=∠，利用三角形的外角性质即可求解.AB AC =∵， °65B C ∠=∠=∴，DF AB ∵，°65EDC B ∠=∠=∴，°°°6565130FEC EDC C ∠=∠+∠=+=∴.故选：B .【考点】等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角性质 4.【答案】C【解析】根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方、完全平方公式逐一分析即可.A .23235a a a a +==，该项不符合题意；B .()62628a a aa ---==÷，该项不符合题意； C .()()()33323236228ab a b a b -=-=-，该项符合题意；D .()222244a b a ab b +=++，该项不符合题意； 故选：C .【考点】同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，完全平方公式 5.【答案】B【解析】根据中位数的定义和众数的定义分别求解即可.解：由统计表得共有30个数据，第15、16个数据分别是92，96，∴中位数是9296=942+； 由统计表得数据96出现的次数最多，∴众数为96.故选：B .【考点】求一组数据的中位数和众数 6.【答案】A【解析】利用二次根式的乘除法则计算即可得到结果.解：1===，故选：A .【考点】二次根式的乘除法7.【答案】D【解析】过点A 作AD BC ⊥于点D ，在Rt ACD △中，利用勾股定理求得线段AC 的长，再按照正弦函数的定义计算即可.解：如图，过点A 作AD BC ⊥于点D ，则90ADC ︒∠=，5AC ==∴，4sin 5AD ACB AC ∠==∴， 故选：D .【考点】勾股定理的运用以及锐角三角函数 8.【答案】A【解析】按照配方法的步骤进行求解即可得答案. 解：22310x x --= 移项得2231x x -=，二次项系数化1的23122x x -=，配方得22233132424x x ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即2317416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭故选：A .【考点】配方法解一元二次方程 9.【答案】B【解析】根据AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，由垂径定理得CM DM =，再根据OC DB 证得MCO CDB ∠=∠，即可证明OMC BMD ≅△△，即可得出OBC S S =阴影扇形.解：AB ∵是O 的直径，弦CD AB ⊥，90OMC ︒∠=∴，CM DM =. 90MOC MCO ︒∠+∠=∴OCDB ∵MCO CDB ∠=∠∴又12CDB BOC ∠=∠∵1902MOC MOC ︒∠+∠=∴60MOC ︒∠=∴在OMC △和BMD △中，OCM BDM CM DMOMC BMD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩OMC BMD ≅∴△△，OMC BMD S S =△△∴(2602360OBC S S ππ⨯⨯===阴影扇形∴故选：B .【考点】垂径定理，圆周角定理，平行线的性质，全等三角形的判定，扇形的面积，等积变换 10.【答案】C【解析】首先利用扇形的弧长公式求得圆锥的底面周长，求得底面半径的长，然后利用勾股定理求得圆锥的高.解：设圆锥的底面周长是l ，则901m 1801802n r l πππ⨯⨯===， 则圆锥的底面半径是：()12m 24ππ÷=，m . 故选：C .【考点】圆锥的计算11.【答案】C【解析】由图形可知图①中白色小正方形地砖有12块，图②中白色小正方形地砖有127+块，图③中白色小正方形地砖有1272+⨯块，…，可知图中白色小正方形地砖有()127175n n +-=+，再令50n =，代入即可.解：由图形可知图中白色小正方形地砖有()127175n n +-=+（块）当50n =时，原式7505355=⨯+=（块） 故选：C . 【考点】规律型 12.【答案】D【解析】根据旋转的性质和30°角的直角三角形的性质可得AB '的长，进而可得B C '的长，过点D 作DM BC ⊥于点M ，过点B '作B E BC '⊥于点E ，B F DM '⊥于点F ，如图，则四边形B EMF '是矩形，解Rt B EC '△可得B E '的长，即为FM 的长，根据三角形的内角和易得30B DN C ︒'∠=∠=，然后解Rt B DF '△可求出DF 的长，进一步即可求出结果.解：在Rt ABC △中，2AB =∵，30C ︒∠=，24AC AB ==∴，∵将Rt ABC △绕点A 旋转得到Rt A B C '''△，使点B 的对应点B '落在AC 上，2AB AB '==∴，2B C '=∴，过点D 作DM BC ⊥于点M ，过点B '作B E BC '⊥于点E ，B F DM '⊥于点F ，交AC 于点N ，如图，则四边形B EMF '是矩形，FM B E '=∴，在Rt B EC '△中，1sin30212B E BC ︒''==⨯=，1FM =∴， 90DB N CMN ︒'∠=∠=∵，B ND MNC '∠=∠，∴30B DN C ︒'∠=∠=∴，在Rt B DF '△中，cos302DF B D ︒'=== 1DM FM DF =+=+∴，即点D 到BC 1.故选：D .【考点】直角三角形，矩形的判定和性质，旋转的性质非选择题二、13.【答案】()()21x x --【解析】先把二、三两项分为一组，提取一个负号，再提取公因式()2x -即可. 解：原式()()()()2221x x x x x =---=--【考点】提公因式法分解因式14.【答案】60°【解析】连接OB ，证明OAB △，OBC △都是等边三角形，得到°120AOC =△，进而求出ADC ∠. 解：连接OB ，∵四边形OABC 为菱形，OA OB =，OA OB OC AB BC ====∴，OAB ∴△，OBC △都是等边三角形，°60AOB BOC ∠=∠=∴， °120AOC ∠=∴，AC AC =∵，1602ADC AOC ︒∠=∠=∴．故答案为：60°.【考点】菱形的性质，圆的半径都相等，圆周角定理，等边三角形性质 15.【答案】a -【解析】分式的混合运算，根据分式的加减乘除混合运算法则可以解答本题，括号里先通分运算，再进行括号外的除法运算，即可解答本题.解：()2221111111111111a a a aaa a a a a a a a a a a a⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭⎛⎫=+÷ ⎪--⎝⎭=÷--=⨯--=-－－ 故答案是：a -. 【考点】分式的混合运算【解析】先画出树状图求出所有等可能的结果数，再找出抽到同一类书籍的结果数，然后根据概率公式求解即可.解：“科技”、“文学”、“艺术”三类书籍分别用A 、B 、C 表示，则所有可能出现的结果如下图所示：由上图可知：共有9种等可能的结果数，其中抽到同一类书籍的结果数有3种，∴抽到同一类书籍的概率3193==. 故答案为：13.【解析】先求出2AC BC ==，作点B 关于y 轴对称的点E ，连接AE ，交y 轴于D ，此时AE AD BD =+且AD BD +值最小，即此时四边形ACBD 的周长最小；作FG y 轴，AG x 轴，交于点G ，则GF AG ⊥，根据勾股定理求出AE 即可.解：()11A ∵，，点C 的纵坐标为1，AC x ∴轴，∵点()11A ，，()33B ，是第一象限角平分线上的两点， °45BAC ∠=∴，CA CB =∵，°45BAC ABC ∠=∠=∴， °90C∠=∴，BC y ∴轴，2AC BC ==∴，作点B 关于y 轴对称的点E ，连接AE ，交y 轴于D ，此时AE AD BD =+，且AD BD +值最小，∴此时四边形ACBD 的周长最小，作FGy 轴，AG x 轴，交于点G ，则GF AG ⊥，2EG =∴，4GA =，在Rt AGE △中，AE ===∴四边形ACBD的周长最小值为224++=+【考点】四条线段和最短问题 三、18.【答案】解：131722324334x x x x x ⎧+-⎪⎪⎨--⎪+⎪⎩＜①≥② 解不等式①，得3x ＜. 解不等式②，得45x -≥. 在同一数轴上表示出不等式①，②的解集：所以该不等式组的解集是435x -≤＜. 它的所有整数解为0，1，2.【解析】分别求出两个不等式，确定不等式组的解集，写出整数解即可.具体解题过程参照答案. 【考点】不等式组19.【答案】解：（1）1815%120÷=，12010%12a =⨯=，12030%36b =⨯=， 故答案为：120，12，36.（2）E 类别的人数为：1201812303624----=（人） 补全条形统计图如图所示：（3）C 类别所占的百分比为：3012025%÷=，302500625120⨯=（人） 答：全校喜爱“葫芦雕刻”的学生人数约为625人.【解析】（1）由A 所占的百分比及参加A 类活动课的人数可求得总人数，再由总人数及B 和D 所占的百分比即可求得a 和b 的值.具体解题过程参照答案.（2）先求得E 类活动课参加的人数，再补全条形统计图即可.具体解题过程参照答案. （3）先求出抽样调查中喜爱“葫芦雕刻”的学生所占的百分比，即可求得全校喜爱“葫芦雕刻”的学生人数.具体解题过程参照答案. 【考点】条形统计图和扇形统计图的综合运用20.【答案】解：（1）设这一批树苗平均每棵的价格是x 元， 根据题意，得630600100.9 1.2x x-=， 解之，得20x =.经检验知，20x =是原分式方程的根，并符合题意. 答：这一批树苗平均每棵的价格是20元.（2）由（1）可知A 种树苗每棵价格为0.12098⨯=元，B 种树苗每棵价格为20 1.224⨯=元，设购进A种树苗t棵，这批树苗的费用为w，则()182455006132000w t t t=+-=-+.w∵是t的一次函数，60k=-＜，w随着t的增大而减小，又3500t≤，∴当3500t=棵时，w最小.此时，B种树苗有550035002000-=棵，35001320060111000w⨯+==-.答：购进A种树苗3500棵，B种树苗2000棵，能使得购进这批树苗的费用最低为111000元.【解析】（1）设这一批树苗平均每棵的价格是x元，分别表示出两种树苗的数量，根据“每捆A种树苗比每捆B种树苗多10棵”列方程即可求解.具体解题过程参照答案.（2）设购进A种树苗t棵，这批树苗的费用为w，得到w与t的关系式，根据题意得到t的取值范围，根据函数增减性即可求解.具体解题过程参照答案.【考点】分式方程的实际应用，一次函数实际应用，不等式应用21.【答案】∵四边形ABCD是平行四边形//AB CD∴，AB CD=，AD BC=BAE CFE∠=∠∴，ABE FCE∠=∠E∵为BC的中点EB EC=∴()ABE FCE AAS≅∴△△AB CF=∴AB CF∵∴四边形ABFC是平行四边形AF AD=∵BC AF=∴∴平行四边形ABFC是矩形.【解析】先根据平行四边形的性质、平行线的性质得到两角一边对应相等，再根据三角形全等的判定定理与性质可得AB CF=，然后根据平行四边形的判定可得四边形ABFC 是平行四边形，又根据等量代换可得BC AF=，最后根据矩形的判定（对角线相等的平行四边形是矩形）可得四边形ABFC是矩形.具体解题过程参照答案.【考点】平行四边形的判定与性质，三角形全等的判定定理与性质，矩形的判定22.【答案】解：过点N作EF AC交AB于点E，交CD于点F.则 1.6AE MN CF===35EF AC==，°90BEN DFN∠==，EN AM=，NF MC=，16.6 1.615DF CD CF=-=-=.在Rt DFN△中，°45DNF∠=∵，15NF DF==∴.351520EN EF NF=-=-=∴.在Rt BEN△中，tanBEBNEEN∠=∵，°tan20tan5520 1.4328.6BE EN BNE=∠=⨯≈⨯=∴.28.6 1.630AB BE AE=+=+≈∴.答：居民楼AB的高度约为30m.【解析】过点N作EF AC交AB于点E，交CD于点F，可得 1.6AE MN CF===，35EF AC==，再根据锐角三角函数可得BE的长，进而可得AB的高度.具体解题过程参照答案.【考点】直角三角形的应用-仰角俯角23.【答案】解：（1）()23A-∵，在kyx=的图象上，数学试卷第21页（共26页）数学试卷第22页（共8页）32k=-∴，6k =-， 又点()1B m ，在6y x -=的图象上，6m =-，即()16B -，. 将点A ，B 的坐标代入y ax b =+，得326a ba b =-+⎧⎨-=+⎩，解得33a b =-⎧⎨=-⎩．∴直线的表达式为33y x =--.（2）设直线33y x =--与x 轴的交点为E ，当0y =时，解得1x =-．即()10E -，. 分别过点A ，B 作x 轴的垂线AC ，BD ，垂足分别为C ，D .1136922222PAB S PE AC PE DB PE PE PE =+=+=△. 又18PAB S =△，即9182PE =，4PE =∴.当点P 在原点右侧时，()30P ，， 当点P 在原点左侧时，()50P -，. 【解析】（1）通过点A 的坐标确定反比例函数的解析式，再求得B 的坐标，利用待定系数法将A ，B 的坐标代入，可得到一次函数的解析式.具体解题过程参照答案.（2）直线33y x =--与x 轴的交点为()10E -，，过点A ，B 作x 轴的垂线AC ，BD ，垂足分别为C ，D ，得到9182PAB S PE ==△，即4PE =，分情况讨论即可解决.具体解题过程参照答案.【考点】反比例函数的性质，一次函数的性质 24.【答案】（1）证明：连接OD ，BD ，AB ∵为O 的直径， BD AD ⊥∴，又AB BC =∵，ABC △是等腰三角形，AD DC =∴，OD ∴是ABC △的中位线，OD BC ∴，又DE BC ⊥，DE OD⊥∴，DE ∴是O 的切线；（2）由（1）知，BD 是AC 边上的中线，AC = 得AD CD ==，O ∵的半径为5，10AB =∴，在RtABD △中，BD =AB BC =∵，A C ∠=∠∴，在Rt CDE△和Rt ABD △中，°90DEC ADB ∠=∠=∵，C A ∠=∠，数学试卷第23页（共26页）数学试卷第24页（共26页）Rt CDE Rt ABD ∴△∽△，CD DEAB BD =∴=， 解得：3DE =.【解析】（1）连接OD 、BD ，求出BD AD ⊥，AD DC =，根据三角形的中位线得出OD BC ，推出OD DE ⊥，根据切线的判定推出即可.具体解题过程参照答案.（2）先利用勾股定理求出BD 的长，证得Rt CDE △和Rt ABD △，利用对应边成比例即可求解.具体解题过程参照答案.【考点】切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，三角形中位线的判定与性质25.【答案】（1）由题意，将()10A -，，()40B ，代入24y ax bx =++，得 4016440a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得13a b =-⎧⎨=⎩， ∴二次函数的表达式为234y x x =-++，当0x =时，4y =，∴点C 的坐标为()04，，又点B 的坐标为()40，， 设线段BC 所在直线的表达式为y mx n =+，440n m n =⎧⎨+=⎩∴，解得14m n =-⎧⎨=⎩，BC ∴所在直线的表达式为4y x =-+；（2）DE x ⊥∵轴，PF x ⊥轴，DE PF ∴，只要DE PF =，此时四边形DEFP 即为平行四边形.由二次函数223253424y x x x ⎛⎫=-++=-+ ⎪⎝⎭，得D 的坐标为32524⎛⎫ ⎪⎝⎭，，将32x =代入4y x =-+，即35422y =-+=，得点E 的坐标为3522⎛⎫⎪⎝⎭，，25515424DE =-=∴. 设点P 的横坐标为t ，则()234P t t t ++，-，()4F t t -+，， ()223444PF t t t t t =-++--+=-+， 由DE PF =，得21544t t -+=， 解之，得132t =（不合题意，舍去），252t =. 当52t =时，2255213434224t t ⎛⎫-++=-+⨯+= ⎪⎝⎭，P ∴的坐标为52124⎛⎫⎪⎝⎭，.（3）由（2）知，PFDE ，CED CFP ∠=∠∴，又PCF ∠与DCE ∠有共同的顶点C ，且PCF ∠在DCE ∠的内部，PCF DCE ∠≠∠∴，∴只有当PCF DCE ∠=∠时，CDE PCF △∽△，数学试卷第25页（共26页）数学试卷第26页（共8页）由32524D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，()04C ，，3522E ⎛⎫⎪⎝⎭，，利用勾股定理，可得CE ，25515424DE =-=，由（2）以及勾股定理知，24PF t t =-+，()4F t t -+，，CF ==，CDE PCF ∵△∽△，PF CFCE DE =∴24=， 0t ≠∵，()15434t -+=∴， 165t =∴.当165t =时，2216168434345525t t ⎛⎫-++=-+⨯+= ⎪⎝⎭.【解析】（1）运用待定系数法，利用A ，B 两点的坐标构建二元一次方程组求解二次函数的表达式，利用B ，C 两点的坐标确定直线BC 的表达式.具体解题过程参照答案. （2）先求得DE 的长，根据平行四边形的性质得到PF DE =，点P 与点F 的横坐标相同，故利用抛物线与直线的解析式表示它们的纵坐标，根据其差等于DE 长构建一元二次方程求解.具体解题过程参照答案.（3）结合图形与已知条件，易于发现若两三角形相似，只可能存在CDE PCF △∽△一种情况.CDE △的三边均可求，（2）中已表示PF 的长，再构建直角三角形或借助两点间距离公式，利用勾股定理表示出CF 的长，这样根据比例式列方程求解，从而可判断点P 是否存在，以及求解点P 的值.具体解题过程参照答案.【考点】一次函数的性质，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理的应用。

2020年山东聊城中考数学试卷（解析版）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1.在实数，，，中，最小的实数是（ ）．A. B. C. D.2.如图所示的几何体的俯视图是（ ）．正面A. B. C. D.3.如图，在中，，，点是边上任意一点，过点作交于点，则的度数是（ ）．A. B. C. D.4.下列计算正确的是（ ）．A.B.C.D.为了增强学生预防新冠肺炎的安全意识，某校开展疫情防控知识竞赛．来自不同年级的名参赛同学的得分情况如下表所示，这些成绩的中位数和众数分别是（ ）．成绩分人数人A.分，分B.分，分C.分，分D.分，分6.计算的结果正确的是（ ）．A.B.C.D.7.如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为（ ）．A.B.C.D.8.用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）．A.C.D.9.如图，是⊙的直径，弦，垂足为点，连接，，如果，，那么图中阴影部分的面积是（ ）．A.B.C.D.10.如图，有一块半径为，圆心角为的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（ ）．A.B.C.D.11.人行道用同样大小的灰、白两种不同颜色的小正方形地砖铺设而成，如图中的每一个小正方形表示一块地砖，如果按图①②③的次序铺设地砖，把第个图形用图表示，那么图㊿中的白色小正方形地砖的块数是（ ）．A.B.C.D.12.如图，在中，，，将绕点转得到，使点的对应点落在上，在上取点，使得，那么，点到的距离等于（ ）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）13.因式分解： ．14.如图，在⊙中，四边形为菱形，点在，则的度数是 ．15.计算：．16.某校开展读书日活动，小亮和小莹分别从校图书馆的“科技”、“文学”、“艺术”三类书籍中随机地抽取一本，抽到同一类书籍的概率是 ．17.如图，在直角坐标系中，点，是第一象限角平分线上的两点，点的纵坐标为，且，在轴上取一点，连接，，，，使得四边形的周长最小，这个最小周长的值为 ．三、解答题（本大题共8小题，共69分）18.解不等式组，并写出它的所有整数解．人数活动课类别（1）19.为了提高学生的综合素养，某校开设了五门手工活动课按照类别分为，“剪纸”、“沙画”、“葫芦雕刻”、“泥塑”、“插花”．为了了解学生对每种活动课的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，回答下列问题：本次调查的样本容量为 ，统计图中的，．（2）（3）通过计算补全条形统计图．该校共有名学生，请你估计全校喜爱“葫芦雕刻”的学生人数．（1）（2）20.今年植树节期间，某景观园林公司购进一批成捆的、两种树苗，每捆种树苗比每捆种树苗多棵，每捆种树苗和每捆种树苗的价格分别是元和元，而每棵种树苗和每棵种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的倍和倍．求这一批树苗平均每棵的价格是多少元？如果购进的这批树苗共棵，种树苗至多购进棵，为了使购进的这批树苗的费用最低，应购进种树苗和种树苗各多少棵？并求出最低费用．21.如图，已知平行四边形中，是的中点，连接并延长，交的延长线于点，且，连接，求证：四边形是矩形．A DCBEF22.如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼的高度进行测量．先测得居民楼与之间的距离为，后站在点处测得居民楼的顶端的仰角为．居民楼的顶端的仰角为．已知居民楼的高度为，小莹的观测点距地面．求居民楼的高度（精确到）．（参考数据：，，）23.如图，已知反比例函数的图象与直线相交于点，．（1）（2）求出直线的表达式．在轴上有一点使得的面积为，求出点的坐标．（1）（2）24.如图，在中，，以的边为直径作⊙，交于点，过点作，垂足为点．试证明是⊙的切线．若⊙的半径为，，求此时的长．（1）（2）25.如图，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，抛物线的顶点为，其对称轴与线段交于点．垂直于轴的动直线分别交抛物线和线段于点和点，动直线在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿轴正方向移动到点．求出二次函数和所在直线的表达式．在动直线移动的过程中，试求使四边形为平行四边形的点的坐标．【答案】解析:在实数大小比较中，负数小于与正数；两个负数中绝对值大的反而小，所给四个实数按从小到大排列为，所以这四个实数中最小．故选 ．解析:从上面看几何体所得到的图形为俯视图，其中看得见的轮廓画实线，故选项符合题意．解析:可利用三角形的外角性质求的度数，结合等腰三角形与平行线的性质，可得、均与相等．∵，∴．∵，∴．∴．故选．解析:连接，，在移动直线移动的过程中，抛物线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似，如果存在，求出点的坐标，如果不存在，请说明理由．D 1.C 2.B 3.C 4.B 5.个数据按大小顺序以表格形式呈现，处于中间位置的第与个数据分别是与，故这些成绩的中位数为分；出现的次数最多为次，故这些成绩的众数是分．故选．解析:方法一：原式．方法二：原式．故选．解析:利用网格特征把放置于直角三角形中求正弦值．过点作交于点，如图，在中，由勾股定理，得，于是．故选．解析:由，得，∴，∴，A 6.D 7.A 8.故选．解析:∵，且是⊙的直径，∴，∵，∴，又∵，∴≌（），∴，∴，∴，∴．故选．解析:设圆锥形容器底面圆的半径为，则有，解得，则圆锥的高为．故选．解析:方法一：该类规律猜想题可从图形规律、数字规律或函数等角度分析求解．根据图形规律可知，白色小正方形地砖的块数分别为：①；B 9.阴影扇形C 10.C 11.③；则图有白色小正方形地砖的块数是，图㊿中的白色小正方形地砖的块数是．方法二：从数字规律考虑，图①、②、③中白色小正方形地砖的块数分别为，，，发现相邻两数的差均为，即有①； ②； ③；则图中白色小正方形地砖的块数是，㊿中的白色小正方形地砖的块数是．方法三：从函数角度入手考虑，根据题意，初步猜想白色小正方形地砖的块数与图形序号具有一次函数关系，设，把、代入，得，解得，∴．验证：当时，，符合题意．当时，．解析:如图，设于点，交于点，则，∴，在中，设，根据勾股定理，得，解得，∴，由旋转知，在中，，∴，∴，D 12.∴，∴，∴．故选：．13.解析:．故答案为：．14.解析:利用圆周角定理、圆内接四边形的性质以及菱形的对角相等构建方程求解．在菱形中，，又∵，，∴，∴．故答案为：．15.解析:方法一：原式．方法二：原式．16.解析:根据题意，列表如下：小亮小莹科技文学艺术科技（科技，科技）（文学，科技）（艺术，科技）文学（科技，文学）（文学，文学）（艺术，文学）艺术（科技，艺术）（文学，艺术）（艺术，艺术）可知，一共有种等可能的情况，其中抽到同一类书籍的有种，所以，故答案为．解析:由点与点的纵坐标均为，可知轴，又因为点，是第一象限角平分线上的两点，∴，则．如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，为线段的长．由轴对称性可知，则，在中，根据勾股定理，得，∴四边形的最小周长为．解析:，解不等式①，得，解不等式②，得．在同一数轴上表示出表达式①，②的解集：抽到同一类书籍17.；，，．18.①②（1）（2）（3）（1）（2）所以该不等式组的解集是，它的所有整数解为，，．解析:已知类别的人数与所占抽取人数的百分比，由此可先求得样本容量为，则，．故答案为：，，．类别所占的百分比为：；类别的人数为：（人）．补全条形统计图如图所示：人数活动课类别（人）．答：全校喜爱“葫芦雕刻”的学生人数约为人．解析:设这一批树苗平均每棵的价格是元，根据题意，得，解之，得．经检验知，是原分式方程的根，并符合题意．答：这一批树苗平均每棵的价格是元．由（）可知种树苗每棵价格为元，种树苗每棵价格为元，（1）;;（2）画图见解析．（3）人．19.（1）这一批树苗平均每棵的价格是元．（2）购进种树苗棵，种树苗棵，能使得购进这批树苗的费用最低为元．20.设购进种树苗棵，这批树苗的费用为，则，因为是的一次函数，，随着的增大而减小，又，所以当棵时，最小．此时，种树苗有棵．．答：购进种树苗棵，种树苗棵，能使得购进这批树苗的费用最低为元．解析:∵四边形是平行四边形，∴，，∴，，∵为的中点，∴，∴≌，∴．∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是矩形．解析:过点作交于点，交于点．则，，，，，证明见解析．21.．22.（1）（2）则．在中，∵，∴，∴．在中，∵，∴，∴．答：居民楼的高度约为．解析:∵在的图象上，∴，．又点在的图象上，∴，即．将点，的坐标代入，得，解得，∴直线的表达式为．（1）．（2）当点在原点右侧时，．当点在原点左侧时，．23.（1）设直线与轴的交点为，当时，解得，即．分别过点，作轴的垂线，，垂足分别为，．．又，即，∴．当点在原点右侧时，．当点在原点左侧时，．解析:连接，，∵为⊙的直径，∴，又∵，是等腰三角形，∴又是边上的中线，∴是的中位线，（1）证明见解析．（2）．24.（2）（1）（2）又，∴，∴是⊙的切线．由（）知，是边上的中线，，得∵⊙的半径为，∴，在中，，∵，∴，在和中，∵，，∴，∴，即，解得．解析:由题意，将，代入，得，解得，∴二次函数的表达式为．当时，，得点，又点，设线段所在直线的表达式为，∴，解得，∴所在直线的表达式为．∵轴，轴，（1）．（2）．（3）存在，．25.（3）只要，此时四边形即为平行四边形．由二次函数，得．将代入，即，得点，∴．设点的横坐标为，则，，，由，得，解之，得（不合题意，舍去），．当时，，∴．由（）知，，∴．又与有共同的顶点，且在的内部，∴，∴只有当时，．由，，，利用勾股定理，可得，．由（）以及勾股定理知，，，∴，即．∵，∴，当时，，∴点的坐标是．。

2020年山东省聊城市中考数学试卷一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．在实数﹣，﹣2，0，中，最小的实数是（）A．﹣2 B．0 C．﹣D．2．如图，AB∥CD，∠B=68°，∠E=20°，则∠D的度数为（）A．28° B．38° C．48° D．88°3．地球的体积约为1012立方千米，太阳的体积约为1.4×1018立方千米，地球的体积约是太阳体积的倍数是（）A．7.1×10﹣6B．7.1×10﹣7C．1.4×106D．1.4×1074．把8a3﹣8a2+2a进行因式分解，结果正确的是（）A．2a（4a2﹣4a+1）B．8a2（a﹣1）C．2a（2a﹣1）2D．2a（2a+1）25．某体校要从四名射击选手中选拔一名参加省体育运动会，选拔赛中每名选手连续射靶10次，他们各自的平均成绩及其方差S2如表所示：甲乙丙丁（环）8.4 8.6 8.6 7.6S20.74 0.56 0.94 1.92如果要选出一名成绩高且发挥稳定的选手参赛，则应选择的选手是（）A．甲B．乙C．丙D．丁6．用若干个大小相同的小正方形体组合成的几何体的主视图和俯视图如图所示，下面所给的四个选项中，不可能是这个几何体的左视图的是（）A．B．C．D．7．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=的图象可能是（）A．B．C．D．8．在如图的2020年6月份的月历表中，任意框出表中竖列上三个相邻的数，这三个数的和不可能是（）A．27 B．51 C．69 D．729．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且=，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（）A．45° B．50° C．55° D．60°10．不等式组的解集是x＞1，则m的取值范围是（）A．m≥1 B．m≤1 C．m≥0 D．m≤011．如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，若∠2=40°，则图中∠1的度数为（）A．115° B．120° C．130° D．140°12．聊城“水城之眼”摩天轮是亚洲三大摩天轮之一，也是全球首座建筑与摩天轮相结合的城市地标，如图，点O是摩天轮的圆心，长为110米的AB是其垂直地面的直径，小莹在地面C点处利用测角仪测得摩天轮的最高点A的仰角为33°，测得圆心O的仰角为21°，则小莹所在C点到直径AB所在直线的距离约为（tan33°≈0.65，tan21°≈0.38）（）A．169米B．204米C．240米D．407米二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，只要求填写最后结果）13．计算：=．14．如果关于x的一元二次方程kx2﹣3x﹣1=0有两个不相等的实根，那么k的取值范围是．15．如图，已知圆锥的高为，高所在直线与母线的夹角为30°，圆锥的侧面积为．16．如图，随机地闭合开关S1，S2，S3，S4，S5中的三个，能够使灯泡L1，L2同时发光的概率是．17．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推…、则正方形OB2020B2020C2020的顶点B2020的坐标是．三、解答题（本题共8个小题，共69分，解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤）18．计算：（﹣）．19．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C （﹣1，3）．（1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（4，0），写出顶点A1，B1的坐标；（2）若△ABC和△A1B2C2关于原点O成中心对称图形，写出△A1B2C2的各顶点的坐标；（3）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A2B3C3，写出△A2B3C3的各顶点的坐标．20．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点E是AC的中点，AC=2AB，∠BAC的平分线AD交BC于点D，作AF∥BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC．求证：四边形ADCF是菱形．21．为了让书籍开拓学生的视野，陶冶学生的情操，向阳中学开展了“五个一”课外阅读活动，为了解全校学生课外阅读情况，抽样调查了50名学生平均每天课外阅读时间（单位：min），将抽查得到的数据分成5组，下面是尚未完成的频数、频率分布表：组别分组频数（人数）频率1 10≤t＜30 0.162 30≤t＜50 203 50≤t＜70 0.284 70≤t＜90 65 90≤t＜110（1）将表中空格处的数据补全，完成上面的频数、频率分布表；（2）请在给出的平面直角坐标系中画出相应的频数直方图；（3）如果该校有1500名学生，请你估计该校共有多少名学生平均每天阅读时间不少于50min？22．为加快城市群的建设与发展，在A，B两城市间新建条城际铁路，建成后，铁路运行里程由现在的120km 缩短至114km，城际铁路的设计平均时速要比现行的平均时速快110km，运行时间仅是现行时间的，求建成后的城际铁路在A，B两地的运行时间．23．如图，在直角坐标系中，直线y=﹣x与反比例函数y=的图象交于关于原点对称的A，B两点，已知A 点的纵坐标是3．（1）求反比例函数的表达式；（2）将直线y=﹣x向上平移后与反比例函数在第二象限内交于点C，如果△ABC的面积为48，求平移后的直线的函数表达式．24．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，点E为OB的中点，连接CE并延长交⊙O于点F，点F恰好落在的中点，连接AF并延长与CB的延长线相交于点G，连接OF．（1）求证：OF=BG；（2）若AB=4，求DC的长．25．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（9，0）和C（0，4）．CD垂直于y轴，交抛物线于点D，DE垂直与x轴，垂足为E，l是抛物线的对称轴，点F是抛物线的顶点．（1）求出二次函数的表达式以及点D的坐标；（2）若Rt△AOC沿x轴向右平移到其直角边OC与对称轴l重合，再沿对称轴l向上平移到点C与点F 重合，得到Rt△A1O1F，求此时Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分的图形的面积；（3）若Rt△AOC沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t≤6）得到Rt△A2O2C2，Rt△A2O2C2与Rt△OED重叠部分的图形面积记为S，求S与t之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．2020年山东省聊城市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．在实数﹣，﹣2，0，中，最小的实数是（）A．﹣2 B．0 C．﹣D．【考点】实数大小比较．【分析】根据负数的绝对值越大，这个数越小，然后根据正数大于0，负数小于0进行大小比较即可．【解答】解：实数﹣，﹣2，0，中，最小的实数是﹣2，故选A【点评】此题考查了实数大小比较：正数大于0，负数小于0；负数的绝对值越大，这个数越小．2．如图，AB∥CD，∠B=68°，∠E=20°，则∠D的度数为（）A．28° B．38° C．48° D．88°【考点】平行线的性质．【分析】根据平行线的性质得到∠1=∠B=68°，由三角形的外角的性质即可得到结论．【解答】解：如图，∵AB∥CD，∴∠1=∠B=68°，∵∠E=20°，∴∠D=∠1﹣∠E=48°，故选C．【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．3．地球的体积约为1012立方千米，太阳的体积约为1.4×1018立方千米，地球的体积约是太阳体积的倍数是（）A．7.1×10﹣6B．7.1×10﹣7C．1.4×106D．1.4×107【考点】整式的除法．【分析】直接利用整式的除法运算法则结合科学记数法求出答案．【解答】解：∵地球的体积约为1012立方千米，太阳的体积约为1.4×1018立方千米，∴地球的体积约是太阳体积的倍数是：1012÷1.4×1018≈7.1×10﹣7．故选：B．【点评】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．4．把8a3﹣8a2+2a进行因式分解，结果正确的是（）A．2a（4a2﹣4a+1）B．8a2（a﹣1）C．2a（2a﹣1）2D．2a（2a+1）2【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】首先提取公因式2a，进而利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：8a3﹣8a2+2a=2a（4a2﹣4a+1）=2a（2a﹣1）2．故选：C．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键．5．某体校要从四名射击选手中选拔一名参加省体育运动会，选拔赛中每名选手连续射靶10次，他们各自的平均成绩及其方差S2如表所示：甲乙丙丁（环）8.4 8.6 8.6 7.6S20.74 0.56 0.94 1.92如果要选出一名成绩高且发挥稳定的选手参赛，则应选择的选手是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【考点】方差．【分析】从平均成绩分析乙和丙要比甲和丁好，从方差分析甲和乙的成绩比丙和丁稳定，综合两个方面可选出乙．【解答】解：根据平均成绩可得乙和丙要比甲和丁好，根据方差可得甲和乙的成绩比丙和丁稳定，因此要选择一名成绩高且发挥稳定的学生参赛，因选择乙，故选：B【点评】此题主要考查了方差和平均数，关键是掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．6．用若干个大小相同的小正方形体组合成的几何体的主视图和俯视图如图所示，下面所给的四个选项中，不可能是这个几何体的左视图的是（）A．B．C．D．【考点】由三视图判断几何体；简单组合体的三视图．【分析】由俯视图可得此几何体底面有5个小正方形分为3列3排，根据主视图可得这个几何体的左视图有2层高，依此即可求解．【解答】解：由俯视图可得此几何体底面有5个小正方形分为3列3排，根据主视图可得这个几何体的左视图有2层高，可得这个几何体的左视图不可能是3层高．故选：C．【点评】此题主要考查了画三视图，关键是根据主视图和俯视图分析出每排小正方体的个数．7．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象；二次函数的图象．【专题】函数及其图象．【分析】根据二次函数y=ax2+bx+c的图象，可以判断a、b、c的正负情况，从而可以判断一次函数y=ax+b 与反比例函数y=的图象分别在哪几个象限，从而可以解答本题．【解答】解：由二次函数y=ax2+bx+c的图象可知，a＞0，b＜0，c＜0，则一次函数y=ax+b的图象经过第一、三、四象限，反比例函数y=的图象在二四象限，故选C．【点评】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象、二次函数的图象，解题的关键是明确它们各自图象的特点，利用数形结合的思想解答问题．8．在如图的2020年6月份的月历表中，任意框出表中竖列上三个相邻的数，这三个数的和不可能是（）A．27 B．51 C．69 D．72【考点】一元一次方程的应用．【分析】设第一个数为x，则第二个数为x+7，第三个数为x+14．列出三个数的和的方程，再根据选项解出x，看是否存在．【解答】解：设第一个数为x，则第二个数为x+7，第三个数为x+14故三个数的和为x+x+7+x+14=3x+21当x=16时，3x+21=69；当x=10时，3x+21=51；当x=2时，3x+21=27．故任意圈出一竖列上相邻的三个数的和不可能是72．故选：D．【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且=，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（）A．45° B．50° C．55° D．60°【考点】圆内接四边形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=105°，∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣105°=75°．∵=，∠BAC=25°，∴∠DCE=∠BAC=25°，∴∠E=∠ADC﹣∠DCE=75°﹣25°=50°．故选B．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．10．不等式组的解集是x＞1，则m的取值范围是（）A．m≥1 B．m≤1 C．m≥0 D．m≤0【考点】不等式的解集．【专题】计算题；一元一次不等式(组)及应用．【分析】表示出不等式组中两不等式的解集，根据已知不等式组的解集确定出m的范围即可．【解答】解：不等式整理得：，由不等式组的解集为x＞1，得到m+1≤1，解得：m≤0，故选D【点评】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键．11．如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，若∠2=40°，则图中∠1的度数为（）A．115° B．120° C．130° D．140°【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据折叠的性质和矩形的性质得出∠BFE=∠EFB'，∠B'=∠B=90°，根据三角形内角和定理求出∠CFB'=50°，进而解答即可．【解答】解：∵把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，∴∠BFE=∠EFB'，∠B'=∠B=90°，∵∠2=40°，∴∠CFB'=50°，∴∠1+∠EFB'﹣∠CFB'=180°，即∠1+∠1﹣50°=180°，解得：∠1=115°，故选A．【点评】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，三角形的内角和定理的应用，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键，注意：折叠后的两个图形全等．12．聊城“水城之眼”摩天轮是亚洲三大摩天轮之一，也是全球首座建筑与摩天轮相结合的城市地标，如图，点O是摩天轮的圆心，长为110米的AB是其垂直地面的直径，小莹在地面C点处利用测角仪测得摩天轮的最高点A的仰角为33°，测得圆心O的仰角为21°，则小莹所在C点到直径AB所在直线的距离约为（tan33°≈0.65，tan21°≈0.38）（）A．169米B．204米C．240米D．407米【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】过C作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，求得AD=CD•tan∠ACD=CD•tan33°，在Rt△BCO中，求得OD=CD•tan∠BCO=CD•tan21°，列方程即可得到结论．【解答】解：过C作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，AD=CD•tan∠ACD=CD•tan33°，在Rt△BCO中，OD=CD•tan∠BCO=CD•tan21°，∵AB=110m，∴AO=55m，∴A0=AD﹣OD=CD•tan33°﹣CD•tan21°=55m，∴CD==≈204m，答：小莹所在C点到直径AB所在直线的距离约为204m．故选B．【点评】此题主要考查了仰角与俯角的问题，利用两个直角三角形拥有公共直角边，能够合理的运用这条公共边是解答此题的关键．二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，只要求填写最后结果）13．计算：=12．【考点】二次根式的乘除法．【分析】直接利用二次根式乘除运算法则化简求出答案．【解答】解：=3×÷=3=12．故答案为：12．【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．14．如果关于x的一元二次方程kx2﹣3x﹣1=0有两个不相等的实根，那么k的取值范围是k＞﹣且k≠0．【考点】根的判别式．【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠0且△＞0，即（﹣3）2﹣4×k×（﹣1）＞0，然后解不等式即可得到k的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣3x﹣1=0有两个不相等的实数根，∴k≠0且△＞0，即（﹣3）2﹣4×k×（﹣1）＞0，解得：k＞﹣且k≠0．故答案为：k＞﹣且k≠0．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．15．如图，已知圆锥的高为，高所在直线与母线的夹角为30°，圆锥的侧面积为2π．【考点】圆锥的计算．【专题】计算题．【分析】先利用三角函数计算出BO，再利用勾股定理计算出AB，然后利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算圆锥的侧面积．【解答】解：如图，∠BAO=30°，AO=，在Rt△ABO中，∵tan∠BAO=，∴BO=tan30°=1，即圆锥的底面圆的半径为1，∴AB==2，即圆锥的母线长为2，∴圆锥的侧面积=•2π•1•2=2π．故答案为2π．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．16．如图，随机地闭合开关S1，S2，S3，S4，S5中的三个，能够使灯泡L1，L2同时发光的概率是．【考点】概率公式；概率的意义．【分析】求出随机闭合开关S1，S2，S3，S4，S5中的三个，共有几种可能情况，以及能让灯泡L1，L2同时发光的有几种可能，由此即可解决问题．【解答】解：∵随机地闭合开关S1，S2，S3，S4，S5中的三个共有10种可能，能够使灯泡L1，L2同时发光有2种可能（S1，S2，S4或S1，S2，S5）．∴随机地闭合开关S1，S2，S3，S4，S5中的三个，能够使灯泡L1，L2同时发光的概率是=．故答案为．【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．17．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推…、则正方形OB2020B2020C2020的顶点B2020的坐标是（21008，0）．【考点】正方形的性质；规律型：点的坐标．【分析】首先求出B1、B2、B3、B4、B5、B6、B7、B8、B9的坐标，找出这些坐标的之间的规律，然后根据规律计算出点B2020的坐标．【解答】解：∵正方形OA1B1C1边长为1，∴OB1=，∵正方形OB1B2C2是正方形OA1B1C1的对角线OB1为边，∴OB2=2，∴B2点坐标为（0，2），同理可知OB3=2，∴B3点坐标为（﹣2，2），同理可知OB4=4，B4点坐标为（﹣4，0），B5点坐标为（﹣4，﹣4），B6点坐标为（0，﹣8），B7（8，﹣8），B8（16，0）B9（16，16），B10（0，32），由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，∵2020÷8=252∴B2020的纵横坐标符号与点B8的相同，横坐标为正值，纵坐标是0，∴B2020的坐标为（21008，0）．故答案为：（21008，0）．【点评】本题主要考查正方形的性质和坐标与图形的性质的知识点，解答本题的关键是由点坐标的规律发现每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍．三、解答题（本题共8个小题，共69分，解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤）18．计算：（﹣）．【考点】分式的混合运算．【专题】计算题；分式．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．【解答】解：原式=•=•=﹣．【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C （﹣1，3）．（1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（4，0），写出顶点A1，B1的坐标；（2）若△ABC和△A1B2C2关于原点O成中心对称图形，写出△A1B2C2的各顶点的坐标；（3）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A2B3C3，写出△A2B3C3的各顶点的坐标．【考点】坐标与图形变化-旋转；坐标与图形变化-平移．【专题】作图题．【分析】（1）利用点C和点C1的坐标变化得到平移的方向与距离，然后利用此平移规律写出顶点A1，B1的坐标；（2）根据关于原点对称的点的坐标特征求解；（3）利用网格和旋转的性质画出△A2B3C3，然后写出△A2B3C3的各顶点的坐标．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，因为点C（﹣1，3）平移后的对应点C1的坐标为（4，0），所以△ABC先向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到△A1B1C1，所以点A1的坐标为（2，2），B1点的坐标为（3，﹣2）；（2）因为△ABC和△A1B2C2关于原点O成中心对称图形，所以A2（3，﹣5），B2（2，﹣1），C2（1，﹣3）；（3）如图，△A2B3C3为所作，A3（5，3），B3（1，2），C3（3，1）；【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．20．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点E是AC的中点，AC=2AB，∠BAC的平分线AD交BC于点D，作AF∥BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC．求证：四边形ADCF是菱形．【考点】菱形的判定．【专题】证明题．【分析】先证明△AEF≌△CED，推出四边形ADCF是平行四边形，再证明∠DAC=∠ACB，推出DA=DC，由此即可证明．【解答】证明：∵AF∥CD，∴∠AFE=∠CDE，在△AFE和△CDE中，，∴△AEF≌△CED，∴AF=CD，∵AF∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠B=90°，∠ACB=30°，∴∠CAB=60°，∵AD平分∠CAB，∴∠DAC=∠DAB=30°=∠ACD，∴DA=DC，∴四边形ADCF是菱形．【点评】本题考查菱形的判定、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．21．为了让书籍开拓学生的视野，陶冶学生的情操，向阳中学开展了“五个一”课外阅读活动，为了解全校学生课外阅读情况，抽样调查了50名学生平均每天课外阅读时间（单位：min），将抽查得到的数据分成5组，下面是尚未完成的频数、频率分布表：组别分组频数（人数）频率1 10≤t＜30 0.162 30≤t＜50 203 50≤t＜70 0.284 70≤t＜90 65 90≤t＜110（1）将表中空格处的数据补全，完成上面的频数、频率分布表；（2）请在给出的平面直角坐标系中画出相应的频数直方图；（3）如果该校有1500名学生，请你估计该校共有多少名学生平均每天阅读时间不少于50min？【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表．【专题】计算题；数据的收集与整理．【分析】（1）根据总人数50，以及表格中的数据确定出所求数据，填写表格即可；（2）根据表格中的数据作出相应的频数直方图，如图所示；（3）由时间不少于50min的百分比，乘以1500即可得到结果．【解答】解：（1）根据题意填写如下：组别分组频数（人数）频率1 10≤t＜30 8 0.162 30≤t＜50 20 0.403 50≤t＜70 14 0.284 70≤t＜90 6 0.125 90≤t＜110 2 0.04（2）作出条形统计图，如图所示：（3）根据题意得：1500×（0.28+0.12+0.04）=660（人），则该校共有660名学生平均每天阅读时间不少于50min．【点评】此题考查了频数分布直方图，用样本估计总体，以及频数分布表，弄清题中的数据是解本题的关键．22．为加快城市群的建设与发展，在A，B两城市间新建条城际铁路，建成后，铁路运行里程由现在的120km 缩短至114km，城际铁路的设计平均时速要比现行的平均时速快110km，运行时间仅是现行时间的，求建成后的城际铁路在A，B两地的运行时间．【考点】分式方程的应用．【分析】设城际铁路现行速度是xkm/h，设计时速是（x+110）xkm/h；现行路程是120km，设计路程是114km，由时间=，运行时间=现行时间，就可以列方程了．【解答】解：设城际铁路现行速度是xkm/h．由题意得：×=．解这个方程得：x=80．经检验：x=80是原方程的根，且符合题意．则×=×=0.6（h）．答：建成后的城际铁路在A，B两地的运行时间是0.6h．【点评】考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．23．如图，在直角坐标系中，直线y=﹣x与反比例函数y=的图象交于关于原点对称的A，B两点，已知A 点的纵坐标是3．（1）求反比例函数的表达式；（2）将直线y=﹣x向上平移后与反比例函数在第二象限内交于点C，如果△ABC的面积为48，求平移后的直线的函数表达式．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）将y=3代入一次函数解析式中，求出x的值，即可得出点A的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数的表达式；（2）根据A、B点关于原点对称，可求出点B的坐标以及线段AB的长度，设出平移后的直线的函数表达式，根据平行线间的距离公式结合三角形的面积即可得出关于b的一元一次方程，解方程即可得出结论．【解答】解：（1）令一次函数y=﹣x中y=3，则3=﹣x，解得：x=﹣6，即点A的坐标为（﹣6，3）．∵点A（﹣6，3）在反比例函数y=的图象上，∴k=﹣6×3=﹣18，∴反比例函数的表达式为y=﹣．（2）∵A、B两点关于原点对称，∴点B的坐标为（6，﹣3），∴AB==6．设平移后的直线的函数表达式为y=﹣x+b（b＞0），即x+2y﹣2b=0，直线y=﹣x可变形为x+2y=0，∴两直线间的距离d==b．∴S△ABC=AB•d=×6×b=48，解得：b=8．∴平移后的直线的函数表达式为y=﹣x+8．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题、反比例函数图象上点的坐标特征．三角形的面积公式以及平行线间的距离公式，解题的关键是：（1）求出点A的坐标；（2）找出关于b的一元一次方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，利用平行线间的距离公式要比通过解直角三角形简洁不少．24．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，点E为OB的中点，连接CE并延长交⊙O于点F，点F恰好落在的中点，连接AF并延长与CB的延长线相交于点G，连接OF．（1）求证：OF=BG；（2）若AB=4，求DC的长．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）直接利用圆周角定理结合平行线的判定方法得出FO是△ABG的中位线，即可得出答案；（2）首选得出△FOE≌△CBE（ASA），则BC=FO=AB=2，进而得出AC的长，再利用相似三角形的判定与性质得出DC的长．【解答】（1）证明：∵以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，点F恰好落在的中点，∴=，∴∠AOF=∠BOF，∵∠ABC=∠ABG=90°，∴∠AOF=∠ABG，∴FO∥BG，∵AO=BO，∴FO是△ABG的中位线，∴FO=BG；（2）解：在△FOE和△CBE中，，∴△FOE≌△CBE（ASA），∴BC=FO=AB=2，∴AC==2，连接DB，∵AB为⊙O直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADB=∠ABC，∵∠BCD=∠ACB，∴△BCD∽△ACB，∴=，∴=，解得：DC=．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，正确得出△BCD∽△ACB是解题关键．25．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（9，0）和C（0，4）．CD垂直于y轴，交抛物线于点D，DE垂直与x轴，垂足为E，l是抛物线的对称轴，点F是抛物线的顶点．（1）求出二次函数的表达式以及点D的坐标；（2）若Rt△AOC沿x轴向右平移到其直角边OC与对称轴l重合，再沿对称轴l向上平移到点C与点F 重合，得到Rt△A1O1F，求此时Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分的图形的面积；（3）若Rt△AOC沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t≤6）得到Rt△A2O2C2，Rt△A2O2C2与Rt△OED重叠部分的图形面积记为S，求S与t之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）用待定系数法求抛物线解析式；=S△A1O1F﹣S△FGH计算即可；（2）由GH∥A1O1，求出GH=1，再求出FH，S重叠部分（3）分两种情况①直接用面积公式计算，②用面积差求出即可．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（9，0）和C（0，4）．∴设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣9），∵C（0，4）在抛物线上，∴4=﹣27a，∴a=﹣，∴设抛物线的解析式为y=﹣（x+3）（x﹣9）=﹣x2+x+4，∵CD垂直于y轴，C（0，4）∴﹣x2+x+4=4，∴x=6，∵D（6，4），（2）如图1，∵点F是抛物线y=﹣x2+x+4的顶点，∴F（3，），∴FH=，∵GH∥A1O1，∴，∴，∴GH=1，∵Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分是梯形A1O1HG，∴S=S△A1O1F﹣S△FGH=A1O1×O1F﹣GH×FH=×3×4﹣×1×=．重叠部分（3）①当0＜t≤3时，如图2，∵C2O2∥DE，∴，∴，∴O2G=t，∴S=S△OO2G=OO2×O2G=t×t=t2，②当3＜t≤6时，如图3，∵C2H∥OC，∴，∴，∴C2H=（6﹣t），∴S=S=S△A2O2C2﹣S△C2GH四边形A2O2HG=OA×OC﹣C2H×（t﹣3）=×3×4﹣×（6﹣t）（t﹣3）=t2﹣3t+12∴当0＜t≤3时，S=t2，当3＜t≤6时，S=t2﹣3t+12．【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，平行线分线段成比例定理，三角形的面积计算，解本题的关键是画出图形．。

2020年山东省聊城市中考数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）1．（3分）64的立方根是（）A．4 B．8 C．±4 D．±82．（3分）在Rt△ABC中，cosA=，那么sinA的值是（）A．B．C．D．3．（3分）下列计算错误的是（）A．=4 B．32×3﹣1=3C．20÷2﹣2=D．（﹣3×102）3=﹣2.7×1074．（3分）如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是（）A．AB=AC B．AD=BD C．BE⊥AC D．BE平分∠ABC5．（3分）纽约、悉尼与北京时差如下表（正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北京时间晚的时数）：当北京6月15日23时，悉尼、纽约的时间分别是（）A．6月16日1时；6月15日10时 B．6月16日1时；6月14日10时C．6月15日21时；6月15日10时D．6月15日21时；6月16日12时6．（3分）如图是由若干小正方体组成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数，这个几何体的主视图是（）A．B．C．D．7．（3分）如果解关于x的分式方程﹣=1时出现增根，那么m的值为（）A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣48．（3分）计算（5﹣2）÷（﹣）的结果为（）A．5 B．﹣5 C．7 D．﹣79．（3分）如图是由8个全等的矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上，如果点P是某个小矩形的顶点，连接PA、PB，那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个10．（3分）为了满足顾客的需求，某商场将5kg奶糖，3kg酥心糖和2kg水果糖混合成什锦糖出售．已知奶糖的售价为每千克40元，酥心糖为每千克20元，水果糖为每千克15元，混合后什锦糖的售价应为每千克（）A．25元B．28.5元C．29元D．34.5元11．（3分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，使点B落在AB边上点B′处，此时，点A的对应点A′恰好落在BC边的延长线上，下列结论错误的（）A．∠BCB′=∠ACA′B．∠ACB=2∠BC．∠B′CA=∠B′AC D．B′C平分∠BB′A′12．（3分）端午节前夕，在东昌湖举行第七届全民健身运动会龙舟比赛中，甲、乙两队在500米的赛道上，所划行的路程y（m）与时间x（min）之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是（）A．乙队比甲队提前0.25min到达终点B．当乙队划行110m时，此时落后甲队15mC．0.5min后，乙队比甲队每分钟快40mD．自1.5min开始，甲队若要与乙队同时到达终点，甲队的速度需要提高到255m/min二、填空题（每小题3分，共15分）13．（3分）因式分解：2x2﹣32x4=．14．（3分）已知圆锥形工件的底面直径是40cm，母线长30cm，其侧面展开图圆心角的度数为．15．（3分）不等式组的解集是．16．（3分）如果任意选择一对有序整数（m，n），其中|m|≤1，|n|≤3，每一对这样的有序整数被选择的可能性是相等的，那么关于x的方程x2+nx+m=0有两个相等实数根的概率是．17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线l的函数表达式为y=x，点O1的坐标为（1，0），以O1为圆心，O1O为半径画圆，交直线l于点P1，交x轴正半轴于点O2，以O2为圆心，O2O为半径画圆，交直线l于点P2，交x轴正半轴于点O3，以O3为圆心，O3O为半径画圆，交直线l于点P3，交x轴正半轴于点O4；…按此做法进行下去，其中的长为．三、解答题（本题共8个小题，满分69分）18．（7分）先化简，再求值：2﹣÷，其中x=3，y=﹣4．19．（8分）如图，已知AB∥DE，AB=DE，BE=CF，求证：AC∥DF．20．（8分）为了绿化环境，育英中学八年级三班同学都积极参加植树活动，今年植树节时，该班同学植树情况的部分数据如图所示，请根据统计图信息，回答下列问题：（1）八年级三班共有多少名同学？（2）条形统计图中，m=，n=．（3）扇形统计图中，试计算植树2棵的人数所对应的扇形圆心角的度数．21．（8分）耸立在临清市城北大运河东岸的舍利宝塔，是“运河四大名塔”之一（如图1）．数学兴趣小组的小亮同学在塔上观景点P处，利用测角仪测得运河两岸上的A，B两点的俯角分别为17.9°，22°，并测得塔底点C到点B的距离为142米（A、B、C在同一直线上，如图2），求运河两岸上的A、B两点的距离（精确到1米）．（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin17.9°≈0.31，cos17.9°≈0.95，tan17.9°≈0.32）22．（8分）在推进城乡义务教育均衡发展工作中，我市某区政府通过公开招标的方式为辖区内全部乡镇中学采购了某型号的学生用电脑和教师用笔记本电脑，其中，A乡镇中学更新学生用电脑110台和教师用笔记本电脑32台，共花费30.5万元；B乡镇中学更新学生电脑55台和教师用笔记本电脑24台，共花费17.65万元．（1）求该型号的学生用电脑和教师用笔记本电脑单价分别是多少万元？（2）经统计，全部乡镇中学需要购进的教师用笔记本电脑台数比购进的学生用电脑台数的少90台，在两种电脑的总费用不超过预算438万元的情况下，至多能购进的学生用电脑和教师用笔记本电脑各多少台？23．（8分）如图，分别位于反比例函数y=，y=在第一象限图象上的两点A、B，与原点O在同一直线上，且=．（1）求反比例函数y=的表达式；（2）过点A作x轴的平行线交y=的图象于点C，连接BC，求△ABC的面积．24．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，O点在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）求证：△PBD∽△DCA；（3）当AB=6，AC=8时，求线段PB的长．25．（12分）如图，已知抛物线y=ax2+2x+c与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（6，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；（2）当点P移动到抛物线的什么位置时，使得∠PAB=75°，求出此时点P的坐标；（3）当点P从A点出发沿线段AB上方的抛物线向终点B移动，在移动中，点P 的横坐标以每秒1个单位长度的速度变动，与此同时点M以每秒1个单位长度的速度沿AO向终点O移动，点P，M移动到各自终点时停止，当两个动点移动t秒时，求四边形PAMB的面积S关于t的函数表达式，并求t为何值时，S有最大值，最大值是多少？2020年山东省聊城市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）1．（3分）（2020•聊城）64的立方根是（）A．4 B．8 C．±4 D．±8【分析】如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，根据此定义求解即可．【解答】解：∵4的立方是64，∴64的立方根是4．故选A．【点评】此题主要考查了求一个数的立方根，解题时应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．2．（3分）（2020•聊城）在Rt△ABC中，cosA=，那么sinA的值是（）A．B．C．D．【分析】利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值即可．【解答】解：∵Rt△ABC中，cosA=，∴sinA==，故选B【点评】此题考查了同角三角函数的关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握同角三角函数的关系是解本题的关键．3．（3分）（2020•聊城）下列计算错误的是（）A．=4 B．32×3﹣1=3C．20÷2﹣2=D．（﹣3×102）3=﹣2.7×107【分析】根据幂的乘方和积的乘方以及零指数幂和负指数幂进行计算即可．【解答】解：A、=4，正确，故A不合题意；B、32×3﹣1=3，正确，故B不合题意；C、20÷2﹣2=4，不正确，故C合题意；D、（﹣3×102）3=﹣2.7×107，正确，故D不合题意；故选C．【点评】本题考查了积的乘方和幂的乘方，以及零指数幂和负指数幂，掌握运算法则是解题的关键．4．（3分）（2020•聊城）如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE 是菱形，还需要添加的条件是（）A．AB=AC B．AD=BD C．BE⊥AC D．BE平分∠ABC【分析】当BE平分∠ABC时，四边形DBFE是菱形，可知先证明四边形BDEF是平行四边形，再证明BD=DE即可解决问题．【解答】解：当BE平分∠ABC时，四边形DBFE是菱形，理由：∵DE∥BC，∴∠DEB=∠EBC，∵∠EBC=∠EBD，∴∠EBD=∠DEB，∴BD=DE，∵DE∥BC，EF∥AB，∴四边形DBEF是平行四边形，∵BD=DE，∴四边形DBEF是菱形．其余选项均无法判断四边形DBEF是菱形，故选D．【点评】本题考查菱形的判定、平行四边形的判定和性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．5．（3分）（2020•聊城）纽约、悉尼与北京时差如下表（正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北京时间晚的时数）：当北京6月15日23时，悉尼、纽约的时间分别是（）A．6月16日1时；6月15日10时 B．6月16日1时；6月14日10时C．6月15日21时；6月15日10时D．6月15日21时；6月16日12时【分析】由统计表得出：悉尼时间比北京时间早2小时，悉尼比北京的时间要早2个小时，也就是6月16日1时．纽约比北京时间要晚13个小时，也就是6月15日10时．【解答】解：悉尼的时间是：6月15日23时+2小时=6月16日1时，纽约时间是：6月15日23时﹣13小时=6月15日10时．故选：A．【点评】本题考查了正数和负数．解决本题的关键是根据图表得出正确信息，再结合题意计算．6．（3分）（2020•聊城）如图是由若干小正方体组成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数，这个几何体的主视图是（）A．B．C．D．【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【解答】解：从正面看易得第一列有2个正方形，第二列有3个正方形，第三列有1个正方形．．故选：C．【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．7．（3分）（2020•聊城）如果解关于x的分式方程﹣=1时出现增根，那么m的值为（）A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣4【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣2=0，确定可能的增根；然后代入化为整式方程的方程求解，即可得到正确的答案．【解答】解：﹣=1，去分母，方程两边同时乘以x﹣2，得：m+2x=x﹣2，由分母可知，分式方程的增根可能是2，当x=2时，m+4=2﹣2，m=﹣4，故选D．【点评】本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．8．（3分）（2020•聊城）计算（5﹣2）÷（﹣）的结果为（）A．5 B．﹣5 C．7 D．﹣7【分析】先把二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的除法运算．【解答】解：原式=（﹣6）÷（﹣）=（﹣5）÷（﹣）=5．故选A．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．9．（3分）（2020•聊城）如图是由8个全等的矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上，如果点P是某个小矩形的顶点，连接PA、PB，那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】根据等腰直角三角形的判定即可得到结论．【解答】解：如图所示，使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是3，故选B．【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定，正确的找出符合条件的点P是解题的关键．10．（3分）（2020•聊城）为了满足顾客的需求，某商场将5kg奶糖，3kg酥心糖和2kg水果糖混合成什锦糖出售．已知奶糖的售价为每千克40元，酥心糖为每千克20元，水果糖为每千克15元，混合后什锦糖的售价应为每千克（）A．25元B．28.5元C．29元D．34.5元【分析】先求出买5kg奶糖，3kg酥心糖和2kg水果糖的总钱数，再除以总的千克数，即可得出混合后什锦糖的售价．【解答】解：根据题意得：（40×5+20×3+15×2）÷（5+3+2）=29（元），答：混合后什锦糖的售价应为每千克29元．故选C．【点评】此题考查了加权平均数，掌握加权平均数的计算公式是解题的关键，是一道基础题．11．（3分）（2020•聊城）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，使点B落在AB边上点B′处，此时，点A的对应点A′恰好落在BC边的延长线上，下列结论错误的（）A．∠BCB′=∠ACA′B．∠ACB=2∠BC．∠B′CA=∠B′AC D．B′C平分∠BB′A′【分析】根据旋转的性质得到∠BCB′=∠ACA′，故A正确，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠BB'C，根据三角形的外角的性质得到∠A'CB'=2∠B，等量代换得到∠ACB=2∠B，故B正确；等量代换得到∠A′B′C=∠BB′C，于是得到B′C平分∠BB′A′，故D正确．【解答】解：根据旋转的性质得，∠BCB'和∠ACA'都是旋转角，则∠BCB′=∠ACA′，故A正确，∵CB=CB'，∴∠B=∠BB'C，又∵∠A'CB'=∠B+∠BB'C，∴∠A'CB'=2∠B，又∵∠ACB=∠A'CB'，∴∠ACB=2∠B，故B正确；∵∠A′B′C=∠B，∴∠A′B′C=∠BB′C，∴B′C平分∠BB′A′，故D正确；故选C．【点评】本题考查了旋转的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．12．（3分）（2020•聊城）端午节前夕，在东昌湖举行第七届全民健身运动会龙舟比赛中，甲、乙两队在500米的赛道上，所划行的路程y（m）与时间x（min）之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是（）A．乙队比甲队提前0.25min到达终点B．当乙队划行110m时，此时落后甲队15mC．0.5min后，乙队比甲队每分钟快40mD．自1.5min开始，甲队若要与乙队同时到达终点，甲队的速度需要提高到255m/min【分析】观察函数图象可知，函数的横坐标表示时间，纵坐标表示路程，根据图象上特殊点的意义即可求出答案．【解答】解：A、由横坐标看出乙队比甲队提前0.25min到达终点，故A不符合题意；B、乙AB段的解析式为y=240x﹣40，当y=110时，x=；甲的解析式为y=200x，当x=时，y=125，当乙队划行110m时，此时落后甲队15m，故B不符合题意；C、乙AB段的解析式为y=240x﹣40乙的速度是240m/min；甲的解析式为y=200x，甲的速度是200m/min，0.5min后，乙队比甲队每分钟快40m，故C不符合题意；D、甲的解析式为y=200x，当x=1.5时，y=300，甲乙同时到达（500﹣300）÷（2.25﹣1.5）≈267m/min，故D符合题意；故选：D．【点评】此题主要考查了函数图象的性质，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．二、填空题（每小题3分，共15分）13．（3分）（2020•聊城）因式分解：2x2﹣32x4=2x2（1+4x）（1﹣4x）．【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有2项，可采用平方差公式继续分解．【解答】解：2x2﹣32x4=2x2（1﹣16x2）=2x2（1+4x）（1﹣4x）．故答案为：2x2（1+4x）（1﹣4x）．【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．14．（3分）（2020•聊城）已知圆锥形工件的底面直径是40cm，母线长30cm，其侧面展开图圆心角的度数为240°．【分析】设圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为n°，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到40π=，然后解方程即可．【解答】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为n°，根据题意得40π=，解得n=240．故答案为240°．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．15．（3分）（2020•聊城）不等式组的解集是4＜x≤5．【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【解答】解：∵解不等式①得：x≤5，解不等式②得：x＞4，∴不等式组的解集为4＜x≤5，故答案为：4＜x≤5．【点评】本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．16．（3分）（2020•聊城）如果任意选择一对有序整数（m，n），其中|m|≤1，|n|≤3，每一对这样的有序整数被选择的可能性是相等的，那么关于x的方程x2+nx+m=0有两个相等实数根的概率是．【分析】首先确定m、n的值，推出有序整数（m，n）共有：3×7=21（种），由方程x2+nx+m=0有两个相等实数根，则需：△=n2﹣4m=0，有（0，0），（1，2），（1，﹣2）三种可能，由此即可解决问题、【解答】解：m=0，±1，n=0，±1，±2，±3∴有序整数（m，n）共有：3×7=21（种），∵方程x2+nx+m=0有两个相等实数根，则需：△=n2﹣4m=0，有（0，0），（1，2），（1，﹣2）三种可能，∴关于x的方程x2+nx+m=0有两个相等实数根的概率是=，故答案为．【点评】此题考查了概率、根的判别式以及根与系数的关系、绝对值不等式等知识，此题难度适中，注意掌握概率=所求情况数与总情况数之比．17．（3分）（2020•聊城）如图，在平面直角坐标系中，直线l的函数表达式为y=x，点O1的坐标为（1，0），以O1为圆心，O1O为半径画圆，交直线l于点P1，交x轴正半轴于点O2，以O2为圆心，O2O为半径画圆，交直线l于点P2，交x 轴正半轴于点O3，以O3为圆心，O3O为半径画圆，交直线l于点P3，交x轴正半轴于点O4；…按此做法进行下去，其中的长为22015π．．【分析】连接P1O1，P2O2，P3O3，易求得P n O n垂直于x轴，可得为圆的周长，再找出圆半径的规律即可解题．【解答】解：连接P1O1，P2O2，P3O3…∵P1是⊙O2上的点，∴P1O1=OO1，∵直线l解析式为y=x，∴∠P1OO1=45°，∴△P1OO1为等腰直角三角形，即P1O1⊥x轴，同理，P n O n垂直于x轴，∴为圆的周长，∵以O1为圆心，O1O为半径画圆，交x轴正半轴于点O2，以O2为圆心，O2O为半径画圆，交x轴正半轴于点O3，以此类推，∴OO n=2n﹣1，∴=•2π•OO n=π•2n﹣1=2n﹣2π，当n=2020时，=22015π．故答案为22015π．【点评】本题考查了圆周长的计算，考查了从图中找到圆半径规律的能力，本题中准确找到圆半径的规律是解题的关键．三、解答题（本题共8个小题，满分69分）18．（7分）（2020•聊城）先化简，再求值：2﹣÷，其中x=3，y=﹣4．【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将x、y的值代入即可解答本题．【解答】解：2﹣÷=2﹣=2﹣===，当x=3，y=﹣4时，原式=．【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．19．（8分）（2020•聊城）如图，已知AB∥DE，AB=DE，BE=CF，求证：AC∥DF．【分析】首先由BE=CF可以得到BC=EF，然后利用边角边证明△ABC≌△DEF，最后利用全等三角形的性质和平行线的判定即可解决问题．【解答】证明：∵AB∥DE，∴∠ABC=∠DEF，又∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC，即：BC=EF，在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠ACB=∠DFE，∴AC∥DF．【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，同时也考查了平行线的判定，解题的关键是证明△ABC≌△DEF，此题有一点的综合性，难度不大．20．（8分）（2020•聊城）为了绿化环境，育英中学八年级三班同学都积极参加植树活动，今年植树节时，该班同学植树情况的部分数据如图所示，请根据统计图信息，回答下列问题：（1）八年级三班共有多少名同学？（2）条形统计图中，m=10，n=7．（3）扇形统计图中，试计算植树2棵的人数所对应的扇形圆心角的度数．【分析】（1）根据植4株的有11人，所占百分比为22%，求出总人数；（2）根据植树5棵人数所占的比例来求n的值；用总人数减去其它植树的人数，就是m的值，从而补全统计图；（3）根据植树2棵的人数所占比例，即可得出圆心角的比例相同，即可求出圆心角的度数．【解答】解：（1）由两图可知，植树4棵的人数是11人，占全班人数的22%，所以八年级三班共有人数为：11÷22%=50（人）．（2）由扇形统计图可知，植树5棵人数占全班人数的14%，所以n=50×14%=7（人）．m=50﹣（4+18+11+7）=10（人）．故答案是：10；7；（3）所求扇形圆心角的度数为：360×=72°．【点评】此题主要考查了扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．21．（8分）（2020•聊城）耸立在临清市城北大运河东岸的舍利宝塔，是“运河四大名塔”之一（如图1）．数学兴趣小组的小亮同学在塔上观景点P处，利用测角仪测得运河两岸上的A，B两点的俯角分别为17.9°，22°，并测得塔底点C到点B 的距离为142米（A、B、C在同一直线上，如图2），求运河两岸上的A、B两点的距离（精确到1米）．（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin17.9°≈0.31，cos17.9°≈0.95，tan17.9°≈0.32）【分析】在Rt△PBC中，求出BC，在Rt△PAC中，求出AC，根据AB=AC﹣BC计算即可．【解答】解：根据题意，BC=142米，∠PBC=22°，∠PAC=17.9°，在Rt△PBC中，tan∠PBC=，∴PC=BCtan∠PBC=142•tan22°，在Rt△PAC中，tan∠PAC=，∴AC==≈≈177.5，∴AB=AC﹣BC=177.5﹣142≈36米．答：运河两岸上的A、B两点的距离为36米．【点评】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、锐角三角函数等知识，解题的关键是正确寻找直角三角形，利用三角函数解决问题，属于中考常考题型．22．（8分）（2020•聊城）在推进城乡义务教育均衡发展工作中，我市某区政府通过公开招标的方式为辖区内全部乡镇中学采购了某型号的学生用电脑和教师用笔记本电脑，其中，A乡镇中学更新学生用电脑110台和教师用笔记本电脑32台，共花费30.5万元；B乡镇中学更新学生电脑55台和教师用笔记本电脑24台，共花费17.65万元．（1）求该型号的学生用电脑和教师用笔记本电脑单价分别是多少万元？（2）经统计，全部乡镇中学需要购进的教师用笔记本电脑台数比购进的学生用电脑台数的少90台，在两种电脑的总费用不超过预算438万元的情况下，至多能购进的学生用电脑和教师用笔记本电脑各多少台？【分析】（1）设该型号的学生用电脑的单价为x万元，教师用笔记本电脑的单价为y万元，根据题意列出方程组，求出方程组的解得到x与y的值，即可得到结果；（2）设能购进的学生用电脑m台，则能购进的教师用笔记本电脑为（m﹣90）台，根据“两种电脑的总费用不超过预算438万元”列出不等式，求出不等式的解集．【解答】解：（1）设该型号的学生用电脑的单价为x万元，教师用笔记本电脑的单价为y万元，依题意得：，解得，经检验，方程组的解符合题意．答：该型号的学生用电脑的单价为0.19万元，教师用笔记本电脑的单价为0.3万元；（2）设能购进的学生用电脑m台，则能购进的教师用笔记本电脑为（m﹣90）台，依题意得：0.19m+0.3×（m﹣90）≤438，解得m≤1860．所以m﹣90=×1860﹣90=282（台）．答：能购进的学生用电脑1860台，则能购进的教师用笔记本电脑为282台．【点评】此题考查了一元一次不等式组的应用，以及二元一次方程组的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．23．（8分）（2020•聊城）如图，分别位于反比例函数y=，y=在第一象限图象上的两点A、B，与原点O在同一直线上，且=．（1）求反比例函数y=的表达式；（2）过点A作x轴的平行线交y=的图象于点C，连接BC，求△ABC的面积．【分析】（1）作AE、BF分别垂直于x轴，垂足为E、F，根据△AOE∽△BOF，则设A的横坐标是m，则可利用m表示出A和B的坐标，利用待定系数法求得k 的值；（2）根据AC∥x轴，则可利用m表示出C的坐标，利用三角形的面积公式求解．【解答】解：（1）作AE、BF分别垂直于x轴，垂足为E、F．∵△AOE∽△BOF，又=，∴===．由点A在函数y=的图象上，设A的坐标是（m，），∴==，==，∴OF=3m，BF=，即B的坐标是（3m，）．又点B在y=的图象上，∴=，解得k=9，则反比例函数y=的表达式是y=；（2）由（1）可知，A（m，），B（3m，），又已知过A作x轴的平行线交y=的图象于点C．∴C的纵坐标是，把y=代入y=得x=9m，∴C的坐标是（9m，），∴AC=9m﹣m=8m．=×8m×=8．∴S△ABC【点评】本题考查了待定系数法确定函数关系式以及相似三角形的判定与性质，正确利用m表示出个点的坐标是关键．24．（10分）（2020•聊城）如图，⊙O是△ABC的外接圆，O点在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）求证：△PBD∽△DCA；（3）当AB=6，AC=8时，求线段PB的长．【分析】（1）由直径所对的圆周角为直角得到∠BAC为直角，再由AD为角平分线，得到一对角相等，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍及等量代换确定出∠DOC为直角，与平行线中的一条垂直，与另一条也垂直得到OD与PD垂直，即可得证；（2）由PD与BC平行，得到一对同位角相等，再由同弧所对的圆周角相等及等量代换得到∠P=∠ACD，根据同角的补角相等得到一对角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证；（3）由三角形ABC为直角三角形，利用勾股定理求出BC的长，再由OD垂直平分BC，得到DB=DC，根据（2）的相似，得比例，求出所求即可．【解答】（1）证明：∵圆心O在BC上，∴BC是圆O的直径，∴∠BAC=90°，连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAC=2∠DAC，∵∠DOC=2∠DAC，∴∠DOC=∠BAC=90°，即OD⊥BC，∵PD∥BC，∴OD⊥PD，∵OD为圆O的半径，∴PD是圆O的切线；（2）证明：∵PD∥BC，∴∠P=∠ABC，∵∠ABC=∠ADC，∴∠P=∠ADC，∵∠PBD+∠ABD=180°，∠ACD+∠ABD=180°，∴∠PBD=∠ACD，∴△PBD∽△DCA；（3）解：∵△ABC为直角三角形，∴BC2=AB2+AC2=62+82=100，∴BC=10，∵OD垂直平分BC，∴DB=DC，∵BC为圆O的直径，∴∠BDC=90°，在Rt△DBC中，DB2+DC2=BC2，即2DC2=BC2=100，∴DC=DB=5，∵△PBD∽△DCA，∴=，则PB===．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，切线的判定与性质，熟练掌握各自的判定与性质是解本题的关键．25．（12分）（2020•聊城）如图，已知抛物线y=ax2+2x+c与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（6，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；（2）当点P移动到抛物线的什么位置时，使得∠PAB=75°，求出此时点P的坐标；（3）当点P从A点出发沿线段AB上方的抛物线向终点B移动，在移动中，点P 的横坐标以每秒1个单位长度的速度变动，与此同时点M以每秒1个单位长度的速度沿AO向终点O移动，点P，M移动到各自终点时停止，当两个动点移动t秒时，求四边形PAMB的面积S关于t的函数表达式，并求t为何值时，S有最大值，最大值是多少？【分析】（1）由A、B坐标，利用待定系数法可求得抛物线的表达式，化为顶点式可求得顶点坐标；（2）过P作PC⊥y轴于点C，由条件可求得∠PAC=60°，可设AC=m，在Rt△PAC 中，可表示出PC的长，从而可用m表示出P点坐标，代入抛物线解析式可求得m的值，即可求得P点坐标；（3）用t可表示出P、M的坐标，过P作PE⊥x轴于点E，交AB于点F，则可表示出F的坐标，从而可用t表示出PF的长，从而可表示出△PAB的面积，利用S四边形PAMB=S△PAB+S△AMB，可得到S关于t的二次函数，利用二次函数的性质可求得其最大值．【解答】解：（1）根据题意，把A（0，6），B（6，0）代入抛物线解析式可得，解得，。

2020年山东聊城中考数学试卷及答案选择题（共36分）一、选择题（本题共12个小题，每小题3分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.在实数1-，，0，14中，最小的实数是（）．A.1- B.14C.0D.2.如图所示的几何体的俯视图是（）．A. B. C. D.3.如图，在ABC 中，AB AC =，65C ︒∠=，点D 是BC 边上任意一点，过点D 作//DF AB 交AC 于点E ，则FEC ∠的度数是（）．A.120︒B.130︒C.145︒D.150︒4.下列计算正确的是（）．A.236a a a ⋅=B.623a a a --÷=C.()323628ab a b -=- D.222(2)4a b a b+=+5.为了增强学生预防新冠肺炎的安全意识，某校开展疫情防控知识竞赛．来自不同年级的30名参赛同学的得分情况如下表所示，这些成绩的中位数和众数分别是（）成绩/分84889296100人数/人249105A.92分，96分B.94分，96分C.96分，96分D.96分，100分6.÷的结果正确的是（）．A.1B.53C.5D.97.如图，在45⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin ACB ∠的值为（）．A.355B.175C.35D.458.用配方法解一元二次方程22310x x --=，配方正确的是（）．A.2317416x ⎛⎫-=⎪⎝⎭ B.23142x ⎛⎫-=⎪⎝⎭C.231324x ⎛⎫-=⎪⎝⎭ D.231124x ⎛⎫-=⎪⎝⎭9.如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为点M ．连接OC ，DB ．如果OC //DB ，OC =，那么图中阴影部分的面积是（）．A.πB.2πC.3πD.4π10.如图，有一块半径为1m ，圆心角为90︒的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（）．A.1m 4B.3m 4C.15m 4D.3m 211.人行道用同样大小的灰、白两种不同颜色的小正方形地砖铺设而成，如图中的每一个小正方形表示一块地砖．如果按图①②③…的次序铺设地砖，把第n 个图形用图表示，那么图㊿中的白色小正方形地砖的块数是（）．…A.150B.200C.355D.50512.如图，在Rt ABC △中，2AB =，30C ∠=︒，将Rt ABC △绕点A 旋转得到Rt A B C '''∆，使点B 的对应点B '落在AC 上，在B C ''上取点D ，使2B D '=，那么点D 到BC 的距离等于（）．A.3213⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭B.313+ C.31- D.31+非选择题（共84分）二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分．只要求填写最后结果）13.因式分解：(2)2x x x --+=________．14.如图，在O 中，四边形OABC 为菱形，点D 在 AmC 上，则ADC ∠的度数是________．15.计算：2111a a a a⎛⎫+÷= ⎪--⎝⎭________．16.某校开展读书日活动，小亮和小莹分别从校图书馆的“科技”、“文学”、“艺术”三类书籍中随机地抽取一本，抽到同一类书籍的概率是________．17.如图，在直角坐标系中，点(1,1)A ，(3,3)B 是第一象限角平分线上的两点，点C 的纵坐标为1，且CA CB =，在y 轴上取一点D ，连接AC ，BC ，AD ，BD ，使得四边形ACBD 的周长最小，这个最小周长的值为________．三、解答题（本题共8个小题，共69分．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤）18.解不等式组131722324334x x x x x ⎧+<-⎪⎪⎨--⎪≥+⎪⎩，并写出它的所有整数解．19.为了提高学生的综合素养，某校开设了五门手工活动课．按照类别分为：A “剪纸”、B “沙画”、C “葫芦雕刻”、D “泥塑”、E “插花”．为了了解学生对每种活动课的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，回答下列问题：（1）本次调查的样本容量为________；统计图中的a=________，b=________；（2）通过计算补全条形统计图；（3）该校共有2500名学生，请你估计全校喜爱“葫芦雕刻”的学生人数．20.今年植树节期间，某景观园林公司购进一批成捆的A，B两种树苗，每捆A种树苗比每捆B种树苗多10棵，每捆A种树苗和每捆B种树苗的价格分别是630元和600元，而每棵A种树苗和每棵B种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的0.9倍和1.2倍．（1）求这一批树苗平均每棵的价格是多少元？（2）如果购进的这批树苗共5500棵，A种树苗至多购进3500棵，为了使购进的这批树苗的费用最低，应购进A种树苗和B种树苗各多少棵？并求出最低费用．21.如图，已知平行四边形ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长，交DC的延长线于点F，且AF＝AD，连接BF，求证：四边形ABFC是矩形．22.如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼AB的高度进行测量．先测得居民楼AB与CD之间的距离AC为35m，后站在M点处测得居民楼CD的顶端D的仰角为45︒，居民楼AB的顶端B的仰角为55︒，已知居民楼CD的高度为16.6m，小莹的观测点N距地面1.6m．求居民楼AB的高度（精确到1m）．（参考数据：sin550.82︒≈，cos550.57︒≈，tan55 1.43︒≈）23.如图，已知反比例函数kyx=的图象与直线y ax b=+相交于点(2,3)A-，(1,)B m．（1）求出直线y ax b =+的表达式；（2）在x 轴上有一点P 使得PAB △的面积为18，求出点P 的坐标．24.如图，在ABC 中，AB BC =，以ABC 的边AB 为直径作O ，交AC 于点D ，过点D 作DE BC ⊥，垂足为点E ．（1）试证明DE 是O 的切线；（2）若O 的半径为5，10AC =，求此时DE 的长．25.如图，二次函数24y ax bx =++的图象与x 轴交于点(1,0)A -，(4,0)B ，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，其对称轴与线段BC 交于点E ，垂直于x 轴的动直线l 分别交抛物线和线段BC 于点P 和点F ，动直线l 在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x 轴正方向移动到B 点．（1）求出二次函数24y ax bx =++和BC 所在直线的表达式；（2）在动直线l 移动的过程中，试求使四边形DEFP 为平行四边形的点P 的坐标；（3）连接CP ，CD ，在动直线l 移动的过程中，抛物线上是否存在点P ，使得以点P ，C ，F 为顶点的三角形与DCE 相似，如果存在，求出点P 的坐标，如果不存在，请说明理由．数学试卷参考答案1-11DCBCB ADABC 11-12CD13、(2)(1)x x --14、60︒15、a-16、1317、4+(1).雕梁画栋(2).洋溢2、B18、解：131722324334x x x x x ⎧+<-⎪⎪⎨--⎪≥+⎪⎩①②解不等式①，得3x <．解不等式②，得45x ≥-．在同一数轴上表示出不等式①，②的解集：所以该不等式组的解集是435x -≤<．它的所有整数解为0，1，2．19、解：（1）1815%120÷=，12010%12a =⨯=，12030%36b =⨯=，故答案为：120，12，36；（2）E 类别的人数为：1201812303624----=（人）补全条形统计图如图所示：（3）C 类别所占的百分比为：3012025%÷=，302500625120⨯=（人）答：全校喜爱“葫芦雕刻”的学生人数约为625人．20、解：（1）设这一批树苗平均每棵的价格是x 元，根据题意，得630600100.9 1.2x x-=，解之，得20x =．经检验知，20x =是原分式方程的根，并符合题意．答：这一批树苗平均每棵的价格是20元．（2）由（1）可知A 种树苗每棵价格为0.12098⨯=元，种树苗每棵价格为20 1.224⨯=元，设购进A 种树苗t 棵，这批树苗的费用为w ，则1824(5500)6132000w t t t =+-=-+．∵w 是t 的一次函数，60k =-<，w 随着t 的增大而减小，3500t ≤，∴当3500t =棵时，w 最小．此时，B 种树苗有550035002000-=棵，35001320060111000w ⨯+==-．答：购进A 种树苗3500棵，B 种树苗2000棵，能使得购进这批树苗的费用最低为111000元．21、∵四边形ABCD 是平行四边形∴//,,AB CD AB CD AD BC ==∴,BAE CFE ABE FCE ∠=∠∠=∠∵E 为BC 的中点∴EB EC=∴()ABE FCE AAS ≅V V ∴AB CF =∵//AB CF∴四边形ABFC 是平行四边形AF AD= BC AF∴=∴平行四边形ABFC 是矩形．22、解：过点N 作//EF AC 交AB 于点E ，交CD 于点F ．则 1.6AE MN CE ===，35EF AC ==，90BEN DFN ︒∠=∠=．∵EN AM =，NF MC =．则16.6 1.615DF CD CF =-=-=．在Rt DFN △中，∵45DNF ︒∠=，∴15NF DF ==．∴351520EN EF NF =-=-=．在Rt BEN △中，∵tan BNE BEEN∠=，∴tan 20tan 5520 1.4328.6BE EN BNE ︒=⋅∠=⨯≈⨯=．∴28.6 1.630AB BE AE =+=+≈．答：居民楼AB 的高度约为30m ．23、解：（1）∵(2,3)A -在ky x=的图象上，∴32k=-，6k =-，又点(1,)B m 在6y x-=的图象上，6m =-，即(1,6)B -．将点A ，B 的坐标代入y ax b =+，得326a ba b =-+⎧⎨-=+⎩，解得33a b =-⎧⎨=-⎩．∴直线的表达式为33y x =--．（2）设直线33y x =--与x 轴的交点为E ，当0y =时，解得1x =-．即(1,0)E -．分别过点A ，B 作x 轴的垂线AC ，BD ，垂足分别为C ，D ．1136922222PAB S PE AC PE DB PE PE PE =⋅+⋅=+= ．又18PAB S = ，即9182PE =，∴4PE =．当点P 在原点右侧时，(3,0)P ，当点P 在原点左侧时，(5,0)P -．24、（1）证明：连接OD ，BD ，∵AB 为O 的直径，∴BD AD ⊥，又∵AB BC =，ABC 是等腰三角形，∴BD 又是AC 边上的中线，∴OD 是ABC 的中位线，∴//OD BC ，又DE BC ⊥，∴DE OD ⊥，∴DE 是O 的切线．（2）由（1）知，BD 是AC 边上的中线，AC =得AD CD ==∵O 的半径为5，∴10AB =．在Rt ABD △中，BD ===∵AB BC =，∴A C ∠=∠．在Rt CDE 和RtABD 中，∵90DEC ADB ︒∠=∠=，C A ∠=∠，∴Rt CDE Rt ABD ∽，∴CD DE=AB BD ，即310103DE =．25、解：（1）由题意，将(1,0)A -，(4,0)B 代入24y ax bx =++，得4016440a b a b -+=⎧⎨++-⎩，解得13a b =-⎧⎨=⎩，∴二次函数的表达式234y x x =-++，当0x =时，4y =，得点(0,4)C ，又点(4,0)B ，设线段BC 所在直线的表达式y mx n =+，∴440n m n -⎧⎨+-⎩，解得14m n =-⎧⎨=⎩，∴BC 所在直线的表达式4y x =-+；（2）∵DE x ⊥轴，PF x ⊥轴，∴//DE PF ，只要DE PF =，此时四边形DEFP 即为平行四边形，由二次函数223253424y x x =x ⎛⎫=-++--+ ⎪⎝⎭，得点325,24D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将32x =代入4y x =-+，即35422y =-+=，得点35,22E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴25515424DE =-=，设点P 的横坐标为t ，则()2,34P t t t -++，(,4)F t t -+，2234(4)4PF t t t t t=-++--+=-+由DE PF =，得21544t t -+=，解之，得132t =（不合题意舍去），252t =，当52t =时，2255213434224t t ⎛⎫-++=-+⨯+= ⎪⎝⎭，∴521,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）由（2）知，PF //DE ，∴CED CFP ∠=∠，又PCF ∠与DCE ∠有共同的顶点C ，且PCF ∠在DCE ∠的内部，∴PCF DCE ∠≠∠，∴只有当PCF CDE ∠=∠时，PCF CDE ∆∆∽，由325,24D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(0,4)C ，35,22E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用勾股定理，可得CE ==25515424DE =-=，由（2）以及勾股定理知，24PF t t =-+，CF ==，∴PF CF CE DE =，即2423154t t -+=，∵0t ≠，∴15(4)34t -+=，∴165t =，当165t =时，2216168434345525t t ⎛⎫-++=-+⨯+= ⎪⎝⎭，∴点P 的坐标是1684,525⎛⎫ ⎪⎝⎭．。

2020年山东省聊城市中考数学试卷和答案解析一、选择题（本题共12个小题，每小题3分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（3分）在实数﹣1，﹣，0，中，最小的实数是（）A．﹣1B．C．0D．﹣解析：直接利用实数比较大小的方法得出答案．参考答案：解：∵|﹣|＞|﹣1|，∴﹣1＞﹣，∴实数﹣1，﹣，0，中，﹣＜﹣1＜0＜．故4个实数中最小的实数是：﹣．故选：D．点拨：此题主要考查了实数比较大小，正确掌握实数大小比较方法是解题关键．2．（3分）如图所示的几何体的俯视图是（）A．B．C．D．解析：找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．参考答案：解：从上面看，是一个矩形，矩形的靠右边有一条纵向的实线，故选：C．点拨：本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．3．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝65°，点D是BC边上任意一点，过点D作DF∥AB交AC于点E，则∠FEC的度数是（）A．120°B．130°C．145°D．150°解析：由等腰三角形的性质得出∠B＝∠C＝65°，由平行线的性质得出∠CDE＝∠B＝65°，再由三角形的外角性质即可得出答案．参考答案：解：∵AB＝AC，∠C＝65°，∴∠B＝∠C＝65°，∵DF∥AB，∴∠CDE＝∠B＝65°，∴∠FEC＝∠CDE+∠C＝65°+65°＝130°；故选：B．点拨：本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质以及三角形的外角性质；熟练掌握等腰三角形的性质和平行线的性质是解题的关键．4．（3分）下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．a6÷a﹣2＝a﹣3C．（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6D．（2a+b）2＝4a2+b2解析：根据同底数幂的乘法和除法法则，积的乘方法则以及完全平方公式逐一计算判断即可．参考答案：解：A、a2•a3＝a5，原计算错误，故此选项不合题意；B、a6÷a﹣2＝a8，原计算错误，故此选项不合题意；C、（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6，原计算正确，故此选项合题意；D、（2a+b）2＝4a2+4ab+b2，原计算错误，故此选项不合题意．故选：C．点拨：本题主要考查了同底数幂的乘法和除法，幂的乘方与积的乘方的法则以及完全平方公式，熟记运算法则和公式是解答本题的关键．5．（3分）为了增强学生预防新冠肺炎的安全意识，某校开展疫情防控知识竞赛．来自不同年级的30名参赛同学的得分情况如下表所示，这些成绩的中位数和众数分别是（）成绩/分84889296100人数/人249105A．92分，96分B．94分，96分C．96分，96分D．96分，100分解析：根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．参考答案：解：把这些数据从小到大排列，最中间的两个数是第15、16个数的平均数，所以全班30名同学的成绩的中位数是：＝94；96出现了10次，出现的次数最多，则众数是96，所以这些成绩的中位数和众数分别是94分，96分．故选：B．点拨：此题考查了中位数和众数众数．解题的关键是掌握求中位数和众数的方法，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错；众数是一组数据中出现次数最多的数．6．（3分）计算÷3×的结果正确的是（）A．1B．C．5D．9解析：根据二次根式的性质化简二次根式后，再根据二次根式的乘除法法则计算即可．参考答案：解：原式＝＝＝＝＝1．故选：A．点拨：本题主要考查了二次根式的乘除，熟记二次根式的性质是解答本题的关键．7．（3分）如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为（）A．B．C．D．解析：如图，过点A作AH⊥BC于H．利用勾股定理求出AC即可解决问题．参考答案：解：如图，过点A作AH⊥BC于H．在Rt△ACH中，∵AH＝4，CH＝3，∴AC＝＝＝5，∴sin∠ACH＝＝，故选：D．点拨：本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．8．（3分）用配方法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，配方正确的是（）A．（x﹣）2＝B．（x﹣）2＝C．（x﹣）2＝D．（x﹣）2＝解析：化二次项系数为1后，把常数项﹣移项，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣的一半的平方．参考答案：解：由原方程，得x2﹣x＝，x2﹣x+＝+，（x﹣）2＝，故选：A．点拨：本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M，连接OC，DB．如果OC∥DB，OC＝2，那么图中阴影部分的面积是（）A．πB．2πC．3πD．4π解析：连接OD，BC，根据垂径定理和等腰三角形的性质得到DM ＝CM，∠COB＝∠BOD，推出△BOD是等边三角形，得到∠BOC ＝60°，根据扇形的面积公式即可得到结论．参考答案：解：连接OD，BC，∵CD⊥AB，OC＝OD，∴DM＝CM，∠COB＝∠BOD，∵OC∥BD，∴∠COB＝∠OBD，∴∠BOD＝∠OBD，∴OD＝DB，∴△BOD是等边三角形，∴∠BOD＝60°，∴∠BOC＝60°，∵DM＝CM，∴S△OBC＝S△OBD，∵OC∥DB，∴S△OBD＝S△CBD，∴S△OBC＝S△DBC，∴图中阴影部分的面积＝＝2π，故选：B．点拨：本题考查了垂径定理、扇形面积的计算，圆周角定理，通过解直角三角形得到相关线段的长度是解答本题的关键．10．（3分）如图，有一块半径为1m，圆心角为90°的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（）A．m B．m C．m D．m解析：根据已知条件求得圆锥的底面半径，然后利用勾股定理求得其高即可．参考答案：解：设底面半径为rm，则2πr＝，解得：r＝，所以其高为：＝m，故选：C．点拨：考查了圆锥的计算，解题的关键是首先求得圆锥的底面的半径，难度不大．11．（3分）人行道用同样大小的灰、白两种不同颜色的小正方形地砖铺设而成，如图中的每一个小正方形表示一块地砖．如果按图①②③…的次序铺设地砖，把第n个图形用图ⓝ表示，那么图㊿中的白色小正方形地砖的块数是（）A．150B．200C．355D．505解析：由图形可知图ⓝ的地砖有（7n+5）块，依此代入数据计算可求图㊿中的白色小正方形地砖的块数．参考答案：解：由图形可知图ⓝ的地砖有（7n+5）块，当n＝50时，7n+5＝350+5＝355．故选：C．点拨：考查了规律型：图形的变化，解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“层数”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．12．（3分）如图，在Rt△ABC中，AB＝2，∠C＝30°，将Rt△ABC 绕点A旋转得到Rt△AB′C′，使点B的对应点B′落在AC上，在B′C′上取点D，使B′D＝2，那么点D到BC的距离等于（）A．2（+1）B．+1C．﹣1D．+1解析：根据直角三角形的性质得到BC＝2，AC＝4，根据旋转的性质得到AB′＝AB＝2，B′C′＝BC＝2，求得B′C＝2，延长C′B′交BC于F，解直角三角形即可得到结论．参考答案：解：∵在Rt△ABC中，AB＝2，∠C＝30°，∴BC＝2，AC＝4，∵将Rt△ABC绕点A旋转得到Rt△AB′C′，使点B的对应点B′落在AC上，∴AB′＝AB＝2，B′C′＝BC＝2，∴B′C＝2，延长C′B′交BC于F，∴∠CB′F＝∠AB′C′＝90°，∵∠C＝30°，∴∠CFB′＝60°，B′F＝B′C＝，∵B′D＝2，∴DF＝2+，过D作DE⊥BC于E，∴DE＝DF＝×（2+）＝+1，故选：D．点拨：本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分．只要求填写最后结果）13．（3分）因式分解：x（x﹣2）﹣x+2＝（x﹣2）（x﹣1）．解析：利用提取公因式法因式分解即可．参考答案：解：原式＝x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝（x﹣2）（x﹣1）．故答案为：（x﹣2）（x﹣1）．点拨：此题考查了提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．14．（3分）如图，在⊙O中，四边形OABC为菱形，点D在上，则∠ADC的度数是60°．解析：根据菱形的性质得出∠B＝∠AOC，根据圆内接四边形的性质得出∠B+∠D＝180°，即可得出∠D+∠AOC＝180°，根据圆周角定理得出3∠D＝180°，即可求得∠ADC＝60°．参考答案：解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B+∠D＝180°，∵四边形OABC为菱形，∴∠B＝∠AOC，∴∠D+∠AOC＝180°，∵∠AOC＝2∠D，∴3∠D＝180°，∴∠ADC＝60°，故答案为60°．点拨：本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，菱形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．15．（3分）计算：（1+）÷＝﹣a．解析：直接将括号里面通分运算进而结合分式的混合运算法则计算得出答案．参考答案：解：原式＝•a（a﹣1）＝•a（a﹣1）＝﹣a．故答案为：﹣a．点拨：此题主要考查了分式的混合运算，正确化简分式是解题关键．16．（3分）某校开展读书日活动，小亮和小莹分别从校图书馆的“科技”、“文学”、“艺术”三类书籍中随机地抽取一本，抽到同一类书籍的概率是．解析：画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出他们抽到同一类书籍的结果数，然后根据概率公式求解．参考答案：解：画树状图如下：由树状图知，共有9种等可能结果，其中抽到同一类书籍的有3种结果，所以抽到同一类书籍的概率为＝，故答案为：．点拨：本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．17．（3分）如图，在直角坐标系中，点A（1，1），B（3，3）是第一象限角平分线上的两点，点C的纵坐标为1，且CA＝CB，在y 轴上取一点D，连接AC，BC，AD，BD，使得四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值为4+2．解析：根据平行线的性质得到∠BAC＝45°，得到∠C＝90°，求得AC＝BC＝2，作B关于y轴的对称点E，连接AE交y轴于D，则此时，四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值＝AC+BC+AE，过E作EF⊥AC交CA的延长线于F，根据勾股定理即可得到结论．参考答案：解：∵点A（1，1），点C的纵坐标为1，∴AC∥x轴，∴∠BAC＝45°，∵CA＝CB，∴∠ABC＝∠BAC＝45°，∴∠C＝90°，∵B（3，3）∴C（3，1），∴AC＝BC＝2，作B关于y轴的对称点E，连接AE交y轴于D，则此时，四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值＝AC+BC+AE，过E作EF⊥AC交CA的延长线于F，则EF＝BC＝2，AF＝6﹣2＝4，∴AE＝＝＝2，∴最小周长的值＝AC+BC+AE＝4+2，故答案为：4+2．点拨：本题考查了轴对称﹣最短路线问题，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．三、解答题（本题共8个小题，共69分．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤）18．（7分）解不等式组并写出它的所有整数解．解析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可得．参考答案：解：，解不等式①，x＜3，解不等式②，得x≥﹣，∴原不等式组的解集为﹣≤x＜3，它的所有整数解为0，1，2．点拨：本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19．（8分）为了提高学生的综合素养，某校开设了五门手工活动课，按照类别分为：A“剪纸”、B“沙画”、C“葫芦雕刻”、D“泥塑”、E“插花”．为了了解学生对每种活动课的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．根据以上信息，回答下列问题：（1）本次调查的样本容量为120；统计图中的a＝12，b ＝36；（2）通过计算补全条形统计图；（3）该校共有2500名学生，请你估计全校喜爱“葫芦雕刻”的学生人数．解析：（1）从两个统计图可知a组的有18人，占调查人数的15%，可求出调查人数，即样本容量；进而求出a、b的值；（2）求出E组的频数即可补全条形统计图；（3）样本估计总体，样本中喜欢“葫芦雕刻”的占，即，因此估计总体2500人的是喜欢“葫芦雕刻”的人数．参考答案：解：（1）18÷15%＝120（人），因此样本容量为120；a＝120×10%＝12（人），b＝120×30%＝36（人），故答案为：120，12，36；（2）E组频数：120﹣18﹣12﹣30﹣36＝24（人），补全条形统计图如图所示：（3）2500×＝625（人），答：该校2500名学生中喜爱“葫芦雕刻”的有625人．点拨：本题考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，从两个统计图中获取数量和数量关系是正确解答的关键．20．（8分）今年植树节期间，某景观园林公司购进一批成捆的A，B 两种树苗，每捆A种树苗比每捆B种树苗多10棵，每捆A种树苗和每捆B种树苗的价格分别是630元和600元，而每棵A种树苗和每棵B种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的0.9倍和1.2倍．（1）求这一批树苗平均每棵的价格是多少元？（2）如果购进的这批树苗共5500棵，A种树苗至多购进3500棵，为了使购进的这批树苗的费用最低，应购进A种树苗和B种树苗各多少棵？并求出最低费用．解析：（1）设这一批树苗平均每棵的价格是x元，根据题意列方程解答即可；（2）分别求出A种树苗每棵的价格与B种树苗每棵的价格，设购进A种树苗t棵，这批树苗的费用为w元，根据题意求出w与t 的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可．参考答案：解：（1）设这一批树苗平均每棵的价格是x元，根据题意列，得：，解这个方程，得x＝20，经检验，x＝20是原分式方程的解，并符合题意，答：这一批树苗平均每棵的价格是20元；（2）由（1）可知A种树苗每棵的价格为：20×0.9＝18（元），B 种树苗每棵的价格为：20×1.2＝24（元），设购进A种树苗t棵，这批树苗的费用为w元，则：w＝18t+24（5500﹣t）＝﹣6t+132000，∵w是t的一次函数，k＝﹣6＜0，∴w随t的增大而减小，又∵t≤3500，∴当t＝3500棵时，w最小，此时，B种树苗每棵有：5500﹣3500＝2000（棵），w＝﹣6×3500+132000＝111000，答：购进A种树苗3500棵，BA种树苗2000棵时，能使得购进这批树苗的费用最低，最低费用为111000元．点拨：本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用以及一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．21．（8分）如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，若AD＝AF，求证：四边形ABFC是矩形．解析：根据平行四边形的性质得到两角一边对应相等，利用AAS 判定△ABE≌△FCE，从而得到AB＝CF；由已知可得四边形ABFC 是平行四边形，BC＝AF，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得到四边形ABFC是矩形．参考答案：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAE＝∠CFE，∠ABE＝∠FCE，∵E为BC的中点，∴EB＝EC，∴△ABE≌△FCE（AAS），∴AB＝CF．∵AB∥CF，∴四边形ABFC是平行四边形，∵BC＝AF，∴四边形ABFC是矩形．点拨：本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．22．（8分）如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼AB的高度进行测量，先测得居民楼AB与CD 之间的距离AC为35m，后站在M点处测得居民楼CD的顶端D 的仰角为45°，居民楼AB的顶端B的仰角为55°，已知居民楼CD 的高度为16.6m，小莹的观测点N距地面1.6m．求居民楼AB的高度（精确到lm）．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈l.43）．解析：过点N作EF∥AC交AB于点E，交CD于点F，可得AE ＝MN＝CF＝1.6，EF＝AC＝35，再根据锐角三角函数可得BE的长，进而可得AB的高度．参考答案：解：过点N作EF∥AC交AB于点E，交CD于点F，则AE＝MN＝CF＝1.6，EF＝AC＝35，∠BEN＝∠DFN＝90°，EN＝AM，NF＝MC，则DF＝DC﹣CF＝16.6﹣1.6＝15，在Rt△DFN中，∵∠DNF＝45°，∴NF＝DF＝15，∴EN＝EF﹣NF＝35﹣15＝20，在Rt△BEN中，∵tan∠BNE＝，∴BE＝EN•tan∠BNE＝20×tan55°≈20×1.43≈28.6，∴AB＝BE+AE＝28.6+1.6≈30．答：居民楼AB的高度约为30米．点拨：本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．23．（8分）如图，已知反比例函数y＝的图象与直线y＝ax+b相交于点A（﹣2，3），B（1，m）．（1）求出直线y＝ax+b的表达式；（2）在x轴上有一点P使得△PAB的面积为18，求出点P的坐标．解析：（1）用待定系数法即可求解；（2）S△PAB＝PE•CA+PE•BD＝PE PE＝PE＝18，即可求解．参考答案：解：（1）将点A的坐标代入反比例函数表达式并解得：k＝﹣2×3＝﹣6，故反比例函数表达式为：y＝﹣，将点B的坐标代入上式并解得：m＝﹣6，故点B（1，﹣6），将点A、B的坐标代入一次函数表达式得，解得，故直线的表达式为：y＝﹣3x﹣3；（2）设直线与x轴的交点为E，当y＝0时，x＝﹣1，故点E（﹣1，0），分别过点A、B作x轴的垂线AC、BD，垂足分别为C、D，则S△PAB＝PE•CA+PE•BD＝PE PE＝PE＝18，解得：PE ＝4，故点P的坐标为（3，0）或（﹣5，0）．点拨：本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．24．（10分）如图，在△ABC中，AB＝BC，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．（1）试证明DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，AC＝6，求此时DE的长．解析：（1）连接OD、BD，求出BD⊥AC，瑞成AD＝DC，根据三角形的中位线得出OD∥BC，推出OD⊥DE，根据切线的判定推出即可；（2）根据题意求得AD，根据勾股定理求得BD，然后证得△CDE ∽△ABD，根据相似三角形的性质即可求得DE．参考答案：（1）证明：连接OD、BD，∵AB是⊙O直径，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AC，∵AB＝BC，∴D为AC中点，∵OA＝OB，∴OD∥BC，∵DE⊥BC，∴DE⊥OD，∵OD为半径，∴DE是⊙O的切线；（2）由（1）知BD是AC的中线，∴AD＝CD＝＝3，∵O的半径为5，∴AB＝6，∴BD＝＝＝，∵AB＝AC，∴∠A＝∠C，∵∠ADB＝∠CED＝90°，∴△CDE∽△ABD，∴，即＝，∴DE＝3．点拨：本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理等知识点的综合运用．25．（12分）如图，二次函数y═ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F，动直线l在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x轴正方向移动到B点．（1）求出二次函数y＝ax2+bx+4和BC所在直线的表达式；（2）在动直线l移动的过程中，试求使四边形DEFP为平行四边形的点P的坐标；（3）连接CP，CD，在动直线l移动的过程中，抛物线上是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△DCE相似？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．解析：（1）由题意得出方程组，求出二次函数的解析式为y＝﹣x2+3x+4，则C（0，4），由待定系数法求出BC所在直线的表达式即可（2）证DE∥PF，只要DE＝PF，四边形DEFP即为平行四边形，由二次函数解析式求出点D的坐标，由直线BC的解析式求出点E 的坐标，则DE＝，设点P的横坐标为t，则P的坐标为：（t，﹣t2+3t+4），F的坐标为：（t，﹣t+4），由DE＝PF得出方程，解方程进而得出答案；（3）由平行线的性质得出∠CED＝∠CFP，当∠PCF＝∠CDE时，△PCF∽△CDE，则＝，得出方程，解方程即可．参考答案：解：（1）将点A（﹣1，0），B（4，0），代入y═ax2+bx+4，得：，解得：，∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+3x+4，当x＝0时，y＝4，∴C（0，4），设BC所在直线的表达式为：y＝mx+n，将C（0，4）、B（4，0）代入y＝mx+n，得：，解得：，∴BC所在直线的表达式为：y＝﹣x+4；（2）∵DE⊥x轴，PF⊥x轴，∴DE∥PF，只要DE＝PF，四边形DEFP即为平行四边形，∵y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣）2+，∴点D的坐标为：（，），将x＝代入y＝﹣x+4，即y＝﹣+4＝，∴点E的坐标为：（，），∴DE＝﹣＝，设点P的横坐标为t，则P的坐标为：（t，﹣t2+3t+4），F的坐标为：（t，﹣t+4），∴PF＝﹣t2+3t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2+4t，由DE＝PF得：﹣t2+4t＝，解得：t1＝（不合题意舍去），t2＝，当t＝时，﹣t2+3t+4＝﹣（）2+3×+4＝，∴点P的坐标为（，）；（3）存在，理由如下：如图2所示：由（2）得：PF∥DE，∴∠CED＝∠CFP，又∵∠PCF与∠DCE有共同的顶点C，且∠PCF在∠DCE的内部，∴∠PCF≠∠DCE，∴只有∠PCF＝∠CDE时，△PCF∽△CDE，∴＝，∵C（0，4）、E（，），∴CE＝＝，由（2）得：DE＝，PF＝﹣t2+4t，F的坐标为：（t，﹣t+4），∴CF＝＝t，∴＝，∵t≠0，∴（﹣t+4）＝3，解得：t＝，当t＝时，﹣t2+3t+4＝﹣（）2+3×+4＝，∴点P的坐标为：（，）．3。

2020年聊城市初中学生学业水平考试数学试题（总分120分，考试时间120分钟）选择题（共36分）一、选择题（本题共12个小题，每小题3分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．在实数﹣1，﹣，0，中，最小的实数是（）A．﹣1 B．C．0 D．﹣2．如图所示的几何体的俯视图是（）A．B．C．D．3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝65°，点D是BC边上任意一点，过点D作DF∥AB交AC于点E，则∠FEC的度数是（）A．120°B．130°C．145°D．150°4．下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．a6÷a﹣2＝a﹣3C．（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6D．（2a+b）2＝4a2+b25．为了增强学生预防新冠肺炎的安全意识，某校开展疫情防控知识竞赛．来自不同年级的30名参赛同学的得分情况如下表所示，这些成绩的中位数和众数分别是（）成绩/分84 88 92 96 100人数/人 2 4 9 10 5A．92分，96分B．94分，96分C．96分，96分D．96分，100分6．计算÷3×的结果正确的是（）A．1 B．C．5 D．97．如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为（）A．B．C．D．8．用配方法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，配方正确的是（）A．（x﹣）2＝B．（x﹣）2＝C．（x﹣）2＝D．（x﹣）2＝9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M，连接OC，DB．如果OC∥DB，OC＝2，那么图中阴影部分的面积是（）A．π B．2π C．3π D．4π10．如图，有一块半径为1m，圆心角为90°的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（）A．m B．m C．m D．m11．人行道用同样大小的灰、白两种不同颜色的小正方形地砖铺设而成，如图中的每一个小正方形表示一块地砖．如果按图①②③…的次序铺设地砖，把第n个图形用图ⓝ表示，那么图㊿中的白色小正方形地砖的块数是（）A．150 B．200 C．355 D．50512．如图，在Rt△ABC中，AB＝2，∠C＝30°，将Rt△ABC绕点A旋转得到Rt△AB′C′，使点B的对应点B′落在AC上，在B′C′上取点D，使B′D＝2，那么点D到BC的距离等于（）A．2（+1）B．+1 C．﹣1 D．+1非选择题（共84分）二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分．只要求填写最后结果）13．因式分解：x（x﹣2）﹣x+2＝．14．如图，在⊙O中，四边形OABC为菱形，点D在上，则∠ADC的度数是．15．计算：（1+）÷＝．16．某校开展读书日活动，小亮和小莹分别从校图书馆的“科技”、“文学”、“艺术”三类书籍中随机地抽取一本，抽到同一类书籍的概率是．17．如图，在直角坐标系中，点A（1，1），B（3，3）是第一象限角平分线上的两点，点C的纵坐标为1，且CA＝CB，在y轴上取一点D，连接AC，BC，AD，BD，使得四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值为．三、解答题（本题共8个小题，共69分．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤）18．（7分）解不等式组并写出它的所有整数解．19．（8分）为了提高学生的综合素养，某校开设了五门手工活动课，按照类别分为：A“剪纸”、B “沙画”、C“葫芦雕刻”、D“泥塑”、E“插花”．为了了解学生对每种活动课的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．根据以上信息，回答下列问题：（1）本次调查的样本容量为；统计图中的a＝，b＝；（2）通过计算补全条形统计图；（3）该校共有2500名学生，请你估计全校喜爱“葫芦雕刻”的学生人数．20．（8分）今年植树节期间，某景观园林公司购进一批成捆的A，B两种树苗，每捆A种树苗比每捆B种树苗多10棵，每捆A种树苗和每捆B种树苗的价格分别是630元和600元，而每棵A种树苗和每棵B种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的0.9倍和1.2倍．（1）求这一批树苗平均每棵的价格是多少元？（2）如果购进的这批树苗共5500棵，A种树苗至多购进3500棵，为了使购进的这批树苗的费用最低，应购进A种树苗和B种树苗各多少棵？并求出最低费用．21．（8分）如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，若AD＝AF，求证：四边形ABFC是矩形．22．（8分）如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼AB的高度进行测量，先测得居民楼AB与CD之间的距离AC为35m，后站在M点处测得居民楼CD的顶端D的仰角为45°，居民楼AB的顶端B的仰角为55°，已知居民楼CD的高度为16.6m，小莹的观测点N距地面1.6m．求居民楼AB的高度（精确到lm）．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈l.43）．23．（8分）如图，已知反比例函数y＝的图象与直线y＝ax+b相交于点A（﹣2，3），B（1，m）．（1）求出直线y＝ax+b的表达式；（2）在x轴上有一点P使得△PAB的面积为18，求出点P的坐标．24．（10分）如图，在△ABC中，AB＝BC，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．（1）试证明DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，AC＝6，求此时DE的长．25．（12分）如图，二次函数y═ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F，动直线l在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x轴正方向移动到B点．（1）求出二次函数y＝ax2+bx+4和BC所在直线的表达式；（2）在动直线l移动的过程中，试求使四边形DEFP为平行四边形的点P的坐标；（3）连接CP，CD，在动直线l移动的过程中，抛物线上是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△DCE相似？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．答案与解析选择题（共36分）一、选择题（本题共12个小题，每小题3分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．在实数﹣1，﹣，0，中，最小的实数是（）A．﹣1 B．C．0 D．﹣【知识考点】算术平方根；实数大小比较．【思路分析】直接利用实数比较大小的方法得出答案．【解题过程】解：∵|﹣|＞|﹣1|，∴﹣1＞﹣，∴实数﹣1，﹣，0，中，﹣＜﹣1＜0＜．故4个实数中最小的实数是：﹣．故选：D．【总结归纳】此题主要考查了实数比较大小，正确掌握实数大小比较方法是解题关键．2．如图所示的几何体的俯视图是（）A．B．C．D．【知识考点】简单组合体的三视图．【思路分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．【解题过程】解：从上面看，是一个矩形，矩形的靠右边有一条纵向的实线，故选：C．【总结归纳】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝65°，点D是BC边上任意一点，过点D作DF∥AB交AC于点E，则∠FEC的度数是（）A．120°B．130°C．145°D．150°【知识考点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质．【思路分析】由等腰三角形的性质得出∠B＝∠C＝65°，由平行线的性质得出∠CDE＝∠B＝65°，再由三角形的外角性质即可得出答案．【解题过程】解：∵AB＝AC，∠C＝65°，∴∠B＝∠C＝65°，∵DF∥AB，∴∠CDE＝∠B＝65°，∴∠FEC＝∠CDE+∠C＝65°+65°＝130°；故选：B．【总结归纳】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质以及三角形的外角性质；熟练掌握等腰三角形的性质和平行线的性质是解题的关键．4．下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．a6÷a﹣2＝a﹣3C．（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6D．（2a+b）2＝4a2+b2【知识考点】同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法；完全平方公式；负整数指数幂．【思路分析】根据同底数幂的乘法和除法法则，积的乘方法则以及完全平方公式逐一计算判断即可．【解题过程】解：A、a2•a3＝a5，原计算错误，故此选项不合题意；B、a6÷a﹣2＝a8，原计算错误，故此选项不合题意；C、（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6，原计算正确，故此选项合题意；D、（2a+b）2＝4a2+4ab+b2，原计算错误，故此选项不合题意．故选：C．【总结归纳】本题主要考查了同底数幂的乘法和除法，幂的乘方与积的乘方的法则以及完全平方公式，熟记运算法则和公式是解答本题的关键．5．为了增强学生预防新冠肺炎的安全意识，某校开展疫情防控知识竞赛．来自不同年级的30名参赛同学的得分情况如下表所示，这些成绩的中位数和众数分别是（）成绩/分84 88 92 96 100人数/人 2 4 9 10 5A．92分，96分B．94分，96分C．96分，96分D．96分，100分【知识考点】中位数；众数．【思路分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．【解题过程】解：把这些数据从小到大排列，最中间的两个数是第15、16个数的平均数，所以全班30名同学的成绩的中位数是：＝94；96出现了10次，出现的次数最多，则众数是96，所以这些成绩的中位数和众数分别是94分，96分．故选：B．【总结归纳】此题考查了中位数和众数众数．解题的关键是掌握求中位数和众数的方法，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错；众数是一组数据中出现次数最多的数．6．计算÷3×的结果正确的是（）A．1 B．C．5 D．9【知识考点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法．【思路分析】根据二次根式的性质化简二次根式后，再根据二次根式的乘除法法则计算即可．【解题过程】解：原式＝＝＝＝1．故选：A．【总结归纳】本题主要考查了二次根式的乘除，熟记二次根式的性质是解答本题的关键．7．如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为（）A．B．C．D．【知识考点】解直角三角形．【思路分析】如图，过点A作AH⊥BC于H．利用勾股定理求出AC即可解决问题．【解题过程】解：如图，过点A作AH⊥BC于H．在Rt△ACH中，∵AH＝4，CH＝3，∴AC＝＝＝5，∴sin∠ACH＝＝，故选：D．【总结归纳】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．8．用配方法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，配方正确的是（）A．（x﹣）2＝B．（x﹣）2＝C．（x﹣）2＝D．（x﹣）2＝【知识考点】解一元二次方程﹣配方法．【思路分析】化二次项系数为1后，把常数项﹣移项，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣的一半的平方．【解题过程】解：由原方程，得x2﹣x＝，x2﹣x+＝+，（x﹣）2＝，故选：A．【总结归纳】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M，连接OC，DB．如果OC∥DB，OC＝2，那么图中阴影部分的面积是（）A．π B．2π C．3π D．4π【知识考点】扇形面积的计算．【思路分析】连接OD，BC，根据垂径定理和等腰三角形的性质得到DM＝CM，∠COB＝∠BOD，推出△BOD是等边三角形，得到∠BOC＝60°，根据扇形的面积公式即可得到结论．【解题过程】解：连接OD，BC，∵CD⊥AB，OC＝OD，∴DM＝CM，∠COB＝∠BOD，∵OC∥BD，∴∠COB＝∠OBD，∴∠BOD＝∠OBD，∴OD＝DB，∴△BOD是等边三角形，∴∠BOD＝60°，∴∠BOC＝60°，∵DM＝CM，∴S△OBC＝S△OBD，∵OC∥DB，∴S△OBD＝S△CBD，∴S△OBC＝S△DBC，∴图中阴影部分的面积＝＝2π，故选：B．【总结归纳】本题考查了垂径定理、扇形面积的计算，圆周角定理，通过解直角三角形得到相关线段的长度是解答本题的关键．10．如图，有一块半径为1m，圆心角为90°的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（）A．m B．m C．m D．m【知识考点】圆锥的计算．【思路分析】根据已知条件求得圆锥的底面半径，然后利用勾股定理求得其高即可．【解题过程】解：设底面半径为rm，则2πr＝，解得：r＝，所以其高为：＝m，故选：C．【总结归纳】考查了圆锥的计算，解题的关键是首先求得圆锥的底面的半径，难度不大．11．人行道用同样大小的灰、白两种不同颜色的小正方形地砖铺设而成，如图中的每一个小正方形表示一块地砖．如果按图①②③…的次序铺设地砖，把第n个图形用图ⓝ表示，那么图㊿中的白色小正方形地砖的块数是（）A．150 B．200 C．355 D．505【知识考点】规律型：图形的变化类．【思路分析】由图形可知图ⓝ的地砖有（7n+5）块，依此代入数据计算可求图㊿中的白色小正方形地砖的块数．【解题过程】解：由图形可知图ⓝ的地砖有（7n+5）块，当n＝50时，7n+5＝350+5＝355．故选：C．【总结归纳】考查了规律型：图形的变化，解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“层数”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．12．如图，在Rt△ABC中，AB＝2，∠C＝30°，将Rt△ABC绕点A旋转得到Rt△AB′C′，使点B 的对应点B′落在AC上，在B′C′上取点D，使B′D＝2，那么点D到BC的距离等于（）A．2（+1）B．+1 C．﹣1 D．+1【知识考点】旋转的性质．【思路分析】根据直角三角形的性质得到BC＝2，AC＝4，根据旋转的性质得到AB′＝AB ＝2，B′C′＝BC＝2，求得B′C＝2，延长C′B′交BC于F，解直角三角形即可得到结论．【解题过程】解：∵在Rt△ABC中，AB＝2，∠C＝30°，∴BC＝2，AC＝4，∵将Rt△ABC绕点A旋转得到Rt△AB′C′，使点B的对应点B′落在AC上，∴AB′＝AB＝2，B′C′＝BC＝2，∴B′C＝2，延长C′B′交BC于F，∴∠CB′F＝∠AB′C′＝90°，∵∠C＝30°，∴∠CFB′＝60°，B′F＝B′C＝，∵B′D＝2，∴DF＝2+，过D作DE⊥BC于E，∴DE＝DF＝×（2+）＝+1，故选：D．【总结归纳】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．非选择题（共84分）二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分．只要求填写最后结果）13．因式分解：x（x﹣2）﹣x+2＝．【知识考点】因式分解﹣提公因式法．【思路分析】利用提取公因式法因式分解即可．【解题过程】解：原式＝x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝（x﹣2）（x﹣1）．故答案为：（x﹣2）（x﹣1）．【总结归纳】此题考查了提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．14．如图，在⊙O中，四边形OABC为菱形，点D在上，则∠ADC的度数是．【知识考点】菱形的性质；圆周角定理．【思路分析】根据菱形的性质得出∠B＝∠AOC，根据圆内接四边形的性质得出∠B+∠D＝180°，即可得出∠D+∠AOC＝180°，根据圆周角定理得出3∠D＝180°，即可求得∠ADC＝60°．【解题过程】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B+∠D＝180°，∵四边形OABC为菱形，∴∠B＝∠AOC，∴∠D+∠AOC＝180°，∵∠AOC＝2∠D，∴3∠D＝180°，∴∠ADC＝60°，故答案为60°．【总结归纳】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，菱形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．15．计算：（1+）÷＝．【知识考点】分式的混合运算．【思路分析】直接将括号里面通分运算进而结合分式的混合运算法则计算得出答案．【解题过程】解：原式＝•a（a﹣1）＝•a（a﹣1）＝﹣a．故答案为：﹣a．【总结归纳】此题主要考查了分式的混合运算，正确化简分式是解题关键．16．某校开展读书日活动，小亮和小莹分别从校图书馆的“科技”、“文学”、“艺术”三类书籍中随机地抽取一本，抽到同一类书籍的概率是．【知识考点】列表法与树状图法．【思路分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出他们抽到同一类书籍的结果数，然后根据概率公式求解．【解题过程】解：画树状图如下：由树状图知，共有9种等可能结果，其中抽到同一类书籍的有3种结果，所以抽到同一类书籍的概率为＝，故答案为：．【总结归纳】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．17．如图，在直角坐标系中，点A（1，1），B（3，3）是第一象限角平分线上的两点，点C的纵坐标为1，且CA＝CB，在y轴上取一点D，连接AC，BC，AD，BD，使得四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值为．【知识考点】坐标与图形性质；轴对称﹣最短路线问题．【思路分析】根据平行线的性质得到∠BAC＝45°，得到∠C＝90°，求得AC＝BC＝2，作B 关于y轴的对称点E，连接AE交y轴于D，则此时，四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值＝AC+BC+AE，过E作EF⊥AC交CA的延长线于F，根据勾股定理即可得到结论．【解题过程】解：∵点A（1，1），点C的纵坐标为1，∴AC∥x轴，∴∠BAC＝45°，∵CA＝CB，∴∠ABC＝∠BAC＝45°，∴∠C＝90°，∵B（3，3）∴C（3，1），∴AC＝BC＝2，作B关于y轴的对称点E，连接AE交y轴于D，则此时，四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值＝AC+BC+AE，过E作EF⊥AC交CA的延长线于F，则EF＝BC＝2，AF＝6﹣2＝4，∴AE＝＝＝2，∴最小周长的值＝AC+BC+AE＝4+2，故答案为：4+2．【总结归纳】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．三、解答题（本题共8个小题，共69分．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤）18．（7分）解不等式组并写出它的所有整数解．【知识考点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解．【思路分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可得．【解题过程】解：，解不等式①，x＜3，解不等式②，得x≥﹣，∴原不等式组的解集为﹣≤x＜3，它的所有整数解为0，1，2．【总结归纳】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19．（8分）为了提高学生的综合素养，某校开设了五门手工活动课，按照类别分为：A“剪纸”、B “沙画”、C“葫芦雕刻”、D“泥塑”、E“插花”．为了了解学生对每种活动课的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．根据以上信息，回答下列问题：（1）本次调查的样本容量为；统计图中的a＝，b＝；（2）通过计算补全条形统计图；（3）该校共有2500名学生，请你估计全校喜爱“葫芦雕刻”的学生人数．【知识考点】总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．【思路分析】（1）从两个统计图可知a组的有18人，占调查人数的15%，可求出调查人数，即样本容量；进而求出a、b的值；（2）求出E组的频数即可补全条形统计图；（3）样本估计总体，样本中喜欢“葫芦雕刻”的占，即，因此估计总体2500人的是喜欢“葫芦雕刻”的人数．【解题过程】解：（1）18÷15%＝120（人），因此样本容量为120；a＝120×10%＝12（人），b＝120×30%＝36（人），故答案为：120，12，36；（2）E组频数：120﹣18﹣12﹣30﹣36＝24（人），补全条形统计图如图所示：（3）2500×＝625（人），答：该校2500名学生中喜爱“葫芦雕刻”的有625人．【总结归纳】本题考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，从两个统计图中获取数量和数量关系是正确解答的关键．20．（8分）今年植树节期间，某景观园林公司购进一批成捆的A，B两种树苗，每捆A种树苗比每捆B种树苗多10棵，每捆A种树苗和每捆B种树苗的价格分别是630元和600元，而每棵A种树苗和每棵B种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的0.9倍和1.2倍．（1）求这一批树苗平均每棵的价格是多少元？（2）如果购进的这批树苗共5500棵，A种树苗至多购进3500棵，为了使购进的这批树苗的费用最低，应购进A种树苗和B种树苗各多少棵？并求出最低费用．【知识考点】分式方程的应用；一次函数的应用．【思路分析】（1）设这一批树苗平均每棵的价格是x元，根据题意列方程解答即可；（2）分别求出A种树苗每棵的价格与B种树苗每棵的价格，设购进A种树苗t棵，这批树苗的费用为w元，根据题意求出w与t的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可．【解题过程】解：（1）设这一批树苗平均每棵的价格是x元，根据题意列，得：，解这个方程，得x＝20，经检验，x＝20是原分式方程的解，并符合题意，答：这一批树苗平均每棵的价格是20元；（2）由（1）可知A种树苗每棵的价格为：20×0.9＝18（元），B种树苗每棵的价格为：20×1.2＝24（元），设购进A种树苗t棵，这批树苗的费用为w元，则：w＝18t+24（5500﹣t）＝﹣6t+132000，∵w是t的一次函数，k＝﹣6＜0，∴w随t的增大而减小，又∵t≤3500，∴当t＝3500棵时，w最小，此时，B种树苗每棵有：5500﹣3500＝2000（棵），w＝﹣6×3500+132000＝111000，答：购进A种树苗3500棵，BA种树苗2000棵时，能使得购进这批树苗的费用最低，最低费用为111000元．【总结归纳】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用以及一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．21．（8分）如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，若AD＝AF，求证：四边形ABFC是矩形．【知识考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；矩形的判定．【思路分析】根据平行四边形的性质得到两角一边对应相等，利用AAS判定△ABE≌△FCE，从而得到AB＝CF；由已知可得四边形ABFC是平行四边形，BC＝AF，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得到四边形ABFC是矩形．【解题过程】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAE＝∠CFE，∠ABE＝∠FCE，∵E为BC的中点，∴EB＝EC，∴△ABE≌△FCE（AAS），∴AB＝CF．∵AB∥CF，∴四边形ABFC是平行四边形，∵BC＝AF，∴四边形ABFC是矩形．【总结归纳】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．22．（8分）如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼AB的高度进行测量，先测得居民楼AB与CD之间的距离AC为35m，后站在M点处测得居民楼CD的顶端D的仰角为45°，居民楼AB的顶端B的仰角为55°，已知居民楼CD的高度为16.6m，小莹的观测点N距地面1.6m．求居民楼AB的高度（精确到lm）．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈l.43）．【知识考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【思路分析】过点N作EF∥AC交AB于点E，交CD于点F，可得AE＝MN＝CF＝1.6，EF＝AC＝35，再根据锐角三角函数可得BE的长，进而可得AB的高度．【解题过程】解：过点N作EF∥AC交AB于点E，交CD于点F，则AE＝MN＝CF＝1.6，EF＝AC＝35，∠BEN＝∠DFN＝90°，EN＝AM，NF＝MC，则DF＝DC﹣CF＝16.6﹣1.6＝15，在Rt△DFN中，∵∠DNF＝45°，∴NF＝DF＝15，∴EN＝EF﹣NF＝35﹣15＝20，在Rt△BEN中，∵tan∠BNE＝，∴BE＝EN•tan∠BNE＝20×tan55°≈20×1.43≈28.6，∴AB＝BE+AE＝28.6+1.6≈30．答：居民楼AB的高度约为30米．【总结归纳】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．23．（8分）如图，已知反比例函数y＝的图象与直线y＝ax+b相交于点A（﹣2，3），B（1，m）．（1）求出直线y＝ax+b的表达式；（2）在x轴上有一点P使得△PAB的面积为18，求出点P的坐标．【知识考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【思路分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）S△PAB＝PE•CA+PE•BD＝PE PE＝PE＝18，即可求解．【解题过程】解：（1）将点A的坐标代入反比例函数表达式并解得：k＝﹣2×3＝﹣6，故反比例函数表达式为：y＝﹣，将点B的坐标代入上式并解得：m＝﹣6，故点B（1，﹣6），将点A、B的坐标代入一次函数表达式得，解得，故直线的表达式为：y＝﹣3x﹣3；（2）设直线与x轴的交点为E，当y＝0时，x＝﹣1，故点E（﹣1，0），分别过点A、B作x轴的垂线AC、BD，垂足分别为C、D，则S△PAB＝PE•CA+PE•BD＝PE PE＝PE＝18，解得：PE＝4，故点P的坐标为（3，0）或（﹣5，0）．【总结归纳】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．24．（10分）如图，在△ABC中，AB＝BC，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．（1）试证明DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，AC＝6，求此时DE的长．【知识考点】等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质．【思路分析】（1）连接OD、BD，求出BD⊥AC，瑞成AD＝DC，根据三角形的中位线得出OD ∥BC，推出OD⊥DE，根据切线的判定推出即可；（2）根据题意求得AD，根据勾股定理求得BD，然后证得△CDE∽△ABD，根据相似三角形的性质即可求得DE．【解题过程】（1）证明：连接OD、BD，∵AB是⊙O直径，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AC，∵AB＝BC，∴D为AC中点，∵OA＝OB，∴OD∥BC，∵DE⊥BC，∴DE⊥OD，∵OD为半径，∴DE是⊙O的切线；（2）由（1）知BD是AC的中线，∴AD＝CD＝＝3，∵O的半径为5，∴AB＝6，∴BD＝＝＝，∵AB＝AC，∴∠A＝∠C，∵∠ADB＝∠CED＝90°，∴△CDE∽△ABD，∴，即＝，∴DE＝3．【总结归纳】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理等知识点的综合运用．25．（12分）如图，二次函数y═ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F，动直线l在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x轴正方向移动到B点．（1）求出二次函数y＝ax2+bx+4和BC所在直线的表达式；（2）在动直线l移动的过程中，试求使四边形DEFP为平行四边形的点P的坐标；（3）连接CP，CD，在动直线l移动的过程中，抛物线上是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△DCE相似？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【知识考点】二次函数综合题．【思路分析】（1）由题意得出方程组，求出二次函数的解析式为y＝﹣x2+3x+4，则C（0，4），由待定系数法求出BC所在直线的表达式即可（2）证DE∥PF，只要DE＝PF，四边形DEFP即为平行四边形，由二次函数解析式求出点D的坐标，由直线BC的解析式求出点E的坐标，则DE＝，设点P的横坐标为t，则P的坐标为：（t，﹣t2+3t+4），F的坐标为：（t，﹣t+4），由DE＝PF得出方程，解方程进而得出答案；（3）由平行线的性质得出∠CED＝∠CFP，当∠PCF＝∠CDE时，△PCF∽△CDE，则＝，得出方程，解方程即可．【解题过程】解：（1）将点A（﹣1，0），B（4，0），代入y═ax2+bx+4，得：，解得：，∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+3x+4，当x＝0时，y＝4，∴C（0，4），设BC所在直线的表达式为：y＝mx+n，将C（0，4）、B（4，0）代入y＝mx+n，得：，解得：，∴BC所在直线的表达式为：y＝﹣x+4；（2）∵DE⊥x轴，PF⊥x轴，∴DE∥PF，只要DE＝PF，四边形DEFP即为平行四边形，∵y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣）2+，∴点D的坐标为：（，），将x＝代入y＝﹣x+4，即y＝﹣+4＝，∴点E的坐标为：（，），∴DE＝﹣＝，设点P的横坐标为t，则P的坐标为：（t，﹣t2+3t+4），F的坐标为：（t，﹣t+4），∴PF＝﹣t2+3t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2+4t，由DE＝PF得：﹣t2+4t＝，解得：t1＝（不合题意舍去），t2＝，当t＝时，﹣t2+3t+4＝﹣（）2+3×+4＝，∴点P的坐标为（，）；（3）存在，理由如下：如图2所示：由（2）得：PF∥DE，∴∠CED＝∠CFP，又∵∠PCF与∠DCE有共同的顶点C，且∠PCF在∠DCE的内部，∴∠PCF≠∠DCE，∴只有∠PCF＝∠CDE时，△PCF∽△CDE，∴＝，∵C（0，4）、E（，），∴CE＝＝，由（2）得：DE＝，PF＝﹣t2+4t，F的坐标为：（t，﹣t+4），∴CF＝＝t，∴＝，∵t≠0，∴（﹣t+4）＝3，解得：t＝，当t＝时，﹣t2+3t+4＝﹣（）2+3×+4＝，∴点P的坐标为：（，）．【总结归纳】本题是二次函数综合题目，考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、二次函数的性质、平行四边形的判定与性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握待定系数法求函数解析式，熟记二次函数的性质是解题的关键．21。

2020年山东省聊城市中考数学试卷题一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1. 在实数，，，中，最小的实数是（）A. B. C. D.【考点】实数大小比较【解析】根据负数的绝对值越大，这个数越小，然后根据正数大于0，负数小于0;进行大小比较即可．【解答】解：实数，−2，0，中，最小的实数是−2，故选A 【点评】此题考查了实数大小比较：正数大于0，负数小于0；负数的绝对值越大，这个数越小．2. 如图，，，，则的度数为（）A. B. C. D.【考点】平行线的判定与性质【解析】根据平行线的性质得到∠1=∠B=68∘，由三角形的外角的性质即可得到结论．【解答】解：如图，∵AB//CD,AB//CD，∴∠1=∠B=68∘，∵∠E=20∘，∴∠D=∠1−∠E=48∘，故选C．【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．3. 地球的体积约为立方千米，太阳的体积约为立方千米，地球的体积约是太阳体积的倍数是（）A. B. C. D.【考点】整式的除法【解析】直接利用整式的除法运算法则结合科学记数法求出答案．【解答】解：∵地球的体积约为1012立方千米，太阳的体积约为1.4×1018立方千米，∴地球的体积约是太阳体积的倍数是：1012÷(1.4×1018)≈7.1×10−7故选：B．【点评】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．4. 把进行因式分解，结果正确的是（）A. B. C. D.【考点】提公因式法与公式法的综合运用【解析】首先提取公因式，进而利用完全平方公式分解因式即可．【解答】=2a(4a2−4a+1)=2a(2a−1)2．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键．5. 某体校要从四名射击选手中选拔一名参加省体育运动会，选拔赛中每名选手连续射靶次，他们各自的平均成绩及其方差如表所示：甲乙丙丁（环）如果要选出一名成绩高且发挥稳定的选手参赛，则应选择的选手是（）A.甲B.乙C.丙D.丁【答案】B【考点】方差【解析】从平均成绩分析乙和丙要比甲和丁好，从方差分析甲和乙的成绩比丙和丁稳定，综合两个方面可选出乙．【点评】此题主要考查了方差和平均数，关键是掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．6. 用若干个大小相同的小正方形体组合成的几何体的主视图和俯视图如图所示，下面所给的四个选项中，不可能是这个几何体的左视图的是（）A. B. C. D.【考点】由三视图判断几何体简单组合体的三视图【解析】由俯视图可得此几何体底面有个小正方形分为列排，根据主视图可得这个几何体的左视图有层高，依此即可求解．【解答】解：由俯视图可得此几何体底面有个小正方形分为列排，根据主视图可得这个几何体的左视图有层高，可得这个几何体的左视图不可能是层高．故选：C【点评】此题主要考查了画三视图，关键是根据主视图和俯视图分析出每排小正方体的个数.7.二次函数，，为常数且的图象如图所示，则一次函数与反比例函数的图象可能是（）A.B.C.D.【考点】反比例函数的图象;一次函数的图象;二次函数的图象【解析】根据二次函数的图象，可以判断、、的正负情况，从而可以判断一次函数与反比例函数的图象分别在哪几个象限，从而可以解答本题．【解答】解：由二次函数y=ax2+bx+c的图象可知，a>0，b<0，c<0，则一次函数y=ax+b的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的图象在二四象限，故选C．【点评】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象、二次函数的图象，解题的关键是明确它们各自图象的特点，利用数形结合的思想解答问题．8. 在如图的年月份的月历表中，任意框出表中竖列上三个相邻的数，这三个数的和不可能是（）A. B. C. D.【考点】一元一次方程的应用【解析】设第一个数为x，则第二个数为x+7，第三个数为x+14．列出三个数的和的方程，再根据选项解出x，看是否存在．【解答】解：设第一个数为x，则第二个数为x+7，第三个数为x+14故三个数的和为x+x+7+x+14=3x+21当x=16时，3x+21=69；当x=10时，3x+21=51；当x=2时，3x+21=27．故任意圈出一竖列上相邻的三个数的和不可能是72．故选：D．【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．9. 如图，四边形内接于，是上一点，且，连接并延长交的延长线于点，连接．若，，则的度数为（）A. B. C. D.【考点】圆内接四边形的性质圆心角、弧、弦的关系圆周角定理【解析】先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC 的度数，再由圆周角定理得出∠DCE 的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论． 【解答】解：∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∠ABC=105∘， ∴∠ADC=180∘−∠ABC=180∘−105∘=75∘． ∵DF ˆ=BC ˆ ，∠BAC=25∘， ∴∠DCE=∠BAC=25∘，∴∠E=∠ADC −∠DCE=75∘−25∘=50∘．故选B ．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键． 10. 不等式组的解集是，则的取值范围是（ ）A.B.C.D.【答案】D 【考点】不等式的解集【解析】表示出不等式组中两不等式的解集，根据已知不等式组的解集确定出m 的范围即可． 【解答】不等式整理得：⎩⎨⎧+>>11m x x由不等式组的解集为x>1，得到m+1≤1， 解得：m ≤0 【点评】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键． 11. 如图，把一张矩形纸片沿折叠后，点落在边上的点处，点落在点处，若，则图中的度数为（ ）A. B. C. D.【考点】翻折变换（折叠问题）【解析】根据折叠的性质和矩形的性质得出∠BFE=∠EFB′，∠B′=∠B=90∘，根据三角形内角和定理求出∠CFB′=50∘，进而解答即可．【解答】∵把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A'处，点B落在点B'处，∴∠BFE=∠EFB′，∠B′=∠B=90∘，∵∠2=40∘，∴∠CFB′=50∘，∴∠1+∠EFB′−∠CFB′=180∘，即∠1+∠1−50∘=180∘，解得：∠1=115∘【答案】A【点评】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，三角形的内角和定理的应用，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键，注意：折叠后的两个图形全等．12. 聊城“水城之眼”摩天轮是亚洲三大摩天轮之一，也是全球首座建筑与摩天轮相结合的城市地标，如图，点是摩天轮的圆心，长为米的是其垂直地面的直径，小莹在地面点处利用测角仪测得摩天轮的最高点的仰角为，测得圆心的仰角为，则小莹所在点到直径所在直线的距离约为A.米B.米C.米D.米【考点】解直角三角形的应用-----仰角俯角问题【解析】过C作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，求得AD=CD⋅tan∠ACD=CD⋅tan33∘，在Rt△BCO中，求得OD=CD⋅tan∠BCO=CD⋅tan21∘，列方程即可得到结论．【解答】解：过C作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，AD=CD⋅tan∠ACD=CD⋅tan33∘在Rt△BCO中，OD=CD⋅tan∠BCO=CD⋅tan21∘∵AB=110m ，∴AO=55m，∴A0=AD−OD=CD⋅tan33∘−CD⋅tan21∘=55m,∴CD=550.65−0.38≈204m，答：小莹所在C点到直径AB所在直线的距离约为204m．故选B．【点评】此题主要考查了仰角与俯角的问题，利用两个直角三角形拥有公共直角边，能够合理的运用这条公共边是解答此题的关键．二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，只要求填写最后结果）13. 计算：________．14. 如果关于的一元二次方程有两个不相等的实根，那么的取值范围是________．15. 如图，已知圆锥的高为，高所在直线与母线的夹角为，圆锥的侧面积为______．16. 如图，随机地闭合开关，，，，中的三个，能够使灯泡，同时发光的概率是________．17.如图，在平面直角坐标系中，边长为的正方形的两边在坐标轴上，以它的对角线为边作正方形，再以正方形的对角线为边作正方形，以此类推…、则正方形的顶点的坐标是________．三、解答题（本题共8个小题，共69分，解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤）18. 计算：．19. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．（1）若经过平移后得到，已知点的坐标为，写出顶点，的坐标；（2）若和关于原点成中心对称图形，写出的各顶点的坐标；（3）将绕着点按顺时针方向旋转得到，写出的各顶点的坐标．20.如图，在中，，点是的中点，，的平分线交于点，作，连接并延长交于点，连接．求证：四边形是菱形．21.为了让书籍开拓学生的视野，陶冶学生的情操，向阳中学开展了“五个一”课外阅读活动，为了解全校学生课外阅读情况，抽样调查了名学生平均每天课外阅读时间（单位：），将抽查得到的数据分成组，下面是尚未完成的频数、频率分布表：组别分组频数（人数）频率（1）将表中空格处的数据补全，完成上面的频数、频率分布表；（2）请在给出的平面直角坐标系中画出相应的频数直方图；（3）如果该校有名学生，请你估计该校共有多少名学生平均每天阅读时间不少于？【点评】此题考查了频数分布直方图，用样本估计总体，以及频数分布表，弄清题中的数据是解本题的关键．22. 为加快城市群的建设与发展，在，两城市间新建条城际铁路，建成后，铁路运行里程由现在的缩短至，城际铁路的设计平均时速要比现行的平均时速快，运行时间仅是现行时间的，求建成后的城际铁路在，两地的运行时间．23. 如图，在直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于关于原点对称的，两点，已知点的纵坐标是．（1）求反比例函数的表达式；（2）将直线向上平移后与反比例函数在第二象限内交于点，如果的面积为，求平移后的直线的函数表达式．24. 如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，点E为OB的中点，连接CE并延长交⊙O于点F，点F恰好落在AB^的中点，连接AF并延长与CB的延长线相交于点G，连接OF．1BG；（1）求证：OF=2（2）若AB=4，求DC的长．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，正确得出是解题关键．25. 如图，已知抛物线经过点，和．垂直于轴，交抛物线于点，垂直与轴，垂足为，是抛物线的对称轴，点是抛物线的顶点．（1）求出二次函数的表达式以及点的坐标；（2）若沿轴向右平移到其直角边与对称轴重合，再沿对称轴向上平移到点与点重合，得到，求此时与矩形重叠部分的图形的面积；（3）若沿轴向右平移个单位长度得到，与重叠部分的图形面积记为，求与之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围．。

2020年山东省聊城初中毕业生学业考试数 学 试题卷（满分：120分 考试时间：120分钟）一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求）1．在实数－1，－2，0，41中，最小的实数是（ ） A ．－1 B ．41C ．0D ．－2 {答案}D{解析}在实数大小比较中，负数小于0与正数；两个负数中绝对值大的反而小．所给四个实数按从小到大排列为－2＜－1＜0＜41，所以这四个实数中－2最小．2．如图所示的几何体的俯视图是（ ）{答案}C{解析}从上面看几何体所得到的图形为俯视图，其中看得见的轮廓画实线，故选项C 符合题意． 3．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠C ＝65°，点D 是BC 边上任意一点，过点D 作DF ∥AB 交AC 于点E ，则∠FEC 的度数是（ ） A ．120° B ．130° C ．145° D ．150°{答案}B{解析}可利用三角形的外角性质求∠ FEC 的度数，结合等腰三角形与平行线的性质，可得∠ EDC 、∠B 均与∠C 相等．即：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ＝65°．∵DF ∥AB ，∴∠ EDC ＝∠B ＝65°．∴∠FEC ＝∠EDC ＋∠C ＝65°＋65°＝130°．4．下列计算正确的是（ ）A ．a 2·a 3＝a 6B ．a 6÷a 2-＝a 3- C ．(－2ab 2)3＝－8a 3b 6 D ．(2a ＋b )2＝4a 2＋b 2 {答案}C{解析} a 2·a 3＝a 2+3＝a 5，故选项A 错误；a 6÷a 2-＝a )2(6--＝a 8，故选项B 错误；(－2ab 2)3＝(－2)3·a 3·(b 2)3＝－8a 3b 6，故选项C 正确；(2a ＋b )2＝4a 2＋4ab ＋b 2，故选项D 错误．ABCDABCD E F5．为了增强学生预防新冠肺炎的安全意识，某校开展疫情防控知识竞赛．来自不同年级的30名参赛同学的得分情况如下表所示，这些成绩的中位数和众数分别是（ ）A ．92分，96分B ．94分，96分C ．96分，96分D ．96分，100分 {答案}B{解析} 30个数据按大小顺序以表格形式呈现，处于中间位置的第15与16个数据分别是92与96，故这些成绩的 中位数为29692+＝94分；96出现的次数最多为10次，故这些成绩的众数是96分．6．计算45÷33×53的结果正确的是（ ） A ．1 B ．35C ．5D ．9 {答案}A{解析}结合二次根式的性质，按从左到右的顺序进行运算：方法1：原式＝3353×53＝1；方法2：原式＝45÷27×53＝532745⨯÷＝1．7．如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin ∠ACB 的值为（ ）A ．553 B ．517C ．53D ．54{答案}D{解析}利用网格特征把∠ACB 放置于直角三角形中求正弦值．如图，在Rt △ACD 中，由勾股定理，得AC ＝22CD AD +＝2234+＝5，于是sin ∠ACB ＝AC AD ＝54． ABC8．用配方法解一元二次方程2x 2－3x －1＝0，配方正确的是（ ）A ．(x －43)2＝1617B ．(x －43)2＝21C ．(x －23)2＝413D ．(x －23)2＝411{答案}A{解析}由2x 2－3x －1＝0，得2x 2－3x ＝1，∴x 2－23x ＝21，x 2－23x ＋(43)2＝21＋(43)2，∴(x －43)2＝1617．本题中“23x ”即完全平方式“a 2－2ab ＋b 2”中的“2ab ”，确定b 值是完成配方的关键．9．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为点M ，连接OC ，DB ，如果OC ∥DB ，OC ＝23，那么图中阴影部分的面积是（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π {答案}B{解析}借助圆的性质，利用等积转化求解阴影部分的面积．由垂径定理，得CM ＝DM ，∵OC ∥DB ，∴∠C ＝∠D ，又∵∠OMC ＝∠BMD ，∴△OMC ≌△BMD (ASA)，∴OM ＝BM ＝21OB ＝21OC ，∴cos ∠COM ＝OC OM ＝21，∴∠COM ＝60°．∴S 阴影＝S 扇形BOC ＝360)32(602⋅π＝2π．10．如图，有一块半径为1m ，圆心角为90°的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（ ）ABCDA ．41m B ．43m C ．415m D ．23m{答案}C{解析}先利用弧长公式求得圆锥的底面半径，再利用勾股定理求圆锥的高．设圆锥形容器底面圆的半径为r ，则有2πr ＝180190⋅π，解得r ＝41，则圆锥的高为22)41(1-＝415(m)．11．人行道用同样大小的灰、白两种不同颜色的小正方形地砖铺设而成，如图中的每一个小正方形表示一块地砖，如果按图①②③…的次序铺设地砖，把第n 个图形用图○n 表示，那么图○50中的白色小正方形地砖的块数是（ ）A ．150B ．200C ．355D ．505 {答案}C{解析} 该类规律猜想题可从图形规律、数字规律或函数等角度分析求解． 方法1：根据图形规律可知，白色小正方形地砖的块数分别为： ① 5×3－3×1； ② 5×5－3×2； ③ 5×7－3×3； … 则图○n 有白色小正方形地砖的块数是5(2n ＋1)－3n ＝7n ＋5，图○50中的白色小正方形地砖的块数是7×50＋5＝355．方法2：从数字规律考虑，图①、②、③中白色小正方形地砖的块数分别为12，19，26，…发现相邻两数的差均为7，即有 ① 12＝7×1＋5； ② 19＝7×2＋5； ③ 26＝7×3＋5； … 则图○n 中白色小正方形地砖的块数是7n ＋5，○50中的白色小正方形地砖的块数是7×50＋5＝355． 方法3：从函数角度入手考虑，根据题意，初步猜想白色小正方形地砖的块数s 与图形序号n 具有一次函数关系，设s ＝kn ＋b ，把（1，12）、（2，19）代入，得⎩⎨⎧=+=+.192,12b k b k…①②解得⎩⎨⎧==.5,7b k ∴s ＝7n ＋5．验证：当n ＝3时，s ＝7×3＋5＝26，符合题意．当n ＝50时，s ＝7×50＋5＝355．12．如图，在Rt △ABC 中，AB ＝2，∠C ＝30°，将Rt △ABC 绕点A 转得到Rt △AB ′C ′，使点B 的对应点B ′落在AC 上，在B ′C ′上取点D ，使B ′D ＝2，那么，点D 到BC 的距离等于（ ）A ．2(33＋1) B ．33＋1 C ．3－1 D ．3＋1 {答案}D{解析}本题可直接通过解直角三角形解答．如图，设DE ⊥BC 于点E ，交AC 于点F ，则∠B ′DF ＝∠C ＝30°，∴DF ＝2B ′F ．在Rt △B ′DF 中，设B ′F ＝x ，根据勾股定理，得x 2＋22＝(2x )2，解得x ＝332，∴DF ＝334．由旋转知AB ′＝AB ＝2．在Rt △ABC 中，∠C ＝30°，∴AC ＝2AB ＝4，∴B ′C ＝4－2＝2，∴CF ＝B ′C －B ′F ＝2－332，∴EF ＝21CF ＝1－33．∴DE ＝DF ＋EF ＝334＋1－33＝3＋1．{题型:填空题}二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分.只要求填写最后结果） 13．因式分解：x (x －2)－x ＋2＝ ． {答案}(x －2)(x －1)EABC DB ′C ′ FABDB ′C ′{解析}先添加括号，构造并提取公因式(x －2)进行分解，x (x －2)－x ＋2＝x (x －2)－(x －2)＝(x －2)(x －1)． 14．如图，在⊙O 中，四边形OABC 为菱形，点D 在AmC ︵上，则∠ADC 的度数是 ．{答案}60°{解析}利用圆周角定理、圆内接四边形的性质以及菱形的对角相等构建方程求解．在菱形OABC 中，∠B ＝∠O ，又∵∠O ＝2∠D ，∠D ＋∠B ＝180°，∴∠D ＋2∠D ＝180°，∴∠D ＝60°．15．计算：(1＋a a -1)÷aa -21＝ ． {答案}－a{解析}含括号的分式混合运算，先算括号里的加法，再算除法；也可利用分配律进行运算． 方法1：原式＝aaa -+-11×a (a －1)＝)1(1--a ×a (a －1)＝－a ．方法2：原式＝(1－1-a a )×(a 2－a )＝a 2－a －1-a a×a (a －1)＝a 2－a －a 2＝－a ． 16．某校开展读书日活动，小亮和小莹升别从校图书馆的“科技”、“文学”、“ 艺术”三类书籍中随机地抽取一本，抽到同一类书籍的概率是 ． {答案}31 {解析}可知，一共有种等可能的情况，其中抽到同一类书籍的有种， 所以P (抽到同一类书籍)＝93＝31．17．如图，在直角坐标系中，点A (1，1)，B (3，3)是第一象限角平分线上的两点，点C 的纵坐标为1，且CA ＝CB ，在y 轴上取一点D ，连接AC ，BC ，AD ，BD ，使得四边形ACBD 的周长最小，这个最小周长的值为 ．O D ABCm{答案}4＋25{解析}先求点C 的坐标，再利用最短路径知识确定D 点位置，最后求四边形ACBD 的最小周长即可． 由点A 与点C 的纵坐标均为1，可知AC ∥x 轴，又点A ，B 是第一象限角平分线上的两点，∴∠BAC ＝45°，又∵CA ＝CB ，∴∠CBA ＝45°，∴AC ⊥BC ，∴C (3，1)，则AC ＝BC ＝2．如图，作点A 关于y 轴的对称点E ，连接BE 交y 轴于点D ，此时AD ＋BD 的值最小，为线段BE 的长．由轴对称性可知AE =2，则EC =4．在Rt △BCE 中，根据勾股定理，得BE ＝22EC BC +＝2242+＝25．∴四边形ACBD 的最小周长为2＋2＋25＝4＋25．{题型:解答题}三、解答题（本题共8小题，共69分．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤）18．解不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+≥--<+,443323,237121x x x x x 并写出它的所有整数解．{解析}先分别解两个不等式，然后借助数轴确定不等式的公共解集，即得到不等式组的解集，再从中确定整数解．{答案}解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+≥--<+,443323,237121x x x x x ②①解不等式①，得x ＜3． 解不等式②，得x ≥54-． 在同一数轴上表示出表达式①，②的解集：所以该不等式组的解集是54≤x ＜3． 它的所有整数解为0，1，2．19．为了提高学生的综合素养，某校开设了五门手工活动课按照类别分为，A “剪纸”、B “沙画”、C “葫芦雕刻”、D “泥塑”、E “插花”．为了了解学生对每种活动课的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．（3）该校共有2500名学生，请你估计全校喜爱“葫芦雕刻”的学生人数．{解析}（1）已知类别A 的人数与所占抽取人数的百分比，由此可先求得样本容量为18÷15%＝120，则a ＝120×10%＝12，b ＝120×30%＝36；（2）样本容量减去前四类别的人数即得类别E 的人数，或者根据利用百分比求解，即可补全条形统计图；（3）利用样本估计总体的统计思想求解． {答案}解：（1）120；12，36；（2）C 类别所占的百分比为：30÷120＝25%，E 类别的人数为：120×(1－15%－10%－25%－30%)＝24（人）． 补全条形统计图如图所示：（3）12030×2500＝625（人）． 答：全校喜爱“葫芦雕刻”的学生人数约为625人．20．今年植树节期间，某景观园林公司购进一批成捆的A 、B 两种树苗，每捆A 种树苗比每捆B 种活动课类别树苗多10棵，每捆A 种树苗和每捆B 种树苗的价格分别是630元和600元，而每棵A 种树苗和每棵B 种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的0.9倍和1.2倍． （1）求这一批树苗平均每棵的价格是多少元？（2）如果购进的这批树苗共5500棵，A 种树苗至多购进3500棵，为了使购进的这批树苗的费用最低，应购进A 种树苗和B 种树苗各多少棵？并求出最低费用．{解析}（1）直接设元，可表示出A ，B 两种树苗的价格，利用等量关系“每捆A 种树苗的棵数－每捆B 种树苗的棵数＝10”构建分式方程求解；（2）构建这批树苗的费用w (元)与购进A 种树苗的棵数t (棵)之间的一次函数关系，利用其增减性确定最低费用．{答案}解：（1）设这一批树苗平均每棵的价格是x 元， 根据题意，得xx 2.16009.0630＝10． 解之，得x ＝20．经检验知，x ＝20是原分式方程的根，并符合题意． 答：这一批树苗平均每棵的价格是20元． （2）由（1）可知A 种树苗每棵价格为20×0.9＝18元，B 种树苗每棵价格为20×1.2＝24元，设购进A 种树苗t 棵，这批树苗的费用为w ，则 w ＝18t ＋24(5500－t )＝－6t ＋132000．因为w 是t 的一次函数，k ＝－6＜0，w 随着t 的增大而减小，又t ≤3500，所以当t ＝3500棵时，w 最小．此时，B 种树苗有5500－3500＝2000棵．w ＝－6×3500＋132000＝111000．答：购进A 种树苗3500棵，B 种树苗2000棵，能使得购进这批树苗的费用最低为111000元． 21．如图，在□ABCD 中，E 为BC 的中点，连接AE 并延长交DC 的延长线于点F ，连接BF ，A C ．若AD ＝AF ，求证：四边形ABFC 是矩形．{解析}本题蕴含“倍长中线”的基本图形，易证△ABE ≌△FCE ，得四边形ABFC 的对角线互相平分，于是再证两对角线相等，结论即可获证．{答案}证明：在□ABCD 中，AB ∥DF ，∴∠ABE ＝∠FCE ， ∵E 为BC 的中点，∴BE ＝CE ，又∠AEB ＝∠FEC ， ∴△ABE ≌△FCE (ASA)． ∴AE ＝FE ，又BE ＝CE ，∴四边形ABFC 是平行四边形．在□ABCD 中，AD ＝BC ，又∵AD ＝AF ， ∴BC ＝AF ，∴□ABFC 是矩形． 22．如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼AB 的高度进行测量．先测得居民楼AB 与CD 之间的距离AC 为35m ，后站在M 点处测得居民楼CD 的顶端D 的仰角为45°．居民楼AB 的顶端B 的仰角为55°．已知居民楼CD 的高度为16.6m ，小莹的观测点N 距地面1.6m ．求ED A BC F居民楼AB 的高度（精确到1m ）．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）{解析}过点N 作出平行于AC 的直线，即可构造两个直角三角形，通过解直角三角形求解，均属于“已知一边一角”解直角三角形类型．{答案}解：过点N 作EF ∥AC 交AB 于点E ，交CD 于点F ． 则AE ＝MN ＝CF ＝1.6，EF ＝AC ＝35，∠BEN ＝∠DFN ＝90°， EN ＝AM ，NF ＝MC ，则DF ＝CD －CF ＝16.6－1.6＝15． 在Rt △DFN 中，∵∠DNF ＝45°， ∴NF ＝DF ＝15．∴EN ＝EF －NF ＝35－15＝20． 在Rt △BEN 中，∵tan ∠BNE ＝ENBE， ∴BE ＝EN ·tan ∠BNE ＝20×tan55°≈20×1.43＝28.6°． ∴AB ＝BE ＋AE ＝28.6＋1.6≈30． 答：居民楼AB 的高度约为30m ．23．如图，已知反比例函数y ＝xk的图象与直线y ＝ax ＋b 相交于点A (－2，3)，B (1，m )． （1）求出直线y ＝ax ＋b 的表达式；（2）在x 轴上有一点P 使得△P AB 的面积为18，求出点P 的坐标．55° 45°ABCDMN 55° 45° ABCDMN E F{解析}（1）根据点A 的坐标先求反比例函数的表达式，再求点B 的坐标，最后利用待定系数法确定一次函数的表达式；（2）先求出直线AB 与x 轴的交点E 的坐标，这样结合点A ，B 的纵坐标，利用△PAE 与△PBE 面积之和为18求得两三角形公共底边PE 的长，再分点P 在直线AB 两侧两种情形求出点P 的坐标． {答案}解：（1）∵A (－2，3)在y ＝xk的图象上， ∴3＝2-k，k ＝－6． 又点B (1，m )在y ＝x6-的图象上，∴m ＝－6，即B (1，－6)．将点A ，B 的坐标代入y ＝ax ＋b ，得⎩⎨⎧+=-+-=,6,23b a b a解得⎩⎨⎧-=-=.3,3b a ∴直线的表达式为y ＝－3x －3．（2）设直线y ＝－3x －3与x 轴的交点为E ， 当y ＝0时，解得x ＝－1．即E (－1，0)．分别过点A ，B 作x 轴的垂线AC ，BD ，垂足分别为C ，D ．S △PAB ＝21PE ·AC ＋21PE ·DB ＝23PE ＋26PE ＝29PE ． 又S △PAB ＝18，即29PE ＝18，∴PE ＝4．当点P 在原点右侧时，P (3，0)． 当点P 在原点左侧时，P (－5，0)．24．如图，在△ABC中，AB＝B C，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点D，过点D作DE⊥B C，垂足为点E．（1）试证明DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，AC＝610，求此时DE的长．{解析}（1）本题属于“见切点，连半径，证垂直”类型，根据已知条件“DE⊥BC”只需证明OD ∥BC即可，由此发现点D应为AC的中点，利用圆周角定理的推论与等腰三角形三线合一的性质可获得，从而思路得以沟通；（2）本题实质上是解等腰三角形，除了利用Rt△CDE∽Rt△ABD求解外，在Rt△BCD中利用面积法求高DE的长更显简捷．{答案}解：（1）证明：连接OD，BD，∵AB为⊙O的直径，∴BD⊥AD，又∵AB＝BC，△ABC是等腰三角形，∴BD又是AC边上的中线，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥BC，又DE⊥BC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线．（2）由（1）知，BD 是AC 边上的中线，AC ＝610， 得AD ＝CD ＝310．∵⊙O 的半径为5，∴AB ＝10． 在Rt △ABD 中，BD ＝22AD AB -＝22)103(10-＝10．∵AB ＝BC ，∴∠A ＝∠C ．在Rt △CDE 和Rt △ABD 中，∵∠DEC ＝∠ADB ＝90°，∠C ＝∠A ， ∴Rt △CDE ∽Rt △ABD ， ∴BDDEAB CD =， 即1010103DE=，解得DE ＝3．25．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋4的图象与x 轴交于点A (－1．0)，B (4．0)，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，其对称轴与线段BC 交于点E ．垂直于x 轴的动直线l 分别交抛物线和线段BC 于点P 和点F ，动直线l 在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x 轴正方向移动到B 点． （1）求出二次函数y ＝ax 2＋bx ＋4和BC 所在直线的表达式；（2）在动直线l 移动的过程中，试求使四边形DEFP 为平行四边形的点P 的坐标；（3）连接CP ，CD ，在移动直线l 移动的过程中，抛物线上是否存在点P ，使得以点P ，C ，F 为顶点的三角形与△DCE 相似，如果存在，求出点P 的坐标，如果不存在，请说明理由．{解析}（1）运用待定系数法，利用A ，B 两点的坐标构建二元一次方程组求解二次函数的表达式，利用B ，C 两点的坐标确定直线BC 的表达式；（2）DE 长可求，由于直线l 与抛物线的对称轴互相平行，故只需具备PF ＝DE ，即得四边形DEFP 为平行四边形．点P 与点F 的横坐标相同，故利用抛物线与直线的解析式表示它们的纵坐标，根据其差等于DE 长构建一元二次方程求解；（3）结合图形与已知条件，易于发现若两三角形相似，只可能存在△PCF ∽△CDE 一种情况．△CDE 的三边均可求，（2）中已表示PF 的长，再构建直角三角形或借助两点间距离公式，利用勾股定理表示出CF 的长，这样根据比例式列方程求解，从而可判断点P 是否存在，以及求解点P 的值． {答案}解：（1）由题意，将A (－1．0)，B (4．0)代入y ＝ax 2＋bx ＋4，得⎩⎨⎧=++=+-.04416,04b a b a 解得⎩⎨⎧=-=.3,1b a ∴二次函数的表达式为y ＝－x 2＋3x ＋4．当x ＝0时，y ＝4，得点C (0，4)，又点B (4，0)， 设线段BC 所在直线的表达式为y ＝mx ＋n ， ∴⎩⎨⎧=+=.04,4n m n 解得⎩⎨⎧=-=.4,1n m∴BC 所在直线的表达式为y ＝－x ＋4． （2）∵DE ⊥x 轴，PF ⊥x 轴，∴DE ∥PF ，只要DE ＝PF ，此时四边形DEFP 即为平行四边形．由二次函数y ＝－x 2＋3x ＋4＝(x －23) 2＋425，得D (23，425)． 将x ＝23代入y ＝－x ＋4，即y ＝－23＋4＝25，得点E (23，25)．∴DE ＝425－25＝415．设点P 的横坐标为t ，则P (t ，－t 2＋3t ＋4)，F (t ，－t ＋4)，PF ＝－t 2＋3t ＋4－(－t ＋4)＝－t 2＋4t ， 由DE ＝PF ，得－t 2＋4t ＝415， 解之，得t 1＝23(不合题意，舍去)，t 2＝25． 当t ＝25时，－t 2＋3t ＋4＝－(25)2＋3×25＋4＝421．∴P (25，421)．（3）由（2）知，PF ∥DE ，∴∠CED ＝∠CFP ．又∠PCF 与∠DCE 有共同的顶点C ，且∠PCF 在∠DCE 的内部， ∴∠PCF ≠∠DCE ，∴只有当∠PCF ＝∠CDE 时，△PCF ∽△CDE ． 由D (23，425)，C (0，4)，E (23，25)，利用勾股定理，可得图①图②CE ＝22)254()23(-+＝223，DE ＝425－25＝415． 由（2）以及勾股定理知，PF ＝－t 2＋4t ， CF ＝22)]4(4[+--+t t ＝2t ．∴DECFCE PF =，即415222342t t t =+-． ∵t ≠0，∴415(－t ＋4)＝3，∴t ＝516． 当t ＝516时，－t 2＋3t ＋4＝－(516)2＋3×516＋4＝2584．∴点P 的坐标是(516，2584)．。

2020年山东省聊城市中考数学试卷姓名：___________班级：___________得分：___________ 一、选择题（本大题共12小题，共36.0分） 1. 在实数−1，−√2，0，14中，最小的实数是( )A. −1B. 14C. 0D. −√22. 如图所示的几何体的俯视图是( )A.B.C.D.3. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠C =65°，点D 是BC 边上任意一点，过点D 作DF//AB 交AC 于点E ，则∠FEC 的度数是( ) A. 120° B. 130° C. 145° D. 150°4. 下列计算正确的是( )A. a 2⋅a 3=a 6B. a 6÷a −2=a −3C. (−2ab 2)3=−8a 3b 6D. (2a +b)2=4a 2+b 25. 为了增强学生预防新冠肺炎的安全意识，某校开展疫情防控知识竞赛．来自不同年级的30名参赛同学的得分情况如下表所示，这些成绩的中位数和众数分别是( )成绩/分 84 88 92 96 100 人数/人249105分，分 分，分 分，分 D. 96分，100分6. 计算√45÷3√3×√35的结果正确的是( )A. 1B. 53C. 5D. 97. 如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB 的值为( )A. 3√55B. √175C. 35 D. 458. 用配方法解一元二次方程2x 2−3x −1=0，配方正确的是( )A. (x −34)2=1716B. (x −34)2=12C. (x −32)2=134D. (x −32)2=1149.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M，连接OC，DB.如果OC//DB，OC=2√3，那么图中阴影部分的面积是()A. πB. 2πC. 3πD. 4π10.如图，有一块半径为1m，圆心角为90°的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器(接缝忽略不计)，那么这个圆锥形容器的高为()A. 14m B. 34m C. √154m D.√32m11.人行道用同样大小的灰、白两种不同颜色的小正方形地砖铺设而成，如图中的每一个小正方形表示一块地砖．如果按图①②③…的次序铺设地砖，把第n个图形用图ⓝ表示，那么图㊿中的白色小正方形地砖的块数是()A. 150B. 200C. 355D. 50512.如图，在Rt△ABC中，AB=2，∠C=30°，将Rt△ABC绕点A旋转得到Rt△AB′C′，使点B的对应点B′落在AC上，在B′C′上取点D，使B′D=2，那么点D到BC的距离等于()A. 2(√33+1)B. √33+1C. √3−1D. √3+1二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）13.因式分解：x(x−2)−x+2=______．14.如图，在⊙O中，四边形OABC为菱形，点D在AmC⏜上，则∠ADC的度数是______．15.计算：(1+a1−a )÷1a2−a=______．16.某校开展读书日活动，小亮和小莹分别从校图书馆的“科技”、“文学”、“艺术”三类书籍中随机地抽取一本，抽到同一类书籍的概率是______．17. 如图，在直角坐标系中，点A(1,1)，B(3,3)是第一象限角平分线上的两点，点C 的纵坐标为1，且CA =CB ，在y 轴上取一点D ，连接AC ，BC ，AD ，BD ，使得四边形ACBD 的周长最小，这个最小周长的值为______． 三、计算题（本大题共1小题，共8.0分） 18. 如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼AB 的高度进行测量，先测得居民楼AB 与CD 之间的距离AC 为35m ，后站在M 点处测得居民楼CD 的顶端D 的仰角为45°，居民楼AB 的顶端B 的仰角为55°，已知居民楼CD 的高度为16.6m ，小莹的观测点N 距地面1.6m.求居民楼AB 的高度(精确到lm).(参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈l.43)．四、解答题（本大题共7小题，共61.0分）19. 解不等式组{12x +1<7−32x,3x−23≥x 3+x−44,并写出它的所有整数解．20. 为了提高学生的综合素养，某校开设了五门手工活动课，按照类别分为：A “剪纸”、B “沙画”、C “葫芦雕刻”、D “泥塑”、E “插花”.为了了解学生对每种活动课的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．根据以上信息，回答下列问题：(1)本次调查的样本容量为______；统计图中的a =______，b =______； (2)通过计算补全条形统计图；21.今年植树节期间，某景观园林公司购进一批成捆的A，B两种树苗，每捆A种树苗比每捆B种树苗多10棵，每捆A种树苗和每捆B种树苗的价格分别是630元和600元，而每棵A种树苗和每棵B种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的0.9倍和1.2倍．(1)求这一批树苗平均每棵的价格是多少元？(2)如果购进的这批树苗共5500棵，A种树苗至多购进3500棵，为了使购进的这批树苗的费用最低，应购进A种树苗和B种树苗各多少棵？并求出最低费用．22.如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，若AD=AF，求证：四边形ABFC是矩形．23.如图，已知反比例函数y=k的图象与直线y=xax+b相交于点A(−2,3)，B(1,m)．(1)求出直线y=ax+b的表达式；(2)在x轴上有一点P使得△PAB的面积为18，求出点P的坐标．24.如图，在△ABC中，AB=BC，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．(1)试证明DE是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为5，AC=6√10，求此时DE的长．25.如图，二次函数yⓝax2+bx+4的图象与x轴交于点A(−1,0)，B(4,0)，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F，动直线l在抛物线的对称轴的右侧(不含对称轴)沿x轴正方向移动到B点．(1)求出二次函数y=ax2+bx+4和BC所在直线的表达式；(2)在动直线l移动的过程中，试求使四边形DEFP为平行四边形的点P的坐标；(3)连接CP，CD，在动直线l移动的过程中，抛物线上是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△DCE相似？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵|−√2|>|−1|， ∴−1>−√2，∴实数−1，−√2，0，14中，−√2<−1<0<14．故4个实数中最小的实数是：−√2． 故选：D ．直接利用实数比较大小的方法得出答案．此题主要考查了实数比较大小，正确掌握实数大小比较方法是解题关键． 2.【答案】C【解析】解：从上面看，是一个矩形，矩形的靠右边有一条纵向的实线， 故选：C ．找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中． 本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图． 3.【答案】B【解析】解：∵AB =AC ，∠C =65°， ∴∠B =∠C =65°， ∵DF//AB ，∴∠CDE =∠B =65°，∴∠FEC =∠CDE +∠C =65°+65°=130°； 故选：B ．由等腰三角形的性质得出∠B =∠C =65°，由平行线的性质得出∠CDE =∠B =65°，再由三角形的外角性质即可得出答案．本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质以及三角形的外角性质；熟练掌握等腰三角形的性质和平行线的性质是解题的关键． 4.【答案】C【解析】解：A 、a 2⋅a 3=a 5，原计算错误，故此选项不合题意； B 、a 6÷a −2=a 8，原计算错误，故此选项不合题意； C 、(−2ab 2)3=−8a 3b 6，原计算正确，故此选项合题意；D 、(2a +b)2=4a 2+4ab +b 2，原计算错误，故此选项不合题意． 故选：C ．根据同底数幂的乘法和除法法则，积的乘方法则以及完全平方公式逐一计算判断即可． 本题主要考查了同底数幂的乘法和除法，幂的乘方与积的乘方的法则以及完全平方公式，熟记运算法则和公式是解答本题的关键． 5.【答案】B【解析】解：把这些数据从小到大排列，最中间的两个数是第15、16个数的平均数， 所以全班30名同学的成绩的中位数是：92+962=94；96出现了10次，出现的次数最多，则众数是96， 所以这些成绩的中位数和众数分别是94分，96分．根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．此题考查了中位数和众数众数．解题的关键是掌握求中位数和众数的方法，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错；众数是一组数据中出现次数最多的数． 6.【答案】A【解析】解：原式=3√5÷3√3×√155=3√5×√39×√155=√5×3×1515 =1515=1．故选：A ．根据二次根式的性质化简二次根式后，再根据二次根式的乘除法法则计算即可． 本题主要考查了二次根式的乘除，熟记二次根式的性质是解答本题的关键． 7.【答案】D【解析】解：如图，过点A 作AH ⊥BC 于H ．在Rt △ACH 中，∵AH =4，CH =3， ∴AC =√AH 2+CH 2=√42+32=5， ∴sin∠ACH =AH AC=45， 故选：D ．如图，过点A 作AH ⊥BC 于H.利用勾股定理求出AC 即可解决问题． 本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 8.【答案】A【解析】解：由原方程，得 x 2−32x =12，x 2−32x +916=12+916， (x −34)2=1716， 故选：A ．化二次项系数为1后，把常数项−12移项，应该在左右两边同时加上一次项系数−32的一本题考查了解一元二次方程--配方法．配方法的一般步骤： (1)把常数项移到等号的右边； (2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 9.【答案】B【解析】解：连接OD ，BC ， ∵CD ⊥AB ，OC =OD ，∴DM =CM ，∠COB =∠BOD ， ∵OC//BD ，∴∠COB =∠OBD ， ∴∠BOD =∠OBD ， ∴OD =DB ，∴△BOD 是等边三角形， ∴∠BOD =60°， ∴∠BOC =60°， ∵DM =CM ，∴S △OBC =S △OBD ， ∵OC//DB ，∴S △OBD =S △CBD ， ∴S △OBC =S △DBC ， ∴图中阴影部分的面积=60⋅π×(2√3)2360=2π，故选：B ．连接OD ，BC ，根据垂径定理和等腰三角形的性质得到DM =CM ，∠COB =∠BOD ，推出△BOD 是等边三角形，得到∠BOC =60°，根据扇形的面积公式即可得到结论． 本题考查了垂径定理、扇形面积的计算，圆周角定理，通过解直角三角形得到相关线段的长度是解答本题的关键． 10.【答案】C【解析】解：设底面半径为rm ，则2πr =90π×1180，解得：r =14，所以其高为：√12−(14)2=√154m ，故选：C ．根据已知条件求得圆锥的底面半径，然后利用勾股定理求得其高即可． 考查了圆锥的计算，解题的关键是首先求得圆锥的底面的半径，难度不大． 11.【答案】C【解析】解：由图形可知图ⓝ的地砖有(7n +5)块， 当n =50时，7n +5=350+5=355． 故选：C ．由图形可知图ⓝ的地砖有(7n +5)块，依此代入数据计算可求图㊿中的白色小正方形地考查了规律型：图形的变化，解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“层数”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加(或倍数)情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．12.【答案】D【解析】解：∵在Rt△ABC中，AB=2，∠C=30°，∴BC=2√3，AC=4，∵将Rt△ABC绕点A旋转得到Rt△AB′C′，使点B的对应点B′落在AC上，∴AB′=AB=2，B′C′=BC=2√3，∴B′C=2，延长C′B′交BC于F，∴∠CB′F=∠AB′C′=90°，∵∠C=30°，∴∠CFB′=60°，B′F=√33B′C=2√33，∵B′D=2，∴DF=2+2√33，过D作DE⊥BC于E，∴DE=√32DF=√32×(2+2√33)=√3+1，故选：D．根据直角三角形的性质得到BC=2√3，AC=4，根据旋转的性质得到AB′=AB=2，B′C′=BC=2√3，求得B′C=2，延长C′B′交BC于F，解直角三角形即可得到结论．本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．13.【答案】(x−2)(x−1)【解析】解：原式=x(x−2)−(x−2)=(x−2)(x−1)．故答案为：(x−2)(x−1)．利用提取公因式法因式分解即可．此题考查了提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．14.【答案】60°【解析】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B+∠D=180°，∵四边形OABC为菱形，∴∠B=∠AOC，∴∠D+∠AOC=180°，∵∠AOC=2∠D，∴3∠D=180°，∴∠ADC=60°，故答案为60°．根据菱形的性质得出∠B=∠AOC，根据圆内接四边形的性质得出∠B+∠D=180°，即可得出∠D+∠AOC=180°，根据圆周角定理得出3∠D=180°，即可求得∠ADC=60°．本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，菱形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．15.【答案】−a【解析】解：原式=1−a+a1−a⋅a(a−1)=11−a⋅a(a−1)=−a．故答案为：−a．直接将括号里面通分运算进而结合分式的混合运算法则计算得出答案．此题主要考查了分式的混合运算，正确化简分式是解题关键．16.【答案】13【解析】解：画树状图如下：由树状图知，共有9种等可能结果，其中抽到同一类书籍的有3种结果，所以抽到同一类书籍的概率为39=13，故答案为：13．画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出他们抽到同一类书籍的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．17.【答案】4+2√5【解析】解：∵点A(1,1)，点C的纵坐标为1，∴AC//x轴，∴∠BAC=45°，∵CA=CB，∴∠ABC=∠BAC=45°，∴∠C=90°，∵B(3,3)∴C(3,1)，∴AC=BC=2，作B关于y轴的对称点E，连接AE交y轴于D，则此时，四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值=AC+BC+AE，过E作EF⊥AC交CA的延长线于F，则EF=BC=2，AF=6−2=4，∴AE=√EF2+AF2=√22+42=2√5，故答案为：4+2√5．根据平行线的性质得到∠BAC =45°，得到∠C =90°，求得AC =BC =2，作B 关于y 轴的对称点E ，连接AE 交y 轴于D ，则此时，四边形ACBD 的周长最小，这个最小周长的值=AC +BC +AE ，过E 作EF ⊥AC 交CA 的延长线于F ，根据勾股定理即可得到结论．本题考查了轴对称−最短路线问题，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．18.【答案】解：过点N 作EF//AC 交AB 于点E ，交CD 于点F ，则AE =MN =CF =1.6，EF =AC =35，∠BEN =∠DFN =90°，EN =AM ，NF =MC ，则DF =DC −CF =16.6−1.6=15，在Rt △DFN 中，∵∠DNF =45°，∴NF =DF =15，∴EN =EF −NF =35−15=20，在Rt △BEN 中，∵tan∠BNE =BEEN ，∴BE =EN ⋅tan∠BNE =20×tan55°≈20×1.43≈28.6，∴AB =BE +AE =28.6+1.6≈30．答：居民楼AB 的高度约为30米．【解析】过点N 作EF//AC 交AB 于点E ，交CD 于点F ，可得AE =MN =CF =1.6，EF =AC =35，再根据锐角三角函数可得BE 的长，进而可得AB 的高度．本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．19.【答案】解：{12x +1<7−32x①3x−23≥x 3+x−44②， 解不等式①，x <3，解不等式②，得x ≥−45，∴原不等式组的解集为−45≤x <3，它的所有整数解为0，1，2．【解析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可得．本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．20.【答案】120 12 36【解析】解：(1)18÷15%=120(人)，因此样本容量为120；a =120×10%=12(人)，b =120×30%=36(人)，故答案为：120，12，36；(2)E 组频数：120−18−12−30−36=24(人)，补全条形统计图如图所示：(3)2500×30120=625(人)，答：该校2500名学生中喜爱“葫芦雕刻”的有625人．(1)从两个统计图可知a 组的有18人，占调查人数的15%，可求出调查人数，即样本容量；进而求出a 、b 的值；(2)求出E 组的频数即可补全条形统计图；(3)样本估计总体，样本中喜欢“葫芦雕刻”的占30120，即14，因此估计总体2500人的14是喜欢“葫芦雕刻”的人数．本题考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，从两个统计图中获取数量和数量关系是正确解答的关键．21.【答案】解：(1)设这一批树苗平均每棵的价格是x 元，根据题意列，得： 6300.9x −6001.2x =10，解这个方程，得x =20，经检验，x =20是原分式方程的解，并符合题意，答：这一批树苗平均每棵的价格是20元；(2)由(1)可知A 种树苗每棵的价格为：20×0.9=18(元)，B 种树苗每棵的价格为：20×1.2=24(元)，设购进A 种树苗t 棵，这批树苗的费用为w 元，则：w =18t +24(5500−t)=−6t +132000，∵w 是t 的一次函数，k =−6<0，∴w 随t 的增大而减小，又∵t ≤3500，∴当t =3500棵时，w 最小，此时，B 种树苗每棵有：5500−3500=2000(棵)，w =−6×3500+132000=111000， 答：购进A 种树苗3500棵，BA 种树苗2000棵时，能使得购进这批树苗的费用最低，最低费用为111000元．【解析】(1)设这一批树苗平均每棵的价格是x 元，根据题意列方程解答即可；(2)分别求出A 种树苗每棵的价格与B 种树苗每棵的价格，设购进A 种树苗t 棵，这批树苗的费用为w 元，根据题意求出w 与t 的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可．本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用以及一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系． 22.【答案】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB//CD ，AB =CD ，∴∠BAE =∠CFE ，∠ABE =∠FCE ，∵E 为BC 的中点，∴EB =EC ，∴△ABE≌△FCE(AAS)，∴AB =CF ．∵AB//CF ，∴四边形ABFC 是平行四边形，∵BC =AF ，∴四边形ABFC 是矩形．【解析】根据平行四边形的性质得到两角一边对应相等，利用AAS 判定△ABE≌△FCE ，从而得到AB =CF ；由已知可得四边形ABFC 是平行四边形，BC =AF ，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得到四边形ABFC 是矩形．本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．23.【答案】解：(1)将点A 的坐标代入反比例函数表达式并解得：k =−2×3=−6， 故反比例函数表达式为：y =−6x ，将点B 的坐标代入上式并解得：m =−6，故点B(1,−6)，将点A 、B 的坐标代入一次函数表达式得{3=−2a +b −6=a +b ，解得{a =−3b =−3， 故直线的表达式为：y =−3x −3；(2)设直线与x 轴的交点为E ，当y =0时，x =−1，故点E(−1,0)，分别过点A 、B 作x 轴的垂线AC 、BD ，垂足分别为C 、D ，则S △PAB =12PE ⋅CA +12PE ⋅BD =32PE +62PE =92PE =18，解得：PE =4， 故点P 的坐标为(3,0)或(−5,0)．【解析】(1)用待定系数法即可求解；(2)S △PAB =12PE ⋅CA +12PE ⋅BD =32PE +62PE =92PE =18，即可求解．本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．24.【答案】(1)证明：连接OD 、BD ，∵AB 是⊙O 直径，∴∠ADB =90°，∴BD ⊥AC ，∵AB =BC ，∴D 为AC 中点，∵OA =OB ，∴OD//BC ，∵DE ⊥BC ，∴DE ⊥OD ，∵OD 为半径，∴DE 是⊙O 的切线；(2)由(1)知BD 是AC 的中线，∴AD =CD =12AC =3√10， ∵O 的半径为5，∴AB =6，∴BD =√AB 2−AD 2=√102−(3√10)2=√10，∵AB =AC ，∴∠A =∠C ，∵∠ADB =∠CED =90°，∴△CDE∽△ABD ，∴CD AB =DE BD ，即3√1010=DE√10，∴DE =3．【解析】(1)连接OD 、BD ，求出BD ⊥AC ，瑞成AD =DC ，根据三角形的中位线得出OD//BC ，推出OD ⊥DE ，根据切线的判定推出即可；(2)根据题意求得AD ，根据勾股定理求得BD ，然后证得△CDE∽△ABD ，根据相似三角形的性质即可求得DE ．本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理等知识点的综合运用．25.【答案】解：(1)将点A(−1,0)，B(4,0)，代入yⓝax 2+bx +4，得：{0=a −b +40=16a +4b +4， 解得：{a =−1b =3， ∴二次函数的表达式为：y =−x 2+3x +4，当x =0时，y =4，∴C(0,4)，设BC 所在直线的表达式为：y =mx +n ，将C(0,4)、B(4,0)代入y =mx +n ，得：{4=n 0=4m +n， 解得：{m =−1n =4， ∴BC 所在直线的表达式为：y =−x +4；(2)∵DE ⊥x 轴，PF ⊥x 轴，∴DE//PF ，只要DE =PF ，四边形DEFP 即为平行四边形，∵y =−x 2+3x +4=−(x −32)2+254， ∴点D 的坐标为：(32,254)， 将x =32代入y =−x +4，即y =−32+4=52，∴点E 的坐标为：(32,52)，∴DE =254−52=154，设点P 的横坐标为t ，则P 的坐标为：(t,−t 2+3t +4)，F 的坐标为：(t,−t +4)，∴PF =−t 2+3t +4−(−t +4)=−t 2+4t ，由DE =PF 得：−t 2+4t =154， 解得：t 1=32(不合题意舍去)，t 2=52，当t =52时，−t 2+3t +4=−(52)2+3×52+4=214，∴点P 的坐标为(52,214)；(3)存在，理由如下：如图2所示：由(2)得：PF//DE ，∴∠CED =∠CFP ，又∵∠PCF 与∠DCE 有共同的顶点C ，且∠PCF 在∠DCE 的内部，∴∠PCF ≠∠DCE ，∴只有∠PCF =∠CDE 时，△PCF∽△CDE ，∴PF CE =CF DE ，∵C(0,4)、E(32,52)，∴CE =√(32)2+(4−52)2=3√22， 由(2)得：DE =154，PF =−t 2+4t ，F 的坐标为：(t,−t +4)，∴CF =√t 2+[4−(−t +4)]2=√2t ，∴−t 2+4t3√22=√2t 154，∵t ≠0，∴154(−t +4)=3，解得：t =165，当t=165时，−t2+3t+4=−(165)2+3×165+4=8425，∴点P的坐标为：(165,84 25).【解析】(1)由题意得出方程组，求出二次函数的解析式为y=−x2+3x+4，则C(0,4)，由待定系数法求出BC所在直线的表达式即可(2)证DE//PF，只要DE=PF，四边形DEFP即为平行四边形，由二次函数解析式求出点D的坐标，由直线BC的解析式求出点E的坐标，则DE=154，设点P的横坐标为t，则P的坐标为：(t,−t2+3t+4)，F的坐标为：(t,−t+4)，由DE=PF得出方程，解方程进而得出答案；(3)由平行线的性质得出∠CED=∠CFP，当∠PCF=∠CDE时，△PCF∽△CDE，则PFCE =CFDE，得出方程，解方程即可．本题是二次函数综合题目，考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、二次函数的性质、平行四边形的判定与性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握待定系数法求函数解析式，熟记二次函数的性质是解题的关键．。

2020年山东省聊城市中考数学试卷一、选择题（本题共12个小题，每小题3分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（3分）在实数﹣1，﹣，0，中，最小的实数是（）A．﹣1 B．C．0 D．﹣2．（3分）如图所示的几何体的俯视图是（）A．B．C．D．3．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝65°，点D是BC边上任意一点，过点D作DF∥AB交AC于点E，则∠FEC的度数是（）A．120°B．130°C．145°D．150°4．（3分）下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．a6÷a﹣2＝a﹣3C．（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6D．（2a+b）2＝4a2+b25．（3分）为了增强学生预防新冠肺炎的安全意识，某校开展疫情防控知识竞赛．来自不同年级的30名参赛同学的得分情况如下表所示，这些成绩的中位数和众数分别是（）成绩/分84889296100人数/人249105A．92分，96分B．94分，96分C．96分，96分D．96分，100分6．（3分）计算÷3×的结果正确的是（）A．1 B．C．5 D．97．（3分）如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为（）A．B．C．D．8．（3分）用配方法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，配方正确的是（）A．（x﹣）2＝B．（x﹣）2＝C．（x﹣）2＝D．（x﹣）2＝9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M，连接OC，DB．如果OC∥DB，OC＝2，那么图中阴影部分的面积是（）A．πB．2πC．3πD．4π10．（3分）如图，有一块半径为1m，圆心角为90°的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（）A．m B．m C．m D．m 11．（3分）人行道用同样大小的灰、白两种不同颜色的小正方形地砖铺设而成，如图中的每一个小正方形表示一块地砖．如果按图①②③…的次序铺设地砖，把第n个图形用图ⓝ表示，那么图㊿中的白色小正方形地砖的块数是（）A．150 B．200 C．355 D．505 12．（3分）如图，在Rt△ABC中，AB＝2，∠C＝30°，将Rt△ABC 绕点A旋转得到Rt△AB′C′，使点B的对应点B′落在AC上，在B′C′上取点D，使B′D＝2，那么点D到BC的距离等于（）A．2（+1）B．+1 C．﹣1 D．+1二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分．只要求填写最后结果）13．（3分）因式分解：x（x﹣2）﹣x+2＝．14．（3分）如图，在⊙O中，四边形OABC为菱形，点D在上，则∠ADC的度数是．15．（3分）计算：（1+）÷＝．16．（3分）某校开展读书日活动，小亮和小莹分别从校图书馆的“科技”、“文学”、“艺术”三类书籍中随机地抽取一本，抽到同一类书籍的概率是．17．（3分）如图，在直角坐标系中，点A（1，1），B（3，3）是第一象限角平分线上的两点，点C的纵坐标为1，且CA＝CB，在y 轴上取一点D，连接AC，BC，AD，BD，使得四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值为．三、解答题（本题共8个小题，共69分．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤）18．（7分）解不等式组并写出它的所有整数解．19．（8分）为了提高学生的综合素养，某校开设了五门手工活动课，按照类别分为：A“剪纸”、B“沙画”、C“葫芦雕刻”、D“泥塑”、E“插花”．为了了解学生对每种活动课的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．根据以上信息，回答下列问题：（1）本次调查的样本容量为；统计图中的a＝，b ＝；（2）通过计算补全条形统计图；（3）该校共有2500名学生，请你估计全校喜爱“葫芦雕刻”的学生人数．20．（8分）今年植树节期间，某景观园林公司购进一批成捆的A，B 两种树苗，每捆A种树苗比每捆B种树苗多10棵，每捆A种树苗和每捆B种树苗的价格分别是630元和600元，而每棵A种树苗和每棵B种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的0.9倍和1.2倍．（1）求这一批树苗平均每棵的价格是多少元？（2）如果购进的这批树苗共5500棵，A种树苗至多购进3500棵，为了使购进的这批树苗的费用最低，应购进A种树苗和B种树苗各多少棵？并求出最低费用．21．（8分）如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，若AD＝AF，求证：四边形ABFC是矩形．22．（8分）如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼AB的高度进行测量，先测得居民楼AB与CD 之间的距离AC为35m，后站在M点处测得居民楼CD的顶端D 的仰角为45°，居民楼AB的顶端B的仰角为55°，已知居民楼CD 的高度为16.6m，小莹的观测点N距地面1.6m．求居民楼AB的高度（精确到lm）．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈l.43）．23．（8分）如图，已知反比例函数y＝的图象与直线y＝ax+b相交于点A（﹣2，3），B（1，m）．（1）求出直线y＝ax+b的表达式；（2）在x轴上有一点P使得△PAB的面积为18，求出点P的坐标．24．（10分）如图，在△ABC中，AB＝BC，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．（1）试证明DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，AC＝6，求此时DE的长．25．（12分）如图，二次函数y═ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F，动直线l在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x轴正方向移动到B点．（1）求出二次函数y＝ax2+bx+4和BC所在直线的表达式；（2）在动直线l移动的过程中，试求使四边形DEFP为平行四边形的点P的坐标；（3）连接CP，CD，在动直线l移动的过程中，抛物线上是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△DCE相似？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．答案一、选择题（本题共12个小题，每小题3分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．【解答】解：∵|﹣|＞|﹣1|，∴﹣1＞﹣，∴实数﹣1，﹣，0，中，﹣＜﹣1＜0＜．故4个实数中最小的实数是：﹣．故选：D．2．【解答】解：从上面看，是一个矩形，矩形的靠右边有一条纵向的实线，故选：C．3．【解答】解：∵AB＝AC，∠C＝65°，∴∠B＝∠C＝65°，∵DF∥AB，∴∠CDE＝∠B＝65°，∴∠FEC＝∠CDE+∠C＝65°+65°＝130°；故选：B．4．【解答】解：A、a2•a3＝a5，原计算错误，故此选项不合题意；B、a6÷a﹣2＝a8，原计算错误，故此选项不合题意；C、（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6，原计算正确，故此选项合题意；D、（2a+b）2＝4a2+4ab+b2，原计算错误，故此选项不合题意．故选：C．5．【解答】解：把这些数据从小到大排列，最中间的两个数是第15、16个数的平均数，所以全班30名同学的成绩的中位数是：＝94；96出现了10次，出现的次数最多，则众数是96，所以这些成绩的中位数和众数分别是94分，96分．故选：B．6．【解答】解：原式＝＝＝＝＝1．故选：A．7．【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于H．在Rt△ACH中，∵AH＝4，CH＝3，∴AC＝＝＝5，∴sin∠ACH＝＝，故选：D．8．【解答】解：由原方程，得x2﹣x＝，x2﹣x+＝+，（x﹣）2＝，故选：A．9．【解答】解：连接OD，BC，∵CD⊥AB，OC＝OD，∴DM＝CM，∠COB＝∠BOD，∵OC∥BD，∴∠COB＝∠OBD，∴∠BOD＝∠OBD，∴OD＝DB，∴△BOD是等边三角形，∴∠BOD＝60°，∴∠BOC＝60°，∵DM＝CM，∴S△OBC＝S△OBD，∵OC∥DB，∴S△OBD＝S△CBD，∴S△OBC＝S△DBC，∴图中阴影部分的面积＝＝2π，故选：B．10．【解答】解：设底面半径为rm，则2πr＝，解得：r＝，所以其高为：＝m，故选：C．11．【解答】解：由图形可知图ⓝ的地砖有（7n+5）块，当n＝50时，7n+5＝350+5＝355．故选：C．12．【解答】解：方法一：∵∴在Rt△ABC中，AB＝2，∠C＝30°，∴BC＝2，AC＝4，∵将Rt△ABC绕点A旋转得到Rt△AB′C′，使点B的对应点B′落在AC上，∴AB′＝AB＝2，B′C′＝BC＝2，∴B′C＝2，延长C′B′交BC于F，∴∠CB′F＝∠AB′C′＝90°，∵∠C＝30°，∴∠CFB′＝60°，B′F＝B′C＝，∵B′D＝2，∴DF＝2+，过D作DE⊥BC于E，∴DE＝DF＝×（2+）＝+1，方法二：过B′作B′F⊥BC于F，B′H⊥DE于H，则B′F＝HE，B′H＝EF，在Rt△ABC中，AB＝2，∠C＝30°，∴BC＝2，AC＝4，∵将Rt△ABC绕点A旋转得到Rt△AB′C′，使点B的对应点B′落在AC上，∴AB′＝AB＝2，B′C′＝BC＝2，∴B′C＝2，∴B′F＝AB＝1，∴HE＝1，∵∠B′HD＝∠HEC＝90°，∴∠HB′C＝∠C＝30°，∴∠DB′H＝60°，∴∠B′DH＝30°，∴B′H＝1，DH＝，∴DE＝，故选：D．二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分．只要求填写最后结果）13．【解答】解：原式＝x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝（x﹣2）（x﹣1）．故答案为：（x﹣2）（x﹣1）．14．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B+∠D＝180°，∵四边形OABC为菱形，∴∠B＝∠AOC，∴∠D+∠AOC＝180°，∵∠AOC＝2∠D，∴3∠D＝180°，∴∠ADC＝60°，故答案为60°．15．【解答】解：原式＝•a（a﹣1）＝•a（a﹣1）＝﹣a．故答案为：﹣a．16．【解答】解：画树状图如下：由树状图知，共有9种等可能结果，其中抽到同一类书籍的有3种结果，所以抽到同一类书籍的概率为＝，故答案为：．17．【解答】解：∵点A（1，1），点C的纵坐标为1，∴AC∥x轴，∴∠BAC＝45°，∵CA＝CB，∴∠ABC＝∠BAC＝45°，∴∠C＝90°，∵B（3，3）∴C（3，1），∴AC＝BC＝2，作B关于y轴的对称点E，连接AE交y轴于D，则此时，四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值＝AC+BC+AE，过E作EF⊥AC交CA的延长线于F，则EF＝BC＝2，AF＝6﹣2＝4，∴AE＝＝＝2，∴最小周长的值＝AC+BC+AE＝4+2，故答案为：4+2．三、解答题（本题共8个小题，共69分．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤）18．【解答】解：，解不等式①，x＜3，解不等式②，得x≥﹣，∴原不等式组的解集为﹣≤x＜3，它的所有整数解为0，1，2．19．【解答】解：（1）18÷15%＝120（人），因此样本容量为120；a＝120×10%＝12（人），b＝120×30%＝36（人），故答案为：120，12，36；（2）E组频数：120﹣18﹣12﹣30﹣36＝24（人），补全条形统计图如图所示：（3）2500×＝625（人），答：该校2500名学生中喜爱“葫芦雕刻”的有625人．20．【解答】解：（1）设这一批树苗平均每棵的价格是x元，根据题意列，得：，解这个方程，得x＝20，经检验，x＝20是原分式方程的解，并符合题意，答：这一批树苗平均每棵的价格是20元；（2）由（1）可知A种树苗每棵的价格为：20×0.9＝18（元），B 种树苗每棵的价格为：20×1.2＝24（元），设购进A种树苗t棵，这批树苗的费用为w元，则：w＝18t+24（5500﹣t）＝﹣6t+132000，∵w是t的一次函数，k＝﹣6＜0，∴w随t的增大而减小，又∵t≤3500，∴当t＝3500棵时，w最小，此时，B种树苗每棵有：5500﹣3500＝2000（棵），w＝﹣6×3500+132000＝111000，答：购进A种树苗3500棵，BA种树苗2000棵时，能使得购进这批树苗的费用最低，最低费用为111000元．21．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAE＝∠CFE，∠ABE＝∠FCE，∵E为BC的中点，∴EB＝EC，∴△ABE≌△FCE（AAS），∴AB＝CF．∵AB∥CF，∴四边形ABFC是平行四边形，∵BC＝AF，∴四边形ABFC是矩形．22．【解答】解：过点N作EF∥AC交AB于点E，交CD于点F，则AE＝MN＝CF＝1.6，EF＝AC＝35，∠BEN＝∠DFN＝90°，EN＝AM，NF＝MC，则DF＝DC﹣CF＝16.6﹣1.6＝15，在Rt△DFN中，∵∠DNF＝45°，∴NF＝DF＝15，∴EN＝EF﹣NF＝35﹣15＝20，在Rt△BEN中，∵tan∠BNE＝，∴BE＝EN•tan∠BNE＝20×tan55°≈20×1.43≈28.6，∴AB＝BE+AE＝28.6+1.6≈30．答：居民楼AB的高度约为30米．23．【解答】解：（1）将点A的坐标代入反比例函数表达式并解得：k＝﹣2×3＝﹣6，故反比例函数表达式为：y＝﹣，将点B的坐标代入上式并解得：m＝﹣6，故点B（1，﹣6），将点A、B的坐标代入一次函数表达式得，解得，故直线的表达式为：y＝﹣3x﹣3；（2）设直线与x轴的交点为E，当y＝0时，x＝﹣1，故点E（﹣1，0），分别过点A、B作x轴的垂线AC、BD，垂足分别为C、D，则S△PAB＝PE•CA+PE•BD＝PE PE＝PE＝18，解得：PE ＝4，故点P的坐标为（3，0）或（﹣5，0）．24．【解答】（1）证明：连接OD、BD，∵AB是⊙O直径，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AC，∵AB＝BC，∴D为AC中点，∵OA＝OB，∴OD∥BC，∵DE⊥BC，∴DE⊥OD，∵OD为半径，∴DE是⊙O的切线；（2）由（1）知BD是AC的中线，∴AD＝CD＝＝3，∵O的半径为5，∴AB＝6，∴BD＝＝＝，∵AB＝AC，∴∠A＝∠C，∵∠ADB＝∠CED＝90°，∴△CDE∽△ABD，∴，即＝，∴DE＝3．25．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（4，0），代入y═ax2+bx+4，得：，解得：，∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+3x+4，当x＝0时，y＝4，∴C（0，4），设BC所在直线的表达式为：y＝mx+n，将C（0，4）、B（4，0）代入y＝mx+n，得：，解得：，∴BC所在直线的表达式为：y＝﹣x+4；（2）∵DE⊥x轴，PF⊥x轴，∴DE∥PF，只要DE＝PF，四边形DEFP即为平行四边形，∵y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣）2+，∴点D的坐标为：（，），将x＝代入y＝﹣x+4，即y＝﹣+4＝，∴点E的坐标为：（，），∴DE＝﹣＝，设点P的横坐标为t，则P的坐标为：（t，﹣t2+3t+4），F的坐标为：（t，﹣t+4），∴PF＝﹣t2+3t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2+4t，由DE＝PF得：﹣t2+4t＝，解得：t1＝（不合题意舍去），t2＝，当t＝时，﹣t2+3t+4＝﹣（）2+3×+4＝，∴点P的坐标为（，）；（3）存在，理由如下：如图2所示：由（2）得：PF∥DE，∴∠CED＝∠CFP，又∵∠PCF与∠DCE有共同的顶点C，且∠PCF在∠DCE的内部，∴∠PCF≠∠DCE，∴只有∠PCF＝∠CDE时，△PCF∽△CDE，∴＝，∵C（0，4）、E（，），∴CE＝＝，由（2）得：DE＝，PF＝﹣t2+4t，F的坐标为：（t，﹣t+4），∴CF＝＝t，∴＝，∵t≠0，∴（﹣t+4）＝3，解得：t＝，当t＝时，﹣t2+3t+4＝﹣（）2+3×+4＝，∴点P的坐标为：（，）．白雪歌送武判官归京北风卷地白草折，胡天八月即飞雪。