2014年广州市高中数学教师解题比赛决赛试题及答案

2014年广东省高中数学竞赛试题（考试时间：2014年6月21日上午10：00－11：20）注意事项：1．本试卷共二大题，全卷满分120分。

2．用圆珠笔或钢笔作答。

3．解题书写不要超过装订线。

4．不能使用计算器。

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在横线上．1．设集合{}{}2,1,02-==+=B ax x A ，满足B A ⊆，则实数a 的所有取值为 ． 2．袋中装有大小、形状相同的5个红球，6个黑球，7个白球，现在从中任意摸出14个球，刚好摸到3个红球的概率是 ．3．复数()+∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛+N n i n62321的值是 ．4．已知⎩⎨⎧≤-≤-≤+≤.11,31y x y x 则y x 322-的最大值是 ．5．已知各项均为正数的等比数列{}n a 满足：343,1432132==-a a a a a ，则数列{}n a 的通项公式为 ．6．已知α为锐角，向量()()1,1,sin ,cos -==αα满足322=•b a ，则 =⎪⎭⎫⎝⎛+125sin πα ． 7．若方程0222=++--a x y xy x 表示两条直线，则a 的值是 ． 8．已知()21221b a +=+，其中a 和b 为正整数，则b 与27的最大公约数是 ．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本题满分16分）矩形ABCD中，4,2==ADAB，FE,分别在BCAD,上，且3,1==BFAE，将四边形AEFB沿EF折起，使点B在平面CDEF上的射影H在直线DE上．求二面角FDEA--的大小．10．（本题满分20分）过椭圆11625:22=+yxC的右焦点F作直线交椭圆C于BA、两点，已知8=AB，试求直线AB的方程．11．（本题满分20分）已知不等式e n an ≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+-11对任意正整数n 都成立，试求实数a 的取值范围．。

1. 20XX 年广州市高中数学青年教师解题比赛试卷2. 20XX 年秋季广州市高中数学青年教师解题比赛试题3. 20XX 年广州市高中数学青年教师解题比赛试题4. 20XX 年广州市黄埔区高中数学教师解题比赛试题5. 20XX 年广州市黄埔区高中数学教师解题比赛试题6.20XX 年常州市武进区高中数学教师解题竞赛试题及参考答案20XX 年广州市高中数学青年教师解题比赛试卷2002.04.07一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． （1）常数T 满足()x x T cos sin -=+ 和()x x T g ctg t =-,则T 的一个值是（ ）．（A ）π- （B ）π （C ）2π-（D ）2π（2）在等差数列{}n a 中，12031581=++a a a ,则1092a a - 的值为（ ）．（A ）24 （B ）22 （C ）20 （D ）8-（3）设点P 对应复数是i 33+,以原点为极点，实轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，则点P 的极坐标为（ ）．（A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛4323π，（B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-4523π， （C ）⎪⎭⎫⎝⎛453π，（D ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-433π，（4）设A 、B 是两个非空集合，若规定：{}B x A x x B A ∉∈=-且,则()B A A --等于（ ）．（A ）B （B ）B A （C ）B A （D ）A（5）函数()x f y =的图象与直线1=x 的交点个数为（ ）．（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）0或1（6）设函数()()ϕω+=x A x f sin （其中R x A ∈>>,0,0ω）,则()00=f 是()x f 为奇函数的（ ）．（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（7）如图，在斜三棱柱111C B A ABC -中，∠BAC ＝90°，AC BC ⊥1，过1C 作⊥H C 1底面ABC ，垂足为H ，则（ ）． （A ）H 在直线AC 上 （B ）H 在直线AB 上 （C ）H 在直线BC 上 （D ）H 在△ABC 内（8）电讯资费调整后，市话费标准为：通话时间不超过3分钟收费0.2元；超过3分钟，以后每增加1分钟收费0.1元，不足1分钟以1分钟收费.则通话收S （元）与通话时间t （分钟）的函数图象可表示为（ ）．（A ）（B ）（C ）（D ）（9）以椭圆114416922=+y x 的右焦点为圆心，且与双曲线116922=-y x 的渐近线相1C 1B 1A ABC切的圆的方程为（ ）．（A ）091022=+-+x y x （B ）091022=--+x y x （C ）091022=-++x y x （D ）091022=+++x y x（10）已知()nx 21+的展开式中所有项系数之和为729，则这个展开式中含3x 项的系数是（ ）．（A ）56 （B ）80 （C ）160 （D ）180（11）AB 是过圆锥曲线焦点F 的弦，l 是与点F 对应的准线，则以弦AB 为直径的圆与直线l 的位置关系（ ）．（A ）相切 （B ）相交 （C ）相离 （D ）由离心率e 决定 （12）定义在R 上的函数()x f y -=的反函数为()x fy 1-=，则()x f y =是（ ）． （A ）奇函数 （B ）偶函数（C ）非奇非偶函数 （D ）满足题设的函数()x f 不存在第II 卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上． （13）函数)23(sin ππ≤≤=x x y 的反函数是 ． （14）已知抛物线的焦点坐标为()12，，准线方程为02=+y x ,则其顶点坐标为 （15）如图，在棱长都相等的四面体A —BCD 中，E 、F 分别为棱AD 、BC 的中点，则直线AF 、CE 所成角的余弦值为 ．（16）甲、乙、丙、丁、戊共5人参加某项技术比赛，决出了第1名到第5名的名次. 甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你 和乙都没拿冠军”，对乙说：“你当然不是最差的.”请从这个回答分析， 5人的名次排列共可能有 种不同情况（用数字作答）. 三、解答题：本大题共6小题，满分74分． （17）（本小题满分10分）已知复数2cos 2cos 2Ci A u +=，其中A 、C 为△ABC 的内角，且三个内角题ABCDEF满足2B ＝A ﹢C .试求i u -的取值范围. （18）（本小题满分12分）已知曲线C 上的任一点M ()y x ,（其中0≥x ）,到点()02，A 的距离减去它到y 轴的距离的差是2，过点A 的一条直线与曲线C 交于P 、Q 两点，通过点P 和坐标原点的直线交直线02=+x 于N .（I ）求曲线C 的方程；（II ）求证：N Q 平行于x 轴.（19）（本小题满分12分）是否存在一个等差数列{}n a ,使对任意的自然数n ，都有212a a n⋅…n n n P a 2=.（20）（本小题满分12分）如图，△ABC 是一个遮阳棚，点A 、B 是地面上 南北方向的两定点，正西方向射出的太阳（用点 O 表示）光线OCD 与地面成锐角θ. （I ）遮阳棚与地面成多少度的二面角时， 才能使遮影△ABD 面积最大？（II ）当AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，θ＝30°时，试求出遮影△ABD 的最 大面积.（21）（本小题满分14分）甲、乙、丙三种食物维生素A 、B 含量及成本如下表：某食物营养研究所想用x 千克甲种食物、y 千克乙种食物、z 千克丙种食物 配成100千克混合物，并使混合物至少含有56000单位维生素A 和63000 单位维生素B .试用x 、y 表示混合物的成本M （元）；并确定x 、y 、z 的值， 使成本最低.（22）（本小题满分14分） 定义在()11，-上的函数()x f满足：①对任意x 、()1,1-∈y ,都有()+x f()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=xy y x f y f 1；②当()0,1-∈x 时，有()0>x f .证明：（I ）函数()x f 在()11，-上的图象关于原点对称；（II ）函数()x f 在()0,1-上是单调减函数； （III ）⎪⎭⎫⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛21331131712f n n f f f .()z n ∈20XX 年广州市高中数学青年教师解题比赛试卷参考答案一、选择题：二、填空题：（13）[]0,1,arcsin -∈-=x x y π （14）⎪⎭⎫⎝⎛21,1 （15）32（16）54 三、解答题：（17）（本小题满分10分）解：由△ABC 的内角关系2602CA B C B A C A B +=︒=⇒⎭⎬⎫=+++=π，又()C i A Ci A u cos 1cos 2cos2cos 2++=+=则22cos 122cos 1cos cos 22CA C A i u +++=+=- ()C A 2cos 2cos 211++= ()C A --=cos 211由()︒<-<︒-⇒⎭⎬⎫︒︒∈-︒=-⇒︒=+12012012002120120C A ，C ，A C C A C A()1cos 21≤-<-⇒C A从而2522<-≤i u 为所求. （18）（本小题满分12分）（I ）解：由题设知：曲线C 上任意一点M ()y x ,到定点()0,2A 距离等于它到直线2-=x 的距离.由抛物线定义知：曲线C 的方程为x y 82=…（注：若不限制0≥x ，抛物线C 还可为()00<=x y ,即x 轴负半轴） （II ）证明：①当过点A 的直线P Q 不与x 轴垂直时，斜率PQ K 存在，设P Q 方程为()2-=x k y由()01682822=--⇒⎩⎨⎧-==y k y x k y x y16-=⇒Q P y y又直线OP 方程为x x y y PP⋅=而点N 在直线OP 上，也在直线2-=x 上()P PP y y y 16282-=-⋅=⎭⎬⎫-=⋅-=⋅1616Q P N P y y y yQ N y y =⇒故NO// x 轴②当过点A 的直线P Q 与x 轴垂直时，结论显然成立 （19）（本小题满分12分）解：若存在一个等差数列{}n a 满足题设，则1=n 时，有121121=⇒=a P a ；()2-=⇒PPN x y y （证Q 、N 点纵坐标相等）2=n 时，有32224212=⇒=a P a a ；3=n 时，有523363213=⇒=a P a a a .∴猜想存在这样的一个数列{}n a 的通项为()N n n a n ∈-=12以下用数学归纳法证明：（1）当1=n 时， 11=a 满足12-=n a n （2）假设()N k k n ∈=满足题设， 即k k k k P a a a 22112=+ 成立当1+=k n 时 , 12121122+++⋅=⋅k k k n k k a P a a a a()k k P k 2122⋅+=即()()()()()12125321221212532121+-⋅⋅⋅⋅=+-⋅⋅⋅⋅+k k k k k k ()()()()12212+⋅+++=k k k k k()()()()()21132++++⋅+++=k k k k k k k()112++=k k P则1+=k n 也成立.综上（1）、（2）知12-=n a n 对N n ∈都有n n k n P a a a 2212= 成立.（20）（本小题满分12分）（I ）解：设H 为点O 在地面的射影，连结HD 交AB 于E . 则θ=∠CDE ，且OH ⊥平面ABDAB ⊂平面ABDAB OH ⊥⇒OHD AB 平面⊥⇒H E又AB 是南北方向，CD 是西东方向，则CD ⊥AB⎩⎨⎧⊥⇒⊥⇒CEAB DE AB 在△ABD 中，要使面积最大，只须DE 最大 而△CDE 中，由正弦定理DCE CEDE ∠⋅=sin sin θ.（目标函数中CE ,sin θ均为定值） 所以，当∠DCE ＝90°时DCE ∠sin 最大，则DE 最大，从而θ-︒=∠90CED 时，遮影△ABD 面积最大.（II ）解：当AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，θ＝30°时，()1252452121max =⋅⋅=⋅⋅=∆DE AB S ABD 为所求. （21）（本小题满分14分） （I ）依题设知：z y x M 4911++= 又y x z z y x --=⇒=++100100代入上式则y x M 57400++=为所求.（II ）由题设得⎩⎨⎧≥++≥++6300050040080056000400700600z y x z y x将y x z --=100分别代入①、②得：⎩⎨⎧≥-≥+130316032y x y x 此时y x M 57400++=()()y x y x -+++=3322400 1301602400+⋅+≥850=当且仅当⎩⎨⎧=-=+130316032y x y x 即⎩⎨⎧==2050y x 时取等号答：当50=x 千克，20=y 千克，30=z 千克成本最低为850元.（22）（本小题满分14分）证明：（I ）由条件①可取(),1,1-∈-=x y 则()()()0f x f x f =-+再取(),1,10-∈=y 则()()()x f f x f =+0()()0=-+⇒x f x fDE 是△ABD 中AB 边上的高且∠CED 是C —AB —D 的平面角.①②⇒()x f ⇒在()1,1-上图象关于原点对称（II ）令0121<<<-x x由于()()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=-+=-212121211x x x x f x f x f x f x f .1121<-<-x x 且()10102121<-<-⇒<-x x x x及()2211102121<+<⇒<<x x x x则由（1）（2）得0112121<--<-x x x x由条件②知012121>⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-x x x x f ,从而()()21x f x f >，故()x f 在()0,1-上单调递减函数.（III ）由奇函数的对称性知：()x f 在()1,0上仍是减函数，且()0<x f ※对()()()()()()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=⎪⎭⎫⎝⎛++211121112113312n n n n f n n f n n f⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫⎝⎛+=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅+-+-+=21112111211112111n f n f n f n f n n n n f则有⎪⎭⎫⎝⎛++++⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛331131712n n f f f⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛=211141313121n f n f f f f f⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=2121n f f .由※式知：1210<+<n 时有⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒<⎪⎭⎫ ⎝⎛+212121021f n f f n f ⇒<<<-01又21x x 条件①故⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛21331131712f n n f f f . 高中数学青年教师解题比赛试卷1．若31)sin(=+πα，则)23cos(απ-的值等于 （A ）31 （B ）31- （C ）322 （D ）-3222．若函数y=f （x ）的反函数的图象经过点)1,2(-，则此函数可能是x y D y C y B x y A x x 2log )(2)()21()(21)(-===-=3．双曲线116922=-y x 的一个焦点到一条渐近线的距离等于 (A)3 (B)3 (C) 4 (D) 24．圆台母线与底面成450角，侧面积为π23，则它的轴截面面积是（A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）235．若{a n }是无穷等比数列，且a 1＋a 2＋a 3=43, a 2＋a 3＋a 4=－83，则此数列所有项的和为 （A ）31（B ）32 （C ）1 （D ）346．设函数|log |)(x x f a =（10<<a ），则下列各式中成立的是)2()31()41()(41()2(31()()31()2(41()()41(31()2()(f f f D f f f C f f f B f f f A >>>>>>>>7．如图，点P 是正方形ABCD 所在的平面外一点，AD PD ABCD PD =⊥,平面，则PA 与BD 所成角的度数为 （A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）90°9. 有5个身高均不相同的学生排成一排合影留念，高个子站在中间，从中间到左边一个比一个矮，从中间到右边也是一个比一个矮，则这样的派法有 (A) 6种 （B ）8种 （C ）12种 （D ）16种10. 设点P 在直线1=x 上变化，O 为坐标原点．以OP 为直角边、点O 为直角顶点作等腰OPQ Rt ∆，则动点Q 的轨迹是(A)两条平行直线 （B ）一条直线 （C ）抛物线 （D ）圆 11．由(3x+32)100展开所得的x 的多项式中,系数为有理数的共有 (A)50项 (B)17项 (C)16项 (D)15项12. 某大学的信息中心A 与大学各部门、各院系B ，C ，D ，E ，F ，G，H ，I 之间拟建立信息联网工程，实际测算的费用如图所示（单位：万元）.请观察图形，可以不建立部分网线，而使得中心与各部门、各院系都能连通（直接或中转），则最小的建网费用是(A)16万元 （B ）14万元 （C ）13万元 （D ）12万元 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．)13.如果直线b y x =+与圆222=+y x 相切，则实数b 的值为___________；14.已知,52,4321i z i z --=+=则211arg z z i z +-= ；15.已知αγβα(1sin sin sin 222=++、β、γ均为锐角），那么γβαcos cos cos 的最大值等于____________________；16.定义在R 上的偶函数f （x ）满足：)()1(x f x f -=+，且在[-1，0]上是增函数，下面是关于f （x ）的判断：（1）f （x ）是周期函数；（2）f （x ）的图象关于直线x=1对称；（3）f （x ）在[0，1]上是增函数；（4）f （x ）在[1，2]上是减函数；（5）f （2）=f （0），其中正确的判断是 （把你认为正确的判断都填上）三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17.（本小题满分12分）已知函数3)2(cos 32)2sin()(2-+++=θθx x x f⑴ 求函数)(x f 的周期;⑵ 若πθ≤≤0,求θ,使函数)(x f 为偶函数. 18.（本小题满分12分）已知函数)(3)(2a x a x x x f ≠-+=, a 为非零常数，⑴ 解不等式x x f <)(;⑵ 设a x >时，)(x f 的最小值为6,求a 的值.19.（本小题满分12分）如图，三棱锥P-ABC 中，∠APB=∠APC=600，PA=3，PB=2，ΔPBC 为正三角形 （1） 求证：平面PBC ⊥平面ABC ； （2） 求棱PA 与侧面PBC 所成的角； （3） 求点B 到侧面PAC 的距离.20.（本小题满分12分）已知点A （3-，0）和B （3，0），动点P 到A 、B 两点的距离差的绝对值为2,(1) 求动点P 的轨迹方程;(2) 过点C （1，1）能否作直线l ，使它与动点P 的轨迹交于两点M ，N ，且点C 是线段 MN 的中点，问这样的直线l 是否存在，若存在，求出它的方程，若不存在，说明理由.21.（本小题满分12分）国内某大报纸有如下报道：学数学，其实是要使人聪明，使人的思维更加缜密. 在美国广为流传的一道数学题目是：老板给你两个加工资的方案. 一是每年年末加一千；二是每半年结束时加300元. 例如，在第二年的年末，依第一种方案可以加得1000+2000=3000（元）；而第二种方案在第一年加得300+600=900（元），第二年加得900+1200=2100（元），总数也是3000元.⑴ 如果在该公司干十年，问选择第一种还是第二种的方案所加的工资高？高多少？PCA⑵ 如果第二种方案中的每半年加300元改为每半年加a 元，问a 为何值时，总是选择第二方案比选择第一方案多加薪？ 22.（本小题满分14分）已知ax x x f +-=3)(在(0,1)是增函数,求实数a 的取值范围(1) 当3=a 时,定义数列}{n a 满足)1,0(1∈a ,且)(21n n a f a =+,求证:对一切正整数n 均有)1,0(∈n a .2003广州市高中青年教师解题比赛试卷一、选择题：1、下列各式中正确的是（ ） A 、0=φ B 、φ={}0 C 、∈0φ D 、φ{}0⊆2、若x sin >tgx >ctgx ，（2π-<x <2π）。

2014年下半年中小学教师资格考试数学学科知识与教学能力试题（高级中学）注意事项：1．考试时间为120分钟，满分为150分。

2．请按规定在答题卡上填涂、作答，在试卷上作答无效，不予给分。

一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分）1．设函数20()ln(2)x f x t dt =+⎰，则'()f x 的零点个数是（）。

A ．0B ．1C ．2D ．32．设a ，b 是两个不共线的向量，则||||a b a b +>- 的充要条件是（）。

A ．0(,)2a b π<∠< B ．(,)2a b ππ<∠< C ．0(,)2a b π<∠≤ D ．(,)2a b ππ≤∠< 3．设||0A =，1α 、2α 是线性方程组0x =A 的一个基础解系，330αα=≠ A ，则下列向量中不是矩阵A 的特征向量的是（）。

A ．31α +2α B ．1α -32α C ．1α +33α D ．33α 4．在空间直角坐标系中，由参数方程sin 1cos (0)4sin 2x y z θπθθθ⎧⎪=⎪=-+≤<⎨⎪⎪=⎩确定的曲线的一般方程是（）。

A ．2222020x y y y z ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩B ．2222020x y y z z ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩C ．2222020x y y z y ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩D ．2222020x x y y z ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩5．函数列{()}n f x 与函数()f x 都是在闭区间[,]a b 有定义，则在[,]a b 上{()}n f x 一致收敛于()f x 的充要条件是（）。

A ．0ε∀>,[,]x a b ∀∈,∃正整数N ，使得当n N >时，有|()()|n f x f x ε-<B ．0ε∀>，0[,]x a b ∃∈，∃正整数N ，使得当n N >时，有|()()|n f x f x ε-<C ．∃正整数N ，0ε∀>，0[,]x a b ∃∈，使得当n N >时，有|()()|n f x f x ε-<D ．0ε∀>，∃正整数N ，使得当n N >时，[,]x a b ∀∈，有|()()|n f x f x ε-<6．设P 为三阶方阵，将P 的第一列与第二列交换得到T ，再把T 的第二列加到第三列得到R ，则满足PQ =R 的矩阵Q 是（）。

2014 年广州市高中数学教师解题比赛决赛试题及答案2014 年广州市高中数学教师解题比赛决赛试题（2014 年4 月13 日上午9∶00－11∶00）一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，满分50 分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．请将答案代号填在答题卷的相应位置上．1．设集合，，映射：满足，则映射：的个数为A．1 B．2 C．3 D．42．直角梯形中，，，.以直线为轴将梯形旋转一周所得旋转体的体积为3．已知是奇函数，定义域为，又在区间上是增函数，且，则满足的的取值范围是4．已知虚数，其中、均为实数，当时，的取值范围是5．设，且，，则点在（为坐标原点）平面上的区域的面积是A．B．1C．2D．2014 年广州市高中数学教师解题比赛决赛试题及答案阅读版(可调整文字大小)广州市2014 届高三语文调研测试试卷及答案广州市2014 届高三年级调研测试语文来源：刘超衡的博客2014.01本试卷共8 页，六大题，共24 小题，满分150 分。

考试用时150 分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用2B 铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。

用2B 铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。

2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、本大题 4 小题，每小题 3 分，共12 分。

1．下列词语中加点的字，每对读音都不相同的一组是A．肄业/肆扰懈怠/亵渎押解/浑身解数B．聒躁/恬静咯血/炮烙中肯/一语中的C．戳穿/杀戮希冀/契约咀嚼/咬文嚼字D．国粹/荟萃悭吝/信笺拓本/落拓不羁2．下面语段中划线的词语，使用不恰当的一项是梁启超先生是一位百科全书式的人物。

2014学年第一学期高一期末试卷数 学一、选择题：本大题共10小题, 每小题5分, 满分50分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. 若全集{}{}{}1,2,3,4,1,2,2,3U M N ===，则()U M N I ð是（ ） A .{}1,2,3 B .{}2 C .{}1,3,4 D .{}4 2.与直线3420x y ++=平行的直线方程是（ ）A. 3460x y +-=B. 6840x y ++=C. 4350x y -+=D. 4350x y --=3. 函数y =）A. {|0}x x >B. {|3}x x >C. {|0}x x ≥D. {|3}x x ≥4. 设点B 是点A （2，﹣3，5）关于xOy 面的对称点，则A 、B 两点距离为（ ） ．D 5. 函数()22xy =-的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．）D7. 圆22(1)(2)1x y ++-=与圆229x y +=的位置关系是（ ）A. 相交B. 外切C. 相离D. 内切 8. 函数2()49g x x x =-+在[2,0]-上的最小值为（ ） A. 5 B. 9 C. 21 D. 69. 圆0422=-+x y x 在点P(1，3)处的切线方程是 ( )A ．023=-+y xB ．023=+-y xC ．043=+-y xD . 043=-+y x10. 已知l m αβ⊥⊂直线平面，直线平面， 下列命题正确的是（ ）// // // //l m l m l m l mαβαβαβαβ⊥⇒⇒⊥⊥⇒⇒⊥①②③④A. ①②B. ③④C. ②④D. ①③第二部分 非选择题（共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 11. 计算 l g 50l g 5-= 12．已知点(5,2), (4,1)A B , 则直线AB 的倾斜角是 13. 若球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于14. 定义在R 上的偶函数()y f x =在[0,)+∞上递减，且1()02f =，则满足(1)0f x +<的x 的取值范围三、 解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出说明、证明过程和演算步骤．15.（本小题满分12分）已知函数1()3x x f x a =+，且10(1)3f =．（1）求a 的值；（2）判定)(x f 的奇偶性,并说明理由；（3）令函数()()5g x f x =-，且()8g a =，求()g a -的值．16.（本小题满分12分）已知在平面直角坐标系xoy 中，直线AB 的方程为3260x y -+=，直线AC 的方程为23220x y +-=，直线BC 的方程为340x y m +-=．（1）求证：ABC ∆为直角三角形；（2）当ABC ∆的BC 边上的高为1时，求m 的值．17.（本小题满分14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．18.（本小题满分14分）某市一家庭一月份、二月份、三月份天然气用量和支付费用如下表所示：该市的家用天然气收费方法是：天然气费=基本费+超额费+保险费．现已知，在每月用气量不超过a立方米时，只交基本费6元；用气量超过a立方米时，超过部分每立方米付b元；每户的保险费是每月c元（c≤5）．设该家庭每月用气量为x立方米时，所支付的天然气费用为y元．求y关于x的函数解析式．19.（本小题满分14分）已知圆C 的半径为3，圆心C 在直线20x y +=上且在x 轴的下方，x 轴被圆C 截得的弦长BD 为（1）求圆C 的方程;（2）若圆E 与圆C 关于直线2450x y -+=对称，(,)P x y 为圆E 上的动点， 围.20.（本小题满分14分）已知函数()ln (0)f x x mx m =+>，其中e 2.71828=L 为自然对数的底数． （1）若函数()f x 的图像经过点1(,0)e,求m 的值； （2）试判断函数()f x 的单调性,并予以说明; （3）试确定函数()f x 的零点个数．一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题, 每小题5分, 满分50分.二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共4小题, 每小题5分, 满分20分.11. 1 12. 45o13. 3 14. 13{|,}22x x x x >-<∈R 或- 三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出说明、证明过程和演算步骤．15.（本小题满分12分）解：（1）因为10(1)3f =，所以10133a =+， -------------1分所以3a =． ----------3分 （2）由（1）得1()33x x f x =+ ，所以 )(x f 的定义域为(,)-∞+∞ ----------------4分 11()3333x x x x f x ---=+=+ -----------------5分 所以 ()()f x f x =- ----------------6分 所以)(x f 为偶函数． ---------------7分 （3）因为()()5g x f x =-，()8g a = 所以()()5f x g x =+ ---------8分 所以()()513f a g a =+= ----------9分 因为)(x f 为偶函数所以()()+513f a g a -=-= ----------11分 所以()8g a -=． ---------12分 16.（本小题满分12分） 解：（1）直线AB 的斜率为32AB k =， ---------2分 直线AC 的斜率为23ACk =-， ---------4分所以k AB •k AC =﹣1，---------5分 所以直线AB 与AC 互相垂直， --------- 6分 因此，ABC ∆为直角三角形； （2）解方程组326023220x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，得26,x y =⎧⎨=⎩，即A （2，6） --------8分设点A 到直线BC 的距离为d ，305m d -==， -------10分依题意有当d =1，即3015m-=，即|30﹣m |=5，解得m =25或35． ------12分 18．（本小题满分14分） 解：根据题意，6, 0 6(), c x a y b x a c x a +≤≤⎧=⎨+-+>⎩①②------2分因为0＜c ≤5，所以6+c ≤11．由表格知，二、三月份的费用大于11，因此，二、三月份的用气量均超过基本量a ， 于是有386(20)506(26).b a cb ac =+-+⎧⎨=+-+⎩ ------6分解得b =2，2a =8+c ．（3） -------8分 因为0＜c ≤5，所以842ca +=>． ---------10分 所以6+c =8，c =2． ---------12分 因此，a =5，b =2，c =2． 所以，8, 0522, 5x y x x ≤≤⎧=⎨->⎩-------------14分19．（本小题满分14分）解：（1）设圆心坐标(,2)a a -，则圆方程为22()(2)9x a y a -++= ---------1分 作CA x ⊥轴于点A，在3,Rt ABC CB AB ∆=中，2CA ∴=,- --------2分 所以|2|2a -= --------3分 所以1a =± ---------4分 又因为点C 在x 轴的下方，所以 1,a =- --------5分 所以圆C 的方程为：22(1)(2)9x y -++= --------6分 （2）方法一：由（1）知，圆C 的圆心坐标为(1.2)-点(1.2)C -到直线2450x y -+=的距离为2d ==， --------8分因为圆E 与圆C 关于直线2450x y -+=对称，所以2CE d ==圆E 的半径为3 -------10分 因为(,)P x y 为圆EPC -------11分因为PC EC EP ≤+所以PC的最大值为3， -------12分PC的最小值为3 --------13分3] --------14分方法二：由（1）知，圆C 的圆心坐标为(1.2)-设圆心E (,)m n ， 由题意可知点E 与点C 关于直线2450x y -+=对称，所以有1224502221112mn n m +-⎧⨯-⨯+=⎪⎪⎨+⎪⨯=-⎪-⎩ 24m n =-⎧⇒⎨=⎩ - ------9分所以点E (2,4)- 且圆E 的半径为3所以||EC =， -------10分因为(,)P x y 为圆EPC -------11分 因为PC EC EP ≤+所以PC的最大值为3， -------12分PC的最小值为3 --------13分3] --------14分20．（本小题满分14分）解：（1）因为函数()f x 的图像经过点1(,0)e所以 10lne em=+ -------1分 所以 e m = -------2分 （2）因为函数()f x 的定义域为(0,)+∞ ，设120x x << -------3分 所以 111()ln f x x mx =+， 222()ln f x x mx =+， -------4分 所以 1121212122()()ln ln ()ln()x f x f x x x m x x m x x x -=-+-=+-因为120,0x x m <<>， 所以121x x <，所以1122ln ()0xm x x x +-< --------5分 所以 1212()()0, ()()f x f x f x f x -<<即 --------6分 所以 ()f x 在定义域上单调递增． --------7分 （3）函数()f x 的零点只有一个① 当(0,e)m ∈时，(1)ln10f m m =+=>111e (e )ln e e 10e em m f m ----=+=-+=< --------8分 且函数()f x 在1[,1]e上的图象是连续不间断曲线所以由零点定理可得 函数()f x 在1(e ,1)-上存在一个零点， --------9分 又由（2）得()f x 在定义域上单调递增，所以函数()f x 的零点只有一个． --------10分 ② 当e m =时，1e()10e ef =-+=，又由（2）得()f x 在定义域上单调递增， 所以函数()f x 的零点只有一个． --------11分 方法一：③ 当(e,+)m ∈∞时，设()e (e)xmg x m x=-> 则(1)e 0,()e e 10mm mg m g m m=-<=-=->， 且函数()g x 在[1,]m 上的图象是连续不间断曲线所以存在0(1,),x m ∈使得0()0g x =，即00e xm x = ----------12分 从而有00000(e)0x x f x me x x --=-+=-+= -----------13分且函数()f x 在(0,)+∞上的图象是连续不间断曲线 又由（2）得()f x 在定义域上单调递增，所以当(e,+)m ∈∞时，函数()f x 的零点只有一个． --------14分。

2014上半年教师资格考试高中数学真题及答案第1部分：单项选择题，共7题，每题只有一个正确答案,多选或少选均不得分。

1.[单选题]欧氏平面R2上的下列变换不是保距变换的是( )。

A)AB)BC)CD)D答案:C解析:平面上一个点变换，如果保持点之间的距离不变，则称之为保距变换。

其中反射、平移、旋转都是保距变换。

A为平移变换；8为旋转变换；C为沿Y轴方向的错切变换；D为先对称变换再平移变换。

故选C。

2.[单选题]设A、B、C为欧式空间R3平面上不共线的三点，则三角形ABC的面积为( )。

A)AB)BC)CD)D答案:C解析:3.[单选题]A)D(χ)不是偶函数B)D(χ)是周期函数C)D(χ)是单调函数D)D(χ)是连续函数答案:B解析:狄利克雷函数是周期函数，但是却没有最小正周期，它的周期是狄利克雷任意非零有理数(周期不能为O)，而非无理数。

因为不存在最小正有理数，所以狄利克雷函数不存在最小正周期。

函数为偶函数且处处不连续．不是单调函数。

4.[单选题]下列观点正确的是( )。

A)提高运算速度是数学教学的核心目标B)动手实践、阅读自学是学生学习数学的重要方式C)信息技术与高中数学课程整合的任务的制作课件D)安排教学内容只需要依据考试大纲答案:B解析:5.[单选题]“三角形内角和为180。

”，其判断的形式是( )。

A)全称肯定判断B)全称否定判断C)特称肯定判断D)特称否定判断答案:A解析:6.[单选题]A)f(χ)=0B)必存在χ使f(χ)=0C)存在唯一的χ使f(χ)=OD)不一定存在χ 使f(χ)=0答案:B解析:7.[单选题]若在[a，b]上连续，在(a，b)可导，则在(a，b)内( )。

A)AB)BC)CD)D答案:D解析:由罗尔中值定理可得：若函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)上可导，且f(a)=(b)，则存在ξ∈(a， b)，使f’(ξ)=0，而当f(a)时，则不一定。

故选D。

2014年广州市初中数学青年教师解题比赛决赛试卷第一篇：2014年广州市初中数学青年教师解题比赛决赛试卷2014年广州市初中数学青年教师解题比赛决赛试卷2014试卷2014分，考试时间120，则实数项和为等于（A）1（B）（C）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于 14秒且小于15秒；分别为（A）0.9，35（B）0.9，45（C）0.1，35（D）0.1，45 4．已知曲线，则切点的横坐标为（A）3（B）或2 5.如图，PA、PB切）（C为R上的减函数，则满足的实数，使得关于x的方程，则m 的值是（A）（B））8.如图是三个直立于水平面上的形状完全相同的几何体（下底面为圆面，单位：cm）．将它们拼成如图的新几何体，则该新几何体的体积为（）cm3．（A）48（B）50（C）609．给定点M(-1, 2),N(1,4),点P在轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标是(A)(B)(C)(D)10．已知．）11．函数满足约束条件的最小值为．13．已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．则取出的4个球均为黑球的概率是表示的最小值是．16．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第次全行的数都为1的是第行；第61行中1的个数是．第1行第2行0 第3行第4行0 第5行0 ……………………………………………20142014-11 10 题号10答案第二篇：教师基本功比赛----=2014年广州市初中数学青年教师解题比赛试题2003广州初中数学青年教师解题竞赛试卷一、填空（本题共有8小题，每小题5分，共40分）2１．把多项式xy-xy+y分解因式所得的结果是___________________． 9 ２．如果不等边三角形各边长均为整数，且周长小于13，那么这样的三角形共有_________个．３．函数y=3+2x-x2中，自变量x的取值范围是_____________．４．若关于未知数x的一元二次方程(m-1)x2+x+m2+2m-3=0有一个根为0，则m的值为____．５．条件P:x=1或x=2，条件q:x-1=（填充分不必x-1中，P是q的_______________条件．要、必要不充分、充要、既不充分也不必要中的一个）６．两个等圆相交于A、B两点，过B作直线分别交两圆于点C、D．那么△ACD一定是 ____________三角形．（要求以边或角的分类作答）７．一直角三角形的斜边长为c，它的内切圆的半径是r，则内切圆的面积与三角形的面积的_________．８．不等边三角形ABC的两条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，那么它的长度最大可能是_____________．二、（本题满分12分）９．如图，已知点A在⊙O上，点B在⊙O外，求作一个圆，使它经过点B，并且与⊙O相切于点A．（要求写出作法，不要求证明）三、（本题满分12分）10．一次选拔考试的及格率为25%，及格者的平均分数比规定的及格分数多15分，不及格者的平均分数比规定的及格分数少25分，又知全体考生的平均分数是60分，求这次考试规定的及格分数是多少？四、（本题满分13分）11．有30根水泥电线杆，要运往1000米远的地方开始安装，在1000米处放一根，以后每50米放一根，一辆汽车每次只能运3根，如果用一辆汽车完成这项任务，这辆汽车的行程共有多少千米？五、（本题满分13分）12．正实数a、b满足ab=ba，且a＜1，求证：a=b.六、（本题满分14分）13．已知m为整数，且12＜m＜40，试求m为何值时，关于未知数x的方程3772501.docPage 1 of 2 ·O ·Bx2-2(2m-3)x+4m2-14m+8=0有两个整数根．七、（本题满分14分）14．如图，已知A、B是锐角α的OM边上的两个定点，P在ON 边上运动．问P点在什么位置时，PA+PB的值最小？八、（本题满分16分）15．已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线y=x上，且这个顶点到原点的距离为2，又知抛物线与x轴两交点横坐标之积等于-1，求此抛物线的解析式．九、（本题满分16分）16．已知△ABC是锐角三角形．⑴求证：2sinA＞cosB+cosC；⑵若点M在边AC上，作△ABM和△CBM的外接圆，则当M在什么位置时，两外接圆的公共部分面积最小？ 22MN3772501.docPage 2 of 2第三篇：2002年秋季广州市高中数学青年教师解题比赛试题高中数学青年教师解题比赛试卷1．若sin(α+π)=（A）313，则cos（133π2-α)的值等于2．若函数y=f（x）的反函数的图象经过点(2,-1)，则此函数可能是(A)y=-12x2（B）-（C）（D）-1x(B)y=()(C)y=2x(D)y=-logx3．双曲线(A)3x9-y=1的一个焦点到一条渐近线的距离等于(B)3(C)4(D)24．圆台母线与底面成450角，侧面积为32π，则它的轴截面面积是（A）2（B）3（C）2（D）32 5．若{an}是无穷等比数列，且a1＋a2＋a3=（A）438, a2＋a3＋a4=－43，则此数列所有项的和为（B）（C）1（D）6．设函数f(x)=|log，则下列各式中成立的是 ax|（0<a<1）11(B)f()>f(2)>f()43(D)f(>f()>f(2)431(A)f(2)>f(>f()34(C)f()>f(2)>f(347．如图，点P是正方形ABCD所在的平面外一点，PD⊥平面ABCD,PD=AD，则PA与BD所成角的度数为（A）30°（B）45°（C）60°（D）90°9.有5个身高均不相同的学生排成一排合影留念，高个子站在中间，从中间到左边一个比一个矮，从中间到右边也是一个比一个矮，则这样的派法有(A)6种（B）8种（C）12种（D）16种10.设点P在直线x=1上变化，O为坐标原点．以OP为直角边、点O为直角顶点作等腰Rt∆OPQ，则动点Q的轨迹是(A)两条平行直线（B）一条直线（C）抛物线（D）圆 11．由(3x+2)100展开所得的x的多项式中,系数为有理数的共有(A)50项(B)17项(C)16项(D)15项12.某大学的信息中心A与大学各部门、各院系B，C，D，E，F，G，H，I之间拟建立信息联网工程，实际测算的费用如图所示（单位：万元）.请观察图形，可以不建立部分网线，而使得中心与各部门、各院系都能连通（直接或中转），则最小的建网费用是(A)16万元（B）14万元（C）13万元（D）12万元第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．)13.如果直线x+y=b与圆x2+y2=2相切，则实数b的值为___________；3772499.docPage 1 of214.已知z1=3+4i,z2=-2-5i,则argz1-iz1+z2；15.已知sin2α+sin2β+sin2γ=1(α、β、γ均为锐角），那么cosαcosβcosγ的最大值等于____________________；16.定义在R上的偶函数f（x）满足：f(x+1)=-f(x)，且在[-1，0]上是增函数，下面是关于f（x）的判断：（1）f（x）是周期函数；（2）f（x）的图象关于直线x=1对称；（3）f（x）在[0，1]上是增函数；（4）f（x）在[1，2]上是减函数；（5）f（2）=f（0），其中正确的判断是（把你认为正确的判断都填上）三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.（本小题满分12分）θ已知函数f(x)=sin(2x+θ)+23cos2(x+)-32⑴ 求函数f(x)的周期;⑵ 若0≤θ≤π,求θ,使函数f(x)为偶函数.18.（本小题满分12分）已知函数f(x)=x2+3x-a⑴ 解不等式f(x)<x;(x≠a), a为非零常数，⑵ 设x>a时，f(x)的最小值为6,求a的值.19.（本小题满分12分）0如图，三棱锥P-ABC中，∠APB=∠APC=60，PA=3，PB=2，ΔPBC为正三角形（1）求证：平面PBC⊥平面ABC；（2）求棱PA与侧面PBC所成的角；（3）求点B到侧面PAC的距离.20.（本小题满分12分）B C已知点A（-3，0）和B（3，0），动点P到A、B两点的距离差的绝对值为2,(1)求动点P的轨迹方程;(2)过点C（1，1）能否作直线l，使它与动点P的轨迹交于两点M，N，且点C是线段MN的中点，问这样的直线l是否存在，若存在，求出它的方程，若不存在，说明理由.21.（本小题满分12分）国内某大报纸有如下报道：学数学，其实是要使人聪明，使人的思维更加缜密.在美国广为流传的一道数学题目是：老板给你两个加工资的方案.一是每年年末加一千；二是每半年结束时加300元.例如，在第二年的年末，依第一种方案可以加得1000+2000=3000（元）；而第二种方案在第一年加得300+600=900（元），第二年加得900+1200=2100（元），总数也是3000元.⑴ 如果在该公司干十年，问选择第一种还是第二种的方案所加的工资高？高多少？⑵ 如果第二种方案中的每半年加300元改为每半年加a元，问a 为何值时，总是选择第二方案比选择第一方案多加薪？22.（本小题满分14分）3已知f(x)=-x+ax在(0,1)是增函数,求实数a的取值范围(1)当a=3时,定义数列{an}满足a1∈(0,1),且2an+1=f(an),求证:对一切正整数n均有an∈(0,1).3772499.docPage 2 of 2第四篇：教师基本功比赛----=2014年广州市高中数学青年教师解题比赛试题2003广州市高中青年教师解题比赛试卷一、选择题：1、下列各式中正确的是（）A、0=φB、φ={0}C、0∈φD、φ⊆{0}2、若sinx>tgx>ctgx，（-A、(-π2,-ππ2）。

2014年广州市初中数学教师解题比赛决 赛 试 卷 2014－4－13本试卷共8页，第1-2页为选择题和填空题，第3-8页为解答题及答卷．请将选择题和填空题的答案做在第3页的答卷上．全卷共三大题23小题，满分150分，考试时间120分钟．第I 卷（选择题，共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，请将唯一正确的答案代号填在第3页的答题卷上．）1．已知集合{|A x x =是平行四边形}，{|B x x =是矩形}，{|C x x =是正方形}，{|D x x =是菱形}，则（ ）． A ．A B ⊆ B ．C B ⊆ C ．D C ⊆ D ．A D ⊆ 2．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）． A ． 1y x =+ B ．2y x =- C ．1y x =D ．sin 22y x x ππ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭ 3．已知圆22:40C x y x +-=，l 过点(3,0)P 的直线，则（ ）． A ．l 与C 相交 B ．l 与C 相切 C ．l 与C 相离 D ．以上三个选项均有可能 4．如图1，在直角坐标系中，直线6y x =-与函数4(0)y x x=>的图象 相交于点A 、B ，设点A 的坐标为()11,x y ，那么长为1x ,宽为1y 的矩 形面积和周长分别为( ) ．A ．4，12B ．8，12C ．4，6D ．8，6 5．如图2，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =α，将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转后得到△EDC ，此时点D 在AB 边上，则旋转角 的大小为（ ）．A ．αB ．2αC ．90α-D ．30α+ 6. 已知平面向量a ()2m =-,，b (1=，且()-⊥a b b ，则实数m 的值为（ ）． A．- B． C． D．图1图27．已知变量x y ,满足约束条件21110x y x y y ,,.⎧+≥⎪-≤⎨⎪-≤⎩则2z x y =-的最大值为（ ）． A ．3- B ．0 C ．1 D ．38．设x R ∈，则“12x >”是“2210x x +->”的（ ）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 9. 如图3，ABC △与DEF △均为等边三角形，O 为BC 、EF 的中点，则AD ∶BE 的值为（ ）． A1 B1 C ．5∶3 D ．不确定 10．如图4，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =， 连接EC 、ED ，则sin CED ∠=（ ）． ABCD第II 卷（非选择题，共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案直接填在答题卷上．）11． 设集合A={3123|≤-≤-x x }，集合B 为函数ln(1)y x =-的定义域，则A ⋂B= ．12． 已知381P xy x =-+，22Q x xy =--，当0x ≠时，327P Q -=恒成立，则y 的值为__ __．13. 如图5，AB 是O 的直径，BC 是O 的切线，AC 与O 交于点D若3BC =，165AD =，则AB 的长为 ．14． 下面的图形是由边长为l 的正方形按照某种规律排列而组成的:推测第n 个图形中，正方形的个数为__ ___，所有线段长的和为 _ _(用含n 的代数式表示).15． 正方形ABCD 、正方形BEFG 和正方形RKPF 的位置如图6所示，点G 在线段DK 上，正方形BEFG 的边长为4，则 DEK ∆的面积为__ ____. 16. 已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程 20(0)ax x a a +-=≠的两个根， 若124x x +=，则a 的值为____ __.A图4图2C图5 图6三、解答题（共7小题，满分8 0分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．）17．（本小题满分8分）如图7，反比例函数(0)ky k x=<的图象经过点A (-3，m )，过 点A 作AB ⊥x 轴于点B ，△AOB 的面积为3．(1) 求k 和m 的值；(2) 若过A 点的直线y =ax +b 与x 轴交于C 点，且∠ACO =30°，求此直线的解析式． 18．（本小题满分8分）如图8，正△ABC 的边长为a , D 为AC 边上的一个动点， 延长AB 至E ，使BE =CD ，连结DE ，交BC 于点P ． （1）求证：DP =PE ；（2）若D 为AC 的中点，求BP 的长． 19．（本小题满分12分）某果农在山地上种植同一种果树，收获时，该果农随机选取果树20株作为样本，测量它们每一株的果实产量（单位：kg ），获得的所有数据按照区 间(4045,,⎤⎦(((455050555560,,,,,⎤⎤⎤⎦⎦⎦进 行分组，得到频率分布直方图如图9.已知样本中 产量在区间(4550,⎤⎦上的果树株数是产量在区间(5060,⎤⎦上的果树株数的43倍. （1）求a ,b 的值；（2）从样本中产量在区间(5060,⎤⎦上的果树随机抽取两株，求产量在区间(5560,⎤⎦上的果树至少有一株被抽中的概率.图7图8图9图3a0.06b甲商店某种商品4月份(30天,4月1日为第一天)的销售价格P (元)与时间t (天)函数关系如图(一)所示,该商品日销售量Q (件)与时间t (天)函数关系如图(二)所示．（1）写出图(一)表示的销售价格与时间的函数关系式P f t =（）,写出图(二)表示的日销售量与时间的函数关系式Q g t =（）,及日销售金额M (元)与时间的函数关系M h t =（）. （2）乙商店销售同一种商品,在4月份采用另一种销售策略,日销售金额N (元)与时间t (天)之间的函数关系为22102750N t t =--+,试比较4月份每天两商店销售金额的大小关系.21．（本小题满分12分）已知某个几何体的三视图如图10（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的数据， （1）求这个组合体的体积；（2）若组合体的底部几何体记为1111D C B A ABCD -（如图11），其中BA B A 11为正方形.① 求证：D C AB B A 111平面⊥；② 若P 为棱11B A 上一点，求1PC AP +的最小值和达到最小值时1A P 的长度.图10图11如图一，在直角梯形ABCD 中，∠D =∠C =900，AB =4，BC =6，AD =8．点P 、Q 同时从A 点出发，分别作匀速运动，其中点P 沿AB 、BC 向终点C 运动，速度为每秒2个单位，点Q 沿AD 向终点D 运动，速度为每秒1个单位．当这两点中有一个点到达自己的终点时，另一个点也停止运动，设这两点从出发运动了t 秒． (1) 动点P 与Q 哪一点先到达自己的终点?此时t 为何值?(2) 当0<t <2时，求证：以PQ 为直径的圆与AD 相切(如图二)；(3 )以PQ 为直径的圆能否与CD 相切?若有可能，求出t 的值或t 的取值范围；若不可 能，请说明理由．23．（本小题满分14分）已知R a ∈，函数()f x x x a =-，（1）当a =2时，写出函数)(x f y =的单调递增区间； （2）当a >2时，求函数)(x f y =在区间[]2,1上的最小值；（3）设0≠a ，函数)(x f 在),(n m 上既有最大值又有最小值，请分别求出n m 、的取值范围（用a 表示）．图二图一2014年广州市初中数学青年教师解题决赛答案2014-4-1311．(]1,2 12．2 13．4 14．5n +3，15n +10 15．16 16．±63 三、解答题（共7小题，满分80分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．）17．（本小题满分8分）解：（1）△AOB 的面积为3，AB =12AB BO =⨯， 解得2BO =，即2m =．()A ∴，将点()2A 代入(0)ky k x=<，解得k =-(2)当a =时，将点()2A 代入y x b =+，解得3b =，直线的解析式为0x +=；当a =时，将点()2A 代入y x b =+，解得1b =，直线的解析式为0x =；综上：直线的解析式为0x +=或0x =． 18．（本小题满分8分）（1）证明：过点D 作DF ∥AB ，交BC 于F ．∵△ABC 为正三角形 ， ∴∠CDF =∠A =60°． ∴△CDF 为正三角形 ， ∴DF =CD ， 又BE =CD ，∴BE =DF ．又DF ∥AB ，∴ ∠PEB =∠PDF ． 在△DFP 和△EBP 中，∠PEB =∠PDF∠BPE =∠FPD BE =FD∴△DFP ≌△EBP ．∴DP =PE ． （2）由（1）得△DFP ≌△EBP ，可得FP =BP ， ∵D 为AC 中点，DF ∥AB ，∴BF ＝21BC ＝21a ， ∴BP ＝21BF ＝41a ．19．（本小题满分12分）（1）解:样本中产量在区间(4550,⎤⎦上的果树有520100a a ⨯⨯=（株）， 样本中产量在区间(5060,⎤⎦上的果树有()()002520100002b b ..+⨯⨯=+（株）， 依题意，有()41001000023a b .=⨯+，即()40023a b .=+.① 根据频率分布直方图可知()00200651b a ..+++⨯=， ② 解①②得:008004a b .,.==.（2）解：样本中产量在区间(5055,⎤⎦上的果树有0045204.⨯⨯=株，分别记为123A A A ,,,4A ，产量在区间(5560,⎤⎦上的果树有0025202.⨯⨯=株，分别记为12B B ,. 从这6株果树中随机抽取两株共有15种情况：()()1213A A A A ,,,，()14A A ,()()()()()()111223242122A B A B A A A A A B A B ,,,,,,,,,,,,()34A A ,,()31A B ,,()32A B ,，()()4142A B A B ,,,,()12B B ,.其中产量在(5560,⎤⎦上的果树至少有一株共有9种情况：()()1112A B A B ,,,,()()()()21223132A B A B A B A B ,,,,,,,,()()4142A B A B ,,,，()12B B ,.记“从样本中产量在区间(5060,⎤⎦上的果树随机抽取两株，产量在区间(5560,⎤⎦上的果树至少有一株被抽中”为事件M ，则()93155P M ==.解：(1)设价格函数是b kt y +=,过点（0，15）（30，30）则⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=2115303015k b b k b ∴),300(1521)(N t t t t f P ∈≤<+== 销售量函数m at y +=，过点)40,30(),160,0(，则⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=+=41604030160a m m a m ∴),300(1604)(N t t t t g Q ∈≤<+-==则21(15)(4160)2202400(030,)2M t t t t t t N =+-+=-++<≤∈(2)22102750()N t t t N =--+∈⎩⎨⎧≤≤>≤<<-=-30120110035030t t t N M ()t N ∈ 即前11天甲商店销售额少，以后乙均比甲少21．（本小题满分12分） 解：（1）此组合体底部为长方体，上部为半个圆柱π+=⨯⨯π+⨯⨯=806401042110882V . (2) ①∵长方体1111D C B A ABCD - ，∴BA B A AD 11平面⊥．∵BA B A B A 111平面⊂，∴B A AD 1⊥．又∵BA B A 11是边长为8的正方形，∴11AB B A ⊥． ∵A AD AB =⋂1，∴D C AB B A 111平面⊥.②将上底面1111D C B A 展开，与平面BA B A 11共面时，连结A C 1交11B A 于点P ，即1AC 为最短距离.此时长度为97218822=+.111A PAB PC ，则1329A P =.解：(1) ∵当P 到C 时，t =5(秒)；当Q 到D 时，t =8(秒)．∴点P 先到达终点，此时t 为5秒； (2) 作BE ⊥DA 于点E ，则BE =23，∠A =60°，∠ABE =30°． 当0<t <2时，取AP 中点F ，连FQ ，则△AFQ 为等边三角形．∴FP =F A =FQ ，∴∠AQP =90°. ∴以PQ 为直径的圆与AD 相切． (3)当0<t<2时，以PQ 为直径的圆与CD 不可能相切． 当2≤t ≤5时，设以PQ 为直径的⊙O 与CD 相切于点K ． 则有PC =10-2t ，DQ =8-t ，OK ⊥DC ．∴OK 是梯形PCDQ 的中位线，∴PQ =2²OK =PC +DQ =18-3t ． 在直角梯形PCDQ 中，PQ 2=CD 2+(DQ -PC )2，即(1 8-3t )2=(23)2+(t -2)2，2t 2-2 6 t +77=0．解之，得t =21513±， ∵21513+>5， 2<21513-≈ 4.56 <5， ∴当t =21513-时，以PQ 为直径的圆与CD 相切． 另解：设以PQ 为直径的⊙O 与CD 相切于点K ．⊙O 交AD 于点Q 、H ．则DK =3，DH =CP =10-2t ，DQ =8-t ．由切割线定理，得DK 2=DH ·DQ ．即(3)2 = (10 -2t ) (8 – t )．(以下与上面解法相同) 23．（本小题满分14分）(1)解：当2=a 时，=-=|2|)(x x x f ⎩⎨⎧<-≥-2),2(2),2(x x x x x x由图象可知，单调递增区间为（-∞，1]，[2，+∞）（开区间不扣分）(2)因为2>a ，x ∈[1，2]时，所以f(x)=x(a-x)=-x 2+ax ＝ 22()24a a x --+当1<2a ≤32，即32≤<a 时，42)2()(min -==a f x f当2a 32>，即3>a 时，1)1()(min -==a f x f min 24,23()1,3a a f x a a -<≤⎧=⎨->⎩ (3)⎩⎨⎧<-≥-=ax x a x ax a x x x f ),(),()(①当0>a 时，图象如右图所示由⎪⎩⎪⎨⎧-==)(42a x x y a y 得2)12(a x += ∴20a m <≤，a n a 212+≤< ②当0<a 时，图象如右图所示由⎪⎩⎪⎨⎧-=-=)(42x a x y a y 得a x 2)21(+= ∴a m a <≤+221， 02≤<n a。

试卷类型：A2014年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）2014.4 本试卷共4页，21小题， 满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 参考公式：锥体的体积公式是13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数z 满足 i 2z =，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为A ．2-B ．2C ．2-iD ．2i2．若函数()y f x =是函数3xy =的反函数，则12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为A ．2log 3-B ．3log 2-C ．19D 3．命题“对任意x ∈R ，都有32x x >”的否定是A ．存在0x ∈R ，使得3200x x >B ．不存在0x ∈R ，使得3200x x >C ．存在0x ∈R ，使得3200x x ≤ D ．对任意x ∈R ，都有32x x ≤4. 将函数()2cos 2(f x x x x =+∈R )的图象向左平移6π个单位长度后得到函数 ()y g x =，则函数()y g x =A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数图1俯视图侧视图正视图5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3， 将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是 A ．16 B ．13 C ．12 D ．386．设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF的中点在y 轴上，若1230PF F ︒∠=，则椭圆C 的离心率为 A ．16 B ．13C．6 D．37．一个几何体的三视图如图1，则该几何体的体积为A ．6π4+B ．12π4+C ．6π12+D ．12π12+ 8．将正偶数2,4,6,8, 按表1的方式进行 排列，记ij a 表示第i 行第j 列的数，若2014ij a =，则i j +的值为A ．257B ．256C ．254D ．253 表1 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．不等式2210x x --<的解集为 .10．已知312nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是第7项，则正整数n 的值为 .11．已知四边形ABCD 是边长为a 的正方形，若2,2DE EC CF FB == ，则A E A F ⋅的值为 .12．设,x y 满足约束条件 220,840,0,0.x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为8，则ab 的最大值为 .D CB A a 图3重量/克0.0320.02452515O 13．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[][]1.52,1.51-=-=.设函数()[]f x x x ⎡⎤=⎣⎦，当[)0,(x n n ∈∈N *)时，函数()f x 的值域为集合A ，则A 中的元素个数为 .（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线,(x a t t y t =-⎧⎨=⎩为参数)与 圆1cos ,(sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数)相切，切点在第一象限，则实数a 的值为 .15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且 12A E EB =，连接,DE AC ，AC 与DE 相交于点F ，若△AEF 的面积为1 cm 2，则 △AFD 的面积为 cm 2.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）如图2，在△ABC 中，D 是边AC 的中点， 且1AB AD ==，BD =(1) 求cos A 的值； （2）求sin C 的值. 图2 17．（本小题满分12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样 本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为(]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45， 由此得到样本的重量频率分布直方图，如图3. （1）求a 的值；（2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；（注：设样本数据第i 组的频率为i p ，第i 组区间的中点值为i x ()1,2,3,,i n = ，则样本数据的平均值为112233n n X x p x p x p x p =++++ . （3）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在(]5,15内的小球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.FE D CB18．（本小题满分14分） 如图4，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，EF ∥平面ABCD ，1EF =，,90FB FC BFC ︒=∠=，AE =（1）求证：AB ⊥平面BCF ；（2）求直线AE 与平面BDE 所成角的正切值. 图4 19．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a =，对任意n ∈N *，都有()11n n na S n n +=++. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．（本小题满分14分）已知定点()0,1F 和直线:1l y =-，过点F 且与直线l 相切的动圆圆心为点M ，记点M 的轨迹为曲线E .(1) 求曲线E 的方程;(2) 若点A 的坐标为()2,1, 直线1:1(l y kx k =+∈R ，且0)k ≠与曲线E 相交于,B C 两 点，直线,AB AC 分别交直线l 于点,S T . 试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个 定点? 若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由. 21．（本小题满分14分）已知函数()ln (,f x a x bx a b =+∈R )在点()()1,1f 处的切线方程为220x y --=. （1）求,a b 的值； （2）当1x >时，()0kf x x+<恒成立，求实数k 的取值范围； （3）证明：当n ∈N *，且2n ≥时，22111322ln 23ln 3ln 22n n n n n n--+++>+ .2014年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭10．8 11．2a12．4 13．222n n -+141 15．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分） （1）解：在△ABD 中，1AB AD ==，3BD=， ∴222cos 2AB AD BD A AB AD+-=⋅⋅2221112113+-⎝⎭==⨯⨯. ……………4分（2）解：由（1）知，1cos 3A =，且0A <<π，∴sin 3A ==. ……………6分 ∵D 是边AC 的中点，∴22AC AD ==.在△ABC 中，222222121cos 22123AB AC BC BC A AB AC +-+-===⋅⋅⨯⨯，………8分解得3BC =……………10分 由正弦定理得，sin sin BC ABA C=， ……………11分∴1sin sin 3AB AC BC⋅===. ……………12分17．（本小题满分12分）(1) 解：由题意，得()0.020.0320.018101x +++⨯=， ……………1分 解得0.03x =. ……………2分 （2）解：50个样本小球重量的平均值为0.2100.32200.3300.184024.6X =⨯+⨯+⨯+⨯=（克）. ……………3分由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克. ……………4分（3）解：利用样本估计总体，该盒子中小球重量在(]5,15内的概率为0.2，则13,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭. ……………5分 ξ的取值为0,1,2,3， ……………6分()30346405125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2131448155125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2231412255125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3331135125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. ……………10分∴ξ的分布列为：……………11分 ∴6448121301231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………12分 （或者13355E ξ=⨯=）18．（本小题满分14分）（1）证明：取AB 的中点M ，连接EM ，则1AM MB ==，∵EF ∥平面ABCD ，EF ⊂平面ABFE ，平面ABCD 平面ABFE AB =，M OH FED C B ∴EF ∥AB ，即EF ∥MB . ……………1分 ∵EF =MB 1=∴四边形EMBF 是平行四边形. ……………2分 ∴EM ∥FB ，EM FB =.在Rt △BFC 中，2224FB FC BC +==，又FB FC =，得FB =∴EM =……………3分在△AME中，AE =1AM =，EM =∴2223AM EM AE +==，∴AM EM ⊥. ……………4分 ∴AM FB ⊥，即AB FB ⊥. ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………5分 ∵FB BC B = ，FB ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴AB ⊥平面BCF . ……………6分 （2）证法1：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点， 取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ， 则OH ∥AB ，112OH AB ==. 由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =，∴EF ∥OH ，且EF OH =.∴四边形EOHF 是平行四边形.∴EO ∥FH ，且1E O F H == .……………7分 由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ，∴FH AB ⊥. ……………8分∵FH BC ⊥，,AB BC B AB =⊂ 平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴FH ⊥平面ABCD . ……………9分 ∴EO ⊥平面ABCD . ∵AO ⊂平面ABCD ，∴EO ⊥AO . ……………10分 ∵AO BD ⊥，,EO BD O EO =⊂ 平面EBD ，BD ⊂平面EBD ， ∴AO ⊥平面EBD . ……………11分 ∴AEO ∠是直线AE 与平面BDE 所成的角. ……………12分 在Rt △AOE中，tan AOAEO EO∠== ……………13分 ∴直线AE 与平面BDE. ……………14分证法2：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ， 则OH ∥AB ，112OH AB ==.由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =， ∴EF ∥OH ，且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形.∴EO ∥FH ，且1EO FH ==. ……………7分 由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ， ∴FH AB ⊥.∵FH BC ⊥，,AB BC B AB =⊂ 平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴FH ⊥平面ABCD .∴EO ⊥平面ABCD . ……………8分 以H 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，OH 所在直线为y 轴，HF 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系H xyz -，则()1,2,0A -，()1,0,0B ，()1,2,0D --，()0,1,1E -.∴()1,1,1AE =- ，()2,2,0BD =-- ，()1,1,1BE =--. ……………9分设平面BDE 的法向量为=n (),,x y z ，由n 0BD ⋅= ，n 0BE ⋅=，得220x y --=，0x y z --+=，得0,z x y ==-.令1x =，则平面BDE 的一个法向量为=n ()1,1,0-. ……………10分 设直线AE 与平面BDE 所成角为θ，则sin θ=cos , n AE ⋅=n AEnAE=. ……………11分∴cos 3θ==，sin tan cos θθθ== ……………13分 ∴直线AE 与平面BDE. ……………14分19．（本小题满分14分）（1）解法1：当2n ≥时，()11n n na S n n +=++，()()111n n n a S n n --=+-，……1分 两式相减得()()()11111n n n n na n a S S n n n n +---=-++--， ……………3分即()112n n n na n a a n +--=+，得12n n a a +-=. ……………5分 当1n =时，21112a S ⨯=+⨯，即212a a -=. ……………6分 ∴数列{}n a 是以10a =为首项，公差为2的等差数列.∴()2122n a n n =-=-. ……………7分 解法2：由()11n n na S n n +=++，得()()11n n n n S S S n n +-=++， ……………1分 整理得，()()111n n nS n S n n +=+++， ……………2分 两边同除以()1n n +得，111n nS S n n+-=+. ……………3分 ∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以101S =为首项，公差为1的等差数列. ∴011nS n n n=+-=-. ∴()1n S n n =-. ……………4分 当2n ≥时，()()()111222n n n a S S n n n n n -=-=----=-. ……………5分 又10a =适合上式， ……………6分 ∴数列{}n a 的通项公式为22n a n =-. ……………7分 （2）解法1：∵22log log n n a n b +=， ∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++ ()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅ ，①()1231442434144n n n T n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅ ，② ……………11分①-②得0121344444n nn T n --=++++-⋅ 14414n nn -=-⋅-()13413n n -⋅-=.……………13分 ∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 解法2：∵22log log n n a n b +=， ∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++ ()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅ .由()12311n nx x x x x x x x+-++++=≠- ， ……………11分两边对x 取导数得，012123n x x x nx-++++=()()12111n n nx n x x +-++-. ………12分令4x =，得()()0122114243414431419n n n n n n --⎡⎤+⨯+⨯++-⋅+⋅=-⋅+⎣⎦ . ……………13分 ∴ ()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 20．（本小题满分14分）（1）解法1：由题意, 点M 到点F 的距离等于它到直线l 的距离,故点M 的轨迹是以点F 为焦点, l 为准线的抛物线. ……………1分 ∴曲线E 的方程为24x y =. ……………2分 解法2：设点M 的坐标为(),x y ,依题意, 得1MF y =+,1y =+, ……………1分 化简得24x y =.∴曲线E 的方程为24x y =. ……………2分 (2) 解法1: 设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意得，2211224,4x y x y ==.由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=，解得1,2422k x k ±==± ∴12124,4x x k x x +==-. ……………3分直线AB 的斜率2111111124224ABx y x k x x --+===--， 故直线AB 的方程为()12124x y x +-=-. ……………4分 令1y =-，得1822x x =-+，∴点S 的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………5分 同理可得点T 的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………6分 ∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---= ⎪++++⎝⎭ ()()()121212121288248x x x x x x x x x x kk---===+++. ……………7分 ∴2ST=()()()2221212122221614k x x x x x x k k k +-+-==. ……………8分设线段ST 的中点坐标为()0,1x -，则()()()12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫=-+-=- ⎪++++⎝⎭ ()()()1212444444222248k k x x x x kk++=-=-=-+++. ……………9分 ∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k +=. ……………10分展开得()()22222414414k x x y k k k++++=-=. ……………11分 令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分 ∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 解法2：由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. …………3分 由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=，即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-. ……………4分 ∴1142x k =-，22111114414y x k k ==-+. ∴点B 的坐标为()211142,441k k k --+. ……………5分 同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-， 则点T 的坐标为222,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()222242,441k k k --+. …………6分 ∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，∴()()()()()()22222211212121214414414242k k k k k k k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+. ……………7分 又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--，化简得122kk k =. ……………8分 设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ⋅=， ……………9分得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ……………10分 整理得，()224410x x y k+-++=. ……………11分 令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分 ∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 21．（本小题满分14分）（1）解：∵()ln f x a x bx =+， ∴()af x b x'=+. ∵直线220x y --=的斜率为12，且过点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， ……………1分∴()()11,211,2f f ⎧=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩即1,21,2b a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得11,2a b ==-. ……………3分（2）解法1：由（1）得()ln 2x f x x =-. 当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x kx x-+<，等价于2ln 2x k x x <-.……………4分令()2ln 2x g x x x =-，则()()ln 11ln g x x x x x '=-+=--. ……………5分令()1ln h x x x =--，则()111x h x x x-'=-=. 当1x >时，()0h x '>，函数()h x 在()1,+∞上单调递增，故()()10h x h >=. ……………6分 从而，当1x >时，()0g x '>，即函数()g x 在()1,+∞上单调递增， 故()()112g x g >=. ……………7分 因此，当1x >时，2ln 2x k x x <-恒成立，则12k ≤. ……………8分∴所求k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分解法2：由（1）得()ln 2x f x x =-. 当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x kx x-+<恒成立. ……………4分 令()ln 2x kg x x x=-+，则()222112222k x x k g x x x x -+'=--=-.方程2220x x k -+=（﹡）的判别式48k ∆=-.（ⅰ）当0∆<，即12k >时，则1x >时，2220x x k -+>，得()0g x '<， 故函数()g x 在()1,+∞上单调递减.由于()()110,2ln 21022kg k g =-+>=-+>， 则当()1,2x ∈时，()0g x >，即ln 02x kx x-+>，与题设矛盾. …………5分（ⅱ）当0∆=，即12k =时，则1x >时，()()2222121022x x x g x x x--+'=-=-<.故函数()g x 在()1,+∞上单调递减，则()()10g x g <=，符合题意. ………6分 (ⅲ) 当0∆>，即12k <时，方程（﹡）的两根为1211,11x x =<=+>， 则()21,x x ∈时，()0g x '>，()2,x x ∈+∞时，()0g x '<. 故函数()g x 在()21,x 上单调递增，在()2,x +∞上单调递减， 从而，函数()g x 在()1,+∞上的最大值为()2222ln 2x kg x x x =-+. ………7分 而()2222ln 2x k g x x x =-+2221ln 22x x x <-+， 由（ⅱ）知，当1x >时，1ln 022x x x-+<， 得2221ln 022x x x -+<，从而()20g x <. 故当1x >时，()()20g x g x ≤<，符合题意. ……………8分 综上所述，k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分（3）证明：由（2）得，当1x >时，1ln 022x x x-+<，可化为21ln 2x x x -<， …10分 又ln 0x x >， 从而，21211ln 111x x x x x >=---+. ……………11分 把2,3,4,,x n = 分别代入上面不等式，并相加得，11111111111112ln 23ln 3ln 32435211n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++>-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………12分 111121n n =+--+ ……………13分 223222n n n n--=+. ……………14分。

广州市黄埔区高中数学教师解题比赛试题说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的，把你认为的正确选择支填在答题卷的相应题号下） （1）设集合A ＝{a ，b }，且A ∪B ＝{a ，b ，c }，那么满足条件的集合B 共有（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （2）已知a ＝（1，2），b ＝（x ，1），当（a ＋2b ）⊥（2a －b ）时，实数x 的值为 （A ）6 （B ）－2 （C ）27 （D ）－2，27 （3①若直线a ∥平面α，直线b ⊥α，则a ⊥b ；②若直线a ∥平面α，a ⊥平面β，则α⊥β；③若a ∥b ，且b ⊂平面α，则a ∥α；④若平面α⊥平面β，平面γ⊥β，则α⊥γ.其中不正确的命题个数是（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（4）已知a ＜0，点A （a ＋a 1，a －a1），点B （1，0），则|AB |的最小值为A9 （B 5 （C ）3 （D ）1 （5）已知，函数f （x ）＝2sin ωx 在［0，4π］上递增，且在这个区间上的最大值是3，那么ω（A ）32 （B ）34或38 （C ）38 （D ）34（6）甲、乙、丙投篮一次命中的概率分别是51、31、41，今三人各投篮一次至少有一人A ）601 （B ）6047 （C ）53 （D ）6013（7）已知复数z －1的辐角为65π，z ＋1的辐角为3π，则复数z 等于（A ）i 2321+ （B ）i 2321+-C ）i 2321± （D ）i 2321±- （8）若关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0，x 2－x ＋b ＝0（a ≠b ）的四个实数根组成以41为首项的等差数列，则a ＋b A ）7231 （B ）2413 （C ）2411 （D ）83（9）把正方形ABCD 沿对角线BD 折叠后得到四面体ABCD ，则AC 与平面BCD（A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）90° （10）若以(y ＋2)2＝4（x －1）上任一点P 为圆心作与y（A ）（1，－2） （B ）（3，－2C ）（2，－2） （D ）不存在这样的点（11）设F 1、F 2为双曲线224y x -＝1的两焦点，P 在双曲线上，当△F 1PF 2面积为1时， 21PF ⋅A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）21（12）设偶函数f （x ）＝loga |x －b |在（－∞，0）上递增，则f （a ＋1）与f （b ＋2 （A ）f （a ＋1）＝f （b ＋2）（B ）f （a ＋1）＞f （b ＋2C ）f （a ＋1）＜f （b ＋2）（D ）不能确定第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卷的指定位置上） （13）直线y ＝33x 绕原点逆时针方向旋转30°后，所得直线与圆（x －2）2＋y 2＝3的交点个数是___*____. （14）甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行某种劳动技术比赛，决出了第一名到第五名的名 次.甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从这个回答分析，五人的名次排列共可能有___*___（用数字作答）种不同的情况. （15）过曲线y ＝x 3－2x 上点（1，－1）的切线方程的一般形式是__*_____. （16）当k ∈R ，k 为定值时，函数f （x ）＝kx k x +++221的最小值为___*____.三、解答题（本大题共6个小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） （17）（本小题满分12要把两种大小不同的钢板截成A 、B 二种规格的材料，每张钢板可同时截得两种规格较A 、B 两种规格材料分别为12及18张. 试求：这两种钢板应各取多少张，才能既满足二种规格成品的需要又能使所用钢板总数最少？ （18）（本小题满分12已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和为S n ，对于任意n ≥2，3S n －4，a n ，2－132n S -总成等差数列. （Ⅰ）求a 2，a 3，a 4a nn n S ∞→lim .（19）（本小题满分12ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面是面积为23的菱形，∠ABC ＝60°，E 、F 分别为CC 1、BB 1上的点，且BC ＝EC ＝2FB .（Ⅰ）求证：平面AEF ⊥平面ACC 1A 1 （Ⅱ）求平面AEF 与平面ABCD 所成角. （20）（本小题满分12如图，ABCD 是一块边长为100米的正方形地皮，其中ATPS 是一半径为90米的底面为扇形小山（P 为TS 上的点），其余部分为平地.今有开发商想在平地上建一个边落在BC 及CD 上的长方形停车场PQCR .求长方形停车场PQCR 面积的最大值及最小值. （21）（本小题满分12以椭圆222y ax +＝1（a ＞1）短轴一端点为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，试判断并推证能作出多少个符合条件的三角形. （22）（本小题满分14已知，二次函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c 及一次函数g （x ）＝－bx ，其中a 、b 、c ∈R ，a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0. （Ⅰ）求证：f （x ）及g （x （Ⅱ设f （x ）、g （x ）两图象交于A 、B 两点，当AB 线段在x 轴上射影为A 1B 1时，试求|A 1B 1|的取值范围.B黄埔区高中数学教师解题比赛参考答案一、选择题二、填空题（13）1； （14）54；（15）x ―y ―2＝0或5x ＋4y －1＝0； （16）当k ≤1时，为2；当k ＞1时，为kk 1+.三、解答题（17）解：设所需第一种钢板x 张，第二种钢板y依题意，得21221800,x y x y x y x y N+≥⎧⎪+≥⎪⎪≥⎨⎪≥⎪∈⎪⎩目标函数z ＝x ＋y .依图（图略）可得当x ＝2，y ＝8时，z 最小为10 第一种钢板用2张，第二种钢板用8张 （18）解：（Ⅰ）a 2＝21，a 3＝－41，a4＝81（Ⅱ）∵n ≥2时，a n ＝3S n －4即3S n ＝a n ＋4. ∴3S n ＋1＝a n ＋1＋4.3a n ＋1＝a n ＋1－a n ，即211-=+n n a a ∴a 2，a 3，…a n故a n ＝11(1)1()(2)2n n n -=⎧⎪⎨--≥⎪⎩ （Ⅲ）34311)(lim 1lim 32=+=++++=∞→∞→n n n n a a a S .（19）证明：（Ⅰ） ⇒⎭⎬⎫⊥⊥1CC BD AC BD BD ⊥平面ACC 1AAC ∩BD＝O ，AE 的中点为M ，连OM则OM ＝21EC ＝FB∴FB ∥C E ∥OM ∴BOMF∴FM ∥BO 即FM ∥BD 由①，知⇒⎭⎬⎫⊂⊥AEF FM A ACC FM 平面平面11面AEF ⊥面ACC 1A 1（Ⅱ）∵AC ⊥BD ，平面AEF ∩平面ABCD ＝l ，l 过A 且l ∥BD ∴AC ⊥l ，又BD ⊥平面ACC 1A 1 ∴l ⊥平面ACC 1A 1，∴l ⊥AE∴∠EAC 为所求二面角的平面角θ. ∵∠ABC ＝60°，∴AC ＝BC ＝CE ∴θ＝45°（20）解：设∠P AB ＝θ，θ∈[0，2π]4S P Q C R ＝f （θ）＝（100－90cos θ）（100－90sin θ＝8100sin θcos θ－900（sin θ＋cos θ）＋10000令sin θ＋cos θ＝t则t ＝2sin （θ＋4π）∈[1， 2]. ∴S P Q CR ＝28100t 2－9000t ＋10000－28100当t ＝910时，S P Q CD 最小值为950（m 2）当t ＝2时，S P Q CD 最大值为14050－90002 （m 2） （21）.解：因a ＞1，不防设短轴一端点为B （0，1设BC ∶y ＝kx ＋1（k ＞0则AB ∶y ＝－k1x ＋1 把BC是（1＋a 2k 2）x 2＋2a 2kx ＝0∴|BC |＝2222121k a k a k ++，同理|AB |＝222221ak a k ++由|AB |＝|BC |k 3－a 2k 2＋ka 2－1＝0（k －1）［k 2＋（1－a 2）k ＋1］＝0∴k ＝1或k 2＋（1－a 2）k ＋1＝0当k 2＋（1－a 2）k ＋1＝0时，Δ＝（a 2－1）2－4由Δ＜0，得1＜a ＜3由Δ＝0，得a ＝3，此时，k ＝1 故，由Δ≤0，即1＜a ≤3由Δ＞0即a ＞3时有三解（22）解：依题意，知a 、b ≠0∵a ＞b ＞c 且a ＋b ＋c ＝0 ∴a ＞0且c ＜0（Ⅰ）令f （x ）＝g （x得ax 2＋2bx ＋c ＝0.（* Δ＝4（b 2－ac ）∵a ＞0，c ＜0，∴ac ＜0，∴Δ＞0∴f （x ）、g （x ）相交于相异两点 （Ⅱ）设x1、x 2为交点A 、B 则|A 1B 1|2＝|x 1－x 2|2，由方程（*|A 1B 1|2＝22224)(444a acc a a ac b -+=-2224()a c ac a =++ 24()1(**)cc aa ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦∵020a b c a c a b++=⎧⇒+>⎨>⎩，而a ＞0，∴2ca>- ∵020a b c a c c b++=⎧⇒+<⎨<⎩，∴12c a <- ∴122c a -<<- ∴4［（a c ）2＋ac ＋1］∈（3，12∴|A 1B 1|∈（3，23）。

试卷类型：A2014年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）2014.4 本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。

用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数z 满足 i 2z =，其中i 为虚数单位，则z 等于A ．2-iB ．2iC ．2-D ．2 2．已知集合{}}{20,1,2,3,0A B x x x ==-=，则集合AB 的子集个数为A ．2B ．4C ．6D ．8 3．命题“对任意x ∈R ，都有32x x >”的否定是A ．存在0x ∈R ，使得3200x x >B ．不存在0x ∈R ，使得3200x x > C ．存在0x ∈R ，使得3200x x ≤ D ．对任意x ∈R ，都有32x x ≤4. 下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的是A ．y =．21y x =-+ C ．cos y x = D ．1y x =+图1俯视图侧视图正视图5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3， 将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是 A ．16 B ．13 C ．12 D ．3 6．一个几何体的三视图如图1，则该几何体的体积为 A ．12π B ．6πC ．4πD ．2π7．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，公差0d ≠，若113132,24k S a a =+=，则正整数k 的值为A ．9B ．10C ．11D ．128．在△ABC 中，60ABC ︒∠=，1AB =，3BC =， 则sin BAC ∠的值为AC．14 D．149．设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF的中点在y 轴上，若1230PF F ︒∠=，则椭圆C 的离心率为AC ．13D ． 1610．将正偶数2,4,6,8,按表1的方式进行排列，记ij a 表示第i 行第j 列的数，若 2014ij a =，则i j +的值为 A ．257 B ．256C ．254D ．253二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11．不等式()()120x x +-<的解集为 .12. 已知四边形ABCD 是边长为3的正方形，若2,2DE EC CF FB ==，则AE AF ⋅的值 为 .13．设,x y 满足约束条件 220,840,0,0.x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为8，则ab 的最大值为 .（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线,(x a t t y t=-⎧⎨=⎩为参数)与圆1cos ,(sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数)相切，切点在第一象限，则实数a 的值为 .15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且 12AE EB =，连接,DE AC ，AC 与DE 相交于点F ，若△AEF 的面积为1 cm 2，则 △AFD 的面积为 cm 2.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R .(1) 求函数()f x 的最小正周期和值域； （2）若0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()12f θ=，求sin 2θ的值.H FE DC BA 某校高三年级一次数学考试之后,为了解学生的数学学习情况, 随机抽取n 名学生的数 学成绩, 制成表2所示的频率分布表. (1) 求a ，b ，n 的值;(2) 若从第三, 四, 五组中用分层抽样方法抽取6名学生，并在这6名学生中随机抽取2 名与张老师面谈，求第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率.表218．（本小题满分14分） 如图2，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，EF ∥平面ABCD ，1EF =，,90FB FC BFC ︒=∠=，AE =H 是BC 的中点.（1）求证：FH ∥平面BDE ； （2）求证：AB ⊥平面BCF ； （3）求五面体ABCDEF 的体积.图2已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S 2(,n pn q p q =++∈R )，且235,,a a a 成等比数列. （1）求,p q 的值；（2）若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 20．（本小题满分14分）已知函数()2ln f x x x ax =++，a ∈R .（1）若函数()f x 在其定义域上为增函数，求a 的取值范围； （2）当1a =时，函数()()1f xg x x x =-+在区间[),t +∞(t ∈N *)上存在极值，求t 的最大 值.( 参考数值: 自然对数的底数e ≈2.71828)已知点()2,1A 在抛物线2:E x ay =上，直线1:1(l y kx k =+∈R ，且0)k ≠与抛物线E相交于,B C 两点，直线,AB AC 分别交直线2:1l y =-于点,S T . （1）求a 的值；（2）若ST =，求直线1l 的方程；（3）试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若 不是，说明理由.2014年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．11．()1,2- 12．9 13．4 141 15．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） （1）解：∵()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴ 函数()f x 的最小正周期为2π. ……………2分 ∵x ∈R，[]cos 1,14x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， ……………3分4x π⎛⎫⎡+∈ ⎪⎣⎝⎭. ……………4分 ∴ 函数()f x 的值域为⎡⎣. ……………5分 （2）解法1：∵()12f θ=， 142πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ……………6分 ∴cos 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ……………7分 ∴ sin 2cos 22πθθ⎛⎫=-+⎪⎝⎭……………9分 212cos 4πθ⎛⎫=-+⎪⎝⎭……………11分 2124⎛=-⨯ ⎝⎭34=. ……………12分FE解法2：∵()12f θ=， ∴142πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ……………6分1cos cossin sin442ππθθ⎫-=⎪⎭. ……………7分 ∴1cos sin 2θθ-=. ……………8分 两边平方得221cos 2cos sin sin 4θθθθ-+=. ……………10分∴ 3sin 24θ=. ……………12分17．（本小题满分12分）(1) 解：依题意，得5200.05,0.35,a b n n n===， 解得，100n =，35a =，0.2b =. ……………3分(2) 解：因为第三、四、五组共有60名学生，用分层抽样方法抽取6名学生， 则第三、四、五组分别抽取306360⨯=名，206260⨯=名，106160⨯=名.…6分 第三组的3名学生记为123,,a a a ，第四组的2名学生记为12,b b ，第五组的1名学生记为1c ， 则从6名学生中随机抽取2名，共有15种不同取法，具体如下：{}12,a a ，{}13,a a ，{}11,a b ，{}12,a b ，{}11,a c ，{}23,a a ，{}21,a b ，{}22,a b ，{}21,a c ，{}31,a b ，{}32,a b ，{}31,a c ，{}12,b b ，{}11,b c ，{}21,b c . …………8分其中第三组的3名学生123,,a a a 没有一名学生被抽取的情况共有3种，具体如下：{}12,b b ，{}11,b c ，{}21,b c .……10分故第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率为310.815-=. ……12分 18．（本小题满分14分）（1）证明：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点，连接,OH EO ， ∵H 是BC 的中点，∴OH ∥AB ，112OH AB ==. …………1分 ∵EF ∥平面ABCD ，EF ⊂平面ABFE ，平面ABCD 平面ABFE AB =，∴EF ∥AB . ……………2分 ∵1EF =， ∴OH ∥EF ，OH EF =.CB∴四边形EOHF 是平行四边形.∴EO ∥FH ，EO =FH . ……………3分 ∵EO ⊂平面BDE ，FH ⊄平面BDE ，∴FH ∥平面BDE . ……………4分（2）证法1：取AB 的中点M ，连接EM ，则1AM MB ==， 由（1）知，EF ∥MB ，且EF =MB ， ∴四边形EMBF 是平行四边形.∴EM ∥FB ，EM FB =.………5分在Rt △BFC 中，2224FB FCBC +==，又FB FC =，得FB = ∴EM =……………6分在△AME 中，AE =1AM =， ∴2223AM EM AE +==.∴AM EM ⊥. ……………7分 ∴AM FB ⊥，即AB FB ⊥. ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB BC ⊥. ……………8分∵FB BC B =，FB ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ， ∴AB ⊥平面BCF . ……………9分 证法2：在Rt △BFC 中，H 为BC 的中点，∴112FH BC ==. 在△AEO 中，112AE AO AC EO FH =====, ∴222AO EO AE +=.∴AO EO ⊥. ……………5分 ∵FH ∥EO ,∴AO FH ⊥. ……………6分∵,FH BC BC ⊥⊂平面ABCD , AO ⊂平面ABCD , AOBC C =,∴FH ⊥平面ABCD .∵AB ⊂平面ABCD ,∴FH ⊥AB .………7分 ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. …………8分 ∵BC ⊂平面BCF , FH ⊂平面BCF , BC FH H =, ∴AB ⊥平面BCF . …………9分 （3）解：连接EC ，在Rt △BFC 中，112FH BC ==，∴1EO FH ==. 由（2）知AB ⊥平面BCF ，且EF ∥AB ， ∴EF ⊥平面BCF .……………10分 ∵FH ⊥平面ABCD , EO ∥FH ，∴EO ⊥平面ABCD . ……………11分 ∴四棱锥E ABCD -的体积为113ABCD V EO S =⋅⋅正方形2141233=⨯⨯=.…12分∴三棱锥E BCF -的体积为213BCF V EF S =⋅⋅∆21111323=⨯⨯⨯= 13分∴五面体ABCDEF 的体积为1253V V V =+=.…………14分19．（本小题满分14分）（1）解法1：当1n =时，111a S p q ==++，…………1分 当2n ≥时，1n n n a S S -=- …………2分()()221121n pn q n p n q n p ⎡⎤=++--+-+=-+⎣⎦. (3)分∵{}n a 是等差数列，∴1211p q p ++=⨯-+，得0q =……4分 又2353,5,9a p a p a p =+=+=+，………5分 ∵235,,a a a 成等比数列，∴2325a a a =，即()()()2539p p p +=++， ………6分解得1p =-. …………7分 解法2：设等差数列{}n a 的公差为d ， 则()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭. …………1分 ∵2n S n pn q =++，∴12d =，12da p -=，0q =.……4分 ∴2d =，11p a =-，0q =.∵235,,a a a 成等比数列， ∴2325a a a =，…5分即()()()2111428a a a +=++. 解得10a =.……6分 ∴1p =-. ………7分（2）解法1：由（1）得22n a n =-. …………8分∵22log log n n a n b +=， ∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅，① ……10分()1231442434144n n n T n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅，② ……11分①-②得0121344444n nn T n --=++++-⋅14414n nn -=-⋅-()13413n n -⋅-=.…13分 ∴()131419n n T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ………14分 解法2：由（1）得22n a n =-. …………8分∵22log log n n a n b +=， ∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ………9分1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅ …9分由()12311n nx x x x x x x x+-++++=≠-，………11分两边对x 取导数得，012123n x x x nx-++++=()()12111n n nx n x x +-++-.…12分令4x =，得()()0122114243414431419n n n n n n --⎡⎤+⨯+⨯++-⋅+⋅=-⋅+⎣⎦. ∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ………14分 20．（本小题满分14分）（1）解法1：函数()f x 的定义域为()0,+∞,………1分∵()2ln f x x x ax =++， ∴()12f x x a x'=++. ……2分 ∵ 函数()f x 在()0,+∞上单调递增， ∴ ()0f x '≥, 即120x a x++≥对()0,x ∈+∞都成立.……3分 ∴ 12a x x-≤+对()0,x ∈+∞都成立. ……4分当0x >时, 12x x +≥=当且仅当12x x=,即2x =时,取等号.……5分∴a -≤,即a ≥-.∴a的取值范围为)⎡-+∞⎣. ………6分解法2：函数()f x 的定义域为()0,+∞, ……1分∵()2ln f x x x ax =++， ∴()21212x ax f x x a x x++'=++=.……………2分方程2210x ax ++=的判别式28a ∆=-. ……3分① 当0∆≤,即a -≤≤, 2210x ax ++≥,此时, ()0f x '≥对()0,x ∈+∞都成立,故函数()f x 在定义域()0,+∞上是增函数.………4分② 当0∆>,即a <-或a >时, 要使函数()f x 在定义域()0,+∞上为增函数, 只需2210x ax ++≥对()0,x ∈+∞都成立.设()221h x x ax =++, 则()010,0,4h a ⎧=>⎪⎨-<⎪⎩得0a >.故a >…………5分综合①②得a的取值范围为)⎡-+∞⎣. ………6分（2）解：当1a =时, ()()2ln ln 111f x x x x xg x x x x x x ++=-=-=+++. ()()211ln 1x x g x x +-'=+. …………7分 ∵ 函数()g x 在[),t +∞(t ∈N *)上存在极值，∴ 方程()0g x '=在[),t +∞(t ∈N *)上有解,即方程11ln 0x x +-=在[),t +∞(t ∈N *)上有解.………8分 令()11ln x x x ϕ=+-()0x >, 由于0x >, 则()2110x x xϕ'=--<,∴函数()x ϕ在()0,+∞上单调递减.………9分∵()413ln 3ln33ϕ=-=4e 2741 2.5ln 0327>>, ………10分 ()514ln 4ln44ϕ=-=5e 256513ln 04256<<, ………11分 ∴函数()x ϕ的零点()03,4x ∈. …………12分∵方程()0x ϕ=在[),t +∞(t ∈ N *)上有解, t ∈N *∴3t ≤. ……………13分∵t ∈N *， ∴t 的最大值为3. …………14分21．（本小题满分14分）（1）解：∵点()2,1A 在抛物线2:E x ay =上， ∴4a =. ………1分第（2）、（3）问提供以下两种解法：解法1：（2）由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意，2211224,4x y x y ==，由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=，解得1,2422k x k ±==±. ∴12124,4x x k x x +==-. ……………2分直线AB 的斜率2111111124224ABx y x k x x --+===--， 故直线AB 的方程为()12124x y x +-=-.…………3分 令1y =-，得1822x x =-+，∴点S 的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭.……4分同理可得点T 的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……5分 ∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---= ⎪++++⎝⎭ ()()()121212121288248x x x x x xx x x x k k---===+++. (6)分∵ST =∴12x x -=. 由()221212124x x x x x x -=+-，得22201616k k =+，解得2k =, 或2k =-, …… 7分∴直线1l 的方程为21y x =+，或21y x =-+. ……9分 （3）设线段ST 的中点坐标为()0,1x -，则()()()12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫=-+-=-⎪++++⎝⎭ ()()()1212444444222248k k x x x x k k++=-=-=-+++. ……………10分而2ST=()()()2221212122221614k x x x x x x k k k +-+-==， ……………11分∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k +=. 展开得()()22222414414k x x y k k k++++=-=. ……………12分 令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ………13分 ∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ………14分 解法2：（2）由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. ………2分 由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=， 即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-. ∴1142x k =-，22111114414y x k k ==-+. ∴点B 的坐标为()211142,441k k k --+………3分 同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-， 则点T 的坐标为222,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()222242,441k k k --+.…4分 ∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，∴()()()()()()22222211212121214414414242kk k k k k k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+. …………5分又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--，化简得122kk k =.…6分 ()12121222222k k ST k k k k -⎛⎫⎛⎫=---=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，……………7分∵ST =()12122k k k k -=.∴()()2212125k k k k -=由()()()2221212121212454k k k k k k k k k k +=-+=+， 得()225124k k k +=+，解得2k =±. ………8分 ∴直线1l 的方程为21y x =+，或21y x =-+. ………… 9分（3）设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点， 则0SP TP ⋅=， …………10分 得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ………11分 整理得，()224410x x y k+-++=. …………12分 令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……13分 ∴ 以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ………14分。

广州市2014届高三年级调研测试 数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案及评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 解：（1）在△ABC 中，A B C π++=．………………………………………………………………1分所以coscos22A C Bπ+-=…………………………………………………………………………2分sin23B ==．………………………………………………………………………3分所以2cos 12sin 2BB =-……………………………………………………………………………5分 13=．………………………………………………………………………………………7分（2）因为3a =，b =1cos 3B =， 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，………………………………………………………………9分得2210c c -+=．……………………………………………………………………………………11分 解得1c =． (12)分17．（本小题满分12分） 解：（1）由茎叶图可知，甲城市在2013年9月份随机抽取的15天中的空气质量类别为优或良的天数为5天．…………………………………………………………………………………………………1分所以可估计甲城市在2013年9月份30天的空气质量类别为优或良的天数为10天．…………2分（2）的取值为0，1，2，………………………………………………………………………………3分因为()02510215C C 30C 7P X ===，………………………………………………………………………5分()11510215C C 101C 21P X ===，……………………………………………………………………………7分()20510215C C 22C 21P X ===．…………………………………………………………………………9分所以1所以数学期望．…………………………………………………12分18．（本小题满分14分）（1）证明1：因为BC AB 2=，60ABC ︒∠=，在△ABC 中，由余弦定理可得BC AC 3=．……………………………………………………2分所以222AC BC AB +=．所以BC AC ⊥． (3)分因为AC FB ⊥，BF BC B = ，BF 、BC ⊂平面FBC ，所以⊥AC 平面FBC ．………………………………………………………………………………4分证明2：因为60ABC ︒∠=，设BAC α∠=()0120α<<，则120ACB α∠=- ．在△ABC 中，由正弦定理，得()sin sin 120BC ABαα=- ．…………………………………………1分 因为BC AB 2=，所以()sin 1202sin αα-=．整理得tan 3α=，所以30α= ．…………………………………………………………………2分所以BC AC ⊥． (3)分因为AC FB ⊥，BF BC B = ，BF 、BC ⊂平面FBC ，所以⊥AC 平面FBC ．………………………………………………………………………………4分……………………10分（2）解法1：由（1）知，⊥AC 平面FBC ，FC ⊂平面FBC ，所以FC AC ⊥．因为平面CDEF 为正方形，所以FC CD ⊥． 因为AC CD C = ，所以⊥FC 平面ABCD ．……………………………………………………6分取AB 的中点M ，连结MD ，ME ，因为ABCD 是等腰梯形，且BC AB 2=，60DAM ∠= ， 所以MD MA AD ==．所以△MAD 是等边三角形，且ME BF ．…………………………7分取AD 的中点N ，连结MN ，NE ，则MN AD ⊥．………8分 因为MN ⊂平面ABCD ，ED FC ，所以ED MN ⊥． 因为AD ED D = ，所以MN ⊥平面ADE ． ……………9分 所以MEN ∠为直线BF 与平面ADE 所成角．……………10分 因为NE ⊂平面ADE ，所以MN ⊥NE ．…………………11分因为2MN AD =，ME ==，…………………………………………12分在Rt △MNE中，sin MN MEN ME ∠==13分 所以直线BF 与平面ADE14分 解法2：由（1）知，⊥AC 平面FBC ，FC ⊂平面FBC ，所以FC AC ⊥．因为平面CDEF 为正方形，所以FC CD ⊥． 因为AC CD C = ，所以⊥FC 平面ABCD ．……………………………………………………6分所以CA ，CB ，CF 两两互相垂直，建立如图的空间直角坐标系xyz C -．………………………7分 因为ABCD 是等腰梯形，且BC AB 2=，60ABC ︒∠= 所以CB CD CF ==．不妨设1BC =，则()0,1,0B ，()0,0,1F，)A，1,02D ⎫-⎪⎪⎝⎭，1,12E ⎫-⎪⎪⎝⎭， 所以()0,1,1BF =-，1,02DA ⎫=⎪⎪⎝⎭ ，()0,0,1DE =．………………………………………9分设平面ADE 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,0.DA DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n即0,220.y x z +=⎨⎪=⎩ 取1x =，得=n ()1,是平面ADE 的一个法向量．………………………………………11分设直线BF 与平面ADE 所成的角为θ， 则sin cos ,BF BF BF ⋅θ=〈〉===n n n．……………………………13分所以直线BF 与平面ADE 所成角的正弦值为4．………………………………………………14分 19．（本小题满分14分） 解：（1）因为1321nn n a a a +=+，所以111233n n a a +=+．…………………………………………………1分 所以1111113n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．…………………………………………………………………………3分因为135a =，则11213a -=．…………………………………………………………………………4分所以数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为32，公比为31的等比数列．…………………………………………5分（2）由（1）知，112121333n n n a -⎛⎫-=⨯= ⎪⎝⎭，所以332nn n a =+．……………………………………7分假设存在互不相等的正整数m ，s ，t 满足条件， 则有()()()22,111.s m t m t s a a a +=⎧⎪⎨-=--⎪⎩……………………………………………………………………9分由332n n n a =+与()()()2111s m t a a a -=--，得2333111323232s m t s m t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭．……………………………………………………10分即232323343m t m t s s ++⨯+⨯=+⨯．……………………………………………………………11分因为2m t s +=，所以3323m t s +=⨯．……………………………………………………………12分因为3323mts +≥=⨯，当且仅当m t =时等号成立，这与m ，s ，t 互不相等矛盾．……………………………………………………………………13分所以不存在互不相等的正整数m ，s ，t 满足条件．……………………………………………14分 20．（本小题满分14分） 解：（1）因为()313f x x ax =-，()221g x bx b =+-， 所以()2f x x a '=-，()2g x bx '=.…………………………………………………………………1分因为曲线()x f y =与()x g y =在它们的交点()c ,1处有相同切线,所以()()11g f =,且()()11g f '='。

2014年东莞市高中数学竞赛决赛试题11.22注意事项：考试时间120分钟．不能使用计算器．一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确选择支号填在答题卡的相应位置．）1．已知集合{0,1,2}A =，集合{|||B x x a =<，}x Z ∈，且满足A B ⊆，则实数a 可以取的一个值是A ．3B ．2C ．1D ．0 2．阅读右面的程序框图，运行相应的程序， 则输出i 的值为A ．3B ．4C ．5D ．6 3．已知33cos =α，则)22sin(πα-的值为A ．13-B ．13C．3-D．34．当方程22220x y k x y k ++++=()k R ∈所表示的圆的 面积最大时，直线(1)2y k x =-+的倾斜角α= A .4πB .3πC .23π D .34π5．设集合(){}(){},|||||1,,()()0A x y x y B x y y x y x =+≤=-+≤，M A B = ．若动点(,)P x y M ∈，则22(1)x y +-的取值范围是A ．15[,]22B．5]22C．1[,22D．226．定义域为[],a b 的函数()y f x =的图象的两个端点为A 、B ，(,)M x y 是()y f x =的图象上任意一点，其中(1)x a b λλ=+-，R λ∈，向量．若不等式M N k ≤恒成立，则称函数()[],fx a b 在上“k 阶线性近似”.若函数[]112y x x=+在，上“k 阶线性近似”，则实数k 的取值范围为第2题图A.[)0+∞，B.[)1+∞，C.32⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D.32⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．请把答案填在答题卡相应题的横线上．） 7．某几何体的三视图如图所示，则其体积为 ▲ ．8．在A B C ∆中，cos cos sin a B b A c C +=，222b c ac +-=，则B = ▲ ．9．等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且20122011a =，20132013S =，则1a = ▲ ．10．使得不等式240x m x -+≥对任意0x >恒成立的实数m 的取值范围是 ▲ ．11．设函数2,0(),01x x bx c f x x ≥⎧++=⎨<⎩，若(4)(0)f f =，(2)2f =，则函数()()g x f x x=-零点的个数是 ▲ ．12．已知函数()f x 在实数集R 上具有下列性质：①直线1x =是函数()f x 的一条对称；②()()2fx fx +=-；③对于[1,3]内任意的1x ，2x ，均有[]()2121()()0f x f x x x --<成立，则)2011(f 、()2012f、()2013f 的大小关系为 ▲ ．答 题 卡一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）7． 8． 9． 10． 11． 12．三、解答题（本大题共6小题，共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 13.（本小题满分12分）已知函数)cos()(ϕω+=x A x f （0>A ，0>ω，02<<-ϕπ）的图像与y 轴的交点为)1,0(，如图，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为)2,(0x和)2,2(0-+πx ．（1）求函数)(x f 的解析式；（2）若锐角θ满足1cos 3θ=，求(4)6f πθ+的值．第13题图0xπ20+x在A B C ∆中，120A = .（1）若三边长构成公差为4的等差数列，求A B C ∆的面积；（2）已知A D 是A B C ∆的中线，若2A B A C ⋅=- ，求||A D的最小值.如图,几何体E A B C D -是四棱锥，△A B D 为正三角形，C B C D =，E C B D ⊥. （1）求证:B E D E =；（2）若∠120B C D =︒，试探究在线段A E 上是否存在点M ，使D M ∥平面B E C ，若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由.第15题图如图，两个工厂A、B相距2km，点O为A B的中点,现要在以O为圆心,2km为半径的圆弧M N上的某一点P处建一幢办公楼,其中M A A B⊥，ABNB⊥.据测算,此办公楼受工厂A的“噪音影响度”与距离A P的平方成反比,比例系数是1,办公楼受工厂B的“噪音影响度”与距离B P的平方也成反比,比例系数是4,办公楼受A、B两厂的“总噪音影响度”y是受A、B两厂“噪音影响度”的和,设A P为x k m. （1）求“总噪音影响度”y关于x的函数关系,并求出该函数的定义域；（2）当A P为多少时,“总噪音影响度”最小?O M A第16题图等比数列{}n c 满足(){}1*1104,n n n n c c n N a -++=⋅∈数列的前n 项和为n S ，且2l o g .n n a c = （1）求,n n a S ； （2）数列{}{}1,41n n n n n b b T b S =-满足为数列的前n 项和，是否存在正整数m ，()1k m k <<，使得1,,m k T T T 成等比数列？若存在，求出所有,m k 的值；若不存在，请说明理由.已知函数21()32f x x =+，()h x =．(1)设a R ∈，解关于x 的方程)]4([log)]([log]43)1(23[log 224x h x a h x f ---=--；(2)试证明：2011()(20)(20)6k h k f h =<-∑．2014年东莞市高中数学竞赛决赛参考答案一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）7．3π； 8．60 ； 9．2011-； 10．(]4，∞-；11．2； 12．(2013)(2012)(2011)f f f >> 三、解答题13.（本小题满分12分） 解：（1）由题意可得2=A ，且π22=T ，即π4=T ，故21=ω,3分所以)21cos(2)(ϕ+=x x f ．又因为1)0(=f ，得21cos =ϕ，且02<<-ϕπ，得3πϕ-=，所以函数)321c o s (2)(π-=x x f． 6分（2）由于1cos 3θ=且θ为锐角，所以322sin =θ，7分所以2217c o s 22c o s 12139θθ=-=⨯-=-，12s i n 22s i nc o s 2339θθθ==⨯⨯=，9分所以(4)2c o s (2)2c o s 2c o s s in 2s in 6444f ππππθθθθ⎛⎫+=-=+ ⎪⎝⎭)c o s 2s i n 2θθ=+799⎫=-+⎪⎪⎝⎭89-=． 12分14.（本小题满分12分）解：（1）因为120A= ，因此可设三边为8-a，4-a，a． 1分由余弦定理：()()()()22248248c o s120a a a a a︒=-+----，3分即218560a a-+=，解得14a=，或4a=（舍），4分所以11sin106sin120122A B CS A B A C A︒∆=⋅⋅=⨯⨯⋅=6分（2）因为c o s2A B A C A B A C A⋅=⋅⋅=-，且120A= ，所以4A B⋅=． 8分又因为()12A D AB A C=+，所以()()222211244A D AB AC A B A C A B A C=+=+-⋅()22144A B A C=+-()()1124=244=144A B A C≥⋅-⨯-，即||A D1≥当且仅当=2A B A C=时取等号． 11分所以||A D的最小值为1． 12分15．（本题满分13分）证明:（1）设B D 中点为O ,连接O C 、O E ，由B C C D =，得C O B D ⊥． 2分又已知C E B D ⊥,C O C E E ⋂=，所以B D ⊥平面O C E . 4分 因为O E ⊂平面O C E ，所以B D O E ⊥,即O E 是B D 的垂直平分线,所以B E D E =. 6分（2）存在，取M 为线段A E 的中点，则满足D M ∥平面B E C .7分证明如下：设A B 的中点为N ，连接,M N D N .∵M 是A E 的中点，∴M N ∥B E .又平面B E C ，B E ⊂平面B E C ，∴M N ∥平面B E C .9分∵△A B D 是等边三角形，∴D N A B ⊥.由120B C D ︒∠=，C B C D =知，30C B D ︒∠=, 所以90A B C ︒∠=，即B C A B ⊥，所以N D ∥B C .又N D ⊄平面B E C ，B C ⊂平面B E C ， ∴N D ∥平面B E C .11分又因为M N ⊂平面M N D ，N D ⊂平面M N D ，M N N D N ⋂=， 所以平面M N D ∥平面B E C . 又D M ⊂平面M N，所以D M∥平面B E C.13分16．（本题满分13分）解：（1）连结O P ，设AOP α∠=,则233ππα≤≤.1分在△A O P 中,由余弦定理得22212212cos 54cos x αα=+-⨯⨯⨯=-. 在△B O P 中,由余弦定理得22212212cos(π)54cos BP αα=+-⨯⨯⨯-=+. ∴2210BP x=-.4分即2222141410y APBPxx=+=+-.5分∵233ππα≤≤,∴11c o s 22α-≤≤, 7cos 453≤-≤α，x ≤≤.6分∴221410y xx=+-,定义域为,7. 7分 （2）由(1)得221410y xx=+-=2222114()[(10)]1010x x x x++--2222110451010x xx x -⎛⎫=++⎪-⎝⎭1510⎛≥+ ⎝910=.11分当且仅当222210410x xxx-=-，即2103x =时取等号，此时x =.13分所以，当A P为km时,“总噪音影响度”最小.14分17．（本题满分14分） 解:（1）由已知得，40,103221=+=+c c c c ，所以公比4=q ． 2分10411=+c c ，得21=c ，即121242--=⋅=n n n c ，4分所以212log 221n n a n -==-，5分21()[1(21)]22n n n a a n n S n++-===．6分 （2）由（1）知211114122121n b n n n ⎛⎫==- ⎪--+⎝⎭，于是11123n n T n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 9分假设存在正整数(),1m k m k <<，使得1,,m k T T T 成等比数列，则2121321m k m k ⎛⎫=⨯ ⎪++⎝⎭， 10分 可得223241m m km-++=>，所以22410m m -++>，从而有1122m -<<+由,1m N m *∈>，得2m =，13分此时12k =.所以，当且仅当2m =，12k =时，1,,m k T T T 成等比数列.14分18．（本题满分14分）解：（1）原方程可化为422log (1)log log x -=即为42log (1)log x -=，亦即为14a x x x--=-且14x a x <⎧⎨<<⎩，亦即为2640x x a -++=，且14x a x <⎧⎨<<⎩，2分① 当1a ≤时，显然原方程无解．② 当41≤<a 时，则1x a <<，此时，()364+42040a a ∆=-=->，632x ±==±，因a a >≥-+453，a a <--<531，所以原方程仅有一解3x =-．③ 当4>a 时，则14x <<，204a ∆=-，若54<<a ，则0∆>，原方程有两解3x =±若5a =，则0∆=，原方程有一解3x =； 若5a >，则204a ∆=-0<，原方程无解．综上，当14a <≤时，原方程有一解3x =-当54<<a 时，原方程有二解3x =± 当5a =时，原方程有一解3x =；当1a ≤或5a >时，原方程无解． 6分（2）由已知得201()k h k ==++++∑ ，(1()()436f x h x x =+．因为(1(2)(2)(1)(1)6f h f h -=->+-16=+->(1(3)(3)(2)(1126f h fh -=+16=+->……(1(20)(20)(19)(19)776f h f h -=->+-16=+->，12分所以(20)(20)(1)(1)f h f h ->+++，即7(20)(20)3206f h ->+++所以1(20)(20)6f h-=++++，所以不等式2011()(20)(20)6k h k f h =<-∑成立． 14分。

2014年广州市高中数学教师解题比赛决 赛 试 题（2014年4月13日上午9∶00－11∶00）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分． 在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．请将答案代号填在答题卷的相应位置上．1．设集合{},,M a b c =，{}0,1N =，映射f ：M N →满足()()()f a f b f c +=，则映射f ：M N →的个数为A ．1B ．2C ．3D ．42．直角梯形ABCD 中，AB DC ，2AB CD =，45A ∠=，2AD =.以直线AB 为轴将梯形ABCD 旋转一周所得旋转体的体积为A ．π328 B ．π34 C ．π3210D ．π243．已知()f x 是奇函数，定义域为{},0x x x ∈≠R ，又()f x 在区间()0,+∞上是增函数，且()10f -=，则满足()f x 0>的x 的取值范围是 A ．()1,+∞B ．()()1,01,-+∞ C ．()0,1 D ．()(),11,-∞-+∞4．已知虚数z =()2i x y -+，其中x 、y 均为实数，当1z =时，yx的取值范围是 A．33⎡-⎢⎣⎦B．30,33⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦C ．⎡⎣D ．)(0,3⎡⎤⎣⎦5．设()2f x x ax b =++，且()112f ≤-≤，()214f ≤≤，则点(),a b 在aOb （O 为坐标原点）平面上的区域的面积是 A ．12 B ．1 C ．2 D ．926．已知向量OP ()2,1=，OA ()1,7=，OB ()5,1=，设X 是直线OP 上的一点(O 为坐标原点)，那么XB XA ⋅的最小值是A ．－16B ．－8C ．0D ．4CDBA7．等比数列{}n a 的公比为q ，则“10a >，且1q >”是“∀*n ∈N ，都有1n n a a +>”的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件8．若不论k 为何值，直线2y kx b k =+-与曲线221x y -=总有公共点，则b 的取值范围是A ．(B ．⎡⎣C ．()2,2-D ．[]2,2-9．已知集合A 、B 、C ，{}直线=A ，{}平面=B ，B A C =，若A a ∈，B b ∈，C c ∈，给出四个命题: ①c a bc b a //⇒⎩⎨⎧⊥⊥；②c a bc b a ⊥⇒⎩⎨⎧⊥//；③c a bc b a //////⇒⎩⎨⎧；④c a bc b a ⊥⇒⎩⎨⎧⊥//，则正确命题的个数为A ．0B ．1C ．2D ．310．在一次足球预选赛中，某小组共有5个球队进行双循环赛（每两队之间赛两场），已知胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.积分多的前两名可出线（积分相等则要比净胜球数或进球总数）.赛完后一个队的积分可出现的不同情况种数为 A ．22B ．23C ．24D ．25二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 请将答案填在答题卷的相应位置上． 11．已知x 是三角形的一个内角，满足231cos sin -=+x x ，则x = * ． 12．已知正三棱锥S ABC -的高为3，底面边长为4，在正三棱锥内任取一点P ，使得P ABC V -12S ABC V -<的概率是 * ．13．对于正整数n 和m ，其中n m <，定义!()(2)(3)()m n n m n m n m n km =----…，其中k 是满足km n >的最大整数，则=!20!1864 * ． 14．有两个向量1(1,0)=e ，2(0,1)=e ，今有动点P ，从0(1,2)P -开始沿着与向量12+e e 相同的方向作匀速直线运动，速度为12+e e ；另一动点Q ，从0(2,1)Q --开始沿着与向量1232+e e 相同的方向作匀速直线运动，速度为1232+e e ．设P 、Q 在时刻0t =秒时分别在0P 、0Q 处，则当00PQ P Q ⊥时，t = * 秒．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程. 15．（本小题满分12分）若函数21()sin sin cos (0)2f x ax ax ax a =-->的图象与直线y m =相切，若函数()f x 图象的两条相邻对称轴间的距离为4π． （1）求m 的值；（2）若点()0,0A x y 是()y f x =图象的对称中心，且00,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求点A 的坐标．16．（本小题满分12分）一个口袋中装有n 个红球（5n ≥且n ∈*N ）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．（1）试用n 表示一次摸奖中奖的概率p ；（2）若5n =，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；（3）记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为P ，当n 取多少时，P 最大？ 17．（本小题满分14分）如图所示，正四棱锥P ABCD -中，侧棱PA 与底面ABCD 所成角的正切值为26. （1）求侧面PAD 与底面ABCD 所成二面角的大小；（2）若E 是PB 中点，求异面直线PD 与AE 所成角的正切值；（3）在侧面PAD 上寻找一点F ，使EF ⊥侧面PBC . 试确定F 点的位置，并加以证明.PDEC18．（本小题满分14分）这是一个计算机程序的操作说明：（1）初始值1x =，1y =，0z =，0n =； （2）1n n =+（将当前1n +的值赋予新的n ）； （3）2x x =+（将当前2x +的值赋予新的x ）； （4）2y y =（将当前2y 的值赋予新的y ）； （5）z z xy =+（将当前z xy +的值赋予新的z ）；（6）如果7000z >，则执行语句（7），否则回语句（2）继续进行； （7）打印n ，z ； （8）程序终止.由语句（7）打印出的数值为 ， . 以下写出计算过程： 19．（本小题满分14分）如图，已知过点D (2,0)-的直线l 与椭圆2212x y +=交于不同的两点A 、B ，点M 是 弦AB 的中点．（1）若OP OA OB =+，求点P 的轨迹方程；（2）求||||MD MA 的取值范围．20．（本小题满分14分）已知函数()e x f x x =-（e 为自然对数的底数）． （1）求()f x 的最小值；（2）设不等式()f ax x >的解集为P ，且{}|02P x x ⊆≤≤，求实数a 的取值范围；（3）设n *∈N ，证明：1e e 1nnk k n =⎛⎫<⎪-⎝⎭∑．2014年广州市高中数学教师解题比赛决赛试题参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．11.56π 12.7813.21514. 2三、解答题，本大题共6小题，满分80分． 15．（本小题满分12分） 解：（1）2()sin sin cos f x ax ax ax =-12-1cos21sin 222ax ax -=-12-24ax π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 由题意知，m 为()f x 的最大值或最小值，所以m =或m =. （2）由题设知，函数()f x 的周期为2π， 所以2a =．所以()sin 44f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 令sin 404x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得44x k ππ+=()k ∈Z ，即416k x ππ=-()k ∈Z ． 因为04162k πππ≤-≤()k ∈Z ， 得1k =或2k =，因此点A 的坐标为3,016π⎛⎫ ⎪⎝⎭或7,016π⎛⎫⎪⎝⎭.16．（本小题满分12分）解：（1）一次摸奖从5n +个球中任选两个，有25n C +种，它们等可能，其中两球不同色有115n C C 种，所以一次摸奖中奖的概率1152510(5)(4)n n C C np C n n +==++．（2）若5n =，一次摸奖中奖的概率59p =， 三次摸奖是独立重复试验，三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率是123380(1)(1)243P C p p =⋅⋅-=． （3）设每次摸奖中奖的概率为p ，则三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为123233(1)(1)363P P C p p p p p ==⋅⋅-=-+，01p <<，因为2'91233(1)(31)P p p p p =-+=--，所以在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上P 为增函数，在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上P 为减函数，当13p =时P 取得最大值． 所以101(5)(4)3n p n n ==++，解得20n =．故当20n =时，三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率最大． 17．（本小题满分14分）（1）解：连结AC ，BD 交于O ，连结PO .因为P —ABCD 为正四棱锥，所以PO ⊥底面ABCD .作PM ⊥AD 于M ，连结OM ， 所以OM ⊥AD . （苏元高考吧： ）所以∠PMO 为侧面P AD 与底面ABCD 所成二面角的平 面角.因为PO ⊥底面ABCD ，所以∠P AO 为P A 与底面ABCD 所成的角.所以tan PAO ∠=． 设AB a =，所以,.2a AO MO =所以.PO ==所以tan POPMO MO∠==60PMO ∠=︒．所以侧面P AD 与底面ABCD 所成的二面角为60°.（2）解：连结EO ，因为E 为PB 的中点，O 为BD 的中点，所以EO ∥PD .所以∠AEO 为异面直线AE 与PD 所成的角．在Rt ,,PAO AO PO ∆==中，所以PA =，12EO PD ==．由AO ⊥截面PDB ，可知AO ⊥EO .在Rt △AOE中，tan AO AEO EO ∠==即异面直线AE 与PD 所成角的正切值是1052．（3）证明：延长MO 交BC 于N ，连结PN ，取PN 中点G ，连结EG ，MG .因为P —ABCD 为正四棱锥且M 为AD 的中点，所以N 为BC 中点. 所以BC ⊥NM ，BC ⊥PN .因为NM PN N =，所以BC ⊥平面PMN .因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PMN ⊥平面PBC .因为PM =PN ，∠PMN =60°，所以△PMN 为正三角形. 所以MG ⊥PN . 所以MG ⊥平面PBC . （苏元高考吧： ） 取AM 中点为F ，连结FE ，则由EG ∥MF 且GE =MF ，得到MFEG 为平行四边形， 所以FE ∥MG .所以FE ⊥平面PBC .分 18．（本小题满分14分）解：设n i =时，x ，y ，z 的值分别为i x ，i y ，i z .依题意，01x =，12n n x x -=+， 所以{}n x 是等差数列，且21n x n =+. 因为011,2.n n y y y -==所以{}n y 是等比数列，且n n y 2=． 因为n n n n y x z z z +==-10,0， 所以1122n n n z x y x y x y =++⋅⋅⋅+即n z 23325272(21)2nn =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅++⋅． ① 所以23412325272(21)2(21)2n n n z n n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅++⋅． ② ①—②得，1322)12(22222223+⋅++⋅-⋅⋅⋅-⋅-⋅-⋅-=n n n n z ()12122n n +=-+．依题意，程序终止时：7000n z >，17000n z -≤，即()()121227000,23227000.n nn n +⎧-+>⎪⎨-+≤⎪⎩ 解得8n =，进而7682z =．19．（本小题满分14分）解法1：（1）①若直线l ∥x 轴，则点P 为(0,0)．②设直线():2l y k x =+，并设点,,,A B M P 的坐标分别是112200(,),(,),(,),(,)A x y B x y M x y P x y ， 由()222,22y k x x y ⎧=+⎨+=⎩消去x ， 得 ()2222(21)82410k y k x k +++-=， （*）由直线l 与椭圆有两个不同的交点，可得()()222288(21)410k k k ∆=-+->，所以212k <． （苏元高考吧： ） 由OP OA OB =+及方程（*），得2122821k x x x k =+=-+，()()1212242221ky y y k x k x k =+=+++=+，即2228,214.21k x k k y k ⎧=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩消去k ，并整理得，22240x y x ++=（20)x -<<．综上所述，点P 的轨迹方程为22240x y x ++=（20)x -<≤．（2）①当l ∥x 轴时，,A B 分别是椭圆长轴的两个端点，则点M 在原点O 处，所以，||2,||MD MA ==||||MD MA = ②由方程（*），得212022,221x x k x k +==-+所以，02|||21D MD x x k =-=+，01|||MA x x=-==所以||||MDMA=因为212k<()0,1，所以)||||MDMA∈+∞．综上所述，)||||MDMA∈+∞．解法2：（1）①若直线l∥x轴，则点P为(0,0)．②设直线:2l x my=-，并设点,,,A B M P的坐标分别是112200(,),(,),(,),(,)A x yB x y M x y P x y，由222,22x myx y=-⎧⎨+=⎩消去x，得22(2)420m y my+-+=，（*）由直线l与椭圆有两个不同的交点，可得22(4)8(2)0m m∆=--+>，即28(2)0m->，所以22m>．由OP OA OB=+及方程（*），得12242my y ym=+=+，121228(2)(2)2x x x my mym=+=-+-=-+，即228,24.2xmmym⎧=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩由于0m≠（否则，直线l与椭圆无公共点），消去m，并整理得，22240x y x++=（20)x-<<．综上所述，点P的轨迹方程为22240x y x++=（20)x-<≤．（2）①当l∥x轴时，,A B分别是椭圆长轴的两个端点，则点M在原点O处，所以，||2,||MDMA==||||MDMA=②由方程（*），得12022,22y y mym+==+所以，0|||D MD y y =-=01|||MA y y =-==，所以||||MD MA ==因为22m >(0,1)，所以)||||MD MA ∈+∞．综上所述，)||||MD MA ∈+∞． 20．（本小题满分14分）（1）解：因为()x f x e x =-，所以()1x f x e '=-．令()0f x '=，得0x =．所以当0x >时，()0f x '>，当0x <时，()0f x '<．所以函数()x f x e x =-在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增． 所以当0x =时，()f x 有最小值1．（2）解：因为不等式()f x ax >的解集为P ，且{}|02P x x ⊆≤≤，所以对任意[]0,2x ∈，不等式()f x ax >恒成立．由()f x ax >，得()1e xa x +<，（苏元高考吧： ）当0x =时，上述不等式显然成了，所以只需考虑(]0,2x ∈的情况．将()1e xa x +<变形为e 1xa x<-． 令()e 1xg x x =-，则()()21e xx -g x x '=． 当1x >时，()0g x '>，当1x <时，()0g x '<， 所以()g x 在()0,1上单调递减，在()1,2上单调递增．所以当1x =时，函数()g x 取得最小值e 1-．故实数a 的取值范围为(),e 1-∞-．（3）证明：由（1）知，对任意实数x 均有1x e x -≥，即1xx e +≤． 令k x n=-（*,1,2,,1n k n ∈=-N ），则01k n k e n -<-≤， 所以1(1,2,,1)n n k k n k e e k n n --⎛⎫⎛⎫-≤==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 即(1,2,,1)n k n k e k n n --⎛⎫≤=- ⎪⎝⎭． 所以(1)(2)211211n n n n n n n n e e e e n n n n -------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++≤+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 因为(1)(2)2111111111n n n e e e e e e e e e ----------+++++=<=---， 所以 1211n n n nn n e n n n n e -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．。