不定积分求解方法-换元法.ppt

1 cos 2x C; 2
解（二） sin 2xdx 2 sin x cos xdx 2 sin xd(sin x)
sin x2 C;
已知
udu
1 2
u2
C
解（三） sin 2xdx 2 sin x cos xdx 2 cos xd(cos x)
cos x2 C.
已知
udu
1 2
7.2 不定积分的计算
巴马水具有四个显著特征: 一是弱碱性离子水。 二是还原水。 三是小分子团水。 四是营养水。
1
1、第一换元积分法
问题 cos2xdx sin 2x C,
解决方法 利用复合函数，设置中间变量.
过程 令 t 2x dx 1 dt, 2
cos
2
xdx
1 2
cos
tdt
1 2
x 2
1 tan
x 2
d
tan
x 2
ln tan x C ln(csc x cot x) C. 2
（使用了三角函数恒等变形）
16
解（二） csc
xdx
1 sin
x
dx
sin x sin2 x
dx
1
1 cos2 x d(cos x) u cos x
1
1 u2
du
1 2
由此可得换元法定理
3
定理7.2.1 设u ( x)在[a,b]可导，(x)[, ]，
g(u) 在[, ]上有原函数G(u) ，则有换元积分公式
g[( x)]( x)dx g(u)du G(( x)) C
第一类换元公式（凑微分法） 说明: 使用此公式的关键在于将
f [( x)]( x)dx 化为 g(u)du.

(a23t2a2 1)23 C (a32a2xx23)23 C
当 x < 0 时, 类似可得同样结果 .
小结:
1. 第二类换元法常见类型:
(1 ) f(x,na x b )d x,令 tnaxb
(2)
f(x,nc ax x d b)dx,
令
t
n
axb cxd
(3 ) f(x, a 2 x 2)d x,令 xasitn或 x a ctos
解: 令 x a sti,tn ( 2 , 2 ),则
a 2 x 2a 2 a 2 s2 it n aco t s
dxaco tdts
ax
∴ 原式 acotsacotdsta2 co2tsdt
a 2t sin2t C
t
a2 x2
24 s2 it n 2 sti cn to 2 s x
5
3
例9.
求
dx 1 ex
.
解法1
dx
1 ex
(1ex)ex 1ex
dx
dx
d(1ex) 1ex
xln1 (ex)C
解法2
dx
1 ex
ex 1ex
dx
d(1ex) 1ex
ln 1 (ex)C
l1 n e x ( ) le n x ( e x [ 1 )] 两法结果一样
例10. 求secxdx.
∴
原式
asettcatndt atant
setcdt
ln ste tc a t n C 1
ln ax
x2a2 a
C 1
x x2 a2
t
a
lnxx2a2C(C C 1 ln a )
当 xa时 ,令 xu,则ua,于是

例 2.求 3x 1dx
解：
3x
1dx
1 3
3x
1d(3x
1)
令u
3x
1
1 3
udu
1 3
2 3
u
3 2
C
回代3x
1
u
2 9
(3x
3
1) 2
C
2 9
(3x
1)
3x 1 C.
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例 3.求下列不定积分
（1）
e2x2ln xdx
e2x2 xdx 1
4
e2x2d(2x2 ) 1 e2x2 C. 4
其中s 是m和n的最小公倍数.
(2) 对 R(x, n ax b )dx, (ad bc 0)可作代换 cx d t n ax b . cx d
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例 11.求 1 dx
1 ex
解：令 1 ex t ，ex t 2 1，
x ln(t 2 1) ，dx 2t dt ，则 t2 1
积分
F(u) C 回代: (x) u
F[(x)] C
第一换元法或称为凑微分法，是与复合函数的 微分法则相对应的积分方法。
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（二）常用凑微分式子
1、求不定积分时常用的微分性质
(x)dx d[(x)] 1 d[a(x) b] ， a
其中 a, b 都是常数，且a 0 。
2、常用凑微分式子
x C.
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例 6．求下列不定积分
（1）
a2
1
x2
dx
1 dx a2[1 ( x )2 ]
1 arctan x C.
a
1 a

(4 )f(sx)icno xd xs
d(axb)
dxn
1 xn
dxn
dsinx
(5 )f(cx)o sis xd n x dcosx
(6 )f(tx a )sn e 2xd c x
dtanx
(7) f(ex)exdx (8) f(lnx)1xdx
de x dln x
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例5. 求 解:
类似

sin xdx cos x


dcosx cosx

cos x dx sin x


dsin x sin x
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例10
求

1 dx. x(12lnx)
解 x(112lnx)dx121lnxd(lnx)
1 212 1ln xd(12ln x)
补例
求

1 2x3
d.x 2x1
解：原式 2 x 3 2 2 x x 3 1 2 2 x x 3 1 2 x 1 dx
1 4 2x3 d x1 4 2x1 dx
1 8 2 x 3 d ( 2 x 3 ) 1 8 2 x 1 d ( 2 x 1 )
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补例. 求
解: 令 uaxb,则 duadx,故
原式 = u m 1 d u 1 1 um1C
a
a m1
注: 当
时
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常用的几种配元形式:
(1)f(axb)dx1a (2) f(xn)xn 1dx1
n
(3) f(xn)1xdx1n
x
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例6. 求

解: 原式 = (t2 a x n 1 )2dstae 2 nxxd cx
(t4 a x 2 n ta 2xn 1 )d ta xn
1 tan5 x 2 tan3 xtaxn C
5
3
例9.
求
dx 1 ex
.
解法1
(1ex)ex 1ex
dx
dx
d(1 ex ) 1 ex
xln1(ex)C
lnu u2a2
C 1
lnxx2a2C 1
ln
a2
x x2a2
C1
(C C 1 2 ln a )
例19. 求
a2 x4
x2
dx
.
解:
令
x
1 t
,则
原式
a2
1 t4
1 t2
t
1
2
d
t
(a2t21)1 2 tdt
原式
1
2a
2
(a2t21)1 2d(a2t2 1)
(a23t2a2 1)23 C
(3)
x 4x2
dx
1 2
d(4 x2) 4 x2
(4)
x2 4 x2
dx
(5)
4
dx x2
11 2x 2x
(6)
dx 4xx2
2. 求 提示: 法1
法2
法3
(x10 ) x10
1
d x10
10
1 d x10 10
二、第二类换元法
第一类换元法解决的问题
f[难(x)求 ](x)dx易f(u求)duu(x)
)2
dx .
解:
原式 =12
x2 dx2
(

55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
微积分不定积分换元积分法第一类
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6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
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7、心急吃不了热汤圆。
Hale Waihona Puke •8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
•
9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特