必修4第一章同步练习(七)：诱导公式(一)

高一数学必修4三角函数诱导公式诱导公式是高一数学必修四三角函数知识点只必考的公式，我们在考前一定要掌握好这些公式的应用。

下面是店铺为大家整理的高一数学必修4三角函数诱导公式，希望对大家有所帮助!高一数学必修4三角函数诱导公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z)cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z)tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z)cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z)公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαco t(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanαsin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα(以上k∈Z)高一数学函数复习资料一、定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b则此时称y是x的一次函数。

必修四诱导公式练习题及答案一、选择题1、下列各式不正确的是A． sin=－sinα B．cos=－cos C． sin=－sinα D．cos=cos、若sin＋sin=－m,则sin＋2sin等于323A．－ m B．－m C． m D． m32323、sin???19???的值等于??12B． ?A．1C．2D． ?24、如果|cosx|?cos.则x的取值范围是A．[?C．[?2?2k?,?2?2k?]B．22?3?2k?,??2k?]22D．5．若sin?cos，则?的取值集合为 A．{?|??2k??C．{?|??k??4k?Z} B．{?|??2k??D．{?|??k?? ?4k?Z} k?Z}k?Z}?26、在△ABC中，若sin?sin，则△ABC必是 A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形二、填空题1、若sin=12,则sin13．π2π3π4π5π6π2、cos ＋cos ＋＋cos ＋cos ＋777777三、解答题1、若cos α＝23，α是第四象限角，求sin?sincoscos?coscos的值．1?cos?x,??sin?x,?22、设f??和g??1?f?1,?g?1,??2求g?f?g?f的值.3．设f满足f?3f?4sinx?cosx 14135634,求f的表达式；求f的最大值．４、化简：?2sin610?cos430?＝．sin250??cos790?coscos2sin2５、化简：＝______ ___．sinsincos11?)cos22６、化简：＝____ 9?cossinsinsin2sincoscos?sin。

sincos《诱导公式》参考答案一、选择题 ABACCC 二、填空题 11213．、0．三、解答题1、2．2、g?2，g??1,f126?)s?i23?31,f?sin?1，故原式=3．3、解析：由已知等式f?3f?4sinx?cos x①得f?3f??4sinxcosx② 由３?①－②，得8f?16sinx?cosx，故f?2x?x2．对0?x?1，将函数f?2x?x2的解析式变形，得f??＝当x?2时，fmax?1. ４、－１、-cos? ６、sin?cos?８、n2cos?同角三角函数基本关系式及诱导公式1．同角三角函数的基本关系sin α平方关系：22商数关系：tan α. cos α2. 诱导公式3ππ，，tan α＝2，则cos α＝________. 1．已知α∈?2?答案－55sin α解析∵tan α＝2，∴＝2，∴sin α＝2cos α. cos α1又sin2α＋cos2α＝1，∴2＋cos2α＝1，∴cos2α. 3ππ，?，∴cos α＝－又∵α∈?2??52sin α－cos α2．若tan α＝2，则的值为________．sin α＋2cos α3答案2tan α－13解析原式＝＝tan α＋2413．已知α是第二象限的角，tan α＝－，则cos α＝________.25答案－5解析∵α是第二象限的角，∴cos α 又sin2α＋cos2α＝1，tan α＝25∴cos α＝－.445－π?的值是________．．sin ·cos π·tan??3?3633答案－4π?π－π·?－π－π π＋·解析原式＝sin?costan3?3?6?π?π?π－sin ?·－cos ·－tan ? ＝?3??6?3??sin α1＝－，cos α2＝??3??3×－×＝－42??2π?22π－α＝，则sin?α－＝________.．已知cos?3?6?3?2答案－2πππα－＝sin?－?6－α?? 解析 sin?3??2 πππ2α??＝－cos?－α?＝－. ＝－sin?2＋??66??3题型分析深度剖析题型一同角三角函数基本关系式的应用1例1 已知在△ABC中，sin A＋cos A5求sin Acos A的值；判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；求tan A的值．1思维启迪：由sin A＋cos A及sin2A＋cos2A＝1，可求sin A，cos A的值．1解∵sin A＋cos A＝①1∴两边平方得1＋2sin Acos A＝，512∴sin Acos A＝－.512由sin Acos A＝－可知cos A ∵2＝1－2sin Acos A2449＝1＋，525又sin A>0，cos A0，7∴sin A－cos A＝.②43∴由①，②可得sin A＝，cos A＝－，545sin A4∴tan A＝＝. cos A33－5探究提高对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可求．转化的公式为2＝1±2sin αcos α；关于sin α，cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子．已知tan α＝2，求sin2α＋sin αcos α－2cos2α；已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，求cos α.解sin2α＋sin αcos α－2cos2αsin2α＋sin αcos α－2cos2α＝sinα＋cosαtan2α＋tan α－24＝.tanα＋1∵sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，∴sin2α＝4sin2β，①tan2α＝9tan2β，②由①÷②得：9cos2α＝4cos2β，③①＋③得：sin2α＋9cos2α＝4，36∵cos2α＋sin2α＝1，∴cos2α＝cos α＝.4 题型二三角函数的诱导公式的应用π5π3α?＝，求cos?α?的值；例已知cos??6?3?6?73α－π?的值．已知π ππ5π思维启迪：将＋α看作一个整体，观察＋α与－α的关系．66 先化简已知，求出cos α的值，然后化简结论并代入求值．π??5π＋α＋－α?＝π，解∵??6??6?π5πα?. ∴－α＝π－??6?65π?πα＝cos?π－?＋α?? ∴cos??66??π?3＋α＝－，＝－cos??6?35π?3α＝－. 即cos??6?3∵cos＝cos3＝cos＝－cos α3∴cos α.7α－π? ∴sin·tan??2??－tan?7－α?? ＝sin·??2??πα? ＝sin α·tan??2?π?sin??2－α?＝sin α π?cos??2α?cos α3＝sin αcos α＝. sin α5探究提高熟练运用诱导公式和基本关系式，并确定相应三角函数值的符号是解题的关键．另外，切化弦是常用的规律技巧．3πα－?tan?π＋α?cos?2π＋α?sin?2?? ； cos?－α－3π?sin?－3π－α?sin?π－x?cos?2π－x?tan?－x＋π?31π－的值．已知f＝f??3π??－xcos?2??α＋π?tan αcos αsin?－2π＋??2?解原式＝cos?3π＋α?[－sin?3π＋α?]＝π?tan αcos αsin??2＋α??－cos α?sin αtan αcos αcos α＝?－cos α?sin αtan αcos αsin αcos α＝－＝－1. sin αcos αsin αsin x·cos x·?－tan x?∵fsin x＝－cos x·tan x＝－sin x，31π31π31π－＝－sin?－?＝sin ∴f??3?3?3ππ310π＋＝sin ＝sin?3?32题型三三角函数式的化简与求值11例已知tan α＝的值；2sin αcos α＋cosα3π－α＋tan?π－α?cos?2π－α?sin?2?化简：. cos?－α－π?s in?－π－α?思维启迪：三角函数式的化简与求值，都是按照从繁到简的形式进行转化，要认真观察式子的规律，使用恰当的公式．1解因为tan αsin2α＋cos2α1所以2sin αcos α＋cosα2sin αcos α＋cosαtan2α＋12＝＝2tan α＋13π－α－tan α·cos?－α?·sin?2?原式＝cos?π－α?·sin?π－α?πsin αα＋?cos αtan α·cos α·sin??2?cos α＝＝＝－1. －cos α·sin α－sin α探究提高在三角变换中，要注意寻找式子中的角，函数式子的特点和联系，可以切化弦，约分或抵消，减少函数种类，对式子进行化简．π5α＋?＝－α∈，已知sin??2?5παπα＋－cos2?－?cos2??42?42?sin?π－α?＋cos?3π＋α?求的值．π5α＋＝－解∵sin??25∴cos α525，又α∈，∴sin α＝55παπα－cos2?－?cos2??42?42? sin?π－α?＋cos?3π＋α?παπα＋－sin2?cos2??42?42＝sin α－cos α－sin α2＝－3sin α－cos αsin α－cos α分类讨论思想在三角函数化简中的应用典例：化简：sin?4n－14n＋1π－α?＋cos?π－α? ．?4??4?π?cos??2＋α?＝审题视角角中含有变量n，因而需对n的奇偶分类讨论．利用诱导公式，需将角写成符合公式的某种形式，这就需要将角中的某一部分作为一个整体来看．桃源书院2013学年第一学期第二次阶段性考试高一数学试卷说明：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，考试时间120分钟，满分150分．本次考试不得使用计算器．请考生将所有题目都做在答题纸上．第Ⅰ卷一．选择题1．设集合A?{x|x?1?0}，B?{x|log2x?0}，则A?B= A．{x|x?1}B．{x|x?0} C．{x|x??1}D．{x|x??1或x?1}2．若sin??25，且?是第二象限角，则cos?的值等于A．?5354B．?C．?D．5555m2?3m?43．幂函数y?x的图象如图所示，则m的值为D．?1?m?4A．0或 B．0,1,2或C．1或34．函数f?A．[4,??)x?4的定义域是lgx?1B． C． ? D．[4,10)?x5．根据表格中的数据，可以断定方程e?x?2?0的一个根所在的区间是A． B．C． D．xy223aA．3a B．a C．a D．22117．函数f?|lgx|，则f、f、f的大小关系是431111A．f> f>f B．f>f>f44331111C．f>f>fD．f>f>f44336．若lgx?lgy?a,则lg3?lg3?8．若函数f?x?2x?2在区间,-4?上单调递减，则a 的取值范围是2A．a?B．a? C．a? D．a?．函数g?f?1，其中log2f?2x，x∈R，则函数g fA．是偶函数又是增函数 B．是奇函数又是减函数C．是偶函数又是减函数 D．是奇函数又是增函数10．若sin?,cos?是关于x的方程4x?2mx?m?0的两根，则m的值为 A．?1B．1?5C．1-D．1?2第Ⅱ卷二、填空题 11．幂函数f的图象经过点A，则f ＝． 12．已知角?的终边经过点P，则cos??．13．已知函数f?3mx?4，若f在区间[?2,0]上存在零点，则实数m的取值范围是▲ ．14．函数y?log0.5的单调增区间为2122cos3x?2sin2?sin?3?15．函数f?，则f332?2sin2??x)22?16．设定义域为R的函数f????lnx?x?1，则对于任意正数a，方程??0 x?1f?a的所有实数根之和为．17．当x?0时，不等式?恒成立，则实数a的取值范围是▲ ．三、解答题18．求下列各式的值：2xx1?2710??2?；79log2.56.25?lg19．已知-131?ln?log2． 100tan???1．tan??1求tan?的值；sin2??2sin?cos? 求的值．23sin??cos?20．设函数f?log24x?log22x，若t?log2x，求t 的取值范围；求函数f的最大值和最小值，并求出取最值时相应的x的值．1?x?4.21．某牧场要建造占地100平方米的矩形围墙，现有一排长20米的旧墙可供利用，为了节约投资，矩形围墙的一边直接用旧墙修，另外三边尽量用拆去的旧墙改建，不足部分用购置的新砖新建．已知整修一米旧墙需24元，拆去．．．．．．．．一米旧墙改建成一米新墙需１00元，建一米新墙需200元，设牧场的长用x表示，．．．．．．．．．．．．．．．．全部费用用f来表示．试将f表示为x的函数；当旧墙所保留部分为多少时所需费用最少？并求出最少费用．22．已知函数f?1?a?11． ?xx24当a?1时，求函数f在上的值域；若对任意x?[0,??)，总有f?3成立，求实数a的取值范围．桃源书院2013学年第一学期第二次阶段性考试高一数学试卷参考答案一选择题：5分×10=50分二填空题：4分×7=28分 11．42212．? 13．或35116．417．15．?三解答题：第18,19,20,21题每题14分，第21,22题每题15分，共计72分，写出必要的文字说明．133?1510522?49??1??45…………7分 18．解：原式=[]3?7?[]2?1? 10333原式=log2.52.5?lg10分19．解：?2?2?lne?log24?2-2?3237?2? (1422)tan???1tan??11……………………………4分?tantan??1?tan??法一：由知：tan??1??sin?cos55?sin55或?………………………………8分5?2cos55?。

1.2.4诱导公式(一)学习目标 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.知识点一角α与α＋k·2π(k∈Z)的三角函数间的关系思考角α与α＋k·2π(k∈Z)的终边有什么位置关系？其三角函数值呢？梳理诱导公式(一)知识点二角α与－α的三角函数间的关系思考1设角α的终边与单位圆的交点为P1(x，y)，角－α的终边与角α的终边有什么关系？如图，－α的终边与单位圆的交点P2坐标如何？思考2根据三角函数定义，－α的三角函数与α的三角函数有什么关系？梳理诱导公式(二)知识点三角α与α＋(2k＋1)π(k∈Z)的三角函数间的关系思考1设角α的终边与单位圆交于点P1(x，y)，则角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？如图，设角α的终边与单位圆交于点P1(x，y)，则角π＋α的终边与单位圆的交点P2的坐标如何？思考2根据三角函数定义，sin(π＋α)、cos(π＋α)、tan(π＋α)的值分别是什么？对比sin α，cos α，tan α的值，(2k＋1)π＋α的三角函数与α的三角函数有什么关系？梳理诱导公式(三)特别提醒：公式一～三都叫做诱导公式，他们分别反映了2k π＋α(k ∈Z )，－α，(2k ＋1)π＋α(k ∈Z )的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.简记为“函数名不变，符号看象限”！类型一 利用诱导公式求值命题角度1 给角求值问题例1 求下列各三角函数式的值.(1)cos 210°；(2)sin 11π4； (3)sin(－43π6)；(4)cos(－1 920°).反思与感悟 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤：(1)“负化正”：用公式一或二来转化.(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°之间的角.(3)“角化锐”：用公式一或三将大于90°的角转化为锐角.(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值.跟踪训练1 求下列各三角函数式的值.(1)sin 1 320°； (2)cos ⎝⎛⎭⎫－31π6； (3)tan(－945°).命题角度2 给值求角问题例2 已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于( ) A.－π6 B.－π3 C.π6 D.π3反思与感悟 对于给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角.跟踪训练2 已知sin(π－α)＝－2sin(π＋β)，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)，0<α<π，0<β<π，求α，β.类型二 利用诱导公式化简例3 化简下列各式.(1)tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)cos (α－π)sin (5π－α)； (2)1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°.引申探究若将本例(1)改为：tan (n π－α)sin (n π－α)cos (n π－α)cos[α－(n ＋1)π]·sin[(n ＋1)π－α](n ∈Z )，请化简.反思与感悟 三角函数式的化简方法(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数.(2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数.(3)注意“1”的变式应用：如1＝sin 2α＋cos 2α＝tan π4. 跟踪训练3 化简下列各式.(1)cos (π＋α)·sin (2π＋α)sin (－α－π)·cos (－π－α)； (2)cos 190°·sin (－210°)cos (－350°)·tan (－585°).1.sin 585°的值为( )A.－22B.22C.－32D.322.cos(－16π3)＋sin(－16π3)的值为( ) A.－1＋32B.1－32C.3－12D.3＋123.已知cos(π－α)＝32(π2<α<π)，则tan(π＋α)等于( ) A.12 B.33 C.－ 3 D.－334.sin 750°＝________.5.化简：cos (α－π)sin (5π＋α)·sin(α－2π)·cos(2π－α).1.明确各诱导公式的作用2.诱导公式的记忆这三组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号.α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.答案精析问题导学知识点一思考 角α与α＋k ·2π(k ∈Z )的终边相同，根据三角函数的定义，它们的三角函数值相等． 梳理 cos α sin α tan α知识点二思考1 角－α的终边与角α的终边关于x 轴对称．角－α与单位圆的交点为P 2(x ，－y )．思考2 sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x； sin(－α)＝－y ＝－sin α；cos(－α)＝x ＝cos α，tan(－α)＝－y x＝－tan α. 梳理 cos α －sin α －tan α知识点三思考1 角π＋α的终边与角α的终边关于原点O 对称．P 2(－x ，－y )．思考2 sin(π＋α)＝－y ，cos(π＋α)＝－x ，tan(π＋α)＝－y －x ＝y x. 梳理 －cos α －sin α tan α题型探究例1 (1)cos 210°＝－32. (2)sin 11π4＝22. (3)sin(－43π6)＝12. (4)cos(－1 920°)＝－12. 跟踪训练1 解 (1) sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32. (2)cos ⎝⎛⎭⎫－31π6＝cos 31π6＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋7π6 ＝cos(π＋π6)＝－cos π6＝－32. 例2 D跟踪训练2 解 由题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β. ② ①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2，即sin 2α＋3(1－sin 2α)＝2，∴sin 2α＝12，∴sin α＝±22. ∵0<α<π，∴sin α＝22， ∴α＝π4或α＝34π. 把α＝π4，α＝34π分别代入②， 得cos β＝32或cos β＝－32. 又∵0<β<π，∴β＝π6或β＝56π. ∴α＝π4，β＝π6或α＝34π，β＝56π. 例3 解 (1)原式＝sin (2π－α)cos (2π－α)·sin (－α)cos (－α)cos (π－α)sin (π－α)＝－sin α(－sin α)cos αcos α(－cos α)sin α＝－sin αcos α＝－tan α.(2)原式＝1＋2sin (360°－70°)cos (360°＋70°)sin (180°＋70°)＋cos (720°＋70°) ＝1－2sin 70°cos 70°－sin 70°＋cos 70°＝|cos 70°－sin 70°|cos 70°－sin 70°＝sin 70°－cos 70°cos 70°－sin 70°＝－1. 引申探究 解 当n ＝2k 时，原式＝－tan α·(－sin α)·cos α－cos α·sin α＝－tan α；当n ＝2k ＋1时，原式＝－tan α·sin α·(－cos α)cos α·(－sin α)＝－tan α.综上，原式＝－tan α.跟踪训练3 (1)1 (2)12当堂训练1．A 2.C 3.D 4.125．解 原式＝cos (π－α)sin (π＋α)·[－sin(2π－α)]·cos(2π－α) ＝－cos α－sin α·sin α·cos α＝cos 2α.。

1.2.4 诱导公式知识点一：诱导公式(1)(2)(3)1．(2010全国高考Ⅰ，文1)cos300°等于A ．－32B ．－12 C.12 D.322．与cos 13π3的值相同的是 A ．sin π3 B ．sin π6C ．sin π4D ．sin π23．已知cos(π＋α)＝－35且α是第四象限角，则sin(－2π＋α)等于 A.45 B ．－45 C ．±45 D.354．若sin(－α)＝－m ，则sin(3π＋α)＋12sin(2π－α)等于 A ．－23m B ．－32m C.23m D.32m 5．若|cosα|＝cos(π＋α)，则角α的集合为__________．6．化简sin(－α)·cos(2π＋α)·tan(2π＋α)＝__________.知识点二：诱导公式(4)7．sin 2(π2＋α)＋cos(π＋α)·cos(－α)＋1的值是 A ．1 B ．2sin 2α C ．2cos 2α D ．08．设A 、B 、C 是三角形的三个内角，下列关系恒成立的是A ．cos(A ＋B)＝cosCB ．sin(A ＋B)＝sinCC ．tan(A ＋B)＝tanCD ．sin A ＋B 2＝sin C 29．若cos(π＋α)＝－13，那么sin(3π2－α)等于 A ．－13 B.13 C.23 2 D ．－232 10．f(sinx)＝3－cos2x ，则f(cosx)＝__________.11．sin 2(π3－x)＋sin 2(π6＋x)＝__________.能力点一：利用诱导公式求值12．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos(π2＋β)＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sinα的值是 A.355 B.377C.31010D.1313．sin 2150°＋sin 2135°＋2sin210°＋cos 2225°的值是A.14B.34C.114D.9414．(2010全国高考Ⅰ，理2)记cos(－80°)＝k ，那么tan100°等于 A.1－k 2k B ．－1－k 2kC.k 1－k 2 D ．－k 1－k 215.sin (45°＋θ)sin (45°－θ)cos (45°＋θ)cos (45°－θ)＝__________. 16．求下列各三角函数值：(1)sin π4cos 19π6tan 21π4； (2)3sin(－1 200°)tan 19π6－cos585°tan(－37π4)．17．已知sinα是方程5x 2－7x －6＝0的根，求[sin(α＋3π2)·sin(3π2－α)·tan 2(2π－α)·tan(π－α)]÷[cos(π2－α)·cos(π2＋α)]的值．能力点二：利用诱导公式进行化简18．设tan(5π＋α)＝m ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)化简的结果为__________．(用m 表示) 19．化简：(1)sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 289°；(2)tan1°tan2°tan3°…tan89°.20.化简：cos(4n －14π－α)·sin(4n ＋14π－α)(n ∈Z )．能力点三：利用诱导公式进行证明21．求证：tan(2π－α)sin(－2π－α)cos(6π－α)＝sin 2α.22．设k ∈Z ，求证：sin (kπ－α)cos (kπ－α)sin[(k ＋1)π＋α]cos[(k ＋1)π－α]＝－1.23．已知α是第三象限的角，f(α)＝sin (π－α)cos (2π－α)tan (－α＋3π2)cot (－α－π)sin (－π－α). (1)化简f(α)；(2)若cos(α－3π2)＝15，求f(α)的值； (3)若α＝－1 860°，求f(α)的值．答案与解析基础巩固1．C cos300°＝cos(300°－360°)＝cos(－60°)＝cos60°＝12. 2．B cos 13π3＝cos(4π＋π3) ＝cos π3＝12＝sin π6. 3．B4．B ∵sin(－α)＝－m ，∴sinα＝m.sin(3π＋α)＋12sin(2π－α)＝sin(π＋α)＋12sin(－α)＝－sinα－12sinα＝－32sinα＝－32m. 5．{α|2kπ＋π2≤α≤2kπ＋3π2，k ∈Z } 6．－sin 2α7．A8．B ∵A 、B 、C 满足A ＋B ＝π－C ，A ＋B 2＝π2－C 2， ∴B 正确．9．A ∵cos(π＋α)＝－13， ∴cosα＝13. ∴sin(3π2－α)＝－cosα＝－13. 10．3＋cos2x ∵cosx ＝sin(π2－x)， ∴f(cosx)＝f[sin(π2－x)] ＝3－cos[2(π2－x)] ＝3－cos(π－2x)＝3＋cos2x.11．1 ∵(π3－x)＋(π6＋x)＝π2， ∴原式＝sin 2(π3－x)＋cos 2(π3－x)＝1.能力提升12．C 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ －2tanα＋3sinβ＋5＝0，tanα－6sinβ－1＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2tanα－3sinβ＝5，tanα－6sinβ＝1. ∴sinβ＝13，tanα＝3. 又∵α为锐角，∴sinα>0.由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2α＋cos 2α＝1，sinα＝3cosα， 解得sinα＝31010. 13．A14．B ∵cos(－80°)＝cos80°＝k ，∴sin80°＝1－cos 280°＝1－k 2.∴tan100°＝－tan80°＝－sin80°cos80°＝－1－k 2k. 15．1 原式＝tan(45°＋θ)tan(45°－θ)＝tan(45°＋θ)·cot(45°＋θ)＝1.16．解：(1)原式＝sin π4cos(2π＋7π6)tan(4π＋5π4) ＝22cos 7π6tan 5π4 ＝22cos(π＋π6)tan(π＋π4) ＝22(－cos π6)tan π4 ＝－22×32×1 ＝－64. (2)原式＝－3sin1 200°tan(2π＋7π6)－cos(360°＋225°)(－tan 37π4) ＝－3sin(－240°)tan π6－cos45°tan(π＋π4) ＝3×33sin(180°＋60°)－22tan π4＝－3×33sin60°－22 ＝－2＋32.17．解：5x 2－7x －6＝0的根为x ＝2或x ＝－35， 所以sinα＝－35. 所以cosα＝±1－sin 2α＝±45. 所以tanα＝±34. 原式＝(－cosα)(－cosα)tan 2α(－tanα)sinα(－sinα)＝tanα＝±34. 18.m ＋1m －1由tan(5π＋α)＝tanα＝m 知， 原式＝－sinα－cosα－sinα＋cosα＝tanα＋1tanα－1＝m ＋1m －1. 19．解：(1)原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 245°＝(sin 21° ＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋12＝1＋1＋…＋1＋12＝44＋12＝892. (2)∵tan1°tan89°＝sin1°sin89°cos1°cos89°＝sin1°cos1°cos1°sin1°＝1. 同理，tan2°tan88°＝1＝tan3°tan87°＝…＝tan44°tan46°＝1，且tan45°＝1.∴原式＝(tan1°tan89°)(tan2°tan88°)(tan3°tan87°)…(tan44°tan46°)tan45°＝1.20.解：原式＝cos[nπ－(π4＋α)]·sin[nπ＋(π4－α)]． 当n 为奇数时，原式＝cos[π－(π4＋α)]·sin[π＋(π4－α)] ＝－cos(π4＋α)·[－sin(π4－α)] ＝cos[π2－(π4－α)]sin(π4－α) ＝sin 2(π4－α)，当n 为偶数时，原式＝cos[－(π4＋α)]·sin(π4－α) ＝cos(π4＋α)·sin(π4－α) ＝cos[π2－(π4－α)]·sin(π4－α) ＝sin 2(π4－α)， 综上，原式＝sin 2(π4－α)． 21．证明：左边＝tan(－α)·sin(－α)·cos(－α) ＝(－tanα)·(－sinα)·cosα＝sin 2α＝右边，∴原等式成立．22．证明：(1)当k ＝2n(n ∈Z )时，∵左边＝－sinαcosα－sinα(－cosα)＝－1＝右边，∴原式成立；(2)当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，∵左边＝sinα(－cosα)sinαcosα＝－1＝右边，∴原式成立．综上所述，原式成立．拓展探究23．解：(1)f(α)＝sin (π－α)cos (2π－α)tan (－α＋3π2)cot (－α－π)sin (－π－α)＝sinα·cosα·cotα(－cotα)sinα＝－cosα.(2)∵cos(α－3π2)＝cos(π2＋α)＝－sinα， ∴sinα＝－15，cosα＝－52－15＝－256. ∴f(α)＝256. (3)f(α)＝f(－1 860°)＝－cos(－1 860°)＝－cos1 860°＝－cos(360°×5＋60°)1＝－cos60°＝－2.。

第一章 三角函数§1.1 任意角和弧度制一、选择题1.若α是第一象限角，则下列各角中一定为第四象限角的是 ( ) (A) 90°-α (B) 90°+α (C)360°-α (D)180°+α2.终边与坐标轴重合的角α的集合是 ( ) (A){α|α=k ·360°，k ∈Z} (B){α|α=k ·180°+90°，k ∈Z} (C){α|α=k ·180°，k ∈Z} (D){α|α=k ·90°，k ∈Z}3.若角α、β的终边关于y 轴对称，则α、β的关系一定是（其中k ∈Z ） ( ) (A) α+β=π （B) α-β=2π(C) α-β=(2k +1)π (D) α+β=(2k +1)π 4.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为 ( )(A)3π (B)32π (C)3 (D)25.将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是 ( ) (A)3π(B)－3π (C)6π (D)－6π *6.已知集合A ={第一象限角}，B ={锐角}，C ={小于90°的角}，下列四个命题：①A =B =C ②A ⊂C ③C ⊂A ④A ∩C =B ,其中正确的命题个数为 ( ) (A)0个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 二.填空题7.终边落在x 轴负半轴的角α的集合为 ，终边在一、三象限的角平分线上的角β的集合是 . 8. -1223πrad 化为角度应为 . 9.圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的 倍. *10.若角α是第三象限角，则2α角的终边在 ，2α角的终边在 . 三.解答题11.试写出所有终边在直线x y 3-=上的角的集合，并指出上述集合中介于-1800和1800之间的角.12.已知0°<θ<360°，且θ角的7倍角的终边和θ角终边重合，求θ.13.已知扇形的周长为20 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？ *14.如下图，圆周上点A 依逆时针方向做匀速圆周运动.已知A 点1分钟转过θ(0＜θ＜π)角，2分钟到达第三象限，14分钟后回到原来的位置，求θ.§.任意角的三角函数一.选择题1.函数y =|sin |sin x x +cos |cos |x x +|tan |tan x x的值域是 ( )(A){-1，1} (B){-1，1，3} (C) {-1，3} (D){1，3} 2.已知角θ的终边上有一点P （-4a ,3a )（a ≠0）,则2sin θ+cos θ的值是 ( )(A) 25 (B) -25 (C) 25或 -25 (D) 不确定3.设A 是第三象限角，且|sin2A |= -sin 2A ,则2A是 ( ) (A) 第一象限角 (B) 第二象限角 (C) 第三象限角 (D) 第四象限角4. sin2cos3tan4的值 ( ) (A)大于0 (B)小于0 (C)等于0 (D)不确定5.在△ABC 中,若cos A cos B cos C <0，则△ABC 是 ( )(A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)锐角或钝角三角形*6.已知|cos θ|=cos θ, |tan θ|= -tan θ,则2θ的终边在 ( )(A)第二、四象限 (B)第一、三象限 (C)第一、三象限或x 轴上 (D)第二、四象限或x 轴上 二.填空题 7.若sin θ·cos θ＞0, 则θ是第 象限的角;8.求值：sin(-236π)+cos 137π·tan4π -cos 133π= ;9.角θ(0<θ<2π)的正弦线与余弦线的长度相等且符号相同，则θ的值为 ;*10.设M =sin θ+cos θ, -1<M <1,则角θ是第 象限角. 三.解答题11.求函数y =lg(2cos x的定义域。

[学业水平训练]1．sin 330°等于________．解析：sin 330°＝sin(360°－30°)＝－sin 30°＝－12. 答案：－122．sin ⎝⎛⎭⎫－196π的值为________． 解析：sin ⎝⎛⎭⎫－196π＝－sin 19π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫2π＋7π6 ＝－sin 7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫π＋π6＝sin π6＝12. 答案：123．已知sin(45°＋α)＝513，则sin(225°＋α)＝________． 解析：sin(225°＋α)＝sin(180°＋45°＋α)＝－sin(45°＋α)＝－513. 答案：－5134．已知cos(α－π)＝－513，且α是第四象限角，则sin(－2π＋α)＝________． 解析：由cos(α－π)＝－513，易得cos α＝513， 又因为sin(－2π＋α)＝sin α，所以只需求出sin α即可．∵α是第四象限角，∴sin α＝－1－cos 2α＝－1213. 答案：－12135．在△ABC 中，若cos A ＝32，则sin(π－A )＝________；若sin A ＝12，则cos A ＝________． 解析：∵A 是△ABC 中的内角，∴sin(π－A )＝sin A ＝1－cos 2A ＝12， cos A ＝±1－sin 2A ＝±32. 答案：12 ±326．已知sin(π－α)＝log 814，且α∈(－π2，0)，则tan(2π－α)的值为________． 解析：∵sin(π－α)＝sin α＝log 814＝－23， ∴tan(2π－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝－－231－sin 2α＝255. 答案：2557．求下列三角函数式的值：(1)sin(－330°)·cos 210°；(2)3sin(－1 200°)·tan(－30°)－cos 585°·tan(－1 665°)．解：(1)sin(－330°)·cos 210°＝sin(30°－360°)cos(180°＋30°)＝sin 30°·(－cos 30°)＝12×(－32)＝－34. (2)3sin(－1 200°)·tan(－30°)－cos 585°·tan(－1 665°)＝－3sin 1 200°·(－33)－cos(720°－135°)·tan(－9×180°－45°) ＝sin(1 080°＋120°)－cos 135°·tan(－45°) ＝32－(－22)×(－1)＝3－22. 8．化简下列各式．(1)sin [α＋（2n ＋1）π]＋sin [α－（2n ＋1）π]sin （α＋2n π）·cos （α－2n π）(n ∈Z )； (2)cos 190°·sin （－210°）cos （－350°）·tan （－585°）. 解：(1)原式＝sin （π＋α）＋sin （α－π）sin α·cos α＝－2sin αsin αcos α＝－2cos α. (2)原式＝cos （180°＋10°）[－sin （180°＋30°）]cos （360°－10°）[－tan （360°＋225°）]＝－cos 10°·sin 30°cos 10°·[－tan （180°＋45°）]＝－12－tan 45°＝12. [高考水平训练]1．已知tan(3π－α)＝2，则sin （α－3π）＋cos （π－α）sin （－α）－cos （π＋α）的值为________． 解析：∵tan(3π－α)＝2，∴tan α＝－2，原式可化为：－sin α－cos α－sin α＋cos α＝－tan α－1－tan α＋1＝2－12＋1＝13. 答案：132．(2014·抚州质检)若函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β都是非零实数，且满足f (2 013)＝2，则f (2 014)＝________．解析：∵f (2 013)＝a sin(2 013π＋α)＋b cos(2 013π＋β)＝2，∴f (2 014)＝a sin(2 014π＋α)＋b cos(2 014π＋β)＝a sin [π＋(2 013π＋α)]＋b cos [π＋(2 013π＋β)]＝－[a sin(2 013π＋α)＋b cos(2 013π＋β)]＝－2.答案：－23．化简：1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°.解：原式＝1＋2sin （360°－70°）cos （360°＋70°）sin （180°＋70°）＋cos （2×360°＋70°） ＝1＋2sin （－70°）cos 70°－sin 70°＋cos 70°＝（sin 70°－cos 70°）2cos 70°－sin 70° ＝sin 70°－cos 70°cos 70°－sin 70° ＝－1. 4．已知tan(x ＋87π)＝a . 求证：sin （157π＋x ）＋3cos （x －137π）sin （207π－x ）－cos （x ＋227π）＝a ＋3a ＋1. 证明：sin （157π＋x ）＋3cos （x －137π）sin （207π－x ）－cos （x ＋227π） ＝sin [π＋（x ＋87π）]＋3cos （x ＋87π－3π）sin [4π－（x ＋87π）]－cos [2π＋（x ＋87π）] ＝－sin （x ＋87π）＋3cos [（x ＋87π）－π]sin [－（x ＋87π）]－cos （x ＋87π） ＝－sin （x ＋87π）－3cos （x ＋87π）－sin （x ＋87π）－cos （x ＋87π） ＝tan （x ＋87π）＋3tan （x ＋87π）＋1＝a ＋3a ＋1.。