决战2021年九年级中考复习数学考点满分专练——几何专题：《圆的综合》(一)

决战2021年九年级中考复习数学考点满分专练——几何专题：《圆的综合》（二）1．如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画⊙O，⊙O与边AB相切于点D，AC＝AD，连接OA交⊙O于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AB＝10，tan B＝，求⊙O的半径；（3）若F是AB的中点，试探究BD+CE与AF的数量关系并说明理由．2．定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O 于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．（3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径．①求∠AED的度数；②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积．3．如图，在△ABC中，AB＝AC．以AB为直径的⊙O与BC交于点E，与AC交于点D点，点F在边AC的延长线上，且∠CBF＝∠BAC．（1）试说明FB是⊙O的切线；（2）过点C作CG⊥AF，垂足为C．若CF＝4，BG＝3，求⊙O的半径；（3）连接DE，设△CDE的面积为S1，△ABC的面积为S2，若＝，AB＝10，求BC的长．4．已知∠MPN的两边分别与⊙O相切于点A，B，⊙O的半径为r．（1）如图1，点C在点A，B之间的优弧上，∠MPN＝80°，求∠ACB的度数；（2）如图2，点C在圆上运动，当PC最大时，要使四边形APBC为菱形，∠APB的度数应为多少？请说明理由；（3）若PC交⊙O于点D，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含r的式子表示）．5．如图1，AB是⊙O的直径，直线AM与⊙O相切于点A，直线BN与⊙O相切于点B，点C（异于点A）在AM上，点D在⊙O上，且CD＝CA，延长CD与BN相交于点E，连接AD并延长交BN于点F．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）求证：BE＝EF；（3）如图2，连接EO并延长与⊙O分别相交于点G、H，连接BH．若AB＝6，AC＝4，求tan∠BHE．6．已知：四边形ABCD内接于⊙O，连接AC、BD，∠BAD+2∠ACB＝180°．（1）如图1，求证：点A为弧BD的中点；（2）如图2，点E为弦BD上一点，延长BA至点F，使得AF＝AB，连接FE交AD于点P，过点P作PH⊥AF于点H，AF＝2AH+AP，求证：AH：AB＝PE：BE；（3）在（2）的条件下，如图3，连接AE，并延长AE交⊙O于点M，连接CM，并延长CM交AD的延长线于点N，连接FD，∠MND＝∠MED，DF＝12﹒sin∠ACB，MN＝，求AH的长．7．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC的角平分线交AC上点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，△BEF的外接圆⊙O与CB交于点D．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BC＝9，EH＝3，求⊙O的半径长；（3）如图2，在（2）的条件下，过C作CP⊥AB于P，求CP的长．8．在图1至图3中，⊙O的直径BC＝30，AC切⊙O于点C，AC＝40，连接AB交⊙O于点D，连接CD，P是线段CD上一点，连接PB．（1）如图1，当点P，O的距离最小时，求PD的长；（2）如图2，若射线AP过圆心O，交⊙O于点E，F，求tan F的值；（3）如图3，作DH⊥PB于点H，连接CH，直接写出CH的最小值．9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BD⊥AC于D，且BD＝8cm．点M从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s；同时直线PQ由点B出发沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，运动过程中始终保持PQ∥AC，直线PQ交AB于P，交BC于Q，连接PM，设运动时间为t（s），0＜t≤5．（1）CM＝，PQ＝，BQ＝；（用含t的式子表示）（2）当四边形PQCM是平行四边形时，求t的值；（3）当点M在线段PC的垂直平分线上时，求t的值；（4）是否存在时刻t，使以PM为直径的圆与△ABC的边相切？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．10．如图，A，B，C，D四点都在OO上，弧AC＝弧BC，连接AB，CD、AD，∠ADC＝45°．（1）如图1，AB是⊙O的直径；（2）如图2，过点B作BE⊥CD于点E，点F在弧AC上，连接BF交CD于点G，∠FGC＝2∠BAD，求证：BA平分∠FBE；（3）如图3，在（2）的条件下，MN与⊙O相切于点M，交EB的延长线于点N，连接AM，若2∠MAD+∠FBA＝135°，MN＝AB，EN＝26，求线段CD的长．参考答案1．解：（1）如图，连接OD，∵⊙O与边AB相切于点D，∴OD⊥AB，即∠ADO＝90°，∵AO＝AO，AC＝AD，OC＝OD，∴△ACO≌△ADO（SSS），∴∠ADO＝∠ACO＝90°，又∵OC是半径，∴AC是⊙O的切线；（2）∵tan B＝＝，∴设AC＝4x，BC＝3x，∵AC2+BC2＝AB2，∴16x2+9x2＝100，∴x＝2，∴BC＝6，∵AC＝AD＝8，AB＝10，∴BD＝2，∵OB2＝OD2+BD2，∴（6﹣OC）2＝OC2+4，∴OC＝，故⊙O的半径为；（3）AF＝CE+BD，理由如下：连接OD，DE，由（1）可知：△ACO≌△ADO，∴∠ACO＝∠ADO＝90°，∠AOC＝∠AOD，又∵CO＝DO，OE＝OE，∴△COE≌△DOE（SAS），∴∠OCE＝∠ODE，∵OC＝OE＝OD，∴∠OCE＝∠OEC＝∠OED＝∠ODE，∴∠DEF＝180°﹣∠OEC﹣∠OED＝180°﹣2∠OCE，∵点F是AB中点，∠ACB＝90°，∴CF＝BF＝AF，∴∠FCB＝∠FBC，∴∠DFE＝180°﹣∠BCF﹣∠CBF＝180°﹣2∠OCE，∴∠DEF＝∠DFE，∴DE＝DF＝CE，∴AF＝BF＝DF+BD＝CE+BD．12．解：（1）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝α，（2）如图1，延长BC到点T，∵四边形FBCD内接于⊙O，∴∠FDC+∠FBC＝180°，又∵∠FDE+∠FDC＝180°，∴∠FDE＝∠FBC，∵DF平分∠ADE，∴∠ADF＝∠FDE，∵∠ADF＝∠ABF，∴∠ABF＝∠FBC，∴BE是∠ABC的平分线，∵＝，∴∠ACD＝∠BFD，∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°，∴∠DCT＝∠BFD，∴∠ACD＝∠DCT，∴CE是△ABC的外角平分线，∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．（3）①如图2，连接CF，∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，∴∠BAC＝2∠BEC，∵∠BFC＝∠BAC，∴∠BFC＝2∠BEC，∵∠BFC＝∠BEC+∠FCE，∴∠BEC＝∠FCE，∵∠FCE＝∠F AD，∴∠BEC＝∠F AD，又∵∠FDE＝∠FDA，FD＝FD，∴△FDE≌△FDA（AAS），∴DE＝DA，∴∠AED＝∠DAE，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠AED+∠DAE＝90°，∴∠AED＝∠DAE＝45°，②如图3，过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠F AC＝∠EBC＝∠ABC＝45°，∵∠AED＝45°，∴∠AED＝∠F AC，∵∠FED＝∠F AD，∴∠AED﹣∠FED＝∠F AC﹣∠F AD，∴∠AEG＝∠CAD，∵∠EGA＝∠ADC＝90°，∴△EGA∽△ADC，∴，∵在Rt△ABG中，AB＝8，∠ABG＝45°，∴AG＝，在Rt△ADE中，AE＝AD，∴，∴，在Rt△ADC中，AD2+DC2＝AC2，∴设AD＝4x，AC＝5x，则有（4x）2+52＝（5x）2，∴x＝，∴ED＝AD＝，∴CE＝CD+DE＝，∵∠BEC＝∠FCE，∴FC＝FE，∵FM⊥CE，∴EM＝CE＝，∴DM＝DE﹣EM＝，∵∠FDM＝45°，∴FM＝DM＝，∴S△DEF＝DE•FM＝．13．解：如图，（1）证明：连接AE，∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，又∵AB＝AC，∴∠BAE＝BAC，∴∠CBF＝∠BAE，∵∠BAE+∠ABE＝90°，∴∠CBF+∠ABE＝90°，即AB⊥BF∵AB是直径，∴FB与⊙O相切．所以FB是⊙O的切线；（2）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵AB⊥BF，CG⊥AC，∴∠ABC+∠GBC＝∠ACB+∠BCG，∴∠GBC＝∠BCG，∴BG＝CG＝3．∵CG＝3，CF＝4，∴FG＝5，∴FB＝8，∵tan∠F＝＝，∴AB＝6，∴⊙O的半径为3．答：⊙O的半径为3．（3）连接BD，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∵AB＝AC，AE⊥BC，∴E为BC中点，∴S△CDE＝S△DEB，∵＝，设S1＝a，S2＝5a，∴S△BCD＝2a，S△ABD＝3a，∴＝，∴＝，∵AB＝AC＝10，∴AD＝6，CD＝4，∵在Rt△ABD中，BD＝＝8，∴在Rt△BCD中，BC＝＝4．答：BC的长为4．14．解：（1）如图1，连接OA，OB，∵P A，PB为⊙O的切线，∴∠P AO＝∠PBO＝90°，∵∠APB+∠P AO+∠PBO+∠AOB＝360°，∴∠APB+∠AOB＝180°，∵∠APB＝80°，∴∠AOB＝100°，∴∠ACB＝50°；（2）如图2，当∠APB＝60°时，四边形APBC是菱形，连接OA，OB，由（1）可知，∠AOB+∠APB＝180°，∵∠APB＝60°，∴∠AOB＝120°，∴∠ACB＝60°＝∠APB，∵点C运动到PC距离最大，∴PC经过圆心，∵P A，PB为⊙O的切线，∴P A＝PB，∠APC＝∠BPC＝30°，又∵PC＝PC，∴△APC≌△BPC（SAS），∴∠ACP＝∠BCP＝30°，AC＝BC，∴∠APC＝∠ACP＝30°，∴AP＝AC，∴AP＝AC＝PB＝BC，∴四边形APBC是菱形；（3）∵⊙O的半径为r，∴OA＝r，OP＝2r，∴AP＝r，PD＝r，∵∠AOP＝90°﹣∠APO＝60°，∴的长度＝＝，∴阴影部分的周长＝P A+PD+＝r+r+r＝（+1+）r．15．解：（1）如图1中，连接OD，∵CD＝CA，∴∠CAD＝∠CDA，∵OA＝OD∴∠OAD＝∠ODA，∵直线AM与⊙O相切于点A，∴∠CAO＝∠CAD+∠OAD＝90°，∴∠ODC＝∠CDA+∠ODA＝90°，∴CE是⊙O的切线．（2）如图1中，连接BD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∵CE是⊙O的切线，BF是⊙O的切线，∴∠OBD＝∠ODE＝90°，∴∠EDB＝∠EBD，∴ED＝EB，∵AM⊥AB，BN⊥AB，∴AM∥BN，∴∠CAD＝∠BFD，∵∠CAD＝∠CDA＝∠EDF，∴∠BFD＝∠EDF，∴EF＝ED，∴BE＝EF．（3）如图2中，过E点作EL⊥AM于L，则四边形ABEL是矩形，设BE＝x，则CL＝4﹣x，CE＝4+x，∴（4+x）2＝（4﹣x）2+62，解得：x＝，∴，∵∠BOE＝2∠BHE，∴，解得：tan∠BHE＝或﹣3（﹣3不合题意舍去），∴tan∠BHE＝．补充方法：如图2中，作HJ⊥EB交EB的延长线于J．∵tan∠BOE＝＝，∴可以假设BE＝3k，OB＝4k，则OE＝5k，∵OB∥HJ，∴＝＝，∴＝＝，∴HJ＝k，EJ＝k，∴BJ＝EJ﹣BE＝k﹣3k＝k∴tan∠BHJ＝＝，∵∠BHE＝∠HBA＝∠BHJ，∴tan∠BHE＝．16．（1）证明：连接OA、OB、OD，∵∠BAD+2∠ACB＝180°，∠BAD+∠BCD＝180°，∴2∠ACB＝∠BCD，即∠ACB＝∠ACD，∵∠AOD＝2∠ACD，∠AOB＝2ACB，∴∠AOD＝∠AOB，∴，即点A为弧AB的中点；（2）在HF上截取点Q，使HQ＝AH，连接PQ、AE，∵PH⊥AF，∴PH是AQ的垂直平分线，∴P A＝PQ，∴∠P AQ＝∠PQA，AH＝HQ，∴QF＝AF﹣AQ＝AF﹣2AH，又∵PQ＝AP＝AF﹣2AH，∴PQ＝QF，∴∠F＝∠FPQ＝PQA＝P AQ，∵，∴∠ABD＝∠ADB＝P AQ，∴∠F＝∠ABD，∴EB＝EF，∵AB＝AF，∵FH⊥BF，∴∠EAF＝∠PHF＝90°，∴EA∥PH，∴＝，又∵AF＝AB，EF＝BE，∴＝；（3）连接MD、MB，∵，，∴∠AMB＝∠AMD，∠MBD＝∠MAD，∴∠MED＝∠AMB+∠MBD，∠MDN＝∠AMD+∠MAD，∴∠MED＝∠MDN，∵∠MED＝∠MND，∴∠MDN＝∠MND，∴MD＝MN＝，∵，∴AB＝AD，∵AB＝AF，∴AD＝AF，∴∠ADF＝∠AFD，由（1）知∠ABD＝∠BDA，∴∠BDF＝∠ADF+∠ADB＝（∠ADF+∠AFD+∠ABD+∠BDA）＝×180°＝90°，∴DF＝12•sin∠ACB＝12•sin∠ABD＝12×，∴BF＝12，∴AF＝AB＝6，由（2）知∠MAB＝∠MAF＝90°，∴∠MDB＝90°，∴∠MDB+∠BDF＝180°，∴M、D、F共线，∵，∴∠ABD＝∠AMD，∴sin∠ABD＝sin∠AMD，∴＝，即＝，∴DF1＝，DF2＝﹣10（舍去），∴BD＝＝，∵∠BMD+∠BAD＝180°，∠P AH+∠BAD＝180°，∴∠BMD＝∠P AH，∴tan∠BMD＝＝＝＝tan∠P AH，tan∠PFH＝tan∠EBA＝＝，设PH＝24k，则AH＝7k，FH＝32k，∴32k+7k＝6，∴k＝，∴AH＝7k＝．17．（1）证明：连接OE．如图1所示：∵BE⊥EF，∴∠BEF＝90°，∴BF是圆O的直径，∴OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠OBE，∴∠OEB＝∠CBE，∴OE∥BC，∴∠AEO＝∠C＝90°，∴AC⊥OE，∴AC是⊙O的切线；（2）解：∵∠ACB＝90°，∴EC⊥BC，∵BE平分∠ABC，EH⊥AB，∴EH＝EC，∠BHE＝90°，在Rt△BHE和Rt△BCE中，，∴Rt△BHE≌Rt△BCE（HL），∴BH＝BC＝9，∵BE⊥EF，∴∠BEF＝90°＝∠BHE，BF是圆O的直径，∴BE＝＝＝3，∵∠EBH＝∠FBE，∴△BEH∽△BFE，∴＝，即＝，解得：BF＝10，∴⊙O的半径长＝BF＝5；（3）解：连接OE，如图2所示：由（2）得：OE＝OF＝5，EC＝EH＝3，∵EH⊥AB，∴OH＝＝＝4，在Rt△OHE中，cos∠EOA＝＝，在Rt△EOA中，cos∠EOA＝＝，∴OA＝OE＝，∴AE＝＝＝，∴AC＝AE+EC＝+3＝，，∵AB＝OB+OA＝5+＝，∠ACB＝90°，∴△ABC的面积＝AB×CP＝BC×AC，∴CP＝＝＝．18．解：（1）如图1，连接OP，∵AC切⊙O于点C，∴AC⊥BC．∵BC＝30，AC＝40，∴AB＝50．由S△ABC＝AB•CD＝AC•BC，即，解得CD＝24，当OP⊥CD时，点P，O的距离最小，此时．（2）如图2，连接CE，∵EF为⊙O的直径，∴∠ECF＝90°．由（1）知，∠ACB＝90°，由AO2＝AC2+OC2，得（AE+15）2＝402+152，解得．∵∠ACB＝∠ECF＝90°，∴∠ACE＝∠BCF＝∠AFC．又∠CAE＝∠F AC，∴△ACE∽△AFC，∴．∴．（3）CH的最小值为．解：如图3，以BD为直径作⊙G，则G为BD的中点，DG＝9，∵DH⊥PB，∴点H总在⊙G上，GH＝9，∴当点C，H，G在一条直线上时，CH最小，此时，，，即CH的最小值为．19．解：（1）∵AB＝AC＝10cm，BD⊥AC，BD＝8cm．∴由勾股定理可得：AD＝6cm，∴DC＝4cm，∴在Rt△BDC中，BC＝＝4cm，由题意得：CM＝AC﹣AM＝（10﹣2t）cm，BP＝tcm；∵PQ∥AC，∴△BPQ∽△BAC，∴＝＝，∴＝＝，∴PQ＝tcm，BQ＝cm；故答案为：（10﹣2t）cm，tcm，cm；（2）当四边形PQCM是平行四边形时，PQ∥AC且PQ＝CM，∴t＝10﹣2t，解得s．∴四边形PQCM是平行四边形时，s；（3）当点M在线段PC的垂线平分线上时，MP＝MC，过点M作ME⊥AB于点E，如图所示：在Rt△ABD中，∵AB＝10cm，BD＝8cm，∴cm，∴，在Rt△AEM中，∵AM＝2t，，∴，∴，∴，解得：t1＝0（舍去），s，∴当点M在线段PC的垂直平分线上时，s；（4）存在t＝或或或，使以PM为直径的圆与△ABC的边相切．①与AC相切，即PM⊥AC，＝cos A，∴＝，∴t＝；②与AB相切，即MP⊥AB，＝cos A，∴＝，∴；③与BC相切，即PM中点O到BC距离为，如图，设切点为K，连接EK，则EK⊥BC，作PG⊥BC于G，AS⊥BC于S，MH⊥BC 于H，PN⊥AC，则EK∥PG∥AS∥MH，∵BC＝4cm，AB＝AC，AS⊥BC，∴BS＝2cm，∴AS＝＝4cm，∴PG：BP＝AS：AB＝4：10＝2：5，∴PG＝cm；同理：MH：CM＝AS：AC＝4：10＝2：5，∴MH＝（10﹣2t）cm．∵E为PM的中点，∴K为GH的中点，∴EK是梯形PGHM的中位线，∴EK＝＝（10﹣t）cm，∵PM＝2EK，∴PM＝（10﹣t）cm．∵＝cos A＝，AP＝（10﹣t）cm，∴AN＝（10﹣t）＝（6﹣t），∴MN＝|AN﹣AM|＝|6﹣t﹣2t|＝|6﹣t|cm；∵BD⊥AC，PN⊥AC，∴PN∥BD，∴△APN∽△ABD，∴＝，∵BD＝8cm，AP＝（10﹣t）cm，AB＝10cm，∴PN＝×8＝（8﹣t）cm，∴在Rt△PMN中，由勾股定理得：+＝，整理得：33t2﹣140t+100＝0，解得：或．综上，存在t＝或或或，使以PM为直径的圆与△ABC的边相切．20．解（1）如图1，连接BD．∵＝，∴∠BDC＝∠ADC＝45°，∴∠ADB＝90°，∴AB是圆O的直径．（2）如图2，连接OG、OD、BD．则OA＝OD＝OB，∴∠OAD＝∠ODA，∠OBD＝∠ODB，∴∠DOB＝∠OAD+∠ODA＝2∠BAD，∵∠FGC＝2∠BAD，∴∠DOB＝∠FGC＝∠BGD，∴B、G、O、D四点共圆，∴∠ODE＝∠OBG，∵BE⊥CD，∠BDC＝45°，∴∠EBD＝45°＝∠EDB，∴∠OBE＝∠ODE＝∠OBG，∴BA平分∠FBE．（3）如图3，连接AC、BC、CO、DO、EO、BD．∵AC＝BC，∴AC＝BC，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∠CAB＝∠CBA＝45°，CO⊥AB，延长CO交圆O于点K，则∠DOK＝∠OCD+∠ODC＝2∠ODC＝2∠OBE＝2∠FBA，连接DM、OM，则∠MOD＝2∠MAD，∵2∠MAD+∠FBA＝135°，∴∠MOD+∠FBA＝135°，∴2∠MOD+2∠FBA＝270°，∴2∠MOD+∠DOK＝270°，∵∠AOM+∠DOM+∠KOK＝270°，∴∠AOM＝∠DOM，∴AM＝DM，连接MO并延长交AD于H，则∠MHA＝∠MHD＝90°，AH＝DH，设MH与BC交于点R，连接AR，则AR＝DR，∵∠ADC＝45°，∴∠ARD＝∠ARC＝90°，△ADR是等腰直角三角形，∴∠BRH＝∠ARH＝45°∵∠ACR+∠BCE＝∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠ACR＝∠CBE，∴△ACR≌△CBE（AAS），∴CR＝BE＝ED，作EQ⊥MN于Q，则∠EQN＝∠EQM＝90°，连接OE，则OE垂直平分BD，∴OE∥AD∥MN，∴四边形OEQM是矩形，∴OM＝EQ，OE＝MQ，延长DB交MN于点P，∵∠PBN＝∠EBD＝45°，∴∠BNP＝45°，∴△EQN是等腰直角三角形，∴EQ＝QN＝EN＝13，∴OA＝OB＝OC＝OD＝OM═13，AB＝2OA＝26，∴BC＝OC＝26，∵MN＝AB＝20，∴OE＝MQ＝MN﹣QN＝20﹣13＝7，∵∠ORE＝45°，∠EOR＝90°，∴△OER是等腰直角三角形，∴RE＝OE＝14，设BE＝CR＝x，则CE＝14+x，在Rt△CBE中：BC2＝CE2+BE2，∴262＝（x+14）2+x2，解得x＝10，∴CD＝CR+RE+DE＝10+14+10＝34．。

2021年九年级数学中考复习专题之圆的综合（考察切线证明、长度、面积、动点问题等）1．如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点D，AM⊥CD于点M，BN⊥CD于N．（1）求证：∠ADC＝∠ABD；（2）求证：AD2＝AM•AB；（3）若AM＝，sin∠ABD＝，求线段BN的长．2．如图，在直角坐标系中，⊙M经过原点O（0，0），点A（，0）与点B（0，﹣），点D在劣弧上，连接BD交x轴于点C，且∠COD＝∠CBO．（1）求⊙M的半径；（2）求证：BD平分∠ABO；（3）在线段BD的延长线上找一点E，使得直线AE恰好为⊙M的切线，求此时点E的坐标．3．如图，PB为⊙O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连接PA、AO，并延长AO交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若＝，且OC＝4，求PA的长和tan D的值．4．如图，AB是⊙O的直径，OD⊥弦BC于点F，交⊙O于点E，连结CE、AE、CD，若∠AEC＝∠ODC．（1）求证：直线CD为⊙O的切线；（2）若AB＝5，BC＝4，求线段CD的长．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，连接DE（1）求证：△ABC∽△CBD；（2）求证：直线DE是⊙O的切线．6．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，BD为⊙O的弦，且AB∥CD，过点A作⊙O的切线AE与DC的延长线交于点E，AD与BC交于点F．（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；（2）若AE＝6，CD＝5，求OF的长．7．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若⊙O的半径为4，∠CDF＝22.5°，求阴影部分的面积．8．如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）判断△ABC的形状： ；（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；（3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．以AB上某一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D．（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝3，∠B＝30°．①求⊙O的半径；②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的图形面积．（结果保留根号和π）10．如图，△ABC中，∠C＝90°，点G是线段AC上的一动点（点G不与A、C重合），以AG为直径的⊙O交AB于点D，直线EF垂直平分BD，垂足为F，EF交BC于点E，连结DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若cos A＝，AB＝8，AG＝2，求BE的长；（3）若cos A＝，AB＝8，直接写出线段BE的取值范围．答案1．（1）证明：连接OD，∵直线CD切⊙O于点D，∴∠CDO＝90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠3，∵OB＝OD，∴∠3＝∠4，∴∠ADC＝∠ABD；（2）证明：∵AM⊥CD，∴∠AMD＝∠ADB＝90°，∵∠1＝∠4，∴△ADM∽△ABD，∴，∴AD2＝AM•AB；（3）解：∵sin∠ABD＝，∴sin∠1＝，∵AM＝，∴AD＝6，∴AB＝10，∴BD＝＝8，∵BN⊥CD，∴∠BND＝90°，∴∠DBN+∠BDN＝∠1+∠BDN＝90°，∴∠DBN＝∠1，∴sin∠NBD＝，∴DN＝，∴BN＝＝．2．解：（1）∵⊙M经过O、A、B三点，且∠AOB＝90°，∴AB为直径∵点A为（，0），点B为（0，﹣），∴OA＝，OB＝，∴AB＝＝2，∴⊙M的半径为：；（2）∵∠COD＝∠CBO，∠COD＝∠CBA，∴∠CBO＝∠CBA，即BD平分∠ABO；（3）如图，过点A作AE⊥AB，垂足为A，交BD的延长线于点E，过点E作EF⊥OA 于点F，即AE是切线，∵在Rt△AOB中，tan∠OAB＝＝＝，∴∠OAB＝30°，∴∠ABO＝90°﹣∠OAB＝60°，∴∠ABC＝∠OBC＝∠ABO＝30°，∴OC＝OB•tan30°＝×＝，∴AC＝OA﹣OC＝，∴∠ACE＝∠ABC+∠OAB＝60°，∴∠EAC＝60°，∴△ACE是等边三角形，∴AE＝AC＝，∴AF＝AE＝，EF＝AE＝，∴OF＝OA﹣AF＝，∴点E的坐标为：（，）．3．（1）证明：连接OB，则OA＝OB，∵OP⊥AB，∴AC＝BC，∴OP是AB的垂直平分线，∴PA＝PB，在△PAO和△PBO中，∵，∴△PAO≌△PBO（SSS）∴∠PBO＝∠PAO，PB＝PA，∵PB为⊙O的切线，B为切点，∴∠PBO＝90°，∴∠PAO＝90°，即PA⊥OA，∴PA是⊙O的切线；（2）连接BE，∵＝，且OC＝4，∴AC＝6，∴AB＝12，在Rt△ACO中，由勾股定理得：AO＝＝2，∴AE＝2OA＝4，OB＝OA＝2，在Rt△APO中，∵AC⊥OP，∴AC2＝OC•PC，解得：PC＝9，∴OP＝PC+OC＝13，在Rt△APO中，由勾股定理得：AP＝＝3，∴PB＝PA＝3，∵AC＝BC，OA＝OE，∴OC＝BE，OC∥BE，∴BE＝2OC＝8，BE∥OP，∴△DBE∽△DPO，∴，即，解得：BD＝，在Rt△OBD中，tan∠D＝＝＝．（补充方法：可以证明△DBE∽△DAB，可得＝＝＝，由此解决问题，可以简单一些）4．（1）证明：连接OC，∵∠CEA＝∠CBA，∠AEC＝∠ODC，∴∠CBA＝∠ODC，又∵∠CFD＝∠BFO，∴∠DCB＝∠BOF，∵CO＝BO，∴∠OCF＝∠B，∵∠B+∠BOF＝90°，∴∠OCF+∠DCB＝90°，∴直线CD为⊙O的切线；（2）解：连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠DCO＝∠ACB，又∵∠D＝∠B∴△OCD∽△ACB，∵∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，∴AC＝3，∴＝，即＝，解得；DC＝．5．（1）证明：∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠BDC＝90°，又∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠BDC，又∵∠B＝∠B，∴△BCD∽△BAC；（2）连结DO，如图，∵∠BDC＝90°，E为BC的中点，∴DE＝CE＝BE，∴∠EDC＝∠ECD，又∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，而∠OCD+∠DCE＝∠ACB＝90°，∴∠EDC+∠ODC＝90°，即∠EDO＝90°，∴DE⊥OD，∴DE与⊙O相切．6．（1）证明：∵AE与⊙O相切于点A，∴∠EAC＝∠ABC，∵AB＝AC∴∠ABC＝∠ACB，∴∠EAC＝∠ACB，∴AE∥BC，∵AB∥CD，∴四边形ABCE是平行四边形；（2）解：如图，连接AO，交BC于点H，双向延长OF分别交AB，CD与点N，M，∵AE是⊙O的切线，由切割线定理得，AE2＝EC•DE，∵AE＝6，CD＝5，∴62＝CE（CE+5），解得：CE＝4，（已舍去负数），∵AB∥CD，∴∠BAD＝∠ADC，∴＝，∴AC＝BD，∴AB＝AC＝BD＝CE＝4，又根据对称性和垂径定理，得AO垂直平分BC，MN垂直平分AB，DC，设OF＝x，OH＝Y，FH＝z，∵AB＝4，BC＝6，CD＝5，∴BF＝BC﹣FH＝3﹣z，DF＝CF＝BC+FH＝3+z，易得△OFH∽△DFM∽△BFN，∴，，即，①②，①+②得：，①÷②得：，解得，∵x2＝y2+z2，∴，∴x＝，∴OF＝．7．（1）证明：连接OD，∵OB＝OD，∴∠ABC＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ODB＝∠ACB，∴OD∥AC，∵DF是⊙O的切线，∴DF⊥OD，∴DF⊥AC．（2）解：连接OE，∵DF⊥AC，∠CDF＝22.5°，∴∠ABC＝∠ACB＝67.5°，∴∠BAC＝45°，∵OA＝OE，∴∠AOE＝90°，∵⊙O的半径为4，∴S扇形AOE＝4π，S△AOE＝8 ，∴S阴影＝4π﹣8．8．证明：（1）△ABC是等边三角形．证明如下：在⊙O中∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，又∵∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形；（2）在PC上截取PD＝AP，如图1，又∵∠APC＝60°，∴△APD是等边三角形，∴AD＝AP＝PD，∠ADP＝60°，即∠ADC＝120°．又∵∠APB＝∠APC+∠BPC＝120°，∴∠ADC＝∠APB，在△APB和△ADC中，，∴△APB≌△ADC（AAS），∴BP＝CD，又∵PD＝AP，∴CP＝BP+AP；（3）当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大．理由如下，如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E．过点C作CF⊥AB，垂足为F．∵S△APB＝AB•PE，S△ABC＝AB•CF，∴S四边形APBC＝AB•（PE+CF），当点P为的中点时，PE+CF＝PC，PC为⊙O的直径，∴此时四边形APBC的面积最大．又∵⊙O的半径为1，∴其内接正三角形的边长AB＝，∴S四边形APBC＝×2×＝．9．解：（1）直线BC与⊙O相切；连结OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠BAC的角平分线AD交BC边于D，∴∠CAD＝∠OAD，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C＝90°，即OD⊥BC．又∵直线BC过半径OD的外端，∴直线BC与⊙O相切．（2）设OA＝OD＝r，在Rt△BDO中，∠B＝30°，∴OB＝2r，在Rt△ACB中，∠B＝30°，∴AB＝2AC＝6，∴3r＝6，解得r＝2．（3）在Rt△ACB中，∠B＝30°，∴∠BOD＝60°．∴．∵∠B＝30°，OD⊥BC，∴OB＝2OD，∴AB＝3OD，∵AB＝2AC＝6，∴OD＝2，BD＝2S △BOD＝×OD•BD＝2，∴所求图形面积为．10．（1）证明：连接OD，如图，∵△ABC中，∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵直线EF垂直平分BD，∴ED＝EB，∴∠B＝∠EDB，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ODA，∴∠ODA+∠EDB＝90°，∴∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）解：连接GD，∵AG为直径，∴∠ADG＝90°，∵cos A＝，∴∠A＝60°，∴∠AGD＝30°，∴AD＝AG＝，∵AB＝8，∴BD＝AB﹣AD＝8﹣＝7，∵直线EF垂直平分BD，∴BF＝BD＝，在Rt△BEF中，∠B＝30°，∴EF＝BF＝，∴BE＝2EF＝7；（3）解：∵cos A＝，∴∠A＝60°，∴∠B＝30°，∴AC＝AB＝4，由（2）得AD＝AG，BF ＝（AB﹣AD）＝4﹣AG，在Rt△BEF中，∠B＝30°，∴EF＝BF，∴BE＝2EF＝BF＝（4﹣AG）＝8﹣AG，∵0＜AG＜AC，即0＜AG＜4，∴6＜BE＜8．。

备考2021年中考一轮复习数学几何压轴专题：圆的综合（一）1．如图1，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点P以3cm/s的速度从点A向点B运动，点Q以4cm/s的速度从点C向点B运动．点P、Q同时出发，运动时间为t秒（0＜t＜2），⊙M是△PQB的外接圆．（1）当t＝1时，⊙M的半径是cm，⊙M与直线CD的位置关系是；（2）在点P从点A向点B运动过程中．①圆心M的运动路径长是cm；②当⊙M与直线AD相切时，求t的值．（3）连接PD，交⊙M于点N，如图2，当∠APD＝∠NBQ时，求t的值．2．已知：如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点O在AB上，以O为圆心，OB为半径画⊙O，分别与边AB、BC相交于点D、E，EF⊥AC，AH⊥BC，垂足分别为F、H．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）①设OB＝2，求EC的长；②设OB＝t，求FC的长（用含t的代数式表示）．3．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E，连结EB交OD于点F．（1）求证：OD⊥BE；（2）连结AD，交BE于点G，若△AGE≌△DGF，且AB＝2，求AE的长．4．已知△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接DB，DC．（1）如图①，当∠BAC＝120°时，请直接写出线段AB，AC，AD之间满足的等量关系式；（2）如图②，当∠BAC＝90°时，试探究线段AB，AC，AD之间满足的等量关系，并证明你的结论；（3）如图③，若BC＝m，BD＝n，求的值（用含m，n的式子表示）．5．定义：如图①，⊙O的半径为r，若点P'在射线OP上，且OP•OP'＝r2．则称点P'是点P关于⊙O的“反演点”．（1）如图①，设射线OP与⊙O交于点A，若点P'是点P关于⊙O的“反演点”，且OP'＝PA，求证：点P'为线段OP的一个黄金分割点；（2）如图②，若点P'是点P关于⊙O的“反演点”，过点P'作P'B⊥OP，交⊙O于点B，连接PB，求证：PB为⊙O的切线；（3）如图③，在Rt△CDE中，∠E＝90°，CE＝6，DE＝8，以CE为直径作⊙O，若点P为CD边上一动点，点P'是点P关于⊙O的“反演点”，则在点P运动的过程中，线段OP'长度的取值范围是．6．如图1，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝60°，D，E分别是，的中点，连结DE分别交AC，BC于点F，G．（1）求证：△DFC∽△CGE；（2）若DF＝3，tan∠GCE＝，求FG的长；（3）如图2，连结AD，BE，若＝x，＝y，求y关于x的函数表达式．7．定义：若一个三角形存在两个内角之差是第三个内角的两倍，则称这个三角形为关于第三个内角的“差倍角三角形”，例如，在△ABC中，∠A＝100°，∠B＝60°，∠C＝20°，满足∠A﹣∠B＝2∠C，所以△ABC是关于∠C的“差倍角三角形”；（1）若等腰△ABC是“差倍角三角形”，求等腰三角形的顶角∠A的度数；（2）如图1，△ABC中，AB＝3，AC＝8，BC＝9．小明发现这个△ABC是关于∠C的“差倍角三角形”．他的证明方法如下：证明：在BC上取点D，使得BD＝1，连结AD．（请你完成接下去的证明）（3）如图2，五边形ABCDE内接于圆，连结AC，AD与BE相交于点F，G，＝＝，△ABE是关于∠AEB的“差倍角三角形”．①求证：四边形CDEF是平行四边形；②若BF＝1，设AB＝x，y＝，求y关于x的函数关系式．8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作⊙O，分别与BC、AB相交于点D、E，连接AD，已知∠CAD＝∠B．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若∠B＝30°，AO＝，求的长；（3）若AC＝2，BD＝3，求AE的长．9．如图1，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点E，连结CA．（1）若∠ACD＝30°，求劣弧AB的度数；（2）如图2，连结BO并延长交⊙O于点G，BG交AC于点F，连结AG．①若tan∠CAE＝2，AE＝1，求AG的长；②设tan∠CAE＝x，＝y，求y关于x的函数关系式．10．如图，⊙O的半径为5，弦BC＝6，A为BC所对优弧上一动点，△ABC的外角平分线AP交⊙O于点P，直线AP与直线BC交于点E．（1）如图1．①求证：点P为的中点；②求sin∠BAC的值；（2）如图2，若点A为的中点，求CE的长；（3）若△ABC为非锐角三角形，求PA•AE的最大值．参考答案1．解：（1）如图1，过M作KN⊥AB于N，交CD于K，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AB∥CD，∴⊙M的直径是PQ，KN⊥CD，当t＝1时，AP＝3，AQ＝4，∵AB＝6，BC＝8，∴PB＝6﹣3＝3，BQ＝8﹣4＝4，∴PQ＝＝5，∴⊙M的半径为cm，∵MN∥BQ，M是PQ的中点，∴PN＝BN，∴MN是△PQB的中位线，∴MN＝BQ＝×4＝2，∴MK＝8﹣2＝6＞，∴⊙M与直线CD的位置关系是相离；故答案为：，相离；（2）①如图2，由P、Q运动速度与AB，BC的比相等，∴圆心M在对角线BD上，由图可知：P和Q两点在t＝2时在点B重合，当t＝0时，直径为对角线AC，M是AC的中点，故M运动路径为OB＝BD，由勾股定理得：BD＝＝10，则圆心M的运动路径长是5cm；故答案为：5；②如图3，当⊙M与AD相切时，设切点为F，连接FM并延长交BC于E，则EF⊥AD，EF⊥BC，则BQ＝8﹣4t，PB＝6﹣3t，∴PQ＝10﹣5t，∴PM＝＝FM＝5﹣t，△BPQ中，ME＝PB＝3﹣t，∵EF＝FM+ME，∴5﹣t+3﹣t＝6，解得：t＝；（3）如图4，过D作DG⊥PQ，交PQ的延长线于点G，连接DQ，∵∠APD＝∠NBQ，∠NBQ＝∠NPQ，∴∠APD＝∠NPQ，∵∠A＝90°，DG⊥PG，∴AD＝DG＝8，∵PD＝PD，∴Rt△APD≌Rt△GPQ（HL），∴PG＝AP＝3t，∵PQ＝10﹣5t，∴QG＝3t﹣（10﹣5t）＝8t﹣10，∵DC2+CQ2＝DQ2＝DG2+QG2，∴62+（4t）2＝82+（8t﹣10）2，∴3t2﹣10t+8＝0，（t﹣2）（3t﹣4）＝0，解得：t1＝2（舍），t2＝．2．证明：（1）如图1，连结OE，∵OE＝OB，∴∠B＝∠OEB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠OEB＝∠C，∴OE∥AC，∴∠OEF＝∠EFC，∵EF⊥AC，∴∠EFC＝90°，∴∠OEF＝90°，∴EF⊥OE，∵点E在⊙O上，∴EF是⊙O的切线；（2）①如图2，连结OE，∵OE∥AC，∴△BOE∽△BAC．∴＝，∴＝，∴BE＝，∴EC＝6﹣＝；②∵AB＝AC，∴BH＝BC，∵BC＝6，∴BH＝3，由①知：＝，即＝，∴BE＝，∴EC＝6﹣，∵AH⊥BC，EF⊥AC，∴∠AHB＝∠EFC＝90°，∵∠OBE＝∠C，∴△ABH～△EFC，∴＝，∴＝，∴FC＝﹣．3．（1）证明：如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∠AEB＝90°，∴AD⊥BC，AE⊥BE，∵AB＝AC，∴BD＝DC，∵BO＝OA，∴OD为△BAC的中位线，∴OD∥AC，∴OD⊥BE．（2）∵△AGE≌△DGF，∴AE＝DF，∵AO＝OB，FO∥AE，∴EF＝FB，∴OF＝AE＝DF，∵AB＝2，∴OD＝AB＝1，∴DF＝OD＝，∴AE＝DF＝．4．解：（1）如图①在AD上截取AE＝AB，连接BE，∵∠BAC＝120°，∠BAC的平分线交⊙O于点D，∴∠DBC＝∠DAC＝60°，∠DCB＝∠BAD＝60°，∴△ABE和△BCD都是等边三角形，∴∠ABE＝∠DBC＝60°，∴∠DBE＝∠ABC，又∵AB＝BE，BC＝BD，∴△BED≌△BAC（SAS），∴DE＝AC，∴AD＝AE+DE＝AB+AC；故答案为：AB+AC＝AD．（2）AB+AC＝AD．理由如下：如图②，延长AB至点M，使BM＝AC，连接DM，∵四边形ABDC内接于⊙O，∴∠MBD＝∠ACD，∵∠BAD＝∠CAD＝45°，∴BD＝CD，∴△MBD≌△ACD（SAS），∴MD＝AD，∠M＝∠CAD＝45°，∴MD⊥AD．∴AM＝AD，即AB+BM＝AD，∴AB+AC＝AD；（3）如图③，延长AB至点N，使BN＝AC，连接DN，∵四边形ABDC内接于⊙O，∴∠NBD＝∠ACD，∵∠BAD＝∠CAD，∴BD＝CD，∴△NBD≌△ACD（SAS），∴ND＝AD，∠N＝∠CAD，∴∠N＝∠NAD＝∠DBC＝∠DCB，∴△NAD∽△CBD，∴，∴，又AN＝AB+BN＝AB+AC，BC＝m，BD＝n，∴＝．5．（1）证明：由已知得OP•OP'＝r2，∵OP'＝PA，∴PP'＝PA+AP'＝OP'+P'A＝r，∴，∴点P'为线段OP的一个黄金分割点；（2）证明：∵P'B⊥OP，∴∠OP'B＝90°，∵OP•OP'＝r2，∴，∴△P'OB∽△BOP，∴∠OBP＝∠OP'B＝90°，∴PB⊥OB，∴PB为⊙O的切线；（3）解：如图③，过点O作OH⊥CD于H，连接OD，∵CE＝6，∴⊙O的半径为3，即r＝3，∵点P'是点P关于⊙O的“反演点”，∴OP•OP'＝32＝9，∴OP'＝，∵OH≤OP≤OD，∵∠CEB＝90°，CE＝6，DE＝8，∴CD＝10，∵sin∠C＝＝＝，∴OH＝OC＝，由勾股定理得：OD＝＝＝，∵OP＝，OH≤OP≤OD，则≤OP'≤．故答案为：≤OP'≤．6．解：（1）∵点D是的中点，∴，∵点E是的中点，∴，∴∠CDE＝∠BCG，∴△DFC∽△CGE；（2）由（1）知，∠ACD＝∠CED，∠CDE＝∠BCG，∴∠ACD+∠CDE＝∠CED+∠BCG，∴∠CFG＝∠CGF，∵CF＝CG，∵∠ACB＝60°，∴△CFG是等边三角形，如图1，过点C作CH⊥FG于H，∴∠DHC＝90°，设FH＝a，∴∠FCH＝30°，∴FG＝CF＝2a，CH＝a，∵DF＝3，∴DH＝DF+FH＝3+a，∵∠GCE＝∠CDE，tan∠GCE＝，∴tan∠CDE＝，在Rt△CHD中，tan∠CDE＝＝，∴＝，∴a＝1，∴FG＝2a＝2；（3）如图2，连接AE，则∠AEB＝∠ACB＝60°，∠DAE＝∠CAD+∠CAE＝∠ACD+∠CDF＝∠CFG＝60°，∴∠AEB＝∠DAE，∴BE∥AD，设BE与AD的距离为h，∴＝，∴S△ABE＝•S△ADE，∵D，E分别是，的中点，∴CD＝AD，BE＝CE，∴S△ABE＝•S△ADE，过点D作DM⊥AC于M，∵，∴AD＝CD，∴AC＝2CM，由（2）知，△CFG是等边三角形，∴∠CFG＝60°，∴∠DFM＝60°，∴∠MDF＝30°，设MF＝m，则DM＝m，DF＝2m，∵＝x，∴CF＝x•DF＝2mx，∴CG＝CF＝2mx，由（1）知，△DFC∽△CGE，∴，∴＝，∴S△ABE＝•S△ADE＝S△ADE，∴S四边形ABED＝S△ADE+S△ABE＝S△ADE，∵MF＝m，CF＝x•DF＝2mx，∴CM＝MF+CF＝m+2mx＝（2x+1）m，∴AC＝2CM＝2（2x+1）m，∴AF＝AC﹣CF＝2（2x+1）m﹣2mx＝2（x+1）m，过点A作AN⊥DF于N，∴S△ADF＝AF•DM＝DF•AN，∴AN＝＝＝（x+1）m，过点C作CP⊥FG，由（2）知，PF＝CF＝mx，CP＝mx，∴y＝＝＝•＝•＝•＝•＝．7．解：（1）设等腰三角形的顶角∠A为2x，则等腰三角形的底角为90°﹣x，∵等腰△ABC是“差倍角三角形”，∴90°﹣x﹣2x＝2•2x或2x﹣（90°﹣x）＝2（90°﹣x），∴x＝或x＝54°，∴∠A＝2x＝或∠A＝2x＝108°，∴顶角∠A的度数为或108°；（2）如图1，在BC上取点D，使得BD＝1，连结AD，∴CD＝BC﹣BD＝8，∵AC＝8，∴CD＝AC，∴∠CAD＝∠ADC，∵AB＝3，AC＝8，BC＝9，∴＝＝，＝，∴，∵∠ABD∽△CBA，∴∠BAD＝∠C，∴∠ADC＝∠CAD，∴∠BAC﹣∠BAD＝∠CAD＝∠ADC，∴∠BAC﹣∠C＝∠ADC，∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠B+∠C，∴∠BAC﹣∠C＝B+∠C，∴∠BAC﹣∠B＝2∠C，∴△ABC是关于∠C的“差倍角三角形”；（3）①∵＝＝，∴∠BAC＝∠AEB＝∠ACB＝∠DAE，设∠BAC＝∠AEB＝∠ACB＝∠DAE＝α，∵△ABE是关于∠AEB的“差倍角三角形”，∴∠BAE﹣∠ABE＝2∠AEB，∴α+∠CAD+α﹣∠ABE＝2α，∴∠CAD＝∠ABE，∴，∴DE∥AC，∵，∴CD∥BE，∴四边形CDEF是平行四边形；②∵∠BAF＝∠AEB，∠ABF＝∠EBA，∴△ABF∽△EBA，∴＝＝，∴BE＝＝＝x2，∴EF＝BE﹣BF＝x2﹣1，∵四边形CDEF是平行四边形，∴CD＝EF＝x2﹣1，∵，∴AE＝CD＝x2﹣1，∴AF＝＝＝，过点B作BM⊥AC于M，EN⊥AC于N，∴BM∥EN，∴△BFM∽△EFN，∴＝，∴BM＝EN，过点G作GH⊥AE于H，∵∠BAC＝ACB＝∠AEG＝∠EAG，∴△ABC∽△AGE，∴，∴＝＝，∴＝，∴y＝＝＝•＝•＝．8．解：（1）如图1，连接OD，∵∠ACB＝90°，∴∠CAD+∠ADC＝90°，∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∵∠CAD＝∠B，∴∠CAD＝∠ODB，∴∠ODB+∠ADC＝90°，∴∠ADO＝90°，又∵OD是半径，∴AD是⊙O的切线；（2）∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，∴∠CAD＝30°，∠CAB＝60°，∴∠DAB＝30°，∴OD＝AO，∴OD＝，∵OD＝OB，∠B＝30°，∴∠B＝∠ODB＝30°，∴∠DOB＝120°，∴劣弧BD的长＝＝π；（3）如图2，连接DE，∵BE是直径，∴∠BDE＝90°，∴∠ACB＝∠EDB＝90°，∴AC∥DE，∵∠B＝∠CAD，∠ACD＝∠EDB，∴△ACD∽△BDE，∴，∴设CD＝2x，DE＝3x，∵AC∥DE，∴，∴，∴x＝，∴CD＝1，BC＝BD+CD＝4，∴AB＝＝＝2，∵DE∥AC，∴，∴AE＝×2＝．9．解：（1）如图1，连接OA，OB，∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，∴＝，∴∠AOD＝∠BOD，∵∠ACD＝30°，∴∠AOD＝60°，∴∠AOB＝120°，∴劣弧AB的度数是120°；（2）①∵CD⊥AB，∴AE＝BE＝1，∠AEC＝90°，在Rt△AEC中，tan∠CAE＝＝2，∴CE＝2，设OE＝x，则OC＝2﹣x＝OB，在Rt△OEB中，由勾股定理得：OB2＝OE2+BE2，即（2﹣x）2＝x2+1，解得：x＝，∴OE＝，∵OG＝OB，AE＝BE，∴OE是△AGB的中位线，∴AG＝2OE＝；②∵BG是⊙O的直径，∴∠BAG＝90°，∵∠BAG＝∠BEO＝90°，∴OC∥AG，∴∠C＝∠GAC，∵∠GFA＝∠OFC，∴△GAF∽△OCF，∴，∵，且GF+BF＝2OG，∴OG＝•GF，∵OF＝OG﹣GF，∴OF＝，∴＝，如图3，连接OA，∵OA＝OC，AG＝2OE，∴＝＝，∵tan∠CAE＝＝x，∴CE＝x•AE＝OA+OE，∴AE＝，Rt△AOE中，OA2＝OE2+AE2，∴OA2＝OE2+（）2，即OA2＝OE2+（OA2+2OA•OE+OE2），两边同时除以OA2，得：1＝（）2+（+1）2，设＝a，则原方程变形为：a2+（a2+2a+1）﹣1＝0，（1+）a2++﹣1＝0，（a+1）[（1+）a+（﹣1）]＝0，∴a1＝﹣1（舍），a2＝，∴＝，∴＝，∴y＝﹣．10．（1）①证明：如图1，连接PC，∵A、P、B、C四点内接于⊙O，∴∠PAF＝∠PBC，∵AP平分∠BAF，∴∠PAF＝∠BAP，∵∠BAP＝∠PCB，∴∠PCB＝∠PBC，∴PB＝PC，∴＝，∴点P为的中点；②解：如图2，过P作PG⊥BC于G，交BC于G，交⊙O于H，连接OB，∴，∴PH是直径，∵∠BPC＝∠BAC，∠BOG＝∠BPG＝∠BPC，∵OG⊥BC，∴BG＝BC＝3，Rt△BOG中，∵OB＝5，∴sin∠BAC＝sin∠BOG＝＝；（2）解：如图3，过P作PG⊥BC于G，连接OC，由（1）知：PG过圆心O，且CG＝3，OC＝OP＝5，∴OG＝4，∴PG＝4+5＝9，∴PC＝＝＝3，设∠APC＝x，∵A是的中点，∴＝，∴∠ABC＝∠ABP＝x，∵PB＝PC，∴∠PCB＝∠PBC＝2x，△PCE中，∠PCB＝∠CPE+∠E，∴∠E＝2x﹣x＝x＝∠CPE，∴CE＝PC＝3；（3）解：如图4，过点C作CQ⊥AB于Q，∵∠ACE＝∠P，∠CAE＝∠PAF＝∠PAB，∴△ACE∽△APB，∴，∴PA•AE＝AC•AB，∵sin∠BAC＝，∴CQ＝AC•sin∠BAC＝AC，∴S△ABC＝AB•CQ＝，∴PA•AE＝S△ABC，∵△ABC为非锐角三角形，∴点A运动到使△ABC为直角三角形时，如图5，△ABC的面积最大，Rt△ABC中，AB＝10，BC＝6，∴AC＝8，此时PA•AE＝×＝80．。

备战2022最新年九年级中考数学考点训练——几何专题：《圆的综合》（一）1．对于平面内⊙C和⊙C外一点P，若过点P的直线l与⊙C有两个不同的公共点M，N，点Q为直线l上的另一点，且满足（如图1所示），则称点Q是点P关于⊙O的密切点．已知在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，点P（4，0）．（1）在点D（﹣2，1），E（1，0），F（3，）中，是点P关于⊙O的密切点的为．（2）设直线l方程为y＝kx+b，如图2所示，①k＝﹣时，求出点P关于O的密切点Q的坐标；②⊙T的圆心为T（t，0），半径为2，若⊙T上存在点P关于⊙O 的密切点，直接写出t的取值范围．2．A，B是⊙C上的两个点，点P在⊙C的内部．若∠APB为直角，则称∠APB为AB关于⊙C的内直角，特别地，当圆心C在∠APB 边（含顶点）上时，称∠APB为AB关于⊙C的最佳内直角．如图1，∠AMB是AB关于⊙C的内直角，∠ANB是AB关于⊙C的最佳内直角．在平面直角坐标系xOy中．（1）如图2，⊙O的半径为5，A（0，﹣5），B（4，3）是⊙O 上两点．①已知P1（1，0），P2（0，3），P3（﹣2，1），在∠AP1B，∠AP2B，∠AP3B，中，是AB关于⊙O的内直角的是；②若在直线y＝2x+b上存在一点P，使得∠APB是AB关于⊙O的内直角，求b的取值范围．（2）点E是以T（t，0）为圆心，4为半径的圆上一个动点，⊙T 与x轴交于点D（点D在点T的右边）．现有点M（1，0），N（0，n），对于线段MN上每一点H，都存在点T，使∠DHE是DE关于⊙T的最佳内直角，请直接写出n的最大值，以及n取得最大值时t的取值范围．3．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”．如图1，△ABC中，点D是BC边上一点，连结AD，若AD2＝BD•CD，则称点D是△ABC中BC边上的“好点”．（1）如图2，△ABC的顶点是4×3网格图的格点，请仅用直尺画出AB边上的一个“好点”．（2）△ABC中，BC＝9，tanB＝，tanC＝，点D是BC边上的“好点”，求线段BD的长．（3）如图3，△ABC是⊙O的内接三角形，OH⊥AB于点H，连结CH并延长交⊙O于点D．①求证：点H是△BCD中CD边上的“好点”．②若⊙O的半径为9，∠ABD＝90°，OH＝6，请直接写出的值．4．如图，⊙O是△ABD的外接圆，AB为直径，点C是弧AD的中点，连接OC，BC分别交AD于点F，E．（1）求证：∠ABD＝2∠C．（2）若AB＝10，BC＝8，求BD的长．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，8），B（6，0），C（0，3），点D从点A运动到点B停止，连接CD，以CD长为直径作⊙P．（1）若△ACD∽△AOB，求⊙P的半径；（2）当⊙P与AB相切时，求△POB的面积；（3）连接AP、BP，在整个运动过程中，△PAB的面积是否为定值，如果是，请直接写出面积的定值，如果不是，请说明理由．6．如图，已知Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝6．边长为4的等边△DEF沿射线AC运动（A、D、E、C四点共线）．当等边△DEF的边DF、EF与Rt△ABC的边AB分别相交于点M、N（M、N不与A、B重合）时，设AD＝x．（1）则△FMN的形状是，△ADM的形状是；（2）△ABC与△DEF重叠部分的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出的取值范围；（3）若以点M为圆心，MN为半径的圆与边AC、EF同时相切，求此时MN的长．7．如图，以点O为圆心，OE为半径作优弧EF，连接OE，OF，且OE＝3，∠EOF＝120°，在弧EF上任意取点A，B（点B在点A 的顺时针方向）且使AB＝2，以AB为边向弧内作正三角形ABC．（1）发现：不论点A在弧上什么位置，点C与点O的距离不变，点C与点O的距离是；点C到直线EF的最大距离是．（2）思考：当点B在直线OE上时，求点C到OE的距离，在备用图1中画出示意图，并写出计算过程．（3）探究：当BC与OE垂直或平行时，直接写出点C到OE的距离．8．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，2），点M从点A出发沿x轴负方向以每秒3cm的速度移动，同时点N从原点出发沿y轴正方向以每秒1cm的速度移动．设移动的时间为t秒．（1）若点M在线段OA上，试问当t为何值时，△ABO与以点O、M、N为顶点的三角形相似？（2）若直线y＝x与△OMN外接圆的另一个交点是点C．①试说明：当0＜t＜2时，OM、ON、OC在移动过程满足OM+ON ＝OC；②试探究：当t＞2时，OM、ON、OC之间的数量关系是否发生变化，并说明理由．9．如图，将一副斜边相等的直角三角板按斜边重合摆放在同一平面内，其中∠CAB＝30°，∠DAB＝45°，点O为斜边AB的中点，连接CD交AB于点E．（1）求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上；（2）求证：CD平分∠ACB；（3）过点D作DF∥BC交AB于点F，求证：BO2+OF2＝EF•BF．10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝2．AD⊥BC 于D．E为边BC上的一个（不与B、C重合）点，且AE⊥EF于E，∠EAF＝∠B，AF相交于点F．（1）填空：AC＝；∠F＝．（2）当BD＝DE时，证明：△ABC≌△EAF．（3）△EAF面积的最小值是．（4）当△EAF的内心在△ABC的外部时，直接写出AE的范围．参考答案1．解：（1）当圆心在坐标原点时，直线l为y＝0时，∵⊙O的半径为2，点P（4，0）．∴M（2，0），N（﹣2，0），PM＝2，PN＝6，＝，∵，∴＝，设Q点坐标为（x，y），则QM＝|2﹣x|，QN＝|x﹣（﹣2）|＝|x+2|，∴＝，∴|2+x|＝3|2﹣x|，∴2+x＝6﹣3x，或2+x＝3x﹣6，∴x＝1，或x＝4，∴E（1，0）是点P关于⊙O的密切点．故答案为：E．（2）①依题意直线l：y＝kx+b过定点P（4，0），∵k＝﹣∴将P（4，0）代入y＝﹣x+b得：0＝﹣×4+b，∴b＝，∴y＝﹣x+．如图，作MA⊥x轴于点A，NB垂直x轴于点B，设M（x，﹣x+），由OM＝2得：x2+＝4，∴5x2﹣4x﹣10＝0，则M，N两点的横坐标xM，xN是方程5x2﹣4x﹣10＝0的两根，解得xM＝，xN＝，∴AB＝，PA＝，PB＝，∵，∴＝，＝，∴＝，∴HA＝，∴OH＝OA﹣HA＝﹣＝1，∴Q（1，1）．②点P关于⊙O的密切点的轨迹为切点弦ST（不含端点），如图所示：∴﹣1≤t＜0或2＜t≤3．2．解：（1）如图1，∵P1（1，0），A（0，﹣5），B（4，3），∴AB＝＝4，P1A＝＝，P1B＝＝3，∴P1不在以AB为直径的圆弧上，故∠AP1B不是AB关于⊙O的内直角，∵P2（0，3），A（0，﹣5），B（4，3），∴P2A＝8，AB＝4，P2B＝4，∴P2A2+P2B2＝AB2，∴∠AP2B＝90°，∴∠AP2B是AB关于⊙O的内直角，同理可得，P3B2+P3A2＝AB2，∴∠AP3B是AB关于⊙O的内直角，故答案为：∠AP2B，∠AP3B；（2）∵∠APB是AB关于⊙O的内直角，∴∠APB＝90°，且点P在⊙O的内部，∴满足条件的点P形成的图形为如图2中的半圆H（点A，B均不能取到），过点B作BD⊥y轴于点D，∵A（0，﹣5），B（4，3），∴BD＝4，AD＝8，并可求出直线AB的解析式为y＝2x﹣5，∴当直线y＝2x+b过直径AB时，b＝﹣5，连接OB，作直线OH交半圆于点E，过点E作直线EF∥AB，交y 轴于点F，∵OA＝OB，AH＝BH，∴EH⊥AB，∴EH⊥EF，∴EF是半圆H的切线．∵∠OAH＝∠OAH，∠OHB＝∠BDA＝90°，∴△OAH∽△BAD，∴，∴OH＝AH＝EH，∴OH＝EO，∵∠EOF＝∠AOH，∠FEO＝∠AHO＝90°，∴△EOF≌△HOA（ASA），∴OF＝OA＝5，∵EF∥AB，直线AB的解析式为y＝2x﹣5，∴直线EF的解析式为y＝2x+5，此时b＝5，∴b的取值范围是﹣5＜b≤5．（3）∵对于线段MN上每一个点H，都存在点T，使∠DHE是DE 关于⊙T的最佳内直角，∴点T一定在∠DHE的边上，∵TD＝4，∠DHT＝90°，线段MN上任意一点（不包含点M）都必须在以TD为直径的圆上，该圆的半径为2，∴当点N在该圆的最高点时，n有最大值，即n的最大值为2．分两种情况：①若点H不与点M重合，那么点T必须在边HE上，此时∠DHT ＝90°，∴点H在以DT为直径的圆上，如图3，当⊙G与MN相切时，GH⊥MN，∵OM＝1，ON＝2，∴MN＝＝，∵∠GMH＝∠OMN，∠GHM＝∠NOM，ON＝GH＝2，∴△GHM≌△NOM（ASA），∴MN＝GM＝，∴OG＝﹣1，∴OT＝+1，当T与M重合时，t＝1，∴此时t的取值范围是﹣﹣1≤t＜1，②若点H与点M重合时，临界位置有两个，一个是当点T与M重合时，t＝1，另一个是当TM＝4时，t＝5，∴此时t的取值范围是1≤t＜5，综合以上可得，t的取值范围是﹣﹣1≤t＜5．3．解：（1）如答图1，当CD⊥AB或点D是AB的中点是，CD2＝AD•BD；（2）作AE⊥BC于点E，由，可设AE＝4x，则BE＝3x，CE＝6x，∴BC＝9x＝9，∴x＝1，∴BE＝3，CE＝6，AE＝4，设DE＝a，①如答图2，若点D在点E左侧，由点D是BC边上的“好点”知，AD2＝BD•CD，∴a2+42＝（3﹣a）（6+a），即2a2+3a﹣2＝0，解得，a2＝﹣2（舍去），∴．②如答图3，若点D在点E右侧，由点D是BC边上的“好点”知，AD2＝BD•CD，∴a2+42＝（3+a）（6﹣a），即2a2﹣3a﹣2＝0，解得a1＝2，（舍去）∴BD＝3+a＝3+2＝5．∴或5．（3）①如答图4，连接AD，BD，∵∠CHA＝∠BHD，∠ACH＝∠DBH∴△AHC∽△DHB，∴，即AH•BH＝CH•DH，∵OH⊥AB，∴AH＝BH，∴BH2＝CH•DH∴点H是△BCD中CD边上的“好点”．②．理由如下：如答图4，∵∠ABD＝90°，∴AD是直径，∴AD＝18．又∵OH⊥AB，∴OH∥BD．∵点O是线段AD的中点，∴OH是△ABD的中位线，∴BD＝2OH＝12．在直角△ABD中，由勾股定理知：AB＝＝＝6．∴由垂径定理得到：BH＝AB＝3．在直角△BDH中，由勾股定理知：DH＝＝＝3．又由①知，BH2＝CH•DH，即45＝3CH，则CH＝．∴＝＝，即．4．（1）证明：∵C是的中点，∴＝，∴∠ABC＝∠CBD，∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠C，∴∠ABC＝∠CBD＝∠C，∴∠ABD＝∠ABC+CBD＝2∠C；（2）解：连接AC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC＝＝6，∵C是的中点，∴OC⊥AD，∴OA2﹣OF2＝AF2＝AC2﹣CF2，∴52﹣OF2＝62﹣（5﹣OF）2，∴OF＝1.4，又∵O是AB的中点，∴BD＝2OF＝2.8．5．解：（1）如图1，∵A（0，8），B（6，0），C（0，3），∴OA＝8，OB＝6，OC＝3，∴AC＝5，∵△ACD∽△AOB，∴，∴∴CD的＝，∴⊙P的半径为；（2）在Rt△AOB中，OA＝8，OB＝6，∴＝＝10，如图2，当⊙P与AB相切时，CD⊥AB，∴∠ADC＝∠AOB＝90°，∠CAD＝∠BAO，∴△ACD∽△ABO，∴，即，∴AD＝4，CD＝3，∵CD为⊙P的直径，∴CP＝，过点P作PE⊥AO于点E，∵∠PEC＝∠ADC＝90°，∠PCE＝∠ACD，∴△CPE∽△CAD，∴，即，∴，∴，∴△POB的面积＝＝；（3）①如图3，若⊙P与AB只有一个交点，则⊙P与AB相切，由（2）可知PD⊥AB，PD＝，∴△PAB的面积＝．②如图4，若⊙P与AB有两个交点，设另一个交点为F，连接CF，可得∠CFD＝90°，由（2）可得CF＝3，过点P作PG⊥AB于点G，则DG＝，则PG为△DCF的中位线，PG＝，∴△PAB的面积＝＝．综上所述，在整个运动过程中，△PAB的面积是定值，定值为．6．解：（1）如图1，∵△DEF是等边三角形，∴∠FDE＝∠F＝60°．∵∠A＝30°，∴∠AMD＝∠FDE﹣∠A＝30°，∴∠FMN＝∠AMD＝30°，∴∠MNF＝90°，即△FMN是直角三角形，∵∠FDE＝60°，∴∠AMD＝∠FDE﹣∠A＝30°，∴∠AMD＝∠A，∴DM＝DA，∴△ADM是等腰三角形；故答案为：直角三角形，等腰三角形；（2）如图2，△ADM是等腰三角形，∴DM＝AD＝x，FM＝4﹣x，又∵∠FED＝60°，∠A＝30°，∴∠FNM＝90°，∴MN＝MF•sinF＝（4﹣x），FN＝，∴y＝＝，＝．当0＜x≤2时，∴y＝S四边形DENM＝S△FDE﹣S△FMN＝4，当2≤x＜4时，CD＝6﹣x，∵∠BCE＝90°，∠PDC＝60°，∴PC＝（6﹣x），∴，＝．（3）如图3，点M作MG⊥AC于点G，由（2）得DM＝x，∵∠MDG＝60°，∴MG＝，MNF＝90°∴MN⊥FC要使以点M为圆心，MN长为半径的圆与边AC、EF相切，则有MG＝MN，∴，解得：x＝2，∴圆的半径MN＝．7．解：（1）如图1，连接OA、OB、OC，延长OC交AB于点G，在正三角形ABC中，AB＝BC＝AC＝2，∵OA＝OB，AC＝BC，∴OC垂直平分AB，∴AG＝AB＝1，∴在Rt△AGC中，由勾股定理得：CG＝＝＝，在Rt△AGO中，由勾股定理得：OG＝＝＝2，∴OC＝2﹣；如图2，延长CO交EF于点H，当CO⊥EF时，点C到直线EF的距离最大，最大距离为CH的长，∵OE＝OF，CO⊥EF，∴CO平分∠EOF，∵∠EOF＝120°，∴∠EOH＝∠EOF＝60°，在Rt△EOH中，cos∠EOH＝，∴cos60°＝＝，∴OH＝，∴CH＝CO+OH＝，∴点C到直线EF的最大距离是．故答案为：2﹣；．（2）如图3，当点B在直线OE上时，由OA＝OB，CA＝CB可知，点O，C都在线段AB的垂直平分线上，过点C作AB的垂线，垂足为G，则G为AB中点，直线CG过点O．∴由∠COM＝∠BOG，∠CMO＝∠BGO∴△OCM∽△OBG，∴＝，∴＝，∴CM＝，∴点C到OE的距离为．（3）如图4，当BC⊥OE时，设垂足为点M，∵∠EOF＝120°，∴∠COM＝180°﹣120°＝60°，∴在Rt△COM中，sin∠COM＝，∴sin60°＝＝，∴CM＝CO＝（2﹣）＝﹣；如图5，当BC∥OE时，过点C作CN⊥OE，垂足为N，∵BC∥OE，∴∠CON＝∠GCB＝30°，∴在Rt△CON中，sin∠CON＝，∴sin30°＝＝，∴CN＝CO＝（2﹣）＝﹣；综上所述，当BC与OE垂直或平行时，点C到OE的距离为﹣或﹣．8．解：（1）由题意，得OA＝6，OB＝2．当0＜t＜2时，OM＝6﹣3t，ON＝t．若△ABO∽△MNO，则＝，即＝，解得t＝1．若△ABO∽△NMO，则＝，即＝，解得t＝1.8．综上，当t为1或1.8时，△ABO与以点O、M、N为顶点的三角形相似．（2）①当0＜t＜2时，在ON的延长线的截取ND＝OM，连接CD、CN、CM，如图所示：∵直线y＝x与x轴的夹角为450，∴OC平分∠AOB．∴∠AOC＝∠BOC．∴CN＝CM．又∵在⊙O中∠CNO+∠CMO＝180°，∠DNC+∠CNO＝180°，∴∠CND＝∠CMO．∴△CND≌△CMO（SAS）．∴CD＝CO，∠DCN＝∠OCM．又∵∠AOB＝90°，∴MN为⊙O的直径，∴∠MCN＝90°．∴∠OCM+∠OCN＝90°．∴∠DCN+∠OCN＝90°．∴∠OCD＝90°．又∵CD＝CO，∴OD＝OC．∴ON+ND＝OC．∴OM+ON＝OC．②当t＞2时，过点C作CD⊥OC交ON于点D，连接CM、CN，如图所示：∵∠COD＝45°，∴△CDO为等腰直角三角形，∴OD＝OC．∵MN为⊙O的直径，∴∠MCN＝90°．又∵在⊙O中，∠CMN＝∠CNM＝45°，∴MC＝NC．又∵∠OCD＝∠MCN＝90°，∴∠DCN＝∠OCM．∴△CDN≌△COM（SAS）．∴DN＝OM．又∵OD＝OC，∴ON﹣DN＝OC．∴ON﹣OM＝OC．9．证明：（1）如图，连接OD，OC，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O是AB的中点，在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，点O是AB的中点，∴OD＝OA＝OB，∴OA＝OB＝OC＝OD，∴A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上；（2）由（1）知，A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上，且AD＝BD，∴，∴CD平分∠ACB；（3）由（2）知，∠BCD＝45°，∵∠ABC＝60°，∴∠BEC＝75°，∴∠AED＝75°，∵DF∥BC，∴∠BFD＝∠ABC＝60°，∵∠ABD＝45°，∴∠BDF＝180°﹣∠BFD﹣∠ABD＝75°＝∠AED，∵∠DFE＝∠BFD，∴△DEF∽△BDF，∴，连接OD，则∠BOD＝90°，OB＝OD，在Rt△DOF中，根据勾股定理得，OD2+OF2＝DF2，∴OB2+OF2＝BF•EF，即BO2+OF2＝EF•BF．10．解：（1）∵∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝2，tanB＝，∴AC＝AB•tanB＝2tan60°＝2；∵AE⊥EF，∴∠AEF＝90°，∵∠EAF＝∠B＝60°，∴∠F＝90°﹣∠EAF＝90°﹣60°＝30°．故答案为：2，30°；（2）证明：当BD＝DE时，∵AD⊥BC于D，∴AB＝AE，∵∠AEF＝90°，∠BAC＝90°，∴∠AEF＝∠BAC，又∠EAF＝∠B，∴△ABC≌△EAF（ASA）；（3）∵∠AEF＝90°，∠EAF＝60°，tan∠EAF＝，∴EF＝AE•tan∠EAF＝AE•tan60°＝AE，∴S△EAF＝AE•EF＝AE×AE＝AE2，当AE⊥BC时，AE最短，S△EAF最小，此时∠AEB＝90°，sinB＝，∴AE＝AB•sinB＝2sin60°＝2×＝，S△EAF＝AE2＝×3＝，∴△EAF面积的最小值是，故答案为：；（4）当△EAF内心恰好落在AC上时，设△EAF的内心为N，连接EN，如图：∵N是△EAF的内心，∴AN平分∠EAF，EN平分∠AEF，∴∠EAC＝∠AEF＝×60°＝30°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝90°﹣30°＝60°，又∵∠B＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴AE＝AB＝2，∵E为BC上的一点，不与B、C重合，由（1）可知AC＝2，∴当△EAF的内心在△ABC的外部时，．故答案为：．。

2021年中考九年级数学第二轮冲刺分类专题复习：《圆》综合训练试题（一）1．如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝5，AC＝3．连接OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．（1）求证：∠CAD＝∠CBA．（2）求EF：FD的值．2．定义：在平面直角坐标系xOy中，点P为图形M上一点，点Q为图形N上一点．若存在OP＝OQ，则称图形M与图形N关于原点O“平衡”．（1）如图1，已知⊙A是以（1，0）为圆心，2为半径的圆，点C（﹣1，0），D（﹣2，1），E（3，2）．①在点C，D，E中，与⊙A关于原点O“平衡”的点是；②点H为直线y＝﹣x上一点，若点H与⊙A关于原点O“平衡”，求点H的横坐标的取值范围；（2）如图2，已知图形G是以原点O为中心，边长为2的正方形．⊙K的圆心在x轴上，半径为2．若⊙K与图形G关于原点O“平衡”，请直接写出圆心K的横坐标的取值范围．3．如图，AC是⊙O的直径，点B是⊙O上一点，且BD＝BA，过点B作BE⊥DC，交DC的延长线于点E．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）若BE＝2CE，当AD＝6时，求BD的长．4．如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作直线l交CA的延长线于点P，且∠ADP＝∠BCD，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF ⊥CD于点F．（1）求证：DP∥AB；（2）求证：PD是⊙O的切线；（3）若AC＝6，BC＝8，求线段PD的长．5．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC于点F．（1）判断DF与是⊙O的位置关系，并证明你的结论．（2）若⊙O的半径为4，∠CDF＝22.5°，求阴影部分的面积．6．已知，△ABC内接于圆O，过点C作AB的垂线，垂足为点E，交圆O于点D．（1）如图1，连接OB，求证：∠ACD＝∠CBO；（2）如图2，过点O作AB的垂线，垂足为G，交BC于F，若FG＝AG，求证AB＝CD；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DF交AB于点M，过点B作DF的垂线交CD于点N，垂足为H，连接MN，若∠NMF＝2∠NBA，FO＝3，求MN的长．7．如图，已知AB、MD是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E．（1）若CD＝16cm，OD＝10cm，求BE的长；（2）若∠M＝∠D，求∠D的度数．8．如图，在Rt△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，AB＝6．延长CA到O，使AO＝AC，以O为圆心，OA长为半径作⊙O交BA延长线于点D，连接OD，CD．（1）求扇形OAD的面积．（2）判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由．9．如图，四边形ABCD 是正方形，以边AB 为直径作⊙O ，点E 在BC 边上，连接AE 交⊙O 于点F ，连接BF 并延长交CD 于点G ． （1）求证：△ABE ≌△BCG ；（2）若∠AEB ＝55°，∠AEB ＝55°，求劣弧的长．（结果保留π）10．在平面直角坐标系xOy 中，对于P 、Q 两点给出如下定义：若点P 到x 、y 轴的距离中的最大值等于点Q 到x 、y 轴的距离中的最大值，则称P 、Q 两点为“等距点”，如图中的P 、Q 两点即为“等距点”．（1）已知点A 的坐标为（﹣3，1）．①在点E （0，3）、F （3，﹣3）、G （2，﹣5）中，点A 的“等距点”是 ； ②若点B 在直线y ＝x +6上，且A 、B 两点为“等距点”，则点B 的坐标为 ； （2）直线l ：y ＝kx ﹣3（k ＞0）与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ．①若T 1（﹣1，t 1）、T 2（4，t 2）是直线l 上的两点，且T 1、T 2为“等距点”，求k 的值； ②当k ＝时，半径为r 的⊙O 上存在一点M ，线段CD 上存在一点N ，使得M 、N 两点为“等距点”，直接写出r 的取值范围．11．如图，在⊙O 中，半径OC 过弦AB 的中点E ，OC ＝2，OE ＝．（1）求弦AB 的长； （2）求∠CAB 的度数．12．在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为2，A ，B 为⊙O 外两点，AB ＝1．给出如下定义：平移线段AB ，使线段AB 的一个端点落在⊙O 上，其他部分不在⊙O 外，点A ，B 的对应点分别为点A '，B '，线段AA '长度的最大值称为线段AB 到⊙O 的“极大距离”，记为d （AB ，⊙O ）．（1）若点A （﹣4，0）．①当点B 为（﹣3，0），如图所示，平移线段AB ，在点P 1（﹣2，0），P 2（﹣1，0），P 3（1，0），P 4（2，0）中，连接点A 与点 的线段的长度就是d （AB ，⊙O ）；②当点B 为（﹣4，1），求线段AB 到⊙O 的“极大距离”所对应的点A '的坐标． （2）若点A （﹣4，4），d （AB ，⊙O ）的取值范围是 ．13．在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1．给出如下定义：记线段AB 的中点为M ，当点M 不在⊙O 上时，平移线段AB ，使点M 落在⊙O 上，得到线段A 'B '（A '，B '分别为点A ，B 的对应点）线段AA '长度的最小值称为线段AB 到⊙O 的“平移距离”．（1）已知点A 的坐标为（﹣1，0），点B 在x 轴上．①若点B 与原点O 重合，则线段AB 到⊙O 的“平移距离”为 ； ②若线段AB 到⊙O 的“平移距离”为2，则点B 的坐标为 ；（2）若点A，B都在直线y＝x+4上，且AB＝2，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d 1，求d1的最小值；（3）若点A的坐标为（3，4），且AB＝2，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d2，直接写出d2的取值范围．14．如图1，对于△PMN的顶点P及其对边MN上的一点Q，给出如下定义：以P为圆心，PQ 为半径的圆与直线MN的公共点都在线段MN上，则称点Q为△PMN关于点P的内联点．在平面直角坐标系xOy中：（1）如图2，已知点A（7，0），点B在直线y＝x+1上．①若点B（3，4），点C（3，0），则在点O，C，A中，点是△AOB关于点B的内联点；②若△AOB关于点B的内联点存在，求点B纵坐标n的取值范围；（2）已知点D（2，0），点E（4，2），将点D绕原点O旋转得到点F．若△EOF关于点E的内联点存在，直接写出点F横坐标m的取值范围．15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝90°，连接AC，点E在BA的延长线上，且∠AED＝∠ACB，AD、BC的延长线相交于点F．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）在题中条件不变的情况下，再从以下四个选项中选择三个作为已知条件，余下的一个作为结论，并写出结论成立的计算或证明的过程．①DE∥AC，②CD＝2，③BC＝3，④CF ＝．你选择的条件是，结论是．（填序号）参考答案1．（1）证明：∵OC为半径，E为AD中点．∴OC⊥AD，AD＝CD，∴∠ABC＝∠CAD；（2）解：在Rt△ABC中，AB＝5，AC＝3，则BC＝4，∴sin∠CBA＝＝，∴sin∠CAD＝，则CE＝，则AE＝＝＝ED，∵cos∠CBA＝，则cos∠CAD＝，则AF＝＝，∴EF＝AF﹣AE＝﹣＝，则FD＝AD﹣AF＝﹣＝，∴EF：FD＝9：7．2．（1）①如图1中，由题意OC＝1，OD＝，OE＝，∵1＝1，1＜＜3，＞3，∴点C，D是与⊙A关于原点O“平衡”，故答案为：C，D．②解：若点H可以与⊙A关于原点O“平衡”，则1≤OH≤3．当OH＝1时，H（﹣，）或（，﹣），当OH＝3时，H（﹣，）或（，﹣）∴点H横坐标的取值范围是或．（2）如图3﹣1中，当⊙K经过（﹣，0）时，K（2﹣，0），当⊙K经过（，0）时，K（2+，0），观察图象可知满足条件的x的值为2﹣≤x≤2+．如图3﹣2中，当⊙K经过（，0）时，K（﹣2+，0），当⊙K经过（﹣，0）时，K（﹣2﹣，0），观察图象可知满足条件的x的值为﹣2﹣≤x≤﹣2+．综上所述，圆心K的横坐标的取值范围或．3．（1）证明：连接OB、OD，如图1所示：∵AB＝DB，AO＝DO，BO＝BO，∴△ABO≌△DBO（SSS），∴∠ABO＝∠DBO，∵OA＝OB，∠BDC＝∠BAC，∴∠ABO＝∠BAC＝∠BDC，∴∠DBO＝∠BDC，∴OB∥DE，∵BE⊥DC，∴BE⊥OB，∴BE是⊙O的切线；（2）解：延长BO交AD于点F，如图2所示：由（1）可知，∠ABO＝∠DBO，∵AB＝BD，∴BF⊥AD，AF＝DF＝AD＝3，∵∠BAF＝∠BCE，∠AFB＝∠E＝90°，BE＝2CE，∴△ABF∽△CBE，∴＝＝2，∴BF＝2AF＝6，在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB＝＝＝3，∴BD＝AB＝3．4．（1）证明：∵∠ADP＝∠BCD，∠BCD＝∠BAD，∴∠ADP＝∠BAD，∴DP∥AB；（2）证明：连接OD，如图所示：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，∴∠ACD＝∠BCD＝45°，∴∠DAB＝∠ABD＝45°，∴△DAB是等腰直角三角形，∵OA＝OB，∴OD⊥AB，∵DP∥AB，∴OD⊥PD，∴PD是⊙O的切线；（3）解：在Rt△ACB中，AB＝＝＝10，∵△DAB为等腰直角三角形，∴AD＝AB＝5，∵AE⊥CD，∴△ACE为等腰直角三角形，∴AE＝CE＝AC＝3，在Rt△AED中，DE＝＝＝4，∴CD＝CE+DE＝3+4＝7，∵∠PDA＝∠PCD，∠P＝∠P，∴△PDA∽△PCD，∴＝＝＝＝，∴PA＝PD，PC＝PD，∵PC＝PA+AC，∴PD+6＝PD，解得：PD＝．5．（1）解：DF与⊙O相切，证明如下：连接OD，如图1所示：∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠B，又∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴DF⊥OD，∵点D在⊙O上，∴DF与⊙O的相切；（2）解：连接OE，如图2所示：∵∠CDF＝22.5°，DF⊥AC，∴∠C＝90°﹣22.5°＝67.5°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝67.5°，∴∠A＝45°，又∵OA＝OE＝4，∴∠OEA＝45°，∴∠AOE＝90°，∴阴影部分的面积＝﹣×4×4＝4π﹣8．6．（1）证明：如图1，作直径BH，连接CH，∴∠HCB＝90°，∴∠H+∠CBO＝90°，∵∠A＝∠H，∴∠A+∠CBO＝90°，∵AB⊥CD，∴∠AEC＝90°，∴∠A+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠CBO；（2）证明：如图2，连接AD，∵FG⊥AB，且FG经过点O，∴AG＝BG＝FG，∴△FGB是等腰直角三角形，∴∠GBF＝45°，∵∠D＝∠GBF＝45°∵∠AED＝90°，∴∠DAE＝∠D＝45°，∴AE＝ED，同理得：CE＝BE，∴AE+BE＝DE+CE，即AB＝CD；（3）解：如图3，延长NM，FG交于点R，连接BR，过点R作RT⊥CD于T，设∠CDF＝x，∵AB⊥CD，BN⊥DF，∴∠DEM＝∠BHM＝90°，∵∠EMD＝∠BMH，∴∠ABN＝∠CDF＝x，∵∠NMF＝2∠NBA，∠NMF＝∠CDF+∠DNM，∴2x＝∠CDF+∠DNM，∴∠DNM＝x＝∠CDF，∴MN＝DM，∴EN＝ED，同理得：FM＝RM，∵MG⊥FR，∴FG＝RG＝BG，∴∠GRB＝∠GBR，∵∠MRG＝∠ABN＝x，∴∠NRB＝∠NBR，∴NR＝BN，∴∠BEN＝∠NTR＝90°，∵∠TNR＝∠ABN＝x，∴△NTR≌△BEN（AAS），∴EN＝RT＝EG，设AE＝m，则AE＝ED＝EG＝NE＝m，∵AG＝BG＝2m，∴AB＝4m，∵AB＝CD，∴CD＝4m，∴CN＝4m﹣2m＝2m，∴CN＝DN，连接ON，∴ON⊥CD，∴∠ONE＝∠NEG＝∠OGE＝90°，∴四边形ENOG是正方形，∴OG＝EN＝m，∵FG＝BG＝2m，∴OF＝OG＝m，∵OF＝3，∴m＝3，∵DE∥FG，∴△DEM∽△FGM，∴，即＝，∵EM+MG＝3，∴EM＝1，由勾股定理得：MN＝＝＝．7．解：∵弦CD⊥AB，CD＝16cm，∴DE＝CE＝8cm，由勾股定理得：OD2＝DE2+OE2，设BE＝xcm，则OE＝（10﹣x）cm，∴82+（10﹣x）2＝100，∴x＝4，∴BE＝4（cm）；（2）∵∠M＝∠D，∠M＝∠BOD，∴∠D＝∠BOD，∵∠D+∠BOD＝90°，∴∠D＝30°．8．解：（1）∵AB＝6，∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴OD＝OA＝AC＝AB＝3，∵∠BCA＝90°，∠B＝30°，∴∠OAD＝∠BAC＝60°，∵OD＝OA，∴△OAD是等边三角形，∴∠AOD＝60°，∴＝；（2）CD所在直线与⊙O相切，理由如下：∵△OAD是等边三角形，∴AD＝OA＝AC，∠ODA＝∠O＝60°，∴∠ADC＝∠ACD＝∠OAD＝30°，∴∠ODC＝60°+30°＝90°，即OD⊥DC，∵OD为半径，∴CD是⊙O的切线．9．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCG＝90°，∵AB是直径，∴∠AFB＝90°，∴∠BAE+∠ABF＝90°，∠ABF+∠CBG＝90°，∴∠BAE＝∠CBG，在△ABE和△BCG中，，∴△ABE ≌△BCG （ASA ）．（2）解：连接OF ，∵∠ABE ＝90°，∠AEB ＝55°，∴∠BAE ＝90°﹣55°＝35°，∴∠BOF ＝2∠BAE ＝70°，∵OA ＝3，∴的长＝＝．10．解：（1）①∵点A （﹣3，1）到x 、y 轴的距离中最大值为3，∴与A 点是“等距点”的点是E 、F ．②点B 在直线y ＝x +6上，当点B 坐标中到x 、y 轴距离其中至少有一个为3的点有（3，9）、（﹣3，3）、（﹣9，﹣3），这些点中与A 符合“等距点”的是（﹣3，3）．故答案为①E 、F ；②（﹣3，3）；（2）①∵T 1（﹣1，t 1）、T 2（4，t 2）是直线l 上的两点，∴t 1＝﹣k ﹣3，t 2＝4k ﹣3．∵k ＞0，∴|﹣k ﹣3|＝k +3＞3，4k ﹣3＞﹣3．依据“等距点”定义可得：当﹣3＜4k ﹣3＜4时，k +3＝4，解得k ＝1；当4k ﹣3≥4时，k +3＝4k ﹣3，解得k ＝2．综上所述，k 的值为1或2．②∵k＝，∴y＝x﹣3与坐标轴交点C（0，﹣3）、D（，0），线段CD＝．N点在CD上，则N点到x、y轴的距离最大值中最小数为，若半径为r的⊙O上存在一点M与N是“等距点”，则r最小值为，r的最大值为CD长度．所以r的取值范围为≤r≤．故答案为：E、F；（﹣3，3）．11．解：（1）连接OB，如图所示：∵半径OC过弦AB的中点E，∴OC⊥AB，AE＝BE，OB＝OC＝2，∴BE＝＝＝，∴AB＝2BE＝2；（2）由（1）得：BE＝OE，OC⊥AB，∴△BOE是等腰直角三角形，∴∠BOC＝45°，∴∠CAB＝∠BOC＝22.5°．12．解：（1）①根据线段AB到⊙O的“极大距离”的定义可知：的线段的长度就是d（AB，⊙O），连接点A与点P3故答案为：P．3②如图1中，设A′B′交x轴于M，连接OA′．∵OM⊥A′B′，∴A′M＝B′M＝，∴OM＝＝＝，∴A′（，﹣）．（2）如图2中，由题意，点B的运动轨迹是以A为圆心，1为半径的⊙A．当线段AB平移到A′B′时，d（AB，⊙O）的值最大，最大值＝4+2，当线段AB平移到A″B″时，d（AB，⊙O）的值最小，最小值＝4+1，∴4+1≤d（AB，⊙O）≤4+2．故答案为：4+1≤d（AB，⊙O）≤4+2．13．解：（1）①∵A（﹣1，0），B（0，0），AM＝BM，∴M（﹣，0），∴线段AB到⊙O的“平移距离”＝线段AM的长＝，故答案为：．②∵线段AB到⊙O的“平移距离”为2，∴M（﹣3，0）或（3，0），∵MA＝MB，∴B（﹣5，0）或（7，0）．故答案为：B（﹣5，0）或（7，0）．（2）如图1中，设直线y＝x+4交x轴于F，交y轴于E，则E（0，4），F（﹣3，0）．过点O作OH⊥EF于H，交⊙O于K．∵OE＝4，OF＝3，∴EF＝＝＝5，＝×OE×OF＝×EF×OH，∵S△OEF∴OH＝，观察图像可知，当AB的中点M与H重合时，线段AB到⊙O的“平移距离”最小，最小值＝OH﹣OK＝．即d＝．1（3）如图2中，由题意，AB的中点M的运动轨迹是A为圆心1为半径是圆，d 2的最小值＝PQ＝5﹣2＝3，d2的最大值＝PR＝5+1＝6，∴3≤d2≤6．14．解：（1）①如图1中，根据点Q为△PMN关于点P的内联点的定义，观察图像可知，点O，点C是是△AOB关于点B的内联点．故答案为：O，C．②如图2中，当点B（0，1）时，此时以OB为半径的圆与线段OA有唯一的公共点，此时点O是△AOB关于点B的内联点，当点B（7，8）时，以AB为半径的圆，与线段OA有公共点，此时点A是△AOB关于点B 的内联点，观察图像可知，满足条件的N的值为1≤n≤8．（2）如图3中，过点E作EH⊥x轴于H，根点F作FN⊥y轴于N．∵E（4，2），∴OH＝4，EH＝2，∴OE＝＝2，当OF⊥OE时，点O是△OEF关于点E的内联点，∵∠EOF＝∠NOH＝90°，∴∠FON＝∠EOH，∵∠FNO＝∠OHE＝90°，∴△FNO∽△EHO，∴＝＝，∴＝＝，∴FN＝，ON＝，∴F（﹣，），观察图像可知当﹣≤m≤0时，满足条件．作点F关于点O的对称点F′（，﹣），当OF″⊥EF″时，设OH交F″E于P，∵∠EF″O＝∠EHO＝90°，OE＝EO，EH＝OF″，∴Rt△OHE≌△EF″O（HL），∴∠EOH＝∠OEF″，∴PE＝OP，s3PE＝OP＝t，在Rt△PEH中，则有t2＝22+（4﹣t）2，解得t＝，∴OP＝，PH＝PF″＝，可得F″（，﹣），观察图像可知，当≤m≤．综上所述，满足条件的m的值为﹣≤m≤0或≤m≤．15．解：（1）DE与⊙O相切，理由如下：如图1，连接BD，∵∠AED＝∠ACB，∠ADB＝∠ACB，∴∠AED＝∠ADB，∵∠BCD＝90°，∴BD是直径，∴∠BAD＝90°，∴∠BAD＝∠AED+∠ADE＝∠ADB+∠ADE＝∠BDE＝90°，∴BD⊥ED，∴DE与⊙O相切；（2）条件①，②，③，结论④；证明：如图2，∵AC∥DE，∴∠E＝∠BAC，∵∠ACB＝∠E，∴∠BAC＝∠ACB，∴AB＝BC＝3，∵BD是⊙O的直径，∴AD＝CD，设CF＝x，DF＝y，由勾股定理得：AB2+AF2＝BF2，CD2+CF2＝DF2，即32+（2+y）2＝（3+x）2①，22+x2＝y2②，由①得：y2﹣x2＝4③，把③代入①得：3x＝4+2y，∴y＝，∴4+x2＝，解得：x1＝0（舍），x2＝，∴CF＝．还可以：条件①，④，③，结论②；同理设CD＝x，DF＝y，列方程可解答；条件①，②，④，结论③；根据勾股定理得：DF＝＝，设BC＝x，则AB＝x，∴x2+（2+）2＝（x+）2，解得：x＝3，∴BC＝3．。

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——高斯人教版九年级数学中考真题分类（解答题）专练：圆的综合（一）1．（2020•齐齐哈尔）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点，＝＝，连接AD，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若直径AB＝6，求AD的长．2．（2020•泸州）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AD的延长线与过点B的切线交于点C，E为线段AD上的点，过点E的弦FG⊥AB于点H．（1）求证：∠C＝∠AGD；（2）已知BC＝6，CD＝4，且CE＝2AE，求EF的长．3．（2020•乐山）如图1，AB是半圆O的直径，AC是一条弦，D是上一点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，连结BD交AC于点G，且AF＝FG．（1）求证：点D平分；（2）如图2所示，延长BA至点H，使AH＝AO，连结DH．若点E是线段AO的中点．求证：DH是⊙O的切线．4．（2020•安徽）如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD＝BC，AC与BD相交于点F．BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E．（1）求证：△CBA≌△DAB；（2）若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB．5．（2020•德州）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D是半圆AB的中点，连接AC，BC，AD，BD．过点D作DH∥AB交CB的延长线于点H．（1）求证：直线DH是⊙O的切线；（2）若AB＝10，BC＝6，求AD，BH的长．6．（2020•甘孜州）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．（1）求证：∠CAD＝∠CAB；（2）若＝，AC＝2，求CD的长．7．（2020•金华）如图，的半径OA＝2，OC⊥AB于点C，∠AOC＝60°．（1）求弦AB的长．（2）求的长．8．（2020•铜仁市）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，CE⊥AB于点E，D 是直径AB延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD＝8，＝，求CD的长．9．（2020•衢州）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝10，AC＝6，连结OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．（1）求证：∠CAD＝∠CBA．（2）求OE的长．10．（2020•嘉兴）已知：如图，在△OAB中，OA＝OB，⊙O与AB相切于点C．求证：AC＝BC．小明同学的证明过程如下框：证明：连结OC，∵OA＝OB，∴∠A＝∠B，又∵OC＝OC，∴△OAC≌△OBC，∴AC＝BC．小明的证法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请写出你的证明过程．参考答案1．（1）证明：连接OD，∵＝＝，∴∠BOD＝180°＝60°，∵＝，∴∠EAD＝∠DAB＝BOD＝30°，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAB＝30°，∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，∴∠EAD+∠EDA＝90°，∴∠EDA＝60°，∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）解：连接BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠DAB＝30°，AB＝6，∴BD＝AB＝3，∴AD＝＝3．2．（1）证明：如图1，连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，∵BC是⊙O的切线，∴∠ABC＝90°，∴∠C+∠CAB＝90°，∴∠C＝∠ABD，∵∠AGD＝∠ABD，∴∠AGD＝∠C；（2）解：∵∠BDC＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC，∴，∴＝，∴AC＝9，∴AB＝＝3，∵CE＝2AE，∴AE＝3，CE＝6，∵FH⊥AB，∴FH∥BC，∴△AHE∽△ABC，∴，∴＝＝，∴AH＝，EH＝2，如图2，连接AF，BF，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，∴∠AFH+∠BFH＝∠AFH+∠FAH＝90°，∴∠FAH＝∠BFH，∴△AFH∽△FBH，∴＝，∴＝，∴FH＝，∴EF＝﹣2．3．证明：（1）如图1，连接AD、BC，∵AB是半圆O的直径，∴∠ADB＝90°，∵DE⊥AB，∴∠ADE＝∠ABD，又∵AF＝FG，即点F是Rt△AGD的斜边AG的中点，∴DF＝AF，∴∠DAF＝∠ADF＝∠ABD，又∵∠DAC＝∠DBC，∴∠ABD＝∠DBC，∴＝，∴即点D平分；（2）如图2所示，连接OD、AD，∵点E是线段OA的中点，∴，∴∠AOD＝60°，∴△OAD是等边三角形，∴AD＝AO＝AH，∴△ODH是直角三角形，且∠HDO＝90°，∴DH是⊙O的切线．4．（1）证明：∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，在Rt△CBA与Rt△DAB中，，∴Rt△CBA≌Rt△DAB（HL）；（2）解：∵BE＝BF，由（1）知BC⊥EF，∴∠E＝∠BFE，∵BE是半圆O所在圆的切线，∴∠ABE＝90°，∴∠E+∠BAE＝90°，由（1）知∠D＝90°，∴∠DAF+∠AFD＝90°，∵∠AFD＝∠BFE，∴∠AFD＝∠E，∵∠DAF＝90°﹣∠AFD，∠BAF＝90°﹣∠E，∴∠DAF＝∠BAF，∴AC平分∠DAB．5．（1）证明：连接OD，∵AB为⊙O的直径，点D是半圆AB的中点，∴∠AOD＝AOB＝90°，∵DH∥AB，∴∠ODH＝90°，∴OD⊥DH，∴直线DH是⊙O的切线；（2）解：连接CD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ACB＝90°，∵点D是半圆AB的中点，∴＝，∴AD＝DB，∴△ABD是等腰直角三角形，∵AB＝10，∴AD＝10sin∠ABD＝10sin45°＝10×＝5，∵AB＝10，BC＝6，∴AC＝＝8，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠CAD+∠CBD＝180°，∵∠DBH+∠CBD＝180°，∴∠CAD＝∠DBH，由（1）知∠AOD＝90°，∠OBD＝45°，∴∠ACD＝45°，∵DH∥AB，∴∠BDH＝∠OBD＝45°，∴∠ACD＝∠BDH，∴△ACD∽△BDH，∴，∴＝，解得：BH＝．6．（1）证明：如图1，连接OC，，∵CD是切线，∴OC⊥CD．∵AD⊥CD，∴AD∥OC，∴∠1＝∠4．∵OA＝OC，∴∠2＝∠4，∴∠1＝∠2，即∠CAD＝∠CAB．（2）解：如图2，连接BC，∵＝，∴设AD＝2x，AB＝3x，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADC＝90°，∴∠ACB＝90°，∵AD⊥DC，∴∠ADC＝90°，∵∠DAC＝∠CAB，∴△ACD∽△ABC，∴＝，∴＝，解得，x1＝2，x2＝﹣2（舍去），∴AD＝4，∴CD＝＝2．7．解：（1）∵的半径OA＝2，OC⊥AB于点C，∠AOC＝60°，∴AC＝OA•sin60°＝2×＝，∴AB＝2AC＝2；（2）∵OC⊥AB，∠AOC＝60°，∴∠AOB＝120°，∵OA＝2，∴的长是：＝．8．（1）证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠ECB+∠ABC＝∠ABC+∠CAB＝90°，∴∠A＝∠ECB，∵∠BCE＝∠BCD，∴∠A＝∠BCD，∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO，∴∠ACO＝∠BCD，∴∠ACO+∠BCO＝∠BCO+∠BCD＝90°，∴∠DCO＝90°，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵∠A＝∠BCE，∴tan A＝＝tan∠BCE＝＝，设BC＝k，AC＝2k，∵∠D＝∠D，∠A＝∠BCD，∴△ACD∽△CBD，∴＝＝，∵AD＝8，∴CD＝4．9．（1）证明：∵AE＝DE，OC是半径，∴＝，∴∠CAD＝∠CBA．（2）解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵AE＝DE，∴OC⊥AD，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠ACB，∴△AEC∽△BCA，∴＝，∴＝，∴CE＝3.6，∵OC＝AB＝5，∴OE＝OC﹣EC＝5﹣3.6＝1.4．10．解：证法错误；证明：连结OC，∵⊙O与AB相切于点C，∴OC⊥AB，∵OA＝OB，∴AC＝BC．。

【圆】相关知识点解答题专项训练（含解析）1．如图，以P（0，3）为圆心，6为半径的⊙P交x轴于点A、B，交y轴于点C、D，连接BP并延长交⊙P于点E，连接DE交x轴于点F．（1）求∠CDE的度数；（2）求△BEF的面积．2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝2，CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的⊙O分别交AC、BC于点M、N，过点N作NE⊥AB，垂足为E．（1）求证：NE与⊙O相切；（2）求图中阴影部分的面积．3．如图，AD与⊙O相切于点D，点A在直径CB的延长线上．（1）求证：∠DCB＝∠ADB；（2）若∠DCB＝30°，AC＝3，求AD的长．4．已知，⊙O中，＝，D是⊙O上的点，OC⊥BD．（1）如图①，求证＝；（2）如图②，连接AB，BC，CD，DA，若∠A＝70°，求∠BCD，∠ADB的大小．5．如图，在矩形ABCD中，点O在对角线BD上，以OB的长为半径的圆O与AB，BD分别交于点E，F，连接DE，且∠ADE＝∠BDC．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若BC＝6，CD＝8，AE＝4.5，求⊙O的半径．6．已知AB是圆O的直径，点C是圆O上一点，点P为圆O外一点，且OP∥BC，∠P＝∠BAC．（1）求证：PA为圆O的切线；（2）如果OP＝AB＝10，求AC的长．7．如图所示，AC与⊙O相切于点C，线段AO交⊙O于点B．过点B作BD∥AC交⊙O于点D，连接CD、OC，且OC交DB于点E．若∠CDB＝30°，DB＝4cm．（1）求⊙O的半径长；（2）求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E为BC的中点，连接DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为1，∠BAC＝60°，则DE＝．9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，AG，DC的延长线交于点F．（1）求证：∠FGC＝∠AGD．（2）当DG平分∠AGC，∠ADG＝45°，AF＝，求弦DC的长．10．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上的一点，以CD为直径的⊙O交AC于E，连接BE 交CD于P，交⊙O于F，连接DF，∠ABC＝∠EFD．（1）求证：AB与⊙O相切；（2）若AD＝2，BD＝3，则⊙O的直径＝；（3）若PC＝2PF，BF＝a，求CP（用a的代数式表示）．11．如图，AB为⊙O的直径，C、E在⊙O上，AC平分∠EAB，过点C作AE的垂线交AE的延长线于点D．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）连接CE，若CE＝6，AC＝8，求⊙O的直径的长．12．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，AB＝8，BD平分∠ABC，交AC于点E，交⊙O于点D，连接AD．（1）求证：∠DBA＝∠CAD；（2）若的长度为2π，求∠AEB的度数．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的⊙O分别交AC、BC于点M、N，过点N作NE⊥AB，垂足为E．（1）若⊙O的半径为，AC＝10，求BN的长；（2）求证：NE与⊙O相切．参考答案1．解：（1）∵P（0，3），∴OP＝3，∵⊙P的半径是6，∴PB＝6，∴OP＝PB，∵x轴⊥y轴，∴∠POB＝90°，∴∠PBO＝30°，∴∠BPO＝90°﹣30°＝60°，∵PE＝PD，∠E+∠CDE＝∠BPO，∴∠CDE＝∠E＝60°＝30°；（2）过P作PM⊥DE于M，则∠PME＝90°，∵⊙P的半径是6，∴PE＝PD＝6，PM⊥DE，∴DM＝ME，∵∠E＝30°，∴PM＝PE＝6＝3，由勾股定理得：DM＝EM＝＝3，∴DE＝EM+DM＝6，∴△BEF的面积是＝6×3＝9．2．（1）证明：如图，连接ON，∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，∴CD＝BD，∴∠B＝∠BCD，∵CO＝ON，∴∠BCD＝∠CNO，∴ON∥BD，∴∠ONE＝∠NEB＝90°，即ON⊥NE，∴NE与⊙O相切；（2）∵，∴∠B＝30°，∴∠CON＝120°，∴，，∴．3．（1）证明：如图，连接OD，∵AD与⊙O相切于点D，∴OD⊥AD，∴∠ODB+∠ADB＝90°，∵CB是直径，∴∠CDB＝90°，∴∠ODB+∠ODC＝90°，∴∠ODC＝∠ADB，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠C＝∠ADB；（2）解：∵∠DCB＝∠ADB，∠DAC＝∠CAD，∴△ADB∽△ACD，∴＝，∵CB是直径，∴∠CDB＝90°，∠DCB＝30°，∴tan∠DCB＝＝，∴＝，∵AC＝3，∴AD＝3．4．（1）证明：∵OC⊥BD，OC过O，∴＝，∵＝，∴＝；（2）解：∵四边形ABD是圆内接四边形，∴∠A+∠BCD＝180°，∵∠A＝70°，∴∠BCD＝110°，∵＝，∴∠CBD＝∠CDB＝（180°﹣∠BCD）＝35°，∵＝，∴∠ADB＝∠CDB＝35°．5．解：（1）直线DE与⊙O相切，证明：连接OE，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠EBD＝∠BDC，∵OB＝OE，∴∠EBD＝∠BEO，∵∠ADE＝∠BDC，∴∠BEO＝∠EBD＝∠BDC＝∠ADE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∴∠EOD+∠EDO＝∠EBD+∠BEO+∠EDO＝∠BDC+∠ADE+∠EDO＝∠ADC＝90°，∴∠OED＝180°﹣（∠EOD+∠EDO）＝180°﹣90°＝90°，即OE⊥ED，∵OE为半径，∴直线DE与⊙O相切；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C＝90°，在Rt△DCB中，∠C＝90°，∴BD＝，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝6，在Rt△ADE中，∠A＝90°，∴ED＝，设⊙O的半径为R，在Rt△DOE中，DO2＝DE2+OE2，，解得：R＝，即⊙O的半径是．（2）第二种方法：解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C＝90°，在Rt△DCB中，∠C＝90°，∴BD＝，∵AB＝CD＝8，AE＝4.5，∴BE＝8﹣4.5＝3.5，作OG⊥BE于G，则BG＝EG＝BE＝，∵OG∥AD，∴，即，∴OB＝，即⊙O的半径是．6．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠B＝90°，又∵OP∥BC，∴∠AOP＝∠B，∴∠BAC+∠AOP＝90°，∵∠P＝∠BAC，∴∠P+∠AOP＝90°，∴∠PAO＝90°，∴PA⊥OA，又∵OA是的⊙O的半径，∴PA为⊙O的切线；（2）解：由（1）得：∠PAO＝∠ACB＝90°，又∵∠P＝∠BAC，OP＝BA，∴△OAP≌△BCA（AAS），∴BC＝OA＝AB＝5，∴AC＝＝＝57．解：（1）∵AC与⊙O相切于点C，∴∠ACO＝90°．∵BD∥AC，∴∠BEO＝∠ACO＝90°，∴DE＝EB＝BD＝＝2（cm）∵∠D＝30°，∴∠O ＝2∠D ＝60°，在Rt △BEO 中，sin60°＝，＝．∴OB ＝5，即⊙O 的半径长为5cm ．（2）由（1）可知，∠O ＝60°，∠BEO ＝90°，∴∠EBO ＝∠D ＝30°．在△CDE 与△OBE 中，．∴△CDE ≌△OBE （AAS ）．∴S 阴影＝S 扇OBC ＝π•42＝（cm 2），答：阴影部分的面积为cm 2．8．（1）证明：连接OD 、BD ，如图所示：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝∠CDB ＝90°，∵点E 为BC 的中点，∴BE ＝DE ，∴∠BDE ＝∠EBD ，∵OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA ，∵∠OAD +∠OBD ＝90°，∠EBD +∠OBD ＝90°，∴∠OAD ＝∠EBD ，∴∠ODA ＝∠BDE ，∴∠ODE ＝∠BDE +∠ODB ＝∠ODA +∠ODB ＝90°，∴DE ⊥OD ，∵点D 在⊙O 上，∴DE 是圆⊙O 的切线；（2）解：由（1）知：∠ADB ＝∠CDB ＝90°，∴DE＝BC，∵⊙O的半径为1，∴AB＝2，∵∠BAC＝60°，∴tan60°＝，∴BC＝AB•tan60°＝2×＝2，∴DE＝BC＝×2＝，故答案为：．9．（1）证明：如图1，连接AC，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴＝，∴AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD，∵ADCG在⊙O上，∴∠CGF＝∠ADC，∵∠AGD＝∠ACD，∴∠FGC＝∠AGD；（2）解：如图2，连接BG，AC，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴DE＝CE，∵DG平分∠AGC，∴∠AGD＝∠CGD，∵∠FGC＝∠AGD，∴∠AGD＝∠CGD＝∠FGC，∵∠AGD+∠CGD+∠FGC＝180°，∴∠CGF＝∠AGD＝60°，∴∠ADC＝∠ACD＝60°，∴△ADC是等边三角形，∵AB⊥CD，∴∠CAE＝∠DAE＝30°，∵∠ADG＝45°，∴∠CDG＝∠CAG＝60°﹣45°＝15°，∴∠EAF＝30°+15°＝45°，Rt△AEF中，AE＝EF，∵AF＝，∴AE＝EF＝，Rt△ADE中，∠DAE＝30°，∴DE＝1，∴DC＝2DE＝2．10．（1）证明：∵∠ACB＝90°，∴∠CEB+∠CBE＝90°，∵∠ABC＝∠EFD，∠EFD＝∠FDB+∠FBD，∴∠EBC＝∠FDB，∵∠CEB＝∠CDF，∴∠CDF+∠FDB＝90°，即∠CDB＝90°，∴CD⊥AB，∴AB与⊙O相切；（2）解：∵∠ACD+∠A＝90°，∠A+∠ABC＝90°，∴∠ACD＝∠ABC，∵∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ACD∽△CBD，∴＝，∴CD2＝AD•BD＝2×3＝6，∴CD＝，∴⊙O的直径为，故答案为：．（3）解：∵CD为⊙O的直径，∴∠CFD＝90°，∴∠DCF+∠CDF＝90°，又∵∠CDB＝90°，∴∠FDB+∠CDF＝90°，∴∠FDB＝∠DCF，∵∠EBC＝∠FDB，∴∠EBC＝∠DCF，∴△PCF∽△PBC，∴＝，∵PC＝2PF，∴＝＝∴PB＝2PC＝4PF，又PB＝PF+BF，∴4PF＝PF+BF，∴PF＝BF＝a，∵PC＝2PF．∴PC＝a．11．（1）证明：连接OC，CE，∵AC平分∠EAB，∴∠1＝∠2，∵OA＝OC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴OC∥AD，∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，又∵OC是⊙O的半径，∴DC是⊙O的切线；（2）解：连接OC，CE，∵AC平分∠EAB，∴＝，∴BC＝CE＝6，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AB2＝BC2+AC2＝82+62＝100，∴AB＝10，即⊙O的直径为10．12．（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠DBA，∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，∴∠DAC＝∠CBD，∴∠DBA＝∠CAD；（2）解：连接OC，∵AB为⊙O的直径，AB＝8，∴OB＝OC＝4，∵的长度为2π，设∠BOC＝n°，∴＝2π，∴n＝90，∴∠BOC＝90°，∴∠BAC＝45°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝45°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝ABC＝22.5°，∴∠AEB＝∠CBD+∠ACB＝112.5°．13．解：（1）如图1所示，设AC交⊙O于点M．连接DM、DN．∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB的中线，∴CD＝AD＝BD．∵CD是⊙O的直径，∴∠DMC＝∠DNC＝90°又∵∠ACB＝90°，∴四边形OMDN是矩形．∴CM＝DN．∵∠DMC＝90°，∴DM⊥AC．又∵CD＝AD，∴．∴DN＝5．∵⊙O的半径为，∴BD＝CD＝13．在Rt△BDN中，由勾股定理得．（2）如图2所示，连接ON、DN．由（1）知CD＝BD，∠CND＝90°．∴BN＝CN．又∵OC＝OD，∴ON∥BD．又∵NE⊥DB，∴NE⊥ON．∴NE与⊙O相切．。

2021年中考数学复习高频考点精准练：《圆的综合》解答题专题练习（一）1．如图1，在△ABC中，AB＝AC＝5，以AB为直径作⊙O，分别交AC，BC于点E，F，连接EF，OE．（1）求证：∠OEF＝∠ABC；（2）如图2，连接BE，若点D是线段BE上的一个动点，且tan∠CFE＝2，求CD+BD 的最小值．2．在⊙O中，AB为直径，点P在BA的延长线上，PC为⊙O的切线，过点A作AH⊥PC于点H，交⊙O于点D，连接BC、BD、AC．（1）如图1，求证：∠CAH＝∠CAB；（2）如图2，过点C作CE⊥AB于点E，求证：BD＝2CE；（3）如图3，在（2）的条件下，点F在BC上，连接DF、EF，若BG＝2AE，∠CFE＝45°，OG＝1，求线段EF的长．3．如图，在⊙O中，弦BC⊥半径OA于点D，点F是CD上一点，AF交⊙O于点E，点P为BC延长线上一点，PF＝PE．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）若AD＝2，BC＝8，DF＝1，求PE的长．4．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D，过D作直线DG∥BC．（1）求证：DG是⊙O的切线；（2）若DE＝6，BC＝6，求阴影部分的面积．5．在等边三角形ABC中，经过点B有一个圆与AC，AB，BC分别交于点D，E，F，连接BD，DE，DF．（1）如图（1），若BD是圆的直径，AE＝CF时，求证：DE＝DF；（2）如图（2），若＝，AD＝4时，求AB的长．6．如图，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上的一点，点C在⊙O上，BC＝BD，AE⊥CD交DC 的延长线于点E，AC平分∠BAE．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若CD＝6，求⊙O的直径．7．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D为弦BC的中点，射线OD与圆周及切线BE 分别交于点M和点E，连接CE．（1）求证：直线CE是⊙O的切线；（2）若直径AB＝4，填空：①连接CM，CO，当∠ABC＝°时，四边形ACMO是菱形；②当ME＝时，四边形OCEB是正方形．8．如图，AB是⊙O的弦，连接OA，过点O作OC⊥OA，OC交AB于点P，延长OP到C，连接BC，且CP＝CB．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若∠BAO＝25°，OA＝18，点Q是上的一点，求的长（结果用π表示）．9．（1）如图1，求证：∠AOD＝2∠ACD；（2）如图2，AC⊥BD，M是AB中点，求证：①EM⊥CD；②CD＝2OM．10．如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线AO与⊙O交于点E和点D，OB与⊙O交于点F，连接DF、DC．已知OA＝OB，CA＝CB．（1）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）求证：∠FDC＝∠EDC；（3）已知：DE＝10，DF＝6，求DC的长．11．如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°，AP，CB的延长线相交于点D．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）若∠PAC＝90°，AB＝2，求PD的长．12．如图，AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于D，⊙O的弦BC∥l，连接AD、AC，过D 作DE⊥AB于E点．（1）求证：BC＝2DE；（2）过D作DG∥AB交AC于点G，GF⊥AB于点F．且BC＝BF，求tan∠DAB的值．13．如图，AB是⊙O的直径，C是圆上一点，弦CD⊥AB于点E，且DC＝AD．过A作⊙O的切线，过C作DA的平行线，两直线交于F，FC的延长线交AB的延长线于点G．（1）填空：∠D＝°；（2）求证：FG与⊙O相切；（3）连接EF，求tan∠EFC的值．14．如图．⊙O过长方形ABCD的顶点D和BC上一点E．且与BA相切于点F，⊙O分别交AD，CD于G，H两点，BF＝BE．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接FE，ED．若AG＝1，BF＝5，CH＝2．求tan∠FED的值．15．在锐角△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交边BC、AC于点D、E，AF⊥DE于点F．（1）求证：∠EDC＝2∠CAF；（2）若直线AF是⊙O的切线，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）若＝，求的值．参考答案1．（1）证明：如图1中，连接AF，OF．∵AB是直径，∴∠AFB＝90°，∴AF⊥BC，∵AB＝AC，∴∠EAF＝∠FAB，∵∠EOF＝2∠EAF，∠FOB＝2∠FAB，∴∠EOF＝∠FOB，∵OE＝OF＝OB，∴∠OEF＝∠OFE＝∠OFB＝∠ABC，∴∠OEF＝∠ABC．（2）解：如图2中，连接AF，过点C作CM⊥AB于M，过点D作DH⊥AB于H．∵四边形ABFE是圆内接四边形，∵∠CFE+∠EFB＝180°，∴∠CFE＝∠CAB，在Rt△AEB中，tan∠CAB＝，tan∠CFE＝2，∴＝2，设AE＝k，则BE＝2k，∵AE2+BE2＝AB2，∴k2+（2k）2＝52，解得k＝或﹣（舍弃），∴AE＝，BE＝2，∵AB＝AC＝5，AF⊥BC，BE⊥AC，又∵S＝•AB•CM＝•AC•BE，△ABC∴CM＝BE＝2，∵∠DHB＝∠AEB＝90°，∴sin∠DBH＝＝＝，∴DH＝BD，∵CD+DH≥CM＝2，∴CD+BD＝（CD+DH）≥×＝10，∴CD+BD的最小值为10．2．（1）证明：连接OC，∵PC为⊙O的切线，∴OC⊥PC，∴∠PCO＝90°，∵AH⊥PC，∴OC∥AH，∴∠CAH＝∠ACO，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠CAH＝∠CAB；（2）证明：连接OC，延长CO交BD于点M，∵∠CAH＝∠CAB，CH⊥AH，CE⊥AB，∴CE＝CH，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DHC＝∠HCM＝∠ADB＝90°，∴四边形HDMC为矩形，∴HC＝DM，∠CMD＝90°，CM⊥BD，∴BD＝2DM＝2CH＝2CE；（3）解：连接CD，过点E作ES⊥BC于点S，ET⊥DF于点T，在Rt△CAH和Rt△CAE中，AC＝AC，CH＝CE，∴Rt△CAH≌Rt△CAE（HL），∴AH＝AE，∵＝，∴∠ABC＝∠ADC，∵∠CAH＝∠CEB＝90°，CH＝CE，∴△CHD≌△CEB（AAS），∴DH＝BE，∵BG＝2AE，设AE＝a，则AH＝AE＝a，∵OG＝1，∴OA＝OB＝2a+1，∴EO＝OA﹣AE＝a+1，EG＝EO+OG＝a+2，AG＝OA+OG＝2a+2，∴DH＝BE＝EG+BG＝3a+2，∴AD＝DH﹣AH＝2a+2，∴AD＝AG，∴∠ADG＝∠AGD，∵∠HAE＝∠ADG+∠AGD，∠HAE＝∠HAC+∠EAC，由（1）知∠HAC＝∠EAC，∴∠HAC＝∠EAC＝∠ADG＝∠AGD，∴AC∥DF，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠DFC＝∠DFB＝∠ACB＝90°，∵∠CFE＝45°，∴∠EFC＝∠EFD＝45°，∵ES⊥BC，ET⊥DF，∴ES＝ET，∠ESC＝∠ETG＝90°，∵∠CEG+∠CFG＝180°，∴∠ECF+∠FGE＝180°，∵∠EGT+∠EGF＝180°，∴∠EGT＝∠ECF．∴△ECS≌△EGT（AAS），∴CE＝EG＝a+2，在Rt△ADB中，AB＝2OA＝4a+2，BD＝2CE＝2a+4，AD＝2a+2，∵AD2+BD2＝AB2，∴（2a+2）2+（2a+4）2＝（4a+2）2，解得a＝2（a＝﹣1舍去），∴CE＝a+2＝4，BE＝3a+2＝8，∴tan∠EBC＝＝，∵BE＝8，设ES＝m，BS＝2m，∴m2+（2m）2＝82，解得m＝（负值舍去），∴ES＝，∵∠CFE＝45°，∴EF＝ES＝．3．（1）证明：如图，连接OE，∵OA＝OE，∴∠A＝∠OEA，∵OA⊥BC，∴∠ADF＝90°，∴∠A+∠AFD＝90°，∵∠AFD＝∠PFE，∴∠A+∠PFE＝90°，∵PF＝PE，∴∠PFE＝∠PEF，∴∠A+∠PEF＝∠OEA+∠PEF＝90°，∴∠OEP＝90°，∴OE⊥PE，OE是⊙O的半径，∴PE是⊙O的切线；（2）解：连接OC，OP，设OC＝x，则OD＝OA﹣AD＝x﹣2，∵OA⊥BC，∴BD＝CD＝BC＝4，在Rt△ODC中，根据勾股定理，得OC2＝OD2+CD2，∴x2＝（x﹣2）2+42，解得x＝5，∴OC＝5，OD＝3，∵PE＝PF，∴PD＝PF+DF＝PE+1，在Rt△OPD和Rt△OPE中，根据勾股定理，得OP2＝OD2+PD2＝OE2+PE2，∴9+（PE+1）2＝25+PE2，解得PE＝．4．（1）证明：连接OD交BC于H，连接OB、OC，如图，∵点E是△ABC的内心∴AD平分∠BAC，即∠BAD＝∠CAD，∴∠BOD＝∠COD，∴＝，∴OD⊥BC，BH＝CH，∵DG∥BC，∴OD⊥DG，∴DG是⊙O的切线；（2）解：∵点E是△ABC的内心，∴∠ABE＝∠CBE，∵∠DBC＝∠BAD，∴∠DEB＝∠BAD+∠ABE＝∠DBC+∠CBE＝∠DBE，∴DB＝DE＝6，∵BH＝BC＝3，在Rt△BDH中，sin∠BDH＝＝＝，∴∠BDH＝45°，∵OB＝OD，∴△OBD为等腰直角三角形，∴∠BOD＝90°，∵BD＝6，∴OB＝OD＝3，∵∠DOC＝∠BOD＝90°，∴阴影部分的面积＝S扇形DOC ﹣S△DOC＝﹣3×3＝π﹣9．5．（1）证明：如图1中，∵BD是直径，∴∠BED＝∠BFD＝90°，∵△ABC是等边三角形，∴BA＝BC，∵AE＝CF，∴BE＝BF，∵BD＝BD，∴Rt△BDE≌Rt△BDF（HL），∴DE＝DF．（2）解：如图2中，过点D作DM⊥AB于M，DN⊥BC于N．∵∠AED+∠BED＝180°，∠BED+∠BFD＝180°，∴∠AED＝∠DFB，∵∠DME＝∠DNF＝90°，∴△DME∽△DNF，∴＝＝，在Rt△ADM中，∠AMD＝90°，∠A＝60°，AD＝4，∴DM＝AD•sin60°＝2，∴DN＝5，在Rt△DCN中，∠DNC＝90°，∠C＝60°，∴CD＝＝10，∴AB＝AC＝AD+DC＝4+10＝14．6．（1）证明：连接OC，如图，∵AC平分∠EAB，∴∠OAC＝∠EAC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠EAC＝∠ACO，∴OC∥AE，∵AE⊥DC，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵BC＝BD，∴∠BCD＝∠BDC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ACO+∠OCB＝90°，由（1）知OC⊥CD，∴∠OCD＝∠BCD+∠OCB＝90°，∴∠OAC＝∠OCA＝∠BCD＝∠BDC，∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB，而∠OBC＝∠BCD+∠D＝2∠BCD，∴∠OCB＝2∠BCD，而∠OCD＝∠BCD+∠OCB＝3∠BCD＝90°，∴∠OAC＝∠OCA＝∠BCD＝∠D＝30°，设OC＝x，则OD＝2x，由勾股定理得4x2﹣x2＝62，解得，所以．7．（1）证明：连接OC，∵BE为⊙O的切线，∴∠ABE＝90°，∵点O为BC的中点，∴依据垂径定理得OE垂直平分BC，∴EC＝EB，在△OEC和△OEB中，∵EC＝EB，EO＝EO，CO＝BO，∴△OEC≌△OBC（SSS），∴∠ECO＝∠EBO＝90°，∵OC为半径，∴直线CE是⊙O的切线；（2）解：①30°；②，理由如下：①∵四边形ACMO为菱形，∴AC＝AO，∵OC＝OA，∴△CAO为等边三角形，∴∠CAO＝60°，∴∠ABC＝90°﹣60°＝30°；②∵四边形OCEB为正方形，AB＝4，∴OC＝CE＝2，∴，∵CM＝2，∴ME＝2﹣2，故答案为①30°；②．8．（1）证明：连接OB，∵OA，OB是⊙O的半径，∴∠OBA＝∠OAB，∵CP＝CB，∴∠CBP＝∠CPB．∵∠CPB与∠APO是对顶角，∴∠APO＝∠CPB，∴∠CBP＝∠APO，∵OC⊥OA，交AB于点P，∴∠APO+∠PAO＝90°，∴∠CBP+∠OBA＝90°．∴OB⊥BC，∴BC是⊙O的切线．（2）解：∵∠BAO＝25°，∴∠AOB＝130°．∴所对的圆心角为230°，∵OA＝18，∴．9．（1）证明：如图1中，连接CO，延长CO到T．∵∠TOD＝∠D+∠DCO，∠AOT＝∠A+∠AOC，∴∠AOD＝∠TOD+∠TOA＝∠D+∠DCO+∠ACO+∠A，∵OD＝OC＝OA，∴∠D＝∠OCD，∠A＝∠ACO，∴∠AOD＝2∠ACD．（2）①证明：如图2﹣1中，延长ME交CD于H．∵AC⊥BD，∴∠AEB＝90°，∵AM＝BM，∴ME＝AM＝BM，∴∠A＝∠D＝∠AEM，∵∠AEM+∠MEB＝90°，∠MEB＝∠DEH，∴∠D+∠DEH＝90°，∴∠DHE＝90°，∴ME⊥CD．②证明：如图2﹣2中，延长BO交⊙O于P，连接PD，PA，AD．∵AM＝MB，OP＝OB，∴AP＝2OM，∵PB是直径，∴∠PDB＝90°，∵AC⊥BD，∴∠AEB＝∠PDB＝90°，∴PD∥AC，∴∠ADP＝∠DAC，∴＝，∴CD＝AP，∴CD＝2OM．10．（1）证明：连接OC，∵OA＝OB，AC＝CB，∴OC⊥AB，∵点C在⊙O上，∴AB是⊙O切线；（2）证明：∵OA＝OB，AC＝CB，∴∠AOC＝∠BOC，∵OD＝OF，∴∠ODF＝∠OFD，∵∠AOB＝∠ODF+∠OFD＝∠AOC+∠BOC，∴∠BOC＝∠OFD，∴OC∥DF，∴∠CDF＝∠OCD，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠ADC＝∠CDF；（3）解：作ON⊥DF于N，延长DF交AB于M．∵ON⊥DF，∴DN＝NF＝3，在Rt△ODN中，∵∠OND＝90°，OD＝5，DN＝3∴，∵∠OCM+∠CMN＝180°，∠OCM＝90°，∴∠OCM＝∠CMN＝∠MNO＝90°，∴四边形OCMN是矩形，∴ON＝CM＝4，MN＝OC＝5，在Rt△CDM中，∵∠DMC＝90°，CM＝4，DM＝DN+MN＝9，∴．11．（1）证明：∵∠ABC＝∠APC，∠BAC＝∠BPC，∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形．（2）解：∵△ABC是等边三角形，AB＝2，∴AC＝BC＝AB＝2，∠ACB＝60°．在Rt△PAC中，∠PAC＝90°，∠APC＝60°，AC＝2，∴AP＝＝．在Rt△DAC中，∠DAC＝90°，AC＝2，∠ACD＝60°，∴AD＝AC•tan∠ACD＝2．∴PD＝AD﹣AP＝．12．（1）证明：连接OD，交BC于M，∵l是⊙O的切线，∴OD⊥l，∵BC∥l，∴BC⊥OD，∵O为AB的中点，∴M为BC中点，∴BC＝2BM，在△OBM和△ODE中，，∴△OBM≌△ODE（ASA），∴DE＝BM，∴BC＝2DE；（2）解：连接BG，在Rt△BGC和Rt△BGF中，，∴Rt△BGC≌Rt△BGF（HL），∴BG平分∠CBF，CG＝GF，设CG＝GF＝DE＝a，则BC＝BF＝2a，∵∠GAF＝∠CAB，∠AFG＝∠ACB，∴△AFG∽△ACB，∴，∴，∴2AF＝a+AG，又∵AG2＝AF2+GF2，解得AF＝a，AG＝a，由（1）知，AD平分∠BAC，∴AG＝GD＝a，∴AE＝a＝3a，∴tan∠DAB＝＝．13．解（1）∵AB是⊙O的直径，C是圆上一点，弦CD⊥AB于点E，∴DE＝DC，∵DC＝AD，∴DE＝AD，∴∠DAE＝30°，∴∠D＝60°；故答案为：60°；（2）如答图：连接OD、OC，∵OA＝OD，∠DAE＝30°，∴∠ADO＝30°，∵∠ADC＝60°，AD∥FG，∴∠CDO＝30°，∠DCG＝60°，∵OD＝OC，∴∠DCO＝30°，∴∠GCO＝∠DCG+∠DCO＝90°，∴OC⊥FG，∴FG与⊙O相切；（3）如答图2：连接EF、OF、OC，过E作EH⊥FG于H，设⊙O半径为R，∵AD∥FG，∠DAE＝30°，FG与⊙O相切，∴∠G＝30°，∠OCG＝90°，∴OG＝2R，CG＝R，∵CD⊥AB，∴∠GEC＝90°，GE＝CG＝R，∵EH⊥FG于H，∴EH＝GE＝R，∵∠DCG＝60°，EH⊥FG于H，∴CH＝＝R，∵CD⊥AB，AF是⊙O的切线，∴∠GEC＝∠GAF＝90°，∴CD∥AF，∴∠AFC＝∠DCG＝60°，∵FG、FA是是⊙O的切线，∴FA＝FC，∠OCF＝∠OAF，又OF＝OF，∴△AOF≌△COF（HL），∴∠OFC＝∠OFA＝30°，∴CF＝R，∴HF＝CF+CH＝R，在Rt△EHF中，tan∠EFC＝＝＝．14．（1）证明：连接OF，OE，EF，如图1所示：∵⊙O与BA相切于点F，∴AB⊥OF，∴∠OFB＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∵BF＝BE，∴△BEF是等腰直角三角形，∴∠BFE＝∠BEF＝45°，∴∠OFE＝90°45°＝45°，又∵OE＝OF，∴∠OEF＝∠OFE＝45°，∴∠OEB＝45°+45°＝90°，∴BC⊥OE，∴BC是⊙O的切线；（2）解：连接OG、FG，连接EO并延长交AD于P，如图2所示：则EP⊥AD，AP＝BE＝BF＝5，∴GP＝AP﹣AG＝4，∵∠OFB＝∠B＝∠OEB＝90°，∴四边形OFBE是矩形，∴OE＝BF＝5，在Rt△GPO中，由勾股定理得：PO＝＝＝3，∴AF＝OP＝3，∵∠FGA＝∠FED，∴，tan∠FED＝tan∠FGA＝＝3．15．证明：（1）∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，又∵AB＝AC，∴BD＝CD，∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD，∴＝，∴BD＝DE，∴BD＝DE＝DC，∴∠DEC＝∠C＝∠AEF，∵∠AEF+∠CAF＝90°，∠C+∠DAC＝90°，∴∠CAF＝∠CAD，∵四边形ABDE是圆内接四边形，∴∠BAC+∠BDE＝180°，又∵∠BDE+∠EDC＝180°，∴∠EDC＝∠BAC＝2∠CAD＝2∠CAF；（2）△ABC是等边三角形，理由如下：∵直线AF是⊙O的切线，∴∠BAF＝90°，∵∠BAD＝∠CAD＝∠CAF，∴∠BAD＝∠CAD＝∠CAF＝30°，∴∠BAC＝60°，又∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形；（3）∵＝，∴设AD＝25x，DF＝24x，∴AF＝＝＝7x，∵∠BAD＝∠CAF，∠AFE＝∠ADB＝90°，∴△ADB∽△AFE，∴，∴，∴BD＝x，∴BC＝x，∵AB＝＝＝x，∴．。

2021年中考数学九年级复习课时训练：《圆的综合》（一）一．选择题1．下列语句中不正确的有（）①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；④半圆是弧．A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是（）A．2B．2C．2D．43．如图，在平台上用直径为100mm的两根圆钢棒嵌在大型工件的两侧，测量大的圆形工件的直径D，测得两根圆钢棒与地的两个接触点之间的距离为400mm，则工件直径D（mm）用科学记数法可表示为（）mm．A．4×104B．0.4×105C．20000 D．4×1024．在圆中，与半径相等的弦所对的圆心角的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°5．如图，在⊙O中，AB为直径，∠AOC＝80°．点D为弦AC的中点，点E为上任意一点．则∠CED的大小可能是（）A．10°B．20°C．30°D．40°6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD．若，∠BDC＝50°，则∠ADC的度数是（）A．125°B．130°C．135°D．140°7．圆内两弦相交，一弦长为8cm，且被交点平分，另一弦被交点分成的两段的比是1：4，那么另一弦长是（）A．16cm B．10cm C．8cm D．2cm8．如图，直线AB经过⊙O的圆心，与⊙O相交于A、B两点，点C在⊙O上，且∠AOC＝30度．点E是直线AB上的一个动点（与点O不重合），直线EC交⊙O于D，则使DE＝DO 的点E共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图的矩形ABCD中，E为的中点，有一圆过C、D、E三点，且此圆分别与、相交于P、Q两点．甲、乙两人想找到此圆的圆心O，其作法如下：（甲）作∠DEC的角平分线L，作的中垂线，交L于O点，则O即为所求；（乙）连接、，两线段交于一点O，则O即为所求对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（）A．两人皆正确B．两人皆错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确10．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝8，则AC 的长为（）A．4 B．4C．D．211．在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点A（﹣3，0），点B（0，），点P的坐标为（1，0），⊙P与y轴相切于点O．若将⊙P沿x轴向左平移，平移后得到⊙P′（点P 的对应点为点P′），当⊙P′与直线l相交时，横坐标为整数的点P′共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．如图，AB为⊙O的切线，切点为A，连接AO、BO，BO与⊙O交于点C，延长BO与⊙O 交于点D，连接AD．若∠ABO＝36°，则∠ADC的度数为（）A．54°B．36°C．32°D．27°二．填空题13．如图，A是硬币圆周上一点，硬币与数轴相切于原点O（A与O点重合）．假设硬币的直径为1个单位长度，若将硬币沿数轴正方向滚动一周，点A恰好与数轴上点A′重合，则点A′对应的实数是．14．AB是⊙O的弦，OM⊥AB，垂足为M，连接OA．若△AOM中有一个角是30°，OM＝2，则弦AB的长为．15．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积＝（弦×矢+矢2）．弧田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理（当半径OC⊥弦AB时，OC平分AB）可以求解．现已知弦AB＝8米，半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为平方米．16．如图，⊙O的半径为1cm，弦AB、CD的长度分别为cm，1cm，则弦AC、BD所夹的锐角α＝度．17．如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且点B是的中点，BD交OC于点E，∠AOC＝100°，∠OCD＝35°，那么∠OED＝．18．如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝．三．解答题19．如图，圆心为点M的三个半圆的直径都在x轴上，所有标注A的图形面积都是S A，所有标注B的图形面积都是S B．（1）求标注C的图形面积S C；（2）求S A：S B．20．如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD．（1）求证：BE＝CE；（2）试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；（3）若BC＝8，AD＝10，求CD的长．21．如图所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动．小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高（弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的长）为2米，求小桥所在圆的半径．22．如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD、BC．求证：（1）＝；（2）AE＝CE．23．如图，在⊙O中，点P为的中点，弦AD、PC互相垂直，垂足为M，BC分别与AD、PD 相交于点E、N，连接BD、MN．（1）求证：N为BE的中点．（2）若⊙O的半径为8，的度数为90°，求线段MN的长．24．如图，四边形ABCD内接于圆，∠ABC＝60°，对角线BD平分∠ADC．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）过点B作BE∥CD交DA的延长线于点E，若AD＝2，DC＝3，求△BDE的面积．25．已知，如图，PA切⊙O于点A，割线PD交⊙O于点C、D，∠P＝45°，弦AB⊥PD，垂足为E，且BE＝2CE，DE＝6，CF⊥PC，交DA的延长线于点F．求tan∠CFE的值．参考答案一．选择题1．解：①、要强调在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等；故错误．②、平分弦的直径垂直于弦，其中被平分的弦不能是直径，若是直径则错误．③、对称轴是直线，而直径是线段，故错误．④、正确．故选：C．2．解：过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD、OE，如图所示：则DF＝CF，AG＝BG＝AB＝3，∴EG＝AG﹣AE＝2，在Rt△BOG中，OG＝＝＝2，∴EG＝OG，∴△EOG是等腰直角三角形，∴∠OEG＝45°，OE＝OG＝2，∵∠DEB＝75°，∴∠OEF＝30°，∴OF＝OE＝，在Rt△ODF中，DF＝＝＝，∴CD＝2DF＝2；故选：C．3．解：根据图形可知，两圆相切，过点O作OP垂直O1O2于P，则：PO1＝PO2＝200PO＝R﹣50根据勾股定理可得：2002+（R﹣50）2＝（R+50）2解得：R＝200∴D＝2R＝400＝4×102．故选：D．4．解：如图，∵OA＝OB＝AB，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB＝60°．故选：C．5．解：连接OD、OE，∵OC＝OA，∴△OAC是等腰三角形，∵点D为弦AC的中点，∴∠DOC＝40°，∠BOC＝100°，设∠BOE＝x，则∠COE＝100°﹣x，∠DOE＝100°﹣x+40°，∵OC＝OE，∠COE＝100°﹣x，∴∠OEC＝∠OCE＝40°+x，∵OD＜OE，∠DOE＝100°﹣x+40°＝140°﹣x，∴∠OED＜20°+x，∴∠CED＝∠OEC﹣∠OED＞（40°+x）﹣（20°+x）＝20°，∵∠CED＜∠ABC＝40°，∴20°＜∠CED＜40°故选：C．6．解：连接OA，OB，OC，∵∠BDC＝50°，∴∠BOC＝2∠BDC＝100°，∵，∴∠BOC＝∠AOC＝100°，∴∠ABC＝∠AOC＝50°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝130°．故选：B．7．解：设另一条弦分成的两段CP＝x，DP＝4x，由题意得：AP＝BP＝4cm则由相交弦定理得：AP×BP＝CP×DP，则4×4＝x•4x，x＝2，则CD＝x+4x＝10（cm），故选：B．8．解：如图所示，点E的位置有3个．当是E1时，∠CE1O＝10°；当是E2时，则∠CE20＝110°；当是E3时，则∠CE3O＝50°．故选：C．9．解：甲，∵＝，∴△DEC为等腰三角形，∴L为之中垂线，∴O为两中垂线之交点，即O为△CDE的外心，∴O为此圆圆心．乙，∵∠ADC＝90°，∠DCB＝90°，∴、为此圆直径，∴与的交点O为此圆圆心，因此甲、乙两人皆正确．故选：A．10．解：连接CD，∵AB＝BC，∠BAC＝30°，∴∠ACB＝∠BAC＝30°，∴∠B＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∴∠D＝180°﹣∠B＝60°，∵AD是直径，∴∠ACD＝90°，∵∠CAD＝30°，AD＝8，∴CD＝AD＝4，∴AC＝＝＝4，故选：B．11．解：如图所示，∵点P的坐标为（1，0），⊙P与y轴相切于点O，∴⊙P的半径是1，若⊙P与AB相切时，设切点为D，由点A（﹣3，0），点B（0，），∴OA＝3，OB＝，由勾股定理得：AB＝2，∠DAM＝30°，设平移后圆与直线AB第一次相切时圆心为M（即对应的P′），∴MD⊥AB，MD＝1，又因为∠DAM＝30°，∴AM＝2，M点的坐标为（﹣1，0），即对应的P′点的坐标为（﹣1，0），同理可得圆与直线第二次相切时圆心N的坐标为（﹣5，0），所以当⊙P′与直线l相交时，横坐标为整数的点P′的横坐标可以是﹣2，﹣3，﹣4共三个．故选：C．12．解：∵AB为⊙O的切线，∴∠OAB＝90°，∵∠ABO＝36°，∴∠AOB＝90°﹣∠ABO＝54°，∵OA＝OD，∴∠ADC＝∠OAD，∵∠AOB＝∠ADC+∠OAD，∴∠ADC＝∠AOB＝27°；故选：D．二．填空题（共6小题）13．解：将硬币沿数轴正方向滚动一周，点A恰好与数轴上点A'重合，则转过的距离是圆的周长是π，因而点A'对应的实数是π．故答案为：π．14．解：∵OM⊥AB，∴AM＝BM，若∠OAM＝30°，则tan∠OAM＝，∴AM＝6，∴AB＝2AM＝12；若∠AOM＝30°，则tan∠AOM＝，∴AM＝2，∴AB＝2AM＝4．故答案为：12或4．15．解：∵弦AB＝8米，半径OC⊥弦AB，∴AD＝4，∴OD＝＝3，∴OA﹣OD＝2，∴弧田面积＝（弦×矢+矢2）＝×（8×2+22）＝10，故答案为：10．16．解：连接OA、OB、OC、OD，∵OA＝OB＝OC＝OD＝1，AB＝，CD＝1，∴OA2+OB2＝AB2，∴△AOB是等腰直角三角形，△COD是等边三角形，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，∠ODC＝∠OCD＝60°，∵∠CDB＝∠CAB，∠ODB＝∠OBD，∴α＝180°﹣∠CAB﹣∠OBA﹣∠OBD＝180°﹣∠OBA﹣（∠CDB+∠ODB）＝180°﹣45°﹣60°＝75°．17．解：连接OB．∵＝，∴∠AOB＝∠BOC＝50°，∴∠BDC＝∠BOC＝25°，∵∠OED＝∠ECD+∠CDB，∠ECD＝35°，∴∠OED＝60°，故答案为60°．18．解：∵＝，∠CAD＝30°，∴∠CAD＝∠CAB＝30°，∴∠DBC＝∠DAC＝30°，∵∠ACD＝50°，∴∠ABD＝50°，∴∠ADB＝∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝180°﹣50°﹣30°﹣30°＝70°．故答案为：70°．三．解答题（共7小题）19．解：（1）由题意得到圆M的半径为（6﹣4）÷2＝1，则．（1分）（2）∴（3分）∵∴（5分）∴即S A：S B＝5：6（6分）20．（1）证明：∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝∠ACD＝90°，在Rt△ABD和Rt△ACD中，，∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），∴∠BAD＝∠CAD，∵AB＝AC，∴BE＝CE；（2）四边形BFCD是菱形．证明：∵AD是直径，AB＝AC，∴AD⊥BC，BE＝CE，∵CF∥BD，∴∠FCE＝∠DBE，在△BED和△CEF中，，∴△BED≌△CEF（ASA），∴CF＝BD，∴四边形BFCD是平行四边形，∵∠BAD＝∠CAD，∴BD＝CD，∴四边形BFCD是菱形；（3）解：∵AD是直径，AD⊥BC，BE＝CE，∵∠AEC＝∠CED，∠CAE＝∠ECD，∴△AEC∽△CED，∴＝，∴CE2＝DE•AE，设DE＝x，∵BC＝8，AD＝10，∴42＝x（10﹣x），解得：x＝2或x＝8（舍去）在Rt△CED中，CD＝＝＝2．21．解：∵小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，∴8米高旗杆DE的影子为：12m，∵测得EG的长为3米，HF的长为1米，∴GH＝12﹣3﹣1＝8（m），∴GM＝MH＝4m．如图，设小桥的圆心为O，连接OM、OG．设小桥所在圆的半径为r，∵MN＝2m，∴OM＝（r﹣2）m．在Rt△OGM中，由勾股定理得：∴OG2＝OM2+42，∴r2＝（r﹣2）2+16，解得：r＝5，答：小桥所在圆的半径为5m．22．证明（1）∵AB＝CD，∴＝，即+＝+，∴＝；（2）由（1）知＝，∴AD＝BC，∵＝，＝，∴∠ADE＝∠CBE，∠DAE＝∠BCE，∴△ADE≌△CBE（ASA），∴AE＝CE．23．（1）证明：∵AD⊥PC，∴∠EMC＝90°，∵点P为的中点，∴，∴∠ADP＝∠BCP，∵∠CEM＝∠DEN，∴∠DNE＝∠EMC＝90°＝∠DNB，∵，∴∠BDP＝∠ADP，∴∠DEN＝∠DBN，∴DE＝DB，∴EN＝BN，∴N为BE的中点；（2）解：连接OA，OB，AB，AC，∵的度数为90°，∴∠AOB＝90°，∵OA＝OB＝8，∴AB＝8，由（1）同理得：AM＝EM，∵EN＝BN，∴MN是△AEB的中位线，∴MN＝AB＝4．24．（1）证明：∵四边形ABCD内接于圆．∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC＝60°，∴∠ADC＝120°，∵DB平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB＝60°，∴∠ACB＝∠ADB＝60°，∠BAC＝∠CDB＝60°，∴∠ABC＝∠BCA＝∠BAC，∴△ABC是等边三角形．（2）过点A作AM⊥CD，垂足为点M，过点B作BN⊥AC，垂足为点N．∴∠AMD＝90°，∵∠ADC＝120°，∴∠ADM＝60°，∴∠DAM＝30°，∴DM＝AD＝1，AM＝＝＝，∵CD＝3，∴CM＝CD+DM＝1+3＝4，∴S＝CD•AM＝×＝，△ACDRt△AMC中，∠AMD＝90°，∴AC＝＝＝，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝，∴BN＝BC＝，∴S＝×＝，△ABC∴四边形ABCD的面积＝+＝，∵BE∥CD，∴∠E+∠ADC＝180°，∵∠ADC＝120°，∴∠E＝60°，∴∠E＝∠BDC，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠EAB＝∠BCD，在△EAB和△DCB中，，∴△EAB≌△DCB（AAS），∴△BDE的面积＝四边形ABCD的面积＝．25．解：由相交弦定理，得AE•BE＝DE•CE又∵BE＝2CE∴AE•2CE＝6CE∴AE＝3∵AB⊥PD∴∠AEP＝90°又∵∠P＝45°∴∠EAP＝∠P＝45°∴PE＝AE＝3在Rt△AEP中，由勾股定理，得：PA＝＝＝∵PA切⊙O于点A∴PA2＝PC•PD∴PC＝∴CE＝PE﹣PC＝3﹣2＝1∵FC⊥PD∴∠FCE＝90°又∵∠AED＝90°∴∠AED＝∠FCE∴AE∥FC∴＝∴FC＝＝＝∴tan∠CFE＝＝＝．。

2021年备战中考复习数学小题（解答）专练：圆的综合（一）1．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的直线互相垂直，垂足为D，AC平分∠DAB．（1）求证：DC为⊙O的切线；（2）若AD＝3，DC＝，求劣弧AC的长．2．在△ABC中，∠B＝90°，D是△ABC外接圆上的一点，且点D是∠B所对的弧的中点．（1）尺规作图：在图1中作出点D；（要求：不写作法，保留作图痕迹）（2）如图2，连接BD，CD，过点B的直线交边AC于点M，交该外接圆于点E，交CD的延长线于点P，BA，DE的延长线交于点Q，DP＝DQ．①若＝，AB＝4，BC＝3，求BE的长；②若DP＝（AB+BC），求∠PDQ的度数．3．定义：如果三角形三边的长a、b、c满足，那么我们就把这样的三角形叫做“匀称三角形”．如：三边长分别为1，1，1或3，5，7，…的三角形都是“匀称三角形”．（1）已知“匀称三角形”的两边长分别为4和6，则第三边长为．（2）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，交AB的延长线于E，求证：EF是⊙O的切线；（3）在（2）的条件下，若，判断△AEF是否为“匀称三角形”？请说明理由．4．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是以AB为直径的⊙O上一点，连BD交AC于P，CD＝BC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）求的值．5．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，＝，点E在AC上，以AE为直径的⊙O经过点D．求证：①BC是⊙O的切线；②CD2＝CE•CA；6．如图，四边形ABEC是平行四边形，过A、B、C三点的⊙O与CE相交于点D．连接AD、OD，DB是∠ADE的角平分线．（1）判断△BDE的形状，并说明理由；（2）求证：BE是⊙O的切线；（3）如果AB＝，BE＝8，求⊙O的半径．7．如图，已知C、D是直径为AB的圆O上的两点，连接CD于点E，DE＝DA，点P为射线DC上一点，使∠PBC＝∠BDC．（1）求证：PB为圆O的切线；（2）求证：BE2＝ED•PC；（3）若BC＝2，AD＝，求PB的长．8．如图，已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠OCB的角平分线交⊙O于点D，F 在直线AB上，且DF⊥BC，垂足为E，连接AD、BD．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若tan∠A＝，⊙O的半径为3，求EF的长．9．如图所示，PA是⊙O的切线，A为切点，直线OP交⊙O于点E，AC是⊙O的直径，弦BC∥OP，AB交OP于点D，连接PB．（1）判断直线PB与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）已知AB＝6，AE＝6，求弦AE和劣弧AE所围成弓形的周长和面积．10．如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD．（1）求证：OP⊥CD；（2）连接AD，BC，若∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，OA＝2，求OP的长．11．如图，⊙O是等腰△ABC的外接圆，AB＝AC，点D为上一点，连结AD，CD，作BF∥AD交AC的延长线于点F．（1）求证：∠BCF＝∠ADC；（2）若AD＝2，BF＝8，求AC•CF的值．（3）连结BD交AF于点E，若BD⊥AC．①当AE＝2时，求CF的长；②若＝k，用含有k的代数式表示tan∠BAC．12．如图，在半径为5cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，E是BC的中点，OE＝3cm．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）求AD的长．13．如图，AC是⊙O的直径，BC，BD是⊙O的弦，M为BC的中点，OM与BD交于点F，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，且CD平分∠ACE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）求证：∠CDE＝∠DBE；（3）若DE＝6，tan∠CDE＝，求BF的长．14．如图，点O为以AB为直径的半圆的圆心，点M，N在直径AB上，点P，Q在上，四边形MNPQ为正方形，点C在上运动（点C与点P，Q不重合），连接BC并延长交MQ的延长线于点D，连接AC交MQ于点E，连接OQ．（1）求sin∠AOQ的值；（2）求的值；（3）令ME＝x，QD＝y，直径AB＝2R（R＞0，R是常数），求y关于x的函数解析式，并指明自变量x的取值范围．15．如图所示，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上不同的两点，直线BD交线段OC于点E、交过点C的直线CF于点F，若OC＝3CE，且9（EF2﹣CF2）＝OC2．（1）求证：直线CF是⊙O的切线；（2）连接OD、AD、AC、DC，若∠COD＝2∠BOC．①求证：△ACD∽△OBE；②过点E作EG∥AB，交线段AC于点G，点M为线段AC的中点，若AD＝4，求线段MG的长度．参考答案1．（1）证明：连接OC，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC，∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠ACO，∴∠DAC＝∠ACO，∴AD∥OC，∵AD⊥DC，∴OC⊥DC，∵OC过O，∴DC为⊙O的切线；（2）解：∵AD⊥DC，∴∠ADC＝90°，∵AD＝3，DC＝，∴tan∠DAC＝＝，∴∠DAC＝30°，∴∠BAC＝∠ACO＝∠DAC＝30°，AC＝2DC＝2，∴∠AOC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝30°，∴AB＝2BC，∵AC＝2，∴（2BC）2＝（2）2+BC2，解得：BC＝2，AB＝4，即AO＝2，∴劣弧AC的长是＝π．2．解：（1）如图1，作∠ABC的角平分线，交圆于点D，则点D为∠B所对的弧的中点，（2）①连结AE，∵＝，∴∠ABE＝∠BAC，∵＝，∴∠AEB＝∠ACB，又∵AB为公共边，∴△ABE≌△BAC（AAS），∴∠EAB＝∠ABC＝90°，又∵＝，BC＝3，∴AE＝BC＝3，在Rt△ABE中，AB＝4，AE＝3，∴BE＝＝＝5，∴BE＝5；②连结AD，分别过点A，C作AH⊥BD于点H，CR⊥BD于R，∵＝，∴AD＝DC，∠ABD＝∠DBC＝45°，在Rt△ABH中，∠AHB＝90°，∴∠ABH＝∠BAH＝45°，BH2+AH2＝AB2，∴BH＝AH＝AB，同理，BR＝BC，∵∠ABC＝90°，∴AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠ADH+∠CDR＝90°，在Rt△ADH中，∠ADH+∠HAD＝90°，∴∠HAD＝∠CDR，∴△ADH≌△DCR（AAS），∴AH＝DR，∴（AB+BC）＝AH+BR＝DR+BR＝BD，∵DP＝（AB+BC），∴DP＝BD，∴∠P＝∠PBD，∴∠BDC＝∠P+∠PBD＝2∠P，由①得，BE为直径，又∵AC为直径，∴点M为圆心，∴MA＝MB，∴∠MAB＝∠ABM，∵＝，∴∠MAB＝∠BDC，设∠P＝α，则∠ABM＝2α，∵∠ABM+∠PBD＝∠ABD＝45°，∴2α+α＝45°，∴α＝15°，∴∠BDC＝30°，∵BE为直径，∴∠EDB＝90°，∴∠PDQ＝180°﹣∠EDB﹣∠BDC＝180°﹣90°﹣30°＝60°．3．（1）解：设第三边长为x，①当时，解得x＝8，②当是，解得x＝5，③当时，解得x＝2，∵2+4＝6，∴当三边长为2，4，6时，不能构成三角形，所以③舍去，故答案为：5或8；（2）证明：如图1，连接OD，AD，∵AB是⊙O直径，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴D为BC的中点，即BD＝CD，∵O为AB中点，∴OD∥AC，OD＝，∵DF⊥AC，∴∠AFD＝90°，∵OD∥AC，∴∠ODE＝∠AFD＝90°，∴OD⊥EF，∵OD是⊙O半径，∴EF是⊙O的切线；（3）解：△AEF是“匀称三角形”，理由如下：如图2，过B作BM⊥EF于M，∴∠BMD＝∠CFD＝90°，在△BMD和△CFD中，，∴△BMD≌△CFD（AAS），∴BM＝CF，∵，∴，∵∠BMD＝∠CFD＝90°，∴△EBM∽△EAF，∴，设AE＝5x，则AF＝3x，∴，∵，∴，∴△AEF是“匀称三角形”．4．（1）证明：连接OD，如图1所示：∵OD＝OB，∴∠OBD＝∠ODB，∵CD＝CB，∴∠CBD＝∠CDB，∵∠OBD+∠CBD＝∠OBC＝90°，∴∠ODB+∠CDB＝90°，∴∠CDO＝90°，∴OD⊥CD，又∵OD是⊙O的半径，∴CD与⊙O相切；（2）解：连接OC交BD于点H，连接AD、OD，如图2所示：∵BC＝CD，OB＝OD，∴OC垂直平分BD，∴∠OHB＝90°，∠ABD+∠BOH＝∠BCO+∠BOH＝90°，∴∠ABD＝∠BCO，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，OB＝AB＝BC，∴tan∠ABD＝tan∠BCO＝＝，设OH＝a，则DH＝BH＝2a，∴BD＝4a，CH＝2BH＝4a，AD＝BD＝2a，∵∠ADB＝∠OHB＝90°，∴AD∥CH，∴△ADP∽△CHP，∴＝＝＝，∵DH＝2a，∴DP＝，PH＝，在Rt△PHC中，由勾股定理得：PC＝＝＝a，在Rt△ADP中，由勾股定理得：AP＝＝＝a，∴＝＝．5．①证明：如图1，连接DO，∵＝，∴∠FAD＝∠DAE＝∠FAE，∵∠DAE＝∠DOE（圆周角定理），∴∠FAE＝∠DOE，∴DO∥AB，根据题意可知AB⊥BC，∴DO⊥BC，∴BC是⊙O的切线．②如图2，连接DE，OD，∵AB为直径，OA＝OD，∴∠ADO+∠EDO＝∠ADE＝90°，∠ADO＝∠DAO，由（1）可知∠CDE+∠EDO＝90°，∴∠DAO＝∠CDE，在△CDE和△CAD中，，∴△CDE∽△CAD，∴，故CD2＝CE•CA．6．解：（1）∵四边形ABEC是平行四边形，∴AB∥CE，AC＝BE，∴∠ADC＝∠DAB，∴AC＝BD（圆周角定理），∴BE＝BD，故△BDE是等腰三角形．（2）如图1，连接OB，则2∠DAB＝∠DOB，由（1）可知BE＝BD，∴∠BDE＝∠E，∵AB∥CE，DB是∠ADE的平分线，∴∠EDB＝∠ABD，∠EDB＝∠ADB，∴∠ABD＝∠ADB＝∠BDE＝∠E，∴△ABD∽△BED，∴∠DAB＝∠DBE，∵OD＝OB，∴∠OBD＝＝＝90°﹣∠DAB＝90°﹣∠DBE，即∠OBD+∠DBE＝90°，∴OB⊥BE，故BE是⊙O的切线．（3）如图2，过点O作OF⊥DB，过点D、E分别作DM⊥AB，EN⊥AB交AB的延长线于点N，则有∠BOF＝∠DOF＝∠BOD，BF＝DF＝DB，DM＝EN，DE＝DM，又∠DAM＝∠BOD，∴∠BOF＝∠DAM，根据题意有AB＝CE＝4，BE＝BD＝8，∴BF＝4，由（2）可知△ABD∽△BED，∴＝，即，解得DE＝，在Rt△DMB和Rt△ENB中，，∴Rt△DMB≌Rt△ENB（HL），∴BM＝BN＝MN＝DE＝，∴AM＝AB﹣BM＝﹣＝，在RtDMB中，DM＝＝，在Rt△ADM和Rt△OBF中，，∴Rt△ADM∽Rt△OBF，∴＝，即＝，解得OF＝3，在Rt△OBF中，OB＝＝5，故⊙O的半径为5．7．（1）证明：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BDC＝∠BAC，∴∠BDC+∠ABC＝90°，∵∠PBC＝∠BDC，∴∠PBC+∠ABC＝90°，∴∠ABP＝90°，∴AB⊥BP，∴PB为圆O的切线；（2）证明：∵DE＝DA，∴∠1＝∠2，∵∠1＝∠4，∠2＝∠3，∴∠3＝∠4，∴BE＝BC，∵∠DBA＝∠ACD，∠ACB＝90°，∴∠4+∠DBA＝90°，由（1）知，∠EBP＝90°，∴∠3+∠P＝90°，∴∠DBP＝∠P，∵∠BDC＝∠PBC，∴△DEB～△BCP，∴，∵BE＝BC，∴BE2＝ED•PC．（3）过B作BG⊥CE于G，由（2）知BE＝BC，∴EG＝CG，∵AD＝DE＝，BC＝BE＝2，∴4＝PC，∴，设EG＝CG＝x，则PE＝，∵Rt△BGE∽Rt△PBE，∴BE2＝EG•EP，∴，解得x＝，∴，∴＝4．8．解：（1）如图，连接OD，∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCD，∵CD平分∠OCB，∴∠OCD＝∠BCD，∴∠ODC＝∠BCD，∴OD∥CE，∴∠CEF＝∠ODE，∵CE⊥DF，∴∠CEF＝90°，∴∠ODE＝90°，即OD⊥DF，∴DF是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴tan∠A＝＝，则AD＝2BD，在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AB＝2r＝6，∴BD2+AD2＝AB2，即BD2+（2BD）2＝62，解得BD＝，由（1）知DF是⊙O的切线，∴∠BDF＝∠A，∵BE⊥DF，∴∠BEF＝90°，∴tan∠BDF＝＝，则DE＝2BE，在Rt△BDE中，BD＝，由勾股定理可得，BE2+DE2＝BD2，即BE2+（2BE）2＝（）2，解得BE＝，则DE＝，由（1）知BE∥OD，∴＝，即＝，解得EF＝．9．解：（1）直线PB是⊙O的切线．理由如下：连接OB．∵BC∥OP，∴∠AOP＝∠ACB，∠BOP＝∠OBC，∵OB＝OC，∴∠ACB＝∠OBC，∴∠AOP＝∠BOP，∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO＝90°．在△AOP和△BOP中，，∴△AOP≌△BOP（SAS），∴∠PBO＝∠PAO＝90°，∴OB⊥PB，∴直线PB是⊙O的切线．（2）∵∠AOP＝∠BOP，∴弧AE＝弧BE，∴OP⊥弦AB，AD＝BD，∵AB＝6，AE＝6，∴AD＝AB＝3，在Rt△ADE中，DE＝＝＝3，在Rt△ADO中，设⊙O的半径为x，则，解得x＝6，在Rt△AOD中，sin∠AOD＝，∴∠AOD＝60°．又∵OA＝OE，∴△AOE是等边三角形，∴AO＝OE＝6．∴弧AE的长＝＝2π，∴弓形的周长＝弦AE+弧AE的长＝6+2π，弓形的面积＝S扇形AOE﹣S△AOE＝﹣＝6π﹣9．10．解：（1）连接OC，OD，∴OC＝OD，∵PD，PC是⊙O的切线，∵∠ODP＝∠OCP＝90°，在Rt△ODP和Rt△OCP中，，∴Rt△ODP≌Rt△OCP（HL），∴∠DOP＝∠COP，∵OD＝OC，∴OP⊥CD；（2）如图，连接OD，OC，∴OA＝OD＝OC＝OB＝2，∴∠OCB＝∠CBA＝70°，∠ODA＝∠OAD＝50°，∴∠BOC＝40°，∠AOD＝80°，∴∠COD＝180°﹣∠BOC﹣∠AOD＝60°，∵∠ODP＝∠OCP＝90°，∵OD＝OC，∴△COD是等边三角形，由（1）知，∠DOP＝∠COP＝30°，在Rt△ODP中，OP＝＝．11．解：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠ACB+∠BCF＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠BCF＝∠ADC；（2）∵AD∥BF，∴∠DAC＝∠F，∵∠BCF＝∠ADC，∴△BCF∽△CDA，∴，即AC•CF＝AD•BF＝2×8＝16；（3）①设CE＝x，CF＝y，∵∠DBC＝∠DAC＝∠F，∠BEC＝∠FEB，∴△BEC∽△FEB，∴BE2＝x（x+y），在Rt△ABE中，22+x（x+y）＝（2+x）2，∴CF＝y＝4；②设AE＝a，由①知，CF＝2a，∵＝k，∴AC＝2ak，EC＝AC﹣AE＝a（2k﹣1），EF＝EC+CF＝a（2k﹣1）+2a＝a（2k+1），由①知，BE2＝CE•EF，∴BE＝＝a，∴tan∠BCA＝＝＝．12．（1）证明：连接OC，如图：∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠CAO，∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OCA，∴AD∥OC，∵AD⊥DC，∴CO⊥DC，∴CD是⊙O的切线；（2）∵E是BC的中点，且OA＝OB，∴OE是△ABC的中位线，AC＝2OE，∵OE＝3，∴AC＝6，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°＝∠ADC，又∠DAC＝∠CAB，∴△DAC∽△CAB，∴＝，即＝，∴AD＝．13．（1）证明：连接OD，如图：∵CD平分∠ACE，∴∠OCD＝∠DCE，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠DCE＝∠ODC，∴OD∥BC，∵DE⊥BC，∴DE是⊙O的切线；（2）证明：连接AB，如图：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，即∠ABD+∠DBC＝90°，∵＝，∴∠ABD＝∠ACD，∵∠ACD＝∠ODC，∴∠ABD＝∠ODC，∴∠ODC+∠DBC＝90°，∵∠ODC+∠CDE＝90°，∴∠CDE＝∠DBC，即∠CDE＝∠DBE；（3）解：Rt△CDE中，DE＝6，tan∠CDE＝，∴＝，∴CE＝4，由（2）知∠CDE＝∠DBE，Rt△BDE中，DE＝6，tan∠DBE＝，∴BE＝9，∴BC＝BE﹣CE＝5，∵M为BC的中点，∴OM⊥BC，BM＝BC＝，Rt△BFM中，BM＝，tan∠DBE＝，∴＝，∴FM＝，∴BF＝＝．14．解：（1）如图，连接OP．∵四边形MNPQ是正方形，∴∠OMN＝∠ONP＝90°，MQ＝PN，∵OQ＝OP，∴△OMQ≌△ONP（HL），∴OM＝ON，设OM＝ON＝m，则MQ＝2m，OQ＝＝m，∴sin∠AOQ＝＝＝．（2）由（1）可知OM＝ON＝m，OQ＝OA＝m，MN＝2m，∴AM＝OA﹣OM＝m﹣m，∴＝＝．（3）∵AB＝2R，∴OA＝OB＝OQ＝r，∵QM＝2MO，∴OM＝，MQ＝，∵AB是直径，∴∠ACB＝∠DCE＝90°，∵∠CED＝∠AEM，∴∠A＝∠D，∵∠AME＝∠DMB＝90°，∴△AME∽△DMB，∴＝，∴＝，∴y＝﹣，当点C与P重合时，＝，∴＝，∴x＝R，∴R＜x＜R．15．（1）证明：∵9（EF2﹣CF2）＝OC2，OC＝3OE，∴9（EF2﹣CF2）＝9EC2，∴EF2＝EC2+CF2，∴∠ECF＝90°，∴OC⊥CF，∴直线CF是⊙O的切线．（2）①证明：∵∠COD＝2∠DAC，∠COD＝2∠BOC，∴∠DAC＝∠EOB，∵∠DCA＝∠EBO，∴△ACD∽△OBE．②解：∵OB＝OC，OC＝3EC，∴OB：OE＝3：2，∵△ACD∽△OBE，∴＝，∴＝＝，∵AD＝4，∴AC＝6，∵M是AC的中点，∴CM＝MA＝3，∵EG∥OA，∴＝＝，∴CG＝2，∴MG＝CM﹣CG＝3﹣2＝1．。