南开大学 2015 级多元函数微分结课统考试卷

南开大学2014级多元函数微积分试卷2015年4月26日一、选择题（每小题4分，共28分）(1)设2)(),(y x yxxy f +=，则=),(y x f ( B )A.22)1(y y x +B.2)1(y y x +C.22)1(x x y +D.2)1(y x y+(2)=-+→22222)0,0(),()(limy x y x y x y x ( D ) A.0 B.1 C.2 D.不存在(3)函数xyz z xy u -+=32在点)2,1,1(处沿方向}21,22,21{=L r 的方向导数是( B ) A.10 B.5 C.4 D.2(4)设yxe x y z +=sin ，则=∂∂∂yx z2( A ) A.y e x +cos B.y e x y +cos C.x y sin - D.y e x +sin (5)下列命题中正确的是( B )A.函数),(y x f 在P 点偏导数存在则连续B.函数),(y x f 在P 点可微则偏导数存在C.函数),(y x f 在P 点连续则偏导数存在D.函数),(y x f 在P 点偏导数存在则可微(6)设D 是矩形区域10,0≤≤≤≤y x π，则积分=⎰⎰dxdy x y Dsin ( A )A.1B.21C.22D.23(7)设L 是平面光滑曲线段，),(y x f 是L 上的连续函数，则下列陈述正确的是( B )（第十章的知识）二、填空题（每小题4分，共24分）(1)=→xxyy x sin lim )0,0(),( 0 ；(2)已知⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22y x y x y x xyy x f ，试问),(y x f 在点)0,0(是否连续？答： 不连续 ；(3)曲线⎪⎩⎪⎨⎧+==++2222223932yx z z y x 在点)2,1,1(-处的切向量为}7,10,8{； (4)设v e z u sin =，xy u =，y x v +=，则=∂∂xz)cos()sin(y x e y x ye xy xy +++； (5)若y x z =，则=dz xdy x dx yx y y ln 1+-；(6)两曲面22y x z +=，228y x z --=所围成的立体的体积是π16. 三、计算下列各题（每小题5分，共20分）1.设)sin ,2(x y y x f z -=，其中),(v u f 具有二阶连续偏导数，求y x z∂∂∂2.答案：2221212112cos sin cos cos sin 22f x x y f x y f x f x f y x z''+''-'+''+''-=∂∂∂. 也可以写成22212112cos sin cos )cos sin 2(2f x x y f x f x y x f yx z''+'+''-+''-=∂∂∂. 2.设}|),{(22x y x y x D ≤+=，求⎰⎰Ddxdy x .解 ⎰⎰Ddxdy x⎰⎰⋅=-θππθθcos 022cos rdr r d⎰-=223cos 52ππθθd 158=.解 设上底为1S ，下底为2S .4.计算三重积分⎰⎰⎰+Vdxdydz y x )(22，其中V 由曲面22y x z +=和平面1=z 围成。

微积分基础知识复习资料目录一、不定积分 (3)（一）不定积分概念，第一换元积分法 (3)（二）第二换元积分法，分部积分法 (4)二、定积分 (8)（一）定积分概念，微积分基本定理，定积分得基本性质 (8)（二）定积分的几何定义 (9)（三）定积分的基本性质 (10)三、反常积分 (13)（一）无穷限的反常积分 (13)（二）无界函数的反常积分............................. 15 四、微分方程 ...........................................16 （一）微分方程的基本概念............................. 16 （二）可分离变量的微分方程...........................17 四、齐次方程 ...........................................18 （一）齐次方程 ...................................... 18 （二）可化为齐次的方程............................... 18 五、一阶线性微分方程 ...................................20 （一）线性方程 ...................................... 20 （二）伯努利方程 .................................... 21 六、可降阶的高阶微分方程................................22 （一）()()n y f x 型的微分方程...........................22 （二）(,)y f x y 型的微分方程..........................22 （三）(,)yf y y 型的微分方程..........................23 七、题型分析 ...........................................23一、不定积分（一）不定积分概念，第一换元积分法（1）原函数与不定积分概念设函数F x与f x在区间,a b内有定义，对任意的,x a b，有'F x f x或dF x f x dx，就称F x是f x在,a b内的一个原函数。

欢迎阅读第八章 多元函数微分法及其应用复习题及解答一、选择题1.极限=（ B ）lim x y x yx y →→+00242(A)等于0；(B)不存在； (C)等于 ；(D)存在且不等于0或121223 0x y →→4、函数在点处具有偏导数是它在该点存在全微分的（ A ）z f x y =(,)(,)x y 00(A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件；(C)充分必要条件；(D)既非充分又非必要条件5、设，则= （ B ）u y x =arctan∂∂ux(A)； (B) ； (C)；(D)x x y 22+-+yx y 22yx y 22+-+x x y 226、设，则 （ A ）f x y yx(,)arcsin=f x '(,)21=（A ）；（B ）； （C ）； （D ）-1414-12127、若，则 （　C ）)ln(y x z -==∂∂+∂∂yz y x z x 8、设9、若1011（（12f （A ）点是函数的极大值点； （B ）点是函数的极小值点；P 0z P 0z （C ）点非函数的极值点；（D ）条件不够，无法判定。

P 0z 二、填空题1、极限= ??????? 。

答：limsin()x y xy x→→0ππ2、极限=??????? 。

答：limln()x y x y e x y→→++01222ln 23、函数的定义域为 ??????? 。

答：z x y =+ln()x y +≥14、函数的定义域为 ??????? 。

答：，z xy=arcsin -≤≤11x y ≠05、设函数，则= ??????? 。

答：f x y x y xy y x (,)ln =++⎛⎝ ⎫⎭⎪22f kx ky (,)k f x y 2⋅(,)678，x xy =ln 91解：(1)要使函数有意义，必须有，即有.z =2210x y --≥221x y +≤故所求函数的定义域为,图形为图3.122{(,)|1}D x y x y =+≤(2)要使函数有意义，必须有.故所有函数的定义域为，ln()z x y =+0x y +>{}(,)|0D x y x y =+>图形为图3.2(3)要使函数有意义，必须有，即且.1ln()z x y =+ln()0x y +≠0x y +>1x y +≠欢迎阅读故该函数的定义域为，图形为图3.3{}(,)|01D x y x y x y =+>+≠，(4)要使函数有意义，必须有.故该函数的定义域为，ln(1)z xy =-10xy ->{(,)|1}D x y xy =>图形为图3.4图3.1 图3.2图3.3 图3.42解：x y 34、设解：z 1单y 解：L 利润目标函数)]33(01.032400[)910(),(22y xy x y x y x y x L +++++-+=，)0,0(,400)33(01.06822>>-++-+=y x y xy x y x 令，解得唯一驻点（120，80）.⎩⎨⎧=+-='=+-='0)6(01.060)6(01.08y x L y x L yx又因，得06.0,01.0,006.0-=''=-=''=<-=''=yy xy xx L C L B L A .0105.332>⨯=--B ACe n d欢迎阅读得极大值. 根据实际情况，此极大值就是最大值．故生产120单位产品甲与320)80,120(=L 80单位产品乙时所得利润最大320元.五、证明题1、设? 求证? )11(y x e z +-=z yz y x z x 222=∂∂+∂∂2? 3?? ? ? x y F y x -=∂∂y z F z -=∂∂zx F x z -=∂∂所以 ?1)()((-=-⋅-⋅-=∂∂⋅∂∂∂∂zx y z x y F F F F F F x z z yy x。

多元函数微分学测试题及答案(总3页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第8章 测试题1.),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数且在),(00y x 处有极值是 0),(00=y x f x 及0),(00=y x f y 的（ ）条件．A ．充分B ．充分必要C ．必要D ．非充分非必要2.函数(,)z f x y =的偏导数z x∂∂及z y ∂∂在点(,)x y 存在且连续是 (,)f x y 在该点可微分的（ ）条件．A ．充分条件B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件3. 设(,)z f x y =的全微分dz xdx ydy =+，则点（0，0） 是（ ）A 不是(,)f x y 连续点B 不是(,)f x y 的极值点C 是(,)f x y 的极大值点D 是(,)f x y 的极小值点4. 函数22224422,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在（0，0）处（ C ）A 连续但不可 连续且偏导数存在C 偏导数存在但不可 既不连续，偏导数又不存在5.二元函数22((,)(0,0),(,)0,(,)(0,0)⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩x y x y f x y x y 在点(0,0)处( A ).A ．可微,偏导数存在B ．可微,偏导数不存在C ．不可微,偏导数存在D ．不可微,偏导数不存在6.设),(),,(y x v v v x f z ==其中v f ,具有二阶连续偏导数. 则=∂∂22y z ( ). (A)222y v v f y v y v f ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂； (B)22y v v f ∂∂⋅∂∂；(C)22222)(y v v f y v v f ∂∂⋅∂∂+∂∂∂∂； (D)2222yv v f y v v f ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂. 7.二元函数33)(3y x y x z --+=的极值点是( ).(A) (1,2)； (B) ； (C) (-1,2)； (D) (-1,-1). 8.已知函数(,)f x y 在点(0,0)的某个邻域内连续，且223(,)(0,0)(,)lim 1()x y f x y xy x y →-=+，则下述四个选项中正确的是（ ）.A ．点(0,0)是(,)f x y 的极大值点B ．点(0,0)是(,)f x y 的极小值点C ．点(0,0)不是(,)f x y 的极值点D ．根据所给条件无法判断点(0,0)是否为(,)f x y 的极值点10.设函数(,)z z x y =由方程z y z x e -+=所确定，求2z y x ∂∂∂11.设(,)f u v 是二元可微函数，,y x z f x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求 z z x y x y ∂∂-∂∂ 12.设222x y z u e ++=，而2sin z x y =，求u x ∂∂11.设(,,)z f x y x y xy =+-，其中f 具有二阶连续偏导数，求 2,z dz x y ∂∂∂.13.求二元函数22(,)(2)ln f x y x y y y =++的极值14.22在椭圆x +4y =4上求一点，使其到直线2360x y +-=的距离最短.第8章测试题答案8. ()()3(1)z y z y e e --- 9. 2122z z x y x y f f x y y x∂∂-=-∂∂10.2222(12sin)x y zuxe z y x++∂=+∂11.123123231113223233 ()(),()()dz f f yf dx f f xf dyzf f x y f f x y f xyf x y=+++-+∂=+++-+-+∂∂12.极小值11(0,)f ee-=-13. r h==83(,)55。

南开大学陈省身数学研究所数学分析2000——2023年年（2023年年有答案）高等代数2003——2023年年（2023年年有答案）空间解析几何与高等代数2000——2002抽象代数2002微分几何1999——2000实变函数1999——2000泛函分析1999——2000概率统计1999——2000拓扑学1999——2000实变函数与泛函分析1999——2000数理方程1999——2000概率论与数理统计1999——2000偏微分方程数值解法1999——2000计算主意1999——2000数理统计1999——2000概率统计信息1999——2000量子力学1999——2023年年量子力学（物理）1999——2000量子力学导论2002——2023年年数学物理主意2003——2023年年数学科学学院数学分析2000——2023年年（2023年年有答案）高等代数2003——2023年年（2023年年有答案）空间解析几何与高等代数2000——2002抽象代数2002第 1 页/共22 页微分几何1999——2000实变函数1999——2000泛函分析1999——2000概率统计1999——2000拓扑学1999——2000实变函数与泛函分析1999——2000数理方程1999——2000概率论与数理统计1999——2000偏微分方程数值解法1999——2000计算主意1999——2000数理统计1999——2000概率统计信息1999——2000数学物理主意2003——2023年年物理科学学院材料化学2023年年材料物理2004——2023年年热力学统计物理2003——2004统计物理1999——2000理论力学1999——2000，2003——2004固体物理（基础部分）2004——2023年年大学物理2000大学物理（物理科学学院）2023年年大学物理（信息技术科学学院）2003——2004普通物理1999——2000，2003——2004晶体物理2004激光物理2003——2004光学（信息技术科学学院）2000，2003——2023年年光物理学2023年年应用光学1999——2000，2003——2023年年电动光学1999晶体管原理1999——2000量子力学1999——2023年年量子力学（物理）1999——2000量子力学导论2002——2023年年量子物理概论2003——2004细胞生物学1999——2000高等数学1999——2000高等数学（信息技术科学学院）2003——2023年年电磁学2003——2023年年电力电子学基础2003——2004经典物理学2023年年普通生物化学2003——2023年年生物物理学2003——2023年年数学物理主意2003——2023年年泰达生物技术学院数学分析2000——2023年年（2023年年有答案）高等代数2003——2023年年（2023年年有答案）微生物学1999——2000细胞生物学1999——2000生物化学1999——2000动物学1999，2003——2023年年昆虫学2003——2023年年普通生物化学2003——2023年年信息技术科学学院高等数学1999——2000第 3 页/共22 页高等数学（信息技术科学学院）2003——2023年年光学（信息技术科学学院）2000，2003——2023年年应用光学1999——2000，2003——2023年年信号与系统1999——2023年年控制原理1999——2000自动控制2023年年自动控制原理2003——2004现代控制论基础1999——2000，2003——2004综合基础课（光学、电路与系统、通信与信息系统、信号与信息系统、物理电子学、微电子学与固体电子学、光学工程专业）1999——2000，2002——2023年年编译原理1998数据结构（含程序设计）2002数据结构与算法2003——2004数据结构1998——2000软件基础1999——2000计算机软硬件基础2023年年C语言与数据结构2004计算机原理1999——2000，2003综合基础课（模拟电路、数字电路、计算机原理）1999——2000大学物理2000大学物理（物理科学学院）2023年年大学物理（信息技术科学学院）2003——2004晶体管原理2003——2004普通物理1999——2000，2003——2004通信原理2003——2023年年物理学2023年年运筹学2003——2023年年高分子化学与高分子物理1999——2000高分子化学与物理2004，2023年年环境科学与工程学院水污染控制工程2004——2023年年安全学导论2004——2023年年环境监测1999——2000，2002——2023年年环境经济学2003——2023年年环境微生物学1999——2000环境生物学2003——2023年年环境学导论2004——2023年年环境管理1999——2000，2003——2023年年动物生理学1999——2000环境化学1999——2000，2002，2023年年环境化学与分析化学2003——2004（注：2004年试卷缺页，惟独“环境化学”内容）环境质量评价1999——2000环境工程1999——2000细胞生物学1999——2000生物化学1999——2000环境科学概论1999——2000，2002——2003化学学院综合化学2023年年——2023年年无机化学1999——2000，2003——2023年年分析化学1999——2000，2003——2023年年，2023年年高分子化学与高分子物理1999——2000高分子化学与物理2004，2023年年有机化学1999——2000，2003——2023年年，2023年年物理化学2000，2003，2023年年——2023年年第 5 页/共22 页药物化学2004——2023年年细胞生物学1999——2000生物化学1999——2000固体物理（基础部分）2004——2023年年普通生物化学2003——2023年年植物化学保护1999——2000，2004生命科学学院微生物学1999——2000，2003——2023年年细胞生物学1999——2000生物化学1999——2000数学分析2000——2023年年（2023年年有答案）高等代数2003——2023年年（2023年年有答案）遗传学1999——2000，2003，2023年年真菌学1999——2000普通植物生理学1999——2000，2003——2023年年植物学1999——2000，2003动物学1999，2003——2023年年昆虫学2003——2023年年分子遗传学1999——2000植物生理学2000，2003——2023年年植物化学保护1999——2000，2004植物解剖学2023年年普通生态学1999——2000，2003——2023年年普通生物化学2003——2023年年普通微生物学2003——2023年年普通物理1999——2000，2003——2004数据结构（含程序设计）2002数据结构与算法2003——2004数据结构1998——2000医学院病理学2004——2023年年人体解剖学2004——2023年年生理学2004——2023年年生物化学（医）2004——2023年年药理学2004——2023年年汉语言文化学院汉语2023年年古代汉语2002现代汉语（文学院）2001现代汉语（汉语言文化学院）2002——2004语言学理论基础（汉语言文化学院）2001——2004 语言学理论2023年年文学院文学基础2023年年中国古代文学2023年年人文社科基础2004——2023年年世界文学2023年年综合考试（文学）1999——2000文学综合1999——2000文艺理论1999——2000，2004——2023年年文艺评论2004——2023年年文艺写作2023年年文艺评论写作1999——2000中国文学史1998——2002第7 页/共22 页中国文学批评史1998——2001古代汉语2002现代汉语与古代汉语2003——2023年年古典文学文献学2004——2023年年语言学概论2023年年现代汉语（文学院）2001现代汉语（汉语言文化学院）2003——2004语言理论基础（文学院）2003——2004语言学理论基础（汉语言文化学院）2001——2004 汉语基础知识2004汉语知识2004中国文学史2003——2023年年人文地理学1999——2000传扬学2003传扬学原理2004——2023年年绘画基础与创作2004——2023年年美学原理2003——2023年年书法技法2003——2004书法史论2003——2004新闻学原理2004——2023年年艺术史论2004——2023年年艺术与设计史论2003——2023年年中外美术史论2003——2023年年专业设计（环境设计）2003专业设计（设计艺术学、环境设计专业）2004专业设计（设计艺术学、视觉设计）2023年年历史学院古代汉语2003——2023年年古代文献2003——2004古典文献学2004——2023年年拉丁美洲史2003——2004历史地理2004——2023年年历史文献学2004——2023年年历史学基础理论2023年年美国史2003——2004美国学综论2023年年明清史2003——2004史学史2023年年世界近现代史（历史学院）2003——2023年年世界近现代史（日研院）2023年年世界上古中古史2003——2023年年世界通史2003——2023年年文物博物馆学2003——2023年年中国古代史2003——2023年年中国近现代史2003——2023年年中国史学史与史学理论2003——2004中国思想史2003——2023年年中国通史1994——1997，2003——2023年年中国文献学基础2003——2004中国近代史（中共党史专业）2003——2023年年哲学系马克思主义哲学（哲学各专业）2004——2023年年马克思主义哲学（马克思主义教诲学院）2003——2023年年宗教学概论2004——2023年年伦理学原理2004——2023年年美学概论2023年年第9 页/共22 页欧美哲学通史2003——2023年年西方哲学通史2023年年形式逻辑2003——2023年年中国哲学史2023年年中外哲学史2003——2023年年外国语学院二外日语2001——2023年年二外德语2001——2023年年二外法语2001——2023年年二外俄语2003——2023年年专业英语2000——2003，2023年年——2023年年（2023年年——2023年年有答案）（注：2023年年答案惟独英美文学部分，2023年年答案有英美文学部分和语言学部分）基础英语1997，2000——2023年年（1997，2004——2023年年，2023年年有答案）语言学基础2023年年（2023年年有答案）翻译2004（2004有答案）双语翻译与文学2004英美文学2004（2004有答案）语言学2004——2023年年（2004——2023年年有答案）二外英语2001，2003——2023年年，2023年年基础日语2001，2003——2023年年专业日语2001，2003——2023年年基础俄语2004——2023年年法学院刑法学2023年年法学综合（含法理学、宪法、民法、刑法、刑诉、民诉）2000——2023年年（2023年年试题有答案）民法与商法2003——2023年年，2023年年民法（民商法专业）2002民法（经济法专业）2002民法2000——2001（法理学）法学理论2023年年法学理论2003法制史（含中国法制史、外国法制史）2003——2023年年，2023年年国际法学（含国际经济法、国际公法、国际私法）2003——2023年年，2023年年国际经济法概论2000经济法与商法2003——2023年年，2023年年经济法1999诉讼法学（含行政诉讼法、刑事诉讼法、民事诉讼法）2004——2023年年，2023年年宪法学、行政法与行政诉讼法2003——2023年年，2023年年（2004有答案）环境法2023年年周恩来政府管理学院行政管理学2003——2023年年政策原理与政策分析2003——2023年年（2004有答案）国际关系史1999——2000，2003——2023年年国际关系学2003——2023年年国际关系概论1999——2000外交学概论与当代中国外交2004——2023年年外国政治制度史1999——2000政治学原理1999——2023年年中国政治制度史1999——2000中国通史1994——1997第11 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页中外政治思想史2003——2023年年中国政治思想史1999——2000，2002西方政治思想史1999——2000中外经济地理1999——2000世界近现代历史2002社会保障学2004——2023年年社会学理论2023年年社会学概论1995——2001，2003——2004社会调查主意与社会统计1995——2023年年社会工作2001环境学与环境法2004——2023年年西方经济学流派2004——2023年年（2004——2023年年有答案）心理学主意2004——2023年年（2004有答案）心理学基础2004——2023年年（2004有答案）马克思主义教诲学院马克思主义哲学（哲学各专业）2004——2023年年马克思主义哲学（马克思主义教诲学院）2003——2023年年科学社会主义原理2004——2023年年专业综合基础理论（科学社会主义与国际共产主义运动理论专业）2004——2023年年思想政治教诲原理2003——2023年年中共党史2003——2023年年中国近代史（中共党史专业）2003——2023年年中外哲学史2003——2023年年经济学院微观、宏观经济学2002，2023年年（2023年年有答案）微观经济学1999——2001宏观经济学1999——2001（1999——2000有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、保险学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、财政学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、产业经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、国际经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、金融工程学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、经济思想史）2003（2003有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、劳动经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、区域经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、人口经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、台湾经济）2003（2003有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、西方经济学流派）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、应用统计学）2003（2003有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、政治经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、中国近代经济史）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（国际经济学）（世界经济、国际贸易专业）2003西方经济学1999——2003（1999——2000，2002有答案）政治经济学1999——2000，2002，2023年年（1999——2000，2002，2023年年第13 页/共22 页有答案）当代西方经济学1999——2001（2000——2001有答案）区域经济学2002——2003（2002——2003有答案）产业经济学2002——2003（2002——2003有答案）货币银行学1999——2001（1999——2001有答案）国际金融1999——2001（1999——2001有答案）中国近代经济史1999——2000社会经济统计学原理1999——2000中国近代经济史（经研所）1999——2000企业人力资源开辟与管理1999——2000保险学原理1999——2000劳动经济学1999——2000人口经济学1999——2000人口学理论2003——2023年年计量经济学1999——2000世界经济概论1999——2000房地产经济1999——2000财产学1999——2000世界经济概论与世界经济情况1999——2000市场学1999——2000信息系统技术1999——2000环境经济学1999——2000国际经济学1999——2002（2000——2002有答案）外国近现代经济史1999——2000综合基础课（保险）1999——2000金融学基础（联考）2002——2023年年（2002——2023年年有答案）商学院会计学综合2023年年——2023年年会计学综合考试1999——2000，2003——2023年年（2000，2003——2023年年有答案）财务管理1999——2000财务管理与管理会计1999——2000（1999——2000有答案）公司治理2023年年技术经济学2003——2023年年市场学1999——2000管理综合（含管理学、微观经济学）2003——2023年年（2003——2023年年有答案）（注：2023年年——2023年年的答案惟独管理学部分的答案，无微观经济学部分的答案）管理学概论2002信息系统技术1999——2000管理信息系统2003——2023年年旅游管理1999旅游学综合（旅游概论和旅游经济学）2001——2023年年旅游学概论1997企业人力资源开辟与管理1999——2000（1999——2000有答案）人文地理学1999——2000中外经济地理1999——2000计算机应用（设计程序、数据库系统）2004——2023年年编辑学2001出版学2001网络技术基础2001档案管理学2004——2023年年档案学概论2004——2023年年目录学（含目录学概论、中西文工具书）2003——2004文献目录学2023年年情报学（含情报学概论、科技文献检索、计算机情报检索）2003情报学（含情报学概论、信息检索）2004第15 页/共22 页情报学综合2023年年图书馆学理论2003——2023年年高等教诲研究所高等教诲原理2003——2023年年（2023年年有答案）经济学原理2023年年——2023年年（2023年年——2023年年有答案）高等教诲管理学2003——2023年年教诲社会学2004——2023年年教诲学原理2004——2023年年（2004有答案）普通心理学2003——2023年年（2004有答案）中国高等教诲史2003——2023年年经济与社会发展研究院专业综合（含微观经济学、区域经济学）2004——2023年年（2004——2023年年有答案）专业综合（宏观经济学、产业经济学）2004——2023年年（2004——2023年年有答案）微观、宏观经济学2002，2023年年（2023年年有答案）微观经济学1999——2001宏观经济学1999——2001（1999——2000有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、保险学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、财政学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、产业经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、国际经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、金融工程学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、经济思想史）2003（2003有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、劳动经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、区域经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、人口经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、台湾经济）2003（2003有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、西方经济学流派）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、应用统计学）2003（2003有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、政治经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、中国近代经济史）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（国际经济学）（世界经济、国际贸易专业）2003西方经济学1999——2003（1999——2000，2002有答案）政治经济学1999——2000，2002，2023年年（1999——2000，2002，2023年年有答案）当代西方经济学1999——2001（2000——2001有答案）区域经济学2002——2003（2002——2003有答案）产业经济学2002——2003（2002——2003有答案）货币银行学1999——2001（1999——2001有答案）国际金融1999——2001（1999——2001有答案）中国近代经济史1999——2000社会经济统计学原理1999——2000中国近代经济史（经研所）1999——2000企业人力资源开辟与管理1999——2000第17 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页/共22 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页/共22 页中国近代经济史1999——2000社会经济统计学原理1999——2000中国近代经济史（经研所）1999——2000劳动经济学1999——2000人口经济学1999——2000人口学理论2003——2023年年计量经济学1999——2000世界经济概论1999——2000房地产经济1999——2000财产学1999——2000世界经济概论与世界经济情况1999——2000市场学1999——2000信息系统技术1999——2000环境经济学1999——2000国际经济学1999——2002（2000——2002有答案）外国近现代经济史1999——2000。

多元函数微分学练习题一、判断题（正确的在括号内打√，错误 的在括号内打⨯）（ ）1.(,)lim2x y →=（ ）2.z =的定义域为221x y +≥（ ）3. 若函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处0000(,),(,)x y f x y f x y 存在，则(,)z f x y =在点00(,)x y 连续.（ ）4. 函数z =2x 2+4y 2在点(0, 0)处有极大值.（ ）5. 在有界闭区域D 上的多元连续函数, 必定在D 上有界, 且能取得它的最大值和最小值.（ ）6. 在有界闭区域D 上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值.（ ）7. 函数2222222 0(,)0 0x y x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在(0,0)连续（ ）8. 设函数(,)z f x y =的全微分为2(1)dz x dx y dy =--，则(,)f x y 在(1,0)点处无极值（ ）9. 若二元函数z =f (x , y )在点(x , y ) 偏导数x z ∂∂、yz ∂∂连续，则函数在该点可微.（ ）10. 若二元函数z =f (x , y )的全微分dz xdx ydy =+，则(0,0)不是z =f (x , y )的连续点. （ ）11. 二元函数的驻点一定是极值点. （ ）12. 设44z x y =+，则(0,0)0dz=二、选择题（将最佳答案的序号填写在括号内）1. 函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y 都存在是 函数(),f x y 在该点可微的( )A 、 充分条件B 、 必要条件C 、 充要条件D 、无关条件2. 二元函数()222222,0,0,0xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在()0,0处( )A 、 极限存在B 、 连续C 、 可微D 、 关于,x y 得偏导数存在 3 设函数2x z x y y =+，则z x∂=∂( ) A 、2yxy x+B 、 2xy y +C 、 22x xy y -D 、12xy y +4. 曲面()2222321,0x y z z ++=>上某点的切平面平行于已知平面460x y z ++=则该点的坐标为( )A 、()1,2,2B 、 ()1,2,2---C 、()1,2,2±±±D 、()1,2,2-5. 点()2,2-为函数()()22,4f x y x y x y =---的（ ）A 、极大值点B 、极小值点C 、临界点但非极值点D 、无法确定6. 设(,)x yf x y x y+=-，则下列命题不正确的是( ) A 、00lim (,)x y f x y →→不存在 B 、0lim (,)1x f x y →=C 、0lim (,)1x f x y →=- D 、0lim (,)1y f x y →=7.设(,)f x y 在00(,)x y 点的充分小邻域内可微，且(,)f x y 在00(,)x y 点 取得极值，则下列命题正确的是( )A 、(,)f x y 在00(,)x y 点不连续B 、(,)f x y 在00(,)x y 点可能连续，也可能不连续C 、00(,)0df x y =D 、0000(,)(,)f f x y x y x y∂∂≠∂∂ 8. 若Z=f(x,y)有连续的二阶偏导数，且(,)()xyx y Kf =''常数，则(,)y f x y '=（ ）A 、22kB 、K yC 、 )(x ky ϕ+D 、)(y kx ϕ+9. 下列结论不正确的是（ ） A、函数z =在点(0, 0)处有极小值.B 、函数(1)(1)z x y =--在点(1, 1)处既取不到极大值也取不极小值.C 、若二元函数z =f (x , y )在点(x , y ) 可微，则函数在该点的偏导数x z ∂∂、yz ∂∂存在且连续.D 、22z x y =-在(0,0)点处有极小值三、填空题（将最佳答案填写在横线中）1. ()101lim 1xx y xy →→+= .2. 设函数z=x 2+y 2,当x=1,y=1,时01.0,02.0=∆=∆y x ，全微分dz= . 3.()22(,)(0,0)1limsinx y xy y→+= 4. 函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)具有偏导数, 则在点(x 0, y 0)处有极值的必要条件是 5. 设ln(1)xz y =+，则11x y dz === 6. 若点1(,1)4是函数2ln ()()z y x x y a x y b =+++-的一个极值点，则a = 7. 设(,)f x y xy =，其中221x y +=，则(,)f x y 的极大值为 8. 设函数()y f x =由方程2cos()1x y e xy e +-=-确定，则曲线()y f x =在点(0,1)处的法线方程为9. 设ln cos z u v t =+，其中,cos tu e v t ==，则dzdt= 10. 若cos xz e y =，则zx∂=∂ ,z y ∂=∂11. 若22arctan()z x y =+，则zx∂=∂ ,z y ∂=∂12.若z =，则22z z x y ⎛⎫∂∂⎛⎫+= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 13. 若sin xz y y =则2z x y∂∂∂在点(,2)π处的值为14. 若sin xz xye=，则22zx∂=∂15、设cos ,uz e v =而,,y x v xy u +==则zx∂=∂ ，z y ∂=∂16、设(,)z z x y =而cos ,sin x r y r θθ==，则zr∂=∂ zθ∂=∂ 17、设22ln()xyz x y e =-+，则zx∂=∂ ，z y ∂=∂18、设y z u xye -=，其中3sin ,,x t y t z t ===，则dudt= 四、证明题1. 若1111,f z x y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭证明：222z z xy z x y ∂∂+=∂∂. 2. 设()()y x at x at ϕψ=++- （其中ϕ，ψ具有二阶连续导数）证明：22222y y a t x∂∂=∂∂ 3. 已知 (,)0(,),(,),(,)x yF z z x y F u v z x y z z==确定其中均有连续编导数，求证z yz y x z x=∂∂+∂∂ 4. 函数22ln y x z +=满足方程02222=∂∂+∂∂y z x z 五、计算题1. 设3xyz x y e =+，求 222,z zx x y∂∂∂∂∂. 2. 设()sin ln tz t =，求dz dt. 3. 设arctan 0x y y -+=，求22d ydx.4. 求曲线226,12y x z x ==在12x =处的切线方程及法平面方程. 5. 已知2sin(x+2y-3z)=x+2y-3z ,求zy∂∂6. 设23,sin ,u vzeu x v x -===，求全导数dzdx.7. 设函数(,())z f xy yg x =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()g x 可导且在1x =处取得极小值(1)1g =，求211x y zx y==∂∂∂.8.设2ln(zz y y x∂=+∂∂求9. 设()x y z x y z e-++++=确定(,)z z x y =，求全微分dz10 求曲线 2223023540x y z x x y z ++-=⎧⎨⎩-+-= 在点（1,1,1）处的切线与法平面方程11. 设 ),(v u f 具有二阶连续偏导数，且满足,12222=∂∂+∂∂v fu f2222221(,),(),2g g g x y f xy x y x y ∂∂⎡⎤=-+⎢⎥∂∂⎣⎦求 12. 求函数22442y xy x y x z ---+=的极值第十章 重积分一、填空题1． 交换⎰⎰--21222),(x x xdy y x f dx 得2． 求曲线2,422ayx ax y ==所围成图形的面积为 ，（a >0） 3． 设D 为0),0(222≥>≤+y a a y x 围成闭区域，则dxdy x D⎰⎰2化为化为极坐标下的二次积分的表达式为 4． 设Ω：2222R z y x ≤++，则dxdydz z D⎰⎰⎰2= 二、选择题1． 设积分区域D ：是圆环：,4122≤+≤y x 则二重积分⎰⎰+Ddxdy y x 22=（A ）dr r d ⎰⎰πθ2012（B ）dr d r⎰⎰πθ204（C ）dr r d ⎰⎰πθ20212（D ）dr r d ⎰⎰πθ20212.下列结果中正确的是（ ）A 、若D ：122≤+y x ，D 1：122≤+y x ，x,y ≥0，则⎰⎰--Ddxdy y x 221=4⎰⎰--1221D dxdy y xB 、若D ：122≤+y x ，D 1：122≤+y x ，x,y ≥0，则⎰⎰Dxydxdy =4⎰⎰1D xydxdyC 、二重积分⎰⎰D dxdy y x f ),(的几何意义是以Z=f(x,y)为曲顶，以O 为底的曲顶柱体的体积。

上海立信会计学院2015～2016学年第二学期2015级本科《微积分B （二）》期终考试试卷（A ）答案一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1.设)(x f 为连续函数，且dt t f dx x f u I uau a⎰⎰-=)()()(，b u a <<，则)(u I （ C ）(A)恒大于零 (B)恒小于零 (C)恒等于零 (D)可正，可负2.设二元函数y x z cos =，则=∂∂∂yx z 2 ( D )(A)y x sin (B)y x sin - (C)y s i n (D)y s i n -3.二元函数),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数存在，则该函数在点),(00y x 处必 （ A ）(A)有定义 (B)极限存在 (C)连续 (D)可微 4.()=⎰⎰yydx y x f dy ,1（ A ）(A)()⎰⎰xx dy y x f dx 2,10(B)()⎰⎰10,dy y x f dx yy(C)()⎰⎰2,10x x dy y x f dx (D)()⎰⎰2,10x xdx y x f dy5.若级数∑∞=1n nu收敛，n S 是其前n 项部分和，则级数的和是 （ C ）(A)n S (B)n u (C)n n S ∞→lim (D)n n u ∞→lim6.微分方程y y ='满足初始条件20==x y 的特解是 （ B ）(A)1+=x e y (B)x e y 2= (C)2+=xe y (D)x e y --=3二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1.设)(x f 为连续函数，且)1ln()(30++=⎰x x dt t f x，则=)(x f 113++x x 22.()=+⎰dx x x1131cos － 23.设),23(xy y x f z -=，且),(v u f 可微，则全微分=dz dy xf f dx yf f )''2()''3(2121+-++4.设区域(){}0,41,22≥≤+≤=y y x y x D ，则=++⎰⎰dxdy y x yx D22 25.微分方程1""'52=--x y x y 的通解中应含有独立常数个数为 3 6.实数q 满足什么条件，几何级数∑∞=-11n n q收敛，即q 满足 1||<q三、解答题（本大题共6小题，每小题8分，共48分，解答应写出推理，演算步骤）1.计算定积分x I =[解一] 原式221|cos cos cos sin 4040sin -=-=⋅⎰===ππt t dt t t tx[解二] 原式221|12102-=--=x2.设函数),(y x f z =由方程xyz e z=所确定，求x z ∂∂，y z ∂∂及yx z ∂∂∂2[解] 令xyz e F z-=yz F x -='，xz F y -='，xy e F z z -=')1(-=-=''-=∂∂z x z xy e yz F F x z z z x ，)1(-=-=''-=∂∂z y zxy e xz F F y z z z y 3222)1()1()1(--=-∂∂--∂∂=∂∂∂z xy z z x yz zxz x y z y x z 3. 计算二重积分dxdy yeDyx⎰⎰，其中区域D 由直线,0,1y x x y ===围成.[解] 原式31)1(121-=-==⎰⎰⎰e dy y e dx ye dy y yx 4. 求微分方程31'x y xy +=-的通解[解] 211x xy x y +=-'， ])1([)1(2)1(C dx e x x ey dx x dx x+⎰+⎰=---⎰⎰++=])1([2C dx x x x Cx x ++-=32115.求二元函数xy y x f =),(在附加条件1=+y x 下的极大值。

南开大学2015级一元函数微分结课统考试卷 （A 卷） 2015年11月28日 草稿区（说明：答案务必写在装订线右侧，写在装订线左侧无效。

影响成绩后果自负。

）一、选择题（每小题6分，共24分） 1. 函数f (x )={cosx x ≥0−cosxx <0在x =0处的左、右极限是 A. 左、右极限均为1 B. 左、右极限均为−1C. 左极限为1，右极限为−1D. 左极限为−1，右极限为1. 2. limx→0e x −1sinx=A. 0B. 1C. 12 D. ∞ 3. x =1是函数f (x )=x 2−1x 2−3x+2的___间断点A .可去间断点 B.跳跃间断点 C.第二类间断点 D.以上都不是.4. 设f (x )={23x 2,x ≤1,x 2,x >1, 则f(x)在x=1处A 左右导数都存在B 左导数存在, 右导数不存在C 左导数不存在, 右导数存在D 左右导数都不存在二、填空题（每小题6分，共24分） 1. 设y =e x e x +1, 则dy = 。

2. 设隐函数y =y (x )由方程x 2+lny =xy 确定，则y = 。

3. 函数y =x (x −3)2在区间[0,3]上的最大值是 。

4. 曲线y =(x−1)3(x+1)2的斜渐近线是 。

三、求函数2(3)y x x =-的单调区间和极值点。

（10分） 草稿区四、求曲线x y xe -=的凹凸区间及拐点（10分）五、设方程{e x =3t 2+2t +1 t sin y −y +π2=0确定y 为x 的函数，其中t 为参变量，求 dydx |t=0 . （10分） 草稿区六、求2111sin limxx e x x ----→。

（10分）七、证明不等式 ()1102x xx x x ++⎛⎫≤> ⎪⎝⎭（6分） 草稿区八、设()f x 在12[,]x x 上可导，且120x x <<，试证：12(,)x x 内至少存在一个ξ，使122112()()()()x f x x f x f f x x ξξξ-'-=- . （6分）。