第二次联考题

浙江省新阵地教育联盟2024届第二次联考数学试题卷（答案在最后）考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟.2．答题前务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的地方.3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷纸上答题一律无效.4．考试结束后，只需上交答题卷.第Ⅰ卷（选择题部分，共60分）一、单选题1.已知集合{}2230A x x x =--<，{}2,1xB y y x ==<，则A B = （）A.(),3-∞ B.()0,2 C.()1,2- D.()2,3【答案】B 【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法及指数函数的性质，结合交集的定义即可求解.【详解】由2230x x --<，得()()310x x -+<，解得13x -<<，所以{}13A x x =-<<，因为1x <，所以以10222x <<=，所以{}02B y y =<<，所以{}{}()13020,2A B x x y y ⋂=-<<⋂<<=.故选：B.2.已知复数z 满足(1i)32i +=+z ，则z 的虚部为（）A.12B.1i2-C.12-D.1i 2【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法运算求出z ，根据共轭复数及虚部的概念求解即可.【详解】(1i)32i z +=+ ，()()()()3+2i 1i 3+2i 5i 51i 1i 1i 1i 222z --∴====-++-，5122i z ∴=+，故复数z 的虚部为12.故选：A3.已知向量(,3)a m = ，(1,)b m = ，若a 与b反向共线，则a - 的值为（）A.0B.48C. D.【答案】C 【解析】【分析】由向量反向共线求得m =，再应用向量线性运算及模长的表示求a .【详解】由题意23m =，得m =，又a 与b反向共线，故m =，此时(a -=- ，故a - 故选：C.4.已知函数()2log 2a y x ax =-+（0a >且1a ≠）在[]0,1上是减函数，则实数a 的取值范围是（）A.()0,1 B.[]2,3 C.[)2,3 D.()2,+∞【答案】C 【解析】【分析】根据给定的函数，结合对数函数、二次函数单调性，分类讨论求解作答.【详解】函数()2log 2a y x ax =-+（0a >且1a ≠）在[]0,1上是减函数，当01a <<时，22222220244a a a x ax x ⎛⎫-+=-+-≥-> ⎪⎝⎭恒成立，而函数22u x ax =-+在区间[]0,1上不单调，因此01a <<，不符合题意，当1a >时，函数log a y u =在(0,)+∞上单调递增，于是得函数22u x ax =-+在区间[]0,1上单调递减，因此12a≥，并且21120a -⋅+>，解得23a ≤<，所以实数的取值范围是[)2,3.故选：C5.已知椭圆2212:1x C y a+=和双曲线222:1y C x a -=有相同的焦点，则实数a 的值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线方程确定0a >，且焦点在x 轴上，从而得到方程，求出答案.【详解】222:1y C x a-=表示的为双曲线，故0a >，且焦点在x 轴上，由题意得211a a -=+，解得2a =，负值舍去.故选：B6.过点()2,0P -作圆2241x y y +-=的两条切线，设切点分别为A ，B ，则PAB 的面积为（）A.2158B.8C.8D.8【答案】B 【解析】【分析】先求解出直线AB 的方程，在圆2241x y y +-=中求出弦长AB ，再求出点P 到直线AB 的距离，从而得出PAB 的面积.【详解】解：设圆2241x y y +-=的圆心为C ，因为过点()2,0P -作圆2241x y y +-=的两条切线，设切点分别为A ，B ，所以P ，C ，A ，B 四点在以PC 为直径的圆上，设为D ，故D 的方程为()()220x x y y ++-=，即22220x y x y ++-=，将两圆联立方程组222222041x y x y x y y ⎧++-=⎨+-=⎩，解得102x y ++=，故直线AB ：102x y ++=，点()2,0P -到直线AB ：102x y ++=4=，在圆C 中，点C 到直线AB ：102x y ++=4=，所以22224AB⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，解得302AB =，所以PAB的面积为12248⨯⨯=.故选：B.7.已知2sin sin αβ-=2cos cos 1αβ-=，则()cos 22αβ-=（）A.18-B.4C.14 D.78-【答案】D 【解析】【分析】先对两式进行平方，进而可求出()cos αβ-的值，根据二倍角公式求出结论.【详解】解：因为2sin sin αβ-=，2cos cos 1αβ-=，所以平方得，()22sin sin 3αβ-=，()22cos cos 1αβ-=，即224sin 4sin sin sin 3ααββ-+=，224cos 4cos cos cos 1ααββ-+=，两式相加可得44sin sin 4cos cos 14αβαβ--+=，即1cos cos sin sin 4αβαβ+=，故()1cos 4αβ-=，()()217cos 222cos 121168αβαβ-=--=⨯-=-.故选：D.8.记n S 为公比不是1的等比数列{}n a 的前n 项和．设甲：i S ，j S ，k S 依次成等差数列．乙：1i a +，1j a +，1k a +依次成等差数列．(),,i j k *∈N ．则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】C 【解析】【分析】分别考虑充分性和必要性即可.【详解】设等比数列{}n a 的首项为10a ≠，公比为1q ≠，充分性：若i S ，j S ，k S 依次成等差数列，则()()(),j i k j i k a q a q a q S S S q q q---=+∴=+---11111122111，则j i k q q q =+2，有j i ka q a q a q =+1112，j i k a a a +++=+1112，所以1i a +，1j a +，1k a +依次成等差数列.充分性满足.必要性：若1i a +，1j a +，1k a +依次成等差数列，有jika q a q a q =+1112，则jikq q q =+2，()()(),j i k j i k a q a q a q S S S q q q---∴=+=+---11111122111，所以i S ，j S ，k S 依次成等差数列，必要性满足.所以是充要条件.故选：C二、多选题9.有一组样本甲的数据()1,2,,20i x i =⋅⋅⋅，由这组数据得到新样本乙的数据()511,2,,20i x i +=⋅⋅⋅，其中()1,2,,20i x i =⋅⋅⋅为不全相等的正实数．下列说法正确的是（）A.样本甲的极差可能等于样本乙的极差B.样本甲的方差一定大于样本乙的方差C.若t 为样本甲的中位数，则样本乙的中位数为51t +D.若t 为样本甲的平均数，则样本乙的平均数为51t +【答案】CD 【解析】【分析】根据极差，方差和中位数，平均数的定义和公式，即可判断选项.【详解】样本甲的极差为max min x x -，样本乙的极差为()max min 5x x -，由()1,2,,20i x i =⋅⋅⋅为不全相等的正实数，所以max min 0x x -≠，则样本甲和乙的极差不相等，故A 错误；设甲的方差为20s ≠，那么乙的方差为225s ，所以样本甲的方差小于样本乙的方差，故B 错误；根据中位数的定义可知，若t 为样本甲的中位数，则样本乙的中位数为51t +，故C 正确；根据平均数公式可知，12...nx x x t n+++=，样本乙的平均数()12125...5151...51151n n x x x x x x t n n+++++++++=+=+，故D 正确.故选：CD10.声强级Li （单位：dB ）与声强I （单位：2W/m）之间的关系是：010lgILi I =，其中0I 指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为21W/m ，对应的声强级为120dB ，称为痛阈.某歌唱家唱歌时，声强级范围为[]70,80（单位：dB ），下列选项中正确的是（）A.闻阈的声强级为0.1dBB.此歌唱家唱歌时的声强范围为5410,10--⎡⎤⎣⎦（单位：2W/m ）C.如果声强变为原来的2倍，对应声强级也变为原来的2倍D.声强级增加10dB ，则声强变为原来的10倍【答案】BD 【解析】【分析】根据题中所给声强级与声强之间的关系式，结合对数的运算以及函数的性质逐一分析四个选项，即可得到答案.【详解】由题意，0110lg120I =，则122010ω/m I -=，所以()1210lg 1012010lg Li I I ==+，当12210ω/m I -=时，1212010lg100Li -=+=，故A 错误；当70dB Li =时，即10lg 50I =-，则5210ω/m I -=，当80dB Li =时，即10lg 40I =-，则4210ω/m I -=，故歌唱家唱歌时的声强范围为5410,10--⎡⎤⎣⎦（单位：2ω/m ），故B 正确；将声强为,2I I 对应的声强级作商为()()()()1212121210lg 210lg 210210lg 10lg 10I I I I ⨯⨯=≠，故C 错误；将Li ，10Li +对应声强作商为101201012010101010Li Li +--=，故D 正确.故选：BD.11.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，正四面体E FGH -的棱长为a ，则以下说法正确的是（）A.正方体1111ABCD A B C D -的内切球直径为4B.正方体1111ABCD A B C D -的外接球直径为C.若正四面体E FGH -可以放入正方体1111ABCD A B C D -内自由旋转，则a的最大值是3D.若正方体1111ABCD A B C D -可以放入正四面体E FGH -内自由旋转，则a的最小值是【答案】ACD 【解析】【分析】求得正方体外接球的直径判断选项A 、B ，对于C ，即正四面体E FGH -的外接球小于等于正方体1111ABCD A B C D -内切球；对于D ，即正方体1111ABCD A B C D -的外接球小于等于正四面体E FGH -内切球.【详解】对于A ，正方体1111ABCD A B C D -的内切球直径即其棱长，所以直径为4，A 正确；对于B ，正方体1111ABCD A B C D -的外接球直径即其体对角线，所以直径为B 错误；正四面体E FGH -的棱长为a因为正四面体E FGH -的外接球的球心O 到点F 、G 、H 的距离相等，所以O 在平面BCD 内的射影1O ，到点F 、G 、H 的距离相等，又因为在正四面体E FGH -中FGH 是正三角形，所以1O 是FGH 的中心，进而在正四面体E FGH -中，有1AO ⊥平面FGH ，所以球心O 在高线1AO 上，同理：球心O 也在其它面的高线上，又正四面体E FGH -中各面上的高都相等，所以由OE OF OG OH R ====得，点O 到正四面体各面的距离相等，所以点O 也是正四面体E FGH -的内切球的球心，这样正四面体的内切球的球心与外接球的球心重合．记正四面体E FGH -的高为h ，则R r h +=.因此，只要求出其中一个，则另一个也出来了.因为在正四面体E FGH -中，FGH 是正三角形，1O 是其中心，所以O H a =133，因为1OO ⊥平面FGH ,1O H ⊂平面FGH ，所以11OO O H ⊥，在1Rt OO H 中，由勾股定理，得OH OO O H =+22211，所以())R a R =-+2226333，解得64R a =，r a R =-=66312，故所求的外接球的半径和内切球的半径分别为64a 612r a =.对于C ，若正四面体E FGH -可以放入正方体1111ABCD A B C D -内自由旋转，即正四面体E FGH -的外接球小于等于正方体1111ABCD A B C D -内切球，又由棱长为a 的正四面体的外接球半径,r a a =⨯≤∴≤24，C 正确；对于D ，正方体1111ABCD A B C D -可以放入正四面体E FGH -内自由旋转，即正方体1111ABCD A B C D -的外接球小于等于正四面体E FGH -内切球，又由棱长为a 的正四面体的内切球半径r a a =⨯≥≤12，D 正确.故选：ACD.12.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()26f x f x +-=，()()224f x f x x +=-+，则（）A.()()8212f f +=B.4是()f x '的一个周期C.()()044f f ''+=D.()211483i f i ==∑【答案】BCD 【解析】【分析】由已知整理可得()()246f f x x x ++=+，赋值即可判断A 项；根据复合函数的求导法则，即可得出()()2f x f x ''=-，()()224f x f x ''++-=，从而得出()f x '的对称性以及周期性，进而判断B 、C 项；由A 得出()()246f f x x x ++=+，赋值分组求和，即可得出答案.【详解】对于A 项，由已知()()26f x f x +-=，()()224f x f x x +=-+，可得，()()()()24622f x f x x f x f x +-=++++-，整理可得，()()246f f x x x ++=+.当2x =时，有()()4214f f +=；当4x =时，有()()6422f f +=；当6x =时，有()()8630f f +=.所以，()()()()()()()()82864264f f f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+++-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦14302222=+-=，故A 项错误；对于B 项，由已知可得()()26f x f x +-=，()()224f x f x x +=-+，两边同时求导可得，()()20f x f x ''--=，()()224f x f x ''+=--+，所以，()()2f x f x ''=-，()()224f x f x ''++-=.所以，()f x '关于直线1x =对称，关于点()2,2对称，所以，4是()f x '的一个周期，故B 正确；对于C 项，由B 知，()()224f x f x ''++-=.当2x =-时，有()()044f f ''+=，故C 项正确；对于D 项，由A 知，()()246f f x x x ++=+.所以有()()24264f f +⨯+=，()()35436f f +=⨯+，()()64668f f +⨯+=，L ，()()18418206f f +⨯+=，()()19419216f f +⨯+=.又1x =时，代入()()26f x f x +-=，即可得出()13f =，所以，()()()()()()()()()()2114238121051921i f f f f f f f i f f f =⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++++⎣⎦⎣⎦⎣⎦+⎦+++⎣∑ ()3423671415181960=+⨯+++++++++ 483=，故D 正确.故选：BCD.【点睛】思路点睛：D 项，赋值得出数据，找出规律，然后分组求和.第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）三、填空题13.已知圆台1OO 的上下底面半径分别为2，4，母线长为6，则该圆台的表面积是______．【答案】56π【解析】【分析】根据圆台的表面积，即可求解.【详解】设上底面半径2r =，下底面半径4R =，母线6l =，则圆台的表面积()22πππ56πS r R r R l =+++=.故答案为：56π14.首个全国生态主场日活动于2023.8.15在浙江湖州举行，推动能耗双控转向碳排放双控．有A ，B ，C ，D ，E ，F 共6项议程在该天举行，每个议程有半天会期．现在有甲、乙、丙三个会议厅可以利用，每个会议厅每半天只能容纳一个议程．若要求A ，B 两议程不能同时在上午举行，而C 议程只能在下午举行，则不同的安排方案一共有______种．（用数字作答）【答案】252【解析】【分析】分两种情况，A ，B 议程中有一项在上午和A ，B 议程都安排在下午，结合排列组合知识进行求解，得到答案.【详解】分两种情况，第一种，A ，B 议程中有一项在上午，有一项在下午举行，先从3个上午中选1个和3个下午中选一个，由A ，B 议程进行选择，有112332C C A 种选择，再从剩余的2个下午中选择1个安排C 议程，有12C 种选择，剩余的3场会议和3个时间段进行全排列，有33A 种选择，所以有1121333223C C A C A 216=种选择，第二种，A ，B 议程都安排在下午，C 议程也按照在下午，故下午的3个时间段进行全排列，有33A 种选择，再将剩余的3个议程和3个上午时间段进行全排列，有33A 种选择，所以有3333A A 36=种选择，综上：不同的安排方案一共有21636252+=种选择.故答案为：25215.已知函数()()πsin 03f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间()π,2π内没有零点，则ω的最大值是______．【答案】23【解析】【分析】先求出π3x ω-的范围，由函数()f x 没有零点可得到12332k k ω+≤≤+且Z k ∈，由此可得123322032k k k ⎧+≤+⎪⎪⎨⎪<+⎪⎩且Z k ∈，从而得出ω的范围.【详解】解：因为()π,2πx ∈，且0ω>，所以ππππ2π333x ωωω-<-<-，因为函数()f x 在区间()π,2π内没有零点，所以()πππ3π2π1π3k k ωω⎧-≥⎪⎪⎨⎪-≤+⎪⎩，解得12332k k ω+≤≤+且Z k ∈，故123322032k k k⎧+≤+⎪⎪⎨⎪<+⎪⎩，解得4233k -≤≤，因为Z k ∈，故1k =-或0k =，当1k =-时，106ω<≤，当0k =时，1233ω≤≤，故210,61,33ω⎡⎤⎢⎥⎣⎛⎤∈ ⎥⎝⎦⎦.故答案为：23.16.已知抛物线26x y =的焦点为F ，圆M 与抛物线相切于点P ，与y 轴相切于点F ，则PF =______．【答案】2【解析】【分析】首先得到抛物线的焦点坐标与准线方程，不妨令M 在第一象限，设3,2M a ⎛⎫⎪⎝⎭，则圆M 的半径r a =，即可得到圆M 的方程，设2001,6P x x ⎛⎫⎪⎝⎭，利用导数求出抛物线在点P 处的切线的斜率，依题意可得MP 与抛物线在点P 处的切线垂直，即可得到a 、0x 的方程组，解得20x ，即可求出P y ，最后根据焦半径公式计算可得.【详解】抛物线26x y =的焦点为30,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线l 为32y =-，依题意不妨令M 在第一象限，设3,2M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则圆M 的半径r a =，设2001,6P x x ⎛⎫⎪⎝⎭（00x >），则圆M 的方程为()22232x a y a ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，由26x y =，可得216y x =，则13y x '=，所以抛物线在点P 处的切线的斜率001|3x x k y x ='==，依题意可得MP 与抛物线在点P 处的切线垂直，所以200013362x x a x -=--，则30011218a x x =+①，又点P 在圆M 上，所以()2222001362x a x a ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，则222000132062x ax x ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭②，所以22320000011132021862x x x x x ⎛⎫⎛⎫-++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理可得42006270x x +-=，解得203x =或209x =-（舍去），所以201162x =，即12P y =，所以322P PF y ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭.故答案为：2【点睛】关键点睛：本题解答的关键是抛物线在点P 的切线同时也是圆M 在点P 的切线，结合导数的几何意义及圆的切线的性质得到方程组.四、解答题17.如图，在三棱锥S ABC -中，BA BC =，90SAB SCB ABC ∠=∠=∠=︒．（1）证明：AC SB ⊥；（2）若2AB =，SC =，点D 满足AS =，求二面角S BC D --的大小．【答案】（1）证明见解析（2）45°．【解析】【分析】（1）取AC 中点O ，连接BO ，SO ，由BA BC =，得到BO AC ⊥，再由Rt Rt SAB SCB △≌△，得到SA SC =，从而SO AC ⊥，然后利用线面垂直的判定定理和性质定理证明；（2）过点O 作OZ ⊥平面ABC ，根据（1）建立空间坐标系O xyz -，分别求得平面BCS 一个法向量为(),,m a b c = 和平面BCD 的一个法向量为(),,n d e f = ，再由cos ,m n m n m n⋅=求解.【小问1详解】证明：取AC 中点O ，连接BO ，SO ．∵BA BC =，∴BO AC ⊥，在Rt SAB 与Rt SBC △中，BA BC =，SB SB =，∴Rt Rt SAB SCB △≌△，∴SA SC =，∴SO AC ⊥，又BO SO O ⋂=，BO ⊂平面SOB ，SO ⊂平面SOB ，所以AC ⊥平面SOB ，又SB ⊂平面SOB ，∴AC SB ⊥；【小问2详解】过点O 作OZ ⊥平面ABC ．由（1）知，建立如图空间坐标系O xyz -，如图：则()0,2,0A ，)2,0,0B，()2,0C ，∵22SA =，23SB =22SC =，∴设(),,S x y z ，得：(((222222222821228x y z x y z x y z ⎧+++=⎪⎪⎪-+++=⎨⎪⎪+-+=⎪⎩解得202x y z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴()2,0,2S ，∴()2,2,2AS = ，()2,2,0BC =- ，()2,0,2BS =-，因为2AS =，所以(2BD =- 设平面BCS 一个法向量(),,m a b c =，则00BC m BS m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，()()()(),,2,2,00,,2,0,20a b c a b c ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，即020a b a c -=⎧⎪-=，取(2m =，设平面BCD 的一个法向量为(),,n d e f =，则00BC n BD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，()()()(,,2,2,00020,,20d e f d e d e d e f ⎧-=-=⎧⎪⎪⇒⎨⎨--=⎪-=⎩⎪⎩，取()1,1,0n =，2cos ,2m n m n m n ⋅==，∴二面角S BC D --夹角为45°．18.记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知112tan tan tan B C A+=．（1）若π3A =，求B ；（2）若1a =，求BC 边上的中线AD 的长．【答案】（1）π3B =（2）32AD =【解析】【分析】（1）将条件式用商数关系切化弦，再利用三角恒等变换和正弦定理角化边化简得22cos a bc A =，代入条件π3A =，结合余弦定理可得解；（2）由（1）得2sin 2cos sin sin A A B C =，利用正余弦定理角化边得2222b c a +=，由向量可得()12AD AB AC =+ ，平方根据向量数量积运算可得解.【小问1详解】∵112tan tan tan B C A +=，∴cos cos 2cos sin sin sin B C AB C A+=，∴cos sin cos sin 2cos sin sin sin B C C B AB C A +=，∴sin 2cos sin sin sin A AB C A=，即2sin 2cos sin sin A A B C =，由正弦定理可得22cos a bc A =，∵π3A =，∴2a bc =，又∵2222cos a b c bc A =+-，∴222a b c bc bc =+-=，∴b c =．∴π3B =.【小问2详解】∵2sin 2cos sin sin A A B C =，∴222222b c a a bc bc+-=⋅，∴2222b c a +=，又∵()12AD AB AC =+ ，∴()22212cos 4AD b c bc A =++⋅ ，∴()2222222222113322242444b c a AD b c bc b c a a bc ⎛⎫+-=++⋅=+-== ⎪⎝⎭ ，∴2AD =.19.已知函数()()ln f x a x a x =--．（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：当0a >时，()32f x a <-+．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导后对a 分类讨论，结合导数的符号判断单调区间即可；（2）转化为证明函数的最大值小于32a -+，构造函数利用导数确定函数的最值可得证.【小问1详解】()1a a xf x x x-'=-=，0x >当0a ≤时，()0f x '≤，则()f x 在()0,∞+上单调递减当0a >时，令()0a xf x x-'==，解得x a =，当0x a <<时，()0f x ¢>，则()f x 在()0,a 上单调递增当x a >时，()0f x '<，则()f x 在(),a +∞上单调递减综上：当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时，()f x 在()0,a 上单调递增，()f x 在(),a +∞上单调递减【小问2详解】由（1）得：()()()max ln f x f a a a a a==--要证：()32f x a <-+，即证：()2ln 2200a a a a a -+-<>即证：2ln 20a a a--+<令()()2ln 20g a a a a a =--+>，()()()221a a g a a -='+当02a <<时，()0g a '>，则()g a 在()0,2上单调递增；当2a >时，()0g a '<，则()g a 在()2,+∞上单调递减；所以，()()max 2ln210g a g ==-<从而命题得证．【点睛】关键点点睛：利用导数证明不等式时，一般需要对结论进行合适的转化，本题转化为只需()f x 的最大值小于32a -+，对不等式适当变形，构造函数是解决问题的第二个关键所在，一般需利用导数研究函数的单调性及最值.20.已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，12b =，数列{}n n a b ⋅的前n 项和为()1122n n +-⋅+．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式．（2）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，()141n n n nS t c n n b -⋅=+，0t ≠，求1211n n n c b c b c b -++⋅⋅⋅+．【答案】（1）n a n =，2nn b =（2）2,4214,0,414n n n n t t t t ⎧⋅=⎪⎡⎤⎪⎛⎫⎪⋅-⎢⎥⎪⎨⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎪≠⎪-⎪⎩【解析】【分析】（1）根据数列{}n n a b 的前n 项和求出数列{}n n a b 的通项公式，再由2n =，3n =列出方程求出公差公比，即可得出{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）由（1）求得n S ，代入运算化简n c ，可得数列{}()11,N m n m c b m n m -++≤<∈是以12nn c b =为首项，以4t为公比的等比数列，得解.【小问1详解】当1n =时11,2a b =，12b =，∴11a =，∵()11122122n n n a b a b a b n +++⋅⋅⋅+=-⋅+，∴()()1122112222nn n a b a b a b n n --++⋅⋅⋅+=-⋅+≥，两式相减得：()22nn n a b n n =⋅≥，设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ，则()()()()212812224d q d q ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得12d q =⎧⎨=⎩或136d q ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，当136d q ⎧=-⎪⎨⎪=⎩时，4130a d =+=，∴440a b ⋅=不合题意，舍去，当12d q =⎧⎨=⎩时，符合题意，∴n a n =，2n n b =.【小问2详解】∵()12n n n S +=，()()114012n n n n n S t t c t n n b --⋅⎛⎫==≠ ⎪+⎝⎭，∴()1122,N 4m n m m n m c b tm n m c b -++--+=≤<∈，令1211n n n n T c b c b c b -=++⋅⋅⋅+，21122222222n nn n n t t t T ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，①2311232222422222n nn n n n t t t t t t T ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯+⨯+⨯++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，②①式减去②式得，1242nn n t t T ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭，当4t =时，数列{}1m n m c b -+每一项均相等且为2n ，2nn T n ∴=⋅，当4t ≠时，21414nnnt T t ⎡⎤⎛⎫⋅-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=-，又0t ≠，∴12112,4214,0,414n nn n n n n t t c b c b c b t t -⎧⋅=⎪⎡⎤⎪⎛⎫⎪⋅-⎢⎥⎪++⋅⋅⋅+=⎨⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎪≠⎪-⎪⎩．21.杭州亚运会定于2023年9月23日至10月8日举行．在此期间，参加亚运会的运动员可以在亚运村免费食宿．亚运村的某餐厅从第一天起到最后一天，晩餐只推出“中式套餐”和“西式套謷”．已知某运动员每天晚餐会在该食堂提供的这两种套餐中选择．已知他第一晚选择“中式套餐”的概率为45，而前一晚选择了“中式套餐”，后一晚继续选择“中式套餐”的概率为14，前一晚选择“西式套餐”，后一晚继续选择“西式套餐”的概率为13，如此往复．（1）求该运动员第二晚“中式套餐”套餐的概率；（2）记该运动员第()1,2,,16n n =⋅⋅⋅晚选择“中式套餐”的概率为n P （i ）求n P ；（ii ）求该运动员在这16晚中选择“中式套餐”的概率大于“西式套餐”概率的晚数．【答案】（1）13（2）（i ）()182851,2,3,,16178512n n P n -⎛⎫=+⋅-=⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭；（ii ）2晩【解析】【分析】（1）分类两种情况讨论：第一晚选择“中式套餐”的概率为45，则第二晚“中式套餐”套餐的概率为14；第一晚选择“西式套餐”的概率为15，则第二晚“中式套餐”套餐的概率为23，进而得到结果；（2）（i ）先求出n P 与1n P -之间的递推关系，根据等比数列的知识求解出n P ；（ii ）由选择“中式套餐”的概率大于“西式套餐”概率可知12n P >，从而解得n 的范围，进而得出结果.【小问1详解】解：记该运动员第二晚“中式套餐”套餐的概率2P ，由题意知：241111154533P ⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭；【小问2详解】该运动员第()1,2,,16n n =⋅⋅⋅晚选择“中式套餐”的概率为n P ，（i ）()()111125212,3,,1643123n n n n P P P P n ---=⋅+-⋅=-+=⋅⋅⋅，∴1858171217n n P P -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，又∵182801785P -=≠，∴()185172,3,,1681217n n P n P --=-=⋅⋅⋅-，∴数列817n P ⎧⎫-⎨⎩⎭是以2885为首项，以512-为公比的等比数列．∴()182851,2,3,,16178512n n P n -⎛⎫=+⋅-=⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭；（ii ）由题意知，只需1n n P P >-即()11,2,,162n P n >=⋅⋅⋅，1828511785122n -⎛⎫+⋅-> ⎪⎝⎭，即()158551,2,,1612342856n n -⎛⎫->==⋅⋅⋅ ⎪⨯⎝⎭，显然n 必为奇数，偶数不成立，故当1n =，3，5，…，15时，有1551256n -⎛⎫> ⎪⎝⎭即可.当1n =时，551256>，显然成立；当3n =时，252512144⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为25555155718014456241878187718⨯⎛⎫⎛⎫-=-=-> ⎪ ⎪⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭，故当3n =时，成立；当5n =时，4562512144144⎛⎫= ⎪⨯⎝⎭与556比较大小，62555125151257723614414456247236787236772367⨯⨯⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭508723717167⎛⎫=-< ⎪⨯⨯⎝⎭，所以当5n =时，不成立.又因为1512n -⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，所以5n >时不成立．综上，只有2晩.22.在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，动点(),D x y 与定点()2,0F 的距离和D 到定直线12x =的距离的比是常数2，设动点D 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）已知定点(),0P t ，01t <<，过点P 作垂直于x 轴的直线l ，过点P 作斜率大于0的直线l '与曲线C 交于点G ，H ，其中点G 在x 轴上方，点H 在x 轴下方．曲线C 与x 轴负半轴交于点A ，直线AG ，AH 与直线l 分别交于点M ，N ，若A ，O ，M ，N 四点共圆，求t 的值．【答案】（1）2213y x -=（2）3t 4=．【解析】【分析】(1）根据两点间距离和点到直线距离列式化简可得曲线方程；（2）先设直线()():0GH y k x t k =->，再联立方程得韦达定理求出M ，N 坐标，再应用A ，O ，M ，N 四点共圆得出tan tan ANP MOP ∠=∠，最后结合韦达定理求参即可.【小问1详解】2=，两边平分并化简得：2213y x -=即为曲线C 的方程．【小问2详解】设点()11,G x y ，()22,H x y ．直线()():0GH y k x t k =->与双曲线C 的方程2213y x -=联立，消去y 得()()222223230k x k tx k t -+-+=．由韦达定理：212223k t x x k -+=-，()2212233k t x x k-+⋅=-．由条件，直线AG 的方程为()1111y y x x =++，直线AH 的方程为()2211y y x x =++，于是可得()1111M y y t x =++，()2211N y t y x +=+．因为A ，O ，M ，N 四点共圆，所以πANP MOA ∠+∠=，所以ANP MOP ∠=∠，于是tan tan ANP MOP ∠=∠．即1M N t y y t +=，化简得()()1212111y y t x x t =+++又()11y k x t =-，()22y k x t =-，代入整理得：()()()221212121211k x x t x x t t x x x x t -++=++++．将韦达定理代入化简得：3t 4=．【点睛】关键点点睛：A ，O ，M ，N 四点共圆的应用，关键是转化为tan tan ANP MOP ∠=∠，从而建立M ，N 的坐标关系，引进韦达定理.。

考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.3.本卷命题范围：高考范围.一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合{}*2450M x x x =∈--≤N ，{}04N x x =≤≤，则M N ⋂=（）A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{}04x x ≤≤ D.{}14x x ≤≤【答案】B 【解析】【分析】解不等式求出集合M ，根据集合的交集运算，即可得答案.【详解】解2450x x --≤，得：15x -≤≤，所以{}{}*151,2,3,4,5M x x =∈-≤≤=N ，{}04N x x =≤≤，所以{1,2,3,4}M N ⋂=.故选：B.2.形如a b c d我们称为“二阶行列式”，规定运算a b ad bc c d=-，若在复平面上的一个点A 对应复数为z ，其中复数z 满足1ii 12i 1z -=+，则点A 在复平面内对应坐标为（）A.(3,2)B.(2,3)C.(2,3)- D.(3,2)-【答案】A 【解析】【分析】根据题意结合复数的运算可得32i z =+，结合复数的几何意义分析求解.【详解】由题意可得：()(12i)(1i)3i i -+-=-+=z z ，则()i 3i 32i =++=+z ，所以点A 在复平面内对应坐标为(3,2).故选：A.3.已知动点M 10y --=，则动点M 的轨迹是（）A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆【答案】C 【解析】【分析】根据方程表示的几何意义结合抛物线定义，即可判断出答案.10y --=1y =+，表示动点(,)M x y 到点(0,1)F 和直线1y =-的距离相等，所以动点M 的轨迹是以(0,1)F 为焦点的抛物线，故选：C.4.已知向量(2,)a m = ，(1,1)b m =+- ，且a b ⊥ ，若(2,1)c = ，则a 在c方向上的投影向量的坐标是（）A.42,55⎛⎫ ⎪⎝⎭B.11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C.11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D.42,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】根据垂直向量的坐标运算建立方程求得参数，结合投影的定义，可得答案.【详解】a b ⊥ ，故2(1)0m m +-=，解得2m =-，所以(2,2)a =-，则a 在c方向上的投影向量为a ccc c =⋅⋅42,55⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：A.5.中国国家馆，以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台1111ABCD A B C D -，上下底面的中心分别为1O 和O ，若1124AB A B ==，160A AB ∠=︒，则正四棱台1111ABCD A B C D -的体积为（）A.2023B.2823C.3D.2863【答案】B 【解析】【分析】根据正四棱台性质求出侧棱长，继而求得高，根据棱台的体积公式，即可求得答案.【详解】因为1111ABCD A B C D -是正四棱台，1124AB A B ==，160A AB ∠=︒，侧面以及对角面为等腰梯形，故()1111122cos AB A B AA A AB -==∠，12AO AC ==22AB =111122AO A B ==，所以1OO ==，所以该四棱台的体积为(1111112282(1648)333ABCD D A B C V OO S S =++=⋅=++，故选：B.6.已知数列{}n a 是递增数列，且*n a ∈N ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1067S =，则5a 的最大值为（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，确定数列前4项的值，后5项与5a 的差，即可列式计算得解.【详解】数列{}n a 是递增数列，且*n a ∈N ，而数列{}n a 的前10项和为定值，为使5a 取最大，当且仅当前4项值最小，后5项分别与5a 的差最小，则12341,2,3,4a a a a ====，657585951051,2,3,4,5a a a a a a a a a a -=-=-=-=-=，因此10121051061567S a a a a =++⋅⋅⋅+=++=，解得57a =，所以5a 的最大值为7.故选：C7.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，函数()g x 满足()()0g x g x +-=，且()f x ，()g x 在(],0-∞单调递减，则（）A.()()f g x 在[)0,∞+单调递减B.()()g g x 在(],0-∞单调递减C.()()g f x 在[)0,∞+单调递减D.()()ff x 在(],0-∞单调递减【答案】C 【解析】【分析】利用函数的奇偶性与单调性一一判定选项即可.【详解】由题意知()f x 在[)0,∞+单调递增，()g x 为奇函数，在R 上单调递减.设120x x ≤<，则()()21g x g x <0≤，()()()()21f g x f g x >，所以()()f g x 在[)0,∞+单调递增，故A 错误，设120x x <≤，则()1g x >()2g x ，()()()()12g g x g g x <，()()g g x 在(],0-∞单调递增，故B 错误；设120x x ≤<，则()1f x ()2f x <，()()()()12g f x g f x >，所以()()g f x 在[)0,∞+单调递减，故C 正确；取()21f x x =-，则()()()2211ff x x=--，()()00f f =，()()11f f -=-，此时()()f f x 在(],0-∞不单调递减，故D 错误.故选:C.8.已知点P 在直线60x y +-=上，过点P 作圆22:4O x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，点M 在圆2214:133C x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上，则点M 到直线AB 距离的最大值为（）A.B.1+ C. D.1+【答案】B 【解析】【分析】结合点P 在直线60x y +-=上，求出切点弦AB 的方程，确定其所经过的定点，确定当CQ AB ⊥时，C 到直线AB 的距离最大，M 到直线AB 的距离也最大，即可求得答案.【详解】根据题意，设点(,)P m n ，则6m n +=，过点P 作圆22:4O x y +=的切线，切点分别为A ，B ，则有OA ⊥PA ，OB PB ⊥，则点A ，B 在以OP 为直径的圆上，以OP 为直径的圆的圆心为,22m n D ⎛⎫⎪⎝⎭，半径12r OP =2=，则其方程为2222224m n m n x y +⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，变形可得220x y mx ny +--=，联立22224x y x y mx ny ⎧+=⎨+--=⎩，可得圆D 和圆O 公共弦AB 为：40mx ny +-=，又由6m n +=，则有mx +()640m y --=，变形可得()640m x y y -+-=，则有0640x y y -=⎧⎨-=⎩，可解得23x y ==，故直线AB 恒过定点22,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点M 在圆2214:133C x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上，14,33C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，当CQ AB ⊥时，C 到直线AB 的距离最大，M 到直线AB 的距离也最大，则点M 到直线AB 距离的最大值为111CQ +==.故选:B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.一组数据2、3、3、4、5、7、7、8、9、11的第80百分位数为8.5B.在回归分析中，可用决定系数2R 判断模型拟合效果，2R 越小，模型的拟合效果越好C.若变量ξ服从()217,N σ，(1718)0.4P ξ<≤=，则(18)0.1P ξ>=D.将总体划分为2层，通过分层抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为1x ，2x 和21s ，22s ，若12x x =，则总体方差()2221212s s s =+【答案】AC 【解析】【分析】对于A ，根据百分位数的计算方程，可得答案；对于B ，结合拟合的定义，可得答案；对于C ，根据正态分布的对称性，可得答案；对于D ，利用方差的计算，可得答案.【详解】对于A ，数据2、3、3、4、5、7、7，8、9、11共10个数，因为1080%8⨯=，因此，这组数据的第80百分位数为898.52+=，故A 正确，对于B ，在回归分析中，可用决定系数2R 的值判断模型拟合效果，2R 越大，模型的拟合效果越好，故B 错误；对于C ，因为变量ξ服从()217,N σ，(1718)0.4P ξ<≤=，则(18)0.5(1718)0.50.40.1P P ξξ>=-<≤=-=，故C 正确；对于D ，不妨设两层的样本容量分别为m ，n ，总样本平均数为x ，则()()222221212m n s s x x s x x m n m n ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦++，易知只有当m n =，12x x =时，有()2221212s s s =+，故D 错误.故选：AC.10.已知函数π()sin()0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，且(0)1f =，若()g x =()f x a +为奇函数，则a 可能取值为（）A.π3B.5π12C.π6D.π12-【答案】BD 【解析】【分析】根据图像有2A =，根据(0)2sin 1f ϕ==及π2ϕ<，确定ϕ值，再根据图像确定2π11π12T ω=>，结合11π012f ⎛⎫= ⎪⎝⎭求出ω，确定()f x 解析式，又要使()()g x f x a =+为奇函数，则(0)()0g f a ==，求a 值.【详解】由图象可得2A =，再根据(0)2sin 1f ϕ==，π2ϕ<，故π6ϕ=，又2π11π12T ω=>，则24011ω<<，又11π012f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以11ππ2π126k ω⨯+=，Z k ∈，得2ω=，故π()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；要使()()g x f x a =+为奇函数，则(0)()0g f a ==，所以π2π6a k +=，Z k ∈，得ππ212k a =-，当0k =时12πa =-，当1k =时5π12a =，所以B 、D 符合，其它选项不符合.故选：BD11.若函数()e e x x f x a b cx -=++，既有极大值点又有极小值点，则（）A.0ac < B.0bc < C.()0a b c +< D.240c ab +>【答案】ACD【解析】【分析】根据极值定义，求导整理方程，结合一元方程方程的性质，可得答案.【详解】由题知方程2e e ()e e 0ex x xxxa c bf x a b c -+-'=-+==，2e e 0x x a c b +-=有两不等实根1x ，2x ，令e x t =，0t >，则方程20at ct b +-=有两个不等正实根1t ，2t ，其中11e x t =，22e xt =，212120Δ4000a c abc t t a bt t a ≠⎧⎪=+>⎪⎪⎨+=->⎪⎪=->⎪⎩，24000c ab ac ab ⎧+>⎪<⎨⎪<⎩，()00bc a b c ab ac >⎧⎨+=+<⎩，故ACD 正确，B 错误.故选：ACD.12.已知一圆锥，其母线长为l 且与底面所成的角为60︒，下列空间几何体可以被整体放入该圆锥的是（）1.73≈， 1.41≈）A.一个半径为0.28l 的球B.一个半径为0.28l 与一个半径为0.09l 的球C.一个边长为0.45l 且可以自由旋转的正四面体D.一个底面在圆锥底面上，体积为30.04l π的圆柱【答案】ABC 【解析】【分析】作出相应的空间图形及轴截面，再对各个选项逐一分析判断即可得出结果.【详解】如图1，球1O 与圆锥侧面、底面均相切，球2O 与球1O 、圆锥侧面相切，作圆锥的轴截面如图2，设小球1Q 半径为1r ，球1Q 与BC 边相切于点E ，60CBA ∠=︒，30DCB ∠=︒，1O E BC ⊥，所以112CO r =，132CD r ==，130.286r l ∴=>，故A 正确；设小球2O 半径为2r ，同理可知21130.09318r r l l ==>，故B 正确；将棱长为a 的正四面体放置到正方体中，如图则正四面体的外接球即正方体的外接球，易知正方体的外接球球心在体对角线的中点O 处，半径为1B D 的一半长，易知，2BC a =，所以12B D a =，故棱长为a 的正四面体外接球半径为4a ，则46a ≤则边长3a l ≤，20.453l l >，故C 正确；如图3，一圆柱内接圆锥，作圆锥的轴截面如图4，设圆柱底面半径为3r ，高为h ，因为3r CD h DB CD -=，又易知，13,22BD l CD ==，代入3r CD h DB CD -=，整理得到332h l =-，所以圆柱的体积()()2223333333332π2ππ2V r h l r l r r r ⎛⎫==⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭，令()()23333π2602V r lr r '=-=，得30r =或313r l =，则体积在10,3l ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,32l l ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，()333max π30.044π5V l l r =∴<，故D 错误.图1图2图3图4故选：ABC.【点睛】关键点晴，本题的关键在于将空间问题转化成平面问题来处理.三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13.二项式(2)(1)n x x -+的展开式中，所有项系数和为256-，则2x 的系数为______（用数字作答）.【答案】48-【解析】【分析】利用赋值法求得n ，再根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.【详解】令1x =可得二项式(2)(1)nx x -+的所有项系数和为2256n -=-，所以8n =.二项式8(1)x +的展开式的通项公式为18C rrr x T +=⋅，0r =，1， (8)所以(2)(1)nx x -+的展开式中，2x 的系数为1288C 2C -=48-.故答案为：48-14.随机变量ξ有3个不同的取值，且其分布列如下：ξ4sin α4cos α2sin 2αP1414a则()E ξ的最小值为______.【答案】54-【解析】【分析】根据分布列性质求得a 的值，即可求得()E ξ的表达式，结合三角换元以及二次函数性质，即可求得答案.【详解】依题意知11144a ++=，则12a =，则()sin cos sin 2E ξααα=++，设πsin cos 4t ααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则t ⎡∈⎣，故22sin 2(sin cos )11t ααα=+-=-，所以2215()124E t t t ξ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，当12t ⎡=-∈⎣时，()E ξ取最小值54-，故答案为：54-15.已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过左焦点1F 作直线l 与双曲线交于A ，B 两点（B 在第一象限），若线段AB 的中垂线经过点2F ，且点2F 到直线l 的距离为，则双曲线的离心率为______.【答案】2【解析】【分析】根据题意，由双曲线的定义可得4AB a =，再由勾股定理列出方程即可得到,a c 关系，代入离心率计算公式，即可得到结果.【详解】设双曲线E 的半焦距为c ，0c >，22=BF AF ，根据题意得122BF BF a -=，又21AF AF -212BF AF a =-=，114AB BF AF a ∴=-=，设AB 的中点为C ，在2ACF △中，2CF =，2AC a =，23AF a ∴=，则1AF a =，13CF a =，根据2221212CF CF F F +=，可知2(3)a +)22(2)c =，142c a e =∴=.故答案为：142.16.已知函数22ln e ()21e xa f x a x x x=+-+，(0)a >有唯一零点，则a 的值为______.【答案】2【解析】【分析】设2e (0)e x a t t x=>，转化为方程ln e t t =有唯一解e t =，即2ln 2a x x =-有唯一解，设ln ()22g x a x x =-+，利用导数判断单调性并求出最小值可得答案.【详解】由题意知224e 21e ln x a x x x+=-有唯一解，0x >，故2222e e 21ln e ln e ln e e l ln n x x x a a a x a x x x x=--=--=，设2e (0)e x a t t x=>，即ln e t t =，设(e n )l t F t t =-，则11()e F t t '=-，当(0,e)t ∈时，()0F t '<，函数()F t 单调递减，当(e,)t ∈+∞时，()0F t '>，函数()F t 单调递增；min ()(e)0F t F ==，故方程ln e t t =有唯一解e t =，即2e e e x a x=有唯一解，即2ln 2a x x =-有唯一解，设ln ()22g x a x x =-+，()2a g x x '=-，0a >，当0,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，函数()g x 单调递增；当,2a x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，函数()g x 单调递减；当x 趋近于0和x 趋近于+∞时，()g x 趋近于-∞，故只需满足ln 2022a a g a a ⎛⎫=-+=⎪⎝⎭，设()ln 22a h a a a =-+，()ln 2a h a '=，当(0,2)a ∈时，()0h a '<，函数()h a 单调递减，当(2,)a ∈+∞时，()0'>h a ，函数()h a 单调递增，故min ()(2)0h a h ==，故2a =成立.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键点是构造函数，利用导数判断单调性四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S，且满足1n a =+，*N n ∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足12n n n n b a a a +⋅=+，求数列{}n b 的前n 和n T .【答案】（1）21n a n =-，*N n ∈（2）2221n n n T n+=+【解析】【分析】（1）根据数列递推式求出首项，得出当2n ≥时，()211114n n S a --=+，和()2114n n S a =+相减并化简可得12n n a a --=，即可求得答案；（2）利用（1）的结果可得12n n n n b a a a +⋅=+的表达式，利用等差数列的前n 项和公式以及裂项法求和，即可求得答案.【小问1详解】由1n a =+得()2114n n S a =+，则()211114a a =+，解得11a =，当2n ≥时，()211114n n S a --=+，所以()()2211111144n n n n n a S S a a --=-=+-+，整理得()()()1112n n n n n n a a a a a a ----+=+，因为{}n a 是正项数列，所以10n n a a ->+，所以12n n a a --=，所以{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，所以12(1)21n a n n =+-=-，*N n ∈.【小问2详解】由（1）可得，21n a n =-，所以122112121(21)(21)2121n n n n b a n n a a n n n n +=+=-+=-+--+-+⋅，所以(121)111111213352121n n n T n n +-⎛⎫=+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪-+⎝⎭21121n n =+-+2221n n n =++.18.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22b a ac -=.（1）求证：2B A =；（2）如图：点D 在线段AC 上，且12AD BD CD ==，求cos C 的值.【答案】（1）证明见解析（2）368【解析】【分析】（1）在ABC 中根据余弦定理、正弦定理及三角公式化简可得；（2）由第一问在BCD △中结合正弦定理可得2a c =，在ABC 中根据余弦定理可求得结果.【小问1详解】证明：由余弦定理得2222cos a c b ac B +-=，又22b a ac -=，可得22cos c ac ac B -=，即2cos c a a B -=，由正弦定理得sin sin 2sin cos C A A B -=，而sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，代入上式，可得sin sin si )cos co i s n s n(A A B A B B A =-=-，所以πA B A +-=（舍）或A B A =-，即2B A =.【小问2详解】因为2B A =，AD BD =，所以=A ABD CBD ∠∠=∠，在BCD △中，由正弦定理得sin sin sin sin CD CBD A a BD C C c∠∠===∠∠，而12BD CD =，可得2a c =，代入22b a ac -=，可得=b ，由余弦定理得222222(2)co 2s 8c c a b c C ab +-+-===.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，棱PA ⊥平面ABCD ，底面四边形ABCD 是矩形，6PA AD ==，点N 为棱PD 的中点，点E 在棱AD 上，3AD AE =.（1）求证：PC AN ⊥；（2）已知平面PAB 与平面PCD 的交线l 与直线BE 所成角的正切值为12，求二面角N BE D --的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）27【解析】【分析】（1）利用线线垂直证线面垂直，再由线面垂直的性质证线线垂直即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量求二面角即可.【小问1详解】因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥，又因为四边形ABCD 是矩形，所以AD CD ⊥，因为,PA AD A PA CD ⋂=⊂、平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD ，因为AN ⊂平面PAD ，所以CD AN ⊥.因为N 为PD 中点，PA AD =，所以PD AN ⊥，因为PD CD D ⋂=，所以AN ⊥平面PCD ，因为PC ⊂平面PCD ，所以AN PC ⊥.【小问2详解】在矩形ABCD 中，//AB CD ，CD ⊂平面PCD ，AB ⊂/平面PCD ，所以//AB 平面PCD .又AB ⊂平面PAB ，平面PAB ⋂平面PCD l =，所以//AB l .所以l 与直线BE 所成角即为ABE ∠.在Rt ABE △中，123AE AD ==，AB AE ⊥，所以4tan A AE A E B B ∠==.以{},,AB AD AP 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则(4,0,0)B ，(0,2,0)E ，(0,3,3)N 所以(4,2,0)BE =- ，(4,3,3)BN =-.设平面BNE 的法向量为(,,)m x y z = ，则4204330m BE x y m BN x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ ，取23,6z x y =⇒=-=-，可得(3,6,2)m =-- .又(0,0,6)AP = 为平面BDE 的一个法向量，所以122cos ,67m 7m AP AP m AP ⋅===⨯ .由图可知，二面角N BE D --为锐角，所以二面角N BE D --的余弦值为27.20.人工智能（AI ）是一门极富挑战性的科学，自诞生以来，理论和技术日益成熟.某公司研究了一款答题机器人，参与一场答题挑战.若开始基础分值为m （*m ∈N ）分，每轮答2题，都答对得1分，仅答对1题得0分，都答错得1-分.若该答题机器人答对每道题的概率均为12，每轮答题相互独立，每轮结束后机器人累计得分为X ，当2X m =时，答题结束，机器人挑战成功，当X 0=时，答题也结束，机器人挑战失败.（1）当3m =时，求机器人第一轮答题后累计得分X 的分布列与数学期望；（2）当4m =时，求机器人在第6轮答题结束且挑战成功的概率.【答案】（1）分布列见解析，()3E X =（2）111024【解析】【分析】（1）利用离散型随机变量的分布列与期望公式计算即可；（2）根据超几何分布分类讨论计算即可.【小问1详解】当3m =时，第一轮答题后累计得分X 所有取值为4，3，2，根据题意可知：()1114224P X ==⨯=，()11132222P X ==⨯⨯=，()1112224P X ==⨯=，所以第一轮答题后累计得分X 的分布列为：X 432()P X 141214所以()1114323424E X =⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】当4m =时，设“第六轮答题后，答题结束且挑战成功”为事件A ，此时情况有2种，分别为：情况①：前5轮答题中，得1分的有3轮，得0分的有2轮，第6轮得1分；情况②：前4轮答题中，得1分的有3轮，得1-分的有1轮，第5.6轮都得1分；所以()3232335411111111C C 4244441024P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.21.如图，已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的左右顶点分别为A 、B ，P 是椭圆M 上异于A 、B 的动点，满足14PA PB k k ⋅=-，当P 为上顶点时，ABP 的面积为2.（1）求椭圆M 的方程；（2）若直线AP 交直线:4l x =于C 点，直线CB 交椭圆于Q 点，求证：直线PQ 过定点.【答案】（1）2214x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设椭圆上顶点0(0,)P b ，根据题意求出,a b 即可得解；（2）分直线PQ 斜率是否存在，设()11,P x y ，()22,Q x y ，(4,)C t ，先根据斜率不存在求出定点M ，方法1，联立直线AC 与椭圆方程，求出,P Q 两点的坐标，然后证明,,P M Q 三点共线即可.方法2，当直线PQ 斜率存在时，设直线PQ 为y kx m =+，联立方程，利用韦达定理求出12x x +，12x x ，再结合已知，求出,k m 的关系，即可得出结论.方法3，易得3BQ PA k k =，根据椭圆的对称性可得3PB QA k k =，再利用斜率公式构造对偶式，进而可求出PQ 的方程，从而可得出结论.【小问1详解】设椭圆上顶点0(0,)P b ，则002214P A P B b b b k k a a a =⋅==--⋅-，又01222ABP S ab =⨯=△，两式联立可解得2a =，1b =，所以椭圆M 的方程为2214x y +=；【小问2详解】设()11,P x y ，()22,Q x y ，(4,)C t ，当直线PQ 斜率不存在时，12x x =，12y y =-则直线:(2)6t AC y x =+，:(2)2t BC y x =-所以()()11112,622t y x t y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，可解得11x =，此时直线PQ 方程为1x =，过定点(1,0)；下面证明斜率存在时，直线PQ 也经过(1,0)，法1（设而求点）：联立直线AC 与椭圆方程：22(2),61,4t y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理得()2222944360t x t x t +++-=，()()42216494360t t t ∆=-+->，由韦达定理有212429t x t --=+，即2121829t x t -=+，所以()1126269t t y x t =+=+，所以P 点坐标为2221826,99t t t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，同理可得Q 点坐标为222222,11t t t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，设点(1,0)M ，则222936,99t t MP t t ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭ ，22232,11t t MQ t t ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭因为2222229326309191t t t t t t t t ---⋅-=++++，所以//MP MQ ，所以直线PQ 过定点(1,0)M ，证毕.法2（直曲联立）：当直线PQ 斜率存在时，设直线PQ 为y kx m =+，由6PA t k =，2BQ t k =，可知3BQ PA k k =，而14PA PB k k ⋅=-，可得34BQ PB k k =-⋅，即()()21122112322224y y y y x x x x ⋅==-----，整理得()121212346120x x y y x x +-++=①，联立直线PQ 与椭圆方程：2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()222418440k x kmx m +++-=，所以()()()222222644414416410k m k m k m∆=-+-=+->，则2241k m +>，由韦达定理有122841km x x k +=-+，21224441m x x k -=+②，所以()()()2222121212122441m k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=+⋅③，将②③代入①得2222224448346120414141m m k km k k k --⨯+⨯+⨯+=+++，可得(2)()0k m k m ++=，所以2m k =-或m k =-，当2m k =-时，直线PQ 为2y kx k =-，经过(2,0)B ，舍去，所以m k =-，此时直线PQ 为y kx k =-，经过定点(1,0)，直线PQ 过定点得证.法3（构造对偶式）：由6PA t k =，2BQ t k =，可知3BQ PA k k =，又14PA PB k k ⋅=-，由椭圆对称性易知14QA QB k k =-⋅，所以3PB QA k k =，可得21211221121221121212322362326322y y x x x y x y y y y y x y x y y y x x ⎧=⨯⎪-+-=--⎧⎪⇒⎨⎨-=--⎩⎪=⨯⎪-+⎩①②，由①②可得122121x y x y y y =--，直线PQ 为()121112y y y y x x x x --=--，令0y =得，1221211x y x y x y y -==-，所以直线PQ 过定点(1,0)，证毕.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.22.已知函数()e e x x f x a -=-，（R a ∈）.（1）若()f x 为偶函数，求此时()f x 在点()()0,0f 处的切线方程；（2）设函数()()(1)g x f x a x =-+，且存在12,x x 分别为()g x 的极大值点和极小值点.（ⅰ）求实数a 的取值范围；（ⅱ）若(0,1)a ∈，且()()120g x kg x +>，求实数k 的取值范围.【答案】（1）20y +=（2）（i ）(0,1)(1,)⋃+∞；（ii ）(,1]-∞-【解析】【分析】（1）根据偶函数的定义，求出a 的值，然后利用导数求切线方程.（2）（ⅰ）对()g x 进行求导，将()g x 既存在极大值，又存在极小值转化成()0g x =必有两个不等的实数根，利用导数得到()g x 的单调性和极值，进而即可求解；（ⅱ）对()g x 进行求导，利用导数分析()g x 的极值，将()()120g x kg x +>恒成立转化成11ln 11a a k a -⎛⎫<-⋅ ⎪+⎝⎭，构造函数，利用导数分类讨论求解即【小问1详解】()f x 为偶函数，有()e e ()e e x x x x f x a f x a ---=-==-，则1a =-，所以()e e x x f x -=--，()e ex x f x -'=-+所以(0)2f =-，(0)0f '=所以()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为20y +=.【小问2详解】（ⅰ）()()(1)e e (1)x x g x f x a x a a x -=-+=--+，()()2e 1e 1e (1)e 1()e e (1)e e x x x x x x x x a a a g x a a ----++'=+-+==，因为函数()g x 既存在极大值，又存在极小值，则()0g x '=必有两个不等的实根，则0a >，令()0g x '=可得0x =或ln x a =-，所以ln 0a -≠，解得0a >且1a ≠.令{}min 0ln ,m a =-，{}max 0ln ,n a =-，则有：x (,)m -∞m (,)m n n (,)n +∞()g x '+0-0+()g x 极大值 极小值可知()g x 分别在x m =和x n =取得极大值和极小值，符合题意.综上，实数a 的取值范围是(0,1)(1,)⋃+∞.（ⅱ）由(0,1)a ∈，可得ln 0a ->，所以10x =，2ln x a =-，()11g x a =-，()21(1ln )g x a a a =-++且有()()210g x g x <<，由题意可得[]11(1)ln 0a k a a a -+-++>对(0,1)a ∀∈恒成立，由于此时()()210g x g x <<，则0k <，所以()()()1ln 11k a a k a +>--，则11ln 11a a k a -⎛⎫<-⋅ ⎪+⎝⎭，令ln 11()11x h x x k x -⎛⎫=--⋅ ⎪+⎝⎭，其中01x <<，则2222212(1)211112()1(1)(1)(1)x x x x k k h x x k x x x x x ⎛⎫+--++ ⎪⎛⎫⎝⎭'=--⋅== ⎪+++⎝⎭，令2210x x k ++=，则()2224144k k k -∆=-=.①当0∆≤，即1k ≤-时，()0h x '≥，()h x 在(0,1)上是严格增函数，所以()(1)0h x h <=，即11ln 11a a k a -⎛⎫<-⋅ ⎪+⎝⎭，符合题意；（2）当0∆>，即10k -<<时，设方程2210x x k ++=的两根分别为3x ，4x 且34x x <，则3420x x k +=->，341x x =，则3401x x <<<，则当31x x <<时，()0h x '<，则()h x 在()3,1x 上单调递减，所以当31x x <<时，()(1)0h x h >=，即11ln 11a a k a -⎛⎫>-⋅ ⎪+⎝⎭，不合题意.综上所述，k 的取值范围是(,1]-∞-.。

物理考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.地球赤道上方的同步卫星是人类科技在卫星技术领域上的杰出发明，其优势在于高速通讯、全球覆盖以及利于保密，在工业、科技、军事领域得到了广泛的应用。

下列关于该类同步卫星的说法正确的是（）A.所有的同步卫星受到地球的引力都相等B.同步卫星转动方向一定与地球自转方向相同C.不同的同步卫星向心加速度大小可能不同D.所有的同步卫星的线速度都相同【答案】B 【解析】【详解】B ．由于同步卫星相对地球静止，所以同步卫星运行方向一定与地球自转方向相同，运行周期一定与地球自转周期相同，故B 正确；A ．由万有引力提供向心力有2224GMm m r r Tπ=解得r =可知，所有同步卫星的轨道半径相等，由万有引力公式可得，同步卫星受到地球的引力大小为2G M m F r =由于同步卫星的质量不一定相同，所以同步卫星受到地球的引力不一定相等，故A 错误；C ．由万有引力提供向心力有n 2mrGM ma =解得2n GM a r =可知，同步卫星向心加速度大小一定相同，故C 错误；D ．由万有引力提供向心力有22GMm v m r r=解得v =可知，所有的同步卫星的线速度大小相等，但方向不同，故D 错误。

故选B 。

2.如图所示，一束单色光入射到极限频率为ν0的金属板M 上，发射的光电子可沿垂直于平行板电容器极板的方向从左极板上的小孔进入电场，且均不能到达右极板，已知光速为c ，下列说法正确的是（）A.该单色光的波长为cνB.若仅增大该单色光的强度，则将有光电子到达右极板C.若仅换用波长更小的单色光，则可能有光电子到达右极板D.若仅将滑动变阻器的滑片左移一小段距离，光电子可能到达右极板【答案】C 【解析】【详解】A ．由题可知00ch hW h λνν=>=所以cλν<故A 错误；B ．若仅增大该单色光的强度，由于入射光的频率不变，则电子仍然不能到达右极板，故B 错误；C ．若仅换用波长更小的单色光，光子的能量变大，逸出的光电子的初动能增大，则电子有可能到达右极板，故C 正确；D ．若仅将滑动变阻器的滑片左移一小段距离，由于两板间的电压不变，电子仍然不能到达右极板，故D 错误。

【校级联考】河南省六市2024届高三第二次联考试题理科综合全真演练物理一、单选题 (共7题)第(1)题如图所示，木模A、B质量均为m，通过三根轻质竖直细线对称连接，木模B静止在水平面上。

细线a、b、c上的张力大小分别用、、表示，水平面所受的压力大小为，重力加速度大小为g。

下列说法正确的是（）A．F N<2mg B．F a-F b-F c=mgC．F a+F b+F c=2mg D．F a=F b+F c第(2)题如图所示，用一原长为L的弹性细绳一端固定，另一端连接一质量为m的小球，，将小球向右拉开，使弹性细绳与竖直方向成一个小角度后，从A点静止释放，此时弹性细绳处于原长状态，此后小球做来回摆动，B点（图中未画出），为小球摆至左侧的最高点。

不计空气阻力，小球可视为质点，弹性细绳始终处于弹性限度范围内，其弹力与形变量关系满足胡克定律。

则下列说法正确的是（ ）A．静止释放瞬间，小球的加速度方向水平向左B．小球摆动过程机械能守恒，B点与A点等高C．若仅改用长为L的不可伸长的细绳，该摆动装置的周期将变化D．若仅改用长为L的不可伸长的细绳，小球摆至左侧最高点时细绳拉力为零第(3)题如图所示，甲分子固定在坐标原点O，乙分子在沿x轴距离甲分子很远的地方由静止向甲分子运动，过程中乙分子仅受到二者之间的分子间相互作用力，且乙分子出发时二者势能大小可忽略不计。

两分子间的分子势能E p与两分子间距离的变化关系如图中曲线所示。

图中分子势能的最小值为-E0。

下列说法正确的是（ ）A．乙分子在P点（x=x2）时，加速度最大B．乙分子在P点（x=x2)时，其动能为E0C．乙分子在Q点（x=x1）时，处于平衡状态D．当x>x1时，分子间的作用力表现为引力第(4)题如图所示，在原点O处有一个波源，从时刻位于波源处的质点从平衡位置开始沿y轴正方向做简谐运动，振幅为4cm，产生的简谐横波在均匀介质中沿x轴正向传播。

时，平衡位置坐标为的质点P开始运动，此时波源质点的振动位移为2cm，对该简谐波，下列说法错误的是（ ）A．该列简谐横波在介质中传播的最大波长为36mB．该列简谐横波的传播速度为C．周期可能为6sD．周期为可能第(5)题2023年10月3日，全红婵在杭州亚运会跳水比赛中勇夺十米跳台金牌。

东莞中学、广州二中、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学2024届高三第二次六校联考试题数学命题人：广州二中一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合},02|{},1log |{22≤--=<∈=x x x B x Z x A 则=B A （）A.｝，｛10B.｝｛1 C.｝｛1,0,1- D.}2101{，，，-2.已知21)sin(=+πα，则=+)2cos(πα()A.21B.21-C.23 D.23-3.“1>x 且1>y ”是“1>xy 且2>+y x ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.如图，B A 、两点在河的同侧，且B A 、两点均不可到达.现需测B A 、两点间的距离，测量者在河对岸选定两点D C 、，测得km CD 23=，同时在D C 、两点分别测得CDB ADB ∠=∠︒=30,,45,60︒=∠︒=∠ACB ACD 则B A 、两点间的距离为()A.23B.43C.36 D.466．已知函数)2cos(sin )6cos(4)(x x x x f ωπωω-++=，其中0>ω.若函数)(x f 在5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，则ω的最大值为()A.310 B.21 C.23 D.2多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知ABC ∆中角B A ,的对边分别为,,b a 则可作为“b a >”的充要条件的是（)A.B A sin sin >B．B A cos cos <C．BA tan tan >D．BA 2sin 2sin >11.已知函数()lg 2f x x kx =--，给出下列四个结论中正确结论为()A.若0k =，则()f x 有两个零点B.0k ∃<，使得()f x 有一个零点C.0k ∃<，使得()f x 有三个零点D.0k ∃>，使得()f x 有三个零点13.已知)(x f 定义域为]1,1[-,值域为]1,0[,且0)()(=--x f x f ,写出一个满足条件的)(x f 的解析式是14.已知函数)22,0,0)(sin()(πϕπωϕω<<->>+=A x A x f 的部分图象如图所示，则函数)(x f 的解析式为______四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题10分)已知ABC ∆中角C B A ,,的对边分别为,,,c b a 满足.cos 3cos cos C C abB a c =+（1）求C sin 的值；（2）若23,2=+=c b a ，求ABC ∆的面积．18.(本小题12分)如图为一块边长为2km 的等边三角形地块ABC ，现对这块地进行改造，计划从BC 的中点D 出发引出两条成60︒角的线段DE 和DF （60,EDF ∠=︒F E ,分别在边AC AB ,上），与AB 和AC 围成四边形区域AEDF ，在该区域内种上花草进行绿化改造，设BDE α∠=．（1）当︒=60α时，求花草绿化区域AEDF 的面积；（2）求花草绿化区域AEDF 的面积()S α的取值范围．已知函数()2ln xf x ea x =-.（1）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数；（2）证明：当0a >时()22lnf x a a a≥+.21.(本小题12分)已知函数()ln(1)xf x e x =+（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）设)(')(x f x g =，讨论函数()g x 在[0,)+∞上的单调性；（3）证明：对任意的,(0,)s t ∈+∞,有()()().f s t f s f t +>+22．(本小题12分)已知函数()axf x xe =.（1）求()f x 在[]0,2上的最大值；（2）已知()f x 在1x =处的切线与x 轴平行，若存在12,x x R ∈，12x x <，使得()()12f x f x =，证明：21x x ee >.东莞中学、广州二中、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学2024届高三第二次六校联考试题标准答案及评分标准一、单项选择题二、多项选择题123456789101112B A A D D ACCABBCDABDACD三、填空题：（每小题5分，共20分）13.]1,1[|,|)(-∈=x x x f 或者]1,1[,2cos)(-∈=x xx f π或者21)(x x f -=或者...14.)62sin(2)(π+=x x f 15.2,1416.()2,0,e ⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭四、解答题17.【解析】（1）解法一：c cos B+bcosC ＝3a cos C ．由正弦定理CcB b A a sin sin sin ==得sin C cos B ＋sin B cos C ＝3sin A cos C ，....2分所以sin(B ＋C )＝3sin A cos C ，..........3分由于A ＋B ＋C ＝π，所以sin(B ＋C )＝sin(π－A )＝sin A ，则sin A ＝3sin A cos C ．因为0<A <π，所以sin A ≠0，cos C ＝13...........4分因为0<C <π，所以sin C ＝1－cos 2C ＝223...........5分解法二：因为c cos B+bcosC ＝3a cos C ．所以由余弦定理得c ×a 2＋c 2－b 22ac ＝(3a －b )×a 2＋b 2－c 22ab，化简得a 2＋b 2－c 2＝23ab ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝23ab 2ab ＝13.因为0<C <π，所以sin C ＝1－cos 2C ＝223.（2）由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，.......7分及23,2=+=c b a ，cos C ＝13，得a 2＋b 2－23ab ＝18，即(a －b )2＋43ab ＝18.所以ab ＝12.......8分所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×12×223＝4 2........10分18．【解析】（1）当60α= 时，//DE AC ，//DF AB∴四边形AEDF 为平行四边形，则BDE ∆和CDF ∆均为边长为1km 的等边三角形又)2122sin 602ABC S km ∆=⨯⨯⨯= ，)2111sin 602BDE CDF S S km∆∆==⨯⨯⨯=∴)22km =................3分（2）方法一：由题意知：3090α<< ,BD=CD=1()())1sin 602ABC BDE CDF S S S S BE CF BE CF α∆∆∆∴=--=+=+ ......4分在BDE ∆中，120BED α∠=- ，由正弦定理得：()sin sin 120BE αα=-............5分在CDF ∆中，120CDF α∠=︒-，CFD α∠=由正弦定理得：()sin 120sin CF αα-=.............6分()()sin 120s sin sin sin 120BE CF αααα-∴+=+=- ....................7分令21tan 23sin sin 21cos 23sin )120sin(+=+=-︒=ααααααt 3090α<< ⎪⎭⎫⎝⎛∈∴+∞∈∴2,21),33(tan t α.................10分)(1t f t t CF BE =+=+()上单调递增．，在上单调递减；在21)(1,21)(11)('2t f t f t t f ⎪⎭⎫⎝⎛∴-= 25,2[)(∈∴t f 即52,2BE CF ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭()Sα∴)4BE CF +∈⎝⎦即花草地块面积()S α的取值范围为⎝⎦..................12分方法二：由已知得++,++,BED B EDF FDC απαπ∠∠=∠∠=又,3B EDF π∠=∠=所以BED FDC ∴∠=∠，在BED ∆和CDF ∆中有：60,B C BED FDC ︒∠=∠=∠=∠，BED CDF ∴∆∆ ，得CFBDDC BE =又D 是BC 的中点，11DC BD BE FC ∴==∴⋅=,且当E 在点A 时，12CF =，所以122CF <<，所以111211)222S BE CF BE CF =⨯⨯-⨯=+，设CF x =，1BE x=，且122x <<，令1y x x =+，则()()2222+11111x x x y x x x '--=-==，112x ∴<<时，10,y y x x '<=+在112⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减，12x <<时，10,y y x x '>=+在(1,2)上单调递增，1x ∴=时，1y x x =+有最小值2，当12x =或2x =时，152y x x =+=，所以面积S的取值范围是82⎛ ⎝⎦.19.【解析】（1）()3()cos()sin()sin sin cos cos sin 2f x x A x x A x A x π=+⋅-=-..........2分2sin cos sin cos sin x x A A x=-()sin 21cos 211sin cos cos cos 22222x x A A A x A -=⨯-⨯=-+-，...........4分故()max111cos 224f x A =-+=，故1cos 2A =.因为()0,A π∈，故3A π=...............5分（2）1111()cos cos 2cos 22323234f x x x πππ⎛⎫⎛⎫=-+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故1()2(())cos 243g x f x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，令()s g x =，,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则()g x 的图象如图所示：可得[]1,1s ∈-，............6分方程24[()][()]10g x m g x -+=在[,]33x ππ∈-内有两个不同的解又[]1,1s ∈-，下面考虑2410s ms -+=在[]1,1-上的解的情况.若2160m ∆=-=，则4m =-或4m =（舍）当4m =-时，方程的解为12s =-，此时1cos 232x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭仅有一解，故方程24[()][()]10g x m g x -+=在[,]33x ππ∈-内有一个解，舍...........8分若2160m ∆=->，则4m <-或4m >,此时2410s ms -+=在R 有两个不同的实数根)(,2121s s s s <，当4m <-时，则120,0s s <<，要使得方程24[()][()]10g x m g x -+=在[,]33x ππ∈-内有两个不同的解，则1210,10s s -≤<-≤<.令()241h s s ms =-+，则()()41010800m h m h <-⎧⎪-≥⎪⎪⎨-<<⎪⎪>⎪⎩，解得54m -≤<-............12分综上，m 的取值范围为：[)5,4--.20.【解析】（1）()f x 的定义域为()0,,+∞()22(0)xaf x e x x'=->.....1分当a ≤0时，()()0f x f x ''>，没有零点；......2分.当0a >时，因为2xe 单调递增，ax-单调递增，所以()f x '在()0,+∞单调递增，...3分当b 满足0＜b＜4a 且b＜14时，即若41,1<≥b a 时，04242)41(')('<-≤-=<e a e f b f;若414,10<<<<a b a 时，04242)4(')('2<-<-=<e e a f b f a;则()0f b '<...5分另法：0→x 时),0( ,022>-∞→-→a xa e x所以-∞→→)(',0x f x 且)('x f 在)0(∞+，上是连续的,所以必存在b 使得()0f b '<,又()0f a '>即有0)(')('<b f a f ,故当0a >时()f x '存在唯一零点.……6分（2）当0a >时由（1），可设()f x '在()0,+∞的唯一零点为0x ，当()00x x ∈，时，()f x '＜0；当()0x x ∈+∞，时，()f x '＞0...........7分故()f x 在()0+∞，单调递减，在()0x +∞，单调递增，所以0x x =时，()f x 取得最小值，最小值为()0f x ......8分由于=)('0x f 02020x ae x -=，............9分所以()0002221212a f x ax a n a a n x a a=++≥+......11分故当0a >时，()221f x a a na≥+.……12分21．【解析】（1）因为)1ln()(x e x f x+=,所以0)0(=f ，即切点坐标为)0,0(，..1分又]11)1[ln()(xx e x f x+++=',∴切线斜率1)0(='=f k ∴切线方程为x y =.....3分（2）令11)1[ln()()(xx e x f x g x+++='=则)1(112)1[ln()(2x x x e x g x+-+++='.......................4分令2)1(112)1ln()(x x x x h +-+++=,则0)1(1)1(2)1(211)(3232>++=+++-+='x x x x x x h ,∴)(x h 在),0[+∞上单调递增，.........6分∴01)0()(>=≥h x h ∴0)(>'x g 在),0[+∞上恒成立∴)(x g 在),0[+∞上单调递增..7分（3）解：待证不等式等价于)0()()()(f t f s f t s f ->-+，令)0,()()()(>-+=t x x f t x f x m ，只需证)0()(m x m >..........8分∵)1ln()1ln()()()(x e t x ex f t x f x m x tx +-++=-+=+)()(1)1ln(1)1ln()(x g t x g xe x e t x e t x e x m x x t x tx -+=+-+-+++++='++.........10分由（2）知11)1[ln()()(xx e x f x g x+++='=在),0[+∞上单调递增，∴)()(x g t x g >+...........11分∴0)(>'x m ∴)(x m 在),0(+∞上单调递增，又因为0,>t x ∴)0()(m x m >，所以命题得证.....12分22.【解析】（1）()()()1ax ax f x xe ax e ''==+，.............1分当0a ≥时，则10ax +≥对任意[]0,2x ∈恒成立，即()0f x '≥恒成立.所以()f x 在[]0,2x ∈单调递增.则()f x 的最大值为()()2max 22a f x f e ==；.........2分当0a <时，令10ax +=，即1x a=-当()10,2a -∈，即12a <-时，当10,x a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时()0f x ¢>，()f x 在10,a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递增.当1,2x a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦时()0f x '<，()f x 在1,2a ⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递减，()max11f x f a ea ⎛⎫=-=-⎪⎝∴ ⎭.3分当[)12,a -∈+∞即102a -≤<时，10ax +≥对任意[]0,2x ∈恒成立，即()0f x '≥恒成立，所以()f x 在[]0,2x ∈单调递增.则()f x 的最大值为()()2max 22a f x f e ==；........4分综上所述：当12a ≥-时()()2max 22a f x f e ==；当12a <-时()max11f a ea f x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭...5分（2）因为()f x 在1x =处的切线与x 轴平行，所以()()110a f a e '=+=，则1a =-，即()()1x f x x e -'=-.当1x <时，()0f x ¢>，则()f x 在(),1∞-上单调递增当1x >时，()0f x '<，则()f x 在()1,+∞上单调递减.又因为0x <时有()0f x <；0x >时有()0f x >，根据图象可知，若()()12f x f x =，则有1201x x <<<；......7分要证21x x e e >，只需证211ln x x >-；...............8分又因为101x <<，所以11ln 1x ->；因为()f x 在()1,+∞上单调递减，从而只需证明()()()1211ln f x f x f x =<-，只需证()()()1111ln 1ln 11111ln 1ln 1ln x x x x x x e e x e eex ---<--==.只需证()1111ln 1,01x e x x -+<<<.......................10分设()()()1ln ,0,1th t e t t -=+∈，则()11tte h t t--'=.由()f x 的单调性可知,()()11f t f e≤=.则1t te e -≤，即110t te --≥.所以()0h t '>，即()h t 在()0,1t ∈上单调递增.所以()()11h t h <=.从而不等式21x x e e >得证............12分。

江西师大附中2024-2025学年高三年级第二次四校联考物理试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、单项选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、—物块的初速为v 0，初动能为E k 0，沿固定斜面（粗糙程度处处相同）向上滑动，然后滑回到原处。

此过程中，物块的动能E k 与位移x ，速度v 与时间t 的关系图像正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．2、2019年8月31日7时41分，我国在酒泉卫星发射中心用“快舟一号”甲运载火箭，以“一箭双星”方式，成功将微重力技术实验卫星和潇湘一号07卫星发射升空，卫星均进入预定轨道。

假设微重力技术试验卫星轨道半径为1R ，潇湘一号07卫星轨道半径为2R ，两颗卫星的轨道半径12R R ，两颗卫星都作匀速圆周运动。

已知地球表面的重力加速度为g ，则下面说法中正确的是（ ）A 1gRB ．卫星在2R 轨道上运行的线速度大于卫星在1R 轨道上运行的线速度C ．卫星在2R 轨道上运行的向心加速度小于卫星在1R 轨道上运行的向心加速度D ．卫星在2R 轨道上运行的周期小于卫星在1R 轨道上运行的周期3、有关原子物理学史，下列说法符合事实的是（ ）A ．卢瑟福通过α粒子散射实验提出了原子的枣糕模型B ．能量量子假说是普朗克首先提出的，光子假说则是爱因斯坦首先提出的C ．汤姆孙首先发现了中子，从而说明原子核内有复杂的结构D ．玻尔在光的粒子性的基础上，建立了光电效应方程4、如图所示，是一个研究向心力与哪些因素有关的DIS实验装置示意图，其中质量为m的圆柱体放置在未画出的光滑圆盘边缘，绳子一端连接小圆柱体，另一端连接力传感器，使圆柱体做匀速圆周运动。

2023年邵阳市高三第二次联考试题卷地理（答案在最后）一、选择题（本题共16小题，每小题3分，共48分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）我国西北地区的水窖（图1）多修筑在土层较厚的山塬地下，历史悠久，20世纪90年代发展最盛，当地群众称之为“甘露工程”、“母亲水窖”。

读图，完成1-3题。

1．设计和修筑西北水窖最需关注（）A．集流场B．防塌方C．防渗透D．防污染2．水窖的主要功能有（）①提供人畜饮用水②汇集地下径流③保障工业用水④减轻水土流失A．①②B．②③C．③④D．①④3．20世纪90年代水窖发展最盛的主要原因是（）A．修筑水窖技术成熟B．水源供需矛盾突出C．国家政策大力支持D．经济发展水平提高宣纸是中国传统的古典书画用纸。

青檀树是我国特有的树种，青檀树皮是制作宣纸的优质原料。

檀皮的晒场主要位于地势较高、坡度较陡的朝南山坡上，要摊晒10个月左右，通过反复的风吹日晒、雨淋雾浸，使其自然漂白，然后才可以使用。

安徽泾县小岭村制作宣纸历史悠久，其制作技艺被列入首批国家级非物质文化遗产。

从清末开始，日本造纸界就研究宣纸技艺，至今都没能造出正宗的宣纸。

图2示意泾县小岭村在安徽的位置。

据此，完成4-6题。

4．甲、乙、丙、丁四地中，最适宜晒制檀皮的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁5．日本至今都没能制造出正宗宣纸的原因是（）A．生产材料独特B．核心技术缺乏C．工艺流程复杂D．生产成本剧增6．保护和传承该非物质文化遗产，最有效措施是（）A．加大投入，扩大生产规模B．培养人才，传承中华文化C．加强宣传，拓宽销售市场D．改进技术，降低生产成本2022年6月16日，和若铁路（和田市至若羌县）开通运营，世界首个沙漠铁路环线形成。

读图3，完成7-8题。

7．修建和若铁路的决定性因素为（）A．技术因素B．经济因素C．社会因素D．环境恶劣8．和若铁路部分路段以桥代路，最主要的目的是（）A．保护生态环境B．方便动物通行C．阻挡风沙前行D．预留流沙通道图4为某地区略图。

2023年邵阳市高三第二次联考试题参考答案与评分标准(数学)㊀第1㊀页(共10页)2023年邵阳市高三第二次联考试题参考答案与评分标准数㊀学一㊁选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.C㊀2.B㊀3.A㊀4.C㊀5.C6.Aʌ详解ɔ由a sinøPF 1F 2=c sinøPF 2F 1,得c a =sinøPF 2F 1sinøPF 1F 2=|PF 1||PF 2|=|PF 1|2a -|PF 1|得|PF 1|=2aca +c,又|PF 1|ɪ[a -c ,a +c ]ʑa 2-c 2ɤ2ac ɤ(a +c )2即e 2+2e -1ȡ0,又e ɪ(0,1),ʑe ɪ[2-1,1).故选:A .7.D ʌ详解ɔ选项A :当点E 固定在线段CD 的某位置时,线段AE 的长度为定值,ADᶄʅDᶄE ,过Dᶄ作DᶄH ʅAE 于点H ,故Dᶄ的轨迹是以H 为圆心,DᶄH 为半径的圆,故A 错;选项B :无论E 在CD (端点除外)的哪个位置,AB 均不与AE 垂直,故AB 不与平面ADᶄE 垂直,故B 错;选项C :设A 到平面BCF 的距离为d ,由已知BF =23,BC ʅ平面ABF ,得d =3ˑ323=32,故C 错;选项D :以AB ң,AD ң,AF ң为x ,y ,z 的正方向建立空间直角坐标系F (0,0,3),B (3,0,0),C(3,1,0).设E (3λ,1,0),λɪ(0,1),BC ң=(0,1,0),EF ң=(-3λ,-1,3),设EF 与BC 所成的角为θ,则cos θ=13λ2+10ɪ1313,1010().故选:D .8.Bʌ详解ɔx ȡ2e +1,t e tx -1-1x()ln (x -1)ȡ0恒成立,即tx e tx ȡ(x -1)ln (x -1)=e ln (x -1)㊃ln (x -1)恒成立.令f (x )=x e x (x >1),则fᶄ(x )=(x +1)e x >0恒成立,故f (x )单调递增,所以tx ȡln (x -1)在x ȡ2e +1时恒成立,ʑt ȡln (x -1)x(x ȡ2e +1)恒成立.令g (x )=ln (x -1)x (x ȡ2e +1),2023年邵阳市高三第二次联考试题参考答案与评分标准(数学)㊀第2㊀页(共10页)㊀gᶄ(x )=xx -1-ln (x -1)x 2=x -(x -1)ln (x -1)x 2(x -1).令h (x )=x -(x -1)ln (x -1)(x ȡ2e +1),则hᶄ(x )=-ln (x -1)<0ʑh (x )单调递减.ʑh (x )ɤh (2e +1)=2e +1-(2e +1-1)㊃ln (2e +1-1)=1-2eln2=1-eln4<0即gᶄ(x )<0,ʑg (x )单调递减.故g (x )ɤg (2e +1)=ln2+12e +1.故选:B .二㊁多选题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9.BCD㊀10.BC 11.ACDʌ详解ɔ分以下几种情况讨论:设定圆O 的半径为R ,①当点A 在圆O 上,连接OA ,则OA =OP ,所以点O 在线段AP 的中垂线上,由中垂线的性质可知AQ =PQ .又因为点Q 是线段AP 的中垂线与OP 的公共点,此时点Q 与点O 重合,此时,点Q 的轨迹为圆心O ;故A 正确;②当点A 在圆O 内,且点A 不与圆心O 重合,连接AQ ,由中垂线的性质可得QA =QP ,所以,QA +QO =QA +QP =OP =R >OA ,此时,点Q 的轨迹是以点A ,O 为焦点,且长轴长为R 的椭圆,故C 正确;③当点A 在圆O 外:连接AQ ,由中垂线的性质可得QA =QP ,所以,QA -QO=QP -QO=OP =R <OA ,此时,点Q 的轨迹是以点A ,O 为焦点,且实轴长为R 的双曲线.故D 正确.故选:ACD.12.ABDʌ详解ɔfᶄ(x )=e x ㊃ln (1+x )+e x ㊃11+x =e x [ln (1+x )+11+x],g (x )=fᶄ(x )=e x [ln (1+x )+11+x ],则gᶄ(x )=e x [ln (1+x )+21+x -1(1+x )2],设h (x )=ln (1+x )+21+x -1(1+x )2,hᶄx ()=11+x -2(1+x )2+2(1+x )3=x 2+1(1+x )3>0,则函数h x ()在(-1,+ɕ)上单调递增,h x ()ȡh 0()=1>0,因此gᶄ(x )>0对任意的x ɪ0,+ɕ)(恒成立,所以g x ()在0,+ɕ)(上单调递增,故A 正确;又h -12()=-ln2+4-4<0,所以h -12()㊃h 0()<0,则存在αɪ-12,0(),使得h α()=0.2023年邵阳市高三第二次联考试题参考答案与评分标准(数学)㊀第3㊀页(共10页)在x ɪ-1,α()时,h x ()<0;x ɪα,+ɕ()时,h x ()>0;所以函数fᶄ(x )在-1,α()单调递减,在α,+ɕ()单调递增,故fᶄ(x )有唯一极小值,故B 正确;令m (x )=f (x )-x =e x ln (x +1)-x ,-1<x <0,mᶄ(x )=e x [ln (1+x )+11+x]-1=fᶄ(x )-1,所以函数mᶄ(x )在-1,α()单调递减,在α,+ɕ()单调递增,且mᶄ(0)=0,则有mᶄ(α)<0.又mᶄ(e -2-1)=e e-2-1(-2+e 2)-1>e e-2-1㊃e -1=e e -2-1>0,因此存在x 0ɪ(e -2-1,α),使得mᶄ(x 0)=0,当-1<x <x 0时,mᶄ(x )>0,当x 0<x <0时,mᶄ(x )<0,于是得函数m (x )在(-1,x 0)上单调递增,在(x 0,0)上单调递减,则m (x 0)>m (0)=0.又m (e -3-1)=-3e e-3-1-e -3+1<-3e -1-e -3+1<0,从而存在唯一t ɪ(e -3-1,x 0),使得m (t )=0.显然当t <x <0时,m (x )>0,当-1<x <t 时,m (x )<0.又m (-12)=1e ln 12+12,令v (x )=ln x -12(x -1x ),vᶄ(x )=1x -12-12x 2=-(x -1)22x 2ɤ0,因此函数v (x )在(0,+ɕ)上单调递减,v (12)>v (1)=0,有ln12>12(12-2)=-34,1e ln 12>-34e ,则m (-12)=1e ln 12+12>12-34e =2e -34e >0,即t <-12<0,从而函数m x ()=f x ()-x 在x ɪ(-1,0)上有唯一零点t ɪ(-1,-12),函数y =f (x )-x 在(-1,0)上有且只有一个零点t ,且t ɪ-1,-12(),故C 错误;x 1>0,x 2>0,f (x 1+x 2)-f (x 1)-f (x 2)=e x 1+x 2ln (1+x 1+x 2)-e x1ln (1+x 1)-e x2ln (1+x 2),设φ(x )=f (x +x 2)-f (x )-f (x 2)=e x +x 2ln (1+x +x 2)-e x ln (1+x )-e x2ln (1+x 2),x >0,则φᶄx ()=ex +x 2[ln (1+x +x 2)+11+x +x 2]-e x [ln (1+x )+11+x]=g (x +x 2)-g (x )由选项A 知,g x ()在(0,+ɕ)上单调递增,而x +x 2>x >0,则g (x +x 2)>g (x ),即有φᶄ(x )=g (x +x 2)-g (x )>0,因此函数φ(x )在(0,+ɕ)上单调递增,φ(x 1)>φ(0)=f (x 2)-f (0)-f (x 2)=-f (0)=0,即有f x 1+x 2()>f x 1()+f x 2(),所以对任意的x 1,x 2ɪ(0,+ɕ),总满足f x 1+x 2()>f x 1()+f x 2(),故D 正确.故选:ABD 三、填空题(本大题4小题,每小题5分,共20分)13.8㊀14.3615.3+ln22,0()2023年邵阳市高三第二次联考试题参考答案与评分标准(数学)㊀第4㊀页(共10页)ʌ详解ɔ设直线l 与曲线y =ln (x -2)+2和y =ln (x -1)相切于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,分别求导得:yᶄ=1x -2,yᶄ=1x -1,故l :y -[ln (x 1-2)+2]=1x 1-2(x -x 1)⇒y =1x 1-2x +ln (x 1-2)+2-x 1x 1-2.同理得:l :y -ln (x 2-1)=1x 2-1(x -x 2)⇒y =1x 2-1x +ln (x 2-1)-x 2x 2-1.故1x 1-2=1x 2-1,ln (x 1-2)+2-x 1x 1-2=ln (x 2-1)-x 2x 2-1,ìîíïïïï解得x 2=32,x 1=52.ìîíïïïïʑ直线l 的方程为y =2x -3-ln2.令y =0,则x =3+ln22.则直线l 与x 轴的交点坐标为3+ln22,0().16.(n 2+n )㊃2n -1(2分)㊀(n 2-n +2)㊃2n (3分)ʌ详解ɔ因为na n +1=2(n +2)a n ,且a 1=2ʂ0,所以a n +1a n =2(n +2)n ,则当n ȡ2时,a n =a 1㊃a 2a 1㊃a 3a 2㊃ ㊃a na n -1=2ˑ2ˑ31ˑ2ˑ42ˑ ˑ2ˑ(n +1)(n -1)=n (n +1)㊃2n -1=(n 2+n )㊃2n -1.又当n =1时,a 1=2符合上式,故a n =(n 2+n )㊃2n -1.由S n =a 1+a 2+ +a n =(1ˑ2)ˑ20+(2ˑ3)ˑ21+ +n (n +1)㊃2n -1㊀①2S n =1ˑ2ˑ21+ +(n -1)n ㊃2n -1+n (n +1)㊃2n ㊀②①-②得-S n =2-n (n +1)㊃2n +4㊃21+6㊃22+ +2n ㊃2n -1=-n (n +1)㊃2n +(1㊃21+2㊃22+3㊃23+ +n ㊃2n ).2023年邵阳市高三第二次联考试题参考答案与评分标准(数学)㊀第5㊀页(共10页)令T n =1㊃21+2㊃22+3㊃23+ +n ㊃2n ,㊀㊀③ʑ2T n =1㊃22+2㊃23+ +(n -1)㊃2n +n ㊃2n +1,④③-④得-T n =21-n ㊃2n +1+(22+23+ +2n)=-n ㊃2n +1+2(1-2n )1-2=(-n +1)㊃2n +1-2,ʑT n =(n -1)㊃2n +1+2.故-S n =-n (n +1)㊃2n +(n -1)㊃2n +1+2,则S n =(n 2-n +2)㊃2n -2,即S n +2=(n 2-n +2)㊃2n .四㊁解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明㊁证明过程或演算步骤)17.ʌ详解ɔ(1)由S n +1=S n +4a n -3,得S n +1-S n =4a n -3.ʑa n +1=4a n -3,则a n +1-1=4(a n -1).(2分) ȵa 1-1=2-1=1,ʑ数列{a n -1}是以1为首项,4为公比的等比数列,ʑa n -1=4n -1=22n -2(n ɪN ∗).(4分)ȵb n =log 2(a n -1)+3,ʑb n =log 222n -2+3=2n +1(n ɪN ∗).(5分)(2)ȵc n =(-1)n +1㊃b n +1b n b n +1ʑc n =(-1)n +1㊃2n +2(2n +1)(2n +3)=(-1)n +1㊃1212n +1+12n +3()(6分)ʑT n =c 1+c 2+c 3+ +c n=1213+15()-15+17()+17+19()- +(-1)n +112n +1+12n +3()éëêêùûúú(7分)当n 为奇数时,T n =1213+12n +3()>16>221.(8分) 当n 为偶数时,T n =1213-12n +3(){T n }是递增数列,ʑT n ȡT 2=1213-17()=221.综上得:T n ȡ221.(10分)18.ʌ详解ɔ(1)由题意可知øAPC =45ʎ,øCBP =60ʎ,øBAC =45ʎ-15ʎ=30ʎ(1分) AC =PC tanøAPC =1003m,BC =PC tanøCBP=100m .(2分)由正弦定理AC sinøABC =BC sinøBAC ,可得sinøABC =32.(3分)2023年邵阳市高三第二次联考试题参考答案与评分标准(数学)㊀第6㊀页(共10页)因此øABC =60ʎ或120ʎ当øABC =60ʎ时,øACB =90ʎ,猎豹与羚羊之间的距离为AB =AC 2+BC 2=200m (5分) 当øABC =120ʎ,øACB =30ʎ=øBAC ,猎豹与羚羊之间的距离为AB =BC =100m (6分)(2)设捕猎成功所需的最短时间为t ,在әABQ 中,BQ =20t ,AQ =25t ,AB =200,øABQ =120ʎ.由余弦定理得:625t 2=400t 2+2002-2ˑ20t ˑ200ˑ-12().(8分) 整理得:5t 2-32t -320=0.方法1:设f (t )=5t 2-32t -320,显然f165()<0,(9分) 因猎豹能坚持奔跑最长时间为24s,且f (24)=1792>0.(10分)ʑ存在t 0ɪ165,24(),使f (t 0)=0.(11分) ȵt 0<24,ʑ猎豹能捕猎成功.(12分) 方法2:由方程5t 2-32t -320=0得t =16+8295(舍负).(10分) 又16+829<16+8ˑ6=64<120,ʑt <24,ʑ猎豹能捕猎成功.(12分)19.解:(1)如图所示,取AO 的中点H ,连结HD ,HP ,在等腰梯形ABCD 中,AB ʊCD ,AB =4,CD =2,øDAO =60ʎ.ȵO 为AB 的中点,ʑOD ʊBC ,øDOA =øCBO =øDAO =60ʎ.ʑәOAD 为正三角形,ʑAD =2,HD ʅAO.(2分)在әAOP 中,OA =OP =2,øAOP =60ʎ,ʑәAOP 为边长为2的正三角形,ʑAP =2,PH ʅAO.(3分) ʑAP =AD ,又F 为FD 的中点,ʑAF ʅPD.ȵHD ʅAO ,PH ʅAO ,HD ɘPH =H ,ʑAO ʅ平面PHD ,即AB ʅ平面PHD.(4分) ȵPD ⊂平面PHD ,ʑAB ʅPD.又ȵAF ɘAB =A ,ʑPD ʅ平面AFGB.(5分) ȵPD ⊂平面PCD ,ʑ平面PCD ʅ平面AFGB.(6分) (2)ȵPH ʅAB ,平面PAB ʅ平面ABCD ,平面PAB ɘ平面ABCD =AB ,PH ⊂平面PAB ,ʑPH ʅ平面ABCD ,ʑ由(1)知,PH ,HD ,AB 两两垂直,(7分) 以H 为坐标原点,HD ,HB ,HP 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示空间直角坐标系,则H (0,0,0),P (0,0,3),D (3,0,0),,E32,52,0(),2023年邵阳市高三第二次联考试题参考答案与评分标准(数学)㊀第7㊀页(共10页)于是HP ң=(0,0,3),PD ң=(3,0,-3),DE ң=-32,52,0().(9分)设平面PDE 的法向量为n ң=(x ,y ,z ),则n ң㊃PD ң=0,n ң㊃DE ң=0,{即3x -3z =0,-32x +52y =0,ìîíïïïï取x =5,则n ң=(5,3,5)(10分) 设平面PDE 与平面ABCD 所成锐二面角为θ,ȵHP ң为平面ABCD 的一个法向量,ʑcos θ=|cos n ң,HP ң⓪|=|n ң㊃HP ң||n ң||HP ң|=5353ˑ3=553.ʑsin θ=1-cos 2θ=2753,tan θ=sin θcos θ=275.ʑ平面PDE 与平面ABCD 所成锐二面角的正切值为275.(12分) 20.ʌ详解ɔ(1)由题可知P (每次扑出点球)=13ˑ15+13ˑ15+13ˑ35=13.(1分) X 的所有可能取值为0,1,2,3,4.(2分) ʑP (X =0)=C 04ˑ(13)0ˑ(23)4=1681.P (X =1)=C 14ˑ(13)ˑ(23)3=3281.P (X =2)=C 24ˑ(13)2ˑ(23)2=2481.P (X =3)=C 34ˑ(13)3ˑ(23)=881.P (X =4)=C 44ˑ(13)4=181.(4分) ʑX 的分布列X 01234P168132812481881181㊀(5分)ʑE (X )=0ˑ1681+1ˑ3281+2ˑ2481+3ˑ881+4ˑ181=43.(6分) (由题意得X ~B 4,13().得X 的分布列为P (X =k )=C k 413()k23()4-k,k =0,1,2,3,4.分布列写成P (X =k )=C k4(13)k ㊃(23)4-k ,k =0,1,2,3,4.E (X )=4ˑ13=43也给4分)2023年邵阳市高三第二次联考试题参考答案与评分标准(数学)㊀第8㊀页(共10页)(2)若甲队恰在第4轮取得胜利,则前3轮结束时比分可能为1ʒ0,2ʒ0,2ʒ1,3ʒ1,3ʒ2.分别记前3轮比分为1ʒ0,2ʒ0,2ʒ1,3ʒ1,3ʒ2且甲队恰在第4轮取得胜利,事件分别为A ,B ,C ,D ,E.(7分)P (A )=C 13ˑ34()ˑ14()2ˑ13()3ˑ34ˑ13=1768.P (B )=C 23ˑ34()2ˑ14ˑ13()3ˑ34+14ˑ13()=10768.P (C )=C 23ˑ34()2ˑ14ˑC 13ˑ23ˑ13()2ˑ34ˑ13=6256=18768.P (D )=34()3ˑC 13ˑ23ˑ13()2ˑ34+14ˑ13()=20256=60768.P (E )=34()3ˑC 23ˑ23()2ˑ13ˑ34ˑ13=12256=36768.(10分)(对1个不给分,对2-3个给1分,全对给3分)故P (甲队恰在第4轮取得胜利)=1768+10768+18768+60768+36768=125768.(11分) ʑ甲队恰在第4轮取得胜利的概率为125768.(12分)21.解:(1)ȵ双曲线C 的左焦点F (-c ,0)到双曲线C 的一条渐近线bx +ay =0的距离为d =|bc |a 2+b2=b ,而d =2,ʑb =2.(1分)ʑ双曲线C 的方程为x 2a 2-y 24=1(0<a <10).依题意直线l 1的方程为y =13(x -a ).由x 2a 2-y 24=1,y =13(x -a ),ìîíïïïï消去y 整理得:(36-a 2)x 2+2a 3x -a 2(a 2+36)=0,(2分) 依题意:36-a 2ʂ0,Δ>0,则x A x B =a 2(a 2+36)a 2-36.ȵx A =a ,ʑx B =a (a 2+36)a 2-36.(3分)ʑ|AB |=1+13()2|x A -x B |=103|x A -x B |=8103,ʑ|x A -x B |=8.即a -a (a 2+36)a 2-36=8,解得a =3或a =12(舍去),2023年邵阳市高三第二次联考试题参考答案与评分标准(数学)㊀第9㊀页(共10页)ʑ双曲线C 的方程为x 29-y 24=1.(5分)(2)依题意直线l 2的斜率不等于0,设直线l 2的方程为x =my +6.由x =my +6,x 29-y 24=1,ìîíïïï消去x 整理得:(4m 2-9)y 2+48my +108=0,(6分) ʑ4m 2-9ʂ0,Δ>0.设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则y 1+y 2=-48m 4m 2-9,y 1y 2=1084m 2-9.(7分) 直线AP 的方程为y =y 1x 1-3(x -3),令x =6得:y =3y 1x 1-3,ʑM 6,3y 1x 1-3().同理可得N 6,3y 2x 2-3().(8分)由对称性可知,若以线段MN 为直径的圆过定点,则该定点一定在x 轴上,(9分) 设该定点为R (t ,0),则RM ң=6-t ,3y 1x 1-3(),RN ң=6-t ,3y 2x 2-3(),故RM ң㊃RN ң=(6-t )2+9y 1y 2(x 1-3)(x 2-3)=(6-t )2+9y 1y 2(my 1+3)(my 2+3)=(6-t )2+9y 1y 2m 2y 1y 2+3m (y 1+y 2)+9=(6-t )2+9ˑ1084m 2-9m 2ˑ1084m 2-9-3m ˑ48m4m 2-9+9=(6-t )2-12=0,解得t =6-23或t =6+23.故以线段MN 为直径的圆过定点(6-23,0)和(6+23,0).(12分) 22.解:gᶄx ()=1+sin x ,对任意的x ɪ-π2,0éëêêùûúú,tf x ()-gᶄx ()ȡ0恒成立,即t e x cos x ȡ1+sin x 对任意的x ɪ-π2,0éëêêùûúú恒成立.(1分)当x =-π2时,则有0ȡ0对任意的t ɪR 恒成立;(2分) 当-π2<x ɤ0时,cos x >0,则t ȡ1+sin x e x cos x ,令h x ()=1+sin x e x cos x,其中-π2<x ɤ0,2023年邵阳市高三第二次联考试题参考答案与评分标准(数学)㊀第10㊀页(共10页)hᶄx ()=e x cos 2x -e x cos x -sin x ()1+sin x ()e x cos x ()2=1-cos x ()1+sin x ()e x cos 2x ȡ0且hᶄx ()不恒为零,(4分) 故函数h x ()在-π2,0(ùûúú上单调递增,则h x ()max =h 0()=1,故t ȡ1.综上所述,t ȡ1.(5分) ʌ小问2详解ɔ证明:由f x ()=gᶄx ()可得e x cos x =1+sin x ,令φx ()=e x cos x -sin x -1,则φᶄx ()=e x cos x -sin x ()-cos x.(6分)因为x ɪ2n π+π3,2n π+π2()n ɪN ∗(),则sin x >cos x >0,所以,φᶄx ()<0,所以,函数φx ()在2n π+π3,2n π+π2()n ɪN ∗()上单调递减.(7分) 因为φ2n π+π3()=e 2n π+π3cos 2n π+π3()-sin 2n π+π3()-1=12e 2n π+π3-32-1ȡe2π+π32-32-1>0,㊀㊀φ2n +π2()=-2<0,所以,存在唯一的x 0ɪ2n π+π3,2n π+π2()n ɪN ∗(),使得φx 0()=0.(9分) 所以,x n ɪ2n π+π3,2n π+π2()n ɪN ∗(),则x n +1-2πɪ2n π+π3,2n π+π2()n ɪN ∗(),所以,φx n +1-2π()=ex n +1-2πcos x n +1-2π()-sin x n +1-2π()-1=ex n +1-2πcos x n +1-sin x n +1-1=e x n +1-2πcos x n +1-ex n +1cos x n +1=ex n +1-2π-ex n +1()cos x n +1<0=φx n (),因为函数φx ()在2n π+π3,2n π+π2()n ɪN ∗()上单调递减,(11分) 故x n +1-2π>x n ,即x n +1-x n >2π.(12分)。

沅澧共同体2025届高三第二次联考（试题卷）历史时量：75分钟满分：100分一、选择题：本题共16小题，每小题3分，共48分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。

1.表1是考古学家在1万年前的地层中的三处发现。

由此推知，这一时期（ ）表1遗址名称考古发现湖南玉蟾岩遗址3粒稻谷，其中1粒是野生稻，其余属于栽培稻江西万年吊桶环遗址对植硅石的鉴定表明已采集的野生稻为食物，栽培稻也已出现广东英德牛栏洞遗址人工栽培水稻的硅质体A.生活方式发生改变B.精耕细作农业产生C.中国农业领先世界D.阶级分化日益明显2．《史记·范睢列传》载：“秦之法，任人而所任不善者，各以其罪罪之”。

汉初，也有类似的推荐制度，如公元前196年刘邦下“求贤诏”，要求各地推选“贤士大夫”；吕后时期，诏举“孝悌力田”。

秦汉时期的推荐制度（ ）A.解决了国家的人才问题B.为察举制形成奠定基础C.是维护士族特权的工具D.不利于中央集权的加强3．史学家何兹全说：“（两晋南北朝时）经济的逆转，大体上只限于黄河流域，很少波及长江流域的江南”，“交换经济的衰歇……实以北方中原地带为对象而论；若以长江流域而言，则不能不承认其交换经济及货币使用之发达。

”据此可知（）A.南方经济超越北方B.南方小农经济受到了冲击C.南方商品经济活跃D.政局稳定保障了经济发展4．表2是“中晚唐时期传奇中的女侠形象”，对此解读正确的是（）表2女侠事迹红线女自述“前世本为男子”，因意外杀人而被转世为女子，因此红线的所思所想都是为了赎清自己前世的罪孽樊夫人慈悲为怀，无偿救助遭受困苦的百姓聂隐娘一心为主出谋划策，排忧解难，在任务完成之后，选择归隐自然A.社会尚武之风盛行B.社会思潮影响文学创作C.女性地位显著提高D.儒家思想的影响力衰微5．两宋时期太湖流域产业多样，如吴江“菜户孙氏”，为汲水浇菜，专雇匠人“浚井”；洞庭山民以“柑柚为常产”，以致“万顷湖光里，千家桔熟时”；渔业更是形成集体捕捞的生产规模：“海滨之民兴网……自业者，比于农圃焉”。