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专题9.5 抛物线（真题测试）一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线24y x =上一点M 到x 轴的距离是2，则点M 到焦点F 的距离为（ ）A B ．2C ．D ．32．（2023·全国·高三专题练习）抛物线21:4E y x =的焦点到其准线的距离为（ ） A ．18B ．14C ．2D ．43．（2022·全国·高考真题（文））设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点A 在C 上，点(3,0)B ，若AF BF =，则AB =（ ）A ．2B ．C ．3D ．4．（2021·全国·高考真题）抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+，则p =（ ）A ．1B ．2C ．D ．45．（2020·北京·高考真题）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（ ）．A ．经过点OB ．经过点PC ．平行于直线OPD ．垂直于直线OP6.（2019·全国·高考真题（文））若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．87．（山东·高考真题（文））已知抛物线22(0)y px p =>，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于 ,A B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（ ） A ．1x = B ．1x =- C ．2x =D ．2x =-8.（2017·全国·高考真题（理））已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ） A ．16B ．14C ．12D ．10二、多选题9．（2022·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，点(1,1)A 在抛物线2:2(0)C x py p =>上，过点(0,1)B -的直线交C 于P ，Q 两点，则（ ） A ．C 的准线为1y =- B ．直线AB 与C 相切 C ．2|OP OQ OA ⋅>D ．2||||||BP BQ BA ⋅>10．（2022·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)C y px p =>焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点(,0)M p ，若||||AF AM =，则（ ）A ．直线AB 的斜率为B ．||||OB OF =C ．||4||AB OF >D ．180OAM OBM ∠+∠<︒11．（2022·全国·高三专题练习）已知O 为坐标原点，抛物线E 的方程为214y x =，E 的焦点为F ，直线l 与E 交于A ，B 两点，且AB 的中点到x 轴的距离为2，则下列结论正确的是（ ）A ．E 的准线方程为116y =- B ．AB 的最大值为6C ．若2AF FB =，则直线AB 的方程为1y x =+D ．若OA OB ⊥，则AOB 面积的最小值为1612．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线Γ：()220x py p =>，过其准线上的点(),1T t -作的两条切线，切点分别为A ，B ，下列说法正确的是（ ） A ．2p =B ．当1t =时，TA TB ⊥C ．当1t =时，直线AB 的斜率为2D ．TAB △面积的最小值为4三、填空题13．（2018·北京·高考真题（文））已知直线l 过点（1,0）且垂直于x 轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.14．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C ：26y x =的焦点为F ，A 为C 上一点且在第一象限，以F 为圆心，线段FA 的长度为半径的圆交C 的准线于M ，N 两点，且A ，F ，M 三点共线，则AF =______．15．（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点F 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点重合，若两曲线相交于M ，N 两点，且线段MN 的中点是点F ，则该双曲线的离心率等于______.16.（2021·北京·高考真题）已知抛物线24y x =的焦点为F ，点M 在抛物线上，MN 垂直x 轴与于点N .若6MF =，则点M 的横坐标为_______； MNF 的面积为_______．四、解答题17.（2017·北京·高考真题（理））已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)．过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点． (1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点．18.（2019·全国·高考真题（理））已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求|AB |．19．（2019·北京·高考真题（理））已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）． （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．20．（2022·全国·高考真题（理））设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(),0D p ，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，3MF =． (1)求C 的方程；(2)设直线,MD ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线,MN AB 的倾斜角分别为,αβ．当αβ-取得最大值时，求直线AB 的方程．21.（2020·全国·高考真题（理））已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |.（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程.22.（2021·全国·高考真题（文））已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2．（1）求C 的方程;（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值.专题9.5 抛物线（真题测试）一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线24y x =上一点M 到x 轴的距离是2，则点M 到焦点F 的距离为（ ）A B ．2C ．D ．3【答案】B【分析】有题意可知()1,2M ±,由焦点(1,0)F 则可求出点M 到焦点F 的距离. 【详解】M 到x 轴的距离是2，可得()1,2M ±，焦点(1,0)F 则点M 到焦点的距离为2. 故选:B.2．（2023·全国·高三专题练习）抛物线21:4E y x =的焦点到其准线的距离为（ ） A ．18B ．14C ．2D ．43．（2022·全国·高考真题（文））设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点A 在C 上，点(3,0)B ，若AF BF =，则AB =（ ）A ．2B ．C ．3D ．故选：B4．（2021·全国·高考真题）抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+，则p =（ ） A ．1 B ．2 C．D ．45．（2020·北京·高考真题）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（ ）．A ．经过点OB ．经过点PC ．平行于直线OPD ．垂直于直线OP【详解】如图所示：．故选：B.6.（2019·全国·高考真题（文））若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．87．（山东·高考真题（文））已知抛物线22(0)y px p =>，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于 ,A B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（ ） A ．1x = B ．1x =- C ．2x = D ．2x=-8.（2017·全国·高考真题（理））已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ） A ．16 B ．14C ．12D ．10二、多选题9．（2022·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，点(1,1)A 在抛物线2:2(0)C x py p =>上，过点(0,1)B -的直线交C 于P ，Q 两点，则（ ） A ．C 的准线为1y =- B ．直线AB 与C 相切 C ．2|OP OQ OA ⋅> D ．2||||||BP BQ BA ⋅>所以2212||||(1)||15BP BQ k x x k ⋅=+=+>，而2||5BA =，故D 正确.故选：BCD10．（2022·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)Cy px p =>焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点(,0)M p ，若||||AF AM =，则（ ） A ．直线AB 的斜率为B ．||||OB OF =C ．||4||AB OF >D ．180OAM OBM ∠+∠<︒33选项；由0OA OB ⋅<，0MA MB ⋅<求得，易得(,0)2p F ，由AF AM =3(4p OA OB ⋅=又(4p MA MB ⋅=-又360AOB AMB OAM OBM ∠+∠+∠+∠=，则180OAM OBM ∠+∠<，D 正确. 故选：ACD.11．（2022·全国·高三专题练习）已知O 为坐标原点，抛物线E 的方程为214y x =，E 的焦点为F ，直线l 与E 交于A ，B 两点，且AB 的中点到x 轴的距离为2，则下列结论正确的是（ ）A ．E 的准线方程为116y =- B ．AB 的最大值为6C ．若2AF FB =，则直线AB 的方程为1y x =+D ．若OA OB ⊥，则AOB 面积的最小值为16 ，联立抛物线，由2AF FB =解出A 即可求出面积最小值，即可判断D 选项.【详解】由2AF FB =得直线设直线AB 的方程为4A B x x =-.由于2AF FB =，所以22x =±，所以2124A A y x ==，直线AB 的方程为),y OA ⊥所以AOB 面积的是小值为故选：BCD.12．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线Γ：()220x py p =>，过其准线上的点(),1T t -作的两条切线，切点分别为A ，B ，下列说法正确的是（ ） A ．2p =B ．当1t =时，TA TB ⊥C ．当1t =时，直线AB 的斜率为2D ．TAB △面积的最小值为4220x y ，故AB k C ，切线方程TA ：的方程为1xt y -=-三、填空题13．（2018·北京·高考真题（文））已知直线l过点（1,0）且垂直于x轴，若l被抛物线24y ax=截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.14．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C：26=的焦点为F，y xA为C上一点且在第一象限，以F为圆心，线段FA的长度为半径的圆交C的准线于M，N两点，且A，F，M三点共线，则AF=______．【答案】6【分析】根据圆的几何性质以及抛物线的定义即可解出．故答案为：6．15．（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点F与双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的左焦点重合，若两曲线相交于M，N两点，且线段MN的中点是点F，则该双曲线的离心率等于______.M在抛物线上，所以M在双曲线上，22cb=-故答案为：16.（2021·北京·高考真题）已知抛物线24y x=的焦点为F，点M在抛物线上，MN垂直x轴与于点N.若6MF=，则点M的横坐标为_______；MNF的面积为_______．FMNS.【FMNS=故答案为：四、解答题17.（2017·北京·高考真题（理））已知抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)．过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A为线段BM的中点．故A 为线段BM 的中点.18.（2019·全国·高考真题（理））已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求|AB |． 利用3AP PB =可得y ()22,B x y 1252x x ∴+= 3AP PB = ∴则419AB =+⋅19．（2019·北京·高考真题（理））已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）．（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．D p，过F的直线交C于20．（2022·全国·高考真题（理））设抛物线2=>的焦点为F，点(),0:2(0)C y px pMF=．M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，3(1)求C 的方程；(2)设直线,MD ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线,MN AB 的倾斜角分别为,αβ．当αβ-取得最大值时，求直线AB 的方程．21.（2020·全国·高考真题（理））已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |.（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程.）(),0F c ，的方程为x =21c=+，解得抛物线2C 的方程为24y cx =，联立24x c y cx=⎧⎨=⎩，43CD =即223c ac +01e <<，解得（2）[方法一由椭圆的第二定义知所以12-a22.（2021·全国·高考真题（文））已知抛物线2=>的焦点F到准线的距离为2．C y px p:2(0)（1）求C的方程;（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值. ，则(99PQ QF ==-)09,10y ，由P 在抛物线上可得Q 的轨迹方程为的斜率0025OQ y k x ==(1,0),9=PQ QF ，所以29(1)9x y =-=-，所以的斜率为244=y x t 方法四利用参数法，由题可设()24,4(0),(,)>P t t t Q x y ，求得x,y 关于t 的参数表达式，得到直线OQ 的斜率关于t 的表达式，结合使用基本不等式，求得直线OQ 斜率的最大值.。
绝密★启用前2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ={x |x 2-5x +6>0}，B ={ x |x -1<0}，则A ∩B = A ．(-∞，1) B ．(-2，1)C ．(-3，-1)D ．(3，+∞)2．设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，BC =1，则AB BC ⋅= A ．-3 B ．-2C ．2D ．34．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行．2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：121223()()M M M R r R r r R+=++.设rRα=，由于α的值很小，因此在近似计算中34532333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为 ABCD5．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A ．中位数 B ．平均数 C ．方差 D ．极差6．若a >b ，则A ．ln(a −b )>0B ．3a <3bC ．a 3−b 3>0D ．│a │>│b │7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面8．若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =A ．2B ．3C ．4D ．89．下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是A ．f (x )=│cos 2x │B ．f (x )=│sin 2x │C ．f (x )=cos│x │D ．f (x )= sin │x │10．已知α∈(0，2π)，2sin 2α=cos 2α+1，则sin α=A ．15B．5C3D511．设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点.若PQ OF =，则C 的离心率为ABC ．2D ．512．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是 A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为__________.14．已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax f x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________. 15．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为__________.16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________.（本题第一空2分，第二空3分.）三、解答题：共70分。
直线与抛物线的位置关系专题训练一、单选题(共6 分)1“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据直线与抛物线的位置关系可得答案【详解】“直线与抛物线相切”可得“直线与抛物线只有一个公共点”“直线与抛物线只有一个公共点”时直线可能与对称轴平行此时不相切故“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的充分不必要条件故选：A2直线y=k(x−1)+2与抛物线x2=4y的位置关系为（）A相交B相切C相离D不能确定【答案】A【分析】直线y=k(x−1)+2过定点(1,2)在抛物线x2=4y内部即可得出结论．【详解】直线y=k(x−1)+2过定点(1,2)∵12<4×2∴(1,2)在抛物线x2=4y内部∴直线y=k(x−1)+2与抛物线x2=4y相交故选：A．二、填空题(共9 分)3直线y=kx+2与抛物线y2=8x有且只有一个公共点则k=________【答案】0或1【分析】当k=0时直线为y=2与抛物线对称轴平行故只有一个交点当k≠0时将y=kx+2代入抛物线y2=8x用判别式法求解【详解】当k=0时直线为y=2与抛物线只有一个交点(12,2)当k≠0时将y=kx+2代入抛物线y2=8x得：k2x2+(4k−8)x+4=0因为直线y=kx+2与抛物线y2=8x有且只有一个公共点所以Δ=(4k−8)2−16k2=0解得k=1综上：k=0或k=1故答案为：0或1【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系的应用还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力属于基础题4过抛物线x2=4y上一点(4,4)的抛物线的切线方程为________【答案】y=2x−4【分析】解法一：设切线方程为y−4=k(x−4)联立切线方程与抛物线方程由Δ=0得k=2则切线方程可求解法二：利用导数的几何意义直接可求切线斜率再由点斜式方程求得答案【详解】解法一：设切线方程为y−4=k(x−4)．由{y−4=k(x−4)x2=4y⇒x2=4(kx−4k+4)⇒x2−4kx+16(k−1)=0由Δ=(−4k)2−4×16(k−1)=0得k2−4k+4=0∴k=2故切线方程为y−4=2(x−4)即y=2x−4故答案为：y=2x−4解法二：由x2=4y得y=x24∴y′=x2∴y′|x=4=42=2∴切线方程为y−4=2(x−4)即y=2x−4故答案为：y=2x−45过点P(2,−1)作抛物线C:x2=2y的两条切线切点分别为AB则直线AB的方程为___________【答案】2x−y+1=0【分析】利用导数的几何意义求出切线方程再利用直线方程的相关知识即可求出【详解】抛物线C:x2=2y可写成：y=x22且y′=x设A(x1,y1),B(x2,y2)则两条切线的斜率分别为k1=x1,k2=x2两条切线的方程为：y−y1=x1(x−x1)y−y1=x1(x−x1)又两条切线过点P(2,−1)所以−1−y1=x1(2−x1)−1−y1=x1(2−x1)所以直线AB的方程为：−1−y=x(2−x)又x2=2y所以直线AB的方程为：2x−y+1=0故答案为：2x−y+1=0三、多选题(共3 分)6已知点O为坐标原点直线y=x−1与抛物线C:y2=4x相交于A,B两点则（）A|AB|=8B OA⊥OBC△AOB的面积为2√2D线段AB的中点到直线x=0的距离为2【答案】AC【分析】先判断直线过焦点联立方程组{y =x −1y 2=4x结合韦达定理得两根关系再根据选项一一判断即可．【详解】设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)抛物线C:y 2=4x 则P =2 焦点为(1,0)则直线y =x −1过焦点； 联立方程组{y =x −1y 2=4x消去y 得x 2−6x +1=0 则x 1+x 2=6,x 1x 2=1y 1y 2=(x 1−1)(x 2−1)=x 1x 2−(x 1+x 2)+1=−4所以|AB |=x 1+x 2+P =6+2=8 故A 正确；由OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =x 1x 2+y 1y 2=1−4=−3≠0所以OA 与OB 不垂直B 错； 原点到直线y =x −1的距离为d =√2=√2所以△AOB 的面积为S =12×d ×|AB |=12×√2×8=2√2 则C 正确；因为线段AB 的中点到直线x =0的距离为x 1+x 22=62=3故D 错故选：AC 【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题要注意直线是否过抛物线的焦点若过抛物线的焦点可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p 若不过焦点则必须用一般弦长公式． 四、填空题(共 3 分)7过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A,B 两点若|AF |=3则|BF |=______ 【答案】32 【详解】设∠AFx ＝θ则由抛物线的定义知x A ＋1＝2＋3cos θ＝3得cos θ＝13 又|BF|＝x B ＋1＝1－|BF|cos θ＋1＝2－13|BF|∴|BF|＝32五、单选题(共 9 分)8过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线l 交抛物线于A,B 两点若AB 的中点M 的横坐标为2则线段AB 的长为（ ） A 4 B 5 C 6 D 7【答案】C 【分析】结合抛物线的弦长公式求得正确答案 【详解】设点A,B 的横坐标分别为x 1,x 2则x 1+x 2=2x M =4由过抛物线的焦点的弦长公式知：|AB |=x 1+x 2+p =4+2=6 故选：C9已知抛物线C ：x 2=2py (p >0)的焦点为F 过点F 且倾斜角为45°的直线交抛物线C 于A 、B 若|AB |=9则抛物线C 的方程为（ ） A x 2=3y B x 2=12yC x 2=92yD x 2=16y【答案】C 【分析】设出直线方程然后联立直线方程与抛物线方程借助韦达定理以及过焦点的弦长公式可求出p【详解】由已知得直线AB的方程为y=x+p2联立方程组{y=x+p2,x2=2py消去x得y2−3py+p24=0设A(x1,y1)B(x2,y2)由韦达定理知y1+y2=3p因为|AB|=9所以y1+y2+p=9所以4p=9即p=94所以所求抛物线C的方程为x2=92y故选：C10设F为抛物线C:y2=3x的焦点过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点O为坐标原点则△OAB的面积为A3√34B9√38C6332D94【答案】D 【分析】【详解】由题意可知：直线AB的方程为y=√33(x−34)代入抛物线的方程可得：4y2−12√3y−9=0设A(x1,y1)、B (x2,y2)则所求三角形的面积为12×34×√(y1+y2)2−4y1y2= 94故选D考点：本小题主要考查直线与抛物线的位置关系考查两点间距离公式等基础知识考查同学们分析问题与解决问题的能力六、填空题(共3 分)11已知直线y=(a+1)x−1与曲线y2=ax恰有一个公共点则实数a的值为________【答案】0或−1或−45【分析】根据给定条件联立方程利用方程组有解求解即得【详解】当a=0时曲线y2=ax为直线y=0显然直线y=x−1与y=0有唯一公共点(1,0)因此a=0；当a≠0时由{y=(a+1)x−1y2=ax消去y并整理得：(a+1)2x2−(3a+2)x+1=0当a=−1时x=−1,y=−1直线y=−1与曲线y2=−x有唯一公共点(−1,−1)因此a=−1；当a≠0且a≠−1时Δ=(3a+2)2−4(a+1)2=5a2+4a=0则a=−45此时直线y=15x−1与曲线y2=−45x相切有唯一公共点因此a=−45所以实数a的值为0或−1或−45故答案为：0或−1或−45七、多选题(共3 分)12已知抛物线Γ：x2=2py(p>0)过其准线上的点T(t,−1)作的两条切线切点分别为AB下列说法正确的是（）A p=2B当t=1时TA⊥TBC当t=1时直线AB的斜率为2D△TAB面积的最小值为4【答案】ABD【分析】选项A：由点T(t,−1)在准线上可求出p从而可判断；选项B：设直线y+1=k(x−1)与抛物线方程联立由韦达定理可判断；选项C：设A(x1,y1)B(x2,y2)分别求出TATB方程根据方程结构可判断；选项D：先同C求得直线AB的方程y=t2x+1再表达出△TAB的面积关于t的表达式进而求得面积的最大值即可【详解】对A易知准线方程为y=−1∴p=2C：x2=4y故选项A正确对B设直线y+1=k(x−1)代入y=x 24得x24−kx+k+1=0当直线与C相切时有Δ=0即k2−k−1=0设TATB斜率分别为k1k2易知k1k2是上述方程两根故k1k2=−1故TA⊥TB故选项B正确对C设A(x1,y1)B(x2,y2)其中y1=x124y2=x224则TA：y−x124=x12(x−x1)即y=x12x−y1代入点(1,−1)得x1−2y1+2=0同理可得x2−2y2+2=0故AB：x−2y+2=0故k AB=12故选项C不正确对D同C切线方程TA：y=x12x−y1；TB：y=x22x−y2代入点(t,−1)有−1=x12t−y1−1=x2 2t−y2故直线AB的方程为−1=x2t−y即y=t2x+1联立x2=4y有x2−2tx−4=0则x1+x2=2t,x1x2=−4故|x1−x2|=√(x1+x2)2−4x1x2=2√t2+4又(t,−1)到tx−2y+2=0的距离d =2√t 2+4=√t 2+4故S △TAB =12√1+t 24|x 1−x 2|d =12(t 2+4)32故当t =0时△TAB 的面积小值为12×432=4故D 正确；故选：ABD八、填空题(共 3 分)13在平面直角坐标系xOy 中直线y =kx +4交抛物线C ：x 2=4y 于AB 两点交y 轴于点Q 过点AB 分别作抛物线C 的两条切线相交于点M 则以下结论：①∠AOB = 90°；②若直线MQ 的斜率为k 0有kk 0=−8；③点M 的纵坐标为−4；④∠AMB =90°．其中正确的序号是______________． 【答案】①③ 【分析】设A （x 1,y 1）B （x 2,y 2）利用导数求出切线AM 、BM 的方程求出M (x 1+x 22,x 1x 24)利用“设而不求法”得到x 1+x 2=4kx 1x 2=−16即可得到M(2k,−4)可判断③正确；由OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ·OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =0判断①正确；直接计算出k MQ k =−4可判断②；k MA ·k MB =−4≠0可判断④ 【详解】设A （x 1,y 1）B （x 2,y 2）则由y =x 24可得：y ′=x2所以k AM =x 12直线AM 方程为y −x 124=x 12(x −x 1)；同理直线BM 方程为y =x 22x −x 224解得M (x 1+x 22,x 1x 24)将y =kx +4代入x 2=4y =4(kx +4)⇒x 2−4kx −16=0⇒x 1+x 2=4kx 1x 2=−16∴M(2k,−4)故③正确； 因为OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ·OB⃑⃑⃑⃑⃑ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(x 1x 2)216=0故∠AOB =90°故①正确； 由k MQ =−82k=−4k ⇒k MQ k =−4故②错误；由k MA ·k MB =14x 1x 2=−4≠0可知∠AMB ≠90°④错误． 故答案为：①③ 【点睛】解析几何问题常见处理方法：(1)正确画出图形利用平面几何知识运算； (2)坐标化把几何关系转化为坐标运算． 九、单选题(共 3 分)14已知线段AB 是过抛物线y 2=2px(p >0)的焦点F 的一条弦过点A （A 在第一象限内）作直线AC 垂直于抛物线的准线垂足为C 直线AT 与抛物线相切于点A 交x 轴于点T 给出下列命题：（1）∠AFx =2∠TAF ； （2）|TF |=|AF |； （3）AT ⊥CF 其中正确的命题个数为 A 0 B 1 C 2 D 3【答案】D 【分析】根据抛物线的定义得到|AF |=|AC |然后判断出过A 点的抛物线的切线垂直CF 进而判断出三个命题正确 【详解】根据抛物线的定义可知|AF |=|AC |由于AC 垂直抛物线的准线所以AC//x 轴 所以∠AFx =∠CAF设A (y 022p ,y 0)则C (−p 2,y 0),F (p2,0)设D 是CF 的中点则D (0,y02)所以直线AD 的方程为y −y 02=y 0−y02y 022p−0(x −0)即y =py 0x +y 02由{y =py 0x +y 02y 2=2px消去y 并化简得p 2y 02x 2−px +y 024=0其判别式Δ=p 2−4×p 2y 02×y 024=0所以直线AD 与抛物线相切故直线AD 与直线AT 重合由于D 是CF 的中点所以AD ⊥CF 也即AT ⊥CF 命题（3）成立根据等腰三角形的性质可知∠CAF =2∠TAF 所以∠AFx =2∠TAF 命题（1）成立 由于AC//x 轴所以∠CAT =∠FTA所以∠FTA =∠TAF 所以|TF |=|AF |命题（2）成立 综上所述正确的命题个数为3个 故选：D 【点睛】本小题主要考查抛物线的定义和抛物线的切线方程属于中档题 十、多选题(共 3 分)15已知抛物线C:y 2=2px (p >0)的焦点为F 直线的斜率为√3且经过点F 直线l 与抛物线C 交于点A 、B 两点（点A 在第一象限）与抛物线的准线交于点D 若|AF |=8则以下结论正确的是 A p =4 B DF ⃑⃑⃑⃑⃑ =FA⃑⃑⃑⃑⃑ C |BD |=2|BF |D |BF |=4【答案】ABC 【分析】作出图形利用抛物线的定义、相似三角形等知识来判断各选项命题的正误 【详解】 如下图所示：分别过点A 、B 作抛物线C 的准线m 的垂线垂足分别为点E 、M抛物线C 的准线m 交x 轴于点P 则|PF |=p 由于直线l 的斜率为√3其倾斜角为60∘ ∵AE//x 轴∴∠EAF =60∘由抛物线的定义可知|AE |=|AF |则ΔAEF 为等边三角形 ∴∠EFP =∠AEF =60∘则∠PEF =30∘∴|AF |=|EF |=2|PF |=2p =8得p =4A 选项正确；∵|AE |=|EF |=2|PF |又PF//AE ∴F 为AD 的中点则DF ⃑⃑⃑⃑⃑ =FA⃑⃑⃑⃑⃑ B 选项正确； ∴∠DAE =60∘∴∠ADE =30∘∴|BD |=2|BM |=2|BF |（抛物线定义）C 选项正确； ∵|BD |=2|BF |∴|BF |=13|DF |=13|AF |=83D 选项错误 故选：ABC 【点睛】本题考查与抛物线相关的命题真假的判断涉及抛物线的定义考查数形结合思想的应用属于中等题 十一、双空题(共 3 分)16直线l 过抛物线C:y 2=2px (p >0)的焦点F (1,0)且与C 交于A,B 两点则p =______1|AF |+1|BF |=______．【答案】 (1) 2 (2) 1 【分析】由题意知p2=1从而p =2所以抛物线方程为y 2=4x ．联立方程利用韦达定理可得结果 【详解】由题意知p2=1从而p =2所以抛物线方程为y 2=4x ．当直线AB 斜率不存在时：x =1代入解得|AF |=|BF |=2从而1|AF |+1|BF |=1． 当直线AB 斜率存在时：设AB 的方程为y =k (x −1)联立{y =k (x −1)y 2=4x整理得k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0设A (x 1,y 1)B (x 2,y 2)则{x 1+x 2=2k 2+4k 2x 1x 2=1从而1|AF |+1|BF |=1x1+1+1x 2+1=x 1+x 2+2x 1+x 2+x 1x 2+1=x 1+x 2+2x 1+x 2+2=1． （方法二）利用二级结论：1|AF |+1|BF |=2p 即可得结果． 【点睛】本题考查抛物线的几何性质直线与抛物线的位置关系考查转化能力与计算能力属于基础题 十二、解答题(共 24 分)17已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F 斜率为32的直线l 与C 的交点为AB 与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4求l 的方程； （2）若AP⃑⃑⃑⃑⃑ =3PB ⃑⃑⃑⃑⃑ 求|AB |． 【答案】（1）12x −8y −7=0；（2）4√133【分析】（1）设直线l ：y =32x +mA (x 1,y 1)B (x 2,y 2)；根据抛物线焦半径公式可得x 1+x 2=52；联立直线方程与抛物线方程利用韦达定理可构造关于m 的方程解方程求得结果；（2）设直线l ：x =23y +t ；联立直线方程与抛物线方程得到韦达定理的形式；利用AP⃑⃑⃑⃑⃑ =3PB ⃑⃑⃑⃑⃑ 可得y 1=−3y 2结合韦达定理可求得y 1y 2；根据弦长公式可求得结果【详解】（1）设直线l 方程为：y =32x +mA (x 1,y 1)B (x 2,y 2)由抛物线焦半径公式可知：|AF |+|BF |=x 1+x 2+32=4 ∴x 1+x 2=52 联立{y =32x +m y 2=3x得：9x 2+(12m −12)x +4m 2=0则Δ=(12m −12)2−144m 2>0 ∴m <12 ∴x 1+x 2=−12m−129=52解得：m =−78∴直线l 的方程为：y =32x −78即：12x −8y −7=0 （2）设P (t,0)则可设直线l 方程为：x =23y +t 联立{x =23y +t y 2=3x得：y 2−2y −3t =0则Δ=4+12t >0 ∴t >−13∴y 1+y 2=2y 1y 2=−3t∵AP⃑⃑⃑⃑⃑ =3PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ∴y 1=−3y 2 ∴y 2=−1y 1=3 ∴y 1y 2=−3 则|AB |=√1+49⋅√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√133⋅√4+12=4√133【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题涉及到平面向量、弦长公式的应用关键是能够通过直线与抛物线方程的联立通过韦达定理构造等量关系设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F点M(2,m)(m>0)在抛物线C上且满足|MF|=3．18 求抛物线C的标准方程；19 过点G(0,a)(a>0)的两直线l1,l2的倾斜角互补直线l1与抛物线C交于AB两点直线l2与抛物线C交于P．Q两点△FAB与△FPQ的面积相等求实数a的取值范围．【答案】18 y2=4x19 (0,1)∪(1,√2)【分析】（1）根据抛物线的定义：到焦点的距离等于到准线的距离即可求解答（2）联立直线与抛物线方程得到根与系数的关系由弦长公式求长度由点到直线的距离求高进而可得三角形的面积即可求解【18题详解】依题意点M(2,m)是抛物线C上的一点点M到焦点的距离为3所以2+p2=3,p=2所以抛物线方程为y2=4x【19题详解】由题意可知直线l1,l2的斜率存在且不为0设直线l1:x=t(y−a)所以设直线l2的方程为x=−t(y−a)联立方程组{y2=4xx=t(y−a)整理得y2−4ty+4at=0可得Δ1=16t2−16at>0,y1+y2=4t,y1y2=4atS△FAB=12×4√1+t2√t2−at×|1+ta|√1+t2=2√t2−at|1+ta|将t用−t代换可得S△FPQ=2√t2+at|ta−1|Δ2=16t2+16at>0由S△FAB=S△FPQ可得2√t2−at|1+ta|=2√t2+at|ta−1|化简可得√t+at−a =|ta+1ta−1|两边平方得t2=12−a2所以2−a2>0解得0<a<√2又由Δ1>0且Δ2>0可得t<−a或t>a可知t2>a2所以12−a2>a2即(a2−1)2>0所以a≠1所以实数a的取值范围是(0,1)∪(1,√2)20已知曲线C：y=x22D为直线y=−12上的动点过D作C的两条切线切点分别为AB（1）证明：直线AB 过定点：（2）若以E (052)为圆心的圆与直线AB 相切且切点为线段AB 的中点求四边形ADBE 的面积【答案】(1)见详解；(2) 3或4√2 【分析】（1）可设A(x 1,y 1)B(x 2,y 2)D(t,−12)然后求出AB 两点处的切线方程比如AD ：y 1+12=x 1(x 1−t)又因为BD 也有类似的形式从而求出带参数直线AB 方程最后求出它所过的定点（2）由(1)得带参数的直线AB 方程和抛物线方程联立再通过M 为线段AB 的中点EM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⊥AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 得出t 的值从而求出M 坐标和|EM |⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的值d 1,d 2分别为点D,E 到直线AB 的距离则d 1=√t 2+1, d 2=√t 2+1结合弦长公式和韦达定理代入求解即可 【详解】(1)证明：设D(t,−12),A(x 1,y 1),则y 1=12x 12． 又因为y =12x 2所以y′=x 则切线DA 的斜率为x 1 故y 1+12=x 1(x 1−t)整理得2tx 1−2y 1+1=0 设B(x 2,y 2)同理得2tx 2−2y 2+1=0A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)都满足直线方程2tx −2y +1=0于是直线2tx −2y +1=0过点A,B 而两个不同的点确定一条直线所以直线AB 方程为2tx −2y +1=0即2tx +(−2y +1)=0当2x =0,−2y +1=0时等式恒成立．所以直线AB 恒过定点(0,12) （2）[方法一]【最优解：利用公共边结合韦达定理求面积】 设AB 的中点为G A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则G (x 1+x 22,y 1+y 22)EG⃑⃑⃑⃑⃑ =(x 1+x 22,y 1+y 2−52)BA ⃑⃑⃑⃑⃑ =(x 1−x 2 ,y 1−y 2)．由EG ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BA ⃑⃑⃑⃑⃑ =0得(x 1+x 22)(x 1−x 2)+(y 1+y 2−52)(y 1−y 2)=0将y =x 22代入上式并整理得(x 1−x 2)(x 1+x 2)(x 12+x 22−6)=0 因为x 1−x 2≠0所以x 1+x 2=0或x 12+x 22=6．由（1）知D (x 1+x 22,−12)所以DG ⊥x 轴则S 四边形ADBE =S △ABE +S △ABD = 12|EF|⋅(x 2−x 1)+ 12|GD|⋅(x 2−x 1)=(x 2− x 1)+(x 1+x 2)2+48(x 2−x 1)（设x 2>x 1）．当x 1+x 2=0时(x 2−x 1)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4即x 2−x 1=2,S 四边形ADBE =3；当x 12+x 22=6时(x 1+x 2)2=4,(x 2−x 1)2=(x 1+ x 2)2−4x 1x 2=8即x 2−x 1=2√2S 四边形ADBE =4√2． 综上四边形ADBE 的面积为3或4√2．[方法二]【利用弦长公式结合面积公式求面积】设D (t,−12)由（1）知抛物线的焦点F 的坐标为(0,12)准线方程为y =−12．由抛物线的定义 得|AB|=x 122+12+x 222+12=(x 1+x 2)2−2x 1x 22+1=4t 2+22+1=2t 2+2．线段AB 的中点为G (t,t 2+12)．当x 1+x 2=0时t =0,AB ⊥y 轴|AB|=2 S 四边形ADBE =12×2×(52+12)=3； 当x 1+x 2≠0时t ≠0由EG ⊥AB 得t 2+12−52t−0⋅t =−1即t =±1．所以|AB|=4,G (±1,32)直线AB 的方程为y =±x +12．根据对称性考虑点G (1,32),D (1,−12)和直线AB 的方程y =x +12即可．E 到直线AB 的距离为|EG|=√(0−1)2+(52−32)2= √2D 到直线AB 的距离为|1+12+12|√12+(−1)2=√2．所以S 四边形ADBE =12×4×(√2+√2)=4√2． 综上四边形ADBE 的面积为3或4√2． [方法三]【结合抛物线的光学性质求面积】图5中由抛物线的光学性质易得∠1=∠2又∠1=∠3所以∠2=∠3． 因为AF =AA 1AD =AD 所以△AFD ≌△AA 1D 所以∠AFD =∠AA 1D =90°,DF ⊥AB,DA 1=DF ．同理△BDF ≌△BDB 1⇒DB 1=DF 所以DA 1=DB 1即点D 为A 1B 1中点． 图6中已去掉坐标系和抛物线并延长BA,B 1A 1于点H ． 因为GE ⊥AB,DF ⊥AB 所以GE ∥DF ．又因为GD 分别为AB,A 1B 1的中点所以GD ∥AA 1∥EF故EFDG 为平行四边形从而GD =EF =2,AB =AA 1+BB 1=2GD =4．因为FI ∥GD 且FI =12GD 所以I 为HD 的中点从而DF =GE =√2．S 四边形ADBE =S △ADB +S △ABE = 12AB ⋅DF +12AB ⋅GE =4√2． 当直线AB 平行于准线时易得S 四边形ADBE =3． 综上四边形ADBE 的面积为3或4√2．[方法四]【结合弦长公式和向量的运算求面积】 由（1）得直线AB 的方程为y =tx +12 由{y =tx +12y =x 22可得x 2−2tx −1=0 于是x 1+x 2=2t,x 1x 2=−1,y 1+y 2=t(x 1+x 2)+1=2t 2+1|AB|=√1+t 2|x 1−x 2|=√1+t 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2(t 2+1)设d 1,d 2分别为点D,E 到直线AB 的距离则d 1=√t 2+1, d 2=√t 2+1因此四边形ADBE 的面积S =12|AB|(d 1+d 2)=(t 2+3)√t 2+1 设M 为线段AB 的中点则M (t,t 2+12)由于EM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⊥AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 而EM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(t,t 2−2)AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 与向量(1,t)平行所以t +(t 2−2)t =0解得t =0或t =±1 当t =0时S =3；当t =±1时S =4√2 因此四边形ADBE 的面积为3或4√2 【整体点评】(2)方法一：利用公共边将一个三角形的面积分割为两个三角形的面积进行计算是一种常用且有效的方法；方法二：面积公式是计算三角形面积的最基本方法；方法三：平稳的光学性质和相似、全等三角形的应用要求几何技巧比较高计算量较少； 方法四：弦长公式结合向量体现了数学知识的综合运用设抛物线C:y 2=2px(p >0)的焦点为F 点D (p,0)过F 的直线交C 于MN 两点．当直线MD 垂直于x 轴时|MF |=3． 21 求C 的方程；22 设直线MD,ND 与C 的另一个交点分别为AB 记直线MN,AB 的倾斜角分别为α,β．当α−β取得最大值时求直线AB 的方程． 【答案】21 y 2=4x ； 22 AB:x =√2y +4 【分析】（1）由抛物线的定义可得|MF |=p +p2即可得解；（2）法一：设点的坐标及直线MN:x =my +1由韦达定理及斜率公式可得k MN =2k AB 再由差角的正切公式及基本不等式可得k AB =√22设直线AB:x =√2y +n 结合韦达定理可解【21题详解】抛物线的准线为x =−p2当MD 与x 轴垂直时点M 的横坐标为p 此时|MF |=p +p2=3所以p =2 所以抛物线C 的方程为y 2=4x ； 【22题详解】[方法一]：【最优解】直线方程横截式设M (y 124,y 1),N (y 224,y 2),A (y 324,y 3),B (y 424,y 4)直线MN:x =my +1 由{x =my +1y 2=4x 可得y 2−4my −4=0Δ>0,y 1y 2=−4由斜率公式可得k MN =y 1−y 2y 124−y 224=4y1+y 2k AB =y 3−y 4y 324−y 424=4y3+y 4直线MD:x =x 1−2y 1⋅y +2代入抛物线方程可得y 2−4(x 1−2)y 1⋅y −8=0Δ>0,y 1y 3=−8所以y 3=2y 2同理可得y 4=2y 1 所以k AB =4y3+y 4=42(y1+y 2)=k MN 2又因为直线MN 、AB 的倾斜角分别为α,β所以k AB =tanβ=k MN 2=tanα2若要使α−β最大则β∈(0,π2)设k MN =2k AB =2k >0则tan (α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ=k 1+2k 2=11k+2k≤2√1k⋅2k=√24当且仅当1k =2k 即k =√22时等号成立 所以当α−β最大时k AB =√22设直线AB:x =√2y +n代入抛物线方程可得y 2−4√2y −4n =0 Δ>0,y 3y 4=−4n =4y 1y 2=−16所以n =4 所以直线AB:x =√2y +4 [方法二]：直线方程点斜式 由题可知直线MN 的斜率存在设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),A (x 3,y 3),B (x 4,y 4),直线MN:y =k (x −1) 由 {y =k(x −1)y 2=4x得：k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0x 1x 2=1,同理y 1y 2=−4 直线MD :y =y 1x1−2(x −2),代入抛物线方程可得：x 1x 3=4同理x 2x 4=4代入抛物线方程可得:y 1y 3=−8,所以y 3=2y 2同理可得y 4=2y 1 由斜率公式可得：k AB =y 4−y 3x 4−x 3=2(y 2−y 1)4(1x 2−1x 1)=y 2−y 12(x 2−x 1)=12k MN .（下同方法一）若要使α−β最大则β∈(0,π2)设k MN =2k AB =2k >0则tan (α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ=k1+2k 2=11k+2k≤2√1k⋅2k=√24当且仅当1k =2k 即k =√22时等号成立 所以当α−β最大时k AB =√22设直线AB:x =√2y +n代入抛物线方程可得y 2−4√2y −4n =0Δ>0,y 3y 4=−4n =4y 1y 2=−16所以n =4所以直线AB:x =√2y +4 [方法三]：三点共线设M (y 124,y 1),N (y 224,y 2),A (y 324,y 3),B (y 424,y 4)设P (t,0),若 P 、M 、N 三点共线由PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(y 124−t,y 1)，PN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(y 224−t,y 2) 所以(y 124−t)y 2=(y 224−t)y 1化简得y 1y 2=−4t反之若y1y2=−4t,可得MN过定点(t,0)因此由M、N、F三点共线得y1y2=−4由M、D、A三点共线得y1y3=−8由N、D、B三点共线得y2y4=−8则y3y4=4y1y2=−16AB过定点（4,0）（下同方法一）若要使α−β最大则β∈(0,π2)设k MN=2k AB=2k>0则tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ=k1+2k2=11k+2k≤2√1k⋅2k=√24当且仅当1k =2k即k=√22时等号成立所以当α−β最大时k AB=√22所以直线AB:x=√2y+4【整体点评】（2）法一：利用直线方程横截式简化了联立方程的运算通过寻找直线MN,AB的斜率关系由基本不等式即可求出直线AB的斜率再根据韦达定理求出直线方程是该题的最优解也是通性通法；法二：常规设直线方程点斜式解题过程同解法一；法三：通过设点由三点共线寻找纵坐标关系快速找到直线AB过定点省去联立过程也不失为一种简化运算的好方法．已知椭圆E:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个顶点为A(0,1)焦距为2√3．23 求椭圆E的方程；24 过点P(−2,1)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点BC直线ABAC分别与x轴交于点MN当|MN|=2时求k的值．【答案】23 x24+y2=124 k=−4【分析】（1）依题意可得{b=12c=2√3c2=a2−b2即可求出a从而求出椭圆方程；（2）首先表示出直线方程设B(x1,y1)、C(x2,y2)联立直线与椭圆方程消元列出韦达定理由直线AB、AC的方程表示出x M、x N根据|MN|=|x N−x M|得到方程解得即可；【23题详解】解：依题意可得b=12c=2√3又c2=a2−b2所以a=2所以椭圆方程为x 24+y2=1；【24题详解】解：依题意过点P(−2,1)的直线为y−1=k(x+2)设B(x1,y1)、C(x2,y2)不妨令−2≤x1<x2≤2由{y−1=k(x+2)x24+y2=1消去y整理得(1+4k2)x2+(16k2+8k)x+16k2+16k=0所以Δ=(16k2+8k)2−4(1+4k2)(16k2+16k)>0解得k<0所以x1+x2=−16k2+8k1+4k2x1⋅x2=16k2+16k1+4k2直线AB的方程为y−1=y1−1x1x令y=0解得x M=x11−y1直线AC的方程为y−1=y2−1x2x令y=0解得x N=x21−y2所以|MN|=|x N−x M|=|x21−y2−x11−y1|=|x21−[k(x2+2)+1]−x11−[k(x1+2)+1]|=|x2−k(x2+2)+x1k(x1+2)|=|(x2+2)x1−x2(x1+2) k(x2+2)(x1+2)|=2|x1−x2||k|(x2+2)(x1+2)=2所以|x1−x2|=|k|(x2+2)(x1+2)即√(x1+x2)2−4x1x2=|k|[x2x1+2(x2+x1)+4]即√(−16k2+8k1+4k2)2−4×16k2+16k1+4k2=|k|[16k2+16k1+4k2+2(−16k2+8k1+4k2)+4]即81+4k2√(2k2+k)2−(1+4k2)(k2+k)=|k|1+4k2[16k2+16k−2(16k2+8k)+4(1+4k2)]整理得8√−k=4|k|解得k=−4十三、单选题(共3 分)25设抛物线E:y 2=8x 的焦点为F 过点M(4,0)的直线与E 相交于AB 两点与E 的准线相交于点C 点B 在线段AC 上|BF|=3则△BCF 与△ACF 的面积之比S△BCF S △ACF=（ ）A 14 B 15C 16D 17【答案】C 【分析】根据抛物线焦半径公式得到B 点横坐标进而利用抛物线方程求出B 点纵坐标直线AB 的方程求出C 点坐标联立直线与抛物线求出A 点纵坐标利用S △BCF S △ACF=BC AC =y 2−yC y 1−y C求出答案【详解】如图过点B 作BD 垂直准线x =−2于点D 则由抛物线定义可知：|BF|=|BD|=3 设直线AB 为x =my +4 A (x 1,y 1)B (x 2,y 2)C (−2,y C )不妨设m >0则y 1>0,y 2<0所以x 2+2=3解得：x 2=1则y 22=8x 2=8解得：y 2=−2√2则B(1,−2√2)所以−2√2m +4=1解得：m =3√24则直线AB 为x =3√24y +4所以当x =−2时即3√24y +4=−2解得：y C =−4√2则C(−2,−4√2)联立x =my +4与y 2=8x 得：y 2−8my −32=0则y 1y 2=−32 所以y 1=8√2其中S △BCF S △ACF=BC AC =y 2−yC y 1−y C=√212√2=16故选：C十四、解答题(共 6 分)已知抛物线C:x 2=2py (p >0)的焦点为F 且F 与圆M ：x 2+(y +4)2=1上点的距离的最小值为427 若点P 在M 上P APB 是C 的两条切线AB 是切点求△PAB 面积的最大值 【答案】26 2 27 20√5 【分析】（1）结合焦点F (0,p2)与圆M 的位置关系可得F 与圆M 的最小距离为|FM |−1即可求解； （2）设切点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)得到直线l PA ,l PB 的方程联立可得P (x 1+x 22，x 1x 24)设直线l AB ：y =kx +b 与抛物线进行联立可得x 1+x 2=4k,x 1x 2=−4b 故可得到S △PAB =4(k 2+b)32由点P 在圆上可得k 2=−b 2+8b−154代入面积即可求得范围【26题详解】由圆M ：x 2+(y +4)2=1可得圆心圆M (0,−4)半径为1 易得焦点F (0,p2)在圆M 外所以点F (0,p2)到圆M 上的点的距离的最小值为|FM |−1=p2+4−1=4解得p =2 【27题详解】由(1)知抛物线的方程为x 2=4y 即y =14x 2则y ′=12x ,设切点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)则易得直线l PA :y =x 12x −x 124直线l PB :y =x 22x −x 224,由{y =x 12x −x 124y =x 22x −x 224可得P (x 1+x 22，x 1x 24) 设直线l AB ：y =kx +b 联立抛物线方程消去y 并整理可得x 2−4kx −4b =0 ∴Δ=16k 2+16b >0即k 2+b >0且x 1+x 2=4k,x 1x 2=−4b∵|AB |=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2⋅√16k 2+16b 点P 到直线AB 的距离d =2√k 2+1∴S △PAB=12|AB |d =4(k 2+b)32①又点P(2k,−b)在圆M:x 2+(y +4)2=1上 故k 2=−b 2+8b−154代入①得S △PAB =4(−b 2+12b−154)32=4[−(b−6)2+214]32而y P =−b ∈[−5,−3]即b ∈[3,5] 因为y =−(b−6)2+214在区间[3,5]内单调递增且y =4x 32在定义域内单调递增所以S △PAB =4[−(b−6)2+214]32在区间[3,5]上单调递增∴当b =5时(S △PAB )max =20√5 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程设交点坐标为(x 1,y 1),(x 2,y 2)；（2）联立直线与圆锥曲线的方程得到关于x （或y ）的一元二次方程必要时计算Δ； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为x 1+x 2、x 1x 2（或y 1+y 2、y 1y 2）的形式； （5）代入韦达定理求解 十五、单选题(共 3 分)28过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为60°的直线l 交抛物线于AB 两点且|AF |>|BF |则|AF||BF|的值为（ ）A3 B2C 32D 43【答案】A 【分析】方法1根据抛物线焦点弦的性质直接计算作答方法2根据给定条件求出直线l 的方程再与抛物线方程联立结合抛物线定义求解作答 【详解】方法1：根据抛物线焦点弦的性质可知|AF|=p1−cos60∘=3方法2：抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F(p 2,0)准线方程：x =−p2 直线l 方程为：y =√3(x −p2)由{y =√3(x −p2)y 2=2px消去y 得：3x 2−5px +34p 2=0设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)因|AF |>|BF |即有x 1>x 2解得x 1=3p 2,x 2=p6所以|AF||BF|=x 1+p 2x 2+p 2=3p 2+p 2p 6+p 2=3故选：A十六、多选题(共 3 分)29已知O 为坐标原点抛物线E 的方程为y =14x 2E 的焦点为F 直线l 与E 交于AB 两点且AB 的中点到x 轴的距离为2则下列结论正确的是（ ） A E 的准线方程为y =−116 B |AB |的最大值为6C 若AF⃑⃑⃑⃑⃑ =2FB ⃑⃑⃑⃑⃑ 则直线AB 的方程为y =±√24x +1 D 若OA ⊥OB 则△AOB 面积的最小值为16 【答案】BCD 【分析】直接求出准线方程即可判断A 选项；由|AF |+|BF |=2|MN |=6以及抛物线的定义结合|AF |+|BF |≥|AB |即可判断B 选项；设出直线AB 的方程为y =kx +1联立抛物线由AF ⃑⃑⃑⃑⃑ =2FB ⃑⃑⃑⃑⃑ 解出A 点坐标即可判断C 选项；由OA ⊥OB 求得直线AB 恒过点(0,4)结合x 1x 2=−16即可求出面积最小值即可判断D 选项 【详解】由题意知E 的标准方程为x 2=4y 故E 的准线方程为y =−1 A 错误； 设AB 的中点为M 分别过点ABM 作准线的垂线垂足分别为CDN 因为M 到x 轴的距离为2所以|MN |=2+1=3由抛物线的定义知|AC |=|AF ||BD |=|BF |所以2|MN |=|AC |+|BD |=|AF |+|BF |=6 因为|AF |+|BF |≥|AB |所以|AB |≤6所以B 正确； 由AF⃑⃑⃑⃑⃑ =2FB ⃑⃑⃑⃑⃑ 得直线AB 过点F (0,1)直线AB 的斜率存在 设直线AB 的方程为y =kx +1联立方程得{y =kx +1,x 2=4y, 化简得x 2−4kx −4=0则x A x B =−4由于AF⃑⃑⃑⃑⃑ =2FB ⃑⃑⃑⃑⃑ 所以(−x A ,1−y A )=2(x B ,y B −1)得x A =−2x B 得x A =±2√2所以y A =14x A 2=2所以k =±√24直线AB 的方程为y =±√24x +1故C 正确；设A (x 1,y 1)B (x 2,y 2)由OA ⊥OB 得x 1x 2+y 1y 2=0又{y 1=x 124，y 2=x 224，所以x 1x 2+116(x 1x 2)2=0由题意知x 1x 2≠0所以x 1x 2=−16 又k AB =y 2−y1x 2−x 1=x 224−x 124x2−x 1=x 1+x 24故直线AB 的方程为y −y 1=x 1+x 24(x −x 1)由于y 1=x 124所以y =x 1+x 24x −x 1x 24=x 1+x 24x +4则直线AB 恒过点(0,4)所以S △OAB =12×4|x 1−x 2|=2√(x 1+x 2)2+64≥16 所以△AOB 面积的是小值为16故D 正确十七、填空题(共 9 分)30设抛物线x 2=2py(p >0)M 为直线y =−2p 上任意一点过M 引抛物线的切线切点分别为AB记ABM 的横坐标分别为x A ,x B ,x M 则下列关系：①x A +x B =2x M ；②x A x B =x M 2；③1x A+1x B=2xM其中正确的是________(填序号)． 【答案】① 【分析】利用导数几何意义求出切线MA,MB 的方程联立求出x A ,x B ,x M 的关系再逐一判断各个命题即得 【详解】由x 2=2py 得y =x 22p 求导得y ′=x p 则切线MA,MB 的斜率分别为xA p ,x B p而M(x M ,−2p)于是直线MA 的方程为y +2p =x A p(x −x M )直线MB 的方程为y +2p =x B p(x −x M )因此{x A22p+2p =x A p (x A −x M )x B22p+2p =x B p(x B −x M )则x A −x B p ⋅x M =x A 2−x B 22p而x A ≠x B 从而x A +x B =2x M ①正确；x M 2−x A x B =(x A +x B 2)2−x A x B =(x A −x B 2)2>0即x M 2>x A x B ②错误；当x M =0时③无意义 当x M ≠0时1x A+1x B−2x M=x A +x B x A x B−4xA +x B=(x A −x B )2xA xB (x A +x B )≠0③错误所以正确命题的序号是① 故答案为：①31已知A,B 为抛物线C:x 2=4y 上的两点M(−1,2)若AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 则直线AB 的方程为_________ 【答案】x +2y −3=0 【分析】由于AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 可得M 为中点则{x 1+x 2=−2y 1+y 2=4根据点差法即可求得直线AB 的斜率从而得方程．【详解】设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)又M (−1,2) 因为AM⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 所以{x 1+x 2=−2y 1+y 2=4又x 2=4y ,x 2=4y 则x 2−x 2=4y −4y 得x +x =4y 1−4y 2=−2则直线AB 的斜率为k =−12故直线AB 的方程为y −2=−12(x +1) 化简为x +2y −3=0．联立{x 2=4y x +2y −3=0 可得x 2+2x −6=0 Δ=28>0直线与抛物线有两个交点成立 故答案为：x +2y −3=0．32抛物线y 2=4x 的焦点为F 点P 在双曲线C ：x 24−y 22=1的一条渐近线上O 为坐标原点若|OF |=|PF |则△PFO 的面积为____ 【答案】√23##13√2 【分析】由双曲线的标准方程可求其渐近线方程则P 点坐标可设成只有一个参数m 的形式再由|OF |=|PF |可得m 的值则△PFO 的面积可求 【详解】抛物线y 2=4x 的焦点为F (10)双曲线C ：x 24−y 22=1的渐近线方程为x ±√2y =0不妨设P 在渐近x −√2y =0上可设P(√2m,m)m >0 由|OF |=|PF |可得 √(√2m-1)2+m 2=1解得m =2√23则△PFO 的面积为12|OF ||y P |=12×1×2√23=√23故答案为：√23。
2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设z=+2i，则|z|=（）A．0B．C．1D．2．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，则∁R A=（）A．{x|﹣1＜x＜2}B．{x|﹣1≤x≤2}C．{x|x＜﹣1}∪{x|x＞2}D．{x|x≤﹣1}∪{x|x≥2}3．（5分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（）A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（）A．﹣12B．﹣10C．10D．125．（5分）设函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）A．y=﹣2x B．y=﹣x C．y=2x D．y=x6．（5分）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=（）A．﹣B．﹣C．+D．+7．（5分）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）A．2B．2C．3D．28．（5分）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（﹣2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则•=（）A．5B．6C．7D．89．（5分）已知函数f（x）=，g（x）=f（x）+x+a．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0）B．[0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）10．（5分）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则（）A．p1=p2B．p1=p3C．p2=p3D．p1=p2+p3 11．（5分）已知双曲线C：﹣y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|=（）A．B．3C．2D．412．（5分）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
第2讲 椭圆、双曲线、抛物线高考定位 1.圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多以选择题、填空题或解答题的一问的形式命题；2.有关弦长计算及存在性是高考热点问题，运算量大，能力要求高，突出方程思想、转化化归与分类讨论思想方法的考查.真 题 感 悟1.(2019·全国Ⅱ卷)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p ＝( ) A.2 B.3 C.4D.8解析 由题意知，抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，椭圆的焦点坐标为()±2p ，0， 所以p2＝2p ，解得p ＝0(舍去)或p ＝8. 答案 D2.(2019·全国Ⅲ卷)双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( ) A.324 B.322 C.2 2D.3 2解析 不妨设点P 在第一象限，根据题意可知c 2＝6，所以|OF |＝ 6.又tan ∠POF ＝b a ＝22，所以等腰三角形POF 的高h ＝62×22＝32，所以S △PFO ＝12×6×32＝324. 答案 A3.(2019·全国Ⅰ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点.若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为________.解析 因为F 1B →·F 2B →＝0，所以F 1B ⊥F 2B ，如图. 所以|OF 1|＝|OB |，所以∠BF 1O ＝∠F 1BO ，所以∠BOF 2＝2∠BF 1O .因为F 1A →＝AB →，所以点A 为F 1B 的中点，又点O 为F 1F 2的中点，所以OA ∥BF 2，所以F 1B ⊥OA ，因为直线OA ，OB 为双曲线C 的两条渐近线，所以tan ∠BF 1O ＝1tan ∠AOF 1＝a b ，tan ∠BOF 2＝ba .因为tan ∠BOF 2＝tan(2∠BF 1O )，所以ba ＝2×ab 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2，所以b 2＝3a 2，所以c 2－a 2＝3a 2，即2a ＝c ，所以双曲线的离心率e ＝ca ＝2. 答案 24.(2019·全国Ⅲ卷)已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B . (1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.(1)证明 设D ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－12，A (x 1，y 1)，则x 21＝2y 1. 因为y ′＝x ，所以切线DA 的斜率为x 1， 故y 1＋12x 1－t＝x 1.整理得2tx 1－2y 1＋1＝0.设B (x 2，y 2)，同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0. 故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0. 所以直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.(2)解 由(1)得直线AB 的方程为y ＝tx ＋12. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝tx ＋12，y ＝x 22可得x 2－2tx －1＝0. 于是x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝－1， y 1＋y 2＝t (x 1＋x 2)＋1＝2t 2＋1， |AB |＝1＋t 2|x 1－x 2|＝1＋t 2×（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2(t 2＋1). 设d 1，d 2分别为点D ，E 到直线AB 的距离， 则d 1＝t 2＋1，d 2＝2t 2＋1.因此，四边形ADBE 的面积 S ＝12|AB |(d 1＋d 2)＝(t 2＋3)t 2＋1. 设M 为线段AB 的中点，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，t 2＋12.因为EM→⊥AB →，而EM →＝(t ，t 2－2)，AB →与向量(1，t )平行，所以t ＋(t 2－2)t ＝0，解得t ＝0或t ＝±1. 当t ＝0时，S ＝3；当t ＝±1时，S ＝4 2. 因此，四边形ADBE 的面积为3或4 2.考 点 整 合1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|)； (2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a ＜|F 1F 2|)； (3)抛物线：|MF |＝d (d 为M 点到准线的距离).温馨提醒 应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误.2.圆锥曲线的标准方程(1)椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)(焦点在y 轴上)；(2)双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)(焦点在y 轴上)；(3)抛物线：y 2＝2px ，y 2＝－2px ，x 2＝2py ，x 2＝－2py (p ＞0). 3.圆锥曲线的重要性质(1)椭圆、双曲线中a ，b ，c 之间的关系 ①在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2；离心率为e ＝ca ＝1－b 2a 2. ②在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2；离心率为e ＝ca ＝1＋b 2a 2.(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标①双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±ba x ；焦点坐标F 1(－c ，0)，F 2(c ，0).②双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±ab x ，焦点坐标F 1(0，－c )，F 2(0，c ).(3)抛物线的焦点坐标与准线方程①抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线方程x ＝－p 2.②抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，准线方程y ＝－p 2.4.弦长问题(1)直线与圆锥曲线相交的弦长设而不求，利用根与系数的关系，进行整体代入.即当斜率为k ，直线与圆锥曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)时，|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2. (2)过抛物线焦点的弦长抛物线y 2＝2px (p >0)过焦点F 的弦AB ，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .热点一 圆锥曲线的定义及标准方程【例1】 (1)(2019·泰安模拟)设双曲线C ：x 28－y 2m ＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与双曲线C 交于M ，N 两点，其中M 在左支上，N 在右支上.若∠F 2MN ＝∠F 2NM ，则|MN |＝( ) A.8 B.4 C.8 2D.4 2(2)(2019·全国Ⅰ卷)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( ) A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1D.x 25＋y 24＝1解析 (1)由∠F 2MN ＝∠F 2NM ，知|F 2M |＝|F 2N |，由双曲线定义可知，|MF 2|－|MF 1|＝42，|NF 1|－|NF 2|＝42，两式相加，得|NF 1|－|MF 1|＝82，故|MN |＝|NF 1|－|MF 1|＝8 2.(2)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0).连接F 1A ，令|F 2B |＝m ，则|AF 2|＝2m ，|BF 1|＝3m .由椭圆的定义知，4m ＝2a ，得m ＝a2，故|F 2A |＝a ＝|F 1A |，则点A 为椭圆C 的上顶点或下顶点.如图.不妨设A (0，－b )，由F 2(1，0)，AF 2→＝2F 2B →，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，b 2.由点B 在椭圆上，得94a 2＋b 24b 2＝1，得a 2＝3，b 2＝a 2－c 2＝2，椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1. 答案 (1)C (2)B探究提高 1.两题求解的关键在于准确把握圆锥曲线的定义和标准方程，另外注意焦点在不同的坐标轴上，椭圆、双曲线、抛物线方程各有不同的表示形式.2.求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”.所谓“定型”，就是指确定类型，所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值，最后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程.【训练1】(1)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点.设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为()A.x24－y212＝1 B.x212－y24＝1C.x23－y29＝1 D.x29－y23＝1(2)(2019·武汉调研)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，l与x轴的交点为P，点A在抛物线C上，过点A作AA′⊥l，垂足为A′，若四边形AA′PF的面积为14，且cos∠F AA′＝35，则抛物线C的方程为()A.y2＝xB.y2＝2xC.y2＝4xD.y2＝8x解析(1)由d1＋d2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b＝3.因为双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，所以ca＝2，所以a2＋b2a2＝4，所以a2＋9a2＝4，解得a2＝3，所以双曲线的方程为x23－y29＝1.(2)作出图形如图所示，过点F作FF′⊥AA′，垂足为F′.设|AF′|＝3x，因为cos∠F AA′＝3 5，故|AF|＝5x，|FF′|＝4x.由抛物线定义知|AF|＝|AA′|＝5x，则|A ′F ′|＝2x ＝p ，故x ＝p 2.因此四边形AA ′PF 的面积S ＝12(|PF |＋|AA ′|)·|P A ′|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋52p p ＝14.所以p ＝2，故抛物线C 的方程为y 2＝4x . 答案 (1)C (2)C热点二 圆锥曲线的几何性质【例2】 (1)(2018·全国Ⅱ卷)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( ) A.y ＝±2x B.y ＝±3x C.y ＝±22xD.y ＝±32x(2)(2019·山东省实验中学质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为( ) A.35 B.57 C.45D.67解析 (1)法一 由题意知，e ＝ca ＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，即b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2x . 法二 由e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝3，得b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2x .(2)如图所示，在△AFB 中，由余弦定理得|AF |2＝|AB |2＋|BF |2－2|AB ||BF |cos ∠ABF ＝100＋64－2×10×8×45 ＝36，所以|AF |＝6，∠BF A ＝90°，设F ′为椭圆的右焦点，连接BF ′，AF ′. 根据对称性可得四边形AFBF ′是矩形.所以|BF ′|＝6，|FF ′|＝10，所以2a ＝8＋6，2c ＝10， 解得a ＝7，c ＝5，所以e ＝c a ＝57. 答案 (1)A (2)B探究提高 1.分析圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解圆锥曲线性质问题的关键.2.确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后用a ，c 代换b ，进而求ca 的值.3.求双曲线渐近线方程关键在于求b a 或ab 的值，也可将双曲线方程中等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到.【训练2】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4，0)到C 的渐近线的距离为( ) A. 2 B.2 C.322D.2 2(2)(2019·衡水中学调研)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，且|PF 1|＝3|PF 2|，若线段PF 1的中点恰在y 轴上，则椭圆的离心率为( ) A.33 B.36 C.22D.12解析 (1)法一 由离心率e ＝ca ＝2，得c ＝2a ，又b 2＝c 2－a 2，得b ＝a ，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x .∴点(4，0)到曲线C 的渐近线的距离为d ＝412＋12＝2 2.法二 离心率e ＝2的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y ＝±x ，∴点(4，0)到C 的渐近线的距离为41＋1＝2 2. (2)由于|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，且|PF 1|＝3|PF 2|， 所以|PF 2|＝a 2，|PF 1|＝3a2，因为线段PF 1的中点在y 轴上，且O 为F 1F 2的中点， 所以PF 2∥y 轴，得∠PF 2F 1＝90°，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋(2c )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 22，则a ＝2c ，故e ＝22.答案 (1)D (2)C热点三 有关弦的中点、弦长问题【例3】 (2019·全国Ⅰ卷)已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P . (1)若|AF |＋|BF |＝4，求l 的方程； (2)若AP→＝3PB →，求|AB |. 解 设直线l ：y ＝32x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). (1)由题设得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，故|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋32.又|AF |＋|BF |＝4，所以x 1＋x 2＝52.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x 可得9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0， 其中Δ＝144(1－2t )>0，即t <12，则x 1＋x 2＝－12（t －1）9.从而－12（t －1）9＝52，得t ＝－78(满足Δ>0). 所以l 的方程为y ＝32x －78. (2)由AP →＝3PB →可得y 1＝－3y 2.① 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x 可得y 2－2y ＋2t ＝0，所以y 1＋y 2＝2.② 由①②联立，得y 1＝3，且y 2＝－1. 代入C 的方程得x 1＝3，x 2＝13.故|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝4133.探究提高 1.涉及弦长的问题，应熟练地利用根与系数的关系与弦长公式|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|，设而不求计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解，以简化运算，当A ，B 两点坐标易求时也可以直接用|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2求解.2.对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ>0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交.【训练3】 (2018·全国Ⅲ卷选编)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 23＝1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，m )(m >0). (1)证明：k <－12；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →＋F A →＋FB →＝0.证明：2|FP →|＝|F A →|＋|FB →|.证明 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1.两式相减，并由y 1－y 2x 1－x 2＝k 得x 1＋x 24＋y 1＋y 23·k ＝0.由题设知x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝m ，于是k ＝－34m .① 由于点M (1，m )(m >0)在椭圆x 24＋y 23＝1内， ∴14＋m 23<1，解得0<m <32，故实数k <－12. (2)由题意得F (1，0).设P (x 3，y 3)，则(x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0，0). 由(1)及题设得x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1，y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m <0. 又点P 在C 上，所以m ＝34， 从而P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，|FP →|＝32.于是|F A →|＝（x 1－1）2＋y 21 ＝（x 1－1）2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 214＝2－x 12.同理|FB→|＝2－x 22.所以|F A →|＋|FB→|＝4－12(x 1＋x 2)＝3. 故2|FP →|＝|F A →|＋|FB→|.1.椭圆、双曲线的方程形式上可统一为Ax 2＋By 2＝1，其中A ，B 是不等的常数，A ＞B ＞0时，表示焦点在y 轴上的椭圆；B ＞A ＞0时，表示焦点在x 轴上的椭圆；AB ＜0时表示双曲线.2.对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦问题，恰当选用定义解题，会效果明显，定义中的定值是标准方程的基础.3.求双曲线、椭圆的离心率的方法：法一：直接求出a ，c ，计算e ＝ca ；法二：根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系，然后把b 用a ，c 代换，求ca .4.弦长公式对于直线与椭圆的相交、直线与双曲线的相交、直线与抛物线的相交都是通用的，此公式可以记忆，也可以在解题的过程中，利用两点间的距离公式推导.5.求中点弦的直线方程的常用方法(1)点差法，设弦的两端点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，分别代入圆锥曲线方程，两式作差，式中含有x 1＋x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2x 1－x 2三个量，则建立了圆锥曲线的弦的中点坐标与弦所在直线的斜率之间的关系，借助弦的中点坐标即可求得斜率；(2)根与系数的关系，联立直线与圆锥曲线的方程，化为一元二次方程，用根与系数的关系求解.巩固提升一、选择题1.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，则( ) A.a 2＝2b 2 B.3a 2＝4b 2 C.a ＝2bD.3a ＝4b解析 因为椭圆的离心率e ＝c a ＝12，所以c 2＝a 24. 又a 2＝b 2＋c 2，所以3a 2＝4b 2.故选B. 答案 B2.(2019·重庆一中调研)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( ) A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 25－y 24＝1D.x 24－y 23＝1解析 由题设知b a ＝52，①又由椭圆x 212＋y 23＝1与双曲线有公共焦点，易知a 2＋b 2＝c 2＝9，②由①②解得a ＝2，b ＝5，则双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1. 答案 B3.(2019·济南模拟)已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，若点F 2关于双曲线渐近线的对称点A 满足∠F 1AO ＝∠AOF 1(O 为坐标原点)，则双曲线的渐近线方程为( ) A.y ＝±3x B.y ＝±2x C.y ＝±2xD.y ＝±x解析 设F 2A 与渐近线y ＝ba x 交于点M ，且O ，M 分别为F 1F 2，F 2A 的中点， 故OM ∥F 1A ，则F 1A ⊥F 2A ，|OA |＝|OF 1|＝c ，又∠F 1AO ＝∠AOF 1，所以△F 1OA 为等边三角形，所以∠MOF 2＝π3， 故双曲线的渐近线方程为y ＝±3x .答案 A4.(2019·天津卷)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且|AB |＝4|OF |(O 为原点)，则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.2D. 5解析 由已知易得，抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，准线l ：x ＝－1，所以|OF |＝1.又双曲线的两条渐近线的方程为y ＝±b a x ，不妨设点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，b a ，B⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－b a ，所以|AB |＝2b a ＝4|OF |＝4，所以ba ＝2，即b ＝2a ，所以b 2＝4a 2.又双曲线方程中c 2＝a 2＋b 2，所以c 2＝5a 2，所以e ＝ca ＝ 5. 答案 D5.(2018·全国Ⅰ卷)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2，0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN →＝( ) A.5 B.6 C.7D.8解析 过点(－2，0)且斜率为23的直线的方程为y ＝23(x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝23（x ＋2），y 2＝4x ，得x 2－5x ＋4＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1>0，y 2>0，根据根与系数的关系，得x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝4.易知F (1，0)，所以FM →＝(x 1－1，y 1)，FN →＝(x 2－1，y 2)，所以FM →·FN →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋4x 1x 2＝4－5＋1＋8＝8. 答案 D 二、填空题6.(2019·烟台质检)已知直线l 是抛物线y 2＝2px (p >0)的准线，半径为3的圆过抛物线顶点O 和焦点F 与直线l 相切，则抛物线的方程为________.解析 由已知圆心在OF 的中垂线上，故圆心到准线的距离为34p ，所以34p ＝3，所以p ＝4，故抛物线的方程为y 2＝8x . 答案 y 2＝8x7.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F (c ，0)到一条渐近线的距离为32c ，则其离心率的值是________.解析 不妨设双曲线的一条渐近线方程为y ＝ba x ，即bx －ay ＝0，所以|bc |a 2＋b 2＝b ＝c 2－a 2＝32c ，得c ＝2a ，所以双曲线的离心率e ＝ca ＝2.答案 28.(2019·全国Ⅲ卷)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为________.解析 不妨设F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，则|MF 1|>|MF 2|，|F 1F 2|＝2c ＝236－20＝8，因为△MF 1F 2是等腰三角形，|MF 1|>|MF 2|，且|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝12， 所以|MF 1|>6，|MF 2|<6，所以△MF 1F 2是以MF 2为底边的等腰三角形.故点M 在以F 1为圆心、焦距为半径长的圆上，即在圆(x ＋4)2＋y 2＝64上.因为点M 在椭圆x 236＋y 220＝1上，所以联立方程可得⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋4）2＋y 2＝64，x 236＋y220＝1，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝±15. 又因为点M 在第一象限，所以点M 的坐标为(3，15). 答案 (3，15) 三、解答题9.设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8. (1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程. 解 (1)由题意得F (1，0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k >0). 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由⎩⎨⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. Δ＝16k 2＋16>0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k 2.由题设知4k 2＋4k 2＝8，解得k ＝－1(舍去)，k ＝1. 因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3，2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，（x 0＋1）2＝（y 0－x 0＋1）22＋16. 解得⎩⎨⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎨⎧x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.10.(2019·北京海淀区调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴长等于23，椭圆上的点到右焦点F 最远距离为3. (1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为坐标原点，过F 的直线与C 交于A ，B 两点(A ，B 不在x 轴上)，若OE →＝OA→＋OB →，且E 在椭圆上，求四边形AOBE 的面积. 解 (1)由题意，2b ＝23，知b ＝3， 又a ＋c ＝3，a 2＝b 2＋c 2＝3＋c 2， ∴可得a ＝2，且c ＝1. 因此椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知F (1，0)，直线AB 的斜率不为0.设直线AB 的方程：x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 24＋y 23＝1得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0.Δ＝144(m 2＋1)>0，由根与系数的关系得y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4.故AB 的中点为N ⎝ ⎛⎭⎪⎫43m 2＋4，－3m 3m 2＋4. 又OA →＋OB →＝2ON →＝OE →，故E 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫83m 2＋4，－6m 3m 2＋4. 因为E 点在椭圆上，所以14×⎝ ⎛⎭⎪⎫83m 2＋42＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－6m 3m 2＋42＝1，化简得m 2(9m 2＋12)＝0，故m 2＝0， 此时直线AB ：x ＝1，则A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，S 四边形AOBE ＝2S △AOE ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×32＝3.能力突破11.(2019·全国Ⅱ卷)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点.若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.2D. 5解析 设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 的坐标为(c ，0).由圆的对称性及条件|PQ |＝|OF |可知，PQ 是以OF 为直径的圆的直径，且PQ ⊥OF .设垂足为M ，连接OP ，如图，则|OP |＝a ，|OM |＝|MP |＝c2.在Rt △OPM 中，|OM |2＋|MP |2＝|OP |2得⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝a 2，故c a ＝2，即e ＝ 2.答案 A12.(2019·天津和平区调研)如图，在直角坐标系xOy 中，椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的上焦点为F 1，椭圆C 的离心率为12，且过点⎝⎛⎭⎪⎫1，263.(1)求椭圆C 的方程；(2)设过椭圆C 的上顶点A 的直线l 与椭圆C 交于点B (B 不在y 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与x 轴交于点H ，若F 1B →·F 1H →＝0，且|MO |＝|MA |，求直线l 的方程.解 (1)因为椭圆C 的离心率为12，所以c a ＝12，即a ＝2c . 又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝3c 2，即b 2＝34a 2， 所以椭圆C 的方程为y 2a 2＋x 234a 2＝1.把点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，263代入椭圆C 的方程中，解得a 2＝4. 所以椭圆C 的方程为y 24＋x 23＝1.(2)由(1)知，A (0，2)，设直线l 的斜率为k (k ≠0)，则直线l 的方程为y ＝kx ＋2， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 23＋y 24＝1得(3k 2＋4)x 2＋12kx ＝0.设B (x B ，y B )，得x B ＝－12k 3k 2＋4，所以y B ＝－6k 2＋83k 2＋4，所以B ⎝⎛⎭⎪⎫－12k 3k 2＋4，－6k 2＋83k 2＋4. 设M (x M ，y M )，因为|MO |＝|MA |，所以点M 在线段OA 的垂直平分线上， 所以y M ＝1，因为y M ＝kx M ＋2， 所以x M ＝－1k ，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，1.设H (x H ，0)，又直线HM 垂直于直线l ，所以k MH ＝－1k ，即1－1k －x H＝－1k . 所以x H ＝k －1k ，即H ⎝ ⎛⎭⎪⎫k －1k ，0.又F 1(0，1)，所以F 1B →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 3k 2＋4，4－9k 23k 2＋4，F 1H →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k －1k ，－1. 因为F 1B →·F 1H →＝0，所以－12k 3k 2＋4·⎝ ⎛⎭⎪⎫k －1k －4－9k 23k 2＋4＝0，解得k ＝±263. 所以直线l 的方程为y ＝±263x ＋2.创新预测13.(开放题)能够使mx 2＋ny 2＝mn 表示以(0，3)为焦点的双曲线的一组整数m ，n 为________.解析 由题意知mn <0且方程可化为y 2m －x 2－n ＝1，其中m >0，n <0.由m ＋(－n )＝9，即m －n ＝9，可取m ＝4，n ＝－5；m ＝5，n ＝－4；m ＝6，n ＝－3等作为一组答案. 答案 4，－5(答案不唯一，满足m >0，n <0，m －n ＝9即可)14.(多填题)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1，0)，其关于直线y ＝bx 的对称点Q 在椭圆上，则离心率e ＝________，S △FOQ ＝________. 解析 设点Q (x ，y )，则由点Q 与椭圆的右焦点F (1，0)关于直线y ＝bx对称得⎩⎪⎨⎪⎧y x －1＝－1b ，y2＝b ·x ＋12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－b 21＋b 2，y ＝2b 1＋b 2，代入椭圆C 的方程得（1－b 2）2a 2（1＋b 2）2＋4b 2b 2（1＋b 2）2＝1，结合a 2＝b 2＋1解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，则椭圆的离心率e ＝c a ＝22，S △FOQ ＝12|OF |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2b 1＋b 2＝12×1×21＋12＝12.答案 22 12。
2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共4页，23小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则=A ．}{43x x -<<B ．}42{x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<2．设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A ．22+11()x y +=B ．221(1)x y +=-C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x +=3．已知0.20.32 log 0.220.2a b c ===，，，则 A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512-（512-≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm5．函数f (x )=在的图像大致为．6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．11167．已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为 A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π68．如图是求的程序框图，图中空白框中应填入2sin cos ++x xx xA ．A =12A+ B ．A =12A+C ．A =112A+D ．A =112A+9．记为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =-B ． 310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =- 1022||F B ，|A 11①f ③f A 12E ，F 分别是A13n S14．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若214613a a a ==，，则S 5=____________．15．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．16．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB=，120FB F B ⋅=，则C 的离心率为____________．三、解答题：共70分。
解析几何高考真题一、单选题（共11题；共22分）1.（2020·新课标Ⅲ·理）设双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1 （a>0，b>0）的左、右焦点分别为F 1 ， F 2 ， 离心率为 √5 ．P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a=（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 82.（2020·新课标Ⅲ·理）设O 为坐标原点，直线x=2与抛物线C ：y 2=2px(p>0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为（ ）A. （ 14 ，0）B. （ 12 ，0） C. （1，0） D. （2，0） 3.（2020·新课标Ⅱ·理）设O 为坐标原点，直线 x =a 与双曲线 C:x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的两条渐近线分别交于 D,E 两点，若 △ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 4.（2020·天津）设双曲线 C 的方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0) ，过抛物线 y 2=4x 的焦点和点 (0,b) 的直线为l ．若C 的一条渐近线与 l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为（ ） A.x 24−y 24=1 B. x 2−y 24=1 C.x 24−y 2=1 D. x 2−y 2=15.（2019·天津）已知抛物线 的焦点为F ，准线为l.若与双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的两条渐近线分别交于点A 和点B ， 且 |AB|=4|OF| （O 为原点），则双曲线的离心率为（ ） A. √2 B. √3 C. 2 D. √56.（2020·北京）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作 PQ ⊥l 于Q ，则线段 FQ 的垂直平分线（ ）．A. 经过点OB. 经过点PC. 平行于直线 OPD. 垂直于直线 OP7.（2019·天津）已知抛物线 y 2=4x 的焦点为 F ，准线为 l ，若 l 与双曲线 x 2a 2−y 2b 2=1 (a >0,b >0) 的两条渐近线分别交于点 A 和点 B ，且 |AB|=4|OF| （ O 为原点），则双曲线的离心率为（ ）A. √2B. √3C. 2D. √5 8.（2019·全国Ⅲ卷理）双曲线 C:x 24−y 22=1 的右焦点为F,点P 在C 的一条渐近线上,O 为坐标原点,若|PO|=|PF|,则△PFO 的面积为（ ）A. 3√24B. 3√22C. 2√2D. 3√29.已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线l:3x-4y=0交椭圆E 于A,B两点．若|AF+BF|=4，点M 到直线l 的距离不小于45 ， 则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ）A. (0,√32] B. (0,34] C. [√32.1) D. [34,1)10.将离心率为e 1的双曲线c 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线c 2 ， 则（ ）A. 对任意的a,b ， e 1>e 2B. 当a >b 时，e 1>e 2；当a <b 时，e 1<e 2C. 对任意的a,b ， e 1<e 2D. 当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 211.将离心率为e 1的双曲线c 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加(m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线c 2 ， 则（ ）A. 对任意的a,b,e 1>e 2B. 当a >b 时，e 1>e 2；当a <b 时，e 1<e 2C. 对任意的a,b,e 1<e 2D. 当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2二、填空题（共5题；共6分）12.（2020·新课标Ⅰ·理）已知F 为双曲线 C:x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为________.13.（2019·江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，P 是曲线 y =x +4x (x >0) 上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是________. 14.（2019·浙江）已知椭圆x 29+y 25=1 的左焦点为F ，点P 在椭圆且在x 轴上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF 的斜率是________ 15.（2018·北京）已知椭圆 M:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) ,双曲线 N:x 2m 2−y 2n 2=1 . 若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________16.（2017·江苏）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 23﹣y 2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1 ， F 2 ， 则四边形F 1PF 2Q 的面积是________．三、解答题（共9题；共85分）17.（2020·新课标Ⅲ·理）已知椭圆 C:x 225+y 2m 2=1(0<m <5) 的离心率为√154，A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线 x =6 上，且 |BP|=|BQ| ， BP ⊥BQ ，求 △APQ 的面积．18.（2020·新课标Ⅱ·文）已知椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1 (a>b>0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴重直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD|= 43 |AB|． （1）求C 1的离心率；（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程．19.（2020·新课标Ⅰ·理）已知A 、B 分别为椭圆E ：x 2a 2+y 2=1 （a>1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =8 ，P 为直线x=6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程； （2）证明：直线CD 过定点.20.（2020·新高考Ⅱ）已知椭圆C ： x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 过点M （2，3）,点A 为其左顶点，且AM 的斜率为 12 ， （1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.21.（2019·天津）设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F，左顶点为A，顶点为B.已知√3|OA|=2|OB|（O为原点）.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点F且斜率为34的直线l与椭圆在x轴上方的交点为p，圆C同时与x轴和直线l 相切，圆心C在直线x=4上，且OC∥AP，求椭圆的方程.22.（2019·全国Ⅲ卷文）已知曲线C：y= x22，D为直线y= −12上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.（1）证明：直线AB过定点：（2）若以E(0，52)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程.23.（2019·全国Ⅲ卷理）已知曲线C: y=x22，D为直线y=- 12的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.（1）证明：直线AB过定点；（2）若以E（0，52）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.24.（2019·全国Ⅱ卷文）已知F1,F2是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点。
高考数学复习考点知识与题型专题讲解抛物线考试要求1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.2.掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.了解抛物线的简单应用．知识梳理 1．抛物线的概念把平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程和简单几何性质标准方程y 2＝2px (p >0) y 2＝－2px (p >0)x 2＝2py (p >0)x 2＝－2py (p >0)图形范围 x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R y ≥0，x ∈R y ≤0，x ∈R 焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2 准线方程x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2对称轴x轴y轴顶点(0,0)离心率e＝1常用结论抛物线焦点弦的几个常用结论设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2；(2)若A在第一象限，B在第四象限，则|AF|＝p1－cosα，|BF|＝p1＋cosα，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)；(3)1|F A|＋1|FB|＝2p；(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上；(7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线．(×)(2)方程y＝4x2表示焦点在x轴上的抛物线，焦点坐标是(1,0)．(×)(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(×)(4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线相切．(×) 教材改编题1．抛物线y ＝2x 2的准线方程为() A ．y ＝－18B ．y ＝－14 C ．y ＝－12D ．y ＝－1 答案A解析由y ＝2x 2，得x 2＝12y ，故抛物线y ＝2x 2的准线方程为y ＝－18.2．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |等于() A ．9B ．8C ．7D ．6 答案B解析抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得， |PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1 ＝x 1＋x 2＋2＝8.3．已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是________． 答案y 2＝±42x解析由已知可知双曲线的焦点为 (－2，0)，(2，0)．设抛物线方程为y 2＝±2px (p >0)，则p2＝2， 所以p ＝22，所以抛物线方程为y 2＝±42x .题型一 抛物线的定义和标准方程 命题点1定义及应用例1(1)(2020·全国Ⅰ)已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p 等于() A ．2B ．3C ．6D ．9 答案C解析设A (x ，y )，由抛物线的定义知，点A 到准线的距离为12，即x ＋p2＝12. 又因为点A 到y 轴的距离为9，即x ＝9， 所以9＋p2＝12，解得p ＝6.(2)已知A (3,2)，点F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，点P 在抛物线上移动，为使|P A |＋|PF |取得最小值，则点P 的坐标为() A ．(0,0) B ．(2,2) C ．(1，2) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1答案B解析如图所示，设点P 到准线的距离为d ， 准线方程为x ＝－12， 所以|P A |＋|PF |＝|P A |＋d ≥|AB | ＝3＋12＝72，当且仅当点P 为AB 与抛物线的交点时，|P A |＋|PF |取得最小值， 此时点P 的坐标为(2,2)．思维升华 “看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解．“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径．命题点2求标准方程例2(1)设抛物线y 2＝2px 的焦点在直线2x ＋3y －8＝0上，则该抛物线的准线方程为() A ．x ＝－4B ．x ＝－3 C ．x ＝－2D ．x ＝－1 答案A解析直线2x ＋3y －8＝0与x 轴的交点为(4,0)，∴抛物线y 2＝2px 的焦点为(4,0)，∴准线方程为x ＝－4.(2)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，点A是抛物线C上一点，AD⊥l，交l于D.若|AF|＝4，∠DAF＝60°，则抛物线C的方程为()A．y2＝8x B．y2＝4xC．y2＝2x D．y2＝x答案B解析根据抛物线的定义可得|AD|＝|AF|＝4，又∠DAF＝60°，所以|AD|－p＝|AF|cos60°＝12|AF|，所以4－p＝2，解得p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x.教师备选1．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，M，N是抛物线上两个不同的点．若|MF|＋|NF|＝5，则线段MN的中点到y轴的距离为()A．3B.32C．5D.52答案B解析由题意知抛物线的准线方程为x＝－1，分别过点M，N作准线的垂线，垂足为M′，N′(图略)，根据抛物线的定义得|MF|＝|MM′|，|NF|＝|NN′|，所以|MF |＋|NF |＝|MM ′|＋|NN ′|， 所以线段MN 的中点到准线的距离为12(|MF |＋|NF |)＝52，所以线段MN 的中点到y 轴的距离为52－1＝32.2．(2022·济南模拟)已知抛物线x 2＝2py (p >0)，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点(点A 在第一象限)．若直线AB 的斜率为33，点A 的纵坐标为32，则p 的值为() A.14B.12C ．1D ．2 答案C解析由题意得，抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点在y 轴上， 准线方程为y ＝－p2， 设A (x A ，y A )， 则|AF |＝y A ＋p 2＝32＋p2， 设直线AB 的倾斜角为α， 则tan α＝33，因为α∈[0，π)，所以α＝π6， 所以|AF |＝y A －p 2sin α＝32－p2sin α＝3－p2sin α＝3－p 2×12＝3－p ， 所以3－p ＝32＋p2，解得p ＝1.思维升华 求抛物线的标准方程的方法(1)定义法；(2)待定系数法：当焦点位置不确定时，分情况讨论．跟踪训练1(1)设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ，P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ ⊥l 于Q .则线段FQ 的垂直平分线() A ．经过点O B ．经过点PC ．平行于直线OPD ．垂直于直线OP 答案B解析连接PF (图略)，由题意及抛物线的定义可知|PQ |＝|FP |，则△QPF 为等腰三角形，故线段FQ 的垂直平分线经过点P .(2)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，直角三角形的三条边长分别称为“勾”“股”“弦”．设点F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，l 是该抛物线的准线，过抛物线上一点A 作准线的垂线，垂足为B ，直线AF 交准线l 于点C ，若Rt △ABC 的“勾”|AB |＝3，“股”|CB |＝33，则抛物线的方程为 ()A ．y 2＝2xB ．y 2＝3xC ．y 2＝4xD ．y 2＝6x 答案B解析如图，|AB |＝3，|BC |＝33， 则|AC |＝32＋(33)2＝6，设直线l 与x 轴交于点H ，由|AB |＝|AF |＝3，|AC |＝6，可知点F 为AC 的中点， 所以|FH |＝12|AB |＝32， 又|FH |＝p ，所以p ＝32， 所以抛物线的方程为y 2＝3x . 题型二 抛物线的几何性质例3(1)(2021·新高考全国Ⅱ)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点到直线y ＝x ＋1的距离为2，则p 等于()A ．1B ．2C ．22D ．4 答案B解析抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，其到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪p 2－0＋11＋1＝2，解得p ＝2(p ＝－6舍去)．(2)已知弦AB 经过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则下列说法中错误的是()A ．当AB 与x 轴垂直时，|AB |最小 B.1|AF |＋1|BF |＝2pC ．以弦AB 为直径的圆与直线x ＝－p2相离 D ．y 1y 2＝－p 2 答案C解析当AB 与x 轴垂直时，AB 为抛物线的通径，是最短的焦点弦，即|AB |最小，A 正确； 设AB 方程为x ＝ty ＋p 2， 由⎩⎨⎧x ＝ty ＋p2，y 2＝2px ，得y 2－2pty －p 2＝0，∴y 1＋y 2＝2pt ，y 1y 2＝－p 2，D 正确；∴x 1＋x 2＝y 21＋y 222p ＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 22p＝4p 2t 2＋2p 22p＝2pt 2＋p ，x 1x 2＝y 21y 224p 2＝p 24，∴1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24＝2pt 2＋2p p 2＋p 2t 2＝2p (t 2＋1)p 2(t 2＋1)＝2p，B 正确； ∵AB 的中点到x ＝－p 2的距离为12(x 1＋x 2＋p )＝12|AB |，∴以AB 为直径的圆与准线x ＝－p 2相切，C 错误．教师备选1．抛物线y 2＝2px (p >0)准线上的点A 与抛物线上的点B 关于原点O 对称，线段AB 的垂直平分线OM 与抛物线交于点M ，若直线MB 经过点N (4,0)，则抛物线的焦点坐标是()A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(1,0) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 答案C解析设点B (x 1，y 1)，M (x 2，y 2)，则点A (－x 1，－y 1)，可得－x 1＝－p 2，则x 1＝p 2，设直线MB 的方程为x ＝my ＋4，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋4，y 2＝2px ，可得y 2－2mpy －8p ＝0， 所以y 1y 2＝－8p ，由题意可知，OB →·OM →＝x 1x 2＋y 1y 2＝y 21y 224p 2＋y 1y 2 ＝64p 24p 2－8p ＝16－8p ＝0，解得p ＝2.因此，抛物线的焦点为(1,0)．2．(2022·唐山模拟)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线r ：y 2＝x ，O 为坐标原点，一束平行于x 轴的光线l 1从点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4116，1射入，经过r 上的点A (x 1，y 1)反射后，再经r 上另一点B (x 2，y 2)反射后，沿直线l 2射出，经过点Q ，则下列结论错误的是()A ．y 1y 2＝－1B ．|AB |＝2516C ．PB 平分∠ABQD ．延长AO 交直线x ＝－14于点C ，则C ，B ，Q 三点共线答案A解析设抛物线的焦点为F ，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0.因为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4116，1，且l 1∥x 轴，故A (1,1)，故直线AF ：y ＝1－01－14⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14＝43x －13.由⎩⎨⎧ y ＝43x －13，y 2＝x ，可得y 2－34y －14＝0，故y 1y 2＝－14，故A 错误；又y 1＝1，故y 2＝－14，故B ⎝ ⎛⎭⎪⎫116，－14，故|AB |＝1＋116＋12＝2516，故B 正确；直线AO ：y ＝x ，由⎩⎨⎧ y ＝x ，x ＝－14，可得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，－14，故y C ＝y 2， 所以C ，B ，Q 三点共线，故D 正确；因为|AP |＝4116－1＝2516＝|AB |，故△APB 为等腰三角形，故∠ABP ＝∠APB ，而l 1∥l 2，故∠PBQ ＝∠APB ，即∠ABP ＝∠PBQ ，故PB 平分∠ABQ ，故C 正确．思维升华 应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性． 跟踪训练2(1)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP .若|FQ |＝6，则C 的准线方程为______________．答案x ＝－32解析方法一(解直角三角形法)由题易得|OF |＝p 2，|PF |＝p ，∠OPF ＝∠PQF ，所以tan ∠OPF ＝tan ∠PQF ，所以|OF ||PF |＝|PF ||FQ |，即p 2p ＝p 6，解得p ＝3，所以C 的准线方程为x ＝－32.方法二(应用射影定理法)由题易得|OF |＝p 2，|PF |＝p ，|PF |2＝|OF |·|FQ |，即p 2＝p 2×6，解得p ＝3或p ＝0(舍去)，所以C 的准线方程为x ＝－32.(2)直线l 过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F (1,0)，且与C 交于A ，B 两点，则p ＝______，1|AF |＋1|BF |＝________.答案21解析由p 2＝1，得p ＝2.当直线l 的斜率不存在时，l ：x ＝1与y 2＝4x联立解得y ＝±2，此时|AF |＝|BF |＝2，所以1|AF |＋1|BF |＝12＋12＝1；当直线l 的斜率存在时，设l ：y ＝k (x －1)，代入抛物线方程，得k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝1，1|AF |＋1|BF |＝|AF |＋|BF ||AF ||BF |＝x 1＋x 2＋2(x 1＋1)(x 2＋1)＝x 1＋x 2＋2x 1x 2＋x 1＋x 2＋1 ＝x 1＋x 2＋21＋x 1＋x 2＋1＝1. 综上，1|AF |＋1|BF |＝1.题型三 直线与抛物线例4已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .(1)若|AF |＋|BF |＝4，求l 的方程；(2)若AP→＝3PB →，求|AB |. 解设直线l ：y ＝32x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)由题设得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0， 故|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋32.又|AF |＋|BF |＝4，所以x 1＋x 2＝52.由⎩⎨⎧ y ＝32x ＋t ，y 2＝3x ，可得9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0，则x 1＋x 2＝－12(t －1)9.从而－12(t －1)9＝52，得t ＝－78.所以l 的方程为y ＝32x －78.(2)由AP →＝3PB →可得y 1＝－3y 2. 由⎩⎨⎧ y ＝32x ＋t ，y 2＝3x ，可得y 2－2y ＋2t ＝0，所以y 1＋y 2＝2，从而－3y 2＋y 2＝2，故y 2＝－1，y 1＝3.代入C 的方程得x 1＝3，x 2＝13，即A (3,3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－1. 故|AB |＝4133.教师备选如图，已知抛物线x 2＝y ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，94，抛物线上的点P (x ，y )⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<x <32.过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .(1)求直线AP 斜率的取值范围；(2)求|P A |·|PQ |的最大值．解(1)设直线AP 的斜率为k ，k ＝x 2－14x ＋12＝x －12，因为－12<x <32，所以直线AP 斜率的取值范围是(－1,1)．(2)由(1)得直线AP 的斜率为k ，x ＝k ＋12，则直线BQ 的斜率为－1k (k ≠0)，设直线AP 的方程为kx －y ＋12k ＋14＝0，直线BQ 的方程为x ＋ky －94k －32＝0，联立直线AP 与BQ 的方程⎩⎪⎨⎪⎧ kx －y ＋12k ＋14＝0，x ＋ky －94k －32＝0，解得点Q 的横坐标是x Q ＝－k 2＋4k ＋32(k 2＋1).因为|P A |＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝1＋k 2(k ＋1)，|PQ |＝1＋k 2(x Q －x )＝－(k －1)(k ＋1)2k 2＋1，所以|P A |·|PQ |＝－(k －1)(k ＋1)3.令f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3，因为f ′(k )＝－(4k －2)(k ＋1)2， 所以f (k )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12上单调递增，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减， 因此当k ＝12时，|P A |·|PQ |取得最大值2716.当k ＝0时，|P A |＝1，|PQ |＝1，|P A |·|PQ |＝1，所以|P A |·|PQ |的最大值为2716. 思维升华 (1)求解直线与抛物线问题，一般利用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x 轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则可用弦长公式．跟踪训练3设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0,2)，O 为坐标原点，过F 的直线l 与C 交于M ，N 两点，当MA ⊥OA 时，|MF |＝2.(1)求p 的值；(2)若AM →·AN→＝0，求直线l 的方程． 解(1)当MA ⊥OA 时，此时点M 的纵坐标为2，其横坐标x M ＝2p .因为|MF |＝2，根据抛物线的定义，得|MF |＝2p ＋p 2＝2，解得p ＝2.(2)由(1)知，抛物线C 的方程为y 2＝4x ，点F 的坐标为(1,0)．设直线l ：x ＝ky ＋1，点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ky ＋1，y 2＝4x ，化简可得y 2－4ky －4＝0，则y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4.根据题意AM →＝(x 1，y 1－2)，AN →＝(x 2，y 2－2)，且AM →·AN →＝0，所以x 1x 2＋(y 1－2)(y 2－2)＝0.将x 1x 2＝y 21y 2216＝1，y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4代入化简可得4－2×4k －4＋1＝0，解得k ＝18，所以直线l 的方程为x ＝18y ＋1，即8x －y －8＝0.课时精练1．抛物线x 2＝12y 的焦点到准线的距离是()A ．2B ．1C.12D.14答案D解析抛物线标准方程x 2＝2py (p >0)中p 的几何意义为抛物线的焦点到准线的距离，由x 2＝12y 得p ＝14.2．若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点到准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，且|AB |＝8，则弦AB 的中点到y 轴的距离为()A ．2B ．3C ．4D ．6答案B解析因为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点到准线的距离为2，所以p ＝2，抛物线方程为y 2＝4x .过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义得，焦点弦|AB|＝x1＋x2＋p，所以8＝x1＋x2＋2，则x1＋x2＝6，所以AB的中点到y轴的距离为d＝x1＋x22＝62＝3.3．(2022·桂林模拟)已知抛物线y＝12x2的焦点为F，准线为l，M在l上，线段MF与抛物线交于N点，若|MN|＝2|NF|，则|MF|等于()A．2B．3C.2D. 3答案C解析如图，过N作准线的垂线NH，垂足为H，设l与y轴的交点为K.根据抛物线的定义可知|NH|＝|NF|，在Rt△NHM中，|MN|＝2|NH|，则∠NMH＝45°.在Rt△MFK中，∠FMK＝45°，所以|MF|＝2|FK|.而|FK|＝1，所以|MF|＝ 2.4.中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧．一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m时，水面宽8m．若水面下降1m，则水面宽度为()A．26mB．46mC．42mD．12m答案B解析由题意，以拱桥顶点为原点，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意知，抛物线经过点A(－4，－2)和点B(4，－2)，代入抛物线方程解得p＝4，所以抛物线方程为x2＝－8y，水面下降1米，即y＝－3，解得x1＝26，x2＝－26，所以此时水面宽度d＝2x1＝4 6.5．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 到准线的距离为4，直线l 过点F 且与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若M (m ,2)是线段AB 的中点，则下列结论不正确的是()A ．p ＝4B ．抛物线方程为y 2＝16xC ．直线l 的方程为y ＝2x －4D ．|AB |＝10答案B解析由焦点F 到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知p ＝4，故A 正确；则抛物线方程为y 2＝8x ，故B 错误；焦点F (2,0)，则y 21＝8x 1，y 22＝8x 2，若M (m ,2)是线段AB 的中点，则y 1＋y 2＝4，∴y 21－y 22＝8x 1－8x 2，即y 1－y 2x 1－x 2＝8y 1＋y 2＝84＝2， ∴直线l 的方程为y ＝2x －4，故C 正确；又由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝2x －4，可得x 2－6x ＋4＝0，∴x 1＋x 2＝6，∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋4＝10，故D 正确．6．已知A ，B 为抛物线x 2＝2py (p >0)上的两个动点，以AB 为直径的圆C 经过抛物线的焦点F ，且面积为2π，若过圆心C 作该抛物线准线l 的垂线CD ，垂足为D ，则|CD |的最大值为()A ．2B.2C.22D.12答案A解析根据题意，2π＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22， ∴|AB |＝2 2.设|AF |＝a ，|BF |＝b ，过点A 作AQ ⊥l 于Q ，过点B 作BP ⊥l 于P ，如图，由抛物线定义，得|AF |＝|AQ |，|BF |＝|BP |，∴在四边形ABPQ 中，2|CD |＝|AQ |＋|BP |＝a ＋b ，由勾股定理得，8＝a 2＋b 2，∵|CD |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝a 2＋b 2＋2ab 4＝8＋2ab 4 ＝2＋ab 2≤2＋a 2＋b 24＝4，∴|CD |≤2(当且仅当a ＝b 时，等号成立)．7．(2021·北京)已知抛物线C ：y 2＝4x ，焦点为F ，点M 为抛物线C 上的点，且|FM |＝6，则M 的横坐标是________，作MN ⊥x 轴于N ，则S △FMN ＝________.答案54 5解析因为抛物线的方程为y 2＝4x ，故p ＝2且F (1,0)，因为|MF |＝6，所以x M ＋p 2＝6，解得x M ＝5，故y M ＝±25，所以S △FMN ＝12×(5－1)×25＝4 5.8．(2020·新高考全国Ⅰ)斜率为3的直线过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则|AB |＝________.答案163解析如图，由题意得，抛物线的焦点为F (1,0)，设直线AB 的方程为y ＝3(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －1)，y 2＝4x ，得3x 2－10x ＋3＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝103，所以|AB |＝x 1＋x 2＋2＝163.9．过抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点F 作直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，当点A 的纵坐标为1时，|AF |＝2.(1)求抛物线C 的方程；(2)若抛物线C 上存在点M (－2，y 0)，使得MA ⊥MB ，求直线l 的方程．解(1)抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的准线方程为y ＝－p 2，焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2. ∵当点A 的纵坐标为1时，|AF |＝2，∴1＋p 2＝2，解得p ＝2，∴抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)∵点M (－2，y 0)在抛物线C 上，∴y 0＝(－2)24＝1.又F (0,1)，∴设直线l 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，MA →＝(x 1＋2，y 1－1)， MB →＝(x 2＋2，y 2－1)． ∵MA ⊥MB ，∴MA →·MB→＝0， ∴(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0，∴－4＋8k ＋4－4k 2＝0，解得k ＝2或k ＝0.当k ＝0时，l 过点M (舍去)，∴k ＝2，∴直线l 的方程为y ＝2x ＋1.10．已知抛物线E ：y 2＝2px (p >0)，过点P (3,0)的直线l 交抛物线E 于A ，B ，且OA →·OB →＝－3(O 为坐标原点)．(1)求抛物线E 的方程；(2)求△AOB 面积的最小值．解(1)设直线l 为x ＝ty ＋3，代入E ：y 2＝2px 整理得y 2－2pty －6p ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以y 1＋y 2＝2pt ，y 1y 2＝－6p ，所以x 1x 2＝(y 1y 2)24p 2＝(－6p )24p 2＝9，由OA →·OB→＝－3， 即x 1x 2＋y 1y 2＝－3，得9－6p ＝－3，所以p ＝2，所以所求抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)由(1)得y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－12，|AB |＝1＋t 2(4t )2＋48 ＝41＋t 2t 2＋3，点O 到直线l 的距离为d ＝31＋t 2，则S △AOB ＝12|AB |·d＝12×31＋t 2×41＋t 2t 2＋3 ＝6t 2＋3≥63，当t ＝0时，等号成立，故当t ＝0时，△AOB 面积有最小值6 3.11．设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|的值为() A ．1B ．2C ．3D ．4答案C解析由题意可知，点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0， 又F 为△ABC 的重心，故x A ＋x B ＋x C 3＝12， 即x A ＋x B ＋x C ＝32.又由抛物线的定义可知|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝x A ＋x B ＋x C ＋32＝32＋32＝3. 12．某农场为节水推行喷灌技术，喷头装在管柱OA 的顶端A 处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状，如图所示．现要求水流最高点B 离地面4m ，点B 到管柱OA 所在直线的距离为3m ，且水流落在地面上以O 为圆心，以7m 为半径的圆上，则管柱OA 的高度为()A.53mB.74mC.94mD.73m答案B解析以B 为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，记BM ⊥OC 且垂足为M ，A 在y 轴上的投影为D ，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，由题意可知|AD |＝3，|BM |＝4，|OC |＝7，所以|MC |＝|OC |－|AD |＝7－3＝4，所以C (4，－4)，代入抛物线方程可知16＝8p ，所以p ＝2，所以抛物线方程为x 2＝－4y ，又因为x A ＝－3，所以y A ＝y D ＝－94，所以|BD |＝94，所以|OA |＝|DM |＝|BM |－|BD |＝4－94＝74，所以OA 的高度为74m.13．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点P (1,1)，则下列结论不正确的是()A ．点P 到抛物线焦点的距离为54B ．过点P 作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q ，则△OPQ 的面积为532C ．过点P 与抛物线相切的直线方程为x －2y ＋1＝0D ．过点P 作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于M ，N 两点，则直线MN 的斜率为12答案D解析因为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点P (1,1)，所以p ＝12，所以抛物线方程为y 2＝x ，焦点坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0.对于A ，|PF |＝1＋14＝54，A 正确；对于B ，k PF ＝43，所以l PF ：y ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14， 与y 2＝x 联立得4y 2－3y －1＝0，所以y 1＋y 2＝34，y 1y 2＝－14，所以S △OPQ ＝12|OF |·|y 1－y 2|＝12×14×(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝532，B 正确； 对于C ，依题意斜率存在，设直线方程为y －1＝k (x －1)，与y 2＝x 联立得ky 2－y ＋1－k ＝0，Δ＝1－4k (1－k )＝0，即4k 2－4k ＋1＝0，解得k ＝12，所以切线方程为x －2y ＋1＝0，C 正确；对于D ，依题意斜率存在，设l PM ：y －1＝k ′(x －1)，与y 2＝x 联立得k ′y 2－y ＋1－k ′＝0，所以y M ＋1＝1k ′， 即y M ＝1k ′－1，则x M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ′－12， 所以点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ′－12，1k ′－1， 同理N ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ′－12，－1k ′－1， 所以k MN ＝1k ′－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ′－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ′－12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ′－12 ＝2k ′－4k ′＝－12，D 错误． 14．已知P 为抛物线C ：y ＝x 2上一动点，直线l ：y ＝2x －4与x 轴，y 轴交于M ，N 两点，点A (2，－4)，且AP →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ的最小值为________．答案74解析由题意得M (2,0)，N (0，－4)，设P (x ，y )，由AP→＝λAM →＋μAN → 得(x －2，y ＋4)＝λ(0,4)＋μ(－2,0)．所以x －2＝－2μ，y ＋4＝4λ.因此λ＋μ＝y ＋44－x －22＝x 24－x 2＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－122＋74≥74，故λ＋μ的最小值为74.15．已知抛物线C ：y 2＝4x ，其准线与x 轴交于点M ，过其焦点F 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，记直线MA ，MB 的斜率分别为k 1，k 2，则1k 21＋1k 22的最小值为() A ．1B ．2C ．3D ．4答案B解析由题意，可得焦点坐标F (1,0)，准线方程为x ＝－1，可得M (－1,0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为x ＝my ＋1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x ，可得y 2－4my －4＝0，则y 1＋y 2＝4m ，y 1·y 2＝－4，因为1k 1＝x 1＋1y 1＝my 1＋1＋1y 1＝m ＋2y 1， 1k 2＝x 2＋1y 2＝my 2＋1＋1y 2＝m ＋2y 2，所以1k 21＋1k 22＝⎝⎛⎭⎪⎫m ＋2y 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋2y 22 ＝2m 2＋4m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 1＋1y 2＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 21＋1y 22 ＝2m 2＋4m ·y 1＋y 2y 1·y 2＋4·(y 1＋y 2)2－2y 1·y 2y 21·y 22 ＝2m 2＋4m ·4m －4＋4·16m 2＋816＝2m 2＋2， 所以当且仅当m ＝0时，1k 21＋1k 22取得最小值为2. 16．已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．(1)证明设D ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－12，A (x 1，y 1)， 则x 21＝2y 1.因为y ′＝x ，所以切线DA 的斜率为x 1，故y 1＋12x 1－t ＝x 1，整理得2tx 1－2y 1＋1＝0.设B (x 2，y 2)，同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0. 故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0.所以直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. (2)解由(1)得直线AB 的方程为y ＝tx ＋12.由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝tx ＋12，y ＝x 22，可得x 2－2tx －1＝0.于是x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝－1， y 1＋y 2＝t (x 1＋x 2)＋1＝2t 2＋1， |AB |＝1＋t 2|x 1－x 2| ＝1＋t 2×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2(t 2＋1)．设d 1，d 2分别为点D ，E 到直线AB 的距离， 则d 1＝t 2＋1，d 2＝2t 2＋1. 因此，四边形ADBE 的面积S ＝12|AB |(d 1＋d 2)＝(t 2＋3)t 2＋1.设M 为线段AB 的中点，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，t 2＋12. 因为EM→⊥AB →，而EM →＝(t ，t 2－2)，AB →与向量(1，t )平行，所以t ＋(t 2－2)t ＝0，解得t ＝0或t ＝±1.当t ＝0时，S ＝3；当t ＝±1时，S ＝4 2. 因此，四边形ADBE 的面积为3或4 2.。
２０１９年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）ＡＣＣＤＡＣＢＤＡＢＡＢ１．Ａ【解题思路】本题考查集合的交集运算．由已知得Ａ＝｛ｘ｜ｘ２－５ｘ＋６＞０｝＝（－∞，２）∪（３，＋∞），Ｂ＝（－∞，１），所以Ａ∩Ｂ＝（－∞，１），故选Ａ．【方法归纳】解一元二次不等式常用数形结合法；不等式求交集常画数轴分析．２．Ｃ【解题思路】本题考查共轭复数及复数的几何意义．珋ｚ＝－３－２ｉ，珋ｚ对应的点的坐标为（－３，－２），位于第三象限，故选Ｃ．【知识拓展】①若ｚ＝ａ＋ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ），则珋ｚ＝ａ－ｂｉ；ｚ·珋ｚ＝ａ２＋ｂ２．②ｚ＝ａ＋ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ）在复平面内对应的点的坐标为（ａ，ｂ）．３．Ｃ【解题思路】本题考查平面向量的减法法则、数量积运算．由已知得→ＢＣ＝→ＡＣ－→ＡＢ＝（３，ｔ）－（２，３）＝（１，ｔ－３），所以｜→ＢＣ｜＝１，解得ｔ＝３，所以→ＢＣ＝（１，０），则→ＡＢ·→ＢＣ＝２×１＋３×０＝２，故选Ｃ．【知识拓展】（１）两个向量加法的三角形法则要求两向量首尾相连，和向量是从最开始的起点指向最后的终点；（２）两个向量减法的三角形法则要求两向量起点重合，差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点．４．Ｄ【解题思路】本题考查方程近似解的求法及基本计算．由Ｍ１（Ｒ＋ｒ）２＋Ｍ２ｒ２＝（Ｒ＋ｒ）Ｍ１Ｒ３，得Ｍ１１＋ｒ()Ｒ２＋Ｍ２ｒ()Ｒ２＝１＋ｒ()ＲＭ１，令ｒＲ＝α，则Ｍ１（１＋α）２＋Ｍ２α２＝（１＋α）Ｍ１，即Ｍ１１＋α－１（１＋α）[]２＝Ｍ２α２，则Ｍ２Ｍ１＝３α３＋３α４＋α５（１＋α）２≈３α３＝３ｒ()Ｒ３，解得ｒ槡，故选Ｄ．【考向分析】本题以“嫦娥四号”航天探测为背景，以方程的近似解为平台，注重数学文化，体现育人导向的同时考查了考生数据处理、数学运算核心素养及换元思想、化归与转化思想的应用．５．Ａ【解题思路】本题考查统计中数字特征的应用．由题意知，中位数不发生改变，故选Ａ．【知识拓展】ｎ个样本ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ的平均数珋ｘ＝１ｎ（ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎ）；方差ｓ２＝１ｎ［（ｘ１－珋ｘ）２＋（ｘ２－珋ｘ）２＋…＋（ｘｎ－珋ｘ）２］；极差：样本中最大值与最小值的差；中位数：样本中所有数据按由小到大或由大到小顺序排列后，排在最中间的一个数据或两个数据的平均数．６．Ｃ【解题思路】本题考查指数式、对数式比较大小．根据题意，令ａ＝０，ｂ＝－１，可得ｌｎ（ａ－ｂ）＝ｌｎ（０＋１）＝ｌｎ１＝０，所以Ａ错误；３０＝１＞３－１＝１３，所以Ｂ错误；｜０｜＝０＜｜－１｜＝１，所以Ｄ错误；因为ｙ＝ｘ３在Ｒ上是增函数，所以当ａ＞ｂ时，ａ３＞ｂ３，即ａ３－ｂ３＞０，所以Ｃ正确，故选Ｃ．【方法归纳】比较实数大小常用取特值法，也可利用函数的性质、不等式的性质比较大小．７．Ｂ【解题思路】本题考查空间中面面平行的判定定理、空间中直线与平面、平面与平面的位置关系．根据题意及两平面平行的判定定理知，Ａ中无数条直线可能不相交，所以Ａ错误；Ｃ中两平面可能相交，所以Ｃ错误；Ｄ中两平面还可能相交，所以Ｄ错误；Ｂ符合两平面平行的判定定理，所以Ｂ正确，故选Ｂ．【方法点拨】判定空间中两直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，除严格根据判定定理及性质定理进行判断，同时还可以利用实物演示分析．８．Ｄ【解题思路】本题考查椭圆与抛物线的几何性质．根据题意知ａ２＝３ｐ，ｂ２＝ｐ，则ｃ２＝ａ２－ｂ２＝２ｐ，即ｃ所以椭圆的右焦点坐标为０）．又抛物线的焦点坐标为ｐ２，()０，所以ｐ２ｐ＞０），解得ｐ＝８，故选Ｄ．熟练掌握椭圆与抛物线的几何性质是解题的关键．９．Ａ【解题思路】本题考查三角函数的图象与性质．Ｂ选项，当ｘ∈π４，π()２时，２ｘ∈π２，()π，所以ｆ（ｘ）＝｜ｓｉｎ２ｘ｜在π４，π()２上是减函数，故Ｂ错误；Ｃ选项，ｆ（ｘ）＝ｃｏｓ｜ｘ｜在π４，π()２上是减函数，故Ｃ错误；Ｄ选项，ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ｜ｘ｜不是周期函数，故Ｄ错误；Ａ选项，易知ｆ（ｘ）＝｜ｃｏｓ２ｘ｜是以π２为周期的函数．当ｘ∈π４，π()２时，２ｘ∈π２，()π，因为函数ｙ＝ｃｏｓ２ｘ在π４，π()２上是减函数，且函数值为负，所以ｆ（ｘ）＝｜ｃｏｓ２ｘ｜在π４，π()２上是增函数，故Ａ正确，故选Ａ．【规律总结】理解绝对值定义｜ａ｜＝ａ，ａ≥０，－ａ，ａ{＜０及实际意义．三角函数加绝对值以后的函数图象，需结合绝对值内容的不同，把图象翻转变换；同时要结合自变量的系数进行伸缩变换，进而判定函数的周期性及单调性．１０．Ｂ【解题思路】本题考查二倍角公式、同角三角函数的基本关系．由已知得４ｓｉｎαｃｏｓα＝２ｃｏｓ２α－１＋１，即２ｓｉｎαｃｏｓα＝ｃｏｓ２α，因为α∈０，π()２，所以２ｓｉｎα＝ｃｏｓα，与ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α＝１联立，解得ｓｉｎα故选Ｂ．熟练掌握二倍角公式及同角三角函数的基本关系式是解题的关键．１１．Ａ【解题思路】本题考查双曲线及圆的基本性质．设ＰＱ与ＯＦ交于点Ｒ，连接ＯＰ，ＰＦ，则｜ＯＰ｜＝ａ，｜ＯＦ｜＝｜ＰＱ｜＝ｃ．因为ＯＦ为直径，所以ＯＰ⊥ＰＦ，则｜ＰＦ｜＝ｂ，所以Ｓ△ＯＰＦ＝１２｜ＯＰ｜·｜ＰＦ｜＝１２·｜ＯＦ｜·｜ＰＲ｜，即１２ａｂ＝１２ｃ·ｃ２，所以ｃ２＝２ａｂ＝ａ２＋ｂ２，可得ａ＝ｂ，所以ｃ，则Ｃ的离心率ｅ＝ｃａ故选Ａ．【方法归纳】圆锥曲线求离心率或离心率范围问题，通常根据已知构造几何等式或不等式，再转化为关于ａ，ｂ，ｃ的代数等式或不等式，结合ａ２，ｂ２，ｃ２的关系式，消元，得到关于ａ，ｃ的式子，解方程或不等式，即可得解．１２．Ｂ【解题思路】本题考查分段函数的性质、恒成立问题．由题知，当ｘ∈（０，１］时，ｆ（ｘ）＝ｘ（ｘ－１）∈－１４，[]０；当ｘ∈（１，２］时，ｘ－１∈（０，１］，ｆ（ｘ）＝２ｆ（ｘ－１）＝２（ｘ－１）（ｘ－２）∈－１２，[]０；当ｘ∈（２，３］时，ｘ－２∈（０，１］，ｆ（ｘ）＝２ｆ（ｘ－１）＝４ｆ（ｘ－２）＝４（ｘ－２）（ｘ－３）∈［－１，０］；当ｘ∈（－１，０］时，ｘ＋１∈（０，１］，ｆ（ｘ）＝１２ｆ（ｘ＋１）＝１２ｘ（ｘ＋１）∈－１８，[]０；当ｘ∈２，(]５２时，ｆ（ｘ）是减函数，令４（ｘ－２）·（ｘ－３）＝－８９，解得ｘ＝７３或ｘ＝８３，且７３∈２，(]５２，因为对任意ｘ∈（－∞，ｍ］，都有ｆ（ｘ）≥－８９，所以ｍ≤７３，故选Ｂ．【核心素养】本题以分段函数和恒成立问题为载体，考查了考生对分段函数解析式的求法及二次函数性质掌握的熟练程度，同时考查了数形结合思想、化归与转化思想的应用，考查了直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养．１３．０．９８【解题思路】本题考查统计中平均数的计算．根据题意得０．９７×１０＋０．９８×２０＋０．９９×１０１０＋２０＋１０＝０．９８．【方法归纳】正点率＝正点车次数总车次数．１４．－３【解题思路】本题考查函数的性质、指数的运算．根据题意，当ｘ＞０时，－ｘ＜０，ｆ（ｘ）＝－ｆ（－ｘ）＝ｅ－ａｘ，ｆ（ｌｎ２）＝ｅ－ａｌｎ２＝ｅｌｎ２－ａ＝２－ａ＝８，解得ａ＝－３．【易错点拨】本题易错点在于忽视ｌｎ２的范围，代错解析式．计算函数值时，需考查自变量值是否满足对应解析式，本题需根据函数的奇偶性，求出另一段的解析式，再代入求值．１５【解题思路】本题考查三角形的面积公式、余弦定理的应用．由余弦定理得ｂ２＝ａ２＋ｃ２－２ａｃｃｏｓＢ，即３６＝４ｃ２＋ｃ２－２×２ｃ×ｃ×１２，解得ｃ２＝１２，所以Ｓ△ＡＢＣ＝１２ａｃｓｉｎＢ＝１２×２ｃ２＝熟练掌握三角形的面积公式和余弦定理是解题的关键．１６．２６１【解题思路】本题考查空间几何体的结构、棱长的计算．由题中的图知，该半正多面体共有１＋８＋８＋８＋１＝２６个面；在如图所示的正方体中，设半正多面体的棱长为ｘ，则ＥＦ＝ＦＨ＝ｘ，ＧＦ＝ＧＥｘ，ｘｘ＋ｘ＝１，解得ｘ１，故该半正多面体的棱长为１．【核心素养】本题以数学文化为背景，以半正多面体为载体，考查了考生空间想象能力和运算求解能力，考查了直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养．１７．【名师指导】本题考查直线与平面垂直的判定、二面角．（Ⅰ）先在长方体中，根据直线与平面垂直的性质定理，得出Ｂ１Ｃ１⊥ＢＥ，结合ＢＥ⊥ＥＣ１，再根据直线与平面垂直的判定定理，证得ＢＥ⊥平面ＥＢ１Ｃ１；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式求解．得二面角Ｂ－ＥＣ－Ｃ１的余弦值，即可得二面角Ｂ－ＥＣ－Ｃ１的正弦值．解：（Ⅰ）由已知得，Ｂ１Ｃ１⊥平面ＡＢＢ１Ａ１，ＢＥ 平面ＡＢＢ１Ａ１，故Ｂ１Ｃ１⊥ＢＥ．又ＢＥ⊥ＥＣ１，所以ＢＥ⊥平面ＥＢ１Ｃ１．（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠ＢＥＢ１＝９０°．由题设知Ｒｔ△ＡＢＥ≌Ｒｔ△Ａ１Ｂ１Ｅ，所以∠ＡＥＢ＝４５°，故ＡＥ＝ＡＢ，ＡＡ１＝２ＡＢ．以Ｄ为坐标原点，→ＤＡ的方向为ｘ轴正方向，｜→ＤＡ｜为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Ｄ－ｘｙｚ，则Ｃ（０，１，０），Ｂ（１，１，０），Ｃ１（０，１，２），Ｅ（１，０，１），→ＣＢ＝（１，０，０），→ＣＥ＝（１，－１，１），ＣＣ→１＝（０，０，２）．设平面ＥＢＣ的法向量为ｎ＝（ｘ，ｙ，ｚ），则→ＣＢ·ｎ＝０，→ＣＥ·ｎ＝０{，即ｘ＝０，ｘ－ｙ＋ｚ＝０{，所以可取ｎ＝（０，－１，－１）．设平面ＥＣＣ１的法向量为ｍ＝（ｘ，ｙ，ｚ），则ＣＣ→１·ｍ＝０，→ＣＥ·ｍ＝０{，即２ｚ＝０，ｘ－ｙ＋ｚ＝０{，所以可取ｍ＝（１，１，０）．于是ｃｏｓ〈ｎ，ｍ〉＝ｎ·ｍ｜ｎ｜｜ｍ｜＝－１２．所以，二面角Ｂ－ＥＣ－Ｃ１１８．【名师指导】本题考查相互独立事件的概率．（Ⅰ）当Ｘ＝２时，分别计算甲发球甲得分且乙发球甲得分的概率和甲发球乙得分且乙发球乙得分的概率，将两个概率相加即可得解；（Ⅱ）当Ｘ＝４时，分别计算甲发球甲得分，乙发球乙得分，甲发球甲得分，乙发球甲得分的概率和甲发球乙得分，乙发球甲得分，甲发球甲得分，乙发球甲得分的概率，将两个概率相加即可得解．解：（Ⅰ）Ｘ＝２就是１０∶１０平后，两人又打了２个球该局比赛结束，则这２个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此Ｐ（Ｘ＝２）＝０．５×０．４＋（１－０．５）×（１－０．４）＝０．５．（Ⅱ）Ｘ＝４且甲获胜，就是１０∶１０平后，两人又打了４个球该局比赛结束，且这４个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得１分，后两球均为甲得分．因此所求概率为［０．５×（１－０．４）＋（１－０．５）×０．４］×０．５×０．４＝０．１．１９．【名师指导】本题考查等差与等比数列的定义、通项公式．（Ⅰ）利用等比数列的定义，即可得证数列｛ａｎ＋ｂｎ｝是等比数列；利用等差数列的定义，即可得证数列｛ａｎ－ｂｎ｝是等差数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）求出数列｛ａｎ＋ｂｎ｝与｛ａｎ－ｂｎ｝的通项公式，再将两式联立，解方程组，即可得解．解：（Ⅰ）由题设得４（ａｎ＋１＋ｂｎ＋１）＝２（ａｎ＋ｂｎ），即ａｎ＋１＋ｂｎ＋１＝１２（ａｎ＋ｂｎ）．又因为ａ１＋ｂ１＝１，所以｛ａｎ＋ｂｎ｝是首项为１，公比为１２的等比数列．由题设得４（ａｎ＋１－ｂｎ＋１）＝４（ａｎ－ｂｎ）＋８，即ａｎ＋１－ｂｎ＋１＝ａｎ－ｂｎ＋２．又因为ａ１－ｂ１＝１，所以｛ａｎ－ｂｎ｝是首项为１，公差为２的等差数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，ａｎ＋ｂｎ＝１２ｎ－１，ａｎ－ｂｎ＝２ｎ－１．所以ａｎ＝１２［（ａｎ＋ｂｎ）＋（ａｎ－ｂｎ）］＝１２ｎ＋ｎ－１２，ｂｎ＝１２［（ａｎ＋ｂｎ）－（ａｎ－ｂｎ）］＝１２ｎ－ｎ＋１２．２０．【名师指导】本题考查利用导数研究函数的单调性、函数的零点、导数几何意义．（Ⅰ）先写出函数ｆ（ｘ）的定义域，再计算ｆ′（ｘ），分析导函数的正负，即可得函数ｆ（ｘ）的单调区间；结合导数ｆ′（ｘ），利用零点存在性定理，可证得；（Ⅱ）先证明点Ｂ在曲线ｙ＝ｅｘ上，再求出直线ＡＢ的斜率，然后分别求出点Ｂ处的切线斜率与点Ａ处的切线斜率，由斜率相等，即可得证．解：（Ⅰ）ｆ（ｘ）的定义域为（０，１）∪（１，＋∞）．因为ｆ′（ｘ）＝１ｘ＋２（ｘ－１）２＞０，所以ｆ（ｘ）在（０，１），（１，＋∞）单调递增．因为ｆ（ｅ）＝１－ｅ＋１ｅ－１＜０，ｆ（ｅ２）＝２－ｅ２＋１ｅ２－１＝ｅ２－３ｅ２－１＞０，所以ｆ（ｘ）在（１，＋∞）有唯一零点ｘ１，即ｆ（ｘ１）＝０．又０＜１ｘ１＜１，ｆ１ｘ()１＝－ｌｎｘ１＋ｘ１＋１ｘ１－１＝－ｆ（ｘ１）＝０，故ｆ（ｘ）在（０，１）有唯一零点１ｘ１．综上，ｆ（ｘ）有且仅有两个零点．（Ⅱ）因为１ｘ０＝ｅ－ｌｎｘ０，故点Ｂ－ｌｎｘ０，１ｘ()０在曲线ｙ＝ｅｘ上．由题设知ｆ（ｘ０）＝０，即ｌｎｘ０＝ｘ０＋１ｘ０－１，故直线ＡＢ的斜率ｋ＝１ｘ０－ｌｎｘ０－ｌｎｘ０－ｘ０＝１ｘ０－ｘ０＋１ｘ０－１－ｘ０＋１ｘ０－１－ｘ０＝１ｘ０．曲线ｙ＝ｅｘ在点Ｂ－ｌｎｘ０，１ｘ()０处切线的斜率是１ｘ０，曲线ｙ＝ｌｎｘ在点Ａ（ｘ０，ｌｎｘ０）处切线的斜率也是１ｘ０，所以曲线ｙ＝ｌｎｘ在点Ａ（ｘ０，ｌｎｘ０）处的切线也是曲线ｙ＝ｅｘ的切线．２１．【名师指导】本题考查曲线方程的求法、直线与椭圆的位置关系．（Ⅰ）先根据斜率公式，列出斜率积的等式，并化简，即可求解．注意曲线Ｃ的方程需加范围限制；（Ⅱ）（ⅰ）先设直线ＰＱ的方程，与曲线Ｃ的方程联立，解方程组得出Ｐ点坐标，从而得点Ｑ、点Ｅ的坐标，再表示出直线ＱＧ的方程，与曲线Ｃ的方程联立，利用韦达定理得Ｇ点坐标，结合斜率求证即可；（ⅱ）利用弦长公式求得｜ＰＱ｜与｜ＰＧ｜，再利用面积公式，将△ＰＱＧ的面积转化为关于ｋ的函数，利用换元法、函数的单调性与基本不等式求最值．解：（Ⅰ）由题设得ｙｘ＋２·ｙｘ－２＝－１２，化简得ｘ２４＋ｙ２２＝１（｜ｘ｜≠２），所以Ｃ为中心在坐标原点，焦点在ｘ轴上的椭圆，不含左右顶点．（Ⅱ）（ⅰ）设直线ＰＱ的斜率为ｋ，则其方程为ｙ＝ｋｘ（ｋ＞０）．由ｙ＝ｋｘ，ｘ２４＋ｙ２２{＝１得ｘ记ｕ则Ｐ（ｕ，ｕｋ），Ｑ（－ｕ，－ｕｋ），Ｅ（ｕ，０）．于是直线ＱＧ的斜率为ｋ２，方程为ｙ＝ｋ２（ｘ－ｕ）．由ｙ＝ｋ２（ｘ－ｕ），ｘ２４＋ｙ２２{＝１得（２＋ｋ２）ｘ２－２ｕｋ２ｘ＋ｋ２ｕ２－８＝０．①设Ｇ（ｘＧ，ｙＧ），则－ｕ和ｘＧ是方程①的解，故ｘＧ＝ｕ（３ｋ２＋２）２＋ｋ２，由此得ｙＧ＝ｕｋ３２＋ｋ２．从而直线ＰＧ的斜率为ｕｋ３２＋ｋ２－ｕｋｕ（３ｋ２＋２）２＋ｋ２－ｕ＝－１ｋ．所以ＰＱ⊥ＰＧ，即△ＰＱＧ是直角三角形．（ⅱ）由（ⅰ）得｜ＰＱ｜＝２｜ＰＧ｜所以△ＰＱＧ的面积Ｓ＝１２｜ＰＱ｜｜ＰＧ｜＝８ｋ（１＋ｋ２）（１＋２ｋ２）（２＋ｋ２）＝８１ｋ＋()ｋ１＋２１ｋ＋()ｋ２．设ｔ＝ｋ＋１ｋ，则由ｋ＞０得ｔ≥２，当且仅当ｋ＝１时取等号．因为Ｓ＝８ｔ１＋２ｔ２在［２，＋∞）单调递减，所以当ｔ＝２，即ｋ＝１时，Ｓ取得最大值，最大值为１６９．因此，△ＰＱＧ面积的最大值为１６９．２２．【名师指导】本题考查极坐标的应用．（Ⅰ）将θ０代入曲线Ｃ的极坐标方程，即可解得ρ０．利用三角函数求出｜ＯＰ｜，再设ｌ上任一点Ｑ，利用三角函数列出等量关系，即可得解；（Ⅱ）先设点Ｐ，利用三角函数列出等量关系，即可得解，根据题意，点Ｐ在线段ＯＭ上，且ＡＰ⊥ＯＭ，可得θ的取值范围．解：（Ⅰ）因为Ｍ（ρ０，θ０）在Ｃ上，当θ０＝π３时，ρ０＝４ｓｉｎπ３＝由已知得｜ＯＰ｜＝｜ＯＡ｜ｃｏｓπ３＝２．设Ｑ（ρ，θ）为ｌ上除Ｐ的任意一点．在Ｒｔ△ＯＰＱ中，ρｃｏｓθ－π()３＝｜ＯＰ｜＝２．经检验，点Ｐ２，π()３在曲线ρｃｏｓθ－π()３＝２上．所以，ｌ的极坐标方程为ρｃｏｓθ－π()３＝２．（Ⅱ）设Ｐ（ρ，θ），在Ｒｔ△ＯＡＰ中，｜ＯＰ｜＝｜ＯＡ｜ｃｏｓθ＝４ｃｏｓθ，即ρ＝４ｃｏｓθ．因为Ｐ在线段ＯＭ上，且ＡＰ⊥ＯＭ，故θ的取值范围是π４，π[]２．所以，Ｐ点轨迹的极坐标方程为ρ＝４ｃｏｓθ，θ∈π４，π[]２．２３．【名师指导】本题考查绝对值不等式的解法、不等式恒成立问题．（Ⅰ）利用零点分段法，分类讨论去绝对值，解不等式组，最后求各组解集的并集即可；（Ⅱ）观察函数解析式得ｆ（ａ）＝０，根据题意得ａ≥１，再根据ｘ的范围，去绝对值，得到函数ｆ（ｘ）为二次函数，从而得ａ的取值范围．解：（Ⅰ）当ａ＝１时，ｆ（ｘ）＝｜ｘ－１｜ｘ＋｜ｘ－２｜（ｘ－１）．当ｘ＜１时，ｆ（ｘ）＝－２（ｘ－１）２＜０；当ｘ≥１时，ｆ（ｘ）≥０．所以，不等式ｆ（ｘ）＜０的解集为（－∞，１）．（Ⅱ）因为ｆ（ａ）＝０，所以ａ≥１．当ａ≥１，ｘ∈（－∞，１）时，ｆ（ｘ）＝（ａ－ｘ）ｘ＋（２－ｘ）（ｘ－ａ）＝２（ａ－ｘ）（ｘ－１）＜０．所以，ａ的取值范围是［１，＋∞）．（解析人：郑祖宏）。
2019年普通高等学校招生全国统一考试新课标3卷理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|x-1NO},B={0,l,2},则ADB=()A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}解析：选C2.(l+i)(2-i)=()A.-3-iB.-3+iC.3-iD.3+i解析：选D3.中国古建筑借助样卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()A BCD解析：选A4.若sin a日，则cos2a=()7-97-9-C.8-9-D.]8解析：选B cos2a=l-2sin2 a=1--=-y y25・或+-)5的展开式中x，的系数为()xA.10B.20C.40D.809解析：选C展开式通项为Tr+i=C5r x10-2r(-)r=C5r2r x10-3r,r=2,T3=。
522七[故选C6.直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A,B两点，点P在圆(x-2)2+y=2±,则△ABP面积的取值范围是()A.[2,6]B.[4,8]C.[血3艘]D.[2近，3也]解析：选A,线心距d=2带,P到直线的最大距离为3彖，最小距离为^2,|AB|=2V2,S min=2,S max=67,函数y=-x4+x，+2的图像大致为()解析：选D原函数为偶函数，设t=x2,tNO,f(t)=-t2+t+2,故选D8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX=2.4,P(X=4)<P(X=6),则p=()A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3解析：选B X〜B(10,p),DX=10p(l-p)=2.4,解得p=0.4或p=0.6,p=0.4时,p(X=4)=Cio4(0.4)4(0.6)6>P(X=6)= Cio6(O.4)6(0.6)4,不合。
