从平面几何到立体几何.doc

平面几何中的向量与立体几何体的位置关系在平面几何中，向量与立体几何体的位置关系是一个重要的研究领域。

向量是平面几何的基础概念，而立体几何体则是空间中的实体物体。

在这篇文章中，我们将探讨向量与立体几何体之间的关系，并探索它们在几何学中的应用。

一、向量的定义与性质向量是由大小和方向决定的量，用有向线段表示。

在二维平面中，向量通常由两个坐标表示，分别为横坐标和纵坐标。

例如，向量AB可以表示为(1,2)。

向量的性质包括加法、减法、数量乘法、数量除法等。

二、向量的运算在平面几何中，向量的运算是基本操作之一。

向量的加法是指将两个向量按照一定的规则相加，得到一个新的向量。

向量的减法和数量乘法也是类似的操作。

通过向量的运算，我们可以获得两个向量之间的关系，例如平行、垂直等。

三、向量的模与方向角向量的模表示向量的大小，而方向角表示向量与横轴之间的夹角。

向量的模可以使用勾股定理计算，方向角可以使用三角函数计算。

通过向量的模与方向角，我们可以准确地描述向量在平面中的位置与方向。

四、向量的应用在几何学中，向量有着广泛的应用。

例如，我们可以使用向量来表示线段，通过线段的向量运算可以得到线段的长度、方向等信息。

此外，向量还可以用来表示平面中的直线和曲线，通过向量的性质可以判断直线的平行、垂直关系，计算曲线的斜率等。

五、向量与立体几何体的位置关系在立体几何中，向量与几何体的位置关系是一个研究的重点。

通过向量的表示，我们可以描述几何体在空间中的方位与位置。

例如，我们可以通过指定一个点和一个向量来表示一条直线，通过两个向量来表示一个平面。

通过向量的运算，可以判断几何体之间的相对位置，例如平面与平面的交角、直线与平面的垂直关系等。

六、应用实例例如，我们可以通过向量的运算来计算一个立方体的体积。

假设立方体的一条边长为a，我们可以将其表示为向量OA，其中O是立方体的一个顶点。

那么立方体的体积可以表示为V=a^3，其中a是向量的模。

再例如，我们可以通过向量的运算来判断一个平面是否位于一个平行六面体的底面上。

平面与立体几何的解析几何方法在数学中，平面几何和立体几何是解析几何的重要分支。

解析几何是运用代数和分析工具来研究几何问题的数学学科。

平面几何研究平面上的图形和性质，立体几何则研究三维空间中的图形和性质。

本文将介绍平面与立体几何中常用的解析几何方法。

一、平面几何中的解析几何方法1. 坐标系和坐标表示在平面几何中，我们通常会使用坐标系来描述平面上的点和图形。

一般来说，平面上的点可以用两个坐标值表示，通常以x轴和y轴为基准。

以直角坐标系为例，任意点P的坐标可以表示为P(x, y)，其中x 表示距离x轴的水平距离，y表示距离y轴的垂直距离。

2. 距离和中点公式解析几何中，我们可以通过坐标计算两点之间的距离，并且可以得到线段的中点坐标。

对于平面上两点P(x1, y1)和Q(x2, y2)，它们之间的距离可以用以下公式表示：d(P, Q) = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)同样地，线段PQ的中点坐标可以通过以下公式得到：M((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2)3. 直线的斜率和方程在平面几何中，直线是研究的重点之一。

解析几何中，我们可以通过直线上的两个点的坐标来求解直线的斜率。

对于两点P(x1, y1)和Q(x2, y2)所确定的直线，它的斜率可以通过以下公式得出：k = (y2 - y1)/(x2 - x1)另外，在解析几何中，我们还可以通过已知直线上的一点和它的斜率来确定直线的方程。

以点P(x, y)和斜率k为例，直线的方程可以表示为：y - y1 = k(x - x1)二、立体几何中的解析几何方法1. 坐标系和坐标表示与平面几何类似，立体几何中也可以使用坐标系来描述三维空间中的点和图形。

一个常用的坐标系是笛卡尔坐标系，其中三个坐标轴x、y、z相互垂直。

一个点P的坐标可以表示为P(x, y, z)，其中x表示距离x轴的水平距离，y表示距离y轴的水平距离，z表示距离z轴的垂直距离。

高中立体几何 (全一册)第一章直线和平面第三单元空间直线和平面一、教法建议【抛砖引玉】本单元主要研究空间直线与平面的位置关系，是立体几何基础中的支柱．通过研究空间直线与平面位置关系的判定和性质，用以解决立体几何中的计算和证明问题．空间直线和平面的位置关系共分为两类：一是直线在平面内，如果一条直线上有不同的两点落在同一个平面内，那么整条直线就落这个平面内．此时直线这个点集是平面点集的真子集；二是直线在平面外，直线在平面外又分为两种情况：直线与平面平行，这里有平行的定义、平行的判定和平行的性质；还有直线与平面相交，当直线与平面有且仅有一个交点时，直线就与平面相交，相交时又有两种不同的位置关系，第一是直线与平面垂直，垂直的定义、垂直的判定和垂直的性质，同时提出了立体几何中最重要的定理──三垂线定理及其逆定理，为后续知识的学习奠定坚实的基础；第二是直线与平面斜交，有直线在平面内的射影和直线与平面所成角的概念．本单元的重点之一是研究直线与平面的平行．平行的定义是直线与平面没有公共点；如何判定直线与平面的平行呢？如果平面外的一条直线和这个平面内的某一条直线平行，那么这条直线就平行于这个平面．这就是判定定理，简称为“线线平行，线面平行”．直线和平面平行以后又有些什么性质呢？当直线a平行于平面α以后是否有平面内任何一条直线都平行于直线a呢?结论是否定的，我们有如下的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面与已知平面相交，那么这条直线就和交线平行．这是直线与平面平行的性质定理，简称为“线面平行，线线平行．”这两种简称都要在理解原定理的意思中说出各个线和面的意义．本单元重点之二是研究直线与平面的垂直．垂直的定义要求很高，一条直线如果垂直于一个平面内的任何一条直线，那么称这条直线垂直于这个平面．有了这个要求很高的定义以后，判定就变行相对宽松一些，如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么称这条直线垂直于已知平面．注意它的证明纯粹应用平面几何中等腰三角形的性质和判定．此外，还有两条平行直线与平面垂直的判定和性质的两个定理．平面的斜线与平面所成的角是指斜线和它在平面上的射影所成的锐角，特别地当直线垂直于平面时，直线与平面成直角；当直线平行于平面时，直线与平面成零角．因此，设Q是直线l与平面α所成的角时，角θ的取值范围是θ∈[0，2 ]．本单元的重点之三是三垂线定理及其逆定理，它们都是研究直线与直线关系的．在研究空间图形时，常常利用它们把某些空间图形的计算问题转化为平面图形的计算问题，证明问题也的这样，所以三垂线定理及其逆定理是立体几何的重要支柱．这两个定理的证明仅仅用到直线与平面垂直的判定和定义，是不难掌握的，同学们在学习过程中应特别注意的是搞清三垂线定理及其逆定理的区别，应用定理时，说清究竟是用三垂线定理，还是三垂线定理的逆定理．【指点迷津】本单元的知识，既重要，又难学．教师对学生的指导必须在给学生认真讲清概念关键的同时，用模型给学生摆清各种直线和平面的位置关系，解决好使学生建立空间概念的问题．在教学过程中使学生的空间想象能力逐步得到培养；同时还要学会把空间想象出来的线面关系在二维平面上表示出来．在纸面上画出来．也就是要做到：第一，直线与平面的位置要想得出，能理解，会比划；第二是把想象出的位置关系画到平面上．这是有一定难度的．因为平面几何研究的是二维的平面图形的性质，学生从初中升入高一，本来就对想象三维空间的线面关系感到困难，又要把想象出来的三维线面关系重新表示到二维纸面上来，画好图，画得直观、生动，关键是符合科学性，而且看到图又要能想象出位置关系，而这个过程是必须要过的，而且一定要过好，这就叫做空间想象能力的培养．二、学海导航【思维基础】学习本单元的知识，主要抓住空间直线与平面的平行、斜交和垂直三种主要位置关系．每一种位置关系都要搞清一系列问题．例如，怎样定义直线与平面平行？如何判定直线与平面平行，有几种方法？直线与平面平行以后，有些什么性质？又例如，怎样定义直线与平面的垂直？如何判定直线与平面垂直，有几种方法？直线与平面垂直以后，又有些什么性质？都必须通过整理，弄懂弄通，运用自如，才真掌握了这些知识；还比如，平面的斜线中有一个斜线长和射影长的定理，这是必须注意定理的条件、前提，必须是以平面外一点出发的诸多斜线和一条垂线，如果遗忘这个条件，结论虽然是不对的．所以要求同学们认真地阅读理解定理中的原文原句，正确地掌握其内在含意．试完成以下各题：1．直线和平面平行的充要条件是这条直线和平面内的（）（A）一条直线不相交（B）两条直线不相交（C）任意一条直线都不相交（D）无数条直线不相交2．设a、b是两条异面直线，下列命题中，正确的是（）（A）有且仅有一条直线与a、b都垂直（B）有一个平面与a、b都垂直（C）过直线a有且仅有一个平面与b平行（D）过空间任何一点必可作一条直线与a、b都相交3．正方体AB CD—A1B1C1D1中，E、F分别是AA1和AB的中点，则EF与对角面AA1C1C 所成的角是（）（A）300 （B）450（C）600（D）15004．设P是△AB C所在平面外一点，则点P在此三角形所在平面内的射影是△AB C的垂心的主要条件是（）（A）P A=P B=PC （B）P A⊥B C且P B⊥A C（C）点P到△AB C三边的距离相等（D）P A、P B、PC与△AB C所在平面所成的角相等5．已知△AB C 在平面α的同侧，顶点A 、B 、C 到平面α的距离分别是11、7、3，G 是△AB C 的重心，则G 到平面α的距离等于 ．6．已知长方体AB CD —A ′B ′C ′D ′中，AA ′=5，AB =12，那么直线B ′C ′′与平面A ′B CD ′的距离等于 ．7．在长方体AB CD —A 1B 1C 1D 1中，AB =6，A D=8，AA 1=3.6，A E 与低面对角线B 1D 1垂直于点E ．（1）求证 A 1E B 1D 1；（2）求 A E 的长．【学法指要】例1．四棱锥的四个侧面中，直角三角形的个数最多的是 （ ）(A )1个(B )2个 (C)3个 (D)4个 解：如图，当四棱锥P —AB CD 的侧棱P A 垂直于底面AB CD 时，P A ⊥AB ，P A ⊥A D ，△P AB 和△P A D 都是直角三角形；当底面AB CD 是矩形时，∵B C ⊥AB ，由三垂线定理知B C ⊥P B ，∴△P B C 也是直角三角形，同理△PCD 也是直角三角形，因此侧面中直角三角形的个数最多是4个，选（D ）．例如2．等腰直角三角形△AB C 中，AB =A C=1，P A ⊥平面AB C ，且P B =2．求P A 与平面P B C 所成角的正弦值． ( )解：如图，在AB C 中作A C ⊥B C 于D ，则D 是B C 中点，且A D=22，又因为P A =2，PD=412322+=， ∵A D ⊥B C ，由三垂线定理知PD ⊥B C ，∴B C ⊥平面P A D ，平面P A D ⊥平面P B C ， 过A 作A O ⊥PD 于O ，则A O ⊥平面P B C ．∠A PO=θ就是P A 与平面P B C 所成的角，在Rt △P A D 中，A O=PA AD PD ⋅=23， ∴sin θ=AO PA =13．即P A 与平面P B C 所成角的正弦值等于13． 例3．异面直线a 、b 分别与平面α平行，且a 、b 到平面α的距离相等，A 是直线a 上任意一点,B 是直线b 一的任意一点，求证线段AB 被平面α平分．证明：设CD 是异面直线a 、b 的公垂线段，CD 交平面α于点O ，则CO=DO ，如图，过D 作直线a ′∥a ，则相交直线a ′与b 确定的平面与平面α平行．过点A 作A ′A ⊥直线a ′，交直线a ′于点A ′，则AA ′⊥面α，设AA ′交平面α于点M ，则由于异面直线a 、b 到平面α的距离相等,所以A M=M A ′，即M 是AA ′的中点，又设AB 交平面α于点P ，连MP 、A ′B ． 由于相交直线a ′与b 所确定的平面与平面α平行，这两个平行平面被平面AA ′B 所截，截得的交线MP 与A ′B 平行，由M 是AA ′的中点，知PM 是△AA ′B 的中位线，故P 是AB 的中点，即线段AB 被平面α平分．例4．在正方形SG 1G 2G 3中，E 、F 分别是G 1G 2、G 2G 3的中点，D 是EF 的中点，现沿SE 、SF 及EF 把正方形折成一个四面体，使G 1、G 2、G 3三点重合，重合后记为G ，那么在四面体S-EFG 中必有 （ ）（A ）SG ⊥△EFG 所在平面（B ）SD ⊥△EFG 所在平面（C ）GF ⊥△SEF 所在平面（D ）GD ⊥△SEF 所在平面解：由于在平面图形SG 1G 2G 3中，SG 1⊥G 1G 2，SG 3⊥G 2G 3，所以折成四面休SGEF 中，∠SGE=∠SGF=Rt ∠，GE 、GF 、相交于点G ，因此SG ⊥△EFG 所在平面．故应选（A ）例5．已知∠BA C 在平面α内，P A 是平面α的斜线，若∠P AB =∠P A C=∠BA C=600，P A =a ．求点P 到坪面α的距离．解：过点P 作PO 平面α，∵∠P A C=∠P AB ，∴A O 平分∠BA C ，在平面α内，作OC ⊥A C于点C ，连PC ，由三垂线定理知PC ⊥A C ．又∵∠P A C=600，P A =a ，∴A C=a 2∴A O=AC a cos30330= 在Rt △P A O 中，PO=PA AO a a a 22221363-=-= 故点P 到平面α的距离为63a ． 例6．如图，AB CD 是边长为2a 的正方形，M 、N 分别是AB 、A D 的中点，PC ⊥平面AB CD ，PC=a ．（1）求证：B D ∥平面PMN ；（2）求点B 到平面PMN 的距离．解：（1）∵M 、N 分别是正方形AB CD 的边AB 、A D 的中点，∴MN ∥B D ，MN ∈平面PMN ，∴B D ∥平面PMN ．（2）∵AB CD 是正方形，∴B D ⊥A C ，MN ∥B D∴MN ⊥A C又∵PC ⊥平面AB CD ，MN ⊂平面AB CD ，∴MN ⊥PC ．又PC ∩A C=点C ．∴MN ⊥平面EPC ．在平面EPC 内，作O H ⊥PE 于点H ，则MN ⊥O H ，∴O H ⊥平面PMN ，由于B D ∥平面PMN ，所以O H 的长就是点B 到平面PMN 的距离．在Rt △PCE 中，PC= a ，EC=（）∴PE=222a ，又EO=22a ∵△E H O ∽△ECP ，∴O H ：PC=EO ：PE ， ∴O H =PC EO PE a ⋅=1111． 故点B 到平面PMN 的距离为1111a ． 例7．如图，A D 是△AB C 中B C 边上的高，在A D 上取一点E ，使A E=12ED ，过E作直线MN 平行于B C ，交AB 于M ，交A C 于N ，现将△A MN 沿MN 折过去，此时点A 到了A ′的位置，如果∠A ′ED=600，求证：E A ′⊥平面A ′B C ．证明：连结A ′B 、A ′C 、A ′D ，∵A E=12ED ，A ′E=A E ， ∴A ′E=12ED ，∠A ′ED=600， 在A ′ED 中，由余弦定理求得A ′D =32ED ． ∴E A ′D=900，即E ′A ⊥A ′D ．又A D ⊥B C ，MN ∥B C ，∴MN ⊥A D ．即MN ⊥A ′E ，MN ⊥ED ．因此MN ⊥平面E A ′D ，即B C ⊥平面E A ′D ．E A ′⊂平面E A ′D∴E A ′⊥B C ，E A ′⊥A ′D ，A ′D ∩B C=点C∴E A ′⊥平面A ′B C评注：通常是知道位置关系，如平行，垂直等来进行计算，这里的关键在于利用A E=12ED 和∠A ED=600这两个数量关系来推断E A ′⊥A ′D ，这个位置关系，同学们应该学会．例8．已知平面α、β相交于直线PQ ，线段O A 、O B 分别垂直于平面α、β，其中A 、B 为垂足．求证：（1）PQ ⊥平面A O B（2）PQ ⊥AB ．证明：（1）∵O A ⊥平面α⇒ O A ⊥PQPQ ⊥平面αO B ⊥平面β ⇒ PQ ⊥平面A O B⇒ O B PQPQ ⊂平面βO A ∩O B =点O（2）∵PQ ⊥平面A O BPQ ⊥ABAB ⊂平面A O B评注：同学们在推理论证的学习达到一定的熟练程度的时候，可以学习运用推出符号“⇒”来进行论证，这样的证明因果关系清晰，简洁明了．但是应注意两点，第一是条件必须具备齐全，然后直接运用定理便可推出；第二是必须按序一步一步地推得，不能把条件全部罗列，一个推出符号“⇒”就得到最后结论，这是不对的，请同学们学习时注意．例9．如图，地平面上有一竖直的旗杆OP ，为了测得它的高度h ，在地面上选一条基线AB ，AB =20米，在A 点处测得点P 的仰角为∠O A P=300，在B 点处测得点P 的仰角为∠O B P=450，又测得∠A O B =600．求旗杆的高（结果可以保留根号）．解：设旗杆的高OP =h ，在Rt △P A O 中，∴∠P A O=300，∴A O=3h ，在Rt △P B O 中，∵∠P B O=450，∴B O=h ，在△A O B 中，∠A O B =600，由余弦定理知AB 2=A O 2+B O 2-2A O ·B O cos600,∴400=3h 2+h 2-23·h 212 ∴(4-3)h 2=400.H =2043-(米)．答：旗杆的高度为h =2043-米．例10．在四面体AB CD 中，已知棱AB ⊥CD ，棱A C ⊥B D ．求证棱A D ⊥B C ．证明：设顶点A 在平面B CD 内的射影为O ，即 A O ⊥平面B CD 于点O ，则因为AB ⊥CD ，由三垂线逆定理知B O ⊥CD ，同理CO ⊥B D ． 因此O 时△B CD 的垂心，连DO ，则DO ⊥B C ，由三垂线定理知A D ⊥B C ．评注：应用三垂线定理时，正定理和逆定理不能搞错．已知平面内的直线与斜线在这个平面内的射影垂直，得到平面内的直线与斜线垂直是三垂线定理．反之，已知平面内的直线与平面的斜线垂直，推得这条直线和斜线在已知平面内的射影也垂直，是三垂线定理的逆定理．例11．已知Rt △AB C 的斜边AB 在平面α内，两直角边A C 、B C 与平面α分别成θ1和θ2角，若平面AB C 与平面α成二面角为．求证：sin 2θ1+sin 2θ2=sin 2φ证明：设直角顶点C 在平面α内的射影为O ，连结A O 、B O ，则∠C A O=θ1，∠C B O=θ2．设CO=h ，则sin θ1=h AC, sin θ2=h BC在平面AB C 中，作CD ⊥AB 于D ，连结OD ，由三垂线逆定理知OD ⊥AB 且∠CDO=φ就是平面AB C 与平面α所成二面角的平面角，而且sin φ=h CD∵sin 2θ1+sin 2θ2 =h AC h BC h AC BC AC BC 22222222+=⋅+⋅ =h AB AC BC 2222⋅⋅ 在Rt △AB C 中，∵CD ·AB =A C ·B C ，∴⋅⋅AB AC BC =1CD． ∴sin 2θ1+sin 2θ2=h AB AC BC 2222⋅⋅=h CD22=sin 2φ． 故有结论成立．例12．平面M 的一条斜线与平面M 所成的角为α，该平面内过斜足的一条直线与斜线在平面内的射影所成的角为β，与斜线所成的角为γ．求证：cos γ=cos α·cos β．证明：如图，PO 是平面M 的垂线，P A 是平面M 的斜线，O A 就是斜线P A 在平面M 内的射影，∠P A O=α就是斜线P A 与平面M 所成的角．AB 是平面M 内过斜足A 的直线，它与射影O A 所成的角为，即∠O AB=β，AB 与斜线P A 所成的角为γ，所以∠P AB =γ．在平面M 内，作O B ⊥AB 于点B ．连结P B ，则由三垂线定理知P B ⊥AB ，因此，在Rt△P A O ，Rt △A O B 和Rt △P B O 中，有cos α=OA PA ，cos β=AB OA ，cos γ=AB PA因此有 cos γ=cos α·cos β．例13．已知三棱锥P —AB C 的三条侧棱P A 、P B 、PC 两两互相垂直．(1)求证点P 在平面AB C 内的射影G 是△AB C 的垂心；(2)求证△A P B 、△B PC 、△CP A 的面积平方和等于△AB C 面积的平方；(3)设二面角P —AB —C 、P —B C —A 、P —C A —B分别为α、β、γ，求证cos α·cos β·cos γ≤39 证明：（1）P A ⊥P BP A ⊥PC ⇒P A ⊥平面PB C⇒ P A ⊥B C ⇒A G ⊥B CP B ∩P B =点P PC ⊂平面P B C A G 是P A 的射影同理 B G ⊥A C ，CG ⊥AB 所以G 是△AB C 的垂心．（2）延长A G 交B C 于H ，连结P H ，∵P A ⊥平面P B C ，P H ∈平面P B C ，∴P A ⊥P H 即∠A P H =900．在Rt △P AH 中，P H 2=AH ·G H ．∴（S △B PC ）2=14B C 2·P H 2=14B C 2·AH ·G H =（12B C ·AH ）（12B C ·G H ）=S △AB C ·S △G B C ． 同理（S △A P B ）2=S △AB C ·S △GBC ，（S △CP A ）2=S △AB C ·S △GC A ，将三式相加，便得（S △B PC ）2+（S △CP A ）2+（S △A P B ）2=（S △AB C ）2(3)∵cos=S S GAB PAB ∆∆，cos=S S GBC PBC ∆∆，cos=S S GCA PCA∆∆， ∴cos 2+cos 2+cos 2=1 ∵cos cos cos (cos cos cos )22232221313αβγαβγ⋅⋅≤++= ∴cos cos cos 222127αβγ⋅⋅≤ ∵α、β、γ为锐角．∴cos cos cos αβγ⋅⋅≤39【思维扩散】空间的直线与平面是立体几何第一章的重点．每种位置关系展开都有一系列判定定理和性质定理，学习过程中对定理的条件，定理应用的适用范围必须作周密的考虑和判定，不能一概而论，肓目应用．看下面的两个命题：命题1．已知平面α∩平面β=直线l ，直线b ∥平面α，直线b ∥平面β，则直线∥b ．命题2．已知P A 是平面α的斜线，PO 是平面α的垂线，如果直线l 垂直于斜线P A ，那么直线l 一定垂直于其射影PO ．命题1中的结论显然是正确的，可以这样来证明：过直线b 作平面γ，设γ∩β=直线a ，则因为直线b ∥平面β，所以直线b ∥直线a ，又因为直线b ∥平面α，直线a 在平面α外，所以，直线a ∥平面α，平面β是经过a 且与平面α相交于直线l 的平面，所以直线a ∥直线l ，由三线平行公理知直线b ∥直线l ．命题2中的结论显然是错误的．平面α的垂线，斜线摆好以后，三垂线定理说的是“平面α内”的直线l ，这个条件省略以后，命题就可能是不正确的．因为垂直于斜线P A 的直线许多种不同的位置，只要在垂直于P A 的 平面内的直线都垂直于P A ，但显然不能都与射影O A 垂直．思想问题首先应该严格按照命题的条件，题目的已知，其次是在允许范围内多方位、多角度地思考问题，可以为我们创造性思维的培养奠定坚实的基础．三、智能显示【心中有数】本单元直线与平面的位置关系是立体几何第一章线面关系的重点，主要是空间直线与平面平行、空间直线与平面垂直及空间直线与平面斜交三种位置关系，每种位置关系都有定义、判定、性质等一整套理论，必须熟练地掌握，正确地使用．【动脑动手】解答下列一组题目，以检查学习效果：1．已知直线a 、b 和平面α，以下四个命题中，①a ∥b②a ⊥α ⇒b ⊥α⇒ a ∥b a ⊥αb ⊥α ③a ⊥α④a ∥α ⇒ b ∥α⇒ b ⊥α a ⊥ba ⊥b 其中正确命题是(A ) ①、②（B ）①、②、③ (C) ②、③、④ （D ）①、②、④2．已知直线m 、n 和平面，则α⊥β的一个充分条件是（A ）m ⊥n ，m ∥α，n ∥β（B ）m ⊥n ，α∩β=m ，n ⊂α（C ）m ∥n ，m ⊂α，n ⊥β（Ｄ）m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β3．如果直线l 是平面α的斜线，那么在平面内（A ）不存在与l 平行的直线（B）不存在与l垂直的直线（C）与l垂直的直线只有一条（Ｄ）与l平行的直线无数多条4．在下列命题中，偶命题是（）（A）若a、b是异面直线，则一定存在平面α，过a且与b垂直（B）若a、b是异面直线，则一定存在平面α，过a且与b垂直（C）若a、b是异面直线，则一定存在平面α，与a、b所成的角相等（Ｄ）若a、b是异面直线，则一定存在平面α，与a、b的距离相等5．如图，点P是三棱锥S—AB C的面S B C内一点．（1）过P作PQ∥平面AB C；（2）过（1）中得到的PQ作平面α∥平面AB C；（3）在面AB C内求一点R，使PR∥平面S AB，且R到A C和B C的距离相等．6．已知M、N是棱长为a的正方体AB CD—A1B1C1D1中棱A1B1和A1D1的中点．（1）求证B D∥平面A MN；（2）求点B到平面A MN的距离．【创新园地】正四棱柱AB CD—A1B1C1D1中，AB=a，AA1=b (b＞a)，A M⊥A1B，交B1B于点M．（1）求证：B D1⊥平面M A C；（2）求点B到平面M A C的距离．证明：（1）D1A1是平面AA1B1B的垂线，B D1是平面AA1B1B的斜线，A1B是斜线B D1在平面AA1B1B内的射影，A M是平面AA1B1B内的一条直线，因为A M⊥A1B，由三垂线定理知B D1⊥A M；又D1B⊥A C，A C∩A M=点A，所以B D1⊥平面M A C．（2）解法（一），作对角面BB1D1D，交A C于O，连OM，则OM就是对角面BB1D1D 与平面M A C的交线，∵A C⊥平面BB1D1D，∴平面A MC⊥平面BB1D1D，在平BB1D1D内，作BH⊥OM于点H则BH就是点B到平面M A C的距离．∵AB=a，AA1=b，Rt△AB M∽Rt△A1AB，∴BMABABAA=1，∴B M=ab2．又∵B O=22a，∴MO=BM BOaba b2222242+=+．因此BH=BM BOMOa a ba b⋅=++2222222．解法（二）：∵AB=a, AA1=b，同理求得B M=ab2．因为AB C的面积为12a2，所以三棱锥M—AB C的体积是V SH a a b a b==⋅⋅=1313126224． 另一方面，因为B O=a 22a ，MO=2222b a b a +， 所以A MC 的面积为 S A MC=12A C ·MO=22222b a ba +． 设B 到平面A MC 的距离为x ，则三棱锥M —AB C 的体积又可以这样计算：x S V A M C ⋅=∆31 所以 ba b a b a x 622314222=+⋅ 即 x =2222222ba b a a ++ 因此点B 到平面A MC 的距离为2222222b a b a a ++． 评析：求点到平面的距离，方法很多，可能直接作出这个距离来求，一般要用到平面与平面的垂直．因为两个平面互相垂直，在一个平面内垂直于它们交线的直线，垂直于另一个平面．点到平面的距离就可以求出来了．另一种方法是不作出距离，而是利用体积法换法，直接求出点到平面的距离．（本单元完）【思维基础】答案：1．C ；2．C ； 3．A ； 4．B ； 5．7；6．1360； 7．A E=6．【动脑动手】答案：1．A ；2．C ； 3．A ； 4．B ； 5．略； 6．a 32．四、同 步 题 库A 组（一）选择题1.下面说法中，正确的是（ ）（A ）若一条直线与一个平面不相交，则这条直线和这个面平行；（B ）若一条直线与一个平面内任何一条直线都不相交，则此直线与这个平面平行； （A ） 若直线上有无数个点不在平面内，则这条直线与平面平行；（B ） 若直线与平面内无数条直线平行，则这条直线与这个平面平行.2.直线与平面垂直是指（ ）（A ） 直线与平面只有一个公共点；（B ） 直线与平面内的两条直线都垂直；（C ）直线与平面内无数条直线都垂直； （D ）直线与平面成90°角.3.和一个平面成等角的两条直线的位置关系（ ）（A ）平行； （B ）相交； （C ）异面； （D ）以上都可能 4.P 是△ABC 所在平面外一点，若PA=PB=PC ，则P 在平面ABC 内的射影是△ABC 的（ ）（A ）外心； （B ）内心； （C ）垂心； （D ）重心 5.下列命题中正确的是（ ） （A ）⎩⎨⎧⊥⇒⊥b a a b a α//； （B ）⎩⎨⎧⇒⊥⊥b a a b a //α（C ）⎩⎨⎧⇒⊥⊥αα//a b a a （D ） ⎩⎨⎧⊥⇒⊥ααb ba a //6.如图，AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高，PA ⊥D 面ABC ，图中共有直角三角形有（ ）7.直角三角形ABC 的斜边AB 在平面α内，直角项点C 在α上的射影为C′，△ABC′是（ ） （A ）直角三角形 （B ）锐角三角形；（C ）钝角三角形 （D ）锐角或钝角三角形8.在矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，PA ⊥平面ABCD ，且PA=1，则P 到对角线BD 的距离是（ ）（A ）2921； （B ）513； （C ）517； （D ）119519.长方体的一条对角线与各个面所成的角为α、β、γ，则下列等式正确的是（ ） （A ）sin2α+sin2β+sin2γ=32； (B)cos2α+cos2β+cos2γ=1 (C) sin2α+sin2β+sin2γ=2； (D)cos2α+cos2β+cos2γ=210.对两条异面直线在同一平面内的射影，下列说法中正确的是（ ）（A ）不可能是两点； （B ）不可能是一直线和一点（C ）不可能是两平行线； （D ）不可能是两相交直线 （二）填空题1.a ∥b,b ⊂a,则直线a 、b 的位置关系是 .2.已知点A 和直线l ，A ∉l,则过点A 与直线l 平行的直线有 条；过点A 与直线l 垂直的直线有 条；过点A 作与直线l 平行的平面有 个；过点A 作与直线l 垂直的平面有 个.3.在棱长为a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点A 到C 1D 的距离为 ；点A 到B 1C 的距离为 ；点A 到平面BB 1D 1D 的距离为 ；AA 1到平面BB 1D 1D 的距离是 ，AA 1与BD 1的距离是 .4.若PO ⊥平面AOB ，∠AOB=90°，AB=a ，∠PAO=∠PBO=α，C 是AB 的中点，则PC= .5.l 是平面α内直线，A 是α外一点，设A 到α的距离为d 1,A 到l 的距离为d 2,则d 1 d 2.6.AB ∥平面α,AA′⊥α于A′，BB′是α的斜线，B′是斜足，若AA′=9，BB′=36，则BB′与α所成角为 .7. ∠XOY=60°在平面α内，OA=α是α的斜线，∠AOX=∠AOY=45°，则点A 到α的距离是 .8.如果平面外的一条直线上有两点到这个平面的距离相等，则这条直线和这个平面的位置关系是 .9.△ABC 的面积为S ，BC α，点A 到面平α的距离等于点A 到BC 的距离的53，则△ABC 在α上的射影的图形面积是 .10.点P 到平面α的垂线段PO=12cm ，斜线段PA 、PB 分别为13cm 和20cm ，则A ，B 两点的最大距离是 .最小距离是 .(三)解答题1.已知P 是□ABCD 所在平面外一点，M 是PD 的中点（如图），求证：PB ∥平面MAC.2.已知直线l ∥平面α，l ∥平面β，且α β=m ，（如图）.求证：l ∥m.3.在空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD ，AD ⊥BC ，求证：BD ⊥AC.4. 如图，线段AB=α，在平面α内，CA ⊥α，BD 与α所成角为30°，BD ⊥AB ，C 、D 在α同侧CA=BD=b ，求：（1）CD 的长； （2）直线CD 与α所成角的正切值.5.如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB=2，BC=CA=AA 1=1，A 1在底面ABC 上的射影是O 点.（1）O 与B 能否重合？试证明你的结论；（2）若O 在AC 上.求BB 1与侧面AC 1的距离.B 组（一）选择题1.下列四个命题中 （1）若a ∥α，b ∥α, 则a ∥b ；（2）若a ∥b, a ∥α,则b ∥α； （3）若a ∥α,则a 平行于α内的任意直线；（4）若a 平行于α内的无数条直线，则a ∥α.其中正确的命题个数是（ ）（A ）0； （B ）1； （C ）2； （D ）3 2.下列命题中正确的是（ ） （A ）若a ⊥α,b ⊥α,c ⊥α,则直线α平行于过直线b 、c 的平面；（B ） 若a ∥α,b ∥α,且a 、b 到平面α的距离不相等. 则a 、b 是异面直线； （C ） 若a ∥α, b ∥α,且a 、b 到平面α的距离相等，则a 、b 相交或平行；（D ）若a ∥α, b ∥α，且a 、b 到平面α的距离相等，则与a 、b 都相交的直线在平面α外.3.在同一平面α的射影等长的两条线段是（ ） （A ）如果有一公共端点，则它们必等长；（B ） 如果等长，则它们必有公共点；（C ）如果平行，则它们必等长； （D ）如果等长，则它们必平行.4.与空间四边形ABCD 四个顶点距离相等的平面有（ ）（A ）4个； （B ）5个； （C ）6个； （D ）7个5.AB 是⊙O 的直径，SA 垂直于⊙O 所在的平面M ，平面M 内有一动点P ，使PB ⊥PS ，则P 的位置（ ） （A ）⊙O 外； （B ）⊙O 上； （C ）⊙O 内； （D ）不能确定6.如图，正方形SG 1G 2G 3中，E ，F 分别是G 1G 2，G 2G 3的中点，D 是EF 中点. 现沿SE 、SF ，及EF 把这个正方形折成一个四面体，使G 1、G 2、G 3重合，记作G 则（A ）SG ⊥FEG ； （B ）SD ⊥面EFG ； （C ）GF ⊥面SEF ； （D ）GD ⊥面SEF7.直角△ABC 的两直角边BC=3，AC=4，PC ⊥面ABC ，且PC=59，则P 到斜边AB 的距离是（ ） （A ）3； （B ）4； （C ）15； （D ）428.斜线AB 与平面M 成θ角，BC M ，AA′⊥M ，A′是垂足，若∠ABC=α，∠A ′BC=β，则（ ） （A ）sinα=sinθsinβ; (B) sinβ=sinθsinα(C) cosα=cosθcosβ; (D) cosβ=cosθcosα（二）填空题1.将矩形ABCD沿着平行于BC的线段EF折起，连结AB和CD（如图），则AB与EF 所成角等于，BC与AE所成角等于，点A到BC的距离等于线段的长，若AE=EB=4cm，∠AEB=120°，则AD与BC的距离等于. AD与平面BCFE的距离等于, EF到平面BD的距离等于.2.Rt△ABC，∠C=90°，CA=12，BC=5，BC 平面αA到α的距离是10，则△ABC的垂心、内心到α的距离分别为.3.过平面α外一点引两条斜线，它们与α所成角分别是30°，45°，且它们在α内的射影互相垂直，则这两条线夹角的余弦值为.4.P是等腰梯形ABCD外一点，且PA=PB=PC=PD，若P在面ABCD的射影P′在梯形ABCD 外，则应满足.5.AC是平面α内的一条射线，P为α外一点，PA=2，P到α的距离为1，设∠PAC=θ，m=tgθ，则m的取值范围是.(三)解答题1.如图，两个全等正方形ABCD和ABEF，所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，求证：MN∥平面BCE.2.已知AB是异面直线a、b公垂线，AB=2cm，a、b所成角为30°，在直线a上取一点P 使PA=4cm，求P到直线b的距离.3.空间四边形ABCD中，△ ABC是正三角形，AD⊥面ABC，H是A在面BCD上的射影. 求证：H不可能是△BCD的垂心.4.如图，已知斜边为AB的Rt△ABC，过点A作AP⊥平面ABC，AE⊥PB于点E，AF⊥PC 于点F，（1）求证：PB⊥平面AEF.(2)若AP=AB=2，试用tgθ(θ是∠BPC)表示△AEF 的面积.当tgθ取何值时，△AEF 的面积最大？最大面积是多少？C 组（一）选择题1.在空间中，给出如下命题 （1）垂直于同一直线的两直线平行；（2） 平行于同一平面的两直线平行；（3）与同一平面成等角的两直线平行； （4） 与同一平面内的射影是两条平行线的两直线平行，其中真命题的个数是（ ）（A ）0； （B ）1； （C ）2； （D ）3.2.从平面外一点向平面引垂线和若干斜线，若斜线与平面所成的角相等，则（ ）（A ）斜足一定是正多边形的顶点； （B ）垂足是斜足为顶点的多边形的内心；（C ）垂足是斜足为顶点的多边形的外心； （D ）垂足是斜足为顶点的多边形的垂心.3.如图，PC ⊥面α，垂足为C ，AB α，CB ⊥AB ，垂足为B ，则线段PA 、PB 的大小关系是（ ）（A ）PA<PC<PB; (B) PC>PB>PA;(C) PA<PB<PC; (D) PB>PA>PC.4.若a ∥α，且a 和α的距离为d ，则平面α内（ ）（A ）有且只有一条直线与l 的距离为d ； （B ）所有直线与l 的距离都等于d ；（C ） 有无数条直线与l 的距离都等于d ； （D ）所有直线与l 的距离都不等于d.5.线段AB 两端点到平面α的距离分别是6cm 和10cm ，则它的中点到α的距离是（ ） （A ）6cm; (B)8cm; (C)2cm; (D)8cm 或2cm6.异面直线a 、b 互相垂直，它们与平面β都相交，若α与β所成角为38°，则b 与β所成角大小（）（A）一定是52°；（B）最大是52°；（C）最小是52°；（D）可以是0°90°中的任意角度（二）填空题7.直线与平面所成的角α的取值范围.8.若P是△ABC所在平面外一点，且PA、PB、PC两两垂直，则P在△ABC内的射影是△ABC的.9.直线EF平行于平面α内的两直线AB、CD，EF与α的距离为15，与AB的距离是17，又AB与CD间的距离是28，则EF和CD的距离是.10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱DD1的中点,O是底面ABCD的中心,P为棱A1B1上任意一点,则直线OP与直线AM所成的角是.(第10题)(三)解答题11.如图，已知AB和CD是异面直线，AB⊥平面α于B，CD⊥平面β于D，且AC是AB 和CD的公垂线，α β=l.求证：AC∥l12.PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB和PC的中点. (1)求证：MN∥平面PAD.（2）求证：MN⊥CD；（3）若∠PDA=45°，求证：MN⊥平面PCD.(第11题) (第13题)13.如图，正方体，ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，O、O1分别是ABCD与A1B1C1D1的中心；（1）求证：OD1∥平面A1C1B1.（2）求D1O与平面A1C1B的距离；（3）求BD 与平面A 1C 1B 所成角.答案与提示同步题库A 组（一）选择题1.B2.D3.D4.A5.B6.B7.C8.B9.D 10.A (二)填空题 1.异面成平行2.1； 无数； 无数；13.a; a; a a a 22;22;22. 4.α2212tg a+; 5．≤； 6．60° 7．a 338. 平行或相交 9．S 5410．21cm; 11cm (三)解答题 1．（略） 2．（略） 3．（略）4．（1）CD=22b a +； （2）2234ba b +5．（1）不垂直，（2）BB 1与侧面AC 1的距离即为BC 长即BC=1.B 组（一）选择题 1.A 2.D 3.C 4.D 5.B 6.A 7.A 8.C(二)填空题1. 90°; 90°; AB;43cm; 23cm; 2cm.2.310cm; 35cm 3.42 4.∠ABD>90°(或∠ACD=90°) 5.m≥33。

培养学生的几何观从平面到立体的过程在培养学生几何观的过程中，从平面到立体是一个重要的环节。

通过学习几何知识，学生能够逐渐理解和掌握平面和立体几何的概念，并培养出立体思维和空间想象能力。

以下将从平面几何和立体几何两个方面，分析培养学生几何观的过程。

一、培养平面几何观平面几何是学生学习几何的起点，也是理解几何概念的基础。

在学习平面几何的过程中，可以通过以下几个方面来培养学生的几何观。

1. 学习平面几何的基本概念首先，学生需要了解平面、点、线等基本概念。

学生可以通过观察周围环境，比如教室的地板、墙壁等，思考其中的平面和线的概念。

通过实物的观察和感知，帮助学生对平面几何的基本概念有一个直观的认识。

2. 进行几何图形的绘制和构造在学习平面几何的过程中，学生需要进行几何图形的绘制和构造。

通过绘制正方形、长方形、三角形等几何图形，学生可以增强对几何形状特点的理解，并培养出对几何图形的观察和构造能力。

3. 解决几何问题解决几何问题是培养学生几何观的重要环节。

学生需要根据给定的条件和信息，运用几何知识进行问题解答。

通过解决几何问题，学生能够加深对几何概念和性质的理解，并培养出逻辑思维和问题解决能力。

二、培养立体几何观除了平面几何，立体几何也是培养学生几何观的重要内容。

立体几何强调的是空间的认知和几何体的性质。

以下是培养学生立体几何观的几个方面。

1. 学习立体几何的基本概念学生需要学习立体几何的基本概念，比如立方体、球体、圆柱体等。

可以通过观察、实物模型以及相关图形的展示，引导学生对立体几何概念的认识，并帮助他们理解几何体的性质和特点。

2. 进行几何体的拼装和构建学生可以通过拼装积木、构建模型等方式，进行几何体的拼装和构建。

通过亲自操作，学生能够体验到几何体的三维特性，并从中感知几何体的形状、体积等属性。

3. 探索几何体的投影和展开学生可以通过绘制几何体的投影和展开图来了解几何体的特征。

通过将三维的几何体投影到二维平面上，或者将二维的图形展开成三维的几何体，学生能够深入理解几何体的结构和关系。

平面几何与立体几何的联系平面几何和立体几何作为数学中的两个重要分支，都研究了几何图形的性质和相互关系。

虽然它们在研究对象和方法上有所不同，但二者之间存在着密切的联系。

本文将通过介绍平面几何和立体几何的基本概念和性质，然后详细讨论二者之间的联系。

1. 平面几何的基本概念和性质平面几何是研究二维平面上的几何图形的学科。

它研究封闭曲线和曲线之间的关系，包括点、线、角以及它们之间的运算。

平面几何的基本概念有点、线段、直线、角等，其中点是平面上最基本的单位，直线是由无限多个点组成的无限集合。

此外，平面几何还有一些基本公理，如点在直线上，两点确定一条直线等。

平面几何的性质是指在平面上各种几何图形之间的相互关系。

例如，平行线具有平行性，垂直线之间的夹角为90度，等边三角形的三边相等等。

这些性质是通过推理和证明得到的，为平面几何的发展提供了坚实的基础。

2. 立体几何的基本概念和性质立体几何是研究三维空间中的几何图形的学科。

它研究空间中的点、线、面以及它们之间的关系和性质。

立体几何的基本概念有点、线段、平面、体等，其中体是由无限多个点构成的三维图形。

与平面几何类似，立体几何也有一些基本公理，如平面上的两点确定一条直线，空间中的两点确定一条直线等。

立体几何的性质是指空间中各种几何图形之间的相互关系和特点。

例如，平行面之间的距离保持不变，正方体的六个面相互平行等。

立体几何的性质同样需要通过推理和证明来得到。

3. 平面几何与立体几何的联系虽然平面几何和立体几何是两个独立的学科，但它们之间存在着紧密的联系。

首先，平面几何可以看作是立体几何的一种特殊情况，即当所有的几何图形都在一个平面上时，就可以把它们看作是立体几何的一部分。

因此，平面几何可以被看作是立体几何的一个子集。

其次，平面几何和立体几何都研究了点、线、角等基本概念和性质，这些概念和性质在两个学科中都有着重要意义。

例如，平行线和垂直线的概念在平面几何和立体几何中都有明确的定义，并且具有相似的性质。

平面几何于立体几何的关系与应用平面几何与立体几何的关系与应用几何学是数学的一个分支，主要研究空间中的形状、大小、相对位置等性质。

平面几何和立体几何是几何学中的两个重要分支，它们之间存在着密切的关系与应用。

本文将探讨平面几何与立体几何之间的关系，并介绍一些相关的应用。

一、平面几何的基本概念与性质平面几何是研究平面图形的形状、结构和性质的数学分支。

在平面几何中，我们熟悉的图形包括点、线、角、多边形等。

这些图形具有一些基本的性质，如点没有大小，线由无数个点组成，角由两条射线共同确定等。

通过研究这些性质，我们可以得出一些结论，如同位角相等、平行线之间的夹角等。

二、立体几何的基本概念与性质立体几何是研究空间中的立体图形的形状、结构和性质的数学分支。

在立体几何中，我们熟悉的图形包括立方体、圆柱体、球体等。

这些图形具有一些基本的性质，如立方体的六个面都是正方形、圆柱体的底面和顶面平行等。

通过研究这些性质，我们可以得出一些结论，如体积公式、表面积公式等。

三、平面几何与立体几何的关系平面几何与立体几何之间存在着密切的关系。

首先，平面几何是立体几何的一部分，它研究的是立体几何中的平面图形。

例如，在研究立方体时，我们可以通过切割立方体得到一个平面图形，进而对这个平面图形进行分析。

其次，立体几何中的一些性质可以通过平面几何的方法进行证明。

例如，我们可以利用平行线之间的夹角性质来证明两个平行面之间的夹角性质。

因此，平面几何与立体几何之间的关系是相互依存、相互渗透的。

四、平面几何与立体几何的应用平面几何与立体几何在生活中有着广泛的应用。

首先，在建筑设计中，平面几何与立体几何的知识是必不可少的。

建筑师需要根据平面图纸设计出具有特定形状和结构的建筑物，这就需要应用到平面几何与立体几何的知识。

其次，在工程测量中，平面几何与立体几何的知识也是必需的。

工程师需要通过测量来确定地面的平面形状，以及建筑物的立体结构。

此外，在计算机图形学中，平面几何与立体几何的知识也得到了广泛的应用。

高中数学中的立体几何与平面几何应用数学是一门具有广泛应用领域的学科，其在解决实际问题中的作用不可忽视。

在高中数学学习中，立体几何和平面几何是两个重要的分支，它们在现实生活中有着丰富的应用。

本文将从实际问题出发，探讨高中数学中立体几何与平面几何的应用。

一、立体几何的应用立体几何研究的是三维空间中的图形和物体，旨在通过几何方法解决与空间有关的问题。

立体几何在日常生活中的应用非常广泛，以下将从建筑、制造业和工程领域三个方面进行探讨。

建筑领域是立体几何应用的一个重要领域。

建筑设计师通常需要考虑房屋的布局、墙壁的角度、屋顶的形状等。

例如，当设计一个建筑物的屋顶时，设计师需要根据空间要求和美学需求确定屋顶的形状。

在这个过程中，立体几何的知识可以帮助设计师计算不同形状屋顶的面积、体积和角度，以确保设计的合理性和可行性。

制造业也是立体几何应用的一个典型领域。

在制造业中，产品的设计和加工过程需要依赖立体几何知识。

例如，汽车设计师需要计算汽车的体积、曲率和表面积，以便确定汽车的整体形状和空间布局。

另外，制造业中的3D打印技术也需要依赖立体几何的原理进行模型建模和打印。

工程领域也是立体几何应用的重要领域之一。

一些工程问题，如建筑工程中的土方计算、水利工程中的水流计算，以及交通规划中的道路设计等，都需要立体几何的知识。

例如，在道路设计中，交通规划师需要根据道路的曲线半径和坡度计算出最佳设计方案，以确保道路的安全性和通行效率。

二、平面几何的应用平面几何是研究平面上图形和物体的一种几何学方法。

它也在实际生活中发挥着重要的作用，尤其是在测量、设计和建模等领域。

在测量领域，平面几何是非常重要的。

例如，在地理测量中，人们需要通过测量距离和角度来确定地球上任意两点之间的距离。

这个过程需要运用平面几何的知识，包括三角函数等。

另外，在工程测量中，测量员经常需要使用平面几何的原理，测量建筑物的高度、长度和角度等。

在设计领域，平面几何也发挥着重要的作用。

平面与立体几何关系几何学是一门研究图形、形状、大小和相对位置的学科，包括平面几何和立体几何两个方面。

平面几何研究二维图形，而立体几何则研究三维物体。

本文将探讨平面与立体几何之间的关系。

一、平面与立体几何的基本概念1. 平面几何平面几何是研究平面内图形的性质和关系的学科。

它着眼于二维空间中的图形，如点、线、角、多边形等，并通过几何公理和定理来推导出各种性质和结论。

在平面几何中，平面是一个不具备厚度的无限大的表面。

2. 立体几何立体几何是研究三维空间中物体的性质和关系的学科。

它研究的对象是具有长度、宽度和高度的物体，如立方体、球体、圆锥体等。

在立体几何中，物体被认为是由一系列的平面组成的。

二、平面与立体几何的关系平面与立体几何密切相关，它们之间存在着多种关系。

1. 投影关系在平面几何中，当一个立体物体在平面上投影时，我们可以得到一个平面图形，这个图形反映了立体物体在平面上的投影关系。

例如，一个立方体在平面上投影就是一个正方形。

通过投影关系，我们可以研究立体物体的形状和特性。

2. 切割关系平面与立体几何之间还存在着切割关系。

当一个平面与一个立体物体相交时，会形成一个截面，这个截面是一个平面图形。

通过研究这个截面，我们可以得到有关立体物体的一些性质和关系。

3. 相似关系平面与立体几何之间还存在着相似关系。

当一个平面通过一个立体物体时，它们之间的形状和比例可能保持不变。

例如，一个平面通过一个球体，截得的截面仍然是一个圆。

这种相似关系使我们能够推导出立体几何的一些性质。

4. 平行关系平面与立体几何中的平行关系是另一个重要的关系。

当两个平面平行时，它们永远不会相交。

通过平行关系，我们可以研究和解决许多与平面和立体相关的问题，如平行线、平行四边形等。

三、应用案例平面与立体几何的关系在很多领域都有广泛的应用。

以下是几个应用案例：1. 建筑设计在建筑设计中，平面与立体几何的关系被广泛运用。

建筑师可以通过平面图纸来展示建筑的布局和结构，然后将其转化为立体建筑物。

数学中的平面几何与立体几何数学是一门抽象而优美的学科，其中平面几何和立体几何是数学中两个重要的分支。

平面几何研究二维空间中的图形和关系，而立体几何则探讨三维空间中的图形和关系。

在本文中，将介绍平面几何和立体几何的基本概念、性质和应用。

一、平面几何平面几何是研究二维平面上的图形和关系的数学学科。

它涉及到点、线、面等基本要素，并通过几何学的方法来研究它们之间的关系。

在平面几何中，我们常常用直角坐标系来描述图形的位置和性质。

1.1 点、线和面在平面几何中，最基本的要素是点。

点是没有大小和形状的，用来表示位置。

线是由无数个点组成的，没有宽度和厚度。

在平面几何中，我们常常用线段来表示线，线段由两个点确定。

面是由无数条线组成的，它有宽度和长度。

在平面几何中，我们研究的是平面，平面是由无数条平行线组成的，它有无限大的面积。

1.2 图形和关系平面几何中的图形有很多种类，比如点、线、圆、多边形等。

不同图形有不同的性质和关系，比如两条直线可能平行、相交或重合。

通过研究图形之间的关系，我们可以深入理解它们的性质和规律。

在平面几何中，我们经常研究的问题包括直线的斜率、两条直线的交点、多边形的内角和外角等。

这些问题在数学和物理学中都有广泛的应用。

二、立体几何立体几何是研究三维空间中的图形和关系的数学学科。

它涉及到点、线、面和体等基本要素，并通过几何学的方法来研究它们之间的关系。

2.1 点、线、面和体在立体几何中，点是最基本的要素，表示位置。

线是由无数个点组成的，线没有宽度和厚度。

面是由无数条线组成的，面有宽度和长度。

体是由无数个面组成的，它有宽度、长度和高度。

2.2 图形和关系立体几何中的图形有很多种类，比如棱锥、棱柱、球体、圆锥等。

不同的图形有不同的性质和关系，比如两个平面可能平行、相交或重合。

通过研究图形之间的关系，我们可以深入理解它们的性质和规律。

在立体几何中，我们经常研究的问题包括立体图形的体积、表面积、相交关系等。

数学中的几何从平面几何到立体几何数学中的几何：从平面几何到立体几何数学中的几何是研究空间、形体和位置关系的学科。

它是一门基础性学科，对于人类的认知和科学研究具有重要的意义。

几何可以分为平面几何和立体几何两个分支，它们分别研究平面内的图形和空间体的性质和关系。

本文将从平面几何开始，逐步展开对几何学的介绍和探讨。

1. 平面几何平面几何是研究平面内点、线、面及其相关性质和关系的数学分支。

它关注平面内的图形，如点、线、圆和多边形等，以及它们之间的距离、角度和相对位置的规律。

在平面几何中，常见的概念包括：直线、射线、线段、角度、垂直、平行等。

另外，平面几何的基本公理是欧几里德几何的基础，被广泛应用于日常生活和科学研究中。

2. 立体几何立体几何是研究三维空间体和其中的图形性质的学科。

与平面几何不同的是，立体几何考虑的是有厚度、有体积的实体，如立方体、圆柱体、球体等。

在立体几何中，我们研究的对象有面、线和点，以及它们之间的距离、角度和相对位置的规律。

立体几何的应用非常广泛，包括建筑设计、工程制图以及计算机图形学等领域。

3. 数学中的几何应用数学中的几何不仅仅只是一门抽象的学科，它在各个领域都有广泛的应用。

例如在物理学中，几何的概念被用于描述物体的形状和运动；在计算机科学中，几何算法被用于图形处理和模型设计；在经济学中，几何方法被用于分析市场和优化资源分配等。

几何学的发展也推动了科学的进步和人类文明的发展。

总结：数学中的几何从平面几何到立体几何，涵盖了空间、形体和位置关系的研究。

平面几何主要研究平面内图形的性质和关系，而立体几何则研究三维空间体和其中的图形性质。

数学中的几何不仅具有理论意义，还广泛应用于各个领域，推动了科学和人类文明的进步。

通过学习和应用几何学，我们可以更好地理解和描述我们周围的世界。

平面与立体的几何变换几何变换是指通过一系列操作使得几何图形在平面或者立体空间中发生形状上的变化。

平面与立体的几何变换在数学和计算机图形学中有着广泛的应用。

本文将介绍平面与立体的几何变换的基本概念、常见的变换方式，并探讨其在实际中的应用。

一、平面几何变换1. 平移变换平移变换是指将平面上的图形沿着某个方向进行平行移动的操作。

平移变换可以通过将图形上的每一个点的坐标分别加上相应的平移量来实现。

平移变换不改变图形的形状和大小，只改变其位置。

在二维平面坐标系中，平移变换可以表示为：x' = x + dxy' = y + dy其中，(x, y)为原始图形上的点的坐标，(x', y')为变换后图形上的点的坐标，dx和dy分别为平移的距离。

2. 旋转变换旋转变换是指将平面上的图形绕指定的旋转中心进行旋转的操作。

旋转变换可以通过将图形上的每一个点绕旋转中心按照一定的角度进行旋转来实现。

在二维平面坐标系中，旋转变换可以表示为：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ其中，(x, y)为原始图形上的点的坐标，(x', y')为变换后图形上的点的坐标，θ为旋转角度。

3. 缩放变换缩放变换是指将平面上的图形按照一定的比例进行放大或缩小的操作。

缩放变换可以通过将图形上每一个点的坐标按照一定的比例进行扩大或缩小来实现。

在二维平面坐标系中，缩放变换可以表示为：x' = x * sxy' = y * sy其中，(x, y)为原始图形上的点的坐标，(x', y')为变换后图形上的点的坐标，sx和sy分别为沿x轴和y轴的缩放比例。

二、立体几何变换1. 平移变换立体空间中的平移变换与平面几何中的平移变换类似，只是需要将图形的每一个点的三维坐标分别加上相应的平移量。

2. 旋转变换立体空间中的旋转变换与平面几何中的旋转变换类似，只是需要将图形的每一个点的三维坐标按照一定的角度绕旋转中心进行旋转。

高中数学平面向量与立体几何引言数学中的平面向量与立体几何是高中数学中的重要内容。

平面向量可以用于表示物体的位移、速度、加速度等物理量，而立体几何则研究了空间中的各种几何体及其性质。

本文将介绍平面向量和立体几何的基本概念、性质和解题方法。

一、平面向量的概念与表示方法平面向量是具有大小和方向的量，常用箭头符号表示。

我们可以用有向线段或坐标表示平面向量。

有向线段表示法中，线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的大小。

坐标表示法中，向量的起点为原点，终点的坐标减去起点的坐标即为向量的坐标。

二、平面向量的运算1. 平面向量的加法与减法平面向量的加法满足“三角形法则”，即将两个向量的起点相连，作两个向量的和的终点。

平面向量的减法可以看作加上一个负向量，即求和后的相反数。

2. 平面向量的数量积与向量积平面向量的数量积等于向量的模长相乘再乘以它们的夹角的余弦值。

平面向量的向量积满足“右手法则”，即两个向量的向量积的模长等于两个向量模长的乘积再乘以它们的夹角的正弦值，并且与两个向量垂直。

三、平面向量的应用平面向量的应用非常广泛。

在物理学中，通过平面向量可以描述力的作用、速度和加速度等物理量。

在计算几何中，平面向量可以表示线段、平行线、线段的中点等几何概念。

在几何证明中，平面向量的性质可以帮助解决一些几何问题。

四、立体几何的基本概念与性质立体几何研究了空间中的各种几何体及其性质，如点、线、面、体积等。

以下是立体几何中的一些基本概念和性质的介绍：1. 空间直线和平面的交点在空间中，直线和平面可能相交于一点，也可能平行、重合于一直线。

这取决于直线与平面的位置关系。

2. 空间几何体的投影几何体在空间中的投影是指从该几何体上的点沿垂直于投影面的线段所得到的图形。

这在空间中很常见，例如日常生活中的影子即为投影。

3. 空间角的概念空间中两条线段或两个平面之间的夹角被称为空间角。

空间角的大小可以通过它们之间的夹角的余弦值来确定。

高考数学中的立体几何与平面几何的异同高考数学中，几何是一个不可避免的考点。

而几何又可以分为立体几何和平面几何两部分。

虽然这两部分内容有交叉，但是它们各具特色，有着非常明显的异同。

本文将从三个方面来分析高考数学中立体几何与平面几何的异同：内容难度、知识体系、应用场景。

一、内容难度高考数学中，立体几何相较于平面几何更为困难。

立体几何内容繁杂，理论知识相对于平面几何更为深奥，需要学生掌握三维图形的基本概念，如视角、正二十面体、正六面体等等。

另外，立体几何所涉及的运算和理论也更加复杂。

比如，立体图形的表面积和体积计算、旋转体的概念和分析等都是难点。

而相对于立体几何，平面几何相对简单一些。

平面几何理论基础浅显，知识点相对温和。

在高考数学中，平面几何是切实可行的，但也需要学生细心求证，考究出题者的考点设置。

二、知识体系立体几何、平面几何都是几何学的重要分支，可以说分别在一定程度上体现出几何知识的立体性和平面性。

立体几何主要是研究三维立体图形之间的关系，涉及到的知识点包括三视图、投影、截面、相似，是对数学中立体的完整描述。

而平面几何则主要涉及到平面内的图形，是对数学中平面的完整描述。

这两部分内容它们之间的关系密切，都涉及到许多相似和共性。

比如，平面内的角度运算便是立体几何中求两平面夹角的基础。

三、应用场景在日常生活中，平面几何及其运用较多。

比如地图上的尺度投影、画画设计、多媒体展示等都需要依赖于平面几何及其知识体系。

而立体几何在机械制图、建筑结构设计、工程求解等领域则占有重要的地位。

它的应用场景广泛，具备非常实际的意义。

结尾高考数学中立体几何与平面几何的异同，对于同学们来说是一道全新的未探明的课题。

本文从难度、知识体系和应用三方面来归纳总结其差异。

我们希望借此方式，能够提高同学们对几何这一重要学科的认知度和掌握度。

平面几何与立体几何的联系几何学是研究空间和形状的学科，涉及到平面几何和立体几何两个主要分支。

平面几何研究的是二维图形、点、线、角等，在二维平面上进行推理和证明；而立体几何则关注三维物体、空间图形等，研究物体的体积、表面积以及其他性质。

虽然平面几何和立体几何是两个不同的领域，但它们之间存在着密切的联系。

本文将从几何的基本概念、性质和应用的角度，探讨平面几何与立体几何之间的联系。

一、基本概念的联系1. 点、线、面的关系：几何学中的基本元素包括点、线和面。

在平面几何中，点是二维空间中没有大小的位置；线是由无数个点组成的，它只有长度没有宽度；而面是由无数个线组成的，它具有长度和宽度。

立体几何中的点、线、面的概念与平面几何中的类似，但在立体几何中还引入了体的概念，它是由无数个面组成的，具有长度、宽度和高度。

2. 角的概念：角是几何学中的一个重要概念，它由两条射线共同确定，并以其公共的端点来命名。

在平面几何中，角是由两条线段所确定的，它只存在于平面上；而在立体几何中，角不仅可以存在于平面上，还可以存在于空间中，具有垂直角、锐角、钝角等不同类型。

二、性质的联系1. 平面与立体的相交关系：平面几何和立体几何中都涉及到物体之间的相交关系。

在平面几何中，两条线相交于一个点，两个平面相交于一条直线；在立体几何中，直线可以与面相交，面也可以相互相交。

通过对线和面相交关系的研究，可以将平面几何和立体几何相联系起来。

2. 投影的应用：投影是几何学中常用的一种方法，用于将三维物体的形状在二维平面上显示出来。

在平面几何中，经常使用投影来确定图形的位置和形状；在立体几何中，投影也被广泛应用于绘图、建筑、工程等领域。

通过投影，可以将立体几何中的实际问题转化为平面几何中的计算问题，加深了平面几何与立体几何的联系。

三、应用的联系1. 几何测量：无论是平面几何还是立体几何，几何测量都是其中重要的应用之一。

平面几何中，测量长度、角度等是常见的操作；立体几何中，测量体积、表面积等也是常见的操作。

数学教案：从平面到立体。

一、从平面到立体在数学教学中，图形的认知和理解是非常重要的。

其中，从平面到立体是一个重要的课题。

在这个过程中，学生需要了解一些基础知识，包括表面积、体积、欧拉公式等等。

通过这些基础知识，学生能够更好地理解立体图形的构成和性质。

二、立体图形的相关知识在数学教学中，关于立体图形的相关知识有很多。

其中，包括各种立体图形的形状、结构和性质等等。

例如，学生需要了解正方体、长方体、圆锥、圆柱等常见的立体图形的性质和计算方法。

同时，学生还需要学会计算立体图形的表面积和体积等重要计算方法。

三、立体图形的应用在实际生活中，立体图形的应用是非常广泛的。

例如，建筑工程项目中经常需要计算建筑物的表面积和体积等相关数据；医学诊断方面也需要对立体图形进行分析。

因此，学生需要了解立体图形的实际应用，这也是立体图形教育的重要目的之一。

四、数学教案：从平面到立体的实践方法在实践中，设计一份完整的数学教案：从平面到立体需要遵循以下几个步骤：1、确定教学目标：确定教学目标是设计好一个数学教案的重点。

在从平面到立体的数学教学中，教学目标既包括数学知识的学习，也包括学生的创造性思维。

2、设计教学内容：设计教学内容需要结合学生的实际情况和年龄特点。

在课程设计中，可以设计一些互动性强的活动，如立体组合游戏、通关游戏等，提高学生的学习兴趣。

3、教学方法：立体图形的教学方法需要多元化，例如，可以通过动画、视频等多媒体教学方法让学生更好地理解立体图形的概念和计算方法。

4、评估方法：在教学过程中，评估学生的学习情况也是非常重要的。

可以通过测试、考试等方式来评估学生的学习成果。

五、总结数学教案：从平面到立体是数学教育领域中非常重要的课程之一。

通过学习这一课程，不仅能够提高学生的三维想象力和数学思维能力，同时还能在实际生活中应用到所学知识。

在实际教学中，设计好的数学教案和教学方法能够更好地帮助学生理解立体图形的概念和计算方法，提高学生的学习兴趣和学习成果。

高中数学如何利用平面解决立体几何问题立体几何是数学中一个重要的分支，它研究了在三维空间中各种形状的性质和关系。

而平面几何则是研究二维空间中的形状和关系。

尽管平面几何与立体几何看似不同，但高中数学中常常通过运用平面几何的知识和方法来解决立体几何的问题。

本文将探讨高中数学如何利用平面解决立体几何问题的方法和技巧。

一、投影法投影法是一种常见且有效的利用平面解决立体几何问题的方法。

通过将立体图形在某一平面上进行投影，可以使问题转化为更简单的二维问题。

在投影过程中，常用的投影面有平面、柱面、球面等。

以平面投影为例，我们可以利用平行投影或透射投影的原理将三维空间中的立体图形投影到一个平面上，然后通过分析二维平面上的投影图形来解决问题。

例如，在求解两条直线的夹角时，可以将两条直线在平面上进行投影，然后计算投影直线的夹角。

二、截面法截面法也是一种常用的利用平面解决立体几何问题的方法。

通过选取适当位置的切割平面，将立体图形切割成一个个平面图形，从而转化成对平面图形的分析和求解。

在截面过程中，我们可以运用平面几何的知识和技巧来解决立体图形的性质和问题。

举个例子，当我们需要计算一个圆柱体的体积时，可通过在圆柱体内部选择一个与底面平行的截面平面，将圆柱体截成一系列的圆和矩形，然后利用圆和矩形的面积公式来计算截面面积，最后再进行累加求和，从而得到圆柱体的体积。

三、平面切割法平面切割法是利用平面几何中的切割原理来解决立体几何问题的方法。

通过选取适当的切割平面，将立体图形分割成一系列形状简单、易于分析的平面图形，然后运用平面几何的知识和方法来研究和解决问题。

举个例子，在求解球体的体积时，我们可以通过平面切割法将球体切割成无数个圆盘状的薄片，然后对每个圆盘状薄片的面积进行累加求和，最终得到球体的体积。

四、平行四边形法平行四边形法是一种利用平行四边形的性质解决立体几何问题的方法。

当我们遇到需要求解立体图形的长度、角度或者面积时，可以利用平面上平行四边形的性质和定理来进行计算和推导。

演变从平面几何到立体几何几何学是数学的一个重要分支，研究的是空间中的形状、大小、位置以及相互关系。

它可以分为平面几何和立体几何两个方面。

平面几何主要研究二维空间内的图形和性质，而立体几何则探究三维空间中的立体体积、表面积和形状特征。

两者之间存在着密不可分的联系和演变关系。

本文将从平面几何演变到立体几何的历程进行探讨。

一、平面几何的基础平面几何，即欧几里德几何，是几何学的基础学科。

它起源于古希腊，由古希腊数学家欧几里得整理出版的《几何原本》奠定了其基础。

平面几何研究了点、直线、线段、角等基本元素以及它们的相互关系和性质。

欧氏几何的基本特点是在二维平面上进行推理和证明，利用公理和定理论证出几何性质。

二、立体几何的发展随着几何学的不断发展，人们开始探究三维空间中物体的性质和关系，逐渐形成了立体几何这门学科。

立体几何最早起源于古埃及和古巴比伦文明，在建筑和测量方面有着广泛的应用。

随后，古希腊数学家阿基米德在立体几何方面做出了突出贡献，他研究了球、圆柱和圆锥等几何体的体积和表面积计算方法。

这些成果为立体几何的发展奠定了基础。

三、平面几何向立体几何的演变平面几何和立体几何具有内在的联系，平面上的图形可以通过加厚、拉伸等方式变成立体图形，也可以通过截面等操作将立体图形还原为平面图形。

因此，平面几何与立体几何之间存在着自然的过渡和联系。

1. 从二维到三维平面几何的基本图形包括点、线段、直线和角，而在立体几何中，这些基本元素可以进一步延伸为体积、表面积和立体角。

例如，一个平面图形如正方形可以加厚成一个立方体；一个圆可以拉伸成一个圆柱体等。

这种从平面到立体的变化将原本只存在于二维空间的图形赋予了三维的形态和特征。

2. 平面与立体的交互在几何学中，平面和直线是最基本的元素，而它们恰恰也是立体图形中的边界线和截面。

平面与立体之间的交互关系在几何学中扮演着重要角色。

例如，在计算一个三棱锥的体积时，可以通过将该三棱锥分解为几个平面图形（如三角形）来计算，进而得到最终的结果。