人教A版选修1-1,1-2课本例题习题改编

人教版高中数学全套教材例题习题改编 人教A 版必修1课本例题习题改编1.原题(必修1第七页练习第三题（3））判断下列两个集合之间的关系：A={}{}|410|20,x x x N B x x m m N ++∈==∈是与的公倍数，， 改编 已知集合4x x M xN N **⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭且10，集合40x N x Z ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭，则（ ）A ．M N =B ．N M ⊆C ．20x MN x Z ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭D ．40x MN x N *⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭解：{}20,M x x k k N *==∈， {}40,N x x k k Z ==∈，故选D .2.原题（必修1第十二页习题1.1B 组第一题）已知集合A={1，2}，集合B 满足A ∪B={1，2}，则这样的集合B 有 个.改编1 已知集合A 、B 满足A ∪B={1，2}，则满足条件的集合A 、B 有多少对？请一一写出来．解：∵A ∪B={1，2}，∴集合A ，B 可以是：∅，{1，2}；{1}，{1，2}；{1}，{2}；{2}，{1，2}；{2}，{1}；{1，2}，{1，2}；{1，2}，{1}；{1，2}，{2}；{1，2}，∅．则满足条件的集合A 、B 有9对.改编2 已知集合A 有n 个元素，则集合A 的子集个数有 个，真子集个数有 个 解：子集个数有2n个，真子集个数有21n-个 改编3 满足条件{}{}1,21,2,3A =的所有集合A 的个数是 个解：3必须在集合A 里面，A 的个数相当于2元素集合的子集个数，所以有4个. 3.原题（必修1第十三页阅读与思考“集合中元素的个数”）改编 用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义⎩⎨⎧<-≥-=*C(B)C(A)当C(A),C(B)C(B)C(A)当C(B),C(A)B A ,若{}{}02)ax ax)(x (x x B ,1,2A 22=+++==，且1B A =*,则由实数a 的所有可能取值构成的集合S = .解：由{}2C(A)1,2A ==得，而1B A =*，故3C(B)1C(B)==或．由02)ax ax )(x (x 22=+++得02)ax (x 0ax )(x 22=++=+或．当1C(B)=时，方程02)ax ax )(x(x 22=+++只有实根0x =，这时0a =．当3C(B)=时，必有0a ≠，这时0ax )(x 2=+有两个不相等的实根a x 0,x 21-==，方程02)ax (x 2=++必有两个相等的实根，且异于a x 0,x 21-==，有0,8a Δ2=-=∴22a ±=，可验证均满足题意，∴{}22,0,22-=S ．4.原题（必修1第二十三页练习第二题）改编1 小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是解：先分析小明的运动规律，再结合图象作出判断.距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，后段比前段下降得快， 答案选C ．改编 2 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是 （ ）解：汽车加速行驶时，速度变化越来越快，而汽车匀速行驶时，速度保持不变，体现在s 与t 的函数图象上是一条直线，减速行驶时，速度变化越来越慢，但路程仍是增加的．答案：A ．5.原题（必修1第二十四页习题1.2A组第七题）画出下列函数的图象：（1）F(x)=改编设函数D(x)= 则下列结论错误的是()A．D(x)的值域为{0,1} B．D(x)是偶函数C．D(x)不是周期函数D．D(x)不是单调函数解：由已知条件可知,D(x)的值域是{0,1},选项A正确;当x是有理数时,-x也是有理数,且D(-x)=1,D(x)=1,故D(-x)=D(x),当x是无理数时,-x也是无理数,且D(-x)=0,D(x)=0,即D(-x)=D(x),故D(x)是偶函数,选项B正确;当x是有理数时,对于任一非零有理数a,x+a是有理数,且D(x+a)=1=D(x),当x是无理数时,对于任一非零有理数b,x+b是无理数,所以D(x+b) =D(x)=0,故D(x)是周期函数,（但不存在最小正周期）,选项C不正确;由实数的连续性易知,不存在区间I,使D(x)在区间I上是增函数或减函数，故D(x)不是单调函数,选项D正确. 答案：C ．6.原题（必修1第二十四页习题 1.2A组第十题）改编已知集合{}{}1,2,3,1,2,3,4A B==．定义映射:f A B→，则满足点(1,(1)),(2,(2)),(3,(3))A fB fC f构成ABC∆且=AB BC的映射的个数为.解：从A到B的映射有3464=个，而其中要满足条件的映射必须使得点A、B、C不共线且=AB BC，结合图形可以分析得到满足(3)(1)(2)f f f=≠即可，则满足条件的映射有114312m C C=⋅=个．7.原题（必修1第二十五页习题1.2B组第二题）画出定义域为{}38,5x x x-≤≤≠且，值域为{}12,0y y y-≤≤≠的一个函数的图像，（1）将你的图像和其他同学的比较，有什么差别吗？（2）如果平面直角坐标系中点P（x,y）的坐标满足38x-≤≤，12y-≤≤，那么其中哪些点不能在图像上？改编若函数()y f x=的定义域为{}38,5x x x-≤≤≠，值域为{}12,0y y y-≤≤≠，则()y f x=的图象可能是（）A B C D解：根据函数的概念，任意一个x只能有唯一的y值和它对应，故排除C；由定义域为1,x0,x⎧⎨⎩为有理数，为无理数，0,x01,x>0;≤⎧⎨⎩，{}38,5x x x -≤≤≠排除A 、D,选B.8.原题（必修1第二十五页习题1.2B 组第三题）函数[x]f(x)=的函数值表示不超过x 的最大整数，例如，4]5.3[-=-；2]1.2[=；当(]35.2，　-∈x 时，写出函数f(x)的解析式，并作出函数的图象．改编 1 对于任意实数x ，符号[x]表示x 的整数部分，即[x]是不超过x 的最大整数，例如2[2]=；2]1.2[=；3]2.2[-=-．函数[x]y =叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用，则]26[log ]3[log ]2[log ]1[log 3333++++ 的值为 ． 解：由题意得，∵130=， ３１=3，９２=3，２73３=．∴原式中共有２个０，６个１，１８个２，故原式＝422181602=⨯+⨯+⨯． 改编2已知函数f (x )=x -[x ],其中[x ]表示不超过实数x 的最大整数.若关于x的方程f (x )=kx +k 有三个不同的实根, 则实数k的取值范围是 .111111111111A.[1,)(,]B.(1,][,)C.[,)(,1]D.(,][,1)243243342342- -⋃ - -⋃ - -⋃ - -⋃解：画出f(x)的图象(如右图), 与过定点(-1, 0)的直线y=kx+k=k(x+1) 有三个不同的公共点, 利用数形结合的办法, 可求得直线斜率k 的取值范围为111(1,][,)243- -⋃ . 答案：B ．改编 3对于任意实数x ，符号[]x 表示x 的整数部分，即[]x 是不超过x 的最大整数．这个函数[]x 叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用．那么，（1）[]2log 1+[]2log 2+[]2log 3+[]2log 4+……+[]2log 1024= （2）设()[][],1,3f x x x x ⎡⎤=⋅∈⎣⎦，则()f x 的值域为 解：（1）[]2log 1=0，[]2log 2=[]2log 3=1，[]2log 4=[]2log 5=[]2log 6=[]2log 7=2，[]2log 8=[]2log 9=……=[]2log 15=3，[]2log 16=[]2log 17=……=[]2log 31=4，……[]2log 512=[]2log 512=……=[]2log 1023=9，[]2log 1024=10，则原式=234912223242++92+10⨯+⨯+⨯+⨯⨯，用“错位相减法”可以求出原式的值为8204.（2）[)[]()[)[]()1,21,1;2,2.52,4x x f x x x f x ∈==∈==时，时，；[)[]()[]()2.5,32,5;33,9x x f x x x f x ∈=====时，时，；故[]1,3x ∈时()f x 的值域为{}1,4,5,9答案：（1）8204； （2）{}1,4,5,9． 改编4 函数()[][]2,2f x x x x ⎡⎤=∈-⎣⎦，的值域为 .解：当[)2,1x ∈--时，[]2x =-，(]()[]22,4,2{2,3,4}x f x x -∈=-∈；当[)1,0x ∈-时，[]1x =-，(]()[]0,1,{01}x f x x -∈=-∈，；当[)0,1x ∈时，[]0x =，()0f x =；当[)1,2x ∈时，[]1x =，()[]=1f x x =；当=2x 时，()[]4=4f x =；∴值域为{0,12,3,4}，.答案：{0,12,3,4}，.9.原题（必修1第三十六页练习第１题（３））判断下列函数的奇偶性：x1x f(x )2+=．改编 关于函数0)(x x1x lg f(x)2≠+=，有下列命题：①其图象关于y 轴对称；②当0x >时，f(x)是增函数；当0x <时，f(x)是减函数；③f(x)的最小值是lg2；④f(x)在区间),2(),0,1(+∞-上是增函数；⑤f(x)无最大值，也无最小值．其中所有正确结论的序号是 ．解： 0)(x x 1x lg f(x)2≠+=为偶函数，故①正确；令x 1x u(x)2+=，则当0x >时，x1x u(x)+=在)1,0(上递减，在),1[+∞上递增，∴②错误；③④正确；⑤错误．答案：①③④．10.原题（必修1第三十九页复习参考题B组第三题）已知函数()f x 是偶函数，而且在(0,)+∞上是减函数，判断()f x 在(,0)-∞上是增函数还是减函数，并证明你的判断.改编 已知定义在[-2, 2]上的偶函数f (x )在区间[0, 2]上是减函数, 若f (1-m )<f (m ), 则实数m 的取值范围是 .解：由偶函数的定义, (1)(|1|)()(||)f m f m f m f m -=-⎧⎨=⎩, 又由f (x )在区间[0, 2]上是减函数, 所以10|||1|2m m m ≤<- ≤2⇒ -1≤<.答案：12m -1≤<.11.原题（必修1第四十四页复习参考题A 组第四题）已知集合A={x|2x =1}，集合B={x|ax=1}，若B ⊆A ，求实数a 的值.改编 已知集合A={x|x-a=0}，B={x|ax-1=0}，且A∩B=B ，则实数a 等于 。

课时跟踪检测（二十）生活中的优化问题举例层级一学业水平达标1某炼油厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时时，原油温度（单位：C ）为f （x ）= 3X 3— X 2 + 8（0< X W 5），那么原油温度的瞬时变化率的最小值是（ ）320 A . 8 B.亍 C . — 1D . — 8解析：选C 瞬时变化率即为f ' (x) = x 2— 2x 为二次函数，且 f ' (x)= (x — 1)2— 1,又 x € [0,5]，故 x = 1 时，f ' (x)min = — 1.2.某城市在发展过程中， 交通状况逐渐受到大家更多的关注， 据有关的统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y （分钟）与车辆进入该路段的时刻 t 之间的关系可近似地用如下函数给出： y =—丸—3t 2+ 36t — 629，则在这段时间内，通过该路段8 4 4 用时最多的时刻是（)A . 6时B . 7时C . 8时D . 9时解析：选C y '32 3=—8t —尹36—3-尹+ 12)(t — 8)令 y ' = 0,得 t = 8 或 t =— 12（舍去）,则当 6< t<8 时，y ' >0，当 8<t w 9 时，y ' <0, 所以当t = 8时，通过该路段所用的时间最多. 3•把一段长为12 cm 的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角C . 3 2 cm 2解析：选D 设一段为x ，则另一段为12— x （0 v x v 12）, 令 S ' (x)= 0，得 x = 6, 当 x € (0,6)时，S ' (x)v 0, 当 x € (6,12)时，S ' (x)> 0, •••当x = 6时，S(x)最小.形面积之和的最小值是（）B . 4 cm 2则S(x)=] ••• S••• S = -4 2 X 9X 62 - 3 X 6+ 16 = 2 3（cm 2）. 4.某公司生产某种产品， 固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元,已知总收益R 与年产量x 的关系是R （X ）=!40°X —仝乂三40080 000 X >400 ,年生产的产品是（A . 100C . 200D . 300解析：选D 由题意，总成本为： C = 20 000 + 100X , 所以总利润为X 2300X — — 20 000, 0< X < 400,P = R — C = 260 000 — 100X , X>400 ,300 — X , 0< X < 400,P ' = t —100, X >400,令 P ' = 0，当 0< X W 400 时，得 X = 300;当X >400时，P ' <0恒成立，易知当 X = 300时，总利润最大. 5.某工厂要建造一个长方体的无盖箱子， 其容积为48 m 3,高为3 m ,如果箱底每1 m 2的造价为15元，箱壁每1 m 2的造价为12元，那么箱子的最低总造价为（ ）A . 900 元B . 840 元C . 818 元D . 816 元解析：选D 设箱底一边的长度为 X m ,箱子的总造价为1元，根据题意得箱底的面积为48= 16（m 2），则长为X m 的一边的邻边长度为16 m ,3 X l = 16X 15 + 2 X 3X + 2 X 3X 16 X 12 =240 + 72 X + 16，所以 I ' = 72 1 — 令I ' = 0,解得X = 4或X =— 4（舍去）, 当 0 V X V4 时，I ' V 0;当 x >4 时，I ' >0.故当X = 4时，I 有极小值，也是最小值，且最小值为816.因此，当箱底是边长为 4 m 的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价是 816元.6•某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为L 1 = 5.06X — 0.15X 2和L 2= 2X ,其中X 为销售量（单位：辆），若该公司在这两地共销售 15辆车，则能获得的最大利润为 ________ 万元.则总利润最大时，每B . 15016X 6.解析：设甲地销售x 辆，则乙地销售(15 — x)辆. 总利润 L = 5.06X — 0.15x 2+ 2(15 — x) =—0.15x 2+ 3.06x + 30(x 》0).令 L ' =— 0.3x + 3.06= 0,得 x = 10.2. •••当x = 10时，L 有最大值45.6. 答案：45.6 7.内接于半径为 R 的球且体积最大的圆锥的高为 解析：设圆锥高为h ，底面半径为r ,则 R 2= (h — R)2+ r 2,「. r 2= 2Rh — h 2, 1 2 n 2 2 2 n 3二 v = 3%r h = §h(2Rh — h ) = ^%Rh — , 4 24 V ' = 3冗Rh — di 2.令 V ' = 0 得 h = 3R. 4R 4R当 0<h<"3-时，V ' >0;当"3-<h<2R 时，V ' <0. 4因此当h = 3R 时，圆锥体积最大.答案：|R数x 成反比，生产100件这样的产品的单价为 50元，总利润最大时，产量应定为 _______________ 件.解析：设产品单价为a 元，又产品单价的平方与产品件数x 成反比，即a 2x = k ,由题知a = 5°0.V x总利润 y = 500 . x - Wx 3- 1 200(x>0),75y ' >0, x € (25,+)时，y ' <0,所以 x = 25 时, y 取最大值. 答案：259.如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为2 400 m 2的矩形休闲广场，按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域， 周边及绿化区域之间是道路 (图中阴影部分)，道路的宽度均为2m •怎样 设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面积最大？并求出最 大面积.8.某厂生产某种产品 x 件的总成本:C(x) = 1 200+ 7^x 3, 又产品单价的平方与产品件2 225x ，=0,得 x = 25, x € (0,25)时, /y250解：设休闲广场的长为x m ,则宽为2 400 m ，绿化区域的总面积为S(x) m 2.=2 424 — 4 x + , x € (6,600) ••…41—嚟=宀=令 S ' (x)>0，得 6 v x v 60;令 S ' (x) v 0，得 60v x v 600. ••• S(x)在(6,60)上是增函数，在(60,600)上是减函数, •••当x = 60时，S(x)取得极大值，也是最大值, --S(x)max = S(60) = 1 944.•当休闲广场的长为 60 m ，宽为40 m 时，绿化区域的总面积最大， 最大面积为1 944 m 2.10 •统计表明某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 的函数为 y = 1281000x 3 — 80x + 8(0vx<120) •(1) 当x = 64千米/小时时，行驶100千米耗油量多少升？ (2) 若油箱有22.5升油，则该型号汽车最多行驶多少千米？ 解：⑴当x = 64千米/小时时，要行驶100千米需要100=弩小时,64 16 要耗油 蟲 ％ 643-詁64 + 8 X 釣"95(升)• (2)设22.5升油能使该型号汽车行驶 a 千米，由题意得，128 000x — 80x + 8 X 22.5，22.5_1—8 — 3_128 000x 十 x 80则当h(x)最小时，a 取最大值， , _J_ 8 x 3— 803 h (x)= 64 000x — x 2= 64 000x 2，令 h ' (x)= 0? x = 80, 当 x € (0,80)时，h ' (x)<0, 当 x € (80,120)时,h ' (x)>0,故当x € (0,80)时，函数h(x)为减函数， 当x € (80,120)时，函数 h(x)为增函数，•••当x = 80时，h(x)取得最小值，此时 a 取最大值为则 S(x)= (x — 6) ^Y 0-4 = 2 424— 4x + 6X2 400y(升)关于行驶速度x(千米/小时)设 h(x) = -^x 2 + 8-彳128 000 x 80层级二应试能力达标1•已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y = — |x 3 + 81x — 234,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( )A . 13万件D . 7万件解析：选 C y ' =— x 2+ 81,令 y ' = 0,解得x = 9或x =— 9(舍去)，当0 v x v 9时，y ' >0; 当x > 9时，y ' v 0.所以当x = 9时，y 取得最大值. 2.某工厂要围建一个面积为512 m 2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁， 其他三边需要砌新的墙壁，当墙壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为 ( )=0，得 x = ±16.■/ x > 0 ,••• x = 16.当x = 16时，L min = 64,二堆料场的长为512 = 32(m).16 3.某商品一件的成本为30兀，在某段时间内若以每件 x 兀出售，可卖出(200 — x)件,要使利润最大每件定价为 ()A . 110 元B . 115 元C . 120 元D . 125 元解析：选B 设每件商品定价 x 元，依题意可得利润为 S(x)= (x — 30)(200 — x)=— x 2 + 230x — 6 000(0<x<200),…a =22.51128000 x 802 + 8803 80=200.故若油箱有22.5升油，则该型号汽车最多行驶 200千米.B . 11万件C . 9万件A . 32 m,16 mB . 30 m,15 mC . 40 m,20 mD . 36 m,18 m如图所示，设场地宽为 x m ,则长为 512x m ,因此新墙总长度 L = 2x +512x(x > 0),S' (x) =—2x+ 230，令—2x + 230 = 0,得x= 115.因为在(0,200)内S(x)只有一个极值，所以以每件115元出售时利润最大.4•若一球的半径为 r ,作内接于球的圆柱，则圆柱侧面积的最大值为( )2 2A • 2 nB .曲 2 1 2C . 4 nD.Q n 解析：选A 设内接圆柱的底面半径为 冷，高为t ,则 S = 2 n i t = 2 n i 2 r 2 — r 2 = 4 n i r 2 — r 1.••• S = 4 n r 2r 2— r 1.令(r 2r 2— r 4)' = 0 得 r i =¥「.5.某公司一年购买某种货物 400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x = ________ 吨.•总运费与总存储费之和f(x) = 4n + 4x = 1 600 + 4x ,令 f ' (x)= 4 — 1x 00= 0,解得 x = 20, x =— 20(舍去), x = 20是函数f(x)的最小值点，故当 x = 20时，f(x)最小. 答案：20 6. —个帐篷，它下部的形状是高为1 m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m 的正六棱锥(如图所示).当帐篷的顶点 O 到底面中心 O i 的距离为 __________ m 时，帐篷的体积最大.解析：设OO 1为x m ,底面正六边形的面积为 S m 2,帐篷的体积为则由题设可得正六棱锥底面边长为 .32— x — 1 2= 8 + 2x — x 2(m),于是底面正六边形的面积为■j 3 2 2 3 ■■■ 3 2S = 6X^( 8+ 2x — x ) = 丁(8 + 2x — x ).帐篷的体积为1 3 3 23 3 2V = 3x 2 (8 + 2x — x )(x — 1) + 2 (8 + 2x — x )-J 13 2 3 3 y(8 + 2x — x )[ x — 1 + 3]=牙(16 + 12x — x ),解析：设该公司一年内总共购买n 次货物，则400V' =_23(12 —3x2).令V' = 0，解得x= 2或x = —2(不合题意，舍去).当 1 v X V 2 时，V > 0;当 2v X V 4 时，V v 0. 所以当x = 2时，V 最大.答案：2会增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值 正比•已知商品单价降低 2元时，一星期多卖出 24件.(1) 将一个星期的商品销售利润表示成 x 的函数； ⑵如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？ 解：(1)若商品降彳氐x 元，则一个星期多卖出的商品为 kx 2件.由已知条件，得 k 22 = 24,解得k = 6. 若记一个星期的商品销售利润为 f(x)，则有f(x)= (30 — x — 9)(432 + 6x 2)=-6x 3 + 126x 2— 432x + 9 072, x € [0,21].2(2) 由(1)得,f (x) = — 18x + 252x — 432. 令 f ' (x)= 0，得 x = 2 或 x = 12.当x 变化时，f ' (x), f(x)的变化情况如表所示：因为 f(0) = 9 072 , f(12) = 11 664, f(21) = 0,所以定价为30 — 12= 18(元)，能使一个星期的商品销售利润最大.8. 两县城 A 和B相距20 km ，现计划在两县城外以 AB 为直径的半圆弧 AB 上选择一 点C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为对城 A 与对城B 的影响度之和•记 C 点到城A 的距离为x km ,建在C 处的垃 圾处理厂对城 A 和城B 的总影响度为y.统计调查表明：垃圾处理厂对城 A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数为4;对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为k ，当垃圾处理厂建在 AB 的中点时，对城A 和城B 的总影响 度为0.065.(1) 将y 表示成x 的函数f(x);(2) 讨论(1)中函数的单调性，并判断 AB 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对7.某产品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件.如果降低价格，销售量将 x(单位：元，0w x < 21)的平方成城A和城B的总影响最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由.解：⑴根据题意/ ACB= 90 ° , |AC|= x km , |BC|= 400 —x2 km，且建在4 k圾处理厂对城A的影响度为艾，对城B的影响度为—— ,x 400 —x因此，总影响度戸寺+ 亠(0v x v 20).又垃圾处理厂建在 A B的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065,4 k故有+ = 0.065故有：102+ 102 2 400 - 102+ 102 2，4 9解得k = 9,故y= f(x)=子+ do。

1.1.2四种命题1.1.3四种命题间的相互关系课后篇巩固提升基础巩固1.命题“若a n=2n-1,则数列{a n}是等差数列”的逆否命题是()A.若a n≠2n-1,则数列{a n}不是等差数列B.若数列{a n}不是等差数列,则a n≠2n-1C.若a n=2n-1,则数列{a n}不是等差数列D.若数列{a n}是等差数列,则a n≠2n-12.命题“若x>0,则x2≥0”的否命题是()A.若x<0,则x2<0B.若x≤0,则x2<0C.若x>0,则x2<0D.若x2<0,则x≥0“若x>0,则x2≥0”的否命题是“若x≤0,则x2<0”.3.命题“a>1,则lg a>0”及其逆命题、否命题和逆否命题这四个命题中,真命题的个数为()A.0B.2C.3D.4,则逆否命题为真;又当lg a>0时,必有a>1,所以逆命题为真,否命题也为真,故一共有4个命题是真命题.4.若命题r:“若p,则 q”的逆命题是真命题,那么下列命题一定为真命题的是()A.若 p,则qB.若q,则 pC.若 p,则 qD.若q,则p“若p,则 q”的否命题“若 p,则q”一定是真命题.5.原命题为:“若α+β≠,则sin α≠cos β”,则下列说法正确的是()A.与逆命题同为假命题B.与否命题同为假命题C.与否命题同为真命题D.与逆否命题同为假命题“若sin α=cos β,则α+β=”,显然是假命题,故原命题也为假命题.其否命题是“若α+β=,则sin α=cos β”,显然是真命题,故D项正确.6.有下列四个命题:①“已知函数y=f(x),x∈D,若D关于原点对称,则函数y=f(x),x∈D为奇函数”的逆命题;②“对应边平行的两角相等”的否命题;③“若a≠0,则关于x的方程ax+b=0有实根”的逆否命题;④“若A∪B=B,则A≠B”的逆否命题.其中的真命题是()A.①②B.②③C.①③D.③④逆命题:“若函数y=f(x),x∈D为奇函数,则定义域D关于原点对称”,为真命题;②否命题:“对应边不平行的两角不相等”,为假命题;③逆否命题:“若关于x的方程ax+b=0无实根,则a=0”,为真命题;④逆否命题:“若A=B,则A∪B≠B”,是假命题.7.命题“如果x+y>3,那么x>1且y>2”的逆否命题是.“如果x+y>3,那么x>1且y>2”的逆否命题是“如果x≤1,或y≤2,则x+y≤3”.x≤1,或y≤2,则x+y≤38.“在△ABC中,若∠C=90°,则∠A,∠B都是锐角”的否命题为.△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B不都是锐角9.分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断它们的真假:(1)若x≥10,则2x+1>20;(2)如果两圆外切,那么两圆圆心距等于两圆半径之和;(3)在整数中,奇数不能被2整除.逆命题:若2x+1>20,则x≥10,为假命题;否命题:若x<10,则2x+1≤20,为假命题;逆否命题:若2x+1≤20,则x<10,为真命题.(2)逆命题:如果两圆圆心距等于两圆半径之和,那么两圆外切,是真命题;否命题:如果两圆不外切,那么两圆圆心距不等于两圆半径之和,是真命题;逆否命题:如果两圆圆心距不等于两圆半径之和,那么两圆不外切,是真命题.(3)逆命题:在整数中,不能被2整除的数是奇数,是真命题;否命题:在整数中,不是奇数的数能被2整除,是真命题;逆否命题:在整数中,能被2整除的数不是奇数,是真命题.10.已知m是整数,求证:若m2+6m是偶数,则m不是奇数.p:m是整数,若m2+6m是偶数,则m不是奇数.其逆否命题是:若m是整数,m是奇数,则m2+6m是奇数.以下证明该逆否命题为真命题.由于m是奇数,不妨设m=2k-1(k∈Z),则m2+6m=(2k-1)2+6(2k-1)=4k2+8k-5=4(k2+2k-1)-1,由于k∈Z,所以k2+2k∈Z,于是4(k2+2k)是偶数,从而4(k2+2k-1)-1为奇数,即m2+6m是奇数.因此逆否命题是真命题,从而原结论正确.能力提升1.若命题p的否命题是q,q的逆否命题是r,则r是p的()A.原命题B.逆命题C.否命题D.逆否命题2.与命题“若a,b,c不成等比数列,则b2≠ac”等价的命题是()A.若a,b,c不成等比数列,则b2=acB.若a,b,c成等比数列,则b2=acC.若b2≠ac,则a,b,c不成等比数列D.若b2=ac,则a,b,c成等比数列,命题“若a,b,c不成等比数列,则b2≠ac”的逆否命题是“若b2=ac,则a,b,c成等比数列”,故选D.3.有下列四个命题:①“相似三角形周长相等”的否命题;②“若x>y,则x>|y|”的逆命题;③“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题;④“若b≤0,则方程x2-2bx+b2+b=0有实根”的逆否命题.其中真命题的个数是()A.0个B.1个C.2个D.3个“相似三角形周长相等”的逆命题为“周长相等的三角形相似”不正确,根据逆否命题同真同假,可得其否命题不正确;②“若x>y,则x>|y|”的逆命题为“若x>|y|,则x>y”正确;③“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题为“若x≠1,则x2+x-2≠0”不正确;④“若b≤0,则方程x2-2bx+b2+b=0有实根”,由Δ=4b2-4(b2+b)=-4b≥0,可得原命题正确,其逆否命题也正确.故选C.4.已知命题“若1<x<2,则m-1<x<m+1”的逆否命题是真命题,则实数m的取值范围是.,所以原命题为真命题,因此有解得1≤m≤2.5.命题:已知a,b为实数,若关于x的不等式x2+ax+b≤0的解集是非空数集,则a2-4b≥0.写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断这些命题的真假.:已知a,b为实数,若a2-4b≥0,则关于x的不等式x2+ax+b≤0的解集是非空数集.否命题:已知a,b为实数,若关于x的不等式x2+ax+b≤0的解集是空集,则a2-4b<0.逆否命题:已知a,b为实数,若a2-4b<0,则关于x的不等式x2+ax+b≤0的解集是空集.原命题、逆命题、否命题和逆否命题均为真命题.6.(选做题)求证:若x+y+z>60,则x,y,z中至少有一个大于20.:若x+y+z>60,则x,y,z中至少有一个大于20.其逆否命题是:若x,y,z都小于或等于20,则x+y+z≤60.由于x≤20,y≤20,z≤20,由不等式的性质可得x+y+z≤20+20+20=60,因此逆否命题正确,从而原结论正确.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

习题精选一、选择题1．过抛物线焦点的直线与抛物线相交于，两点，若，在抛物线准线上的射影分别是，，则为（）．A．45°B．60°C．90°D．120°2．过已知点且与抛物线只有一个公共点的直线有（）．A．1条B．2条C．3条D．4条3．已知，是抛物线上两点，为坐标原点，若，且的垂心恰好是此抛物线的焦点，则直线的方程是（）．A．B．C．D．4．若抛物线（）的弦PQ中点为（），则弦的斜率为（）A．B．C．D．5．已知是抛物线的焦点弦，其坐标，满足，则直线的斜率是（）A．B．C．D．6．已知抛物线（）的焦点弦的两端点坐标分别为，，则的值一定等于（）A．4 B．－4 C．D．7．已知⊙的圆心在抛物线上，且⊙与轴及的准线相切，则⊙的方程是（）A．B．C．D．8．当时，关于的方程的实根的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个9．将直线左移1个单位，再下移2个单位后，它与抛物线仅有一个公共点，则实数的值等于（）A．－1 B．1 C．7 D．910．以抛物线（）的焦半径为直径的圆与轴位置关系为（）A．相交 B．相离 C．相切 D．不确定11．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，那么长是（）A．10 B．8 C．6 D．412．过抛物线（）的焦点且垂直于轴的弦为，为抛物线顶点，则大小（）A．小于B．等于C．大于D．不能确定13．抛物线关于直线对称的曲线的顶点坐标是（）A．（0，0）B．（－2，－2）C．（2，2）D．（2，0）14．已知抛物线（）上有一点，它到焦点的距离为5，则的面积（为原点）为（）A．1 B．C．2 D．15．记定点与抛物线上的点之间的距离为，到此抛物线准线的距离为，则当取最小值时点的坐标为（）A．（0，0）B．C．（2，2）D．16．方程表示（）A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆17．在上有一点，它到的距离与它到焦点的距离之和最小，则的坐标为（）A．（－2，8）B．（2，8）C．（－2，－8）D．（－2，8）18．设为过焦点的弦，则以为直径的圆与准线交点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．0或1或219．设，为抛物线上两点，则是过焦点的（）A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．不充分不必要20．抛物线垂点为（1，1），准线为，则顶点为（）A．B．C．D．21．与关于对称的抛物线是（）A．B．C．D．二、填空题1.顶点在原点，焦点在轴上且通径（过焦点和对称轴垂直的弦）长为6的抛物线方程是_________．2.抛物线顶点在原点，焦点在轴上，其通径的两端点与顶点连成的三角形面积为4，则此抛物线方程为_________．3．过点（0，－4）且与直线相切的圆的圆心的轨迹方程是_________．4．抛物线被点所平分的弦的直线方程为_________．5．已知抛物线的弦过定点（－2，0），则弦中点的轨迹方程是________．6．顶点在原点、焦点在轴上、截直线所得弦长为的抛物线方程为____________．7．已知直线与抛物线交于、两点，那么线段的中点坐标是__ _．8．一条直线经过抛物线（）的焦点与抛物线交于、两点，过、点分别向准线引垂线、，垂足为、，如果，，为的中点，则 =__________．9．是抛物线的一条焦点弦，若抛物线，，则的中点到直线的距离为_________．10．抛物线上到直线的距离最近的点的坐标是____________．11．抛物线上到直线距离最短的点的坐标为__________．12．已知圆与抛物线（）的准线相切，则=________．13．过（）的焦点的弦为，为坐标原点，则 =________．14．抛物线上一点到焦点的距离为3，则点的纵坐标为__________．15．已知抛物线（），它的顶点在直线上，则的值为__________．16．过抛物线的焦点作一条倾斜角为的弦，若弦长不超过8，则的范围是________．17．已知抛物线与椭圆有四个交点，这四个交点共圆，则该圆的方程为__________．18．抛物线的焦点为，准线交轴于，过抛物线上一点作于，则梯形的面积为_______________．19．探照灯的反射镜的纵断面是抛物线的一部分，安装灯源的位置在抛物线的焦点处，如果到灯口平面的距离恰好等于灯口的半径，已知灯口的半径为30cm，那么灯深为_________．三、解答题1．知抛物线截直线所得的弦长，试在轴上求一点，使的面积为392．若的焦点弦长为5，求焦点弦所在直线方程3．已知是以原点为直角顶点的抛物线（）的内接直角三角形，求面积的最小值．4．若，为抛物线的焦点，为抛物线上任意一点，求的最小值及取得最小值时的的坐标．5．一抛物线拱桥跨度为52米，拱顶离水面6.5米，一竹排上一宽4米，高6米的大木箱，问能否安全通过．6．抛物线以轴为准线，且过点，（）求证不论点的位置如何变化，抛物线顶点的轨迹是椭圆，且离心率为定值．7．已知抛物线（）的焦点为，以为圆心，为半径，在轴上方画半圆，设抛物线与半圆交于不同的两点、，为线段的中点．①求的值；②是否存在这样的，使、、成等差数列，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．8．求抛物线和圆上最近两点之间的距离．9．正方形中，一条边在直线上，另外两顶点、在抛物线上，求正方形的面积．10．已知抛物线的一条过焦点的弦被焦点分为，两个部分，求证．11．一抛物线型拱桥的跨度为，顶点距水面．江中一竹排装有宽、高的货箱，问能否安全通过．12．已知抛物线上两点，（在第二象限），为原点，且，求当点距轴最近时，的面积．13．是抛物线上的动点，连接原点与，以为边作正方形，求动点的轨迹方程．参考答案：一、1．C；2．C；3．D；4．B；5．C；6．B；7．B；8．D；9．C10．C；11．B；12．C；13．C；14．C；15．C；16．C；17．B；18．B；19．C；20．A；21．D二、1．；2．；3．；4．5．；6．（在已知抛物线内的部分）7．或；8．（4，2）；9．10．；11．；12．2；13．－414．2；15．0，，，；16．17．；18．3．14；19．36.2cm三、1．先求得，再求得或2．3．设，，则由得，，，于是当，即，时，4．抛物线的准线方程为，过作垂直准线于点，由抛物线定义得，，要使最小，、、三点必共线，即垂直于准线，与抛物线交点为点，从而的最小值为，此时点坐标为（2，2）．5．建立坐标系，设抛物线方程为，则点（26，－6.5）在抛物线上，抛物线方程为，当时，，则有，所以木箱能安全通过．6．设抛物线的焦点为，由抛物线定义得，设顶点为，则，所以，即为椭圆，离心率为定值．7．①设、、在抛物线的准线上射影分别为、、，则由抛物线定义得，又圆的方程为，将代入得②假设存在这样的，使得，由定义知点必在抛物线上，这与点是弦的中点矛盾，所以这样的不存在8．设、分别是抛物线和圆上的点，圆心，半径为1，若最小，则也最小，因此、、共线，问题转化为在抛物线上求一点，使它到点的距离最小.为此设，则，的最小值是9．设所在直线方程为，消去得又直线与间距离为或从而边长为或，面积，10．焦点为，设焦点弦端点，，当垂直于轴，则，结论显然成立；当与轴不垂直时，设所在直线方程为，代入抛物线方程整理得，这时，于是，命题也成立．11．取抛物线型拱桥的顶点为原点、对称轴为轴建立直角坐标系，则桥墩的两端坐标分别为（－26，－6.5），（26，－6.5），设抛物线型拱桥的方程为，则，所以，抛物线方程为．当时，，而，故可安全通过．12．设，则，因为，所以，直线的方程为，将代入，得点的横坐标为（当且仅当时取等号），此时，，，，所以．13．设，，过，分别作为轴的垂线，垂足分别为，，而证得≌，则有，，即、，而，因此，即为所求轨迹方程．。

1.1.2四种命题课时目标 1.了解四种命题的概念.2.认识四种命题的结构，会对命题进行转换．1．四种命题的概念：(1)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的______________，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题，其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．(2)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的______________________________，我们把这样的两个命题叫做互否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．(3)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的______________________________，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．2．四种命题的结构：用p和q分别表示原命题的条件和结论，用綈p，綈q分别表示p和q的否定，四种形式就是：原命题：若p成立，则q成立．即“若p，则q”．逆命题：________________________.即“若q，则p”．否命题：______________________.即“若綈p，则綈q”．逆否命题：________________________.即“若綈q，则綈p”．一、选择题1．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()A．1 B．2 C．3 D．42．命题“若A∩B＝A，则A⊆B”的逆否命题是()A．若A∪B≠A，则A⊇BB．若A∩B≠A，则A⊆BC．若A⊆B，则A∩B≠AD．若A⊇B，则A∩B≠A3．对于命题“若数列{a n}是等比数列，则a n≠0”，下列说法正确的是()A．它的逆命题是真命题B．它的否命题是真命题C．它的逆否命题是假命题D．它的否命题是假命题4．有下列四个命题：①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；④若“A∪B＝B，则A⊇B”的逆否命题．其中的真命题是()A．①②B．②③C．①③D．③④5．命题“当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是()A．4 B．3 C．2 D．06．命题“若函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则log a2<0”的逆否命题是()A．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数B．若log a2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数C．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数D．若log a2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数题号12345 6 答案二、填空题7．命题“若x>y，则x3>y3－1”的否命题是________________________．8．命题“各位数字之和是3的倍数的正整数，可以被3整除”的逆否命题是________________________；逆命题是______________________；否命题是________________________．9．有下列四个命题：①“全等三角形的面积相等”的否命题；②若a2＋b2＝0，则a，b全为0；③命题“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实根”的逆否命题；④命题“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆命题．其中是真命题的是________(填上你认为正确的命题的序号)．三、解答题10．把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．(1)正数的平方根不等于0；(2)当x＝2时，x2＋x－6＝0；(3)对顶角相等．11．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．(1)实数的平方是非负数；(2)等高的两个三角形是全等三角形；(3)弦的垂直平分线平分弦所对的弧．能力提升12．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是()A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数13．命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2－4b≥0，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．1．对条件、结论不明显的命题，可以先将命题改写成“若p则q”的形式后再进行转换．2．分清命题的条件和结论，然后进行互换和否定，即可得到原命题的逆命题，否命题和逆否命题．1．1.2四种命题答案知识梳理1．(1)结论和条件(2)条件的否定和结论的否定(3)结论的否定和条件的否定2．若q成立，则p成立若綈p成立，则綈q成立若綈q成立，则綈p成立作业设计1．B[由a>－3⇒a>－6，但由a>－6 a>－3，故真命题为原命题及原命题的逆否命题，故选B.]2．C[先明确命题的条件和结论，然后对命题进行转换．]3．D 4.C5．C[原命题和它的逆否命题为真命题．]6．A[由互为逆否命题的关系可知，原命题的逆否命题为：若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数．]7．若x≤y，则x3≤y3－18．不能被3整除的正整数，其各位数字之和不是3的倍数能被3整除的正整数，它的各位数字之和是3的倍数各位数字之和不是3的倍数的正整数，不能被3整除9．②③10．解(1)原命题：“若a是正数，则a的平方根不等于0”．逆命题：“若a的平方根不等于0，则a是正数”．否命题：“若a不是正数，则a的平方根等于0”．逆否命题：“若a的平方根等于0，则a不是正数”．(2)原命题：“若x＝2，则x2＋x－6＝0”．逆命题：“若x2＋x－6＝0，则x＝2”．否命题：“若x≠2，则x2＋x－6≠0”．逆否命题：“若x2＋x－6≠0，则x≠2”．(3)原命题：“若两个角是对顶角，则它们相等”．逆命题：“若两个角相等，则它们是对顶角”．否命题：“若两个角不是对顶角，则它们不相等”．逆否命题：“若两个角不相等，则它们不是对顶角”．11．解(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高．否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高．(3)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧．逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．12．B[命题“若p，则q”的否命题为“若綈p，则綈q”，而“是”的否定是“不是”，故选B.]13．解逆命题：已知a、b为实数，若a2－4b≥0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集．否命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2－4b<0.逆否命题：已知a、b为实数，若a2－4b<0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集．原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题．。

1.1.2四种命题1.1.3四种命题间的相互关系课时过关·能力提升一、基础巩固1.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是()A.若一个数是负数,则它的平方不是正数B.若一个数的平方是正数,则它是负数C.若一个数不是负数,则它的平方不是正数D.若一个数的平方不是正数,则它不是负数.2.命题“如果x≥a2+b2,那么x≥2ab”的逆否命题是()A.如果x<a2+b2,那么x<2abB.如果x≥2ab,那么x≥a2+b2C.如果x<2ab,那么x<a2+b2D.如果x≥a2+b2,那么x<2ab3.命题“若p不正确,则q不正确”的逆命题的等价命题是()A.若q不正确,则p不正确B.若q不正确,则p正确C.若p正确,则q不正确D.若p正确,则q正确,原命题的逆命题和否命题互为逆否命题,为等价关系.故只需写出原命题的否命题即可.4.命题“若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数”的否命题是()A.若f(x)是偶函数,则f(-x)是偶函数B.若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数C.若f(-x)是奇函数,则f(x)是奇函数D.若f(-x)不是奇函数,则f(x)不是奇函数.5.在命题“若抛物线y=ax2+bx+c的开口向下,则{x|ax2+bx+c<0}≠⌀”的逆命题、否命题、逆否命题中,结论成立的有()A.都真B.都假C.否命题真D.逆否命题真,而其否命题为“若抛物线y=ax2+bx+c的开口向上,则{x|ax2+bx+c<0}=⌀”,为假命题.6.下列四个命题:①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的否命题;②“若a>b,则a2>b2”的逆否命题;③“若x≤-3,则x2-x-6>0”的否命题;④“若x>2 017,则x>0”的逆命题.其中真命题的个数是()B.1C.2D.37.命题“若-1<x<1,则x2<1”的逆否命题是.x2≥1,则x≤-1或x≥18.命题:“若b≤-1,则关于x的方程x2-2bx+b2+b=0有实根”与它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题有个.b≤-1时,Δ=4b2-4(b2+b)=-4b>0,所以原命题为真命题;由Δ≥0,得b≤0,故其逆命题为假命题.所以这4个命题中真命题有2个.9.给出以下命题:①“若x2+y2≠0,则x,y不全为零”的否命题;②“正多边形都相似”的逆命题;③“若m>0,则x2+x-m=0有实根”的逆否命题.其中真命题的序号是.否命题是“若x2+y2=0,则x,y全为零”.真命题.②逆命题是“若两个多边形相似,则这两个多边形为正多边形”.假命题.③∵Δ=1+4m,当m>0时,Δ>0,∴x2+x-m=0有实根,即原命题为真.∴逆否命题为真.10.证明:若p3+q3=2,则p+q≤2.,我们考虑是否能够比较容易地证明命题的逆否命题:若p+q>2,则p3+q3≠2.:若p+q>2,则p3+q3≠2.由p+q>2,得q>2-p,根据幂函数y=x3的单调性得q3>(2-p)3,即q3>8-12p+6p2-p3.]≥2,p3+q3>8-12p+6p2=6[(p-1)2+13所以p3+q3>2.因此p3+q3≠2.这说明原命题的逆否命题为真命题,从而原命题为真命题.二、能力提升1.下列说法正确的是()A.若一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真B.“a>b”与“a+c>b+c”不等价C.“若a2+b2=0,则a,b全为0”的逆否命题是“若a,b全不为0,则a2+b2≠0”D.若一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真A中逆命题与逆否命题互为否命题,真假性没有关系;选项B中两者等价;选项C中逆否命题应是“若a,b不全为0,则a2+b2≠0”;选项D正确.2.互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性.我们用“↔”表示同真或同假,把它叫做“连连看”.下面让我们领略“连连看”的风采:已知命题p的否命题是r,命题r的逆命题为s,命题p的逆命题是t,则下列同真同假的“连连看”中,正确的一组是()A.p↔r,s↔tB.p↔t,s↔r,r↔t D.p↔r,s↔rp的否命题是r,命题r的逆命题为s,所以命题p与s互为逆否命题,故有p↔s;又由于命题p的否命题是r,命题p的逆命题是t,故命题r,t也是互为逆否命题,即3.已知a,b,c∈R,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c2≥3”的否命题的等价命题是()A.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<3B.若a+b+c=3,则a2+b2+c2<3C.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2≥3D.若a2+b2+c2≥3,则a+b+c=3.4.在空间中,①若四点不共面,则这四点中任意三点都不共线;②若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线.以上两个命题中,逆命题为真命题的是.(填序号)的逆命题是:若四点中任意三点都不共线,则这四点不共面.我们用正方体AC1做模型来观察:上底面A1B1C1D1的顶点中任意三点都不共线,但A1,B1,C1,D1四点共面,所以①的逆命题不是真命题.②的逆命题是:若两条直线是异面直线,则两条直线没有公共点.由异面直线的定义可知,成异面直线的两条直线不会有公共点.所以②的逆命题是真命题.5.设有两个命题:①关于x的不等式mx2+1≥0的解集是R;②函数f (x )=log m x 是减函数(m>0,且m ≠1).若这两个命题中有且只有一个真命题,则m 的取值范围是 .1★6.给定下列命题:①若k>0,则方程x 2+2x-k=0有实数根;②“矩形的对角相等”的逆命题;③“若xy=0,则x ,y 中至少有一个为零”的否命题.其中真命题的序号是 .当k>0时,Δ=4+4k>0,故方程有实根;②对角相等的四边形不一定是矩形,故②是假命题;③因为逆命题“若x ,y 中至少有一个为零,则xy=0”是真命题,所以原命题的否命题是真命题.7.判断下列命题的真假:(1)“若xy=1,则x ,y 互为倒数”的逆命题;(2)“四边相等的四边形是正方形”的否命题;(3)“梯形不是平行四边形”的逆否命题;(4)“若x=3,则x 2-5x+6=0”的逆命题.“若xy=1,则x ,y 互为倒数”的逆命题是“若x ,y 互为倒数,则xy=1”,是真命题.(2)“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”,是真命题.(3)因为“梯形不是平行四边形”是真命题,所以其逆否命题也是真命题.(4)“若x=3,则x 2-5x+6=0”的逆命题是“若x 2-5x+6=0,则x=3”,是假命题.★8.已知下列三个方程:x 2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a 2=0,x 2+2ax-2a=0,若至少有一个方程有实根,求实数a 的取值范围.:(1)三个方程都无实根;(2)只有一个方程有实根(3)只有两个方程有实根(4)三个方程都有实根}至少有一个方程有实根.若按分类讨论,则需分三种情况,且(2)(3)又分多种情况,显然运算量太大,若注意到(2)(3)(4)可合并为至少有一个方程有实根,利用“补集”的思想,问题即可等价转化.,则有{Δ1=(4a )2+4(4a -3)<0,Δ2=(a -1)2-4a 2<0,Δ3=(2a )2+8a <0,即{-32<a <12,a >13或a <-1,-2<a <0.解得−32<a <−1.因此,若三个方程中至少有一个方程有实根,则a 的取值范围是a ≥-1或a ≤−32.。

高中数学人教A 版选修1-1学业水平测试试题全卷满分150分，用时120分钟。

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）在每小题给出的选项中只有一项符合题目要求。

1.下列命题是真命题的为（ ）A.若yx 11=，则x =y B.若12=x ，则x =1 C.若x =y ，则y x = D.若x <y ，则22y x <2. 使不等式x 2－3x <0成立的必要不充分条件是（ ）A.0<x <3B. 0<x <4C. 0<x <2D. x <0或x >33.“m >n >0”是“方程mx 2+ny 2=1表示焦点在y 轴上的椭圆”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.设命题P:x >2是x 2>4的充要条件，命题q:若22cb c a >，则a >b ，那么（ ） A.“p 或q”为真 B.“p 且q”为真C.p 真q 假D.p 、q 均为假命题5.已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为21，它的长轴长等于圆x 2+y 2－2x －15=0的半径，则椭圆的标准方程是（ ） A.1121622=+y x B. 1422=+y x C. 141622=+y x D.13422=+y x 6.抛物线y =ax 2的准线方程是y=1，则a 的值为（ ） A.41 B. 41- C.4 D.－4 7.设△ABC 是正三角形，则以A 、B 为焦点且过BC 的中点的双曲线的离心率为（ ） A.1+2 B.1+3 C.221+ D. 231+ 8.过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F 作一条直线e 交抛物线于A 、B 两点，以AB 为直径的圆和该抛物线的准线l 的位置关系是（ ）A.相交B.相离C.相切D.不能确定9.已知定点A （1，1）和直线l ：x +y －2=0，那么到定点A 的距离和到定直线l 的距离相等的点的轨迹（ ）A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.直线10.已知P 是椭圆192522=+y x 上一点，F 为椭圆左焦点，2=，若)(21+=，则为（ ） A.2 B.3C.4D.5二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.已知P ：x +y =2010;Q:x =2000且y =10，则P 是Q 的_____________条件。

2019版数学精品资料（人教版） 人教A 版选修1-1，1-2课本例题习题改编1. 原题（选修1-1第三十五页例3）改编 已知点A 、B 的坐标分别是A （0，-1），B （0，1），直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是-t ，t ∈（0，1]．求M 的轨迹方程，并说明曲线的类型． 解：设M （x ，y ），则10BM y k x -=- (x ≠0)，(1)0AM y k x --=-(x ≠0)，BM AM k k =-t ，10y x -- ∙(1)y x ---=-t(x ≠0)，整理得221x y t+=1(x ≠0)（1）当t ∈（0，1）时，M 的轨迹为椭圆（除去A 和B 两点）；（2）当t=1时，M 的轨迹为圆（除去A 和B 两点）．2．原题（选修1-1第五十四页习题2.2A 组第一题）改编 1F 、2F 是双曲线2211620x y -=的焦点，点P 在双曲线上，若点P 到焦点1F 的距离等于9，则点P 到焦点2F 的距离等于解：∵双曲线2211620x y -=得：a=4，由双曲线的定义知||P 1F |-|P 2F ||=2a=8，|P 1F |=9， ∴|P 2F |=1＜（不合，舍去）或|P 2F |=17，故|P 2F |=17．3. 原题（选修1-1第六十八页复习参考题B 组第一题）改编 已知F 1、F 2分别为椭圆191622=+y x 的左、右焦点，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，求21F PF ∆的面积. 解：依题意，可知当以F 1或F 2为三角形的直角顶点时，点P 的坐标为97,4⎛⎫±±⎪⎝⎭，则点P 到x 轴的距离为49，此时21F PF ∆的面积为479；当以点P 为三角形的直角顶点时，点P 的坐标为3779>，舍去。

故21F PF ∆的面积为479. 4. 原题（选修1-2第五十五页习题3.1B 组第二题）改编 设,C z ∈满足条件.12141log 21->--+-z z 的复数z 所对应的点z 的集合表示什么图形?1214|1|4log 12,12|1|2|1|8108z Z z Z Z Z -+-+>-<----->解：由可得0<化简得：所以表示以（，）为圆心，以为半径的圆的外部。

2019年高中人教A版数学选修1-1练习1.1.2四种命题1.1.3四种命题间的相互关系课后训练案巩固提升一、A组1.命题“若a n=2n-1,则数列{a n}是等差数列”的逆否命题是()A.若a n≠2n-1,则数列{a n}不是等差数列B.若数列{a n}不是等差数列,则a n≠2n-1C.若a n=2n-1,则数列{a n}不是等差数列{a n}是等差数列,则a n≠2n-1“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的()A.逆命题B.否命题D.以上均不对A.“a>1,则lg a>0”及其逆命题、否命题和逆否命题这四个命题中,真命题的个数为()A.0B.2D.4,则逆否命题为真;又当lg a>0时,必有a>1,所以逆命题为真,否命题也为真,故一共有4.r:“若p,则q”的逆命题是真命题,那么下列命题一定为真命题的是()A.若p,则qB.若q,则pp,则q D.若q,则p“若p,则q”的否命题“若p,则q”一定是真命题.5.原命题为:“若α+β≠,则sin α≠cos β”,则下列说法正确的是()A.与逆命题同为假命题B.与否命题同为假命题C.与否命题同为真命题“若sin α=cos β,则α+β=”,显然是假命题,故原命题也为假命题.其否命题是“若α+β=,则sin α=cos β”,显然是真命题,故D项正确.:①“已知函数y=f(x),x∈D,若D关于原点对称,则函数y=f(x),x∈D为奇函数”的逆命题;②“对应边平行的两角相等”的否命题;③“若a≠0,则关于x的方程ax+b=0有实根”的逆否命题;④“若A∪B=B,则A≠B”的逆否命题.其中的真命题是()A.①②B.②③D.③④逆命题:“若函数y=f(x),x∈D为奇函数,则定义域D关于原点对称”,为真命题;否命题:“对应边不平行的两角不相等”,为假命题;③逆否命题:“若关于x的方程ax+b=0无实根,则a=0”,为真命题;逆否命题:“若A=B,则A∪B≠B”,是假命题.“若α=β,则sin α=sin β”的等价命题是.,所以命题“若α=β,则sin α=sin β”的等价命题是“若sin α≠sin β,则sin α≠sin β,则α≠βABC中,若∠C=90°,则∠A,∠B都是锐角”的否命题为.△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B不都是锐角,并判断它们的真假:(1)若x≥10,则2x+1>20;(2)如果两圆外切,那么两圆圆心距等于两圆半径之和;,奇数不能被2整除.逆命题:若2x+1>20,则x≥10,为假命题;否命题:若x<10,则2x+1≤20,为假命题;逆否命题:若2x+1≤20,则x<10,为真命题.(2)逆命题:如果两圆圆心距等于两圆半径之和,那么两圆外切,是真命题;否命题:如果两圆不外切,那么两圆圆心距不等于两圆半径之和,是真命题;逆否命题:如果两圆圆心距不等于两圆半径之和,那么两圆不外切,是真命题.(3)逆命题:在整数中,不能被2整除的数是奇数,是真命题;否命题:在整数中,不是奇数的数能被2整除,是真命题;逆否命题:在整数中,能被2整除的数不是奇数,是真命题.m是整数,求证:若m2+6m是偶数,则m不是奇数.p:m是整数,若m2+6m是偶数,则m不是奇数.:若m是奇数,则m2+6m是奇数.以下证明该逆否命题为真命题.由于m是奇数,不妨设m=2k-1(k∈Z),则m2+6m=(2k-1)2+6(2k-1)=4k2+8k-5=4(k2+2k-1)-1,由于k∈Z,所以k2+2k∈Z,于是4(k2+2k)是偶数,从而4(k2+2k-1)-1为奇数,即m2+6m是奇数.因此逆否命题是真命题,从而原结论正确.二、B组1.若命题p的否命题是q,q的逆否命题是r,则r是p的()B.逆命题C.否命题D.逆否命题“若a,b,c不成等比数列,则b2≠ac”等价的命题是()A.若a,b,c不成等比数列,则b2=acB.若a,b,c成等比数列,则b2=acC.若b2≠ac,则a,b,c不成等比数列2=ac,则a,b,c成等比数列,命题“若a,b,c不成等比数列,则b2≠ac”的逆否命题是“若则a,b,c成等比数列”,故选D.“若1<x<2,则m-1<x<m+1”的逆否命题是真命题,则实数m的取值范围是.,所以原命题为真命题,因此有-解得1≤m≤2.:①“若b2=ac,则a,b,c成等比数列”的逆否命题;②“若m=2,则直线x+y=0与直线2x+my+1=0平行”的逆命题;③“已知a,b是非零向量,若a·b>0,则a与b方向相同”的逆否命题;④“若x>3,则x2-x-6>0”的否命题.其中真命题的个数是()B.2C.3D.4中,当a=b=c=0时,b2=ac,此时a,b,c不成等比数列,原命题为假命题,所以它的逆否命题为假命②为真命题;③中,当a=(0,1),b=(1,1)时,a·b>0,但a与b不同向,所以原命题为假命题,故它的逆否命题为假命题;④中,原命题的逆命题为“若x2-x-6>0,则x>3”,易知它为假命题,所以原命题的否命题.故选A.:已知a,b为实数,若关于x的不等式x2+ax+b≤0的解集是非空数集,则a2-4b≥0.写出该命题的,并判断这些命题的真假.:已知a,b为实数,若a2-4b≥0,则关于x的不等式x2+ax+b≤0的解集是非空数集.否命题:已知a,b为实数,若关于x的不等式x2+ax+b≤0的解集是空集,则a2-4b<0.逆否命题:已知a,b为实数,若a2-4b<0,则关于x的不等式x2+ax+b≤0的解集是空集.原命题、逆命题、否命题和逆否命题均为真命题.导学号59254004求证:若x+y+z>60,则x,y,z中至少有一个大于20.证明:构造命题:若x+y+z>60,则x,y,z中至少有一个大于20.:若x,y,z都小于或等于20,则x+y+z≤60.由于x≤20,y≤20,z≤20,由不等式的性质可得x+y+z≤20+20+20=60,因此逆否命题正确,从而原结论正确.。

( 2.1.2椭圆的简单几何性质(二)课时过关· 能力提升基础巩固1.椭圆的两个焦点为 过点 的直线交椭圆于两点 若则的值为A.10B.12C.16D .18解析:∵|AB|+|AF 1|+|BF 1|=4a ,∴|AF 1|+|BF 1|=4×5-8=12. 答案:B2.已知直线 l :x+y-3=0,椭圆则直线与椭圆的位置关系是A.相交B.相切C.相离D.相切或相交解析:将 y=3-x 代入得5x 2-24x+32=0.Δ= -24)2-4×5×32=576-640=-64<0,方程无解.故直线 l 与椭圆相离.答案:C3.直线 y=x+1 被椭圆所截得的弦的中点坐标是A C --解析:设 A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)为直线与椭圆的交点,中点 M (x 0,y 0),由得3x 2+4x-2=0.x 0-y 0=x 0+1故中点坐标为-答案:C4.直线y=kx-k+1与椭圆的位置关系是A.相交B.相切C.相离D.不确定解析:y=kx-k+1=k(x-1)+1,所以直线过点(1,1).又因为点(1,1)在椭圆内,所以直线与椭圆相交.答案:A的最小值为5.若点(x,y)在椭圆4x2+y2=4上,则-A.1B.-1C.以上都不对答案:C6.已知中心在原点,焦点在坐标轴上,焦距为4的椭圆与直线x有且仅有一个交点则椭圆的长轴长为A.或或C.或或解析:设椭圆方程为mx2+ny2=1(m≠n,且m,n>0),与直线方程x联立,消去x,得(3m+n)y2+由Δ=0,得3m+n=16mn,即又c=2,即由①②联立得或故椭圆的长轴长为或答案:C7.若直线y=x+2与椭圆有两个公共点则的取值范围是2 22 人教 A 版 2018-2019学年高中数学选修 1-1习题解析:由得(m+ 3)x 2+ 4mx+m= 0.∵直线与椭圆有两个公共点,∴Δ=(4m ) -4m (m+ 3)= 16m 2-4m 2-12m= 12m 2-12m> 0,解得 m> 1 或 m< 0.又 m> 0,且 m ≠3∴m> 1,且 m ≠3.答案:(1,3)∪(3,+∞)8.若直线 3x-y-2= 0 截焦点为(0,±的椭圆所得弦中点的横坐标是 则该椭圆的标准方程是解析:设椭圆的标准方程为由联立得(a 2+ 9b 2)x 2-12b 2x+ 4b 2-a b 2= 0,x 1+x 2--∴a 2= 3b 2.又由焦点为(0,±知,a 2-b =50. 由①②,得 a 2= 75,b 2= 25.故所求椭圆方程为答案:9.椭圆 ax 2+by 2= 1(a> 0,b> 0,且 a≠b)与直线 x+y-1= 0 相交于 A ,B 两点,C 是 AB 的中点,若|AB|=直线 的斜率为 求椭圆的方程解:由直线方程和椭圆方程联立,得则(a+b )x 2-2bx+b-1= 0.设 A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则|AB|-①②∵|AB|=设 C (x ,y ),则 x∵直线 OC 的斜率为代入①得 a ∴椭圆方程为10.如图,椭圆 E经过点 且离心率为(1)求椭圆 E 的方程;(2)经过点(1,1),且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 P ,Q (均异于点 A ),证明:直线 AP 与 AQ 的斜率之和为 2.(1)解:由题设知结合 a 2=b 2+c 2,解得 a所以椭圆的方程为(2)证明由题设知,直线 PQ 的方程为 y=k (x-1)+1(k ≠2 代入得(1+2k 2)x 2-4k (k -1)x+2k (k -2)=0.由已知 Δ>0.设 P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),x 1x 2≠0则 x 1+x 2- -从而直线 AP ,AQ 的斜率之和k AP +k AQ=2k+(2-k=2k+(2-k--能力提升1.设P,Q分别为圆x2+(y-6)2=2和椭圆上的点则两点间的最大距离是A.C.7解析:设Q(x,y),则该点到圆心的距离d-------∈[-1,1],∴当y=--时,dmax----∴圆上点P和椭圆上点Q的距离的最大值为d max+r=故选D.答案:D2.已知(4,2)是直线l被椭圆所截得的线段的中点则的方程是A.x-2y=0 C.2x+3y+4=0B.x+2y-4=0 D.x+2y-8=0解析:设l与椭圆的两交点分别为(x1,y1),(x2,y2),①则有②①-②,得由x1+x2=8,y1+y2=4,可得2(x1-x2)+4(y1-y2)=0,即故方程为y-2=--③×9-②,得-即 x+2y-8=0.答案:D3.已知椭圆C的离心率为 过右焦点 且斜率为 的直线与 相交于两点 若则 等于A.1CB解析:由椭圆 C 的离心率为∴椭圆 C设 A (x A ,y A ),B (x B ,y B ),得c即②将点 A ,B 的坐标代入椭圆 C ,得③-∴3x B -x A联立①④,得解得 x A∴y A =--故k k =∴k- --答案:B4.若直线 ax+by+4=0 和圆 x 2+y 2=4 没有公共点,则过点(a ,b )的直线与椭圆的公共点个数为解析:∵直线 ax+by+4=0 与圆 x 2+y 2=4 没有公共点,∴点(a ,b )在椭圆内,即过点(a ,b )的直线与椭圆相交,有 2 个公共点.答案:2★5.如图,过点 M (-2,0)的直线 m 与椭圆交于点 线段 的中点为 设直线 的斜率为 ≠0 直线 OP 的斜率为k 2,则 k 1k 2 的值为.解析:设 P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),代入椭圆方程得两式相减并变形整理得 --设 P (x 0,y 0),则 y 1+y 2=2y 0,x 1+x 2=2x 0,k 2- 1 2答案:6.在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 到两点(0,的距离之和等于 设点 的轨迹为(1)写出 C 的方程;(2)设直线 y=kx+1 与 C 交于 A ,B 两点,则 k 为何值时 此时 的值是多少解:(1)设 P (x ,y ),由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以(0,为焦点,长半轴长为 2 的椭圆.它的焦距为所以短半轴的平方为1,故曲线 C 的方程为 x 2(2)设 A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),其坐标满足消去 y ,并整理得(k 2+4)x 2+2kx-3=0, 故 x 1+x 2=∵y 1y 2=k 2x 1x 2+k (x 1+x 2)+1, ∴x 1x 2+y 1y 2=-又 x 1x 2+y 1y 2=0,∴k=当 k=时,x 1+x 2=∓ |AB|--而(x 2-x 1)2=(x 2+x 1)2-4x 1x 2★7.已知椭圆 G过点 作圆的切线 交椭圆 于两点(1)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率;(2)将|AB|表示为 m 的函数,并求|AB|的最大值.解:(1)由已知得 a=2,b=1,所以 c-所以椭圆 G 的焦点坐标为(离心率为 e(2)由题意知,|m|≥1.当 m=1 时,切线 l 的方程为 x=1,点 A ,B 的坐标分别为-此时|AB|当 m=-1 时,同理可得|AB|当|m|>1 时,设切线 l 的方程为 y=k (x-m ).由得(1+4k2)x2-8k2mx+4k2m2-4=0.设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1+x2-又由l与圆x2+y2=1相切,得即m2k2=k2+1.所以|AB|-因为当m=±1时,|AB|所以|AB|因为|AB|∈(-∞,-1]∪[1,+∞).≤2且当m=时,|AB|=2,所以|AB|的最大值为2.。

人教A 版选修2-1课本例题习题改编1. 原题（选修2-1第四十一页例3）改编 已知点A 、B 的坐标分别是A （0，-1），B （0，1），直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是-t ，t ∈（0，1]．求M 的轨迹方程，并说明曲线的类型．解：设M （x ，y ），则10BM y k x -=- (x ≠0)，(1)0AM y k x --=-(x ≠0)，BM AM k k =-t ，10y x -- ∙(1)0y x ---=-t(x ≠0)，整理得221x y t+=1(x ≠0)（1）当t ∈（0，1）时，M 的轨迹为椭圆（除去A 和B 两点）；（2）当t=1时，M 的轨迹为圆（除去A 和B 两点）．2. 原题（选修2-1第四十七页例7）改编 在直线l ：04=-+y x 上任取一点M ，过点M 且以双曲线1322=-y x 的焦点为焦点作椭圆．(1)M 点在何处时，所求椭圆长轴最短； (2)求长轴最短时的椭圆方程．解：(1).4,3,122222=+=∴==b a c b a 故双曲线1322=-y x 的两焦点),0,2(),0,2(21F F -过2F 向l 引垂直线‘l ：2-=x y ，求出2F 关于l 的对称点2‘F ，则2‘F 的坐标为（4，2）（如图）， 直线21‘F F 的方程为023=+-y x 。

∴⎩⎨⎧=-+=+-.04,023y x y x ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.23,25y x ∴)23,25(M 即为所求的点.此时，=+21MF MF 2'1MF MF +2'1F F ==102(2)设所求椭圆方程为12222=+by a x ，∴,2,10==c a ∴.6410222=-=-=c a b ∴所求椭圆方程为161022=+y x . 3. 原题（选修2-1第四十九页习题2.2A 组第八题）改编 已知椭圆与双曲线22221x y -=0）（1）求椭圆的标准方程．（2）求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程．解：（1）依题意得，将双曲线方程标准化为221122x y -=1，则c=1．∵椭圆与双曲线共焦点，∴设椭圆方程为22221x y a a +-=10），∴22201a a +-=1，即2a =2，∴椭圆方程为222x y +=1． （2）依题意，设斜率为2的弦所在直线的方程为y=2x+b ，弦的中点坐标为（x ，y ），则 y=2x+b且 222x y +=1得2298220x bx b ++-=，∴1289b x x +=-，1229b y y +=．即x=49b -，y=9b ，两式消掉b 得 y=14-x ．令△=0，226436(22)0b b --=，即b=±3，所以斜率为2且与椭圆相切的直线方程为y=2x±3，即当x=±43时斜率为2的直线与椭圆相切．所以平行弦得中点轨迹方程为：y=1-x （4-≤x≤4）． 解：∵双曲线2211620x y -=得：a=4，由双曲线的定义知||P 1F |-|P 2F ||=2a=8，|P 1F |=9， ∴|P 2F |=1＜（不合，舍去）或|P 2F |=17，故|P 2F |=17．5．原题（选修2-1第六十二页习题2.3B 组第四题）改编 经过点A （2，1）作直线L 交双曲线2212y x -=于1P ，2P 两点，求线段1P 2P 的中点P 的轨迹方程． 解：设直线L 的方程为y=k （x-2）+1，（1）；将（1）式代入双曲线方程，得：2222(2)(42)4430k x k k x k k -+--+-=，（2）； 又设1P （1x ，1y ），2P （2x ，2y ），P(x ，y)，则1x ，2x 必须是（2）的两个实根，所以有1x +2x =22422k k k -- (2k -2≠0)．按题意，x=122x x +，∴x=2222k k k --．因为(x ，y)在直线（1）上，所以y=k(x-2)+1=222(2)2k k k k ---+1=22(21)2k k --．再由x ，y 的表达式相除后消去k 而得所求轨迹的普通方程为2214()8(1)2177y x ---=，这就是所求的轨迹方程． 6．原题（选修2-1第七十二页练习题3）改编 过动点M （a ，0）且斜率为1的直线l 与抛物线)0(22>=p px y 交于不同的两点A 、B ，试确定实数a 的取值范围，使||2AB p ≤． 解：由题意，直线l 的方程为a x y -=，将px y a x y 22=-=代入，得0)(222=++-a x p a x ．设直线l 与抛物线的两个交点的坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，则 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+>-+.),(2,04)(42212122a x x p a x x a p a又a x y a x y -=-=2211,， ∴221221)()(||y y x x AB -+-=]4)[(221221x x x x -+=)2(8a p p +=． ∵ 0)2(8,2||0>+≤<a p p p AB ， ∴ p a p p 2)2(80≤+<． 解得42p a p -≤<-． 故]4,2(p p a --∈时，有||2AB p ≤． 7. 原题（选修2-1第七十三页习题2.4A 组第六题）改编 直线l 与抛物线22y x =相交于A 、B 两点，O 为抛物线的顶点，若OA ⊥OB ．则直线l 过定点解：设点A ，B 的坐标分别为（1x ，1y ），（2x ，2y ）（I ）当直线l 存在斜率时，设直线方程为y=kx+b ，显然k ≠0且b ≠0．联立方程得：2,2y kx b y x =+=消去y 得222(22)0k x kb x b +-+=，由题意：1x 2x =22b k ，12122()()b y y kx b kx b k =++=，又由OA ⊥OB 得12120x x y y +=，即 2220b b k k+=，解得b=0（舍去）或b=-2k ，故直线l 的方程为：y=kx-2k=k （x-2），故直线过定点（2，0）（II ）当直线l 不存在斜率时，设它的方程为x=m ，显然m ＞0，联立方程2,2x m y x ==解得y =即1y 2y =-2m ，又由OA ⊥OB 得12120x x y y +=，即22m m -=0，解得m=0（舍去）或m=2，可知直线l 方程为：x=2，故直线过定点（2，0）综合（1）（2）可知，满足条件的直线过定点（2，0）．8. 原题（选修2-1第八十一页复习参考题B 组第一题）改编 已知F 1、F 2分别为椭圆191622=+y x 的左、右焦点，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，求21F PF ∆的面积.解：依题意，可知当以F 1或F 2为三角形的直角顶点时，点P 的坐标为94⎛⎫± ⎪⎝⎭，则点P 到x 轴的距离为49，此时21F PF ∆的面积为479；当以点P 为三角形的直角顶点时，点P 的坐标为3779>，舍去。

高中数学人教A版选修1-1 第一章导数及其应用1.1.2 四种命题课时测试（1）1.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是( )A.若一个数是负数,则它的平方不是正数B.若一个数的平方是正数,则它是负数C.若一个数不是负数,则它的平方不是正数D.若一个数的平方不是正数,则它不是负数【解析】选B.命题“若p,则q”的逆命题是“若q,则p”.故B正确.2.命题“若A∪B=A,则A∩B=B”的否命题是( )A.若A∪B≠A,则A∩B≠BB.若A∪B=A,则A∩B≠BC.若A∩B≠B,则A∪B≠AD.若A∪B≠A,则A∩B=B【解析】选A.否命题是对原命题的条件和结论同时否定,所以选A.3.命题“若x≥a2+b2,则x≥2ab”的逆命题是( )A.若x<a2+b2,则x<2abB.若x≥a2+b2,则x<2abC.若x<2ab,则x<a2+b2D.若x≥2ab,则x≥a2+b2【解析】选D.原命题条件和结论对换得到逆命题,可知选D.4.命题“若∠C=90°,则△ABC是直角三角形”的否命题的真假性为________.【解析】原命题的否命题为“若∠C≠90°,则△ABC不是直角三角形”,明显是假命题.答案:假命题5.已知命题:“若m>2,则方程x2+2x+3m=0无实根”,写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断真假.【解析】逆命题:“若方程x2+2x+3m=0无实根,则m>2”,假命题.否命题:“若m≤2,则方程x2+2x+3m=0有实根”,假命题.逆否命题:“若方程x2+2x+3m=0有实根,则m≤2”,真命题.课时测试（2）一、选择题(每小题4分,共12分)1.(2016·泉州高二检测)已知命题p:垂直于平面α内无数条直线的直线l垂直于平面α,q是p的否命题,下面结论正确的是( )A.p真,q真B.p假,q假C.p真,q假D.p假,q真【解析】选D.当平面α内的直线相互平行时,l不一定垂直于平面α.故p为假命题.易知p的否命题q:若直线l不垂直于平面α内无数条直线,则l不垂直于平面α.易知q为真命题.2.命题“若A∩B=A,则A⊆B”的逆否命题是( )A.若A∪B≠A,则A⊇BB.若A∩B≠A,则A⊆BC.若A⊄B,则A∩B≠AD.若A⊇B,则A∩B≠A【解析】选C.命题:“若A∩B=A,则A⊆B”的逆否命题是:若A⊄B,则A∩B≠A.故C正确.3.(2016·宝鸡高二检测)有下列四个命题:①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;②“全等三角形的面积相等”的否命题;③“若q≤1,则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题;④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题;其中真命题为( )A.①②B.②③C.①③D.③④【解析】选C.①逆命题为“若x,y互为相反数,则x+y=0”是真命题;②的否命题为“不全等的三角形面积不等”为假命题;③当q≤1时,Δ=4-4q≥0,方程有实根,为真命题,故逆否命题为真命题;④逆命题为“若三角形三内角相等,则三角形是不等边三角形”为假命题.【补偿训练】下列有关命题的说法正确的是( )A.“若x>1,则2x>1”的否命题为真命题B.“若cosβ=1,则sinβ=0”的逆命题是真命题C.“若平面向量a,b共线,则a,b方向相同”的逆否命题为假命题D.命题“若x>1,则x>a”的逆命题为真命题,则a>0【解析】选C.A中,2x≤1时,x≤0,从而否命题“若x≤1,则2x≤1”为假命题,故A不正确;B 中,sinβ=0时,cosβ=±1,则逆命题为假命题,故B不正确;D中,由已知条件得a的取值范围为[1,+∞),故D不正确.二、填空题(每小题4分,共8分)ðA,则a∈A”的逆命题是,它是4.“已知a∈U(U为全集),若a∉U(填“真”或“假”)命题.ðA”,结论是“a∈A”,所以原命题的【解析】“已知a∈U(U为全集)”是大前提,条件是“a∉UðA”.它为真命题.逆命题为“已知a∈U(U为全集),若a∈A,则a∉Uð A 真答案:已知a∈U(U为全集),若a∈A,则a∉U【误区警示】改写逆命题时,易漏大前提5.命题p:“若=b,则a,b,c成等比数列”,则命题p的否命题是(填“真”或“假”)命题.【解析】命题p的否命题是“若≠b,则a,b,c不成等比数列”,是假命题,如a=c=1,b=-1满足≠b,但a,b,c成等比数列.答案:假三、解答题6.(10分)(教材P6练习1改编)写出命题“末位数字是偶数的整数能被2整除”的逆命题、否命题、逆否命题,并判断真假.【解析】因为原命题是:“若一个整数的末位数字是偶数,则它能被2整除”.所以逆命题:若一个整数能被2整除,则它的末位数字是偶数,真命题.否命题:若一个整数的末位数字不是偶数,则它不能被2整除,真命题.逆否命题:若一个整数不能被2整除,则它的末位数字不是偶数,真命题.【补偿训练】已知命题p:“若ac≥0,则二次方程ax2+bx+c=0没有实根”.(1)写出命题p的否命题.(2)判断命题p的否命题的真假,并证明你的结论.【解题指南】(1)根据命题“若p,则q”的否命题是“若p,则q”即可写出命题p的否命题.(2)根据二次方程有实根的条件,即可判断命题的真假.【解析】(1)命题p的否命题为:“若ac<0,则二次方程ax2+bx+c=0有实根”.(2)命题p的否命题是真命题.证明:因为ac<0⇒-ac>0⇒Δ=b2-4ac>0⇒二次方程ax2+bx+c=0有实根,所以该命题是真命题.一、选择题(每小题5分,共10分)1.命题“若x≠3且x≠2,则x2-5x+6≠0”的否命题是( )A.若x=3且x=2,则x2-5x+6=0B.若x≠3且x≠2,则x2-5x+6=0C.若x=3或x=2,则x2-5x+6=0D.若x=3或x=2,则x2-5x+6≠0【解题指南】“若x≠3且x≠2”是同时不成立的意思,否定时要改成不同时不成立,即至少一个成立.【解析】选C.命题的否命题需将条件和结论分别否定,x≠3且x≠2的否定是x=3或x=2,因此该命题的否命题为“若x=3或x=2,则x2-5x+6=0”.【补偿训练】命题“若a>b,则a-1>b-1”的否命题是( )A.若a>b,则a-1≤b-1B.若a≥b,则a-1<b-1C.若a≤b,则a-1≤b-1D.若a<b,a-1<b-1【解析】选C.命题的否命题是将条件和结论分别否定,对a>b的否定为a≤b,对a-1>b-1的否定为a-1≤b-1,所以命题的否命题为“若a≤b,则a-1≤b-1”.2.(2016·郴州高二检测)“若x2-3x+2=0,则x=2”为原命题,则它的逆命题、否命题与逆否命题中真命题的个数是( )A.1B.2C.3D.0【解析】选B.逆命题是“若x=2,则x2-3x+2=0”,为真命题;否命题是“若x2-3x+2≠0,则x≠2”为真命题;逆否命题是“若x≠2,则x2-3x+2≠0”,因为x=1时,x2-3x+2=0,所以为假命题;所以真命题的个数为2.二、填空题(每小题5分,共10分)3.“若a>b,则2a>2b”的逆否命题为.【解析】原命题:“若p,则q”的逆否命题为:“若q,则p”.所以“若a>b,则2a>2b”的逆否命题为“若2a≤2b,则a≤b”.答案:若2a≤2b,则a≤b4.命题“若实数a满足a≤3,则a2<9”的否命题是(填“真”或“假”)命题.【解析】命题“若实数a满足a≤3,则a2<9”的否命题是“若实数a满足a>3,则a2≥9”,命题是真命题.答案:真三、解答题5.(10分)(2016·合肥高二检测)设M是一个命题,它的结论是q:x1,x2是方程x2+2x-3=0的两个根,M的逆否命题的结论是p:x1+x2≠-2或x1x2≠-3.(1)写出M.(2)写出M的逆命题、否命题、逆否命题.【解题指南】把逆否命题的结论否定即可得到原命题的条件.【解析】(1)设命题M表述为:若p,则q,那么由题意知其中的结论q为:x1,x2是方程x2+2x-3=0的两个根.而条件p的否定形式p为:x1+x2≠-2或x1x2≠-3,故p的否定形式即p为:x1+x2=-2且x1x2=-3.所以命题M为:若x1+x2=-2且x1x2=-3,则x1,x2是方程x2+2x-3=0的两个根.(2)M的逆命题为:若x1,x2是方程x2+2x-3=0的两个根,则x1+x2=-2且x1x2=-3.逆否命题为:若x1,x2不是方程x2+2x-3=0的两个根,则x1+x2≠-2或x1x2≠-3.否命题为:若x1+x2≠-2或x1x2≠-3,则x1,x2不是方程x2+2x-3=0的两个根.课时测试（3）(15分钟30分)一、选择题(每小题4分，共12分)1.已知a，b，c∈R，命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”的否命题是( )A.若a+b+c≠3，则a2+b2+c2<3B.若a+b+c=3，则a2+b2+c2<3C.若a+b+c≠3，则a2+b2+c2≥3D.若a+b+c≥3，则a2+b2+c2=3【解析】选A.因为命题“若p，则q”的否命题为“若p，则q”，故选A.2.下列命题的逆命题为真命题的是( )A.若xy≠0，则x，y不都为零B.正多边形都相似C.若m>0，则x2+x-m=0有实根D.若x是无理数，则x-是有理数【解析】选D.A中逆命题为“若x，y不都为零，则xy≠0”，假命题；B中逆命题为“相似的多边形都是正多边形”，假命题；C中逆命题为“若x2+x-m=0有实根，则m>0”，假命题；D中逆命题为“若x-是有理数，则x是无理数”，真命题.3.(2015·长春高二检测)若命题p的逆命题是q，命题p的逆否命题是r，则q是r的( )A.逆命题B.否命题C.逆否命题D.以上都不正确【解题指南】设命题p为“若s，则t”的形式，分别写出q，r，再判断q与r条件与结论的关系，从而作出选择.【解析】选B.设命题p为：“若s，则t”，则命题q为：若t，则s，命题r是：若t，则s，由此知q为r的否命题.二、填空题(每小题4分，共8分)4.命题“各位数字之和是3的倍数的正整数，可以被3整除”的逆命题是___________________________________________________________，否命题是___________________________________________________，逆否命题是__________________________________________________.【解析】逆命题是：“能被3整除的正整数，它的各位数字之和是3的倍数”.否命题：“各位数字之和不是3的倍数的正整数不能被3整除”.逆否命题是：“不能被3整除的正整数，其各位数字之和不是3的倍数”.答案：能被3整除的正整数，它的各位数字之和是3的倍数各位数字之和不是3的倍数的正整数，不能被3整除不能被3整除的正整数，其各位数字之和不是3的倍数5.(2015·烟台高二检测)下列命题：①“等边三角形三内角都为60°”的逆命题；②“若k>0，则x2+2x-k=0有实根”的逆否命题；③“全等三角形的面积相等”的否命题；④“若ab≠0，则a≠0”的否命题；其中真命题的序号为________.【解析】①逆命题“三内角都为60°的三角形为等边三角形”，真命题；②逆否命题“若x2+2x-k=0没有实根，则k≤0”，因为Δ=4+4k<0，所以k<-1，满足k≤0，所以是真命题；③否命题“不全等的三角形的面积不相等”，是假命题；④否命题“若ab=0，则a=0”是假命题，故只有①②是真命题.答案：①②【补偿训练】(2015·西安高二检测)对于命题“若数列{a n}是等比数列，则a n≠0”，下列说法正确的是( )A.它的逆命题是真命题B.它的否命题是真命题C.它的逆否命题是假命题D.它的否命题是假命题【解析】选D.命题“若数列{a n}是等比数列，则a n≠0”的逆命题为“若a n≠0，则数列{a n}是等比数列”为假命题，故A错.否命题为“若数列{a n}不是等比数列，则a n=0”，显然是假命题，如a n=2n(n∈N*)不是等比数列，对应a n≠0，故选D.三、解答题6.(10分)写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假.(1)在△ABC中，若BC>AC，则∠A>∠B；(2)相等的两个角的正弦值相等.【解析】(1)逆命题：在△ABC中，若∠A>∠B，则BC>AC；真命题.否命题：在△ABC中，若BC≤AC，则∠A≤∠B；真命题.逆否命题：在△ABC中，若∠A≤∠B，则BC≤AC；真命题.(2)逆命题：若两个角的正弦值相等，则这两个角相等；假命题.否命题：若两个角不相等，则这两个角的正弦值也不相等；假命题.逆否命题：若两个角的正弦值不相等，则这两个角不相等；真命题.【补偿训练】分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.(1)当m>时，mx2-x+1=0无实根.(2)当abc=0时，a=0或b=0或c=0.【解析】(1)逆命题：当mx2-x+1=0无实根时，m>；真命题；否命题：当m≤时，mx2-x+1=0有实根；真命题；逆否命题：当mx2-x+1=0有实根时，m≤；真命题.(2)逆命题：当a=0或b=0或c=0时，abc=0；真命题；否命题：当abc≠0时，a≠0且b≠0且c≠0；真命题；逆否命题：当a≠0且b≠0且c≠0时，abc≠0；真命题.(15分钟30分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.(2015·中山高二检测)下列判断中不正确的是( )A.命题“若A∩B=B，则A∪B=A”的逆否命题为真命题B.“矩形的两条对角线相等”的否命题为假命题C.“已知a，b，m∈R，若am2<bm2，则a<b”的逆命题是真命题D.“若x∈N*，则(x-1)2>0”是假命题【解题指南】逐个写出命题，作出判断，从中选取不正确的.【解析】选C.A中，逆否命题“若A∪B≠A，则A∩B≠B”是真命题，正确；B中，否命题“不是矩形的四边形的两条对角线不相等”是假命题，正确；C中，逆命题“已知a，b，m∈R，若a<b，则am2<bm2”是假命题.所以C错误.D中，因为x=1时，(1-1)2=0，所以是假命题，正确.2.(2015·昆明高二检测)有下列命题：①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的否命题；②“若x>y，则x2>y2”的逆否命题；③“若x≤3，则x2-x-6>0”的否命题；④“对顶角相等”的逆命题.其中真命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3【解析】选B.①的否命题为“若x+y≠0，则x，y不互为相反数”为真命题.②的逆否命题为“若x2≤y2，则x≤y”为假命题，如x=0，y=-1时，02≤(-1)2，但0>-1.③该命题的否命题为“若x>3，则x2-x-6≤0”，为假命题；④该命题的逆命题是“相等的角是对顶角”，是假命题.【拓展延伸】命题的四种形式及其真假的判断(1)四种形式：写出命题的四种形式，需要确定原命题的条件和结论，交换条件与结论可得到逆命题，否定条件与结论可得到否命题，既交换条件与结论，又否定条件与结论可得到逆否命题.(2)真假的判断：判断命题的真假时，需要结合命题所含的相关知识点进行推理判断，或用举反例法说明是假命题.二、填空题(每小题5分，共10分)3.(2015·沈阳高二检测)“若a∉M或a∉P，则a∉(M∩P)”的逆否命题是________________________.【解析】命题“若p，则q”的逆否命题是“若q，则p”，题中“a∉M或a∉P”的否定是“a ∈M且a∈P”.答案：若a∈(M∩P)，则a∈M且a∈P【补偿训练】命题“若a·b不为零，则a，b都不为零向量”的逆否命题是_____________________________.【解析】逆否命题是“若a，b至少有一个为零向量，则a·b为零”.答案：若a，b至少有一个为零向量，则a·b为零4.命题“当a>0时，函数y=ax+b的值随x的增大而增大”的否命题是__________.【解析】命题的条件是x增大，结论是函数y=ax+b的值增大，命题的否命题是：当a>0时，若x不增大，则函数y=ax+b的值也不增大.答案：当a>0时，若x不增大，则函数y=ax+b的值也不增大【误区警示】原命题有两个条件：“a>0”和“x增大”，其中“a>0”是前提，在写原命题、逆命题、否命题、逆否命题时，把“a>0”置于“若”字的前面，把“x增大”作为原命题的条件，不能把“a>0”和“x增大”都当成条件.三、解答题5.(10分)(2015·苏州高二检测)在公比为q的等比数列{a n}中，前n项的和为S n，若S m，S m+2，S m+1成等差数列，则a m，a m+2，a m+1成等差数列.(1)写出这个命题的逆命题.(2)判断公比q为何值时，逆命题为真？公比q为何值时，逆命题为假？【解题指南】解答本题首先需根据逆命题的概念正确写出逆命题，然后根据等差数列和等比数列的性质判断何时为真命题，何时为假命题.【解析】(1)逆命题：在公比为q的等比数列{a n}中，前n项的和为S n，若a m，a m+2，a m+1成等差数列，则S m，S m+2，S m+1成等差数列.(2)由{a n}为等比数列，所以a n≠0，q≠0.由a m，a m+2，a m+1成等差数列，得2a m+2=a m+a m+1，所以2a m·q2=a m+a m·q，所以2q2-q-1=0.解得q=-或q=1.当q=1时，a n=a1(n=1，2，…)，所以S m+2=(m+2)a1，S m=ma1，S m+1=(m+1)a1，因为2(m+2)a1≠ma1+(m+1)a1，即2S m+2≠S m+S m+1，所以S m，S m+2，S m+1不成等差数列.即q=1时，原命题的逆命题为假命题.当q=-时，2S m+2=2·，S m+1=，S m=，所以2S m+2=S m+1+S m，所以S m，S m+2，S m+1成等差数列，即q=-时，原命题的逆命题为真命题.。

§3.4 生活中的优化问题举例课时目标 通过用料最省、利润最大、效率最高等优化问题，使学生体会导数在解决实际问题中的作用，会利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为____________，通过前面的学习，我们知道________是求函数最大(小)值的有力工具，运用________，可以解决一些生活中的______________．2．解决实际应用问题时，要把问题中所涉及的几个变量转化成函数关系，这需通过分析、联想、抽象和转化完成．函数的最值要由极值和端点的函数值确定，当定义域是开区间，而且其上有惟一的极值，则它就是函数的最值．3．解决优化问题的基本思路是：用函数表示的数学问题→用函数表示的数学问题 ↓优化问题的答案←用导数解决数学问题上述解决优化问题的过程是一个典型的_________ _过程．一、选择题1．某箱子的容积与底面边长x 的关系为V (x )＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫60－x 2 (0<x <60)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为( )A ．30B ．40C ．50D ．其他2．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件3．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为( )A ．32米，16米B ．30米，15米C ．40米，20米D ．36米，18米4．若底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为( )A ．3VB ．32VC ．34VD ．23V 5．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则高为( ) A ．33 cm B ．1033 cmC ．1633 cmD ．2033cm6．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益r 与年产量x 的关系是r ＝⎩⎨⎧400x －12x 2xx ，则总利润最大时，年产量是( )A ．100B ．150C ．200D ．300二、填空题7．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．8．如图所示，一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积一定，窗户周长最小时，x与h的比为________．9．做一个无盖的圆柱形水桶，若需使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．三、解答题10．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素．记余下工程的费用为y万元．(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？11．某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤30)的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？能力提升12．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该块地上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)13．已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C＝100＋4q，价格p与产量q的函数关系式为p＝25－18q，求产量q为何值时，利润L最大．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤．(1)分析实际问题中各变量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f (x )；(2)求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；(3)比较函数在区间端点和f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)写出答案．§3.4 生活中的优化问题举例答案知识梳理1．优化问题 导数 导数 优化问题 作业设计1．B [V ′(x )＝60x －32x 2＝0，x ＝0或x ＝40.可见当x 2．C [y ′＝－x 2＋81，令y ′＝0，得x ＝9或x ＝－9(舍去)．当0<x <9时，y ′>0；当x >9时，y ′<0，故当x ＝9时，函数有极大值，也是最大值．]3．A [要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，如图所示，设场地宽为x 米，则长为512x米，因此新墙壁总长度L ＝2x ＋512x(x >0)，则L ′＝2－512x 2.令L ′＝0，得x ＝±16.∵x >0，∴x ＝16.当x ＝16时，L 极小值＝L min ＝64，此时堆料场的长为51216＝32(米)．]4．C [设底面边长为a ，直三棱柱高为h . 体积V ＝3a 2h ，所以h ＝4V 3a2， 表面积S ＝2·34a 2＋3a ·4V 3a2＝32a 2＋43Va ， S ′＝3a －43Va 2，由S ′＝0，得a ＝34V .经验证，当a ＝34V 时，表面积最小．]5．D [设高为x cm ，则底面半径为202－x 2 cm ， 体积V ＝π3x ·(202－x 2) (0<x <20)，V ′＝π3(400－3x 2)，由V ′＝0，得x ＝2033或x ＝－2033(舍去)．当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2033时，V ′>0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2033，20时，V ′<0，所以当x ＝2033时，V 取最大值．]6．D [由题意，总成本为c ＝20 000＋100x ， 所以总利润为p ＝r －c＝⎩⎨⎧300x －x 22－20 000x60 000－100x x，p ′＝⎩⎪⎨⎪⎧300－x x －x，p ′＝0，当0≤x ≤400时，得x ＝300； 当x >400时，p ′<0恒成立， 易知当x ＝300时，总利润最大．] 7．5解析 依题意可设每月土地占用费y 1＝k 1x，每月库存货物的运费y 2＝k 2x ，其中x 是仓库到车站的距离．于是由2＝k 110，得k 1＝20；由8＝10k 2，得k 2＝45.因此两项费用之和为y ＝20x ＋4x 5，y ′＝－20x 2＋45，令y ′＝－20x 2＋45＝0得x ＝5(x ＝－5舍去)，经验证，此点即为最小值点．故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小． 8．1∶1解析 设窗户面积为S ，周长为L ，则S ＝π2x 2＋2hx ，h ＝S 2x －π4x ，所以窗户周长L ＝πx ＋2x ＋2h ＝π2x ＋2x ＋S x ，L ′＝π2＋2－Sx 2.由L ′＝0，得x ＝2Sπ＋4，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0， 2S π＋4时，L ′<0， x ∈⎝⎛⎭⎪⎫ 2Sπ＋4，＋∞时，L ′>0，所以当x ＝2Sπ＋4时，L 取最小值， 此时h x ＝2S －πx 24x 2＝2S 4x 2－π4＝π＋44－π4＝1.9．3解析 设半径为r ，则高h ＝27ππr 2＝27r 2.∴水桶的全面积S (r )＝πr 2＋2πr ·27r2＝πr 2＋54πr.S ′(r )＝2πr －54πr2，令S ′(r )＝0，得r ＝3.∴当r ＝3时，S (r )最小．10．解 (1)设需新建n 个桥墩，则(n ＋1)x ＝m ， 即n ＝mx－1 (0<x <m )，所以y ＝f (x )＝256n ＋(n ＋1)(2＋x )x ＝256⎝ ⎛⎭⎪⎫m x －1＋mx(2＋x )x＝256m x＋m x ＋2m －256 (0<x <m )．(2)由 (1)知，f ′(x )＝－256m x 2＋12mx －12＝m 2x 2(x 32－512)． 令f ′(x )＝0，得x 32＝512，所以x ＝64.当0<x <64时，f ′(x )<0，f (x )在区间(0,64)内为减函数；当64<x <640时，f ′(x )>0，f (x )在区间(64,640)内为增函数，所以f (x )在x ＝64处取得最小值，此时n ＝m x －1＝64064－1＝9.故需新建9个桥墩才能使y 最小．11．解 (1)设商品降低x 元时，多卖出的商品件数为kx 2，若记商品在一个星期的销售利润为f (x )，则依题意有f (x )＝(30－x －9)·(432＋kx 2) ＝(21－x )·(432＋kx 2)，又由已知条件24＝k ·22，于是有k ＝6， 所以f (x )＝－6x 3＋126x 2－432x ＋9 072，x ∈[0,30]． (2)根据(1)，有f ′(x )＝－18x 2＋252x －432 ＝－18(x －2)(x －12)．当x 变化时，f (x )与f ′(x )的变化情况如下表：极小值30－12＝18(元)能使一个星期的商品销售利润最大．12．解 设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，则f (x )＝(560＋48x )＋2 160×10 0002 000x＝560＋48x ＋10 800x(x ≥10，x ∈N *)，f ′(x )＝48－10 800x2，令f ′(x )＝0得x ＝15. 当x >15时，f ′(x )>0； 当0<x <15时，f ′(x )<0.因此，当x ＝15时，f (x )取最小值f (15)＝2 000.所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．13．解 收入R ＝q ·p ＝q ⎝ ⎛⎭⎪⎫25－18q ＝25q －18q 2.利润L ＝R －C ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25q －18q 2－(100＋4q )＝－18q 2＋21q －100 (0<q <200)，L ′＝－14q ＋21，令L ′＝0，即－14q ＋21＝0，解得q ＝84.因为当0<q <84时，L ′>0； 当84<q <200时，L ′<0， 所以当q ＝84时，L 取得最大值． 所以产量q 为84时，利润L 最大．。

[课时作业][A组基础巩固]1．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是()A．能被3整除的整数，一定能被6整除B．不能被3整除的整数，一定不能被6整除C．不能被6整除的整数，一定不能被3整除D．不能被6整除的整数，能被3整除解析：即写命题“若一个整数能被6整除，则一定能被3整除”的逆否命题．答案：B2．“△ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B全是锐角”的否命题为()A．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B全不是锐角B．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不全是锐角C．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B中必有一个钝角D．以上均不对解析：“全是”的否定是“不全是”，故选B.答案：B3．命题“若x＝3，则x2－9x＋18＝0”，那么它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数有()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：∵x2－9x＋18＝0，∴(x－3)(x－6)＝0.∴x＝3或x＝6.∴逆命题为假，从而否命题为假．又原命题为真，则逆否命题为真．答案：B4．下列说法中错误的个数是()①命题“余弦函数是周期函数”的否命题是“余弦函数不是周期函数”②命题“若x>1，则x－1>0”的否命题是“若x≤1，则x－1≤0”③命题“两个正数的和为正数”的否命题是“两个负数的和为负数”④命题“x＝－4是方程x2＋3x－4＝0的根”的否命题是“x＝－4不是方程x2＋3x－4＝0的根”A．1 B．2 C．3 D．4解析：①错误，否命题是“若一个函数不是余弦函数，则它不是周期函数”；②正确；③错误，否命题是“若两个数不全为正数，则它们的和不为正数”；④错误，否命题是“若一个数不是－4，则它不是方程x2＋3x－4＝0的根”．答案：C5．命题“若a、b都是奇数，则ab必为奇数”的等价命题是()A ．如果ab 是奇数，则a ，b 都是奇数B ．如果ab 不是奇数，则a ，b 不都是奇数C ．如果a ，b 都是奇数，则ab 不是奇数D ．如果a ，b 不都是奇数，则ab 不是奇数解析：等价命题即为逆否命题，故选B.答案：B6．命题“若x ≠1，则x 2－1≠0”的真假性为________．解析：可转化为判断命题的逆否命题的真假，由于原命题的逆否命题是：“若x 2－1＝0，则x ＝1”，因为x 2－1＝0，x ＝±1，所以该命题是假命题，因此原命题是假命题．答案：假命题7．命题“当AB ＝AC 时，△ABC 是等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题有_______________________________________________________个．解析：原命题为真命题，逆命题“当△ABC 是等腰三角形时，AB ＝AC ”为假命题，否命题“当AB ≠AC 时，△ABC 不是等腰三角形”为假命题，逆否命题“当△ABC 不是等腰三角形时，AB ≠AC ”为真命题．答案：28．已知命题“若m －1＜x ＜m ＋1，则1＜x ＜2”的逆命题为真命题，则m 的取值范围是________．解析：逆命题为“若1＜x ＜2，则m －1＜x ＜m ＋1”，是真命题，∴(1,2)⊆(m －1，m ＋1)，即⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤1，m ＋1≥2，∴1≤m ≤2. 答案：[1, 2]9．分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假．(1)若实数a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac ；(2)函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是减函数时，log a 2<0.解析：(1)逆命题是：若b 2＝ac ，则a ，b ，c 成等比数列，假命题；否命题是：若实数a ，b ，c 不成等比数列，则b 2≠ac ，假命题；逆否命题是：若实数a ，b ，c 满足b 2≠ac ，则a ，b ，c 不成等比数列，真命题．(2)逆命题：若log a 2<0，则函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是减函数，是真命题； 否命题：若函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上不是减函数，则log a 2≥0，是真命题； 逆否命题：若log a 2≥0，则函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上不是减函数，是真命题．10．写出命题“若a ≥－14，则方程x 2＋x －a ＝0有实根”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．解析：逆命题：若方程x 2＋x －a ＝0有实根，则a ≥－14，否命题：若a <－14，则方程x 2＋x －a ＝0无实根，逆否命题：若方程x 2＋x －a ＝0无实根，则a <－14.由Δ＝1＋4a ≥0可得a ≥－14，所以可判断其原命题、逆命题、否命题和逆否命题都是真命题． [B 组 能力提升]1．对于原命题“周期函数不是单调函数”，下列陈述正确的是( )A ．逆命题为“单调函数不是周期函数”B ．否命题为“周期函数是单调函数”C ．逆否命题为“单调函数是周期函数”D ．以上三者都不对解析：其逆命题、否命题、逆否命题的表述都不正确．答案：D2．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则它的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：原命题是真命题，因为幂函数的图象不过第四象限，反过来，图象不过第四象限时，该函数不一定是幂函数，所以逆命题为假命题，根据等价命题的真假性相同可知，否命题为假命题，逆否命题为真命题，故选C.答案：C3．命题“已知不共线向量e 1，e 2，若λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0”的等价命题为__________________________________，是________命题(填“真”或“假”)．解析：等价命题即为原命题的逆否命题．由于原命题是真命题，∴逆否命题也是真命题．答案：已知不共线向量e 1，e 2，若λ，μ不全为0，则λe 1＋μe 2≠0 真4．设有两个命题：①关于x 的不等式mx 2＋1≥0的解集是R ；②函数f (x )＝log m x 是减函数(m ＞0且m ≠1)．如果这两个命题中有且只有一个真命题，则m 的取值范围是________．解析：对①当m ＝0时，1≥0，mx 2＋1≥0的解集是R ，当m ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，Δ＝－4m ≤0，∴m ＞0， ∴①为真命题时，m ≥0.对②，∵f (x )＝log m x 是减函数，∴0＜m ＜1，而②为真命题时，0＜m ＜1.当①真②假时，有⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥0，m ＞1，即m ＞1； 当①假②真时，有⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，0＜m ＜1，即m ∈∅. 答案：m ＞15．判断命题“若m >0，则方程x 2＋2x －3m ＝0有实数根”的逆否命题的真假．解析：∵m >0，∴12m >0，∴12m ＋4>0.∴方程x 2＋2x －3m ＝0的判别式Δ＝12m ＋4>0.∴原命题“若m >0，则方程x 2＋2x －3m ＝0有实数根”为真．又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m >0，则方程x 2＋2x －3m ＝0有实数根”的逆否命题也为真．6.(1)如图，证明命题“a 是平面π内的一条直线，b 是平面π外的一条直线(b 不垂直于π)，c 是直线b 在π上的投影，若a ⊥b ，则a ⊥c ”为真．(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需要证明)．解析：(1)如图，设c ∩b ＝A ，P 为直线b 上异于点A 的任意一点，作PO ⊥π，垂足为O ，则O ∈c ，∵PO ⊥π，a ⊂π，∴PO ⊥a ，又a ⊥b ，b ⊂平面P AO ，PO ∩b ＝P ，∴a ⊥平面P AO ，又c ⊂平面P AO ，∴a ⊥c .(2)逆命题为：a 是平面π内的一条直线，b 是平面π外的一条直线(b 不垂直于π)，c 是直线b 在平面π上的投影，若a ⊥c ，则a ⊥b .逆命题为真命题．。

1.1.2 四种命题课时目标 1.了解四种命题的概念.2.认识四种命题的结构，会对命题进行转换．1．四种命题的概念：(1)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的______________，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题，其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．(2)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的______________________________，我们把这样的两个命题叫做互否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．(3)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的______________________________，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．2．四种命题的结构：用p和q分别表示原命题的条件和结论，用綈p，綈q分别表示p和q的否定，四种形式就是：原命题：若p成立，则q成立．即“若p，则q”．逆命题：________________________.即“若q，则p”．否命题：______________________.即“若綈p，则綈q”．逆否命题：________________________.即“若綈q，则綈p”．一、选择题1．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．42．命题“若A∩B＝A，则A⊆B”的逆否命题是( )A．若A∪B≠A，则A⊇BB．若A∩B≠A，则A⊆BC．若A⊆B，则A∩B≠AD．若A⊇B，则A∩B≠A3．对于命题“若数列{a n}是等比数列，则a n≠0”，下列说法正确的是( ) A．它的逆命题是真命题B．它的否命题是真命题C．它的逆否命题是假命题D．它的否命题是假命题4．有下列四个命题：①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；④若“A∪B＝B，则A⊇B”的逆否命题．其中的真命题是( )A．①②B．②③C．①③D．③④5．命题“当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( )A．4 B．3 C．2 D．06．命题“若函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则log a2<0”的逆否命题是( )2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数A．若loga2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数B．若loga2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数C．若logaD．若log2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数a题号12345 6答案二、填空题7．命题“若x>y，则x3>y3－1”的否命题是________________________．8．命题“各位数字之和是3的倍数的正整数，可以被3整除”的逆否命题是________________________；逆命题是______________________；否命题是________________________．9．有下列四个命题：①“全等三角形的面积相等”的否命题；②若a2＋b2＝0，则a，b全为0；③命题“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实根”的逆否命题；④命题“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆命题．其中是真命题的是________(填上你认为正确的命题的序号)．三、解答题10．把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．(1)正数的平方根不等于0；(2)当x＝2时，x2＋x－6＝0；(3)对顶角相等．11．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．(1)实数的平方是非负数；(2)等高的两个三角形是全等三角形；(3)弦的垂直平分线平分弦所对的弧．能力提升12．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( )A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数13．命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2－4b≥0，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．1．对条件、结论不明显的命题，可以先将命题改写成“若p则q”的形式后再进行转换．2．分清命题的条件和结论，然后进行互换和否定，即可得到原命题的逆命题，否命题和逆否命题．1．1.2 四种命题答案知识梳理1．(1)结论和条件(2)条件的否定和结论的否定(3)结论的否定和条件的否定2．若q成立，则p成立若綈p成立，则綈q成立若綈q成立，则綈p成立作业设计1．B [由a>－3⇒a>－6，但由a>－6 a>－3，故真命题为原命题及原命题的逆否命题，故选B.]2．C [先明确命题的条件和结论，然后对命题进行转换．]3．D 4.C5．C [原命题和它的逆否命题为真命题．]2≥0，则6．A [由互为逆否命题的关系可知，原命题的逆否命题为：若loga函数x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数．]f(x)＝loga7．若x≤y，则x3≤y3－18．不能被3整除的正整数，其各位数字之和不是3的倍数能被3整除的正整数，它的各位数字之和是3的倍数各位数字之和不是3的倍数的正整数，不能被3整除9．②③10．解(1)原命题：“若a是正数，则a的平方根不等于0”．逆命题：“若a的平方根不等于0，则a是正数”．否命题：“若a不是正数，则a的平方根等于0”．逆否命题：“若a的平方根等于0，则a不是正数”．(2)原命题：“若x＝2，则x2＋x－6＝0”．逆命题：“若x2＋x－6＝0，则x＝2”．否命题：“若x≠2，则x2＋x－6≠0”．逆否命题：“若x2＋x－6≠0，则x≠2”．(3)原命题：“若两个角是对顶角，则它们相等”．逆命题：“若两个角相等，则它们是对顶角”．否命题：“若两个角不是对顶角，则它们不相等”．逆否命题：“若两个角不相等，则它们不是对顶角”．11．解(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高．否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高．(3)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧．逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．12．B [命题“若p，则q”的否命题为“若綈p，则綈q”，而“是”的否定是“不是”，故选B.]13．解逆命题：已知a、b为实数，若a2－4b≥0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集．否命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2－4b<0.逆否命题：已知a、b为实数，若a2－4b<0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集．原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题．。