数学选修4445所有试卷含答案

选修4-4、4-5试题精选（1）当0，=兀-时，求在直角坐标系下点M的坐标和直线l的方程;（2）当点M在曲线C上运动且点P在线段OM上时，求点P在极坐标系下的轨迹方程。

2.在平面直角坐标系xOy中，直线l的（1）求直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程;（2）已知直线l与曲线C交于A，B两点，试求A，B两点间的距离。

3.已知曲线C的极坐标方程是p=1，以极点为坐标原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线C经过伸缩变换（1）设曲线C上任意一点为M（x，y），求x一3y的最小值;（2）求曲线E的直角坐标方程，以及直线l被曲线E截得的弦AB的长。

4.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的坐标原点O为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。

（1）写出曲线C的普通方程和极坐标方程;（2）M，N为曲線C上两点，若OM上ON，求|MN|的最小值。

5.在平面直角坐标系xOy中，直线l的坐标原点0为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为（1，0），曲线（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|PA|+|PB|的取值范围。

6.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p=2sin0+2acos0（a》0）;直线l的参数方程为交于M，N两点。

（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;（2）若点P的极坐标为（2，兀），|PM|+|PN|=52，求a的值。

7.在平面直角坐标系xOy中，曲线C标原点0为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为=（1）写出曲线C的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;（2）若点P的直角坐标为（0，-1），曲线C与曲线C，交于A，B 两点，求|PAI+|PB|的值。

8.在直角坐标系xOy中，曲线C的参x=/3+3cosa（a为参数）。

以数方程为y=1+3sina坐标原点0为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为0。

2.1.1 参数方程的概念►预习梳理1．参数方程的定义．一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C 上任一点P 的坐标x 和y 都可以表示为某个变量t 的函数：______________；反过来，对于t 的每个允许值，由函数式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）所确定的点P (x ，y )________________，那么方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）叫作曲线C 的__________，变量t 是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出__________________的方程叫做普通方程，参数方程可以转化为普通方程．2．关于参数的说明．参数方程中参数可以有物理意义、几何意义，也可以没有明显意义．3．曲线的参数方程可通过消去参数而得到普通方程；若知道变数x 、y 中的一个与参数t 的关系，可把它代入普通方程，求另一变数与参数t 的关系，则所得的⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）就是参数方程．►预习思考以下表示x 轴的参数方程的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2＋1，y ＝0(t 为参数) B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝3t ＋1(t 为参数) C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋sin θ，y ＝0(θ为参数) D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t ＋1，y ＝0(t 为参数), 预习梳理1.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ） 都在曲线C 上 参数方程 点的坐标间关系 预习思考 D一层练习1．当参数θ变化时，由点P (2cos θ，3sin θ)所确定的曲线过点( )A ．(2，3)B ．(1，5)C.⎝⎛⎭⎪⎫0，π2 D ．(2，0)1．D2．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程是( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x ≤3)D ．y ＝x ＋2(0≤y ≤1) 2.C3．在方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2θ，y ＝cos 2θ(θ为参数)所表示的曲线上其中一个点的坐标是( )A ．(2，7) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12 D ．(1，－1) 3.D4．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)化为普通方程是____________.4．(x －1)2＋y 2＝45．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，a ，则a ＝____________.5．± 3 二层练习6．若一直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋12t ，y ＝y 0－32t (t 为参数)，则此直线的倾斜角为( )A ．60°B ．120°C ．30°D ．150°6．B7．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)表示的曲线是( ) A ．直线 B ．圆 C ．线段 D ．射线 7.C8．(2015·湛江市高三(上)调考)直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－12t ，y ＝－1＋12t(t 为参数)被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为________．8．命题立意：本题主要考查了直线的参数方程，以及直线和圆的方程的应用，考查计算能力，属于基础题．解析：∵直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－12t ，y ＝－1＋12t(t 为参数)，∴直线的普通方程为x ＋y －1＝0， 圆心到直线的距离为d ＝12＝22， 弦长＝24－⎝⎛⎭⎪⎫222＝14. 答案：149．(2015·惠州市高三第一次调研考试)已知在平面直角坐标系xOy 中圆C 的参数方程为：⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ(θ为参数)，以Ox 为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝0，则圆C 截直线所得弦长为________．9．解析：圆C ⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θy ＝1＋3sin θ(θ为参数)表示的曲线是以点(3，1)为圆心，以3为半径的圆，将直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝0的方程化为3x －y ＝0，圆心(3，1)到直线3x －y ＝0的距离d ＝|3×3－1|（3）＋12＝1，故圆C 截直线所得弦长为232－12＝4 2.答案：4 210．圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数)的焦点坐标是________．10．(1，0)三层练习11．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB |＝________．11．1612．设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立即坐标系，则曲线C 的极坐标方程为____________________．12．ρcos 2θ－sin θ＝013．已知动点P ，Q 都在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos β，y ＝2sin β(β为参数)上，对应参数分别为β＝α与β＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点．(1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 13．解析：(1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)，因此M (cosα＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋cos 2α，y ＝sin α＋sin 2α(α为参数，0＜α＜2π)．(2)M 点到坐标原点的距离d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0＜α＜2π)．当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．14．边长为a 的等边三角形ABC 的两个端点A 、B 分别在x 轴、y 轴两正半轴上移动，顶点C 和原点O 分别在AB 两侧，记∠CAx ＝α，求顶点C 的轨迹的参数方程．14．解析： 如下图，过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，设点C 的坐标为(x ，y )．则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝OA ＋AD ，y ＝DC ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α＋a cos α，y ＝a sin α(α为参数)， 即为顶点C 的轨迹方程．1．求曲线参数方程的主要步骤．第一步 设点：画出轨迹草图．设M (x ，y )为轨迹上任意一点的坐标，画图时注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系．第二步 选参：选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标(x ，y )与参数的关系比较明显，容易列出方程．二是x ，y 的值可以由参数唯一确定．例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数．此外，离某一定点的“有向距离”，直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数．第三步 表示、结论：根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式．证明可以省略．2．将参数方程化为普通方程时消去参数的常用方法．(1)代入法．先由一个方程求出参数的表达式(用直角坐标变量表示)，再代入另一个方程．(2)利用代数或三角函数中的恒等式消去参数，例如对于参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t cos θ，y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t sin θ，如果t 是常数，θ是参数，那么可以利用公式sin 2θ＋cos 2θ＝1消参；如果θ是常数，t 是参数，那么适当变形后可以利用(m ＋n )2－(m －n )2＝4mn 消参．高中数学 1.2极点坐标练习 新人教A 版选修4-4►预习梳理1．极坐标系的建立．在平面上取一个定点O ，自点O 引一条射线Ox ，同时确定____________和______________________(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系(其中O 称为极点，射线Ox 称为极轴)．设M 为平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫作点M 的________，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫作点M 的________，记为θ，有序实数对________叫作点M 的极坐标，记作________，一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．2．直角坐标与极坐标的互化．以直角坐标系的O 为极点，x 轴正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的单位长度，平面内的任一点P的直角坐标和极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ ，y ＝ 或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝ ，tan θ＝ （x ≠0）. ►预习思考 1．写出下图中各点的极坐标：A ________，B ________，C ________．2．已知点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫5，π3，则它化成直角坐标为________．,预习梳理1．一个长度单位 一个角度单位及其正方向 极径 极角 (ρ，θ) M (ρ，θ) 2．ρcos θ ρsin θ x 2＋y 2yx预习思考1．(4，0) ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4 ⎝⎛⎭⎪⎫3，π22.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，532一层练习1．极坐标系中，和点⎝⎛⎭⎪⎫3，π6表示同一点的是________．1.⎝⎛⎭⎪⎫3，－11π62．极坐标系中，与点⎝⎛⎭⎪⎫3，－π3关于极轴所在直线对称的点的极坐标是________．2.⎝⎛⎭⎪⎫3，π33．在极坐标中，若等边△ABC 的两个顶点是A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4，那么顶点C 的坐标可能是________．3.⎝⎛⎭⎪⎫23，3π4 4．在极坐标系中，已知M 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2，74π，M 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，则|M 1M 2|＝________．4．25．以极点为原点，极轴的方向为x 轴的正方向，建立直角坐标系，则极坐标M ⎝⎛⎭⎪⎫2 014，5π3表示的点在第________象限． 二层练习5．解析：由于x ＝ρcos θ＝2014cos 5π31007，y ＝ρsin θ＝2014sin5π3＝－10073， 故点(1007，－10073)在第四象限． 答案：四6．已知A 、B 两点极坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，－2π3，则线段AB 中点的极坐标为________．6.⎝⎛⎭⎪⎫1，－2π37．在极坐标系中，已知A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，则△AOB 的面积S ＝________．7．28．极坐标系中，点A 的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫3，π6(规定ρ>0，θ∈[0，2π))，则：(1)点A 关于极轴对称的点的极坐标是________； (2)点A 关于极点对称的点的极坐标是________；(3)点A 关于直线θ＝π2的对称点的极坐标是________________．8．(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫3，11π6 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π6 (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π6 9．已知圆C ：(x ＋1)2＋(y －3)2＝1，则圆心C 的极坐标为__________(ρ＞0，0≤θ＜2π)．9.⎝⎛⎭⎪⎫2，2π310．将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ>0，0≤θ<2π)． (1)(3，3)； (2)(－1，－1)；(3)(－3，0)．10．解析：(1)ρ＝（3）2＋32＝23，tan θ＝33＝ 3.又因为点在第一象限，所以θ＝π3.所以点(3，3)的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π3. (2)ρ＝（－1）2＋（－1）2＝2，tan θ＝1. 又因为点在第三象限，所以θ＝5π4.所以点(－1，－1)的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，5π4. (3)ρ＝（－3）2＋02＝3，画图，可知极角为π，所以点(－3，0)的极坐标为(3，π) 三层练习11．在极坐标系中，点A 和点B 的极坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3和(3，0)，O 为极点，则三角形OAB 的面积＝________．11.33212．在极坐标系中，定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32π，点B 的一个极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫ρ，116π(ρ>0)，当线段AB 最短时，点B 的极坐标为________________．12.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，11π6＋2k π(k ∈Z)13．以直角坐标系Oxy 的坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)，正六边形ABCDEF 的顶点极径都是ρ＝2，且A 、B 、C 、D 、E 、F 依逆时针次序排列．若点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，则点B 的直角坐标为________．13．(－1，3)14．在极轴上求与点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4的距离为5的点M 的坐标． 14．解析：设M (r ，0)，因为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4，所以（42）2＋r 2－82r ·cos π4＝5，即r 2－8r ＋7＝0.解得r ＝1或r ＝7. 所以点M 的坐标为(1，0)或(7，0)．答案：(1，0)或(7，0)1．极坐标系的四要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向．四者缺一不可．2．在极坐标系中找点的位置，应先确定极角，再确定极径，最终确定点的位置． 3．极坐标与直角坐标的互化．我们把极轴与平面直角坐标系xOy 的x 轴的正半轴重合，且两种坐标系取相同的长度单位，设P (x ，y )是平面上的任意一点，如右图：则有换算公式：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，① 或⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝y x （x ≠0）.② 在换算公式①和②中，一般θ∈[0，2π)就可以了．【习题1.2】1．解析：由题图可知各点的坐标分别为A (3，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π2，D ⎝⎛⎭⎪⎫1，5π6，E (2.5，π)，F ⎝⎛⎭⎪⎫5，4π3，G (4，5π3)． 2．解析：以广东省汕尾市为极点，正东方向的射线为极轴(单位长度为1公里)建立极坐标系，如右图所示，则该台风中心所在位置的极坐标为A ⎝⎛⎭⎪⎫440，7π4.3．解析：因为∠AOB ＝2π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝π，所以A ，O ，B 三点共线．所以A ，B 两点间的距离为|AB |＝3＋1＝4.4．解析：直角坐标与极坐标的互化公式为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，分别将极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫32，π代入上述公式得各点的直角坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫322，322，()－1，3，(0，4)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0.5．解析：直角坐标与极坐标的互化公式为ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx(x ≠0)，分别将直角坐标()3，3，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－53，⎝ ⎛⎭⎪⎫72，0，()－2，－23代入上述公式得各点的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6，⎝ ⎛⎭⎪⎫53，3π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫72，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，4π3.高中数学 1.3简单曲线的极点坐标方程练习 新人教A 版选修4-4►预习梳理 1．定义．如果曲线C 上的点与方程f (ρ，θ)＝0有如下关系： (1)曲线C 上任一点的坐标__________方程f (ρ，θ)＝0；(2)方程f (ρ，θ)＝0的________为坐标的点______________．则曲线C 的方程是f (ρ，θ)＝0.2．圆的极坐标方程．(1)圆心在(a ，0)(a ＞0)半径为a 的圆的极坐标方程为________________． (2)圆心在极点，半径为r 的圆的极坐标的方程为____________． 3．直线的极坐标方程．(1)直线l 经过极点，从极轴到直线l 的角为π4，则直线l 的极坐标方程为____________．(2)过点A (a ，0)(a ＞0)且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程为________________． (3)直线l 过点P (ρ1，θ1)且与极轴所成的角为α，则直线l 的极坐标方程为____________________________．►预习思考1．几个特殊位置的圆的极坐标方程：(1)圆心位于极点，半径为1的圆的极坐标方程为__________； (2)圆心位于M (1，0)，半径为1的圆的极坐标方程为________；(3)圆心位于M ⎝⎛⎭⎪⎫1，π2，半径为1的圆的极坐标方程为________．2．几个特殊位置的直线的极坐标方程：(1)直线过极点且过点M ⎝⎛⎭⎪⎫1，π6的极坐标方程为__________________；(2)直线过点M (1，0)且垂直于极轴的极坐标方程为________；(3)直线过点M ⎝⎛⎭⎪⎫1，π2且平行于极轴的极坐标方程为________．,预习梳理1．(1)符合 (2)所有解 都在曲线C 上 2．(1)ρ＝2a cos θ (2)ρ＝r 3．(1)θ＝π4，ρ∈R (2)ρcos θ＝a(3)ρsin(α－θ)＝ρ1sin(α－θ1) 预习思考1．(1)ρ＝1 (2)ρ＝2cos θ (3)ρ＝2sin θ 2．(1)θ＝π6，ρ∈R (2)ρcos θ＝1 (3)ρsin θ＝1一层练习1．曲线的极坐标方程ρ＝4cos θ化成直角坐标方程为________． 1．(x －2)2＋y 2＝42．极坐标方程分别为ρ＝cos θ和ρ＝sin θ的两个圆的圆心距是________． 2.223．极坐标方程ρ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ所表示的曲线是________． 3．圆4．(2014·湛江高考调研)极坐标系内，点⎝⎛⎭⎪⎫1，π2到直线ρcos θ＝2的距离是________．4．命题立意：本题考查极坐标与直角坐标的转化，难度较小．解析：点⎝⎛⎭⎪⎫1，π2的直角坐标为(0，1)，直线ρcos θ＝2的直角坐标方程为x ＝2，故点(0，1)到直线x ＝2的距离是d ＝2.答案：25．(2014·揭阳二模)在极坐标系中，过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－π2引圆ρ＝4sin θ的一条切线，则切线长________．二层练习5．命题立意：本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互相转化，难度中等． 解析：先将圆的极坐标方程转化为普通方程，将点的极坐标转化为直角坐标，再利用解直角三角形求其切线长．圆的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，点A 的直角坐标为(0，－4)，点A 与圆心的距离为|－4－2|＝6，所以切线长为62－22＝4 2.答案：4 26．过点P ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3且平行于极轴的直线的极坐标方程是________．6．ρsin θ＝ 37．(2014·湛江二模拟)极坐标系中，圆O ：ρ2＋2ρcos θ－3＝0的圆心到直线ρcosθ＋ρsin θ－7＝0的距离是________．7．命题立意：本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，点到直线的距离，难度中等．解析：先将圆与直线的极坐标方程转化为直角坐标方程，再由点到直线的距离公式求距离大小．圆的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4，圆心为(－1，0)，直线的直角坐标方程为x ＋y －7＝0，所以圆心到直线的距离为|－1＋0－7|2＝4 2.答案：4 28．(2014·汕头质量检测)如图所示的极坐标系中，以M ⎝⎛⎭⎪⎫4，π6为圆心，半径r ＝1的圆M 的极坐标方程是________．8．命题立意：本题考查曲线的直角坐标方程与极坐标方程间的转化，难度中等． 解析：依题意，题中的圆M 的圆心的直角坐标是(23，2)，因此圆M 的直角坐标方程是(x －23)2＋(y －2)2＝1，即x 2＋y 2－43x －4y ＋15＝0，相应的极坐标方程是ρ2－43ρcos θ－4ρsin θ＋15＝0，即ρ2－8ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6＋15＝0.答案：ρ2－8ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6＋15＝09．(2014·佛山一模)在极坐标系中，设曲线C 1：ρcos θ＝1与C 2：ρ＝4cos θ的交点分别为A ，B ，则|AB |＝________．9．命题立意：本题考查曲线的直角坐标方程与极坐标方程的转化，难度中等． 解析：依题意，两条曲线相应的直角坐标方程分别是x ＝1与x 2＋y 2＝4x ，而圆x 2＋y 2＝4x 的圆心坐标是C 2(2，0)、半径是2，圆心C 2(2，0)到直线x ＝1的距离为1，因此|AB |＝222－12＝2 3.答案：2 310．在极坐标系中，直线l ：ρcos θ＝t (常数t ＞0)与曲线C ：ρ＝2sin θ相切，则t ＝________．10．111．在极坐标系中，已知直线l ：ρ(sin θ－cos θ)＝a 把曲线C ：ρ＝2cos θ所围成的区域分成面积相等的两部分，则常数a 的值是________．11．－112．(2014·深圳第二次调研)在极坐标系中，A ，B 分别是直线3ρcos θ－4ρsin θ＋5＝0和圆ρ＝2cos θ上的动点，则A ，B 两点之间距离的最小值是________．12．命题立意：本题考查直线与圆的极坐标方程、点到直线的距离，难度中等． 解析：由题意，得直线的平面直角坐标方程为3x －4y ＋5＝0，圆的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1，则圆心(1，0)到直线的距离d ＝|3×1－4×0＋5|32＋42＝85，所以A ，B 两点之间距离的最小值为d －r ＝85－1＝35.答案：35三层练习13．(2014·陕西高考文科·T 15)在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1的距离是________．13．解题提示：把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，把点的极坐标化为直角坐标，从而求得此点到直线的距离．解析：由于直线的极坐标方程是ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1，化为直角坐标方程为x －3y ＋2＝0，点⎝⎛⎭⎪⎫2，π6的直角坐标为(3，1)．故该点到直线的距离d ＝3－3·1＋21＋3＝1.答案：114．(2014·上海高考理科·T 7)已知曲线C 的极坐标方程为ρ(3cos θ－4sin θ)＝1，则C 与极轴的交点到极点的距离是________．14．解题提示：首先将极坐标方程化为直角坐标方程为3x －4y ＝1，则C 与极轴的交点即为直线，与x 轴的交点，即得结论．解析：将极坐标方程化为直角坐标方程为3x －4y ＝1，则C 与极轴的交点即为直线与x 轴的交点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0，极点即为原点，故距离为13.答案：1315．(2014·广东高考文科·T 14)在极坐标系中，曲线C 1与C 2的方程分别为2ρcos 2θ＝sin θ与ρcos θ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，则曲线C 1与C 2交点的直角坐标为________． 15．解析：2ρcos 2θ＝sin θ即2ρ2cos 2θ＝ρsin θ，则2x 2＝y ，ρcos θ＝1即x ＝1. 联合解得，x ＝1，y ＝2.曲线C 1与C 2交点的直角坐标为(1，2)． 答案：(1，2)误区警示：曲线C 1的方程化为直角方程看不出思路，可通过等式变形找关系． 16．(2014·天津高考理科·T 13)在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝α相交于A ，B 两点．若△AOB 是等边三角形，则α的值为________．16．解析：圆的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，直线为y ＝α.因为△AOB 是等边三角形，所以其中一个交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫α3，α，代入圆的方程可得α＝3.答案：3 17.6217．(2015·韶关市高三模拟考试)在极坐标中，已知直线l 方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝1，点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，则点Q 到l 的距离d 为________． 18．(2015·全国卷Ⅰ，数学文理23)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标为θ＝π4(ρ∈R)，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．18．解析：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.1．建立曲线的极坐标方程的方法步骤： (1)在曲线上任取一点P (ρ，θ)；(2)建立起直角三角形(或斜三角形)，利用锐角的三角函数概念、正弦定理、余弦定理建立起ρ、θ的方程；(3)验证求得的方程为曲线的方程．2．利用极坐标思想方法亦可简便解决一些轨迹问题，尤其是涉及线段间数量关系的问题．求极坐标系下的轨迹方程与求直角坐标系下的轨迹方程的方法一致．如定义法、直接法、参数法等．3．不论曲线的直角坐标系的方程如何，只要我们将极坐标系的极点放在曲线的焦点上，总可将方程化成较简单的极坐标方程．反过来，有了适当的极坐标方程和直角坐标系与极坐标系的位置关系，也可以得到曲线在直角坐标系内的方程．这样，在解题过程中，我们就可以灵活地变换坐标系，使解题过程大为简化．如果对极坐标方程不熟悉，可转化为直角坐标方程解答．4．处理极坐标系中的直线与圆的问题大致有两种思路： (1)化极坐标方程为直角坐标方程再处理； (2)根据ρ、θ的几何意义进行旋转或伸缩变换．【习题1.3】1．解析：(1)表示圆心在极点，半径为5的圆(图略)． (2)表示过极点，倾斜角为5π6的直线(图略)．(3)表示过极点，圆心在⎝⎛⎭⎪⎫1，π2半径为1的圆(图略)．2．解析：(1)θ＝π3(ρ∈R)．(2)如图所示，设过点A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3且与极轴垂直的直线与极轴交于点B ，点P (ρ，θ)是直线上任意一点．因为∠AOB ＝π3，OA ＝2，所以OB ＝2cos π3＝1，从而cos θ＝OB OP ，即cos θ＝1ρ，所以所求的极坐标方程为ρcos θ＝1.(3)如图所示，设P (ρ，θ)是圆上任意一点．当O ，A ，P 三点不共线时，在△OPA 中利用余弦定理得到|OA |2＋|OP |2－2|OA |·|OP |cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝|AP |2，所以1＋ρ2－2ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝1，即ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4.①当O ，A ，P 三点共线时，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，3π4或⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，这两点的坐标满足①，所以①就是所求的圆的极坐标方程．(4)如图所示，设P (ρ，θ)是圆上任意一点，当O ，A ，P 三点不共线时，在△OPA 中利用余弦定理得|OA |2＋|OP |2－2|OA |·|OP |cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝|AP |2，所以a 2＋ρ2－2a ρsin θ＝a 2，即ρ＝2a sin θ.②当O ，A ，P 三点共线时，点P 的坐标为(0，0)或⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，π2，这两点的坐标满足②，所以②就是所求的圆的极坐标方程．3．(1)ρcos θ＝4. (2)ρsin θ＝－2.(3)2ρcos θ－3ρsin θ－1＝0. (4)ρ2cos 2θ＝16. 4．(1)y ＝2. (2)2x ＋5y －4＝0. (3)(x ＋5)2＋y 2＝25. (4)(x －1)2＋(y ＋2)2＝5.5．解析：以极点为直角坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，把直线的极坐标方程ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22化为直角坐标方程得x ＋y ＝1，把点A 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π4化为直角坐标得(2，－2)．在平面直角坐标系下，由点到直线的距离公式得A (2，－2)到直线x ＋y ＝1的距离d ＝22.所以点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π4到直线ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22的距离为22.6．(1)证明：以椭圆中心O 为原点，长轴所在的直线为x 轴建立直角坐标系，则椭圆的直角坐标方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1.将椭圆的直角坐标方程化为极坐标方程得（ρcos θ）2a 2＋（ρsin θ）2b 2＝1，即ρ2＝a 2b 2b 2cos 2θ＋a 2cos 2 θ，由于OA ⊥OB ，可设A (ρ1，θ1)，B ⎝⎛⎭⎪⎫ρ2，θ1＋π2，则ρ21＝a 2b 2b 2cos 2 θ1＋a 2sin 2 θ1，ρ22＝a 2b 2b 2sin 2 θ1＋a 2cos 2 θ1.于是1|OA |2＋1|OB |2＝1ρ21＋1ρ22＝b 2cos 2θ1＋a 2sin 2 θ1＋b 2sin 2 θ1＋a 2cos 2 θ1a 2b 2＝a 2＋b 2a 2b 2.所以1|OA |2＋1|OB |2为定值．(2)解析：依题意得到S△AOB＝12|OA ||OB |＝12ρ1ρ2＝12·a 2b 2（b 2cos 2θ1＋a 2sin 2θ1）（b 2sin 2θ1＋a 2cos 2θ1）＝12·a 2b 2（a 2－b 2）2sin 22θ14＋a 2b2，当且仅当sin 22θ1＝1，S △AOB 有最小值为a 2b 2a 2＋b 2；当sin 22θ1＝0，S △AOB 有最大值为ab 2.2．4 渐开线与摆线►预习梳理1．以基圆圆心O 为原点，直线OA 为x 轴，建立平面直角坐标系，可得圆的渐开线的参数方程为：________________________________________________________________________(其中r 为基圆的半径)．2．在研究平摆线的参数方程中，取定直线为x 轴，定点M 滚动时落在直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系，设圆的半径为r ，可得摆线的参数方程为：______________________________________________________． ►预习思考半径为8的圆的渐开线参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos φ＋8φsin φ，y ＝8sin φ－8φcos φ(φ为参数)，摆线参数方程为______________．,预习梳理1.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r （cos φ＋φsin φ），y ＝r （sin φ－φcos φ）(φ为参数) 2.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r （φ－sin φ），y ＝r （1－cos φ）(φ为参数)预习思考⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8φ－8sin φ，y ＝8－8cos φ(φ为参数)一层练习1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( ) A ．只有圆才有渐开线B ．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形C ．正方形也可以有渐开线D ．对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同 1．C2．半径为1的圆的渐开线的参数方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝θ－sin θ，y ＝1－cos θ(θ为参数)B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－sin θ，y ＝θ－cos θ(θ为参数) C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋θsin θ，y ＝sin θ－θcos θ(θ为参数) D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ－θsin θ，y ＝sin θ＋θcos θ 2.C3．给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x 轴一定有交点而且是唯一的交点．其中正确的说法有( )A ．①③B ．②④C ．②③D ．①③④ 3.C4．基圆半径为2的渐开线的参数方程是__________．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2（cos φ＋φsin φ），y ＝2（sin φ－φcos φ）(φ为参数) 二层练习5．如下图所示，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫作“正方形的渐开线”，其中AE ，EF ，FG ，GH ，…的圆心依次按B ，C ，D ，A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 的长是( )A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π 5．C6．已知摆线的生成圆的直径为80 mm ，则摆线的参数方程为____________________________________，其一拱的宽为________，拱高为________．6.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝40（φ－sin φ），y ＝40（1－cos φ）(φ为参数) 80π mm 80 mm7．已知参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，则该圆的渐开线参数方程为__________________________，摆线参数方程为____________________________．7.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2（cos φ＋φsin φ），y ＝2（sin φ－φcos φ）(φ为参数) ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2（φ－sin φ），y ＝2（1－cos φ）(φ为参数) 8．渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6（cos φ＋φsin φ），y ＝6（sin φ－φcos φ）(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到的曲线的焦点坐标为________________．8．(63，0)和(－63，0)9．当φ＝π2，π时，求出渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)上的对应点A ，B ，并求出A ，B 间的距离．9．解析：将φ＝π2代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ.得x ＝cos π2＋π2sin π2＝1，y ＝sin π2－π2cos π2＝1.∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1.将φ＝π代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ，得x ＝cos π＋πsin π＝－1，y ＝sin π－πcos π＝π.∴B (－1，π)． 故A ，B 间的距离为|AB |＝（1－π）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋12＝45π2－π＋2. 三层练习10．已知圆的直径为2，其渐开线的参数方程对应的曲线上两点A ，B 对应的参数分别为π3和π2，求点A 、B 的直角坐标． 10．解析：根据题设条件可知圆的半径为1，所以对应的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)． 将φ＝π3代入得x ＝cos π3＋π3sin π3＝12＋36π， y ＝sin π3－π3cos π3＝32－π6. ∴A 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3＋3π6，33－π6.当φ＝π2时，同理可求得B 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1.11．求摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2（φ－sin φ），y ＝2（1－cos φ）(φ为参数且0≤φ≤2π)与直线y ＝2的交点的直角坐标．11．解析：当y ＝2时，有2(1－cos φ)＝2， ∴cos φ＝0.又0≤φ≤2π， ∴φ＝π2或φ＝3π2.当φ＝π2时，x ＝π－2；当φ＝3π2时，x ＝3π＋2.∴摆线与直线y ＝2的交点为(π－2，2)，(3π＋2，2)．12．设圆的半径为4，沿x 轴正向滚动，开始时圆与x 轴相切于原点O ，记圆上动点为M ，它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M 点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上纵坐标y 的最大值．12．解析：依题意可知，轨迹是摆线，其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4（φ－sin φ），y ＝4（1－cos φ）(φ为参数)．且0≤φ≤2π.其曲线是摆线的第一拱(0≤φ≤2π)，如下图所示：易知，当x ＝4π时，y 有最大值8.13．已知一个圆的摆线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4φ－4sin φ，y ＝4－4cos φ(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．13．分析：首先根据所给出的摆线方程判断出圆的半径为4，易得圆的面积，再代入渐开线的参数方程的标准形式，即可得圆的渐开线的参数方程．解析：首先根据摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积是16π，该圆对应的渐开线参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ＋4φsin φ，y ＝4sin φ－4φcos φ(φ为参数)．14．已知一个圆的摆线过一定点(2，0)，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程以及对应的圆的渐开线的参数方程．14．分析：根据圆的摆线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r （φ－sin φ），y ＝r （1－cos φ）(φ为参数)，只需把点(2，0)代入参数方程求出r 的表达式，根据表达式求出r 的最大值，再确定对应的摆线和渐开线的参数方程即可．解析：令y ＝0，可得r (1－cos φ)＝0，由于r ＞0，即得cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z)．代入x ＝r (φ－sin φ)，得x ＝r (2k π－sin 2k π)．又因为x ＝2，所以r (2k π－sin 2k π)＝2，即得r ＝1k π. 又由实际可知r ＞0，所以r ＝1k π(k ∈N *)．易知，当k ＝1时，r 取最大值为1π. 代入即可得圆的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1π（φ－sin φ），y ＝1π（1－cos φ）(φ为参数)；圆的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1π（cos φ＋φsin φ），y ＝1π（sin φ－φcos φ）(φ为参数)．1．渐开线的实质是直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹．圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹．2．渐开线上任一点M 的坐标由圆心角φ(以弧度为单位)唯一确定，而在圆的摆线中，圆周上定点M 的位置也可以由圆心角φ唯一确定．3．圆的渐开线和摆线的参数方程均不宜化为普通方程，既繁琐又没有实际意义． 4．有关已知摆线过定点求摆线及渐开线的参数方程等问题，可进行如下思路解题：代入摆线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r （φ－sin φ），y ＝r （1－cos φ）(φ为参数)，可求出φ，进一步求的r ，这样就可以写出该圆的摆线和渐开线的参数方程．【习题2.4】1．解析：因为基圆的直径是225 mm ，所以基圆的半径是112.5 mm ，齿廓线AB 所在的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝112.5（cos φ＋φsin φ），y ＝112.5（sin φ－φcos φ）(φ是参数)．2．解析：将φ＝π2，3π2分别代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ，得到A ，B 两点的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，－1，由两点间的距离公式得|AB |＝⎝⎛⎭⎪⎫π2＋3π22＋（1＋1）2＝2π2＋1.3．解析：设轮子的圆心为B ，以BM 的延长线与直线轨道垂直时的一个垂足O 为原点，直线轨道为x 轴，建立如图所示的直角坐标系．设圆滚动使点M 绕圆心B 转过φ角后点M 的坐标为(x ，y )，则x ＝OD ＝OA －DA ＝OA －MC ＝aφ－b sin φ，y ＝DM ＝AC ＝AB －CB ＝a －b cosφ，所以点M 的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝aφ－b sin φ，y ＝a －b cos φ(φ是参数)．4．解析：建立如下图所示的直角坐标系，设点M 的坐标为(x ，y )，此时∠BOA ＝φ.因为OB ＝4CB ，所以∠BCM ＝4φ，∠MCD ＝π2－3φ.由于x ＝OF ＝OE ＋EF ＝3r cos φ＋r sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2高中数学 2.2.3抛物线的参数方程练习 新人教A 版选修4-4►预习梳理1．抛物线y ＝2x 2的焦点坐标为________，准线方程是________； 抛物线x 2＝2y 的焦点坐标为________，准线方程是________． 2．曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数，t ∈R)其中p 为正的常数．这是焦点在______________上的抛物线参数方程．►预习思考抛物线y 2＝x 的一个参数方程为____________________．, 预习梳理1．F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18 y ＝－18 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 y ＝－12 2．x 轴正半轴 预习思考⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t (t 为参数)一层练习1．圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数)的焦点坐标是________．1．(1，0)2．点P (1，0)到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数，t ∈R)上的点的最短距离为( )A ．0B ．1 C. 2 D ．2 2.B 3．若曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt ，y ＝2pt2(t 为参数)上异于原点的不同两点M 1、M 2所对应的参数分别是t 1、t 2，则弦M 1M 2所在直线的斜率是( )A ．t 1＋t 2B ．t 1－t 2 C.1t 1＋t 2 D.1t 1－t 23.A4．在平面直角坐标系中，已知直线l 与曲线C的参数方程分别为l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋s ，y ＝1－s (s 为参数)和C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋2，y ＝t2(t 为参数)，若l 与C 相交于A 、B 两点，则|AB |＝________．4. 25．连接原点O 和抛物线x 2＝2y 上的动点M ，延长OM 到点P ，使|OM |＝|MP |，求点P 的轨迹方程，并说明它是何种曲线．5．解析：设抛物线x 2＝2y 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝2t2(t 为参数)．∵点M 在抛物线上， ∴M 的坐标为(2t ，2t 2)．设P 的坐标为(x 0，y 0)，由|OM |＝|MP |知，M 为OP 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝4t ，y 0＝4t 2.消去参数t ，得 y 0＝14x 20，即点P 的轨迹方程是x 2＝4y ，表示的曲线为抛物线．二层练习6．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ＋cos θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)表示的曲线为( )6．C7．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)上两点A 、B 所对应的参数分别为t 1、t 2，且t 1＋t 2＝0，则|AB |为 ( )A ．|2p (t 1－t 2)|B ．2p (t 1－t 2)C ．2p (t 21＋t 22) D ．2p (t 1－t 2)27.A 8．设曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．8.ρcos 2θ－sin θ＝09．(2015·广东卷Ⅱ，数学文14)在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t 2y ＝22t(t 为参数)，则C 1与C 2交点的直角坐标为________．9．解析：曲线C 1的直角坐标方程为x ＋y ＝－2，曲线C 2的普通方程为y 2＝8x ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－2y 2＝8x 得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－4，所以C 1与C 2交点的直角坐标为(2，－4)． 答案：(2，－4)10．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB |＝________．10．16三层练习11．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)，试求直线l 与曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．11．解析：∵直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t .∴消去参数t 后得直线的普通方程为2x －y －2＝0.① 同理得曲线C 的普通方程为y 2＝2x .②①②联立方程组解得它们公共点的坐标为(2，2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1.12．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)过顶点的两弦OA ⊥OB ，求分别以OA 、OB 为直径的两圆的另一交点Q 的轨迹．12．解析：设A (2pt 21，2pt 1)，B (2pt 22，2pt 2)，则以OA 为直径的圆的方程为x 2＋y 2－2pt 21。

高中数学选修 4-4 经典综合试题（含详尽答案）一、选择题：本大题共 12 小题，每题5 分，共 60 分，在每个小题给出的四个选项中，只有 一项为哪一项切合题目要求的 ．1．曲线 x 2 5t (t 为参数 ) 与坐标轴的交点是（ ）．y 1 2tA ． (0, 2 、1B ．(0, 1 、1,0) C ． (0, 4)、(8,0) D ．5 、 ) (,0)) ((0,) (8,0)5 25 292．把方程 xy1 化为以 t 参数的参数方程是（）．1x sin tx costx tantx t 2A ．1B ．y1 C ．y 1 D ．1y t 2sintcostytan t3．若直线的参数方程为x1 2t，则直线的斜率为（）．y 2(t )3tA ．2B．2C．3D ．333224．点 (1,2) 在圆x 1 8cos的（ ）．y 8sinA ．内部B ．外面C ．圆上D．与 θ的值相关5．参数方程为 xt1t (t 为参数 ) 表示的曲线是（）．y 2A ．一条直线 B．两条直线C ．一条射线D．两条射线6．两圆x3 2cosx3cosy4 2sin与y3sin的地点关系是（）．A ．内切B ．外切C ．相离D ．内含7．与参数方程为22yA ． x22yC ． xx t(t 为参数 ) 等价的一般方程为（ ）．y 2 1 t1B． x 2 y 21(0 x1)41(0y 2)2y 21(0 x1,0 y 2)D ． x4x 5cos8．曲线y 5sin (3) 的长度是（）．A ． 5B ．10C ．5D． 10339．点 P( x, y) 是椭圆 2x 23 y 212 上的一个动点，则x 2 y 的最大值为（）．A ．2 2B ．23C ．11D． 22x 11t10．直线2为参数 和圆 2 2(t) xy16 交于 A, B 两点，y3 33 t2则 AB 的中点坐标为（ ）．A ． (3, 3)B． (3,3)C． ( 3, 3) D ．(3, 3)11．若点 P(3, m) 在以点 F 为焦点的抛物线x 4t 2）．y(t 为参数 ) 上，则 | PF |等于（4tA ． 2B． 3 C ． 4D． 512．直线x 2 t(t 为参数 ) 被圆( x 3)2 ( y 1)2 25 所截得的弦长为（）．y 1 tA ． 98B．401C． 82D．93 434二、填空题：本大题共 4 小题，每题5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上．13．参数方程x e t e t y2(e t (t 为参数 ) 的一般方程为 __________________ ．e t )14．直线x 2 2t2 的点的坐标是 _______． y3(t 为参数 ) 上与点 A( 2,3) 的距离等于2t15．直线xt cos 与圆x 4 2cos_______________．yt siny2sin相切，则16．设 ytx (t 为参数 ) ，则圆 x 2 y 2 4 y 0 的参数方程为 ____________________ ．三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10 分）求直线 l 1 :x 1 t (t 为参数 ) 和直线 l 2 : xy 2 3 0 的交点 P 的坐标，及点 Py53t与 Q (1, 5) 的距离．18．（本小题满分 12 分）过点 P(10,0) 作倾斜角为的直线与曲线 x 2 12 y 21交于点 M ,N ，2求|PM | | PN | 的值及相应的的值．19．（本小题满分 12 分）已知 ABC 中， A( 2,0), B(0,2), C (cos , 1 sin )( 为变数)，求ABC 面积的最大值．20．（本小题满分 12 分）已知直线 l 经过点 P(1,1), 倾斜角，（ 1）写出直线 l 的参数方程．6（ 2）设 l 与圆 x 2y 24 订交与两点 A, B ，求点 P 到 A, B 两点的距离之积．21．（本小题满分 12 分）x 1 (e t e t ) cos 分别在以下两种状况下，把参数方程2 化为一般方程： 1 (e tye t )sin2（ 1）为参数， t 为常数；（ 2） t 为参数，为常数．22．（本小题满分 12 分）已知直线 l 过定点 P(x 5cos( 为参数 ) 订交于 A 、 B 两点．3, 3)与圆 C ：5sin2y求：（ 1）若 | AB | 8 ，求直线 l 的方程；（2）若点 P(3,3) 为弦 AB 的中点，求弦 AB 的方程．2答案与分析：1． B 当 x0时， t 2 ，而 y1 2t ，即 y1 ，得与 y 轴的交点为 (0, 1) ；55 5当 y0时， t 1 ，而 x2 5t ，即 x 1 ，得与 x 轴的交点为 ( 1,0) ．222 2． D xy 1， x 取非零实数，而 A ， B ，C 中的 x 的范围有各自的限制．3． Dky 23t 3 ．x 1 2t24． A∵点 (1,2) 到圆心 ( 1,0) 的距离为 (1 1)2 22 2 2 8(圆半径 )∴点 (1,2) 在圆的内部．5． Dy 2 表示一条平行于 x 轴的直线，而 x 2,或 x 2，所以表示两条射线．6． B 两圆的圆心距为( 3 0)2 (40)25 ，两圆半径的和也是 5 ，所以两圆外切．7． Dx 2y 21t 1 2 2 y 2 0,0 1 t 1,得0 y2 ．t,x , x1,而 t448． D曲线是圆 x 2y 225 的一段圆弧，它所对圆心角为3 2 ．103所以曲线的长度为．39． D椭圆为x 2y 21，设 P( 6 cos,2sin ) ，64x 2 y6 cos 4sin 22 sin() 22 ．10． D(1 1t )2( 3 33 t )2 16 ，得 t 28t 80 ， t 1t 28, t1t 2 4 ，222x 1 1 4x 3中点为2．y3 33 4y3211． C 抛物线为 y 24x ，准线为 x1 ， | PF |为 P(3, m) 到准线 x1 的距离，即为 4 ．x2 2t2x 2 tx 2 t212． C，把直线y1 ty12t2y 1 t2代入 ( x 3)2 ( y 1)225，得 ( 5 t )2 (2 t) 2 25,t 2 7t 2 0 ，| t 1 t 2 |(t 1 t 2 ) 2 4t 1t 241 ，弦长为2 | t 1 t 2 |82 ．13． x 2 y 2 1,( x 2) x e t e 4 16y e t e2 ttxy2e ty y2 (x．)( x) 4 xy 2e t22214． ( 3,4),或(1,2)( 2t)2( 2t )2( 2) 2 , t 21,t2 ．2215．，或5直线为 y x tan ，圆为 ( x4) 2 y 24 ，作出图形，相切时，6 6易知倾斜角为，或5．66x4t 2t4t16．1 x2 (tx ) 24tx 0 ，当 x 0 时， y 0 ，或 x；4t 2t 21yt214t4t 2x2而 ytx ，即 y，得1 t1t2．4t 2yt 21 17．解：将x1 t，代入 xy2 3 0 ，得 t2 3 ，y 5 3t得 P(1 2 3,1) ，而 Q(1, 5) ，得|PQ| (2 3)262 4 3 ．18．解：设直线为x10 t cos(t 为参数 ) ，代入曲线2yt sin并整理得 (1sin 2 )t 2( 10 cos )t 30 ，23则 | PM | | PN | |t 1t 2 |2，1 sin23，此时所以当 sin 21 时，即，|PM | | PN | 的最小值为．242x cos19．解：设 C 点的坐标为 ( x, y) ，则1，ysin即 x 2( y1)2 1为以 (0, 1) 为圆心，以 1为半径的圆．∵ A( 2,0), B(0,2) ，∴|AB| 4 4 2 2 ，且 AB 的方程为x y1，2 2即 x y 2 0 ，则圆心 (0, 1) 到直线 AB 的距离为|( 1) 2 | 3 2 ．12 ( 1)2 2∴点 C 到直线 AB 的最大距离为 1 3 2 ，∴ S ABC 的最大值是13 22 2 (1 2)3 2 ．2 2x 1 t cos6，即x13 t20．解：（ 1）直线的参数方程为2 ，y 1 t sin6y1 1 t2x 13 t（ 2）把直线2 ，代入 x 2y 24 ，y 1 1 t2得 (13 t) 2 (1 1t )2 4, t 2 ( 3 1)t2 0 ，22t 1t 2 2 ，则点 P 到 A, B 两点的距离之积为 2 ．21．解：（ 1）当 t 0 时， y0, x cos ，即 x1,且 y 0 ；当 t 0 时， cosx,siny，1 (e t1 ( e te t )e t )22而 x 2y 2 1，即x 2y 21；1 (e te t) 21 (e t e t )244（2）当k , k Z 时， y0 ， x1 (e t e t ) ，即 x1, 且y 0 ；21 (e t当k2,k Z 时， x 0 ， ye t ) ，即 x 0 ；2ke t e t2x当,k Z 时，得cos ，2 y 2t e tesin2e t2x 2 y2x2 y 2x 2 y 即cossin t2e t，得 2e()() ，2e t2x 2 y cossincossincossin即x 2 y 2 1 ．cos2sin2x5cos x2y225 ，22．解：（ 1）由圆 C 的参数方程5sinyx 3 t cos设直线 l 的参数方程为①y 3 (t 为参数 ) ，t sin2将参数方程①代入圆的方程 x 2 y 2 25得 4t 2 12(2cos sin )t 55 0 ，∴△16[9(2cossin )255] 0 ，所以方程有两相异实数根 t 1 、 t 2 ，∴ | AB | |t 1 t 2 | 9(2cossin )2 558 ，化简有 3cos 2 4sin cos0 ，解之 cos0 或 tan3，4进而求出直线 l 的方程为 x3 0 或 3x4 y 15 0．（ 2）若 P 为 AB 的中点，所以 t 1t 2 0 ，由（ 1）知 2cossin 0 ，得 tan2 ，故所求弦 AB 的方程为 4 x2 y 150( x 2y 225) ．备用题：1．已知点 P( x 0 x 3 8cos , y 0 ) 在圆2 上，则 x 0 、 y 0 的取值范围是（）．y8sinA ． 3 x 0 3, 2 y 02B ． 3 x 0 8, 2 y 0 8C ． 5x 0 11, 10 y 0 6D ．以上都不对1． C 由正弦函数、余弦函数的值域知选 C ．2．直线x 1 2t (t 为参数 ) 被圆 x 2 y 2 9 截得的弦长为（ ）．y2 tA ．12B．125C ．95 D ．9105555x 15t2x1 2t5，把直线x1 2t2． B代入y2 ty 15t 1y 2 t5x 2 y 2 9得 (1 2t )2 (2 t )2 9,5 t 2 8t 4 0 ，| t 1 t 2 |(t 1 t 2 ) 2 4t 1t 2( 8)2 1612 ，弦长为 5 | t 1 t 2 | 12 5 ．5 5 55 3 ．已知曲线x 2 pt 2M , N 对应的参数分别为t 1和 t 2, ，y(t 为参数 , p 为正常数 ) 上的两点2 pt且 t 1 t 20，那么 | MN |_______________ ．3． 4 p | t 1 |明显线段 MN 垂直于抛物线的对称轴，即x 轴， | MN | 2 p |t 1t 2 | 2 p | 2t 1 |．4．参数方程x cos (sincos ) 为参数 ) 表示什么曲线？y sin (sin cos()4．解：明显ytan，则 y211 ,cos 21 ，xx 2cos 2y 2 1x2x cos 2sin cos1 sin2 cos 2 1 1 2tancos 2 ，22 tan 21 2 y 1 y 1 y 2 y即 xxx ， x(1) 1，2 1 y2y 2y 2x2x1 1x 2x 2 x 2得 xy 2 y 1，xx即 x2 y2 x y 0 ．5．已知点P( x, y) 是圆 x2y2 2 y 上的动点，（1）求2x y 的取值范围；（2）若x y a 0 恒建立，务实数 a 的取值范围．5．解：（ 1）设圆的参数方程为x cos，y1sin2x y2cos sin1 5 sin()1，∴5 1 2x y51．（ 2）x y a cos sin1 a 0 ，∴ a(cos sin )1 2 sin()1恒建立，4即 a21．。

单元质量评估(四)(第四讲)(90分钟 120分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1. (2019·金华高二检测)用数学归纳法证明n(n+1)(2n+1)能被6整除时,由归纳假设推证n=k+1时命题成立,需将n=k+1时的原式表示成 ( )A.k(k+1)(2k+1)+6(k+1)B.6k(k+1)(2k+1)C.k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2D.以上都不对【解析】选C.因为假设当n=k时命题成立,即k(k+1)(2k+1)能被6整除,当n=k+1时,(k+1)(k+2)(2k+3)=(k+1)(2k2+7k+6)=k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2.2.用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)…(n+n)=2n·1·2·(2n-1)(n∈N+)”时,从“n=k 到n=k+1”时,左边应增加的式子是 ( )A.2k+1B.2k+3C.2(2k+1)D.2(2k+3)【解析】选C.当n=k时,左边=(k+1)(k+2)…(k+k).当n=k+1时,左边=(k+2)(k+3)…(k+k)(k+k+1)(k+1+k+1).可见从“n=k到n=k+1”,左边增加了2(2k+1).3. (2019·广州高二检测)如果命题P(n)对n=k成立,那么它对n=k+2成立,又若P(n)对n=2成立,则P(n)对所有 ( )A.正整数n成立B.正偶数n成立C.正奇数n成立D.大于1的自然数n成立【解析】选B.根据数学归纳法的意义可知,命题P(n)对所有正偶数n都成立.4.(2019·大连高二检测)在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n-3)条时,第一步检验第一个值n0等于 ( )A.1B.2C.3D.0【解析】选C.因为凸n边形中,边数最少的是三角形,边数为3.5.在数列{a n}中,a n=1-+-+…+-,则a k+1= ( )A.a k+B.a k+-C.a k+D.a k+-【解析】选 D.a1=1-,a2=1-+-,…,a n=1-+-+…+-,a k=1-+-+…+-,所以a k+1=a k+-.6.已知数列{a n}中,a1=1,a2=2,a n+1=2a n+a n-1(n∈N+),用数学归纳法证明a4n能被4整除,假设a4k能被4整除,然后应该证明( )A.a4k+1能被4整除B.a4k+2能被4整除C.a4k+3能被4整除D.a4k+4能被4整除【解析】选D.由假设a4k能被4整除,则当n=k+1时,应该证明a4(k+1)=a4k+4能被4整除.7.(2019·烟台高二检测)设f(n)=1++++…+,则f(k+1)-f(k)等于( )A. B.++C.+D.+【解析】选D.当n=k时,f(k)=1+++…+.当n=k+1时,f(k+1)=1+++…+++….所以f(k+1)-f(k)=+.8.已知n为正偶数,用数学归纳法证明:1-+-+…+=2时,若已假设n=k(k≥2且为偶数)时,等式成立,则还需要利用归纳假设再证( ) A.n=k+1时等式成立 B.n=k+2时等式成立C.n=2k+2时等式成立D.n=2(k+2)时等式成立【解析】选B.偶数k的后继偶数为k+2,故应再证n=k+2时等式成立.【误区警示】解答本题易忽视k的限制条件:k≥2且为偶数,而错选A.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)9.观察等式1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72,…,推测第n个等式应该是 .【解析】观察等式1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72知,第n个等式左端是2n-1个连续自然数的和,其中最小的自然数是n,右端是(2n-1)2.即第n 个等式应该是n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2.答案:n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)210.(2019·大连高一检测)用数学归纳法证明cosα+cos3α+…+cos(2n-1)α=(sinα≠0,n∈N+),在验证n=1时,等式右边的式子是 .【解析】当n=1时,右边===cosα.答案:cosα11.设f(n)=…,用数学归纳法证明f(n)≥3.在“假设n=k时成立”后,f(k+1)与f(k)的关系是f(k+1)=f(k)· _________.【解析】当n=k时,f(k)=…;当n=k+1时,f(k+1)=…,所以f(k)应乘·.答案:·12.已知数列{a n},其中a2=6,且满足=n,则a1= ,a3= ,a4= ,猜想a n= .【解析】由已知可得=1,=2,=3,将a2=6代入以上三式,解得:a1=1,a3=15,a4=28.由于a1=1,a2=2×3,a3=3×5,a4=4×7,猜想得a n=n(2n-1).答案:1 15 28 n(2n-1)三、解答题(本大题共6小题,共60分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)13.(10分)(2019·石家庄高二检测)用数学归纳法证明:当n∈N+时,++…+=.【证明】(1)当n=1时,左边==,右边==,左边=右边,所以等式成立. (2)假设当n=k(k≥1)时,等式成立,即++…+=.则当n=k+1时,++…++=+====.即当n=k+1时,等式也成立.由(1),(2)可知对一切n∈N+等式都成立.14.(10分)对于n∈N+,用数学归纳法证明:1·n+2·(n-1)+3·(n-2)+…+(n-1)·2+n·1=n(n+1)(n+2).【证明】设f(n)=1·n+2·(n-1)+3·(n-2)+…+(n-1)·2+n·1.(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式成立;(2)设当n=k(k≥1)时,等式成立,即1·k+2·(k-1)+3·(k-2)+…+(k-1)·2+k·1=k(k+1)(k+2),则当n=k+1时, f(k+1)=1·(k+1)+2[(k+1)-1]+3[(k+1)-2]+…+[(k+1)-2]·3+[(k+1)-1]·2+(k+1)·1=f(k)+1+2+3+…+k+(k+1)=k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+1+1)=(k+1)(k+2)(k+3).所以由(1)(2)可知当n∈N+时,等式都成立.15.(10分)(2019·南京高二检测)用数学归纳法证明:f(n)=(2n+7)·3n+9(n∈N*)能被36整除.【证明】(1)当n=1时,f(1)=(2×1+7)×31+9=36,能被36整除.(2)假设n=k(k≥1,k∈N*),f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除,当n=k+1时,f(k+1)=(2k+9)·3k+1+9=3[(2k+7)·3k+9]+18(3k-1-1)=3f(k)+18(3k-1-1)又因为3k-1-1是偶数,所以f(k+1)能被36整除,即当n=k+1时,f(n)=(2n+7)·3n+9也能被36整除. 由(1)(2)知,对n∈N*,f(n)=(2n+7)·3n+9都能被36整除.16.(10分)(2019·苏州高二检测)已知正项数列{a n}和{b n}中,a1=a(0<a<1),b1=1-a.当n≥2时,a n=a n-1b n,b n=.(1)证明:对任意n∈N+,有a n+b n=1.(2)求数列{a n}的通项公式.【解析】(1)用数学归纳法证明.①当n=1时,a1+b1=a+(1-a)=1,命题成立;②假设n=k(k≥1)时命题成立,即a k+b k=1,则当n=k+1时,a k+1+b k+1=a k b k+1+b k+1=(a k+1)·b k+1=(a k+1)·===1.所以当n=k+1时,命题也成立.由①②可知,a n+b n=1对n∈N+恒成立.(2)因为a n+1=a n b n+1===,所以==+1,即-=1.数列是公差为1的等差数列,其首项为=,=+(n-1)×1,从而a n=(0<a<1).17.(10分)(2019·太原高二检测)求证:用数学归纳法证明2n+2>n2(n∈N+).【证明】(1)当n=1时,21+2>12,不等式成立;当n=2时,22+2>22,不等式成立;当n=3时,23+2>32,不等式成立.(2)假设当n=k(k≥3)时不等式成立,即2k+2>k2.则当n=k+1时,2k+1+2=2(2k+2)-2>2k2-2=(k+1)2+k2-2k-3因为k≥3,所以k2-2k-3=(k-3)(k+1)≥0,(*)从而2k+1+2>(k+1)2+k2-2k-3≥(k+1)2,所以2k+1+2>(k+1)2.即当n=k+1时,不等式也成立.由(1)(2)可知,2n+2>n2对一切n∈N+都成立.18.(10分)(2019·广州高二检测)在数列{a n},{b n}中,a1=2,b1=4,且a n,b n,a n+1成等差数列,b n,a n+1,b n+1成等比数列(n∈N+).(1)求a2,a3,a4及b2,b3,b4,由此猜测{a n},{b n}的通项公式,并证明你的结论.(2)证明:++…+<.【解析】(1)由条件得2b n=a n+a n+1,=b n b n+1.由此可得a2=6,b2=9,a3=12,b3=16,a4=20,b4=25.猜测a n=n(n+1),b n=(n+1)2.用数学归纳法证明:①当n=1时,由上可得结论成立.②假设当n=k(k≥1)时,结论成立,即a k=k(k+1),b k=(k+1)2.那么当n=k+1时,a k+1=2b k-a k=2(k+1)2-k(k+1)=(k+1)(k+2),b k+1==(k+2)2.所以当n=k+1时,结论也成立.由①②,可知a n=n(n+1),b n=(n+1)2对一切正整数都成立.(2)=<.当n≥2时,由(1)知a n+b n=(n+1)·(2n+1)>2(n+1)·n. 故++…+<+=+=+<+=.。

玉林市一中高二理科数学月考试题一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）1.不等式X (12)0X ->的解集是（ ）.A )21,(-∞.B )21,0()0,( -∞.C ),21(+∞ .D )21,0(2．若,a b R ∈，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是（ ）A ．222a b ab +> B ．2a b ab +≥C ．112a b ab+> D ．2b a a b +≥3．若不等式62<+ax 的解集为()1,2-，则实数a 等于 （ ）.A8.B2 .C 4- .D 8-4.直线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧ 20cos ＝－3＋20 sin ＝t y t x (t 为参数)，则直线的倾斜角为（ ）A.20B.70C.110D.1605．已知点M 的极坐标是26π⎛⎫ ⎪⎝⎭-，-，它关于直线=2πθ的对称点坐标是 ( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，11π6 B.726π⎛⎫ ⎪⎝⎭-， C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－11π66．若函数)2(21)(>-+=x x x x f 在x a =处取最小值，则a = （ ） A.21+B ．31+C ．3D ．47．对任何实数x ，若不等式12x x k +-->恒成立，则实数k 的取值范围为（ ） (A)k<3 (B)k<-3 (C)k ≤3 (D) k ≤-38.已知22,,4a b R a b ∈+=，则3a+2b 的最大值为( ) A ．4 B ．213 C ．8 D ．139．若直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)相切，那么直线的倾斜角为( )A.π6或5π6B.π4或3π4C.π3或2π3 D ．－π6或－5π610．设点P 在曲线 ρ sin θ ＝2上，点Q 在曲线 ρ＝－2cos θ上，则|PQ |的最小值为( )． A ．2B ．1C ．3D ．011．若直线y ＝x －b与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，θ∈[0,π)有两个不同的公共点，则实数b 的取值范围是( )A ．(2－2，1)B ．[2－2，2＋2]C ．(－∞，2－2)∪(2＋2，＋∞)D ．(2－2，2＋2)12．已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ，y ＝2－t(t 为参数)，抛物线C 的方程y 2＝2x ，l 与C 交于P 1，P 2，则点A (0,2)到P 1，P 2两点距离之和是( ) A ．4＋ 3 B ．2(2＋3) C ．4(2＋3) D ．8＋ 3二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）13．若x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值是________． 14．将直线22=-y x 变成直线4''2=-y x 的伸缩变换是 .15. 已知直线l 过点(4,8)P ，倾斜角为3π，则直线l 上到点P 的距离为5的点的坐标是16. 极坐标方程分别为2cos ρθ=和 sin ρθ= 的两个圆的圆心距为三、解答题（本大题共6小题，共70分．）17.(本题满分10分) 已知曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)．(1)将C 的方程化为普通方程；(2)若点P (x ，y )是曲线C 上的动点，求2x ＋y 的取值范围．18.(本题满分12分) 直线l 过点(4,0)P -，倾斜角为6π，且与曲线C ：7=ρ相交于A 、B 两点。

考前过关训练(二)证明不等式的基本方法(35分钟 60分)一、选择题(每小题3分,共18分)1. 求证:-<-.证明:欲证-<-,只需证+<2,只需证(+)2<(2)2,只需证10+2<20,只需证<5,只需证21<25,这显然成立.所以-<-.上述证明过程应用了 ( )A.综合法B.分析法C.综合法、分析法配合使用D.间接证法【解析】选B.根据分析法的特点可知,上述证明过程是分析法.2. 已知m≠n,若x=m4-m3n,y=mn3-n4,则x,y的大小关系为 ( )A.x>yB.x=yC.x<yD.与m,n的取值有关【解析】选A.x-y=(m4-m3n)-(mn3-n4)=m3(m-n)-n3(m-n)=(m-n)(m3-n3)=(m-n)2(m2+mn+n2)=(m-n)2,因为m≠n,所以x-y>0,即x>y.3.若1<x<10,下面不等式中正确的是 ( )A.(lgx)2<lgx2<lg(lgx)B.lgx2<(lgx)2<lg(lgx)C.(lgx)2<lg(lgx)<lgx2D.lg(lgx)<(lgx)2<lgx2【解析】选D.因为1<x<10,所以0<lgx<1,0<(lgx)2<1,0<lgx2<2,lg(lgx)<0.又(lgx)2-lgx2=(lgx)2-2lgx=lgx(lgx-2)<0,所以(lgx)2<lgx2.所以lg(lgx)<(lgx)2<lgx2.【一题多解】选D.因为1<x<10,所以0<lgx<1,lg(lgx)<0,结合选项知A,B,C错误.4.若a,b,c为△ABC的三条边,S=a2+b2+c2,p=ab+bc+ac,则 ( )A.S≥2pB.p<S<2pC.S>pD.p≤S<2p【解析】选D.S-p=a2+b2+c2-(ab+bc+ac)=[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]≥0,所以S≥p.又因为|a-b|<c,|b-c|<a,|a-c|<b;所以a2-2ab+b2<c2,b2-2bc+c2<a2,a2-2ac+c2<b2.所以a2+b2+c2<2(ab+bc+ac),所以S<2p.5.已知x,y∈R,M=x2+y2+1,N=x+y+xy,则M与N的大小关系是 ( )A.M≥NB.M≤NC.M=ND.不能确定【解析】选A.M-N=x2+y2+1-(x+y+xy)=[(x2+y2-2xy)+(x2-2x+1)+(y2-2y+1)]=[(x-y)2+(x-1)2+(y-1)2]≥0.故M≥N.6.(2019·合肥高二检测)已知a,b,c是△ABC的三边长,A=+,B=,则( ) A.A>B B.A<BC.A≥BD.A≤B【解析】选A.因为a,b,c是△ABC的三边长,所以c<a+b,所以B==<==+<+=A,所以B<A.【补偿训练】设a,b,x,y均为正数,且a,b为常数,x,y为变量,若x+y=1,则+的最大值为 ( )A. B.C. D.【解析】选C.本题可利用换元的方法处理:由x+y=1且x>0,y>0,可设x=sin2α,y=cos2α,故+=sinα+cosα=sin(α+φ)≤.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2019·沈阳高二检测)设α,β为锐角,P=sin(α+β),Q=sinα+sinβ,则P与Q的大小关系为________.【解析】因为α,β为锐角,P-Q=sin(α+β)-(sinα+sinβ)=sinα(cosβ-1)+sinβ(cosα-1)<0,所以P<Q.答案:P<Q8.(2019·郑州高二检测)A=1+++…+与(n∈N+)的大小关系是________. 【解析】A=+++…+≥==.答案:A≥9.若a,b∈R+,且a≠b,M=+,N=+,则M,N的大小关系为________.【解析】因为a≠b,所以+>2,+>2,所以+++>2+2.所以+>+.即M>N.答案:M>N三、解答题(每小题10分,共30分)10.已知0<a<1,求证:+≥9.【证明】因为(3a-1)2≥0,所以9a2-6a+1≥0.所以1+3a≥9a(1-a).因为0<a<1,所以≥9,即≥9,所以+≥9.11.已知a2+b2=1,x2+y2=1,试用分析法证明:ax+by≤1.【证明】要证ax+by≤1成立,只需证1-(ax+by)≥0,只需证2-2ax-2by≥0,因为a2+b2=1,x2+y2=1,只需证a2+b2+x2+y2-2ax-2by≥0,即证(a-x)2+(b-y)2≥0,显然成立.所以ax+by≤1.12.设数列{a n}的前n项和S n满足:S n=na n-2n(n-1).等比数列{b n}的前n项和为T n,公比为a1,且T5=T3+2b5.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)设数列的前n项和为M n,求证:≤M n<.【解析】(1)因为等比数列{b n}的前n项和为T n,公比为a1,且T5=T3+2b5,所以b4+b5=2b5,所以b4=b5,所以公比a1==1,故等比数列{b n}是常数数列.数列{a n}的前n项和S n满足:S n=na n-2n(n-1),当n≥2时,a n=S n-S n-1=na n-2n(n-1)-[(n-1)a n-1-2(n-1)(n-2)],所以a n-a n-1=4(n≥2),所以数列{a n}是以1为首项,以4为公差的等差数列,a n=4n-3.(2)因为数列的前n项和为M n,===,所以M n==<.再由数列{M n}是增数列,所以M n≥M1=. 综上可得,≤M n<.。

数学选修4-4 坐标系与参数方程[基础训练A 组]一、选择题1．若直线的参数方程为12()23x tt y t =+⎧⎨=-⎩为参数.则直线的斜率为（ ）A ．23 B ．23- C ．32 D ．32-2．下列在曲线sin 2()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩为参数上的点是（ ）A．1(,2 B ．31(,)42- C． D．3．将参数方程222sin ()sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数化为普通方程为（ ） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤ 4．化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为（ ）A ．201y y +==2x 或 B ．1x = C ．201y +==2x 或x D ．1y = 5．点M的直角坐标是(-.则点M 的极坐标为（ ）A ．(2,)3πB ．(2,)3π-C ．2(2,)3πD ．(2,2),()3k k Z ππ+∈6．极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ）A ．一条射线和一个圆B ．两条直线C ．一条直线和一个圆D ．一个圆二、填空题 1．直线34()45x tt y t=+⎧⎨=-⎩为参数的斜率为______________________。

2．参数方程()2()t tt tx e et y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数的普通方程为__________________。

3．已知直线113:()24x tl t y t=+⎧⎨=-⎩为参数与直线2:245l x y -=相交于点B .又点(1,2)A .则AB =_______________。

4．直线122()112x t t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数被圆224x y +=截得的弦长为______________。

5．直线cos sin 0x y αα+=的极坐标方程为____________________。

最新人教版高中数学选修4-5测试题全套及答案第一讲 不等式和绝对值不等式一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合A ＝{x |y ＝log 2(4－2x －x 2)}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪ 3x ＋1≥1，则A ∩B 等于( ) A ．{x |－1<x <5－1}B ．{x |－3<x ≤2}C ．{x |－1<x <1}D ．{x |－1－5<x <－3或5－1<x ≤2}解析： 不等式4－2x －x 2>0可转化为x 2＋2x －4<0，解得－1－5<x <－1＋5，∵A ＝{x |－1－5<x <－1＋5}；不等式3x ＋1≥1可转化为x －2x ＋1≤0，解得－1<x ≤2，∴B ＝{x |－1<x ≤2}，∴A ∩B ＝{x |－1<x <5－1}．答案： A2．不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x －1<1的解集为( )A ．{x |0<x <1}∪{x |x >1}B ．{x |0<x <1}C ．{x |－1<x <0}D ．{x |x <0}解析： 方法一：特值法：显然x ＝－1是不等式的解，故选D.方法二：不等式等价于|x ＋1|<|x －1|，即(x ＋1)2<(x －1)2，解得x <0，故选D.答案： D3．设a ，b 是正实数，以下不等式 ①ab >2ab a ＋b，②a >|a －b |－b ， ③a 2＋b 2>4ab －3b 2，④ab ＋2ab >2 恒成立的序号为( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ 解析： 2ab a ＋b ≤2ab 2ab ＝ab ，即ab ≥2ab a ＋b，故①不正确，排除A 、B ；∵ab ＋2ab ≥22>2，即④正确． 答案： D4．已知a >0，b >0，则1a ＋1b＋2ab 的最小值是( ) A ．2B ．22C ．4D ．5解析： ∵a >b ，b >0，∴1a ＋1b ≥2ab，当且仅当a ＝b 时取等号， ∴1a ＋1b ＋2ab ≥2ab＋2ab ≥22ab ·2ab ＝4. 当且仅当a ＝b ＝1且2ab ＝2ab 时成立，能取等号，故1a ＋1b ＋2ab 的最小值为4，故选C. 答案： C5．设|a |＜1，|b |＜1，则|a ＋b |＋|a －b |与2的大小关系是( )A ．|a ＋b |＋|a －b |＞2B ．|a ＋b |＋|a －b |＜2C ．|a ＋b |＋|a －b |＝2D ．不可能比较大小解析： 当(a ＋b )(a －b )≥0时，|a ＋b |＋|a －b |＝|(a ＋b )＋(a －b )|＝2|a |＜2，当(a ＋b )(a －b )＜0时，|a ＋b |＋|a －b |＝|(a ＋b )－(a －b )|＝2|b |＜2.答案： B6．设x ，y ∈R ，a >1，b >1.若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y 的最大值为() A ．2 B.32C ．1 D.12解析： ∵a x ＝b y ＝3，∴x ＝log a 3，y ＝log b 3，∴1x ＋1y ＝1log a 3＋1log b 3＝log 3a ＋log 3b＝log 3ab ≤log 3(a ＋b )24＝log 33＝1，故选C.答案： C7．0<a <1，下列不等式一定成立的是( )A ．|log 1＋a (1－a )|＋|log (1－a )(1＋a )|>2B ．|log 1＋a (1－a )|<|log (1－a )(1＋a )|C ．|log (1＋a )(1－a )＋log (1－a )(1＋a )|<|log (1＋a )(1－a )|＋|log (1－a )(1＋a )|D ．|log (1＋a )(1－a )－log (1－a )(1＋a )|>|log (1＋a )(1－a )|－|log (1－a )(1＋a )|解析： 令a ＝12，代入可排除B 、C 、D. 答案： A8．若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则3a ＋3b 的最小值是( )A ．18B ．6C ．2 3 D.43解析： 3a ＋3b ≥23a ·3b ＝23a ＋b ＝232＝6. 答案： B9．已知|a |≠|b |，m ＝|a |－|b ||a －b |，n ＝|a |＋|b ||a ＋b |，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m ＞nB ．m ＜nC ．m ＝nD ．m ≤n解析： ∵|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |，∴m ＝|a |－|b ||a －b |≤|a |－|b ||a |－|b |＝1， n ＝|a |＋|b ||a ＋b |≥|a |＋|b ||a |＋|b |＝1，∴m ≤1≤n . 答案： D10．某工厂年产值第二年比第一年增长的百分率为p 1，第三年比第二年增长的百分率为p 2，第四年比第三年增长的百分率为p 3，则年平均增长率p 的最大值为( ) A.3p 1p 2p 3B.p 1＋p 2＋p 33C.p 1p 2p 33D ．2(1＋p 1)(1＋p 2)(1＋p 3)3解析： ∵(1＋p )3＝(1＋p 1)(1＋p 2)(1＋p 3)，∴1＋p ＝3(1＋p 1)(1＋p 2)(1＋p 3)≤1＋p 1＋1＋p 2＋1＋p 33， ∴p ≤p 1＋p 2＋p 33. 答案： B11．若a ，b ，c >0，且a 2＋2ab ＋2ac ＋4bc ＝12，则a ＋b ＋c 的最小值是( )A ．2 3B ．3C ．2 D.3解析： a 2＋2ab ＋2ac ＋4bc＝a (a ＋2c )＋2b (a ＋2c )＝(a ＋2c )(a ＋2b )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤(a ＋2c )＋(a ＋2b )22，∴(a ＋b ＋c )2≥12，又a ，b ，c >0，∴a ＋b ＋c ≥2 3.答案： A12．当0<x <π2时，函数f (x )＝1＋cos 2x ＋8sin 2 xsin 2x 的最小值为() A ．2 B ．23C ．4D ．43解析： 方法一：f (x )＝2cos 2 x ＋8 sin 2 x2sin x cos x ＝1＋4tan 2 xtan x＝4tan x ＋1tan x ≥4.这里tan x >0，且tan x ＝12时取等号．方法二：f (x )＝1＋cos 2x ＋8sin 2 x sin 2x ＝5－3cos 2x sin 2x(0<2x <π)． 令μ＝5－3cos 2x sin 2x，有μsin 2x ＋3cos 2x ＝5. μ2＋9sin(2x ＋φ)＝5,∴sin(2x ＋φ)＝5μ2＋9.∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪5μ2＋9≤1，得μ2≥16. ∴μ≥4或μ≤－4.又μ>0.答案： C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知－π2≤α＜β≤π2，则α－β2的取值范围是________． 解析： 利用不等式的性质进行求解．由－π2≤α＜β≤π2可得． 答案： －π2≤α－β2＜0. 14．设集合S ＝{x ||x －2|>3}，T ＝{x |a <x <a ＋8}，S ∪T ＝R ，则a 的取值范围是____________． 解析: ∵|x －2|>3，∴x －2>3或x －2<－3，∴x >5或x <－1，即S ＝{x |x >5或x <－1}．又∵T ＝{x |a <x <a ＋8}，S ∪T ＝R ，∴画数轴可知a 需满足⎩⎪⎨⎪⎧a <－1a ＋8>5， ∴－3<a <－1.答案： －3<a <－115．设x >－1，求函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1的最小值为________． 解析： ∵x >－1，∴x ＋1>0，y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1＝[(x ＋1)＋4][(x ＋1)＋1]x ＋1＝(x ＋1)＋5＋4x ＋1≥2·(x ＋1)·4x ＋1＋5＝9. 当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时，等号成立． ∴y 的最小值是9.答案： 916．某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格(每件x 元)在50<x ≤80时，每天售出的件数P ＝105(x －40)2，若想每天获得的利润最多，销售价格每件应定为____________元． 解析： 设销售价格定为每件x 元(50<x ≤80)，每天获得利润y 元，则：y ＝(x －50)·P ＝105(x －50)(x －40)2， 设x －50＝t ，则0<t ≤30，∴y ＝105t (t ＋10)2＝105t t 2＋20t ＋100＝105t ＋100t＋20≤10520＋20＝2 500. 当且仅当t ＝10，即x ＝60时，y max ＝2 500.答案： 60三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)已知30＜x ＜42,16＜y ＜24，求x ＋y ，x －2y ，x y的取值范围． 解析： ∵30＜x ＜42,16＜y ＜24，∴46＜x ＋y ＜66.∵16＜y ＜24，∴－48＜－2y ＜－32，∴－18＜x －2y ＜10.∵30＜x ＜42，∴124＜1y ＜116. ∴54＜x y ＜218. 18．(12分)已知a ，b ，x ，y ∈R ＋，x ，y 为变量，a ，b 为常数，且a ＋b ＝10，a x ＋b y＝1，x ＋y 的最小值为18，求a ，b .解析： ∵x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫a x ＋b y＝a ＋b ＋bx y ＋ay x≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2，当且仅当bx y ＝ay x时取等号．又(x ＋y )min ＝(a ＋b )2＝18，即a ＋b ＋2ab ＝18① 又a ＋b ＝10 ②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8b ＝2. 19．(12分)解不等式|x ＋1|＋|x |<2.解析： 方法一：利用分类讨论的思想方法．当x ≤－1时，－x －1－x <2，解得－32<x ≤－1； 当－1<x <0时，x ＋1－x <2，解得－1<x <0；当x ≥0时，x ＋1＋x <2，解得0≤x <12. 因此，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32<x <12. 方法二：利用方程和函数的思想方法．令f (x )＝|x ＋1|＋|x |－2＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1(x ≥0)，－1(－1≤x <0)，－2x －3(x <－1).作函数f (x )的图象(如图)，知当f (x )<0时，－32<x <12. 故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32<x <12. 方法三：利用数形结合的思想方法．由绝对值的几何意义知，|x ＋1|表示数轴上点P (x )到点A (－1)的距离，|x |表示数轴上点P (x )到点O (0)的距离．由条件知，这两个距离之和小于2.作数轴(如图)，知原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32<x <12.方法四：利用等价转化的思想方法．原不等式⇔ 0≤|x ＋1|＜2－|x |，∴(x ＋1)2＜(2－|x |)2，且|x |＜2，即0≤4|x |＜3－2x ，且|x |＜2.∴16x 2＜(3－2x )2，且－2＜x ＜2.解得－32＜x ＜12.故原不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－32＜x ＜12. 20．(12分)求函数y ＝3x ＋4x 2(x >0)的最值．解析： 由已知x >0，∴y ＝3x ＋4x 2＝3x 2＋3x 2＋4x 2 ≥333x 2·3x 2·4x 2＝339， 当且仅当3x 2＝3x 2＝4x 2，即x ＝2393时，取等号． ∴当x ＝2393时，函数y ＝3x ＋4x2的最小值为339. 21．(12分)在某交通拥挤地段，交通部门规定，在此地段内的车距d (m)正比于车速v (km/h)的平方与车身长s (m)的积，且最小车距不得少于半个车身长，假定车身长均为s (m)，且车速为50 km/h 时车距恰为车身长s ，问交通繁忙时，应规定怎样的车速，才能使此地段的车流量Q 最大？解析： 由题意，知车身长s 为常量，车距d 为变量．且d ＝k v 2s ，把v ＝50，d ＝s 代入，得k ＝12 500，把d ＝12s 代入 d ＝12 500v 2s ，得v ＝25 2.所以 d ＝⎩⎨⎧12s (0<v ≤252)，12 500v 2s (v >252).则车流量 Q ＝1 000v d ＋s ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1 000v 32s (0<v ≤252)，1 000v s (1＋v 22 500)(v >252).当0<v ≤252时，Q 为v 的增函数，所以当v ＝252时，Q 1＝1 000v 32s ＝50 00023s .当v >252时，Q 2＝1 000v s ⎝⎛⎭⎫1＋v 22 500＝ 1 000s ⎝⎛⎭⎫1v ＋v 2 500 ≤ 1 000s ·21v ·v 2 500＝25 000s . 当且仅当1v ＝v 2 500，即v ＝50时，等号成立．即当v ＝50时，Q 取得最大值Q 2＝25 000s.因为Q 2>Q 1，所以车速规定为50km/h 时，该地段的车流量Q 最大．22．(14分)已知函数f (x )＝ax 2－4(a 为非零实数)，设函数F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x ) (x >0)－f (x ) (x <0). (1)若f (－2)＝0，求F (x )的表达式；(2)在(1)的条件下，解不等式1≤|F (x )|≤2；(3)设mn <0，m ＋n >0，试判断F (m )＋F (n )能否大于0?解析： (1)∵f (－2)＝0，∴4a ＋4＝0，得a ＝－1，∴f (x )＝－x 2＋4，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4 (x >0)x 2－4 (x <0). (2)∵|F (－x )|＝|F (x )|，∴|F (x )|是偶函数，故可以先求x >0的情况．当x >0时，由|F (2)|＝0，故当0<x ≤2时，解不等式1≤－x 2＋4≤2，得2≤x ≤3；x >2时，解不等式1≤x 2－4≤2，得5≤x ≤6；综合上述可知原不等式的解集为{x |2≤x ≤3或5≤x ≤6或－3≤x ≤－2或－6≤x ≤－5}．(3)∵f (x )＝ax 2＋4，∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋4 (x >0)－ax 2－4 (x <0)， ∵mn <0，不妨设m >0，则n <0.又m ＋n >0，∴m >－n >0，∴m 2>n 2，∴F (m )＋F (n )＝am 2＋4－an 2－4＝a (m 2－n 2)，所以：当a >0时，F (m )＋F (n )能大于0，当a <0时，F (m )＋F (n )不能大于0.第二讲 证明不等式的基本方法一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a c 2>b c2，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a 2>b 2B ．lg a >lg b C.1b >1c D.⎝⎛⎭⎫13b >⎝⎛⎭⎫13a解析： 从已知不等式入手：a c 2>b c2⇔a >b (c ≠0)，其中a ，b 可异号或其中一个为0，由此否定A 、B 、C ，应选D.答案： D2．若1a <1b<0，则下列结论不正确的是( ) A ．a 2<b 2B ．ab <b 2 C.b a ＋a b >2 D ．|a |＋|b |>|a ＋b |解析： 因为1a <1b <0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 1a －1b <0a <0且b <0⇔⎩⎨⎧ b －a ab <0a <0，b <0⇔b <a <0.由此判定A 、B 、C 正确，应选D.答案： D 3．用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根解析： 反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是：方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根．故应选A.答案： A4．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是( )A ．假设三内角都不大于60°B ．假设三内角都大于60°C ．假设三内角至多有一个大于60°D ．假设三内角至多有两个大于60°解析： 至少有一个不大于60度是指三个内角有一个或者两个或者三个小于或等于60°.所以，反设应该是它的对立情况，即假设三内角都大于60度．答案： B5．设x >0，y >0，x ＋y ＝1，x ＋y 的最大值是( )A ．1 B.2 C.22 D.32 解析： ∵x >0，y >0，∴1＝x ＋y ≥2xy ， ∴12≥xy ， ∴x ＋y ≤2(x ＋y )＝2(当且仅当x ＝y ＝12时取“＝”)． 答案： B6．用分析法证明：欲使①A >B ，只需②C <D ，这里①是②的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析： 分析法证明的本质是证明结论的充分条件成立，即②⇒①，所以①是②的必要条件． 答案： B7．已知0<a <b ，且a ＋b ＝1，则下列不等式中，正确的是( )A ．log 2a >0B ．2a －b <12C ．log 2a ＋log 2b <－2D ．2a b ＋b a <12 解析： 方法一：特值法令a ＝13，b ＝23代入可得． 方法二：因为0<a <b 且a ＋b ＝1，所以0<a <1，所以log 2a <0.－1<a －b <0所以12<2a －b <1，又因为b a ＋a b>2所以2b a ＋a b >4， 而ab <⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14， 所以log 2a ＋log 2b <－2成立．答案： C8．a >0，b >0，则“a >b ”是“a －1a >b －1b”成立的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件解析： a －1a －b ＋1b ＝a －b ＋a －b ab＝(a －b )⎝⎛⎭⎫1＋1ab . ∵a >0，b >0，∴a >b ⇔(a －b )⎝⎛⎭⎫1＋1ab >0⇔a －1a >b －1b. 可得“a >b ”是“a －1a >b －1b”成立的充要条件． 答案： C9．设a >0，b >0，则以下不等式中不恒成立的是( )A ．(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4B ．a 3＋b 3≥2ab 2C ．a 2＋b 2＋2≥2a ＋2b D.|a －b |≥a －b 解析： 因为(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥2ab ·21ab＝4，所以A 正确． a 3＋b 3≥2ab 2⇔(a －b )(a 2＋ab －b 2)≥0，但a ，b 大小不确定，所以B 错误．(a 2＋b 2＋2)－(2a ＋2b )＝(a －1)2＋(b －1)2≥0，所以C 正确．|a －b |≥a －b ⇔|a －b |＋b ≥a ⇔b (a －b )≥0，所以D 正确．答案： B 10．设a ，b ∈R ＋，且a ≠b ，P ＝a 2b ＋b 2a，Q ＝a ＋b ，则( ) A ．P >QB ．P ≥QC ．P <QD ．P ≤Q解析： P －Q ＝a 2b ＋b 2a －(a ＋b )＝a 3＋b 3－ab (a ＋b )ab ＝(a ＋b )(a 2＋b 2－2ab )ab ＝(a ＋b )(a －b )2ab . ∵a ，b 都是正实数，且 a ≠b ，∴(a ＋b )(a －b )2ab>0，∴P >Q . 答案： A11．若函数f (x )，g (x )分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足f (x )－g (x )＝e x ，则有( )A ．f (2)<f (3)<g (0)B ．g (0)<f (3)<f (2)C ．f (2)<g (0)<f (3)D ．g (0)<f (2)<f (3)解析： 因为函数f (x )，g (x )分别是R 上的奇函数、偶函数．所以f (－x )－g (－x )＝－f (x )－g (x )＝e －x ，① f (x )－g (x )＝e x ，②①②联立，解之得f (x )＝e x －e －x 2，g (x )＝－e x ＋e －x 2代入数值比较可得． 答案： D12．“a ＝18”是“对任意的正数x,2x ＋a x ≥1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析： 因为2x ＋a x≥22x ·a x＝22a ， 当a ＝18时22a ＝1. 但当a ＝2时，22a ＝4，当然有2x ＋a x≥1所以是充分不必要条件． 答案： A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)13．设a ＝3－2，b ＝6－5，c ＝7－6，则a ，b ，c 的大小顺序是__________． 解析： 用分析法比较，a >b ⇔3＋5>2＋6⇔8＋215>8＋212，同理可比较得b >c . 答案： a >b >c14．已知三个不等式：(1)ab >0；(2)－c a <－d b；(3)bc >ad . 以其中两个作为条件，余下一个作为结论，为________．解析： 运用不等式性质进行推理，从较复杂的分式不等式(2)切入，去寻觅它与(1)的联系． －c a <－d b ⇔c a >d b ⇔c a －d b>0 ⇔bc －ad ab >0⇔ab ·(bc －ad )>0. 答案： (1)、(3)⇒(2)；(1)、(2)⇒(3)；(2)、(3)⇒(1)15．若f (n )＝n 2＋1－n ，g (n )＝n －n 2－1，φ(n )＝12n，则f (n )，g (n )，φ(n )的大小顺序为________． 解析： 因为f (n )＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n ，g(n)＝n－n2－1＝1n2－1＋n.又因为n2－1＋n<2n<n2＋1＋n，所以f(n)<φ(n)<g(n)．答案：g(n)>φ(n)>f(n)16．完成反证法整体的全过程．题目：设a1，a2，…，a7是1,2,3，……，7的一个排列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．证明：反设p为奇数，则________均为奇数．①因奇数个奇数的和还是奇数，所以有奇数＝________.②＝________.③＝0.但奇数≠偶数，这一矛盾说明p为偶数．解析：反设p为奇数，则(a1－1)，(a2－2)，…，(a7－7)均为奇数．因为数个奇数的和还是奇数，所以有奇数＝(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋3＋…＋7)＝0.但奇数≠偶数，这一矛盾说明p为偶数．答案：(a1－1)，(a2－2)，…，(a7－7)(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)(a1＋a2＋...＋a7)－(1＋2＋3＋ (7)三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)若a <b <c ，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a <a 2c ＋b 2a ＋c 2b . 证明： ∵a <b <c ，∴a －b <0，b －c <0，a －c <0，于是：a 2b ＋b 2c ＋c 2a －(a 2c ＋b 2a ＋c 2b )＝(a 2b －a 2c )＋(b 2c －b 2a )＋(c 2a －c 2b )＝a 2(b －c )＋b 2(c －a )＋c 2(a －b )＝a 2(b －c )－b 2(b －c )＋c 2(a －b )－b 2(a －b )＝(b －c )(a 2－b 2)＋(a －b )(c 2－b 2)＝(b －c )(a －b )(a ＋b )＋(a －b )(c －b )(c ＋b )＝(b －c )(a －b )[a ＋b －(c ＋b )]＝(b －c )(a －b )(a －c )<0，∴a 2b ＋b 2c ＋c 2a <ab 2＋bc 2＋ca 2.18．(12分)已知a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1.求证：⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥8.证明： ∵a ，b ，c ∈R ＋，a ＋b ＋c ＝1，∴1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ＝b a ＋c a ≥2bc a， 同理1b －1≥2ac b ，1c －1≥2ab c. 由于上述三个不等式两边均为正，分别相乘，∴⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2ab c ＝8.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号． 19．(12分)求证：3＋8>1＋10.证明： 用分析法证明8＋3>1＋10⇐8＋3＋224>1＋10＋210⇐224>210 ⇐24>10.最后一个不等式是成立的，故原不等式成立．20．(12分)若x ，y >0，且x ＋y >2，则1＋y x 和1＋x y中至少有一个小于2. 证明： 反设1＋y x ≥2且1＋x y≥2， ∵x ，y >0，∴1＋y ≥2x,1＋x ≥2y 两边相加，则2＋(x ＋y )≥2(x ＋y )，可得x ＋y ≤2，与x ＋y >2矛盾，∴1＋y x 和1＋x y中至少有一个小于2. 21．(12分)已知a ，b ，c ，d 都是实数，且a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1，求证|ac ＋bd |≤1.证明： 证法一(综合法) 因为a ，b ，c ，d 都是实数，所以|ac ＋bd |≤|ac |＋|bd |≤a 2＋c 22＋b 2＋d 22＝a 2＋b 2＋c 2＋d 22. 又因为a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1.所以|ac ＋bd |≤1.证法二(比较法) 显然有|ac ＋bd |≤1⇔－1≤ac ＋bd ≤1.先证明ac ＋bd ≥－1.∵ac ＋bd －(－1)＝ac ＋bd ＋12＋12＝ac ＋bd ＋a 2＋b 22＋c 2＋d 22＝(a ＋c )2＋(b ＋d )22≥0.∴ac ＋bd ≥－1.再证明ac ＋bd ≤1.∵1－(ac ＋bd )＝12＋12－(ac ＋bd )＝a 2＋b 22＋c 2＋d 22－ac －bd＝(a －c )2＋(b －d )22≥0，∴ac ＋bd ≤1.综上得|ac ＋bd |≤1.证法三(分析法) 要证|ac ＋bd |≤1.只需证明(ac ＋bd )2≤1.即只需证明a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2≤1. ①由于a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1，因此①式等价于a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)② 将②式展开、化简，得(ad －bc )2≥0. ③因为a ，b ，c ，d 都是实数，所以③式成立，即①式成立，原命题得证．22．(14分)数列{a n }为等差数列，a n 为正整数，其前n 项和为S n ，数列{b n }为等比数列，且a 1＝3，b 1＝1，数列{ba n }是公比为64的等比数列，b 2S 2＝64.(1)求a n ，b n ；(2)求证：1S 1＋1S 2＋…＋1S n <34. 解析： (1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则d 为正整数，a n ＝3＋(n －1)d ，b n ＝q n －1，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ ba n ＋1ba n ＝q 3＋nd q 3＋(n －1)d ＝q d ＝64＝26，S 2b 2＝(6＋d )q ＝64，①由(6＋d )q ＝64知q 为正有理数，故d 为6的因子1,2,3,6之一，解①得d ＝2，q ＝8.故a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝8n －1.(2)证明：∵S n ＝3＋5＋…＋(2n ＋1)＝n (n ＋2)．∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2<34.第三讲柯西不等式与排序不等式一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a，b∈R，且a2＋b2＝10，则a＋b的取值范围是()A．[－25，25]B．[－210，210]C．[－10，10] D．[－5，5]解析：由(a2＋b2)(1＋1)≥(a＋b)2，所以a＋b∈[－25，25]，故选A.答案：A2．若x21＋x22＋…＋x2n＝1，y21＋y22＋…＋y2n＝1，则x1y1＋x2y2＋…＋x n y n的最大值是()A．2 B．1C．3 D.3 3 3解析：由(x1y1＋x2y2＋…＋x n y n)2≤(x21＋x22＋…＋x2n)(y21＋y22＋…＋y2n)＝1，故选B.答案：B3．学校要开运动会，需要买价格不同的奖品40件、50件、20件，现在选择商店中单价为5元、3元、2元的奖品，则至少要花()A．300元B．360元C．320元D．340元解析：由排序原理知，反序和最小为320，故选C.答案：C4．已知a ，b ，c 为非零实数，则(a 2＋b 2＋c 2)⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2＋1c 2的最小值为( )A ．7B ．9C ．12D ．18解析： 由(a 2＋b 2＋c 2)⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2＋1c 2≥⎝⎛⎭⎫a ·1a ＋b ·1b ＋c ·1c 2＝(1＋1＋1)2＝9，∴所求最小值为9，故选B.答案： B5．设a ，b ，c ≥0，a 2＋b 2＋c 2＝3，则ab ＋bc ＋ca 的最大值为() A ．0 B ．1C ．3 D.333解析： 由排序不等式a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ，所以ab ＋bc ＋ca ≤3.故应选C.答案： C 6．表达式x 1－y 2＋y 1－x 2的最大值是( )A ．2B ．1C. 2D.32解析： 因为x 1－y 2＋y 1－x 2≤(x 2＋1－x 2)(1－y 2＋y 2)＝1，故选B.答案： B7．已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ≥a 对任意正实数x ，y 恒成立，则实数a 的最大值为( )A ．2B ．4 C. 2 D ．16解析： 由(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ≥(1＋1)2＝4，因此不等式(x ＋y )(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ≥a 对任意正实数x ，y 恒成立，即a ≤4，故应选B.答案： B8．设a ，b ，c 为正数，a ＋b ＋4c ＝1，则a ＋b ＋2c 的最大值是() A. 5 B.3C ．2 3 D.32解析： 1＝a ＋b ＋4c ＝(a )2＋(b )2＋(2c )2 ＝13[(a )2＋(b )2＋(2c )2]·(12＋12＋12) ≥(a ＋b ＋2c )2·13， ∴(a ＋b ＋2c )2≤3，即所求为 3.答案： B9．若a >b >c >d ，x ＝(a ＋b )(c ＋d )，y ＝(a ＋c )(b ＋d )，z ＝(a ＋d )(b ＋c )，则x ，y ，z 的大小顺序为( )A ．x <z <yB ．y <z <xC ．x <y <zD ．z <y <x解析： 因a >d 且b >c ，则(a ＋b )(c ＋d )<(a ＋c )(b ＋d )，得x <y ，因a >b 且c >d ，则(a ＋c )(b ＋d )<(a ＋d )(b ＋c )，得y <z ，故选C.答案： C10．若0＜a 1＜a 2,0＜b 1＜b 2且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中值最大的是( )A ．a 1b 1＋a 2b 2B ．a 1a 2＋b 1b 2C ．a 1b 2＋a 2b 1 D.12解析： 利用特值法，令a 1＝0.4，a 2＝0.6，b 1＝0.3，b 2＝0.7计算后作答；或根据排序原理，顺序和最大．答案： A11．已知a ，b ，c ，d 均为实数，且a ＋b ＋c ＋d ＝4，a 2＋b 2＋c 2＋d 2＝163，则a 的最大值为( ) A ．16B ．10C ．4D ．2解析： 构造平面π：x ＋y ＋z ＋(a －4)＝0，球O ：x 2＋y 2＋z 2＝163－a 2， 则点(b ，c ，d )必为平面π与球O 的公共点， 从而|a －4|3≤ 163－a 2， 即a 2－2a ≤0，解得0≤a ≤2，故实数a 的最大值是2.答案： D12．x ，y ，z 是非负实数，9x 2＋12y 2＋5z 2＝9，则函数u ＝3x ＋6y ＋5z 的最大值是( )A ．9B ．10C ．14D ．15解析： u 2＝(3x ＋6y ＋5z )2≤[(3x )2＋(23y )2＋(5z )2]·[12＋(3)2＋(5)2]＝9×9＝81，∴u ≤9.答案： A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知a ，b ，c 都是正数，且4a ＋9b ＋c ＝3，则1a ＋1b ＋1c的最小值是________． 解析： 由4a ＋9b ＋c ＝3，∴4a 3＋3b ＋c 3＝1， ∴1a ＋1b ＋1c＝43a ＋3b ＋c 3a ＋43a ＋3b ＋c 3b ＋43a ＋3b ＋c 3c＝43＋3b a ＋c 3a ＋3＋4a 3b ＋c 3b ＋13＋4a 3c ＋3b c＝3＋53＋⎝⎛⎭⎫3b a ＋4a 3b ＋⎝⎛⎭⎫c 3a ＋4a 3c ＋⎝⎛⎭⎫c 3b ＋3b c ≥3＋53＋4＋43＋2＝12. 答案： 1214．已知a ，b 是给定的正数，则a 2sin 2α＋b 2cos 2α的最小值是________． 解析： a 2sin 2α＋b 2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)⎝⎛⎭⎫a 2sin 2α＋b 2cos 2α≥(a ＋b )2. 答案： (a ＋b )215．已知点P 是边长为23的等边三角形内一点，它到三边的距离分别为x ，y ，z ，则x ，y ，z 所满足的关系式为________，x 2＋y 2＋z 2的最小值是________．解析： 利用三角形面积相等，得12×23(x ＋y ＋z )＝34×(23)2， 即x ＋y ＋z ＝3；由(1＋1＋1)(x 2＋y 2＋z 2)≥(x ＋y ＋z )2＝9，则x 2＋y 2＋z 2≥3.答案： x ＋y ＋z ＝3 316．若不等式|a －1|≥x ＋2y ＋2z ，对满足x 2＋y 2＋z 2＝1的一切实数x ，y ，z 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析： 由柯西不等式可得(12＋22＋22)(x 2＋y 2＋z 2)≥(x ＋2y ＋2z )2，所以x ＋2y ＋2z 的最大值为3，故有|a －1|≥3，∴a ≥4或a ≤－2.答案： a ≥4或a ≤－2三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)已知a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝1.求证：ax ＋by ≤1.证明： ∵a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝1.又由柯西不等式知∴1＝(a 2＋b 2)(x 2＋y 2)≥(ax ＋by )2∴1≥(ax ＋by )2，∴1≥|ax＋by|≥ax＋by，∴所以不等式得证．18．(12分)设x2＋2y2＝1，求μ＝x＋2y的最值．解析：由|x＋2y|＝|1·x＋2·2y|≤1＋2·x2＋2y2＝ 3.当且仅当x1＝2y2，即x＝y＝±33时取等号．所以，当x＝y＝33时，μmax＝ 3.当x＝y＝－33时，μmin＝－ 3.19．(12分)设a≥b＞0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.证明：∵a≥b＞0，∴a≥a≥a≥b≥b＞0，a2≥a2≥a2≥b2≥b2＞0，由顺序和≥乱序和，得a3＋a3＋a3＋b3＋b3≥a2b＋a2b＋a2a＋ab2＋ab2.又a2b＋a2b＋a2a＋ab2＋ab2≥3a2b＋2ab2.则3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.20．(12分)已知x，y，z∈R，且x＋y＋z＝3，求x2＋y2＋z2的最小值．解析：方法一：注意到x，y，z∈R，且x＋y＋z＝3为定值，利用柯西不等式得到(x2＋y2＋z2)(12＋12＋12)≥(x·1＋y·1＋z·1)2＝9，从而x2＋y2＋z2≥3，当且仅当x＝y＝z＝1时取“＝”号，所以x2＋y2＋z2的最小值为3.方法二：可考虑利用基本不等式“a 2＋b 2≥2ab ”进行求解，由x 2＋y 2＋z 2＝(x ＋y ＋z )2－(2xy ＋2xz ＋2yz )≥9－(x 2＋y 2＋x 2＋z 2＋y 2＋z 2)，从而求得x 2＋y 2＋z 2≥3，当且仅当x ＝y ＝z ＝1时取“＝”号，所以x 2＋y 2＋z 2的最小值为3.21．(12分)设a ，b ，c 为正数，且不全相等，求证：2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a ＞9a ＋b ＋c .证明： 构造两组数a ＋b ，b ＋c ，c ＋a ； 1a ＋b ，1b ＋c ，1c ＋a ，则由柯西不等式得(a ＋b ＋b ＋c ＋c ＋a )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥(1＋1＋1)2，① 即2(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥9.于是2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a ≥9a ＋b ＋c .于是2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a ≥9a ＋b ＋c .由柯西不等式知，①中有等号成立⇔a ＋b 1a ＋b ＝b ＋c 1b ＋c ＝c ＋a1c ＋a⇔a ＋b ＝b ＋c ＝c ＋a⇔a ＝b ＝c .因题设a ，b ，c 不全相等，故①中等号不成立，于是2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a ＞9a ＋b ＋c. 22．(14分)设x 1，x 2，…，x n ∈R ＋，且x 1＋x 2＋…＋x n ＝1，求证：x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2n 1＋x n ≥1n ＋1. 证明： 因为x 1＋x 2＋…＋x n ＝1，所以n ＋1＝(1＋x 1)＋(1＋x 2)＋…＋(1＋x n )．又⎝ ⎛⎭⎪⎫x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋……＋x 2n 1＋x n (n ＋1) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2n 1＋x n [(1＋x 1)＋(1＋x 2)＋…＋(1＋x n )] ≥(x 1＋x 2＋…＋x n )2＝1，所以x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2n 1＋x n ≥1n ＋1.第四讲 数学归纳法证明不等式一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)时，第一步应验证不等式( ) A ．1＋12<2 B ．1＋12＋13<2 C ．1＋12＋13<3 D ．1＋12＋13＋14<3 解析： n ∈N *，n >1，∴n 取的第一个自然数为2，左端分母最大的项为122－1＝13，故选B. 答案： B2．用数学归纳法证明12＋32＋52＋…＋(2n －1)2＝13n (4n 2－1)的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k ＋1时，等式左边增加的项为( )A ．(2k )2B ．(2k ＋3)2C ．(2k ＋1)2D ．(2k ＋2)2解析： 把k ＋1代入(2n －1)2得(2k ＋2－1)2即(2k ＋1)2，选C.答案： C3．设凸n 边形有f (n )条对角线，则凸n ＋1边形的对角线的条数，加上多的哪个点向其他点引的对角线的条数f (n ＋1)为( )A ．f (n )＋n ＋1B ．f (n )＋nC ．f (n )＋n －1D ．f (n )＋n －2解析： 凸n ＋1边形的对角线的条数等于凸n 边形的对角线的条数，加上多的那个点向其他点引的对角线的条数(n －2)条，再加上原来有一边成为对角线，共有f (n )＋n －1条对角线，故选C.答案： C4．观察下列各等式：22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得一般性的等式为( )A.n n －4＋8－n (8－n )－4＝2 B.n ＋1(n ＋1)－4＋(n ＋1)＋5(n ＋1)－4＝2 C.n n －4＋n ＋4(n ＋4)－4＝2 D.n ＋1(n ＋1)－4＋n ＋5(n ＋5)－4＝2 解析： 观察归纳知选A.答案： A5．欲用数学归纳法证明：对于足够大的自然数n ，总有2n ＞n 3，那么验证不等式成立所取的第一个n 的最小值应该是( )A ．1B ．9C ．10D ．n ＞10，且n ∈N ＋解析： 由210＝1 024＞103知，故应选C.答案： C6．用数学归纳法证明：1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)<1(n ∈N *，n ≥2)时，由“k 到k ＋1”，不等式左端的变化是( )A ．增加12(k ＋1)一项 B ．增加12k ＋1和12(k ＋1)两项 C ．增加12k ＋1和12(k ＋1)两项，同时减少1k 一项 D ．以上都不对解析： 因f (k )＝1k ＋1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k， 而f (k ＋1)＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k ＋1k ＋k ＋1＋1k ＋k ＋2， 故f (k ＋1)－f (k )＝12k ＋1＋12k ＋2－1k，故选C. 答案： C7．用数学归纳法证明34n ＋1＋52n ＋1(n ∈N ＋)能被8整除时，若n ＝k 时，命题成立，欲证当n ＝k ＋1时命题成立，对于34(k＋1)＋1＋52(k ＋1)＋1可变形为( ) A ．56×34k ＋1＋25(34k ＋1＋52k ＋1)B ．34×34k ＋1＋52×52kC ．34k ＋1＋52k ＋1D ．25(34k ＋1＋52k ＋1)解析： 由34(k ＋1)＋1＋52(k ＋1)＋1＝81×34k ＋1＋25×52k ＋1＋25×34k ＋1－25×34k ＋1＝56×34k ＋1＋25(34k ＋1＋52k ＋1)，故选A.答案： A8．用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2)……(n ＋n )＝2n ·1·3·5·(2n －1)(n ∈N *)”时，从n ＝k 到n ＝k ＋1等式的左边需增乘代数式为( )A ．2k ＋1 B.2k ＋1k ＋1C.(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1D.2k ＋3k ＋1 解析： 左边当n ＝k 时最后一项为2k .左边当n ＝k ＋1时最后一项为2k ＋2，又第一项变为k ＋2，∴需乘(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1. 答案： C9．数列a n 中，已知a 1＝1，当n ≥2时，a n －a n －1＝2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是( )A ．3n －2B ．n 2C ．3n －1D ．4n －3解析： 计算出a 1＝1，a 2＝4，a 3＝9，a 4＝16.可猜a n ＝n 2故应选B.答案： B10．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上( ) A ．k 2B ．(k ＋1)2C.(k ＋1)4＋(k ＋1)22D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2解析： ∵当n ＝k 时，左端＝1＋1＋2＋3＋…＋k 2，当n ＝k ＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2.故当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2，故应选D.答案： D11．用数学归纳法证明“n 2＋n <n ＋1(n ∈N *)”的第二步证n ＝k ＋1时(n ＝1已验证，n ＝k 已假设成立)这样证明：(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2<k 2＋4k ＋4＝(k ＋1)＋1，则当n ＝k ＋1时，命题成立，此种证法( )A ．是正确的B ．归纳假设写法不正确C ．从k 到k ＋1推理不严密D ．从k 到k ＋1的推理过程未使用归纳假设解析： 经过观察显然选D.答案： D12．把正整数按下图所示的规律排序，则从2 006到2 008的箭头方向依次为( )A ．↓→B ．→↓C ．↑→D ．→↑解析： 由2 006＝4×501＋2，而a n ＝4n 是每一个下边不封闭的正方形左、上顶点的数，故应选D. 答案： D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)13．用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋n ＋…＋3＋2＋1＝n 2(n ∈N *)时，从n ＝k 到n ＝k ＋1时，该式左边应添加的代数式是________________．解析： 当n ＝k 时，左边＝1＋2＋3＋…＋k ＋…＋3＋2＋1.当n ＝k ＋1时，左边＝1＋2＋3＋…＋k ＋k ＋1＋k ＋…＋3＋2＋1.所以左边应添加的代数式为k ＋1＋k ＝2k ＋1.答案： 2k ＋114．数列{a n }中，a 1＝1，且S n ，S n ＋1,2S 1成等差数列，则S 2，S 3，S 4分别为________，猜想 S n ＝________. 解析： 由题意得，a 1＝12S n ＋1＝S n ＋2S 1当n ＝1时，2S 2＝S 1＋2S 1 ∴S 2＝32当n ＝2时，2S 3＝S 2＋2S 1 ∴S 3＝74当n ＝3时，2S 4＝S 3＋2S 1 ∴S 4＝158归纳猜想：S n ＝2n －12n －1 答案： 32 74 158 2n －12n －1 15．如下图所示，第n 个图形是由正n ＋2边形“扩展”而来(n ＝1,2,3，…)，则第n －2个图形中共有________个顶点．解析： 第一个图形是由正三角形扩展得到，三边扩展得3个顶点，加上三角形的三个顶点共6个；第二个图形是由正方形扩展得到，四边扩展得4个顶点，每个顶点变为两个，故增加8个顶点，因此共有12个顶点；第三个图形是由正五边形扩展得到，五边扩展得5个顶点，每个顶点变为3个，故增加15个顶点，因此共有20个顶点；…第n －2个图形是由正n 边形扩展得到，n 边扩展得n 个顶点，每个顶点变为n －2个，故增加(n －2)n 个顶点，因此共有n ＋n (n －2)＝n 2－n 个顶点．答案： n 2－n16．有以下四个命题：(1)2n ＞2n ＋1(n ≥3)；(2)2＋4＋6＋…＋2n ＝n 2＋n ＋2(n ≥1)；(3)凸n 边形内角和为f (n )＝(n －1)π(n ≥3)；(4)凸n 边形对角线条数f (n )＝n (n －2)2(n ≥4)． 其中满足“假设n ＝k (k ∈N ＋，k ≥n 0)时命题成立，则当n ＝k ＋1时命题也成立．”但不满足“当n ＝n 0(n 0是题中给定的n 的初始值)时命题成立”的命题序号是________．解析： 当n 取第一个值时经验证(2)(3)(4)均不成立，(1)不符合题意，对于(4)假设n ＝k (k ∈N ＋，k ≥n 0)时命题成立，则当n ＝k ＋1时命题不成立．所以(2)(3)正确．答案： (2)(3)三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)用数学法归纳证明：11×2＋13×4＋…＋1(2n －1)·2n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n. 证明： (1)当n ＝1时，左边＝11×2＝12， 右边＝12，等式成立． (2)假设当n ＝k 时，等式成立，即11×2＋13×4＋…＋1(2k －1)·2k＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ， 则当n ＝k ＋1时，11×2＋13×4＋…＋1(2k －1)·2k ＋1(2k ＋1)(2k ＋2)＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋1(2k ＋1)(2k ＋2) ＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1－12k ＋2＋1k ＋1 ＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＝1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋… ＋1(k ＋1)＋k ＋1(k ＋1)＋(k ＋1)， 即当n ＝k ＋1时，等式成立．根据(1)(2)可知，对一切n ∈N ＋等式成立．18．(12分)用数学归纳法证明：n (n ＋1)(2n ＋1)能被6整除．证明： (1)当n ＝1时，1×2×3显然能被6整除．(2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，命题成立．即k (k ＋1)(2k ＋1)＝2k 3＋3k 2＋k 能被6整除．当n ＝k ＋1时，(k ＋1)(k ＋2)(2k ＋3)＝2k 3＋3k 2＋k ＋6(k 2＋2k ＋1)，结合假设可知，2k 3＋3k 2＋k,6(k 2＋2k ＋1)都能被6整除，所以2k 3＋3k 2＋k ＋6(k 2＋2k ＋1)能被6整除，即当n ＝k ＋1时命题成立．由(1)(2)知，对任意n ∈N ＋原命题成立．19．(12分)证明凸n 边形的对角线条数：f (n )＝12n (n －3)(n ≥4)． 证明： ①当n ＝4时，f (4)＝12×4×(4－3)＝2.四边形有两条对角线，命题成立． ②假设当n ＝k (k ≥1)时，命题成立，即凸k 边形的对角线的条数f (k )＝12k (k －3)(k ≥4)．当n ＝k ＋1时，凸k ＋1边形是在k 边形的基础上增加了一边，增加了一个顶点A k ＋1，增加的对角线条数是顶点A k ＋1与不相邻顶点连线再加上原k 边形的一边A 1A k ，增加的对角线条数为[(k ＋1)－3＋1]＝k －1，f (k ＋1)＝12k (k －3)＋k －1＝12(k 2－k －2) ＝12(k ＋1)(k －2) ＝12(k ＋1)[(k ＋1)－3]． 故n ＝k ＋1时，命题也成立．故①②可知，对任何n ∈N ＋，n ≥4命题成立．20．(12分)求证：(1＋1)⎝⎛⎭⎫1＋13⎝⎛⎭⎫1＋15…⎝⎛⎭⎫1＋12n －1>2n ＋1. 证明： 利用贝努利不等式(1＋x )n >1＋nx (n ∈N ＋，n ≥2，x >－1，x ≠0)的一个特例⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －12>1＋2·12k －1⎝ ⎛⎭⎪⎫此处n ＝2，x ＝12k －1，得1＋12k －1>2k ＋12k －1，k 分别取1,2,3，…，n 时，n 个不等式左右两边相乘，得(1＋1)⎝⎛⎭⎫1＋13…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n －1>31·53…2n ＋12n －1. 即(1＋1)⎝⎛⎭⎫1＋13⎝⎛⎭⎫1＋15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n －1>2n ＋1成立．21．(12分)是否存在常数a ，b ，c 使等式(n 2－12)＋2(n 2－22)＋…＋n (n 2－n 2)＝an 4＋bn 2＋c 对一切正整数n 成立？证明你的结论．解析： 存在．分别有用n ＝1,2,3代入，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝0，16a ＋4b ＋c ＝3，81a ＋9b ＋c ＝18⇒⎩⎨⎧ a ＝14，b ＝－14，c ＝0下面用数学归纳法证明．(1)当n ＝1时，由上式可知等式成立；(2)假设当n ＝k 时等式成立，则当n ＝k ＋1时，左边＝[(k ＋1)2－12]＋2[(k ＋1)2－22]＋…＋k [(k ＋1)2－k 2]＋(k ＋1)·[(k ＋1)2－(k ＋1)2]＝(k 2－12)＋2(k 2－22)＋…＋k (k 2－k 2)＋(2k －1)＋2(2k ＋1)＋…＋k (2k ＋1)＝14k 4＋⎝⎛⎭⎫－14k 2＋(2k ＋1)·k (k ＋1)2＝14(k ＋1)4－14(k ＋1)2.由(1)(2)得等式对一切的n ∈N ＋均成立．22．(14分)对于数列{a n }，若a 1＝a ＋1a (a >0，且a ≠1)，a n ＋1＝a 1－1a n. (1)求a 2，a 3，a 4，并猜想{a n }的表达式；(2)用数学归纳法证明你的猜想．解析： (1)∵a 1＝a ＋1a ，a n ＋1＝a 1－1a n， ∴a 2＝a 1－1a 1＝a ＋1a －1a ＋1a＝a 2＋1a －a a 2＋1＝a 4＋a 2＋1a (a 2＋1)， a 3＝a 1－1a 2＝a 6＋a 4＋a 2＋1a (a 4＋a 2＋1)， 同理可得a 4＝a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋1a (a 6＋a 4＋a 2＋1)猜想a n ＝a 2n ＋a 2n －2＋...＋a 2＋1a (a 2n －2＋a 2n －4＋ (1)＝a 2n ＋2－1a 2－1a ·a 2n －1a 2－1＝a 2n ＋2－1a (a 2n －1). (2)①当n ＝1时，右边＝a 4－1a (a 2－1)＝a 2＋1－1a ＝a 1，等式成立． ②假设当n ＝k 时(k ∈N *)，等式成立，即a k ＝a 2k ＋2－1a (a 2k －1)，则当n ＝k ＋1时， a k ＋1＝a 1－1a k ＝a 2＋1a －a (a 2k －1)a 2k ＋2－1＝(a 2＋1)(a 2k ＋2－1)－a 2(a 2k －1)a (a 2k ＋2－1)＝a 2(k ＋2)－1a (a 2(k ＋1)－1)， 这就是说，当n ＝k ＋1时，等式也成立，根据①②可知，对于一切n ∈N *，全册质量检测一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知：a ＋b >0，b <0，那么( )A ．a >b >－a >－bB ．a >－a >b >－bC ．a >－b >b >－aD ．－a >－b >a >b解析： ∵a ＋b >0∴a >－b ，b >－a∵b <0∴－b >0>b∴a >－b >b >－a答案： C2．“a ＋c >b ＋d ”是“a >b 且c >d ”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解析： 易得a >b 且c >d 时必有a ＋c >b ＋d .若a ＋c >b ＋d 时，则可能有a >d 且c >d ，选A. 答案： A3．a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( )A ．ab ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤3解析： 由a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，∵4＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ≤2(a 2＋b 2)，∴a 2＋b 2≥2.选C.答案： C4．若不等式|2x －3|>4与不等式x 2＋px ＋q >0的解集相同，则p ∶q 等于() A ．12∶7 B ．7∶12C ．(－12)∶7D ．(－3)∶4解析： |2x －3|>4⇔2x －3>4或2x －3<－4⇔x >72或x <－12，∴72－12＝－p ，p ＝－3，72×⎝⎛⎭⎫－12＝q ，q ＝－74，∴p ∶q ＝12∶7.答案： A5．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝⎛⎦⎤0，12恒成立，则a 的最小值为() A ．0 B ．－2C ．－52D ．－3解析： ∵x 2＋ax ＋1≥0∴a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋1x ，x ∈⎝⎛⎦⎤0，12，又∵－⎝⎛⎭⎫x ＋1x 的最大值为－52，。

高中数学选修四习题及答案高中数学选修四习题及答案高中数学是我们学习生活中非常重要的一门学科，而在高中数学的选修课中，数学选修四是其中的一门重要课程。

本文将为大家提供一些数学选修四的习题及其答案，希望能够对大家的学习有所帮助。

一、函数的应用1. 已知函数 f(x) = 2x^2 + 3x - 4，求函数 f(x) 的最小值。

解答：对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a > 0，最小值为 f(x) = -Δ/4a，其中Δ = b^2 - 4ac。

带入题目中的函数 f(x) = 2x^2 + 3x - 4，可以求得Δ =3^2 - 4*2*(-4) = 49。

所以最小值为 f(x) = -49/(4*2) = -49/8。

2. 已知函数 f(x) = x^3 + 3x^2 + 2x - 1，求函数 f(x) 的零点。

解答：零点即为函数 f(x) = 0 的解。

对于三次函数 f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d，可以使用因式分解或者二次方程求根公式来求解。

带入题目中的函数 f(x) = x^3 + 3x^2 + 2x - 1，可以使用因式分解的方法得到 (x + 1)(x + 1)(x - 1) = 0，所以零点为 x = -1 和 x = 1。

二、概率与统计1. 有一袋中有 5 个红球和 3 个蓝球，从中随机抽取 2 个球，求抽到两个红球的概率。

解答：总共有 8 个球，抽取两个球的组合数为 C(8, 2) = 28。

而抽到两个红球的组合数为 C(5, 2) = 10。

所以抽到两个红球的概率为 10/28 = 5/14。

2. 一批产品的重量服从正态分布，均值为 500g，标准差为 20g。

如果随机抽取一件产品，求其重量大于 520g 的概率。

解答：根据正态分布的性质，重量大于 520g 的概率可以转化为标准正态分布中 Z 大于 (520-500)/20 = 1 的概率。

课时提升作业十三用数学归纳法证明不等式举例一、选择题(每小题6分,共18分)1.用数学归纳法证明不等式++…+<(n≥2,n∈N+)的过程中,由n=k递推到n=k+1时不等式左边 ( )A.增加了一项B.增加了两项和C.增加了B中两项但减少了一项D.以上各种情况均不对【解析】选 C.因为n=k时,左边=++…+,n=k+1时,左边=++…+++,所以增加了两项和,少了一项.2.(2016·淮南高二检测)用数学归纳法证明“2n>n2+1对于n≥n0的正整数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取 ( )A.2B.3C.5D.6【解析】选C.当n≤4时,2n<n2+1;当n≥5时,2n>n2+1.于是n0应取5.【补偿训练】用数学归纳法证明2n≥n2(n≥5,n∈N+)成立时第二步归纳假设的正确写法是 ( )A.假设n=k时命题成立B.假设n=k(k∈N+)时命题成立C.假设n=k(k≥5)时命题成立D.假设n=k(k>5)时命题成立【解析】选C.由题意知n≥5,n∈N+,所以应假设n=k(k≥5)时命题成立.3.(2016·长春高二检测)证明1+++…+>(n∈N*),假设当n=k时成立,当n=k+1时,左端增加的项数为 ( )A.1项B.k-1项C.k项D.2k项【解析】选D.当n=k时,不等式左端为1+++…+,当n=k+1时,不等式左端为1+++…+++…+,左端增加了+…+,共2k项.二、填空题(每小题6分,共12分)4.用数学归纳法证明“2n+1≥n2+n+2(n∈N+)”时,第一步的验证为____________. 【解析】当n=1时,21+1≥12+1+2,即4≥4成立.答案:21+1≥12+1+25.(2016·南昌高二检测)已知1+2×3+3×32+4×33+…+n·3n-1=3n(na-b)+c对一切n∈N*都成立,则a=______,b=______,c=________.【解析】当n=1时,3a-3b+c=1,当n=2时,18a-9b+c=7,当n=3时,81a-27b+c=34,解得,a=,b=c=.答案:三、解答题(每小题10分,共30分)6.(2016·广州高二检测)证明:1+++…+≥(n∈N*).【证明】(1)当n=1时,不等式为1≥1,显然成立.(2)假设当n=k时不等式成立,即1+++…+≥.那么,当n=k+1时,1+++…++≥+,而+-==>0,即+>,所以1+++…++≥,即当n=k+1时不等式也成立.综合(1)(2)得,不等式对一切正整数n都成立.7.(2016·济南高二检测)求证:+++…+>(n≥2,n∈N+).【解题指南】本题由n=k到n=k+1时的推证过程中,n=k时,首项是,尾项是,分母是从k+1开始的连续正整数,因而当n=k+1时,首项应为,尾项是,与n=k时比较,后面增加,,共三项,而不只是增加一项,且还减少了一项.【证明】(1)当n=2时,左边=+++=>,不等式成立.(2)假设n=k(k≥2,k∈N+)时,不等式成立,即++…+>,则当n=k+1时,++…++++=++…++>+>+=+=.所以当n=k+1时,不等式也成立.由(1)(2),知原不等式对一切n≥2且n∈N+都成立.8.数列{a n}满足S n=2n-a n(n∈N+).(1)计算a1,a2,a3,a4,并由此猜想通项公式a n.(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.【解析】(1)a1=1,a2=,a3=,a4=,由此猜想a n=(n∈N+).(2)当n=1时,a1=1,结论成立.假设n=k(k≥1)时,结论成立,即a k=,那么当n=k+1时,a k+1=S k+1-S k=2(k+1)-a k+1-2k+a k=2+a k-a k+1.所以2a k+1=2+a k,所以a k+1===.这表明当n=k+1时,结论成立.所以a n=(n∈N+).一、选择题(每小题5分,共10分)1.用数学归纳法证明:1+++…+<n(n∈N+且n>1)第一步验证n=2时,左边的项为 ( )A.1B.1+C. D.1++【解析】选D.当n=2时,左边最后一项为=,所以左边的项为1++.2.(2016·济南高二检测)已知数列的前n项和为S n,且S n=2n-a n(n∈N*),若已经算出a1=1,a2=,则猜想a n= ( )A. B.C. D.【解析】选D.因为a1=1,a2=,由S3=1++a3=6-a3,所以a3=,同理,a4=.猜想,得a n=.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016·太原高二检测)在△ABC中,不等式++≥成立;在四边形ABCD中,不等式+++≥成立;在五边形ABCDE中,不等式++++≥成立.猜想在n边形A1A2…A n中,类似成立的不等式为__.【解析】由题中已知不等式可猜想:+++…+≥(n≥3且n∈N*).答案:+++…+≥(n≥3且n∈N*)4.设a,b均为正实数,n∈N+,已知M=(a+b)n,N=a n+na n-1b,则M,N的大小关系为_.【解析】由贝努利不等式(1+x)n>1+nx(x>-1,且x≠0,n>1,n∈N+),知当n>1时,令x=,所以>1+n·,所以>1+n·,即(a+b)n>a n+na n-1b,当n=1时,M=N,故M≥N.答案:M≥N三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2016·苏州高二检测)已知函数f(x)=x3-x,数列{a n}满足条件:a1≥1,且a n+1≥f′(a n+1),证明:a n≥2n-1(n∈N+).【证明】由f(x)=x3-x,得f′(x)=x2-1.因此a n+1≥f′(a n+1)=(a n+1)2-1=a n(a n+2).(1)当n=1时,a1≥1=21-1,不等式成立.(2)假设当n=k(k≥1)时,不等式成立,即a k≥2k-1.当n=k+1时,a k+1≥a k(a k+2)≥(2k-1)(2k-1+2)=22k-1.又k≥1,所以22k≥2k+1,所以当n=k+1时,a k+1≥2k+1-1,即不等式成立.根据(1)和(2)知,对任意n∈N+,a n≥2n-1都成立.6.在数列{a n}中,a1=2,a n+1=a n+2n+1(n∈N+).(1)求证{a n-2n}为等差数列.(2)设数列{b n}满足b n=2log2(a n+1-n).(n∈N+)证明:…>(n∈N+).【证明】(1)由a n+1=a n+2n+1得(a n+1-2n+1)-(a n-2n)=1,因此{a n-2n}是等差数列.(2)a n-2n=(a1-2)+(n-1)=n-1,即a n=2n+n-1,b n=2log2(a n+1-n)=2n.下面用数学归纳法证明···…·>.①当n=1时,左端=>=右端,不等式成立;②假设n=k(k≥1)时不等式成立,即···…·>,当n=k+1时,···…··>·==>.由①②知不等式···…·>对于一切n∈N+都成立.。

考前过关训练(一)不等式和绝对值不等式(35分钟 60分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.已知x≥,则f(x)=有 ( )A.最大值B.最小值C.最大值1D.最小值1【解析】选D.因为x≥,所以x-2≥.所以f(x)==(x-2)+≥2=1,当且仅当=,即x=3时,等号成立,所以f(x)min=1.2.若a>b>c,则一定成立的不等式是 ( )A.a|c|>b|c|B.ab>acC.a-|c|>b-|c|D.<<【解析】选C.当c=0时,A不成立;当a<0时,B不成立;当a=1,c=-1时,D不成立.因为a>b,所以C成立.3.不等式|sinx+tanx|<a的解集为N,不等式|sinx|+|tanx|<a的解集为M,则解集M与N的关系是 ( )A.N?MB.M?NC.M=ND.MüN【解析】选B.因为|sinx+tanx|≤|sinx|+|tanx|,则M?N(当a≤0时,M=N=?),故选B.4.不等式3<|5-2x|≤9的解集为 ( )A.[-2,1)∪[4,7)B.(-2,1]∪(4,7]C.(-2,-1]∪[4,7)D.[-2,1)∪(4,7]【解析】选D.由得所以得[-2,1)∪(4,7]5.(2016·上饶高二检测)若关于x的不等式-<a2-4a有实数解,则实数a的取值范围为 ( )A.(1,3)B.(-∞,1)∪(3,+∞)C.(-∞,-3)∪(-1,+∞)D.(-3,-1)【解析】选B.设f(x)=|x+1|-|x-2|.(1)当x<-1时,f(x)=-(x+1)+x-2=-3.(2)当-1≤x<2时,f(x)=x+1+x-2=2x-1,此时-3≤f(x)<3.(3)当x≥2时,f(x)=x+1-(x-2)=3.综上:函数f(x)=|x+1|-|x-2|的最小值是-3;关于x的不等式-<a2-4a有实数解等价于-3<a2-4a,即a2-4a+3>0,解得a<1或a>3.6.当x>1时,不等式x-2+≥a恒成立,则实数a的取值范围是 ( )A.(-∞,0]B.[0,+∞)C.[1,+∞)D.(-∞,1]【解析】选D.由已知得a≤.因为x>1,所以x-1>0,所以x-2+=x-1+-1≥2-1=1,所以=1,所以a≤1.二、填空题(每小题4分,共12分)7.已知x2+2y2=1,则x2y4-1的最大值是________.【解析】因为x2+2y2=1,所以x2+y2+y2=1,又x2·y2·y2≤=.所以x2y4-1≤-1=-,故x2y4-1的最大值为-.答案:-8.已知不等式(x+y)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为________.【解题指南】先求(x+y)的最小值,只需≥9即可. 【解析】(x+y)=1+a++≥1+a+2,所以1+a+2≥9,即a+2-8≥0, 故a≥4.答案:49.如果关于x的不等式|x-2|+|x+3|≥a的解集为R,则a的取值范围是__________.【解析】|x-2|+|x+3|表示数轴上的x点到2和-3点的距离之和,其最小值等于5,故当a≤5时关于x的不等式|x-2|+|x+3|≥a的解集为R.答案:(-∞,5]三、解答题(每小题10分,共30分)10.设不等式|x+1|≤a的解集为A,不等式|x-1|+|2-x|>2的解集为B,若A∪B=R,求实数a的取值范围.【解题指南】求解|x+1|≤a,需要对a进行分类讨论.【解析】当a<0时,集合A=;当a≥0时,集合A={x|-a-1≤x≤a-1}.可求得集合B=.因为A∪B=R,所以a≥0.此时A={x|-a-1≤x≤a-1}.把集合A,B在数轴上表示出来,如图,因此有-a-1≤且≤a-1,即a≥.因此,所求a的取值范围为.11.(2016·郑州高二检测)已知函数f(x)=|2x-1|+|x-2a|.(1)当a=1时,求f(x)≤3的解集.(2)当x∈[1,2]时,f(x)≤3恒成立,求实数a的取值范围.【解析】(1)当a=1时,原不等式可化为|2x-1|+|x-2|≤3,依题意,当x>2时,不等式即3x-3≤3,则解得x≤2,综合可得,x无解.当≤x≤2时,不等式即x+1≤3,解得x≤2,综合可得,≤x≤2.当x<时,不等式即3-3x≤3,解得x≥0,综合可得0≤x<.综上所述:原不等式的解集为[0,2].(2)原不等式可化为|x-2a|≤3-|2x-1|,因为x∈[1,2],所以|x-2a|≤4-2x,即2x-4≤2a-x≤4-2x,故3x-4≤2a≤4-x,对x∈[1,2]恒成立,当1≤x≤2时,3x-4的最大值2,4-x的最小值2,所以a=1,即a的取值范围为{1}.12.某集团投资兴办甲、乙两个企业,2014年甲企业获得利润320万元,乙企业获得利润720万元,以后每年甲企业的利润以上年利润 1.5倍的速度递增,而乙企业是上年利润的.预期目标为两企业年利润之和是1600万元,从2014年年初起:(1)哪一年两企业获利之和最小?(2)需经过几年即可达到预定目标(精确到1年)?【解析】(1)设从2014年起,第n年获利为y n=320+720≥2=2×480=960,当且仅当320·=720,即·=,n=2时取等号.所以第二年,即2015年两企业获得利润之和最少,共960万元.(2)依题意有:320+720≥1600, 即4+9≥20.设=t(t≥1),则原不等式化为4t2-20t+9≥0,解得t≥,或t≤(舍去).于是≥,n≥1+lo=2+lo3>2+lo=4.所以n=5,即经过5年可达到预期目标.。