【开题报告】常微分方程在数学建模中的应用

数学建模在常微分方程中的应用常微分方程是数学中一个重要的研究领域，它描述了物理、工程等各个领域中的许多现象和问题。

数学建模是将实际问题抽象为数学模型，通过数学方法来研究和解决这些问题。

在常微分方程中，数学建模的应用有着重要的地位。

数学建模在常微分方程中的应用，首先体现在对实际问题的建模过程中。

常微分方程可以描述许多现象，例如生物学中的人口增长问题、化学反应动力学、电路中的电流变化等等。

通过对实际问题的观察和分析，可以建立相应的常微分方程模型。

数学建模的主要任务是确定模型中的方程形式和参数值。

这一过程需要深入了解实际问题的背景和特性，结合数学的方法和技巧，确定合适的数学模型。

数学建模在常微分方程中的应用还体现在对方程的求解和分析过程中。

常微分方程一般是通过解析方法或数值方法来求解。

对于一些简单的常微分方程可以通过分离变量、变量代换等方法直接求解。

但是对于一些复杂的常微分方程，求解比较困难甚至无解析解。

此时，数值方法就发挥了重要的作用，如欧拉法、龙格-库塔法等。

数值方法通过数值逼近和计算机模拟，求得近似解，能够克服解析解的困难。

数学建模在常微分方程中的应用还包括对方程解的分析和结果的验证。

对于一些简单的常微分方程，可以通过对解的性质和图像特征的分析来得到对问题的深入理解。

通过对解的稳定性和渐近行为的分析，可以得到对系统行为的预测。

而对于一些复杂的常微分方程，数值解可以作为解的近似，对结果进行验证。

通过比较数值解和解析解（如果存在）的差异，可以评估数值方法的精确度和可靠性。

数学建模在常微分方程中的应用有着重要的作用。

它是将实际问题抽象为数学模型的过程，是求解和分析常微分方程的方法和手段。

通过数学建模，可以对实际问题进行深入理解，提供对问题的解决方案和预测。

数学建模和常微分方程的相互关系也促进了数学和其他学科的交叉和发展。

数学建模的发展对于常微分方程的研究和应用提供了更广阔的空间和方法，对各个领域的科学研究和工程实践具有重要的指导意义。

数学建模在常微分方程中的应用
数学建模是指运用数学方法和技巧分析和解决实际问题的过程。

在数学建模中，常微分方程是一个重要的工具，它用于描述许多实际问题中的变化和发展。

下面将介绍常微分方程在数学建模中的应用。

常微分方程可以用来描述许多自然科学和工程科学中的变化和发展过程。

描述物理学中的运动、天文学中的行星运动和混合和反应过程等。

它们还可以用于解决实际问题，如人口增长、疾病传播、金融模型和生态系统动力学等。

常微分方程的一个重要应用领域是物理学。

在经典力学中，可以通过常微分方程来描述物体在外力作用下的运动。

牛顿第二定律可以用常微分方程的形式表示为：
m*d^2x/dt^2 = F(x,t)
其中m是物体的质量，dx/dt是物体的速度，F(x,t)是物体受到的外力。

这个方程可以用来研究物体的运动轨迹和速度随时间的变化。

常微分方程在工程科学中也有广泛的应用。

热传导方程可以用常微分方程的形式表示为：
d(theta)/dt = k*d^2(theta)/dx^2
其中theta是温度分布，t是时间，k是热传导系数，x是空间位置。

这个方程可以用来研究材料中的温度分布和传热过程。

在生物学和生态学中，常微分方程被用来描述生物种群的增长和相互作用。

Lotka-Volterra方程可以用常微分方程的形式表示为：
dN/dt = r*N - a*N*P
dP/dt = -b*P + c*N*P
其中N是捕食者的数量，P是猎物的数量，t是时间，r、a、b和c是常数。

这个方程可以用来研究捕食者和猎物种群之间的相互作用和稳定性。

常微分方程理论在数学建模中的简单应用摘要：众所周知，自然界中一切物质都按照自身的规律在运动和演变，不同物质的运动规律总是在时间和空间中运动着的，虽然物质的运动形式千差万别，但我们总可以找到它们共性的一面，即具有共同的量的变化规律。

为了能够定性和定量的研究一些特定的运动和演变过程，就必须将物质运动和演变过程中相关的因素进行数学化。

这种数学化的过程就是数学建模的过程，即根据运动和演变规律找出不同变量之间互相制约、互相影响的关系式。

由于大量的实际问题中，稍微复杂一些的运动过程往往不能直接写出他们的函数，却容易建立变量及其导数(或微分)间的关系式，即微分方程。

微分方程描述的是物质运动的瞬时规律。

将常微分方程应用于数学建模是因为常微分方程理论是用数学方法解决实际问题的强有力的工具，是一门有着重要背景应用的学科，具有悠久的历史，系统理论日臻完善，而且继续保持着进一步发展的活力，其主要原因是它的根源深扎在各种实际问题中。

关键词：常微分方程，常微分方程模型，稳定性，数学建模正：１数学建模简介对复杂现象进行分析，用数学语言来描述其中的关系或规律，抽象出恰当的数学关系，并将其实际问题转化成为一个数学问题，同时运用数学系统的知识方法对数学问题进行求解，对现实问题作出解释的过程，这就是数学建模…。

与数学不同，构建数学模型的过程不仅要对复杂的问题进行提炼、归纳和总结而且还应进行演绎推理。

所以构建数学模型的过程也是一个演绎推理与归纳总结相结合的过程。

对现实问题的观察、假设、归纳，怎样将其化为一个数学问题是数学建模的关键。

但这仅仅是数学建模的开始，完整的数学建模过程还应求解数学问题并能得到所要求的解。

同时还应看到得出的解是否与数据或实际经验相吻合，是否能解释实际问题；否则，还应重新修正。

２常微分方程和数学建模结合的特点通常在建立对象的动态模型时，应对不同的实际对象建立不同的并与之相适合的数学模型。

首先要具体的问题具体分析对建模的目的应该做出简化的假设，而后还要依照对可以类比的其它对象的规律或者其对象内在的微分方程进行解题并求出这一方程的解，这样才能将其结果反馈回实际的对象，然后再进行预测或控制，描述与分析。

常微分方程在数学建模中的应用
常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）是一类用来描述物理系统动态变化的方程。

它们在数学建模中有广泛的应用，可以用来描述各种各样的系统，包括力学系统、电学系统、热学系统、生物学系统等等。

举个例子，假设你想描述一个物体在受到重力作用力时的运动轨迹。

这个问题可以用常微分方程来解决，具体来说，你可以用下面的方程来描述物体的运动：
其中，x 是物体的位置，t是时间，g 是重力加速度。

这个方程表示物体受到重力作用力时的加速度，根据牛顿第二定律，加速度等于作用力除以质量。

因此，这个方程可以用来描述物体在受到重力作用力时的运动轨迹。

常微分方程还可以用来描述其他类似的问题，例如：
•电路中的电流和电压的变化
•化学反应过程中物质浓度的变化
•振动系统中振动的频率和振幅的变化
•生物学系统中生物体内激素浓度的变化
总的来说，常微分方程在数学建模中有着广泛的应用。

它们可以用来描述各种各样的物理系统的动态变化，并且通常都有解析解或者近似解的存在。

此外，常微分方程还有很多的数学理论，可以用来解决常微分方程的特殊情况。

尽管常微分方程在数学建模中有着广泛的应用，但它们也有一些局限性。

例如，常微分方程通常假设系统是连续的、平滑的，并且忽略了离散的、非连续的现象。

在这些情况下，常微分方程可能不再适用。

因此，在使用常微分方程进行数学建模时，需要谨慎考虑是否适用。

微分方程应用1 引言常微分方程的形成与发展和很多学科有着密切的联系，例如力学、天文学、物理学等.数学的其他分支的快速发展，产生出很多新兴学科，这些新兴学科的产生都对常微分方程的发展有着深刻的影响，而且当前计算机的快速发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具.数学解决实际问题就必须建立模型，而数学建模就是把数学语言描述实际现象的过程.利用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分重要的一步，但是也是最困难的一步.建立数学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程.要通过大量调查、收集相关数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题.因此本文先简要介绍了如何建立微分方程模型，并通过具体的实例来简单地介绍了微分方程在数学建模中的应用.2 数学模型简介通常我们把现实问题的一个模拟称为模型．如交通图、地质图、航空模型和建筑模型等．利用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等来模拟现实的模型称为数学模型．数学模型在实际生活中经常碰到，如求不规则图形的面积，可建立定积分的数学模型，求变化率的问题可建立导数模型，统计学中抽样调查，买彩票中奖的概率问题等等．学会建立数学模型对解决实际生活问题会有很大的帮助．建立数学模型是沟通摆在面前的实际问题与数学工具之间联系的一座必不可少的桥梁．随着科学技术的进步，特别是电子计算机技术的迅速发展，数学已经渗透到从自然科学技术到工农业生产建设，从经济生活到社会生活的各个领域．一般地说，当实际问题需要我们对所研究的现实对象提供分析、预报、决策、控制等方面的定量结果时，往往都离不开数学的应用，而建立数学模型则是这个过程的关键环节．3 常微分方程模型3．1 常微分方程的简介微分方程的发展有着渊远的历史．微分方程和微积分产生于同一时代，如苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解.牛顿在建立微积分的同时就对简单的微分方程用级数来求解.后来，瑞士数学家雅各布·贝努、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程理论.纵观微分方程的发展史，我们发现微分方程与物理、天文学以及日异月新的科学技术有着密切的联系.如牛顿研究天体力学和机械力学的时候，就利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动的规律.后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置.而这些都证明微分方程在改造自然和认识自然方面有着巨大的力量.微分方程是自变量、未知函数及函数的导数(或微分)组成的关系式．在解决实际问题的过程中，我们又得出了常微分方程的概念：如果在一个微分方程中出现的未知函数中只含有一个自变量，那么这个方程则称为常微分方程，也可以简单的叫做微分方程.在反映客观现实世界运动过程的量与量之间的关系中，大量存在满足微分方程关系似的数学模型，需要我们通过求解常微分方程来了解未知函数的性质．常微分方程是解决实际问题的重要工具.3．2 常微分方程模型示例数学模型按照建立模型的数学方法可以分为初等数学模型、几何模型、微分方程模型、图论模型、马氏链模型和规划论模型等．当我们描述实际对象的某些特性随时间(或空间)而演变的过程，分析它的变化规律，预测他的未来性态时，通常要建立对象的动态模型，即微分方程模型．建立微分方程模型就是把物理、化学、生物科学、工程科学和社会科学中的规律和原理用含有待定函数的导数或微分的数学关系式表示出来．下面我们由浅入深地介绍一些微分方程模型．例1 细菌的增长率与总数成正比．如果培养的细菌总数在24h内由100增长为400，那么，前12h后总数是多少？解：第一句话说的是在任何瞬间都成立的事实；第二句话给出的是特定瞬间的信息．如果我们用)y表示总数，第一句话告诉我们(tky dtdy = 它的通解为kt y Ae =A 和k 这两个常数可以由问题中第二句话提供的信息计算出来，即,100)0(=y (3.1) 和 ,400)24(=y (3.2) 其中t 的单位为小时．(3.1)意味着.100)0(0===A Ae y(3.2)意味着.400100)24(24==k e y它给出 .24)4(ln =k 故 .100)(244ln t e t y =要我们求的是200100)12(4ln )2412(==e y 个细菌．例 2 将室内一支读数为 60的温度计放到室外．10min 后，温度计的读数为 70；又过了10min ，读数为 76.先不用计算，推测一下室外的温度.然后利用牛顿的冷却定律计算出正确的答案．牛顿的冷却定律或称加热定律是：将温度为T 的物体放进处于常温m 的介质中时，T 的变化速率正比于T 与周围介质的温度差．在这个数学模型中，假定介质足够大，从而，当放入一个较热或较冷的物体时，m 基本上不受影响．实验证明，这是一个相当好的近似．解 显然，对于这个题首先要做的是了解牛顿定律的含义，这已经做过了。

常微分方程在数学建模中的应用首先是物理方面。

在物理学中，常微分方程广泛应用于描述运动、波动、电磁学、量子力学等问题。

例如，牛顿第二定律可以用常微分方程的形式表示为：\[m \frac{{d^2x}}{{dt^2}} = F(x,t)\]其中m为质量，x为位置，t为时间，F(x,t)为力。

这个方程可以用来描述物体的运动。

另一个例子是振动方程，可以通过常微分方程来描述弹簧振子、简谐振动等。

生物方面是另一个常见的应用领域。

生物学中经常需要对生物体的增长、衰退、群体动态等问题进行建模。

而常微分方程可以很好地描述这些问题。

例如，布鲁塞尔方程是描述细菌群体增长的常微分方程模型。

该模型使用了增长速率与细菌种群密度之间的关系。

通过求解布鲁塞尔方程，我们可以预测细菌的增长趋势，并为控制细菌的增长提供依据。

此外，常微分方程还可以在生物学中应用于描述神经网络、生物化学反应等。

经济方面也是常微分方程的应用领域之一、经济学中的一些重要问题，如经济增长、通货膨胀、利率变动等，都可以通过常微分方程进行建模和分析。

例如，Solow增长模型是描述经济增长的常微分方程模型。

该模型考虑了资本积累和技术进步对经济增长的影响。

通过求解Solow增长模型，我们可以分析经济增长的稳定状态、长期趋势和影响经济增长的因素。

除了物理、生物和经济学，常微分方程还可以在其他领域中应用。

例如，环境科学中可以通过常微分方程描述污染物的传输和扩散过程；工程学中可以应用常微分方程来描述振动、控制系统等问题。

此外，计算机科学中的数值方法也广泛应用于求解常微分方程的数值解。

总而言之，常微分方程在数学建模中的应用非常广泛，涵盖了物理、生物、经济等多个领域。

通过对常微分方程的求解和分析，我们可以获得有关问题的定量结论，并为问题的解决和决策提供支持。

数学建模在常微分方程中的应用数学建模是利用数学工具和方法对实际问题进行描述、分析和解决的过程。

在实际应用中，数学建模可以用来描述和分析各种自然现象和社会现象，其中常微分方程是数学建模中经常使用的工具之一。

常微分方程描述了变量之间的关系和变化规律，广泛应用于物理、经济、生态、生物等领域。

本文将着重介绍数学建模在常微分方程中的应用，以及其在各个领域中的重要意义。

一、常微分方程的基本概念在介绍数学建模在常微分方程中的应用之前，首先我们需要了解一些常微分方程的基本概念。

常微分方程是描述一个或多个未知函数的导数和自变量之间的关系的方程。

一阶常微分方程一般形式为dy/dx = f(x, y)，其中y是未知函数，x是自变量，f(x, y) 表示y的导数关于 x 和 y 的函数。

解一阶常微分方程就是找到一个函数y(x)，满足对应的微分方程。

常微分方程可以分为线性和非线性两类。

线性常微分方程一般形式为dy/dx + p(x)y = q(x)，其中p(x)和q(x)是已知函数，y是未知函数。

非线性常微分方程则是除线性方程以外的方程形式，它们通常更为复杂，很难找到通解。

二、数学建模在物理领域中的应用在物理领域，常微分方程的应用十分广泛。

从牛顿的运动定律到电磁场的描述，都可以通过常微分方程建模。

二阶常微分方程描述了谐振子的运动，可以用来研究弹簧振子的振动规律；而洛伦兹方程描述了流体力学中混沌系统的行为，对于天气预报和气候变化的研究产生了重要影响。

常微分方程还可以用来描述电路中的电流、电压变化，热传导和扩散过程等。

在这些问题中，常微分方程的建模和求解对于优化设计、性能分析和系统控制都具有重要意义。

生态学是研究生物与其环境相互作用的学科，常微分方程在生态学领域中也有重要的应用。

Lotka-Volterra方程是描述捕食者和食饵种群动态的模型，通过求解这些方程可以预测不同种群的数量随时间的变化规律，对生态系统的保护和管理有很大帮助。

常微分方程的解法在数学建模中的应用
常微分方程的解法在数学建模中有广泛的应用，涉及到许多领域，如物理学、经济学、生物学、工程学等。

以下介绍其中一些应用：
1. 物理学模型：在物理学建模中，常微分方程可以用来描述射线的传播，弹性杆的变形，振动的周期等。

如著名的二阶线性微分方程 y''+by'+ky=0 可以用来描述简谐振动，而 y'+ky=0 可以用来描述自由阻尼振动。

2. 经济学模型：经济学中很多模型，如经济增长模型、消费模型、储蓄模型等都可以用常微分方程来描述。

经济模型一般包含多个变量，每个变量都可以用常微分方程来表示，构成一组微分方程组，从而得到系统的解析解。

3. 生物学模型：常微分方程也是生物学建模中最常用的工具之一。

生物学中很多现象如人口增长、病毒传播、生物物种的竞争和合作等都可以用常微分方程来描述。

4. 工程学模型：工程学中，常微分方程可以用来描述控制系统中的动态行为，例如控制电路、城市交通流、水力系统等。

综上所述，常微分方程的解法在数学建模中有广泛的应用，能够帮助科学家和工程师更好地预测和解决现实生活中的问题。

件二: 个体获得免疫是永久的, 这意味着假若某个个体获得免疫, 他们将永远不会再感染. 这种模型适合于滤过性霉菌引起的流行病, 如麻疹、天花、腮腺炎等; 条件三: 易感人群的减少速度与易感人群和被感染者数量的乘积呈正比. 条件四: 恢复者的增长速度与被感染者的数量成正比. 后来在SIR模型考虑3类个体的基础上, 增加了1类个体: 已感染但处于潜伏期未发病者. 上述4类个体及描述其相互关系的常微分方程组构成新的传染病动力学模型: SEIR模型.近几年, 人们用数学方法来研究传染病的发病机理、动态过程和发展趋势, 已逐步成为一个活跃的研究领域. 在国外, 数学预测模型已经能够成功地应用于生物分子水平, 模拟体内病毒的复制及半衰期, 让我们更加全面地认识并了解了传染病的感染机制. 而我们的国内学者吴开琛等也成功的把该模型应用于非典型肺炎(SARS)的研究, 并在此基础上提出5分室模型, 即: SEIDR, 其中的D(death)为人群中感染发病者不治死亡的.本文是利用SIR模型来研究传染病问题的, 由于传染病流行过程的研究与其他学科有所不同, 不能通过在人群中实验的方式来获得数据, 所以有关传染病的数据、资料只能从已有的传染病流行的报告中获取, 这些数据往往不够全面, 难以根据这些数据来准确地确定参数, 只能大概估计其范围.这次论文主要是通过全面调查、收集相关的数据资料, 有效应用常微分方程和数学建模的相关知识, 并充分利用图书馆和互联网上的丰富的资源来建立SIR模型, 在对建立好的数学模型进行定量和定性的分析与探究的过程中, 观察和研究实际对象的固有特征和内在规律, 抓住问题的主要矛盾, 对当今社会中经常爆发的传染病建立常微分方程模型并利用常微分方程和数学建模的相关知识对它分别进行分析和研究, 探讨了它的传播规律以及影响它们流行的因素、预测可能发生的后果及如何抑制其流行或恶化. 这个模型的建立及探究说明了在反映客观现实世界运动过程的量与量之间的关系中, 大量存在了满足常微分方程关系式的模型, 需要我们通过求解常微分方程来了解未知函数的性质, 常微分方程是解决实际问题的重要工具. 所建立的模型, 在常微分方程的观点剖析下, 充分展现现代社会生活中常微分方程应用.二、研究的基本内容, 拟解决的主要问题研究的基本内容：利用常微分方程与数学建模的知识建立SIR模型解决的主要问题：1 对建好的SIR模型进行定量和定性的分析2 探讨传染病传播的规律以及影响它流行的因素3 预测可能发生的后果以及如何抑制其流行或恶化三、研究步骤、方法及措施研究步骤：查阅相关资料, 做好笔记;仔细阅读研究文献资料;在老师指导下, 确定整个论文的思路, 列出论文提纲, 撰写开题报告;翻译英文资料;开题报告通过后, 撰写毕业论文;上交论文初稿;反复修改论文, 修改英文翻译, 撰写文献综述;论文定稿.方法、措施：通过到图书馆、上网等查阅收集资料,参考相关内容.在老师指导下, 归四、参考文献[1]May RM et al, Nature [J]. Nature Publishing Group, 1979, 180: 455~461.[2]Langlais M et al, Math Comp Model [J].Elsevier Science, 2000, 31: 117~124.[3]陈文江, 吴开琛等. 运用数学模型探讨SARS聚集性传播的机制[J].中国热带医学,2004, 4(1): 221~228.[4]王高雄,周之铭等. 常微分方程[M]. 北京:高等教育出版社, 2006, 01: 131~135.[5] 丁慧,王亚男. 从实践教学中谈常微分方程的发展及其应用[J]. 科学时代, 2010,4(1): 121~123.[6] 赵静, 但琦等. 数学建模与数学实验[M]. 北京: 高等教育与出版社, 2008, 01:26~31.[7]查淑玲. 传染病的SIR模型[J]. 山西中医学院学报, 2003, 4(2): 52~58.[8] 黄其春. 亚健康的产生及解决对策[J]. 广西中医学院学报, 2002, 03: 32~38.[9] 王育学. 亚健康问题纵横谈[J]. 解放军健康, 2005, 01: 55~61.[10] 阳凌云,符云锦. 一阶线性微分方程组的解法新探[J]. 湖南工业大学学报, 2010,1(1): 68~72。

数学建模在常微分方程中的应用数学建模是将现实世界中的问题用数学语言表示和解决的过程，而在这一过程中，常微分方程则是数学建模中最常用的工具之一。

常微分方程描述了自变量与因变量及其导数之间的关系，而在实际应用中，常微分方程被广泛用于描述各种变化和动力学系统，如物理、生物、经济学等领域。

在本文中，我们将介绍一些常微分方程在数学建模中的应用，并讨论其重要性和意义。

常微分方程在生物学和生态学中扮演着至关重要的角色。

人口增长模型可以用常微分方程描述，这些模型不仅可以帮助我们预测未来的人口数量，还可以提供人口增长对资源利用和环境变化的影响。

常微分方程也被用于描述化学反应和自然界中的各种生物过程，比如鱼群的迁徙、细胞的增殖和死亡等。

通过数学建模和常微分方程分析，我们可以更好地理解这些生物和生态系统的行为规律，为保护生态环境和可持续发展提供科学依据。

常微分方程在物理学中也有着重要的应用。

牛顿第二定律描述了运动物体的运动规律，它可以通过常微分方程的形式表示为F=ma，其中F是作用在物体上的力，m是物体的质量，a是物体的加速度。

这个简单的方程描述了物体随时间的位置和速度的变化，为我们理解宇宙中的运动和力学系统提供了重要工具。

电路中的电流和电压、谐振子的运动等现象也可以通过常微分方程进行描述和分析，在工程和技术应用中有着广泛的应用价值。

常微分方程还在经济学和金融学中有着重要的应用。

经济增长模型、货币供应和通货膨胀等经济现象，都可以通过常微分方程进行建模和分析。

在金融领域，股票价格波动、利率变化和金融衍生品的定价等问题也可以通过常微分方程进行描述和预测。

这些模型不仅可以帮助我们理解经济和金融系统的运行机制，还可以提供决策者制定政策和管理风险的依据。

在实际的数学建模过程中，常微分方程不仅是描述现象和问题的工具，更重要的是它们可以通过解析或数值方法进行求解，从而得到对问题的深入理解和有效预测。

通过求解微分方程可以得到系统的稳定性、平衡点、周期解等重要信息，从而为我们提供了优化系统和设计控制方法的依据。

论常微分方程在数学建模中的应用摘要：常微分方程的形成和发展与去多学科密切相关，诸如力学、天文学等。

如果想用数学解决实际问题，就必须建立模型。

本文重点介绍了常微分方程理论与数学建模结合起来，在人口预测中的应用。

关键词：常微分方程数学建模人口预测引言纵观微分方程的发展史，我们发现微分方程与物理、天文学以及日异月新的科学技术有着密切的联系。

牛顿在研究天体力学和机械力学的时候，就利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动的规律。

后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。

这些都证明微分方程在改造自然和认识自然方面有着巨大的力量。

微分方程是自变量、未知函数及函数的导数(或微分)组成的关系式。

在解决实际问题的过程中，我们又得出了常微分方程的概念：如果在一个微分方程中出现的未知函数中只含有一个自变量，那么这个方程则称为常微分方程，也可以简单的叫做微分方程.在反映客观现实世界运动过程的量与量之间的关系中，大量存在满足微分方程关系似的数学模型，需要我们通过求解常微分方程来了解未知函数的性质。

常微分方程是解决实际问题的重要工具。

常微分方程在数学建模中的应用举例微分方程在数学建模中的应用大体是：首先，建立数学模型，根据问题的目的、要求具体分析做出相应的简化和假设；然后按照规律列出微分方程，求出方程的解；最后将实际对象带入结果中，对问题进行描述、分析、预测和控制。

2.1人口指数增长模型最简单的人口增长模型是：记今年人口为，年后人口为，年增长率为，则(4.1)这个公式的基本前提是年增长率保持不变。

二百多年前英国人口学家马尔萨斯调查了英国一百多年的人口统计资料，得出了人口的增长率是常数的假设，并据此建立了著名的人口指数增长模型。

记时刻的人口为，当考察一个国家或一个较大地区的人口时，是一个很大的整数，为了利用微积分这一数学工具，将视为连续、可微函数。

记初始时刻的人口为，假设人口增长率为常数，即单位时间内的增量与的比例系数。

２００８年２第１１卷・第２期宿州教育学院学报一、引言数学建模（ＭａｔｈｍａｔｉｃａｌＭｏｄｅｌｉｎｇ）是用数学方法解决各种实际问题的桥梁，随着计算机的发明和计算机技术的飞速发展，数学的应用日益广泛，数学建模的作用也越来越重要，而且已经渗透到各个领域，可以毫不夸张的说，数学和数学建模无处不在。

数学建模的分类方法有许多种，按照建模所应用的数学方法不同，可分为：初等模型，运筹学模型，微分方程模型，概率统计模型，控制论模型等。

在数学建模中，数学模型的建立尤为重要，只有建立了模型，才能进行其他的工作。

微分方程作为数学科学的中心学科，已经有３００多年的发展历史，其解法和理论已日臻完善，可以为分析和求得方程的解（或数值解）提供足够的方法，使得微分方程模型具有极大的普遍性、有效性和非常丰富的数学内涵，微分方程建模对于许多实际问题的解决是一种极有效的数学手段。

对于现实世界的变化，人们关注的往往是其变化速度、加速度以及所处位置随时间的发展规律，其规律一般可以用微分方程或方程组来表示。

二、常微分方程在数学建模中的应用当我们描述实际对象的某些特性随时间（或空间）而演变的过程、分析它的变化规律、预测它的未来状态、研究它的控制手段时，通常要建立对象的动态模型。

建模时首先要根据建模目的和对问题的具体分析做出简化假设，然后按照对象内在的或可以类比的其他对象的规律列出微分方程，求出方程的解并将结果翻译回实际对象，就可以进行描述、分析、预测或控制了。

下面我们就通过几个例子来说明这一过程。

１．传染病模型随着卫生设施的改善、医疗水平的提高以及人类文明的不断发展，诸如霍乱、天花等曾肆虐全球的传染性疾病已经得到有效的控制。

但是一些新的、不断变异着的传染病毒却悄悄向人类袭来。

２０世纪８０年代艾滋病毒开始肆虐全球，至今仍在蔓延；２００３年春来历不明的ＳＡＲＳ病毒突袭人间，给人民的生命财产造成极大的危害；２００５年禽流感病毒爆发，再次威胁人民生命财产安全。

常微分方程在数学建模中的应用【完整版】(文档可以直接使用，也可根据实际需要修订后使用,可编辑放心下载）目录摘要 (2)1引言 (3)2 常微分方程的开展概况 (3)3 数学建模简介 (4)4 常微分方程和数学建模结合的特点 (4)5 常微分方程在数学建模中的应用 (4)5.1 建立微分方程的方法 (5)5.2市场价格模型 (6)5.3广告模型 (8)5.4人口预测模型 (10)5.5混合溶液的数学模型 (12)5.6振动模型 (13)5.7教育问题模型 (17)6 总结 (20)参考文献 (21)常微分方程在数学建模中的应用摘要常微分方程是在17世纪伴随着微积分而开展起来的一门具有重要应用价值的学科.它是研究连续量变化规律的重要工具，是众多实际问题与数学之间联系的重要桥梁.在历史上，牛顿正是通过求解常微分方程证实了地球绕太阳运动的轨道是椭圆；天文学家通过常微分方程的计算，预见了海王星的存在.随着工业化的进展，常微分方程在航海、航空工业生产以及自然科学的研究中发挥了重要作用.计算机和计算技术的开展,使微分方程的求解突破了经典方法的局限,迈向数值计算和图像模拟,这为微分方程的应用提供了更为广阔的天地和有效手段,也使得建立数学模型显得尤为重要.本文主要从市场价格模型、广告模型、人口预测模型、混合溶液的数学模型、教育问题模型来论述常微分方程在数学建模中的应用。

关键字：常微分方程；数学建模；市场价格模型；广告模型；人口预测模型；混合溶液的数学模型；教育问题模型1引言在初等数学中，方程有很多种，比方线性方程、指数方程、对数方程、三角方程等，然而并不能解决所有的实际问题。

要研究实际问题就要寻求满足某些条件的一个或几个未知数方程。

这类问题的根本思想和初等数学的解方程思想有着许多的相似之处，但是在方程的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面依然存在很多不同的地方，为了解决这类问题，从而产生了微分方程。

常微分方程是许多理工科专业需要开设的根底课程，常微分方程与微积分是同时产生的，一开始就成为人类认识世界和改造世界的有力工具，随着生产实践和科学技术的开展，该学科已经演变开展为数学学科理论中理论联系实际的一个重要分支。

常微分在数学建模中的应用随着数学在各行各业的不断深入应用，数学模型也变得越来越重要。

常微分作为一种基本的数学工具，在各种数学建模中发挥着重要的作用。

本文将从定义、历史发展、应用以及当前常微分在数学模型中的应用四个方面系统地介绍常微分在数学建模中的应用。

首先从定义上来说，微分是一种描述变化的数学概念，常微分是指在一定的条件下，关于函数的变化率的一种数学描述。

它描述的是函数在给定点的变化率。

换句话说，它可以用来衡量函数变化的增加或减少的速度。

其次，常微分的历史发展。

常微分的发展可以追溯到古希腊时期，那时候，古希腊数学家就开始研究如何研究函数变化的速度。

在17世纪，法国数学家莱布尼兹发明了微积分，微积分是用来描述函数变化的一种数学工具，它是常微分的重要基础。

18世纪，英国数学家乔治·贝尔和爱德华·威尔逊发展了更为先进的微积分方法，开创了常微分的新时代。

第三，常微分在数学建模中的应用。

常微分可以用来描述函数变化，因此它可以用来描述各种物理现象，如物体的运动轨迹、流体的流动、电磁场的变化等。

此外，常微分还可以用来描述经济规律，如市场供求关系、个体收入分配、物价变化等。

在生物学领域，常微分也可以用来描述植物或动物的生长发育规律等。

最后，论述当前常微分在数学模型中的应用。

现在，常微分已经应用在许多研究领域，如机器学习、机器人科学、空间探索、环境科学、计算机视觉等。

例如，在机器学习中，常微分可以用来衡量模型的变化，从而更好地解决机器学习中的核心问题。

在机器人科学中，常微分也可以用来描述机器人的运动轨迹，从而更好地控制机器人的运动。

在空间探索中，常微分可以用来衡量宇宙空间中的变化，从而更好地探索宇宙的奥秘。

此外，常微分在环境科学和计算机视觉领域也发挥着重要作用。

综上所述，常微分是一种基本的数学工具，可以用来描述函数变化的变化率，并在各种数学建模中发挥着重要作用。

它已经发展成为多个学科的基础，在实际应用中得到了广泛的应用，可以说常微分在数学模型中发挥着重要的作用。

常微分方程在数学建模中的应用摘要：正文：数学建模概述建模定义：数学建模（Mathematical Modeling）就是通过计算得到的结果来解释实际问题，并接受实际的检验，来建立数学模型的全过程。

数学模型（Mathematical Model）是一种模拟，是用数学符号，数学式子，程序，图形等对实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻画，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。

数学模型一般并非现实问题的直接翻版，它的建立常常既需要人们对现实问题深入细微的观察和分析，又需要人们灵活巧妙地利用各种数学知识。

这种应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程就称为数学建模。

建模步骤：1.模型准备在解决一个问题之前，我们首先要弄清楚这个问题的具体含义，包含的数学关系。

需要求解的问题，限制条件和里面的逻辑关系。

用数学语言将这个问题进行翻译。

同时，要在图书馆或网上资料库找到相关文章，或数据支持。

加深自己对这个问题的理解的同时，也为下文的求解提供一定的理论支持和参考。

2.模型假设实际生活中的问题非常复杂，相关影响因素也特别多，我们不可能把所有的因素都考虑在内，往往需要通过假设忽略其中一些不重要、对结果影响小、发生几率不大、符合常识的假设。

通过这些假设对问题进行简化。

3.模型建立建立模型的过程就是对问题进行数学语言转化的过程，其中要注意模型尽可能地简单，不能太复杂，所运用的数学原理要适用于该问题。

而且尽可能转化成自己熟悉的，擅长的模型。

4.模型求解模型的求解往往要运用合适的数学软件，如SPSS，MATLAB，R，Lingo，Python 等。

根据自己的问题的不同类型选择合适的软件进行求解。

结果可能呈现出数据，图表，分析表等不同的形式。

5.模型检验进行模型检验时，通常通过利用已知过给数据和所给的一个相应结果检验模型的正确性。

如图像重建；预测模型可以通过以往数据进行检验；相关性问题通过R 值进行检验等。

常微分方程在数学建模中的应用常微分方程是数学中的一个重要分支，它研究描述自然现象中连续变化的函数的微分方程。

在数学建模中，常微分方程是一种常用的工具，用于描述和解释各种自然和社会现象。

本文将探讨常微分方程在数学建模中的应用，并详细介绍其中的一些具体案例。

首先，常微分方程在经济学建模中发挥着重要作用。

经济学中，人们经常使用常微分方程来描述经济系统中的变化。

例如，经济增长模型可以使用一阶线性常微分方程来描述。

这个方程中的未知函数是时间的函数，表示经济变量（如国内生产总值）的增长率。

通过求解这个方程，可以推导出经济增长模型中的稳定点、周期性和渐近行为等信息，从而对经济现象进行预测和分析。

其次，常微分方程在物理学建模中也有广泛的应用。

物理学中的许多自然现象可以用微分方程来描述，例如运动学、力学、光学等。

例如，一个简单的自由落体模型可以用一阶非线性微分方程来描述。

这个方程中的未知函数是时间的函数，表示物体的高度随时间的变化。

通过求解这个方程，可以推导出物体的运动轨迹、终止位置和速度等信息，从而对物理现象进行分析和预测。

此外，常微分方程在生物学建模中也有重要的应用。

生物学中的许多现象和过程可以用微分方程来描述，例如生物种群的增长、化学反应速率的变化等。

例如，一个简单的生物种群模型可以用一阶线性微分方程来描述。

这个方程中的未知函数是时间的函数，表示种群数量随时间的变化。

通过求解这个方程，可以推导出种群的稳定点、消亡速度和周期性等信息，从而对生物现象进行研究和分析。

最后，常微分方程还在工程学建模中广泛应用。

工程学中的许多问题，如电路、动力学系统、流体力学等，都可以用微分方程来描述。

例如，一个简单的电路模型可以用一阶非线性微分方程来描述。

这个方程中的未知函数是时间的函数，表示电流随时间的变化。

通过求解这个方程，可以推导出电流的稳定值、频率响应和幅频特性等信息，从而对电路的性能进行分析和优化。

综上所述，常微分方程在数学建模中具有重要的应用。

常微分方程在数学建模中的有效运用研究作者：王复友来源：《课程教育研究·中》2015年第04期【摘要】常微分方程是17世纪随着微积分发展起来的一种研究连续量变化的工具和解决很多实际问题与数学直接的桥梁的应用学科。

牛顿证实地球公转的轨道是椭圆形的就是通过对常微分方程进行求解得出的。

海王星的发现也是科学家在解开常微分方程得出的结论，事实上确实是通过这样发现了海王星的存在。

【关键词】常微分方程数学建模数学模型【中图分类号】G42 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）04-0171-01一、数学模型的概念所谓的数学模型就是通过对数学工具的运用从而把实际问题和理论知识相结合，并且解释具体的现象和情况对未来的事物发展方向进行预测，从而进行控制优化，以便更好的指导社会生活发展等。

数学建模的基本流程就是：实际问题建模构建数学模型；然后对数学模型运用数学工具进行数学处理；得到处理后的数学模型的解；通过对数学模型的解加以阐述和解释来得出实际问题的解；最后通过实际问题的解回归到实际问题中加以预测或者解决问题。

所以，数学模型其实就是通过数学工具或者数学语言对实际问题的一个概况描述。

主要目的就是为了解决实际问题。

二、数学建模的方法第一步准备模型，首先是对想要建模的实际问题进行了解，确定建模目的，弄清建模的内容方向，然后通过计算机或者在图书馆查阅相关信息，然后对问题进行总结分析，进行深入研究调查。

第二步是通过对模型的深入调查研究以后，对问题进行化繁为简，抓住问题的主要因素，把次要的不影响大的结果的因素忽略简化，进而对模型提出假设构想，然后不断的进行修改和完善。

第三步是在模型假设的基础上，选择正确的合理的科学的数学工具对实际问题的变量进行描述，要注意分清变量的类型，正确选择合适的数学工具建立微分方程。

要尽可能的把握问题的本质，简化掉多余的信息，进行严密周祥的推理，同时要保证思路清晰、明了尽量提高准确性，科学性。