2018版高中数学平面解析几何初步章末分层突破学案苏教版

2.1.2 第1课时直线的点斜式1．掌握直线的点斜式与斜截式方程．(重点、难点)2．能利用点斜式求直线的方程．(重点)3．了解直线的斜截式与一次函数之间的区别和联系．(易混点)[基础²初探]教材整理1 直线的点斜式方程阅读教材P80～P81，完成下列问题．1．过点P1(x1，y1)且斜率为k的直线方程y－y1＝k(x－x1)叫做直线的点斜式方程．2．过点P1(x1，y1)且与x轴垂直的方程为x＝x1.1．过点(2,3)，斜率为－1的直线的方程为________．【解析】由点斜式方程得：y－3＝－1²(x－2)，∴y－3＝－x＋2，即y＝－x＋5.【答案】y＝－x＋52．过点P(1,1)平行于x轴的直线方程为________，垂直于x轴的直线方程为________．【解析】过点P(1,1)平行于x轴的直线方程为y＝1，垂直于x轴的直线方程为x＝1.【答案】y＝1 x＝13．若直线l过点A(－1,1)，B(2,4)，则直线l的方程为________．【解析】k＝4－12－ －1＝1，l的方程为y－1＝1²(x＋1)，即y＝x＋2.【答案】y＝x＋2教材整理2 直线的斜截式方程阅读教材P82探究以上部分内容，完成下列问题．斜截式方程：y＝kx＋b，它表示经过点P(0，b)，且斜率为k的直线方程．其中b为直线与y轴交点的纵坐标，称其为直线在y轴上的截距．1．判断(正确的打“√”，错误的打“³”)(1)当直线的倾斜角为0°时，过(x 0，y 0)的直线l 的方程为y ＝y 0.(√) (2)直线与y 轴交点到原点的距离和直线在y 轴上的截距是同一概念．(³) (3)直线的点斜式方程不能表示坐标平面上的所有直线．(√) (4)当直线的斜率不存在时，过点(x 1，y 1)的直线方程为x ＝x 1.(√)2．已知直线的倾斜角为60°，在y 轴上的截距为－2，则此直线方程为________.【导学号：41292066】【解析】 k ＝tan 60°＝3，且过点(0，－2)，所以直线方程为y ＋2＝3(x －0)，即3x －y －2＝0.【答案】3x －y －2＝0[小组合作型]利用点斜式求直线的方程根据下列条件，求直线的方程．(1)经过点B (2,3)，倾斜角是45°； (2)经过点C (－1，－1)，与x 轴平行； (3)经过点A (1,1)，B (2,3)．【精彩点拨】 先求直线的斜率，再用点斜式求直线的方程． 【自主解答】 (1)∵直线的倾斜角为45°， ∴此直线的斜率k ＝tan 45°＝1， ∴直线的点斜式方程为y －3＝x －2， 即x －y ＋1＝0. (2)∵直线与x 轴平行， ∴倾斜角为0°，斜率k ＝0， ∴直线方程为y ＋1＝0³(x ＋1)， 即y ＝－1.(3)∵直线的斜率k ＝3－12－1＝2.∴直线的点斜式方程为y －3＝2³(x －2)，即2x－y－1＝0.1．求直线的点斜式方程的前提条件是：(1)已知一点P(x0，y0)和斜率k；(2)斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．2．求直线的点斜式方程的步骤是：先确定点，再确定斜率，从而代入公式求解．[再练一题]1．求倾斜角为135°且分别满足下列条件的直线方程：(1)经过点(－1,2)；(2)在x轴上的截距是－5.【解】(1)∵所求直线的倾斜角为135°，∴斜率k＝tan 135°＝－1，又直线经过点(－1,2)，∴所求直线方程是y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.(2)∵所求直线在x轴上的截距是－5，即过点(－5,0)，又所求直线的斜率为－1，∴所求直线方程是y－0＝－(x＋5)，即x＋y＋5＝0.利用斜截式求直线的方程根据条件写出下列直线的斜截式方程．(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.【精彩点拨】(1)直接利用斜截式写出方程；(2)先求斜率，再用斜截式求方程；(3)截距有两种情况．【自主解答】(1)由直线方程的斜截式方程可知，所求直线方程为y＝2x＋5.(2)∵倾斜角α＝150°，∴斜率k＝tan 150°＝－33.由斜截式可得方程为y＝－33x－2.(3)∵直线的倾斜角为60°，∴其斜率k＝tan 60°＝3，∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.∴所求直线方程为y＝3x＋3或y＝3x－3.1．直线的斜截式方程使用的前提条件是斜率必须存在．2．当直线的斜率和直线在y轴上的截距都具备时，可以直接写出直线的斜截式方程；当斜率和纵截距不直接给出时，求直线的斜截式方程可以利用待定系数法求解．[再练一题]2．根据下列条件，求直线的斜截式方程．(1)倾斜角是30°，在y轴上的截距是0.(2)倾斜角为直线y＝－3x＋1的倾斜角的一半，且在y轴上的截距为－10.【导学号：41292067】【解】(1)由题意可知所求直线的斜率k＝tan 30°＝33，由直线方程的斜截式可知，直线方程为y＝33x.(2)设直线y＝－3x＋1的倾斜角为α，则tan α＝－3，∴α＝120°，∴所求直线的斜率k＝tan 60°＝ 3.∴直线的斜截式方程为y＝3x－10.[探究共研型]直线的点斜式方程和斜截式方程的应用探究1 对于直线y＝kx＋1，是否存在k使直线不过第三象限？若存在，k的取值范围是多少？【提示】直线y＝kx＋1过定点(0,1)，直线不过第三象限，只需k<0.探究2 已知直线l的方程是2x＋y－1＝0，求直线的斜率k在y轴上的截距b，以及与y轴交点P的坐标．【提示】∵2x＋y－1＝0可变形为y＝－2x＋1，斜率k＝－2.令x＝0，得y＝1，即b ＝1，直线l与y轴的交点为(0,1)．已知直线l 经过点P (4,1)，且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为8，求直线l 的点斜式方程．【精彩点拨】 设出直线的点斜式方程，表示出横、纵截距，利用三角形面积得斜率方程，求解即可．【自主解答】 设所求直线的点斜式方程为：y －1＝k (x －4)(k <0)， 当x ＝0时，y ＝1－4k ；当y ＝0时，x ＝4－1k.由题意，得12³(1－4k )³⎝ ⎛⎭⎪⎫4－1k ＝8. 解得k ＝－14.所以直线l 的点斜式方程为y －1＝－14(x －4)．在利用直线的点斜式方程或斜截式方程表示纵、横截距，从而进一步表示直线与坐标轴围成的三角形面积时，要注意截距并非一定是三角形的边长，要根据斜率进行判断，当正负不确定时，要进行分类讨论．[再练一题]3．已知直线l 的斜率为16，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l 的方程．【解】 设直线方程为y ＝16x ＋b ，则x ＝0时，y ＝b ；y ＝0时，x ＝－6b .由已知可得12²|b |²|－6b |＝3， 即6|b |2＝6，∴b ＝±1.故所求直线方程为y ＝16x ＋1或y ＝16x －1，即x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.1．直线y －2＝－3(x ＋1)的倾斜角和所过的点分别为________．【解析】 由点斜式方程知，直线过点(－1,2)，斜率为－3，∴倾斜角为120°. 【答案】 120°，(－1,2)2．已知直线的方程为y ＋2＝－x －1，则直线的斜率为________．【解析】 化直线方程为斜截式：y ＝－x －3， ∴斜率为－1. 【答案】 －13．经过点(－1,1)，斜率是直线y ＝22x －2的斜率的2倍的直线方程是_____． 【解析】 由方程知，已知直线的斜率为22， ∴所求直线的斜率是2，由直线方程的点斜式可得方程为y －1＝2(x ＋1)，即2x －y ＋2＋1＝0.【答案】2x －y ＋2＋1＝04．直线x ＋y ＋1＝0的倾斜角与其在y 轴上的截距分别是________.【导学号：41292068】【解析】 直线x ＋y ＋1＝0变成斜截式得y ＝－x －1，故该直线的斜率为－1，在y 轴上的截距为－1.若直线的倾斜角为α，则tan α＝－1，即α＝135°.【答案】 135°，－15．求经过点A (－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程． 【解】 设直线方程为y －4＝k (x ＋3)(k ≠0)． 当x ＝0，y ＝4＋3k ， 当y ＝0，x ＝－4k－3，∴3k ＋4－4k－3＝12，即3k 2－11k －4＝0，∴k ＝4或k ＝－13.∴直线方程为y －4＝4(x ＋3)或y －4＝－13(x ＋3)，即4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0.。

2.2.1 第2课时 圆的一般方程(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．方程x 2＋y 2－x ＋y ＋k ＝0表示一个圆，则实数k 的取值范围为________． 【解析】 方程表示圆⇔1＋1－4k >0⇔k <12.【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12 2．圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋m ＝0的直径为3，则m 的值为________． 【解析】 ∵(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－m ， ∴r ＝5－m ＝32，∴m ＝114.【答案】1143．动圆x 2＋y 2－2x －k 2＋2k －2＝0的半径的取值范围是____________． 【解析】 圆的半径r ＝124＋k 2－2k ＋＝k 2－2k ＋3＝k －2＋2≥ 2.【答案】 [2，＋∞)4．若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝__________.【解析】 如图，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，则|OD |＝532＋－2＝1.∵∠AOB ＝120°，OA ＝OB ， ∴∠OBD ＝30°，∴|OB |＝2|OD |＝2，即r ＝2. 【答案】 25．圆x 2＋y 2－4x －5＝0的弦AB 的中点为P (3,1)，则直线AB 的方程为________．【解析】 圆(x －2)2＋y 2＝9，圆心C (2,0)，半径为3.AB ⊥CP ，k CP ＝1－03－2＝1，∴k AB ＝－1，∴直线AB 的方程为y －1＝－1(x －3)，即x ＋y －4＝0. 【答案】 x ＋y －4＝06．已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 的面积的最小值是________．【解析】 直线AB 的方程为x －y ＋2＝0，圆心到直线AB 的距离为d ＝|1－0＋2|2＝322，所以圆到直线AB 的最小距离为322－1，S △ABC ＝12×AB ×⎝⎛⎭⎪⎫322－1＝12×22×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－1＝3－ 2. 【答案】 3－ 27．若圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0关于直线l 1：x －y ＋4＝0和直线l 2：x ＋3y ＝0都对称，则D ＋E 的值为__________.【导学号：41292103】【解析】 ∵l 1，l 2过圆心，∴⎩⎪⎨⎪⎧－D 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－E 2＋4＝0，－D 2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫－E 2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧D ＝6，E ＝－2，∴D ＋E ＝4.【答案】 48．圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是________．【解析】 圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则圆心在直线上，求得a ＋b ＝1，ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14≤14，ab 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14. 【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14二、解答题9．设A (－c,0)，B (c,0)(c >0)为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值a (a >0)，求P 点的轨迹.【导学号：41292104】【解】 设动点P 的坐标为(x ，y )，由PA PB ＝a (a >0)，得x ＋c 2＋y 2x －c2＋y2＝a 2， 化简得(1－a 2)x 2＋2c (1＋a 2)x ＋(1－a 2)c 2＋(1－a 2)·y 2＝0. 当a ＝1时， 方程化为x ＝0；当a ≠1时，方程化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋a 2a 2－1c 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2ac a 2－12.所以当a ＝1时，点P 的轨迹为y 轴；当a ≠1时，点P 的轨迹是以点⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2－1c ，0为圆心，⎪⎪⎪⎪⎪⎪2ac a 2－1为半径的圆．10．已知过点A (0,1)，且方向向量为a ＝(1，k )的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1相交于M ，N 两点．(1)求实数k 的取值范围；(2)若O 为坐标原点，且O M →·O N →＝12，求k 的值．【解】 (1)∵直线l 过点A (0,1)且方向向量a ＝(1，k )，∴直线l 的方程为y ＝kx ＋1.由|2k －3＋1|k 2＋1<1，得4－73<k <4＋73. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1， 得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0， ∴x 1＋x 2＝＋k 1＋k 2，x 1x 2＝71＋k2，∴O M →·O N →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1. ∴4k ＋k1＋k2＋8＝12， ∴4k＋k1＋k2＝4，解得k ＝1. [能力提升]1．已知M (－2,0)，N (2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形直角顶点P 的轨迹方程是________．【解析】 设P (x ，y )，则PM ⊥PN .又k PM ＝y －0x －－＝yx ＋2(x ≠－2)，k PN ＝y －0x －2＝y x －2(x ≠2)，∵k PM ·k PN ＝－1，∴y x ＋2·yx －2＝－1， 即x 2－4＋y 2＝0，即x 2＋y 2＝4(x ≠±2)．当x ＝2时，不能构成以MN 为斜边的直角三角形，因此不成立，同理当x ＝－2时，也不成立．故点P 的轨迹方程是x 2＋y 2＝4(x ≠±2)．【答案】 x 2＋y 2＝4(x ≠±2)2．若当方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0所表示的圆的面积最大时，则直线y ＝(k －1)x ＋2的倾斜角α＝__________.【导学号：41292105】【解析】 若方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0表示圆，则有k 2＋4－4k 2>0，解得0≤k 2<43，而此时圆的半径r ＝12k 2＋4－4k 2＝12－3k 2＋4.要使圆的面积最大，只需r 最大，即当k＝0时，r 取得最大值为1，此时直线方程为y ＝－x ＋2，由倾斜角与斜率的关系知，k ＝tan α＝－1，又因为0°≤α<180°，所以α＝135°.【答案】 135°3．若光线从点A (1,1)出发，则经y 轴反射到圆C ：(x －5)2＋(x －7)2＝4的最短路程等于________．【解析】 ∵A (1,1)关于y 轴对称点为A ′(－1,1)， ∴所求的最短路程为A ′C －2，A ′C ＝62＋62＝62， ∴所求的最短路程为62－2. 【答案】 62－24．已知方程x 2＋y 2－2(t ＋3)x ＋2(1－4t 2)y ＋16t 4＋9＝0(t ∈R )表示的图形是圆． (1)求t 的取值范围；(2)求其中面积最大的圆的方程；(3)若点P (3,4t 2)恒在所给圆内，求t 的取值范围．【解】 (1)已知方程可化为(x －t －3)2＋(y ＋1－4t 2)2＝(t ＋3)2＋(1－4t 2)2－16t 4－9， ∴r 2＝－7t 2＋6t ＋1>0， 由二次函数的图象解得－17<t <1.(2)由(1)知，r ＝－7t 2＋6t ＋1＝－7⎝ ⎛⎭⎪⎫t －372＋167， ∴当t ＝37∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－17，1时，r max ＝477，此时圆的面积最大，所对应的圆的方程是⎝⎛⎭⎪⎫x －2472＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋13492＝167.(3)当且仅当32＋(4t 2)2－2(t ＋3)×3＋2(1－4t 2)·(4t 2)＋16t 4＋9<0时， 点P 恒在圆内，∴8t 2－6t <0，∴0<t <34.。

2.1.2 第1课时直线的点斜式1．掌握直线的点斜式与斜截式方程．(重点、难点)2．能利用点斜式求直线的方程．(重点)3．了解直线的斜截式与一次函数之间的区别和联系．(易混点)[基础·初探]教材整理1 直线的点斜式方程阅读教材P80～P81，完成下列问题．1．过点P1(x1，y1)且斜率为k的直线方程y－y1＝k(x－x1)叫做直线的点斜式方程．2．过点P1(x1，y1)且与x轴垂直的方程为x＝x1.1．过点(2,3)，斜率为－1的直线的方程为________．【解析】由点斜式方程得：y－3＝－1·(x－2)，∴y－3＝－x＋2，即y＝－x＋5.【答案】y＝－x＋52．过点P(1,1)平行于x轴的直线方程为________，垂直于x轴的直线方程为________．【解析】过点P(1,1)平行于x轴的直线方程为y＝1，垂直于x轴的直线方程为x＝1.【答案】y＝1 x＝13．若直线l过点A(－1,1)，B(2,4)，则直线l的方程为________．【解析】k＝4－12－－＝1，l的方程为y－1＝1·(x＋1)，即y＝x＋2.【答案】y＝x＋2教材整理2 直线的斜截式方程阅读教材P82探究以上部分内容，完成下列问题．斜截式方程：y＝kx＋b，它表示经过点P(0，b)，且斜率为k的直线方程．其中b为直线与y轴交点的纵坐标，称其为直线在y轴上的截距．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当直线的倾斜角为0°时，过(x 0，y 0)的直线l 的方程为y ＝y 0.(√) (2)直线与y 轴交点到原点的距离和直线在y 轴上的截距是同一概念．(×) (3)直线的点斜式方程不能表示坐标平面上的所有直线．(√) (4)当直线的斜率不存在时，过点(x 1，y 1)的直线方程为x ＝x 1.(√)2．已知直线的倾斜角为60°，在y 轴上的截距为－2，则此直线方程为________.【导学号：41292066】【解析】 k ＝tan 60°＝3，且过点(0，－2)，所以直线方程为y ＋2＝3(x －0)，即3x －y －2＝0.【答案】3x －y －2＝0[小组合作型]利用点斜式求直线的方程根据下列条件，求直线的方程．(1)经过点B (2,3)，倾斜角是45°； (2)经过点C (－1，－1)，与x 轴平行； (3)经过点A (1,1)，B (2,3)．【精彩点拨】 先求直线的斜率，再用点斜式求直线的方程． 【自主解答】 (1)∵直线的倾斜角为45°， ∴此直线的斜率k ＝tan 45°＝1， ∴直线的点斜式方程为y －3＝x －2， 即x －y ＋1＝0. (2)∵直线与x 轴平行， ∴倾斜角为0°，斜率k ＝0， ∴直线方程为y ＋1＝0×(x ＋1)， 即y ＝－1.(3)∵直线的斜率k ＝3－12－1＝2.∴直线的点斜式方程为y －3＝2×(x －2)，即2x－y－1＝0.1．求直线的点斜式方程的前提条件是：(1)已知一点P(x0，y0)和斜率k；(2)斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．2．求直线的点斜式方程的步骤是：先确定点，再确定斜率，从而代入公式求解．[再练一题]1．求倾斜角为135°且分别满足下列条件的直线方程：(1)经过点(－1,2)；(2)在x轴上的截距是－5.【解】(1)∵所求直线的倾斜角为135°，∴斜率k＝tan 135°＝－1，又直线经过点(－1,2)，∴所求直线方程是y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.(2)∵所求直线在x轴上的截距是－5，即过点(－5,0)，又所求直线的斜率为－1，∴所求直线方程是y－0＝－(x＋5)，即x＋y＋5＝0.利用斜截式求直线的方程根据条件写出下列直线的斜截式方程．(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.【精彩点拨】(1)直接利用斜截式写出方程；(2)先求斜率，再用斜截式求方程；(3)截距有两种情况．【自主解答】(1)由直线方程的斜截式方程可知，所求直线方程为y＝2x＋5.(2)∵倾斜角α＝150°，∴斜率k＝tan 150°＝－33.由斜截式可得方程为y＝－33x－2.(3)∵直线的倾斜角为60°，∴其斜率k＝tan 60°＝3，∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.∴所求直线方程为y＝3x＋3或y＝3x－3.1．直线的斜截式方程使用的前提条件是斜率必须存在．2．当直线的斜率和直线在y轴上的截距都具备时，可以直接写出直线的斜截式方程；当斜率和纵截距不直接给出时，求直线的斜截式方程可以利用待定系数法求解．[再练一题]2．根据下列条件，求直线的斜截式方程．(1)倾斜角是30°，在y轴上的截距是0.(2)倾斜角为直线y＝－3x＋1的倾斜角的一半，且在y轴上的截距为－10.【导学号：41292067】【解】(1)由题意可知所求直线的斜率k＝tan 30°＝33，由直线方程的斜截式可知，直线方程为y＝33x.(2)设直线y＝－3x＋1的倾斜角为α，则tan α＝－3，∴α＝120°，∴所求直线的斜率k＝tan 60°＝ 3.∴直线的斜截式方程为y＝3x－10.[探究共研型]直线的点斜式方程和斜截式方程的应用探究1 对于直线y＝kx＋1，是否存在k使直线不过第三象限？若存在，k的取值范围是多少？【提示】直线y＝kx＋1过定点(0,1)，直线不过第三象限，只需k<0.探究2 已知直线l的方程是2x＋y－1＝0，求直线的斜率k在y轴上的截距b，以及与y轴交点P的坐标．【提示】∵2x＋y－1＝0可变形为y＝－2x＋1，斜率k＝－2.令x＝0，得y＝1，即b ＝1，直线l与y轴的交点为(0,1)．已知直线l 经过点P (4,1)，且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为8，求直线l 的点斜式方程．【精彩点拨】 设出直线的点斜式方程，表示出横、纵截距，利用三角形面积得斜率方程，求解即可．【自主解答】 设所求直线的点斜式方程为：y －1＝k (x －4)(k <0)， 当x ＝0时，y ＝1－4k ；当y ＝0时，x ＝4－1k.由题意，得12×(1－4k )×⎝ ⎛⎭⎪⎫4－1k ＝8. 解得k ＝－14.所以直线l 的点斜式方程为y －1＝－14(x －4)．在利用直线的点斜式方程或斜截式方程表示纵、横截距，从而进一步表示直线与坐标轴围成的三角形面积时，要注意截距并非一定是三角形的边长，要根据斜率进行判断，当正负不确定时，要进行分类讨论．[再练一题]3．已知直线l 的斜率为16，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l 的方程．【解】 设直线方程为y ＝16x ＋b ，则x ＝0时，y ＝b ；y ＝0时，x ＝－6b .由已知可得12·|b |·|－6b |＝3， 即6|b |2＝6，∴b ＝±1.故所求直线方程为y ＝16x ＋1或y ＝16x －1，即x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.1．直线y －2＝－3(x ＋1)的倾斜角和所过的点分别为________．【解析】 由点斜式方程知，直线过点(－1,2)，斜率为－3，∴倾斜角为120°. 【答案】 120°，(－1,2)2．已知直线的方程为y ＋2＝－x －1，则直线的斜率为________．【解析】 化直线方程为斜截式：y ＝－x －3， ∴斜率为－1. 【答案】 －13．经过点(－1,1)，斜率是直线y ＝22x －2的斜率的2倍的直线方程是_____． 【解析】 由方程知，已知直线的斜率为22， ∴所求直线的斜率是2，由直线方程的点斜式可得方程为y －1＝2(x ＋1)，即2x －y ＋2＋1＝0.【答案】2x －y ＋2＋1＝04．直线x ＋y ＋1＝0的倾斜角与其在y 轴上的截距分别是________.【导学号：41292068】【解析】 直线x ＋y ＋1＝0变成斜截式得y ＝－x －1，故该直线的斜率为－1，在y 轴上的截距为－1.若直线的倾斜角为α，则tan α＝－1，即α＝135°.【答案】 135°，－15．求经过点A (－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程． 【解】 设直线方程为y －4＝k (x ＋3)(k ≠0)． 当x ＝0，y ＝4＋3k ， 当y ＝0，x ＝－4k－3，∴3k ＋4－4k－3＝12，即3k 2－11k －4＝0，∴k ＝4或k ＝－13.∴直线方程为y －4＝4(x ＋3)或y －4＝－13(x ＋3)，即4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0.。

2．3.1 空间直角坐标系1．了解空间直角坐标系的建系方式．(难点)2．能在空间直角坐标系中求出点的坐标和已知坐标作出点．(重点、易错点)[基础·初探]教材整理1 空间直角坐标系阅读教材P118，完成下列问题．1．空间直角坐标系的概念从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系O－xyz，点O叫做坐标原点，x轴、y轴和z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面和zOx平面．2．右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．如图2－3－1，三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，且∠C＝90°，试在图中建立一个空间直角坐标系．图2－3－1【解】以C为坐标原点，以CB所在直线为x轴，以CA所在直线为y轴，以CC1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系如图．教材整理2 空间点的坐标表示阅读教材P119，完成下列问题．对于空间任意一点A，作点A在三条坐标轴上的射影，即经过点A作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴，它们与x轴、y轴和z轴分别交于P，Q，R.点P，Q，R在相应数轴上的坐标依次为x，y，z，我们把有序实数组(x，y，z)叫做点A的坐标，记为A(x，y，z)．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在空间直角坐标系中，x轴上点的坐标满足x＝0，z＝0.(×)(2)在空间直角坐标系中，xOz平面上点的坐标满足z＝0.(×)(3)关于坐标平面yOz对称的点的坐标其纵坐标、竖坐标保持不变，横坐标相反．(√)(4)在空间直角坐标系中，点P(x，y，z)关于z轴的对称点为P′(－x，－y，z)．(√)2．在空间直角坐标系中，点P(2，－4,6)关于y轴对称点P′的坐标为____________．【解析】点P(2，－4,6)关于y轴对称点P′的坐标为(－2，－4，－6)．【答案】(－2，－4，－6)[小组合作型]空间中点的坐标的确定如图2－3－2，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1上的点，CF ＝AB＝2CE，AB∶AD∶AA1＝1∶2∶4.试建立适当的坐标系，写出E，F点的坐标．图2－3－2【精彩点拨】可选取A为坐标原点，射线AB，AD，AA1的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系．【自主解答】 以A 为坐标原点，射线AB ，AD ，AA 1的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．分别设AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝4，则CF ＝AB ＝1，CE ＝12AB ＝12， 所以BE ＝BC －CE ＝2－12＝32. 所以点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，0，点F 的坐标为(1,2,1)．1．建立空间直角坐标系时应遵循的两个原则(1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面上．(2)充分利用几何图形的对称性．2．求某点M 的坐标的方法过点M 分别作三个坐标平面的平行平面(或垂面)，分别交坐标轴于A ，B ，C 三点，确定x ，y ，z .具体理解，可以以长方体为模型，要掌握一些特殊点(落在坐标轴上的点和落在坐标平面上的点)的坐标表示的特征．[再练一题]1．在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，E ，F 分别是BB ′，D ′B ′的中点，棱长为1，求E ，F 点的坐标．【解】 建立如图空间直角坐标系，E 点在xDy 面上的射影为B ，B (1,1,0)，竖坐标为12，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12. F 在xDy 面上的射影为BD 的中点G ，竖坐标为1，∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1. [探究共研型]空间中点的对称问题探究1 在空间坐标系中，点(1,1,1)关于原点对称的坐标是什么？【提示】 (－1，－1，－1)．探究2 在空间坐标系中，点(a ，b ，c )关于x 轴对称的点的坐标是什么？【提示】 (a ，－b ，－c )．探究3 在空间坐标系中，点(a ，b ，c )关于xOy 平面对称的点的坐标是什么？【提示】 (a ，b ，－c )．求点M (2，－1,3)关于坐标平面、坐标轴及坐标原点的对称点的坐标．【精彩点拨】 结合图形，利用图象对称的思想找准对称点．【自主解答】 点M 关于xOy 平面的对称点M 1的坐标为(2，－1，－3)，关于xOz 平面的对称点M 2的坐标为(2,1,3)，关于yOz 平面的对称点M 3的坐标为(－2，－1,3)，关于x 轴的对称点M 4的坐标为(2,1，－3)，关于y 轴的对称点M 5的坐标为(－2，－1，－3)，关于z 轴的对称点M 6的坐标为(－2,1,3)，关于原点的对称点M 7的坐标为(－2,1，－3)．平面直角坐标系中的对称性可以推广到空间直角坐标系中．在空间直角坐标系中，任一点P (x ，y ，z )的几种特殊的对称点的坐标如下：①关于原点对称的点的坐标是P 1(－x ，－y ，－z )；②关于x 轴(横轴)对称的点的坐标是P 2(x ，－y ，－z )；③关于y 轴(纵轴)对称的点的坐标是P 3(－x ，y ，－z )；④关于z 轴(竖轴)对称的点的坐标是P 4(－x ，－y ，z )；⑤关于xOy 平面对称的点的坐标是P 5(x ，y ，－z )；⑥关于yOz平面对称的点的坐标是P6(－x，y，z)；⑦关于xOz平面对称的点的坐标是P7(x，－y，z)．[再练一题]2．在空间直角坐标系中，点P(－1,1,2)关于y轴对称的点的坐标为________，关于坐标平面yOz对称的点的坐标为________．【解析】由对称知识可知，P关于y轴对称的点为(1,1，－2)，关于平面yOz对称的点为(1,1,2)．【答案】(1,1，－2) (1,1,2)1．点P(－1,0,4)位于________平面内．【解析】点P(－1,0,4)的y坐标为0，∴点P(－1,0,4)在xOz平面内．【答案】xOz2．点P(1,2，－1)在yOz平面内的垂足为B(x，y，z)，则x＋y＋z＝________.【解析】点P(1,2，－1)在yOz平面内的垂足B(0,2，－1)，故x＋y＋z＝1.【答案】 13．在空间直角坐标系中，点P(－2,4,4)关于x轴的对称点的坐标是________.【解析】因为点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y，z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点P′的坐标为(－2，－4，－4)．【答案】(－2，－4，－4)4．设x，y为任意实数，相应的所有点P(x，y,3)的集合是________．【答案】过z轴上的点(0,0,3)且与z轴垂直的平面5．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝4，A1C1与B1D1相交于点P，建立适当的坐标系，求点C，B1，P的坐标．(写出符合题意的一种情况即可)【解】如图，分别以AD，AB和AA1所在直线为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系．∵AB＝5，AD＝4，AA1＝4，∴B(0,5,0)，D(4,0,0)，A1(0,0,4)，从而C(4,5,0)，B1(0,5,4)．又D1(4,0,4)，P 为B 1D 1的中点，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52，4.。

章末分层突破[自我校对]①正角、负角和零角②弧长③扇形面积④正弦⑤余弦⑥正切(1)任意角和弧度制．理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算．(2)任意角的三角函数．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域．(1)已知角α的终边过点P (－4m,3m )(m ≠0)，则2sin α＋cos α的值是________．(2)函数y ＝sin x ＋2cos x －1的定义域是________．【精彩点拨】 (1)根据三角函数的定义求解，注意讨论m 的正负． (2)利用三角函数线求解． 【规范解答】 (1)r ＝|OP |＝(－4m )2＋(3m )2＝5|m |.当m >0时，sin α＝y r ＝3m 5m ＝35，cos α＝x r ＝－4m 5m ＝－45， ∴2sin α＋cos α＝25.当m <0时，sin α＝y r ＝3m －5m ＝－35，cos α＝x r ＝－4m －5m ＝45，∴2sin α＋cos α＝－25.故2sin α＋cos α的值是25或－25. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，2cos x －1≥0，得⎩⎨⎧sin x ≥0，cos x ≥12，如图，结合三角函数线知：⎩⎨⎧2k π≤x ≤2k π＋π(k ∈Z )，2k π－π3≤x ≤2k π＋π3(k ∈Z )，解得2k π≤x ≤2k π＋π3(k ∈Z )， ∴函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z. 【答案】 (1)25或－25(2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z [再练一题]1．若θ是第四象限角，试判断sin(cos θ)·cos(sin θ)的符号． 【解】 ∵θ为第四象限角，∴0＜cos θ＜1＜π2，－π2＜－1＜sin θ＜0. ∴sin(cos θ)＞0，cos(sin θ)＞0. ∴sin(cos θ)·cos(sin θ)＞0.方向是三角函数式的化简、求值和证明．常用以下方法技巧：(1)化弦：当三角函数式中三角函数名称较多时，往往把三角函数化为弦，再化简变形．(2)化切：当三角函数式中含有正切及其他三角函数时，有时可将三角函数名称都化为正切，再化简变形．(3)“1”的代换：在三角函数式中，有些会含有常数1，常数1虽然非常简单，但有些三角函数式的化简却需要利用三角函数公式将1代换为三角函数式．已知cos θ＝m ，|m |≤1，求sin θ、tan θ的值． 【精彩点拨】 以角θ的终边所在位置为依据分别讨论求解．【规范解答】 (1)当m ＝0时，θ＝2k π±π2，k ∈Z ；当θ＝2k π＋π2时，sin θ＝1，tan θ不存在；当θ＝2k π－π2时，sin θ＝－1，tan θ不存在．(2)当m ＝1时，θ＝2k π，k ∈Z ，sin θ＝tan θ＝0. 当m ＝－1时，θ＝2k π＋π，k ∈Z ，sin θ＝tan θ＝0. (3)当θ在第一、二象限时，sin θ＝1－m 2，tan θ＝1－m 2m .(4)当θ在第三、四象限时，sin θ＝－1－m 2，tan θ＝－1－m 2m .[再练一题] 2．已知sin (2π＋θ)tan (π＋θ)tan (3π－θ)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θtan (－π－θ)＝1，则sin 2θ＋3sin θcos θ＋2cos 2θ的值是________．【解析】 由已知得sin θ·tan θ·(－tan θ)sin θ·(－tan θ)＝1，即tan θ＝1，于是sin 2θ＋3sin θcos θ＋2cos 2θ＝sin 2θ＋3sin θcos θ＋2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋3tan θ＋2tan 2θ＋1＝3. 【答案】 3现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质．具体要求：(1)用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，确定五个关键点的方法是分别令ωx ＋φ＝0，π2，π，3π2，2π.(2)对于y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象变换，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别．(3)已知函数图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的解析式时，常用的解题方法是待定系数法．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋a ，a 为常数．(1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求函数f (x )的单调递增区间；(3)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最小值为－2，求a 的值．【精彩点拨】 利用公式T ＝2π|ω|求周期→ 整体代换求单调区间→由最值求a【规范解答】 (1)f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋a ，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，即k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，所以x ＝0时，f (x )取得最小值， 即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋a ＝－2，故a ＝－1.[再练一题]3．如图1-1所示的是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A ＞0，ω＞0)的部分图象．图1-1(1)求此函数的解析式；(2)分析该函数的图象是如何通过y ＝sin x 的图象变换得来的．【解】 (1)由图象知，A ＝－12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝12，k ＝－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝－1，T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－π6＝π， ∴ω＝2πT ＝2，∴y ＝12sin(2x ＋φ)－1. 当x ＝π6时，2×π6＋φ＝π2，∴φ＝π6， ∴所求函数的解析式为y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1.(2)把y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的12，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，再保持横坐标不变，纵坐标变为原来的12，得到y ＝12·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，最后把函数y ＝12sin2x＋π6的图象向下平移1个单位，得到y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1的图象．求参数范围等题目中．本章中，常常利用单位圆中的三角函数线或三角函数的图象解答三角问题，是典型的“以形助数”的方法，而利用三角公式证明三角函数中的几何性质问题，又是典型的“以数助形”的解题策略．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2在一个周期内的简图如图1-2所示，求函数g (x )＝f (x )－lg x 零点的个数．图1-2【精彩点拨】 识图→求A ，ω，φ→ 画出f (x )及y ＝lg x 的图象→下结论 【规范解答】 显然A ＝2. 由图象过(0,1)点，则f (0)＝1， 即sin φ＝12， 又|φ|＜π2，则φ＝π6.又⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12，0是图象上的点，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12＝0， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12ω＋π6＝0，由图象可知，⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12，0是图象在y 轴右侧部分与x 轴的第二个交点．∴11π12ω＋π6＝2π，∴ω＝2，因此所求函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.在同一坐标系中作函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6和函数y ＝lg x 的示意图如图所示：∵f (x )的最大值为2，令lg x ＝2，得x ＝100，令1112π＋k π＜100(k ∈Z )，得k ≤30(k ∈Z )，而1112π＋31π＞100，∴在区间(0,100]内有31个形如⎣⎢⎡⎦⎥⎤1112π＋k π，1712π＋k π(k∈Z,0≤k ≤30)的区间，在每个区间上y ＝f (x )与y ＝lg x 的图象都有2个交点，故这两个函数图象在⎣⎢⎡⎦⎥⎤11π12，100上有2×31＝62个交点，另外在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1112π上还有1个交点，∴方程f (x )－lg x ＝0共有实根63个，∴函数g (x )＝f (x )－lg x 共有63个零点． [再练一题] 4．若集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪sin θ≥12，0≤θ≤π，N ＝θ⎪⎪⎪ cos θ≤12，0≤θ≤π，求M ∩N . 【解】 首先作出正弦函数与余弦函数以及直线y ＝12的图象，如图①②.结合图象得集合M ，N 分别为：M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪ π6≤θ≤5π6，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π3≤θ≤π. 得M ∩N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π3≤θ≤56π.1．(2016·全国卷Ⅲ改编)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝________.【解析】 因为tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋4tan αtan 2α＋1＝1＋4×34⎝ ⎛⎭⎪⎫342＋1＝6425. 【答案】 64252．(2014·大纲全国卷改编)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝________.【解析】 因为角α的终边经过点(－4,3)， 所以x ＝－4，y ＝3，r ＝5，所以cos α＝x r ＝－45. 【答案】 －453．(2016·全国卷Ⅱ改编)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为________．【解析】 将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，得到函数y ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象．由2x ＋π6＝kx ＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，即平移后图象的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．【答案】 x ＝k π2＋π6(k ∈Z )4．(2015·福建高考改编)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α 的值等于________．【解析】 方法一：因为α为第四象限的角，故cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－5132＝1213，所以tan α＝sin αcos α＝－5131213＝－512. 方法二：因为α是第四象限角，且sin α＝－513，所以可在α的终边上取一点P (12，－5)，则tan α＝y x ＝－512.【答案】 －5125．(2015·全国卷Ⅰ改编)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图1-3所示，则f (x )的单调递减区间为________．图1-3【解析】 由图象知，周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，∴2πω＝2，∴ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4， ∴f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ， ∴f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z .【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z6．(2016·江苏高考)定义在区间[0,3π]上的函数y ＝sin 2x 的图象与y ＝cos x 的图象的交点个数是________．【解析】 (方法一)函数y ＝sin 2x 的最小正周期为2π2＝π，y ＝cos x 的最小正周期为2π，在同一坐标系内画出两个函数在[0,3π]上的图象，如图所示．通过观察图象可知，在区间[0,3π]上两个函数图象的交点个数是7.(方法二)联立两曲线方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝sin 2x ，y ＝cos x ，两曲线交点个数即为方程组解的个数，也就是方程sin 2x ＝cos x 解的个数．方程可化为2sin x cos x ＝cos x ，即cos x (2sin x －1)＝0，∴cos x ＝0或sin x ＝12.①当cos x ＝0时，x ＝k π＋π2，k ∈Z ，∵x ∈[0,3π]，∴x ＝π2，32π，52π，共3个； ②当sin x ＝12时，∵x ∈[0,3π]，∴x ＝π6，56π，136π，176π，共4个．综上，方程组在[0,3π]上有7个解，故两曲线在[0,3π]上有7个交点． 【答案】 77．(2014·江苏高考)已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．【解析】 由题意，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝cos π3，因为0≤φ<π，所以φ＝π6. 【答案】 π6章末综合测评(一) 三角函数(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)1．若sin α＜0且tan α＞0，则α是第________象限角． 【解析】 ∵sin α＜0，tan α＞0， ∴α是第三象限角． 【答案】 三2．已知圆的半径是 6 cm ，则15°的圆心角与圆弧围成的扇形面积是________．【解析】 15°化为弧度为π12，设扇形的弧长为l ， 则l ＝6×π12＝π2，其面积S ＝12lR ＝12×π2×6＝3π2.【答案】 3π23．cos 675°＝________.【解析】 cos 675°＝cos(675°－720°)＝cos(－45°) ＝cos 45°＝22. 【答案】 224．把－11π4表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ的值是________． 【解析】 ∵－11π4＝－2π－3π4，∴－11π4与－3π4是终边相同的角，且此时⎪⎪⎪⎪⎪⎪－3π4＝3π4是最小的． 【答案】 －3π45．角α，β的终边关于x 轴对称，若α＝30°，则β＝________.【解析】 画出图形，可知β的终边与－α的终边相同，故β＝－30°＋k ·360°，k ∈Z .【答案】 －30°＋k ·360°，k ∈Z6．(2016·南通高一检测)函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域是________．【解析】 由0≤x ≤π2，得π6≤x ＋π6≤2π3， ∴－12≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤32.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，327．设α是第二象限角，则sin αcos α·1sin 2α－1等于________． 【解析】 因为α是第二象限角， 所以sin αcos α·1sin 2α－1＝sin αcos α·1－sin 2αsin 2α＝sin αcos α·|cos α||sin α| ＝sin αcos α·－cos αsin α＝－1. 【答案】 －18．(2014·重庆高考)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ<π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________.【解析】 将y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6的图象，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin 12×π6＋π6＝sin π4＝22. 【答案】 229．(2016·如皋高一检测)若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋2sin αcos α的值为________．【解析】 由3sin α＋cos α＝0，得tan α＝－13， ∴1cos 2α＋2sin αcos α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α＋2sin αcos α ＝tan 2α＋11＋2tan α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＋11＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝103. 【答案】 10310．(2016·南京高一检测)已知点P (tan α，sin α－cos α)在第一象限，且0≤α≤2π，则角α的取值范围是________．【解析】 ∵点P 在第一象限， ∴⎩⎪⎨⎪⎧tan α＞0，①sin α－cos α＞0，②由①知0＜α＜π2或π＜α＜3π2， ③ 由②知sin α＞cos α.作出三角函数线知，在[0,2π]内满足sin α＞cos α的α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4. ④由③，④得α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π，5π4.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π，5π411．(2016·苏州高一检测)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象如图1所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＝________.图1【解析】 由图象知32T ＝π， ∴T ＝2π3，A ＝2， 又∵T ＝2πω，∴ω＝3，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0代入y ＝2sin(3x ＋φ)得：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×π4＋φ＝0，取φ＝－34π，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －3π4，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×7π12－3π4＝2sin π＝0. 【答案】 012．化简：1－2sin 200°cos 160°＝________. 【解析】 原式＝1－2sin (180°＋20°)cos (180°－20°)＝1－2sin 20°cos 20°＝(sin 20°－cos 20°)2＝cos 20°－sin 20°. 【答案】 cos 20°－sin 20°13.如图2为一半径是3 m 的水轮，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P 到水面的距离y (m)与时间x (s)满足函数关系y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2，则ω＝________，A ＝________.图2【解析】 由题意知，半径即是振幅，A ＝3，因为水轮每分钟旋转4圈，即周期为T ＝604＝15 s ，所以ω＝2πT ＝2π15.【答案】 2π15 314．(2016·泰州高一检测)关于函数f (x )＝2sin3x －34π，有下列命题： ①其最小正周期为23π；②其图象由y ＝2sin 3x 向左平移π4个单位而得到； ③其表达式可以写成f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋34π；④在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，512π为单调递增函数．则其中真命题为________．(需写出所有真命题的序号)【解析】 ①由f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －34π得T ＝2π3，故①正确．②y ＝2sin 3x 向左平移π4个单位得y ＝2sin3x ＋34π，故②不正确． ③由f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －3π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋3π4－3π2 ＝－2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋3π4 ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋3π4 ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋34π，故③正确．④由2k π－π2≤3x －34π≤2k π＋π2(k ∈Z )得23k π＋π12≤x ≤23k π＋512π(k ∈Z )， ∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －34π的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤23k π＋π12，23k π＋512π(k ∈Z )． 当k ＝0时，增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，5π12，故④正确． 【答案】 ①③④二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)(1)已知角α的终边经过点P (4，－3)，求2sin α＋cos α的值；(2)已知角α终边上一点P 与x 轴的距离与y 轴的距离之比为3∶4，求2sin α＋cos α的值．【解】 (1)∵r ＝x 2＋y 2＝5，∴sin α＝y r ＝－35，cos α＝x r ＝45，∴2sin α＋cos α＝－65＋45＝－25. (2)当点P 在第一象限时，sin α＝35，cos α＝45，2sin α＋cos α＝2； 当点P 在第二象限时，sin α＝35，cos α＝－45，2sin α＋cos α＝25； 当点P 在第三象限时，sin α＝－35，cos α＝－45，2sin α＋cos α＝－2；当点P 在第四象限时，sin α＝－35，cos α＝45，2sin α＋cos α＝－25. 16．(本小题满分14分)已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)． (1)求sin (π－α)＋5cos (2π－α)2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值；(2)求sin 2α＋2sin αcos α－cos 2α＋2的值． 【解】 由已知，得－sin(3π－α)＝2cos(4π－α)， ∴－sin(π－α)＝2cos(－α)， ∴sin α＝－2cos α. ∵cos α≠0，∴tan α＝－2.(1)原式＝sin α＋5cos α－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋sin α＝sin α＋5cos α－2cos α＋sin α＝tan α＋5－2＋tan α＝－2＋5－2－2＝－34.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＋2＝tan 2α＋2tan α－1tan 2α＋1＋2＝4＋2×(－2)－14＋1＋2＝95.17．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(1)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；图3(2)写出f (x )的值域、周期、对称轴、单调区间． 【解】 (1)列表如下：描点画图如图所示．(2)由上图可知：值域为[－3,3]，周期为2π，对称轴为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝π4＋k π，k ∈Z， 单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4＋2k π，π4＋2k π(k ∈Z )，单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋2k π，5π4＋2k π(k ∈Z )． 18．(本小题满分16分)(2016·天津十二区联考二)函数f (x )＝cos(πx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2的部分图象如图4所示．图4(1)求φ及图中x 0的值；(2)设g (x )＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13上的最大值和最小值．【解】 (1)由题图得f (0)＝32， 所以cos φ＝32， 因为0＜φ＜π2，故φ＝π6.由于f (x )的最小正周期等于2，所以由题图可知1＜x 0＜2. 故7π6＜πx 0＋π6＜13π6，由f (x 0)＝32得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 0＋π6＝32，所以πx 0＋π6＝11π6，解得x 0＝53. (2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13＋π6 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π2 ＝－sin πx ，所以g (x )＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6－sin πx＝cos πx cos π6－sin πx sin π6－sin πx＝32cos πx －12sin πx －sin πx ＝32cos πx －32sin πx ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－πx .当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13时，－π6≤π6－πx ≤2π3，所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－πx ≤1，故π6－πx ＝π2，即x ＝－13时，g (x )取得最大值3； 当π6－πx ＝－π6，即x ＝13时，g (x )取得最小值－32.19．(本小题满分16分)(2016·宿迁高一检测)已知函数y ＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋b 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为[－5,1]，求a ，b 的值． 【解】 由题意知a ≠0.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.当a ＞0时，⎩⎨⎧ a ＋b ＝1，－a2＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－3.当a ＜0时，⎩⎨⎧－12a ＋b ＝1，a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－1.综上，a ＝4，b ＝－3或a ＝－4，b ＝－1.20．(本小题满分16分)(2016·南通高一检测)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的一系列对应值如下表：(1)(2)根据(1)的结果，若函数y ＝f (kx )(k ＞0)的周期为2π3，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时，方程f (kx )＝m 恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围．【解】 (1)设f (x )的最小正周期为T ，得T ＝11π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2π.由T ＝2πω，得ω＝1.又⎩⎪⎨⎪⎧ B ＋A ＝3，B －A ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2，B ＝1， 令ω·5π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即5π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝－π3＋2k π，k ∈Z . 又|φ|＜π2，解得φ＝－π3，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋1.(2)∵函数y ＝f (kx )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx －π3＋1的周期为2π3，又k＞0，∴k ＝3.令t ＝3x －π3，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3.如图，sin t ＝s 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3上有两个不同的解的条件是s ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1，∴方程f (kx )＝m 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时，恰有两个不同的解的条件是m ∈[)3＋1，3，即实数m 的取值范围是[3＋1,3).。

2.2.1 第2课时 圆的一般方程1．了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心和半径．(易错点)2．会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题．(重点、难点)[基础·初探]教材整理 圆的一般方程的定义 阅读教材P 109，完成下列问题． 1．圆的一般方程的定义(1)当D 2＋E 2－4F >0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0叫做圆的一般方程，其圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径为12D 2＋E 2－4F . (2)当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示点⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2.(3)当D 2＋E 2－4F <0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0不表示任何图形． 2．点与圆的位置关系已知点M (x 0，y 0)和圆的方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则其位置关系如下表：1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程．(√)(2)二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0一定是某个圆的方程．(×) (3)方程x 2＋y 2－2x ＋Ey ＋1＝0表示圆，则E ≠0.(√)(4)二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆应满足的条件是①A ＝C ≠0；②B ＝0；③D 2＋E 2－4F >0.(√)2．圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0化为标准形式为_____________________． 【解析】 由x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0，得(x －1)2＋(y ＋2)2＝2. 故圆的标准形式为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2. 【答案】 (x －1)2＋(y ＋2)2＝23．方程x 2＋y 2＋4x －2y ＋5m ＝0表示圆的条件是______________． 【解析】 由题意可知，16＋(－2)2－20m ＞0，解得m ＜1. 【答案】 (－∞，1)[小组合作型]二元二次方程的曲线与圆的关系下列方程能否表示圆？若能，求出圆心坐标和半径． (1)2x 2＋y 2－7x ＋5＝0； (2)x 2－2xy ＋y 2＋6x ＋7y ＝0； (3)x 2＋y 2－2x －4y ＋10＝0； (4)2x 2＋2y 2－4y ＝0；(5)ax 2＋ay 2－4(a －1)x ＋4y ＝0(a ≠0)．【精彩点拨】 根据二元二次方程表示圆的条件判断． 【自主解答】 (1)∵A ≠B ，∴不能表示圆． (2)∵xy 前的系数不等于0，∴不能表示圆． (3)∵D 2＋E 2－4F ＝(－2)2＋(－4)2－4×10<0， ∴不能表示圆．(4)方程变形为x 2＋y 2－2y ＝0. 配方得x 2＋(y －1)2＝1，故方程表示圆，其圆心为(0,1)，半径为1. (5)法一：∵a ≠0，∴原方程可化为x 2＋y 2－a －ax ＋4a y ＝0，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －a －a2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋2a 2＝a －2＋1]a 2.∵a －2＋1]a 2>0，∴原方程表示圆，此时圆心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫a －a，－2a ，半径r ＝2a 2－2a ＋2|a |.法二：∵a ≠0，∴原方程可化为x 2＋y 2－a －ax ＋4a y ＝0. ∵D 2＋E 2－4F ＝a －2a 2＋16a2＝a －2＋16a 2>0，∴原方程表示圆， 此时圆心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫a －a，－2a ，半径r ＝2a 2－2a ＋2|a |.形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时有如下两种方法： (1)由圆的一般方程的定义判断D 2＋E 2－4F 是否为正．若D 2＋E 2－4F >0，则方程表示圆，否则不表示圆．(2)将方程配方变形成“标准”形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否可以表示圆．[再练一题]1．讨论方程x 2＋y 2＋2ay ＋1＝0(a ∈R )表示曲线的形状．【解】 当a <－1或a >1时，此方程表示的曲线是圆心为(0，－a )，半径为a 2－1的圆；当a ＝±1时，此方程表示的曲线是一个点，坐标为(0，－a )； 当－1<a <1时，此方程不表示任何曲线．圆的一般方程的求法已知△ABC 三个顶点的坐标为A (1,3)，B (－1，－1)，C (－3,5)，求这个三角形外接圆的一般方程，并判断点M (1,2)，N (4,5)，Q (2,3)与圆的位置关系．【精彩点拨】 解答本题，可设出圆的一般方程，用待定系数法求解．也可根据圆的性质，求圆心、半径，再写方程．【自主解答】 (1)法一：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)．∵此圆过A ，B ，C 三点，∴⎩⎪⎨⎪⎧12＋32＋D ＋3E ＋F ＝0，－2＋－2－D －E ＋F ＝0，－2＋52－3D ＋5E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝4，E ＝－4，F ＝－2.∴圆的方程为x 2＋y 2＋4x －4y －2＝0. 法二：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋－b 2＝r 2， ①－1－a 2＋－1－b 2＝r 2， ②－3－a 2＋－b 2＝r 2， ③②－①，③－①得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b －2＝0，2a －b ＋6＝0，解得a ＝－2，b ＝2. ∴r 2＝10.∴圆的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝10. 即圆的一般式方程为x 2＋y 2＋4x －4y －2＝0. 法三：AB 的中垂线方程为y －1＝－12(x －0)，BC 的中垂线方程为y －2＝13(x ＋2)，联立解得圆心坐标为(－2,2)．设圆的半径为r ，则r 2＝(1＋2)2＋(3－2)2＝10， ∴圆的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝10， 即圆的一般式方程为x 2＋y 2＋4x －4y －2＝0. 法四：由于k AB ＝－1－3－1－1＝2，k AC ＝5－3－3－1＝－12，∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC ，∴△ABC 是以∠A 为直角的直角三角形，∴外接圆圆心为BC 的中点，即(－2,2)， 半径r ＝12|BC |＝10，∴圆的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝10. 即圆的一般式方程为x 2＋y 2＋4x －4y －2＝0. (2)∵M (1,2)，∴12＋22＋4×1－4×2－2＝－1<0， ∴点M (1,2)在圆内． ∵N (4,5)，∴42＋52＋4×4－4×5－2＝35>0， ∴点N (4,5)在圆外． ∵Q (2,3)，∴22＋32＋4×2－4×3－2＝7>0， ∴点Q (2,3)在圆外．本题法一、法二中采用了待定系数法．用待定系数法求圆的方程时：(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a ，b ，r .(2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D ，E ，F .法三则是充分利用了圆的性质：“弦的中垂线过圆心”．通过求两条弦的中垂线的交点求出圆心，再求出半径后写出圆的标准方程，再将标准方程化成一般方程．圆的标准方程和一般方程有如下关系：(1)由圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，可以直接看出圆心坐标(a ，b )和半径r ，圆的几何特征明显．(2)由圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，知道圆的方程是一种特殊的二元二次方程，圆的代数特征明显．(3)[再练一题]2．已知圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋3＝0，圆心在直线x ＋y －1＝0上，且圆心在第二象限，半径为2，求圆的一般方程．【解】 圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，∵圆心在直线x ＋y －1＝0上， ∴－D 2－E2－1＝0，即D ＋E ＝－2，①又r ＝D 2＋E 2－122＝2，∴D 2＋E 2＝20，②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝2.又圆心在第二象限，∴－D2<0，即D >0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－4，∴圆的方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.[探究共研型]轨迹问题探究1 若|AB |＝2，C 为AB 的中点，动点P 满足|PC |＝2，那么P 点轨迹是什么曲线？求出曲线方程？【提示】 以AB 所在直线为x 轴，以C 为原点建立直角坐标系，则C (0,0)，P 点的轨迹是以C 为圆心，半径为2的圆的方程为x 2＋y 2＝4.探究2 已知一条曲线在x 轴的上方，它上面的每一点到点A (0,2)的距离都是2，求这条曲线的方程，并说明是什么曲线．【提示】 设点M (x ，y )是曲线上任意一点，根据题意，有：x 2＋y －2＝2.两边平方，得x 2＋(y －2)2＝4. 因为曲线在x 轴上方，y >0，所以曲线方程应是x 2＋(y －2)2＝4(y >0)．曲线是圆心为(0,2)，半径为2的圆在x 轴上方的部分．(1)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是________． (2)已知点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 满足PA ＝2PB .若点P 的轨迹为曲线C ，则此曲线的方程为__________.【精彩点拨】 (1)设出中点坐标和圆上点的坐标，用圆上点的坐标表示中点坐标，再代入圆的方程，化简即可．(2)设出点P 的坐标，利用PA ＝2PB 得点P 坐标的关系，化简即可．【自主解答】 (1)设圆上任意一点为(x 1，y 1)，它与点P 连线的中点坐标为(x ，y )， 则x ＝x 1＋42，y ＝y 1－22，所以x 1＝2x －4，y 1＝2y ＋2， 又(x 1，y 1)在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4， 即(x －2)2＋(y ＋1)2＝1. (2)设点P 的坐标为(x ，y )，则x ＋2＋y 2＝2x －2＋y 2.化简可得(x －5)2＋y 2＝16，此即为所求．【答案】 (1)(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 (2)(x －5)2＋y 2＝16求与圆有关的轨迹问题常用的方法1．直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式．如上例(2)．2．定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程． 3．相关点法：若动点P (x ，y )随着圆上的另一动点Q (x 1，y 1)的运动而运动，且x 1，y 1可用x ，y 表示，则可将Q 点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P 的轨迹方程．如上例(1)．[再练一题]3．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0，求过点A (－3，－5)的直线交圆的弦PQ 的中点M 的轨迹方程．【解】 设所求轨迹上任一点M (x ，y )，圆的方程可化为(x －3)2＋(y －3)2＝4，圆心C (3,3)．∵CM ⊥AM ，∴k CM ·k AM ＝－1， 即y －3x －3·y ＋5x ＋3＝－1， 即x 2＋(y ＋1)2＝25.∴所求轨迹方程为x 2＋(y ＋1)2＝25(已知圆内的部分)．1．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是________． 【答案】 (2，－3)2．经过三点A (1，－1)，B (1,4)，C (4，－2)的圆的方程为__________．【解析】 设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.将A ，B ，C 三点代入，整理得方程组⎩⎪⎨⎪⎧D －E ＋F ＝－2，D ＋4E ＋F ＝－17，4D －2E ＋F ＝－20，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－7，E ＝－3，F ＝2.∴所求圆的方程为x 2＋y 2－7x －3y ＋2＝0. 【答案】 x 2＋y 2－7x －3y ＋2＝03．方程x 2＋y 2＋2ax ＋2by ＋a 2＋b 2＝0表示的图形为________.【解析】 原方程可化为：(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝0.所以它表示点(－a ，－b )． 【答案】 (－a ，－b )4．圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0的圆心到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离d ＝________. 【解析】 圆心(1,2)到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离为|3×1＋4×2＋4|5＝3.【答案】 35．等腰三角形的顶点是A (4,2)，底边一个端点是B (3,5)，求另一个端点C 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么？【解】 设另一端点C 的坐标为(x ，y )，依题意，得AC ＝AB .由两点间距离公式，得x －2＋y －2＝－2＋－2，整理得(x －4)2＋(y －2)2＝10.这是以点A (4,2)为圆心，以10为半径的圆，如图所示，又因为A ，B ，C 为三角形的三个顶点，所以A ，B ，C 三点不共线．即点B ，C 不能重合且B ，C 不能为圆A 的一直径的两个端点．因为点B ，C 不能重合，所以点C 不能为(3,5)． 又因为点B ，C 不能为一直径的两个端点，所以x ＋32≠4，且y ＋52≠2，即点C 不能为(5，－1)．故端点C 的轨迹方程是(x －4)2＋(y －2)2＝10(除去点(3,5)和(5，－1))，它的轨迹是以点A (4,2)为圆心，10为半径的圆，但除去(3,5)和(5，－1)两点．。

章末分层突破[自我校对]①分式不等式的解法②选点法③一正、二定、三相等_________________________________________________ _________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.(1)一化：化二次项系数为正数．(2)二判：判断对应方程的根．(3)三求：求对应方程的根．(4)四画：画出对应函数的图象．(5)五解集：根据图象写出不等式的解集．2．含参数的一元二次不等式的分类和讨论步骤(1)对二次项系数含有参数的一元二次不等式，要注意对二次项系数是否为零的讨论，特别当二次项系数为零时需转化为一元一次不等式来求解．(2)对含参数的一元二次不等式，在其解的情况不明确的情况下，需要对其判别式分Δ>0，Δ＝0，Δ<0三种情况加以讨论．(3)若含参数的一元二次不等式可以转化成用其根x1，x2表示的形如a(x－x1)(x－x2)的形成时，往往需要对其根分x1>x2，x1＝x2，x1<x2三种情况进行讨论，或用根与系数的关系帮助求解．解不等式：a(x－1)x－2>1(a≠1)．【精彩点拨】先化分式不等式为整式不等式，再就a的取值讨论不等式的解法．【规范解答】 原不等式可化为a (x －1)x －2－1>0， 即(a －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a －2a －1(x －2)>0，(*) 当a >1时，(*)即为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a －2a －1(x －2)>0， 而a －2a －1－2＝－1a －1－1<0. ∴a －2a －1<2，此时，x >2或x <a －2a －1. 当a <1时，(*)即为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a －2a －1(x －2)<0， 而2－a －2a －1＝aa －1. 若0<a <1，则a －2a －1>2，此时2<x <a －2a －1； 若a ＝0，则(x －2)2<0，此时无解； 若a <0，则a －2a －1<2，此时a －2a －1<x <2.综上所述：当a >1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <a －2a －1或x >2； 当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2<x <a －2a －1； 当a ＝0时，不等式的解集为∅；当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪a －2a －1<x <2. [再练一题]1．解不等式x 2－2ax ＋2≤0.【解】 对于方程x 2－2ax ＋2＝0，因为Δ＝4a 2－8，所以当Δ<0，即－2<a <2时，x 2－2ax ＋2＝0无实根．又二次函数y ＝x 2－2ax ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅；当Δ＝0，即a＝±2时，x2－2ax＋2＝0有两个相等的实根，当a＝2时，原不等式的解集为{x|x＝2}，当a＝－2时，原不等式的解集为{x|x＝－2}；当Δ>0，即a>2或a<－2时，x2－2ax＋2＝0有两个不相等的实根，分别为x1＝a－a2－2，x2＝a＋a2－2，且x1<x2，所以原不等式的解集为{x|a－a2－2≤x≤a＋a2－2}．综上，当a>2或a<－2时，解集为{x|a－a2－2≤x≤a＋a2－2}；当a ＝2时，解集为{x|x＝2}；当a＝－2时，解集为{x|x＝－2}；当－2<a<2时，解集为∅.1.(1)给定一定数量的人力、物力资源，如何运用这些资源，使完成任务量最大，收到的效益最高；(2)给定一项任务，怎样统筹安排，使得完成这项任务耗费的人力、物力资源最少．2．解答线性规划应用题的步骤(1)列：设出未知数，列出约束条件，确定目标函数．(2)画：画出线性约束条件所表示的可行域．(3)移：在线性目标函数所表示的一族平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线．(4)求：通过解方程组求出最优解．(5)答：作出答案．某厂用甲、乙两种原料生产A，B两种产品，制造1 t A,1 t B产品需要的各种原料数，可得到的利润以及工厂现有各种原料数如下表：(1)在现有原料条件下，生产A ，B 两种产品各多少时，才能使利润最大？ (2)每吨B 产品的利润在什么范围变化时，原最优解不变？当超出这个范围时，最优解有何变化？【精彩点拨】 先用二元一次不等式组表示约束条件，并画出可行域，再利用图解法求最优解．【规范解答】(1)生产A ，B 两种产品分别为x t ，y t ，则利润z ＝5x ＋3y ，x ，y 满足⎩⎨⎧2x ＋y ≤14，x ＋3y ≤18，x ≥0，y ≥0，作出可行域如图：当直线5x ＋3y ＝z 过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫245，225时，z 取最大值3715，即生产A 产品245 t ，B 产品225 t 时，可得最大利润．(2)设每吨B 产品利润为m 万元，则目标函数是z ＝5x ＋my ，直线斜率k ＝－5m ，又k AB ＝－2，k CB ＝－13，要使最优解仍为B 点， 则－2≤－5m ≤－13，解得52≤m ≤15，则B 产品的利润在52万元/t 与15万元/t 之间时，原最优解仍为生产A 产品245t ，B 产品225 t ，若B 产品的利润超过15万元/t ，则最优解为C (0,6)，即只生产B 产品6 t ，若B 产品利润低于52万元/t ，则最优解为A (7,0)，即只生产A 产品7 t.[再练一题]2．实数x ，y满足不等式组⎩⎨⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≥0，则W ＝y －1x ＋1的取值范围是________.【导学号：91730074】【解析】 连线的斜率问题．画出题中不等式组所表示的可行域如图所示，目标函数W ＝y －1x ＋1表示阴影部分的点与定点A (－1,1)的连线的斜率，由图可知，点(－1,1)与点(1,0)连线的斜率为最小值，最大值趋近于1，但永远达不到1，故－12≤W <1.【答案】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1>0)解“定积求和，和最小”问题，用ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22解“定和求积，积最大”问题．一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”．特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量等方法，构造定值成立的条件，和对等号能否成立的验证．若等号不能取到，则应用函数单调性来求最值，还要注意运用基本不等式解决实际问题．设函数f (x )＝x ＋ax ＋1，x ∈[0，＋∞)． (1)当a ＝2时，求函数f (x )的最小值； (2)当0<a <1时，求函数f (x )的最小值．【精彩点拨】 (1)将原函数变形，利用基本不等式求解． (2)利用函数的单调性求解．【规范解答】 (1)把a ＝2代入f (x )＝x ＋a x ＋1，得f (x )＝x ＋2x ＋1＝(x ＋1)＋2x ＋1－1. ∵x ∈[0，＋∞)，∴x ＋1>0，2x ＋1>0， ∴x ＋1＋2x ＋1≥22， 当且仅当x ＋1＝2x ＋1，即x ＝2－1时，f (x )取最小值．此时，f (x )min ＝22－1. (2)当0<a <1时，f (x )＝x ＋1＋a x ＋1－1，若x ＋1＋a x ＋1≥2a ， 则当且仅当x ＋1＝ax ＋1时取等号， 此时x ＝a －1<0(不合题意)， 因此，上式等号取不到． 设x 1>x 2≥0， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋a x 1＋1－x 2－a x 2＋1＝(x 1－x 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－a (x 1＋1)(x 2＋1).∵x 1>x 2≥0，∴x 1－x 2>0，x 1＋1>1，x 2＋1≥1， ∴(x 1＋1)(x 2＋1)>1，而0<a <1， ∴a(x 1＋1)(x 2＋1)<1，∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x )在[0，＋∞)上单调递增， ∴f (x )min ＝f (0)＝a . [再练一题]3．东海水晶制品厂去年的年产量10万件，每件水晶产品的销售价为100元，从今年起，工厂投入100万元科技成本，并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本，预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g (n )与科技成本投入n 关系g (n )＝80n ＋1，若水晶产品销售价格不变，第n 次投入后的平均利润为f (n )万元．(1)求f (n )；(2)从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？【解】 (1)第n 次投入后，产量10＋n 万件，售价100元，固定成本80n ＋1元，科技成本投入100n 万元，∴f (n )＝(10＋n )⎝⎛⎭⎪⎫100－80n ＋1－100n (n ∈N *)． (2)由(1)知f (n )＝(10＋n )⎝⎛⎭⎪⎫100－80n ＋1－100n ＝1 000－80⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1＋9n ＋1≤520(万元)， 当n ＋1＝9n ＋1，即n ＝8时，利润最高，最高利润520万元． 答：从今年算起第8年利润最高为520万元.的取值范围，经常采用分离参数的方法，转化为字母参数与函数的最值关系问题．对于不等式恒成立求参数范围问题常见类型及解法有以下几种： 1．变更主元法根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元．2．分离参数法若f (a )<g (x )恒成立，则f (a )<g (x )min ； 若f (a )>g (x )恒成立，则f (a )>g (x )max . 3．数形结合法利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化．若x 2－2ax ＋2≥a 在x ∈[－1，＋∞)上恒成立，求a 的取值范围．【精彩点拨】 可联系二次函数，利用对称轴与所给区间的关系讨论a ，也可结合二次函数的图象构造a 的不等式组．【规范解答】 法一：设f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图象的对称轴为x ＝a .(1)当a ∈(－∞，－1)时，结合图象知，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3.要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ，即2a ＋3≥a ，解得a ≥－3. 又a <－1，∴－3≤a <－1.(2)当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2， 由2－a 2≥a ，解得－2≤a ≤1. 又a ≥－1，∴－1≤a ≤1.综上所述，所求a 的取值范围为[－3,1]．法二：由已知得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立，令g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，即Δ＝(－2a )2－4(2－a )≤0或⎩⎨⎧Δ>0，a ≤－1，g (－1)≥0，解得－3≤a ≤1. [再练一题]4．若关于x 的不等式4x ＋mx 2－2x ＋3<2对任意的x 恒成立，求实数m 的取值范围．【解】 法一：∵x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2>0， ∴4x ＋mx 2－2x ＋3<2等价于2x 2－8x ＋6－m >0，要使2x 2－8x ＋6－m >0恒成立，则只需要Δ<0， 即64－8(6－m )<0，∴m <－2， ∴m 的取值范围是m <－2.法二：结合法一，不等式2x 2－8x ＋6－m >0对任意的x 恒成立，则只需m <2x 2－8x ＋6对任意的x 恒成立，∵2x 2－8x ＋6＝2(x －2)2－2≥－2，∴2x 2－8x ＋6在x ∈R 上的最小值为－2，∴m <－2.1．(2015·江苏高考)不等式2x 2－x ＜4的解集为______． 【解析】 ∵2x 2－x ＜4，∴2x 2－x ＜22， ∴x 2－x ＜2，即x 2－x －2＜0，∴－1＜x ＜2. 【答案】 {x |－1＜x ＜2}()或(－1，2)2．(2016·全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分．由⎩⎨⎧x －2y ＝0，x ＋2y －2＝0得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12.当直线z ＝x ＋y 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12时，z max ＝1＋12＝32.【答案】 323．(2015·山东高考)定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy (x ，y ∈R ，xy ≠0)．当x >0，y >0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________．【解析】 因为x y ＝x 2－y 2xy ，所以(2y x ＝4y 2－x 22xy .又x >0.y >0，故x y ＋(2y x ＝x 2－y 2xy ＋4y 2－x 22xy ＝x 2＋2y 22xy ≥22xy2xy ＝2，当且仅当x ＝2y 时，等号成立．【答案】24．(2016·浙江高考改编)在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎨⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝________.【解析】 作出可行域，如图所示．由⎩⎨⎧x ＝2，x ＋y ＝0 得A ′(2，－2)． 由⎩⎨⎧x ＋y ＝0，x －3y ＋4＝0 得B ′(－1,1)．由于直线x ＋y ＝0与直线x ＋y －2＝0平行，所以可行域中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影AB 的长度|AB |＝|A ′B ′|＝32＋(－3)2＝3 2.【答案】 3 25．(2016·江苏高考)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．【解析】 根据已知的不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，则(x ，y )为阴影区域内的动点．d ＝x 2＋y 2可以看做坐标原点O 与可行域内的点(x ，y )之间的距离．数形结合，知d 的最大值是OA 的长，d 的最小值是点O 到直线2x ＋y －2＝0的距离．由⎩⎨⎧x －2y ＋4＝0，3x －y －3＝0可得A (2,3)，所以d max ＝22＋32＝13，d min ＝|－2|22＋12＝25.所以d 2的最小值为45，最大值为13.所以x 2＋y 2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13章末综合测评(三)(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中的横线上)1．若不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为A ∩B ，那么a ＋b ＝________.【解析】 因为x 2－2x －3<0的解集为A ＝{x |－1<x <3}，不等式x 2＋x －6<0的解集为B ＝{x |－3<x <2}，不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为A ∩B ＝{x |－1<x <2}，所以x 2＋ax ＋b ＝0的解为x 1＝－1，x 2＝2.由根与系数的关系，得a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3.【答案】 －32．(2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．【解析】 设生产产品A x 件，产品B y 件，则⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *.目标函数z ＝2 100x ＋900y .作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)．当直线z ＝2 100x ＋900y 经过点(60,100)时，z 取得最大值，z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．【答案】 216 0003．利用基本不等式求最值，下列运用正确的是________． ①y ＝|x |2＋4|x |≥2|x |2·4|x |＝4|x |≥0；②y ＝sin x ＋4sin x ≥2sin x ·4sin x ＝4(x 为锐角)；③已知ab ≠0，a b ＋ba ≥2ab ·b a ＝2；④y ＝3x ＋43x ≥23x ·43x ＝4.【解析】 ①错，右侧不为定值；②错，sin x ＝4sin x ，则sin x ＝2>1；③错，a b 与ba 为负时不成立．【答案】 ④4．某工厂第一年的产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b .这两年的平均增长率为x ，则x 与a ＋b2的大小关系为________.【导学号：91730075】【解析】 由题意可知A (1＋x )2＝A (1＋a )(1＋b )≤A ⎝⎛⎭⎪⎫2＋a ＋b 22，∴x ≤a ＋b 2. 【答案】 x ≤a ＋b25．(2016·南京高二检测)若0≤x ≤1,0≤y ≤2，且2y －x ≥1，则z ＝2y －2x ＋4的最小值为________．【解析】由已知作出可行域(如图)， 由z ＝2y －2x ＋4，得y ＝x －2＋z 2， 当x ＝1，y ＝1时，z min ＝4. 【答案】 46．设M ＝a ＋1a －2(2<a <3)，N ＝log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋116，x ∈R ，则M ，N 的大小关系为________．【解析】 M ＝a －2＋1a －2＋2≥2＋2＝4， 此时a －2＝1，a ＝3， 而2<a <3，则M >4，N ＝log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋116≤log 12116＝4，∴M >N . 【答案】 M >N7．在如图1所示的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则a 的一个可能值是________．图1【解析】 若最优解有无数个，则y ＝－1a x ＋za 与其中一条边平行，而三边的斜率分别为13，－1,0，与－1a 对照可知a ＝－3或1，又因z ＝x ＋ay 取得最小值，则a ＝－3.【答案】 －38．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m 2，形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是________．(1)6.5 m ；(2)6.8 m ；(3)7 m ；(4)7.2 m.【解析】 设两直角边分别为a ，b ，直角三角形的框架的周长为l ，则12ab ＝2，∴ab ＝4，l ＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4＋22≈6.828(m)．因为要求够用且浪费最少，故答案为(3)．【答案】 (3)9．方程x 2＋(m －2)x ＋5－m ＝0的两根都大于2，则m 的取值范围是________．【解析】 令f (x )＝x 2＋(m －2)x ＋5－m ， 要使f (x )＝0的两根都大于2，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(m －2)2－4(5－m )≥0，f (2)>0，－m －22>2，解得⎩⎨⎧m 2≥16，m >－5，⇒－5<m ≤－4，m <－2故答案为(－5，－4]． 【答案】 (－5，－4]10．已知等比数列{a n }各项均为正数，公比q ≠1，设P ＝a 2＋a 92，Q ＝a 4a 7，则P 与Q 的大小关系是________．【解析】 ∵{a n }是等比数列， ∴a 2·a 9＝a 4·a 7， ∴a 2＋a 92≥a 2a 9＝a 4a 7. 又q ≠1，∴a 2≠a 9， ∴a 2＋a 92>a 4a 7， ∴P >Q . 【答案】 P >Q11．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2ax ，x ≥2，2x ＋1，x <2，若f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________．【解析】 f (1)＝2＋1＝3，f (f (1))＝f (3)＝32＋6a ，若f (f (1))>3a 2，则9＋6a >3a 2，即a 2－2a －3<0，解得－1<a <3.【答案】 (－1,3)12．已知x ，y ，z ∈(0，＋∞)，且满足x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz 的最小值为________．【解析】 由题意知y ＝x ＋3z 2，所以y 2xz ＝x 2＋9z 2＋6xz 4xz＝x 2＋9z 24xz ＋32≥29x 2z 24xz＋32＝32＋32＝3，当且仅当x 2＝9z 2时等号成立， 所以y 2xz 的最小值为3.【答案】 313．(2016·苏州高二检测)已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，那么不等式f (x ＋2)<5的解集是________.【导学号：91730076】【解析】 因为f (x )为偶函数，所以f (|x ＋2|)＝f (x ＋2)， 则f (x ＋2)<5可化为f (|x ＋2|)<5，即|x ＋2|2－4|x ＋2|<5， (|x ＋2|＋1)(|x ＋2|－5)<0，所以|x ＋2|<5，解得－7<x <3，所以不等式f (x ＋2)<5的解集是(－7,3)． 【答案】 (－7,3)14．设m >1，在约束条件⎩⎨⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋5y 的最大值为4，则m 的值为________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，把目标函数化为y ＝－15x ＋z 5，显然当y ＝－15x ＋z5过点A 时取到最大值．此时z ＝4，即y ＝－15x ＋45. 由⎩⎨⎧x ＋5y ＝4，y ＝x ，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23.把A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23代入y ＝mx 得，23m ＝23，∴m ＝1. 【答案】 1二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)解关于x 的不等式：x －ax －a 2<0(a ∈R )． 【解】 原不等式等价于(x －a )(x －a 2)<0. (1)当a ＝0时，原不等式为x 2<0， ∴x ∈∅.(2)当a ＝1时，原不等式为(x －1)2<0， ∴x ∈∅.(3)当0<a <1时，a >a 2，∴原不等式的解集为{x |a 2<x <a }． (4)当a <0或a >1时，a 2>a ， ∴原不等式的解集为{x |a <x <a 2}．综上，当a ＝0或a ＝1时，不等式解集为∅； 当0<a <1时，不等式解集为{x |a 2<x <a }； 当a <0或a >1时，不等式解集为{x |a <x <a 2}．16．(本小题满分14分)已知关于x 的不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0)． (1)若不等式的解集是{x |x <－3或x >－2}，求k 的值； (2)若不等式的解集是R ，求k 的取值范围．【解】 (1)因为不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}，所以－3，－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根且k <0.由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧(－3)×(－2)＝6，(－3)＋(－2)＝2k ，解得k ＝－25.(2)因为不等式的解集为R ，所以⎩⎨⎧k <0，Δ＝4－4k ·6k <0，即⎩⎨⎧k <0，k >66或k <－66，所以k <－66.即k 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－66.17．(本小题满分14分)画出不等式组⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x ，y 的取值范围； (2)平面区域内有多少个整点？ (3)求z ＝x －2y 的最大值．【解】 (1)不等式x －y ＋5≥0表示直线x －y ＋5＝0上及其右下方的点的集点，x ＋y ≥0表示直线x ＋y ＝0上及其右上方的点的集合，x ≤3表示直线x ＝3上及其左方的点的集合．所以，不等式组⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域如图所示．结合图中可行域得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，3，y ∈[－3,8]．(2)由图形及不等式组知⎩⎪⎨⎪⎧－x ≤y ≤x ＋5，－52≤x ≤3，且x ∈Z ，当x ＝3时，－3≤y ≤8，有12个整点；当x ＝2时，－2≤y ≤7，有10个整点；当x ＝1时，－1≤y ≤6，有8个整点；当x ＝0时，0≤y ≤5，有6个整点；当x ＝－1时，1≤y ≤4，有4个整点；当x ＝－2时，2≤y ≤3，有2个整点．所以平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)．(3)平移直线y ＝12x －z2，所以当直线过点()3，－3时z 值最大．所以z max ＝3－2×(－3)＝9.18．(本小题满分16分)(2016·江苏高考改编)在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin B sin C ，求tan A tan B tan C 的最小值．【解】 在锐角三角形ABC 中， ∵sin A ＝2sin B sin C ， ∴sin(B ＋C )＝2sin B sin C ，∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ，等号两边同除以cos B cos C ，得tan B ＋tan C ＝2tan B tan C .∴tan A ＝tan[π－(B ＋C )]＝－tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C tan B tan C －1＝2tan B tan C tan B tan C －1.①∵A ，B ，C 均为锐角，∴tan B tan C －1>0，∴tan B tan C >1. 由①得tan B tan C ＝tan Atan A －2.又由tan B tan C >1得tan Atan A －2>1，∴tan A >2.∴tan A tan B tan C ＝tan 2Atan A －2＝(tan A －2)2＋4(tan A －2)＋4tan A －2＝(tan A －2)＋4tan A －2＋4≥24＋4＝8，当且仅当tan A －2＝4tan A －2，即tan A ＝4时取得等号．故tan A tan B tan C 的最小值为8.19．(本小题满分16分)规定：max(a ，b ，c )与min(a ，b ，c )分别表示a ，b ，c 中的最大数与最小数，若正系数二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴有公共点，试证：(1)max(a ，b ，c )≥49f (1)； (2)min(a ，b ，c )≤14f (1)．【证明】 由题意知a ，b ，c >0，f (1)＝a ＋b ＋c ，Δ＝b 2－4ac ≥0. (1)若b ≥49f (1)，结论显然成立； 下面证明当b <49f (1)时，结论也成立．记f (1)＝a ＋b ＋c ＝d .，由b 2－4ac ≥0，可知ac ≤b 24<481d 2，而a ＋c ＝d －b >59d ，所以a 2＋481d 2≥a 2＋ac ＝a (a ＋c )>59ad ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a －19d ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －49d >0，解得a <19d 或 a >49d .若a <19d ，则a ＋c >59d ，c >49d . 因此，必有a >49f (1)或b >49f (1)或c >49f (1)，于是max(a ，b ，c )≥49f (1)． (2)若a ≤14f (1)，结论显然成立； 下面证明当a >14f (1)时，结论也成立． 因为b ＋c ＝d －a <34d 且b 2≥4ac >cd ， 所以c ＋cd <c ＋b <34d ， 整理为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32d ⎝ ⎛⎭⎪⎫c －12d <0，解得c <14d .因此，必有a ≤14f (1)或c <14f (1)，于是min(a ，b ，c )≤14f (1)．20．(本小题满分16分)(2016·南京高二检测)某个集团公司下属的甲、乙两个企业在2016年1月的产值都为a 万元，甲企业每个月的产值与前一个月相比增加的产值相等，乙企业每个月的产值与前一个月相比增加的百分数相等，到2017年1月两个企业的产值再次相等．(1)试比较2016年7月甲、乙两个企业产值的大小，并说明理由． (2)甲企业为了提高产能，决定投入3.2万元买台仪器，并且从2017年2月1日起投入使用．从启用的第一天起连续使用，第n 天的维修保养费为n ＋4910元，(n ∈N *)，求前n 天这台仪器的日平均耗资(含仪器的购置费)，并求日平均耗资最少时使用的天数？【解】 (1)设从2016年1月到2017年1月甲企业每个月的产值分别为a 1，a 2，a 3，…，a 13，乙企业每个月的产值分别为b 1，b 2，…，b 13，由题意{a n }成等差数列，{b n }成等比数列，所以a 7＝12(a 1＋a 13)，b 7＝b 1·b 13，因为a 1＝b 1，a 13＝b 13，从而a 7＝12(a 1＋a 13)>a 1·a 13＝b 1·b 13＝b 7，所以到7月份甲企业的产值比乙企业的产值要大． (2)设一共使用了n天，n天的平均耗资P (n )＝32 000＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4910＋2＋4910＋3＋4910＋…＋n ＋4910n＝32 000＋49n 10＋n (n ＋1)20n＝32 000n ＋n 20＋9920≥232 000n ×n 20＋9920＝1 69920(元)，当且仅当32 000n ＝n20时，取得最小值，此时n ＝800，即日平均耗资最少时使用了800天．模块综合测评(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中的横线上)1．在△ABC 中，a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，若a ＝2，A ＝π4，B ＝π6，则b 等于________．【解析】 由正弦定理得b ＝a sin Bsin A ＝2×1222＝ 2.【答案】22．已知等比数列{a n }的公比q 为正数，且a 5·a 7＝4a 24，a 2＝1，则a 1＝________. 【解析】 ∵{a n }成等比数列，∴a 5·a 7＝a 26， ∴a 26＝4a 24，∴q 2＝4，∴q ＝±2. 又q >0，∴q ＝2. ∴a 1＝a 2q ＝12. 【答案】 123．设x >0，y >0，下列不等式中等号不成立的是________． ①x ＋y ＋2xy ≥4；②(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ≥4；③⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1y ≥4；④x 2＋3x 2＋2≥2. 【解析】 ④中，x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2.因为x 2＋2≥2，故应用不等式时，等号不成立． 【答案】 ④4．等差数列{a n }满足a 24＋a 27＋2a 4a 7＝9，则其前10项之和为________． 【解析】 由a 24＋a 27＋2a 4a 7＝9，可知a 4＋a 7＝±3. ∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 4＋a 7)2＝±15.【答案】 ±155．已知点A (3，－1)，B (－1,2)在直线ax ＋2y －1＝0的同侧，则实数a 的取值范围为________．【解析】 由题意可知， (3a －3)(－a ＋3)>0， 即(a －1)(a －3)<0， ∴1<a <3. 【答案】 (1,3)6．已知2a ＋1<0，关于x 的不等式x 2－4ax －5a 2>0的解集是________． 【解析】 x 2－4ax －5a 2>0，即(x －5a )(x ＋a )>0， 而方程(x －5a )(x ＋a )＝0的根为x 1＝－a ，x 2＝5a .∵2a ＋1<0，则a <－12，∴－a >5a ，∴原不等式的解集为{x |x <5a 或x >－a }． 【答案】 {x |x <5a 或x >－a }7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c ，成等比数列，且c ＝2a ，则cos B ＝________.【解析】 由已知可知b 2＝ac . 又c ＝2a ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34.【答案】 348．(2016·南通高二检测)已知数列1，a 1，a 2,4等差数列，且实数列1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1＋a 2b 2的值为________.【导学号：91730077】【解析】 ∵a 1＋a 2＝1＋4＝5，b 22＝1×4＝4，但b 2＝1×q 2>0，∴b 2＝2，故a 1＋a 2b 2＝52.【答案】 529．台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40 km 处，B 城市处于危险区内持续的时间为________小时．【解析】 设t 小时后，B 市处于危险区内，则由余弦定理得(20t )2＋402－2×20t ×40cos 45°≤302.化简得4t 2－82t ＋7≤0，∴t 1＋t 2＝22，t 1·t 2＝74.从而|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝1. 【答案】 110．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y ≤4，x －y ≤1，x ＋2≥0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为________．【解析】 首先画出线性约束条件⎩⎨⎧x ＋2y ≤4，x －y ≤1，x ＋2≥0的可行域(如图阴影部分)，是一个三角形，然后在可行域内平行移动目标函数z ＝3x －y ，当经过x ＋2y ＝4与x －y ＝1的交点(2,1)时，目标函数取得最大值z ＝3×2－1＝5.【答案】 511．已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，15＋25＋35＋45，…，那么数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前n 项和为________．【解析】 观察数列{a n }可知，a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋nn ＋1＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n 2，∴1a n a n ＋1＝4n (n ＋1)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前n 项和为：4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1 ＝4n n ＋1. 【答案】4nn ＋112．(2016·镇江高二检测)已知二次函数f (x )＝ax 2－x ＋c (x ∈R )的值域为[0，＋∞)，则c ＋2a ＋a ＋2c 的最小值为________.【导学号：91730078】【解析】 ∵二次函数f (x )＝ax 2－x ＋c (x ∈R )的值域[0，＋∞)，∴a >0， 且4ac －14a ＝0， ∴ac ＝14，∴c >0，∴c ＋2a ＋a ＋2c ＝c a ＋a c ＋2a ＋2c ≥2c a ·ac ＋24ac ＝2＋8＝10，当且仅当a ＝c时取等号．【答案】 1013．(2016·南京高二检测)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．【解析】 ∵a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，a ＝2，又(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C 可化为(a ＋b )(a －b )＝(c －b )·c ，∴a 2－b 2＝c 2－bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12＝cos A ， ∴A ＝60°.∵△ABC 中，4＝a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos 60°＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc (当且仅当b ＝c 时取得“＝”)， ∴S △ABC ＝12·bc ·sin A ≤12×4×32＝ 3. 【答案】314．设{a n }是等比数列，公比q ＝2，S n 为{a n }的前n 项和．记T n ＝17S n －S 2na n ＋1，n ∈N *.设Tn 0为数列{T n }的最大项，则n 0＝________.【解析】 根据等比数列的通项公式 S n ＝a 1(1－q n )1－q，故T n ＝17×a 1(1－q n )1－q －a 1(1－q 2n )1－qa 1q n＝q 2n －17q n ＋16(1－q )q n＝11－q ⎝⎛⎭⎪⎫q n ＋16q n －17，令q n＝(2)n＝t ，则函数g (t )＝t ＋16t ，当t ＝4时函数g (t )取得最小值，此时n ＝4，而11－q ＝11－2<0，故此时T n 最大，所以n 0＝4. 【答案】 4二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .【解】 (1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得 sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0. 因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0. 由于sin C ≠0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.又0<A <π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4. 而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8. 解得b ＝c ＝2.16．(本小题满分14分)已知数列{a n }的前n 项和S n 与通项a n 满足S n ＝12－12a n . (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设f (x )＝log 3x ，b n ＝f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a n )，T n ＝1b 1＋1b 2＋…＋1b n，求T 2017.【解】 (1)当n ＝1时，a 1＝13.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，又S n ＝12－12a n ，∴a n ＝13a n －1，即数列{a n }是首项为13，公比为13的等比数列，故a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n .(2)由已知得f (a n )＝log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫13n＝－n ，∴b n ＝f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a n )＝－1－2－3－…－n ＝－n (n ＋1)2，∴1b n ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴T n ＝－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1. ∴T 2 017＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12 018＝－2 0171 009.17．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝x 2－2x －8，g (x )＝2x 2－4x －16. (1)求不等式g (x )<0的解集；(2)若对一切x >2，均有f (x )≥(m ＋2)x －m －15成立，求实数m 的取值范围． 【解】 (1)g (x )＝2x 2－4x －16<0， ∴(2x ＋4)(x －4)<0，∴－2<x <4， ∴不等式g (x )<0的解集为{x |－2<x <4}． (2)∵f (x )＝x 2－2x －8，当x >2时，f (x )≥(m ＋2)x －m －15恒成立， ∴x 2－2x －8≥(m ＋2)x －m －15， 即x 2－4x ＋7≥m (x －1)，∴对一切x >2，均有不等式x 2－4x ＋7x －1≥m 成立．而x 2－4x ＋7x －1＝(x －1)＋4x －1－2≥2(x －1)×4x －1－2＝2(当x ＝3时等号成立)． ∴实数m 的取值范围是(－∞，2]．18．(本小题满分16分)(2016·苏州高二检测)已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n >60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．【解】 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，依题意，2,2＋d,2＋4d 成等比数列，故有(2＋d )2＝2(2＋4d )，化简得d 2－4d ＝0， 解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2，从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2.(2)当a n ＝2时，S n ＝2n .显然2n <60n ＋800， 此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立． 当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋(4n －2)]2＝2n 2.令2n 2>60n ＋800， 即n 2－30n －400>0， 解得n >40或n <－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的n ，其最小值为41.19．(本小题满分16分)设不等式组⎩⎨⎧x >0，y >0，y ≤－nx ＋3n所表示的平面区域为D n ，记D n 内的格点(格点即横坐标和纵坐标均为整数的点)的个数为f (n )(n ∈N *)．(1)求f (1)，f (2)的值及f (n )的表达式； (2)设b n ＝2n f (n )，S n 为{b n }的前n 项和，求S n . 【解】 (1)f (1)＝3，f (2)＝6.当x ＝1时，y ＝2n ，可取格点2n 个； 当x ＝2时，y ＝n ，可取格点n 个， ∴f (n )＝3n .(2)由题意得：b n ＝3n ·2n ，S n ＝3·21＋6·22＋9·23＋…＋3(n －1)·2n －1＋3n ·2n ， ∴2S n ＝3·22＋6·23＋…＋3(n －1)·2n ＋3n ·2n ＋1， ∴－S n ＝3·21＋3·22＋3·23＋…＋3·2n －3n ·2n ＋1＝3(2＋22＋…＋2n )－3n ·2n ＋1 ＝3·2－2n ＋11－2－3n ·2n ＋1＝3(2n ＋1－2)－3n ·2n ＋1， ∴－S n ＝(3－3n )2n ＋1－6， ∴S n ＝6＋(3n －3)2n ＋1.20．(本小题满分16分)小王在年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售价格为25－x 万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)【解】 (1)设大货车到第x 年年底的运输累计收入与总支出的差为y 万元， 则y ＝25x －⎣⎢⎡⎦⎥⎤6x ＋x (x －1)2×2－50(0<x ≤10，x ∈N )， 即y ＝－x 2＋20x －50(0<x ≤10，x ∈N )， 由－x 2＋20x －50>0， 解得10－52<x <10＋52， 而2<10－52<3，故从第3年开始运输累计收入超过总支出． (2)因为利润＝累计收入＋销售收入－总支出， 所以销售二手货车后，小王的年平均利润为 y ＝1x [y ＋(25－x )] ＝1x (－x 2＋19x －25) ＝19－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ，而19－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ≤19－2x ·25x ＝9，.当且仅当x＝5时取得等号，即小王应当在第5年底将大货车出售，才能使年平均利润最大．。

第一章立体几何初步[自我校对]①球②斜二测画法③公理3④平行⑤相交⑥[0°，90°]⑦[0°，180°]__________________________________________________________ __________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________空间几何体的体积及表面积几何体的表面积及体积的计算是现实生活中经常能够遇到的问题，在计算中应注意各数量之间的关系及各元素之间的位置关系，特别是特殊的柱、锥、台体，要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的应用，注意分割与组合的合理应用；关注展开与折叠问题．如图1－1，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC ＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．图1－1(1)证明MN∥平面PAB；(2)求四面体N－BCM的体积．【精彩点拨】(1)利用线面平行的判定定理进行证明，即通过线线平行证明线面平行；(2)先求出点N到平面BCM的距离及△BCM的面积，然后代入锥体的体积公式求解．【规范解答】2(1)证明：由已知得AM＝AD＝2.3如图，取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知TN∥BC，1TN＝BC＝2.2又AD∥BC，故TN綊AM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT.因为AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，所以MN∥平面PAB.(2)因为PA⊥平面ABCD，N为PC的中点，1 所以N到平面ABCD的距离为PA.2如图，取BC的中点E，连接AE.由AB＝AC＝3得AE⊥BC，AE＝AB2－BE2＝ 5.由AM∥BC得M到BC的距离为5，1故S△BCM＝×4× 5＝2 5.21 PA 4 5所以四面体N－BCM的体积V N－BCM＝×S△BCM×＝.3 2 3[再练一题]1．如图1－2，三棱锥A－BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD.图1－2(1)求证：CD⊥平面ABD；(2)若AB＝BD＝CD＝1，M为AD中点，求三棱锥A－MBC的体积．【解】(1)证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.又∵CD⊥BD，AB∩BD＝B，AB⊂平面ABD，BD⊂平面ABD，∴CD⊥平面ABD.(2)法一：由AB⊥平面BCD，得AB⊥BD.11 1∵M是AD的中点，∴S△ABM＝S△ABD＝.2 4由(1)知，CD⊥平面ABD，∴三棱锥C－ABM的高h＝CD＝1，因此三棱锥A－MBC的体积1 1V A－MBC＝V C－ABM＝S△ABM·h＝.3 12(2)法二：由AB⊥平面BCD知，平面ABD⊥平面BCD，又平面ABD∩平面BCD＝BD，如图，过点M作MN⊥BD交BD于点N，1 1则MN⊥平面BCD，且MN＝AB＝，2 21又CD⊥BD，BD＝CD＝1，∴S△BCD＝，2∴三棱锥A－MBC的体积V A－MBC＝V A－BCD－V M－BCD1 1 1＝AB·S△BCD－MN·S△BCD＝.3 3 12直线、平面平行的判定和性质1.判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒α∥β)．2．证明面面平行的方法：(1)利用面面平行的定义；(2)利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．如图1－3，E，F，G，H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中点，图1－3求证：(1)GE∥平面BDD1B1；(2)平面BDF∥平面B1D1H.【精彩点拨】(1)取B1D1的中点O，证明四边形BEGO是平行四边形．(2)证B1D1∥平面BDF，HD1∥平面BDF.【规范解答】(1)取B1D1的中点O，连结GO，OB，1 1 易证OG綊B1C1，BE綊B1C1，2 2∴OG綊BE，四边形BEGO为平行四边形，∴OB∥GE.∵OB⊂平面BDD1B1，GE⊄平面BDD1B1，∴GE∥平面BDD1B1.(2)由正方体性质得B1D1∥BD，∵B1D1⊄平面BDF，BD⊂平面BDF，∴B1D1∥平面BDF.连结HB，D1F，易证HBFD1 是平行四边形，得HD1∥BF.∵HD1⊄平面BDF，BF⊂平面BDF，∴HD1∥平面BDF.∵B1D1∩HD1＝D1，∴平面BDF∥平面B1D1H.[再练一题]2.如图1－4，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.图1－4求证：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.5【证明】(1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC.又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C.(2)因为棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1.又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1.直线、平面垂直的判定和性质空间垂直关系的判定方法：(1)判定线线垂直的方法①计算所成的角为90°(包括平面角和异面直线所成的角)；②线面垂直的性质(若a⊥α，b⊂α，则a⊥b)．(2)判定线面垂直的方法①线面垂直的定义(一般不易验证任意性)；②线面垂直的判定定理(a⊥m，a⊥n，m⊂α，n⊂α，m∩n＝A⇒a⊥α)；③平行线垂直平面的传递性质(a∥b，b⊥α⇒a⊥α)；④面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝l，a⊂β，a⊥l⇒a⊥α)；⑤面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；⑥面面垂直的性质(α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ⇒l⊥γ)．(3)面面垂直的判定方法①根据定义(作两平面构成二面角的平面角，计算其为90°)；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．如图1－5所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M 是EA的中点．6图1－5求证：(1)DE＝DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA.【精彩点拨】取EC中点F，CA中点N，连结DF，MN，BN.(1)证△DFE≌△ABD，(2)证BN⊥ECA，(3)证DM⊥平面ECA.【规范解答】(1)如图所示，取EC的中点F，连结DF，易知DF∥BC，∵EC⊥BC，∴DF⊥EC.在Rt△DEF和Rt△DBA中，1∵EF＝EC＝BD，2FD＝BC＝AB，∴Rt△DFE≌Rt△ABD，故DE＝DA.1(2)取CA的中点N，连结MN，BN，则MN綊EC，2∴MN∥BD，即N点在平面BDM内．∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN.又CA⊥BN，∴BN⊥平面ECA.∵BN在平面MNBD内，∴平面MNBD⊥平面ECA，即平面BDM⊥平面ECA.(3)∵DM∥BN，BN⊥平面ECA，∴DM⊥平面ECA.又DM⊂平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA.[再练一题]3．如图1－6，四棱锥P－ABCD的底面为平行四边形，PD⊥平面ABCD，M为PC的中点．(1)求证：AP∥平面MBD；(2)若AD⊥PB，求证：BD⊥平面PAD.【导学号：41292056】图1－6【解】(1)如图，连结AC交BD于点O，连结OM.因为底面ABCD是平行四边形，所以点O为AC的中点．又M为PC的中点，所以OM∥PA.因为OM⊂平面MBD，AP⊄平面MBD，所以AP∥平面MBD.(2)因为PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PD⊥AD.因为AD⊥PB，PD∩PB＝P，PD⊂平面PBD，PB⊂平面PBD，所以AD⊥平面PBD.因为BD⊂平面PBD，所以AD⊥BD.因为PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PD⊥BD.又因为BD⊥AD，AD∩PD＝D，AD⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，所以BD⊥平面PAD.平面图形的翻折问题空间几何中的翻折问题是几何证明，求值问题中的重点和难点，在高考中经常考查．(1)解决与翻折有关的问题的关键是搞清翻折前后的变化量和不变量，一般情况下，折线同一侧的线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口．(2)在解决问题时，要综合考虑翻折前后的图形，既要分析翻折后的图形，也要分析翻折前的图形．1如图1－7，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB＝BC＝AP，D是AP的中点，2E，F分别为PC，PD的中点，将△PCD沿CD折起得到四棱锥P－ABCD.图1－7(1)G为线段BC上任一点，求证：平面EFG⊥平面PAD；(2)当G为BC的中点时，求证：AP∥平面EFG.【精彩点拨】(1)转化为证EF⊥平面PAD；(2)转化为证平面PAB∥平面EFG.【规范解答】(1)在直角梯形ABCP中．1∵BC∥AP，BC＝AP，D为AP的中点，2∴BC綊AD，又AB⊥AP，AB＝BC.∴四边形ABCD为正方形．∴CD⊥AP，CD⊥AD，CD⊥PD.在四棱锥P－ABCD中，∵E，F分别为PC，PD的中点，∴EF∥CD，EF⊥AD，EF⊥PD.又PD∩AD＝D，PD⊂平面PAD，AD⊂平面PAD.∴EF⊥平面PAD.又EF⊂平面EFG，∴平面EFG⊥平面PAD.(2)法一∵G，F分别为BC和PC的中点，∴GF∥BP，∵GF⊄平面PAB，BP⊂平面PAB，∴GF∥平面PAB.由(1)知，EF∥DC，∵AB∥DC，∴EF∥AB，∵EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB.∵EF∩GF＝F，EF⊂平面EFG，GF⊂平面EFG.∴平面EFG∥平面PAB.∵PA⊂平面PAB，∴PA∥平面EFG.法二取AD中点H(略)，连结GH，HE.由(1)知四边形ABCD为平行四边形．又G，H分别为BC，AD的中点，∴GH∥CD.由(1)知，EF∥CD，∴EF∥GH.∴四点E，F，G，H共面．∵E，H分别为PD，AD的中点，∴EH∥PA.∵PA⊄平面EFGH，EH⊂平面EFGH.∴PA∥平面EFGH，即PA∥平面EFG.[再练一题]4．如图1－8(1)所示，在直角梯形ABEF中(图中数字表示线段的长度)，将直角梯形DCEF 沿CD折起，使平面DCEF⊥平面ABCD，连结部分线段后围成一个空间几何体，如图1－8(2)所示．(1)(2)图1－8(1)求证：BE∥平面ADF；(2)求三棱锥F－BCE的体积．1【解】(1)证明：法一取DF的中点G，连结AG，EG，∵CE＝DF，2∴EG綊CD.又∵AB綊CD，∴EG綊AB，∴四边形ABEG为平行四边形，∴BE∥AG.∵BE⊄平面ADF，AG⊂平面ADF，∴BE∥平面ADF.法二由图(1)可知BC∥AD，CE∥DF，折叠之后平行关系不变．∵BC⊄平面ADF，AD⊂平面ADF，∴BC∥平面ADF.同理CE∥平面ADF.∵BC∩CE＝C，BC，CE⊂平面BCE，∴平面BCE∥平面ADF.∵BE⊂平面BCE，∴BE∥平面ADF.(2)法一∵V F－BCE＝V B－CEF，由图(1)可知BC⊥CD，∵平面DCEF⊥平面ABCD，平面DCEF∩平面ABCD＝CD，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥平面DCEF.1 1 由图(1)可知DC＝CE＝1，S△CEF＝CE×DC＝，2 21 1∴V F－BCE＝V B－CEF＝×BC×S△CEF＝.3 6法二由图(1)，可知CD⊥BC，CD⊥CE，∵DF∥CE，点F到平面BCE的距离等于点D到平面BCE的距离为1，由图(1)，可知BC＝CE＝1 1 1 11，S△BCE＝BC×CE＝，∴V F－BCE＝×CD×S△BCE＝.2 23 6法三过E作EH⊥FC，垂足为H，如图所示，由图(1)，可知BC⊥CD，∵平面DCEF⊥平面ABCD，平面DCEF∩平面ABCD＝CD，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥平面DCEF.∵EH⊂平面DCEF，∴BC⊥EH，∴EH⊥平面BCF.由BC⊥FC，FC＝DC2＋DF2＝5，1 5 1 1S△BCF＝BC×CF＝，在△CEF中，由等面积法可得EH＝，∴V F－BCE＝V E－BCF＝×EH×S△2 2 5 31BCF＝.61．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O－ABC 体积的最大值为36，则球O的表面积为________.【导学号：41292057】【解析】如图，设球的半径为R，1∵∠AOB＝90°，∴S△AOB＝R2.2∵V O－ABC＝V C－AOB，而△AOB面积为定值，∴当点C到平面AOB的距离最大时，V O－ABC最大，1 1∴当C为与球的大圆面AOB垂直的直径的端点时，体积V O－ABC最大为×R2×R＝36，3 2∴R＝6，∴球O的表面积为4πR2＝4π×62＝144π.11【答案】144π2．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是________．①若α，β垂直于同一平面，则α与β平行；②若m，n平行于同一平面，则m与n平行；③若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线；④若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面．【解析】①α，β可能相交，故错误；②直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；③若m⊂α，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；④假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n，所以原命题正确，故④正确．【答案】④3．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图1－9所示．(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论；(3)证明：直线DF⊥平面BEG.图1－9【解】(1)点F，G，H的位置如图所示．(2)平面BEG∥平面ACH.证明如下：因为ABCD－EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG.又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是四边形BCHE为平行四边形．所以BE∥CH.又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，12所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.(3)证明：连接FH，与EG交于点O，连接BD.因为ABCD－EFGH为正方体，所以DH⊥平面EFGH.因为EG⊂平面EFGH，所以DH⊥EG.又EG⊥FH，DH∩FH＝H，所以EG⊥平面BFHD.又DF⊂平面BFHD，所以DF⊥EG.同理DF⊥BG.又EG∩BG＝G，所以DF⊥平面BEG.4.如图1－10，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.(1)证明：平面AEC⊥平面BED；6(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E－ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积．3图1－10【解】(1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.因为BE⊥平面ABCD，所以AC⊥BE.故AC⊥平面BED.又AC⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED.3 x(2)设AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝x，GB＝GD＝.2 23因为AE⊥EC，所以在Rt△AEC中，可得EG＝x.22由BE⊥平面ABCD，知△EBG为直角三角形，可得BE＝x.21 1 6 6 由已知得，三棱锥E－ACD的体积V三棱锥E－ACD＝×·AC·GD·BE＝x3＝，故x＝2.3 2 24 3从而可得AE＝EC＝ED＝ 6.所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与△ECD的面积均为 5.故三棱锥E－ACD的侧面积为3＋2 5.5.如图1－11，在三棱锥V－ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC 且AC＝BC＝2，O，M分别为AB，VA的中点．13图1－11(1)求证：VB∥平面MOC；(2)求证：平面MOC⊥平面VAB；(3)求三棱锥V－ABC的体积．【解】(1)因为O，M分别为AB，VA的中点，所以OM∥VB.又因为VB⊂/平面MOC，所以VB∥平面MOC.(2)因为AC＝BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB.又因为平面VAB⊥平面ABC，且OC⊂平面ABC，所以OC⊥平面VAB.所以平面MOC⊥平面VAB.(3)在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝2，所以AB＝2，OC＝1.所以等边三角形VAB的面积S △VAB＝3.又因为OC⊥平面VAB，1 3所以三棱锥C－VAB的体积等于OC·S△VAB＝.又因为三棱锥V－ABC的体积与三棱锥C－3 33VAB的体积相等，所以三棱锥V－ABC的体积为.36．如图1－12，已知正三棱锥P－ABC的侧面是直角三角形，PA＝6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G.(1)证明：G是AB的中点；(2)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体PDEF的体积．【解】(1)证明：因为P在平面ABC内的正投影为D，所以AB⊥PD.14因为D在平面PAB内的正投影为E，所以AB⊥DE.因为PD∩DE＝D，所以AB⊥平面PED，故AB⊥PG.又由已知可得，PA＝PB，所以G是AB的中点．(2)在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影．理由如下：由已知可得PB⊥PA，PB⊥PC，又EF∥PB，所以EF⊥PA，EF⊥PC.又PA∩PC＝P，因此EF⊥平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影．连接CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心．由(1)知，G2 是AB的中点，所以D在CG上，故CD＝CG.32 1由题设可得PC⊥平面PAB，DE⊥平面PAB，所以DE∥PC，因此PE＝PG，DE＝PC.3 3由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA＝6，可得DE＝2，PE＝2 2.在等腰直角三角形EFP中，可得EF＝PF＝2，1 1 4所以四面体PDEF的体积V＝××2×2×2＝.3 2 315。

第3课时一般式【学习目标】1.掌握直线的一般式方程 2 理解关于x , y 的二元一次方程 Ax + By + C = 0（ A ,B 不同时为0）都表示直线 3会进行直线方程的五种形式之间的转化 .ET 问题导学 ---------------------------- 知识点一直线的一般式方程思考i 直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式这四种形式都能用 同时为0）来表示吗？思考2 关于x , y 的二元一次方程 Ax + By + C = 0（ A, B 不同时为0） 一定表示直线吗?思考3当BN 时，方程Ax + By + C = 0（ A , B 不同时为0）表示怎样的直线？ B = 0呢?梳理直线的一般式方程形式条件Ax + By + C = 0( A , B 不知识点二梳理直线的类型一直线的一般式方程命题角度i求直线的一般式方程例i根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程:(1) 斜率是.3,且经过点A(5,3)；(2) 斜率为4，在y轴上的截距为一2;⑶经过点A—1,5) , B(2 , - 1)两点；(4)在x轴，y轴上的截距分别为一3,—1.B C B C反思与感悟(1)当A MO时，方程可化为x+A+入=o,只需求入，入的值；若BMO,则方程AC AC化为B+y+ B= o，只需确定B，B的值，因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程•(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式•跟踪训练1根据条件写出下列直线的一般式方程：1(1)斜率是—2,且经过点A(8，—6)的直线方程为______________________________ .⑵经过点B(4,2)，且平行于x轴的直线方程为 ______________________________ .3⑶在x轴和y轴上的截距分别是空和一3的直线方程为 ___________________________ .⑷经过点R(3 , - 2) , P2(5 , - 4)的直线方程为____________________________ .命题角度2由含参数的一般式求参数2 2例 2 设直线I 的方程为(m—2n—3) x- (2 m+ m- 1)y + 6 —2m= 0.(1) 若直线I在x轴上的截距为—3,则m= ___________ ;⑵若直线I的斜率为1，则n= ___________ .反思与感悟⑴方程Ax+ By+ C= 0表示直线，需满足A, B不同时为0.(2) 令x = 0可得在y轴上的截距.令y = 0可得在x轴上的截距.若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式•(3) 解分式方程注意验根•跟踪训练2 已知直线I仁x + my+ 6= 0, 12：( m- 2)x+ 3y + 2m= 0,当直线11与直线12的斜率相等，且I i与12不重合时，求m的值•类型二直线方程的综合应用例 3 已知直线I : 5ax- 5y-a+ 3= 0.(1) 求证：不论a为何值，直线I总经过第一象限;(2) 为使直线不经过第二象限，求a的取值范围.反思与感悟一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距或两点选择截距式或两点式.另外从所求结论来看，若求直线与坐标轴围成的三角形的面积或周长，常选用截距式，但最后都可化为一般式跟踪训练3 设直线I的方程为(a+ 1)x+ y + 2 - a= 0 ( a+ 1工0).(1)若I在两坐标轴上的截距相等，求I的方程；(2)若I不经过第二象限，求实数a的取值范围1. 已知直线的一般式方程为2x+ y—4 = 0,且点(0 , a)在直线上，则a= _____________ .2. 已知直线I的倾斜角为60°,在y轴上的截距为一4,则直线I的斜截式方程为_________________一般式方程为 _________ .3. 直线3x—4y+ m= 0在两坐标轴上截距之和为2，则实数m= ________ .4. 直线I仁(2mk 5m^ 2)x—(m i—4)y+ 5= 0的斜率与直线I2：x—y+ 3 = 0的斜率相同，则m= ________ .5. 若方程(吊一3m+ 2) x+ (m- 2)y —2m+ 5= 0 表示直线.(1) 求实数m的取值范围；(2) 若该直线的斜率k = 1,求实数m的值.p—规律与方法 - ------------------------------ 11. 在求解直线的方程时，要由问题的条件、结论，灵活地选用公式，使问题的解答变得简捷.2. 直线方程的各种形式之间存在着内在的联系，它是直线在不同条件下的不同的表现形式，要掌握好各种形式的适用范围和它们之间的互化，如把一般式Ax+ By+ C= 0化为截距式有两种方法：一是令x= 0, y = 0,求得直线在y轴上的截距b和在x轴上的截距a; 二是移常项，得Ax+ By=—C两边除以—C(C M 0)，再整理即可.合案精析问题导学知识点一思考1能.思考2 一定.A C思考3当B M0时，由Ax+ By+ C= 0,得y =—段一目，所以该方程表示斜率为一轴上截距为-C fe直线；C当B= 0 时，A M0,由Ax+ By+ C= 0,得x =一A所以该方程表示一条垂直于x轴的直线.梳理Ax+ By+ C= 0 不同时为0知识点二梳理y—y o= k(x—x o) y = kx + b x i丰x2, y i M y与坐标轴平行及过原点的直线By+ C= 0题型探究例 1 解(1) 3x—y— 5 .3+ 3= 0(2)4 x—y —2 = 0 (3)2 x+ y —3 = 0(4) x + 3y + 3 = 0跟踪训练1 (1) x+ 2y+ 4= 0(2) y —2= 0 (3)2 x—y —3 = 0(4) x + y—1 = 05例 2 (1) — 3 (2) — 2跟踪训练2解由题设l 2的方程可化为y = —m——2x —|m,则其斜率k2=—m子,在y轴上的截距b2 = —2m•「I 1与12斜率相等，但不重合，.•.|1的斜率一定存在，即m M 0.Ax+1 6J 的方程为y 一 m<- m厂 m- 2 1—丁=-m 2 6 l 3m解得m=- 1. ••• m 的值为一1. 例3(1)证明 将直线I 的方程整理为3 5-0 ⑵解直线0A 勺斜率为k == 3. 11-•/ I 不经过第二象限，• a >3. 故a 的取值范围为[3 ,+^).跟踪训练3解⑴由题意知a + 1工0,即a z — 1.当直线过原点时，该直线在两坐标轴上的截距都为零，此时当a z2时，将方程化为截距式： a + 1a - 2•••截距存在且均不为 0,.・. 彳=a - 2,a + 1 即 a + 1 = 1,• a = 0，即方程为 x + y + 2 = 0. (2)将I 的方程化为y = — (a + 1)x + a -2, •••直线不过第二象限，y -3 = ax -象限，故不论 (1 3 而点A 5, 5I ，且过定点a 为何值，直线I 总经过第一象限.a = 2，即方程为 3x + y = 0；xa -2y a -2=1.—a+1 沁•• v - - aw — 1.a-2< 0,即a的取值范围是(一g, —1].当堂训练1. 42.y= 3x —43. —244.3m—2工0,5.解⑴由题意知* 2m—3m^ 2工0, 解得m^ 2.—吊―3nu?,m—2__1,得m= 0. 3x—y—4 = 0。

1直线斜率的三种求法直线的斜率是用来衡量直线的倾斜程度的一个量，是确定直线方程的重要因素，还能为以后直线位置关系及直线与圆位置关系的进一步学习打好基础．一、根据倾斜角求斜率例1如图，菱形ABCD的∠ADC＝120°，求两条对角线AC与BD所在直线的斜率．分析由于题目背景是几何图形，因此可根据菱形的边角关系先确定AC与BD的倾斜角，再利用公式k＝tan θ.解∵在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，∴∠BAD＝60°，∠ABC＝120°.又菱形的对角线互相平分，∴∠BAC＝30°，∠DBA＝60°. ∴∠DBx＝180°－∠DBA＝120°.∴k AC＝tan 30°＝33，k BD＝tan 120°＝－ 3.评注本题解答的关键是根据几何图形中直线与其他直线的位置关系(如平行、垂直、两直线的夹角关系等)，确定出所求直线的倾斜角，进而确定直线的斜率．二、利用两点斜率公式例2直线l沿y轴正方向平移3个单位，再沿x轴的负方向平移4个单位，恰好与原直线l重合，求直线l的斜率k.分析由于直线是由点构成的，因此直线的平移变化可以通过点的平移来体现．因此，本题可以采取在直线上取一点P，经过相应的平移后得到一个新点Q，它也在直线上，则直线l的斜率即为PQ的斜率．解设P(x，y)是直线l上任意一点，按平移后，P点的坐标移动到Q(x－4，y＋3)．∵Q 点也在直线l 上， ∴k ＝(y ＋3)－y (x －4)－x＝－34.评注 ①本题解法利用点的移动去认识线的移动，体现了“整体”与“局部”间辩证关系在解题中的相互利用，同时要注意：点(x ，y )沿x 轴正方向平移a 个单位，再沿y 轴正方向移动b 个单位，坐标由(x ，y )变为(x ＋a ，y ＋b )．②直线过两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若x 1＝x 2，y 1≠y 2，则倾斜角等于90°，不能利用两点坐标的斜率公式，此时，斜率不存在． 三、利用待定系数法例3 如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，求直线l 的斜率．分析 本题可以利用例2的解法进行求解，即考虑抓住点的变化求解．除此之外，还可以考虑直线l 的方程的变化，利用待定系数法，通过比较系数可得结果． 解 设直线l 的方程为y ＝kx ＋b .把直线左移3个单位，上移1个单位后直线方程为 y －1＝k (x ＋3)＋b ，即y ＝kx ＋3k ＋b ＋1.由条件，知y ＝kx ＋3k ＋b ＋1与y ＝kx ＋b 为同一条直线的方程． 比较系数，得b ＝3k ＋b ＋1，解得k ＝－13.评注 本题通过利用平移前与平移后的两个方程的同一性，进行相应系数的比较求得结果.2 直线方程中的“缺陷”一、斜截式中斜率“缺陷”例1 已知直线方程为3x ＋my －6＝0，求此直线的斜率与此直线在y 轴上的截距． 错解 由3x ＋my －6＝0，得my ＝－3x ＋6，即直线的斜截式方程为y ＝－3m x ＋6m ，得出此直线的斜率为－3m ，在y 轴上的截距为6m.剖析 忘记讨论当m ＝0时，直线的斜率并不存在．正解 当m ＝0时，直线可化为x ＝2，此时直线的斜率不存在，在y 轴上的截距也不存在； 当m ≠0时，可得my ＝－3x ＋6，即直线的斜截式方程为y ＝－3m x ＋6m ，得出此直线的斜率为－3m ，在y 轴上的截距为6m.评注 在直线的斜截式方程y ＝kx ＋b 中，非常直观地表示了该直线的斜率为k ，在y 轴上的截距为b .研究直线的斜率与在y 轴上的截距问题，需要将一般式方程转化为直线的斜截式方程来处理．但要注意当y 的系数含有参数时要分系数为0和系数不为0两种情况进行讨论． 二、两点式中分式“缺陷”例2 已知直线l 过点A (1,2)，B (a,3)，求直线l 的方程． 错解 由两点式，得直线l 的方程为y －23－2＝x －1a －1.剖析 忽视了a ＝1，即直线与x 轴垂直的情况，若a ＝1，则y －23－2＝x －1a －1不成立．正解 当a ＝1时，直线l 的方程为x ＝1； 当a ≠1时，直线l 的方程为y －23－2＝x －1a －1. 综上所述，知直线l 的方程为x －(a －1)(y －2)－1＝0.评注 一般地，过P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点的直线方程，不能写成y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1，而应写成(x 2－x 1)(y －y 1)－(y 2－y 1)(x －x 1)＝0. 三、截距式中截距“缺陷”例3 求过点(2,4)且在坐标轴上的截距之和为0的直线方程． 错解 设直线的方程为x a ＋y－a＝1.因为直线过点(2,4)，所以2a ＋4－a ＝1.解得a ＝－2.故所求的直线方程为x －2＋y2＝1，即x －y ＋2＝0.剖析 直线的截距式方程只适用于截距不为0和不平行于坐标轴的情形，本题由截距式求解时没有考虑截距为0的情形，导致漏解． 正解 当直线的截距均不为0时，同错解； 当直线的截距均为0时，直线过原点，此时直线的斜率为k ＝2，直线的方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0. 故所求的直线方程为2x －y ＝0或x －y ＋2＝0评注 事实上，当题中出现“截距相等”、“截距的绝对值相等”、“截距互为相反数”、“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的m (m >0)倍”等条件时，若采用截距式求直线方程，都要考虑“截距为0”的情况． 四、一般式中系数“缺陷”例4 如果直线(m －1)x ＋(m 2－4m ＋3)y －(m －1)＝0的斜率不存在，求m 的值． 错解 因为直线的斜率不存在，所以m 2－4m ＋3＝0. 解得m ＝3或m ＝1.所以当m ＝3或m ＝1时，直线的斜率不存在．剖析 由于方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，本身隐含着(A ，B 不全为0)这一条件．当m ＝1时，方程(m －1)x ＋(m 2－4m ＋3)y －(m －1)＝0即为0·x ＋0·y ＝0，它不表示直线，应舍去． 正解 因为直线的斜率不存在，所以m 2－4m ＋3＝0，且m －1≠0.解得m ＝3. 所以当m ＝3时，直线的斜率不存在．评注 方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不全为0)才叫做直线的一般式方程，才表示一条直线.3 突破两条直线的位置关系在平面直角坐标系内不同的两条直线有相交和平行两种位置关系，其中垂直是相交的特殊情况，要想很好地掌握两条直线的位置关系，只需把握以下三种题型．下面举例说明． 题型一 根据直线平行、垂直求参数值的问题给出两直线的方程(方程的系数中含有参数)，利用直线平行或垂直的判定或性质求解参数的取值．例1 已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0.试求m 为何值时，l 1与l 2：(1)平行？(2)垂直？分析 (1)由“两直线ax ＋by ＋c ＝0与mx ＋ny ＋d ＝0平行⇔－a b ＝－m n 且－c b ≠－dn ”或“两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比”，通过解方程求出m 的值；(2)由“两直线ax ＋by ＋c ＝0与mx ＋ny ＋d ＝0垂直⇔(－a b )·(－mn )＝－1”即可求解．解 (1)若l 1∥l 2，则－1m ＝－m －23且－6m ≠－2m3.解得m ＝－1.所以当m ＝－1时，l 1∥l 2.(2)若l 1⊥l 2，则(－1m )·(－m －23)＝－1.解得m ＝12.所以当m ＝12时，l 1⊥l 2.评注 如何用直线方程的系数来反映两直线的位置关系是解题的切入点．利用此法只需把直线方程化为一般式即可． 题型二 有关直线相交的问题有关直线相交的问题一般有两类：(1)有关直线交点的问题，主要是通过解两直线方程组成的方程组，得到交点坐标，解决这种问题的关键是求出交点；(2)有关判断两直线是否相交的问题，只要用两直线方程的一次项系数的关系判断两直线不平行，即可判断相交． 例2 若直线5x ＋4y －2m －1＝0与直线2x ＋3y －m ＝0的交点在第四象限，求实数m 的取值范围．分析 可通过解两直线方程组成的方程组求得两直线的交点坐标．由于交点在第四象限，所以交点的横坐标大于0，纵坐标小于0，进而可求出m 的取值范围．解 根据题意，由⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y －2m －1＝0，2x ＋3y －m ＝0，可得这两条直线的交点坐标为(2m ＋37，m －27)．因为交点在第四象限， 所以⎩⎨⎧2m ＋37>0，m －27<0.解得－32<m <2.所以实数m 的取值范围是(－32，2)．评注 本题考查直线交点的求法，又由于交点在第四象限，因此又考查了解不等式的能力． 题型三 有关距离的问题在平面直角坐标系中，与直线有关的距离问题主要有两类：(1)点到直线的距离；(2)两平行线间的距离．这两类距离可由相应的距离公式求得：其中点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式是d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2(应用此公式时应注意把直线方程化为一般式方程)；两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2(应用此公式应注意两点：(1)把直线方程化为一般式方程；(2)使x ，y 的系数分别对应相等)． 例3 求两平行线l 1：2x ＋3y －8＝0，l 2：4x ＋6y －1＝0的距离．分析 用上述平行线距离公式时，首先需要把两直线方程中的x ，y 的系数化为分别对应相等，然后用公式可求出距离．解 把l 1：2x ＋3y －8＝0变形为l 1：4x ＋6y －16＝0. 利用公式，可得l 1与l 2的距离为d ＝|(－16)－(－1)|42＋62＝151326.4 细说两点间的距离公式已知两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则该两点之间的距离可表示为AB ＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.两点间的距离公式是整个解析几何中几个最重要的公式之一，是平面解析几何的基础，在数学学习与生产生活中都有着广泛的应用．因此应熟练掌握公式并且灵活运用． 一、判断三角形的形状例1 已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A (1，－1)，B (－1,3)，C (3,0)．求证：△ABC 是直角三角形．分析 求出每两个点之间的距离，用勾股定理验证． 证明 AB ＝(－1－1)2＋(3＋1)2＝25， 即AB ＝25，∴AB 2＝20， 同理AC 2＝5，BC 2＝25. ∵AB 2＋AC 2＝BC 2，∴△ABC 是以顶点A 为直角顶点的直角三角形．评注 在顶点坐标已知的情况下欲判断三角形是直角三角形，只需要求出边长再用勾股定理验证即可． 二、求点的坐标例2 已知点A (－3,4)，B (2，3)，在x 轴上找一点P 使得P A ＝PB ，并求出P A 的值． 分析 由于点P 在x 轴上，可设P (x,0)，再利用条件P A ＝PB 即可解决． 解 设P (x,0)，则有P A ＝(x ＋3)2＋(0－4)2＝x 2＋6x ＋25， PB ＝(x －2)2＋(0－3)2＝x 2－4x ＋7. 由P A ＝PB ，可得x 2＋6x ＋25＝x 2－4x ＋7， 解得x ＝－95，从而得P ⎝⎛⎭⎫－95，0，且P A ＝21095. 评注 应熟练掌握在坐标轴上的点的坐标的设法． 三、证明三点共线问题例3 已知A (1，－1)，B (3,3)，C (4,5)三点，求证：这三点在同一条直线上．分析 要证A ，B ，C 三点在同一条直线上，可通过几何方法进行证明．而在直角坐标系中解决此类问题，可能会更简单一些，只需证AC ＝AB ＋BC 即可，要确定AC ，AB ，BC 的长，只需利用两点间的距离公式即可．证明 AB ＝(3－1)2＋(3＋1)2＝22＋42＝25， BC ＝(4－3)2＋(5－3)2＝12＋22＝5， AC ＝(4－1)2＋(5＋1)2＝32＋62＝3 5. ∵AB ＋BC ＝35，AC ＝35，∴AB ＋BC ＝AC ，即A ，B ，C 三点共线．评注 在平面直角坐标系中证明几何问题时，应注意图形的特点，充分运用两点间的距离公式进行运算，从而解决问题． 四、证明平面几何问题例4 如果四边形ABCD 是长方形，则对任一点M ，试用坐标法证明：AM 2＋CM 2＝BM 2＋DM 2.分析 要想用坐标法证明几何问题，首先必须建立平面直角坐标系，确定各点的坐标，利用两点间的距离公式进行计算．在建立平面直角坐标系时，要注意图形的特点，使建系后点的坐标表示尽量简便．证明 建立如图所示的平面直角坐标系，设M (x ，y )，C (x 1，y 1)，则A (0,0)，B (x 1,0)，D (0，y 1)，AM ＝x 2＋y 2，BM ＝(x －x 1)2＋y 2，CM ＝(x －x 1)2＋(y －y 1)2，DM ＝x 2＋(y －y 1)2.∵AM 2＋CM 2＝x 2＋y 2＋(x －x 1)2＋(y －y 1)2， BM 2＋DM 2＝x 2＋y 2＋(x －x 1)2＋(y －y 1)2， ∴AM 2＋CM 2＝BM 2＋DM 2.即如果四边形ABCD 是长方形，则对任一点M ，等式AM 2＋CM 2＝BM 2＋DM 2都成立． 评注 用坐标法证明几何问题时，首先建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数法进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系.5 圆的两种方程的区别与联系圆心为(a ，b )，半径为r 的圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2；而二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，当D 2＋E 2－4F >0时，表示圆心为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2，半径r ＝12D 2＋E 2－4F 的圆，叫做圆的一般方程．二者的相同点表现在：(1)二者的实质相同，可以互相转化；标准方程展开后就是一般方程，而一般方程经过配方后就转化为了标准方程．掌握这一点对于更好地理解一般方程是很有帮助的．(2)不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母(a 、b 、r 或D 、E 、F )的值需要确定，因此需要三个独立的条件．利用待定系数法得到关于a 、b 、r (或D 、E 、F )的三个方程组成的方程组，解之得到待定系数的值．标准方程与一般方程的差别主要反映在以下两点： 一、二者确定圆的条件不同例1 圆心P 在直线y ＝x 上，且与直线x ＋2y －1＝0相切的圆，截y 轴所得的弦长AB ＝2，求此圆的方程．解 ∵圆心P 在直线y ＝x 上，∴可设P 的坐标为(k ，k )，设圆的方程为(x －k )2＋(y －k )2＝r 2(r >0)． 作PQ ⊥AB 于Q ，连结AP ，在Rt △APQ 中，AQ ＝1， AP ＝r ，PQ ＝k ， ∴r ＝1＋k 2. 又r ＝|k ＋2k －1|12＋22，∴|k ＋2k －1|12＋22＝k 2＋1， 整理得2k 2－3k －2＝0， 解得k ＝2或k ＝－12.当k ＝2时，圆的半径为r ＝k 2＋1＝5， 故圆的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝5. 当k ＝－12时，圆的半径为r ＝k 2＋1＝52， 故圆的方程为⎝⎛⎭⎫x ＋122＋⎝⎛⎭⎫y ＋122＝54. 因此所求圆的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝5或⎝⎛⎭⎫x ＋122＋⎝⎛⎭⎫y ＋122＝54.例2 已知△ABC 的各顶点坐标为A (－1,5)，B (－2，－2)，C (5,5)，求其外接圆的方程． 分析 可利用待定系数法，设出圆的一般方程，根据所列条件求得系数，进而得到方程． 解 设过A 、B 、C 三点的圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 将A (－1,5)，B (－2，－2)，C (5,5)代入可得 ⎩⎪⎨⎪⎧－D ＋5E ＋F ＋26＝0－2D －2E ＋F ＋8＝05D ＋5E ＋F ＋50＝0，解得D ＝－4，E ＝－2，F ＝－20，∴其外接圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y －20＝0.评注 圆的标准方程侧重于圆心坐标和半径，因此在题目条件中涉及到圆心坐标时，多选用标准方程，而已知条件和圆心或半径都无直接关系时，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D ，E ，F .需要指出的是，应用待定系数法，要尽可能少设变量，从而简化计算．另外对于已知圆上两点或三点求圆的方程，通常情况下利用一般式更简单． 二、二者的应用方面不同例3 若半径为1的圆分别与y 轴的正半轴和射线y ＝33x (x ≥0)相切，求这个圆的方程． 分析 利用“半径为1的圆与y 轴的正半轴相切”这一条件可以直接求得圆心的横坐标，这是本题方程求解的一个突破口．解 由题意知圆心的横坐标及半径为1，设圆心纵坐标为b ，则圆的方程为(x －1)2＋(y －b )2＝1， ∵圆与射线y ＝33x (x ≥0)相切， ∴⎪⎪⎪⎪33－b ⎝⎛⎭⎫332＋1＝1，解得b ＝3，∴圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1.评注 圆的标准方程明显带有几何的影子，圆心和半径一目了然，因此结合初中平面几何中的垂径定理可以使问题的求解简化；而圆的一般方程明显表现出代数的形式与结构，更适合方程理论的运用．6 直线与圆相交时弦长的求法一、利用两点间的距离公式若直线与圆相交的两个交点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2. 例1 求过原点且倾斜角为60°的直线被圆x 2＋y 2－4y ＝0所截得的弦长．解 设直线与圆相交时的两个交点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意可知直线的方程为y ＝3x .解方程组⎩⎨⎧ y ＝3x ，x 2＋y 2－4y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝0或⎩⎨⎧x 2＝3，y 2＝3.∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(0－3)2＋(0－3)2＝2 3.评注 解由直线方程与圆方程联立的方程组得弦的两端点的坐标，再由两点间的距离公式求解．这是一种最基本的方法，当方程组比较容易解时常用此法． 二、利用勾股定理若弦心距为d ，圆的半径为r ，则弦长AB ＝2r 2－d 2.例2 求直线x ＋2y ＝0被圆x 2＋y 2－6x －2y －15＝0所截得的弦长AB . 解 把圆x 2＋y 2－6x －2y －15＝0化为标准方程为(x －3)2＋(y －1)2＝25， 所以其圆心为(3,1)，半径r ＝5.因为圆心(3,1)到直线x ＋2y ＝0的距离d ＝|3×1＋1×2|12＋22＝5，所以弦长AB ＝2r 2－d 2＝4 5. 三、利用弦长公式若直线l 的斜率为k ，与圆相交时的两个交点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长AB ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2].例3 求直线2x －y －2＝0被圆(x －3)2＋y 2＝9所截得的弦长AB .解 设直线与圆相交时的两个交点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，(x －3)2＋y 2＝9，消去y ，整理，得5x 2－14x ＋4＝0.则x 1＋x 2＝145，x 1x 2＝45. ∴AB ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋22)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1452－4×45＝21455. 评注 通常设出弦的两端点的坐标(不必求出，即设而不求)，联立直线方程与圆方程消去y (或x )转化为关于x (或y )的一元二次方程，再结合根与系数的关系即可得解.7 圆与圆相交的三个应用圆与圆的位置关系主要有五种，即外离、相交、外切、内切、内含，圆与圆相交时的简单应用一般是用于求相交圆的公共弦所在的直线方程、公共弦的垂直平分线方程和通过圆与圆相交时求公切线的条数．一、圆与圆相交，求公共弦所在的直线方程例1 已知两圆x 2＋y 2＝10和(x －1)2＋(y －3)2＝20相交于A ，B 两点，则直线AB 的方程是________．分析 求两个圆的相交弦所在的直线问题，如果先求出这两个圆的交点，然后再求出AB 的直线方程，则运算量大，而且易出错，因此可通过将两个圆方程的二次变量消去，得到二元一次方程即为所求．解析 两圆方程作差，得x ＋3y ＝0. 答案 x ＋3y ＝0评注 求两圆的公共弦所在的直线方程，只需将两圆作差即可．二、圆与圆相交，求公共弦的垂直平分线方程例2 圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和圆x 2＋y 2－6x ＝0交于A ，B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是________．分析 两圆公共弦的垂直平分线方程问题，关键是要善于将AB 的垂直平分线问题转化为两个圆的圆心连线所在的直线问题．解析 由平面几何知识，知AB 的垂直平分线就是两圆的圆心连线，即求过(2，－3)与(3,0)两点的直线的方程．可求得直线的方程为3x －y －9＝0.答案 3x －y －9＝0评注 通过将问题转化，不但可简化运算的程序，而且有利于更好地掌握两个圆的位置关系．三、求圆与圆相交时公切线的条数问题例3 圆A ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，圆B ：(x －2)2＋(y －2)2＝9，则圆A 和圆B 的公切线有________条．分析 判断两个圆的公切线有多少条，关键是判断两个圆的位置关系，通过确定两个圆的位置关系就可判断两个圆的公切线的条数．解析 因为圆心距AB ＝(2－1)2＋(2－1)2＝2，R ＝3，r ＝2，且R ＋r ＝3＋2＝5，R －r ＝3－2＝1，所以有R －r <AB <R ＋r ，即两圆相交．所以两圆的公切线有两条．答案 2评注 判断两个圆的位置关系时，除了考虑两个圆的半径之和与两个圆的圆心距外，还要考虑两个圆的半径之差与两个圆的圆心距．8 与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题大致分为两类：一类是运用几何特征及几何手段先确定达到最值的位置，再计算；另一类是通过建立目标函数后，转化为函数的最值问题．例1 圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差为________．分析 利用数形结合法求出最大距离与最小距离后再作差．解析 由x 2＋y 2－4x －4y －10＝0配方得(x －2)2＋(y －2)2＝18，即圆心为C (2,2)，半径r ＝32，则圆心到直线的距离d ＝|2＋2－14|12＋12＝52，所以圆上的点到直线的最大距离为d＋r＝82，最小距离为d－r＝22，则圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差为82－22＝6 2.答案6 2评注一般地，设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r(r<d)，则圆上的点到直线的距离的最大值、最小值分别为d＋r和d－r.例2在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，P是△ABC内切圆上的动点，试求点P 到△ABC的三个顶点的距离的平方和的最大值与最小值．分析可以C点为坐标原点建立坐标系，设出定点和动点坐标，建立函数关系，然后转化为函数的最值问题来处理．解以点C为原点，使A、B分别位于x轴、y轴的正半轴上，建立平面直角坐标系如图所示，则△ABC各顶点是A(8,0)，B(0,6)，C(0,0)，内切圆半径r＝2S△ABCa＋b＋c＝AC·BCAC＋BC＋AB＝2.∴内切圆圆心坐标为(2,2)，内切圆方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4.设P(x，y)是圆上的动点，则S＝P A2＋PB2＋PC2＝(x－8)2＋y2＋x2＋(y－6)2＋x2＋y2＝3x2＋3y2－16x－12y＋100＝3[(x－2)2＋(y－2)2]－4x＋76＝3×4－4x＋76＝88－4x.∵点P在内切圆上，∴0≤x≤4，∴S max＝88，S min＝72.评注本题通过坐标法将问题转化为函数的最值问题，体现了最值问题的一般解决思路，值得注意的是，求最值问题一定要结合函数的定义域来进行.9空间点的对称问题解决此类问题可以类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．求对称点的问题经常借助“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的说法．如关于y轴的对称点坐标就是纵坐标不变，其余的两个变为原来的相反数；关于yOz平面的对称点，纵坐标、竖坐标都不变，横坐标变为原来的相反数．例(1)在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)关于x轴的对称点的坐标是________．(2)在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)关于xOy平面的对称点的坐标是________．(3)在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)关于点M(2，－1，－4)对称的点的坐标是________．解析(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的数不变，在y轴，z轴的数变为原来的相反数，所以对称点P1的坐标为(－2，－1，－4)．(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的数不变，在z轴的数变为原来的相反数，所以对称点P2(－2,1，－4)．(3)设对称点为P3，则点M为线段PP3的中点，设P3(x，y，z)，由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P3(6，－3，－12)．答案(1)(－2，－1，－4)(2)(－2,1，－4)(3)(6，－3，－12)评注解决此类问题的关键是明确关于各坐标轴、各坐标平面对称的两点，其点的坐标的数的关系，可借助于图形，也可直接借助记忆口诀“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”．。

高中数学第二章平面解析几何初步章末分层突破学案苏教版必修2[自我校对]①(x2≠x1)②点斜式③两点式④一般式⑤|Ax0＋By0＋C|A2＋B2_______________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________ ___直线方程及两直线的位置关系1.直线方程的五种形式及其选取直线方程的五种形式各有优劣，在使用时要根据题目条件灵活选择，尤其在选用四种特殊形式的方程时，注意其适用条件，必要时要对特殊情况进行讨论．2．两条直线的平行与垂直两条直线的平行与垂直是解析几何中两条直线最基本的位置关系，其判定如下：们在x轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程.【精彩点拨】考虑直线斜率是否存在，不存在时可直接求出，存在时设方程利用截距关系求k.【规范解答】(1)当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x＝－1，x＝0，它们在x轴上截距之差的绝对值为1，满足题意；(2)当直线的斜率存在时，设其斜率为k，则两条直线的方程分。

第一章算法初步[自我校对]①流程图②选择结构③赋值语句④循环语句或看成按要求设计好的有限的、确切的计算序列，并且这样的步骤或序列能够解决一类问题．算法设计应注意：(1)与解决问题的一般方法有联系，从中提炼出算法；(2)将解决问题的过程分为若干个可执行步骤；(3)引入有关的参数或变量对算法步骤加以表达；(4)用最简练的语言将各个步骤表达出来；(5)算法的执行要在有限步内完成．已知平面直角坐标系中两点A(－1,0)，B(3,2)，写出求线段AB的垂直平分线方程的一个算法．【精彩点拨】 理解题意→依据解析几何中求线段垂直平分线的方法→写出算法 【规范解答】 算法如下：S1 计算x 0← －1＋32＝1，y 0← 0＋22＝1，得AB 的中点N (1,1)；S2 计算k 1←2－03－－＝12，得AB 斜率； S3 计算k ← －1k 1＝－2，得AB 垂直平分线的斜率；S4 由点斜式得直线AB 的垂直平分线的方程y －y 0＝k (x －x 0)，并输出． [再练一题]1．已知平面直角坐标系中两点A (－1,0)，B (3,2)，写出求以线段AB 为直径的圆的标准方程的一个算法．【解】 S1 由中点坐标公式计算x 0＝－1＋32＝1，y 0＝0＋22＝1得线段AB 的中点M (1,1)即为圆心；S2 由两点间的距离公式计算线段AB 的长，|AB |＝－1－2＋－2＝25；S3 r ←12|AB |＝5；S4 将圆心坐标(1,1)及r ＝5代入圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2得以AB 为直径的圆的标准方程(x －1)2＋(y －1)2＝5，并输出.流程图由程序框和流程线组成．一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤，流程线是带方向箭头的指向线，按照算法进行的顺序将程序框连接起来．画流程图时应先对问题设计出合理有效的算法，然后分析算法的逻辑结构，最后根据规定格式画出相应的流程图．算法的逻辑结构有三种：顺序结构、选择结构和循环结构．①选择结构是一种重要的逻辑结构．当进行判断或分类讨论时都要用到选择结构． ②当遇到多次重复运算时需要用到循环结构，在利用循环结构画流程图时要注意以下问题：一是确定循环变量的初始条件；二是确定算法中反复执行的部分，即循环体；三是循环终止的条件．设计一个算法，求过点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的直线的斜率，并画出流程图． 【精彩点拨】 先根据题意，设计算法，然后分析算法的逻辑结构，最后画出流程图． 【规范解答】 算法如下S1 输入点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的坐标；S2 若x 1≠x 2，计算并输出k ＝y 2－y 1x 2－x 1；否则“输出斜率不存在”． 流程图如图所示．[再练一题]2．执行如图1­1所示的流程图，输入x 1←1，x 2←2，x 3←4，x 4←8，则输出的数等于________．图1­1【解析】 该流程图对应算法的功能是求4个数的平均数，故输出的数为14(1＋2＋4＋8)＝154.【答案】154算法设计和流程图是编写伪代码的基础，五种基本算法语句是编写伪代码的框架． 用基本语句编写伪代码时要注意各种语句的格式要求，在已知算法设计、画出的流程图的基础上，写出用算法语句表示的伪代码．至少编写2个求1×3×5×7×…×999的值的伪代码．【精彩点拨】可以用“While”语句，“Do”语句，“For”语句来编写伪代码．【规范解答】伪代码①(用“While”语句编写)T←1I←3While I≤999T←T×II←I＋2End WhilePrint T①伪代码②(用“Do”语句编写)T←1I←3DoT←T×II←I＋2Until I>999End DoPrint T②伪代码③(用“For”语句编写)T←1For I From 3 To 999 Step 2T←T×IEnd ForPrint T③[再练一题]3．根据下面的算法伪代码，绘制流程图，并指出输出的最后结果是什么？然后分别将它们改为另一种循环方式，画出相应流程图．伪代码：S←0I←3While I≤99S←S＋I3I←I＋2End WhilePrint S【解】 伪代码对应的流程图如图所示，它用的是“While”语句，最终输出的结果是33＋53＋…＋993，利用“For”语句伪代码可以改为：S ←0ForI From 3 To 99 Step 2S ←S ＋I 3End For Print S相应流程图如图所示：就是分类讨论思想．在具体问题的算法设计中，有时需要根据条件进行逻辑判断，并进行不同的处理(如选择结构和循环结构)，这实际上就是分类讨论思想的运用．如图1­2，在边长为4的正方形ABCD 的边上有一点P ，沿着折线BCDA 由点B (起点)向点A (终点)运动，设点P 运动的路程为x ，△APB 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式，画出程序框图，并写出伪代码．图1­2【精彩点拨】 将问题转化为分段函数问题，利用选择结构画出流程图，最后写出伪代码．【规范解答】 由题意知，函数关系式为： y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， 0≤x ≤4，8， 4＜x ≤8，－x ， 8＜x ≤12.程序框图如图所示：程序如下：Read xIf x ≥0 And x ≤4 Then y ←2x ElseIf x ≤8 Then y ←8 Elsey ←2(12－x ) End If End If Print y [再练一题]4．任给一个x 值计算y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ＝，x中的y 值的算法的流程图如图1­3，其中图框中的①②③ 分别为________、________、________.【导学号：11032025】图1­3【解析】结合题意可知①处应为x<0；②处为x>0；③处为y←3.【答案】x<0 x>0 y←31．根据如下所示的伪代码，可知输出的结果S为________．【解析】由程序可知，S＝1，I＝1，I＜8；S＝3，I＝4，I＜8；S＝5，I＝7，I＜8；S＝7，I＝10，I＞8，此时结束循环，输出S＝7.【答案】72．如图1­4是一个算法的流程图，则输出的n的值是________．图1­4【解析】第一次执行循环a＝3×2＋2＝8，n＝1＋1＝2.第二次执行循环a＝3×8＋2＝26，n＝2＋1＝3.【答案】 33．根据如下所示的伪代码，当输入a ，b 分别为2,3时，最后输出的m 的值为________． Read a ，b If a >b Then m ←a Else m ←b End IfPrint m【解析】 此伪代码的功能是输出两数中的较大者，所以m ＝3. 【答案】 34．如图1­5是一个算法的流程图，则输出的a 的值是________．图1­5【解析】 第1次循环a ＝5，b ＝7； 第2次循环a ＝9，b ＝5；a >b成立结束循环，故输出的a 的值为9.【答案】 95．执行如图1­6所示的程序框图，若输入的a ，b 的值分别为0和9，则输出的i 的值为________．图1­6【解析】 输入a ＝0，b ＝9，第1次循环：a ＝0＋1＝1，b ＝9－1＝8，i ＝1＋1＝2；第2次循环：a＝1＋2＝3，b＝8－2＝6，i＝2＋1＝3；第3次循环：a＝3＋3＝6，b＝6－3＝3，a>b成立，结束循环，输出i＝3. 【答案】 3。

2.1.2 第1课时直线的点斜式(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．下列关于方程y＝k(x－2)的说法正确的是______．(填序号)①表示通过点(－2,0)的所有直线；②表示通过点(2,0)的所有直线；③表示通过点(2,0)且不垂直于x轴的直线；④通过(2,0)且除去x轴的直线．【解析】直线x＝2也过(2,0)，但不能用y＝k(x－2)表示．【答案】③2．斜率与直线y＝2x＋1的斜率互为负倒数，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是________．【解析】直线y＝2x＋1的斜率为2，1 ∴所求直线的斜截式方程为y＝－x＋4.21【答案】y＝－x＋4213．方程y＝ax＋表示的直线可能是图2－1－2中的________．(填序号)a①②③④图2－1－21 1【解析】直线y＝ax＋的斜率是a，在y轴上的截距.当a>0时，斜率a>0，在y轴上a a1 1的截距>0，则直线y＝ax＋过第一、二、三象限，四个都不符合；当a<0时，斜率a<0，在ya a1 1轴上的截距<0，则直线y＝ax＋过第二、三、四象限，仅有②符合．a a【答案】②4．直线kx－y＋1＝3k，当k变化时，所有直线都通过一个定点，则这个定点的坐标是________.【导学号：41292069】【解析】直线方程可化为y－1＝k(x－3)，∴直线过定点(3,1)．【答案】(3,1)5．直线经过点(1,2)，在y轴上截距的取值范围是(0,3)，则其斜率k的取值范围是1__________．【解析】设直线l的方程为：y＝kx＋b.由已知2＝k＋b，∴b＝2－k，∴0<2－k<3，∴－1<k<2.【答案】(－1,2)6．如图2－1－3所示，在同一直角坐标系中，正确的表示直线l1：y＝ax与l2：y＝x＋a 图象的大致情况的是________．(1)(2)(3)(4)图2－1－3【解析】直线l2：y＝x＋a的斜率为1，则倾斜角为45°，故(2)(4)不正确；若a>0，直线l1：y＝ax的图象在一、三象限，直线l2的图象应在一、二、三象限，故(1)不正确；若a<0，直线l1的图象在二、四象限，直线l2的图象在一、三、四象限，故(3)正确.【答案】(3)7．直线y＝kx＋b经过二、三、四象限，则斜率k和纵截距b满足的条件为k________0，b________0(填“>”或“<”)．【解析】由图象(略)知，直线y＝kx＋b过二、三、四象限时k<0，b<0.【答案】<<18．已知直线y＝x＋k与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数k的取值范围是2________．【解析】令y＝0，则x＝－2k.令x＝0，则y＝k，则直线与两坐标轴围成的三角形的面1积为S＝|k|·|－2k|＝k2.2由题意知，三角形的面积不小于1，可得k2≥1，所以k的取值范围是k≥1或k≤－1.【答案】k≥1或k≤－1二、解答题9．已知△ABC在第一象限中，A(1,1)，B(5,1)，∠A＝60°，∠B＝45°，求：(1)AB边所在直线的方程；(2)AC边，BC边所在直线的方程．【解】(1)∵A(1,1)，B(5,1)，∴直线AB的方程是y＝1.2(2)由图可知，k AC＝tan 60°＝3，∴直线AC的方程是y－1＝3(x－1)，即3x－y－3＋1＝0.∵k BC＝tan(180°－45°)＝－1，∴直线BC的方程是y－1＝－(x－5)，即x＋y－6＝0.10．已知等腰△ABC的顶点A(－1,2)，AC的斜率为3，点B(－3,2)，求直线AC，BC及∠A的平分线所在直线的方程．【解】直线AC的方程：y＝3x＋2＋ 3.∵AB∥x轴，AC的倾斜角为60°，∴BC的倾斜角为30°或120°.3当α＝30°时，BC的方程为y＝x＋2＋3，3∠A平分线的倾斜角为120°，∴所在直线方程为y＝－3x＋2－3.当α＝120°时，BC的方程为y＝－3x＋2－3 3.∠A平分线的倾斜角为30°，3 3∴所在直线方程为y＝x＋2＋.3 3[能力提升]1．直线l过点P(－1,1)，且与直线l′：2x－y＋3＝0及x轴围成底边在x轴上的等腰三角形，则直线l的方程为__________．【解析】根据题意可知，所求直线l的斜率是－2.又因为直线l过点P(－1,1)，所以直线l的方程为2x＋y＋1＝0.【答案】2x＋y＋1＝012．直线y＝ax－的图象如图2－1－4所示，则a＝________.a图2－1－4【解析】由图象知，直线斜率为－1，在y轴上的截距为1，故a＝－1.3【答案】－133．直线l1过点P(－1,2)，斜率为－，把l1绕点P按顺时针方向旋转30°角得直线l2，3求直线l1和l2的方程．【解】直线l1的方程是3y－2＝－(x＋1)．33∵k1＝－＝tan α1，3∴α1＝150°.如图，l 1绕点P按顺时针方向旋转30°，得到直线l2的倾斜角为α2＝150°－30°＝120°，∴k 2＝tan 120°＝－3，∴l2的方程为y－2＝－3(x＋1)，即3x＋y－2＋3＝0.4．过点P(4,6)作直线l分别交x，y轴的正半轴于A，B两点，(1)当△AOB的面积为64时，求直线l的方程；(2)当△AOB的面积最小时，求直线l的方程.【导学号：41292070】【解】设直线l的方程为y－6＝k(x－4)(k<0)．6令x＝0，y＝6－4k，令y＝0，x＝4－.k1 6(1)S＝×(6－4k)×＝64，2 (4－k)1 9解得k＝－或k＝－.2 2故直线l的方程为x＋2y－16＝0或9x＋2y－48＝0.1 6 18(2)S＝2×(6－4k)×(4－k)＝24－8k－，k∴8k2＋(S－24)k＋18＝0.由Δ＝(S－24)2－4×8×18≥0，得S≥48或S≤0.3∴面积的最小值为48，此时k＝－.243 ∴直线l的方程为y－6＝－(x－4)．2即3x＋2y－24＝0.5。

第三章 概率[自我校对]①几何概型 ②对立事件 ③P (A )＋P (B ) ④1－P (B )随机现象，事件都是在“一定条件下”发生的，当条件改变时，事件的类型也可以发生变化．随机事件的概率是指大量重复进行同一试验时，随机事件A 发生的频率mn接近的常数，记作P (A )．它反映的是这个事件发生的可能性的大小，即一个随机事件的发生既有随机性(对单次试验来说)又有规律性(对大量重复试验来说)，其中规律性是体现在m n的值具有稳定性，即当随机试验的次数不断增加时，mn的值总在某个常数附近摆动且摆动的幅度越来越小．必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，故0≤P (A )≤1.对一批电子元件进行抽检，结果如下表：(1)(2)从这批电子元件中任抽一个是次品的概率约是多少？(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2 000个电子元件，至少需进货多少个电子元件？【精彩点拨】 根据频率、概率的定义及概率的意义求解．【规范解答】 (1)表中的频率从左到右依次为350＝0.06，4100＝0.04，5200＝0.025，5300≈0.017，8400＝0.02，9500＝0.018.(2)当抽取件数a 越来越大时，出现次品的频率在0.02附近摆动，所以从这批电子元件中任抽一个是次品的概率约是0.02.(3)设需要进货x 个电子元件，为保证其中有2 000个正品电子元件，则x (1－0.02)≥2 000，因为x 是正整数，所以x ≥2 041，即至少需进货2 041个电子元件．[再练一题]1．某射手在相同条件下进行射击，结果如下：(2)假设该射手射击了300次，估计击中靶心的次数是多少？(3)假如该射手射击了10次，前9次已击中8次，那么第10次一定击中靶心吗？ 【解】 (1)概率约为0.9；(2)估计击中靶心的次数为300×0.9＝270(次)； (3)不一定.古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性．在应用公式P (A )＝m n时，要正确理解基本事件与事件A 的关系，求出n ，m .几何概型同古典概型一样，是概率中最具有代表性的试验概型之一，我们要理解并掌握几何概型试验的两个基本特征，即无限性与等可能性．在应用公式P (A )＝d 的测度D 的测度时，要正确理解测度的类型．古典概型与几何概型在高考中占有非常重要的位置，是高考的常见题型．在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个小球被取出的可能性相等．(1)求取的两个球上标号为相邻整数的概率； (2)求取的两个球上标号之和能被3整除的概率．【精彩点拨】 古典概型→列举法确定事件的个数→按公式求概率【规范解答】 从甲、乙两个盒子中各取出1个球，所有编号的可能情况有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．共16种．(1)设“取的两个球上标号为相邻整数”为事件A ，则事件A 包含的基本事件有(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,3)，共6个．∴P (A )＝616＝38.即取的两球上标号为相邻整数的概率为38.(2)设“取的两个球上标号之和能被3整除”为事件B ，则事件B 包含的基本事件有(1,2)，(2,1)，(3,3)，(2,4)，(4,2)，共5个．∴P (B )＝516.即取的两个球上标号之和能被3整除的概率为516.[再练一题]2．在区间(0,1)内任取两个实数，则这两个实数的和大于13的概率为多少？【解】 设在区间(0,1)内任取的两个实数分别为x ，y ，则0＜x ＜1,0＜y ＜1，则区域M ＝{(x ，y )|0＜x ＜1,0＜y ＜1}为如图所示的正方形区域，记事件A ＝{(x ，y )|x ＋y ＞13，0＜x ＜1,0＜y ＜1}，则其所表示区域为图中阴影部分，所以P (A )＝S 阴影S M ＝1－12×13×131×1＝1718.率的．应用互斥事件的概率的加法公式解题时一定注意要先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再根据公式求和．对于较复杂事件的概率，可以转化为求其对立事件的概率，含有“至多”、“至少”的问题求概率时，常考虑其对立事件的概率．互斥事件和对立事件是高考考查的重点内容，也是高考的热点．现有8名数理化成绩优秀者，其中A 1，A 2，A 3数学成绩优秀，B 1，B 2，B 3物理成绩优秀，C 1，C 2化学成绩优秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛．(1)求C 1被选中的概率；(2)求A 1和B 1不全被选中的概率． 【精彩点拨】 (1)运用古典概型求解． (2)利用对立事件的概率求解．【规范解答】 (1)从8人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，其一切可能的结果有：(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 3，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2)，(A 2，B 3，C 1)，(A 2，B 3，C 2)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 2)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 2，C 2)，(A 3，B 3，C 1)，(A 3，B 3，C 2)，共18种．由于每一个基本事件被抽取的机会均等．因此这些基本事件的发生是等可能的． 用M 表示“C 1恰被选中”这一事件，则M 包含的基本事件有(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 3，C 1)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 3，C 1)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 3，C 1)，共9个．事件M 由9个基本事件组成，因而P (M )＝918＝12.∴C 1被选中的概率为12.(2)用N 表示“A 1，B 1不全被选中”这一事件，则其对立事件N －表示“A 1，B 1全被选中”这一事件，则N －包含的基本事件有(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)共2个，所以P (N －)＝218＝19.由对立事件的概率公式得P (N )＝1－P (N －)＝1－19＝89.∴A 1和B 1不全被选中的概率为89.[再练一题]3．某射手在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.24、0.28、0.19、0.16、0.13.计算这个射手在一次射击中：(1)射中10环或9环的概率； (2)至少射中7环的概率； (3)射中环数不足8环的概率．【解】 设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事件分别为A 、B 、C 、D 、E ，(1)P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝0.24＋0.28＝0.52， 即射中10环或9环的概率为0.52.(2)法一 P (A ＋B ＋C ＋D )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＋P (D )＝0.24＋0.28＋0.19＋0.16＝0.87，即至少射中7环的概率为0.87.法二 射中环数小于7为至少射中7环的对立事件， 所以所求事件的概率为1－P (E )＝1－0.13＝0.87. (3)P (D ＋E )＝P (D )＋P (E )＝0.16＋0.13＝0.29， 即射中环数不足8环的概率为0.29.“以形助数”和“以数辅形”两个方面．在本节中把几何概型问题利用坐标系转化成图形问题(或符合条件的点集问题)去解决．甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率．【精彩点拨】 利用几何概型求概率即可．【规范解答】 以x 轴和y 轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是|x －y |≤15.如图平面直角坐标系下，(x ，y )的所有可能结果是边长为60的正方形，而事件A “两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示，由几何概型的概率公式得P (A )＝S A S ＝602－452602＝716.[再练一题]4．三个人玩传球游戏，每个人都等可能地传给另两人(不自传)，若从A 发球算起，经4次传球又回到A 手中的概率是多少？【解】 记三人为A ，B ，C ，则4次传球的所有可能可用树状图方式列出，每一个分支为一种传球方案，则基本事件的总数为16，而又回到A 手中的事件个数为6个，根据古典概型概率公式得P ＝616＝38.1．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为______．【解析】 由古典概型概率公式，得所求事件的概率为P ＝C 24－C 22C 24＝56.【答案】 562．从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是________．【解析】 取两个数的所有情况有：(1,2)，(1,3)，(1,6)，(2,3)，(2,6)，(3,6)，共6种情况．乘积为6的情况有：(1,6)，(2,3)，共2种情况． 所求事件的概率为26＝13.【答案】 133．现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n (m ≤7，n ≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为________．【解析】 因为正整数m ，n 满足m ≤7，n ≤9，所以(m ，n )所有可能的取值一共有7×9＝63(种)，其中m ，n 都取到奇数的情况有4×5＝20(种)，因此所求概率为P ＝2063.【答案】20634．将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．【解析】 画出示意图，由图易知先后抛掷2次，共有36种不同的等可能的结果，点数之和小于10的结果有30种，不小于10的结果有6种．法一：所求概率P ＝3036＝56.法二：所求概率P ＝1－636＝56.【答案】 565．在[－1,1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交”发生的概率为________．【解析】 圆(x －5)2＋y 2＝9的圆心为C (5,0)，半径r ＝3，由直线与圆相交可得圆心到直线的距离d <r 即|5k －0|k 2＋1<3，解得－34<k <34.由几何概型的概率公式得所求的概率P ＝34－⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－－＝34.【答案】 34。

第1课时点斜式学习目标 1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程.2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.3.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实际问题.知识点一直线的点斜式方程思考1 如图，直线l经过点P0(x0，y0)，且斜率为k，设点P(x，y)是直线l上不同于点P0的任意一点，那么x，y应满足什么关系？思考2 经过点P0(x0，y0)的所有直线是否都能用点斜式方程来表示？梳理思考1 已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，得到的直线l的方程是什么？思考2 方程y＝kx＋b，表示的直线在y轴上的截距b是距离吗？b可不可以为负数和零？梳理类型一直线的点斜式方程例1 写出下列直线的点斜式方程.(1)经过点A(2,5)，且其倾斜角与直线y＝2x＋7相等；(2)经过点C(－1，－1)，且与x轴平行；(3)经过点D(1,2)，且与x轴垂直.反思与感悟(1)求直线的点斜式方程已知定点P(x0，y0)，若经过点P的直线斜率存在且为k，则其方程为y－y0＝k(x－x0)；若斜率k为0，则其方程为y－y0＝0；若斜率不存在，则其方程为x＝x0.(2)点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但直线x＝x0除外.跟踪训练1 (1)经过点(－3,1)且平行于y轴的直线方程是________.(2)一直线l1过点A(－1，－2)，其倾斜角等于直线l2：y＝33x的倾斜角的2倍，则l1的点斜式方程为________________.类型二直线的斜截式方程例 2 (1)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3的直线的斜截式方程是________________________________________________________________________.(2)直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1的倾斜角相等且与l2在y轴上的截距相等，则l的斜截式方程为__________________________________________. 反思与感悟(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在.当b＝0时，y＝kx表示过原点的直线；当k＝0时，y＝b表示与x轴平行(或重合)的直线.(2)截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数和零，而距离是一个非负数.跟踪训练2 已知直线l 在y 轴上的截距为－2，根据条件，分别写出直线l 的斜截式方程. (1)直线l 经过点M (m ，n )，N (n ，m )(m ≠n )； (2)直线l 与坐标轴围成等腰三角形.类型三 直线方程的简单应用例3 求经过点A (－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程.反思与感悟 利用待定系数法求直线方程(1)已知一点，可选用点斜式，再由其他条件确定斜率. (2)已知斜率，可选用斜截式，再由其他条件确定y 轴上的截距.跟踪训练3 已知直线l 的斜率为16，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l 的直线方程.1.直线3x －y ＋m ＝0的倾斜角为________.2.已知直线l 的方程为2x －5y ＋10＝0，且在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则|a ＋b |＝________.3.过点(1,0)且在y 轴上的截距为－12的直线方程是______________.4.已知直线l 过点P (2,1)，且直线l 的斜率为直线x －4y ＋3＝0的斜率的2倍，则直线l 的方程为________________________________________________________________________.5.已知直线l的倾斜角是直线y＝x＋1的倾斜角的2倍，且过定点P(3,3)，则直线l的方程为________________________________________________________________________.1.建立点斜式方程的依据是：直线上任一点与这条直线上一个定点的连线的斜率相同，故有y－y1＝k，此式是不含点P1(x1，y1)的两条反向射线的方程，必须化为y－y1＝k(x－x1)才是x－x1整条直线的方程.当直线的斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x＝x1.2.斜截式方程可看作点斜式的特殊情况，表示过(0，b)点、斜率为k的直线y－b＝k(x－0)，即y＝kx＋b，其特征是方程等号的一端只是一个y，其系数是1；等号的另一端是x的一次式，而不一定是x的一次函数.如y＝c是直线的斜截式方程，而2y＝3x＋4不是直线的斜截式方程.答案精析问题导学 知识点一思考1 由斜率公式得k ＝y －y 0x －x 0， 则x ，y 应满足y －y 0＝k (x －x 0)．思考2 斜率不存在的直线不能用点斜式表示，过点P 0斜率不存在的直线为x ＝x 0. 梳理 斜率k k (x －x 0) 知识点二思考1 将k 及点(0，b )代入直线方程的点斜式得y ＝kx ＋b . 思考2 y 轴上的截距b 不是距离，可以是负数和零． 梳理 y ＝kx ＋b 题型探究例1 解 (1)由题意知，直线的斜率为2，所以其点斜式方程为y －5＝2(x －2)． (2)由题意知，直线的斜率k ＝tan 0°＝0，所以直线的点斜式方程为y －(－1)＝0. (3)由题意可知直线的斜率不存在，所以直线的方程为x ＝1，该直线没有点斜式方程． 跟踪训练1 (1)x ＝－3 (2)y ＋2＝3(x ＋1)例2 (1)y ＝3x ＋3或y ＝3x －3 (2)y ＝－2x －2跟踪训练2 解 (1)由题意得直线l 的斜率为k ＝m －nn －m＝－1， 所以直线l 的斜截式方程为y ＝－x －2. (2)因为直线l 在y 轴上的截距为－2， 所以l 与y 轴的交点为P (0，－2)， 而直线l 与坐标轴围成等腰三角形， 又是直角三角形，所以l 与x 轴的交点为Q (－2,0)或(2,0)． 由过两点的斜率公式得k ＝－1或1，所以直线l 的斜截式方程为y ＝－x －2或y ＝x －2. 例3 解 设直线方程为y －4＝k (x ＋3)(k ≠0)．当x ＝0时，y ＝4＋3k ， 当y ＝0时，x ＝－4k－3，∴3k ＋4－4k－3＝12，即3k 2－11k －4＝0，∴k ＝4或k ＝－13.故直线方程为y －4＝4(x ＋3)或y －4＝－13(x ＋3)，即4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0.跟踪训练3 解 设直线方程为y ＝16x ＋b ，则当x ＝0时，y ＝b ；当y ＝0时，x ＝－6b .由已知可得12·|b |·|－6b |＝3，即6|b |2＝6，∴b ＝±1. 故所求直线方程为y ＝16x ＋1或y ＝16x －1.当堂训练1．60° 2.3 3.x －2y －1＝0 4．x －2y ＝0 5.x ＝3。

第一章 立体几何初步学习目标 1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.能熟练画出几何体的直观图，能熟练地计算空间几何体的表面积和体积，体会通过展开图、截面化空间为平面的方法.1.四个公理公理1：如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是__________________.公理3：经过________________________的三点，有且只有一个平面. 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相________. 2.直线与直线的位置关系⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧，，异面直线：不同在 一个平面内，没有公共点.3.平行的判定与性质 (1)线面平行的判定与性质4.垂直的判定与性质(1)线面垂直的判定与性质5.空间角(1)异面直线所成的角①定义：设a与b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的______________叫做异面直线a，b所成的角.②范围：设两异面直线所成的角为θ，则0°<θ≤90°.(2)直线和平面所成的角①平面的一条斜线与它在这个________________所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角.②一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线与平面平行或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角.(3)二面角的有关概念①二面角：一般地，一条直线和由这条直线出发的______________所组成的图形叫做二面角.②二面角的平面角：一般地，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作______________的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.6.几何体的侧面积和体积的有关计算柱体、锥体、台体和球体的侧面积和体积公式类型一 空间中的平行关系例1 如图，E 、F 、G 、H 分别是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱BC 、CC 1、C 1D 1、AA 1的中点，求证：(1)GE ∥平面BB 1D 1D ； (2)平面BDF ∥平面B 1D 1H .反思与感悟 (1)判断线面平行的两种常用方法 ①利用线面平行的判定定理.②利用面面平行的性质，即当两平面平行时，其中一平面内的任一直线平行于另一平面. (2)判断面面平行的常用方法 ①利用面面平行的判定定理.②面面平行的传递性(α∥β，β∥γ⇒α∥γ). ③利用线面垂直的性质(l ⊥α，l ⊥β⇒α∥β).跟踪训练1 如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，PB ⊥平面ABCD ，MA ∥PB ，PB ＝2MA .在线段PB 上是否存在一点F ，使平面AFC ∥平面PMD ？若存在，请确定点F 的位置；若不存在，请说明理由.类型二空间中的垂直关系例2 如图，斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面是直角三角形，∠ACB＝90°，点B1在底面ABC上的射影恰好是BC的中点，且BC＝AA1.求证：(1)平面ACC1A1⊥平面B1C1CB；(2)BC1⊥AB1.反思与感悟空间垂直关系的判定方法(1)判定线线垂直的方法①计算所成的角为90°(包括平面角和异面直线所成的角).②线面垂直的性质(若a⊥α，b⊂α，则a⊥b).(2)判定线面垂直的方法①线面垂直定义(一般不易验证任意性).②线面垂直的判定定理(a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂α，b∩c＝M⇒a⊥α).③平行线垂直平面的传递性质(a∥b，b⊥α⇒a⊥α).④面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝l，a⊂β，a⊥l⇒a⊥α).⑤面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β).⑥面面垂直的性质(α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ⇒l⊥γ).(3)面面垂直的判定方法①根据定义(作两平面构成二面角的平面角，计算其为90°).②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β).跟踪训练2 如图，A，B，C，D为空间四点.在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝2，等边△ADB 以AB为轴运动.(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论.类型三平行与垂直的综合应用例3 如图，在四棱锥PABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.(1)求证：DC⊥平面PAC；(2)求证：平面PAB⊥平面PAC；(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由. 反思与感悟平行、垂直也可以相互转化，如图.跟踪训练3 在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB.(1)已知AB＝BC，AE＝EC.求证：AC⊥FB；(2)已知G，H分别是EC和FB的中点.求证：GH∥平面ABC.类型四空间几何体的表面积与体积例4 如图，从底面半径为2a，高为3a的圆柱中，挖去一个底面半径为a且与圆柱等高的圆锥，求圆柱的表面积S1与挖去圆锥后的几何体的表面积S2之比.反思与感悟空间几何体的体积与表面积的计算方法(1)等积变换法：三棱锥也称为四面体，它的每一个面都可作底面来处理，恰当地进行换底等积变换便于问题的求解.(2)割补法：像求平面图形的面积一样，割补法是求几何体体积的一个重要方法，“割”就是将几何体分割成几个熟悉的柱、锥、台体或它们的组合体；“补”就是通过补形，使它转化为熟悉的几何体.总之，割补法的核心思想是将不熟悉的几何体转化为熟悉的几何体来解决.(3)展开法：把简单几何体沿一条侧棱或母线展开成平面图形，这样便把空间问题转化为平面问题，可以有效地解决简单空间几何体的表面积问题或侧面上(球除外)两点间的距离问题.(4)构造法：当探究某些几何体性质较困难时，我们可以将它放置在我们熟悉的几何体中，如正方体等这些对称性比较好的几何体，以此来研究所求几何体的性质.跟踪训练4 如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，求三棱锥A1－AB1D1的高.1.如图，AE ⊥平面α，垂足为点E ，BF ⊥平面α，垂足为点F ，l ⊂α，C ，D ∈α，AC ⊥l ，则当BD 与l ________时，平面ACE ∥平面BFD .2.已知平面α∥β∥γ，两条直线l ，m 分别与平面α，β，γ相交于点A ，B ，C 和D ，E ，F ，已知AB ＝6，DE DF ＝25，则AC ＝________.3.设m ，n ，l 是三条不同的直线，α是一个平面，l ⊥m ，则下列说法正确的是________.(填序号)①若m ⊄α，l ⊥α，则m ∥α； ②若l ⊥n ，则m ⊥n ； ③若l ⊥n ，则m ∥n ； ④若m ∥n ，n ⊂α，则l ⊥α.4.已知圆锥的母线长为10 cm ，侧面积为60π cm 2，则此圆锥的体积为________cm 3.5.如图所示，PA ⊥平面ABC ，点C 在以AB 为直径的圆O 上，点E 为线段PB 的中点，点M 在AB 上，且OM ∥AC .求证： (1)平面MOE ∥平面PAC ； (2)平面PAC ⊥平面PCB .1.空间中平行关系的转化2.空间中垂直关系的转化3.空间角的求法(1)找异面直线所成角的三种方法①利用图中已有的平行线平移.②利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移.③补形平移.(2)线面角：求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，通常是解由斜线段、垂线段、斜线在平面内的射影所组成的直角三角形.答案精析知识梳理1．两点 经过这个公共点的一条直线 不在同一条直线上 平行 2．平行 相交 任何3．(1)a ∩α＝∅ a ⊂α，b ⊄α，a ∥b a ∥α a ∥α，a ⊂β，α∩β＝b(2)α∩β＝∅ a ⊂β，b ⊂β，a ∩b ＝P ，a ∥α，b ∥α α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b 4．(1)任意 m ∩n ＝O a ⊥α b ⊂α a ∥b (2)垂线 垂直 交线5．(1)①锐角(或直角) (2)①平面内的射影 (3)①两个半平面 ②垂直于棱 题型探究例1 证明 (1)如图，取B 1D 1的中点O ，连结GO ，OB ，易证OG 綊12B 1C 1，BE 綊12B 1C 1，∴OG 綊BE ，∴四边形BEGO 为平行四边形， ∴OB ∥GE .又∵OB ⊂平面BDD 1B 1，GE ⊄平面BDD 1B 1，∴GE ∥平面BDD 1B 1.(2)由正方体性质得B 1D 1∥BD ， ∵B 1D 1⊄平面BDF ，BD ⊂平面BDF ， ∴B 1D 1∥平面BDF . 连结HB ，D 1F ，易证HBFD 1是平行四边形， ∴HD 1∥BF .又∵HD 1⊄平面BDF ，BF ⊂平面BDF ，∴HD 1∥平面BDF .∵B 1D 1∩HD 1＝D 1，∴平面BDF ∥平面B 1D 1H .跟踪训练1解 当点F 是PB 的中点时，平面AFC ∥平面PMD .证明如下：如图，连结BD ，和AC 交于点O ，连结FO .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴O 是BD 的中点．∴OF ∥PD .又OF ⊄平面PMD ，PD ⊂平面PMD ，∴OF ∥平面PMD .又MA 綊12PB ， ∴PF 綊MA .∴四边形AFPM 是平行四边形，∴AF ∥PM .又AF ⊄平面PMD ，PM ⊂平面PMD ，∴AF ∥平面PMD .又AF ∩OF ＝F ，AF ⊂平面AFC ，OF ⊂平面AFC ，∴平面AFC ∥平面PMD .例2 证明 (1)设BC 的中点为M ，连结B 1M .∵点B 1在底面ABC 上的射影恰好是点M ，∴B 1M ⊥平面ABC .∵AC ⊂平面ABC ，∴B 1M ⊥AC .又∵BC ⊥AC ，B 1M ∩BC ＝M ，∴AC ⊥平面B 1C 1CB .又∵AC ⊂平面ACC 1A 1，∴平面ACC1A1⊥平面B1C1CB.(2)连结B1C.∵AC⊥平面B1C1CB，∴AC⊥BC1.在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∵BC＝AA1＝CC1.∴四边形B1C1CB是菱形，∴B1C⊥BC1.又∵B1C∩AC＝C，∴BC1⊥平面ACB1，∴BC1⊥AB1.跟踪训练2 解 (1)如图，取AB的中点E，连结DE，CE，因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC＝AB，所以DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE.由已知可得DE＝3，EC＝1，在Rt△DEC中，CD＝DE2＋EC2＝2.(2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.证明如下：①当D在平面ABC内时，因为AC＝BC，AD＝BD，所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD.②当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE.又因为AC＝BC，所以AB⊥CE.又DE∩CE＝E，所以AB⊥平面CDE，由CD⊂平面CDE，得AB⊥CD.综上所述，总有AB⊥CD.例3 (1)证明∵PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，∴PC⊥DC.又AC⊥DC，PC∩AC＝C，PC⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，∴DC⊥平面PAC.(2)证明∵AB∥CD，CD⊥平面PAC，∴AB⊥平面PAC，AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAC.(3)解棱PB上存在点F，使得PA∥平面CEF.证明如下：取PB的中点F，连结EF，CE，CF，∵E为AB的中点，∴EF为△PAB的中位线，∴EF∥PA.又PA⊄平面CEF，EF⊂平面CEF，∴PA∥平面CEF.跟踪训练3 证明(1)因为EF∥DB，所以EF与DB确定平面BDEF，如图，连结DE.因为AE＝EC，D为AC的中点，所以DE⊥AC.同理可得BD⊥AC.又BD∩DE＝D，所以AC⊥平面BDEF.因为FB⊂平面BDEF，所以AC⊥FB.(2)设FC的中点为I，连结GI，HI.在△CEF中，因为G是CE的中点，所以GI∥EF.又EF∥DB，所以GI∥DB.在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥BC.又HI∩GI＝I，所以平面GHI∥平面ABC，因为GH⊂平面GHI，所以GH∥平面ABC.例4 解 由题意知，S 1＝2π×2a ×3a ＋2π×(2a )2＝(43＋8)πa 2， S 2＝S 1＋πa3a 2＋a 2－πa 2 ＝(43＋9)πa 2，∴S 1∶S 2＝(43＋8)∶(43＋9)．跟踪训练4 解 设三棱锥A 1－AB 1D 1的高为h ，则VA 1－AB 1D 1＝13h ×34×(2a )2 ＝3a 2h 6. 又VA 1－AB 1D 1＝VB 1－AA 1D 1＝13a ×12a 2＝a 36， 所以3a 2h 6＝a 36，所以h ＝33a . 所以三棱锥A 1－AB 1D 1的高为33a . 当堂训练1．垂直 2.15 3.① 4.96π5．证明 (1)因为点E 为线段PB 的中点，点O 为线段AB 的中点，所以OE ∥PA . 因为PA ⊂平面PAC ，OE ⊄平面PAC ，所以OE ∥平面PAC .因为OM ∥AC ，又AC ⊂平面PAC ， OM ⊄平面PAC ，所以OM ∥平面PAC .因为OE ⊂平面MOE ，OM ⊂平面MOE ，OE ∩OM ＝O ，所以平面MOE ∥平面PAC .(2)因为点C 在以AB 为直径的圆O 上，所以∠ACB ＝90°，即BC ⊥AC .因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PA ⊥BC .因为AC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，PA ∩AC ＝A ，所以BC ⊥平面PAC .因为BC ⊂平面PCB ，所以平面PAC ⊥平面PCB .。