2009-2010学年度高二第二学期期末考试数学丰台理科卷(定稿)

2009—2010学年度第二学期期末试卷高 一 数 学数学试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上；2.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一．选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.cos 3π⎛⎫-=⎪⎝⎭A.12-B.12Ｃ. Ｄ2．若向量(2,1),(4,1),//,a b x a b ==+则x 的值为（ ） A ．1 B ．7 C ．-10 D ．-93.sin cos cos sin 126126ππππ+的值为（ ）A.12D.14.若四边形ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，且AB a = ，AD b = ，则BE =A.12b a +B.12a b +Ｃ.12b a -Ｄ.12a b -5.若0a b <<，则 A.11ab< B.01ab << C. 2ab b > D.b a a b> 6.若向量()1,3a m =+- ，()1,1b m =-，a b = ，则实数m 为A.21-B.2 Ｃ.2- Ｄ.不存在7.1sin cos 8αα=，且24παπ＜＜，则cos sin αα-的值为A.43B.34-C.23D.8.函数()sin y A x ωϕ=+ （其中0A >）的部分图象 如图所示，则此函数解析式为A.2sin 24x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B.2sin 28y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C.2sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.2sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭9.把函数cos 2y x =的图象沿向量平移后得到函数sin(2)36y x π=-+的图象，则向量a是A.,33π⎛⎫ ⎪⎝⎭ Ｂ.,36π⎛⎫- ⎪⎝⎭Ｃ.,312π⎛⎫⎪⎝⎭Ｄ.,312π⎛⎫-- ⎪⎝⎭10.若1()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭其中[]0,2x π∈，则()f x 的值域为A.[]2,2-B.2⎡⎤⎣⎦C.⎡⎣D.⎡-⎣11.已知tan α，tan β是方程240x ++=两根，且,,22ππαβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则αβ+等于 A.π-32B.π-32或3π C.3π-或π32 D.3π12.在ABC ∆所在的平面上有一点P ，满足PA PB PC BC ++=，则PBC ∆与ABC ∆的面积之比是（ ）A. 13B. 12C. 23D. 2第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二．填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分，把答案填写在答题卡相应位置上）13.若实数0x >，则4x x+的最小值是___ ___.14.ABC ∆中，已知4a =，6b =，3sin 4B =，则A ∠=___ ___. 15.()1,C y 分AB 的比为35，()2,5A -、(),3B x -，则x y += .16.下面五个命题：（1）若α、β都是第一象限角，且αβ>，则sin sin αβ>；（2）2sin sin y x x=+在()0,x π∈的最小值是 （3）在ABC ∆中，若0AB BC ⋅<，则ABC ∆为钝角三角形；（4）若0a >，0b >，0m >，且1a b<，则a a mb b m +<+；（5）函数()sin cos sin cos f x x x x x =++-的值域是⎡⎤⎣⎦.其中，正确命题的序号是 （写出所有正确命题序号）. 三．解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知(1,2)a = ，(1,0)b =-.（1）向量a b λ+ 与a b -共线时，求λ的值；（2）向量a b λ+ 与a b -垂直时，求λ的值.18.（本小题满分12分）已知cos α=，sin β=，且,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（1）求sin α和cos β的值；（2）求αβ+.19.（本小题满分12分）已知正数x 、y 满足3xy x y =++. （1）求xy 的范围；（2）求x y +的范围.20. （本小题满分12分）一艘渔船在我海域遇险，且最多只能坚持45分钟，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45 距离为10海里的B 处，并测得渔船以9海里/时的速度正沿方位角为105 的方向漂移，我军舰艇立即以21海里/时的速度前往营救.求出我军舰艇赶上遇险渔船所需的最短时间，问能否营救成功？21.（本小题满分12分）已知(5sin ,cos )a x x =，(cos ,)b x x =- 其中x R ∈，()f x a b =⋅ .(1)求()f x 的最小正周期；(2)求()f x 图象的对称中心；(3)求()f x 在3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间.22.（本小题满分12分）是否存在实数a ，使253sin cos 82y x a x a =++-在闭区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是1？若存在，求出对应的a 值；若不存在，说明理由. A。

2009～2010学年度高二下学期期末考试数学试题（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集{}1,2,3,4,5,6=U ，集合{}1,2,5=A ，C U B {4,5,6}=，则集合=I A B （ ）A ．{ 5 }B ． {1,2}C ．{1,2,3}D ．{3,4,6}2．若复数)1(i i z -⋅-=（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ）A.iB.i -C.1D.1-3．甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生（ ） A.30人,30人，30人 B.30人，45人，15人C.20人，30人，10人D.30人，50人，10人 4．若n xx )2(+展开式的所有二项式系数之和为122，则展开式中的常数项为 （ ）A ．第5项 B. 第6项 C. 第7项 D. 第8项 5．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，1,3,3===b a A π，则c 等于（ ）A. 2B.3 C. 1 D.13-6．如右图所示给出的是计算201614121++++Λ 的值的一个程序框图，其中判断框内可以填的条件是( )A. 9>iB. 10>iC. 19>iD. 20>i7.已知圆l y x l a y a x C 当直线及直线,03:)0(4)2()(:22=+->=-+-被圆C 截 得的弦长为32时，则a 等于 （ ） A ．2B ．22-C ．12-D ．12+8．设随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，且二次方程240x x ξ++=无实根的概率为12，则μ为（ ） A 、1 B 、2 C 、4 D 、不能确定 9．等比数列{}n a 中，36a =，前三项和3304S xdx =⎰，则公比q 的值为 （ ）A. 1B.12-C. 1或12-D.－1或12- 10．已知点O 为ABC ∆内一点，且=++320，则AOB ∆、AOC ∆、BOC ∆的面积之比等于（ ）A ．9：4：1B ．1：4：9C ．3：2：1D ．1：2：3题号 1 2 3 4 5 67 8 9 10 答案二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上） 11．曲线324y x x =-+在(1,3)处的切线的倾斜角为 ． 12. .已知正方体外接球的体积是323π，则正方体的棱长等于 .13．设y x ,满足约束条件：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥≥102211y x x y x 则y x z -=2的最小值为14．定义在R 上的偶函数()y f x =满足：①对任意x R ∈都有(6)()(3)f x f x f +=+成立； ②(5)1f -=-；③当12,[0,3]x x ∈且12x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x ->-．则：（Ⅰ）(2009)________f =；（Ⅱ）若方程()0f x =在区间[,6]a a -上恰有３个不同实根，则实数a 的取值范围是 .三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分12分） 已知),2(ππα∈，且262cos2sin=+αα. （Ⅰ）求αcos 的值；（Ⅱ）若53)sin(-=-βα，),2(ππβ∈，求cos β的值 16．（本小题满分12分）已知某种从太空飞船中带回的植物种子每粒成功发芽的概率都为31，某植物研究所分2个小组分别独立开展该种子的发芽试验，每次实验种一粒种子，如果某次没有发芽，则称该次实验是失败的. （1）第一小组做了3次实验，记该小组试验成功的次数为ξ，求ξ的概率分布列及数学期望； （2）第二小组进行实验，到成功了4次为止，求在第4次成功之前共3有次失败的概率.17. （本小题满分12分）已知三棱锥A —BCD 及其三视图如图所示。

北京市丰台区2009-2010学年度高三年级第二学期统一考试(一)理综试卷-上北京市丰台区2010年高三年级第二学期统一练习（一）理科综合能力测试2010.4本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分300分，考试用时150分钟。

可能用到的相对原子质量：H—1 C—12 O—16 Cl—35.5 Na—23 Fe—56 Al—27第Ⅰ卷（选择题共120分）1．若人的成熟神经细胞核中DNA含量为a，下列各项核DNA含量分别为2a、a、0、5a的是（）A．初级精母细胞、次级精母细胞、精子B．精原细胞减数分裂间期、精细胞、极体C．精原细胞有丝分裂后期、口腔上皮细胞、成熟红细胞D．正在发生调亡的细胞、癌细胞、卵细胞2．玉米种子在黑暗中萌发，测定胚芽鞘与幼根中各部分生长素含量如图A所示。

切除玉米胚芽鞘的顶端，然后在其左侧放置含有不同浓度生长素的琼脂块，保持在黑暗中12h。

胚芽鞘可能向右弯曲，弯曲角度如图B所示。

下列有关说法正确的是（）A．图A和图C的结果都说明生长素的作用具有两重性B．调节根尖伸长区细胞伸长的生长的生长素来源于胚芽鞘尖端C．图B所示的实验在黑暗条件下进行是为了排除光照对实验结果的影响D．上述实验说明种了萌发受到生长素、细胞分裂素、赤霉素等共同作用3．下面为人体的生命活动调节示意图，有关斜述中不正确的是（ ） → → ↓ A ．饮水过少时，激素D 作用的靶器官主要是肾小管和集合管B ．血糖平衡调节过程中的A →C →D →E 属于体液调节C ．人的手被针扎时，其调节过程通过A →B →E 来实现的，属于神经调节D ．体温调节过程中的内分泌腺C 包括下丘脑、胸腺、肾上腺和甲状腺4．下列实验设计设计思路和研究过程最相近的一组是（ ）①卡尔文追踪检测14CO 2在小球藻光合作用中转化成有机物的途径，发现卡尔文循环②沃林和克里克根据DNA 衍谢图谱、通过计内外刺神经效应器或内分激算和模型建构，发现了DNA双螺旋结构③林德曼对赛达价目格湖的能量流动进行定量分析，发现能量传递效率约为10~20%④鲁宾和卡门利用18O分别标记H2O和CO2，发现只有供给H218的小球藻释放18O2，证实光合作用中有氧气来自于水⑤赫尔希和蔡斯用32P和35S分别标记的T2噬菌体，分别侵染在肠杆菌，搅拌离心后检测放谢性的分布，发现DNA是遗传物质⑥斯他林和贝利斯将狗的小肠黏膜与稀盐酸混合磨碎，制成提取液，注入狗的静脉中，发现了胰液分泌的激素调节A．①和⑤B．②和③C．④和⑤D．④和⑥5．为了研究某降水丰沛、气温较高的山区群落演替规律，生态学家利用把同一时间内的不同群落当作同一群落不同演替阶段的原理，研究了灌草丛、针阔叶混交林、常绿阔叶林和针叶林等4个群落的相关特征，结果如下表。

2009－2010学年高二年级下学期期末考试数学参考答案及评分意见一、选择题（12×5 共计60分）理科：DBDAB DACCB CA 文科：DBDAD DACCB CC二、填空题 （理）13、210 ； 14、321 ； 15、y x 162-= ； 16、①②③ （文）13、210 ； 14、5 ； 15、y x 162-= ； 16、)123(∝+， 三、解答题 17、解：（Ⅰ）原不等式等价于⎩⎨⎧>+-<--06304322x x x x ②① ………… （3分） 不等式①即为0)1)(4(<+-x x ⇒ 41<<-x …（4分）不等式②的解为R …（5分）∴原不等式的解集为}{41|<<-x x …………（6分） 证明（Ⅱ）∵abb a b a b a b a a b 222))((-+=--+ …………（4分） 又00>>b a ， ∴ b a b a a b +≥+22 …………（6分） 18、解：（Ⅰ）由题意知A )0(，k b -，B )0(b ， ……（2分） 则AB ＝)(b kb ， ……（4分） 又 j i AB 22+=∴2=kb ，2=b ∴ 1=k ，2=b ……（6分） （Ⅱ）⇒>)()(x g x f 622-->+x x x ⇒ 0822<--x x ∴ 42<<-x …（7分）25)(1)(2+--=+x x x x f x g ＝21)2(5)2(2+++-+x x x ＝521)2(-+++x x ……（10分） ∵ 02>+x ∴3)(1)(-≥+x f x g 当且仅当1-=x 时取等号 …………（11分） ∴ 3)(1)(-+的最小值是x f x g …………（12分） 19、解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则)3,4,0(),1,4,2(),0,4,0(),0,0,2(),0,4,2(),0,0,0(1C E C A B D设F AEC z F 1),,0,0(由为平行四边形知1EC = … （3即)2,0,2(),0,2(-=-z ∴2=z ，∴),2,4,2(--= …（4分）62= ……（6分） （Ⅱ）设)1,,(y x n =为平面F AEC 1的法向量， 由)1,41,1(02201400-=⎩⎨⎧=+-=+⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅x y 解得得 ……（8分）又33334cos ,),3,0,0(11===CC CC αα则与设 ……（10分） 所以到平面C F AEC 1的距离为11334==αd ……（12分） （理）20、解：（Ⅰ）解法一：设“甲投球一次命中”为事件A ，“乙投球一次命中”为事件B ， 由题意得221(1())(1)16P B p -=-=， 解得34p =或54p =（舍去），所以乙投球的命中率为34． ……（4分） 解法二：设“甲投球一次命中”为事件A ，“乙投球一次命中”为事件B ，由题意得 1()()16P B P B =， 于是1()4P B =或1()4P B =-（舍去），故31()4p P B =-=．所以乙投球的命中率为34． （Ⅱ）解法一：由题设和（Ⅰ）知，1()2P A =，1()2P A =． 故甲投球2次至少命中1次的概率为31()4P A A -= ． ……（8分） 解法二：由题设和（Ⅰ）知，1()2P A =，1()2P A =． 故甲投球2次至少命中1次的概率为123C ()()()()4P A P A P A P A +=． （Ⅲ）解：由题设和（Ⅰ）知，1()2P A =，1()2P A =，3()4P B =，1()4P B =． 甲、乙两人各投球2次，共命中2次有三种情况：甲、乙两人各中一次；甲中2次，乙2次均不中；甲2次均不中，乙中2次．概率分别为11223C ()()C ()()16P A P A P B P B =，1()()64P A A P B B = ，9()()64P A A P B B = ． 所以甲、乙两人各投球2次，共命中2次的概率为3191116646432++= ……（12分） （文）20、1分，共6分）(Ⅱ)设“抽到6或10号”为事件A ，先后两次抛掷一枚均匀的骰子出现的点数为),(y x ……（7分） 则所有的基本事件有(1，1)，(1，2)，(1，3)，……(6，6)共36个 …………（9分） 事件A 包含的基本事件有(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，(4，6)，(5，5)，(6，4)共8个 …………（11分）∴P(A)＝368＝92 …………（12分） 21、（Ⅰ）证明：在PAD △中，由题设2PA =，2AD =，PD =可得222PA AD PD +=，于是AD PA ⊥．在矩形ABCD 中，AD AB ⊥，又PA AB A = ，所以AD ⊥平面PAB ． ……（4分） （Ⅱ）解：由题设，BC AD ∥，所以PCB ∠（或其补角）是异面直线PC 与AD 所成的角．（5分）在PAB △中，由余弦定理得PB = ……（6分）由（Ⅰ）知AD ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，所以AD PB ⊥，因而BC PB ⊥，于是PBC △是直角三角形，故tan 2PB PCB BC ==PC 与AD所成的角的大小为arctan 2．（8分） （Ⅲ）解：过点P 作PH AB ⊥于H ，过点H 作HE BD ⊥于E ，连结PE ．因为AD ⊥平面PAB ，PH ⊂平面PAB ，所以AD PH ⊥．又AD AB A = ，因而PH ⊥平面ABCD ，故HE 为PE 在平面ABCD 内的射影．由三垂线定理可知，BD PE ⊥．从而PEH ∠是二面角P BD A --的平面角．……（10分）由题设可得，sin 60PH PA == cos601AH PA ==， 2BH AB AH =-=，BD =AD HE BH BD == ．于是在Rt PHE △中，tan 4PH PEH HE == 所以二面角P BD A --的大小为 ……（12分） （理）22、解：(Ⅰ) ∵ F )0(，c ，)0(>c 且 222c b a =- ∴ 当直线的斜率为1时，方程为c x y -= 由题意有222=c得 1=c ……（2分）∴ 122=-b a ，又 31222==a c e ∴ 3=a 2=b ∴ 椭圆C 的方程为12322=+y x ……（4分） (Ⅱ) 当斜率k 存在时，直线l 的方程为)1(-=x k y ……（5分） A B C PH E设A ),(11y x ，B ),(22y x 若存在点P C y x ∈),(00，则由+=成立可得210x x x +=，210y y y += …（6分）⎪⎩⎪⎨⎧-==+)1(12322x k y y x ⇒ 0636)32(2222=-+-+k x k x k ……（7分） 显然对任意0>∆∈有R x 恒成立. ……（8分） 从而有210x x x +=＝22326k k + ……（9分） 210y y y +=＝)2(21-+x x k ＝2324k k +- ……（10分） 将0x ，0y 代入椭圆方程得：044324=--k k ⇒ 2±=k ……（11分）∴ 当直线不垂直于x 轴时，满足条件的点P 存在，其坐标为)22,23(± ……（12分） 直线l 的方程为)1(2-±=x y ……（13分） 当直线l 的斜率不存在时，即l 垂直于x 轴，不满足条件. ……（14分） （文）22、解：(Ⅰ)由已知602=+⇒=⇒=⋅=GM GN GN PG NQNP∴ 点G 的轨迹方程是14922=+y x . ……（4分） （Ⅱ）由为平行四边形四边形AOBS OB OA OS ⇒+= ……（5分） 若满足条件的直线l 存在，则四边形为矩形AOBS ∴0=⋅ ……（6分） ①如果直线斜率不存在，则由09163522149222≠=⋅⇒⎪⎩⎪⎨⎧±==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=y x y x x ；…（8分） ②如果直线斜率存在，设为k ，，、),(),(),2(:2211y x B y x A x k y l -=0)1(3636)49(149)2(22222=-+-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=k x k x k y x x k y 由 ……（10分） 4920]4)(2[49)1(36,493622212122122212221+-=++-=⇒+-=+=+∴k k x x x x k y y k k x x k k x x （12分） 由0=⋅得2302121±=⇒=+k y y x x ……（13分） ∴满足条件的直线l 存在其06230623=-+=--y x y x 或方程为 ……（14分）。

学而思教育·学习改变命运思虑成就将来！北京市丰台区 2009 年高三一致练习（二）数学试题（理）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

考试时间120 分钟。

考试结束，将本试卷和答题卡上并交回。

第Ⅰ卷（选择题共40分）注意事项：1．答第 I 卷前，考生务势必自己的姓名、准考据号、考试科目涂写在答题卡上。

2．每题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案标号。

不可以答在试卷上。

一、选择题：本大题共8 个小题，每题 5 分，共 40 分。

在每个小题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项。

1．设会合A{ x | y1g ( x1)}, B{ x | x1}, 则A B 等于（）A． R B．{ x | 1 x 1}C． -3D．{ x | x1或 x 1}a3i3，此中 i 是虚数单位，那么实数 a 等于（）2．已知13i iA． 3B．3C． -3D．- 3x32sin , 为参数，点F为抛物线y2x的焦点，则 |GF| 等于3．已知圆C :()y 2 cos4（）A． 6B．4C． 2D． 04．函数f ( x)1(sin x cos x)1| sin x cos x |的值域是（）22A． [-1 ，1]B．[2,1] 211D．[ 1, 2 ]C．[,]2225．如图，在体积为 V1的正方体 ABCD— A1B1C1D1中， M，N 分别为所在边的中点，正方体的外接球的体积为V，有以下四个命题；①BD1= 3 AB②BD1与底面 ABCD所成角是45°；V3；③2V1④ MN// 平面 D1BC。

此中正确命题的个数为（）A． 4B． 3C． 2D． 16．某班 5 位同学参加周一到周五的值日，每日安排一名学生，此中学生甲只好安排到周一或周二，学生乙不可以安排在周五，则他们不一样的值日安排有（）A． 288 种B．72 种C．42 种D．36 种7．设函数 f（x）是以 2 为周期的奇函数，已知x(0,1), f ( x)2 x , 则f (x)在（1，2）上是（）A．增函数且f ( x)0B．减函数且f ( x)0 C．增函数且 f ( x)0D．减函数且f ( x)08．数列 {a n }知足11a1(11) 2 a2(11)n a n n2n, n N。

2009-2010学年第二学期期末统考高二数学（理）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 集合2{03},{9}P x Z x M x Z x =∈≤<=∈≤，则=M P （ ）A.{1,2}B. {0,1,2}C.{1,2,3}D.{0,1,2,3}2.复数z=1i i+在复平面上对应的点位于 （ ） A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b>a 的概率是( )A ．45B ．35C ．25D ．154.定义集合运算:{},,.A B z z x y x A y B *==∈∈设{}1,2A =,{}0,2B =,则集合A B *的所有元素之和为（ ）A ．0B ．2C ．3D ．65．12x ⎛- ⎝展开式中的常数项为（ ） A ．1320- B ．1320 C ．220- D ．2206.已知不等式02<++c bx ax 的解集为{}12<<-x x ，则不等式()b x c a bx cx +-<++122的解集为（ ）A ．{}12<<-x x B.{}21<<-x x C.⎭⎬⎫⎩⎨⎧><221x x x 或 D.⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<221x x 7．已知随机变量ξ服从正态分布2(2)N σ，，(4)0.84P ξ=≤，则(0)P ξ=≤（ ）A ．0.16B ．0.32C ．0.68D ，0.848．曲线12e x y =在点2(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）Ａ．29e 2 Ｂ．24e Ｃ．22e Ｄ．2e9．若P x ax x x =--+→42lim 222（P ∈R ，P 为常数），则a 和P 的值分别为（ ） A ． 0，21 B ． 1，43 C.21,21 D ． 43,1- 10．设a ∈R ，若函数3ax y e x =+，x ∈R 有大于零的极值点，则（ ）A ．3a >-B ．3a <-C ．13a >-D ．13a <- 11. “12a <<”是“对任意的正数x ，21a x x +≥”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 12.已知函数()xx a x f ln ln +=在()+∞,1上是减函数，则a 的取值范围是（ ）． A .⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0 B .(]e ,0 C.[)+∞,e D .(]e ,∞-第Ⅱ卷二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数f(x)=()()⎪⎩⎪⎨⎧≤+>--+1111322x ax x x x x 在点1=x 处连续,则a 的值是_______. 14.若(1+5x)n 的展开式中各项系数之和为n a ，(7x 2＋1)n 的展开式中各项的二项式系数之和为b n ，则∞→n lim n n n n b a b a 432+-的值是_______.15．不等式211x x --<的解集是 ．16.某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有____根在棉花纤维的长度小于20mm 。

2009-2010学年第二学期高等数学(2)期末试卷及其答案2009 至 2010 学年度第 2 期 高等数学（下）课程考试试题册A试题使用对象 ： 2009 级 理科各 专业(本科)命题人： 考试用时 120 分钟 答题方式采用：闭卷说明：1．答题请使用黑色或蓝色的钢笔、圆珠笔在答题纸上书写工整．2．考生应在答题纸上答题，在此卷上答题作废．一．填空题（本题共15 分，共5 小题，每题 3 分） 1．已知(2,1,),(1,2,4)a mb ==r r，则当m = 时，向量a b⊥r r ．2．(,)(2,0)sin()limx y xy y →= ．3．设区域D 为22y x +≤x 2，则二重积分Dd σ=⎰⎰ ．4．函数(,),(,)P x y Q x y 在包含L 的单连通区域G 内具有一阶连续偏导数，如果曲线积分(,)(,)LP x y dx Q x y dy+⎰与路径无关，则(,),(,)P x y Q x y 应满足条件 ．5． 当p 时，级数211pn n +∞=∑收敛．二．选择题（本题共15分，共5小题，每题3 分）1．直线221:314x y z L -+-==-与平面:6287x y z π-+=的位置关系是 ．A ．直线L 与平面π平行；B ．直线L 与平面π垂直；C ．直线L 在平面π上；D ．直线L 与平面π只有一个交点，但不垂直．2． 函数(,)f x y 在点(,)x y 可微分是(,)f x y 在该点连续的（ ）．A ．充分条件； B. 必要条件； C. 充分必要条件； D. 既非充分也不必要条件 3．改变积分次序，则100(,)y dy f x y dx⎰⎰．A ．1(,)xdx f x y dy ⎰⎰； B ．11(,)dx f x y dy ⎰⎰；C ．11(,)x dx f x y dy ⎰⎰；D ．11(,)xdx f x y dy ⎰⎰4．下列级数中收敛的是 ． A ．∑∞=+1884n n nn B ．∑∞=-1884n n nn C ．∑∞=+1824n n nnD ．1248n nn n ∞=⨯∑．5．级数1...-++A. 发散B. 绝对收敛C. 条件收敛D. 既绝对收敛又条件收敛 三． 求解下列各题（本题共70分，共9小题，1~2每题7 分，3~9每题8 分）． 1．设sin uz e v=，而u xy =，v x y =- 求xz ．2．设22(,tan())u f x y xy =-，其中f 具有一阶连续偏导数，求yz ． 3．求旋转抛物面221z x y =+-在点(2,1,4)处的切平面方程及法线方程． 4．计算 22Dx d y σ⎰⎰，其中D 是由直线y x =．2x =和曲线1xy =所围成的闭区域． 5．计算L⎰，其中L 是圆周222x y a +=（0a >）．6．计算22()(sin )Lxy dx x y dy--+⎰，其中L 是上半圆周y =x 轴所围区域的边界，沿逆时针方向．7．将函数1()3f x x =+展开成(3)x -的幂级数． 8．计算曲面积分xydydz yzdzdx xzdxdy ∑++⎰⎰，其中∑为1x y z ++=，0,x =y =，0z =所围立体的外侧．9．求抛物面22z xy =+到平面10x y z +++=的最短距离．2009 至 2010 学年度第 2 期高等数学（下）课程试题A 参考答案试题使用对象： 2009 级 理科各专业(本科) 向瑞银一．填空题（本题共15 分，共5 小题，每题 3 分） 1. 1-； 2. 2； 3. π； 4.y P ∂∂=xQ ∂∂； 5.12p >二．选择题（本题共15分，共5小题，每题3 分） 1．B ； 2．A ； ３．D ； ４．C ； ５．C 三． 求解下列各题（本题共70分，共9小题，1~2每题7 分，3~9每题8 分）．1．z z u z vx u x v x∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂……4分sin cos u u ye v e v=+(sin()cos())xy e y x y x y =-+-……7分 2．2212()(tan())y y uf x y f xy y∂''''=⋅-+∂ ……4分2122sec ()()yyf f xy xy '''=-+2122sec ()yf xf xy ''=-+……7分 3． 令22(,,)1F x y z xy z=+--，则法向量(2,2,1)n x y =-r，(2,1,4)(4,2,1)n=-r ……3分在点(2,1,4)处的切平面方程为 4(2)2(1)(4)0x y z -+---=．即4260x y z +--=． (6)分法线方程为214421x y z ---==-． ……8分 4．22Dx d yσ⎰⎰22121xxx dx dy y=⎰⎰……4分221/11()x xx dxy=-⎰……6分231()x x dx =-⎰322111()42x x =-94=……8分5．令cos ,sin x a y a θθ==，则sin ,cos x a y a θθ''=-=，ds θ=ad θ= ……3分20a Le ad πθ=⎰⎰ ……6分＝2aae π ……8分6．2P xy=-，1P y ∂=-∂ ，2(sin )Q x y =-+，1Q x∂=-∂ ， ……4分()0DDQ PI dxdy dxdy x y∂∂=-=∂∂⎰⎰⎰⎰ ……6分=……8分 7．1136(3)x x =++-113616x =-+ ……4分 当316x -<，即 39x -<<时，13x +013()66nn x +∞=-=-∑ ……8分8． ⎰⎰∑++zxdxdy yzdzdx xydydz=()x y z dxdydz Ω++⎰⎰⎰……4分 =1110()xx ydx dy x y z dz---++⎰⎰⎰……6分81=……8分9．设抛物面一点(,,)x y z ，它到平面的距离为1d x y z =+++满足条件220x y z +-= ……3分 拉格朗日函数为222(1)()3x y z L x y z λ+++=++- ……5分2(1)203x x y z L x λ+++=+=，2(1)203yx y z Ly λ+++=+=2(1)3z x y z L λ+++=-=，220Lx y z λ=+-=解方程组得，12x y ==-，12z =． 由问题本身知最短距离存在，所以最短距离为0.5,0.5,0.5)d --=6=……8分。

北京五中2009-2010年第二学期高二数学期末考试试卷一. 选择题(每题5分,共50分.请把答案填在第4页表中)1．设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x M ,412,⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x N ,214,则( ). N M A =)( N M B ⊆)( N M C ⊇)( ∅=N M D )(2．已知b a >，R x ∈，则下列各式正确的是（ ）)(A x b x a lg lg >（0>x ） )(B 22bx ax > )(C 22b a > )(D x x b a 22⋅>⋅3．已知4≠+y x p ：，1≠x q ：或3≠y ，则p 是q 的( ))(A 充分而不必要条件 )(B 必要而不充分条件)(C 充要条件 )(D 既不充分也不必要条件4．若函数)(x f y =的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,21，则函数)(1)()(x f x f x F +=的值域为（ ） )(A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,21 )(B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡310,2 )(C ⎥⎦⎤⎢⎣⎡310,25 )(D ⎥⎦⎤⎢⎣⎡25,2 5．极坐标方程sin 2cos ρθθ=+表示的曲线为（ ）、)(A 直线 )(B 圆 )(C 椭圆 )(D 双曲线6．已知双曲线2=xy 上任意一点处的切线与坐标轴构成的三角形面积为定值，则这个定值为（ ）)(A 2 )(B 4 )(C 8 )(D 167．直线112()3332x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数和圆2216x y +=交于,A B 两点，则AB 的中点坐 标为（ ）)(A (3,3)- )(B (3,3)- )(C (3,3)- )(D (3,3)-8．设随机变量ξ服从正态分布2(1,)(0)N σσ>，若(01)0.4P ξ<<=，则(2)P ξ>等于( ))(A 0.8 )(B 0.5 )(C 0.2 )(D 0.19．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以1A ,2A 和3A 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件.再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件.给出下列结论：①P （B ）=25； ②P （B|1A ）=511； ③事件B 与事件1A 相互独立；④1A ,2A ,3A 是两两互斥的事件；⑤P （B ）的值不能确定，因为它与1A ,2A ,3A 中究竟哪一个发生有关；其中正确的有（ ）)(A ②④ )(B ①③ )(C ②④⑤ )(D ②③④⑤10．3位男生和3位女生共6位同学排成一排，若男生甲不站两端，且3位女生中有且仅有两位女生相邻，则不同的排法共有（ ）种)(A 360 )(B 288 )(C 216 )(D 144二．填空题（每题5分，共60分）11．“若022=+y x ，则y x ,都是0”的否命题为12．计算536lg 27lg 321240lg 9lg 211+--+的值为 13．不等式()()02sin 113>---x x 的解集为14．设0≠t ，点)0,(t P 是函数at x x f +=3)(与c bx x g +=2)(图象的一个公共点，两函数的图象在点P 处有相同的切线，则用t 表示c 为15．随机变量ξ的分布列如下： 其中a bc ，，成等差数列， ξ1- 0 1 P a b c若13E ξ=，则D ξ的值为 ． 16．今有2个红球、3个黄球和4个白球，同色球不加区分，将这9个球排成一排共有 种不同的方法17．方程0233=+-ax x 有3个不等实根，则a 的取值范围为18.某次竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续．．回答出两个问题，即 停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于19．用长90cm ，宽48cm 的长方形铁皮做一个无盖的长方体容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90º角，再焊接而成，则截去的小正方形边长为 时，长方体体积最大20．6本不同的书分给4个人，每人至少一本的概率为21．若a 、b 、0>c ，且324)(-=+++bc c b a a ，则c b a ++2的最小值为班级 姓名 学号 成绩22.一个圆环直径为22m ，通过金属链条BC 、1CA 、 2CA 、3CA （1A 、2A 、3A 是圆上三等分点）悬挂在B 处，圆环呈水平状态，并距天花板2m （如图所示），为使金属链条总长最小，BC 的长应为三．解答题（共40分）23.解关于x 的不等式:12>-x ax24.某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响. (Ⅰ)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率(Ⅱ)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率(Ⅲ)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记ξ为射手射击3次后的总得分数，求ξ的分布列25.设函数)1ln()(2++=x b x x f ,其中0≠b(1) 求)(x f 的单调增区间(2) 对任意的正整数n ,证明:2222ln e e e e e e n n -≤+答案一． 选择题题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案B D A B B B D D AB二．填空题11．若022≠+y x ，则y x ,不都是012．-1 13.)32,0( 14.323t c -= 15.95 16.1260 17. 1>a 18.0.128 19.10cm 20.512195 21.)13(2- 22.1.5m三． 解答题24.(1)24340 (2)818 (3) ξ0 1 2 3 6 P 271 92 274 278 278 25. 解：（1）当0<b 时，增区间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+-+-,2211b 当210<<b 时，增区间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+-+-,2211b 和⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----2211,1b 当21≥b 时，增区间为()+∞-,1（2）由（1）得1-=b 时，)(x f 在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞++-,231增 欲证2222ln ee e e e e n n -≤+，只需证1)21ln(221-≤+--n n e e 只需证12ln )1ln()1(21-≤-+--n n e e令)1ln()(2x x x g +-=()1≥x因为)(x f 在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞++-,231增，又1231<+-， 所以2ln 1)1()(-=≥g x g所以当1≥x 时，2ln 1)1ln(2-≥+-x x故12ln )1ln()1(21-≤-+--n n e e 成立。

北京丰台区丰台第一中学高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知正四棱柱中，为中点，则异面直线与所成的角的余弦值为( )A. B. C. D.参考答案：C略2. 已知等比数列{a n}的前n项和为,若。

则( )A 4B 5C 6D 7参考答案：B3. 函数处的切线方程是（）A、 B、C、 D、参考答案：D略4. 下列函数中，最小值是2的是（）A. B. C. D.log3x+log x3 (x>0,x 1)参考答案：B5. 已知定义在R上的奇函数满足，当时，，且，则（）A. 2B. 1C. －2D. －1参考答案：C【分析】根据题意，结合函数的奇偶性与对称性可得函数f（x）是周期为8的周期函数，由函数的奇偶性可得f（﹣2）＝8，结合函数的解析式求出a的值，进而求出f（﹣1）的值，进而结合函数的奇偶性与对称性分析可得答案．【详解】根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），若函数f（x）满足f（x+2）＝f（2﹣x），则有f（﹣x）＝f（x+4），则有f（x+4）＝﹣f（x），变形可得f（x+8）＝﹣f（x+4）＝f（x），则函数f（x）是周期为8的周期函数，又由函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）＝﹣8，则f（﹣2）＝8，若当﹣2≤x＜0时，f（x）＝a x﹣1（a＞0），且f（﹣2）＝a﹣2﹣1＝8，解可得a，则f（﹣1）＝（）﹣1﹣1＝2，则f（1）＝﹣2，又由函数f（x）是周期为8的周期函数，则f（2019）＝f（3+2016）＝f（3）＝f（1）＝﹣2；故选：C．【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性的应用，关键是分析函数的周期性，属于中档题．6. 已知命题，，则( )A．，B．，C．，D．，参考答案：B略7. 已知命题，命题，若命题“” 是真命题，则实数的取值范围是（）A．或 B. 或 C. D.参考答案：A8. 某班有40名学生，其中有15人是共青团员.现将全班分成4个小组，第一组有学生10人，共青团员4人，从该班任选一个学生代表．在选到的学生代表是共青团员的条件下，他又是第一组学生的概率为（）A． B． C． D．参考答案：A9. 设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg参考答案：D10. 在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝( )A．－ B.C．－ D.参考答案：二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数，在区间上随机取一个数，则使得≥0的概率为．参考答案：12. 若平面向量，满足||≤1，||≤1，且以向量，为邻边的平行四边形的面积为，则与的夹角θ的取值范围是．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用平行四边形的面积计算公式、正弦函数的单调性即可得出．【解答】解：∵以向量，为邻边的平行四边形的面积为，∴．∵平面向量，满足||≤1，||≤1，∴，∵θ∈（0，π），∴．∴与的夹角θ的取值范围是．故答案为：．13. 已知R，命题“若，则”的否命题是_______.参考答案：若，则14. 如图，侧棱长为的正三棱锥V-ABC中，∠AVB=∠BVC=∠CVA=400 ，过A作截面AEF，则截面△AEF 周长的最小值为参考答案：615. 椭圆若椭圆的对称轴在坐标轴上，两焦点与两短轴端点正好是正方形的四个顶点，又焦点到同侧长轴端点的距离为，则椭圆的方程为．参考答案：【考点】椭圆的标准方程．【专题】计算题；分类讨论；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意推出椭圆的关系，b=c ，利用焦点到同侧长轴端点距离为，求出a ，b，即可求出椭圆的方程．【解答】解：因为椭圆的对称轴在坐标轴，两焦点与两短轴的端点恰好是正方形的四个顶点，所以b=c ，a=b ，又焦点到同侧长轴端点距离为，即a ﹣c=，即a ﹣b=，解得a=，b=c=1，所以当焦点在x轴时，椭圆的方程为：=1；当焦点在y轴时，椭圆的方程为=1．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，椭圆的基本性质，考查计算能力，属于中档题．16. 已知函数f(x)满足：，且，当时，，则函数f(x)在点的切线方程为__________．参考答案：.【分析】由导数定义可得：，可判断点在曲线上，由函数满足可得：函数的图象关于点对称，利用函数图象的对称性可得：也在函数的图象上及函数的图象在点处的切线与在点处的切线也关于点对称，即可求得点为点及，问题得解。

北京市丰台区2009年高三统一练习（二）数学试题（理）一、选择题（共1小题；共5分）1. 某班5位同学参加周一到周五的值日，每天安排一名学生，其中学生甲只能安排到周一或周二，学生乙不能安排在周五，则他们不同的值日安排有______A. 288种B. 72种C. 42种D. 36种二、填空题（共1小题；共5分）2. 已知点P2,−3是双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0上一点，双曲线两个焦点间的距离等于4，则该双曲线方程是______．三、选择题（共7小题；共35分）3. 设集合A=x y=lg x+1，B=x x<1，则A∪B等于______A. RB. x−1<x<1C. −3D. x x<−1或x>14. 已知3i1−3i=3i，其中i是虚数单位，那么实数a等于______A. 3B. 3C. −3D. −35. 已知圆C:x=−3+2sinθ,y=2cosθ θ为参数，点F为抛物线y2=−4x的焦点，则CF等于______A. 6B. 4C. 2D. 06. 函数f x=12sin x+cos x+12sin x−cos x的值域是______A. −1,1B. −22,1 C. −12,12D. −1,227. 如图，在体积为V1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别为AB、DD1的中点，正方体的外接球的体积为V，有如下四个命题；BD1=3AB；②BD1与底面ABCD所成角是45∘；③VV1=32π；④MN∥平面D1BC．其中正确命题的个数为______A. 4B. 3C. 2D. 18. 设函数f x是以2为周期的奇函数，已知x∈0,1，f x=2x，则f x在1,2上是______A. 增函数且f x>0B. 减函数且f x<0C. 增函数且f x<0D. 减函数且f x>09. 数列a n满足119a1+1192a2+⋯+119na n=n22+n2,n∈N∗．当a n取得最大值时n等于______A. 4B. 5C. 6D. 7四、填空题（共5小题；共25分）10. limx→2x−2x2−x−2的值等于______．11. 设0<α<π4，若sinα+cosα=62，则1+tanα1−tanα= ______．12. 已知1+x+1+x2+⋯+1+x n=a0+a1x+⋯+a n x n，且a0+a1+⋯+a n=62，则x+2n的展开式共有______ 项．13. 已知以下条件：①AD=BC；②AD=AB；③AD⋅AB=0；④AC=BD．若四边形ABCD是矩形，则需要条件______．（注：填上你认为正确条件的序号即可，不必考虑所有可能有的情形）14. 已知函数f x=x−a+1x x>0，若f x≥12恒成立，则a的取值范围是______．五、解答题（共6小题；共78分）15. 对某型号1000只灯泡的使用寿命（单位：小时）统计如下表所示：使用寿命小时500,10001000,15001500,20002000,+∞数量17242832971（1）从这1000只灯泡中任选1只，求该灯泡寿命不足1500小时的概率；（2）从这1000只灯泡中任选3只灯泡，求至多有2只灯泡寿命不足1500小时的概率．16. 在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2+c2−a2tan A=3bc.（1）求角A；（2）若a=2，求△ABC面积S的最大值．17. 已知函数g x=a−2x x>−1，函数f x=ln1+x+bx的图象如图所示．（1）求b的值；（2）求函数F x=f x−g x的单调区间．18. 如图，正△ABC的中线AF与中位线DE相交于点G，已知△A′DE是△AED绕边DE旋转过程中的一个图形．（1）求证点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；（2）求当A′E⊥BD时，△A′DE所转过的角的余弦值．19. 设F1，F2分别是椭圆x29+y2=1的左、右焦点．（1）若M是该椭圆上的一个动点，求MF1⋅MF2的最大值和最小值；（2）设过定点0,2的直线l与椭圆交于不同两点A，B，且∠AOB为钝角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．20. 已知数列a nλ−3λn是等差数列，公差为2，a1=11，a n+1=λa n+b n．（1）用λ表示b n；（2）若limn→∞b n+1b n=4，且λ≥3，求λ的值；（3）在（2）的条件下，求数列a n的前n项和．答案第一部分 1. D第二部分2. x 2−y 23=1第三部分 3. A 4. A 5. C 6. B 7. C 8. C 9. B第四部分10. 13 11. 3 12. 613. ①和③，或①和④ 14. a ≤2 第五部分15. （1） 该灯泡的使用寿命不足 1500 小时的概率为P =172+4281000=35.（2） 至多有 2 只灯泡使用寿命不足 1500 小时的概率为P =1−C 33⋅ 35 3=98125.16. （1） 由已知得b 2+c 2−a 22bc⋅sin Acos A =32,所以 sin A =32，又在锐角 △ABC 中，所以 A =60∘．（2） 因为 a =2，A =60∘，所以b 2+c 2=bc +4,S =12bc sin A = 34bc ,而b 2+c 2≥2bc ⇒bc +4≥2bc ⇒bc ≤4,又S =12bc sin A = 34bc ≤34×4= 3,当且仅当 b =c 时，△ABC 的面积 S 取得最大值 3．17. （1） 由已知，得 fʹ x =11+x +b ．由图，知 x =−0.5 是函数 f x 的极大值点，则 fʹ −0.5 =0，解得 b =−2． 经验证 b =−2，适合题意．（2） 由已知，得F x =f x −g x=ln 1+x −2x − a −2 x =ln 1+x −ax .则有Fʹ x =11+x −a .令 Fʹ x =11+x −a >0，结合 x +1>0，得ax <1−a .当 a >0 时，解得−1<x <1a−1,则 F x 的增区间是 −1,1a−1 ，减区间 1a −1,+∞ ；当 a <0 时，解得 x >−1，则 F x 的增区间是 −1,+∞ ，没有减区间； 当 a =0 时，解得 x >−1，则 F x 的增区间是 −1,+∞ ，没有减区间． 综上，当 a >0 时，F x 的增区间是 −1,1a −1 ，减区间是 1a −1,+∞ ； 当 a ≤0 时，F x 的增区间是 −1,+∞ ．18. （1）在平面AʹFA内过点Aʹ作AʹH⊥AF，垂足为H．因为DE⊥AF，DE⊥AʹG，所以DE⊥平面AʹGA，从而DE⊥AʹH．又AF∩DE=G，所以AʹH⊥平面ABC，即点A′在平面ABC上的射影在线段AF上．（2）由（1），知AʹH⊥平面ABC，且A′E⊥BD，所以EH⊥BD．又AG是△ADE的边DE的中线，所以点H为正△ADE的中心，从而HG=13AG=13AʹG.因为DE⊥AF，DE⊥AʹG，所以∠AʹGA是二面角Aʹ−DE−A的平面角．在Rt△AʹGH中，cos∠AʹGA=HGAʹG =13,所以二面角Aʹ−DE−A的余弦值为13．因此，当A′E⊥BD时，△A′DE所转过的角的余弦值为13．19. （1）由已知，得F1 −22,0，F222,0．设M x,y，则MF1= −22−x,−y , MF2=22−x,−y ,从而MF1⋅MF2= −22−x 22−x +y2.由x29+y2=1，得MF1⋅MF2=x2−8+1−x29=89x2−7,x∈−3,3.当x=0时，MF1⋅MF2有最小值为−7；当x=±3时，MF1⋅MF2有最大值为1．（2）直线AB方程为y=kx+2，代入x2+9y2=9并整理，得1+9k2x2+36kx+27=0.由直线l与椭圆交于不同两点，得Δ=36k2−4×271+9k2>0,解得k2>13．设点A x1,y1,B x2,y2，则x1+x2=−36k1+9k,x1x2=271+9k.从而y1y2=kx1+2kx2+2=k2x1x2+2k x1+x2+4=27k21+9k−72k21+9k+4=−9k2+41+9k.由∠AOB为钝角，得OA⋅OB<0,即x1x2+y1y2<0,亦即271+9k +−9k2+41+9k<0,解得k2>319，适合k2>13．因此，直线l斜率k的取值范围是k>313或k<−313.20. （1）因为数列a nλn −3λn是公差为2的等差数列，所以a n+1λn+1−3n+1λn+1=a nλn−3nλn+2,去分母，得a n+1=λ⋅a n+3n+1+2λn+1−λ⋅3n,由a n+1−λa n=b n，得b n=2λn+1+3n3−λ.（2）limn→∞b n+1b n=limn→∞2λn+2+3n+13−λ2λn+1+3n3−λ.当λ=3时，limn→∞b n+1b n=λ=3这与已知矛盾，所以λ≠3，当λ>3时，limn→∞b n+1b n=limn→∞2λ+3−λ3λn+12+3−λλ3λn=λ=4,综上，λ=4．（3）当λ=4，由已知，得a n4−3n4=11−34+2n−1=2n,解得a n=2n⋅4n+3n.令A n=2×4+4×42+6×43+⋯+2n×4n,则4A n=2×42+4×43+6×44+⋯+2n×4n+1,两式相减，得−3A n=2×4+2×42+2×43+⋯+2×4n−2n⋅4n+1=81−4n1−4−2n⋅4n+1=2−6n⋅4n+1−83,从而A n=6n−2⋅4n+1+89.而B n=3+32+33+⋯+3n=3n+12−32,因此，数列a n的前n项和S n=A n+B n=89+6n−29×4n+1+3n+12−32=−1118+3n+12+6n−29×4n+1.。

北京丰台实验学校高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣参考答案：C【考点】程序框图．【分析】根据程序框图，进行运行，得到S的取值具备周期性，利用周期即可得到程序终止的条件，即可得到结论．【解答】解：据程序框图，可看做是：已知a1==﹣2，a n+1=，求a2016，由已知有=﹣1，求出通项a n=﹣（或由前几项归纳），故a2016=﹣．故选：C．2. 已知随机变量服从二项分布，即~B(n,p)且E=24，D=18，则n、p的值为（）A．92， B．94， C．96， D. 96，参考答案：D略3. 已知函数，若，则a的值是（）A． B． C． D．参考答案：C略4. 在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则的值为( )A．79 B．69C．5 D．-5参考答案：C5. 如果命题“p且q”与命题“p或q”都是假命题，那么（）A.命题“非p”与命题“非q”的真值不同B.命题“非p” 与命题“非q”中至少有一个是假命题C.命题p与命题“非q”的真值相同D.命题“非p且非q”是真命题参考答案：D6. 已知函数满足，且是偶函数，当时，，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：C7. 双曲线C的左右焦点分别为，且恰好为抛物线的焦点，设双曲线C与该抛物线的一个交点为，若是以为底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为（）A、 B、C、 D、参考答案：B8. 复数= （）A 2B -2C D参考答案：A9. 当时，则a的取值范围为A. B. C.(1,4) D.参考答案：B10. 若函数f(x)=+2(a-1)x+2在区间内递减，那么实数a的取值范围为（）A.a≤-3B.a≥-3 C.a≤5 D.a≥3参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 两平行线：4x+3y－1=0，8x+6y－5=0间的距离等于 .参考答案：12. 半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为．参考答案：【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】设圆锥底面圆的半径为r，高为h，根据圆锥是由半径为R的半圆卷成，求出圆锥的底面半径与高，即可求得体积．【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则2πr=πR，∴∵R2=r2+h2，∴∴V=×π××=故答案为：13. 椭圆＋＝1上一点P与椭圆的两个焦点F1、F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积为_____________参考答案：24略14. 已知函数，则关于x的方程的实根的个数是___ _参考答案：5试题分析：根据题意，由于函数，则关于的方程，的实根的个数即为的方程的根的个数，那么结合解析式，由于，而对于，，故可知满足题意的方程的解为5个，故答案为5.考点：函数与方程点评：主要是考查了函数与方程的根的问题的综合运用，属于中档题。

2010年北京市丰台区高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1. 已知向量a →=(1, k)，b →=(2, 1)，若a →与b →的夹角大小为90∘，则实数k 的值为（ ）A −12B 12C −2D 2 2. 直线x −y +1=0与圆(x +1)2+y 2=1的位置关系是（ ）A 相切B 直线过圆心C 直线不过圆心，但与圆相交D 相离3. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为(−1, 1)，若取原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则在下列选项中，不是点P 极坐标的是（ ）A (√2,3π4)B (√2,−5π4) C (√2,11π4) D (√2,−π4) 4. “sinA =12”是“A =30∘”的( )A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也必要条件5. 甲乙两名运动员在某项测试中的8次成绩如茎叶图所示，x ¯1，x ¯2分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，s 1，s 2分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（ ）A x ¯1>x ¯2，s 1<s 2B x ¯1=x ¯2，s 1<s 2C x ¯1=x ¯2，s 1=s 2D x ¯1<x ¯2，s 1>s 26. 已知函数f(x)=log 2x ，若|f(x)|≥1，则实数x 的取值范围是（ ）A (−∞, 12]B [2, +∞)C (0, 12]∪[2, +∞)D (−∞, 12]∪[2, +∞) 7. 设f(x)、g(x)是R 上的可导函数，f′(x)，g′(x)分别为f(x)、g(x)的导函数，且满足f′(x)g(x)+f(x)g′(x)<0，则当a <x <b 时，有（ ）A f(x)g(b)>f(b)g(x)B f(x)g(a)>f(a)g(x)C f(x)g(x)>f(b)g(b) D f(x)g(x)>f(b)g(a)8. 如图，在直三棱柱A 1B 1C 1−ABC 中，∠BAC =π2，AB =AC =AA 1=2，点G 与E 分别为线段A 1B 1和C 1C 的中点，点D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点．若GD ⊥EF ，则线段DF 长度的最小值是（ ）A √2B 1 C2√55 D √22二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9. 执行右图所示的程序框图，输出结果y的值是________．10. 如图，AB是半圆O的直径，C是AB延长线上一点，CD切半圆于D，CD=4，AB=3BC，则AC的长是________．11. 椭圆x225+y216=1的焦点为F1，F2，过F2垂直于x轴的直线交椭圆于一点P，那么|PF1|的值是________．12. 已知平面区域U={(x, y)|x+y≤6, x≥0, y≥0}，A={(x, y)|x≤4, y≥0, x−2y≥0}，若向区域U内随机投一点P，则点P落入区域A的概率为________．13. 如图，在倾斜角15∘(∠CAD=15∘)的山坡上有一个高度为30米的中国移动信号塔(BC)，在A处测得塔顶B的仰角为45∘(∠BAD=45∘)，则塔顶到水平面的距离(BD)约为________米（保留一位小数，如需要，取√3=1.7）14. 对于各数互不相等的正数数组(i1, i2,…,i n)（n是不小于2的正整数），如果在p<q时有i p>i q，则称i p与i q是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为此数组的“逆序数”．例如，数组(2, 4, 3, 1)中有逆序“2，1”，“4，3”，“4，1”，“3，1”，其“逆序数”等于4．若各数互不相等的正数数组(a1, a2, a3, a4, a5, a6)的“逆序数”是2，则(a6, a5, a4, a3, a2, a1)的“逆序数”是（）A 34B 28C 16D 13三、解答题（共6小题，满分80分）15. 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)（其中A>0，ω>0,0<φ<π2）的图象如图所示．（1）求A，w及φ的值；（2）若tana=2，求f(α+π8)的值．16. 在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，C1B1的中点，G为CC1上任一点，EC与底面ABCD所成角的正切值是4．（1）求证AG⊥EF；（2）确定点G的位置，使AG⊥面CEF，并说明理由；（3）求二面角F−CE−C1的余弦值．17. 在某次抽奖活动中，一个口袋里装有5个白球和5个黑球，所有球除颜色外无任何不同，每次从中摸出2个球，观察颜色后放回，若为同色，则中奖．（1）求仅一次摸球中奖的概率；（2）记连续3次摸球中奖的次数为ξ，求ξ的分布列．18. 已知函数f(x)=(x2+ax+2)e x，(x, a∈R)．(I)若f(x)在R上单调，求a的取值范围；(II)当a=−5时，求函数f(x)的极小值．219. 已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=2S n+1(n∈N∗)，等差数列{b n}中b n>0(n∈N∗)，且b1+b2+b3=15，又a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列．(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)求数列{a n⋅b n}的前n项和T n．20. 已知抛物线x2=4y的焦点为F，过焦点F且不平行于x轴的动直线l交抛物线于A，B两点，抛物线在A、B两点处的切线交于点M．（1）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；（2）设直线MF交该抛物线于C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值．2010年北京市丰台区高考数学二模试卷（理科）答案1. C2. B3. D4. B5. B6. C7. C8. C9. 110. 811. 34512. 2913. 42.914. D15. 解：(I)由图知A=2，T=2(5π8−π8)=p，∴ w=2，∴ f(x)=2sin(2x+φ)又∵ f(π8)=2sin(π4+φ)=2，∴ sin(π4+φ)=1，∴ π4+j=π2+2kπ，φ=π4+2kπ，∵ 0<φ<π2，∴ φ=π4（2）由(I)知：f(x)=2sin(2x+π4)，∴ f(α+π8)=2sin(2a+π2)=2cos2a=4cos2a−2∵ tana=2，∴ sina=2cosa，又∵ sin2a+cos2a=1，∴ cos2a=15，∴ f(α+π8)=−6516. 解：∵ ABCD −A 1B 1C 1D 1是正四棱柱∴ ABCD 是正方形，设其边长为2a ，ÐECD 是EC 与底面所成的角．而∠ECD =∠CEC 1， ∴ CC 1=4EC 1=4a ．以A 为原点，AB 、AD 、AA 1所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的直角坐标系．则A(0, 0, 0)，B(2a, 0, 0)，C(2a, 2a, 0)，D(0, 2a, 0)，A 1(0, 0, 4a)，B 1(2a, 0, 4a)，C 1(2a, 2a, 4a)，D 1(0, 2a, 4a)，E(a, 2a, 4a)，F(2a, a, 4a)，设G(2a, 2a, b)(0<b <4a)(I)AG →=(2a, 2a, b)，EF →=(a, −a, 0)，AG →⋅EF →=2a 2−2a 2+0=0，∴ AG ⊥EF（2）由（1）知，使AG ⊥面CEF ，只需AG ⊥CE ，只需AG →⋅CE →=(2a, 2a, b)×(−a, 0, 4a)=−2a 2+4ab =0，∴ b =12a ，即CG =18CC 1时，AG ⊥面CEF ．（3）由（2）知，当G(2a, 2a, 12a)时，AG →是平面CEF 的一个法向量，由题意可得，AD →是平面CEC 1的一个法向量，设二面角F −CE −C 1的大小为q ，则cosq =|AG →||AD →|˙=(2a,2a,12a)⋅(0,2a,0)√4a 2+4a 2+14a 2√4a 2=4√3333， 二面角F −CE −C 1的余弦值为4√3333． 17. 解：（1）由题意知本题是一个古典概型，∵ 从装有10只球的口袋中每次从中摸出2个球有C 102，摸出的球是同色的事件数是C 21C 52，设仅一次摸球中奖的概率为P 1，由古典概型公式，∴ P 1=2C 52C 102=49． （2）由题意知ξ的取值可以是0，1，2，3P(ξ=0)=(1−P 1)3=125729，P(ξ=1)=C 31(1−P 1)2P 1=300729=100243，P(ξ=2)=C 32(1−P 1)P 12=240729=80243， P(ξ=3)=P 13=64729．∴ ξ的分布列如下表18. 解：f′(x)=e x [x 2+(a +2)x +a +2](I)f′(x)=e x [x 2+(a +2)x +a +2]，考虑到e x >0恒成立且x 2系数为正，∴ f(x)在R 上单调等价于x 2+(a +2)x +a +2≥0恒成立． ∴ (a +2)2−4(a +2)≤0，∴ −2≤a ≤2，即a 的取值范围是[−2, 2]，（若得a 的取值范围是(−2, 2)，可扣1分）(II)当a =−52时，f(x)=(x 2−52x +2)e x ，f′(x)=e x (x 2−12x −12)， 令f′(x)=0，得x =−12，或x =1，令f′(x)>0，得x <−12，或x >1， 令f′(x)<0，得−12<x <1 x ，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所以，函数f(x)的极小值为f(1)=12e 19. 解：(1)∵ a 1=1，a n+1=2S n +1(n ∈N ∗)，∴ a n =2S n−1+1(n ∈N ∗, n >1)，∴ a n+1−a n =2(S n −S n−1)，∴ a n+1−a n =2a n ，∴ a n+1=3a n (n ∈N ∗, n >1)，而a 2=2a 1+1=3=3a 1，∴ a n+1=3a n (n ∈N ∗)，∴ 数列{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列，∴ a n =3n−1(n ∈N ∗)，∴ a 1=1，a 2=3，a 3=9；在等差数列{b n }中，∵ b 1+b 2+b 3=15，∴ b 2=5．又因a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，设等差数列{b n}的公差为d，∴ (1+5−d)(9+5+d)=64解得d=−10，或d=2，∵ b n>0(n∈N∗)，∴ d=2，∴ b1=3，∴ b n=2n+1(n∈N∗)，(2)由(1)知a n⋅bn=(2n+1)3n−1，∴T n=3×1+5×3+7×32+⋯+(2n−1)3n−2+(2n+1)3n−1，①3T n=3×3+5×32+7×33+⋯+(2n−1)3n−1+(2n+1)3n，②①-②得：−2T n=3×1+2×3+2×32+2×33+⋯+2×3n−1−(2n+1)3n=3+2(3+32+33+⋯+3n−1)−(2n+1)3n=3+2×3−3n1−3−(2n+1)3n=3n−(2n+1)3n=−2n⋅3n，∴ T n=n⋅3n.20. 解：（1）由已知，得F(0, 1)，显然直线AB的斜率存在且不为0，则可设直线AB的方程为y=kx+1(k≠0)，A(x1, y1)，B(x2, y2)，由{x2=4yy=kx+1消去y，得x2−4kx−4=0，显然△=16k2+16>0．所以x1+x2=4k，x1x2=−4．由x2=4y，得y=14x2，所以y′=12x，所以，直线AM的斜率为k AM=12x1，所以，直线AM的方程为y−y1=12x1(x−x1)，又x12=4y1，所以，直线AM的方程为x1x=2(y+y1)①．同理，直线BM的方程为x2x=2(y+y2)②．②-①并据x1≠x2得点M的横坐标x=x1+x22，即A，M，B三点的横坐标成等差数列．（2）由①②易得y=−1，所以点M的坐标为(2k, −1)(k≠0)．所以k MF=2−2k =−1k，则直线MF的方程为y=−1kx+1，设C(x3, y3)，D(x4, y4)由{x2=4yy=−1k x+1消去y，得x2+4kx−4=0，显然△=16k2+16>0，所以x3+x4=−4k，x3x4=−4．又|AB|=√(x1−x2)2+(y1−y2)2=√(1+k2)(x1−x2)2=√(1+k2)[(x1+x2)2−4x1x2]=4(k2+1)．|CD|=√(x3−x4)2+(y3−y4)2=√(1+1k2)(x3−x4)2=√(1+1k2)[(x3+x4)2−4x3x4]=4(1k2+1)．因为k MF⋅k AB=−1，所以AB⊥CD，所以，S ACBD=12|AB|⋅|CD|=8(1k2+1)(k2+1)=8(k2+1k2+2)≥32，当且仅当k=±1时，四边形ACBD面积的取到最小值32．。

2009-2010学年第二学期高等数学(2)期末试卷及其答案2009 至2010 学年度第2 期高等数学（下）课程考试试题册A试题使用对象：2009 级理科各专业(本科)命题人：考试用时120 分钟答题方式采用：闭卷说明：1．答题请使用黑色或蓝色的钢笔、圆珠笔在答题纸上书写工整．2．考生应在答题纸上答题，在此卷上答题作废．一．填空题（本题共15 分，共5 小题，每题 3 分）1．已知(2,1,),(1,2,4)a m b==，则当m=时，向量a b⊥．2．(,)(2,0)sin()lim x yxy y→=．3．设区域D为22yx+≤x2，则二重积分D dσ=⎰⎰．4．函数(,),(,)P x y Q x y在包含L的单连通区域G内具有一阶连续偏导数，如果曲线积分(,)(,)LP x y dx Q x y dy+⎰与路径无关，则(,),(,)P x y Q x y 应满足条件 ．5． 当p 时，级数211pn n +∞=∑收敛．二．选择题（本题共15分，共5小题，每题3 分）1．直线221:314x y z L -+-==-与平面:6287x y z π-+=的位置关系是 ．A ．直线L 与平面π平行；B ．直线L 与平面π垂直；C ．直线L 在平面π上；D ．直线L 与平面π只有一个交点，但不垂直．2． 函数(,)f x y 在点(,)x y 可微分是(,)f x y 在该点连续的（ ）．A ．充分条件； B. 必要条件； C. 充分必要条件； D. 既非充分也不必要条件 3．改变积分次序，则100(,)y dy f x y dx⎰⎰．A ．1(,)xdx f x y dy ⎰⎰； B ．11(,)dx f x y dy ⎰⎰；C ．11(,)x dx f x y dy ⎰⎰；D ．11(,)xdx f x y dy ⎰⎰6．计算22()(sin )Lxy dx x y dy--+⎰，其中L 是上半圆周y =x 轴所围区域的边界，沿逆时针方向．7．将函数1()3f x x =+展开成(3)x -的幂级数． 8．计算曲面积分xydydz yzdzdx xzdxdy ∑++⎰⎰，其中∑为1x y z ++=，0,x =y =，0z =所围立体的外侧．9．求抛物面22z xy =+到平面10x y z +++=的最短距离．2009 至 2010 学年度第 2 期高等数学（下）课程试题A 参考答案试题使用对象： 2009 级 理科各专业(本科) 向瑞银一．填空题（本题共15 分，共5 小题，每题 3 分） 1. 1-； 2. 2； 3. π； 4.y P ∂∂=xQ ∂∂； 5.12p >二．选择题（本题共15分，共5小题，每题3 分） 1．B ； 2．A ； ３．D ； ４．C ； ５．C 三． 求解下列各题（本题共70分，共9小题，1~2每题7 分，3~9每题8 分）．1．z z u z vx u x v x∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂……4分sin cos u u ye v e v=+(sin()cos())xy e y x y x y =-+-……7分 2．2212()(tan())y y uf x y f xy y∂''''=⋅-+∂ ……4分2122sec ()()yyf f xy xy '''=-+2122sec ()yf xf xy ''=-+……7分 3． 令22(,,)1F x y z xy z=+--，则法向量(2,2,1)n x y =-，(2,1,4)(4,2,1)n=- ……3分在点(2,1,4)处的切平面方程为 4(2)2(1)(4)0x y z -+---=．即4260x y z +--=． (6)分法线方程为214421x y z ---==-． ……8分 4．22Dx d yσ⎰⎰22121xxx dx dy y=⎰⎰……4分221/11()x xx dxy=-⎰……6分231()x x dx =-⎰322111()42x x =-94=……8分5．令cos ,sin x a y a θθ==，则sin ,cos x a y a θθ''=-=，ds θ=ad θ= ……3分20a Le ad πθ=⎰⎰ ……6分＝2aae π ……8分6．2P xy=-，1P y ∂=-∂ ，2(sin )Q x y =-+，1Q x∂=-∂ ， ……4分()0DDQ PI dxdy dxdy x y∂∂=-=∂∂⎰⎰⎰⎰ ……6分=……8分 7．1136(3)x x =++-113616x =-+ ……4分 当316x -<，即 39x -<<时，13x +013()66nn x +∞=-=-∑ ……8分8． ⎰⎰∑++zxdxdy yzdzdx xydydz=()x y z dxdydz Ω++⎰⎰⎰……4分 =1110()xx ydx dy x y z dz---++⎰⎰⎰……6分81=……8分9．设抛物面一点(,,)x y z ，它到平面的距离为1d x y z =+++满足条件220x y z +-= ……3分 拉格朗日函数为222(1)()3x y z L x y z λ+++=++- ……5分2(1)203x x y z L x λ+++=+=，2(1)203yx y z Ly λ+++=+=2(1)3z x y z L λ+++=-=，220Lx y z λ=+-=解方程组得，12x y ==-，12z =． 由问题本身知最短距离存在，所以最短距离为0.5,0.5,0.5)d --=6=……8分。

丰台区-度第二学期期末练习高二数学（理科）第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．命题“若p ，则q ”的逆否命题是（ ）． A ．若q ，则pB ．若p ⌝，则q ⌝C ．若q ⌝，则p ⌝D ．若p ，则q ⌝【答案】C【解析】“若p 则q ” 的逆否命题是“若q ⌝则p ⌝”． 故选C ．2．对变量x ，y 有观测数据(,)(1,2,,10)i i x y i =，得散点图1；对变量u ，v 有观测数据(,)(1,2,,10)i i u v i =，得散点图2．由这两个散点图可以判断（ ）． A ．变量x 与y 正相关，u 与v 正相关B ．变量x 与y 正相关，u 与v 负相关C ．变量x 与y 负相关，u 与v 正相关D ．变量x 与y 负相关，u 与v 负相关 【答案】C【解析】由散点图可知，随着x 增加，y 减少，即x 与y 成负相关，随着u 增加，v 增加，则u 与v 成正相关． 故选C ．3．若命题:p n ∃∈N ，33n n <，则p ⌝为（ ）． A ．n ∀∈N ，33n n ≥ B ．n ∀∈N ，33n n < C ．n ∃∈N ，33n n ≥ D ．n ∃∈N ，33n n <【答案】A【解析】命题:p n ∃∈N ，33n n <，p ⌝为：n ∀∈N ，33n n ≥． 故选A ．4．已知a ，b 都是实数，那么“22a b > ”是“a b >”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】若22a b >，则22()()0a b a b a b -=-+>， 若0a b +>，则可推出0a b ->，即a b >， 若0a b +<，则推出0a b -<，即a b <，即由“22a b >”不一定能推出“a b >”，且由“a b >”也不一定能推出“22a b >”． 故选D ．5．已知命题:||0p x ≥；命题:q x ∀∈R ，210x x --=．则下列命题为真命题的是（ ）． A ．p q ⌝∨ B ．p q ⌝∧ C ．p q ∨⌝ D ．p q ⌝∧⌝ 【答案】C【解析】命题:||0p x ≥为真命题， 命题:q x ∀∈R ，210x x --=，为假命题， A 项．p ⌝为假命题，p q ⌝∨为假命题；B 项．p q ⌝∧为假命题；C 项．q ⌝为真命题，p q ∨⌝为真命题，D 项．p q ⌝∧⌝为假命题．故选C ．6．4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每入限报其中的一个运动队，则不同的报名方法种数是（ ）． A ．3!B ．34AC ．34D ．43【答案】D【解析】每个同学报各都有3种情况，共有4个同学，则有43种报名方法． 故选D ．7．若1021001210(2)x a a x a x a x =++++，则012310a a a a a -+-++的值为（ ）．A 21B 21C ．10(21)D ．10(21)【答案】D【解析】令1021001210()(2)f x x a a x a x a x ==++++，故选D ．8．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气摄量为优良的概率是35，连续两天为优良的概率是15，己知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）． A ．15B ．13C ．325D ．925【答案】B【解析】设某天的空气质量为优良事件B ，随后一天的空气质量为优良是事件A ， ∴题目所示为1()153()35A P AB P B P B ⎛⎫=== ⎪⎝⎭． 故选B ．9．某单位安排甲、乙、丙三人从周一至周六值班，每人值班两天，已知甲不值周一，乙不值周六，那么可以排出不同的值班表 共（ ）． A ．42种 B ．60种 C ．84种 D ．90种【答案】A【解析】由题意分成两种情况讨论：①当甲排在星期六，有1244C C 24=种排法， ②当甲不排在星期六，有2243C C 18=种排法，∴值班方案种数为241842+=种． 故选A ．10．若函数()f x ，()g x 满足11()()d 0f x g x x -=⎰，则称()f x ，()g x 在区间[]1,1-上是“互为正交函数”．现给出三组函数：①()2f x =，()e x g x =．②()1f x x =+，()1g x x =-；③()f x x =，2()g x x =．其中“互为正交函数”的组数是（ ）． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B【解析】函数()f x ，()g x 满足11()()d 0f x g x x -=⎰，则()()y f x g x =为奇函数， ①()2f x =，()e x g x =，∴2e x y =不是奇函数，不符合题意，②()1f x x =+，()1g x x =-，∴(1)(1)y x x =+-为偶函数，不符合题意， ③()f x x =，2()g x x =，∴3y x =为奇函数，符合题意， 符合要求的有1组． 故选B ．第二部分（非选择题 共60分）二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．11．函数π()sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的导函数()f x '=__________．【答案】π2cos 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【解析】π()sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，π()2sin 26f x x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭．12．二项式6(3)x 的展开式中含4x 项的系数为__________． 【答案】45【解析】二项式6(3)x 的展开式第1k +次项，616C (3)k kk k T x -+=-， 当4k =时，4424444566C (3)3C 31545T x x x x =-==⨯=， 即4x 项的系数为45． 13．观察下列式子：213122+<，221151233++<，222111712344+++<，，根据上述规律，第n 个不等式应为__________． 【答案】22211121123n n n-+++< 【解析】由上述规律，归纳推理可得22211121123n n n-+++<． 14．由曲线2y x =与直线2y x =所围成的封闭图形的面积是__________． 【答案】43． 【解析】当22x x =时，0x =或2，即所求封闭图形面积为43． 15．已知机场巴士分别在7:00， 8:00，8:30发车，小王在7:50至8:30之间到达发车站乘坐机场巴士，他到达发车站的时刻是随机的，则他等车的时间不超过10分钟的概率是__________．【答案】12【解析】在7:50至8:30的40分钟之内，等车时间不超过10分钟的时间段为 7:50~8:00和8:20~8:30，共20分钟符合题目要求， ∴所求概率201402P ==． 16．已知()f x '和()g x '分别是二次函数()f x 和三次函数()g x 的导函数，它们在同一坐标系中的图象如图所示，设函数()()()h x f x g x =-． （1）若1(0)f =，则1()f -=__________．（2）若函数()h x 的极小值为20-，极大值为7，则(0)h =__________．【答案】（1）12-．（2）18-．【解析】（1）设2()f x ax bx c =++，()2f x x b '=+， 由图象可知，()f x '经过两点(2,0)-，(1,3)， ∴03()0(2)21f x x -'-=---，化为()2f x x '=+， ∴21a =，2b =，可得12a =，2b =，又∵(0)1f =，∴1c =，（2）设321234()g x a x a x a x a =+++， 由图象可知()g x '经过(1,3)和(2,0)-两点， ∵()h x 极小值为20-，极大值为7，且当2x =-时，(2)(2)0g f ''-=-=，当1x =时，(1)(1)0g f ''==， ∴当2x =-时，()0h x '=，()h x 取极小值为20-， 当1x =时，()0h x '=，()h x 取极大值7， 解得419a =，114a =-，2114a =-，31012a =， 三、解答题共4小题，共36分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17．（本小题9分） 已知函数2()e x f x x =．（1）求函数()f x 的单调区间．（2）求函数()f x 在区间[]3,1-上的最大值和最小值．【答案】（1）单调递增区间为(,2)(0,)-∞-+∞，单调递减区间为(2,0)-．（2）最大值为e ，最小值为0． 【解析】（1）∵2()e x f x x =，令()0f x '>，解得2x <-或0x >，()f x 在(,2)(0,)-∞-+∞单调递增， 令()0f x '<，解得10x -<<，()f x 在(2,0)-单调递减， ∴()f x 单调递增区间为(,2)(0,)-∞-+∞， 单调递减区间为(2,0)-．（2）∵()f x 在[3,2]--上单调递增，在[2,0]-单调递减，在[0,1]上单调递增， ∴()f x 在[3,1]-上最大值为e ，最小值为0． 18．（本小题9分）一个口袋中装有大小、材质都相同的2个红球，3个黑球和4个白球，从口袋中一次摸出一个球，连续摸球两次．（1）如果摸出后不放回，求第一次摸出黑球，第二次摸出白球的概率； （2）如果摸出后放回，求恰有一次摸到黑球的概率． 【答案】（1）16．（2）712．【解析】（1）一个口袋中装有大小、材质都相同的2个红球，3个黑球和4个白球，试验发生包含的事件共有29A 种结果， 满足条件的事件有2234A A 种结果， ∴所求概率2234129A A 1A 6P ==． （2）摸球不超过三次，包括第一次摸到红球、第二次摸到红球、第三次摸到红球，三个事件互斥， 第一次摸出红球的概率为1219A A ，第二次摸出红球的概率为117229A A A ， 第三次摸出红球的概率为217239A A A ，则摸球次数不超过3次的概率为1121172722123999A A A A A 7A A A 12P =++=． 19．（本小题 9分）某中学为高二学生开设了“艺术欣赏”、“综合实践”两门校本必修课程，两门课程考核合格可分别获得2学分和3学分．根据以往经验，“艺术欣赏”、“综合实践”考核合格的概率分别 为34和23，且每个学生这两科考核是否合格相互独立．已知该校高二学生甲、乙学这两门课程获得的校本学分分别为X ， Y ． （1）求X 的分布列和数学期望． （2）求“X 大于Y ”的概率． 【答案】 【解析】20．（本小题9分）已知函数2()ln ()f x tx x t =∈R ．（1）求()f x 在点)1, ((1)f 处的切线方程．（2）若不等式1()ef x ≥恒成立，求实数t 的取值范围．（3）已知0a >，0b >，求证：22ln ln 1a b b a ->-． 【答案】（1）(1)y t x =-．（2）[2,0)-．（3）证明见解析． 【解析】（1）(1)0f =，()(2ln )f x t x x x '=+， ∴()f x 在(1,(1))f 处切线方程为(1)y t x =-．（2）1()2ln 2f x tx x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，0x >，令()0f x '=，解得e x =，①0t =时，1()0ef x =≤恒成立，符合要求，②0t >时，函数()f x 在e ⎛ ⎝上单调递增，在e ⎫+∞⎪⎭上单调递减，x →+∞时，()f x →+∞，不满足1()ef x ≤恒成立，舍去．③0t <时，函数()f x 在e ⎛ ⎝上单调递减，在e ⎫+∞⎪⎭上单调递增， ∴ex 时，()f x 取得极大值即最大值， 由111()t e 22f t ⎛⎫=⨯⨯- ⎪⎝⎭≥恒成立，解得2t -≥，综上所述[2,0)t ∈-．（3）证明：0a >，0b >，要证明22ln ln 1a b b a ->-， 只需证明2ln a b b a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，令a x b =，只需证明0x >，2ln 1x x -<即可，由（2）知，当1t =-时，211ln 1e 2e e e x x f -=-=<≤， ∴0x >时，2ln 1x x -<， ∴0a >，0b >时，22ln ln 1a b b a->-．。

北京市丰台区2010年高三年级第二学期统一练习（一）数 学 试 题（理）注意事项： 1．答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码.2．本次考试所有答题均在答题卡上完成.选择题必须使用2B 铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项.非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚.作图题用2B 铅笔作图，要求线条、图形清晰.3．请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题、草稿纸上答题无效.4．请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损.一、本大题共8小题，每小题5分共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．如果aiaiz +-=11为纯虚数，则实数a 等于（ ）A ．0B ．-1C ．1D ．-1或12．设集合[)(]}1,0,log |{},,0,)21(|{2∈==+∞∈==x x y y N x y y M x，则集合N M Y 是（ ）A ．[)+∞-∞,1)0,(YB ．[)+∞,0C ．(]1,∞-D ．)1,0()0,(Y -∞ 3．若,)21(2210nn n x a x a x a a x ++++=-Λ则2a 的值是（ ）A ．84B ．-84C ．280D ．-2804．奇函数)0,()(-∞在x f 上单调递增，若,0)1(=-f 则不等式0)(<x f 的解集是（ ） A ．)1,0()1,(⋃--∞ B ．),1()1,(+∞⋃--∞C ．)1,0()0,1(Y -D ．),1()0,1(+∞⋃-5．从0，2，4中取一个数字，从1，3，5中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是 （ ） A ．36 B ．48 C ．52 D ．54 6．在ABC ∆，|"|||"""AC =⋅=⋅是的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 7．设,24,0,0=++>>ab b a b a 则（ ）A ．a+b 有最大值8B ．a+b 有最小值8C ．ab 有最大值8D ．ab 有最小值8 8．已知整数以按如下规律排成一列：（1，1）、（1，2）、（2，1）、（1，3）、（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）……，则第60个数对是 （ ） A ．（10，1） B ．（2，10） C ．（5，7） D ．（7，5） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．在平行四边形ABCD 中，点E 是边AB 的中点，DE 与AC 交于点F ，若AEF ∆的面积是1cm 2，则CDF∆的面积是 cm 2.10．若一个正三棱柱的三视图及其尺寸如下图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是cm 3.11．样本容量为1000的频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图计算，x 的值为 ，样本数据落在[)14,6内的频数为 . 12．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+==11t y x （参数R t ∈），圆C 的参数方程为⎩⎨⎧=+==θθsin 1cos y x （参数[)πθ2,0∈），则圆心到直线l 的距离是 .13．在右边的程序框图中，若输出i 的值是4，则输入x 的取值范围是 .14．函数)10(12≤≤+=x x y 图象上点P 处的切线与直线1,0,0===x x y 围成的梯形面积等于S ，则S 的最大值等于 ，此时点P 的坐标是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（12分）已知函数x b x a x f cos sin )(+=的图象经过点).1,3(),0,6(ππ（I ）求实数a 、b 的值； （II ）若]2,0[π∈x ，求函数)(x f 的最大值及此时x 的值.16．（13分）如图，在底面是正方形的四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥面ABCD ，BD 交AC 于点E ，F 是PC 中点，G为AC 上一点.（I ）求证：BD ⊥FG ；（II ）确定点G 在线段AC 上的位置，使FG//平面PBD ，并说明理由. （III ）当二面角B —PC —D 的大小为32时，求PC 与底面ABCD 所成角的正切值. 17．（14分）某工厂师徒二人各加工相同型号的零件2个，是否加工出精品均互不影响.已知师父加工一个零件是精品的概率为32，师徒二人各加工2个零件都是精品的概率为.91（I ）求徒弟加工2个零件都是精品的概率；（II ）求徒弟加工该零件的精品数多于师父的概率；（III ）设师徒二人加工出的4个零件中精品个数为ξ，求ξ的分布列与均值E ξ.18．（13分）已知函数.ln )(xax x f += （I ）当a<0时，求函数)(x f 的单调区间； （II ）若函数f （x ）在[1，e]上的最小值是,23求a 的值.19．（13分）在直角坐标系xOy 中，点M 到点)0,3(),0,3(21F F -的距离之和是4，点M 的轨迹是C 与x轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线b kx y l +=:与轨迹C 交于不同的两点P 和Q. （I ）求轨迹C 的方程；（II ）当0=⋅时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点.20．（14分）设集合W 由满足下列两个条件的数列}{n a 构成：①;212++<+n n n a a a ②存在实数M ，使.M a n ≤（n 为正整数）（I ）在只有5项的有限数列;5,4,3,2,1,}{},{54321=====a a a a a b a n n 其中中 1,4,5,4,154321=====b b b b b ；试判断数列}{},{n n b a 是否为集合W 的元素； （II ）设}{n c 是各项为正的等比数列，n S 是其前n 项和，,47,4133==S c 证明数列W S n ∈}{；并写出M 的取值范围；（III ）设数列,}{W d n ∈且对满足条件的M 的最小值M 0，都有)(*N n M d n n ∈≠.求证：数列}{n d 单调递增.参考答案一、选择题（每小题5分，共40分） BCAABCBC二、填空题（每小题5分，共30分） 9．4 10．324 11．0.09,680 12．2 13．(]4,2 14．)45,21(,45 三、解答题：（本大题共6小题，共80分） 15．（12分）解：（I ）∵函数x b x a x f cos sin )(+=的图象经过点)1,3(),0,6(ππ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+∴1212302321b a b a …………4分解得：1,3==b a…………5分（II ）由（I ）知：)6sin(2cos sin 3)(π-=-=x x x x f…………8分 ],3,6[6],2,0[ππππ-∈-∴∈x x Θ…………9分2,36πππ==-∴x x 即当时，)(x f 取得最大值.3…………12分16．（13分）证明：（I ）⊥PA Θ面ABCD ，四边形ABCD 是正方形， 其对角线BD ，AC 交于点E ， ∴PA ⊥BD ，AC ⊥BD. ∴BD ⊥平面APC ，⊂FG Θ平面PAC ，∴BD ⊥FG…………7分（II ）当G 为EC 中点，即AC AG 43=时， FG//平面PBD ， …………9分 理由如下：连接PE ，由F 为PC 中点，G 为EC 中点，知FG//PE ， 而FG ⊄平面PBD ，PB ⊂平面PBD ， 故FG//平面PBD. …………13分 （III ）作BH ⊥PC 于H ，连结DH ，∵PA ⊥面ABCD ，四边形ABCD 是正方形， ∴PB=PD ，又∵BC=DC ，PC=PC ， ∴△PCB ≌△PCD ，∴DH ⊥PC ，且DH=BH ，∴∠BHD 主是二面角B —PC —D 的平面角，…………11分即,32π=∠BHD ∵PA ⊥面ABCD ，∴∠PCA 就是PC 与底面ABCD 所成的角 …………12分 连结EH ，则PC EH BHE BD EH ⊥=∠⊥,3,π,,3tan EC BE EHBEBHE ===∠∴而 ,33sin ,3==∠∴=∴EC EH PCA EH EC ,22tan =∠∴PCA ∴PC 与底面ABCD 所成角的正切值是22 …………14分解：以A 为原点，AB ，AD ，PA 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系如图所示，设正方形ABCD 的边长为1，则A （0，0，0），B （1，0，0），C （1，1，0）D （0，1，0），P （0，0，a ）（a>0）,)20)(0,,(),2,21,21(),0,21,21(<<m m m G aF E（I ）),2,21,21(),0,1,1(am m FG BD ---=-=002121=+-++=⋅m m FG BDFG BD ⊥∴ …………5分（II ）要使FG//平面PBD ，只需FG//EP ，而),21,21(a EP -=，由EP FG λ=可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-λλa a m 22121，解得,1=λ,43=m…………7分,43),0,43,43(G =∴∴故当AC AG 43=时，FG//平面PBD…………9分设平面PBC 的一个法向量为),,,(z y x =则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00BC u ，而)0,1,0(),,1,1(=-=a ⎩⎨⎧==-+∴00y az y x ，取z=1，得)1,0,(a =， 同理可得平面PBC 的一个法向量)1,,0(a v = 设,所成的角为0， 则,21|32cos||cos |==πθ ,21111,2122=+⋅+∴=a a 1=∴a…………12分∵PA ⊥面ABCD ，∴∠PCA 就是PC 与底面ABCD 所成的角，2221tan ===∠∴AC PA PCA …………14分17．（14分）解：（I ）设徒弟加工1个零件是精品的概率为p 1，则,419132322121==⨯p p 得 所以徒弟加工2个零件都是精品的概率是41…………3分（II ）设徒弟加工零件的精品数多于师父的概率为p ，由（I ）知，211=p师父加工两个零件中，精品个数的分布列如下：徒弟加工两个零件中，精品个数的分布列如下：所以364949492=⨯+⨯+⨯=p…………9分（III ）ξ的分布列为…………13分 ξ的期望为373644361233613236613610=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯…………14分18．（13分）解：函数xax x f +=ln )(的定义域为),0(+∞ …………1分 221)('xax x a x x f -=-=…………3分（1）.0)(',0>∴<x f a Θ故函数在其定义域),0(+∞上是单调递增的. …………5分（II ）在[1，e]上，发如下情况讨论：①当a<1时，,0)('>x f 函数)(x f 单调递增， 其最小值为,1)1(<=a f 这与函数在[1，e]上的最小值是23相矛盾； …………6分②当a=1时，函数(]e x f ,1)(在单调递增， 其最小值为,1)1(=f 同样与最小值是23相矛盾； …………7分③当e a <<1时，函数[)a x f ,1)(在上有0)('<x f ，单调递减， 在(]e a ,上有,0)('>x f 单调递增，所以， 函数)(x f 满足最小值为1ln )(+=a a f 由,,231ln e a a ==+得 …………9分④当a=e 时，函数[),0)(',1)(<x f e x f 上有在单调递减， 其最小值为,2)(=e f 还与最小值是23相矛盾； …………10分⑤当a>e 时，显然函数],1[)(e x f 在上单调递减， 其最小值为,21)(>+=eae f 仍与最小值是23相矛盾； …………12分 综上所述，a 的值为.e…………13分19．（13分）解：（1）)0,3(),0,3(-到点M Θ的距离之和是4，M ∴的轨迹C 是长轴为4，焦点在x 轴上焦中为32的椭圆，其方程为.1422=+y x …………3分（2）将b kx y +=，代入曲线C 的方程，整理得0428)41(22=+++kx x k…………5分 因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ，所以.0)14(16)44)(41(464222222>+-=-+-=∆b k b k b k ① 设),,(),,(2211y x Q y x P ，则221221414,4128k x x k k x x +=+-=+ ② …………7分且.)()())((2212122121b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++=⋅③ 显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点A （-2，0），所以),,2(),,2(2211y x y x +=+= 由.0)2)(2(,02121=+++=⋅y y x x 得 将②、③代入上式，整理得.05161222=+-b kb k …………10分 所以,0)56()2(=-⋅-b k b k 即,562k b k b ==或经检验，都符合条件①当b=2k 时，直线l 的方程为.2k kx y += 显然，此时直线l 经过定点（-2，0）点.即直线l 经过点A ，与题意不符. 当k b 56=时，直线l 的方程为).65(56+=+=x k k kx y显然，此时直线l 经过定点)0,56(-点，且不过点A.综上，k 与b 的关系是：,56k b =且直线l 经过定点)0,56(-点…………13分 20．（14分）解：（I ）对于数列}{n a ， 取,22231a a a ==+显然不满足集合W 的条件，① 故}{n a 不是集合W 中的元素， …………2分 对于数列}{n b ，当}5,4,3,2,1{∈n 时， 不仅有,42,32342231b b b b b b <=+<=+,32433b b b <=+而且有5≤n b ，显然满足集合W 的条件①②，故}{n b 是集合W 中的元素. …………4分 （II ）}{n c Θ是各项为正数的等比数列，n S 是其前n 项和，,47,4133==S c 设其公比为q>0，,473323=++∴c q c qc 整理得0162=--q q 1121,1,21-==∴=∴n n c c q 1212--=n n S …………7分 对于,212212122,222*+++=-<--=+∈∀n n n n n n n S S S N 有且,2<n S 故W S n ∈}{，且[)+∞∈,2M …………9分 （III ）证明：（反证）若数列}{n d 非单调递增，则一定存在正整数k ，使1+≥k k d d ，易证于任意的k n ≥，都有1+≥k k d d ，证明如下： 假设1,)(+≥≥=k k d d k m m n 时当n=m+1时，由,221212m m m m m m d d d d d d -<<+++++得 而0)2(11121≥-=-->-+++++m m m m m m m d d d d d d d 所以,21++>m m d d所以，对于任意的,,1+≥≥m m d d k n 都有 显然k d d d ,,,21Λ这k 项中有一定存在一个最大值，不妨记为0n d ； 所以.),(0*00M d N n d d n n n =∈≥从而与这题矛盾. 所以假设不成立， 故命题得证.…………14分。

江苏省苏州市2009－2010学年度第二学期高二期末测试数 学（理科）2010.7注意事项：1. 本试卷分必答部分（160分），考试用时120分钟.选答部分（40分），考试用时30分钟.2. 必答部分有填空题和解答题两部分，选答部分在四组模块中选两组模块作答.3. 答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题卡的密封线内.答题时，填空题和解答题的答案写在答题卡上对应题目的空格内，答案写在试卷上无效．．．．．．．．．.本卷考试结束后，上交答题卡.4. 文字书写题统一用0.5毫米及0.5毫米以上签字笔.5. 作图题可用2B 铅笔，不需要用签字笔描摹.必答部分一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．.．1. 命题“21,2x x ∃<<”的否定是“ ▲ ”.2. 设i 是虚数单位，则复数32i i-+= ▲ . 3. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线15422=-y x 的右准线方程为 ▲ . 4. 已知向量(2,,),(,1,2)0,,2x a x b x x a b x ==>=，其中若∥则 ▲ . 5. 过点),4(a A 和),5(b B 的直线与直线2y x m =+平行，则线段AB 的长为 ▲ .6. 在5(21)x -的展开式中，2x 的系数为 ▲ .7. 某篮球运动员投中篮球的概率为23，则该运动呗“投篮3次至多投中1次”的概率是 ▲ . (结果用分数表示)8. 棱长都相等的四面体称为正四面体.在正四面体A-BCD 中，点M,N 分别是CD 和AD 的中点， 给出下列命题：①直线MN ∥平面ABC ；②直线CD ⊥平面BMN ；③三棱锥B-AMN 的体积是三棱锥B －ACM 的体积的一半.则其中正确命题的序号为 ▲ .9. 在平面直角坐标系中，点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离d =类似地，在空间直角坐标系中，点000(,,)P x y z 到平面0Ax By Cz D +++=的距离d = ▲ .10. 从A ，B ，C ，D ，E ，F 这6种不同的花朵中选出4种，插入4只不同的花瓶中展出，如果第1只花瓶内不能插入C ，那么不同的插法种数为 ▲ .11. 在平面直角坐标系xOy 中，“直线12++=k kx y 上有两个不同的点到原点的距离为1”成立的充要条件是“k 的取值范围为 ▲ .”12. 函数()2tan (0,)2f x x x π=-在上的最大值为 ▲ .13. 椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12(,0)(,0),F c F c -，若椭圆上存在点P ， 使得c · PF 2 ＝a · PF 1则该椭圆离心率的取值范围是 ▲ .14. 已知直线l ：1-=y ，定点F(0, 1), P 是直线02=+-y x 上的一个动点.若经过点F, P 的圆与l 相切，则这些圆中圆面积的最小值为 ▲ .二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。