马尔可夫预测方法
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5.7 马尔可夫预测
第7节马尔可夫预测方法对事件的全面预测，不仅要能够指出事件发生的各种可能结果，而且还必须给出每一种结果出现的概率，说明被预测的事件在预测期内出现每一种结果的可能性程度。
这就是对于事件发生的概率预测。
马尔可夫（Markov）预测法，就是一种预测事件发生的概率的方法。
它是基于马尔可夫链，根据事件的目前状况预测其将来各个时刻（或时期）变动状况的一种预测方法。
马尔可夫预测法是对事件进行预测的基本方法，它是预测中常用的重要方法之一。
一、几个基本概念为了讨论马尔可夫预测法的应用，下面首先介绍几个基本概念。
(一) 状态、状态转移过程与马尔可夫过程(1) 状态。
在马尔可夫预测中，“状态”是一个重要的术语。
所谓状态，就是指某一事件在某个时刻（或时期）出现的某种结果。
一般而言，随着研究的事件及其预测的目标不同，状态可以有不同的划分方式。
例如，在商品销售预测中，有“畅销”、“一般”、“滞销”等状态；在农业收成预测中，有“丰收”、“平收”、“欠收”等状态；在人口构成预测中，有“婴儿”、“儿童”、“少年”、“青年”、“中年”、“老年”等状态；在经济发展水平预测中，有“落后”、“较发达”、“发达”等状态；在天气变化预测中，有“晴天”、“阴天”、“雨天”等状态；……；等等。
(2) 状态转移过程。
事件的发展，从一种状态转变为另一种状态，就称为状态转移。
譬如，天气变化从“晴天”转变为“阴天”，从“阴天”转变为“晴天”，从“晴天”转变为“晴天”，从“阴天”转变为“阴天”等都是状态转移。
(3) 马尔可夫过程。
在事件的发展过程中，若每次状态的转移都只仅与前一时刻的状态有关，而与过去的状态无关，或者说状态转移过程是无后效性的，则这样的状态转移过程就称为马尔可夫过程。
许多事件发展过程的状态转移是具有无后效性的，对于这样一些事件发展过程，就可以用马尔可夫过程来描述。
(二) 状态转移概率与状态转移概率矩阵118119（1）状态转移概率。
在事件的发展变化过程中，从某一种状态出发，下一时刻转移到其它状态的可能性，称为状态转移概率。
第十一章马尔科夫预测法
0.306 0.246 0.448
12月份三个企业市场用户拥有量分别为：
甲：1000×0.306 = 306 户
乙：1000×0.246 = 246 户
丙：1000×0.448 = 448 户
17
稳定状态概率为：
Sn SS12nnP1P1121
P21 P221
P3110 P32 0
S3n 1
1 1 1
0.3 0.1 0.3
300 300 300
20
本月的状态：
S 1 S 1 1 S 2 1 S 3 1 S 0 P
0.4 0.3 0.3
0.4 0.3 0.30.6 0.3 0.1
0.6 0.1 0.3
0 .52 0 .24 0 .24
即本月A牌号味精的市场占有率为0.52，B牌号味精 的市场占有率为0.24，C牌号味精的市场占有率为0.24 。
根据市场调查情况，确定一次转移概率矩阵为：
230 10 10
P22500 300 30
250 250
300 10
34230150000 000..00.966277
0.04 0.833 0.022
0.04
0.1
0.911
450 450 450
14
步骤
利用马尔柯夫预测模型进行预测，11月份三个企业市 场占有率为：
R
5 1
1 1
试求下一个季度的即时期望利润和三个季度后的期望 利润。
30
步骤：
根据调查资料估计状态转移概率并确定状态转移概率 矩阵
PP1 177400.7.58 127400.2.52
9
9
31
P2P1P 0 0 .7 .580 0 .2 .5 2 2 0 0..5 66 40 0..4 3 4 6
12月份三个企业市场用户拥有量分别为：
甲：1000×0.306 = 306 户
乙：1000×0.246 = 246 户
丙：1000×0.448 = 448 户
17
稳定状态概率为：
Sn SS12nnP1P1121
P21 P221
P3110 P32 0
S3n 1
1 1 1
0.3 0.1 0.3
300 300 300
20
本月的状态：
S 1 S 1 1 S 2 1 S 3 1 S 0 P
0.4 0.3 0.3
0.4 0.3 0.30.6 0.3 0.1
0.6 0.1 0.3
0 .52 0 .24 0 .24
即本月A牌号味精的市场占有率为0.52，B牌号味精 的市场占有率为0.24，C牌号味精的市场占有率为0.24 。
根据市场调查情况，确定一次转移概率矩阵为：
230 10 10
P22500 300 30
250 250
300 10
34230150000 000..00.966277
0.04 0.833 0.022
0.04
0.1
0.911
450 450 450
14
步骤
利用马尔柯夫预测模型进行预测，11月份三个企业市 场占有率为：
R
5 1
1 1
试求下一个季度的即时期望利润和三个季度后的期望 利润。
30
步骤：
根据调查资料估计状态转移概率并确定状态转移概率 矩阵
PP1 177400.7.58 127400.2.52
9
9
31
P2P1P 0 0 .7 .580 0 .2 .5 2 2 0 0..5 66 40 0..4 3 4 6
马尔科夫预测法简介
故可用矩阵式表达所有状态:
[S1(k),S2(k), …… ,SN(k)]= [S1(0),S2(0), …… ,SN(0)] P[k]
即 S(k) = S(0) P [k] 当满足稳定性假设时,有
S(k) = S(0) Pk 这个公式称为已知初始状态条件下的市场占有
率k步预测模型.
例:东南亚各国味精市场占有率预测, 初期工作: a)行销上海,日本,香港味精,确定状态1,2,3. b)市场调查,求得目前状况,即初始分布 c)调查流动状况;上月转本月情况,求出一步状 态转移概率. 1)初始向量: 设 上海味精状况为1;
0.5
P = 0.78
0.22
此式说明了：若本季度畅销，则下季度畅销和滞销的可能性 各占一半
若本季度滞销，则下季度滞销有78%的把握，滞销风 险22%
二步状态转移矩阵为：
[2] 2
P=P=
0.5 0.5
0.5 0.5
0.78 0.22 0.78 0.22
0.64
0.36
= 0.5616 0.4384
求T
0.6 0.1 0.3 解：设 U = [U1 U2 U3] = [U1 U2 1－U1－U2]
由 UP = U 有
0.4 0.3 0.3
[U1 U2 1－U1－U2] 0.6 0.3 0.1 = [U1 U2 U3]
0.6 0.1 0.3
即
-0.2U1 + 0.6 = U1
0.2U1 + 0.2U2 + 0.1 =U2
定理二：设X为任意概率向量，则XT = U 即任意概率向量与稳态概率矩阵之点积为 固定概率向量。
事实上： U1 U2 …… UN
XT = X• : :
马尔可夫预测法
马尔可夫预测法马尔可夫预测法是一种基于概率论的预测方法。
它通过分析系统的状态变化来预测未来的状态。
该方法适用于具有一定规律性的系统，并且可以用于各种领域，例如物理、经济、生物等。
下面将详细介绍马尔可夫预测法的原理和应用。
原理马尔可夫预测法是基于马尔可夫过程的。
马尔可夫过程是一个具有无记忆性的随机过程，即在给定当前状态的情况下，未来的状态只与当前状态有关，与过去的状态无关。
这个过程可以用一个状态转移矩阵来描述。
状态转移矩阵描述了从一个状态到另一个状态的概率，它的每个元素都代表了从一个状态到另一个状态的概率。
通过对状态转移矩阵的分析，可以预测系统在未来的状态。
应用马尔可夫预测法在各种领域都有广泛的应用。
在物理学中，它可以用于预测粒子的运动状态；在经济学中，它可以用于预测股市的走势；在生物学中，它可以用于预测疾病的传播。
下面将分别介绍这些应用。
物理学中的应用在物理学中，马尔可夫预测法可以用于预测粒子的运动状态。
例如，在原子的轨道运动中，电子的运动状态可以用一个状态向量来描述。
通过对状态向量的分析，可以预测电子在未来的位置。
经济学中的应用在经济学中，马尔可夫预测法可以用于预测股市的走势。
例如，在股市中，每一天的股价可以看作是一个状态。
通过对状态转移矩阵的分析，可以预测未来股价的走势。
这种方法已经被证明是一种有效的预测股市走势的方法。
生物学中的应用在生物学中，马尔可夫预测法可以用于预测疾病的传播。
例如，在流行病学中，每个人的健康状态可以看作是一个状态。
通过对状态转移矩阵的分析，可以预测疾病的传播。
这种方法已经被证明是一种有效的预测疾病传播的方法。
总结马尔可夫预测法是一种基于概率论的预测方法。
它通过分析系统的状态变化来预测未来的状态。
该方法适用于具有一定规律性的系统，并且可以用于各种领域。
在物理、经济、生物等领域中，马尔可夫预测法已经成为一种重要的预测方法。
马尔可夫预测法
马尔可夫预测法马尔可夫预测法是一种基于马尔可夫过程的预测方法。
马尔可夫过程是在给定当前状态下，下一个状态的概率只与当前状态有关的随机过程。
其本质是利用概率论中的马尔可夫性质，通过已知状态的条件概率预测未来的状态。
马尔可夫预测法广泛应用于各种领域中的预测问题。
马尔可夫预测法的基本思想是利用过去的信息预测未来的状态。
在马尔可夫模型中，当前状态只与前一状态有关，与更早的历史状态无关，这种性质称为“无记忆性”。
因此，在预测未来状态时，只需知道当前状态及其概率分布即可，而无需考虑过去的状态。
这种方法不仅大大降低了计算复杂度，而且在实际应用中也具有很高的准确性。
马尔可夫预测法的应用范围非常广泛，例如天气预报、股票价格预测、自然语言处理、机器翻译等。
其中，天气预报是一个典型的马尔可夫过程应用。
在天气预报中，当前的天气状态只与前一天的天气状态有关，而与更早的天气状态无关。
因此，可以利用马尔可夫预测法预测未来的天气状态。
马尔可夫预测法的实现方法有很多，其中比较常见的是利用马尔可夫链进行预测。
马尔可夫链是一种随机过程，其状态空间是有限的。
在马尔可夫链中，当前状态的转移概率只与前一状态有关。
因此，在利用马尔可夫链进行预测时，只需知道当前状态及其转移矩阵即可。
根据转移矩阵，可以预测未来的状态概率分布。
马尔可夫预测法的优点是计算简单，预测准确性高。
但其缺点也比较明显，即需要满足无记忆性的假设，而实际应用中，往往存在着各种各样的因素影响状态的转移。
因此，在实际应用中，需要对马尔可夫预测法进行适当的修正，以提高预测准确性。
马尔可夫预测法是一种基于马尔可夫过程的预测方法，具有计算简单、预测准确性高等优点。
其在天气预报、股票价格预测、自然语言处理、机器翻译等领域中得到了广泛应用。
在实际应用中，需要充分考虑各种因素的影响，对马尔可夫预测法进行适当的修正，以提高预测准确性。
python 马尔可夫预测法
python 马尔可夫预测法摘要：1.马尔可夫预测法简介2.马尔可夫预测法的基本思想3.马尔可夫预测法的应用场景4.使用Python 实现马尔可夫预测法5.马尔可夫预测法的优缺点正文：马尔可夫预测法是一种基于马尔可夫过程的预测方法，主要用于预测具有马尔可夫性质的随机序列。
它通过观察序列中相邻状态的关系，来预测序列的未来状态。
马尔可夫预测法在自然语言处理、金融、气象等领域有着广泛的应用。
马尔可夫预测法的基本思想是：假设未来的状态转移只依赖于当前的状态，而与过去的历史状态无关。
也就是说，一个系统的未来状态只与其当前状态有关，而与它过去的状态无关。
这种性质被称为马尔可夫性质。
在实际应用中，马尔可夫预测法常常通过建立状态转移矩阵来描述状态之间的转移关系。
通过对状态转移矩阵进行计算，可以预测出序列的未来状态。
使用Python 实现马尔可夫预测法，我们可以利用numpy 和matplotlib 等库来计算和可视化状态转移矩阵。
具体的实现代码如下：```pythonimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt# 生成随机状态转移矩阵_states = 3transition_probabilities = np.random.rand(n_states, n_states) # 设置初始状态initial_state = np.random.randint(0, n_states)# 进行预测_steps = 10predicted_states = [initial_state]for t in range(n_steps):current_state = np.argmax(predicted_states[-1] * transition_probabilities)predicted_states.append(current_state)# 可视化状态转移矩阵plt.matshow(transition_probabilities, cmap="gray")plt.xlabel("State")plt.ylabel("Next State")plt.xticks(np.arange(n_states), range(n_states))plt.yticks(np.arange(n_states), range(n_states))plt.show()# 可视化预测结果plt.plot(range(n_steps), predicted_states)plt.xlabel("Step")plt.ylabel("State")plt.show()```马尔可夫预测法的优点是计算简单，易于实现，并且对于具有马尔可夫性质的序列，预测结果往往较为准确。
第五章马尔科夫预测法
产品可能由畅销变为滞销。
3、状态转移概率
• 客观事物可能有 E1 , E2 ,, E N 共 n 种状态，其中每次只能处
于一种状态，则每一状态都具有 n 个转向（包括转向自身）， 即
Ei E1 , Ei E2 , , Ei EN 。
• 由于状态转移是随机的，因此，必须用概率来描述状态转移可能性 的大小，将这种转移的可能性用概率描述，就是状态转移概率。
畅 畅 滞 畅 滞 滞 畅 畅 畅 滞 畅 滞 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 畅 畅 滞 滞 畅 畅 滞 畅 滞 畅 畅 畅 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1
用“1”表示畅销 用“2”表示滞销
季度
率矩阵。
P11 P21 P P N1 P12 P22 PN 2 P1 N P2 N PNN
基本概念
通常称矩阵 P 为 状态转移概率矩阵，没有特别说明步数时，一 般均为一步转移概率矩阵。矩阵中的每一行称之为概率向量。 转移概率矩阵的特征??
状态转移概率矩阵及其基本特征 状态转移概率矩阵具有如下特征： （1） 0 Pij 1 i , j 1, 2, （ 2）
P(k ) P(0) P( k ) P(0) Pk
由此可得
P(k ) P(k 1) P
例：预计未来两个季度药品市场销售情况。
季度 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
销售 状态
季度 销售 状态
畅 畅 滞 畅 滞 滞 畅 畅 畅 滞 畅 滞 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 畅 畅 滞 滞 畅 畅 滞 畅 滞 畅 畅 畅 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1
3、状态转移概率
• 客观事物可能有 E1 , E2 ,, E N 共 n 种状态，其中每次只能处
于一种状态，则每一状态都具有 n 个转向（包括转向自身）， 即
Ei E1 , Ei E2 , , Ei EN 。
• 由于状态转移是随机的，因此，必须用概率来描述状态转移可能性 的大小，将这种转移的可能性用概率描述，就是状态转移概率。
畅 畅 滞 畅 滞 滞 畅 畅 畅 滞 畅 滞 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 畅 畅 滞 滞 畅 畅 滞 畅 滞 畅 畅 畅 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1
用“1”表示畅销 用“2”表示滞销
季度
率矩阵。
P11 P21 P P N1 P12 P22 PN 2 P1 N P2 N PNN
基本概念
通常称矩阵 P 为 状态转移概率矩阵，没有特别说明步数时，一 般均为一步转移概率矩阵。矩阵中的每一行称之为概率向量。 转移概率矩阵的特征??
状态转移概率矩阵及其基本特征 状态转移概率矩阵具有如下特征： （1） 0 Pij 1 i , j 1, 2, （ 2）
P(k ) P(0) P( k ) P(0) Pk
由此可得
P(k ) P(k 1) P
例：预计未来两个季度药品市场销售情况。
季度 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
销售 状态
季度 销售 状态
畅 畅 滞 畅 滞 滞 畅 畅 畅 滞 畅 滞 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 畅 畅 滞 滞 畅 畅 滞 畅 滞 畅 畅 畅 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1
马尔可夫预测方法
马尔可夫预测方法1马尔可夫预测的性质及运用对事件的全面预测，不仅要能够指出事件发生的各种可能结果，而且还必须给出每一种结果出现的概率，说明被预测的事件在预测期内出现每一种结果的可能性程度。
这就是关于事件发生的概率预测。
马尔可夫（Markov)预测法，就是一种关于事件发生的概率预测方法。
它是根据事件的目前状况来预测其将来各个时刻（或时期)变动状况的一种预测方法。
马尔可夫预测法是地理预测研究中重要的预测方法之一。
2基本概念（一)状态、状态转移过程与马尔可夫过程1.状态 在马尔可夫预测中，“状态”是一个重要的术语。
所谓状态，就是指某一事件在某个时刻（或时期)出现的某种结果。
一般而言，随着所研究的事件及其预测的目标不同，状态可以有不同的划分方式。
譬如，在商品销售预测中，有“畅销”、“一般”、“滞销”等状态；在农业收成预测中，有“丰收”、“平收”、“欠收”等状态；在人口构成预测中，有“婴儿”、“儿童”、“少年”、“青年”、“中年”、“老年”等状态；等等。
2.状态转移过程 在事件的发展过程中，从一种状态转变为另一种状态，就称为状态转移。
事件的发展，随着时间的变化而变化所作的状态转移，或者说状态转移与时间的关系，就称为状态转移过程，简称过程。
3.马尔可夫过程 若每次状态的转移都只仅与前一时刻的状态有关、而与过去的状态无关，或者说状态转移过程是无后效性的，则这样的状态转移过程就称为马尔可夫过程。
在区域开发活动中，许多事件发展过程中的状态转移都是具有无后效性的，对于这些事件的发展过程，都可以用马尔可夫过程来描述。
（二)状态转移概率与状态转移概率矩阵1.状态转移概率 在事件的发展变化过程中，从某一种状态出发，下一时刻转移到其它状态的可能性，称为状态转移概率。
根据条件概率的定义，由状态E i 转为状态E j 的状态转移概率P （E i →E j )就是条件概率P （E j /E i )，即P(Ei Ej)=P(Ej/Ei)=Pij → （１）2.状态转移概率矩阵 假定某一种被预测的事件有E 1，E 2，…，E n ，共n 个可能的状态。
第五章 马尔科夫预测法
状态转移：是指事物从一种状态转移到另外 一种状态的可能性。记为Pij，表示事物从状 态i转移到状态j的概率。 马尔科夫预测的基本模型： Xk+1=Xk×P Xk:表示趋势分析与预测对象在t=k时刻的 状态向量；P表示一步转移概率矩阵；Xk+1 表示趋势分析与预测对象在t=k+1时刻的 状态向量.
随机过程中有一类具有无后效性性质即当随机过程在某一时刻t0所处的状态已知的条件下过程在时刻tt0时所处的状态只和t0时刻有关而与t0以前的状态无关则称这种随机过程为马尔科夫过程
第5章 马尔科夫预测法
第一节 马尔科夫预测法的基本原理 一、马尔科夫预测法概述 马尔科夫（A.A.Markov）俄国的数学家。 1874年，马尔科夫考入了神往已久的彼得堡大学数 学系，1878年，马尔科夫以优异成绩毕业并留校 任教，毕业论文《以连分数解微分方程》获得当年 系里的金质奖。两年后他完成了《关于双正定二次 型》的硕士论文，并正式给学生开课。又过了两年， 他开始考虑博士论文，后以《关于连分数的某些应 用》于1884年通过正式答辩。
（3）任一概率向量与稳态概率矩阵的乘积为 固定概率向量。
第二节 马尔科夫法在经济预测中的应用
一、马尔科夫预测法的假设 （1）转移矩阵必须逐期保持不变，即不随时 间的变化而变化。 （2）预测期间状态的个数必须保持不变。 （3）状态的转移仅受前一期的影响。
二、应用举例 例1、为了了解顾客对A、B、C三种不同品牌 洗衣粉的购买倾向，市场调查小组进行了购 买倾向的调查。在本月购买A、B、C品牌的 顾客中分别调查了100人，150人和120人， 了解他们下月购买倾向，调查结果用矩阵表 示：
作业：已知某种商品的销售状态划分为畅销和 滞销，分别用1和2表示，要求：计算状态转 移概率矩阵。
08马尔柯夫预测法
2 7
0 7 3
5 5 7
所以
3 7 1 P 5 2 7
4 4 1 5 0
3 5 5 7 0
18
第四步，预测第21个月的销售情况。由于第20个月销售量处 于畅销状态，而经由一次转移到达三种状态的概率分别为
p 31 2 7 p 32 0 7
p 33 5 7
15
fi M i M
就是Ei出现的
频率，这里用它近似地表示Ei出现的概率。即
– 第三步，计算状态转移概率。仍然以频率近似地表示概率进行计算。 首先计算状态
Ei E j
(由Ei转移到Ej)的频率
f ij f ( E j E i )
从第二步知道Ei出现了Mi次，接着从Mi个Ei出发，计算下一步转 移到Ej的个数Mij，于是得到
P
j 1
ij
( m , m k ) 1, i 1, 2 ,
6
当转移概率
Pij ( m , m k )
只与i，j及时间间距k有关时，即
Pij ( m , m k ) Pij ( k )
时，称转移概率具有平稳性，同时也称
此链是齐次的或时齐的，本章只限于讨论齐次马氏链。
f ij M
ij
并令 f p ij ij
M
i
– 第四步，根据转移概率进行预测。由第三步可得状态转移概率矩阵 P。如果目前预测对象处于状态Ei。这时 p ij 就描述了目前状态Ei在 未来将转向状态 Ej(j=1，2，…，N)的可能性。按最大概率原则， 这里选择 ( p i 1 , p i 2 , , p iN ) 中最大者对应的状态为预测结果。即当
为一步转移概率矩阵。 一步转移概率矩阵具有如下性质：
0 7 3
5 5 7
所以
3 7 1 P 5 2 7
4 4 1 5 0
3 5 5 7 0
18
第四步，预测第21个月的销售情况。由于第20个月销售量处 于畅销状态，而经由一次转移到达三种状态的概率分别为
p 31 2 7 p 32 0 7
p 33 5 7
15
fi M i M
就是Ei出现的
频率，这里用它近似地表示Ei出现的概率。即
– 第三步，计算状态转移概率。仍然以频率近似地表示概率进行计算。 首先计算状态
Ei E j
(由Ei转移到Ej)的频率
f ij f ( E j E i )
从第二步知道Ei出现了Mi次，接着从Mi个Ei出发，计算下一步转 移到Ej的个数Mij，于是得到
P
j 1
ij
( m , m k ) 1, i 1, 2 ,
6
当转移概率
Pij ( m , m k )
只与i，j及时间间距k有关时，即
Pij ( m , m k ) Pij ( k )
时，称转移概率具有平稳性，同时也称
此链是齐次的或时齐的，本章只限于讨论齐次马氏链。
f ij M
ij
并令 f p ij ij
M
i
– 第四步，根据转移概率进行预测。由第三步可得状态转移概率矩阵 P。如果目前预测对象处于状态Ei。这时 p ij 就描述了目前状态Ei在 未来将转向状态 Ej(j=1，2，…，N)的可能性。按最大概率原则， 这里选择 ( p i 1 , p i 2 , , p iN ) 中最大者对应的状态为预测结果。即当
为一步转移概率矩阵。 一步转移概率矩阵具有如下性质：
预测方法——马尔可夫预测
预测⽅法——马尔可夫预测马尔可夫预测若某⼀系统在已知现在情况的条件下，系统未来情况只与现在有关，与历史⽆直接关系，则称描述这类随机现象的数学模型为马尔可夫模型（马⽒模型）。
时齐马尔可夫链：系统由状态i转移到状态j的转移概率只与时间间隔长短有关，与初始时刻⽆关。
状态转移概率矩阵及柯尔莫哥洛夫定理：概率矩阵：若系统在时刻 t0 处于状态 i，经过 n 步转移，在时刻 tn 处于状态 j 。
那么，对这种转移的可能性的数量描述称为 n 步转移概率。
记为:P(xn =j|x=i)=P(n)ij令P(n)=P11(n)P12(n)⋯P1N(n) P21(n)P22(n)⋯P2N(n)⋯⋯⋯P N1(n)P N2(n)⋯P NN(n)为n部转移概率矩阵。
(P0为初始分布⾏向量)性质：1. P(n)=P(n−1)P2. P(n)=P n转移概率的渐进性质——极限概率分布正则矩阵:若存在正整数k，使得p k的每⼀个元素都是正数，则称该马尔可夫链的转移矩阵P是正则的。
马克可夫链正则阵的性质：1. P有唯⼀的不动点向量W，W的每个分量为正，满⾜WP=W；2. P的n次幂P n随n的增加趋近于矩阵V, V的每⼀⾏向量均等于不动点向量W。
马尔可夫链预测法步骤：1. 划分预测对象可能出现的状态；2. 计算初始概率，由此计算⼀步状态转移概率；3. 计算多步状态转移概率；4. 根据状态转移概率进⾏预测。
()实例：eg：由于公路运输的发展，⼤量的短途客流由铁路转向公路。
历年市场调查结果显⽰，某铁路局发现今年⽐上年相⽐有如下规律：原铁路客流有85%仍由铁路运输，有15%转由公路运输，原公路运输的客流有95%仍由公路运输，有5%转由铁路运输。
已知去年公、铁客运量合计为12000万⼈，其中铁路10000万⼈，公路2000万⼈。
预测明年总客运量为18000万⼈。
运输市场符合马⽒链模型假定。
试预测明年铁、公路客运市场占有率各是多少？客运量是多少？最后发展趋势如何？解：1. 计算去年铁路、公路客运市场占有率将旅客由铁路运输视为状态1，由公路运输视作状态2，则铁、公占有率就是处于两种状态的概率，分别记作a1,a2.以去年作为初始状态，则初始状态概率向量:A(0)=(a1(0),a2(0))=(0.83,0.17)2. 建⽴状态转移矩阵PP=0.850.15 0.050.953. 预测明年铁路，公路客运市场占有率A(2)=(a1(2),a2(2))=A(0)P2=(0.83,0.17)0.850.150.050.952=(0.62,0.38)4. 进后发展趋势lim ()()Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js。
第3章——第7节 马尔可夫预测方法课件
即
1 0.200 0 1 0.538 5 2 0.363 6 3 2 0.466 7 1 0.1538 3 0.454 5 3 0.3333 0.307 7 0.1818 1 2 3 3
求之得： 1 ＝0.365 3,
年份 状态概 率 E1 0.5385 2000 E2 0.1528 E3 0.3077 E1 0.3024 2001 E2 0.414 E3 0.2837 E1 0.3867 2002 E2 0.3334 E3 0.2799 E1 0.3587 2003 E2 0.3589 E3 0.2779
年份
2004
历的过程中各个阶段（或时点）的状态和状态之间的转
移概率最为关键。
马尔可夫预测的基本方法，就是利用状态之间的转 移概率矩阵预测事件发生的状态及其发展变化趋势。
马尔可夫预测方法的基本要求是状态转移
概率矩阵必须具有一定的稳定性。因此，必须
具有足够的统计数据，才能保证预测的精度与 准确性。换句话说，马尔可夫预测模型必须建 立在大量的统计数据的基础之上。这一点也是 运用马尔可夫预测方法预测地理事件的一个最
根据马尔可夫过程的无后效性及Bayes条件概率公式， n 有 j (k ) j (k 1) Pij ( j 1,2,, n) （3.7.7）
i 1
记行向量 (k ) [ 1 (k ), 2 (k ),, n (k )] ，则由（3.7.7） 式可以得到逐次计算状态概率的递推公式：
第k个时刻（时期）的状态概率预测
如果某一事件在第0个时刻（或时期）的初始状态已
马 尔 可 夫 预 测 法
知，即 (0) 已知，则利用递推公式(3.7.8)式，就可以求 得它经过k次状态转移后，在第k个时刻（时期）处于各 种可能的状态的概率，即 (k ) ，从而就得到该事件在第 k个时刻（时期）的状态概率预测。
马尔可夫预测算法
马尔可夫预测算法综述马尔可夫预测法以系统状态转移图为分析对象，对服从给定状态转移率、系统的离散稳定状态或连续时间变化状态进行分析马尔可夫预测技术是应用马尔可夫链的基本原理和方法研究分析时间序列的变化规律，并预测其未来变化趋势的一种技术。
方法由来马尔可夫是俄国的一位著名数学家 (1856—1922)，20世纪初，他在研究中发现自然界中有一类事物的变化过程仅与事物的近期状况有关，而与事物的过去状态无关。
针对这种情况，他提出了马尔可夫预测方法，该方法具有较高的科学性，准确性和适应性，在现代预测方法中占有重要地位。
基础理论在自然界和人类社会中，事物的变化过程可分为两类:一类是确定性变化过程；另一类是不确定性变化过程。
确定性变化过程是指事物的变化是由时间唯一确定的，或者说，对给定的时间，人们事先能够确切地知道事物变化的结果。
因此，变化过程可用时间的函数来描述。
不确定性变化过程是指对给定的时间，事物变化的结果不止一个，事先人们不能肯定哪个结果一定发生，即事物的变化具有随机性。
这样的变化过程称为随机过程一个随机试验的结果有多种可能性，在数学上用一个随机变量（或随机向量）来描述。
在许多情况下，人们不仅需要对随机现象进行一次观测，而且要进行多次，甚至接连不断地观测它的变化过程。
这就要研究无限多个，即一族随机变量。
随机过程理论就是研究随机现象变化过程的概率规律性的。
客观事物的状态不是固定不变的，它可能处于这种状态，也可能处于那种状态，往往条件变化，状态也会发生变化状态即为客观事物可能出现或存在的状况，用状态变量表示状态：⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==,2,1,,2,1t N i i X t 它表示随机运动系统，在时刻),2,1( =t t 所处的状态为),2,1(N i i =。
状态转移：客观事物由一种状态到另一种状态的变化。
设客观事物有 N E E E E ...,,321共 N 种状态，其中每次只能处于一种状态，则每一状态都具有N 个转向（包括转向自身），即由于状态转移是随机的，因此，必须用概率来描述状态转移可能性的大小，将这种转移的可能性用概率描述，就是状态转移概率。
马尔可夫预测
1. 马尔可夫矩阵一般式
（十）均匀马尔可夫链
若
P(k) ij
Pij
k 1,2,
则称该马尔可夫链为均匀马尔可夫链。
用下式表示：
Pij
P(E j
/ Ei )
P
A(j k )
/
A( k 1) i
（十一）预测模型
前提：必须是均匀马尔可夫链。
S (0) ：初始状态；
S (k 1) ：经（K+1）次转移后的状态；
机变量,称为随机过程。 定义：在给定的概率空间( ,F,P)及实数集
T,其中 为样本空间,F为分布函数,P为概率, 对于
每一个 t T , 有定义在( ,F,P)上的随机变量
(t, w), w
与之对应,则称为 (t, w);t T 随机过程,一
般简化为 (t) 。
特点：
1. 随机性：确切的未来状态是不可预测；
2. 局限性：只适合于马尔可夫过程；
3. 简便性：有率、选 择服务点、设备更新等的预测。
（六）马尔可夫链
定义：设随机过程 (t)只能取可列个值 r1, r2 ,rn ,, 把 (t) rn 称为在时刻 t 系统处于状态 En (n 1,2,)
我厂牌子
0.8
0.2
别厂牌子
0.3
0.7
问:从经济效益的角度决定要否做这个广告?
定义：设随机过程(t) ,如果在已知时间t系统
处于状态x的条件下,在时刻 ( >t)系统所处
状态和时刻t以前所处的状态无关,则称 (t)为 马尔可夫过程。 从定义可知马尔可夫过程只与t时刻有关,与t 时刻以前无关。
（五）马尔可夫预测法
第八讲-马尔科夫预测法
马尔科链是具有“无后效性”的随机过程，即未来状态只与当前状态有关，与过去状态无关。该方法的核心是利用转移概率矩阵来预测未来某一特定期间可能出现的状态。首先，需要确定状态空间，即所有可能的状态集合。然后，根据历史数据计算一步转移概率矩阵，其元素表示从一个状态转移到另一个状态的概率。通过此矩阵，可以预测下一时刻的状态概率分布。此外，还可以进一步计算k步转移概率矩阵，以预测未来更远时间点的状态。马尔科夫预测法在多个领域有应用，如经济预测、市场趋势分析等，它提供了一种基于当前状态及转移概率来推测未来状态变化的统计方法。
第五章_马尔科夫预测法
50 P12 0.1 500 300 P22 0.75 400 10 P32 0.1 100
50 P13 0.1 500 80 P23 0.2 400 80 P33 0.8 100
16/58
P11 P12 P13 0.8 0.1 0.1 三、状态转移概率矩阵 P P21 P22 P23 0.05 0.75 0.2 将事件 n 个状态的转移概率依次排列起来，就 P P P 0.1 0.1 0.8 32 33 构成一个 31 N行×N 列的矩阵，这种矩阵就是状态转
27/58
四、初始状态概率向量
记 t 0 为过程的开始时刻，P (0) {(X 0 X (t0 ) i)} i 则称：P(0) ( p (0), p (0),, p (0)) 为初始状态概 率向量。
1 2 N
已知马尔科夫链的转移矩阵 P
(k )
( p ) 以及初
(k ) ij
多步转移概率矩阵，除具有一步转移概率矩阵的性质 外，还具有以下的性质：
(1) P ( n ) P ( n1) P ( 2) P ( n ) P n
25/58
例：
某经济系统有三种状态 E1 , E 2 , E 3（如畅销、一般、 滞销），系统地转移情况见下表，试求系统的二 步状态转移概率矩阵。
19/58
例 1 设味精市场的销售记录共有 6 年 24 个季度的 数据，见表。试求味精销售转移概率矩阵。
季度 销售 状态 季度 销售 状态 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
畅 畅 滞 畅 滞 滞 畅 畅 畅 滞 畅 滞 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 畅 畅 滞 滞 畅 畅 滞 畅 滞 畅 畅 畅 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1
马尔可夫预测方法
马尔可夫预测方法1马尔可夫预测的性质及运用对事件的全面预测，不仅要能够指出事件发生的各种可能结果，而且还必须给出每一种结果出现的概率，说明被预测的事件在预测期内出现每一种结果的可能性程度。
这就是关于事件发生的概率预测。
马尔可夫（Markov)预测法，就是一种关于事件发生的概率预测方法。
它是根据事件的目前状况来预测其将来各个时刻（或时期)变动状况的一种预测方法。
马尔可夫预测法是地理预测研究中重要的预测方法之一。
2基本概念（一)状态、状态转移过程与马尔可夫过程1.状态 在马尔可夫预测中，“状态”是一个重要的术语。
所谓状态，就是指某一事件在某个时刻（或时期)出现的某种结果。
一般而言，随着所研究的事件及其预测的目标不同，状态可以有不同的划分方式。
譬如，在商品销售预测中，有“畅销”、“一般”、“滞销”等状态；在农业收成预测中，有“丰收”、“平收”、“欠收”等状态；在人口构成预测中，有“婴儿”、“儿童”、“少年”、“青年”、“中年”、“老年”等状态；等等。
2.状态转移过程 在事件的发展过程中，从一种状态转变为另一种状态，就称为状态转移。
事件的发展，随着时间的变化而变化所作的状态转移，或者说状态转移与时间的关系，就称为状态转移过程，简称过程。
3.马尔可夫过程 若每次状态的转移都只仅与前一时刻的状态有关、而与过去的状态无关，或者说状态转移过程是无后效性的，则这样的状态转移过程就称为马尔可夫过程。
在区域开发活动中，许多事件发展过程中的状态转移都是具有无后效性的，对于这些事件的发展过程，都可以用马尔可夫过程来描述。
（二)状态转移概率与状态转移概率矩阵1.状态转移概率 在事件的发展变化过程中，从某一种状态出发，下一时刻转移到其它状态的可能性，称为状态转移概率。
根据条件概率的定义，由状态E i 转为状态E j 的状态转移概率P （E i →E j )就是条件概率P （E j /E i )，即 P(Ei Ej)=P(Ej/Ei)=Pij → （１）2.状态转移概率矩阵 假定某一种被预测的事件有E 1，E 2，…，E n ，共n 个可能的状态。
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状态转移概率
在事件的发展变化过程中，从某一种状态 出发，下一时刻转移到其他状态的可能性，称 为状态转移概率。由状态Ei转为状态Ej的状态 转移概率 P ( E i E j ) 就是条件概率 P ( E j / E i ) , 即
P ( E i E j ) P ( E j / E i ) Pij
0 . 181 8
(2)结论：该地区农业收成变化的 状态转移概率矩阵为
0 . 200 0 P 0 . 538 5 0 . 363 6
0 . 466 7 0 . 153 8 0 . 454 5
0 . 333 3 0 . 307 7 0 . 181 8
（3.7.5）
(1) 计算： 从表3.7.1中可以知道，在15 个从E1出发（转移出去）的状态中: 有3个是从E1转移到E1的（即1→2，24→25， 34→35）； 有7个是从E1转移到E2的（即2→3，9→10， 12→13，15→16，29→30，35→36，39→40）；
有5个是从E1转移到E3的（即6→7，17→18， 20→21，25→26，31→32） 。
求解该方程组得： 1＝0.365 3, ＝0.352 5， 3 ＝0.279 9。
2
这说明，该地区农业收成的变化过程，在 无穷多次状态转移后，“丰收”和“平收”状 态出现的概率都将大于“歉收”状态出现的概 率。
在地理事件的预测中，被预测对象所
经历的过程中各个阶段（或时点）的状态
和状态之间的转移概率是最为关键的。
所以
P11 P ( E1 E1 ) P ( E1 E1 )
P12 P ( E1 E 2 ) P ( E 2 E1 )
3 15
7 15
0 . 200 0
0 . 466 7
P13 P ( E1 E 3 ) P ( E 3 E1 )
5 15
0 . 333 3
例题1:考虑某地区农业收成变化的3个状 态，即“丰收”、“平收”和“歉收”。 记E1为“丰收”状态，E2为“平收”状态， E3为“歉收”状态。表3.7.1给出了该地区 1960—1999年期间农业收成的状态变化情 况。试计算该地区农业收成变化的状态转 移概率矩阵。
表3.7.1 某地区农业收成变化的状态转移情况
0 i 1 (i 1, 2, , n )
i 1
n
i
1
③ 例题：在例1中，设终极状态的状态概率为
[ 1 , 2 , 3 ]
则
0 . 200 0 [ 1 , 2 , 3 ] [ 1 , 2 , 3 ] 0 . 538 5 0 . 363 6 0 . 466 7 0 . 153 8 0 . 454 5 0 . 333 3 0 . 307 7 0 . 181 8
即
1 0 . 200 0 1 0 . 538 5 2 0 . 363 6 3 2 0 . 466 7 1 0 . 153 8 3 0 . 454 5 3 0 . 333 3 0 . 307 7 0 . 181 8 1 2 3 3
（3.7.8）
式中: ( 0 ) [ 1 ( 0 ), 2 ( 0 ), , n ( 0 )] 为初 始状态概率向量。
第k个时刻（时期）的状态概率预测
如果某一事件在第0个时刻（或 时期）的初始状态已知，即 ( 0 ) 已知， 则利用递推公式(3.7.8)，就可以求得 它经过k次状态转移后，在第k个时刻 （时期）处于各种可能的状态的概率， 即 ，从而就得到该事件在第k个 (k ) 时刻（时期）的状态概率预测。
二、马尔可夫预测方法
状态概率 π j (k )
表示事件在初始（k＝0）状态为已知 （时期）处于状态 E j 的概率。 且
j 1
n
j
(k ) 1
（3.7.6）
根据马尔可夫过程的无后效性及Bayes 条件概率公式，有
j (k )
i 1
马尔可夫预测的基本方法就是利用状 态之间的转移概率矩阵预测事件发生的状 态及其发展变化趋势。
马尔可夫预测方法的基本要求是状态转移 概率矩阵必须具有一定的稳定性。因此，必须
具有足够的统计数据，才能保证预测的精度与
准确性。 换句话说，马尔可夫预测模型必须建立在 大量的统计数据的基础之上。这一点也是运用 马尔可夫预测方法预测地理事件的一个最为基 本的条件。
终极状态概率预测
① 定义 ：经过无穷多次状态转移后 所得到的状态概率称为终极状态概率 ， 即
[ lim 1 ( k ), lim 2 ( k ), , lim n ( k )] lim ( k )
k k k k
P ② 终极状态概率应满足的条件
不难证明，如果P为概率矩阵，则对 于任何整数m>0，矩阵都是概率矩阵。
标准概率矩阵、平衡向量
如果P为概率矩阵，而且存在整数m>0， 使得概率矩阵 P m中诸元素皆非零，则称P 为标准概率矩阵。可以证明，如果P为标 准概率矩阵，则存在非零向量 [ x1 , x 2 , , x n ] ，而且 x i 满足
一、几个基本概念
状态
指某一事件在某个时刻（或时期）出 现的某种结果。 状态转移过程 事件的发展，从一种状态转变为另一 种状态，称为状态转移。 马尔可夫过程 在事件的发展过程中，若每次状态的 转移都仅与前一时刻的状态有关，而与过 去的状态无关，或者说状态转移过程是无 后效性的，则这样的状态转移过程就称为 马尔可夫过程。
E1 E2 E3 E1 E2 E3 E1 E2 E3 E1 E2 E3 状态 概率 0.5 0.1 0.3 0.3 0.4 0.2 0.3 0.3 0.2 0.3 0.3 0.2 385 528 077 024 14 837 867 334 799 587 589 779
年 份 状 态 概 率 年份 2004 2005 2006 2007
例题2:将例题1中1999年的农业收成状态记
为 ( 0 ) =[0,1,0] ，将状态转移概率矩阵 （3.7.5）式代入递推公式（3.7.8）式，可 求得2000—2010年可能出现的各种状态的概
率（表3.7.2）。
表3.7.2 某地区1990—2000年农业收成 状态概率预测值
年份 2000 2001 2002 2003
年份 序号 状态 年份 序号 状态 年份 序号 状态 年份 序号 状态 1960 1 E1 1970 11 E3 1980 21 E3 1990 31 E1 1961 2 E1 1971 12 E1 1981 22 E3 1991 32 E3 1962 3 E2 1972 13 E2 1982 23 E2 1992 33 E2 1963 4 E3 1973 14 E3 1983 24 E1 1993 34 E1 1964 5 E2 1974 15 E1 1984 25 E1 1994 35 E1 1965 6 E1 1975 16 E2 1985 26 E3 1995 36 E2 1966 7 E3 1976 17 E1 1986 27 E2 1996 37 E2 1967 8 E2 1977 18 E3 1987 28 E2 1997 38 E3 1968 1969 9 E1 1978 19 E3 1988 29 E1 1998 39 E1 10 E2 1979 20 E1 1989 30 E2 1999 40 E2
7 13
2 13 4
0 . 538 5
0 . 153 8 0 . 307 7
13 4
11 5
0 . 363 6
P32 P ( E 3 E 2 ) P ( E 2 E 3 )
P33 P ( E 3 E 3 ) P ( E 3 E 3 )
11 2
11
0 . 454 5
第7节 马尔可夫预测方法
几个基本概念
马尔可夫预测法
对事件的全面预测，不仅要能够指出 事件发生的各种可能结果，而且还必须给 出每一种结果出现的概率。 马尔可夫（Markov）预测方法，就是 一种预测事件发生的概率的方法。它是基 于马尔可夫链，根据事件的目前状况预测 其将来各个时刻（或时期）变动状况的一 种预测方法。马尔可夫预测法是对地理事 件进行预测的基本方法，它是地理预测中 常用的重要方法之一。
E1 E2 E3 E1 E2 E3 E1 E2 E3 E1 E2 E3 0.3 0.3 0.2 0.3 0.3 0.2 0.3 0.3 0.2 0.3 0.3 0.2 677 509 799 647 532 799 656 524 799 653 526 799 2008 2009 2010
E1 E2 E3 E1 E2 E3 E1 E2 E3 状态 概率 0.3 0.3 0.2 0.3 0.3 0.2 0.3 0.3 0.2 653 525 799 653 525 799 653 525 799
n
j
( k 1) Pij
( j 1, 2 , , n ) （3.7.7）
记行向量 ( k ) [ 1 ( k ), 2 ( k ), , n ( k )] ， 则由（3.7.7）式可以得到逐次计算状态概 率的递推公式
(1) ( 0 ) P ( 2 ) (1) P ( 0 ) P 1 .......... .. ( k ) ( k 1) P ( 0 ) P k
同理可得
P21 P ( E 2 E1 ) P ( E1 E 2 )
P22 P ( E 2 E 2 ) P ( E 2 E 2 ) P23 P ( E 2 E 3 ) P ( E 3 E 2 )
P31 P ( E 3 E1 ) P ( E1 E 3 )