华东理工离散数学试卷(专升本)(A)姓名 学号 班级 成绩一．填空题（共46分） 1． （3分）给出下列语句：（1）7能被3整除. （2）5是素数当且仅当太阳从西边升起. （3）x+7<0. （4）9是2得倍数或者是4的倍数. （5）上海石化不在金山区.其中 是命题； 是复合命题. 2． （2分）给出以下命题：（1）1073532≠+→=+. （2）1073532≠+→≠+. （3）1073532=+↔≠+ （4）1073532=+→≠+.其中真值是F 的命题是 . 3．（3分）给出下列命题： （1）)()(p q q p ⌝→⌝→→ （2）p p q ∧→⌝)(（3）))((p q p →∧⌝ （4）)())()((r p r q q p →→→∧→ 其中 是重言式， 是矛盾式.4．（4分）将下列各式翻译成自然语言，并分别在整数集合 以及正整数集合 +的范围内 判断他们的真值：(1))(x xy y x =∀∃; (2).)(x xy y x ≥∀∀.(1) ;(2) . 5．（5分）判断下列命题的真假（其中A,B,C,S,T 均为集合, φ为空集）：（ ）（1）φφ∈ （ ）（2）φφ⊆ （ ）（3）T S T S =→=-)(φ （ ）（4）C A C B B A ∈→∈∧∈)()( （ ）（5）C B C A B A =→=)( 6．（2分）若{}{}φφ,=A ，则℘=)(A { }7．(4分)若{})1()(<∧∈=x R x x A ，{})1()(<∧∈=x Z x x B ，则=B A { } =B A { } =-B A { }=⊕B A { } 8．(4分)判断下列命题之真伪：（ ）（1）设Z Y X ,,为三个集合，φ≠X ，那么 Z Y Z X Y X =→⨯=⨯)(. （ ）（2）设D C B A ,,,为集合，则)()()()(D B C A D C B A ⨯⨯=⨯ .9．(2分)设{}c b a A ,,=，则 A A ⨯)(中有 个元素；元素{}c a ,,与 A A ⨯)(的关系是{c a b ,,A A ⨯)(（填∈或∉）.10．(2分)设集合{}c b a A ,,=，则A 上的二元关系共有 个；其中满足自反性的 关系有 个.11．(6分)给定集合{}3,2,1=A 上的3个关系如下：{}><><><><=1,1,1,2,3,2,2,21R ，{}><><><><><=1,1,3,3,2,3,3,2,2,22R ，{}><><><=1,3,3,3,3,23R ，则其中满足对称性的关系是 ；满足传递性的关系是 ； 满足反自反性的关系是 ；满足反对称性的关系是 ； 为等价关系的是 ；=⊕)(21R R dom { } . 12．(3分)设21,R R 是集合A 上的等价关系，做出下列几个关系：（1）1)(R A A -⨯ （2）12R R - （3）11R R （4）)(21R R r -， 其中关系 一般不再是A 上的等价关系.13．(4分)集合{}d c b a A ,,,=上包含序偶><d a ,和><b c ,的全序关系是=R { }. 14．(2分)在正整数集合+Z 上定义如下的乘法运算“ ”：b a ab b a ++=2 ，那么 ><+,Z 构成一个 .（代数系统，广群，半群，独异点，群，Abel 群， 循环群）二．选择题（每小题2分，共10分） 1．下列命题中正确的结论是：(A)集合上A 的关系如果不是自反的，就一定是反自反的；(B)集合上A 的关系如果不是对称的，就一定是反对称的；(C)集合上A 的关系如果满足自反性和反对称性，也可能是相容关系； (D)每一个全序集必为良序集.2．设S R ,是集合A 上的两个关系，则下列命题中正确的结论是： (A)若S R ,都是对称的，那么S R 必也为对称的； (B)若S R ,都是自反的，那么S R 必也为自反的； (C)若S R ,都是反自反的，那么S R 必也为反自反的； (D) 若S R ,都是传递的，那么S R 必也为传递的. 3以下命题中正确的结论是：(A)非空全序集的子集不一定有最小元； (B)非空全序集的子集一定有最大元；(C)非空偏序集的子集如有上界，则一定有最小上界； (D)非空偏序集的子集一定有最大元. 4．以下命题中不正确的结论是： (A)素数阶群必为循环群； (B)循环群必为Abel 群；(C)当3≥n 时，n 阶对称群n S 必为非Abel 群； (D)4阶群必为循环群.5．以下命题中正确的结论是：(A)n 个结点的完全图n K 的着色数4)(≤n K χ；(B)如果一个连通图的奇结点的个数大于2，那么它必不是一个Hamilton 图； (C)一棵树必是连通图，且其中没有回路； (D)图的邻接矩阵必为对称阵. 三．解答题(共44分) 1．（8分）证明下述蕴含式（方法不限）： )())()((R P R Q Q P →⇒→∧→ 2．（6分）证明：对任意集合C B A ,,有)()()(C A B A C B A ⊕=⊕ 3．（共14分）设}1,0{-=R X ，在X 上定义如下6个函数：x x f =)(0， x x f -=1)(1， xx f -=11)(2， x x f 1)(3=， 1)(4-=x x x f ， xx x f 1)(5-=.在集合{}543210,,,,,f f f f f f G =上定义二元运算“ ”是函数的复合运算. （1）（6分）将下列运算表中的空白处填上适当的元素：（2）（6分）证明>< ,G 是一个群.（3）（2分）它是一个Abel 群吗？说明你的理由. 4．（共16分）给出一个如下图的有向连通图G .（1）（4分）写出它的邻接矩阵A ； （2）（8分）图中长度为3的通路一共有多少条？ （3）（2分）其中长为4的通路中有几条回路？ （4）（2分）从3v 到4v 有几条长为4的通路？。
