例谈辅助函数的构造方法

简析导数问题中构造辅助函数的常用方法作者：杨光关键来源：《新课程·中旬》2013年第09期导数在函数中的应用是现今高考的一大热点问题，年年必考，在这道压轴的大题中，解答时常涉及构造函数，我简单谈一下常用的构造方法.一、作差法（直接构造法）这是最常用的一种方法，通常题目中以不等式形式给出，我们可以作差构造新的函数，通过研究新函数的性质从而得出结论.当然，适合用这个方法解的题目中，构造的函数要易于求导，易于判断导数的正负.例1.设x∈R，求证ex≥1+x构造函数f （x）=ex-1-x，对函数求导可得f ′ （x）≥ex-1，当x≥0时，f ′ （x）≥0，f （x）在[0，+∞）上是增函数，f （x）≥f （0）=0，当xf （0）=0，因此，当x∈R，f （x）≥f （0）=0，即ex≥1+x例2.x>-1，求证1-■≤ln（x+1）≤x以证明右侧为例，设f （x）=x-ln（x+1），f ′ （x）=1-■（x>-1）令f ′ （x）=0，x=0，当x∈（-1，0）时，f ′ （x）0，函数递增，所以x=0时，函数取最小值f （0）=0，∴f （x）≥0.二、先去分母再作差有的问题直接作差构造函数后，求导非常麻烦，不具有可操作性，可先去分母再作差.例3.x>1，求证■分析：设f （x）=■-lnx，f （x）=■-■-lnx，f ′ （x）=■x-■+■x-■-■，f ′ （x）=■≥0，f （x）≥f （1），f （1）=0，∴f （x）>0三、先分离参数再构造例4.（哈三中2012期末试题21）已知函数f （x）=xlnx，g （x）=-x2+ax-3（1）求f （x）在[t，t+2]（t>0）上的最小值；（2）对一切x∈（0，+∞），2f （x）≥g （x）恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明对一切x∈（0，+∞），都有lnx>■-■成立.分析：（1）略（2）2xlnx≥-x2+ax-3恒成立，∵x>0，原不等式等价于a≤2lnx+x+■.令g （x）=2lnx+x+■，则g′ （x）=■，所以g （x）的最小值为g （1）=4，即a≤4（3）利用前面提到的第二种方法，先去分母再构造，目的就是使得构造的函数易于求导，易于分析.原不等式等价于xlnx>■-■，令F （x）=xlnx，G （x）=■-■则可求F （x）的最小值为F （■）=-■；G （x）的最大值为G （1）=-■，所以原不等式成立.四、从条件特征入手构造函数证明例5.若函数y=f （x）在R上可导且满足不等式xf ′ （x）>-f （x）恒成立，且常数a，b 满足a>b，求证：af （a）>bf （b）分析：由条件移项后xf ′ （x）+f （x），可以构造函数F （x）=xf （x），求导即可完成证明.若题目中的条件改为xf ′ （x）>f （x），则移项后xf ′ （x）-f （x），要想到是一个商的导数的分子，构造函数F （x）=■，求导去完成证明.五、由高等数学中的结论构造利用泰勒公式，可以把任意一个函数用幂函数近似表示.f （x）=f （x0）+f ′ （x0）（x-x0）+■（x-x0）2+…+■（x-x0）n+…当f （x）=lnx，取x=1，则lnx=x-1-■+…lnx≈x-1例6.数列{an}，a1=1，an+1=lnan+an+2，求证an≤2n-1分析：设f （x）=lnx-（x-1），f ′ （x）=■-1=■，当x∈（0，1），f ′ （x）>0当x∈（1，+∞），f ′ （x）lnan≤an-1，an+1=lnan+an+2≤2an+1，∴an+1+1≤2（an+1）迭代，1+an≤2（1+an-1）≤…≤2n-1（1+a1）=2n∴an≤2n-1例7.（2008年山东理21）已知函数f （x）=■+aln（x-1）其中n∈N*，a为常数.（1）当n=2时，求函数f （x）的极值；（2）当a=1时，证明：对任意的正整数n，当x≥2时，有f （x）≤x-1分析（2）：当a=1时，f （x）=■+ln（x-1）.当x≥2时，对任意的正整数n，恒有■≤1，故只需证明1+ln（x-1）≤x-1.令h （x）=x-1-[1+ln（x-1）]=x-2-ln（x-1），x∈[2，+∞），则h ′ （x）=1-■=■，当x≥2时，h ′ （x）≥0，故，h （x）在[2，+∞）上单调递增，因此x≥2时，当h （x）≥h （2）=0，即1+ln（x-1）≤x-1成立.故当x≥2时，有■+ln（x-1）≤x-1.即f （x）≤x-1.另外，高等数学中有一个极限结论：■■=1由以上极限不难得出，当x>0时，sinx所以函数 f （x）在（0，+∞）上单调递增，f （x）>f （0）=0.所以x-sinx>0，即sinx导数问题中构造辅助函数还有其他的方法，例如变更主元法，二次求导再构造，难度偏大，这里先不做详解.（作者单位杨光：黑龙江省哈尔滨师范大学数学系关键：黑龙江省大庆市第四中学）？誗编辑谢尾合。

大学微积分l知识点总结【第一部分】大学阶段准备知识1、不等式：引申双向不等式：两侧均在ab≥0或ab≤0时取等号柯西不等式：设a1、a2、。

.。

a n,b1、b2、。

.b n均是实数，则有：2、函数周期性和对称性的常用结论1、若f（x+a）=±f（x+b）,则f（x)具有周期性;若f(a+x）=±f(b-x)，则f （x)具有对称性。

口诀：“内同表示周期性,内反表示对称性”2、周期性（1）若f（x+a）=f（b+x），则T=|b—a|（2）若f（x+a）=-f（b+x)，则T=2｜b—a｜（3）若f（x+a)=±1/f（x）,则T=2a（4)若f（x+a）=【1—f（x）】/【1+f（x）】,则T=2a（5）若f（x+a)=【1+f（x）】/【1—f（x）】，则T=4a3、对称性（1）若f（a+x）=f（b-x），则f（x）的对称轴为x=（a+b)/2（2）若f(a+x)=—f（b—x)+c，则f(x）的图像关于（（a+b）/2,c/2）对称4、函数图象同时具备两种对称性，即两条对称轴,两个对称中心，一条对称轴和一个对称中心,则函数必定为周期函数，反之亦然。

(1)若f(x）的图像有两条对称轴x=a和x=b，则f（x）必定为周期函数，其中一个周期为2|b-a｜。

(2）若f （x ）的图像有两个对称中心（a ，0）和（b,0）,（a ≠b)，则f （x ）必定为周期函数,其中一个周期为2|b —a ｜。

（3)若f （x ）的图像有一个对称轴x=a 和一个对称中心（b ，0），（a ≠b ），则f(x)必定为周期函数，其中一个周期为4|b —a|。

3、三角函数倒数关系： 商的关系: 平方关系：平常针对不同条件的两个常用公式: 一个特殊公式: 二倍角公式： 半角公式： 三倍角公式： 万能公式： 两角和公式： 和差化积公式: 积化和差公式：口诀：奇变偶不变，符号看象限4、数学归纳法数学上证明与自然数N 有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题,在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。

考点透视辅助元法即换元法，是指引入一个或几个新变量来代替代数式中的某些量或式子，通过等量代换来解题.在解答较为复杂的代数问题时，引入辅助元，可以把一些分散的条件逐一联系起来，也可以把隐藏的条件显示出来，还可以将一些陌生的、未知的式子转变为熟悉的、已知的形式，从而达到化难为易、化繁为简的目的.一般地，运用辅助元法解题的基本步骤为：（1）将问题中的某个式子或几个式子看成一个整体；（2）引入一个新元替换这些式子，以将代数式简化；（3）将问题转化为关于新元的函数问题、不等式问题、方程问题、求值问题来求解；（4）将所得的结果代入原来的式子中，求出原变量的值或者范围.在换元的过程中，一定要注意新元的约束条件，可适当地补充一些条件，以使新元的取值范围满足旧元的取值范围.例1.解方程：(8-x )23+(x +27)23=(x +27)(8-x )3+7.解：设u =8-x 3，v =x +273，则u 3+v 3=35，由题意可得u 2+v 2=uv +7，即u 2-uv +v 2=7，从而可得u +v =u 3+v 3u 2-uv +v 2=357=5，而uv =13[](u +v )2-(u 2-uv +v 2)=13×(52-7)=6，则u ，v 是方程y 2-5y +6=0的两个根，解得y 1=2，y 2=3；当u =2，v =3时，x 1=0；当u =3，v =2时，x 2=-19；经检验，x 1=0，x 2=-19都符合原方程，所以原方程的解是x 1=0，x 2=-19.仔细观察方程，可注意到8-x 3和x +273的立方和为常数，于是引入辅助元，设u =8-x 3，v =x +273，并得到uv 、u +v 的值，即可根据韦达定理，构造出方程y 2-5y +6=0，通过解方程求得方程的根.在解答复杂的代数问题时，同学们需仔细观察代数式的结构特点，将其进行适当的变形，挖掘其中的隐含条件，合理设出辅助元，以简化计算.例2.已知函数f (x )=x 2+ax +1x2+ax +b (x ≠0,x ∈R)，若方程f (x )=0有实数根，求a 2+b 2的最小值.解：由f (x )=x 2+ax +1x2+ax +b 可得：f (x )=(x 2+1x2)+a (x +1x )+b =(x +1x )2+a (x +1x )+b -2,令t =x +1x，则f (x )=t 2+at +b -2=0，即ta +b +t 2-2=0.设点P (a ，b )为直线l ：ta +b +t 2-2=0上的一点，则||OP 2=a 2+b 2，设原点(0，0)到直线l 的距离为d ，则a 2+b 2≥d 2=(t 2-2)2t 2+1=(t 2+1)+9t 2+1-6；令u =t 2+1，则u =(x +1x )2+1≥5（当且仅当x =1x 时等号成立），由于y =u +9u-6在[)5,+∞上单调递增，故当u =5时，函数y =u +9u -6取得最小值5+95-6=45，即a 2+b 2的最小值为45.本题中的函数式较为复杂，仔细观察可发现x 2+1x2与x +1x 之间存在一定的联系：(x +1x )2=x 2+1x2+2，于是令t =x +1x ，将方程f (x )=0化为ta +b +t 2-2=0.再将ta +b +t 2-2=0看作一条直线，将目标式看作一条线段的长度的平方，根据点到直线的距离公式确定||OP 取得最小值的情形，并建立关系式.而该式较为复杂，需再次设辅助元，令u =t 2+1，将目标式化为关于u 的函数式，根据对勾函数的单调性求得最值.总的来说，辅助元法是比较常用的一种方法，常用于解答方程、不等式、函数、数列、向量等代数问题.运用辅助元法解题，要注意：（1）选取合适的式子进行换元；（2）明确换元的目的，即简化代数式；（3）确保换元前后新旧元的等价性.（作者单位：江苏省南通大学附属中学）朱振华34Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

数学证明中的构造辅助函数方法摘要数学中运用辅助函数就像是在几何中添加辅助线，其应用是非常广泛的. 构造辅助函数是数学命题推证的有效方法，是转化问题的一种重要手段。

遇到特殊的问题时，用常规方法可能比较复杂.这时就需要构造辅助函数，就如同架起一座桥梁，不需要大量的算法就可以得到结果.如何构造辅助函数是数学分析解题中的难点，看似无章可循，但仔细研究不失基本方法和一般规律。

文章通过对微分中值定理证明中，关于构造辅助函数方法的总结和拓展，给出了多种形式的辅助函数；通过详尽的实例，讲明了辅助函数在不等式、恒等式、函数求极限、讨论方程的根及非齐次线性微分方程求解中的运用，尝试找出如何构造辅助函数的几种方法，并通过这些方法在一些具体实例中的运用归纳出构造函数法的一些思路.关键词辅助函数；中值定理；恒等式与不等式；函数表达式；极值1.引言数学中，不等式与等式的证明、微分中值定理、拉格朗日条件极值、线性微分方程求解公式等，都是通过构造一个辅助函数来完成推证的，有时候构造辅助函数也是求证数学命题的简便而有效的方法之一，掌握构造辅助函数证明数学命题的方法的关键是要对“数学现象”善于观察，联想和发现问题，根据直观的结论倒推构造什么样的辅助函数.基本思路是从一个目标出发，联想起某种曾经遇到过的方法、手段，而后借助于这些方法和手段去接近目标，或者从这些方法和手段出发，去联想别的通向目标的方法和手段，这样继续下去，直到达到把问题归结到一个明显成立的结构上为止.构造辅助函数实质上就是分析法的一种技巧，也是数学中的一个难点，值得重视的是，在证明命题的过程中要不断研究问题的本质，从而寻求构造辅助函数的方法，文章重点分析了微分中值定理的证明中辅助函数的构造方法与技巧，进而应用到其他一般命题的证明中.2.微分中值定理证明中构造辅助函数的方法与技巧2.1 拉格朗日（Lagrange ）中值定理辅助函数的作法定理1（Rolle ）：若函数()f x 满足如下条件：（i ）()f x 在闭区间[,]a b 上连续； （ii ）()f x 在开区间(,)a b 内可导； （iii ）()()f a f b =；则在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()0f ξ'=.定理2（Lagrange ）：若函数()f x 满足如下条件：（i ）()f x 在闭区间[,]a b 上连续；（ii ）()f x 在开区间(,)a b 内可导；则在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得 ()()()f b f a f b aξ-'=- 显然，特别当()()f a f b =时，本定理的结论即为Rolle 定理的结论。

浅谈辅助函数的构造及其应用[摘要] 在对数学命题的观察和分析的基础上，通过一些数学问题的证明，给出了构造辅助函数的方法．讨论了辅助函数在证明过程中的应用及辅助函数在数学分析中的重要性和应用的广泛性．[关键词] 中值定理；辅助函数；应用一、 辅助函数方法的构造利用辅助函数解数学问题，是高等数学中常用的方法之一，尤其在解证明题的过程中，如果能用好辅助函数，则能起到事半功倍的效果，但恰当的辅助函数并不容易找到．通过几道题来说明构造辅助函数的几种方法．1“按图索骥”法例1 证明21()>+n n y x ny x ⎪⎭⎫⎝⎛+2()1,,0,0>≠>>n y x y x证明 因为所要证明的不等式中，多次出现n t 这样的表达式，联想到凹函数的定义，不难发现应考虑辅助函数()()0>=t t t f n ， 由于'f()1-=n nt t ，()()012''>-=-n t n n t f ，故()t f 是凹函数，从而当y x y x ≠>>,0,0时，有()()⎪⎭⎫⎝⎛+>+22y x f y f x f 即 ()nn n y x y x ⎪⎭⎫⎝⎛+>+2212“逆向思维”法例2 设()x f 在[]1,0上可微，且满足()()dx x xf f ⎰=2121，证明在[]1,0内至少有一点,θ使()()'f f θθθ=-．证明：有所要证明的结论出发，结合已知条件，探索恰当的辅助函数．将()()'f f θθθ=-变形为()()'0f f θθθ+=，联想到()[]()()θθθθ''f f x xf x +==可考虑辅助函数()()[]1,0,∈=x x xf x F因为()()dx x xf f ⎰=21021，由积分中值定理可知，至少存在一点⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,0ξ，使得()().1ξξf f =而对于()x F ，有()()()()11,f F f F ==ξξθ，所以()()1F F =ξ 由Rolle 定理知，至少存在一点()1,ξθ∈，使(),0'=θF 即()()θθθf f ='3“图象”法例 3 设()x f 在()b a ,内二阶可导，且证明对于()b a ,内任意两点1x ，2x 及10≤≤t ，有证明 因(),0''≥x f 所以()x f 是凹函数，不妨做出()x f 的粗图，设x 是位于1x ，2x 之间的任意一点，则x 可表示为x =()211tx x t +-，.10≤≤t 由图象上可看出，经过()x f 上两点()()()()2211,,,x f x x f x 的弦上任一点都位于函数()x f 的图象上方，故可考虑函数()()()211x tf x f t y +-=，其中21121,x x x x x x x t ≤≤--=，由于y 位于函数()x f 的上方，所以有()21,x x x x f y ≤≤≥即 ()()()()x f x tf x f t y ≥+-=211， 即证得 ()[]()()()212111x tf x f t tx x t f +-≤+- 4“化常量为变量”法例4 设()x f 在[]1,0上连续，证明 ()()()()310110161⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰⎰⎰dt t f dz z f y f x f dy dx证明 将等式右边的积分上限1变为x ，作辅助函数()()⎰=xdt t f x F 0则有 ()()()()()x f x F F dt t f F ===⎰1',00,1，即()x F 是()x f 的原函数()()()()()()dy z F y f dx x f dz z f y f x f dy dx xy x⎰⎰⎰⎰⎰=101101010=()()[]()()()[]()[]()31033210611610161121⎪⎭⎫ ⎝⎛==-=-⎰⎰dt t f F F F x dF x F F 5“旁征博引”法例5 证明对任意的数c b a ,,有52223527⎥⎦⎤⎢⎣⎡++≤z y x abc证明 这一类问题找辅助函数最困难，因为所求问题与辅助函数表面上的联系不多，须见多识广，经验丰富．因为c b a ,,是正数，所以可令222,,z c y b x a ===，则不等式变为5222622527⎥⎦⎤⎢⎣⎡++≤z y x z y x ，将该不等式两边同时取对数，有5222222527ln ln 3ln ln ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++≤++z y x z y x ，故考虑作辅助函数，()z y x z y x F ln 3ln ln ,,++=，我们首先求函数()z y x F ,,在球面22225R z y x =++上的极大值()0,0,0>>>z y x ，解方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-++=+==+==+=05023'021'021'2222R z y x z z F y yF x x F zy x λλλ 得R z R y R x 3,,===，所以()z y x F ,,的极大值是()533ln 3ln 3ln ln R R R R =++即 25225353333ln ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=≤zy x R xyz 两边平方得 5222622527⎥⎦⎤⎢⎣⎡++≤z y x z y x令 c z b y a x ===222,,，即得52223527⎥⎦⎤⎢⎣⎡++≤z y x abc6 “几何变形（面积）”法例6 若()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，证明：至少存在一点()b a ,∈ξ，使()()()()a b f a f b f -=-ξ'证明：设曲线()x f 上的动点()()x f x M ,，则以M ，A ，B 为顶点的三角形面积()()()()11121b f b a f a x f xx S ±= 可取辅助函数为：()()()()111b f ba f ax f xx G = 显然 ()()()x G b G a G ,0==在[]b a ,上满足罗尔定理条件，则至少存在一点()b a ,∈ξ，使()0'=ξG ，()()()()a b f a f b f -=-ξ'综上所述，作辅助函数是求解数学问题的方法之一，有时可以利用逆向思维法，几何法，图象法等可构造辅助函数，从而使问题迎刃而解．二、辅助函数在数学解题中的应用辅助函数法是数学分析中解决问题的一种重要方法．通过作辅助函数，不仅反映了事物内部的数量特征和制约关系，揭示了其内在的联系，而且在处理和解决问题时常用此法，并在现代数学理论中发挥着重要作用．数学分析中许多理论问题的解决都涉及到作辅助函数的方法．某些很复杂的问题构造一个适当的辅助函数，能使问题变得非常简单．具体体现在： （1） 微分中值定理的证明引入了辅助函数，通过明确的函数关系式，使其证明得到了完满的解决． （2） 定积分的基本公式,牛顿—莱布尼兹公式()()()()⎰-==ba b aa Fb F x F dx x f （其中()()x f x F ='的证明用到了辅助函数即积分上限函数()()[]b a x dt t f x xa,,∈=⎰φ）．（3） 多元函数求条件极值用到了辅助函数即拉格朗日乘数法，通过拉格朗日乘数法将多元函数的条件极值问题转化为多元函数的普通极值问题．（4） 多元函数的泰勒公式的证明用到了辅助函数通过构造辅助函数将多元函数问题转化为一元函数问题．（5） 常微分方程中的常数变易实质上也是引入了辅助函数，使用权一阶微分方程的解得以实现．由此可见，辅助函数在数学分析上的证明和计算中发挥着十分重大的作用．利用辅助函数来解决问题要求主体具有良好的知识结构和发散性的直觉思维能力，并要求主体具有广泛的联想能力．如对微分中值定理当我们弄清了命题的几何背景，以及拉格朗日定理与洛尔定理的关系，同时认识到柯西定理只不过是拉格朗日定理的不同表达之后，就会联想到要作辅助函数，从而使定理得以证明．利用辅助函数的两种方法：几何推导法和代数分析法．下面以拉格朗日定理为例加以说明：从几何推导法着手给出了辅助函数()x φ，在此不再叙述；现以代数分析法入手给出辅助函数()x φ．分析：要使()()()a b a f b f x f --='，只须()()()0'=---ab a f b f x f ，从而证明拉格朗日定理就归结为寻找辅助函数()x φ，使()x φ满足洛尔定理的条件，并且()=ξφ'()()()ab a f b f f ---ξ'．拉格朗日定理证明的关键就是找一个满足洛尔定理的条件的函数()x φ，使()=ξφ'()()()a b a f b f f ---ξ'．而要使()=ξφ'()()()a b a f b f f ---ξ'，只须()=x 'φ()()()a b a f b f x f ---'，从而得到辅助函数的一般表达()=x φ()()()C x ab a f b f x f +---（其中C 是任意常数），此时只要()x f 满足垃格朗日的条件，()x φ就满足洛尔定理的条件，从而定理得证，而且对于C 的每一个具体的数值，就得到一个具体的辅助函数，并对应一个具体的证法．辅助函数方法实质就是当遇到实际问题时，设法利用问题来列出函数关过对函数问题的研究使问题得以解决的一种数学思想方法．在处理和解决问题时构造一个适当的辅助函数，往往使问题的解决变得非常简单．利用辅助函数解决问题的一般方法是直接依据问题的特点，构造与之相适应的函数关系式，通过研究函数，使问题得以解决．1 利用辅助函数求极限在求离散型变量的极限时往往通过构造辅助函数，使离散变更连续化，然后利用求函数极限的方法，使离散型的变量极限得以解决．例1 求n n n ∞→lim解:作辅助函数()x x x f 1=,则()xx ex f ln =()1lim lim 01limln limln =====∴+∞←∞→=+∞→+∞→e eeex f xxx xx x x x x故n n n ∞→lim = =()1lim =∞→n f n2利用辅助函数证明不等式证明不等式()()[]b a x x g x f ,,∈≥，只要作辅助函数()()()x g x f x F -=，这时证明不等式的问题就归结为证明()x F 在[]b a ,最小值大于等于零的问题．例2 (柯西—舒瓦茨不等式)设()x f 和()x g 在区间[]b a ,上连续，证明：()()()()dx x g dx x fdx x g x f ba b a b a ⎰⎰⎰⋅≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡222分析一：由于定积分只与积分区间和被积函数有关以及定积分的定义，易知给定间上的定积分是一个常数，不妨令()()()().,,22dx x g C dx x g x f B dx x fA ba b a ba⎰⎰⎰===则命题转换为证,2AC B ≤联想到一元二次函数的判别式，利用化归思想，则可构造函数：()()()[]dx x g t x f t F ba2⎰+=()()()()02222≥++=⎰⎰⎰dx x g dx x g x f t dx x ftba b a ba因为对任意的实数t ，关于它的上述类型的一元二次函数均肺腑，所以判别式.0≤∆即()()()()dx x g dx x fdx x g x f ba ba b a ⎰⎰⎰⋅≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡222分析二：欲证()()()()dx x g dx x f dx x g x f ba ba b a ⎰⎰⎰⋅≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡222，只需要证明()()()()0222≤⋅-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎰dx x g dx x fdx x g x f ba b ab a而()()()()dx x g dx x f dx x g x f ba b a b a ⎰⎰⎰⋅-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=222若把上式视为某个函数()x F 在b a ,两点的函数值的大小之比较，即证当a b <时()()b F a F >，如果可以证明函数()x F 在[]b a ,上是单调递减函数，则命题得证．证明：作辅助函数()x F =()()()()dt t g dt t fdt t g t f ba ba b a ⎰⎰⎰⋅-⎥⎦⎤⎢⎣⎡222，依题意易知函数()x F 在[]b a ,上可导，且 ()()()()()⎰-=xax fdt t g t f x g x f x F 2)(2'()()()⎰⎰-x a xadt t fx g dt t g 222()()()()()()()()⎰⎰⎰--=x axaxa dt t f x g dt t g x f dt t g t f x g x f 22222()()()()()()()()[]⎰--=xa dt t f x g t g x ft g t f x g x f 22222()()()()[]⎰≤+-=xa dt t f x g t g x f 02故函数()x F 在[]b a ,上单调递减，因此，当a b <时，()()b F a F >，有()()()()222b b ba a a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤-⋅⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ ()()()()2220b b ba a a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤≤-⋅=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰命题得证． 注：在知道被积函数连续的条件下，积分不等式的证明用构造辅助函数的方法更为简洁．例3 求证 ()()0,1ln >+>x x x证明：作辅助函数()()x x x F +-=1ln ，则()xx F +-=111' 0>x 时，()0'>x F ，即当0>x 时()x F 是增函数，而()00=F()()0,0>>∴x x F故当0>x 时，()x x +>1ln 3 利用辅助函数讨论方程的根解方程()0=x F 实质上就是求函数()x f 的零点，关于函数零点的问题一般是利用连续函的介值性及微分中值定理来解决． 例4 设()x f 在区间[]b a ,上连续，在()b a ,内可导求证：在()b a ,内至少存在一个ξ，使()()()()ξξξ'f f ab a af b bf +=--分析：令()()k ab a af b bf =--，因此，()()()()()ka a af kb b bf a b k a af b bf -=--=-,，此为对称式，且a 与b 互换等式不变．所以，对此类型的问题作辅助函数为()()kx x xf x F -= 证明：令()()()()x ab a af b bf x xf x F ---=（由分析得），显然()x F 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导．又因为()()()(),0=---=a a b a af b bf a af a F ()()()()0=---=b ab a af b bf b bf b F ．所以()()0==b F a F ．因此，在[]b a ,上满足罗尔定理，于是存在一个ξ，()b a ,∈ξ，使(),0'=ξF ()()()()0'=---+ab a af b bf f f ξξξ所以，()()()()x a b a af b bf f f --=+ξξξ'，证毕．4 利用辅助函数计算积分有时计算积分确定被积的原函数是十分困难的，若能引如适当的辅助函数，困难就解决了．例5 计算()⎰++=102,11ln dx x x I 解:引入辅助函数()()120ln 11x I t dx x +=+⎰,则()1I I =()00I =，且()()211ln ,xx t x f ++=，及()()()tx x x t x f t ++=11,'2，在[]10,10≤≤≤≤t x 上连续()t I ∴满足积分号下求导数条件 ()()()()⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+=++=∴12242ln 211ln 1111't t t dx tx x xt I π ()()10'ln 214I t dt I π∴=-⎰而()()()10'10,I t dt I I =-⎰故()2ln 81π==I I同样利用辅助函数不难计算⎰+∞sin dx xx，只要引入辅助函数()⎰+∞-=0sin dx x x e y I yx，即可计算得出2sin 0π=⎰+∞dx x x5 利用辅助函数计算多元函数的极值多元函数的条件极值问题在数学分析教材中以作了较详细的叙述，在此不在重述，此类问题只要引入拉格朗日函数就可以得到完满的解决．此外在实际经济活动、操作、经营和决策者经常要思考怎样才能以最低成本，最短时间获得最大经济效益，这也属于数学上的最优化问题，最优化问题的解决也是通过构造辅助函数，把最优化问题归结为求函数的最值问题．综上所述，全面掌握，深刻领会辅助函数方法，无论在理论方面还是应用方面，都具有重要的意义．参考文献：[1] 刘玉琏、傅沛仁.数学分析[M].北京:高教出版社,1992.[2] 翟连林、姚正安.数学分析方法论[M].北京:农业大学出版社,1992[3] 郭乔 .如何作辅助函数解题[J].西安:高等数学研究,2002,3(5):48-49Talking About the Construction of AuxiliaryFunction and Its ApplicationAbsract: On the basis of studying and analyzing mathematical proposition,through proving a few mathematical problems,some methods about construction of auxiliary are proposed.This paper discusses the application of auxiliary function in the process of proving and the importance of auxiliary function in mathematical analysis and extension of its application.Key words: auxiliary function ; application ;theorem of mean。

运用中值定理证题时构造辅助函数的三种方法微分中值定理应用中，怎么寻找辅助函数，是比较头疼的一件事。

今天笔者就介绍下三种方式帮忙寻找到这个函数。

首先声明：这三种方式也不是万能的，但对常见题目还是挺有帮助的，而且学霸们应该都知道这些方法，故慎入。

因此本文目的是向还没留意过这些方法的同学做普及，尤其是线下笔者所带的那些可爱的学生们。

至于还有些仗着自己有点学识就恨不得鄙视这个、鄙视那个，恨不得日天日地日地球的所谓学霸请自行绕道。

一、积分原函数法具体方法简述：将要证明的式子整理为φ(ξ)=0 （一般不包含分式），然后令 F′(ξ)=φ(ξ) ，对两边式子分别积分，则有 F(ξ)=∫φ(ξ)dξ，那么F(x)就是我们所求的辅助函数。

说白了，就是将所证明的表达式进行积分还原，如果能够还原成功，那么成功找到的这个F(x)就是我们苦苦寻找的辅助函数。

还不懂？没事，举两个例子。

例1：设f(x)、g(x)在[a,b]上连续，(a,b)内可导，且 g′(x)≠0 ，证明：在（a,b）存在ξ，使得 f(ξ)−f(a)g(b)−g(ξ)=f′(ξ)g′(ξ) 。

解析：这是非常常见的一道题。

估计即使做过了这道题，还有很多同学很迷惑，解答中的辅助函数到底是咋构建出来的。

其实利用原函数法，很容易就找到这个辅助函数了。

首先先所证明的分式整理成易观的式子，如下：F′(ξ)=g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)然后我们令：F′(ξ)=g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)好，对上式两边进行积分，如下：F(ξ)=∫g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)dξ=∫f(ξ)dg(ξ)+∫g(ξ)df(ξ)−f(a)g(ξ)−g(b)f(ξ)=f(ξ)g(ξ)−∫g(ξ)df(ξ)+∫g(ξ)df(ξ)−f(a)g(ξ)−g(b)f(ξ)=f(ξ)g(ξ)−f(a)g(ξ)−g(b)f(ξ)所以我们要寻找的辅助函数就为：F(x)=f(x)g(x)−f(a)g(x)−g(b)f(x)很容易验证：F(a)=F(b)=−f(a)g(b)于是根据罗尔定理，在(a,b)上存在一点ξ，使得 F′(ξ)=0 ，也就是：g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g′(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)=0整理便可得题目中的式子，因此原题得证。

数学证明中的构造辅助函数方法在数学证明中，当我们需要证明一个命题或者解决一个难题时，有时候需要借助一些额外的工具或函数来进行推导和证明，这些工具或函数就称为辅助函数。

构造辅助函数是一种常用的解题方法，它能够将原问题转化为更容易处理的新问题，通过解决新问题来获得原问题的解决。

构造辅助函数的方法通常分为以下几种：1.构造差函数：当需要证明一个函数f(x)在某个区间内单调递增或递减时，可以通过构造差函数F(x)=f(x+h)-f(x)来证明。

如果F(x)大于0，则f(x)递增，如果F(x)小于0，则f(x)递减。

2.构造积函数：当需要证明一个函数f(x)在某个区间内取得极值时，可以通过构造积函数P(x)=f(x)g(x)来证明。

其中g(x)是一个与f(x)无关的函数，通过求解P'(x)=0来找到极值点。

3.构造和函数：当需要证明一个函数f(x)在某个区间内周期性变化时，可以通过构造和函数S(x)=f(x)+f(x+T)来证明。

其中T为f(x)的周期，通过求解S'(x)=0来找到周期性变化的特征。

4.构造对数函数：当需要证明一个函数f(x)在某个区间内与对数函数有相似性质时，可以通过构造对数函数L(x)=lnf(x)来证明。

通过求解L'(x)=1/f'(x)来找到f(x)的变化规律。

在使用构造辅助函数的方法时，需要注意以下几点：1.要根据题目的具体问题进行合理构造，确保辅助函数与原问题有紧密联系。

2.要明确构造的辅助函数的性质和特征，以便进行后续的推导和证明。

3.要注意辅助函数的取值范围和定义域，确保推导和证明的正确性。

4.要注意辅助函数与原问题的等价性，确保最终能够得出原问题的结论。

下面给出一个具体的例子来说明构造辅助函数的方法。

例：证明当x>1时，不等式lnx<(x-1)/（x-2）恒成立。

证明：令f(x)=lnx-(x-1)/（x-2），则f'(x)=1/x-1/（x-2）^2=(x-1)^2/（x （x-2））^2>0，所以f(x)在(1,+∞)上单调递增，又因为f(1)=0，所以当x>1时，f(x)>0，即原不等式恒成立。

又知.图1为AB两点的斜率,故我们可知要证即为有一点的切线与端点斜率平行。

对于常数函数f′这时定理的结论很明显是成立的。

考虑一般情况,f(a)≠f(b)。

此时,作辅助函数f(b)-f(a)b-a x由连续函数性质及导数运算法则,可知φ(x)在-af(b)b-a=φ(a)(X)满足上面的各种情形,因此在(a,b))-f(b)-f(a)b-a=0科技视界Science &Technology VisionScience &Technology Vision 科技视界有:a+b 1+a+b ≤a +b 1+a +b≤a 1+a +b 1+b。

于是得证。

(3)分析:先导入函数t =1x,则x >0时t >0,要证明原不等式成立,即要证明:不等式t 21+t>ln 2(1+t )(t >0)亦即:t >1+t √ln(1+t )。

为此,构造辅助函数f (t )=t -1+t √ln(1+t )(t ≥0),则:f ′(t )=1-121+t √ln(1+t)-11+t√=11+t√1+t √-12ln(1+t )-1[]再构造一辅助函数g (t )=1+t √-12ln(1+t )-1,由于g ′(t )=121+t√-12(1+t )>0,所以g (t )>g (0)-0。

从而有f ′(t )>0,得f (t )>f (0)=0于是,原命题成立方法归纳:用单调性分析证明函数不等式可通过移项将不等式化为大于0(或小于0)的形式来构造辅助函数,但应注意以下几点:1)为使求导后的函数f ′(x )较简单,有时对原不等式作适当变形;2)有时需多次求导;3)在证明含有两个变量的不等式时,可以把其中的一个当作变量,而另一个当作常数,使问题化为一个变量的函数不等式的证明。

我们再来看看下面例子:例设b>a>e ,证明a b >b a 。

应用微分中值定理构造辅助函数的三种方法微分中值定理是微积分中最重要的定理之一，它可以用来构造辅助函数。

在这里，我将介绍三种常见的方法。

方法一：构造辅助函数来证明微分中值定理我们首先回顾微分中值定理的陈述：如果函数f在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，那么存在c∈(a,b)，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。

为了证明这一定理，我们可以构造一个辅助函数g(x)=f(x)-(f(b)-f(a))/(b-a)*(x-a)。

我们可以计算g(a)和g(b)：g(a)=f(a)-(f(b)-f(a))/(b-a)*(a-a)=f(a)g(b)=f(b)-(f(b)-f(a))/(b-a)*(b-a)=f(b)由于g(x)是f(x)的线性函数，我们可以得出g(a)=f(a)和g(b)=f(b)。

根据罗尔定理，存在c∈(a,b)，使得g'(c)=0。

将g(x)展开得到：g'(x)=f'(x)-(f(b)-f(a))/(b-a)当x=c时：0=g'(c)=f'(c)-(f(b)-f(a))/(b-a)因此，存在c∈(a,b)，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。

方法二：构造辅助函数来确定函数的最大值和最小值微分中值定理的一个重要应用是确定函数的最大值和最小值。

我们可以利用此定理构造辅助函数来确定函数在给定闭区间上的最大和最小值。

假设我们要确定函数f在闭区间[a,b]上的最大值和最小值。

我们可以构造辅助函数h(x)=f(x)-M(x-a)，其中M是一个足够大的常数。

我们可以选择一个足够大的M，使得h(x)在[a,b]上永远不小于0。

当x=a时，h(a)=f(a)-M(a-a)=f(a)>=0当x=b时，h(b)=f(b)-M(b-a)=f(b)-M(b-a)<=0根据微分中值定理，存在c∈(a,b)，使得h'(c)=0。

编号几种高等数学中的构造函数法摘要构造函数法在高等数学中是一种重要的思想方法,它体现了数学发现、类比、化归、猜想、实验和归纳等思想,对于开阔思路,培养分析问题、解决问题和创新的能力是有益的.本文结合实例简单的介绍这一方法及其应用.关键词构造;分析;数形结合法;作差法;观察法中图分类号 O172The constructor of higher mathematicsChengyan Instructor Wang Renhu(N. O. 06, Class 1 of 2009. Specialty of Mathematics and Applied Mathematics, Department ofMathematics, Hexi University, Zhangye, Gansu, 734000, China)Abstract The constructor method in higher mathematics is an important way of thinking,Study found, analogy, and guess, experiment and induction, etc,To widen, training analysis problem, problem-solving ability and the innovation is beneficial.This paper briefly introduced the method and its application.Key words tectonic;analysis;Several form combination;For poor method;observation 1 分析法分析法即从结论出发,从后向前一步一步的进行分析,通过对条件和结论的分析,构造出辅助函数,架起一座连接条件和结论的桥梁,最后获得证明.例1.1[1] 拉格朗日中值定理如果函数f(x)在闭区间上连续,在开区间内可导,那么在内至少有一点使等式成立.分析由于罗尔定理是这一定理的特例,于是定理的证明归结为利用罗尔定理.这里关键是要引进一个满足罗尔定理条件的新的函数F(x).欲证需证f(ξ)-'f(b)-f(a)b-af(b)-f(a)⎡=0,而等式左边可转化为⎢f(x)-b-a⎣⋅x⎤,于是,可取函数x⎥⎦x=ξ'F(x)=f(x)-f(b)-f(a)b-a,容易验证F(x)满足罗尔定理的条件,顺此思路,即可证本定理.例1.2[3] 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,又f(x)不是线性函数,且f(b)>f(a).试证ξ∈(a,b),使得f'(ξ)>f(b)-f(a)b-a.f(b)-f(a)b-a(x-a)分析过点(a,f(a))与(b,f(b))的线性函数为y=f(a)+是线性函数,则F(x)≡f(x)-f(a)-f(b)-f(a)b-a,因f(x)不(x-a)≠0,只要证明F'(ξ)=f'(ξ)-f(b)-f(a)b-a>0即可.f(b)-f(a)b-a(x-a)证明设辅助函数F(x)=f(x)-f(a)-,则F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,F(a)=F(b).由于F(x)≠0,存在x0∈(a,b),使F(x0)≠0.当F(x0)>0时,由Lagrange中值定理,∃ξ∈(a,x0)使F'(ξ)=即f'(ξ)>F(b)-F(a)b-aF(x0)-F(a)x0-a>0,.F(b)-F(x0)b-x0>0,即f(ξ)>'当F(x0)<0时,同理, ∃ξ∈(x0,b),使F'(ξ)=F(b)-F(a)b-a.例1.3[5] 计算n阶行列式a+x1D=a+x1a+x1na+x2a+x2a+x2na+xna+xna+xnn.分析该题直接利用行列式“两项和性质”显然无法实现,如果后一列乘(-1)加到前一列,虽然每一列有公因式可提,但行列式中的元素却变得更复杂,无法进行计算.但从行列式D中可以捕捉到“范德蒙行列式的影子”,所以,应想办法构造一个行列式,既让它等于D,又能转化为范德蒙行列式.于是,有下列解法.解构造行列式,即先将原n阶行列式D加边成一个n+1阶行列式,100 0n21a+x1a+x1a+x1n2221a+x2a+x2a+x2n221a+xna+xn, a+xn2n2然后将此n+1阶行列式第一行乘-ai(i=1,2,…,n)加到第i+1行,再将所得行列式按第一列拆成两个n+1阶行列式相减,并根据范德蒙行列式可得,1-a1x1x1x11x1x1x1221x2x2x21x2x2x2221xn21xnxn xnn2D=-a2-a20nnn1a21x1x1x121x2x2x221xnxn xnn2=0xn--a xnnnnannn=2x1x2 xn∏(x1≤i≤j≤ni-xj)-∏(xi-a)⋅i=1n∏(x1≤i≤j≤ni-xj)n⎡⎤=∏(xi-xj)⎢2x1x2 xn-∏(xi-a)⎥.1≤i≤j≤ni=1⎣⎦2 数形结合法建立在数形结合基础上的几何图像常能引导人们去获得解决问题的方法,通过对几何图像的观察,构造出符合条件的辅助函数,使问题得以解决.例2.1[2] 设f(x)在[a,+∞)内连续、可导,且当x>a时f'(x)>k>0(k为常数),如果f(a)⎤⎡f(a)<0,则方程f(x)=0在⎢a,a-k⎥⎣⎦内有且仅有一个根,如图2.线段AB的斜率刚好为k,y=f(x)在AB的上方,因此很容易找到辅助函数(曲线与直线之差)证明 (1)存在性.作辅助函数F(x)=f(x)-[k(x-a)+f(a)],则F(a)=0,f(a)⎤f(a)⎤⎡⎡, F⎢a-=fa-⎥⎢⎥kk⎣⎦⎣⎦因为F'(x)=f'(x)-k>0,所以F(x)单调增加,故f(a)⎤f(a)⎤⎡⎡F⎢a-=fa->F(a)=0, ⎥⎢⎥k⎦k⎦⎣⎣因此,由f(a)<0,f⎢a-⎣根.(2)唯一性. ⎡f(a)⎤>0k⎥⎦及连续函数的性质,f(x)在⎢a,a-⎣⎡f(a)⎤k⎥⎦内至少有一个由f'(x)>0,f(x)单调增加,所以f(x)在⎢a,a-⎣⎡f(x)⎤k⎥⎦内至少有一个根,问题得证.例2.2[4] 某人身高1.5米,站立在离河岸3米处往水中看去恰好看到对岸河边一根电线杆在水中的倒影,已知水面低于河岸0.5米,河宽15米,求电线杆的高度.解我们如下构造图形,河宽为FD,离河岸CB处身高为AB的人从A点往河中看,正好看到电线杆GH在水中整个倒影FM.F,E,D点在水面所处的直线上, H,C,B在河岸所处的直线上. 其中AB=1.5m,BC=3m,FE+ED=15m,HF=CD=0.5m,求GH.易证∆ABC∽∆CDE,∆ABC∽∆GEF.因此 EDCD=BCAB⇒ED=1m,GH+HFEF=ABBC⇒GH=6.5m,即电线杆的高为6.5m.例2.3[4] 设x,y,z都在(0,1)内,求证:x(1-y)+y(l-z)+z(1-x)<1.分析证明代数不等式,直接从条件人手难达目的,注意结论并考虑条件可知:x,y,z,1-y,1-z,1-x均为正数,且似两线段积之和,给每个正数赋予线性形象,从线性联想三角形面积公式S=12absinc构造一边长为1的正三角形ABC.在AB,BC,CD上各取一点P,Q,E使得AP=x,BQ=z,CD=y,则BP=1-x,CQ=1-z,AE=1-y,由图易知S∆ABC=S∆APE+S∆BPQ+S∆CQE不等式成立.3 作差法通过作差的方法构造辅助函数对于形如f(x)>g(x)(或f(x)<g(x))的函数不等式,常构造辅助函数F(x)=f(x)-g(x)(或F(x)=g(x)-f(x))用单调性证之,其步骤为:1.构造函数F(x)=f(x)-g(x);2.证F'(x)>0(或<0)得出单调性;3.求出f(x)在区间端点之一处的函数值或极限值;4.最后根据函数单调性及区间端点的函数值得出所证的不等式. 例3.1[2] 证明当x>0时,x>ln(1+x).证明令F(x)=x-ln(1+x), x≥0,当x>0时F'(x)=1-11+x=x1+x>0,所以F(x)在(0,∞)上单调递增.又x>ln(1+x).F(0)=0,故当x>0时,F(x)>F(0)=0,即x-ln(1+x)>0,所以例3.2[2] 设f(x)在[a,b]上连续且单调增加,求证⎰baxf(x)dx≥a+b2⎰baf(x)dx分析将要证明的不等式中的b换成x,构造变上限定积分F(x)=⎰xatf(t)dt-a+x2⎰xaf(t)dt,然后证明F(b)≥0.证明令F(x)=F(x)=xf(x)-'⎰xatf(t)dt-a+x2a+x2⎰xaf(t)dt,则F(a)≥0,且对任意的x∈[a,b],有1212⎰xaf(t)dt-f(x)=x-a2f(x)-⎰xaf(t)dt=12⎰[f(x)-axf(t)]dt≥0因此,f(x)在[a,b]上单调递增,又a≤t≤x,所以f(x)≥f(t). 可见F(x)单调递增,从而F(b)≥F(x)=0,即得⎰xf(x)dx≥aba+b2⎰baf(x)dx.例3.3[3] 设f(x)在[a,b]上连续且a<b<c<d,证明在(a,b)内至少存在一点ξ使得pf(c)+qf(d)=(p+q)f(ξ)（p,q）为正常数.证明作辅助函数F(x)=(p+q)f(x)-pf(c)-qf(d),因为F(x)在[c,d]⊂[a,b]上连续,又F(c)=q[f(c)-f(d)],F(d)=p[f(d)-f(c)], 且p,q为正常数,所以F(c)⋅F(d)=-pq[f(c)-f(d)]≤0.2(1)当f(c)=f(d)时，F(c)=F(d)=0,则当ξ取c或d时,F(ξ)=0. 即pf(c)+qf(d)=(p+q)f(ξ).(2)当f(c)≠f(d)时，F(c)⋅F(d)<0,由零点定理,至少存在一点ξ∈(c,d)⊂(a,b),使F(ξ)=0,即pf(c)+qf(d)=(p+q)f(ξ)此方法在证明函数单调性、证明不等式等等证明题中经常用到.4 观察法将欲证结果适当等价变形;替换;找原函数;作辅助函数.关键是适当"等价变形". 例4.1[2] 设f(x)在[a,b](0<a<b)上连续在(a,b)内可导,且f'(x)>0(a<x<b), af(b)-bf(a)=0,证明在(a,b)内至少存在一点ξ,使'f(ξ)f(ξ)'=ξ.分析 (1)变形f(ξ)f(ξ)''=ξ,ξf(ξ)-f(ξ)=0,'ξf(ξ)-f(ξ)ξ2=0,(2)替换 xf(x)-f(x)x2=0,⎡f(x)⎤ (3)找原函数⎢=0, ⎥⎣x⎦'(4)作辅助函数 F(x)=证明作辅助函数F(x)=F(a)=f(a)a,F(b)=f(b)bf(x)x. ,因为F(x)在[a,b]上连续,在（a,b）内可导,又f(x)x,且af(b)-bf(a)=0,所以F(a)=F(b),F(x)满足罗尔定理,可得存在ξ∈(a,b),使F'(ξ)=0.因此F(ξ)='ξf(ξ)-f(ξ)'ξ2=0,即ξf(ξ)-f(ξ)=0,所以'f(ξ)f(ξ)'=ξ.例4.2[3] 设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1,试证对任意的λ∈R,必存在ξ∈(0,1),使得f'(ξ)-λ(f(ξ)-ξ)=1.分析由f'(ξ)-λ(f(ξ)-ξ)=1得到f'(x)-λf(x)=1-λx,由一阶非齐次微分方程的通解公式得λdx⎡-λdx⎰dx+c⎤=eλxxe-λx+c=ceλx+x, ()f(x)=e⎰1-λxe⎰⎢⎥⎣⎦[]即(f(x)-x)e-λx=c,于是便得到要找的辅助函数F(x)=(f(x)-x)e-λx.证明设F(x)=(f(x)-x)e-λx,则F(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且F(0)=F(1)=0,所以满足罗尔定理,即对任意的λ∈R,必存在ξ∈(0,1),使得F(ξ)=f(ξ)-1-λ(f(ξ)-ξ)e'[']-λξ=0,即f'(ξ)-λ(f(ξ)-ξ)=1.总之,通过构造辅助函数,我们可以利用知道的结论和定理来解决目前的题目,需要注意的是原题和辅助题目应是等价的,构造辅助函数的方法是多种多样的,具体问题应具体分析,只要我们仔细分析各类数学问题与函数的直接或间接联系,大胆联想、猜测、推理,就可以构造出合适的函数,恰当地使用构造函数法在高等数学解题中往往能起到事半功倍的功效.参考文献[1]袁继红.浅析构造思想在高等数学中的应用[J].数学的实践与认识, 1997, 27 (4): 367~371.[2]黄光谷,余尚智.高等数学方法导论[M].第2版.武汉:武汉测绘科技大学出版社,1996. 86~93.[3]杜先能,孙国正.高等数学[M],合肥:安徽大学出版社,2003.[4]西北工业大学高等数学教研室编.高等数学专题指导[M].上海:同济大学出版社,1999.[5]李兆强.“辅助函数法”在数学分析中的应用[J].漯河职业技术学院学报,2009.。

拉格朗日中值定理证明中若干辅助函数的构造。

答案：方法1：让F(x)曲线的弦下移，跟x轴重合，即可保证F(a)=F(b)，且F(a)=F(b)=0方法1：让F(x)曲线的弦下移，跟x轴重合，即可保证F(a)=F(b)，且F(a)=F(b)=0方法2：只需f(x)的左侧端点a点不动，右侧的端点下移到跟左侧端点a点相同高度即可保证F(a)=F(b),但是F(a)=F(b)≠0方法2：只需f(x)的左侧端点a点不动，右侧的端点下移到跟左侧端点a点相同高度即可保证F(a)=F(b),但是F(a)=F(b)≠0方法3：让左侧端点上升到跟右侧端点相同水平高度即可保证F(a)=F(b),但是F(a)=F(b)≠0方法3：让左侧端点上升到跟右侧端点相同水平高度即可保证F(a)=F(b),但是F(a)=F(b)≠0拉格朗日的做法，是方法1.方法1让f(x)在[a,b]区间内的所有点下移，下移直线弦AB，并使之跟x轴重合，即F(a)=F(b)=0。

让f(x)在[a,b]区间内的所有点下移，下移直线弦AB，并使之跟x轴重合，即F(a)=F(b)=0。

这个下移的距离是一个跟x有关的函数，这个函数这个下移的距离是一个跟x有关的函数，这个函数就是弦AB的直线段的函数：g(x)=kx+b就是弦AB的直线段的函数：g(x)=kx+b由:f(a)=ka+b,f(b)=kb+b,由:f(a)=ka+b,f(b)=kb+b,解得，k=f(b)−f(a)b−a解得，k=f(b)−f(a)b−ab=f(a)−f(b)−f(a)b−aab=f(a)−f(b)−f(a)b−aa弦方程为：y=f(b)−f(a)b−ax+f(a)−f(b)−f(a)b−aa弦方程为：y=f(b)−f(a)b−ax+f(a)−f(b)−f(a)b−aa合并同类项：y=f(a)+f(b)−f(a)b−a(x−a)合并同类项：y=f(a)+f(b)−f(a)b−a(x−a)让F(x)减去弦的高度，即上式的弦方程，即可做到f(x)曲线的右端点B，落在x轴上让F(x)减去弦的高度，即上式的弦方程，即可做到f(x)曲线的右端点B，落在x轴上即：F(x)=f(x)−f(a)−f(b)−f(a)b−a(x−a)即：F(x)=f(x)−f(a)−f(b)−f(a)b−a(x−a)上式与拉格朗日中值定理的辅助函数，完全一致。