北京市西城区2016年高三二模试卷数学（理科）2016.5第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 设全集U =R ，集合2{|0}A x x =<<，{|1}B x x =<，则集合()U A B = ð（） （A ）(,0)-∞（B ）(,0]-∞（C ）(2,)+∞（D ）[2,)+∞ 2. 若复数z 满足+i 23i z z ⋅=+，则在复平面内z 对应的点位于（） （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限3. 在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若1sin()3A B +=，3a =，4c =，则sin A =（）（A ）23（B ）14（C ）34（D ）164. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（） （A ）2（BC ）3（D）5. “,,,a b c d 成等差数列”是“a d b c +=+”的（） （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件6. 某市家庭煤气的使用量x （m 3）和煤气费()f x (元) 满足关系, 0<,()(), .C x A f x C B x A x A ≤ìïï=íï+->ïî已知某家庭今年前三个月的煤气费如下表：若四月份该家庭使用了20m 3的煤气，则其煤气费为（） （A ）11.5元（B ）11元（C ）10.5元（D ）10元7. 如图，点A ，B 在函数2log 2y x =+的图象上，点C 在函数2log y x =的图象上，若ABCD 为等边三角形，且直线//BC y轴，设点A 的坐标为(,)m n ，则m =（）（A ） 2（B ） 3（C D正（主）视图侧（左）视图俯视图11 2E FDCB8. 设直线l ：340x y a ++=，圆22 (2)2C x y ：-+=，若在圆C 上存在两点,P Q ，在直线l 上存在一点M ，使得90PMQ?o ，则a 的取值范围是（）（A ）[18,6]-（B ）[6-+（C ）[16,4]-（D ）[66---+第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9.在62()x x+的展开式中，常数项等于____.10. 设,x y 满足约束条件2,1,10,y x x y y ++⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥则3z x y =+的最大值是____.11.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为______. 12．设双曲线C 的焦点在x 轴上，渐近线方程为y x =，则其离心率为____；若点(4,2)在C 上，则双曲线C 的方程为____.13. 如图, △ABC 为圆内接三角形，BD 为圆的弦，且//BD AC . 过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F . 若4AB AC ==，5BD =，则AFFD=_____；AE =_____.14.在某中学的“校园微电影节”活动中，学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优. 若A 电影的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B 电影，则称A 电影不亚于B 电影. 已知共有10部微电影参展，如果某部电影不亚于其他9部，就称此部电影为优秀影片. 那么在这10部微电影中，最多可能有____部优秀影片.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知函数2()(1)cos f x x x =. （Ⅰ）若α是第二象限角，且sin α=()f α的值； （Ⅱ）求函数()f x 的定义域和值域.某中学有初中学生1800人，高中学生1200人. 为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50]，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）写出a 的值；（Ⅱ）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；（Ⅲ）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，并用X 表示其中初中生的人数，求X 的分布列和数学期望.17．（本小题满分14分）如图，正方形ABCD 的边长为4，,E F 分别为,BC DA 的中点. 将正方形ABCD 沿着线段EF 折起，使得60DFA ∠= .设G 为AF 的中点.（Ⅰ）求证：DG EF ⊥；（Ⅱ）求直线GA 与平面BCF 所成角的正弦值；（Ⅲ）设,P Q 分别为线段,DG CF 上一点，且//PQ 平面ABEF ，求线段PQ 长度的最小值.)高中生组初中生组E CF E GA BD C ⇒设a ∈R ，函数2()()x af x x a -=+．（Ⅰ）若函数()f x 在(0,(0))f 处的切线与直线32y x =-平行，求a 的值； （Ⅱ）若对于定义域内的任意1x ，总存在2x 使得21()()f x f x <，求a 的取值范围.19．（本小题满分14分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形，且其周长为24.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设过点)0)(,0(>m m B 的直线l 与椭圆C 相交于,E F 两点，点B 关于原点的对称点为D ，若点D 总在以线段EF 为直径的圆内，求m 的取值范围.20．（本小题满分13分）已知任意的正整数n 都可唯一表示为1100112222k k k k n a a a a --=⋅+⋅++⋅+⋅ ，其中01a =，12,,,{0,1}k a a a ∈ ，k ∈N ．对于n *∈N ，数列{}n b 满足：当01,,,k a a a 中有偶数个1时，0n b =；否则1n b =．如数5可以唯一表示为2105120212=⨯+⨯+⨯，则50b =．（Ⅰ）写出数列{}n b 的前8项；（Ⅱ）求证：数列{}n b 中连续为1的项不超过2项；（Ⅲ）记数列{}n b 的前n 项和为n S ，求满足1026n S =的所有n 的值．（结论不要求证明）北京市西城区2016年高三二模试卷参考答案及评分标准高三数学（理科）2016.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．A 3．B 4．C 5．A 6．A 7．D 8．C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．16010．7311．5271222184x y -=13．456 14．10 注：第12，13题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为α是第二象限角，且sin α=所以cos α==.………………2分所以sin tan cos ααα==4分所以2()(1f α==. ………………6分 （Ⅱ）解：函数()f x 的定义域为{|x x ∈R ，且ππ,}2x k k ≠+∈Z . ………………8分化简，得2()(1)cos f x x x =2(1x =+2cos cos x x x =1cos 222x x +=………………10分 π1sin(2)62x =++，………………12分因为x ∈R ，且ππ2x k ≠+，k ∈Z ， 所以π7π22π66x k +≠+，所以1π1sin(2)6x -+≤≤.所以函数()f x 的值域为13[,]22-.………………13分（注：或许有人会认为“因为ππ2x k ≠+，所以()0f x ≠”，其实不然，因为π()06f -=.）16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：0.03a =. ………………3分（Ⅱ）解：由分层抽样，知抽取的初中生有60名，高中生有40名. ………………4分 因为初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为(0.020.005)100.25+⨯=， 所以所有的初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生约有0.251800450⨯=人， ………………6分同理，高中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为(0.030.005)100.35+⨯=，学生人数约有0.351200420⨯=人.所以该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数约有450420870+=人. ………………8分（Ⅲ）解：初中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为0.005100.05⨯=，样本人数为0.05603⨯=人.同理，高中生中，阅读时间不足10个小时的学生样本人数为(0.00510)402⨯⨯=人. 故X 的可能取值为1，2，3. ………………9分则123235C C 3(1)C 10P X ⋅===，213235C C 3(2)C 5P X ⋅===，3335C 1(3)C 10P X ===. 所以X 的分布列为：………………12分 所以3319()123105105E X =⨯+⨯+⨯=. ………………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为正方形ABCD 中，,E F 分别为,BC DA 的中点， 所以EF FD ⊥，EF FA ⊥， 又因为FD FA F = ，所以EF ⊥平面DFA .………………2分 又因为DG ⊂平面DFA ，所以DG EF ⊥. ………………4分 （Ⅱ）解：因为60DFA ∠= ，DF FA =，AG GF =， 所以DFA ∆为等边三角形，且DG FA ⊥. 又因为DG EF ⊥，EF FA F = ， 所以DG ⊥平面ABEF .………………5分设BE 的中点为H ，连接GH ，则,,GA GH GD 两两垂直，故以,,GA GH GD 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)G ，(1,0,0)A ，(1,4,0)B，(0,C ，(1,0,0)F -， 所以(1,0,0)GA =,(1BC =- ，(2,4,0)BF =--.………………6分 设平面BCF 的一个法向量为(,,)x y z =m ，由0BC ⋅= m ，0BF ⋅= m，得0,240,x x y ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩令2z =，得2)=m .………………7分设直线GA 与平面BCF 所成角为α，则||sin |cos ,|19||||GA GA GA α⋅=<>==m m m . 即直线GA 与平面BCF19. ………………9分（Ⅲ）由题意，可设(0,0,)(0P k k ≤，(01)FQ FC λλ=≤≤，由(1,FC =，得(,4)FQ λλ=，所以(1,4)Q λλ-，(1,4)PQ k λλ--=. ………………10分 由（Ⅱ），得GD =为平面ABEF 的法向量. 因为//PQ 平面ABEF ，所以0GD PQ ⋅=0k -=. ………………11分所以||PQ ==，………12分又因为221172117()171716λλλ-+=-+，所以当117λ=时，min ||17PQ =.所以当117λ=，17k =PQ 长度有最小值17. ………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：函数()y f x =的定义域{|}D x x x a =∈≠-R 且，………………1分由题意，(0)f '有意义，所以0a ≠.求导，得244()()2()()(3)()()()x a x a x a x a x a f x x a x a +--⋅++⋅-'==-++. ………………3分 由题意，得243(0)3a f a'==，解得1a =±.验证知1a =±符合题意.………………5分（Ⅱ）解：“对于定义域内的任意1x ，总存在2x 使得21()()f x f x <”等价于“()f x 不存在最小值”．………………6分①当0a =时， 由1()f x x=，得()f x 无最小值，符合题意．………………7分 ②当0a >时， 令4()(3)()0()x a x a f x x a +⋅-'=-=+，得x a =-或3x a =. ………………8分随着x 的变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下：所以函数()f x 的单调递减区间为(,)a -∞-，(3,)a +∞，单调递增区间为(,3)a a -．………………9分因为当x a >时，2()0()x af x x a -=>+，当x a <时，()0f x <，所以只要考虑1(,)x a ∈-∞，且1x a ≠-即可． 当1(,)x a ∈-∞-时，由()f x 在(,)a -∞-上单调递减，且1111||2x x x a a <++<-， 得1111()(||)2f x f x x a >++， 所以存在2111||2x x x a =++，使得21()()f x f x <，符合题意；同理，当1(,)x a a ∈-时，令2111||2x x x a =-+， 得21()()f x f x <，也符合题意；故当0a >时，对于定义域内的任意1x ，总存在2x 使得21()()f x f x <成立．………11分 ③当0a <时，随着x 的变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表：所以函数()f x 的单调递减区间为(,3)a -∞，(,)a -+∞，单调递增区间为(3,)a a -．因为当x a >时，2()0()x af x x a -=>+，当x a <时，()0f x <，所以min ()(3)f x f a =．所以当13x a =时，不存在2x 使得21()()f x f x <．综上所述，a 的取值范围为[0,)a ∈+∞. ………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由题意，得：4,a b c ⎧⎪⎨⎪⎩==………………2分 又因为222c b a +=解得a =1b =，1c =，………………4分所以椭圆C 的方程为1222=+y x . ………………5分（Ⅱ）解：（方法一）当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为0=x ， 此时E ，F 为椭圆的上下顶点，且2=EF ，因为点(0,)D m -总在以线段EF 为直径的圆内，且0m >， 所以10<<m .故点B 在椭圆内. ………………6分当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为m kx y +=.由方程组22,1,2y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(21)4220k x kmx m +++-=，………………8分 因为点B 在椭圆内，所以直线l 与椭圆C 有两个公共点，即0)22)(12(4)4(222>-+-=∆m k km . 设),(),,(2211y x F y x E ，则122421km x x k -+=+，21222221m x x k -=+. ………………9分设EF 的中点),(00y x G ， 则12222210+-=+=k kmx x x ，12200+=+=k m m kx y ，所以)12,122(22++-k mk km G . ………………10分 所以2222)12()122(m k m k km DG ++++-=124124224+++=k k k m ， 2122124)(1x x x x k EF -++=12121222222+-++=k m k k .………………11分因为点D 总在以线段EF 为直径的圆内， 所以2EF DG <对于k ∈R 恒成立.所以1212121241242222224+-++<+++k m k k k k k m . 化简，得1323722422242++<++k k m k m k m ，整理，得31222++<k k m ，………………13分而2221221()113333k g k k k +==--=++≥（当且仅当0=k 时等号成立）.所以312<m ，由0>m ，得330<<m . 综上，m 的取值范围是330<<m . ………………14分（方法二） ……则122421kmx x k -+=+，21222221m x x k -=+. …………………9分因为点D 总在以线段EF 为直径的圆内，所以0DE DF ⋅<. ………………11分 因为11(,)DE x y m =+，22(,)DF x y m =+ ， 所以2121212()DE DF x x y y m y y m ⋅=++++2121212()()()x x kx m kx m m kx m kx m m =++++++++ 221212(1)2()4k x x km x x m =++++第11页共11页 22222224(1)2402121m km k km m k k --=+++<++， 整理，得31222++<k k m . ………………13分 （以下与方法一相同，略）20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：1，1，0，1，0，0，1，1.………………3分 （Ⅱ）证明：设数列{}n b 中某段连续为1的项从m b 开始，则1m b =．由题意，令1100112222k k k k m a a a a --=⋅+⋅++⋅+⋅ ，则01,,,k a a a 中有奇数个1． （1）当01,,,k a a a 中无0时，因为1102222k k m -=++++ ，所以111011202020202k k k m +-+=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯ ， 111021202020212k k k m +-+=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯ ． 所以1m b =，11m b +=，20m b +=，此时连续2项为1．………………5分（2）当01,,,k a a a 中有0时，① 若0k a =，即11001122202k k k m a a a --=⋅+⋅++⋅+⨯ ， 则110011122212k k k m a a a --+=⋅+⋅++⋅+⨯ ， 因为01,,,k a a a 中有奇数个1，所以10m b +=，此时连续1项为1．………………7分 ② 若1k a =，即111001 122202121212ik k s s s m a a --=⋅+⋅++⨯+⨯++⨯+⨯连续个乘以， 则111001 0212212020202ik k s s s m a a --+=⋅+⋅++⨯+⨯++⨯+⨯连续个乘以， 111001(1)0222212020212ik k s s s m a a ---+=⋅+⋅++⨯+⨯++⨯+⨯连续个乘以，（其中i ∈N ） 如果s 为奇数，那么11m b +=，20m b +=，此时连续2项为1． 如果s 为偶数，那么10m b +=，此时仅有1项1m b =．综上所述，连续为1的项不超过2项．………………10分 （Ⅲ）解：2051n =或2052n =. ………………13分。
