高一数学向量知识点归纳练习题.doc

高一向量知识点总结及例题引言：向量是高中数学中的一个重要概念，也是数学研究和实际应用中的重要工具。

在高一阶段，学生开始接触和学习关于向量的基本概念、运算规则以及一些重要的定理和例题。

本文将对高一阶段的向量知识点进行总结，并通过一些例题进行实际运用，帮助学生更好地理解和掌握这一内容。

一、向量的基本概念1. 向量的表示方法：向量通常用一个有方向和大小的线段表示，可以用一个点表示，也可以用有箭头的线段表示。

在坐标系中，向量也可以表示为一个有序数对。

2. 向量的模：向量的模表示向量的长度，通常用||AB||表示。

在坐标系中，向量的模可以通过坐标计算公式求得。

3. 向量的方向角：向量的方向角表示与坐标轴正方向的夹角，在0°到360°之间，通常用α表示。

4. 向量的共线与平行：若两个向量的方向相同或相反，且模相等，则它们共线；若两个向量的方向相同或相反，则它们平行。

二、向量的运算规则1. 向量的加法与减法：向量的加法和减法满足交换律、结合律和分配律。

即A + B = B + A，(A + B) + C = A + (B + C)，a*(B + C) = a*B + a*C。

2. 向量的数量积：向量的数量积又称内积或点乘，可用来判断向量的夹角和共线性。

数量积的结果是一个实数，等于两个向量的模的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。

三、向量的重要定理1. 向量的长度平方定理：向量的长度平方等于向量的数量积与自身的数量积的乘积。

即||A||^2 = A·A。

2. 向量的垂直定理：若两个非零向量数量积为0，则它们垂直。

四、例题1. 已知向量AB = (3, 4)，向量AC = (5, -2)，求向量BC的模。

解：向量BC = 向量AC - 向量AB = (5, -2) - (3, 4) = (2, -6)。

向量BC的模为√(2^2 + (-6)^2) = √40 = 2√10。

2. 在直角坐标系中，已知向量OA = (2, 3)，则向量OA的模为多少？解：向量OA的模为√(2^2 + 3^2) = √13。

EFDCBA向量的基本概念例1.（向量平移）已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是 变式：1.将二次函数2y x =的图象按向量a 平移后,得到的图象与一次函数25y x =-的图象只有一个公共点(3,1),则向量=a ( )A.(2,0)B.(2,1)C.(3,0)D.(3,1)2.若函数()cos21f x x =+的图象按向量a 平移后,得到的图象关于原点对称,则向量a 可以是( )A.(,1)4π-B.(,1)2π-C.(,1)4πD.(0,1)例2.（共线向量）下列命题中,正确的是( )A.若b a //,则a 与b 的方向相同或相反B.若b a //,b c //,则c a //C.若两个单位向量互相平行,则这两个单位向量相等D.若a =b ,b =c ,则a =c .向量的基本运算例1.设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=，则（ ）A.0PA PB +=B.0PC PA +=C.0PB PC +=D.0PA PB PC ++=变式：已知平面内不共线的四点0,A,B,C 满足12OB OA OC 33=+ ,则|AB|:|BC |= ( )A.3:1B.1:3C.2:1D.1:2例2.已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，PA PB PB PC PC PA ∙=∙=∙，则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的( ) A.重心 外心 垂心B.重心 外心 内心C.外心 重心 垂心D.外心 重心 内心变式：如图， D ，E ，F 分别是∆ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则( )A ．0AD BE CF ++=B ．0BD CF DF -+=C ．0AD CE CF +-=ABCD E FD ．0BD BE FC --=例3.如图,在ABC △中,D 是BC 的中点,E 是DC 的中点,F 是EC 的中点,若AB = a ,AC = b ,则AF =( )A.1344+a bB.1344-a bC.1788+a bD.1788-a b 变式：已知O 是ABC △所在平面内一点,D 为BC 边中点,且2OA OB OC ++=0，那么（ ）Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD =Ｃ．3AO OD =Ｄ．2AO OD =平面向量的坐标表示，及数量积例1．已知向量()()()2,1,,1,1,2-=-=-=c m b a ，若()b a +∥c ，则_________=m . 变式：已知a =(3,1)-,b =(1,2)-,(2)-+a b (+a k )b ,则实数k 的值是 ( )A.53B.2511 C.12- D.17- 例2.已知向量a ，b 满足（a +2b ）·（a -b ）=－6，且a =，2b = ，则a 与b 的夹角为 .变式：已知a 与b 为两个不共线的单位向量,k 为实数,若向量a b + 与向量ka b -垂直,则k = .例3.设向量(1,0)a =,11(,)22b =,则下列结论中正确的是( )(A)a b = (B)22a b =(C)//a b (D)a b -与b 垂直变式： a ，b 为平面向量，已知a=（4，3），2a+b=（3，18），则a ，b 夹角的余弦值等于( )（A ）865 （B ）865- （C ）1665 （D ）1665-例4.已知向量a ，b 满足2b = ，a 与b 的夹角为60°，则b 在a上的投影是 ．变式：若→a =)3,2(，→b =)7,4(-，则→a 在→b 上的投影为 。

向量复习题知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算 1、向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0与任意向量平行③单位向量：模为1个单位长度的向量 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量2、向量加法：设,AB a BC b ==，则a+b =AB BC +=AC（1）a a a =+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律；AB BC CD PQ QR AR +++++=，但这时必须“首尾相连”．3、向量的减法： ① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b的差。

③作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b有共同起点）4、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a⋅=λλ； （Ⅱ）当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时，λa 的方向与a 的方向相反；当0=λ时，0=a λ，方向是任意的5、两个向量共线定理：向量b 与非零向量a共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =a λ6、平面向量基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=，其中不共线的向量21,e e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 二.平面向量的坐标表示 j i ,分别为与x 轴，y 轴正方向相同的单位向量 1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量a 可表示成a xi yj =+，记作a =(x,y)。

2平面向量的坐标运算：（1）若()()1122,,,a x y b x y ==，则()1212,a b x x y y ±=±± （2）若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =-- （3）若a =(x,y)，则λa =(λx,λy) （4）若()()1122,,,a x y b x y ==，则1221//0a b x y x y ⇔-=（4）若()()1122,,,a x y b x y ==，则1212a b x x y y ⋅=⋅+⋅ ，若a b ⊥，则02121=⋅+⋅y y x x三．平面向量的数量积1两个向量的数量积：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ叫做a 与b 的数量积（或内积） 规定00a ⋅=2向量的投影：︱b ︱cos θ=||a ba ⋅∈R ，称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影 3数量积的几何意义： a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积 4向量的模与平方的关系：22||a a a a ⋅==5乘法公式成立：()()2222a b a b ab a b +⋅-=-=-； ()2222a ba ab b ±=±⋅+222a a b b =±⋅+6平面向量数量积的运算律：①交换律成立：a b b a ⋅=⋅②对实数的结合律成立：()()()()a b a b a b R λλλλ⋅=⋅=⋅∈③分配律成立：()a b c a c b c ±⋅=⋅±⋅()c a b =⋅± 特别注意：（1）结合律不成立：()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅；（2）消去律不成立a b a c⋅=⋅不能得到b c =⋅（3）a b ⋅=0不能得到a =0或b =07两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y ==，则a ·b =1212x x y y + 8向量的夹角：已知两个非零向量a 与b ，作OA =a , OB =b ,则∠AOB=θ （001800≤≤θ）叫做向量a 与b 的夹角cos θ=cos ,a b a b a b•<>=•=当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时，θ=00，当且仅当a 与b 反方向时θ=1800，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果a 与b 的夹角为900则称a 与b 垂直，记作a ⊥b10两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b ⇔a ·b＝O ⇔2121=+y y xx 平面向量数量积的性质11≤±≤- 注意取等条件（共线）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知两点()3,2M ，()5,5N --，12MP MN =，则P 点坐标是 （ ） A ．()8,1- B ．31,2⎛⎫--⎪⎝⎭ C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()8,1- 2．下列向量中，与向量(1,1)a =-平行的向量是 （ ）A ．(0,2)b =B ．(2,0)c =C ．(2,2)d =D ．(2,2)f =-3．a (2,1)=，b ()3,4=，则向量a 在向量b 方向上的投影长度为 （ ） A ．25 B ．2 C ．5 D ．10 4．在三角形ABC 中，C=450， a=5 ,b=4, 则=⋅CA BC（ ）A ．102B ．202C ．210-D ．-2025．已知b a b a ,),5,2(),3,(-==λ的夹角为钝角，则λ的范围是 （ ）A ．215>λ B ．215<λ C ．56<λ D ．56>λ 6．一只鹰正以水平方向向下300角飞行直扑猎物，太阳光从头上直射下来，鹰在地面上影子的速度为40m/s ，则鹰飞行的速度为 （ ） A ．20m/s B ．3380m/s C ．20m/s D ．80m/s 7．O 为平面中一定点，动点P 在A 、B 、C 三点确定的平面内且满足（OA OP -）·（AC AB -） =0，则点P 的轨迹一定过△ABC 的 （ ） A.外心B.内心C.重心D.垂心8.已知OA a,OB b ==，C 为AB 上距A 较近的一个三等分点，D 为CB 上据C 较近的一个三等分点，用a,b 表示OD 的表达式为 （ ） A.4a 5b 9+ B.9a 7b 16+ C.2a b 3+ D.3a b4+ 9．已知ABC ∆的三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P ，且→→→→=++AB PC PB PA ，则点P 与ABC ∆ 的位置关系是（ ）A ．P 在ABC ∆内部B ．P 在ABC ∆外部C ．P 在AB 边上或其延长线上D ．P 在AC 边上或其延长线上10. 若i = (1,0), j =(0,1)，则与2i +3j 垂直的向量是 ( )A ．3i +2jB ．－2i +3jC ．－3i +2jD ．2i －3j11.对于菱形ABCD ，给出下列各式：①AB BC = ；②||||AB BC =；③||||AB CD AD BC -=+；④22||||4||AC BD AB += 2其中正确的个数为 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个12．在平面直角坐标系中，已知两点A （cos80o ,sin80o ）,B(cos20o ,sin20o),则｜AB ｜的值是（ ）A ．12BC D ．1二、填空题13.已知A(2,1),B(3,2),C(-1,5),则△ABC 的形状是 .14.已知实数x,y ，向量,a b 不共线，若（x+y-1）a +（x-y ）b =0，则x= ,y= 15．若三点(1,2),(2,4),(,9)P A B x --共线，则x =16．在ABC ∆中，有命题：①AB AC BC -=；②AB BC CA ++=0；③若()()0AB AC AB AC +⋅-=，则ABC ∆为等腰三角形；④若0AC AB ⋅>，则ABC ∆为锐角三角形.其中正确的命题序号是 .（把你认为正确的命题序号都填上） 三、解答题17.（满分12分）设两个非零向量1e 和2e 不共线.(1)如果2121212,3,2e e CD e e CB e k e AB -=+=+=，若A 、B 、D 三点共线，求k 的值.(2) 若||1e =2，||2e =3，1e 与2e 的夹角为60，是否存在实数m ，使得m 1e 2e +与1e -2e 垂直？并说明理由. 18．（12分）已知向量)1,0(),0,1(,4,23212121==+=-=→→→→→→→→e e e e b e e a 其中；求（1）→→→→+⋅b a b a ;的值；（2）→a 与→b 的夹角的正弦值．19．（本小题满分12分）在,中ABC ∆设,,AB a BC b AC c ===， 060,3,4=∠==ABC BC AB ， 求：（1）2a b -; （2）()()2a b a b -⋅+ ; （3）cos >+<b a a ,; 20. （本小题满分12分）已知a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中a ()1,2=.（1） 若=c c //a ，求c 的坐标；（2） 若b ()1,m =()0m <且a +2b 与a -2b 垂直，求a 与b 的夹角θ.21．（本小题满分12分） 已知向量(2,1),(1,7),(5,1),OP OA OB X OP ===设是直线上的一点（O 为坐标原点），求XA XB ⋅的最小值．22．（本小题满分14分）已知点A 、B 、C 的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)、C(cosα,sinα),α∈(2π,23π). （I ）若|AC |=|BC |，求角α的值；（II ）若AC ·BC =-1，求αααtan 12sin sin 22++的值.BDBCA BDA DC CD 4．C=⋅CABC =⨯⨯>=<⋅0135cos 45,cos CA BC 210-5．A><b a ,为钝角,0<⋅⇔b a 且b a ,不反向.6．B设鹰飞行的速度为v ，其在地面上的影子的速度为1v4030cos 0==⋅3380=. 二.填空13.锐角三角形 14. 0.5，0.5 15.17616.③三.解答 17. 证明：（1）AD =AB +BC +CD =（1e +2e ）+（128e +2e ）+（133e -2e ） =6（1e +2e ）=6AB （2分）∴ //AD AB 且AD 与AB 有共同起点 （3分）∴ A 、B 、D 三点共线 （4分） （2）假设存在实数m ，使得m 1e 2e +与1e -2e 垂直，则（m 1e 2e +）⋅（1e -2e ）=0∴221122(1)0me m e e e +-⋅-= （6分）||1e =2，||2e =3，1e 与2e 的夹角为60∴ 22114e e ==，22229e e ==，1212cos 23cos603e e e e θ⋅==⨯⨯= ∴ 43(1)90m m +--= ∴ 6m =故存在实数6m =，使得m 1e 2e +与1e -2e 垂直．18．解：显然→a =3（1，0）—2（0，1）=（3，—2），→b =4（1，0）+（0，1）=（4，1）；易得：①→→⋅b a =3×4+（—2）×1=10；→→+b a =（3，—2）+（4，1）=（7，—1），→→+b a =22)1(7-+=25。

平面向量专题复习一．向量有关概念：1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。

向量常用有向线段来表示，注意 不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移） 。

如：2．零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作：0 ，注意零向量的方向是任意的；uuuruuur3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量( 与 AB 共线的单位向量是 AB ) ；uuur| AB |4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5．平行向量（也叫共线向量） ：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作： a ∥ b ，规定零向量和任何向量平行。

提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线 , 但两条直线平行不包含两条直线重合； r③平行向量无传递性！ （因为有 0 ) ；uuur uuur④三点 A 、 B 、 C 共线 AB 、AC 共线；6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。

a 的相反向量是－ a 。

如rr r r（ 3）若例 1：（ 1）若 ab ，则 a b 。

（ 2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。

uuur uuuruuur uuur r r r r AB r DC ，则 ABCD 是平行四边形。

（4）若 ABCD 是平行四边形，则 AB DC 。

（ 5）若 a b,b c ，则r r r r r r ra c 。

（ 6）若 a // b,b //c ，则 a // c 。

其中正确的是 _______二、向量的表示1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如 AB ，注意起点在前，终点在后； 2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量i ， j 为基底，r r rx, y ，称 x, y 为向量 a 的坐标， a ＝ x, y 叫做向量 a 的则平面内的任一向量 a 可表示为 a xi y j坐标表示。

向量知识点知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算 1、向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0与任意向量平行③单位向量：模为1个单位长度的向量 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量2、向量加法：设,AB a BC b ==，则a+b =AB BC +=AC（1）a a a=+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律；AB BC CD PQ QR AR +++++=，但这时必须“首尾相连”． 3、向量的减法： ① 相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a与b 的差。

③作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a、b 有共同起点）4、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a⋅=λλ； （Ⅱ）当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时，λa 的方向与a的方向相反；当0=λ时，0 =a λ，方向是任意的5、两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =a λ6、平面向量基本定理：如果21,e e是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=，其中不共线的向量21,e e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底二.平面向量的坐标表示 ,分别为与x 轴，y 轴正方向相同的单位向量 1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量a 可表示成a xi yj =+，记作a =(x,y)。

2平面向量的坐标运算：（1）若()()1122,,,a x y b x y ==，则()1212,a b x x y y ±=±± （2）若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =--（3）若a =(x,y)，则λa =(λx, λy) （4）若()()1122,,,a x y b x y ==，则1221//0a b x y x y ⇔-= （4）若()()1122,,,a x y b x y ==，则1212a b x x y y ⋅=⋅+⋅ ，若a b ⊥，则02121=⋅+⋅y y x x 三．平面向量的数量积1两个向量的数量积：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ叫做a 与b 的数量积（或内积） 规定00a ⋅=2向量的投影：︱b ︱cos θ=||a ba ⋅∈R ，称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影3数量积的几何意义： a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积 4向量的模与平方的关系：22||a a a a ⋅==5乘法公式成立：()()2222a b a b a b a b +⋅-=-=-； ()2222a ba ab b ±=±⋅+222a a b b =±⋅+6平面向量数量积的运算律：①交换律成立：a b b a ⋅=⋅②对实数的结合律成立：()()()()a b a b a b R λλλλ⋅=⋅=⋅∈ ③分配律成立：()a b c a c b c ±⋅=⋅±⋅()c a b =⋅±特别注意：（1）结合律不成立：()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅；（2）消去律不成立a b a c ⋅=⋅不能得到b c =⋅（3）a b ⋅=0不能得到a =0或b =07两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y ==，则a ·b =121x x y y +8向量的夹角：已知两个非零向量a 与b ，作OA =a , OB =b ,则∠AOB=θ （001800≤≤θ）叫做向量a 与b 的夹角cos θ=cos ,a b a b a b∙<>=∙=当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时，θ=00，当且仅当a 与b 反方向时θ=1800，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果a 与b 的夹角为900则称a 与b 垂直，记作a ⊥b10两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b ⇔a·b ＝O ⇔2121=+y y xx 平面向量数量积的性质11、向量的三角不等关系+≤±≤ 注意取等条件（共线）例题。

1. 已知向量),2(x a =→，)2,1(-=→b ，且→→⊥b a ，则x 的值是（ A ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ． 41 Ｄ．21 2．设3(,sin )2a α=，1(cos ,)3b α=，且//a b ，则锐角α为（ D ） A ．030 B ．060 C ．075 D ．0453. 若向量(1,)a x =和(23,)b x x =+-互相平行，其中x R ∈，则a b -=( C )A. 2-或0B. 25C. 2或25D. 2或104.已知向量12(,)a =，23(,)b =-．若向量c 满足()c a b +∥，()c a b ⊥+，则c =（A ）77(,)93 （B ）77(,)39-- （C ）77(,)39 （D ）77(,)93--5．若)7,4(),3,2(-==b a ，则a 在b 方向上的正射影的数量为（ B ）A ．13B ．565C ．513D ．656．设),3,4(),,3(=-=b m a 若a 与b 的夹角是钝角，则实数m 的取值范围是（ B ）A ．494-≠≠m m 且 B ．494-≠<m m 且 C ．4>m D ．4<m 12．设πθ20<≤，已知两个向量()θθsin ,cos 1=OP ，()θθcos 2,sin 22-+=OP，则向量21P P 长度的最大值是（ C ）A ．2B ．3C ．23D ．3211．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的(,),(,)a m n b p q ==. 令a ⊙.b mq np =-下面说法错误的是（ B ）A ．若a 与b 共线，则a ⊙0b =B ．a ⊙b b =⊙aC ．对任意的,()R a λλ∈有⊙(b a λ=⊙)bD ．(a ⊙222)()||||b a b a b 2+⋅=12．已知||2sin15,||4cos15a b ︒︒==， ,30a b ︒<>=，则b a ⋅的值为（ A ）A ．B ．C ．3D ．113．已知b a 、是两个非零向量，且||||||b a b a -==，则b a a +与的夹角为（ A ）A ．︒30B ．︒60C ．︒90D ．︒15014.定义： |a ×b |=|a |·|b |·sin θ，其中θ为向量a 与b 的夹角，若|a |=2, |b | =3, a ·b = - 4,则|a ×b |=2根号515．若||1,||2,a b c a b ===+，且c a ⊥，则向量a 与b 的夹角为 120 度 ．三、坐标几何综合（向量的平方等于模的平方）16．平面向量a 与b 的夹角为060，20(,)a =，1b = 则2a b +=（A (B)四、线性运算（中线，重心，外心，内心，垂心）17. 设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=，则（A ）（A ）0PC PA += （B ）0PA PB += （C ）0PB PC += （D ）0PA PB PC ++= 118.在ABC ∆中，1,4AD AB E =为BC 边的中点，设=AB a ,=AC b , 则=DE ( B ) A ．b 21+a 41 B ．b 21+a 43 C ．b 21-a 41 D ．b 21-a 43 192 .若等边ABC ∆的边长为32,平面内一点M 满足→→→+=CA CB CM 3261,则=•→→MB MA （ 18 ）A.－１B.－２C.１D. ２ 20. 已知非零向量.21||||0||||(==+AC AC AB AB BC AC AC AB AB AC AB 满足与 则△ABC 为（ A ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．三边均不相等的三角形21. O 是平面上一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++,[)0,λ∈+∞,则P 的轨迹一定通过ABC 的（ C ）（A ）外心 （B ）内心（C ）重心 （D ）垂心22．若点P 是ABC ∆的外心，且0PA PB PC λ++=，120C ∠=︒，则实数λ的值为（ B ）A ．1B ．1-C ． 12D ．12- 23．已知点O 、N 、P 在ABC ∆所在平面内，且||||||,0OA OB OC NA NB NC ==++= PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则点O 、N 、P 依次是ABC ∆的（ C ）A ．重心、外心、垂心B ．重心、外心、内心C ．外心、重心、垂心D ．外心、重心、，内心（注：三角形的三条高线交于一点，此点称为三角形的垂心）24．在△ABC 中，M 是BC 的中点，1=AM ，点P 在AM 上,且满足PM PA 2-=，则()PA PB PC ⋅+=（ D ）A. 49B. 43-C. 43D. 49-五、三点共线25.直角坐标系xoy 中，A （3，1），B 13(,)-，若点C 满足OC OA OB αβ=+,其中,R αβ∈且1αβ+=，则点C 的轨迹方程为 直线 ；26. 给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120o .如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动.若,OC xOA yOB =+其中,x y R ∈,则x y +的最大值是 2 。

向量一、平面向量的加法和乘积1、向量加法的交换律：a b b a +=+2、向量加法的结合律:()()a b c a b c ++=++3、向量乘积的结合律：()()a a λμλμ=4、向量乘积的第一分配律：()a a a λμλμ+=+5、向量乘积的第二分配律：()a b a b λλλ+=+二、平面向量的基本定理如果1e 、2e 是同一平面内的两个不是共线的向量，那么对于这一平面内的任一a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使得1122a e e λλ=+。

（1）我们把不是共线的1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;（2）基底不是唯一的，关键是不是共线；（3）由定理可以将平面内任一a 在给出基底1e 、2e 的条件下进行分解；（4）基底给定时，分解形式是唯一的，1λ、2λ是被a 、1e 、2e 唯一确定的数量。

三、平面向量的直角坐标运算1、已知11(,)a x y =,22(,)b x y =，则1212(,)a b x x y y +=++，1212(,)a b x x y y -=--，1212(,)a b x x y y ⋅=.2、已知11(,)A x y ,22(,)B x y ，则22112121(,)(,)(,)AB OB OA x y x y x x y y =-=-=--。

3、已知11(,)a x y =和实数λ，则1111(,)(,)a x y x y λλλλ==。

四、两平面向量平行和垂直的充要条件1、平行（共线）:基本定理：a 、b 互相平行的充要条件是存在一个实数λ，使得a b λ=。

定理：已知11(,)a x y =，22(,)b x y =，则a ∥b 的充要条件是01221=-y x y x .2、垂直：基本定理：a 、b 互相垂直的充要条件是0a b ⋅=。

定理：已知11(,)a x y =,22(,)b x y =，则a ⊥b 的充要条件是02121=+y y x x 。

高一向量知识点例题向量是数学中一个重要的概念，广泛应用于几何、物理等领域。

在高一数学学习中，向量作为一个重要的知识点，需要我们掌握其相关的概念、性质和运算法则。

下面将通过例题的形式，来进一步了解高一向量知识点。

例题1：设向量a=3i-2j，向量b=5i+4j，求向量a和向量b的和向量c。

解析：向量的加法运算是指将两个向量对应的分量相加，得到一个新的向量。

对于向量a=3i-2j，向量b=5i+4j，它们的和向量c的i、j分量分别为：c的i分量：3+5=8c的j分量：-2+4=2因此，向量a和向量b的和向量c为8i+2j。

例题2：已知向量a和向量b的模分别为|a|=3，|b|=4，且向量a与向量b的夹角为60°，求向量a与向量b的数量积。

解析：向量的数量积是指将两个向量对应分量相乘后相加所得到的一个数值。

根据向量的数量积公式和已知条件，我们可以得到：|a·b|=|a|·|b|·cosθ其中，θ为向量a与向量b夹角的余弦值。

由题意可知，θ=60°，并且|a|=3，|b|=4，代入公式中，我们可以得到：|a·b|=3·4·cos60°=3·4·(1/2)=6因此，向量a与向量b的数量积为6。

例题3：已知有向线段AB的坐标分别为A（1，2）和B（3，4），求线段AB的向量表示。

解析：线段AB的坐标表示为A（1，2）和B（3，4），我们可以根据坐标的差值来表示线段的向量。

线段的向量表示为终点减去起点，即向量AB=B-A。

根据已知条件，我们可以得到：向量AB=(3-1)i+(4-2)j=2i+2j因此，线段AB的向量表示为2i+2j。

通过以上例题的介绍，我们对高一向量的知识点有了更深一步的了解。

向量的加法、数量积以及向量的表示是高一向量知识点的重点内容。

希望同学们能够通过不断的练习和思考，掌握好这些知识点，为接下来的学习打下坚实的基础。

1．向量的有关概念 名称 定义备注向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量 长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a 的单位向量为±a|a |平行向量 方向相同或相反的非零向量共线向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量0与任一向量平行或共线 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量 长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．减法 求两个向量差的运算三角形法则a －b ＝a ＋(－b )数乘求实数λ与向量a 的积的运算(1)|λa |＝|λ||a |；(2)当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa＝0(1)λ(μa )＝(λμ)a ；(2)(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； (3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb3.共线向量定理对空间任意两个向量a ，b (a ≠0)，a 与b 共线的充要条件是存在实数λ，使得b ＝λa . 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( × ) (2)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关．( √ ) (3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( × )(4)向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( × ) (5)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( √ ) (6)△ABC 中，D 是BC 中点，则AD →＝12(AC →＋AB →)．( √ )1．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量AB →与BA →相等 .则所有正确命题的序号是________． 答案 ①解析 根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB →与BA →互为相反向量，故③错误．2．如图所示，向量a －b ＝________(用e 1，e 2表示)．答案 e 1－3e 2解析 由题图可得a －b ＝BA →＝e 1－3e 2.3．(2015·课标全国Ⅰ改编)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则AD →＝______________(用AB →，AC →表示)． 答案 －13AB →＋43AC →解析 ∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)， 即4AC →－AB →＝3AD →，∴AD →＝－13AB →＋43AC →.4．(教材改编)已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________(用a ，b 表示)． 答案 b －a －a －b解析 如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .5．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________. 答案 －13解析 由已知得a ＋λb ＝－k (b －3a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－k ，3k ＝1.解得⎩⎨⎧λ＝－13，k ＝13.题型一 平面向量的概念例1 下列命题中，正确的是________．(填序号) ①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③向量AB →与向量CD →共线，则A 、B 、C 、D 四点共线； ④两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．答案 ④解析 ①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量； ②不正确，若a 与b 中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；④正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小． 思维升华 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈．(4)非零向量a 与a |a |的关系：a|a |是与a 同方向的单位向量．设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是________． 答案 3解析 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.题型二 平面向量的线性运算命题点1 向量的线性运算例2 (1)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝________. (2)在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝______________(用b ，c 表示)．答案 (1)AD →(2)23b ＋13c解析 (1)EB →＋FC →＝12(AB →＋CB →)＋12(AC →＋BC →)＝12(AB →＋AC →)＝AD →. (2)∵BD →＝2DC →，∴AD →－AB →＝BD →＝2DC →＝2(AC →－AD →)， ∴3AD →＝2AC →＋AB →，∴AD →＝23AC →＋13AB →＝23b ＋13c .命题点2 根据向量线性运算求参数例3 (1)在△ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝____________.(2)在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是______________． 答案 (1)23(2)⎝⎛⎭⎫－13，0 解析 (1)∵AD →＝2DB →，即CD →－CA →＝2(CB →－CD →)， ∴CD →＝13CA →＋23CB →，∴λ＝23.(2)设CO →＝yBC →， ∵AO →＝AC →＋CO →＝AC →＋yBC →＝AC →＋y (AC →－AB →) ＝－yAB →＋(1＋y )AC →.∵BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)， ∴y ∈⎝⎛⎭⎫0，13， ∵AO →＝xAB →＋(1－x )AC →， ∴x ＝－y ，∴x ∈⎝⎛⎭⎫－13，0. 思维升华 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．(2)求已知向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值．如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E ，F 两点，且交对角线AC 于K ，其中，AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，AK →＝λAC →，则λ的值为________． 答案 29解析 ∵AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，∴AB →＝52AE →，AD →＝2AF →.由向量加法的平行四边形法则可知， AC →＝AB →＋AD →， ∴AK →＝λAC →＝λ(AB →＋AD →) ＝λ⎝⎛⎭⎫52AE →＋2AF → ＝52λAE →＋2λAF →， 由E ，F ，K 三点共线，可得λ＝29.题型三 共线定理的应用例4 设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．(1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b ) ＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴AB →、BD →共线，又∵它们有公共点B ， ∴A 、B 、D 三点共线． (2)解 ∵k a ＋b 和a ＋k b 共线， ∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即k a ＋b ＝λa ＋λk b .∴(k －λ)a ＝(λk －1)b . ∵a 、b 是两个不共线的非零向量，∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0.∴k ＝±1.思维升华 (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系．当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a 、b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立，若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a 、b 不共线．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB→＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________． 答案 12解析 DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →) ＝－16AB →＋23AC →，∵DE →＝λ1AB →＋λ2AC →，∴λ1＝－16，λ2＝23，故λ1＋λ2＝12.10．方程思想在平面向量线性运算中的应用典例 (14分)如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b .试用a 和b 表示向量OM →.思维点拨 (1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去求解．(2)既然OM →能用a 、b 表示，那我们不妨设出OM →＝m a ＋n b . (3)利用向量共线建立方程，用方程的思想求解． 规范解答解 设OM →＝m a ＋n b ，则AM →＝OM →－OA →＝m a ＋n b －a ＝(m －1)a ＋n b .AD →＝OD →－OA →＝12OB →－OA →＝－a ＋12b .[3分]又∵A 、M 、D 三点共线，∴AM →与AD →共线． ∴存在实数t ，使得AM →＝tAD →， 即(m －1)a ＋n b ＝t ⎝⎛⎭⎫－a ＋12b .[5分] ∴(m －1)a ＋n b ＝－t a ＋12t b .∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝－t ，n ＝t 2，消去t 得，m －1＝－2n ， 即m ＋2n ＝1.① [8分]又∵CM →＝OM →－OC →＝m a ＋n b －14a ＝⎝⎛⎭⎫m －14a ＋n b ， CB →＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b .又∵C 、M 、B 三点共线，∴CM →与CB →共线．[11分] ∴存在实数t 1，使得CM →＝t 1CB →， ∴⎝⎛⎭⎫m －14a ＋n b ＝t 1⎝⎛⎭⎫－14a ＋b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m －14＝－14t 1，n ＝t 1. 消去t 1得，4m ＋n ＝1. ②由①②得m ＝17，n ＝37，∴OM →＝17a ＋37b .[14分]温馨提醒 (1)本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度．(2)易错点是找不到问题的切入口，想不到利用待定系数法求解．(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．如本题易忽视A 、M 、D 三点共线和B 、M 、C 三点共线这个几何特征．(4)方程思想是解决本题的关键，要注意体会．[方法与技巧]1．向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”． 2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．3．对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点O ，OA →，OB →不共线，满足OP →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则P ，A ，B 共线⇔x ＋y ＝1. [失误与防范]1．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1．给出下列四个命题，其中所有正确命题的序号是___________________．①a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线；②任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四顶点；③向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量；④有相同起点的两个非零向量不平行． 答案 ③解析 由于零向量与任一向量都共线，所以命题①中的b 可能为零向量，从而不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，更不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以命题②不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以命题④不正确；对于命题③，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题入手考虑，假若a 与b 不都是非零向量，即a 与b 至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有a 与b 共线，其逆否命题正确，故命题③正确．综上所述，正确命题的序号是③.2．在△ABC 中，CA →＝a ，CB →＝b ，M 是CB 的中点，N 是AB 的中点，且CN 、AM 交于点P ，则AP →可用a 、b 表示为______________． 答案 －23a ＋13b解析 如图所示，AP →＝AC →＋CP →＝－CA →＋23CN →＝－CA →＋23×12(CA →＋CB →)＝－CA →＋13CA →＋13CB →＝－23CA →＋13CB →＝－23a ＋13b . 3.如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝3DC ，E 为BC 的中点，则AE →＝________(用AB →，AD →表示)． 答案 23AB →＋12AD →解析 BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－23AB →＋AD →，AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12⎝⎛⎭⎫AD →－23AB → ＝23AB →＋12AD →. 4．已知平面内一点P 及△ABC ，若P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则有关点P 与△ABC 的位置关系判断正确的是________(填序号)．①点P 在线段AB 上； ②点P 在线段BC 上； ③点P 在线段AC 上； ④点P 在△ABC 外部． 答案 ③解析 由P A →＋PB →＋PC →＝AB →得P A →＋PC →＝AB →－PB →＝AP →，即PC →＝AP →－P A →＝2AP →，所以点P 在线段AC 上．5．已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA →＋OB →＋OC →＝0，则△ABC 的内角A 等于________． 答案 60°解析 由OA →＋OB →＋OC →＝0，知点O 为△ABC 的重心，又∵O 为△ABC 外接圆的圆心，∴△ABC 为等边三角形，A ＝60°.6．已知O 为四边形ABCD 所在平面内一点，且向量OA →，OB →，OC →，OD →满足等式OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 的形状为________． 答案 平行四边形解析 由OA →＋OC →＝OB →＋OD →得OA →－OB →＝OD →－OC →，所以BA →＝CD →.所以四边形ABCD 为平行四边形．7．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC →2＝16，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →|＝________.答案 2解析 由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|可知，AB →⊥AC →，则AM 为Rt △ABC 斜边BC 上的中线，因此，|AM →|＝12|BC →|＝2. 8．(2015·北京)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________.答案 12 －16解析 如图，MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB → ＝13AC →＋12(AB →－AC →) ＝12AB →－16AC →，∴x ＝12，y ＝－16. 9.如图，在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AD →，AG →.解 AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b . AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE →＝AB →＋13(BA →＋BC →) ＝23AB →＋13(AC →－AB →)＝13AB →＋13AC →＝13a ＋13b . 10．设两个非零向量e 1和e 2不共线．(1)如果AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2，求证：A 、C 、D 三点共线；(2)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2，CD →＝2e 1－k e 2，且A 、C 、D 三点共线，求k 的值．(1)证明 ∵AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2，∴AC →＝AB →＋BC →＝4e 1＋e 2＝－12(－8e 1－2e 2)＝－12CD →，∴AC →与CD →共线． 又∵AC →与CD →有公共点C ，∴A 、C 、D 三点共线．(2)解 AC →＝AB →＋BC →＝(e 1＋e 2)＋(2e 1－3e 2)＝3e 1－2e 2，∵A 、C 、D 三点共线，∴AC →与CD →共线，从而存在实数λ使得AC →＝λCD →，即3e 1－2e 2＝λ(2e 1－k e 2)，得⎩⎪⎨⎪⎧3＝2λ，－2＝－λk ，解得λ＝32，k ＝43. B 组 专项能力提升(时间：15分钟)11．设a ，b 不共线，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值是________．答案 －1解析 ∵BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，∴BD →＝BC →＋CD →＝2a －b .又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →，BD →共线．设AB →＝λBD →，∴2a ＋p b ＝λ(2a －b )，∴2＝2λ，p ＝－λ，∴λ＝1，p ＝－1.12．如图，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝____________(用a ，b 表示)．答案 12a ＋b 解析 连结CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，得CD ∥AB 且CD →＝12AB →＝12a ，所以AD →＝AC →＋CD →＝b ＋12a . 13．设G 为△ABC 的重心，且sin A ·GA →＋sin B ·GB →＋sin C ·GC →＝0，则B 的大小为________．答案 60°解析 ∵G 是△ABC 的重心，∴GA →＋GB →＋GC →＝0，GA →＝－(GB →＋GC →)，将其代入sin A ·GA →＋sin B ·GB →＋sin C ·GC →＝0，得(sin B －sin A )GB →＋(sin C －sin A )GC →＝0.又GB →，GC →不共线，∴sin B －sin A ＝0，sin C －sin A ＝0，则sin B ＝sin A ＝sin C ．根据正弦定理知b ＝a ＝c ， ∴△ABC 是等边三角形，则角B ＝60°.14．在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝____________.(用a ，b 表示)答案 －14a ＋14b 解析 由AN →＝3NC →得AN →＝34AC →＝34(a ＋b )， AM →＝a ＋12b ，所以MN →＝AN →－AM → ＝34(a ＋b )－⎝⎛⎭⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b . 15．如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m ，n ∈R ，则1n ＋1m的值为________． 答案 3解析 设OA →＝a ，OB →＝b ，由题意知OG →＝23×12(OA →＋OB →)＝13(a ＋b )，PQ →＝OQ →－OP →＝n b －m a ，PG →＝OG →－OP →＝⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13b ，由P ，G ，Q 三点共线得，存在实数λ，使得PQ →＝λPG →，即n b －m a ＝λ⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13λb ， 从而⎩⎨⎧ －m ＝λ⎝⎛⎭⎫13－m ，n ＝13λ，消去λ得1n ＋1m ＝3.。

（一）、知识梳理：1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.2.向量的表示方法： i (1,0)=，j (0,1)=，0(0,0)= 。

22a x y =+ ；若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=，222121()()AB x x y y =-+-3.零向量、单位向量：①长度为0的向量叫零向量，记为0； ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.（注：||a a 就是单位向量）4.平行向量：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.向量a 、b 、c 平行，记作a ∥b ∥c.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.5.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.6.向量的加法、减法：①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。

向量加法的三角形法则和平行四边形法则。

②向量的减法向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差。

即：a -b = a+ (-b )；差向量的意义： OA = a , OB =b , 则BA =a - b③平面向量的坐标运算：若11(,)a x y =，22(,)b x y = ，则a b + ),(2121y y x x ++=，a b - ),(2121y y x x --=，(,)a x y λλλ=。

④向量加法的交换律：a +b =b +a ；向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c )7．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa（1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa=0；（3）运算定律 λ(μa )=(λμ)a ，(λ+μ)a =λa +μa ，λ(a +b )=λa+λb8． 向量共线定理 向量b 与非零向量a共线（也是平行）的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa。