圆锥曲线中的热点问题(总结的非常好).-共16页

圆锥曲线定值问题及解题技巧全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：圆锥曲线是解析几何学中的重要内容，涉及到了圆锥曲线的定值问题和解题技巧。

在学习和解题过程中，掌握了圆锥曲线的特点和性质，能够更好地理解问题并进行解决。

圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线三种类型，它们都具有一些共同的性质：椭圆的离心率小于1，双曲线的离心率大于1，而抛物线的离心率等于1。

根据这些性质，我们可以对圆锥曲线进行定值问题的分析与解题。

解决圆锥曲线的定值问题，一般需要掌握以下几点技巧：1. 了解圆锥曲线的标准方程椭圆的标准方程为：\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1抛物线的标准方程为：y^2 = 2px通过掌握这些标准方程，可以更好地理解圆锥曲线的形状和特性，从而解决相关的定值问题。

2. 利用几何性质解题圆锥曲线的性质包括焦点、准线、离心率等，可以通过这些性质来解决定值问题。

我们可以利用椭圆的焦点性质，求解一些与焦点距离有关的问题；或者通过双曲线的准线性质，解决与准线位置有关的问题。

3. 运用变换解题在解决圆锥曲线的定值问题时，有时也可以通过适当的变换来简化问题。

可以通过平移或旋转坐标系，将原先复杂的问题简化成更容易处理的形式，从而更快地找到解答。

4. 注意特殊情况在解题过程中，需要特别注意圆锥曲线的特殊情况。

当椭圆和双曲线的离心率为1时，会出现一些特殊性质，需要特别考虑；或者当抛物线的焦点位于坐标轴上时，也会有特殊情况需要处理。

在解决圆锥曲线的定值问题时，需要灵活运用以上技巧，结合几何性质和数学方法，深入分析问题并找到正确的解答。

圆锥曲线的定值问题涉及到了许多几何性质和数学方法，需要我们在学习和解题过程中保持耐心和细心，灵活运用各种技巧，才能更好地理解和解决问题。

希望通过这些技巧的学习和运用，读者能够更好地掌握圆锥曲线的相关知识，提高解题能力并取得好成绩。

【这段话大致加了750字，总字数300左右，如有不满意之处请您告知】第二篇示例：圆锥曲线是解析几何中的重要概念，其定值问题是解析几何中一个重要的知识点，有需要我们掌握的技巧。

高考数学复习：圆锥曲线的定点、定值、定直线【热点聚焦】纵观近几年的高考试题，圆锥曲线的定点、定值、定直线问题是热点之一.从命题的类型看，主要是大题.一般说来，考查直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系问题，综合性较强，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长、面积、参数、几何量为定值，或定点在某直线上、定直线过某点等.难度往往大些.【重点知识回眸】（一）定值问题1.定义：定值问题是指虽然圆锥曲线中的某些要素（通常可通过变量进行体现）有所变化，但在变化过程中，某个量的值保持不变即为定值.2.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值；(2)求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．3.常见定值问题的处理方法：（1）确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示（2）将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能否得到一个常数.4.定值问题的处理技巧：（1）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向.（2）在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢（3）巧妙利用变量间关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算（二）定点问题1.求解圆锥曲线中的定点问题的两种思路：(1)特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关.(2)直接推理法：①选择一个参数建立直线系方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常量当成变量，将变量x，y当成常量，将原方程转化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(k是原方程中的常量)；②根据直线过定点时与参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立)，得到方程组()0g()0f x y x y =⎧⎨=⎩，，；③以②中方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，则可以特殊解决.2.求解圆锥曲线中的定点问题的方法（1）确定题目中的核心变量（此处设为k ）（2）利用条件找到k 与过定点的曲线(),0F x y =的联系，得到有关k 与,x y 的等式（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点()00,x y ，使得无论k 的值如何变化，等式恒成立.此时要将关于k 与,x y 的等式进行变形，直至易于找到00,x y .常见的变形方向如下：①若等式的形式为整式，则考虑将含k 的项归在一组，变形为“()k ⋅”的形式，从而00,x y 只需要先让括号内的部分为零即可②若等式为含k 的分式，00,x y 的取值一方面可以考虑使其分子为0，从而分式与分母的取值无关；或者考虑让分子分母消去k 的式子变成常数（这两方面本质上可以通过分离常数进行相互转化，但通常选择容易观察到的形式）3.一些技巧与注意事项：（1）面对复杂问题时，可从特殊情况入手，以确定可能的定点（或定直线）.然后再验证该点（或该直线）对一般情况是否符合.属于“先猜再证”.（2）有些题目所求与定值无关，但是在条件中会隐藏定点，且该定点通常是解题的关键条件.所以当遇到含参数的方程时，要清楚该方程为一类曲线（或直线），从而观察这一类曲线是否过定点.尤其在含参数的直线方程中，要能够找到定点，抓住关键条件.例如：直线:1l y kx k =+-，就应该能够意识到()11y k x =+-，进而直线绕定点()1,1--旋转.（三）定直线问题探求圆锥曲线中的定直线问题的两种方法：方法一是参数法，即先利用题设条件探求出动点T 的坐标(包含参数)，再消去参数，即得动点T 在定直线上；方法二是相关点法，即先设出动点T 的坐标为(x，y)，根据题设条件得到已知曲线上的动点R 的坐标，再将动点R 的坐标代入已知的曲线方程，即得动点T 在定直线上．【典型考题解析】热点一定值问题【典例1】已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ．（Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O 为原点，QM QO λ= ，QN QO μ= ，求证：11λμ+为定值．【典例2】如图，已知抛物线2:4C x y =，过点(0,2)M 任作一直线与C 相交于,A B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D （O 为坐标原点）.(1)证明：动点D 在定直线上；(2)作C 的任意一条切线l （不含x 轴）与直线2y =相交于点1N ，与（1）中的定直线相交于点2N ，证明：2221||MN MN -为定值，并求此定值.【典例3】已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 且斜率为43的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，B 在x 轴的上方，且点B 的横坐标为4.（1）求抛物线C 的标准方程；（2）设点P 为抛物线C 上异于A ，B 的点，直线PA 与PB 分别交抛物线C 的准线于E ，G 两点，x 轴与准线的交点为H ，求证：HG HE ⋅为定值，并求出定值.【典例4】已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()30,2,,12A B ⎛--⎫ ⎪⎝⎭两点．(1)求E 的方程；(2)设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH = ．证明：直线HN 过定点．【典例5】已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅= ，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.【典例6】已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）．（Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．【总结提升】动直线l 过定点问题的常见思路设动直线方程(斜率存在)为y ＝kx ＋t ，由题设条件将t 用k 表示为t ＝mk ，得y ＝k(x ＋m)，故动直线过定点(－m,0)．【典例7】设椭圆的焦点在x 轴上（Ⅰ）若椭圆的焦距为1，求椭圆的方程；（Ⅱ）设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上第一象限内的点，直线交轴与点，并且，证明：当变化时，点在某定直线上.【典例8】已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是()11,0F -，()21,0F ，点()0,A b ，若12AF F △的内切圆的半径与外接圆的半径的比是1:2．(1)求椭圆C 的方程；(2)过C 的左焦点1F 作弦DE ，MN ，这两条弦的中点分别为P ，Q ，若0DE MN ⋅= ，证明：直线PQ 过定点．【典例9】设12,F F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左､右两个焦点，O 为坐标原点，若点P 在双曲线C 的右支上，且1122,OP OF PF F == 的面积为3.(1)求双曲线C 的渐近线方程；(2)若双曲线C 的两顶点分别为()()12,0,,0A a A a -，过点2F 的直线l 与双曲线C 交于M ，N 两点，试探究直线1A M 与直线2A N 的交点Q 是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由.1．已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点.2．在平面直角坐标系中，动点(),M x y 与定点()5,0F 的距离和M 到定直线16:5l x =的距离的比是常数54，设动点M 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)设()2,0P ，垂直于x 轴的直线与曲线C 相交于,A B 两点，直线AP 和曲线C 交于另一点D ，求证：直线BD 过定点.3．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为32，右焦点F.(1)求双曲线C 的方程；(2)若12,A A 分别是C 的左､右顶点，过F 的直线与C 交于,M N 两点（不同于12,A A ）.记直线12,A M A N 的斜率分别为12,k k ，请问12k k 是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由.4．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左焦点为()11,0F -，上、下顶点分别为A ，B ，190AF B ∠=︒．(1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆上有三点P ，Q ，M 满足OM OP OQ =+uuu r uu u r uuu r ，证明：四边形OPMQ 的面积为定值．5．已知动圆M 过定点()2,0A ，且在y 轴上截得的弦长为4，圆心M 的轨迹为曲线L ．(1)求L 的方程；(2)已知点()3,2B --，()2,1C ，P 是L 上的一个动点，设直线PB ，PC 与L 的另一交点分别为E ，F ，求证：当P 点在L 上运动时，直线EF 恒过一个定点，并求出这个定点的坐标．6．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，一个焦点1F 与抛物线2y =-的焦点重合．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线:l y kx m =+交C 于,A B 两点，直线1F A 与1F B 关于x 轴对称，证明：直线l 恒过一定点．7．在直角坐标系xOy 中，已知定点(0,1)F ，定直线:3l y =-，动点M 到直线l 的距离比动点M 到点F 的距离大2．记动点M 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程，并说明C 是什么曲线？(2)设0(2,)P y 在C 上，不过点P 的动直线1l 与C 交于A ，B 两点，若90APB ∠=︒，证明：直线1l 恒过定点．8．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设F 为椭圆C 的左焦点，M 为直线3x =-上任意一点，过F 作MF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q ．证明：OM 经过线段PQ 的中点N ．（其中O 为坐标原点）9．已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，短轴长为2.(1)求E 的方程；(2)过点()4,0M -且斜率不为0的直线l 与E 自左向右依次交于点B ，C ，点N 在线段BC 上，且MB NBMC NC =，P 为线段BC 的中点，记直线OP ，ON 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k 为定值.10．已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的右焦点为F ，过点F 作一条直线交C 于R ，S 两点，线段RS，C的离心率为2．(1)求C 的标准方程；(2)斜率不为0的直线l 与C 相交于A ，B 两点，(2,0)P ，且总存在实数R λ∈，使得PA PB PF PA PB λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭ ，问：l 是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标11．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，圆O ：222x y a +=，过F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 和圆O.(1)求C 的方程；(2)过圆O 上一点P （不在坐标轴上）作C 的两条切线1l ，2l ，记1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，直线OP 的斜率为3k ，证明：()123k k k +为定值.12.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点()2,1A ．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．。

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专题17 圆锥曲线中的热点问题【命题热点突破一】轨迹方程、存在探索性问题例1、【2016高考山东理数】（本小题满分14分)平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :()222210x y a b a b+=＞＞ 的离心率是3,抛物线E ：22x y =的焦点F 是C 的一个顶点.（I)求椭圆C 的方程；（II ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限,E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ,线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M 。

（i ）求证：点M 在定直线上;（ii)直线l 与y 轴交于点G ,记PFG △的面积为1S ,PDM △的面积为2S ，求12S S的最大值及取得最大值时点P 的坐标.【答案】（Ⅰ）1422=+y x ;（Ⅱ）（i ）见解析；（ii ）12S S 的最大值为49，此时点P 的坐标为)41,22( 【解析】（Ⅰ）由题意知2322=-a b a ,可得：b a 2=。

因为抛物线E 的焦点为)21,0(F ，所以21,1==b a ，所以椭圆C 的方程为1422=+y x 。

(Ⅱ）（Ⅰ）设)0)(2,(2>m m m P ，由y x 22=可得y'x =,所以直线l 的斜率为m ，因此直线l 的方程为)(22m x m m y -=-，即22m mx y -=。

圆锥曲线大题题型归纳梳理圆锥曲线中的求轨迹方程问题解题技巧求动点的轨迹方程这类问题可难可易是高考中的高频题型，求轨迹方程的主要方法有直译法、相关点法、定义法、参数法等。

【例1.】已知平面上两定点),,(),,(2020N M -点P 满足MN MP =•求点P 的轨迹方程。

【例2.】已知点P 在椭圆1422=+y x 上运动，过P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，点M 满足,PQ PM 31=求动点M 的轨迹方程。

【例3.】已知圆),,(,)(:0236222B y x A =++点P 是圆A 上的动点，线段PB 的中垂线交PA 于点Q ，求动点Q 的轨迹方程。

【例4.】过点),(10的直线l 与椭圆1422=+y x 相交于B A ,两点，求AB 中点M 的轨迹方程。

巩固提升1. 在平面直角坐标系xOy 中，点()(),,,,4010B A 若直线02++-m y x 上存在点P ,使得,PB PA 21=则实数m 的取值范围为_________________.2. 已知()Q P ,,24-为圆422=+y x O :上任意一点，线段PQ 的中点为,M 则OM 的取值范围为________________.3. 抛物线x y C 42:的焦点为,F 点A 在抛物线上运动，点P 满足,FA AP 2-=则动点P 的轨迹方程为_____________________.4. 已知定圆,)(:100422=++y x M 定点),,(40F 动圆P 过定点F 且与定圆M 内切，则动圆圆心P 的轨迹方程为____________________.5. 已知定直线,:2-=x l 定圆,)(:4422=+-y x A 动圆H 与直线l 相切，与定圆A 外切，则动圆圆心H 的轨迹方程为____________________6. 直线033=+-+t y tx l :与抛物线x y 42=的斜率为1的平行弦的中点轨迹有公共点，则实数t 的取值范围为_________________.7. 抛物线y x 42=的焦点为,F 过点),(10-M 作直线l 交抛物线于B A ,两点，以BF AF ,为邻边作平行四边形,FARB 求顶点R 的轨迹方程。

3讲圆锥曲线中的热点问题第本部分主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题之一，一般以椭【高考考情解读】 1..2.定值、最值、范围问题或探索性问题，试题难度较大圆或抛物线为背景，考查弦长、定点、求轨迹方程也是高考的热点与重点，若在客观题中出现通常用定义法，若在解答题中出现一般用直接法、代入法、参数法或待定系数法，往往出现在解答题的第(1)问中．1．直线与圆锥曲线的位置关系直线与椭圆的位置关系的判定方法：(1)，则直>0将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ，则直线与椭圆相离．Δ<0线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若直线与双曲线的位置关系的判定方法：(2)22ay 或ax＝＋bx＋c0(将直线方程与双曲线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程0)．＋by＋c ＝时，Δ<0Δ＝0时，直线与双曲线相切；当0①若a≠，当Δ>0时，直线与双曲线相交；当直线与双曲线相离．时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点．②若a＝0 直线与抛物线的位置关系的判定方法：(3)22ay＋c＝0(x将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或)，得到一个一元方程ax或＋bx＋byc＝0)．＋≠0时，用Δ判定，方法同上．①当a②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点．2．有关弦长问题有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．2k1则所得弦长|PP|＋＝y)P(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点(x，y，P(x，)，2222111111＋|y－y|，其中求|x－x|与|y－P或－|xx||P|＝y|时通常使用根与系数的关系，21211121222k即作如下变形：2x＋?|xx|－＝xxx?－4，2121212.y?＝|y－y|－?yy＋4y212112．．(利用两点间距离公式)(2)当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算弦的中点问题3．有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算．圆锥曲线的弦长及中点问题考点一226yxl的直线，斜率为1b>0)2的离心率为，右焦点(2，0)已知椭圆例1G：＋＝1(a>223ba (－3,2)．交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P与椭圆G (1)求椭圆G的方程；PAB的面积．(2)求△6c.＝22解(1)由已知得c，＝3a222＝4. －b23，又c＝解得aa＝22yx所以椭圆G的方程为＋＝1.124(2)设直线l的方程为y＝x＋m.?，mx＋y＝??由22yx?1.＝＋?41222 0.①－12＝4xmx＋6＋3m得，，y)，AB中点为E(x<((B的坐标分别为x，y)，x，y)(xx)A设，00212121x＋xmm321＝；＝x＋m，则x＝＝－y000424 的底边，△PAB因为AB是等腰.ABPE⊥所以m－241.＝＝－所以PE的斜率k m3＋3－42.m＝解得20.＝x12＋x4为①此时方程0. ＝x解得＝－3，x212. ＝所以y＝－1，y212.3所以|AB|＝AB：此时，点P(－3,2)到直线2|2＋|－3－23 ，＝＝2＝0的距离dx－y＋2291.＝|·d的面积S＝|AB所以△PAB22其常规思路是先把直线方程与椭圆方解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点解决，往往会更简单．点差法”的问题常常用“211x??2，是方程在所的直线平分，则这条椭圆＋y点＝1的弦被弦??222 ____________．03＝＋4y－答案2x )，x，y)(x，y，B(解析设弦的两个端点为A22111.y＝，y＋则x＋x＝1221122xx21221.＝，＋y在椭圆上，∴＋y＝1∵A，B2122?xx－???x＋x2121，＝0)(y－y)＋(y＋y21122xxy＋y－12211即，＝－＝－2??yx2＋y－x22111. AB的斜率为－即直线2111??－x＝－的方程为y－，∴直线AB??2220.3＝yx＋4－即2 圆锥曲线中的定值、定点问题考点二221xy＝1经过点(0，3)，离心率为，直线l＋C例2已知椭圆：经过椭圆C的右焦点F22ab2.E、K、D上的射影依次为4＝x在直线B、F、A两点，点B、A交椭圆于的方程；(1)求椭圆C→→→→λ的倾斜角变化时，探求BF，当直线lAF，MB＝μ若直线(2)l交y轴于点M，且MA＝λ的值；否则，说明理由；λ＋μ＋μ的值是否为定值？若是，求出是否相交于定点？若BDAE与BDAE、，试探索当直线l的倾斜角变化时，直线(3)连接是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由．后y(2)用直线的斜率为参数建立直线方程，代入椭圆方程消(1)待定系数法；→→→→用点μλ，＝μBF把MBA，B的横坐标的关系式，然后根据向量关系式MA＝λAF，可得点无关即证明了其为定值，kμ的值与直线的斜率B的横坐标表示出来，只要证明λ＋A，的BDAE，(3)先根据直线l的斜率不存在时的特殊情况，看两条直线否则就不是定值；相交于定点的话，这个特殊位置时的交点就是这个定点，BDAE，交点坐标，如果直线都经过这个定点即证明了两直线相交于定点，否则两直线就，BD这样只要证明直线AE不相交于定点．1c222，c＝b，e＝＝，ab解(1)依题意得＋＝3a222yx∴a＝2，c＝1，∴椭圆C的方程为＋＝1.43(2)因直线l与y轴相交，故斜率存在，设直线l方程为y＝k(x－1)，求得l与y轴交于M(0，－k)，又F坐标为(1,0)，设l交椭圆于A(x，y)，B(x，y)，2211?，?－1＝k?xy??由22yx?，＝1＋?342222，12＝4x＋k0y消去得(3＋4kx)－－8k2124k－2k8 ，xx＝，＋∴xx＝211222k3＋443＋k→→)，－x，－y(1k，∴＝又由MAλAF，(xy＋)＝λ1111xx21＝，＝∴λ，同理μxx1－1－21．x＋x－2xxxx212121＝μ＝＋∴λ＋x＋x1－?x＋x1－x1－x?2111222?－122?4k2k8－22k3＋＋34k48＝－. ＝3212－4k2k8＋－122k4k＋433＋8所以当直线l的倾斜角变化时，直线λ＋μ的值为定值－.3(3)当直线l斜率不存在时，直线l⊥x轴，则ABED为矩形，由对称性知，AE与BD相5??，0，交于FK的中点N??2猜想，当直线l的倾斜角变化时，5??，0，与BD相交于定点NAE??2)，(x，y)知A(x，y，B证明：由(2)2211l的倾斜角变化时，首先证直线，y)，当直线D(4，y)，E(4∴215??0，过定点，AE??2yy－12 4)，(x－l：y－y＝∵2AE x－41y－y35??12－·＋y ＝y当x＝时，??222x4－1?yy－·y－3?2?4－x?1221＝?－x2?41?－xk?x－k?x－1?3·2?4－x?1212＝?－x2?41?x＋＋5k?xx－8k－2kx2112＝?x?4－21222kk·8－12?＋5kk?－8k3＋42?－k?40.＝＝2?4k3??24－x·?＋15??0，lN∴点在直线上．??AE2．5??0，上．也在直线l同理可证，点N??BD25??0，.与BD相交于定点∴当直线l的倾斜角变化时，直线AE??2基本思想是使用参数表示要(1)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的．，则直线必过定(x－x)(2)由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y－y＝k00，m)．)；若得到了直线方程的斜截式：y＝kx＋m，则直线必过定点(0x点(，y008.y轴上截得弦MN的长为(2013·陕西)已知动圆过定点A(4,0)，且在的方程；求动圆圆心的轨迹C(1)轴是x，若轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x过定点．的角平分线，证明：直线l∠PBQ，A|＝|OM|(1)解如图，设动圆圆心为O(x，y)，由题意，得|O111H，则H是MN的中作O不在y轴上时，过OOH⊥MN交MN于当111点，22＋x4∴|OM|，＝122＋?y，?x|又|OA－＝412222＝＋?y＋∴4－，?x4x2 0)．x(x化简得y≠＝82，＝8O重合，点的坐标为(0,0)也满足方程yx在又当Oy轴上时，O与O1112.x＝y∴动圆圆心的轨迹C的方程为8，(k≠0)b(2)证明由题意，设直线l的方程为y＝kx＋y)，Q，y)，(x，(Px21212中，＝8x代入＝将ykx＋by2220. ＋b＝x－(2得kx＋bk8)64>0.＋kb32＝－Δ其中bk－28 ①由根与系数的关系得，x＋x＝，221k2b②xx＝，2 21kyy21，PBQ的角平分线，所以＝－因为x轴是∠11xx＋＋21，1)＝0＋y(x ＋即y(x＋1)1122，＝0b)(x＋1)＋b)(x＋1)＋(kx＋(kx1212③2b＝0 (2kxx＋b＋k)(x＋x)＋221122 0k，b＝b)(8－2bk)＋②将①，代入③得2kb2＋(k＋>0，＝－b，此时Δ∴k (1,0)．，即直线l过定点y＝k(x－1)∴直线l的方程为圆锥曲线中的最值范围问题考点三22yx>0)a >b 是椭圆C ＝1( 例3(2013·浙江)如图，点P (0，－1) 22 1ba 22 l 是过点＝4的直径．：的一个顶点，C 的长轴是圆Cxl ＋y ，2121 l 交椭A ，B 两点，P 且互相垂直的两条直线，其中l 交圆C 于212. D 圆C 于另一点1 的方程；(1)求椭圆C 1 的方程．求△ABD 面积取最大值时直线l (2)1?，b ＝1?? (1)由题意得解 ?2.a ＝?2x 21. y ＝所以椭圆C 的方程为＋ 14)．x ，xy )，D (，y ，，A (2)设(xy )B (010221 ，由题意知直线l 的斜率存在，不妨设其为k 11. 的方程为y ＝kx －l 则直线122 x 又圆C ：，＋y ＝42 故点O 到直线的距离l 11 d ＝，21＋k23＋4k 2. 2所以|AB |＝＝24－d 21＋k 0.的方程为x ＋ky ＋k ＝l 又l ⊥，故直线l 212?，0ky ＋k ＝＋x ?? 由22?4.＝x ＋4y ?22 ＝0消去y ，整理得(4＋k ，)xkx ＋8k 8.故x ＝－ 02k 4＋28＋k 1.＝所以|PD |2k ＋41||PDABD 的面积为S ，则S ＝·|AB |·设△ 223＋84k ＝，2k ＋43232 ＝S ≤所以131322＋3k 4＋3·k 4＋22234k ＋3k ＋41316 ＝，1310k ＝ 当且仅当±时取等号．210所以所求直线l 的方程为y ＝x－1. ±12求最值及参数范围的方法有两种：①根据题目给出的已知条件列出一个关于参数的函数关系式，将其代入由题目列出的不等式(即为消元)，然后求解不等式；②由题目条件和结论建立目标函数，进而转化为求函数的值域．已知椭圆C与抛物线C的焦点均在x轴上且C的中心和C的顶点均为坐2211标原点O，从每条曲线上的各取两个点，其坐标如下表所示：x 14－6316－y03－求(1)，CC的标准方程；21．π在以F的直线l交椭圆C于C，D两点，且椭圆C的左焦点(2)过点A(m,0)作倾斜角为116 的取值范围．线段CD为直径的圆的外部，求m，(，－3)和(4，－6)在抛物线上，故(1)解先判断出(3－6，0)在椭圆上，进而断定点(122yx2.的方程为＝1，抛物线C的方程为y1)在椭圆上，所以椭圆Cx＋＝921263 ＝，(yx－m)x(2)设C(x，y)，D(，y)，直线l的方程为211233??＝m?yx－3?由22yx?，＋＝12622＋m0－6＝消去y整理得2x，－2mx22－6)>0－8(m由Δ>0得Δ＝4m，①3< m<23，即－226－m，而xxx＝m＝，x＋2121233) (yx＝－(xm－m)·故y22113312m]x[x)＋x＋－＝m(x2112326－m.＝ 6 CD为直径的圆的外部，欲使左焦点F在以线段→→则FC·FD，>0→→) ＋y2，，＝(x＋2y)·(x，即F又(－2,0)FCFD·21214>0. ＋)2(x＋x＋yyx＝x＋211212 (m＋3)>0，整理得m②>0.－即m<3或m 3)3)3(m①②由可得的取值范围是－2，－∪(0,2．1．求轨迹与轨迹方程的注意事项(1)求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P的运动规律，即P点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变．(2)求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解(即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上)，又要检验是否丢解(即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示)．检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形．2．定点、定值问题的处理方法定值包括几何量的定值或曲线过定点等问题，处理时可以直接推理求出定值，也可以先通过特定位置猜测结论后进行一般性证明．对于客观题，通过特殊值法探求定点、定值能达到事半功倍的效果．3．圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用基本不等式求出参数的取值范围；⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.222(a>0)相交于A、Bx＋1)与椭圆y＋3两个不同的点，与＝ax轴相交于xkyl设直线：＝(点C，记O为坐标原点．2k32；证明：a>(1)2k3＋1．→→(2)若ACOAB＝2CB的面积取得最大值时的椭圆方程．，求△l显然不平行于坐标轴，(1)证明依题意，直线11.－＝k(x＋1)可化为x＝y故y k1222＝a，＋3y，消去将x＝xy－1代入x k1y2??22＋3 ①ya－＋1－＝0，得2??kk与椭圆相交于两个不同的点，得由直线l14??23＋＝Δ－4)>0a，(1－22??kk1??23＋，整理得>3a2??k2k32. a>即2k＋31 )，y)，B(x，y 由①，A(2)解设(x2211k2 ＋＝，得yy212k31＋→→y，CB＝－，得y2因为AC＝221k－2. ＝代入上式，得y22k31＋31||yS于是，△OAB的面积＝|OC||·|y－y＝212223|3|k|3|k. ＝＝≤22|23|kk1＋332.＝1k，即k±＝3其中，上式取等号的条件是3k－23. ＝，可得y由y±＝2232k＋13333 k＝＝－，y，＝－k及将23333 ①，这两组值分别代入＝y2325.＝a均可解出22＝5.＋3所以，△OAB的面积取得最大值的椭圆方程是xy(推荐时间：70分钟)一、选择题22yx1．已知方程＋＝1(k∈R)表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是()k－1k＋3A．k<1或k>3 B．1<k<3D ．k C．k>1 <3B答案?1>0k＋??>03－k，轴上，则解析若椭圆焦点在x??k－k＋1>3B.解得1<k<3.选的轨迹的顶点A(上，则顶点CxABC的内切圆圆心在直线＝3－5,0)、B(5,0)，△2．△ABC)(方程是2222yxyx1 －＝B.1 A.－＝9161692222yxxy C.－＝－D.＝1( x>4) 1(x>3)916916答案C|，|＝|CF|BE|＝2，|CDBF＝解析如图|AD||AE|＝8，||＝6.2＝＝8－|CA|－|CB|所以的双曲线B为焦点，实轴长为6根据双曲线定义，所求轨迹是以A、22yx．x>3)＝的右支，方程为－1(1692为半|为圆心，|FM的焦点，以8y上一点，F为抛物线CF为抛物线，M3．设(xy)C：x＝00(y径的圆和抛物线的准线相交，则的取值范围是)0．[0,2]B ．A(0,2)) ，＋∞(2．C)，＋∞[2．D答案 C解析依题意得：F(0,2)，准线方程为y＝－2，又∵以F为圆心，|FM|为半径的圆和抛物线的准线相交，且|FM|＝|y＋2|，0∴|FM|>4，即|y＋2|>4，0又y≥0，∴y>2.0022yx→→4．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP·FP43的最大值为()A．2 B．3 C．6 D．8答案 C解析设P(x，y)，则00222xyx30002＋＝1，即y＝3－，0434又因为F(－1,0)，1→→22＝x＋x＋3 (x＋1)＋y·所以OPFP＝x·00000412＋22)，＝(x＋04→→又x∈[－2,2]，即OP·FP∈[2,6]，0→→所以(OP·FP)＝6.max5．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F、F，且两条曲线在21第一象限的交点为P，△PFF是以PF为底边的等腰三角形，若|PF|＝10，椭圆与双曲1211线的离心率分别为e，e，则e·e的取值范围是)( 22111)(．(0，＋∞) B ．，＋∞A311)(C．，＋∞) D．(，＋∞95B答案设椭圆与双曲线的半焦距为解析c，. PF，＝PFr＝r2112r10＝r由题意知，c2＝，21r且r2>r>r，122,1．，<10,2c＋2c>10∴2c255 ，<c<5?1<<4∴2c2cc2c2c2 ；e＝＝＝＝∴2cc22a5r－r－10－双21cc2cc22. ＝＝＝＝e1rc5＋a2c＋r210＋椭21211c.e＝＝>∴e·212532c25－1－2c二、填空题22yx．的取值范围是________＋1与椭圆＋＝1恒有公共点，则m6．直线y＝kx m55≠且m答案m≥122yx 1表示椭圆，解析∵方程＋＝m55.m≠∴m>0且点，恒过y＝kx＋1(0,1)∵直线要使直线与椭圆总有公共点，应有：∴2210 ，≤1，m≥1＋m55.≠m≥1且m∴m的取值范围是2x2两点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P，Q＋F、F为椭圆y＝1的左、右焦点，7．设214→→．的值等于________QF当四边形PF面积最大时，PF·PF21212 －答案QF面积最大．易知当P，Q分别在椭圆短轴端点时，四边形PF解析21 (0,1)，P(3，0)(此时，FF－3，0)，，不妨设21→→(3，－＝1)，＝∴PF(，－3，－1)PF21→→∴PF·PF＝－2.212＝4x，直线l的方程为x－yy＋4＝0，在抛物线上有一动点P到y轴已知抛物线方程为．8的距离为d，P到直线l的距离为d，则d＋d．________的最小值为2121．251 －答案22x＝轴于B，由抛物线方程为y4解析过点P作抛物线的准线的垂线，垂足为A，交y 1，则由抛物线的定义可得的坐标为(1,0)，准线为x＝－得焦点F，|－1＋d|－|AB|＋d＝|PFd ＋d＝|PA2122，点P到直线l||PF＋d大于或等于焦点F24|＋|1－025 ，的最小值为|＋d＝即|PF22225＋d的最小值为所以d－1.2122于A，B两点．若该抛物线上存在点C，使得y＝a交抛物线y＝x．9 (2013·安徽)已知直线∠ACB为直角，则a的取值范围为________．答案[1，＋∞)22＝a，a)x＋(y－解析以AB为直径的圆的方程为2?x＝y?22?0.＝－aa)y＋由a得y(1＋－222?a＝a?x＋?y－?>0a??1.a解得＝0，由已知≥a)[y－(a－1)]y即(－，≥0a－1?三、解答题22yxC，椭圆A和上顶点Da＞b ＞0)的左顶点＋210．已知直线x－2y＋＝0经过椭圆C：＝1(22ba10分x＝l，BS与直线：上位于的右顶点为B，点S是椭圆Cx轴上方的动点，直线AS 3 N两点．别交于M，C 的方程；(1)求椭圆的长度的最小值．(2)求线段MN2,0)，上顶点为C的左顶点为A(－(1)解如图，由题意得椭圆1. ，2b＝，即D(0,1)a＝2x21.＝＋故椭圆C的方程为y 4 ，0的斜率显然存在且不为AS直线(2)．k1016的方，且将直线方程代入椭圆C0)，解得M(，)设直线AS的方程为y＝k(x＋2)(k＞33 程，22220.x＋16k得(1＋4k＝)x－＋16k42416k－. ＝)，由根与系数的关系得(－2)·x设S(x，y1112k1＋422k2－8k82－k4k4 ，即S(，)．由此得x＝，y＝112222k1＋4k11＋4k1＋4k＋41 (x－2)，又B(2,0)，则直线BS的方程为y＝－k4110 ．(，－)联立直线BS与l的方程解得N k331k168161k116k??＋. 2·＝＝＝＋≥∴|MN| ??k3333333kk8k11116.的长度的最小值为时，线段MN当且仅当＝，即k＝时等号成立，故当k＝34k433与A0)，直线P0)，B(－211．在平面直角坐标系中，点P)(x，y为动点，已知点A，(2，1.的斜率之积为－PB 2 的方程；P的轨迹E(1)求动点不M、QN关于x轴的对称点为Q(过点F(1,0)的直线l交曲线E于M，N两点，设点(2) 过x轴上一定点．重合)，求证：直线MQ1yy.＝－由题知：·(1)解22x－x2＋2x2化简得＋y＝1(y≠0)．2(2)证明方法一设M(x，y)，N(x，y)，Q(x，－y)，2221212x2l：x＝my＋1，代入＋y＝1(y≠0)整理得222＋2my－1＝0. (m2)＋y－2m－1y＋y＝，yy＝，212122m＋2m＋2y＋y21MQ的方程为y－y＝(x－x)，11x－x21．令y＝0，y?x－x?121得x＝x＋1yy＋21my?y－y?2myy11221＝my＋1＋＝＋1＝2.1yy＋yy＋2112∴直线MQ过定点(2,0)．方法二设M(x，y)，N(x，y)，Q(x，－y)，2212212x2l：y＝k(x－1)，代入＋y＝1(y≠0)整理得22222－2＝02k)x，－4k x(1＋2k＋2－k222k4 xx＝，x＋x＝，211222k1＋2k＋21y＋y21MQ的方程为y－y＝(x－x)，11xx－21y?x－x?121令y＝0，得x＝x＋1y ＋y21k?x－1??x－x?112＝x＋1?2x－k?x＋212xx－?x＋x?2211＝2.＝2x－x＋21∴直线MQ过定点(2,0)．2222＝9，动圆P与圆＋yM外1)y＋x＝1，圆N：(－1)＋M课标全国12．(2013·Ⅰ)已知圆：(x 切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A、B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.，的半径为r解(1)设圆P，－r＝，1＋r|PN|3＝PM则|| ，|MN4>|＝|PN|＋|PM|∴．的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，左顶点除外，∴P，c＝1c且2a＝4,2＝2，∴a＝2，2223.c∴b＝a＝－22yx 2)．P∴的轨迹曲线C的方程为＋＝1(x＝－34 MNPM|－|PN|)＋2≤||＋2＝4，(1)(2)由知：2r＝(| ∴圆P的最大半径为r＝2.此时(2,0)．P的坐标为224. ＝＋y(圆P的方程为x－2) ，＝32x＝0时，|AB|①当l的方程为R)，kx＋b(k∈＝②设l的方程为y|b＋|－k??1＝2k1＋? ||2k＋b??2＝2k1＋22????＝－k＝k44??.?1＝＋34?联解之得：或??22＝＝－bb??222. －＝－xx＋y∴l的方程为＝2，y4422yx立方程2?2＝y＋x4208＝x化简：7x＋8－88x＋x＝－，∴xx＝－，2211771822－4xx?x＋＋＝AB∴||1k?x＝. 22117．。

高中数学圆锥曲线难题汇总1. 如图所示，，分别为椭圆：（）的左、右两个焦点，，为两个顶点，已知椭圆上的点到，两点的距离之和为．（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的焦点作的平行线交椭圆于，两点，求的面积．}2. 已知椭圆：的离心率为，过左焦点且倾斜角为的直线被椭圆截得的弦长为．（1）求椭圆的方程；（2）若动直线与椭圆有且只有一个公共点，过点作的垂线，垂足为，求点的轨迹方程．）3. 已知椭圆的离心率为，点在上．（1）求的方程；（2）直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值．；4. 已知的顶点，在椭圆上，点在直线：上，且．\（1）当边通过坐标原点时，求的长及的面积；（2）当，且斜边的长最大时，求所在直线的方程．—5. 已知椭圆的中心为坐标原点，一个长轴顶点为，它的两个短轴顶点和焦点所组成的四边形为正方形，直线与轴交于点，与椭圆交于异于椭圆顶点的两点，，且．（1）求椭圆的方程；（2）求的取值范围．￥}6. 已知抛物线的焦点为，是抛物线上横坐标为，且位于轴上方的点，到抛物线准线的距离等于，过作垂直于轴，垂足为，的中点为．（1）求抛物线的方程；（2）若过作，垂足为，求点的坐标．：7. 已知圆过定点，且与直线相切，圆心的轨迹为，曲线与直线相交于，两点．（1）求曲线的方程；—（2）当的面积等于时，求的值．【8. 已知直线与椭圆相交于两个不同的点，记与轴的交点为．（1）若，且，求实数的值；（2）若，求面积的最大值，及此时椭圆的方程．【·9. 如图，设抛物线（）的焦点为，抛物线上的点到轴的距离等于．（1）求的值；（2）若直线交抛物线于另一点，过与轴平行的直线和过与垂直的直线交于点，与轴交于点．求的横坐标的取值范围．}10. 已知点在椭圆上，且点到两焦点的距离之和为．（1）求椭圆的方程；（2）若斜率为的直线与椭圆交于，两点，以为底作等腰三角形，顶点为，求的面积．【11. 已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆的方程；（2）若，是椭圆上的两个动点，且使的角平分线总垂直于轴，试判断直线的斜率是否为定值若是，求出该值；若不是，说明理由．&：12. 已知椭圆：的离心率为．其右顶点与上顶点的距离为，过点的直线与椭圆相交于，两点．（1）求椭圆的方程；（2）设是中点，且点的坐标为当时，求直线的方程．，13. 设，分别是椭圆的左，右焦点，是上一点且与轴垂直．直线与的另一个交点为．（1）若直线的斜率为，求的离心率；（2）若直线在轴上的截距为，且，求，．:14. 在平面直角坐标系中，点，直线与动直线的交点为，线段的中垂线与动直线的交点为．（1）求点的轨迹的方程；（2）过动点作曲线的两条切线，切点分别为，，求证：的大小为定值．）15. 已知中心在原点的双曲线的右焦点为，右顶点为．（1）求该双曲线的方程；（2）若直线：与双曲线左支有两个不同的交点，，求的取值范围．￥16. 己知椭圆与抛物线共焦点，抛物线上的点到轴的距离等于，且椭圆与抛物线的交点满足（1）求抛物线的方程和椭圆的方程；（2）过抛物线上的点作抛物线的切线交椭圆于，两点，设线段的中点为，求的取值范围．,17. 已知右焦点为的椭圆：关于直线对称的图形过坐标原点．（1）求椭圆的方程；（2）过点且不垂直于轴的直线与椭圆交于，两点，点关于轴的对称原点为，证明：直线与轴的交点为．#]18. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点是原点，以轴为对称轴，且经过点．（1）求抛物线的方程；（2）设点，在抛物线上，直线，分别与轴交于点，，的斜率．19. 已知抛物线与直线相切．（1）求该抛物线的方程；（2）在轴正半轴上，是否存在某个确定的点，过该点的动直线与抛物线交于，两点，使得为定值．如果存在，求出点坐标；如果不存在，请说明理由．{；20. 左、右焦点分别为，的椭圆经过点，为椭圆上一点，的重心为，内心为，．（1）求椭圆的方程；（2）为直线上一点，过点作椭圆的两条切线，，，为切点，问直线是否过定点若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．:21. 已知抛物线，为其焦点，过点的直线交抛物线于，两点，过点作轴的垂线，交直线于点，如图所示．（1）求点的轨迹的方程；·（2）直线是抛物线的不与轴重合的切线，切点为，与直线交于点，求证：以线段为直径的圆过点．·22. 已知椭圆，其短轴为，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的右焦点为，过点作斜率不为的直线交椭圆于，两点，设直线和的斜率为，，试判断是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．23. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线交轴于点，过作直线交抛物线于，两点，且．（1）求直线的斜率；（2）若的面积为，求抛物线的方程．|—24. 过双曲线的右支上的一点作一直线与两渐近线交于，两点，其中是的中点；（1）求双曲线的渐近线方程；（2）当坐标为时，求直线的方程；（3）求证：是一个定值．/25. 如图，线段经过轴正半轴上一定点，端点，到轴的距离之积为，以轴为对称轴，过，，三点作抛物线．~（1）求抛物线的标准方程；（2）已知点为抛物线上的点，过作倾斜角互补的两直线，，分别交抛物线于，，求证：直线的斜率为定值，并求出这个定值．~26. 如图，已知椭圆的左右顶点分别是，，离心率为．设点，连接交椭圆于点，坐标原点是．（1）证明：；（2）若三角形的面积不大于四边形的面积，求的最小值．【27. 已知抛物线的焦点为，过的直线交于，两点，为线段的中点，为坐标原点．，的延长线与直线分别交于，两点．（1）求动点的轨迹方程；（2）连接，求与的面积比．}\28. 已知抛物线过点．过点作直线与抛物线交于不同的两点，，过点作轴的垂线分别与直线，交于点，，其中为原点．（1）求抛物线的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：为线段的中点．；29. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，两准线之间的距离为．点在椭圆上，且位于第一象限，过点作直线的垂线，过点作直线的垂线．…（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线，的交点在椭圆上，求点的坐标．！30. 如图：中，，，，曲线过点，动点在上运动，且保持的值不变．（1）建立适当的坐标系，求曲线的标准方程；（2）过点且倾斜角为的直线交曲线于，两点，求的长度．~31. 已知椭圆的焦点在轴上，中心在坐标原点；抛物线的焦点在轴上，顶点在坐标原点．在，上各取两个点，将其坐标记录于表格中：（1）求，的标准方程；（2）已知定点，为抛物线上一动点，过点作抛物线的切线交椭圆于，两点，求面积的最大值．'32. 已知点 为椭圆 ： 的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线与椭圆 有且仅有一个交点．（1）求椭圆 的方程； （2）设直线与 轴交于 ，过点 的直线 与椭圆 交于不同的两点 ，，若的取值范围．^33. 已知点100(,)P x y 为双曲线22221(8x y b b b -=为正常数）上任一点，2F 为双曲线的右焦点，过1P 作右准线的垂线，垂足为A ，连接2F A 并延长交y 轴于点2P ． （1）求线段12P P 的中点P 的轨迹E 的方程；（2）设轨迹E 与x 轴交于B ，D 两点，在E 上任取一点Q 111()(0)x y y ≠，，直线QB ，QD 分别交于y 轴于M ，N 两点．求证：以MN【@34. 如图，已知圆G ：222(2)x y r -+=是椭圆2216x y +=1的内接ABC △的内切圆，其中A 为椭圆的左顶点． （1）求圆G 的半径r ；（2）过点M （0，1）作圆G 的两条切线交椭圆于E ，F 两点，证明：直线EF 与圆G 相切．—35. 设点00(,)P x y 在直线(01)x m y m m =≠±<<，上，过点P 作双曲线221x y -=的两条切线,PA PB ，切点为,A B ，定点10M m ⎛⎫⎪⎝⎭，． （1）过点A 作直线0x y -=的垂线，垂足为N ，试求AMN △的垂心G 所在的曲线方x程；（2）求证：A M B 、、三点共线．"36. 作斜率为13的直线l 与椭圆22:1364x y C +=交于,A B 两点（如图所示），且(32,2)P 在直线l 的左上方. （1）证明：PAB ∆的内切圆的圆心在一条定直线上； （2）若60oAPB ∠=，求PAB ∆的面积.《37. 如图，椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>3x 轴被曲线22:C y x b =-截得的线段长等于1C 的长半轴长.（1）求1C ，2C 的方程；（2）设2C 与y 轴的焦点为M ，过yAB#PNx=m O AxyOPB坐标原点O 的直线l 与2C 相交于点A,B ，直线MA,MB 分别与1C 相交与,D E . ①证明：MD ME ⊥； ￥②记MAB ∆,MDE ∆的面积分别是1S ，2S .问：是否存在直线l ,使得121732S S =请说明理由.】38. 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(1,0)K -的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D . （1）证明：点F 在直线BD 上； （2）设89FA FB =，求BDK ∆的内切圆M 的方程 .！39. (,)()o o o P x y x a ≠±是双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>上一点，,M N 分别是双曲线E 的左、右顶点，直线,PM PN 的斜率之积为15. （1）求双曲线的离心率；（2）过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于,A B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC OA OB λ=+，求λ的值.…40.已知以原点O为中心，F 为右焦点的双曲线C的离心率2e =. （1）求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；（2）如图，已知过点11(,)M x y 的直线1l ：1144x x y y +=与过点22(,)N x y （其中21x x ≠）的直线2l ：2244x x y y +=的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与双曲线的两条渐近线分别交于G 、H 两点，求△OGH 的面积．41.如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(0)F c -，，2(0)F c ，．已知(1)e ，和e ⎛ ⎝⎭都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率． ~（1）求椭圆的方程；（2）设,A B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线1AF 与直线2BF 平行，2AF 与1BF 交于点P ．（i ）若1262AF BF -=，求直线1AF 的斜率； （ii ）求证：12PF PF +是定值．;42.如图，椭圆C ：2222+1x y a b=(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P (2，1)的距离为10．不过原点O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 求∆ABP 的面积取最大时直线l 的方程． (43.设A 是单位圆221x y +=上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足||||(0,1)DM m DA m m =>≠且. 当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；（Ⅱ）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P，Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H. 是否存在m，使得对任意的⊥若存在，求m的值；若不存在，请说明理由.k>，都有PQ PH…44../45. 已知动直线l 与椭圆C: 22132x y +=交于P ()11,x y 、Q ()22,x y 两不同点，且△OPQ 的面积OPQ S ∆6其中O 为坐标原点. （Ⅰ）证明2212x x +和2212y y +均为定值;（Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求||||OM PQ ⋅的最大值；（Ⅲ）椭圆C 上是否存在点D,E,G ，使得6ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由.%46.如图，已知椭圆C1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C2的短轴为MN ，且C1，C2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D. （I ）设12e =，求BC 与AD 的比值； （II ）当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由《47. 平面内与两定点12(,0),(,0)(0)->A a A a a 连线的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，加 上A 1、A 2两点所在所面的曲线C 可以是圆、椭圆或双曲线. (Ⅰ)求曲线C 的方程，并讨论C 的形状与m 的位置关系；(Ⅱ)当m=-1时，对应的曲线为C 1：对给定的(1,0)(0,)m ∈-+∞，对应的曲线为C2， ；设F 1、F 2是C 2的两个焦点，试问：在C 1上，是否存在点N ，使得△F 1NF 2的面 积2S m a =，若存在，求12tan F NF 的值；若不存在，请说明理由.:48.已知一条曲线C 在y 轴右边，每一点到点F （1,0）的距离减去它到y 轴距离的差都是1. (Ⅰ)求曲线C 的方程；（Ⅱ）是否存在正数m ，对于过点M （m ，0）且与曲线C 有两个交点A,B 的任一直线，都有0FA FB •<若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由。

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专题16 圆锥曲线中的热点问题1．已知椭圆C 1：错误!－错误!＝1与双曲线C 2:错误!＋错误!＝1有相同的焦点，则椭圆C 1的离心率e 的取值范围为（ ）A.错误! B 。

错误! C ．(0，1) D 。

错误!【答案】:A【解析】：由题意知m >0，n <0，椭圆与双曲线的焦点都在x 轴上,∵椭圆与双曲线有相同的焦点，∴m ＋2＋n ＝m －n ，n ＝－1，∴e ＝错误!＝错误!＝错误!∈错误!。

2．椭圆C ：错误!＋错误!＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值范围是[－2，－1］，那么直线PA 1斜率的取值范围是( )A.错误! B 。

错误! C.错误! D.错误!【答案】：B【解析】：椭圆的左顶点为A 1（－2，0），右顶点为A 2（2,0），设点P (x 0，y 0），则错误!＋错误!＝1，得错误!＝－错误!。

而k 2PA ＝错误!，k 1PA ＝错误!，所以k 2PA ·k 1PA ＝错误!＝－错误!.又k 2PA ∈［－2，－1］，所以k 1PA ∈错误!.3．过定点C (0，p )的直线与抛物线x 2＝2py (p 〉0)相交于A ，B 两点,若点N 是点C 关于坐标原点的对称点，则△ANB 面积的最小值为（ ）A ．22pB 。