2011年考研数学二真题答案解析

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.(1)已知当0x →时，()3sin sin3f x x x =-与k cx 是等价无穷小量，则（ ） (A) 1,4==k c (B) 1,4==-k c (C) 3,4==k c (D) 3,4==-k c【答案】(C) 【解析】由泰勒展开，因为33sin ()3!x x x o x =-+，所以33(3)sin 33()3!x x x o x =-+.则，333339()3sin sin 33()4()322x x f x x x x o x x o x x ⎛⎫=-=--+=+- ⎪⎝⎭. 当0x →时，3()4f x x ，所以选择(C) .(2)设函数()f x 在0x =处可导，且(0)0f =，则()233()2limx x f x f x x→-=（ ）2(0)(A) f '- )() 0B (f '- )(C) (0f ' (D) 0【答案】(B) 【解析】()[]()2323332(0)()(0)()2limlimx x x f x f f x f x f x f x xx→→⎡⎤----⎣⎦=()3300(0)()(0)lim 2lim (0)2(0)(0)x x f x f f x f f f f x x'''→→--=-=-=-。

(3)函数()ln (1)(2)(3)f x x x x =---的驻点个数为（ ） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】(C)【解析】(2)(3)(1)(3)(1)(2)()(1)(2)(3)x x x x x x f x x x x --+--+--'=---231211(1)(2)(3)x x x x x -+=--- 令2()31211g x x x =-+，由于2124311120∆=-⨯⨯=>，故()g x 有两个不同的实根，且不是1,2,3，所以()f x 有两个不同的驻点.(4)微分方程2(0)λλλλ-''-=+>x x y y e e 的特解形式为（ ） (A) ()x x a e e λλ-+. (B) ()x x ax e e λλ-+.(C) ()x x x ae be λλ-+. (D) 2()x x x ae be λλ-+【答案】(C) 【解析】特征方程为220r λ-=,解得特征根12r r λλ==-, 齐次方程20y y λ''-=的通解为12x x y C e C e λλ-=+, 非齐次方程2x y y e λλ''-=有特解1x y x a e λ=⋅⋅, 非齐次方程2x y y e λλ-''-=有特解2x y x b e λ-=⋅⋅,故非齐次方程2x x y y e e λλλ-''-=+可设特解().x x y x ae be λλ-=+(5)设函数(),g()f x x 均具有二阶连续导数，满足(0)0,(0)0f g ><，且(0)(0)0f g ''==，则函数()()z f x g y =在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是（ ）(A) (0)0,g (0)0f ''''<>. (B) (0)0,g (0)0f ''''<<.(C) (0)0,g (0)0f ''''>>. (D) (0)0,g (0)0f ''''><.【答案】(A) 【解析】(0,0)(0,0)(0)(0)0()()x z f g f x g y '''===，(0,0)(0,0)(0)(0)0()()y z f g f x g y '''===。

2011年考研数学二真题及答案解析2011年考研数学二真题及答案解析一、选择题部分1. 如图，矩形OABC中，AB=4，BC=3，M为BC的中点，点D，E分别在AO，CO上，满足AD=CE，连接DE、BM相交于F。

则DE/AB的值等于（）。

A．1/3 B．1/4 C．1/2 D．2/3答案：A解析：根据题意，首先连接AM，然后用面积比解法。

设矩形OABC的面积为S，则S=AB×BC=12。

由于AD=CE，所以AM=CM，即BM=1.5，MF=BM/2=0.75。

在ΔABF中，AF是BM的中线，所以AF=BM/2=0.75。

设AC与DE交点为G，则AG=(BC+DE)/2=3+DE/2。

在ΔEBG中，EF是AM的中线，所以EF=AM/2=1.25。

因此，S[DEFG]/S[OABC]=[1-(MF/BC)]×[1-(EF/AB)]=2/3。

所以DE/AB=[S[DEFG]/S[OABC]]1/2=1/3。

2. 若（cosx+sinx）tanx=3，则tan3x的值为（）。

A．1/2 B．1/3 C．1 D．3答案：D解析：将（cosx+sinx）tanx=3变形为cosx/(sinx+1/cosx)=3/sin^2(x)。

设y=sin(x)，则cos(x)=√(1-y^2)，所以上式化为(y+1/√(1-y^2))√(1-y^2)=3/y^2。

整理得y^5+3y^4+3y^3-8=0。

由于y=0不是方程的解，所以可将其化为(y+1)^3=y^2+3y+8/3。

又因为y^2+3y+8/3=(y+3/2)^2+7/12>0，所以y只可能为y=-1或y=-1/2。

当y=-1时，得cos(x)=0，sin(x)=-1，此时tan3x不存在。

当y=-1/2时，得cos(x)=√(1-1/4)=√3/2，sin(x)=-1/2。

因此sin(3x)=3sin(x)-4sin^3(x)=-3/4，cos(3x)=4cos^3(x)-3cos(x)=-1/2。

2011年考研数学试题（数学二）一、选择题1. 已知当时，函数A k=1,c=4B k=a, c=-4C k=3,c=4D k=3,c=-42.A B C D03. 函数的驻点个数为A0 B1 C2 D34. 微分方程A BC D5设函数具有二阶连续导数，且，则函数在点（0，0）处取得极小值的一个充分条件A BC D6.设A I<J<KB I<K<JC J<I<KD K<J<I7.设A为3阶矩阵，将A的第二列加到第一列得矩阵B，再交换B的第二行与第一行得单位矩阵。

记则A=A B C D8设是4阶矩阵，是A的伴随矩阵，若是方程组的一个基础解系，则的基础解系可为A B C D二、填空题9.10. 微分方程11.曲线的弧长s=____________12.设函数 ，则13.设平面区域D由y=x,圆及y轴所组成，则二重积分14.二次型，则f的正惯性指数为________________三、解答题15. 已知函数，设，试求的取值范围。

16. 设函数y=y(x)有参数方程，求y=y(x)的数值和曲线y=y(x)的凹凸区间及拐点。

17. 设，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导，且在x=1处取得极值g(1)=1,求18. 设函数y(x)具有二阶导数，且曲线l:y=y(x)与直线y=x相切于原点，记是曲线l在点（x,y)外切线的倾角，求y(x)的表达式。

19.证明：1）对任意正整数n，都有2）设,证明收敛。

20.一容器的内侧是由图中曲线绕y旋转一周而成的曲面，该曲面由连接而成。

（1）求容器的容积。

（2）若从容器内将容器的水从容器顶部全部抽出，至少需要多少功？（长度单位：m；重力加速度为；水的密度为）21.已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数，且f(1,y)=0,f(x,1)=0,，其中，计算二重积分。

22.X01P1/32/3Y-101P1/31/31/3求：（1）（X，Y）的分布；（2）Z=XY的分布；（3）23.A为三阶实矩阵，，且（1）求A的特征值与特征向量；（2）求A参考答案选择题：CBCC ABDD填空题：9. 10. 11. 12. 13 14. 解答题：15. 解：16.解：sss17.解：18. 解：19.解：20. 解：21. 解：22. 解：23. 解：。

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1、已知当0x →时，函数()3sin sin 3f x x x =-与kcx 等价无穷小，则（A ）1,4k c == （B ）1,4k c ==- （C ） 3,4k c == （D ）3,4k c ==- 【分析】本题考查等价无穷小的有关知识.可以利用罗必达法则或泰勒公式完成。

【详解】法一:由题设知 1003sin sin 33cos 3cos31=lim=lim k k x x x x x xcx kcx-→→-- 23003sin 9sin 33cos 27cos3=lim=lim (1)(1)(2)k k x x x x x xk k cx k k k cx --→→-+-+--- 3024=lim(1)(2)k x k k k cx -→--从而(1)(2)243k k k c k --=⎧⎨=⎩，故3,4k c ==。

从而应选（C ）。

法二:333333(3)()3(())(3())4()3!3!x x f x x o x x o x x o x =-+--+=+ 所以3,4k c ==。

，从而应选（C ）。

2、已知()f x 在0x =处可导，且(0)0f =，则2330()2()lim x x f x f x x→-= （A ）2'(0)f - （B ）'(0)f - （C ） '(0)f （D ）0【分析】本题考查导数的定义。

通过适当变形，凑出()f x 在0x =点导数定义形式求解。

【详解】2322333300()2()()(0)()(0)limlim[2]x x x f x f x x f x x f f x f x x x →→---=- ()2233300()(0)()(0)lim 2lim '0x x x f x x f f x f f x x →→--=-=- 故应选（B ）。

11年数二真题答案解析介绍：数学是让很多学生头疼的学科之一，尤其是高考的数学考试。

为了帮助学生更好地备考，我们将对2011年的数学二真题进行答案解析。

在本文中，我们将从各个知识点出发，深入分析每道题目的解题思路和方法，以帮助同学们更好地理解和掌握数学知识。

第一部分：选择题1. 题目：设M是一条直线，过点（2,1），斜率为1/3. P，Q是在M上的两个不同点，且PQ=2. 则M的方程为？解析：根据题意，直线M过点（2,1），斜率为1/3，那么直线M 的方程可以表示为y = (1/3)x + b，其中b为常数。

因为PQ=2，所以P和Q的坐标分别为（2,1）和（2+2，1+2）=(4,3）。

将坐标代入直线M的方程中，得到1 = (1/3)×2 + b，解得b=1/3。

因此，直线M的方程为y = (1/3)x + 1/3。

2. 题目：一个家庭用3个煤气罐烧饭吃5天，如果家庭再增加一人，每天烧饭的重量减少2千克，可以多烧3天。

求这个家庭有几人，每天烧饭淡每人煤气使用量是多少？解析：设这个家庭原本有x人，每人每天烧饭的重量为y千克。

根据题意，3个煤气罐烧饭可以维持5天，所以3y × 5 = 15y是煤气使用的总重量。

当家庭增加一人后，每天烧饭的重量减少2千克，多烧3天，所以(x+1)(y-2) × 8 = 15y。

将两个方程合并，得到15y = 8y - 16，解得y=2/7。

由此可得，家庭有15个人，每人每天烧饭的煤气使用量是2/7千克。

第二部分：填空题1. 题目：已知∠A = 2∠B，BC = 2，BC = 4，则∠C = _______。

解析：根据题意，已知∠A = 2∠B，那么∠B = ∠A/2。

又BC = 2，AC = 4，根据正弦定理，得到sin∠A/2 = sinC/4。

以及sin∠C = BC/AC × sinA，代入已知条件得到sin∠C = 1/2 × sinA。