2 随机事件和概率5.1.2整理

随机事件与概率知识点总结随机事件与概率是概率论中的重要概念，用于描述和分析实际生活中的不确定性事件。

在这篇文章中，我们将对随机事件与概率的相关知识点进行总结和讨论。

一、随机事件的概念随机事件指的是在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，其结果是不确定的。

例如掷骰子的结果、抽取扑克牌的花色等都属于随机事件。

二、样本空间和事件样本空间是指一个随机试验的所有可能结果的集合。

例如掷一枚骰子的样本空间为{1, 2, 3, 4, 5, 6}。

事件是样本空间的一个子集，表示某个结果的集合。

例如事件“A”表示掷骰子的结果是偶数，其包含的样本点为{2, 4, 6}。

三、概率的定义概率是描述随机事件发生可能性大小的数值，一般用P(A)表示事件A发生的概率。

概率的取值范围在0到1之间，其中0表示不可能发生，1表示一定发生。

四、概率的计算方法1. 经典概率法：适用于样本空间中的每个样本点出现的可能性相等的情况。

概率P(A)等于事件A包含的样本点数目除以样本空间的样本点数目。

2. 频率概率法：通过实验或观察来估计概率。

概率P(A)等于事件A 在一系列独立重复试验中发生的频率。

3. 主观概率法：基于个人主观判断来估计概率。

例如根据经验或直觉来估计某个事件发生的可能性。

五、概率的性质1. 非负性：概率值始终大于等于0，即P(A) >= 0。

2. 规范性：对于样本空间中的所有样本点的事件，它们的概率之和等于1，即P(S) = 1，其中S表示样本空间。

3. 可列可加性：对于两个互斥事件A和B，它们的概率之和等于它们各自的概率之和，即P(A∪B) = P(A) + P(B)。

六、条件概率条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。

条件概率用P(A|B)表示，读作“在B发生的条件下A发生的概率”。

条件概率的计算公式为P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。

七、独立事件独立事件是指两个事件A和B相互之间没有影响，即事件A的发生与否不会影响事件B的发生概率。

新人教版九年级上册初中数学重难点有效突破知识点梳理及重点题型巩固练习随机事件和概率--知识讲解【学习目标】1、通过对生活中各种事件的判断，归纳出必然事件、不可能事件和随机事件的特点，并根据这些特点对有关事件作出准确判断；2、初步理解概率定义，通过具体情境了解概率意义.【要点梳理】要点一、必然事件、不可能事件和随机事件【 391875 名称：随机事件与概率初步：随机事件】1.定义：（1）必然事件在一定条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件，叫做必然事件．（2）不可能事件在每次试验中都不会发生的事件叫做不可能事件．（3）随机事件在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件.要点诠释：1.必然发生的事件和不可能发生的事件均为“确定事件”，随机事件又称为“不确定事件”；2.要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同.要点二、概率的意义概率是从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小.一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就叫做事件A的概率(probability)，记为.要点诠释：(1)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；(2)概率反映了随机事件发生的可能性的大小；(3) 事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，，即，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0<P(随机事件)<1.【典型例题】类型一、随机事件1.（1）指出下列事件中，哪些是不可能事件？哪些是必然事件？哪些是随机事件？①若 a、b、c都是实数，则a(bc)=(ab)c；②没有空气，动物也能生存下去；③在标准大气压下，水在 90℃时沸腾；④直线 y=k(x+1)过定点(-1，0)；⑤某一天内电话收到的呼叫次数为 0；⑥一个袋内装有形状大小完全相同的一个白球和一个黑球，从中任意摸出 1个球则为白球.【答案与解析】①④是必然事件；②③是不可能事件；⑤⑥是随机事件.【总结升华】准确掌握定义，依据定义判别.【 391875 名称：随机事件与概率初步：经典例题1】举一反三【变式1】下列事件是必然事件的是( )．A．明天要下雨;B．打开电视机，正在直播足球比赛;C．抛掷一枚正方体骰子，掷得的点数不会小于1;D．买一张彩票，一定会中一等奖.【答案】C.【变式2】下列说法中，正确的是( )．A．生活中，如果一个事件不是不可能事件，那么它就必然发生;B．生活中，如果一个事件可能发生，那么它就是必然事件;C．生活中，如果一个事件发生的可能性很大，那么它也可能不发生;D．生活中，如果一个事件不是必然事件，那么它就不可能发生.【答案】C.2. 在一个不透明的口袋中，装有10个除颜色外其它完全相同的球，其中5个红球，3个蓝球，2个白球，它们已经在口袋中搅匀了.下列事件中，哪些是必然发生的？哪些是不可能发生的？哪些是可能发生的？(1)从口袋中任取出一个球，它恰是红球；(2)从口袋中一次性任意取出2个球，它们恰好全是白球；(3)从口袋中一次性任意取出5个球，它们恰好是1个红球，1个蓝球，3个白球. 【答案与解析】(1)可能发生，因为袋中有红球；(2)可能发生，因为袋中刚好有2个白球；(3)不可能发生，因为袋中只有2个白球，取不出3个白球.【总结升华】了解并掌握三种事件的区别和联系.举一反三【变式】甲、乙两人做掷六面体骰子的游戏，双方规定，若掷出的骰子的点数大于3，则甲胜，若掷出的点数小于3，则乙胜，游戏公平吗？若不公平，请你设计出一种对于双方都公平的游戏.【答案】不公平，小于3的点数有1、2，大于3的点数有4、5、6，因此，它们的可能性是不同的，所以不公平.可设计掷出的点数为偶数时甲胜，掷出的点数为奇数时乙胜.类型二、概率3.（2015春•山亭区期末）一只口袋里放着4个红球、8个黑球和若干个白球，这三种球除颜色外没有任何区别，并搅匀．（1）取出红球的概率为，白球有多少个？（2）取出黑球的概率是多少？（3）再在原来的袋中放进多少个红球，能使取出红球的概率达到？【答案与解析】解：（1）设袋中有白球x个．由题意得：4+8+x=4×5，解得：x=8，答：白球有8个；（2）取出黑球的概率为：，答：取出黑球的概率是，（3）设再在原来的袋中放入y个红球．由题意得：3（4+y）=20+y，或2（4+y）=8+8，解得：y=4，答：再在原来的袋中放进4个红球，能使取出红球的概率达到．【总结升华】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．举一反三【变式】（2014•宁波模拟）中央电视台“非常6+1”栏目中有个互动环节，在电视直播现场有三个“金蛋”三个“银蛋”其中只有一个“金蛋”内有礼物，银蛋也是如此．有一个打进电话的观众，选择并打开后得到礼物的可能性是（）A．B．C．D．【答案】D.【 391875 名称：随机事件与概率初步：例6及思考题】投篮次数n8 10 12 9 16 10进球次数m 6 8 9 7 12 7进球频率nm(1)计算表中各场次比赛进球的频率；(2)这位运动员每次投篮，进球的概率约为多少? 【答案与解析】 （1）投篮次数n 8 10 12 9 16 10 进球次数m 6897127进球频率nm0.75 0.8 0.75 0.78 0.75 0.7 (2)P(进球)≈0.75.【总结升华】频率和概率的关系：当大量重复试验时，频率会稳定在概率附近. 举一反三【变式】某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：射击次数(ｎ) 10 20 50 100 200 500 击中靶心次数(ｍ)9 19 44 91 178 451 击中靶心频率()(1)计算表中击中靶心的各个频率(精确到0.01)；(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少(精确到0.1)？【答案】 (1)击中靶心的各个频率依次是：0.90，0.95，0.88，0.91，0.89，0.90. (2)这个射手击中靶心的概率约为0.9.。

随机事件及概率随机事件和概率是概率论中的重要概念，它们在生活中的应用广泛。

随机事件是指在一次试验中可能发生，也可能不发生的事件。

概率则是衡量某一随机事件发生的可能性大小。

一、随机事件随机事件是指在一次试验中可能发生，也可能不发生的事件。

试验是指根据一定规则进行的观察或者操作。

比如，掷一枚硬币的试验就是一个典型的例子。

在这个试验中，硬币可能正面朝上，也可能反面朝上，因此，正面朝上和反面朝上就是两个可能发生的随机事件。

在概率论中，将一个试验的所有可能结果组成的集合称为样本空间，用S表示。

而样本空间中的每一个元素都是一个基本事件，它是试验的一个可能结果。

在掷硬币的试验中，样本空间就是{正面，反面}，而正面和反面就是样本空间中的两个基本事件。

根据随机事件的性质，可以将随机事件分为互斥事件和不互斥事件。

互斥事件是指两个事件不可能同时发生，而不互斥事件则是指两个事件可能同时发生。

在掷硬币的试验中，正面朝上和反面朝上就是互斥事件，因为硬币不可能同时正面朝上和反面朝上；而正面朝上和出现头像的事件就是不互斥事件，因为硬币可能正面朝上同时出现头像。

二、概率概率是衡量随机事件发生可能性大小的数值。

概率的取值范围在0到1之间，其中0表示不可能发生，1表示肯定发生。

在概率论中，用P(A)表示事件A发生的概率。

根据概率的定义可以推导出概率的性质，即：1. 随机事件的概率大于等于0，即对于任意事件A，有P(A)≥0。

2. 样本空间的概率为1，即P(S)=1。

3. 若A和B是互斥事件，则P(A∪B)=P(A)+P(B)。

4. 若A和B是不互斥事件，则P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。

概率可以通过频率和几何两种方法来计算。

频率方法是指根据大量实验中某一事件发生的次数来估计概率大小。

比如，掷硬币的试验中，可以多次进行掷硬币的操作，然后统计正面和反面朝上的次数来估计正面朝上和反面朝上的概率。

几何方法是指通过样本空间的几何性质来计算概率大小。

考研数学备考：概率论各章节知识点梳理1500字概率论作为考研数学中的一部分，是考生备考的重点之一。

下面将对概率论的各章节知识点进行梳理，帮助考生进行复习备考。

1. 随机事件与概率概率论的基本概念是随机事件和概率。

随机事件是随机现象的结果，概率是事件发生的可能性大小。

在这一章节中，主要涉及到随机事件的定义、事件的性质、事件间的关系等内容。

2. 随机变量及其分布随机变量是随机现象的数值描述，它分为离散随机变量和连续随机变量。

这一章节主要涉及随机变量的定义、分布函数、概率密度函数等内容。

同时还包括常见的离散随机变量和连续随机变量的概率分布，如二项分布、泊松分布、正态分布等。

3. 随机事件的数学描述随机事件可以用随机变量的取值区间来表示，也可以用事件的概率来描述。

这一章节主要包括随机事件的和、差、积等概念，以及离散随机变量和连续随机变量的概率函数之间的关系。

4. 多维随机变量及其分布多维随机变量是指由多个随机变量组成的向量。

这一章节主要包括多维随机变量的定义、联合分布、边缘分布等内容。

同时还包括多维随机变量的独立性、相关性等概念。

5. 随机变量的数字特征随机变量的数字特征包括数学期望、方差、协方差等。

这一章节主要涉及到随机变量的数学期望、方差和协方差的定义、性质以及计算方法。

6. 大数定律和中心极限定理大数定律是指随着试验次数的增加，随机事件的频率趋向于事件的概率。

中心极限定理是指当随机事件的样本量足够大时，其均值的分布接近于正态分布。

这一章节主要涉及到大数定律和中心极限定理的数学表达和推导。

7. 参数估计与假设检验参数估计是根据样本数据对总体参数进行估计，假设检验是根据样本数据对总体参数是否符合某个假设进行检验。

这一章节主要包括点估计、区间估计和假设检验的概念、方法和步骤。

8. 有序与无序排列的计数问题有序排列是指考虑元素的排列顺序，无序排列是指不考虑元素的排列顺序。

这一章节主要涉及到有序与无序排列的计数问题，如排列、组合、多重集合等。

随机事件与概率知识点随机事件和概率是概率论中的基本概念，它们揭示了不确定性现象背后的规律性。

本文将介绍随机事件的定义及性质，以及概率的概念、性质和计算方法。

一、随机事件的定义随机事件是指在一定条件下，具有不确定性的事件。

简单来说，就是不知道会发生什么的事件。

一个事件发生与否，可以用0或1表示，其中0代表事件不发生，1代表事件发生。

这种不确定性使得我们需要运用概率论的知识来描述和研究。

对于一个随机试验，其样本空间为Ω，由所有可能出现的结果组成。

样本空间中的每一个元素称为一个样本点，记作ω。

而样本空间中的子集，称为事件。

简单来说，事件就是样本空间的一个子集，用来描述某些结果的集合。

二、随机事件的性质1. 必然事件和不可能事件：必然事件是指在所有可能的结果中，一定会发生的事件。

记作Ω，其对应的概率为1。

例如，在一次掷骰子的实验中，必然事件就是出现的点数在1至6之间。

不可能事件是指在所有可能的结果中，一定不会发生的事件。

记作∅，其对应的概率为0。

例如，在一次掷骰子的实验中，不可能事件就是出现的点数为7。

2. 事件的互斥与对立：互斥事件是指两个事件不能同时发生的情况。

例如，掷骰子出现的点数为奇数和出现的点数为偶数就是互斥事件，因为在一次实验中，掷出奇数的点数和掷出偶数的点数不可能同时发生。

对立事件是指两个事件必定有一个发生，但不能同时发生的情况。

例如，掷骰子出现的点数为奇数和出现的点数为偶数就是对立事件。

三、概率的概念与性质概率是描述随机事件发生可能性大小的数值，通常用P(A)表示。

概率的取值范围在0到1之间，其中0代表不可能事件，1代表必然事件。

1. 古典概型：古典概型是指所有样本点出现的概率相等的情况。

例如，在一次掷骰子的实验中，每个点数出现的概率都是1/6。

2. 几何概型：几何概型是指样本空间是一个有限的几何图形的情况。

例如，在一个正方形平面内随机选择一个点，那么点落在正方形的某个子区域中的概率就可以通过计算子区域面积与正方形面积的比值得到。

随机事件与概率知识点总结概率是我们日常生活中经常用到的概念，它与随机事件密切相关。

在这篇文章中，我们将总结一些关于随机事件与概率的重要知识点。

一、随机事件的定义与表示方式随机事件是指在相同的随机试验中可能发生的某个结果或某些结果的集合。

我们可以用事件的名称或符号来表示随机事件。

例如，事件A表示“掷一枚硬币正面朝上”，事件B表示“掷一枚硬币反面朝上”。

二、随机事件的分类随机事件可以分为互斥事件和非互斥事件。

1. 互斥事件互斥事件指的是两个事件不能同时发生。

例如，事件A表示“掷一枚硬币正面朝上”，事件B表示“掷一枚硬币反面朝上”。

在同一次试验中，事件A和事件B是互斥事件，因为硬币不能同时正反面朝上。

2. 非互斥事件非互斥事件指的是两个事件可以同时发生。

例如，事件C表示“掷一颗六面骰子，点数为偶数”，事件D表示“掷一颗六面骰子，点数为3”。

在同一次试验中，事件C和事件D是非互斥事件，因为骰子可能同时满足偶数和点数为3这两个条件。

三、概率的定义与性质概率是一个表示事件发生可能性的数值，通常用0到1之间的实数表示。

概率的性质包括：1. 非负性任何事件的概率都不小于0，即P(A)≥0。

2. 规范性样本空间Ω中的事件A的概率为1，即P(Ω)=1。

3. 可列可加性如果事件A1、A2、A3...两两互斥，那么这些事件的概率之和等于它们的并集的概率，即P(A1∪A2∪A3...)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+...。

四、概率的计算方法计算概率的方法有频率法、古典概型法和几何概型法。

1. 频率法频率法是通过实验来估计事件发生的概率。

当我们进行大量试验时，事件发生的频率趋近于事件发生的概率。

例如，我们翻一枚硬币100次，正面朝上的次数为60次，那么事件“掷一枚硬币正面朝上”的概率可以估计为60/100=0.6。

2. 古典概型法古典概型法适用于样本空间有限、各个结果概率相等的情况。

例如，掷一枚骰子，点数为1、2、3、4、5、6的概率都相等，即P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5)=P(6)=1/6。

概率统计知识点总结概率统计是一门研究随机现象规律性的数学学科，主要研究随机变量的分布、参数估计、假设检验、方差分析等内容。

下面是对概率统计中的一些重要知识点的总结：1. 随机事件与概率：随机事件是指试验中可能发生也可能不发生的结果，概率是描述随机事件发生可能性的数值。

概率由经典概率、几何概率和统计概率三类组成。

2. 随机变量与概率分布：随机变量是一个能随机变化的量，可以分为离散随机变量和连续随机变量。

概率分布指的是随机变量各个取值及其相应的概率。

3. 期望与方差：期望是统计量中的一个重要概念，描述了随机变量在一次试验中平均取值的大小。

方差则是描述随机变量取值分散程度的一个指标。

4. 大数定律与中心极限定理：大数定律指的是当样本容量足够大时，样本平均值会趋近于理论期望。

中心极限定理则是指当样本容量足够大时，样本均值的分布会趋近于正态分布。

5. 参数估计与假设检验：参数估计是通过样本数据来估计总体参数的值，可以分为点估计和区间估计。

假设检验则是通过样本数据来判断总体参数的假设是否成立。

6. 方差分析与回归分析：方差分析是根据不同因素对总体均值的影响进行推断的一种方法。

回归分析则是研究因变量与自变量之间关系的一种方法，可以进行线性回归和非线性回归。

7. 相关分析与统计推断：相关分析是研究两个变量之间关系的一种方法，可以通过计算相关系数来确定两个变量之间的线性关系强度和方向。

统计推断是利用样本数据对总体进行推断的一种方法，可以由样本推断出总体特征。

8. 非参数统计方法：非参数统计方法是在对总体分布形态不做假设的情况下，利用样本统计量进行推断的方法。

它包括了秩和检验、符号检验、分布自由检验等方法。

以上只是概率统计中的一部分重要知识点总结，概率统计的内容非常广泛，应用领域也十分广泛。

希望能够通过学习以上知识点，对概率统计有一个初步的了解。

随机事件及其概率一、随机事件1、必然事件在一定条件下，必然会发生的事件叫作必然事件.2、不可能事件在一定条件下，一定不会发生的事件叫作不可能事件.3、随机事件在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件叫作随机事件，一般用大写字母A，B，C来表示随机事件.4、确定事件必然事件和不可能事件统称为相对于随机事件的确定事件.5、试验为了探索随机现象发生的规律，就要对随机现象进行观察或模拟，这种观察或模拟的过程就叫作试验.【注】（1）在一定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生，事先并不能判断将出现哪种结果，这种现象就叫作随机现象. 应当注意的是，随机现象绝不是杂乱无章的现象，这里的“随机”有两方面意思：①这种现象的结果不确定，发生之前不能预言；②这种现象的结果带有偶然性. 虽然随机现象的结果不确定，带有某种偶然性，但是这种现象的各种可能结果在数量上具有一定的稳定性和规律性，我们称这种规律性为统计规律性. 统计和概率就是从量的侧面去研究和揭示随机现象的这种规律性，从而实现随机性和确定性之间矛盾的统一.（2）必然事件与不可能事件反映的是在一定条件下的确定性现象，而随机事件反映的则是在一定条件下的随机现象.（3）随机试验满足的条件：可以在相同条件下重复进行；所有结果都是明确可知的，但不止一个；每一次试验的结果是可能结果中的一个，但不确定是哪一个. 随机事件也可以简称为事件，但有时为了叙述的简洁性，也可能包含不可能事件和必然事件.二、基本事件空间1、基本事件在试验中不能再分的最简单的随机事件，而其他事件都可以用它们进行描述，这样的事件称为基本事件.2、基本事件空间所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，常用大写字母Ω来表示，Ω中的每一个元素都是一个基本事件，并且Ω中包含了所有的基本事件.【注】基本事件是试验中所有可能发生的结果的最小单位，它不能再分，其他的事件都可以用这些基本事件来表示；在写一个试验的基本事件空间时，应注意每个基本事件是否与顺序有关系；基本事件空间包含了所有的基本事件，在写时应注意不重复、不遗漏.三、频率与概率1、频数与频率在相同条件S 下进行了n 次试验，观察某一事件A 是否出现，则称在n 次试验中事件A 出现的次数A n 为事件A 出现的频数；事件A 出现的比例()A n n f A n=为事件A 出现的频率.对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数n 的增加，事件A 发生的频率()n f A 稳定在某个常数上，则把这个常数称为事件A 的概率，简称为A 的概率，记作()P A .3、频率与概率的关系（1）频率虽然在一定程度上可以反映事件发生的可能性的大小，但频率并不是一个完全确定的数. 随着试验次数的不同，产生的频率也可能不同，所以频率无法从根本上刻画事件发生的可能性的大小，但人们从大量的重复试验中发现：随着试验次数的无限增加，事件发生的频率会稳定在某一固定的值上，即在无限次重复试验下，频率具有某种稳定性.（2）概率是一个常数，它是频率的科学抽象. 当试验次数无限多时，所得到的频率就会近似地等于概率. 另外，概率大，并不表示事件一定会发生，只能说明事件发生的可能性大，但在一次试验中却不一定会发生.四、事件的关系与运算1、包含关系一般地，对于事件A 与事件B ，如果事件A 发生时，事件B 一定发生，则我们称 事件B 包含事件A （或称事件A 包含于事件B ），记作B A ⊇（或A B ⊆）.2、相等关系一般地，对于事件A 与事件B ，如果事件A 发生时，事件B 一定发生，并且如果事件B 发生时，事件A 一定发生，即若B A ⊇且A B ⊇，则我们称事件A 与事件B 相等，记作A B =.3、并事件如果某事件发生当且仅当事件A 或事件B 发生，则我们称该事件为事件A 与事件 B 的并事件（或和事件），记作A B ⋃（或A B +）.如果某事件发生当且仅当事件A发生且事件B也发生，则我们称该事件为事件A 与事件B的交事件（或积事件），记作A B⋂（或A B⋅）.5、互斥事件如果事件A与事件B的交事件A B⋂=∅），则我们称事⋂为不可能事件（即A B件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中都不会同时发生.6、对立事件如果事件A与事件B的交事件A B⋂=∅），而事件A与⋂为不可能事件（即A B事件B的并事件A B⋃=Ω），则我们称事件A与事件B互⋃为必然事件（即A B为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生.【注】事件的关系与运算可以类比集合的关系与运算. 例如，事件A包含事件B 类比集合A包含集合B；事件A与事件B相等类比集合A与集合B相等；事件A 与事件B的并事件类比集合A与集合B的并集；事件A与事件B的交事件类比集合A与集合B的交集……五、互斥事件与对立事件互斥事件与对立事件是今后考察的重点，因此关于互斥事件与对立事件，我们很有必要再作进一步的说明.1、互斥事件与对立事件的关系互斥事件与对立事件都反映的是两个事件之间的关系. 互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除了要求这两个事件不同时发生以外，还要求这两个事件必须有一个发生. 因此，对立事件一定是互斥事件，而互斥事件不一定是对立事件. 例如，掷一枚骰子，事件：“出现的点数是1”与事件：“出现的点数是偶数”是互斥事件，但不是对立事件；而事件：“出现的点数是奇数”与事件：“出现的点数是偶数”既是互斥事件，也是对立事件.2、互斥事件的概率加法公式（1）两个互斥事件的概率之和如果事件A 与事件B 互斥，那么()()()P A B P A P B ⋃=+；（2）有限多个互斥事件的概率之和一般地，如果事件1A ，2A ，…，n A 两两互斥，那么事件“12n A A A ⋃⋃⋃发生”（指事件1A ，2A ，…，n A 中至少有一个发生）的概率等于这n 个事件分别发生的概率之和，即1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋃⋃⋃=+++.【注】上述这两个公式叫作互斥事件的概率加法公式. 在运用互斥事件的概率加法公式时，一定要首先确定各事件是否彼此互斥（如果这个条件不满足，则公式不适用），然后求出各事件分别发生的概率，再求和.3、对立事件的概率加法公式对于对立的两个事件A 与B 而言，由于在一次试验中，事件A 与事件B 不会同时发生，因此事件A 与事件B 互斥，并且A B ⋃=Ω，即事件A 或事件B 必有一个发生，所以对立事件A 与B 的并事件A B ⋃发生的概率等于事件A 发生的概率与事件B 发生的概率之和，且和为1，即()()()()1P P A B P A P B Ω=⋃=+=，或()1()P A P B =-.【注】上述这个公式为我们求事件A 的概率()P A 提供了一种方法，当我们直接求()P A 有困难时，可以转化为先求其对立事件B 的概率()P B ，再运用公式()1()P A P B =-即可求出所要求的事件A 的概率()P A .4、求复杂事件的概率的方法求复杂事件的概率通常有两种方法：一种是将所求事件转化为彼此互斥的事件的和，然后再运用互斥事件的概率加法公式进行求解；另一种是先求其对立事件的概率，然后再运用对立事件的概率加法公式进行求解. 如果采用方法一，一定要准确地将所求事件拆分成若干个两两互斥的事件，不能有重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准所求事件的对立事件，并准确求出对立事件的概率.六、概率的基本性质1、任何事件的概率都在01之间，即对于任一事件A，都有0()1≤≤.P A2、必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.3、若事件A与事件B互斥，则()()()⋃=+.P A B P A P B4、两个对立事件的概率之和为1，即若事件A与事件B对立，则()()1+=.P A P B。

九年级数学概率全部知识点概率在数学中是一个重要的概念，用于描述事件发生的可能性。

在九年级数学学习中，概率也是一个重要的知识点。

本文将对九年级数学概率的全部知识点做一个全面的总结。

一、基本概念1.试验和样本空间：试验是观察的一次实验，样本空间是试验中所有可能结果的集合。

2.随机事件：样本空间的子集称为随机事件，即可能发生的事件。

3.概率：事件发生的可能性大小称为概率，用P(A)表示事件A发生的概率。

二、事件的概率计算1.频率与概率：事件发生的频率趋于某个固定值时，这个值就是概率。

2.等可能概型：所有基本事件的概率相等的情况下，事件A包含的基本事件数除以样本空间的基本事件数即为事件A的概率。

P(A) = n(A) / n(S)，其中n(A)表示事件A包含的基本事件数，n(S)表示样本空间的基本事件数。

3.互斥事件：两个事件不可能同时发生，相互之间没有交集。

对于互斥事件的概率计算，可以直接将两个事件的概率相加。

4.相互独立事件：两个事件的发生与否互不影响。

对于相互独立事件的概率计算，可以将两个事件的概率相乘。

三、概率的性质和计算方法1.加法法则：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)，其中P(A∪B)表示事件A或事件B发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。

2.乘法法则：对于两个独立事件A和B，P(A∩B) = P(A) × P(B)。

3.全概率公式：对于一组互斥事件B1，B2，...，Bn，它们的并集是样本空间S，且概率均大于0，则对任意事件A有P(A) =P(A∩B1) + P(A∩B2) + ... + P(A∩Bn)。

4.条件概率：设事件B的概率大于0，P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。

四、排列与组合1.排列：从n个不同元素中取出m个元素，且考虑元素之间的顺序，有Anm种不同的排列方式，即A(n,m) = n! / (n-m)!。

随机事件及其概率一、随机事件1、必然事件在一定条件下，必然会发生的事件叫作必然事件.2、不可能事件在一定条件下，一定不会发生的事件叫作不可能事件.3、随机事件在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件叫作随机事件，一般用大写字母，，来表示随机事件. CBA4、确定事件必然事件和不可能事件统称为相对于随机事件的确定事件.5、试验为了探索随机现象发生的规律，就要对随机现象进行观察或模拟，这种观察或模拟的过程就叫作试验.【注】（1）在一定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生，事先并不能判断将出现哪种结果，这种现象就叫作随机现象. 应当注意的是，随机现象绝不是杂乱无章的现象，这里的“随机”有两方面意思：①这种现象的结果不确定，发生之前不能预言；②这种现象的结果带有偶然性. 虽然随机现象的结果不确定，带有某种偶然性，但是这种现象的各种可能结果在数量上具有一定的稳定性和规律性，我们称这种规律性为统计规律性. 统计和概率就是从量的侧面去研究和揭示随机现象的这种规律性，从而实现随机性和确定性之间矛盾的统一.1．（2）必然事件与不可能事件反映的是在一定条件下的确定性现象，而随机事件反映的则是在一定条件下的随机现象.（3）随机试验满足的条件：可以在相同条件下重复进行；所有结果都是明确可知的，但不止一个；每一次试验的结果是可能结果中的一个，但不确定是哪一个. 随机事件也可以简称为事件，但有时为了叙述的简洁性，也可能包含不可能事件和必然事件.二、基本事件空间1、基本事件在试验中不能再分的最简单的随机事件，而其他事件都可以用它们进行描述，这样的事件称为基本事件.2、基本事件空间所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，常用大写字母来表示，中的??每一个元素都是一个基本事件，并且中包含了所有的基本事件. ?【注】基本事件是试验中所有可能发生的结果的最小单位，它不能再分，其他的事件都可以用这些基本事件来表示；在写一个试验的基本事件空间时，应注意每个基本事件是否与顺序有关系；基本事件空间包含了所有的基本事件，在写时应注意不重复、不遗漏.三、频率与概率1、频数与频率nn次试验中是否出现，则称在次试验，观察某一事件在相同条件下进行了SAn A n?)(fA为事件事件出现的次数事件出现的频数；为事件出现的比例AAA An n 出现的频率. A2．2、概率f(A)稳的增加，对于给定的随机事件，如果随着试验次数事件发生的频率n AA n 定在某个常数上，则把这个常数称为事件的概率，简称为的概率，记作. )(AP AA3、频率与概率的关系（1）频率虽然在一定程度上可以反映事件发生的可能性的大小，但频率并不是一个完全确定的数. 随着试验次数的不同，产生的频率也可能不同，所以频率无法从根本上刻画事件发生的可能性的大小，但人们从大量的重复试验中发现：随着试验次数的无限增加，事件发生的频率会稳定在某一固定的值上，即在无限次重复试验下，频率具有某种稳定性.（2）概率是一个常数，它是频率的科学抽象. 当试验次数无限多时，所得到的频率就会近似地等于概率. 另外，概率大，并不表示事件一定会发生，只能说明事件发生的可能性大，但在一次试验中却不一定会发生.四、事件的关系与运算1、包含关系一般地，对于事件与事件，如果事件发生时，事件一定发生，则我们称BAABB?AA?B）.（或（或称事件事件包含事件包含于事件），记作BBAA2、相等关系一般地，对于事件与事件，如果事件发生时，事件一定发生，并且如果BBAAB?AA?B，则我们称事件事件发生时，事件且与事件一定发生，即若AAB相等，记作. BAB?3、并事件如果某事件发生当且仅当事件或事件发生，则我们称该事件为事件与事件AAB，记作（或）. 的并事件（或和事件）B??ABAB3．4、交事件如果某事件发生当且仅当事件发生且事件也发生，则我们称该事件为事件ABA与事件的交事件（或积事件），记作（或）. BAA?B?B5、互斥事件如果事件与事件的交事件为不可能事件（即），则我们称事??A?BBAAB?件与事件互斥，其含义是：事件与事件在任何一次试验中都不会同时发BBAA生.6、对立事件如果事件与事件的交事件为不可能事件（即），而事件与?A?B?ABB?AA事件的并事件为必然事件（即），则我们称事件与事件互B?A?B?B?ABA为对立事件，其含义是：事件与事件在任何一次试验中有且仅有一个发生. BA【注】事件的关系与运算可以类比集合的关系与运算. 例如，事件包含事件BA类比集合包含集合；事件与事件相等类比集合与集合相等；事件AAABBAB与事件的并事件类比集合与集合的并集；事件与事件的交事件类比BBBAA集合与集合的交集……BA五、互斥事件与对立事件互斥事件与对立事件是今后考察的重点，因此关于互斥事件与对立事件，我们很有必要再作进一步的说明.1、互斥事件与对立事件的关系互斥事件与对立事件都反映的是两个事件之间的关系. 互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除了要求这两个事件不同时发生以外，还要求这两个事件必须有一个发生. 因此，对立事件一定是互斥事件，而互斥事件不一定是对立事件. 例如，掷一枚骰子，事件：“出现的点数是1”与事件：“出现的点数是偶数”是互斥事件，但不是对立事件；而事件：“出现的点数是奇数”与事件：“出现的点数是偶数”既是互斥事件，也是对立事件.4．2、互斥事件的概率加法公式（1）两个互斥事件的概率之和如果事件与事件互斥，那么；)B)?P(A?B)?P(AP(BA（2）有限多个互斥事件的概率之和AAA?A?L?AA发生”一般地，如果事件两两互斥，那么事件“，，…，nn1221AAA中至少有一个发生）的概率等于这，…，，个事件分别发生（指事件n n21P(A?A?L?A)?P(A)?P(A)?L?P(A).的概率之和，即nn2211【注】上述这两个公式叫作互斥事件的概率加法公式. 在运用互斥事件的概率加法公式时，一定要首先确定各事件是否彼此互斥（如果这个条件不满足，则公式不适用），然后求出各事件分别发生的概率，再求和.3、对立事件的概率加法公式对于对立的两个事件与而言，由于在一次试验中，事件与事件不会同时BABA发生，因此事件与事件互斥，并且，即事件或事件必有一个BB??AAB?A发生，所以对立事件与的并事件发生的概率等于事件发生的概率与ABBAA?事件发生的概率之和，且和为，即B1，或. )(B)?1??)?P(B)1PP(A(BP(P?)?(A?)?PA【注】上述这个公式为我们求事件的概率提供了一种方法，当我们直接)(AP A求有困难时，可以转化为先求其对立事件的概率，再运用公式)BP(P(A)B即可求出所要求的事件的概率. )AP()?AP()?1P(B A4、求复杂事件的概率的方法求复杂事件的概率通常有两种方法：一种是将所求事件转化为彼此互斥的事件的和，然后再运用互斥事件的概率加法公式进行求解；另一种是先求其对立事件的概率，然后再运用对立事件的概率加法公式进行求解. 如果采用方法一，一定要准确地将所求事件拆分成若干个两两互斥的事件，不能有重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准所求事件的对立事件，并准确求出对立事件的概率.5．六、概率的基本性质1、任何事件的概率都在之间，即对于任一事件，都有. 1)??P(A01:0A2、必然事件的概率为，不可能事件的概率为. 013、若事件与事件互斥，则. )(B(A)?PP?P(AB)?BA4、两个对立事件的概率之和为，即若事件与事件对立，则. 1B)?(?AP()P BA16．。