专题2.8二次函数的应用(3)销售问题-2020-2021学年九年级数学上册(解析版)【人教版】

人教版九年级上册数学第十二章二次函数常考应用题总结一、销售问题1、某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．（1）当每千克涨价为多少元时，每天的盈利最多？最多是多少？（2）若商场只要求保证每天的盈利为6000元，同时又可使顾客得到实惠，每千克应涨价为多少元？2、商场某商品现在售价为每件600元，每星期可卖出3000件，市场调查反映；如果上调价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件，已知商品的进价为每件400元，设每星期的销量为y件，每件商品的售价为x（x≥600）元．（1）求y与x的函数关系；（2）每件商品的售价为多少时，每星期所获总利润最大，最大利润是多少元？3、某电子商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程发现，每月销量y（万件）与销售单价x（元）之间关系可以近似地看作一次函数y＝﹣2x+100．（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间函数解析式（利润＝售价﹣制造成本）；（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能够获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能够获得最大利润？最大利润是多少？4、将进货单价为 70 元的某种商品按零售价 100 元一个售出时，每天能售出 20 个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价 1 元，其日销售量就增加 1 个，为了获得最大利润，则应降价多少元？5、某租赁公司拥有汽车100 辆，当每辆车的月租金为3000 元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50 元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150 元，未租出的车每辆每月需要维护费50 元．(1)当每辆车的月租金为3 600 元时，能租出辆；(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?6、某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4800元．设公司每日租出x辆车时，日收益为y元．公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为多少元（用含x的代数式表示）；（1）当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？（2）当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏？7.我区的某公司，用1800万元购得某种产品的生产技术、生产设备，进行该产品的生产加工，已知生产这种产品每件还需成本费40元．经过市场调研发现：该产品的销售单价，需定在100元到200元之间为合理．当单价在100元时，销售量为20万件，当销售单价超过100元，但不超过200元时，每件新产品的销售价格每增加10元，年销售量将减少1万件；设销售单价为x（元），年销售量为y（万件），年获利为W（万元）．（年利润=年销售总额﹣生产成本﹣投资成本）（1）直接写出y与x之间的函数关系式；（2）求第一年的年获利W与x之间的函数关系式，并请说明不论销售单价定为多少，该公司投资的第一年肯定是亏损的，最小亏损是少？（3）在使第一年亏损最小的前提下，若该公司希望到第二年的年底，弥补第一年的亏损后，两年的总盈利为1490万元，且使产品销售量最大，销售单价应定为多少元？8. 在创新素质实践行活动中，某位同学参加了超市某种水果的销售调查工作．已知该水果的进价为8元/千克，下面是他们在调查结束后的对话：A：如果以10元/千克的价格销售，那么每天可以售出300千克；B：如果以13元/千克的价格销售，那么每天可获利750元；C：通过调查验证，我发现每天的销售量与销售单价之间存在一次函数关系．（1）设超市每天该水果的销售量是y（kg），销售单价是x（元），写出y与x的关系；（2）在进货成本不超过1200元时，销售单价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？（3）如果要使该水果每天的利润不低于600元，销售单价应在什么范围内？二、面积问题1、如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900m（篱笆的厚度忽略不计），当AB为多少米时，矩形土地ABCD的面积最大．2、用12m长的栅栏围成一个中间被隔断的鸭舍（栅栏占地面积忽略不计）．(1)如图1，当AB=________m，BC=________m时，所围成两间鸭舍的面积最大，最大值为________m2；(2)如图2，若现有一面长4m的墙可以利用，其余三方及隔断使用栅栏，所围成两间鸭舍面积和的最大值是多少？3、在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子，镜子的长与宽的比是 2：1．已知镜面玻璃的价格是每平方米 120 元，边框的价格是每米 30 元，另外制作这面镜子还需加工费 45 元．设制作这面镜子的总费用是 y 元，镜子的宽度是 x 米．（1）求 y 与 x 之间的关系式．（2）如果制作这面镜子共花了 195 元，求这面镜子的长和宽．三、图像问题1、如图，△ABC 是一块锐角三角形材料，边 BC=6cm，高 AD=4cm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB、AC 上，要使矩形 EGFH 的面积最大，求 EG 的长．2、如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽 4 米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面 2 米，水面下降 1 米时，水面的宽度为多少米．3.如图，足球比赛中，一球员从球门正前方10 m 处将球射向球门．当球飞行的水平距离为6 m 时球到达最高点，此时球离地面3 m．若球运动的路线为一条抛物线,球门的高A B 为2.44 m，球能否被射进球门?4、如图，琪琪的父亲在相距2 米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是 2.5 米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高 1 米的琪琪距较近的那棵树0.5 米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为多少米?5.跳绳时，绳甩到最高处时的形状为抛物线．正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB 为6m，到地面的距离A O 和B D 均为0．9 m．身高为1．4 m 的小丽站在距点O的水平距离为1 m 的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E．以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为 y=ax2+bx+0．9．(1)求该抛物线的解析式；(2)如果小华站在O D 之间，且离点O的距离为3m，当绳子甩到最高处时，刚好通过他的头顶，请你算出小华的身高；(3)如果身高为1．4 m 的小丽站在O D 之间，且离点O的距离为t m，绳子甩到最高处时超过她的头顶，请结合图象，写出t的取值范围：．6、如图：河上有一座抛物线形桥洞，已知桥下的水面离桥拱顶部3m时，水面宽AB=6m，建立如图所示的坐标系．（1）当水位上升0.5m时，求水面宽度CD为多少米？（结果可保留根号）（2）有一艘游船它的左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在上述河流中航行，若这船宽（最大宽度）2米，从水面到棚顶高度为1.8米．问这艘船能否从桥下洞通过？7.随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高．某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润与投资量成正比例关系，如图①所示；种植花卉的利润与投资量成二次函数关系，如图②所示(注：利润与投资量的单位：万元)（1）分别求出利润与关于投资量的函数关系式；（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？。

二次函数的应用——销售问题知识回顾： 1．抛物线21(2)12y x =++的顶点坐标是 ，当x ＝ 时，y 有最 值为 。

2．抛物线()2254y x =--+的顶点坐标是 ，当x ＝ 时，y 有最 值为 。

3．抛物线2247y x x =-++的顶点坐标是 ，当x ＝ 时，y 有最 值为 。

例1：某超市销售一种商品，成本是每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元，经市场调查发现：每天销售量y （千克）与每千克售价x （元）满足一次函数关系，部分数据如下表：⑴求y 与x 之间的函数关系式：⑵设商品每天的总利润为W （元），求W 与x 之间的函数关系式：⑶试说明⑵中总利润W 随售价x 的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少 练习：1．汽车城销售某种型号的汽车，每辆进货价为25万元，经市场调研表明：当销售价为29万元时，平均每周售出8辆，而当销售价每降低万元时，平均每周能多售出4辆，如果设每辆汽车降价x 万元，每辆汽车的销售利润为y 万元。

（销售利润＝销售价－进货价） ⑴求y 与x 的函数关系式；在保证商家不亏本的前提下，写出x 的取值范围； ⑵假设这种汽车平均每周的销售利润为Z 万元，试写出Z 与x 的函数关系式； ⑶当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大最大利润是多少2．李经理按市场价格30元/千克收购了一种可食用的野生菌1000千克存入冷库中，据预测，该野生菌的市场价将以每天每千克上涨1元；但冷库存放这种野生菌时每天需要支付各种费用合计310元，而且这类野生菌在冷库中最多可保存160天，同时，平均每天有3千克的野生菌损坏而不能出售。

⑴设x天后每千克该野生菌的市场价为y元，试写出y与x的函数关系式及x的取值范围；⑵若存放x天后，将这批野生菌一次性出售，设出售这批野生菌获得的利润为W元，试写出W与x的函数关系式；（利润＝销售额－收购成本－各种费用）⑶将这批野生菌存放多少天后出售可获得最大利润最大利润是多少3．某商店经营一组小商品，规定销售单价不得低于成本单价，且获利不得高于100%。

二次函数的应用-销售问题【类型1】二次函数最值问题1.（2014•荆州）我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓．我市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．（1）试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式；并求出自变量x的取值范围；（2）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？2.（2014•丹东）在2014年巴西世界杯足球赛前夕，某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x（x≥60）元，销售量为y套．（1）求出y与x的函数关系式．（2）当销售单价为多少元时，月销售额为14000元；（3）当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？3.（2010•武汉）某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价增加x元（x为10的正整数倍）．（1）设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式；（3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？4.（2014•抚顺）某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y （千克）与销售价x （元/千克）之间的函数关系如图所示：（1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）求每天的销售利润W （元）与销售价x （元/千克）之间的函数关系式．当销售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？5.杰瑞公司成立之初投资1500万元购买新生产线生产新产品，此外，生产每件该产品还需要成本60元．按规定，该产品售价不得低于100元/件且不得超过180元/件，该产品销售量y （万件）与产品售价x （元）之间的函数关系如图所示．（1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出x 的取值范围；（2）第一年公司是盈利还是亏损？求出当盈利最大或者亏损最小时的产品售价；（3）在（2）的前提下，即在第一年盈利最大或者亏损最小时，第二年公司重新确定产品售价，能否使两年共盈利达1340万元？若能，求出第二年产品售价；若不能，请说明理由．6.（2014•西宁）今年5月1日起实施《青海省保障性住房准入分配退出和运营管理实施细则》规定：公共租赁住房和廉租住房并轨运行（以下简称并轨房），计划10年内解决低收入人群住房问题．已知第x 年（x 为正整数）投入使用的并轨房面积为y 百万平方米，且y 与x 的函数关系式为y=﹣16x+5．由于物价上涨等因素的影响，每年单位面积租金也随之上调．假设每年的并轨房全部出租完，预计第x 年投入使用的并轨房的单位面积租金z 与时间x 满（2）设第x 年政府投入使用的并轨房收取的租金为W 百万元，请问政府在第几年投入使用的并轨房收取的租金最多，最多为多少百万元？【类型2】二次函数方案问题（2013•青岛）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．（2014•呼伦贝尔）某商品的进价为每件20元，售价为每件25元时，每天可卖出250件．市场调查反映：如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件．（1）求出每天所得的销售利润w（元）与每件涨价x（元）之间的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大；（3）商场的营销部在调控价格方面，提出了A，B两种营销方案．方案A：每件商品涨价不超过5元；方案B：每件商品的利润至少为16元．请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．3.（2014•滦县一模）为了抓住国家降低汽车购置税，刺激汽车消费的大好机遇，实现新的发展，汽车生产企业策划部拟定了以下两种新的投资方案．方案一：生产家用型汽车，每辆汽车成本为a万元（a为常数，且3＜a＜8），每辆汽车销售价为10万元，每年最多可生产200辆；方案二：生产豪华型汽车，每辆汽车成本为8万元，每辆汽车销售价为18万元，每年最多可生产120辆．假设生产汽车的辆数为x（x为正整数），且生产的汽车可全部售出，又已知年销售x辆豪华型汽车时需上交0.05x2万元的附加税．在不考虑其他因素的情况下：（1）分别写出该企业两个投资方案的年利润y1、y2与生产汽车辆数x之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；（2）分别求出这两个投资方案的最大年利润；（3）如果你是企业决策者，为了获得最大收益，你会选择哪种投资方案？4.（2014•裕华区模拟）2013年我国多地出现雾霾天气，某企业抓住商机准备生产空气净化设备，该企业决定从以下两个投资方案中选择一个进行投资生产，方案一：生产甲产品，每件产品成本为a元（a为常数，且40＜a＜100），每件产品销售价为120元，每年最多可生产125万件；方案二：生产乙产品，每件产品成本价为80元，每件产品销售价为180元，每年可生产120万件，另外，年销售x万件乙产品时需上交0.5x2万元的特别关税，在不考虑其它因素的情况下：（1）分别写出该企业两个投资方案的年利润y1（万元）、y2（万元）与相应生产件数x（万件）（x为正整数）之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；（2）分别求出这两个投资方案的最大年利润；（3）如果你是企业决策者，为了获得最大收益，你会选择哪个投资方案？5.某服装经销商甲库存有进价每套400元的A品牌服装1200套，正常销售时每套600元，每月可卖出100套，一年刚好卖完．现市场上流行B品牌服装，此品牌服装进价每套200元，售出每套500元，每月可卖出120套（两种服装的市场行情相互不受影响）．目前有一可进B品牌服装的机会，若这一机会错过，估计一年内进不到这种服装，可是经销商手头无流动资金可用，只有折价转让A品牌服装，经与销售商乙协商，达成协议，转让价格（元/套）现在经销商甲面临三种选择：方案一：不转让A品牌服装，也不经销B品牌服装；方案二：全部转让A品牌服装，用转让得来的资金一次性购入B品牌服装后，经销B品牌服装；方案三：为谋求更高利润，部分转让A品牌服装，用转让来的资金一次性购入B品牌服装后，经销B品牌服装，同时也经销A品牌服装．问：（1）如经销商甲选择方案一，则他在一年内能获得多少利润？（2）如经销商甲选择方案二，则他在一年内能获得多少利润？（3）经销商甲选择哪种方案可以使自己在一年内获得最大利润？并求出此时他转让给经销商乙的A品牌服装的数量是多少？此时他在这一年内共得利润多少元？【类型3】二次函数图象与不等式（2009•武汉四月调考）某商场将进货价为30元的书包以40元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种书包的售价每上涨1元，其销售量就减少10个．（1）请写出每月售出书包利润y（元）与每个书包涨价x（元）间的函数关系式；（2）设每月的利润为10 000元，此利润是否为该月的最大利润，请说明理由；（3）请分析并回答售价在什么范围内商家获得的月利润不低于6000元？（2009•武汉）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？3.（2011•青岛二模）在创新素质实践行活动中，某位同学参加了超市某种水果的销售调查工作．已知该水果的进价为8元/千克，下面是他们在调查结束后的对话：小明：如果以10元/千克的价格销售，那么每天可以售出300千克；小强：如果以13元/千克的价格销售，那么每天可获利750元；小亮：通过调查验证，我发现每天的销售量与销售单价之间存在一次函数关系．（1）设超市每天该水果的销售量是y（kg），销售单价是x（元），写出y与x的关系；（2）在进货成本不超过1200元时，销售单价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？（3）如果要使该水果每天的利润不低于600元，销售单价应在什么范围内？4.（2012•辽阳）某商场将进价为4000元的电视以4400元售出，平均每天能售出6台．为了配合国家财政推出的“节能家电补贴政策”的实施，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：这种电视的售价每降价50元，平均每天就能多售出3台．（1）现设每台电视降价x元，商场每天销售这种电视的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式．（不要求写出自变量的取值范围）（2）每台电视降价多少元时，商场每天销售这种电视的利润最高？最高利润是多少？（3）商场要想在这种电视销售中每天盈利3600元，同时又要使百姓得到更多实惠，每台电视应降价多少元？根据以上的结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于3600元？5.（2014•青岛）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量）6.（2013•黄冈四月调考）某大学生创业团队新研发了一日常科技用品，决定在市场上进行试销，已知团队试销期间每天需支出各种费用（差旅费、人工费、运输费等）800元，该产品成本价为每个4元，经测算若按成本价5元/个进行推销，每天可销售1440个，若每个提高1元，每天就少销售120个，为便于测算，每个产品的售价x（元）只取整数，设该团队的日净收入为y元．（1）写出y与x的函数关系式，并指出x的取值范围；（2）团队要使得日净收入最大，同时尽可能多的推销产品以扩大人气，则每个产品的售价应定为多少元？此时日净收入是多少？（3）若要求日净收入不低于3000元，则每个产品的售价应定在什么范围？7.（2014•中山模拟）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．（1）该玩具销售单价定为多少元时，商场能获得12000元的销售利润？（2）该玩具销售单价定为多少元时，商场获得的销售利润最大？最大利润是多少？（3）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于46元，且商场要完成不少于500件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？8.（2014•牡丹江）某体育用品商店试销一款成本为50元的排球，规定试销期间单价不低于成本价，且获利不得高于40%．经试销发现，销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．（1）试确定y与x之间的函数关系式；（2）若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润Q元，试写出利润Q（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；当试销单价定为多少元时，该商店可获最大利润？最大利润是多少元？（3）若该商店试销这款排球所获得的利润不低于600元，请确定销售单价x的取值范围．9.（2014•市北区二模）某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售单价x（元/件）与日销售y（件）之间的关系如下表：（1）试判断y与x之间的函数关系式，并求出函数关系式；（2）求日销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（310.（2013•咸宁）为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y=﹣10x+500．（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？（2）设李明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？11.某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=﹣10x+500，（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本=进价×销售量）【类型4】2类商品的二次函数最值问题1.（2014•本溪）国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，低排量的汽车比较畅销，某汽车经销商购进A ，B 两种型号的低排量汽车，其中A 型汽车的进货单价比B 型汽车的进货单价多2万元，花50万元购进A 型汽车的数量与花40万元购进B 型汽车的数量相同，销售中发现A 型汽车的每周销量yA （台）与售价x （万元/台）满足函数关系式y A =-x+20，B 型汽车的每周销量y B （台）与售价x （万元/台）满足函数关系式y B =-x+14．（1）求A 、B 两种型号的汽车的进货单价；（2）已知A 型汽车的售价比B 型汽车的售价高2万元/台，设B 型汽车售价为t 万元/台．每周销售这两种车的总利润为W 万元，求W 与t 的函数关系式，A 、B 两种型号的汽车售价各为多少时，每周销售这两种车的总利润最大？最大总利润是多少万元？（2014•资阳）某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台，空调的采购单价y 1（元/台）与采购数量x 1（台）满足y 1=-20x 1+1500（0＜x1≤20，x 1为整数）；冰箱的采购单价y 2（元/台）与采购数量x 2（台）满足y 2=-10x2+1300（0＜x2≤20，x 2为整数）．（1）经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的119，且空调采购单价不低于1200元，问该商家共有几种进货方案？（2）该商家分别以1760元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完．在（1）的条件下，问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润．3.（2014•石家庄二模）农科院研发了一种新型农作物复合肥料，市场调研结果如下：年产量为x （吨）时，所需的全部费用y （万元）与x （吨）满足关系式y=5x+90，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价Z 甲、Z 乙（万元）均与x （吨）满足一次函数关系．（注：年利润=年销售额﹣全部费用）（1）当x 吨复合肥料仅在甲地销售时，Z 甲=－15x+16，用含x 的代数式表示甲地当年的销售额 _________ ，甲地当年的利润W 甲（万元）与x （吨）之间的函数关系式为 _________ ．（2）当x 吨复合肥料仅在乙地销售时，Z 乙=﹣12x+n （n 为常数），且在乙地当年的最大年利润为72万元，是确定n 的值；（3）如果开发商准备在将生产的42吨复合肥料在甲、乙两地同时销售，设在甲地的销售量为t 吨，写出在两地所获的销售利润之和W （万元）与t （吨）之间的函数关系式，并请你通过计算帮助开发商决策，在甲、乙两地各销售多少吨复合肥料时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少？4.（2014•洪山区一模）某公司开发了一种新型的家电产品，又适逢“家电下乡”的优惠政策．现投资40万元用于该产品的广告促销，已知该产品的本地销售量y 1（万台）与本地的广告费用x （万元）之间的函数关系满足y 1=3x+25，该产品的外地销售量y 2（万台）与外地广告费用t （万元）之间的函数关系可用如图所示的抛物线和线段AB 来表示．其中点A 为抛物线的顶点．（1）结合图象，求出y 2（万台）与外地广告费用t （万元）之间的函数关系式；（2）求该产品的销售总量y （万台）与本地广告费用x （万元）之间的函数关系式；（3）若本地安排的广告费必须在15万元以上，如何安排广告费用才能使销售总量最大？最大总量为多少？【类型5】含参二次函数最值问题1.（2014•长沙二模）长沙市某商业公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未y=根据以上提供的条件解决下列问题：（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数的知识分别确定1≤t≤20，21≤t≤40时，满足这些数据的m （件）与t（天）之间的关系式；（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大的销售利润是多少？（3）在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润（a＜4）给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t（天）的增大而增大，求a的最小值．2.（2014•新华区模拟）创美公司生产的某种时令商品每件成本为20元，据市场调查分析，五月份的日销售量m（件）与时间t（天）符合一次函数关系m=at+b，且t=2时，m=92；t=10时，m=76．而且，前15天每天的价格y1（元/件）与时间t（天）的函数关系式为y1=0.25t+25（1≤t≤15且t为整数），第16天到月底每天的价格y2（元/件）与时间t（天）的函数关系式为y2=﹣0.5t+40（16≤t≤31且t为整数）．（1）求m与t之间的函数关系式；（2）请预测五月份中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？（3）在实际销售的前15天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润（a＜4）给希望工程．公司通过销售记录发现，前15天中，每天扣除捐款后的日销售利润随时间t（天）的增大而增大，求a的取值范围．y1=y2=t+40（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少；（3）在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a 元（a ＜4）给希望工程，公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t （天）的增大而增大，求a 的取值范围．4.（2010•安庆一模）某公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m （件）与时间t （天）的关系如图．未来40天内，前20天每天的价格y 1（元/件）与时间t （天）的函数关系式为y 1＝14t ＋25（1≤t ≤20，且t 为整数），后20天每天的价格30元/件 （21≤t ≤40，且t 为整数）．下面我们就来研究销售这种商品的有关问题：（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的m （件）与t （天）之间的关系式；（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？（3）在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a 元利润（a ＜4）给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天扣除捐赠后的日销售利润随时间t （天）的增大而增大，求a 的取值范围．未来20天内每天的价格y （元/件）与时间t （天）的函数关系式为y 1＝14t ＋25（1≤t ≤20且t 为整数）．下面我们就来研究销售这种商品的有关问题：（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的m （件）与t （天）之间的关系式；（2）设未来20天日销售利润为p （元），请写出p （元） 与t （天）之间的关系式；并预测未来20天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？（3）若该公司预计日销售利润不低于560元，请借助（2）小题中的函数图象确定时间的取值范围，持续了多少天？（4）在实际销售的20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a 元利润（a ＜5）给希望工程．公司通过销售记录发现，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t （天）的增大而增大，求a 的取值范围．6.（2013•随州）某公司投资700万元购甲、乙两种产品的生产技术和设备后，进行这两种产品加工．已知生产甲种产品每件还需成本费30元，生产乙种产品每件还需成本费20元．经市场调研发现：甲种产品的销售单价为x （元），年销售量为y （万件），当35≤x ＜50时，y 与x 之间的函数关系式为y=20﹣0.2x ；当50≤x ≤70时，y 与x 的函数关系式如图所示，乙种产品的销售单价，在25元（含）到45元（含）之间，且年销售量稳定在10万件．物价部门规定这两种产品的销售单价之和为90元．（1）当50≤x ≤70时，求出甲种产品的年销售量y （万元）与x （元）之间的函数关系式．（2）若公司第一年的年销售量利润（年销售利润=年销售收入﹣生产成本）为W （万元），那么怎样定价，可使第一年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少？（3）第二年公司可重新对产品进行定价，在（2）的条件下，并要求甲种产品的销售单价x （元）在50≤x ≤70范围内，该公司希望到第二年年底，两年的总盈利（总盈利=两年的年销售利润之和﹣投资成本）不低于85万元．请直接写出第二年乙种产品的销售单价m （元）的范围．。

二次函数的应用大题专练(七大类型)题型一:考向分析1类型一、销售问题1(2023·浙江湖州·统考一模)为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台相关政策，本市企业提供产品给大学毕业生自主销售，政府还给予大学毕业生一定补贴．已知某种品牌服装的成本价为每件100元，每件政府补贴20元，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系近似满足一次函数：y=-3x+900．(1)若第一个月将销售单价定为160元，政府这个月补贴多少元?(2)设获得的销售利润(不含政府补贴)为w(元)，当销售单价为多少元时，每月可获得最大销售利润?(3)若每月获得的总收益(每月总收益=每月销售利润+每月政府补贴)不低于28800元，求该月销售单价的最小值．【答案】(1)8400元(2)200元(3)140元【解析】(1)解：在y=-3x+900中，令x=160，则y=420，∴政府这个月补贴420×20=8400元；(2)由题意可得：w=-3x+9002+30000，x-100=-3x-200∵a=-3<0，∴当x=200时，w有最大值30000．即当销售单价定为200元时，每月可获得最大利润30000元．(3)设每月获得的总收益为w ，由题意可得：w =-3x+9002+36300，=-3x-190x-100+20-3x+900令w =28800，则-3x-1902+36300=28800，解得：x=140或x=240，∵a=-3<0，则抛物线开口向下，对称轴为直线x=190，∴当140≤x≤240时，w≥28800，∴该月销售单价的最小值为140元．2类型二、图形面积问题2(2023春·湖北武汉·九年级校联考期中)春回大地，万物复苏，又是一年花季到．某花圃基地计划将如图所示的一块长40m，宽20m的矩形空地划分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边长是10m．A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元、4百元．(1)设育苗区的边长为x m，用含x的代数式表示下列各量：花卉A的种植面积是_____m2，花卉B的种植面积是______m2，花卉C的种植面积是_______m2．(2)育苗区的边长为多少时，A，B两种花卉的总产值相等？(3)若花卉A与B的种植面积之和不超过560m2，求A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值．【答案】(1)(x2-60x+800)；(-x2+30x)；(-x2+20x)，(2)32m或10m，(3)168000元【解析】(1)解：∵育苗区的边长为x m，活动区的边长为10m，∴花卉A的面积为：40-x20-x=(x2-60x+800)m2，花卉B的面积为：x40-x-10=(-x2+30x)m2，花卉C的面积为：x20-x=(-x2+20x)m2，故答案为：(x2-60x+800)；(-x2+30x)；(-x2+20x)；(2)解：∵A，B花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元，∴A，B两种花卉的总产值分别为2×x2-60x+800百元和3×-x2+30x百元，∵A，B两种花卉的总产值相等，∴200×x2-60x+800=300×-x2+30x，∴x2-42x+320=0，解方程得x=32或x=10，∴当育苗区的边长为32m或10m时，A，B两种花卉的总产值相等；(3)解：∵花卉A与B的种植面积之和为：x2-60x+800+-x2+30x=(-30x+800)m2，∴-30x+800≤560，∴x≥8，∵设A，B，C三种花卉的总产值之和y百元，∴y=2x2-60x+800+3-x2+30x，+4-x2+20x∴y=-5x2+50x+1600，∴y=-5(x-5)2+1725，∴当x≥8时，y随x的增加而减小，∴当x=8时，y最大，且y=-5(8-5)2+1725=1680(百元)，故A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值168000元．3类型三、拱桥问题3(2023·安徽黄山·统考一模)如图，国家会展中心大门的截面图是由抛物线ADB 和矩形OABC 构成.矩形OABC 的边OA =34米，OC =9米，以OC 所在的直线为x 轴，以OA 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，抛物线顶点D 的坐标为92,245.(1)求此抛物线对应的函数表达式；(2)近期需对大门进行粉刷，工人师傅搭建一木板OM ，点M 正好在抛物线上，支撑MN ⊥x 轴，ON =7.5米，点E 是OM 上方抛物线上一动点，且点E 的横坐标为m ，过点E 作x 轴的垂线，交OM 于点F .①求EF 的最大值.②某工人师傅站在木板OM 上，他能刷到的最大垂直高度是125米，求他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标的范围.【答案】(1)y =-15x -92 2+245；(2)①当m =72时，EF 有最大值165；②32<m <112.【解析】(1)解：由题意知，抛物线顶点D 的坐标为92,245，设抛物线的表达式为y =a x -92 2+245，将点A 0,34 代入抛物线解析式得34=a 0-92 2+245，解得a =-15，∴抛物线对应的函数的表达式为y =-15x -92 2+245；(2)解：①将x =7.5代入y =-15x -92 2+245中，得y =3，∴点M 152,3 ，∴设直线OM 的解析式为y =kx k ≠0 ，将点M 152,3 代入得152k =3，∴k =25，∴直线OM 的解析式为y =25x ，∴EF =-15m -92 2+245-25m =-15m 2+75m +34=-15m -72 2+165，∵-15<0,∴当m =72时，EF 有最大值，为165；②∵师傅能刷到的最大垂直高度是125米，∴当EF >125时，他就不能刷到大门顶部，令EF =125，即-15m -72 2+165=125,解得m 1=32,m 2=112，又∵EF 是关于m 的二次函数，且图象开口向下，∴他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标m 的范围是32<m <112．4类型四、投球问题4(2023·浙江丽水·统考一模)某天，小明在足球场上练习“落叶球”(如图1)，足球运动轨迹是抛物线的一部分，如图2，足球起点在A 处，正对一门柱CD ，距离AC =12m ，足球运动到B 的正上方，到达最高点2.5m ，此时AB =10m ．球门宽DE =5m ，高CD =2m ．(1)以水平方向为x 轴，A 为原点建立坐标系，求足球运动轨迹抛物线的函数表达式．(2)请判断足球能否进球网？并说明理由．(3)小明改变踢球方向，踢球时，保持足球运动轨迹抛物线形状不变的前提下，足球恰好在点E 处进入球网．若离A 点8m 处有人墙GH ，且GH ∥CF ，人起跳后最大高度为2.2m ，请探求此时足球能否越过人墙，并说明理由．【答案】(1)足球运动轨迹抛物线的函数表达式为y =-140x +10 2+2.5(2)足球不能进球网，理由见解析(3)足球能越过人墙，理由见解析【解析】(1)解：由题意得抛物线的顶点坐标为-10，2.5 ，设抛物线的函数表达式为y =a x +10 2+2.5，将0，0 代入得，0=100a +2.5，解得a =-140，∴足球运动轨迹抛物线的函数表达式为y =-140x +10 2+2.5；(2)解：足球不能进球网，理由如下：当x =-12时，y =-140-12+10 2+2.5=2.4，∵2.4>2，∴足球不能进球网．(3)解：足球能越过人墙，理由如下：∵足球运动轨迹抛物线形状不变，并经过点0,0 ，∴设抛物线的函数表达式为y =-140x 2+bx ．如图，由题意知，四边形CDEF 是矩形，则CF =DE =5，在Rt △ACF 中，由勾股定理得AF =AC 2+CF 2=13，∵足球恰好在点E 处进入球网，∴抛物线经过点-13,2 ，将-13,2 代入得，2=-140×-13 2-13b ，解得b =-249520，∴y =-140x 2-249520x ，∵GH ∥CF ，∴△AGH ∽△ACF ，∴AH AF =AG AC ，即AH 13=812，解得AH =263，把x =-263代入得，y =-140×-263 2-249520×-263 =409180，∵409180>2.2，∴足球能越过人墙．5类型五、喷水问题5(2023·山东潍坊·统考一模)如图①，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l 的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H 离地竖直高度OH =1.5米．如图②，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG ，其水平宽度DE =2米，竖直高度EF =1米．下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A 离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.5米，灌溉车到l 的距离OD 为d 米．(1)求上边缘抛物线的函数表达式，并求喷出水的最大射程OC ；(2)求下边缘抛物线与x 轴的正半轴交点B 的坐标；(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带(即矩形DEFC 位于上边缘抛物线和下边缘抛物线所夹区域内)，求d 的取值范围．【答案】(1)6米(2)y=-18x+22+2，2,0(3)2≤d≤22【解析】(1)解：如图，由题意得A2,2是上边缘抛物线的顶点，则设y=a x-22+2．又∵抛物线经过点0,1.5，∴4a+2=1.5，∴a=-18．∴上边缘抛物线的函数解析式为y=-18x-22+2．当y=0时，-18x-22+2=0，∴x1=6，x2=-2(舍去)．∴喷出水的最大射程OC为6m．(2)法一：∵上边缘抛物线对称轴为直线x=2，∴点0,1.5的对称点为4,1.5，∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，∴将点C向左平移4m得到点B的坐标为2,0法二：∵下边缘抛物线可以看做是上边缘抛物线向左平移t个单位长度得到的，∴可设y=-18x+t-22+2，将点0,1.5代入得t1=4，t2=0(舍去)∴下边缘抛物线的关系式为y=-18x+22+2，∴当y=0时，0=-18x+22+2，解得x1=2，x2=-6(舍去)，∴点B的坐标为2,0；(3)解：如图，先看上边缘抛物线，∵EF=1，∴点F的纵坐标为1．当抛物线恰好经过点F时，-18x-22+2=1．解得x=2±22，∵x>0，∴x=2+22．当x>0时，y随着x的增大而减小，∴当2≤x≤6时，要使y≥1，则x≤2+22．∵当0≤x<2时，y随x的增大而增大，且x=0时，y=1.5>0.5，∴当0≤x≤6时，要使y≥0.5，则0≤x≤2+22．∵DE=2，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带，∴d的最大值为2+22-2=22．再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是OB ≤d ，∴d 的最小值为2．综上所述，d 的取值范围是2≤d ≤22．6类型六、几何动点问题1例6．(2023·山东青岛·统考一模)如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC =90°，AB =8cm ，BC =6cm ，AD =10cm ，点P 、Q 分别是线段CD 和AD 上的动点．点P 以2cm/s 的速度从点D 向点C 运动，同时点Q 以1cm s 的速度从点A 向点D 运动，当其中一点到达终点时，两点停止运动，将PQ 沿AD 翻折得到QP ，连接PP 交直线AD 于点E ，连接AC 、BQ ．设运动时间为t s ，回答下列问题：(1)当t 为何值时，PQ ∥AC ？(2)求四边形BCPQ 的面积S cm 2 关于时间t s 的函数关系式；(3)是否存在某时刻t ，使点Q 在∠PP D 平分线上？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)t =409(2)S =35t 2-425t +72(3)存在，t =5【解析】(1)解：过点A 作AK ⊥CD 于点K ，∵∠ABC =90°，AB =8，BC =6，∴由勾股定理得AC =AB 2+BC 2=10，∵AD =10cm ，∴AC =AD ，∴△ACD 是等腰三角形，∴CD =2CK ，又∵AB ∥CD ，∴∠ABC =∠BCD =∠AKC =90°，∴四边形ABCK 是矩形，∴CK =AB =8，∴CD =16，若PQ ∥AC ，∴DP DC =DQ DA，由题意得，DP =2t ,AQ =t 则DQ =10-t ，∴2t 16=10-t 10，解得t =409，所以，t =409时，PQ ∥AC ；(2)过点Q 作QT ⊥CD ，交CD 于点T ，交AB 于点H ，∴AK =HT =BC =6，由(1)知CK =DK =8，AD =10，∴cos ∠D =DK AD =45，∴sin ∠D =AK AD=35=QT DQ =QT 10-t ，∴QT =6-35t ，∴QH =6-6-35t =35t ，∵四边形BCPQ 的面积=S ΔABC +S ΔACD -S ΔPQD -S ΔABQ =12⋅AB ⋅BC +12⋅CD ⋅AK -12⋅DP ⋅QT -12⋅AB ⋅QH ∴S =12×8×6+12×16×6-12⋅2t ⋅6-35t -12×8⋅35t ，整理得S =35t 2-425t +72，即四边形BCPQ 的面积S cm 2 关于时间t s 的函数关系式为S =35t 2-425t +72；(3)如图，设PP 交AD 于点E ，过点Q 作QF ⊥DP 于点F ，由折叠的性质得∠ADP =∠ADP ，PP ⊥AD ，∵AD 平分∠PDP ，QT ⊥PD ,QF ⊥P D ，∴QT =QF =6-35t ,∵点Q 在∠PP D 平分线上，PP ⊥AD ,QF ⊥P D ，∴QF =QE =6-35t ，∴DE =DQ +EQ =10-t +6-35t =16-85t ，∵cos ∠EDP =DE DP=45，即16-85t 2t =45，解得t =5，经检验t =5是分式方程的解且符合题意，所以t =5时，点Q 在∠PP D 平分线上．7类型七、图形运动问题7(2023·天津·校联考一模)在平面直角坐标系中，O 为原点，四边形AOBC 是正方形，顶点A -4，0 ，点B 在y 轴正半轴上，点C 在第二象限，△MON 的顶点M 0，5 ，点N 5，0 ．(1)如图①，求点B ，C 的坐标；(2)将正方形AOBC 沿x 轴向右平移，得到正方形A O B C ，点A ，O ，B ，C 的对应点分别为A ，O ，B ，C ．设OO =t ，正方形A O B C 与△MON 重合部分的面积为S ．①如图②，当1<t ≤4时，正方形A O B C 与△MON 重合部分为五边形，直线B C 分别与y 轴，MN 交于点E ，F ，O B 与MN 交于点H ，试用含t 的式子表示S ；②若平移后重合部分的面积为92，则t 的值是_______(请直接写出结果即可)．【答案】【答案】(1)B 0，4 ，C -4，4(2)①S =-12t 2+5t -12；②5-15或6【解析】(1)解：由A -4,0 ，得AO =4，∵四边形AOBC 正方形，∴OB =BC =4．∴B 0，4 ，C -4，4 ；(2)解：①∵M 0，5 ，N 5，0 ，∠MON =90°，∴OM =ON =5，∠OMN =∠ONM =45°．由平移知，四边形A O B C 是正方形，得B C =4，∠B =∠B O O =90°．∴四边形OO B E 是矩形．∴B E =OO =t ，OE =B O =4，∠B EM =90°．∴∠EFM =45°，∴EF =ME =1，B F =t -1．∵∠B FH =∠EFM =45°，∴∠B HF =45°．∴B H =B F =t -1．当1<t ≤4时，S =OO ⋅OE -12B H ⋅B F =4t -12(t -1)2=-12t 2+5t -12．②当1<t ≤4时，由题意得S =-12t 2+5t -12=92，解得t=5-15或5+15(舍去)；当t=5时，点O 与点N重合，此时S=12×4×4=8>92，∴5<t<9，∴A N=A F=9-t，由题意得129-t2=92，解得t=6或t=12(舍去)；综上，t的值是5-15或6．故答案为：5-15或6．题型二:压轴题速练1一．解答题(共24小题)1(2023•宁波一模)抗击疫情期间，某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，销售过程中发现，该商品每天的销售量y(件)与每件售价x(元)之间存在一次函数关系(其中8≤x≤15，且x为整数)，部分对应值如下表：每件售价(元)91113每天的销售量(件)1059585(1)求y与x的函数关系式．(2)若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元．(3)设该商店销售这种消毒用品每天获利w(元)，问：当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？【答案】(1)y=-5x+150(8≤x≤15)；(2)13元；(3)当每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．【解析】解：(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b，(8≤x≤15)，将(9，105)，(11，95)代入得105=9k+b95=11k+b，解得k=-5b=150，∴y=-5x+150，∴y与x的函数关系式为y=-5x+150(8≤x≤15)；(2)由题意知，利润w=(x-8)(-5x+150)=-5(x-19)2+605，令w=425，则-5(x-19)2+605=425，解得x=13或x=25(不合题意，舍去)，∴每件消毒用品的售价为13元；(3)由(2)知w=-5(x-19)2+605(8≤x≤15)，∵-5<0，∴当8≤x≤15时，w随着x的增大而增大，∴当x=15时，w=525，此时利润最大，∴当每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．2(2023•莱西市一模)某公司电商平台经销一种益智玩具，先用3000元购进一批．售完后，第二次购进时，每件的进价提高了20%，同样用3000元购进益智玩具的数量比第一次少了25件．销售时经市场调查发现，该种益智玩具的周销售量y(件)是关于售价x(元/件)的一次函数，如表仅列出了该商品的售价x(元/件)，周销售量y(件)的三组对应值数据．x407090y1809030(1)求第一次每件玩具的进价；(2)求y关于x的函数解析式；(3)售价x为多少时，第一周的销售利润W最大？并求出此时的最大利润．【答案】(1)第一次每件玩具的进价为20元(2)y=-3x+300(3)当x=60时，第一周的销售利润W最大，此时的最大利润为4800元【解析】解：(1)设第一次每件玩具的进价为m元，则第二次每件玩具的进价为(1+20%)m元，由题意得，3000 m -3000(1+20%)m=25，解得m=20，经检验m=20是原方程的解且符合题意，答：第一次每件玩具的进价为20元；(2)设y=kx+b，把x=40，y=180；x=70，y=9分别代入得，40k+b=180 70k+b=90，解得k=-3b=300，∴y=-3x+300，即y关于x的函数解析式是y=-3x+300；(3)W=y(x-20)=(-3x+300)(x-20)=-3x2+360x-6000=-3(x-60)2+4800，∵a=-3<0，抛物线开口向下，∴当x=60时，第一周的销售利润W最大，此时的最大利润为4800．3(2023•天山区一模)一名高校毕业生响应国家创业号召，回乡承包了一个果园，并引进先进技术种植一种优质水果，经核算这批水果的种植成本为16元/千克、设销售时间为x(天)，通过一个月(30天)的试销，该种水果的售价P(元/千克)与销售时间x(天)满足如图所示的函数关系(其中0≤x≤30，且x为整数)．已知该种水果第一天销量为60千克，以后每天比前一天多售出4千克．(1)直接写出售价P(元/千克)与销售时间x(天)的函数关系式；(2)求试销第几天时，当天所获利润最大，最大利润是多少？【答案】(1)P=-12x+3424(20<x≤30) ；(2)试销第30天时，当天所获利润最大，最大利润是1408元．【解析】解：(1)当0≤x≤20时，设售价P(元/千克)与销售时间x(天)的函数关系式为P=kx+b，把(0，34)，(20，24)代入得20k+b=24b=34，j解得k=-12b=34，∴P=-12x+34；由函数图象可知当20<x≤30时，P=24；综上所述，P=-12x+3424(20<x≤30) ；(2)设第x天的利润为W，∵该种水果第一天销量为60千克，以后每天比前一天多售出4千克，∴第x天的销售量为60+4(x-1)=(4x+56)千克，当0≤x≤20时，∴W=-12x+34-16(4x+56)=-2x2+72x-28x+1008=-2x2+44x+1008=-2(x-11)2+1250∵-2<0，∴当x=11时，W最大，最大为1250；当20<x≤30时，W=(24-16)(4x+56)=32x+448，∵32>0，∴当x=30时，W最大，最大为32×30+448=1408；∵1408>1250，∴试销第30天时，当天所获利润最大，最大利润是1408元．4(2023•武汉模拟)某市新建了一座室内滑雪场，该滑雪场地面积雪厚达40cm，整个赛道长150m，全天共可容纳约3300人滑雪嬉戏．小明和小华相约去体验滑雪，小明从赛道顶端A处下滑，测得小明离A处的距离s(单位：m)随运动时间x(单位：s)变化的数据，整理得下表．滑行时间x/s01234滑行距离s/m06142436经验证小明离A 处的距离s 与运动时间x 之间是二次函数关系．小明出发的同时，小华在距赛道终点30m 的B 处操控一个无人机沿着赛道方向以2m/s 的速度飞向小明，无人机离A 处的距离y (单位：m )与运动时间x (单位：s )之间是一次函数关系．(1)直接写出s 关于x 的函数解析式和y 关于x 的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；(2)小明滑完整个赛道需要耗时多久？(3)小明出发多久后与无人机相遇？​【答案】(1)s 关于x 的函数解析式为s =x 2+5x ，y 关于x 的函数解析式为y =-2x +120；(2)小明滑完整个赛道需要耗时10s ；(3)小明出发8s 与无人机相遇．【解析】解：(1)设s 关于x 的函数解析式为s =ax 2+bx +c ，将(0，0)，(1，6)，(2，14)代入得：c =0a +b +c =64a +2b +c =14 ，解得a =1b =5c =0，∴s =x 2+5x ；根据题意得y =150-30-2x =-2x +120，∴s 关于x 的函数解析式为s =x 2+5x ，y 关于x 的函数解析式为y =-2x +120；(2)在s =x 2+5x 中，令s =150得：150=x 2+5x ，解得x =10或x =-15(舍去)，∴小明滑完整个赛道需要耗时10s ；(3)由x 2+5x =-2x +120得：x =8或x =-15，∴小明出发8s 与无人机相遇．5(2023•邯郸模拟)将小球(看作一点)以速度v 1竖直上抛，上升速度随时间推移逐渐减少直至为0，此时小球达到最大高度，小球相对于抛出点的高度y (m )与时间t (s )的函数解析式为两部分之和，其中一部分为速度v 1(m/s )与时间t (s )的积，另一部分与时间t (s )的平方成正比．若上升的初始速度v 1=10m/s ，且当t =1s 时，小球达到最大高度．(1)求小球上升的高度y 与时间t 的函数关系式(不必写范围)，并写出小球上升的最大高度；(2)如图，平面直角坐标系中，y 轴表示小球相对于抛出点的高度，x 轴表示小球距抛出点的水平距离，向上抛出小球时再给小球一个水平向前的均匀速度v 2(m/s )，发现小球运动的路线为一抛物线，其相对于抛出点的高度y (m )与时间t (s )的函数解析式与(1)中的解析式相同．①若v 2=5m/s ，当t =32s 时，小球的坐标为　152，154 ，小球上升的最高点坐标为(5，5)；求小球上升的高度y 与小球距抛出点的水平距离x 之间的函数关系式；②在小球的正前方的墙上有一高3536m 的小窗户PQ ，其上沿P 的坐标为6，154，若小球恰好能从窗户中穿过(不包括恰好去中点P ，Q ，墙厚度不计)，请直接写出小球的水平速度v 2的取值范围．【答案】(1)y =-5t 2+10t ，小球上升的最大高度是5m ；(2)①152，154 ；(5，5)；y =-15x 2+2x ；②185<v 2<4．【解析】解：(1)根据题意可设y =at 2+10t ，∵当t =1s 时，小球达到最大高度，∴抛物线y =at 2+10t 的对称轴为直线t =1，即-102a=1，解得a =-5，∴上升的高度y 与时间t 的函数关系式为y =-5t 2+10t ，在y =-5t 2+10t 中，令t =1得y =5，∴小球上升的最大高度是5m ；(2)①当t =32s 时，y =-5×32 2+10×32=154，x =v 2t =5×32=152，∴小球的坐标为152，154；由(1)可知，t =1s 时，取得最大高度，x =v 2t =5×1=5，∴小球上升的最高点坐标为(5，5)；由题意可知，x =v 2t ，∴t =x v 2=x 5，∴y =-5×x 5 2+10×x 5=-15x 2+2x ；∴小球上升的高度y 与小球距抛出点的水平距离x 之间的函数关系式是y =-15x 2+2x ；故答案为：152，154 ；(5，5)；②∵PQ =3536m ，P 的坐标为6，154 ，∴Q 6，259；当小球刚好击中P 点时，-5t 2+10t =154，解得t =1.5或t =0.5，∵t >1，∴t =1.5，此时v 2=6t=4m/s ，当小球刚好击中Q 点时，-5t 2+10t =259，解得t =53或t =13，∵t >1，∴t =53，此时v 2=6t =185m/s ，∴v 2的取值范围为：185<v 2<4．6(2023•崂山区一模)跳台滑雪简称“跳雪”，选手不借助任何外力、从起滑台P 处起滑，在助滑道PE 上加速，从跳台E 处起跳，最后落在山坡MN 或者水平地面上．运动员从P 点起滑，沿滑道加速，到达高度OE =42m 的E 点后起跳，运动员在空中的运动轨迹是一条抛物线．建立如图所示平面直角坐标系，OM =38m ，ON =114m ，设MN 所在直线关系式为y =kx +b ．甲运动员起跳后，与跳台OE 水平距离xm 、竖直高度ym 之间的几组对应数据如下：水平距离x /m 010203040竖直高度y /m4248504842(1)求甲运动员空中运动轨迹抛物线的关系式；(2)运动员得分由距离得分+动作分+风速得分组成距离得分：运动员着陆点到跳台OE 水平距离为50m ，即得到60分，每比50m 远1米多得2分；反之，当运动员着陆点每比50m 近1米扣2分．距离分计算采取“2舍3入法”，如60.2米计为60米，60.3米则计为60.5米．动作得分：由裁判根据运动员空中动作的优美程度打分．风速得分：由逆风或者顺风决定．甲运动员动作分、风速加分如下表：距离分动作分风速加分50-2.5请你计算甲运动员本次比赛得分．【答案】(1)y =-150x 2+45x +42；(2)甲运动员本次比赛得分为147.5分．【解析】解：(1)∵抛物线经过点(10，48)，(30，48)，∴对称轴是：直线x =10+302=20，∴顶点坐标为(20，50)，设甲运动员空中运动轨迹抛物线的关系式为：y =a (x -20)2+50，将(0，42)代入得：a (0-20)2+50=42，∴a =-150，∴甲运动员空中运动轨迹抛物线的关系式为：y =-150(x -20)2+50=-150x 2+45x +42；(2)根据题意可得，当y =0时，即-150(x -20)2+50=0，解得：x 1=70，x 2=-30(舍)，则60+2×(70-50)+50+(-2.5)=147.5，所以甲运动员本次比赛得分为147.5分．7(2023•镇平县模拟)为培养学生劳动实践能力，某学校在校西南角开辟出一块劳动实践基地．如图①是其中蔬菜大棚的横截面，它由抛物线AED 和矩形ABCD 构成．已知矩形的长BC =12米，宽AB =3米，抛物线最高点E 到地面BC 的距离为6米．(1)按图①所示建立平面直角坐标系，求抛物线AED 的解析式；(2)冬季到来，为防止大雪对大棚造成损坏，学校决定在大棚两侧安装两根垂直于地面且关于y 轴对称的支撑柱PQ 和NM ，如图②所示．①若两根支撑柱的高度均为5.25米，求两根支撑柱之间的水平距离；②为了进一步固定大棚，准备在两根支撑柱上架横梁PN ，搭建成一个矩形“脚手架”PQMN ，为了筹备材料，需求出“脚手架”三根支杆PQ ，PN ，MN 的长度之和w 的最大值，请你帮管理处计算一下．【答案】(1)抛物线AED 的解析式为：y =-112x 2+6；(2)①两根支撑柱之间的水平距离为6米；②“脚手架”三根支杆PQ ，PN ，MN 的长度之和w 的最大值为18米．【解析】解：(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴AD =BC =12(米)，∴点A (-6，3)，点D (6，3)，根据题意和图象可得，顶点E 的坐标为(0，6)，∴可设抛物线AED 的解析式为：y =ax 2+6，把点A (-6，3)代入解析式可得：36a +6=3，解得：a =-112，∴抛物线AED 的解析式为：y =-112x 2+6；(2)①当y =5.25时，-112x 2+6=5.25，解得x =±3，3-(-3)=3+3=6(米)，∴两根支撑柱之间的水平距离为6米；②设N点坐标为m，-112m2+6，则MQ=2m，MN=-112m2+6，∴w=2m+2-112m2+6=-16m2+2m+12=-16(m-6)2+18，∵-16<0，∴当m=6时，w有最大值，最大值为18，∴“脚手架”三根支杆PQ，PN，MN的长度之和w的最大值为18米．8(2023•宝应县一模)科学研究表明：一般情况下，在一节45分钟的课堂中，学生的注意力随教师讲课的时间变化而变化．经过实验分析，在0≤x≤8时，学生的注意力呈直线上升，学生的注意力指数y与时间x(分钟)满足关系y=2x+68，8分钟以后，学生的注意力指数y与时间x(分钟)的图象呈抛物线形，到第16分钟时学生的注意力指数y达到最大值92，而后学生的注意力开始分散，直至下课结束．(1)当x=8时，注意力指数y为84，8分钟以后，学生的注意力指数y与时间x(分钟)的函数关系式是y=-18x2+4x+60；(2)若学生的注意力指数不低于80，称为“理想听课状态”，则在一节45分钟的课中学生处于“理想听课状态”所持续的时间有多长？(精确到1分钟)(3)现有一道数学压轴题，教师必须持续讲解24分钟，为了使效果更好，要求学生的注意力指数在这24分钟内的最低值达到最大，则该教师上课后从第几分钟开始讲解这道题？(精确到1分钟)(参考数据：6≈2.449)【答案】(1)84，y=-18x2+4x+60；(2)在一节45分钟的课中学生处于“理想听课状态”所持续的时间约有20分钟；(3)教师上课后从第4分钟开始讲解这道题，能使学生的注意力指数在这24分钟内的最低值达到最大．【解析】解：(1)根据题意，把x=8代入y=2x+68可得：y=84，由题意可知，抛物线的顶点坐标为(16，92)，∴可设抛物线的解析式为：y=a(x-16)2+92，把(8，84)代入可得：64a+92=84，解得：a=-1 8，∴y=-18(x-16)2+92=-18x2+4x+60，故答案为：84，y=-18x2+4x+60；(2)由学生的注意力指数不低于80，即y≥80，当0≤x≤8时，由2x+68≥80可得：6≤x≤8；当8<x≤45是，则-18x2+4x+60≥80，即-18(x-16)2+92≥80，整理得：(x-16)2≤96，解得：8<x≤16+46，∴16+46-6=10+46≈20(分钟)，答：在一节45分钟的课中学生处于“理想听课状态”所持续的时间约有20分钟；(3)设教师上课后从第t分钟开始讲解这道题，∵10+46<24，∴0≤t<6，要使学生的注意力指数在这24分钟内的最低值达到最大，则当x=t和当x=t+24时对应的函数值相同，即2t+68=-18(t+24-16)2+92，整理得：(t+16)2=384，解得：t1=86-16，t2=-86-16(舍)，∴t≈4，答：教师上课后从第4分钟开始讲解这道题，能使学生的注意力指数在这24分钟内的最低值达到最大．9(2023•昭阳区一模)新华书店销售一个系列的儿童书刊，每套进价100元，销售定价为140元，一天可以销售20套．为了扩大销售，增加盈利，减少库存，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元．(1)求出y与x的函数关系式；(2)若要书店每天盈利1200元，则每套书销售定价应为多少元？(3)当每套书销售定价为多少元时，书店一天可获得最大利润？这个最大利润为多少元？【答案】(1)y=-2x2+20x+400；(2)若要书店每天盈利1200元，则每套书销售定价应为130元或120元；(3)当每套书销售定价为125元时，书店一天可获得最大利润，最大利润为1250元．【解析】解：(1)由题意可得：销售量=(20+2x)套，则y=(20+2x)(140-x-100)=(2x+20)(40-x)=-2x2+60x+800，∴y与x的函数关系式为：y=-2x2+60x+800；(2)由题意可得：当y=1200时，即-2x2+60x+800=1200，解得：x1=10，x2=20，∴140-10=130(元)，140-20=120(元)，答：若要书店每天盈利1200元，则每套书销售定价应为130元或120元；(3)由(1)可知：y=-2x2+60x+800=-2(x-15)2+1250，∵-2<0，∴当x=15时，y有最大值，最大值为1250，此时，售价=140-15=125(元)，答：当每套书销售定价为125元时，书店一天可获得最大利润，最大利润为1250元．10(2023•大丰区一模)比萨斜塔是意大利的一座著名斜塔，据说物理学家伽利略曾在塔顶上做过著名的自由落体试验：在地球上同一地点，不同质量的物体从同一高度同时下落，如果除地球引力外不考虑其他外力的作用，那么它们的落地时间相同．已知：某建筑OA的高度为44.1m，将一个小铁球P(看成一个点)从A处向右水平抛出，在水平方向小铁球移动的距离d(m)与运动时间t(s)之间的函数表达式是：d=7t，在竖直方向物体的下落距离h(m)与下落时间t(s)之间的函数表达式为h=4.9t2．以点O为坐标原点，水平向右为x轴，OA所在直线为y轴，取1m为单位长度，建立如图所示平面直角坐标系，已知小铁球运动形成的轨迹为抛物线．(1)求小铁球从抛出到落地所需的时间；(2)当t=1时，求小铁球P此时的坐标；(3)求抛物线的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．【答案】(1)小铁球从抛出到落地所需的时间为3秒；(2)(7，39.2)；(3)y=-110x2+44.1(0≤x≤21)．【解析】解：(1)根据题意可得，OA的高度为44.1m，且竖直方向物体的下落距离h(m)与下落时间t(s)之间的函数表达式为h=4.9t2，∴当h=44.1时，小铁球落到地面，∴4.9t2=44.1，解得：t1=3，t2=-3(舍)，答：小铁球从抛出到落地所需的时间为3秒；(2)当t=1时，则d=7×1=7，h=4.9×12=4.9，∴y p=44.1-4.9=39.2，∴小铁球P此时的坐标为(7，39.2)；(3)由(1)可知小铁球从抛出到落地所需的时间为3秒，∴d=7×3=21，∴OB=21(m)，即B(21，0)，根据题意可得，顶点坐标为A(0，44.1)，∴可设抛物线解析式为：y=ax2+44.1，将点B(21，0)代入得：441a+44.1=0，解得：a=-1 10，∴抛物线的函数表达式为：y=-110x2+44.1(0≤x≤21)．11(2023•南昌模拟)一个运动员跳起投篮，球的运行路线可以看做是一条抛物线，如图1所示，图2是它的示意图，球的出手点D到地面EB的距离为2.25m(即DE=2.25m，当球运行至F处时，水平距离为2.5m(即F到DE的距离为2.5m)，达到最大高度为3.5m，已知篮圈中心A到地面EB的距离为3.05m，篮球架AB可以在直线EB上水平移动．(1)请建立恰当的平面直角坐标系，求该抛物线的解析式；(2)若篮球架离人的水平距离EB为4.5m，问该运动员能否将篮球投入篮圈？若能，说明理由；若不能，算一算将篮球架往哪个方向移动，移动多少距离，该运动员此次所投的篮球才能投入篮圈．。

二次函数有关的应用---营销问题1、某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．2、某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x（x≥60）元，销售量为y套．（1）求出y与x的函数关系式．（2）当销售单价为多少元时，月销售额为14000元；（3）当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？3、鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x=60时，y=80；x=50时，y=100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（2）求该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．（3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？4、某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销． 经调查有如下数据：销售单价x （元/件） … 20 30 40 50 60 …每天销量y （件） … 500 400 300 200 100 …（1）判断y 与x 的之间的函数关系，并求出函数关系式；（2）市物价部门规定：该工艺品销售单价最高不能超过35元/件，那么销售单价定为多少时，工艺品厂每天获得的利润最大？最大利润是多少元？5、某大学毕业生响应国家“自主创业”的号召，投资开办了一个装饰品商店．该店采购进一种今年新上市的饰品进行了30天的试销售，购进价格为20元／件．销售结束后，得知日销售量P(件)与销售时间x(天)之间有如下关系：P=-2x+80(1≤x≤30，且x 为整数)；又知前20天的销售价格1Q (元/件)与销售时间x(天)之间有如下关系：11Q 302x =+ (1≤x≤20，且x 为整数)，后10天的销售价格2Q (元/件)与销售时间x(天)之间有如下关系：2Q =45(21≤x≤30，且x 为整数)．(1)试写出该商店前20天的日销售利润1R (元)和后l0天的日销售利润2R (元)分别与销售时间x(天)之间的函数关系式；(2)请问在这30天的试销售中，哪一天的日销售利润最大?并求出这个最大利润．注：销售利润＝销售收入一购进成本．6、某企业接到一批粽子生产任务，按要求在15天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只6元，为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x 天生产的粽子数量为y 只，y 与x 满足下列关系式：54(05)30120(515)x x y x x ≤≤⎧=⎨+<≤⎩（1）李明第几天生产的粽子数量为420只？（2）如图，设第x 天每只粽子的成本是p 元，p 与x 之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若李明第x 天创造的利润为w 元，求w与x 之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少元？（利润=出厂价-成本）参考答案：1.某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．【解答】解：（1）由题意得，销售量=250﹣10（x﹣25）=﹣10x+500，则w=（x﹣20）（﹣10x+500）=﹣10x2+700x﹣10000；（2）w=﹣10x2+700x﹣10000=﹣10（x﹣35）2+2250．∵﹣10＜0，∴函数图象开口向下，w有最大值，当x=35时，w最大=2250，故当单价为35元时，该文具每天的利润最大；（3）A方案利润高．理由如下：A方案中：20＜x≤30，故当x=30时，w有最大值，此时w A=2000；B方案中：，故x的取值范围为：45≤x≤49，∵函数w=﹣10（x﹣35）2+2250，对称轴为直线x=35，∴当x=45时，w有最大值，此时w B=1250，∵w A＞w B，∴A方案利润更高．2.某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x（x≥60）元，销售量为y套．（1）求出y与x的函数关系式．（2）当销售单价为多少元时，月销售额为14000元；（3）当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？【解答】解：（1），∴y=﹣4x+480（x≥60）；（2）根据题意可得，x（﹣4x+480）=14000，解得，x1=70，x2=50（不合题意舍去），∴当销售价为70元时，月销售额为14000元．（3）设一个月内获得的利润为w元，根据题意，得w=（x﹣40）（﹣4x+480），=﹣4x2+640x﹣19200，=﹣4（x﹣80）2+6400，当x=80时，w的最大值为6400∴当销售单价为80元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润是6400元．3、鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x=60时，y=80；x=50时，y=100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（2）求该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．（3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？【解答】解：（1）设y=kx+b，根据题意得，解得：k=﹣2，b=200，∴y=﹣2x+200（30≤x≤60）；（2）W=（x﹣30）（﹣2x+200）﹣450=﹣2x2+260x﹣6450=﹣2（x﹣65）2+2000；（3）W=﹣2（x﹣65）2+2000，∵30≤x≤60，∴x=60时，w有最大值为1950元，∴当销售单价为60元时，该公司日获利最大，为1950元．4、（1）猜想y是x的一次函数.设这个一次函数为(0)y kx b k=+≠，∵假设这个一次函数的图象经过（20，500），（30，400）这两点，∴5002040030k b k b=+⎧∴⎨=+⎩，解得10700kb=-⎧⎨=⎩，∴10700y x=-+．……………………………………3分经验证，其他几个点也在该函数图象上，所求函数式是一次函数10700y x =-+．………………………………………4分（2）设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润是W 元，依题意得：22(10)(10700)10800700010(40)+9000W x x x x x =--+=-+-=--，………6分 100-<，∴抛物线开口向下，当35x ≤时，W 的值随着x 值的增大而增大，∴销售单价定为35元∕件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大．7分此时，8750=最大W （元）……………………………………8分5、（1）根据题意,得R1=P （Q1-20）=（-2x+80）[（ x+30）-20],=-x2+20x+800（1≤x ≤20,且x 为整数）,R2=P （Q2-20）=（-2x+80）（45-20）,=-50x+2000（21≤≤30,且x 为整数）；（2）在1≤x ≤20,且x 为整数时,∵R1=-（x-10）2+900,∴当x=10时,R1的最大值为900,在21≤x ≤30,且x 为整数时,∵R2=-50x+2000,-50＜0,R2随x 的增大而减小,∴当x=21时,R2的最大值为950,∵950＞900,∴当x=21即在第21天时,日销售利润最大,最大值为950元．点评：本题需要反复读懂题意,根据营销问题中的基本等量关系建立函数关系式,根据时间段列出分段函数,再结合自变量取值范围分别求出两个函数的最大值,并进行比较,得出结论6、（1）设李明第n 天生产的粽子数量为420只，由题意可知：30n+120=420，解得n=10．答：第10天生产的粽子数量为420只．（2）由图象得，当0≤x ≤9时，p=4.1；当9≤x ≤15时，设P=kx+b ，把点（9，4.1），（15，4.7）代入得，， 解得，∴p=0.1x+3.2，①0≤x ≤5时，w=（6﹣4.1）×54x=102.6x ，当x=5时，w 最大=513（元）；②5＜x≤9时，w=（6﹣4.1）×（30x+120）=57x+228，∵x是整数，∴当x=9时，w最大=714（元）；③9＜x≤15时，w=（6﹣0.1x﹣3.2）×（30x+120）=﹣3x2+72x+336，∵a=﹣3＜0，∴当x=﹣=12时，w最大=768（元）；综上，当x=12时，w有最大值，最大值为768．。

专题08 二次函数实际应用中的利润问题 经典例题例1.某电商销售某种商品一段时间后，发现该商品每天的销售量y （单位：千克）和每千克的售价x （单位：元）满足一次函数关系（如图所示），其中5080x ≤≤， （1）求y 关于x 的函数解析式；（2）若该种商品的成本为每千克40元，该电商如何定价才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）y 关于x 的函数解析式为2200y x =-+；（2）该电商定价为70元时才能使每天获得的利润最大，最大利润是1800元．【解析】（1）设y 关于x 的函数解析式为y kx b =+，则由图象可得()50,100和()80,40，代入得：501008040k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：2200k b =-⎧⎨=⎩，∴y 关于x 的函数解析式为2200y x =-+； （2）设该电商每天所获利润为w 元，由（1）及题意得：()()240220022808000w x x x x =--+=-+-，∴-2＜0，开口向下，对称轴为702b x a=-=， ∴5080x ≤≤，∴当70x =时，w 有最大值，即为22702807080001800w =-⨯+⨯-=； 答：该电商定价为70元时才能使每天获得的利润最大，最大利润是1800元．例2.合肥百货大楼以进价120元购进某种新商品，在5月份试销阶段发现，在售价不低于130元的情况下每件售价（元）与商品的日销量（件）始终存在下表中的数量关系：a 值为 （2）若百货大楼该商品柜组想日盈利达到1600元，应将售价定为多少元？（3）柜组售货员小李发现销售该种商品m 件与n 件的利润相同，且m n ≠，请直接写出m与n 所满足的关系式．【答案】（1）20；（2）160元；（3）m +n =80【解析】（1）∴130+70=200，135+65=200，140+60=200，∴每件的售价与产品的日销量之和为200，∴a =200-180=20，故答案为：20；（2）由（1）知：当每件产品每涨价1元时，日销售量减少1件，设每件产品定价为x 元（x ＞120），则产品的日销量为（200-x ）元，依题意得：（x -120）（200-x ）=1600，整理得：x 2-320x +25600=0，解得：x 1=x 2=160． 答：每件产品定价为160元时，每日盈利可达到1600元；（3）由（1）知：当每件产品每涨价1元时，日销售量减少1件，∴当销售该种商品m 件时，定价为：（200-m ）元，销售该种商品n 件时，定价为：（200-n ）元，由题意得：（200-m -120）m =（200-n -120）n ，整理得：（m -n ）（m +n -80）=0，∴m ≠n ，∴m +n -80=0，即m +n =80．故答案为：（1）20；（2）160元；（3）m +n =80例3.某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个40元，在销售过程中发现，这款蒸蛋器销售单价为60元时，每星期卖出100个．如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2个，现网店决定提价销售，设销售单价为x 元，每星期销售量为y 个．（1）请直接写出y （个）与x （元）之间的函数关系式；（2）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是2400元？（3）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1）y =-2x +220；（2）当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元；（3）当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元．【解析】（1）由题意可得，y =100-2（x -60）=-2x +220；（2）由题意可得，（-2x +220）（x -40）=2400，解得，170x =，280x =，∴当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元．答：当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元．（3）设该网店每星期的销售利润为w 元，由题意可得w =（-2x +220）（x -40）=223008800-+-x x ， 当752b x a=-=时，w 有最大值，最大值为2450， ∴当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元．答：当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元．【变式训练1】天府新区某商场开业后要经营一种新上市的文具进价为10元/件．试营销阶段发现：当销售单价是13元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件，设该商场销售这种文具每天的销售量为y 件，销售单价为x 元/件(3)1x ≥．（1）写出y 与x 之间的函数关系式；（2）设商场每天的销售利润为w （元），若每天销售量不少于150件，求商场每天的最大利润．【答案】（1）10380y x =-+；（2）1950元【解析】（1）当销售单价是13元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件，∴销售量y 件，销售单价x 元/件(13)x 之间的关系为：25010(13)10380y x x =--=-+；（2）每天销售量不少于150件，150y ∴，即10380150x -+，解得23x ， 商场每天的销售利润2(10)(10)(10380)10(24)1960w x y x x x =-⋅=-⋅-+=--+， w ∴关于x 的抛物线对称轴为24x =，而100-<，开口向下，当23x 时，图象在对称轴左侧，w 随x 的增大而增大， 23x ∴=时，w 最大，且w 最大值为1950，∴若每天销售量不少于150件，则商场每天的最大利润是1950元．【变式训练2】某地区在2020年开展脱贫攻坚的工作中大力种植有机蔬菜．某种蔬菜的销售单价与销售月份之间的关系如图（1）所示，每千克成本与销售月份之间的关系如图（2）所示（其中图（1）的图象是直线，图（2）的图象是抛物线）．（1）求每千克蔬菜销售单价y 与销售月份x 之间的关系式；（2）判断哪个月份销售每千克蔬菜的收益最大？并求出最大收益；（3）求出一年中销售每千克蔬菜的收益大于1元的月份有哪些？【答案】（1）y =23-x +7；（2）5月出售每千克收益最大，最大为73元；（3）一年中销售每千克蔬菜的收益大于1元的月份有4，5，6三个月．【解析】（1）设y kx b =+，将(3,5)和(6,3)代入得，3563k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得237k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩．273y x ∴=-+； （2）设每千克成本与销售月份之间的关系式为：y =a （x -6）2+1，把(3,4)代入得， 4=a （3-6）2+1，解得13a =．21(6)13y x ∴=-+，即214133y x x =-+． 收益23W =-217(413)3x x x +--+217(5)33x =--+， 103a =-<，∴当5x =时，73W =最大值．故5月出售每千克收益最大，最大为73元； （3）一年中销售每千克蔬菜的收益：23W =-217(413)3x x x +--+， 当1W =时，23-217(413)13x x x +--+=，解得：x 1=7，x 2=3， 103a =-<，x 为正整数，∴一年中销售每千克蔬菜的收益大于1元的月份有4，5，6三个月．故答案为：（1）y =23-x +7；（2）5月出售每千克收益最大，最大为73元；（3）一年中销售每千克蔬菜的收益大于1元的月份有4，5，6三个月．【变式训练3】红星公司销售一种成本为40元/件的产品，若月销售单价不高于50元/件．一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少0.1万件．其中月销售单价不低于成本．设月销售单价为x （单位：元/件），月销售量为y （单位：万件）．（1）直接写出y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）当月销售单价是多少元/件时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？（3）为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款a 元．已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元，求a 的值．【答案】（1）5(4050)0.110(50100)x y x x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩；（2）当月销售单价是70元/件时，月销售利润最大，最大利润是90万元；（3）4．【解析】（1）由题意，当4050x ≤≤时，5y =，当50x >时，50.1(50)0.110y x x =--=-+，0y ≥，0.1100x ∴-+≥，解得100x ≤，综上，5(4050)0.110(50100)x y x x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩；（2）设该产品的月销售利润为w 万元，①当4050x ≤≤时，5(40)5200w x x =-=-，由一次函数的性质可知，在4050x ≤≤内，w 随x 的增大而增大，则当50x =时，w 取得最大值，最大值为55020050⨯-=；②当50100x <≤时，2(40)(0.110)0.1(70)90w x x x =--+=--+，由二次函数的性质可知，当70x =时，w 取得最大值，最大值为90，因为9050>，所以当月销售单价是70元/件时，月销售利润最大，最大利润是90万元； （3）捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元（大于50万元）， 5070x ∴<≤，设该产品捐款当月的月销售利润为Q 万元，由题意得：(40)(0.110)Q x a x =---+，整理得：221400.1()390240a a Q x a +=--+-+， 140702a +>，∴在5070x <≤内，Q 随x 的增大而增大， 则当70x =时，Q 取得最大值，最大值为(7040)(0.17010)903a a ---⨯+=-， 因此有90378a -=，解得4a =．【变式训练4】某企业研发了一种新产品，已知这种产品的成本为30元/件，且年销售量y（万件）与售价x （元/件）的函数关系式为()()2140,406080.6070x x y x x ⎧-+≤<⎪=⎨-+≤≤⎪⎩（1）当售价为60元/件时，年销售量为________万件；（2）当售价为多少时，销售该产品的年利润最大？最大利润是多少？（3）若销售该产品的年利润不少于750万元，直接写出x 的取值范围．【答案】（1）20；（2）当售价为50元/件时，年销售利润最大，最大为800万元；（3）4555x ≤≤【解析】（1）=6080608020x y x y =-+=-+=当时，代入中，得．（2）设销售该产品的年利润为W 万元，当60x ≤40＜时，()()()2302140250800W x x x =--+=--+．∴20<－，∴当50x =时，800W =最大当6070≤≤x 时，()()()2308055625W x x x =--+=--+∴10-<，6070≤≤x ，∴当60x =时，600W =最大∴800600>，∴当50x =时，800W =最大∴当售价为50元/件时，年销售利润最大，最大为800万元．（3）4555x ≤≤理由如下：由题意得()()3021407504555x x x --+≥≤≤解得：故答案为：（1）20；（2）当售价为50元/件时，年销售利润最大，最大为800万元；（3）4555x ≤≤课后训练 1．某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本．（1）求该商品每月的销售量y （件）与销售单价x （元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围）（2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？（3）超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？【答案】（1）5550y x =-+；（2）70元；（3）80元．【解析】（1）∴依题意得()150100102y x =+-⨯⨯， ∴y 与x 的函数关系式为5550y x =-+；（2）∴依题意得()504000y x -=，即()()5550504000x x -+-=，解得：170x =，290x =，∴7090<∴当该商品每月销售利润为4000，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为70元； （3）设每月总利润为w ，依题意得()()()250555050580027500w y x x x x x =-=-+-=-+-∴50-<，此图象开口向下∴当()8008025x =-=⨯-时， w 有最大值为：258080080275004500-⨯+⨯-=（元）， ∴当销售单价为80元时利润最大，最大利润为4500元，故为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为80元．2．红星工厂研发生产某种产品，成本为3万元/吨，每天最多能生产15吨．工厂为持续发展，尝试与博飞销售公司建立产销合作关系，双方约定：合作第一个月，工厂产品仅由博飞销售公司订购代销，并每天按博飞销售公司当日订购产品数量生产，当日出厂价格y （万元/吨）与当日订购产品数量x （吨）之间的关系如图所示：（1）直接写出y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）红星工厂按产销合作模式生产这种产品，设第一个y （万元/吨）月单日所获利润为w （万元），①求w （万元）与x （吨）的函数关系式；②为响应国家“乡村振兴”政策，红星工厂决定，将合作第一个月中单日所获最大利润捐赠给附近村委会．试问：工厂这次为“乡村振兴”最多捐赠多少万元？【答案】（1）9(05)4(515)x x y x -+≤≤⎧=⎨≤⎩＜；（2）①w =26(05)(515)x x x x x ⎧-+≤≤⎨≤⎩＜；②工厂这次为“乡村振兴”最多捐赠15万元．【解析】（1）当0≤x ≤5时，设函数关系式为：y =kx +b ，把（0，9），（5，4）代入上式，得945b k b =⎧⎨=+⎩，解得：19k b =-⎧⎨=⎩，∴y =-x +9， 当5＜x ≤15时，y =4，综上所述：9(05)4(515)x x y x -+≤≤⎧=⎨≤⎩＜； （2）①由题意得：w =(y -3)x =()()6(05)43(515)x x x x x ⎧-+≤≤⎪⎨-≤⎪⎩＜，∴w =26(05)(515)x x x x x ⎧-+≤≤⎨≤⎩＜； ②当05x ≤≤时，w =()22639x x x -+=--+，此时x =3，w 最大值=9，当515x ≤＜时，w =x ，此时，x =15，w 最大值=15，综上所述：工厂这次为“乡村振兴”最多捐赠15万元．3．一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现销售量y （件）与售价x （元/件）（x 为正整数）之间满足一次函数关系：；（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润及此时的销售单价分别为多少元？【答案】（1）50012000y x =-+；（2）一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，销售单价分别为12元【解析】（1）设y 和x 的函数表达式为y kx b =+，则10000495005k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得50012000k b =-⎧⎨=⎩， 故y 和x 的函数表达式为50012000y x =-+；． （2）设这一周该商场销售这种商品的利润为w 元，由题意得：3155001200006000x x ≤≤⎧⎨-+≥⎩， 解得312x ≤≤，这一周该商场销售这种商品获得利润：()()()235001200035001350036000w y x x x x x =-=-+-=-+-， ∴22750055125551252w x ⎛⎫=--+≤ ⎪⎝⎭， ∴312x ≤≤，故12x =时，w 有最大值为54000，答：一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，销售单价为12元．4．夏天到了，宁波人最惦记的水果——杨梅进入成熟期，一水果店老板进行杨梅销售，已知杨梅进价为25元/千克．如果售价为30元/千克，那么每天可售出150千克：如果售价为32元/千克，那么每天可售出130千克．经调查发现：每天销售盘y (千克）与售价x (元/千克)之间存在一次函数关系．（1）求出y 关于x 的一次函数关系式；（2）若杨梅售价不得高于36元/千克，该店主销售杨梅每天要获得960元的毛利润，则销售单价应定为多少元/千克?（毛利润=销售额-进货成本〉（3）设杨梅每天销售的毛利润为W 元，当杨梅的售价定为多少元/千克时，每天销售获得的毛利润最大最大毛利润是多少元?【答案】（1）y =-10x +450；（2）33元/千克；（3）售价定为35元/千克时，每天销售获得的毛利润最大，最大毛利润是1000元．【解析】（1）∴每天销售量y （千克）与售价x （元/千克）之间存在一次函数关系，∴设y =kx +b ， ∴x =30时，y =150，x =32时，y =130，则1503013032k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得：10450k b =-⎧⎨=⎩， ∴y 关于x 的一次函数关系式：y =-10x +450；（2）设销售单价应定为x 元/千克，由题意得：（x -25）（-10x +450）=960，解得：x =37或x =33， ∴杨梅售价不得高于36元/千克，∴x =37不合题意，∴x =33，答：销售单价应定为33元/千克；（3）设杨梅的售价定为m 元/千克时，每天销售获得的毛利润最大，则W =（m -25）（-10m +450）=-10m 2+700m -11250=-10（m -35）2+1000，∴-10＜0，∴当m =35时，W 有最大值，最大值1000元，答：杨梅的售价定为35元/千克时，每天销售获得的毛利润最大，最大毛利润是1000元． 5．某商店从厂家以每件2元的价格购进一批商品，在市场试销中发现，此商品的月销售量y （单位：万件）与销售单价x （单位：元）之间有如下表所示关系：（1）根据表中的数据，在图中描出实数对(,)x y 所对应的点，并画出y 关于x 的函数图象；（2）根据画出的函数图象，求出y 关于x 的函数表达式；（3）设经营此商品的月销售利润为P （单位：万元）．①写出P 关于x 的函数表达式；②该商店计划从这批商品获得的月销售利润为10万元（不计其它成本），若物价局限定商品的销售单价不得超过．．．．进价的200%，则此时的销售单价应定为多少元？ 【答案】（1）图象见解析；（2）216y x =-+；（3）①222032P x x =-+-；②销售单价应定为3元．【解析】（1）y 关于x 的函数图象如图所示：（2）由（1）可设y 与x 的函数关系式为y kx b =+，则由表格可把()()4,8,5,6代入得：4856k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：216k b =-⎧⎨=⎩，∴y 与x 的函数关系式为216y x =-+； （3）①由（2）及题意可得：()()()22221622032P x y x x x x =-=--+=-+-；∴P 关于x 的函数表达式为222032P x x =-+-；②由题意得：2200x ≤⨯％，即4x ≤，∴22203210x x -+-=，解得：123,7x x ==，∴3x =； 答：此时的销售单价应定为3元．。

九上数学每日一练：二次函数的实际应用-销售问题练习题及答案_2020年综合题版答案解析答案解析答案解析答案解析2020年九上数学：函数_二次函数_二次函数的实际应用-销售问题练习题1.(2020北仑.九上期末) 网络销售是一种重要的销售方式。

某农贸公司新开设了一家网店，销售当地农产品，其中一种当地特产在网上试销售，其成本为每千克2元．公司在试销售期间，调查发现，每天销售量y(kg)与销售单价x(元)满足如图所示的函数关系(其中2<x≤10)（1） 若5<x≤10，求y 与x 之间的函数关系式；（2） 销售单价x 为多少元时，每天的销售利润最大?最大利润是多少元?考点： 一次函数的实际应用;二次函数的实际应用-销售问题;2.(2020温州.九上期末) 总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，甲店一天可售出20件，每件盈利40元；乙店一天可售出32件，每件盈利30元，经调查发现，每件衬衫每降价1元，甲、乙两家店一天都可多售出2件，设甲店每件衬衫降价a 元时，一天可盈利y 元，乙店每件衬衫降价b 元时，一天可盈利y 元。

（1） 当a=5时，求y 的值。

（2） 求y 关于b 的函数表达式。

（3） 若总公司规定两家分店下降的价格必须相同，请求出每件衬衫下降多少元时，两家分店一天的盈利和最大，最大是多少元?考点： 二次函数的实际应用-销售问题;3.(2020慈溪.九上期中) 某茶叶经销商以每千克18元的价格购进一批宁波白茶鲜茶叶加工后出售, 已知加工过程中质量损耗了40%, 该商户对该茶叶试销期间, 销售单价不低于成本单价，且每千克获利不得高于成本单价的60%，经试销发现，每天的销售量y （千克）与销售单价x （元/千克）符合一次函数 ，且x=35时，y=45；x=42时，y=38.（1） 求一次函数 的表达式；（2） 若该商户每天获得利润(不计加工费用)为W 元，试写出利润W 与销售单价x 之间的关系式；销售单价每千克定为多少元时，商户每天可获得最大利润，最大利润是多少元？（3） 若该商户每天获得利润不低于225元，试确定销售单价x 的范围.考点： 一次函数的实际应用;二次函数的实际应用-销售问题;4.(2020宽城.九上期末) 某商店销售一种儿童玩具，进价为每件30元，物价部门规定每件儿童玩具的销售价高于进价，但不能高于进价的1.6倍。

2021年九上数学同步练习2-函数_二次函数_二次函数的实际应用-销售问题-综合题专训及答案二次函数的实际应用-销售问题综合题专训1、(2019原.九上期末) 某商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每周可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每周就会少卖出5件，但每件售价不能高于50元，设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每周的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价为多少元时，每周可获得最大利润？最大利润是多少？（3）每件商品的售价定为多少元时，每周的利润恰好是2145元？2、(2019道里.九上期末) 某商场销售一种商品，若将50件该商品按标价打八折销售，比按原标价销售这些商品少获利200元．（1）求该商品的标价为多少元；（2）已知该商品的进价为每件12元，根据市场调査：若按中标价销售，该商场每天销售100件；每涨1元，每天要少卖5件那么涨价后要使该商品每天的销售利润最大，应将销售价格定为每件多少元？最大利润是多少？3、(2017马鞍山.九上期末) 某汽车经销商购进两种型号的低排量汽车，其中型汽车的进货单价比型汽车的进货单价多2万元，经销商花50万元购进型汽车的数量与花40万元购进型汽车的数量相等．销售中发现型汽车的每周销量（台）与售价（万元/台）满足函数关系式，型汽车的每周销量（台）与售价（万元/台）满足函数关系式．（1）求两种型号的汽车的进货单价；（2）已知型汽车的售价比型汽车的售价高2万元/台，设型汽车售价为万元/台．每周销售这两种车的总利润为万元，求与的函数关系式，两种型号的汽车售价各为多少时，每周销售这两种车的总利润最大？最大总利润是多少万元？4、(2017诸城.九上期末) 某电脑公司开发出一种软件，从研发到年初上市后，经历了从亏损到盈利的过程，如图中的图象是抛物线的一段，它刻画了该软件上市以来累积利润S（万元）与销售时间t（月）之间的函数关系（即前t个月的利润总和S与t之间的函数关系），根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）该种软件上市第几个月后开始盈利？（2）求累积利润S（万元）与时间t（月）之间的函数表达式；（3）截止到几月末，公司累积利润达到30万元？（4）求公司第6个月末所累积的利润．5、(2019如皋.九上期中) 某商店将每件进价为80元的某种商店按每件110元出售，每天可售出100件．该商店想通过降低售价、增加销售量的方法来提高利润．经市场调查，发现这种商品每件每降价5元，每天的销售量可增加50件．设商品降价x元，每天销售该商品获得的利润为y元．（1）求y（元）关于x（元）的函数关系式，并写出x的取值范围．（2）求当x取何值时y最大？并求出y的最大值．（3）若要是每天销售利润为3750元，且尽可能最大的向顾客让利，应将该商品降价多少元？6、(2020慈溪.九上期中) 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱.（1）求平均每天销售量箱与销售价元/箱之间的函数关系式.（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价（元/箱）之间的函数关系式.（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？7、(2020嘉陵.九上期末) 某果品专卖店元旦前后至春节期间主要销售薄壳核桃，采购价为15元/kg，元旦前售价是20元/kg，每天可卖出450kg。

二次函数应用——销售问题例1 某商场商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映，如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件。

已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？分析：设每件涨价x 元，则每星期售出商品的利润y 元也随之变化，我们先来确定y 与x 的函数关系式。

涨价x 元时，则每星期少卖10x 件，实际卖出300－10x 件，每件利润（60＋x －40）元，总利润为y ＝（60＋x －40）（300－10x ）元，即y ＝－10x 2＋100x ＋6000（0≤x ≤30）当x ＝－2a b ＝－10）（2100-⨯＝5时，y 最大值＝－10×52＋100×5＋600＝6250 所以当定价为65元时，利润最大，最大利润为6250元如图，可以看出这个函数的图象是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是函数图象的最高点，也就是说当x 取顶点坐标的横坐标时，这个函数有最大值。

由公式可以求出顶点的坐标。

“动脑筋”某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单价30元销售，那么一个月内可售出 180件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨1量将相应减少10件，当销售单价为多少元时该店能在一个月骨获得最大利润？解：设每件商品的销售单价上涨x 元，一个月内获得的商品总利润为y 元，每月减少销售量10件，实际销售量为180－10x 件，单件利润为（30＋x －20）元，则总利润y ＝（30＋x －20）（180－2x ）即y ＝－10x 2＋80x ＋180（0≤x ≤18）化为顶点式为y ＝－10（x －4）2＋1960，∵0≤x ≤18，∴当x ＝4时，即销售单价为34元时，y 有最大值1960元。

答：当销售单价定为34元时，该店在一个月内能获得最大利润1960元 你还有不同的设自变量的方法吗？所列函数表达式相同吗？y/例2 我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓．我市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．(1)试确定月销售量y (台)与售价x (元/台)之间的函数关系式；(2)求售价x 的范围；(3)当售价x (元/台)定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w (元)最大？最大利润是多少？解：（1）根据题中的条件销售价每降低10元，月销售量就可多售出50台，当销（2）供货商规定这种空气净水器售价不能低于300/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务，则可列不等式组为：⎩⎨⎧≥+-≥45022005300x x 解得：300≤x ≤350 ∴售价x 的范围是：300≤x ≤350（3）W ＝（x －200）（－5x ＋2200）整理得：W ＝－5(x －320)2＋7200∵x ＝320在300≤x ≤350内,∴当x ＝320时，W 有最大值72000元即售价定为320元时，商场每月销售这种空气净化器所获的利润W 最大，最大利润是72000元巩固练习：1.某体育用品商店试销一款成本为50元的排球，规定试销期间单价不低于成本价，且获利不得高于40%．经试销发现，销售量y （个）与销售单价x （元）之间满足如图所示的一次函数关系．（1）试确定y 与x 之间的函数关系式；（2）若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润Q 元，试写出利润Q （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式；当试销单价定为多少元时，该商店可获最大利润？最大利润是多少元？（3）若该商店试销这款排球所获得的利润不低于600元，请确定销售单价x 的取值范围．解（1）设解：（1）设y=kx+b ，根据题意得：解得：k ＝－1，b ＝120．所求一次函数的表达式为y ＝－x ＋120．（2）由题意得：Q ＝(x －50)y ＝（x －50）（－x ＋120）＝－x 2＋170x －6000； ＝(x －85)2＋1225；∵x 需满足为等式组：⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥%40505050x x 解得：50≤x ≤70 由二次函数Q ＝(x －85)2＋1225可知，当x ＜85时，Q 随x 的增大而增大 所以当定价x 最大值＝70时，Q 最大值＝－(70－85)2＋1225＝1000(元) 所以当销售单价定为70元时，商店可获最大利润为1000元（3）根据题意得：Q ＝－(x －85)2＋1225≥600即(x －85)2≤625，或|x －85|≥25，解得60≤x ≤110由（2）可知，50≤x ≤70∴销售单价x 的取值范围是60≤x ≤70归纳小结：解这一类题的一般步骤：1、求函数解析式和自变量的取值范围。

用二次函数解决实际问题考点一 用二次函数解决增长率问题 考点二 用二次函数解决销售问题考点三 用二次函数解决拱桥问题 考点四 用二次函数解决喷水问题考点五 用二次函数解决投球问题 考点六 用二次函数解决图形问题考点七 用二次函数解决图形运动问题考点一 用二次函数解决增长率问题例题：（2022·全国·九年级课时练习）某工厂实行技术改造 产量年均增长率为x 已知2020年产量为1万件 那么2022年的产量y （万件）与x 间的关系式为___________．【答案】2(1)y x =+【解析】【分析】因为产量的平均增长率相同 所以2021的产量为()11+x ⨯ 2022年的产量为()()11+1+x x ⨯⨯ 由此即可知道2022年的产量y （万件）与x 间的关系式．【详解】解：∵2020年产量为1万件 且产量年均增长率为x ．∴2021年产量为()11+x ⨯；2022年的产量为()()()211+1+=1x x x ⨯⨯+． ∴2022年的产量y （万件）与x 间的关系式为2(1)y x =+．故答案为：2(1+)y x =【点睛】本题考查二次函数的实际问题 能够根据题意分步列出相关的代数式是解题的关键．【变式训练】1．（2022·江西萍乡·七年级期末）某厂有一种产品现在的年产量是2万件 计划今后两年增加产量 如果每年都比上一年的产量增加x 倍 那么两年后这种产品的产量y （万件）将随计划所定的x 的值而确定 那么y 与x 之间的关系式应表示为________．【答案】2242y x x =++或22(1)y x =+【解析】【分析】根据平均增长问题 可得答案．【详解】解：y 与x 之间的关系应表示为y ＝2（x +1）2．故答案为：y ＝2（x +1）2．【点睛】本题考查了函数关系式 利用增长问题获得函数解析式是解题关键 注意增加x 倍是原来的（x +1）倍． 2．（2022·全国·九年级专题练习）为积极响应国家“旧房改造”工程 该市推出《加快推进旧房改造工作的实施方案》推进新型城镇化建设 改善民生 优化城市建设．（1）根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4.32万户 求该市这两年旧房改造户数的平均年增长率；（2）该市计划对某小区进行旧房改造 如果计划改造300户 计划投入改造费用平均20000元/户 且计划改造的户数每增加1户 投入改造费平均减少50元/户 求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？【答案】（1）20%；（2）6125000（元）【解析】【分析】（1）设平均增长率为x 根据题意列式求解即可；（2）设多改造y 户 最高投入费用为w 元 根据题意列式()()()230020000505050612500w a a a =+⨯-=--+ 然后根据二次函数的性质即可求出最大值．【详解】解：（1）设平均增长率为x 则x >0由题意得：()231+ 4.32x =解得：x =0.2或x =-2.2（舍）答：该市这两年旧房改造户数的平均年增长率为20%；（2）设多改造a 户 最高投入费用为w 元由题意得：()()()230020000505050612500w a a a =+⨯-=--+∵a =-50 抛物线开口向下∴当a -50=0 即a =50时 w 最大 此时w =612500元答：旧房改造申报的最高投入费用为612500元．【点睛】本题考查二次函数的实际应用 解题的关键是正确读懂题意列出式子 然后根据二次函数的性质进行求解．考点二 用二次函数解决销售问题例题：（2021·宁夏·吴忠市利通区扁担沟中心学校九年级期中）一商店销售某种商品 平均每天可售出20件 每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利 该店采取了降价措施 在每件盈利不少于25元的前提下 经过一段时间销售 发现销售单价每降低1元 平均每天可多售出2件．(1)若降价3元 则平均每天销售数量为件：(2)当每件商品降价多少元时 该商店每天销售利润最大？【答案】(1)26(2)当每件商品降价15元时 该商店每天销售利润最大．【解析】【分析】（1）由题意可直接进行求解；（2）设每件商品降价x 元 每天销售利润为w 元 由题意可列出函数关系式 进而问题可求解．(1)解：由题意得：平均每天销售数量为202326+⨯=（件）；故答案为26；(2)解：设每件商品降价x 元 每天销售利润为w 元 由题意得：()()()22402022608002151250w x x x x x =-+=-++=--+∵每件盈利不少于25元∴4025x -≥ 解得：15x ≤∵-2＜0 对称轴为直线15x =∴当15x 时w有最大值答：当每件商品降价15元时该商店每天销售利润最大．【点睛】本题主要考查二次函数的应用熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．【变式训练】1．（2021·广东·陆丰市甲东镇钟山中学九年级期中）某商场要经营一种新上市的文具进价为20元/件试营销阶段发现：当销售单价是25元/件时每天的销售量为250件销售单价每上涨1元每天的销售量就减少10件．求销售单价为多少元时该文具每天的销售利润最大；最大利润为多少元？【答案】x＝35时w最大值2250元【解析】【分析】设每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）利用每件利润×销量＝总利润进而得出w与x的函数关系式；再利用配方法求出二次函数最值进而得出答案．【详解】解：设每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）由题意可得：w＝（x﹣20）[250﹣10（x﹣25）]＝﹣10（x﹣20）（x﹣50）＝﹣10x2+700x﹣10000；∵w＝﹣10x2+700x﹣10000＝﹣10（x﹣35）2+2250∴当x＝35时w取到最大值2250即销售单价为35元时每天销售利润最大最大利润为2250元．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用根据销量与售价之间的关系得出函数关系式是解题关键．2．（2022·山东德州·九年级期末）某商厦灯具部投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯销售过程中发现每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+500 在销售过程中销售单价不低于成本价而每件的利润不高于成本价的60%．(1)设每月获得利润为w（元）求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．(2)如果想要每月获得的利润为2000元那么每月的单价定为多少元？(3)当销售单价定为多少元时 每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？【答案】(1)w =-10x 2+700x -10000（20≤x ≤32）(2)如果张明想要每月获得的利润为2000元 张明每月的单价定为30元(3)当销售单价定为32元时 每月可获得最大利润 最大利润是2160元【解析】【分析】（1）由题意得 每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数 利润=（定价-进价）×销售量 从而列出关系式；（2）把2000元代入上述二次函数关系式 根据函数性质 确定单价；（3）首先确定二次函数的对称轴 然后根据其增减性确定最大利润即可．(1)解：由题意得：w =（x -20）•y=（x -20）•（-10x +500）=-10x 2+700x -10000即w =-10x 2+700x -10000（20≤x ≤32）；(2)由题意可知：-10x 2+700x -10000=2000解这个方程得：x 1=30 x 2=40．由（1）得 20≤x ≤32∴如果张明想要每月获得的利润为2000元 张明每月的单价定为30元；(3)对于函数w =-10x 2+700x -10000的图象的对称轴是直线x =()700210-⨯-=35．又∵a =-10＜0 抛物线开口向下．∴当20≤x ≤32时 w 随着x 的增大而增大∴当x =32时 w =2160答：当销售单价定为32元时 每月可获得最大利润 最大利润是2160元．【点睛】此题考查了二次函数的应用 还考查抛物线的性质 另外将实际问题转化为求函数最值问题 从而来解决实际问题．考点三 用二次函数解决拱桥问题例题：（2022·四川广安·中考真题）如图是抛物线形拱桥 当拱顶离水面2米时 水面宽6米 水面下降________米 水面宽8米．【答案】149##519【解析】【分析】根据已知得出直角坐标系 通过代入A 点坐标（-3 0） 求出二次函数解析式 再根据把x =4代入抛物线解析式得出下降高度 即可得出答案．【详解】解：建立平面直角坐标系 设横轴x 通过AB 纵轴y 通过AB 中点O 且通过C 点 则通过画图可得知O 为原点 由题意可得：AO =OB =3米 C 坐标为（0 2）通过以上条件可设顶点式y =ax 2+2 把点A 点坐标（-3 0）代入得∴920a +=∴29a =- ∴抛物线解析式为：2229y x =-+； 当水面下降 水面宽为8米时 有把4x =代入解析式 得2221442162999y =-⨯+=-⨯+=-； ∴水面下降149米； 故答案为：149； 【点睛】 此题主要考查了二次函数的应用 根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．【变式训练】1．（2022·山东德州·九年级期末）如图是抛物线型拱桥 当拱顶高距离水面2m 时 水面宽4m 如果水面上升1.5m 则水面宽度为________．【答案】2m【解析】【分析】根据题意建立合适的平面直角坐标系 设出抛物线的解析式 从而可以求得水面的宽度增加了多少 本题得以解决．【详解】解：如图建立平面直角坐标系设抛物线的解析式为y =ax 2由已知可得 点（2 -2）在此抛物线上则-2=a ×22 解得12a =-∴212y x =- 当y =-0.5时 210.52x解得x =±1 此时水面的宽度为2m故答案为：2m ．【点睛】本题考查二次函数的应用 解题的关键是明确题意 找出所求问题需要的条件 建立合适的平面直角坐标系．2．（2022·甘肃定西·模拟预测）有一个抛物线的拱形桥洞 桥洞离水面的最大高度为4m 跨度为10m 如图所示 把它的图形放在直角坐标系中．(1)求这条抛物线所对应的函数关系式；(2)如图 在对称轴右边1m 处 桥洞离水面的高是多少？【答案】(1)()245425y x =--+ (2)在对称轴右边1m 处 桥洞离水面的高是9625m 【解析】【分析】（1）根据题意设抛物线解析式为顶点式 然后根据抛物线过点()0,0 代入即可求解；（2）根据对称轴为：5x = 得出对称轴右边1m 处为：6x = 代入即可求解．(1)解：由题意可得：抛物线顶点坐标为()5,4设抛物线解析式为：()254y a x =-+∵抛物线过点()0,0∴()20054a =-+ 解得：425a =- ∴这条抛物线所对应的函数关系式为：()245425y x =--+． (2)解：对称轴为：5x = 则对称轴右边1m 处为：6x =将6x =代入()245425y x =--+ 可得：()2465425y =--+ 解得：9625y = 答：在对称轴右边1m 处 桥洞离水面的高是9625m ． 【点睛】本题考查了二次函数的应用 解答此题的关键是明确题意 求出抛物线的解析式．考点四 用二次函数解决喷水问题例题：（2022·河南·中考真题）小红看到一处喷水景观 喷出的水柱呈抛物线形状 她对此展开研究：测得喷水头P 距地面0.7m 水柱在距喷水头P 水平距离5m 处达到最高 最高点距地面3.2m ；建立如图所示的平面直角坐标系 并设抛物线的表达式为()2y a x h k =-+ 其中x （m ）是水柱距喷水头的水平距离 y （m ）是水柱距地面的高度．(1)求抛物线的表达式．(2)爸爸站在水柱正下方 且距喷水头P 水平距离3m 身高1.6m 的小红在水柱下方走动 当她的头顶恰好接触到水柱时 求她与爸爸的水平距离．【答案】(1)()20.15 3.2y x =--+(2)2或6m【解析】【分析】（1）根据顶点()5,3.2 设抛物线的表达式为()25 3.2y a x =-+ 将点()0,0.7P 代入即可求解； （2）将 1.6y =代入（1）的解析式 求得x 的值 进而求与点()3,0的距离即可求解．(1)解：根据题意可知抛物线的顶点为()5,3.2设抛物线的解析式为()25 3.2y a x =-+将点()0,0.7代入 得0.725 3.2a =+解得0.1a =-∴抛物线的解析式为()20.15 3.2y x =--+ (2)由()20.15 3.2y x =--+ 令 1.6y =得()21.60.15 3.2x =--+解得121,9x x ==爸爸站在水柱正下方 且距喷水头P 水平距离3m∴当她的头顶恰好接触到水柱时 她与爸爸的水平距离为312-=(m ) 或936-=(m )． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用 掌握顶点式求二次函数解析式是解题的关键．【变式训练】1．（2022·四川南充·中考真题）如图 水池中心点O 处竖直安装一水管 水管喷头喷出抛物线形水柱 喷头上下移动时 抛物线形水柱随之竖直上下平移 水柱落点与点O 在同一水平面．安装师傅调试发现 喷头高2.5m 时 水柱落点距O 点2.5m ；喷头高4m 时 水柱落点距O 点3m ．那么喷头高_______________m 时 水柱落点距O 点4m ．【答案】8【解析】【分析】由题意可知 在调整喷头高度的过程中 水柱的形状不发生变化 则当喷头高2.5m 时 可设y =ax 2+bx +2.5 将（2.5 0）代入解析式得出2.5a +b +1=0；喷头高4m 时 可设y =ax 2+bx +4 将（3 0）代入解析式得9a +3b +4=0 联立可求出a 和b 的值 设喷头高为h 时 水柱落点距O 点4m 则此时的解析式为y =ax 2+bx +h 将（4 0）代入可求出h ．【详解】解：由题意可知 在调整喷头高度的过程中 水柱的形状不发生变化当喷头高2.5m 时 可设y =ax 2+bx +2.5将（2.5 0）代入解析式得出2.5a +b +1=0①喷头高4m 时 可设y =ax 2+bx +4将（3 0）代入解析式得9a +3b +4=0② 联立可求出23a =- 23b = 设喷头高为h 时 水柱落点距O 点4m∴此时的解析式为22233y x x h =-++ 将（4 0）代入可得22244033h -⨯+⨯+= 解得h =8．故答案为：8．【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用 重点是二次函数解析式的求法 直接利用二次函数的平移性质是解题关键．2．（2022·浙江台州·中考真题）如图1 灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为h（单位：m）．如图2 可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG其水平宽度3mDE=竖直高度为EF的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m高出喷水口0.5m灌溉车到l的距离OD为d（单位：m）．(1)若 1.5h=0.5mEF=；①求上边缘抛物线的函数解析式并求喷出水的最大射程OC；②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带求d的取值范围；(2)若1mEF=．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带请直接写出h的最小值．【答案】(1)①6m；②(2,0)；③2231d≤≤(2)65 32【解析】【分析】（1）①根据顶点式求上边缘二次函数解析式即可；②设根据对称性求出平移规则再根据平移规则由C点求出B点坐标；③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带则上边缘抛物线至少要经过F点下边缘抛物线OB d≤计算即可；（2）当喷水口高度最低且恰好能浇灌到整个绿化带时点D F恰好分别在两条抛物线上设出D、F 坐标计算即可．(1)（1）①如图1 由题意得(2,2)A 是上边缘抛物线的顶点设2(2)2y a x =-+．又∵抛物线经过点(0,1)5.∴1.542a =+∴18a =-． ∴上边缘抛物线的函数解析式为21(2)28y x =--+． 当0y =时 21(2)208x --+= ∴16x = 22x =-（舍去）．∴喷出水的最大射程OC 为6m ．图1②∵对称轴为直线2x =∴点(0,1)5.的对称点的坐标为(4,1.5)． ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m 得到的即点B 是由点C 向左平移4m 得到 则点B 的坐标为(2,0)．③如图2 先看上边缘抛物线∵0.5EF =∴点F 的纵坐标为0.5．抛物线恰好经过点F 时21(2)20.58x --+=． 解得223x =±∵0x >∴223x =+当0x >时 y 随着x 的增大而减小∴当26x ≤≤时 要使0.5y ≥则223x ≤+∵当02x ≤<时 y 随x 的增大而增大 且0x =时 1.50.5y =>∴当06x ≤≤时 要使0.5y ≥ 则023x ≤≤+∵3DE = 灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带∴d 的最大值为(23)331+-=．再看下边缘抛物线 喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是OB d ≤∴d 的最小值为2．综上所述 d 的取值范围是231d ≤≤．(2)h 的最小值为6532． 由题意得(2,0.5)A h +是上边缘抛物线的顶点∴设上边缘抛物线解析式为2(2)0.5y a x h =-++．∵上边缘抛物线过出水口（0 h ）∴40.5y a h h =++= 解得18a =- ∴上边缘抛物线解析式为21(2)0.58y x h =--++ ∵对称轴为直线2x =∴点(0,)h 的对称点的坐标为(4,)h ．∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m 得到的∴下边缘抛物线解析式为21(2)0.58y x h =-+++． 当喷水口高度最低 且恰好能浇灌到整个绿化带时 点D F 恰好分别在两条抛物线上∵DE =3∴设点(),0D m ()3,0E m + 213,(32)0.58F m m h ⎛⎫+-+-++ ⎪⎝⎭∵D 在下边缘抛物线上∴21(2)0.508m h -+++= ∵EF =1∴21(32)0.518m h -+-++= ∴21(32)0.58m h -+-++-21(2)0.518m h ⎡⎤-+++=⎢⎥⎣⎦解得 2.5m =代入21(2)0.508m h -+++= 得6532h =． 所以h 的最小值为6532． 【点睛】 本题考查二次函数的实际应用中的喷水问题 构造二次函数模型并把实际问题中的数据转换成二次函数上的坐标是解题的关键．考点五 用二次函数解决投球问题例题：（2022·上海市张江集团中学八年级期末）如图 以地面为x 轴 一名男生推铅球 铅球行进高度y （单位：米）与水平距离x （单位：米）之间的关系是21251233y x x =-++．则他将铅球推出的距离是___米．【答案】10【解析】【分析】成绩就是当高度y =0时x 的值 所以解方程即可求解本题． 【详解】 解：当y =0时 212501233x x -++= 解得：x 1=10 x 2=-2（不合题意 舍去）所以推铅球的距离是10米；故答案为：10．【点睛】本题主要考查二次函数的应用 把函数问题转化为方程问题来解 渗透了函数与方程相结合的解题思想．【变式训练】 1．（2022·重庆实验外国语学校八年级期末）小明在期末体育测试中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形．若实心球运动的抛物线的解析式为21(3)9y x k =--+ 其中y 是实心球飞行的高度 x 是实心球飞行的水平距离．已知该同学出手点A 的坐标为16(0,)9则实心球飞行的水平距离OB 的长度为（ ）A ．7mB ．7.5mC ．8mD ．8.5m【答案】C【解析】【分析】 根据题意待定系数法求解析式 再令0y = 即可求解．【详解】解：∵实心球运动的抛物线的解析式为21(3)9y x k =--+ 点A 的坐标为16(0,)9 ∴2161399k =-⨯+ 解得259k =∴2125(3)99y x =--+令0y = 2125(3)099x --+= 即()2325x -=解得12x =-（舍去）2,8x =故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的应用 待定系数法求解析式 求二次函数与坐标轴的交点 掌握二次函数的性质是解题的关键．2．（2022·贵州安顺·九年级阶段练习）如图是小明站在点O 处长抛篮球的路线示意图 球在点A 处离手 且1m OA =．第一次在点D 处落地 然后弹起在点E 处落地 篮球在距O 点6m 的点B 处正上方达到最高点 最高点C 距地面的高度4m BC = 点E 到篮球框正下方的距离2m EF = 篮球框的垂直高度为3m ．据试验 两次划出的抛物线形状相同 但第二次的最大高度为第一次的12 以小明站立处点O 为原点 建立如图所示的平面直角坐标系．(1)求抛物线ACD 的函数解析式；(2)求篮球第二次的落地点E 到点O 的距离．（结果保留整数）(3)若小明想一次投中篮球框 他应该向前走多少米？（结果精确到0.1m ）（参考数据：36 2.45≈）【答案】(1)()()2164043612y x x =--+≤≤ (2)篮球第二次的落地点E 到点O 的距离为23m ；(3)小明想一次投中篮球框 他应该向前走15.3m ．【解析】【分析】（1）设抛物线ACD 的函数解析式为()()20y a x k h a =-+≠ 将()()0164A C ，、，代入即可求解； （2）将()216412y x =--+向下平移两个单位得 ()216212y x =--+ 令0y =得12626626x x =+=-，（3）令3y =得 ()2136412x =--+ 解得：12623623x x =+=-， 由()43468m OF OE EF =+=即可求解．(1)解：由题意知 ()()0164A C ，、， 设抛物线ACD 的函数解析式为()()20y a x k h a =-+≠； 将()()0164A C ，、，代入表达式得 ()21064a =-+ 解得：112a =-； ∴()216412y x =--+； 令0y =得 ()4360D ，∴抛物线ACD 的函数解析式为()()2164043612y x x =--+≤≤； (2)由题意 将()216412y x =--+向下平移两个单位得 ()216212y x =--+ 令0y =得 ()2106212x =--+ 解得：12626626x x =+=-，∴(4366264326--= ∴432662643466+= ∴()434660E ，∴()4346623m OE =≈(3)令3y =得 ()2136412x =--+ 解得：12623623x x =+=-，()43468m OF OE EF =+=(()434686234623215.3m -+=≈∴小明想一次投中篮球框 他应该向前走15.3m ．【点睛】本题主要考查二次函数的图形及性质正确解读题意并结合二次函数图像及性质进行解答是解题的关键．考点六用二次函数解决图形问题例题：（2021·江苏镇江·九年级期中）如图利用一面墙（墙长26米）用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏ABCD且中间共留两个1米的小门设栅栏BC长为x米．(1)AB＝米（用含x的代数式表示）；(2)若矩形围栏ABCD面积为210平方米求栅栏BC的长；(3)能围成比210平方米更大的矩形围栏ABCD吗？如果能请求出最大面积；如果不能请说明理由．【答案】(1)（51﹣3x）(2)10米(3)能最大面积为867 4【解析】【分析】（1）设栅栏BC长为x米根据栅栏的全长结合中间共留2个1米的小门即可用含x的代数式表示出AB 的长；（2）根据矩形围栏ABCD面积为210平方米即可得出关于x的一元二次方程解之取其较大值即可得出结论；（3）根据矩形围栏ABCD面积为S=(51-3x)x＝-3(x-172)2+8674,利用二次函数最值即可求解．(1)解：设栅栏BC长为x米∵栅栏的全长为49米且中间共留两个1米的小门∴AB＝49+2﹣3x＝51﹣3x（米）故答案为：（51﹣3x）；(2)解：依题意得：（51﹣3x）x＝210整理得：x2﹣17x+70＝0解得：x1＝7 x2＝10．当x＝7时AB＝51﹣3x＝30＞26 不合题意舍去当x＝10时AB＝51﹣3x＝21 符合题意答：栅栏BC的长为10米；(3)解：能S=(51-3x)x＝-3(x-172)2+8674,∵-3<0∴当x=172时S有最大值最大值为8674即最大面积为8674∵8674>210∴能围成比210平方米更大的矩形围栏ABCD．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用列代数式以及根的判别式解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系用含x的代数式表示出AB的长；（2）找准等量关系正确列出一元二次方程；（3）正确列出面积与BC的二次函数关系．【变式训练】1．（2021·宁夏·吴忠市利通区扁担沟中心学校九年级期中）如图利用一面墙（墙长10米）用20米的篱笆国成一个矩形场地．设垂直于墙的一边为x米．矩形场地的面积为s平方米．(1)求s与x的函数关系式并求出x的取值范围；(2)若矩形场地的面枳最大应该如何设计长与宽．【答案】(1)2220(510)s x x x=-+<．(2)当矩形场地长为10米 宽为5米时 矩形的面积最大．【解析】【分析】（1）由AD x = 可得出202AB x =- 由墙长10米 可得出关于x 的一元一次不等式组 解之即可得出x 的取值范围 再利用矩形的面积公式即可得出s 关于x 的函数关系式；（2）根据（1）可利用二次函数的性质可进行求解． (1)解：AD BC x ==202AB x ∴=-．又墙长10米∴20210220x x -⎧⎨<⎩ 510x ∴<．2(202)220(510)s x x x x x ∴=-=-+<．(2)解：由（1）可知：()222202550s x x x =-+=--+∴当5x =时 矩形的场地面积最大 最大值为50；答：当矩形场地长为10米 宽为5米时 矩形的面积最大．【点睛】本题主要考查二次函数的应用 熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．2．（2022·山东烟台·九年级期中）某城门的截面由一段抛物线和一个正方形（OMNE 为正方形）的三条边围成 已知城门宽度为4米 最高处距地面6米．如图1所示 现以O 点为原点 OM 所在的直线为x 轴 OE 所在的直线为y 轴建立直角坐标系．(1)求上半部分抛物线的函数表达式 并写出其自变量的取值范围；(2)有一辆宽3米 高4.5米的消防车需要通过该城门 请问该消防车能否正常进入？(3)为营造节日气氛 需要临时搭建一个矩形“装饰门”ABCD 该“装饰门”关于抛物线对称轴对称 如图2所示 其中AB AD CD 为三根承重钢支架 A 、D 在抛物线上 B C 在地面上 已知钢支架每米70元 问搭建这样一个矩形“装饰门” 仅钢支架一项 最多需要花费多少元？【答案】(1)2124(04)2y x x x =-++ (2)能正常进入 理由见解析(3)910元【解析】【分析】（1）根据所建坐标系知顶点和与y 轴交点E 的坐标 可设解析式为顶点式 进行求解 由城门宽度为4米知x 的取值范围是0≤x ≤4；（2）根据对称性当车宽3米时 x ＝12 求此时对应的纵坐标的值 与车高4.5米进行比较得出结论； （3）求三段和的最大值须先列式表示三段的和 再运用性质求最大值 可设点B 的坐标 表示三段的长度从而得出表达式．(1)解：由题意知 抛物线的顶点(2,6)∴设抛物线的表达式为2(2)6y a x =-+ 抛物线过点(0,4)E446a ∴=+12a ∴=- ∴抛物线的表达式为21(2)62y x =--+ 即2124(04)2y x x x =-++； (2)解：由题意知 当消防车走最中间时 进入的可能性最大 即当12x =时 211124 4.875 4.5222y ⎛⎫=-⨯+⨯+=> ⎪⎝⎭∴消防车能正常进入；(3)解：设B 点的横坐标为m AB AD CD ++的长度为l由题意知42BC m =-即42AD m =- 21242CD AB m m ==-++221224(42)2122l m m m m m ⎛⎫∴=⨯-+++-=-++ ⎪⎝⎭当212(1)m =-=⨯-时 l 最大 l 最大21211213=-+⨯+= ∴费用为1370910⨯=（元）答：仅钢支架一项 最多需要花费910元．【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．正确地求得函数解析式是解题的关键．考点七 用二次函数解决图形运动问题例题：（2022·全国·九年级课时练习）如图1 在Rt ABC △中 90ABC ∠=︒ 已知点P 在直角边AB 上 以1cm/s 的速度从点A 向点B 运动 点Q 在直角边BC 上 以2cm/s 的速度从点B 向点C 运动．若点P Q 同时出发 当点P 到达点B 时 点Q 恰好到达点C 处．图2是BPQ 的面积()2cm y 与点P 的运动时间()s t 之间的函数关系图像（点M 为图像的最高点） 根据相关信息 计算线段AC 的长为（ ）A ．35cmB ．45cmC ．55cmD ．65cm【答案】B【解析】【分析】根据题意 得出()cm PB a t =- 2cm BQ t = 在Rt PBQ ∆中 根据面积公式得到BPQ 的面积()2cm y 与点P 的运动时间()s t 之间的函数关系2y t at =-+ 利用顶点式2224a a y t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭得出当2a t =时 y 有最大值为244a = 从而求出P Q 、运动时间是4t s = 求出4cm,8cm AB BC == 根据勾股定理即可得出结论． 【详解】解：设运动时间()s t cm AB a = 则cm AP t = 2cm BQ t =∴在Rt PBQ ∆中 90ABC ∠=︒ ()cm PB a t =- 2cm BQ t = 则()2221122224a a y PB BQ t a t t at t ⎛⎫=⋅=⨯-=-+=--+ ⎪⎝⎭ ∴当2a t =时 y 有最大值为244a = 解得4a = 即2t =根据BPQ 的面积()2cm y 与点P 的运动时间()s t 之间的函数关系可知抛物线与x 轴交于()0,0和()4,0两点 即P Q 、运动时间是4t s =4cm,8cm AB BC ∴==在Rt ABC △中 90ABC ∠=︒ 4cm,8cm AB BC == 根据勾股定理可得22224845cm AC AB BC +=+故选：B ．【点睛】本题考查了几何图形中动点形成的图形面积的函数问题 涉及到三角形面积公式的运用、勾股定理、二次函数的图像与性质等知识点 看懂题意 将几何图形中点的运动情况与函数图像对应起来得到方程是解决问题的关键．【变式训练】1．（2022·宁夏·银川唐徕回民中学二模）如图 在矩形ABCD 中 BC ＞CD BC 、CD 分别是一元二次方程x 2－7x ＋12＝0的两个根 连接BD 并过点C 作CN ⊥BD 垂足为N 点P 从B 出发 以每秒1个单位的速度沿BD 方向匀速运动到D 为止；点M 沿线段DA 以每秒1个单位的速度由点D 向点A 匀速运动 到点A 为止 点P 与点M 同时出发 设运动时间为t 秒（t ＞0）．(1)求线段CN 的长；(2)在整个运动过程中 当t 为何值时△PMN 的面积取得最大值 最大值是多少？【答案】(1)125(2)当4t =时 2425S =最大 【解析】【分析】（1）首先解一元二次方程得到BC =4 CD =2 然后利用等积法求出CN ；（2）分0＜t ≤165 和165＜t ≤4两种情况列出函数解析式 利用二次函数的性质求出最大值． (1)解：27120x x -+=解得13x = 24x =∵BC CD >∴4BC = 3CD =∵四边形ABCD 是矩形 4BC = 3CD =∴5BD =∴113422BD CN ⋅=⨯⨯ ∴125CN =； (2) 由题可知 165BN =①当1605t <≤时 过点M 作MH ⊥BD 垂足为H设△PMN 的面积为S 则221116331638962255105105125S PN MH t t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=-⋅=--=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∵816055<≤ ∴当85t =时96125S =最大 ②当1645t ≤＜时 111632255S PN MH t t ⎛⎫=⋅=-⋅ ⎪⎝⎭ 此时 S 随t 的增大而增大∴当4t =时 2425S =最大 综合①②知 当t =4时 △PMN 的面积取得最大值 最大值是2425 ． 【点睛】本题考查利用二次函数解决面积最大问题 解决问题的关键是根据t 值分情况列出函数解析式． 2．（2021·北京·九年级期中）如图 Rt ABC ∆中 90C ∠=︒ 6AC = 8BC =．动点P Q 分别从A C 两点同时出发 点P 沿边AC 向C 以每秒3个单位长度的速度运动 点Q 沿边BC 向B 以每秒4个单位长度的速度运动 当P Q 到达终点C B 时 运动停止．设运动时间为()t s ．(1)①当运动停止时 t 的值为 ．②设P C 之间的距离为y 则y 与t 满足 （选填“正比例函数关系” “一次函数关系” “二次函数关系” )．(2)设PCQ ∆的面积为S。

题型四：二次函数应用-销售问题例题解析例1.襄阳市精准扶贫工作已进入攻坚阶段．贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，今年正式上市销售．在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克．第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数解析式为{mx−76m(1≤x<20，x为整数)n(20≤x≤30，x为整数)且第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克．已知种植销售蓝莓的成木是18元/千克，每天的利润是W 元（利润=销售收入﹣成本）．（1）m=________，n=________；（2）求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？（3）在销售蓝莓的30天中，当天利润不低于870元的共有多少天？例2. 为了支持大学生创业，某市政府出台了一项优惠政策：提供10万元的无息创业贷款．小王利用这笔贷款，注册了一家淘宝网店，招收5名员工，销售一种火爆的电子产品，并约定用该网店经营的利润，逐月偿还这笔无息贷款．已知该产品的成本为每件4元，员工每人每月的工资为4千元，该网店还需每月支付其它费用1万元．该产品每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．（1）求该网店每月利润w（万元）与销售单价x（元）之间的函数表达式；（2）小王自网店开业起，最快在第几个月可还清10万元的无息贷款？习题精练1.绿色生态农场生产并销售某种有机产品，假设生产出的产品能全部售出．如图，线段EF、折线ABCD分别表示该有机产品每千克的销售价y1（元）、生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系．（1）求该产品销售价y1（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；（2）直接写出生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；（3）当产量为多少时，这种产品获得的利润最大？最大利润为多少？2.为迎接“世界华人炎帝故里寻根节”，某工厂接到一批纪念品生产订单，按要求在15天内完成，约定这批纪念品的出厂价为每件20元，设第x天（1≤x≤15，且x为整数）每件产品的成本是p元，p与x之间符合一次函数关系，部分数据如表：任务完成后，统计发现工人李师傅第x天生产的产品件数y（件）与x（天）满足如下关系：y= {2x+20(1≤x<10，且x为整数) 40(10≤x≤15，且x为整数)，设李师傅第x天创造的产品利润为W元．（1）直接写出p与x，W与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围：（2）求李师傅第几天创造的利润最大？最大利润是多少元？（3）任务完成后．统计发现平均每个工人每天创造的利润为299元．工厂制定如下奖励制度：如果一个工人某天创造的利润超过该平均值，则该工人当天可获得20元奖金．请计算李师傅共可获得多少元奖金？3.某大学生利用暑假40天社会实践进行创业，他在网上开了一家微店，销售推广一种成本为25元/件的新型商品.在40天内，其销售单价n（元/件）与时间x（天）的关系式是：当1≤x≤20时，n=36+12x；当21≤x≤40时，n=25+630x.这40天中的日销售量m（件）与时间x（天）符合函数关系，具体情况记录如下表（天数为整数）:（1）请求出日销售量m（件）与时间x（天）之间的函数关系式；（2）若设该同学微店日销售利润为w元，试写出日销售利润w（元）与时间x （天）的函数关系式；（3）求这40天中该同学微店日销售利润不低于640元有多少天？4.某药厂销售部门根据市场调研结果，对该厂生产的一种新型原料药未来两年的销售进行预测，井建立如下模型：设第t个月该原料药的月销售量为P（单位：吨），P与t之间存在如图所示的函数关系，其图象是函数P= 120t+4（0＜t≤8）的图象与线段AB的组合；设第t个月销售该原料药每吨的毛利润为Q（单位：万元），Q与t之间满足如下关系：Q= {2t+8,0<t≤12−t+44,12<t≤24（1）当8＜t≤24时，求P关于t的函数解析式；（2）设第t个月销售该原料药的月毛利润为w（单位：万元）①求w关于t的函数解析式；②该药厂销售部门分析认为，336≤w≤513是最有利于该原料药可持续生产和销售的月毛利润范围，求此范围所对应的月销售量P的最小值和最大值．5.某商场经销一种商品，已知其每件进价为40元。

二次函数与实际应用题------- 销售利润问题知识点：销售利润问题中常出现的量有：售价、标价、进价、销量、利润、利润率、折扣等。

涉及的等量关系有：售价=折扣数×10%×标价，利润率=进价售价－进价进价利润=，总利润=（销售单价-进货单价）×销售量。

1.湘潭政府工作报告中强调，2019年着重推进乡村振兴战略，做做优做响湘莲等特色农产品品牌。

小亮调查了一家湘潭特产店A ，B 两种湘莲礼盒一个月的销售情况，A 种湘莲礼盒进价72元/盒，售价120元/盒，B 种湘莲礼盒进价40元/盒，这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为2800元，平均每天的总利润为1280元。

（1）求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？（2）小亮调查发现，A 种湘莲礼盒售价每降3元可多卖1盒。

若B 种湘莲礼盒的售价和销量不娈，当A 种湘莲礼盒降价多少元/盒时，这两种湘莲盒平均每天的总利润最大，最大是多少元？2.某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y 本与每本纪念册的售价x 元之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为35本；当销售单价为24元时，销售量为32本。

（1）请直接写出y 与x 的函数关系式；（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？（3）设文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为W 元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？利润是多少？3.某超市销售一种文具，进价为5元/件。

售价为6元/件时，当天的销售量为100件。

在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件。

设当天销售单价统一为x元/件（x≥6，且x是按90.5元的倍数上涨），当天销售利润为y元。

（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）（2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；（3）若每件文具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润。

人教版九年级上对接中考知识点复习专项计划——二次函数的应用之销售问题附解析教师版一、单选题(共1题；共2分)1．（2分）某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆．当每张床位每天收费100元时，床位可全部租出．若每张床位每天收费提高20元，则相应地减少了10张床位租出．如果每张床位每天以20元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是()A．140元B．150元C．160元D．180元【答案】C【解析】【解答】设每张床位提高x个20元，每天收入为y元．则有y=（100+20x）（100-10x）=-200x2+1000x+10000．当x=-2=10002×(−200)=2.5时，可使y有最大值．又x为整数，则x=2时，y=11200；x=3时，y=11200；则为使租出的床位少且租金高，每张床收费=100+3×20=160元．故答案为：C．【分析】设每张床位提高x个20元，每天收入为y元。

根据等量关系：每天的收入y=每张床的费用×每天出租的床位，列出y与x的函数解析式，再利用公式求出答案。

注意x为整数。

二、填空题(共3题；共4分)2．（1分）某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元（a＞0）。

未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元。

通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件。

在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，a的取值范围应为。

【答案】0＜a≤6【解析】【解答】解：设未来30天每天获得的利润为y，y=（110-40-t）（20+4t）-（20+4t）a化简，得y=-4t2+（260-4a）t+1400-20a每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，∴−260−42×(−4)>29.5解得，a＜6，又∵a＞0，即a的取值范围是：0＜a＜6【分析】设未来30天每天获得的利润为y，由题意可得y=销售总额-成本可得关于t的解析式，根据最大值4a−24>29.5即可求解。

2022-2023学年人教版数学九年级上册压轴题专题精选汇编专题08 二次函数的实际应用—销售问题考试时间：120分钟试卷满分：100分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022九下·嘉祥开学考）某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅游团的人数每增加一人，每人的单价就降低10元，若这个旅行社要获得最大营业额，则这个旅游团的人数是（ ）A．55B．56C．57D．58【答案】A【完整解答】解：设一个旅行团的人数是x人，营业额为y元，根据题意得，[]=--80010(30)y x x2101100=-+x x2x x=--10(110)2x=--+10(55)30250即当一个旅行团的人数是55人时，这个旅行团可以获得最大的营业额，故答案为：A．【思路引导】设一个旅行团的人数是x人，营业额为y元，根据题意列出函数解析式[]y x x=--280010(30)=--+，再利用二次函数的性质求解即可。

x10(55)302502．（2分）（2021九上·北京月考）商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价上涨1元，则每星期就会少卖10件．每件商品的售价上涨x元（x正整数），每星期销售的利润为y元，则y与x的函数关系式为（ ）A．y＝10（200﹣10x）B．y＝200（10+x）C．y＝10（200﹣10x）2D．y＝（10+x）（200﹣10x）【答案】D【完整解答】解：设每件商品的售价上涨x元（x正整数），则每件商品的利润为（60-50+x）元，总销量为（200-10x）件，商品利润为y ＝（10+x ）（200﹣10x ）．故答案为：D ．【思路引导】根据题意中的等量关系，列出方程即可。

3．（2分）（2021九上·淮北月考）某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，该商品每月的销售量 y （件）与销售单价 x （元）之间满足函数关系式 5550y x =-+ ，若要求销售单价不得低于成本，为每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？每月最大利润是多少？（ ）A ．90元，4500元B ．80元，4500元C ．90元，4000元D ．80元，4000元【答案】B【完整解答】解：设每月总利润为 w ，依题意得： (50)w y x =-(5550)(50)x x =-+-2580027500x x =-+-25(80)4500x =--+50-< ，此图象开口向下，又 50x ≥ ，∴ 当 80x = 时， w 有最大值，最大值为4500元．故答案为：B ．【思路引导】根据题意，列出二次函数，根据二次函数的最值求出答案即可。

二次函数的实际应用-销售问题一、单选题1.某品牌钢笔进价8元，按10元1支出售时每天能卖出20支，市场调查发现如果每支每涨价1元，每天就少卖出2支，为了每天获得最大利润，其售价应定为( )A. 11元B. 12元C. 13元D. 14元2.某海滨浴场有100个遮阳伞，每个每天收费10元时，可全部租出；若每个每天提高2元，则减少10个伞租出，若每个每天收费再提高2元，则再减少10个伞租出……为了投资少而获利大，每个每天应提高( )A. 4元或6元B. 4元C. 6元D. 8元3.某种产品按质量分为10个档次，生产最低档次产品，每件获利润8元，每提高一个档次，每件产品利润增加2元．用同样工时，最低档次产品每天可生产60件，提高一个档次将减少3件．如果获利润最大的产品是第k档次（最低档次为第一档次，档次依次随质量增加），那么k等于（）A. 5B. 7C. 9D. 104.某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足函数关系式y=−5x+550，若要求销售单价不得低于成本，为每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？每月最大利润是多少？（）A. 90元，4500元B. 80元，4500元C. 90元，4000元D. 80元，4000元5.山东全省2016年国庆假期旅游人数增长12.5%，其中尤其是乡村旅游最为火爆．泰山脚下的某旅游村，为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费100元时，床位可全部租出，若每张床位每天收费提高20元，则相应的减少了10张床位租出，如果每张床位每天以20元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是（）A. 140元B. 150元C. 160元D. 180元6.生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产。

现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润y和月份n之间函数关系式为y=-n2+15n-36，则该企业一年中应停产的月份是( )A. 1月，2月，3月，4月B. 2月，3月，4月，12月C. 1月，3月，11月，12月D. 1月，2月，3月，12月7.某企业是一家专门生产季节性产品的企业，当产品无利润时，企业会自动停产，经过调研预测，它一年中每月获得的利润y（万元）和月份n之间满足函数关系式y=﹣n2+14n﹣24，则企业停产的月份为（）A. 2月和12月B. 2月至12月C. 1月D. 1月、2月和12月8.商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价上涨1元，则每星期就会少卖10件．每件商品的售价上涨x元（x正整数），每星期销售的利润为y元，则y与x的函数关系式为（）A. y＝10（200﹣10x）B. y＝200（10+x）C. y＝10（200﹣10x）2D. y＝（10+x）（200﹣10x）9.一件工艺品的进价为100元，标价135元出售，每天可售出100件，根据销售统计，一件工艺品每降价1元，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，则每件需降价（）A. 3.6 元B. 5 元C. 10 元D. 12 元10.将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个，已知该商品单价每上涨2元，其销售量就减少10个．设这种商品的售价为x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（）A. y=（x﹣35）（400﹣5x）B. y=（x﹣35）（600﹣10x）C. y=（x+5）（200﹣5x）D. y=（x+5）（200﹣10x）二、填空题11.某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元（a＞0）．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，a的取值范围应为．12.某超市销售某种玩具，进货价为20元．根据市场调查：在一段时间内，销售单价是30元时，销售量是400件，而销售单价每上涨1元，就会少售出10件玩具，超市要完成不少于300件的销售任务，又要获得最大利润，则销售单价应定为________ 元．13.某水果店销售一批水果，平均每天可售出40kg，每千克盈利4元，经调查发现，每千克降价0.5元，商店平均每天可多售出10kg水果，则商店平均每天的最高利润为________元14.某服装店销售童装平均每天售出20件，每件赢利50元，根据销售经验：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可以多售出4件。

九年级数学二次函数的应用题解析本文将解析九年级数学中与二次函数相关的应用题。

二次函数是数学中的重要概念，其在实际生活中有着广泛的应用。

通过本文的解析，我们将更好地理解二次函数的应用。

题目一题目描述：某人在市场上销售某种产品。

根据市场调研，该产品的销售量与售价之间存在二次函数关系。

已知该产品售价为x （单位：元），销售量为y（单位：个）。

某日市场调查得到以下数据：[数据表格]解析：根据题目所给数据，我们可以建立二次函数表达式，表示销售量与售价之间的关系。

然后，我们可以利用这个函数来解答题目中的问题，比如确定在某个价格范围内的销售量，或者确定销售量达到最高值时的售价。

题目二题目描述：一个投掷物体的高度可以用二次函数表示。

已知在t=0时刻，物体抛出并上升，在空中运动一段时间后再下落。

已知抛出时的初速度为v（单位：m/s），物体的高度可以用h(t)表示，t 为时间（单位：s）。

已知某物体的二次函数模型为h(t) = -5t^2 + 10t + 20。

解析：根据已知的二次函数模型，我们可以计算物体在不同时间点的高度。

题目要求我们解答一些与时间和高度有关的问题，比如物体的最大高度是多少，物体落地时的时间是多少等等。

我们可以通过对二次函数进行分析和计算来得出答案。

题目三题目描述：一家公司生产某种产品，根据实际情况，该产品的生产成本与产量之间存在二次函数关系。

已知该产品的产量为x （单位：个），生产成本为y（单位：元）。

某日公司的生产成本与产量数据如下：[数据表格]解析：根据题目给出的数据，我们可以建立二次函数表达式来表示生产成本与产量之间的关系。

然后，我们可以利用这个函数来解答题目中的问题，比如确定产量在某个成本范围内的情况，或者确定成本最低时的产量等。

通过以上的题目解析，我们可以看到二次函数在实际问题中的应用。

掌握了二次函数的概念和相关知识，我们可以更好地理解和解决与二次函数有关的问题。

人教版九年级上册数学期末实际问题与二次函数解答题（销售问题）专题训练7．某工厂生产地方特色手工老棉鞋，它的成本价为20元/双．该工厂利用网络平台销售某一批老棉鞋，每天销售量y （双）与销售单价x （元）之间的函数图象如图，已知图象是直线的一部分．(1)求y 与x 之间的函数表达式；(2)若该工厂要求每天销售量不低于320双，当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？8．小明投资销售一种进价为每件15元的护眼台灯，销售过程中发现，每月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系可近似的看作一次函数：，在销售过程中销售单价不低于进价，而每件的利润不高于成本价的．(1)设小明每月获得利润为（元），求每月获得利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围．(2)当销售单价定为多少元时，每月可获得1500元的利润？(3)当销售单价定为多少元时，每月可获行最大利润？9．某商店以每件元的价格购进一批商品，现以单价元销售，每月可售出件，经市场调查发现：每件商品销售单价每上涨元，该商品平均每月的销售量就减少件．设每件商品销售单价上涨了元．(1)写出每月销售该商品的利润（元）与每件商品销售单价上涨（元）之间的函数关系式；(2)当销售单价定为多少元时，每月销售该商品的利润最大？最大利润为多少？y x 10500y x =-+60%w w x x 3050400110x y x13．商场将进货价为30元的台灯以40元的价格售出，平均每月能售出600个，这种台灯的售价每上涨2元，其销量就减少20个．(1)为了实现销售这种台灯平均每月10000元的销售利润，售价应定为多少元？(2)在这样的销售模式下，当售价定为多少元时，其销售利润达到最大，求最大利润．14．某商场新进一批拼装玩具，进价为10元/个，在销售过程中发现，日销售量（单位：个）与销售单价（单位：元）之间满足一次函数关系：．(1)若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？(2)设该玩具日销售利润为元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？15．某公司以每件50元的价格购进一种商品，规定销售时的单价不低于成本价，又不高于每件70元，在销售过程中发现这种商品每天的销售量（件）与每件的销售单价（元）满足一次函数关系：．(1)当时，每件的利润是________元，总利润为________元；(2)若设总利润为元，则与的函数关系式是________________；(3)销售单价定为多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？16．某网点销售一商品，已知每个商品成本为元，销售大数据分析：当每个商品售价为元时，平均每天售出个，若售价每降低1元，其销售量就增加个．(1)如果设每个商品售价降价元，那么每个商品的销售利润为__________元，平均每天可销售商品________个；(用含的代数式表示)(2)为促进销售，该网点决定降价促销，且要尽量减少库存情况下，若要使每天获利为1600元，则商品的售价应定为多少元？(3)试求这种商品每个售价降低多少元时一天的利润最大并求出最大值．y x 2100y x =-+w y x 101000y x =-+60x =w w x 40606010x x17．某服装店购进一批秋衣，价格为每件元．物价部门规定其销售单价不高于每件元，经市场调研发现：日销售量y （件）是销售单价x （元）的一次函数，且当 时，；时，．在销售过程中，每天还要支付其他费用元．(1)求出y 与x 的函数关系式，若每件售价不低于元，请直接写出自变量x 的取值范围；(2)求该服装店销售这批秋衣的日获利W （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式；(3)当销售单价为多少元时，该服装店日获利最大？最大日获利是多少元？18．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克80元，若每千克盈利10元，则每天可售出400千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价元，日销售量将减少10千克．(1)在原价的基础上，连续两次降价后每千克元，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率；(2)现该商场要保证每天盈利元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？(3)若使商场每天的盈利达到最大，则应涨价多少元？此时每天的最大盈利是多少？306060x =80y =50x =100y =450300.551.24480参考答案：9．(1)该商品的利润（元）与每件商品销售单价上涨（元）之间的函数关系式为(2)当销售单价定为元时，每月销售该商品的利润最大，最大利润为元10．(1)(，且x 为整数．)(2)当售价为元或元时，获得最大利润，最大利润为元(3)每件商品的售价大于等于元小于等于元时，每个月的利润不低于元11．(1)每件童装应降价10元；(2)不能，理由见解析12．(1)(2)80元(3)13．(1)80元或50元(2)当售价定为65元时，其销售利润达到最大，最大利润为12250元14．(1)当天玩具的销售单价是40元或20元(2)当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大，最大利润是800元15．(1)，(2)(3)销售单价定为70元时，利润最大，最大利润是6000元．16．(1)，(2)元(3)这种商品每个售价降低元时，一天的利润最大，最大值是1690元y x 2102008000y x x =-++6090002101102100y x x =-++015x <≤5556240051602200(101200)x -+110a ≤≤104000()2101500500005070w x x x =-+-≤≤()20x -()6010x +50717．(1)（）(2)(3)当销售单价为元时，该服装店日获利最大，最大值为元18．(1)每次下降的百分率为(2)该商场要保证每天盈利4480元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价4元(3)若使商场每天的盈利达到最大，则应涨价5元，此时每天的最大盈利是4500元2200y x =-+3060x ≤≤222606450=-+-W x x 60195020%。

九上数学每日一练：二次函数的实际应用-销售问题练习题及答案_2020年压轴题版答案解析答案解析答案解析答案解析2020年九上数学：函数_二次函数_二次函数的实际应用-销售问题练习题1.(2020信阳.九上期末) 某批发商以40元/千克的价格购入了某种水果500千克．据市场预测，该种水果的售价y （元/千克）与保存时间x （天）的函数关系为y=60+2x ，但保存这批水果平均每天将损耗10千克，且最多能保存8天．另外，批发商保存该批水果每天还需40元的费用．（1） 若批发商保存1天后将该批水果一次性卖出，则卖出时水果的售价为（元/千克），获得的总利润为（元）；（2） 设批发商将这批水果保存x 天后一次性卖出，试求批发商所获得的总利润w （元）与保存时间x （天）之间的函数关系式；（3） 求批发商经营这批水果所能获得的最大利润．考点： 一次函数的实际应用;二次函数的实际应用-销售问题;2.(2019嘉兴.九上期末) 嘉兴某公司抓住“一带一路”的机遇不断创新发展，生产销售某产品．该产品销售量y(万件)与售价x (元／件)之间存在图1(一条线段)所示的变化趋势，总成本P(万元)与销售量y(万件)之间存在图2所示的变化趋势，当6≤y≤10时可看成一条线段，当10≤y≤18时可看成抛物线P=- y +8y+m ．（1） 写出y 与x 之间的函数关系式；（2） 若销售量不超过10万件时，利润为45万元，求此时的售价为多少元／件?（3） 当售价为多少元时，利润最大，最大值是多少万元?(利润=销售总额-总成本)考点： 一元二次方程的实际应用-销售问题;一次函数的实际应用;二次函数的实际应用-销售问题;3.(2017杭锦后旗.九上期中) 某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．①写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式，并写出x 的取值范围．②若商场要每天获得销售利润2000元，销售单价应定为多少元？③求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润是多少？考点：二次函数图象与一元二次方程的综合应用;二次函数的实际应用-销售问题;4.(2019武威.九上期末) 某童装店在服装销售中发现：进货价每件 元，销售价每件元的某童装每天可售出件．为了迎接“六一儿童节”，童装店决定采取适当的促销措施，扩大销售量，增加盈利．经调查发现：如果每件童装降价元，那么每天就可多售出 件．（1） 如果童装店想每天销售这种童装盈利 元，同时又要使顾客得到更多的实惠，那么每件童装应降价多少元？（2） 每件童装降价多少元时，童装店每天可获得最大利润？最大利润是多少元？考点： 一元二次方程的实际应用-销售问题;二次函数的实际应用-销售问题;5.2答案解析(2019东.九上期末) 某厂家生产一种新型电子产品，制造时每件的成本为40元，通过试销发现，销售量 万件 与销售单价 元 之间符合一次函数关系，其图象如图所示.（1） 求y 与x 的函数关系式；（2） 物价部门规定：这种电子产品销售单价不得超过每件80元，那么，当销售单价x 定为每件多少元时，厂家每月获得的利润 最大？最大利润是多少？考点： 二次函数的实际应用-销售问题;2020年九上数学：函数_二次函数_二次函数的实际应用-销售问题练习题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：。