摘要本文在满足给定设计规范的条件下，以线光源功率最小为优化目标，运用微元法对车灯线光源长度的设计问题进行了讨论。
首先将线光源分为若干段（微元），视每一段为一个点光源。
引进两个物理量：照度和发光效率，分别用来度量光强和建立光源功率与辐射光能的联系。
搜索每个点光源发出的光线有多少条经反射后能照到给定的B、C两点，进而建立起光源功率与B、C点照度之间的联系。
再以设计规范中要求的B、C点的照度与额定值之间的关系为约束条件，以线光源功率最小为目标建立优化模型。
代入距光源25米处照度的额定值和线光源的功率线密度等参数，得出相应线光源的最优长度。
以高压毛细汞灯（发光效率50流明/瓦、功率线密度30瓦/毫米）为例，算出它的优化长度为4.2毫米，并绘出测试屏上反射光的亮区图。
从实际、安全、经济等多角度出发，讨论了该设计规范的合理性。
最后考虑到实际的光源辐射有衰减、灯具反射面的污染等因素，建议引进照度补偿系数，使模型的实用性更强。
一、问题的提出汽车头部的车灯形状为一旋转抛物面，其对称轴水平地指向正前方，并已知其开口半径为36毫米，深度为21.6毫米。
经过车灯的焦点F，在与对称轴相垂直的水平方向上，对称地放置一定长度的均匀分布的线光源。
要求在某一设计规范标准下确定线光源的长度。
该设计规范可简单描述如下：在焦点F正前方25米处的A点放置一测试屏，屏与FA垂直，用以测试车灯的反射光。
在屏上过A点引出一条与地面相平行的直线，在该直线A点的同侧取B点和C点，使AC=2AB=2.6米。
要求C点的光强度不小于某一额定值（可取为1个单位），B点的光强度不小于该额定值的两倍（只须考虑一次反射）。
我们需要解决的是：（1）满足该设计规范的条件下，计算线光源长度，使线光源的功率最小。
（2）得到的线光源长度，在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区。
（3）讨论该设计规范的合理性。
二、问题的分析2.1 首先我们来明确几个概念线光源——宽度与其长度相比小得多的发光体。
光通量——光源在单位时间内辐射出的光能，用国际规定的眼（对光适应的眼）的灵敏度来估定。
发光效率——光源每消耗1瓦特功率可辐射出的光通量，又叫光效。
照度——单位面积所接受的光通量，单位为勒克斯。
2.2 分析问题首先解决本问题的一个难点：由于问题讨论的主要对象是线光源，而线光源处理起来不太容易，因此想到用微元法将线光源划分为若干小段（微元l ），每一段可视为一个点光源。
这样就将线光源的问题转化为了点光源的叠加问题。
由于该线光源照射到测试屏上，有两种途径：直射和反射。
因此我们在考虑某点的光强时，必须同时考虑两种情况。
现在我们还需解决的几个关键问题是如何度量光强，光强的额定值为多少，如何建立起功率与光强的关系。
通过查资料，我们引入了描述光强的物理量——照度。
同时查到距车灯25米处的照度额定值为1勒克斯，即光强额定值为1勒克斯（见参考文献[1]）。
另外，还引入发光效率这个量来建立起光源功率与光强的关系（见参考文献[2]）。
在上述讨论的基础上，作进一步分析，我们认为可以建立一个以给定设计规范为约束条件，以线光源的功率最小为目标的规划模型。
可以通过步长搜索，来求得线光源长度的最优解。
三、模型的假设1、光在反射时及整个传播过程中，能量均无损耗。
2、只计此线光源的长度，其体积忽略不计。
3、此线光源均匀分布，各点同性。
且任意一点向整个空间各个方向均匀辐射能量。
4、光强额定值为1勒克斯。
5、不考虑光的干涉、衍射等现象。
6、光强在某点叠加时，可直接取其代数和。
7、只考虑一次反射。
四、符号说明lm——流明W——功率m——米lx——勒克斯（1 lx=1 lm/m2）五、模型的建立与求解5.1 准备工作首先建立如图坐标系：图一车灯测试装置三维坐标图其次，明确下面的定理：定理1 从焦点发出的光经反射后均为平行于对称轴的光。
定理2 点光源发出的光以球面波的形式向空间传播。
定理3 光源从一点A 经反射到达另一点B 所走过的光程等于点A 的镜像'A 到点B 的直线距离。
此定理可由图二直观表示：即'AC BC A B +=图二再根据几何推导，可得出一个重要的结论：结论 在旋转抛物面上，每个反射点的法线都与对称轴相交。
下面我们对此结论进行证明：从图一，我们可以看出此旋转抛物面是由曲线()2200x cyc z ⎧⎪⎨⎪⎩=>= （5.1.1）绕y 轴旋转得到的。
于是推出此旋转抛物面的方程为222x cy z += （5.1.2）设()0,0,0x y z 为此抛物面上任意一点，求得过此点的切面方程为()()()000002202x x c y y z z z x ---+-= （5.1.3）进而得法线方程为00000x x y y z z x c z ---==- （5.1.4） 联立对称轴方程x z =⎧⎨=⎩得到交点坐标为（0，0c y +，0）至此，结论得证。
最后将开口半径及深度等数据代入（5.1.1）式，得出焦距152c=（mm ）=0.015（m ）然后代入0.015y =，推得该线光源的范围为[－0.03, 0.03]m 。
5.2 建立模型（1）计算线光源长度首先说明一点：以下我们将对B 点进行分析，对于C 点，所用方法及运算过程完全类似。
① 光源功率与照度的关系如果光源的发光强度为I ，光源与被照面的距离是r ，光线方向与被照面法线的夹角为θ。
那么，这个面上的照度就是2cos IE r θ=（5.2.1） 可见，在点光源垂直照射的情况下，被照面上的照度跟光源的发光强度成正比，跟表面法线与光线方向之间夹角的余弦成正比，与光源到被照面问的距离的平方成反比。
通过查资料，可知光通量与发光强度之间有如下关系式：4I φπ= （5.2.2）由（5.2.1）和（5.2.2）得 2cos 4E r φθπ=（5.2.3） 对于功率线密度为k 瓦／米，发光效率为η流明／瓦的线光源，在距它r 米的物体表面，照度为2cos 4kL E r ηθπ= （5.2.4） 光源功率为 p kL = （5.2.5）即可推出 2cos 4P rE ηθπ=（5.2.6）② 微元法将线光源转化为点光源对于线光源来说，我们利用微元法的思想，将其分为若干小段（l ∆），每一段可视为一个点光源，各自独立向四周辐射光能。
而在测试屏上的任意一受光点的照度等于各点光源在此处的照度代数和。
这样我们就把对线光源的讨论转化成了对点光源的讨论。
③ 求直射光的强度线光源上任一点光源D 直射到测试屏上B 点处有且只有一条光线。
因为D 发出的光是以球面波的形式向空间传播的，设该点到B 点的半径为r ，则在B 点处的波面面积为24S r π= （5.2.7）据（5.2.4）式，可得任意一点光源直射到B 点时该点的照度为：2cos cos 4k l k l S re ηηθθπ⋅∆⋅⋅∆⋅⋅=⋅=直 （5.2.8）可以看出此量与距离有关，也就是说，不同的点光源在B 点所对应的照度值不同。
但注意到所有的r 差别太小，因此在实际计算中，我们对r 作近似处理，令它为一个常数：r =（米） 于是得出此线光源的直射光在B 点辐射出的总照度为2cos cos 4kL kL S r E ηηθθπ⋅=⋅=直 （5.2.9） 而此时线光源所消耗的功率p kL = （5.2.10）④ 求反射光的强度为了便于分析，我们将图一抽象出来，并旋转一定角度后得图三。
D —线光源上任一点 N —对应于D 点的反射点 G —法线与中轴线的交点图三对于线光源上的任意一点D （设坐标为（t ，0.015，0）），假设从它发出的光线经旋转抛物面上的点N 反射后，可以射到B 点上。
下面利用向量来推导旋转抛物面上满足此条件的所有反射点N 的坐标。
设反射点N 的坐标为（x ，y ，z ），由上文的证明可知，在旋转抛物面上，每个反射点的法线都与对称轴相交，且交点G 的坐标为（0，c y +，0）。
又已知点B 的坐标为（-1.3，25.015，0），点D 的坐标为（t ，0.015，0）。
经过分析，知道N 点必须满足以下三个条件：1）NG 是BND ∠的角平分线，即：BNG DNG ∠=∠ cos cos BNG DNG ∠=∠BN GN GN DNBN GN GN DN⋅⋅=⋅⋅=（5.2.11）2）点G 、B 、N 、D 四点共面，所以：0BN DN GN ⨯⨯=1.325.01500.015x y z x c z x ty z+--=-- （5.2.12） 3）点N 在抛物面上，所以应该满足抛物线方程：222z cy x += （5.2.13）联立方程（5.2.11）、（5.2.12）、（5.2.13），即可求解出与线光源上一点D 对应的所有的反射点N 。
但实际上我们并不关心N 点的具体坐标值，而看重的是线光源上每一点能发出多少光线经抛物面反射后照到B 或C 点。
由于光源发出的光能否反射受灯反射面几何尺寸大小的限制，并且B 、C 点的位置相对灯而言是处在斜前方，所以，N 点的位置并不具有对称性。
对于线光源上不同的点，与其对应的N 点数目也不同。
但在线光源上位置十分相邻的两点，可认为它们对应的N 点数目相同。
即它们发出的光中有相同数目的光线经抛物面反射后恰好照射到B 点（或C 点）。
我们采用在小区域采集离散点的方法，使用Mathematic 软件，通过改变微小l ∆,得到线光源上当前D 点对应的反射点（即N 点）的数目。
以此作为此微小区域 [,]l l l +∆内各点所对应的N 点数目。
（列表详见附件1）如果把整个线光源划成m 个相等的微小区间，则由上述分析，第i 个微小区间的点发出的光线经抛物面反射，如果能恰好射到B 点（或者C 点），那么在B 点的照度为22cos cos 44l li i i ln k n k l e dl r r ηηθθππ+∆==⎰2211cos cos 44m mi i i i i n k l n kL E e r m rηηθθππ=====∑∑反 至此，我们已分别求得了E E 反直于是我们可以得到 22()cos 44i n kL kL E E E r m r ηηθππ=+=+ 反直⑤求得长度的优化解通过条件，建立线光源长度的优化模型：00min 2.B B B C p kLE E E E s t E E E E ==+≥⎧⎨=+≥⎩反直C反C直（2） 反射光亮区的绘制首先我们称光能照射到的区域为亮区。
我们以常用的高压毛细汞灯为例（即 L = 4.2mm ），来绘制出测试屏上反射光的亮区。
亮区图的绘制步骤：线光源反射光的亮区可以近似的看作线光源上一系列离散的点光源的反射光亮区的叠加。
我们通过如下方式产生线光源反射光的亮区： 1） 在线光源上等间距的选取一系列的点作为点光源; 2） 在旋转抛物面上产生均匀排列的网格作为反光点；3） 对于每一点光源，计算它到所有反光点的入射光的方向向量及其法线方向向量； 4） 通过入射光方向向量及其法线方向向量计算反射光方向向量；5） 通过反射光方向向量及反射点的坐标求出反射光的解析式，进而求出反射光在测试屏上的投影坐标，并在此处描点。
