完全平方数对半和性质的推广

完全平方数的性质及推论(详细)一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。

例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,…观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。

下面我们来研究完全平方数的一些常用性质：性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。

性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。

证明奇数必为下列五种形式之一：10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9分别平方后，得(10a+1)^2=100a^2+20a+1=20a(5a+1)+1(10a+3)^2=100a^2+60a+9=20a(5a+3)+9(10a+5)^2=100a^2+100a+25=20 (5a+5a+1)+5(10a+7)^2=100a^2+140a+49=20 (5a+7a+2)+9(10a+9)^2=100a^2+180a+81=20 (5a+9a+4)+1综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。

性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。

证明已知m^2=10k+6，证明k为奇数。

因为的个位数为6，所以m的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。

则10k+6=(10n+4)^2=100+(8n+1)x10+6或10k+6=(10n+6)^2=100+(12n+3)x10+6即k=10+8n+1=2(5+4n)+1或k=10+12n+3=2(5+6n)+3∴k为奇数。

推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。

推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。

完全平方数及其性质能表示为某个整数的平方的数称为完全平方数，简称平方数。

例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,…观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。

一、平方数有以下性质：【性质1】完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。

【性质2】奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。

【性质3】如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。

推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。

推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。

【性质4】（1）凡个位数字是5，但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；（2）末尾只有奇数个“0”的自然数（不包括0本身）不是完全平方数；100，10000，1000000是完全平方数，10，1000，100000等则不是完全平方数。

（3）个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。

需要说明的是：个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数一定不是完全平方数，如：11，31，51，74，99，211，454，879等一定不是完全平方数一定不是完全平方数。

但个位数字为1，4，9而十位数字为偶数的自然数不都是完全平方数。

如：21，44，89不是完全平方数，但49，64，81是完全平方数。

【性质5】偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。

这是因为 (2k+1)^2=4k(k+1)+1 (2k)^2=4k^2【性质6】奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。

【性质7】平方数的形式一定是下列两种之一：3k,3k+1。

【注意：具备以上条件的不一定是完全平方数（如13，21，24，28等）】【性质8】不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型。

２９４　完全平方公式的运用及其推广■陶其亮　（云南省昭通市昭阳区大寨子乡中学　６５７００７）【中图分类号】Ｇ６３２ 【文献标识码】Ａ 【文章编号】２０９５－３０８９（２０１８）３２－０２９４－０２ 一、完全平方公式完全平方公式（ａ±ｂ）２＝ａ２±２ａｂ＋ｂ２，是整式运算中最重要的公式之一．在数学计算中可以简化运算过程，提高运算能力，从而培养良好的数学素质。

二、完全平方公式的运用１．ａ２＋ｂ２＝（ａ＋ｂ）２－２ａｂ＝（ａ－ｂ）２＋２ａｂ２．（ａ＋ｂ）２＝（ａ－ｂ）２＋４ａｂ３．（ａ－ｂ）２＝（ａ＋ｂ）２－４ａｂ４．（ａ＋ｂ）２＋（ａ－ｂ）２＝２（ａ２＋ｂ２）５．（ａ＋ｂ）２－（ａ－ｂ）２＝４ａｂ６．ａｂ＝（ａ＋ｂ２）２－（ａ－ｂ２）２例１：计算１．２３５×０．２３５×２．４７－１．２３５３－１．２３５×０．２３５２．解：由ａ２＋ｂ２＝（ａ＋ｂ）２－２ａｂ＝（ａ－ｂ）２＋２ａｂ得１．２３５×０．２３５×２．４７－１．２３５３－１．２３５×０．２３５２＝－１．２３５×（１．２３５２＋０．２３５２－０．２３５×２．４７）＝－１．２３５×［（１．２３５－０．２３５）２＋２×１．２３５×０．２３５－０．２３５×２．４７］＝－１．２３５×（１２＋０）＝－１．２３５例２：已知ｘ１，ｘ２是方程２ｘ２－３ｘ－５＝０的两个根，求代数式（ｘ１－ｘ２）２的值．解：由韦达定理知ｘ１＋ｘ２＝－ｂａ＝－－３２＝３２ｘ１ｘ２＝ｃａ＝－５２＝－５２所以（ｘ１－ｘ２）２＝（ｘ１＋ｘ２）２－４ｘ１ｘ２＝（３２）２－４×（－５２）＝９４＋１０＝４９４例３：计算２０１８２２０１９２＋２０１７２－２．解：２０１８２２０１９２＋２０１７２－２＝２０１８２（２０１８＋１）２＋（２０１８－１）２－２＝２０１８２２（２０１８２＋１２）－２＝２０１８２２×２０１８２＋２－２＝２０１８２２×２０１８２＝１２例４：若（１０１２＋２５）２－（１０１２－２５）２＝１０ｎ，则ｎ＝．解：∵（１０１２＋２５）２－（１０１２－２５）２＝４×１０１２×２５＝１０２×１０１２＝１０１４∴ｎ＝１４例５：已知ａ＋ｂ＝７０，ｃ２＝ａｂ－１２２５，求ａ，ｂ，ｃ的值．解：∵（ａ＋ｂ）２－（ａ－ｂ）２＝４ａｂ∴（ａ－ｂ）２＝（ａ＋ｂ）２－４ａｂ＝７０２－４（ｃ２＋１２２５）＝－４ｃ２∴（ａ－ｂ）２＋４ｃ２＝０由非负数的性质得ａ＝ｂ，ｃ＝０，从而ａ＝３５，ｂ＝３５，ｃ＝０．例６：若ａ，ｂ，ｃ满足（ａ＋２ｂ）（ａ＋２ｃ）＝（ｂ＋２ｃ）（ｂ＋２ａ）＝（ｃ＋２ａ）（ｃ＋２ｂ），求证：ａ＝ｂ＝ｃ．解：由（ａ＋２ｂ）（ａ＋２ｃ）＝（ａ＋ｂ＋ｃ）２－（ｂ－ｃ）２（ｂ＋２ｃ）（ｂ＋２ａ）＝（ｂ＋ｃ＋ａ）２－（ｃ－ａ）２（ｃ＋２ａ）（ｃ＋２ｂ）＝（ｃ＋ａ＋ｂ）２－（ａ－ｂ）２所以（ａ＋ｂ＋ｃ）２－（ｂ－ｃ）２＝（ｂ＋ｃ＋ａ）２－（ｃ－ａ）２＝（ｃ＋ａ＋ｂ）２－（ａ－ｂ）２即（ｂ－ｃ）２＝（ｃ－ａ）２＝（ａ－ｂ）２①．若ａ≠ｂ，则由①式可知ｂ≠ｃ，ｃ≠ａ，即ａ，ｂ，ｃ互不相等，不妨设ｃ＜ｂ＜ａ，于是ａ－ｃ＞０，ｂ－ｃ＞０，故（ａ－ｃ）２＞（ｂ－ｃ）２与（ａ－ｃ）２＝（ｂ－ｃ）２矛盾，因此，ａ＝ｂ．所以（ａ－ｂ）２＝０，由①式得ｂ＝ｃ，故ａ＝ｂ＝ｃ．例７：若两个自然数ａ，ｂ满足ａ＋ｂ＝３０，求这两个数乘积的最大值．解：由ａｂ＝（ａ＋ｂ２）２－（ａ－ｂ２）２＝（３０２）２－（ａ－ｂ２）２∵（ａ－ｂ２）２≥０∴当ａ＝ｂ时，这两个数的乘积有最大值为２２５．三、完全平方公式的推广【推广１】（从后往前算，每满十向前进１）例８：计算２３２的值．【推广２】ａｂ·ａｃ＝ａ（ａ＋１）ｂ·ｃ（ｂ＋ｃ＝１０，若ｂ·ｃ＜１０，则在ｂ·ｃ前添加一个０，即乘数位数减１个０）例９：计算１９×１１的值．１９×１１＝１×（１＋１）９×１＝１×２９×獉１＝２０９例１０：计算６３×６＝，２５２．６３×６７＝６×（６＋１）３×７＝６×７２１＝４２２１２５２＝２×（２＋１）５×５＝２×３２５＝６２５【推广３】ａｂ·ａｃ＝ａ２ａ·ｂ＋ａ·ｃｂ·ｃ（从后往前算，每满十向前进１）例１１：计算５６×５８＝．【推广４】ａｂ·ｃｄ＝ａ·ｃ·ａ·ｄ＋ｂ·ｃｂ·ｄ（从后往前算，每满十向前进１）例１２：计算７９×６４＝．例１３：计算８９×９８＝．参考文献［１］赵兴荣．完全平方公式的应用举例（初二）［Ｊ］．数理天地：初中版，２０１７，０（５）：３－３．［２］刘家良．且看完全平方公式的应用［Ｊ］．数理天地：初中版，２０１６，０（２）：２－３．［３］曹秀之．完全平方公式的应用［Ｊ］．初中生数学学习：初一版，２００３，（７）：６４－６５．［４］皇甫军［１］．例谈完全平方公式的应用［Ｊ］．中学生数理化：初中版初二，２００６，（７）：２８－２９．［５］谢盛富．完全平方公式及其变形的应用［Ｊ］．中学生数学：初中版，２０１６，０（５）：５－６．［６］高文良［１］．完全平方公式的变式应用［Ｊ］．中学生数学：初中版，２０１１，（７）：２－２．［７］刘顿．完全平方公式的变形与应用［Ｊ］．中学课程辅导：初一版，２００３，（５）：３３－３３．［８］陈剑［１］．完全平方公式的一个引申及应用［Ｊ］．中小学数学：初中版，２００９，（４）：３５－３５．浅谈儿童水墨画教学■田　鱼　（重庆市北碚区朝阳小学　４００７００）【摘　要】现代儿童水墨画教学是现代教育改革的背景下为致力于发展儿童的综合能力，加强文化传承和文化交流，促进其全面发展的一门艺术课程。

完全平方公式的推广一、完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2语言叙述：两数和（差）的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数的积的两倍。

二、项数推广：*（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac证明如下: （a+b+c）2=[(a+b)+c] 2=(a+b) 2+2(a+b).c+c2= a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2= a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac语言描述：三数和的平方，等于这三个数的平方和加上每两项的积的2倍。

*（a+b+c+d）2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd证明如下：（a+b+c+d）2=[（a+b）+（c+d）]2=(a+b) 2+2（a+b）（c+d）+（c+d）2= a2+2ab+b2+2（ac+ad+bc+bd）+ c2+2cd+d2= a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd语言描述：四数和的平方，等于这四个数的平方和加上每两数的积的2倍。

推广：几个数的和的平方，等于这几个数的平方和加上每两数的积的2倍。

注：①三数和、四数和的平方要求学生会推导，考试时大题应书写完整推导过程。

②如何计算“差”类问题：例：计算：（a-b+c）2= [a+（-b）+c]2= a2+（-b）2+c2+2a(-b)+2(-b)c+2ac=a2+b2+c2-2ab-2bc+2ac三、次数推广：计算并观察规律* (a+b) 3= (a+b) 2 .（a+b）= （a2+2ab+b2）（a+b）=a3 +a2b+2a2b+2ab2+ ab2+b3=a3 +3a2b+3ab2 +b3* (a+b) 4= (a+b) 2 .（a+b）2= （a2+2ab+b2）（a2+2ab+b2）=a4 +2a3b+a2b2+2a3b+ 4a2b2+2ab3 +a2b2+2ab3 +b4=a4 +4a3b+6a2b2 +4ab3+b4规律：（a+b）n=的展开式中①每项的次数均为n②按以上方式排列，正好是第一个字母的降幂排列，同时，也是第二个字母的升幂排列。

教学计划设计，优化完全平方公式在数学中的应用优化完全平方公式在数学中的应用在数学中，我们经常会遇到需要求平方根的问题，在这个时候完全平方公式就成为了一个重要的工具。

完全平方公式是数学中的基本公式之一，在初中数学中就开始学习，在高中数学中更是必须熟练掌握。

这篇文章将探讨完全平方公式在数学教学中的应用，讨论如何优化教学计划，帮助学生更好地掌握完全平方公式。

完全平方公式是指一个二次多项式可以因式分解为两个相同的一次多项式之和的形式。

具体而言，完全平方公式可以表示为：$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$。

这个公式在数学中有广泛的应用，特别是在代数学、数学分析和几何学中。

在教学计划设计中，我们应当注重培养学生的批判性思维能力。

因为只有通过批判性思维，我们才能更好地理解、记忆和应用完全平方公式。

同时，在教学中应该采用多元化的教学方式，以满足不同学生的学习需求。

以下是一些教学策略和方法，可以帮助学生更好地理解完全平方公式并将其应用于实际问题。

1.以数学历史为背景进行教学了解完全平方公式的历史背景，有利于学生更好地理解公式的来龙去脉。

例如，老师可以让学生了解到该公式的原始形式是由西方的裴蜀(Euclid)和斯诺(Sun Tzu)等人提出的，后来在中国唐代的数学家李冶的《算经》一书中得到了更加完整的阐述。

学生通过了解完全平方公式的历史背景，可以更深刻地认识到它的应用价值。

2.通过实例和演示来解释完全平方公式采用具体的实例和演示的方式会更生动形象地帮助学生理解和掌握完全平方公式。

例如，老师可以拿一个正方形和两块等腰直角三角形来演示完全平方公式：将正方形边长表示为$a$，三角形的直角边长表示为$b$，则整个正方形的面积可以表示为$a^2+2ab+b^2$。

通过学生手中的模型来解释完全平方公式，可以使学生更加直观地理解该公式。

3.制定合适的练习题目在练习题目的设计中，老师应该考虑到学生的不同层次，制定不同难度级别的练习题，以满足不同的学习需求。

完全平方数的性质和应用课前预习数字不重复的平方数观察只含两位数字的完全平方数：16＝42 25＝52 36＝62 49＝72 64＝82 81＝92 其中每个平方数都是两位数字互不相同。

含有三位数字的完全平方数，情况就不一样了。

例如： 100＝102 121＝112 144＝122这些平方数都已包含重复数字。

不过，也有许多三位平方数的各位数字互不相同，例如： 169＝132 196＝142 256＝162 62＝5252 含有四位数的完全平方数，包含重复数字的现象更为普遍。

1444＝382 不含重复数字的四位平方数也很多，例如1024＝322 2401＝492 1369＝372 1936＝442如果一个平方数有九位数字，每位数字各不相同，并且不含数字0，那么在这个数中，从1到9全都出现，全只出现一次。

其中最小的是：139854276＝118262，最大的是：923187456＝303842知识框架完全平方数常用性质1.性质性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9．不可能是2，3，7，8。

性质2：在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。

性质3：自然数N 为完全平方数自然数N 约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次.性质4：若质数p 整除完全平方数，则p 能被整除。

2.一些重要的推论（1）任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。

（2）一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。

（3）自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。

⇔⇔2a a（4）完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。

（5）完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。

34. 完全平方数对半和的几个性质王凯成（陕西省小学教师培训中心 710600）1 引子文[1]介绍了印度数学家发现一组具有奇妙特性的连续自然数，从956一个不漏地到968， 共13个自然数，它们的奇妙之处是把每个数的平方数的前三位与后三位所组成的两个数相加，和一定是一个完全平方数，且这些完全平方数的算术平方根恰好从43一个不漏地到31，也是一组连续自然数.文[2]报道了美国俄亥俄州的数学家欧文g 托马斯运用同余理论发现了从9859~9900这42个自然数也具有上述956~968类似的性质.文[1]作者戴宏图先生提出：印度数学家的这个发现令人感到非常惊讶，因为自然数被研究了几千年，竟然还有这样的“漏网之鱼”被当代人捉住. 此外，使人大惑不解的是：这个发现纯粹是巧合呢还是在数学理论上有更深刻的缘由？为什么这样的性质仅对连续自然数组956~968成立，还存在其他具有相同长度的类似连续数组吗？这些都是未解之迷，还没有人给出满意的解答.笔者经过探索研究，得到了下述的定理1、定理2和定理3. 定理1回答了戴宏图先生提出的问题，推广了欧文g 托马斯的结论. 定理2和定理3各自又得到了一组有趣的连续数组.2 定理与证明设k 是一个t 位自然数，即11010t t t -≤<，那么由2221010t t t -≤<知，2k 是一个21t - 或2t 位自然数. 不妨设： 2221111t t t t t k a a a a a a -+-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅ （i a 是数字，2210t t a a -+≠），12211t t t m a a a -+=⋅⋅⋅ ， 211t t m a a a -=⋅⋅⋅ （1m 与2m 是形式上的t 位数），则21210t k m m =+g .显然1010t m ≤<， 2010t m ≤<. 我们把12m m +叫做完全平方数2k 的对半和. 以下用[x]、{x}分别表示x 的整数部分和小数部分.定理1 当t ∈N 时，212(101)10101t t t m m k k +=--⇔-≤≤--.定理2 当t ∈N时，212(101)(101)1010t t t tm m k k +--=--⇔-≤<. 定理3 当t ∈N 时，212(101)(101)10101t t t t m m k k ++-=--⇔-≤<--. 为了证明定理1、2、3，我们先证明两个引理.引理1 212(101)(101)t t m m k m +=----，其中11012t m k m =--+.证明 由21210t k m m =+g知 2121110t m m m k m +=+-g2121221212()(101)(101101)(101)(101)2(101)(101)(101)(101)(101)(1012)(101)(101)(101)t t t t t t t t tt t t t t k m k m k k m k k m k m =---=---+--=------+---=-----+-=----g 引理2 当11012t m k m =--+时，22(10)(1)10,1t t m k m m =--+≥-g. 证明 由21210t k m m =+g有：221222210(1012)1021010(1)10(10)(1)10tt tt t t t tm k m k m k k k m k m =-=--++=-+-+=--+g g g若m ≤2-，则22(10)(1)10(10)1010,t t t t t k m k --+≥-+>g这与2010t m ≤<矛盾. 故知m ≥1-.定理1的证明.证明 “⇒”：当212(101)t m m k +=--时，由引理1知m = 0. 再由引理2中2m =2(10)(1)10t t k m --+g 知：22(10)10t t m k =--.2221101(10)1010101(10)210101010tt t tt t tt t t m k k k k -<<∴-<--<-<-<⨯<-<-<-Q1010t t k --<<--由t ∈N是无理数，所以01<<. 当t = 1时，={3}0=；当t >1是无理数，01<<. 所以当t ∈N时，0≤ 1<. 而k 是自然数，故有：10101t t k -≤≤-- .“⇐”：因为10101t t k -≤≤--，所以设10(0,1,2,1)t k l l =-+=⋅⋅⋅-- .则22210)10)t t k l l =--+-g .由于2)10t l <-≤<<,故设)l -= 11()t t i bb b b -⋅⋅⋅是数字.又因为1l +≤-≤， 由[x]≤x<[x]+1是无理1l <+≤-≤<.2101)210t t l -<-<⨯ ，即210)210t t l ≤-<⨯ .所以设211)1t t l c c c --=⋅⋅⋅（i c 是数字）. 221111111110101(101)10t t t t t t t t t t t t k b b b c c c b b b c c c ----=-⋅⋅⋅⨯+⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅+⨯+⋅⋅⋅故由21210t k m m =+g 1210t m m ≤<(0、)知： 111211101t t t t t m bb b m c c c --=-⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅， .1211111111111122210110111))11)(101)t t t t t t t t t t t t t t t m m b b b c c c c c c b b b c c c b b b l l l k ------+=-⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅-⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅+=---+=--=--故：定理1得证.定理2证明：证明 “⇒”：因为212(101)(101)t t m m k +--=--，即212(101)t m m k +=-- (101)t +-，所以由引理1知m = 1-. 再由引理2中22(10)(1)10t t m k m =--+g知， 22(10)t m k =-. 由2010t m ≤<有：20(10)101t t k ≤-≤- ，010t k ≤-≤，1010t t k ≤≤ .由于t ∈N时，01≤<，且11010t t k -≤<，故有：1010t t k -≤<. “⇐”：因为1010t t k -≤<，所以令10(0,1,2,1)t k l l =-+=⋅⋅⋅- ，22210)10)t t k l l =--+-g 则 .由于2)10t l ≤-≤≤<，所以令11)()t t i l b b b b --=⋅⋅⋅是数字 .又因为1l ≤-≤，2221)101t l ≤-≤≤-，所以令211)()t t i l c c c c --=⋅⋅⋅是数字 . 22111111111010(10)10t t t t t t t t t t t t k b b b c c c b b b c c c ----=-⋅⋅⋅⨯+⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅⨯+⋅⋅⋅故11121110t t t t t m bb b m c c c --=-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅所以，. 121111222101101011))1)(101)t t t t t t t t m m b b b c c c l l l k --+--=-⋅⋅⋅+⋅⋅⋅-+=--+-=--=--故： （）定理2得证.定理3证明：证明 可仿定理2的证明. 略.（提示：在证“⇐”时，当10(0,1,2,t k l l =-+=⋅⋅⋅-1)-时，2210)310t t l ⨯<-<⨯，可令211)2,t t i l c c c c --=⋅⋅⋅是数字.） 注：两位印度数学家是J. V . Chaudhari 和 M. N. Deshpande ，他们的问题是1996年2月提出的.欧文g 托马斯（Owen Thomas ）的研究结果是在1996年9月份公布的.参考资料1 戴宏图. 一个有趣的连续数组. 小学数学教师. 1996，6.2 蒋秀章. 有趣的连续数组的再发现. 小学数学教师. 1997，2.3 王凯成. 数论中的“漏网之鱼”. 中学数学教学参考. 1998，8~9.本文发表于中国数学会会刊《数学通报》1999年第12期28~30p . 发表时加有编者按. 编者按：本文的结论比较有趣，原作者的证明较“原始”，而罗运纶老师在审稿时给出的证明较 “巧妙”.看到“原始”到“巧妙”的过程是有趣的，特把两个证明都发表. 附： 罗运纶的证明上文中定理的条件不自然，证明较繁，建议作以下修改：2121010,t t k k m m <<=+g 设0(t>0),为t 位自然数，令212(10)10,t t k n n -=+g 112222010.t m n m n m n ≤<=、、、，易见2121212121212121(101) 1.(101)(101)0.(101)(101) 2.(101)(1)(101).t t t t t t t m m k n m m k n m m k n m m k n +=--⇔=+--=--⇔=++-=--⇔=+---=--定理1 定理2 定理3 先证明以下引理.引理2112211(10)1010()10.t t t t k m n m n m n --=-+-=-g g g 2证：注意到k2(10)(210)10.t t t k k --=-g 2另一方面k112121212112111222210(101)(1)(101)(101)10101()(10)101(101)(210)(10)101(101)0.123.tt t t t t t t t t t t t m n k m m k n m m k n n m n n n k k k k -=-+---+--=+---+--+=-++-+---=-+--+---=g g 因此有 因此引理成立有此引理，定理，，的结论是显而易见。

平方数与完全平方数的概念与性质平方数和完全平方数是数学中的两个重要概念，它们在数论和代数等领域中有着广泛的应用。

本文将介绍平方数和完全平方数的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。

一、平方数的概念与性质1.1 平方数的定义平方数是指可以表示为某个整数的平方的数。

例如，1、4、9、16等都是平方数，因为它们分别为1²、2²、3²、4²。

也就是说，平方数是指能够通过平方运算得到的数。

1.2 平方数的性质（1）平方数的个位数只能是0、1、4、5、6、9。

这是因为个位数的平方结果只有这几个数字。

（2）两个平方数的和仍然是平方数。

例如，3²+4²=5²，这表明一个平方数加上另一个平方数，结果仍然是一个平方数。

（3）平方数的奇数次方仍然是平方数。

例如，2²=4，2⁵=32，这表明平方数的奇数次方依然是一个平方数。

（4）平方数的相邻两个数之间至少有一个整数。

二、完全平方数的概念与性质2.1 完全平方数的定义完全平方数是指能够由一个整数的平方形式来表示的数。

例如，1、4、9、16等都是完全平方数。

2.2 完全平方数的性质（1）完全平方数的末尾数字只能是0、1、4、5、6、9。

这是因为平方数的末尾数字受到平方数个位数的限制。

（2）两个完全平方数的差仍然是一个完全平方数。

例如，9-4=5，这表明一个完全平方数减去另一个完全平方数，结果仍然是一个完全平方数。

（3）完全平方数之间的差值是递增的。

例如，4-1=3，9-4=5，这表明完全平方数之间的差值是递增的。

三、平方数与完全平方数的应用3.1 平方数与几何平方数在几何中有着重要的应用。

一个正整数的平方等于一个正方形的面积，因此平方数可以用来表示图形的面积。

例如，一个边长为3的正方形的面积为9，即3²=9。

3.2 完全平方数与数论完全平方数在数论中有广泛的应用。

它们被用来解决一些数论问题，如数的唯一分解定理、素数的判断以及质因数的求解等。

完全平方数对半和特性的新发现摘要：上世纪90年代，国外数学家发现了两组自然数平方的对半和仍然是平方数的现象。

笔者对其进行了深入研究并有惊人发现，同时发现了递推特性，并提出了完全平方数对半和猜想。

关键词平方数对半和递推猜想§1.导言1992年2月，两位印度数学家发现了一组非常奇特的平方数：9562=913936 913+936=1849=432…………………………………9682=937024 937+024=961=312这13个连续自然数每一个数平方的对半和仍然是平方数，而且是连续自然数的平方。

这个发现令数学家们感到十分惊讶，被称为几千年来自然数研究的“漏网之鱼”，被当代人捉住了【1】。

1996年9月，美国数学家欧文?托马斯发现了一组具有同样特点的42个平方数【2】：98592=97199881 9719+9881=19600=1402…………………………………99002=98010000 9801+0000=9801=992自然数的这个特性引起了笔者浓厚的兴趣。

于是就想到，还有类似的现象存在吗？接着就对这个问题进行了深入研究。

§2.平方数对半和性质的新发现笔者经过计算，发现了两组具有同样性质的平方数。

第一组是：782=6084 60+84=144=122882=7744 77+44=121=112982=9604 96+04=100=102第二组是：492=2401 24+01=25=52392=1521 15+21=36=62292=841 8+41=49=72192=361 3+61=64=82笔者由492=2401受到启发，就从499、4999切入开始研究，并向199、1999逐渐递减，终于有了新的发现：49992=24990001 2499+0001=2500=502然后每次从4999中递减100，竟然得到了惊人的结果：48992=24000201 2400+0201=2601=51247992=23030401 2303+0401=2704=522……………………………32992=10883401 1088+3401=4489=67231992=10233601 1023+3601=4624=682从3099开始，其平方变成了7位数，无法求真正的对半和。

完全平方数的性质及应用完全平方数是指一个数字可以被另一个整数平方得到的数。

例如，4是一个完全平方数，因为2²=4。

完全平方数的性质和应用广泛，并在数学和其他领域中发挥着重要作用。

首先，完全平方数有一些基本的性质。

以下是一些关于完全平方数的重要性质：1. 完全平方数总是非负的。

一个完全平方数可以是0，也可以是一个正整数。

2. 完全平方数的平方根也是一个整数。

例如，16是一个完全平方数，其平方根为4。

这是因为4²=16。

3. 完全平方数可以通过连续奇数相加得到。

例如，1+3=4，4+5+6=16，9+11+13+15=64。

这个性质被称为“差平方数序列”。

4. 完全平方数的个位数只能是0、1、4、5、6、9。

这是因为一个数字的平方的个位数只能由它本身的个位数决定。

5. 完全平方数除以4的余数只能是0或1。

这是因为一个数字除以4的余数只能是0、1、2、3，而一个完全平方数除以4的余数只会是0或1。

6. 完全平方数的个位数字是0、1、4、5、6、9以外的数字时，其十位数也是个位数的平方根。

完全平方数的应用非常广泛，以下是其中一些重要的应用：1. 质因数分解：质因数分解是将一个正整数表示为质数的乘积的过程。

完全平方数在质因数分解中起到重要作用，因为它们可以分解为两个相同的质数相乘。

例如，16=2²，36=6²。

2. 几何学：完全平方数在几何学中有许多应用。

例如，一个正方形的面积就是一个完全平方数，因为它可以表示为一条边的长度的平方。

此外，完全平方数还可以用来表示一个矩形的面积，其中长和宽都是整数。

3. 数论：完全平方数在数论中起着重要作用。

例如，费马最后定理表明，对于大于2的正整数n，不可能找到整数x、y和z使得x^n + y^n = z^n成立。

然而，如果n=2，则等式x²+ y²= z²可以有解。

这个例子显示了完全平方数在数论中的特殊性质。

初中数学教案：轻松掌握完全平方公式完全平方公式是初中数学中一个非常重要的公式，也相当实用。

本文将详细讲解完全平方公式的概念、性质及其应用。

一、完全平方公式的概念完全平方公式指的是一个二次多项式的平方可以通过平方其中各项系数的平方、两项系数之间的乘积及常数项的平方这3项来表示。

例如，(a+b)² = a²+2ab+b²，(a-b)² = a²-2ab+b²。

二、完全平方公式的性质1. 表示方式唯一性任何一个二次多项式的平方都可以用完全平方公式唯一表达。

例如，(x+1)² = x²+2x+1，(x-2)² = x²-4x+4。

2. 正负性对称性对于任意实数 a 和 b，有(a+b)² = (b+a)² 和 (a-b)²=(b-a)²。

3. 对称性对于任意实数 a，有(a+0)²=a² 和 (-a)²=a²。

4. 加法公式充分利用完全平方公式的正负性对称性，可以用两个完全平方式相加，同时对系数及常数项进行合并。

例如，(a+b)²+(a-b)² =2(a²+b²)。

5. 减法公式充分利用完全平方公式的正负性对称性，可以用两个完全平方式相减，同时对系数及常数项进行合并。

例如，(a+b)²-(a-b)² = 4ab。

三、完全平方公式的应用1. 计算方程式完全平方公式在解决方程式时非常有用。

例如，当解决方程x²+4x+3=0 时，我们可以将其改写为(x+2)²-1=0 的形式，进而求出x = -2±1。

2. 满足条件的数值如果我们想要求一个数a² 的值，我们可以用完全平方公式将其转化为(a+0)²，进而求出 a 的值。

同样的，如果我们想要求两个真数的平方和为 10，可以用完全平方公式将其转化为(a+b)²=10 的形式，从而求出满足条件的 a 和 b 的值。

小学奥数之完全平方数及应用1. 学习完全平方数的性质；2. 整理完全平方数的一些推论及推论过程3. 掌握完全平方数的综合运用。

一、完全平方数常用性质 1.主要性质1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。

不可能是2，3，7，8。

2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。

3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。

4.若质数p 整除完全平方数2a ，则p 能被a 整除。

2.性质性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9．性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数．性质3：自然数N 为完全平方数⇔自然数N 约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次，所以，如果p 是质数，n 是自然数，N 是完全平方数，且21|n p N -，则2|n p N ．性质4：完全平方数的个位是6⇔它的十位是奇数．性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个．性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数．3.一些重要的推论1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。

2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。

3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。

4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。

5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。

6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。

7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。

完全平方数的性质
完全平方数是指一个正整数能够表示成某个整数的平方的形式，即一个数的平方根是另一个整数。

例如：
4=2×2，9=3×3，16=4×4，25=5×5，36=6×6，
49=7×7，64=8×8，81=9×9……
完全平方数一般有以下性质：
1. 任何一个数都可以分解成素因子的平方，而完全平方数就是这些素因子只有一个或者相同的数的乘积。

2. 完全平方数的奇偶性和它的平方根的奇偶性是一致的。

3. 所有的完全平方数都是非负数，而且所有的非负数都不一定是完全平方数。

4. 对于任意一个数n，如果n+1是一个完全平方数，则n必然是一个奇数；如果n+1不是一个完全平方数，则n 必然是一个偶数。

完全平方数的性质完全平方数及其性质能表示为某个整数的平方的数称为完全平方数，简称平方数。

例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289, 324,361,400,441,484,…观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。

一、平方数有以下性质：【性质1】完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。

【性质2】奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。

【性质3】如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。

推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。

推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。

【性质4】（1）凡个位数字是5，但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；（2）末尾只有奇数个“0”的自然数（不包括0本身）不是完全平方数；100，10000，1000000是完全平方数，10，1000，100000等则不是完全平方数。

（3）个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。

需要说明的是：个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数一定不是完全平方数，如：11，31，51，74，99，211，454，879等一定不是完全平方数一定不是完全平方数。

但个位数字为1，4，9而十位数字为偶数的自然数不都是完全平方数。

如：21，44，89不是完全平方数，但49，64，81是完全平方数。

【性质5】偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。

这是因为 (2k+1)^2=4k(k+1)+1 (2k)^2=4k^2【性质6】奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。

【性质7】平方数的形式一定是下列两种之一：3k,3k+1。

【注意：具备以上条件的不一定是完全平方数（如13，21，24，28等）】【性质8】不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型。