数学文化：非欧几何改变世界

非欧几何的诞生及其给我们的启示摘要：非欧几何的创立是数学史上最光辉的篇章，也是人类历史上一次伟大的思想解放的典范，它不仅带来了数学思想的深刻变革，也使人们的思想发生了极大的变化，使人们对真理、时空等一系列重大的哲学问题有了新的认识，对人类文化的发展产生了非同寻常的影响。

数学史上，非欧几何占有特殊的地位．以非欧几何的发明过程为基本线索，探讨了其对数学学科本身、人类文化、哲学思想的影响；对数学科研者、数学教育工作者及高校学生的启示．关键词：非欧几何；罗巴切夫斯基几何；黎曼几何；几何原本；1 非欧几何的发展史1.1 问题的提出非欧几何的发展源于2 000 多年前的古希腊数学家的欧几里得的《几何原本》．其中公设五是欧几里得自己提出的，它的内容是“若一条直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点”．这一公设引起了广泛的讨论，因为它不如其他公理、公设那样简明，欧几里得本人也不满意这条公设，他在证完了所有不需要平行公设的定理后才使用它，怀疑它可能不是一个独立的公设，或许能用其它公设或公理代替．从古希腊时代开始到19 世纪的2000 多年来数学家们始终对这条公设耿耿于怀，孜孜不倦的试图解决这个问题．数学家们主要沿2 条研究途径前进：一条途径是寻找一条更为自明的命题代替平行公设；另一条途径是试图从其他9 条公理、公设推导出平行公设来．沿第一条途径找到的第五公设最简单的表述是1795 年苏格兰数学家普雷菲尔（J.Playfair 1748-1819）给出的：“过直线外一点，有且只有一条直线与原直线平行”也就是我们今天中学课本里使用的平行公理．但实际上古希腊数学家普罗克鲁斯在公元5 世纪就陈述过它．然而问题是，所有这些替代公设并不比原来的第五公设更好接受，更“自然”．历史上第一个证明第五公设的重大尝试是古希腊天文学家托勒玫（Ptolemy，约公元150 年）做出的，后来普罗克鲁斯指出托勒玫的“证明”无意中假定了过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行，这就是上面提到的普雷菲尔公设．1.2 问题的解决1.2.1 非欧几何的萌芽沿第二条途径论证第五公设的工作在18 世纪取得突破性进展．首先是意大利人萨凯里（Saccharin 1667-1733）提出用归谬法证明第五公设，萨凯里从四边形ABCD 开始，如果角A 和角B 是直角，且AC=BD，容易证明角C等于角D．这样第五公设便等价于角C 和角D 是直角这个论断．萨凯里提出另2 个假设：(1)钝角假设：角C 和角D 都是钝角；(2)锐角假设：角C 和角D 都是锐角．最后在锐角假设下，萨凯里导出了一系列结果，因为与经验认识违背，使他放弃了最后结论．但是从客观上为非欧几何的创立提供了极有价值的思想方法，开辟了一条不同于前人的新途径．其后瑞士数学家兰伯特（Lambert1728-1777）所做的工作与萨凯里相似．他也考察了一类四边形，其中3 个角为直角，而第5 个角有3 种可能性：直角、钝角和锐角．他同样在锐角假设下得到“三角形的面积取决于其内角和；三角形的面积正比于平角与内角和的差．他认为只要一组假设相互没有矛盾，就提供了一种几何的可能．著名的法国数学家勒让德（A.M.Legendar1752-1833）对平行公设问题也十分关注，他得到的一个重要定理：“三角形内角之和不能大于两直角”．这预示着可能存在着一种新几何．19 世纪初，德国人萨外卡特（schweikart 1780-1859）使这种思想更加明朗化．他通过对“星形几何”的研究，指出：“存在两类几何：狭义的几何（欧氏几何）星形几何．在后一个里面，三角形有一个特点，就是三角形内角之和不等于两直角”．1.2.2 非欧几何的诞生前面提到的一些数学家尤其是兰伯特，都是非欧几何的先驱，但是他们都没有正式提出一种新几何并建立其系统的理论．而著名的数学家高斯（Gauss 1777-1855）、波约（Bolyai 1802-1860）、罗巴切夫斯基（Lobatchevsky1793-1856）就这样做了，成为非欧几何的创始人．高斯是最早指出欧几里得第五公设独立于其他公设的人．早在1792 年他就已经有一种思想，去建立一种逻辑几何学，其中欧几里得第五公设不成立．1794 年高斯发现在他的这种几何中，四边形的面积正比于2 个平角与四边形内角和的差，并由此导出三角形的面积不超过一个常数，无论其顶点相距多远．后来他进一步发展了他的新几何，称之为非欧几何．他坚信这种几何在逻辑上是无矛盾的，并且是真实的，能够应用的，为此他还测量了3个山峰构成的三角形内角，他相信内角和的亏量只有在很大的三角形中才能显露出．但他的测量因为仪器的误差而宣告失败．遗憾的是高斯在生前没有任何关于非欧几何的论著．人们是在他逝世后，从他与朋友的来往函件中得知了他关于非欧几何的研究结果和看法．匈牙利青年数学家波约在研究欧几里得第五公设的基础上建立了一种新几何，他称之为“绝对空间中的几何”，并写了一篇26 页的论文《绝对空间的科学》．本论文出版时作为附录附于其父的书《为好学青年的数学原理论著》．当时的波约已建立起非欧几何的思想，并且相信新几何不是自相矛盾的，在1823-11-23 给他父亲的信中，波约写道：“我已得到如此奇异的发现，使我自己也为之惊讶不止”，在非欧几何的3 个发明人中，只有罗巴切夫斯基最早且系统地发表了自己的研究成果．罗巴切夫斯基曾卓越的指出：“直到今天，几何学中的平行线理论还是不完善的，从欧几里得时代以来，两千多年来徒劳无益的努力，促使我们怀疑在概念本身之中并未包括那样的真实情况，它是大家想要证明的，也是可以像别的物理规律一样单用实验（如天文检测）来检验．最后，我肯定了推测的真实性，而且认为困难的问题完全解决了”，“不论是如何给出的，只可以认为是说明，而且数学证明的完整意义不是不应该获得尊重的”．他的工作是在前人的基础上，引用与欧氏第五公设相矛盾的命题，即直线外1 点可作2 条平行线为假设，并且把他同欧氏几何中其它公设和公理相联系．经过推理后，得出3 个结论：（1）用欧氏几何其它公设和公理不能证明欧氏第五公设，即第五公设是独立的；（2）与第五公设相矛盾的公设同欧氏几何其它公设、公理相结合，展开一系列推理，获得了许多在逻辑上无矛盾的定理，构成了不同于欧氏几何的新的几何学；（3）这种逻辑上无矛盾的几何学的真理性同物理学中的定理一样，只能凭实验，例如用天文观测来检验．这3条结论显然与欧氏几何不同，是一种全新的几何体系，是罗氏独创性思维的结晶．他的结论是在1826 年2 月的一次学术报告上以《简要叙述平行定理的一个严格证明》为题报告的．由于罗巴切夫斯基对非欧几何的特殊贡献，人们把这种几何称为罗氏几何．1.2.3 非欧几何的发展与确认非欧几何要获得人们的普遍接受，需要确实的建立非欧几何自身的无矛盾性和现实意义．罗巴切夫斯基终其一身努力最后并没有实现这个目标．1854 年，黎曼（G．F．B．Riemann 1826-1866）摆脱高斯等前人把几何对象局限在3 维欧几里得空间的曲线和曲面的束缚，从维度出发，建立了更一般的抽象几何空间．黎曼仿照传统的微分几何定义流形上2 点之间的距离、流形上的曲线和曲线之间的夹角．并以这些概念为基础，展开对n 维流形几何性质的研究．在n 维流形上他也定义类似于高斯在研究一般曲面时刻画曲面弯曲程度的曲率．他指出对于3维空间，有以下3 种情形：(1)曲率为正常数；(2)曲率为负常数；(3)曲率恒等于0．黎曼指出后两种情形分别对应于罗巴切夫斯基的非欧几何和通常的欧氏几何学，而第一种情形则是黎曼本人的创造，它对应于另一种非欧几何学．黎曼创造的几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何2 条直线都有公共点(交点)．在黎曼几何学中不承认平行线的存在．它的另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的．黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面．19 世纪70 年代以后，意大利数学家贝尔特拉米、德国数学家克莱茵和法国数学家庞加莱等人先后在欧几里得空间中给出了非欧几何的直观模型，从而揭示出非欧几何的现实意义．贝尔特拉米的模型是一个叫“伪球面”的曲面，它由平面曳物线绕其渐近线旋转一周而得．贝尔特拉米证明，罗巴切夫斯基平面片上的所有几何关系与适当的“伪球面”片上的几何关系相符合：也就是说，对应于罗巴切夫斯基几何的每一断言，就有一个伪球面上的内蕴几何事实．这使罗巴切夫斯基几何立刻就有了现实意义．克莱茵的模型比贝尔特拉米的简单明了．在普通欧氏平面上取一个圆，并且只考虑整个圆的内部．他约定把圆的内部叫“平面”，圆的弦叫“直线”（根据约定将弦的端点除外）．可以证明，这种圆内部的普通（即欧氏）几何事实就变成罗巴切夫斯基几何的定理，而且反过来，罗巴切夫斯基几何中的每个定理都可以解释成圆内部的普通几何事实．在克莱茵之后，庞加莱也对罗巴切夫斯基几何给出了模型：在欧氏平面内划一条直线，而使之分为上、下两个平面，把不包括这条直线在内的上半平面作为罗氏平面，其上的欧氏点当作罗氏几何的点，把以该直线上任一点为中心，任意长为半径所做出的半圆作为罗氏几何的直线，然后对如此规定了的罗氏元素一一验证罗氏几何诸公理全部成立．这样一来，如果罗氏系统在今后出现了正、反2 个相互矛盾的命题的话，则只要按上述规定之几何元素之间的对应名称进行翻译，立即成为相互矛盾的两个欧氏几何定理，从而欧氏几何就有矛盾了．因此，只要承诺欧氏几何是无矛盾的，那么罗氏几何一定也是相容的，这就把罗氏几何的相容性证明通过上述庞家莱模型转化为欧氏系统的相容性证明．由于人们承认欧氏几何是相容的，因此，罗氏几何也是相容的．这样一来，就使非欧几何具有了至少与欧氏几何同等的真实性．至此，历经2 000 余年，非欧几何学作为一种几何的合法地位可以说充分建立起来了，也真正获得了广泛的理解，人们最初的愿望终于变成了现实．非欧几何的诞生，是自希腊时代以来数学中一个重大的革新步骤．在这里我们将沿着事物的历史发展过程来叙述这一历史的重要意义．M．克莱茵（M. Klein）在评价这一段历史的时候说：“非欧几何的历史以惊人的形式说明数学家受其时代精神影响的程度是那么厉害．当时萨凯里曾拒绝过欧氏几何的奇异定理，并且断定欧氏几何是唯一正确的．但在一百年后，高斯、罗巴切夫斯基和波约满怀信心地接受了新几何”．2.1 对数学学科本身2.1.1 数学发展的相对独立性通过逻辑演绎法建立的非欧几何体系为数学的发展提供了一种模式，使人们清楚地看到数学可以有自己的逻辑体系存在，从而独立发展．数学发展的相对独立性突出表现为：数学理论的发展往往具有超前性，它可以独立于物理世界而进行，可以超前于社会实践，并反作用于社会实践，推动数学乃至于整个科学向前发展．19 世纪前，数学始终与应用数学紧密结合在一起，即数学不能离开实用学科而独立发展，研究数学的最终目的是为了解决实际问题．但是非欧几何第一次使数学的发展领先于实用科学，超越人们的经验．非欧几何为数学创造了一个全新的世界：人类可以利用自己的思维，按照数学的逻辑要求自由自在的进行思考．于是数学被认为应当是那些并不是直接地或间接地由于研究自然界的需要而产生出来的任意结构．这种观点逐渐被人们了解，于是造成了今天的纯粹数学与应用数学的分裂．2.1.2 数学的本质在于它的充分自由非欧几何的创立，使一直为人们意识到但未曾清楚地认识的区别呈现出来了即数学空间与物理空间的不同．数学家创造出几何理论，然后由此决定他们的空间观．这种建立在数学理论基础上的空间观、自然观，一般并不能否定客观世界的存在等内容，它仅仅强调这样一些事实：人们关于空间的判断所获得的一系列结论纯粹是自己的创造．物质世界现实与这种现实的理论，永远是两回事．正因为如此，人类探索知识、建立理论的认识活动才永远没有尽头．非欧几何的创立使人们认识到数学是人的精神的创造物，而不是对客观现实的直接临摹，这样就使数学获得了极大的自由，同时也使数学丧失了对现实的确定性．数学从自然界和科学中解脱出来，继续着它自己的行程．对此，M.克莱茵说：“数学史的这一阶段，使数学摆脱了与现实的紧密联系，并使数学本身从科学中分离出来了，就如同科学从哲学中分离出来，哲学从宗教中分离出来，宗教从万物有灵论和迷信中分离出来一样．现在可以利用乔治.康托的话了：“数学的本质在于它的充分自由”．2.1.3 几何观念的更新非欧几何的出现打破了欧氏几何一统天下的局面，使几何学的观念得到更新．传统欧氏几何认为空间是唯一的，而非欧几何的出现打破了这种观念，促使人们对欧氏几何乃至整个几何学的基础问题作深入探讨．非欧几何是敢于向传统挑战、勇于为科学献身的人类精神的产物高斯、波约、罗巴切夫斯基几乎同时发现了非欧几何，但三人对待新几何的态度是不同的．高斯很早就意识到了新几何的存在，但他没有向世人公布他的新思想，他受康特（Kant）唯心思想的影响，不敢向传统几何学界达2 000 余年之久的欧氏几何挑战，以致推迟了非欧几何的诞生．波约致力于平行公设的研究，终于发现了新几何．这其中还有一个故事，当高斯决定将自己的发现秘而不宣时，波约却急切的想通过高斯的评价将自己的研究公诸于世，然而高斯回信给他的父亲F.波约中说：“夸奖他就等于称赞我自己．整篇文章的内容，你儿子采取的思路和获得的结果，与我在30 至35 年前的思考不谋而合”，波约对高斯的回答深感失望，认为高斯想剽窃自己的成果，特别是在罗巴切夫斯基关于非欧几何的著作出版后，他更决定从此不再发表论文．罗巴切夫斯基在1826 年公开新几何思想后，并没有得到同代人的理解与赞扬，反而遭到讽刺和攻击，“可是没有任何力量可以动摇罗巴切夫斯基的信心，他像屹立在大海中的灯塔，惊涛骇浪的冲击，十足显出他刚毅的意志，他一生始终为新思想而斗争”．在他双目失明时，还口授完成了《泛几何学》．人们发现新几何的过程启示我们：只有突破了对传统、对权威的迷信，才能充分发挥科学的创造性；只有不畏艰难困苦，勇于为科学献身，才能追求、捍卫超越时代的真理．一般认为高斯、波约、罗巴切夫斯基3 人们同时发现了新几何，这是人们对历史的公正，但人们更喜欢称新几何为罗氏几何，这正是人们对罗巴切夫斯基为科学献身精神的高度赞扬．非欧几何精神促使人们树立宽容、包容一切的产物非欧几何的创立，解放了人类思想，新见解、新观点不断涌现，“数学显现为人类思想的自由创造物”．数学的发展使康托由衷的说道：“数学的本质在于其自由”．这种思想活跃而且民主的艺术气氛，使数学以前所未有的速度向前发展．非欧几何曲折的创建历程及其所带来的数学的发展，使人们意识到自由创造、百家争鸣对科学发展的重要性，促使人们树立宽容、包容一切的精神与美德．2.3 哲学思想方面2.3.1 认识论的变革法国哲学家、数学家彭加莱（Henri Poincare）说过：非欧几何的发现，是认识论一次革命的根源．简单讲，人们可以说，这一发现已经胜利的打破了那个为传统逻辑所要求的，束缚住任何理论的两难论题：即科学的原理要么（感官观察的事实）．他指出：原理可能是简单的任意约定，但是这些约定决不是同我们的心灵和自然界无关的，它们只能靠着一切人的默契才能存在，它们并且紧密地依赖着我们所生活的环境中的实际外界条件．事实上正是由于这一点，对于探索未知或目前无法感知的事物，我们可对自然界的认识作某种“默契约定”，这是认识一切事物的开始和基础．另外，我们在理论评判中，放弃非彼即此的评判，爱因斯坦就说过[8]：这种非彼即此的评判是不正确的．这些评判家、数学家的评判无疑是非欧几何创立后，其对思想、理论建立，特别是对认识论有最为直接的影响；更进一步的近代的理论和技术的进步均离不开它的内在影响，像“相对论”的产生、特别是对时空的进一步认识，集合论、现代分析基础、数理逻辑、量子力学等学科建立与发展均可以看成是非欧几何的直接结果．非欧几何的创立所产生的震荡至今余波未消．2.3.2 打破人类的传统思维方式分析和评价一种理论的首要依据应该是看其是否有“相容性”，即它是否有或会得出自相矛盾的结论．如果一个理论尚不能“自圆其说”，说明这一理论要么还只是人类经验的一种简单表述和列举，还没有进化到“理论”的高度；要么至少还需要进一步完善和改进．本来非欧几_何与欧氏几何理论建立的前提是矛盾的，而欧氏几何已被普遍接受．是否接受非欧几何势必产生这样的问题，矛盾的前提是否一定能够导出矛盾的结果？传统的思维方式认为这是一定的，即矛盾的前提必然导致矛盾的结果．接受非欧几何就意味着要冲破这一传统思维方式的束缚．随着时间的推移，特别是非欧几何的成果的广泛应用，使人们认识到：我们在建立理论的过程中不能保证矛盾的前提一定能导出矛盾的结果．因此，在理论的建立过程中，相容性是必须具备的，特别是在导出某个结论的过程中，我们必须清醒的认识到建立的理论体系是否具有无矛盾性、是否具有排中性．2.4．数学科研者的认识2.4.1 敢于挑战勇敢面对在科学探索路途上的暴风雨在科学探索的征途上，一个人经得住一时的挫折和打击并不难，难的是勇于长期甚至终生在逆境中奋斗．罗巴切夫斯基的新学说，违背了2 000 多年来的传统思想，动摇了欧氏几何“神圣不可侵犯”的权威基础，同时也违背了人们的“常识”．他的学说一发表，社会上的嘲弄、攻击，甚至侮辱、谩骂，暴雨般地袭来：科学院拒绝接受他的论文；大主教宣布他的学说是“邪说”；大多数的权威们称罗巴切夫斯基的学说是“伪科学”，是一场“笑话”；即使那些心肠比较好的人最多也只能抱着“对一个错误的怪人的宽容和惋惜态度”；连不少著名的文学家也起来反对这种新的几何，如德国诗人歌德，在他的名著(浮士德)中写下了这样的诗句：“有几何兮，名曰：‘非欧’，自己嘲笑，莫名其妙”．面对种种攻击、嘲笑，罗巴切夫斯基毫不畏惧，寸步不让，他像屹立在大海中的灯塔，表现出一个科学家“追求科学需要的特殊勇敢”．罗巴切夫斯基坚信自己学说的正确性，为此奋斗一生．从1826 年发表了非欧几何体系后，又陆续出版了《关于几何原本》等8本著作．在他逝世前他的眼睛差不多瞎了，还口述，用俄、法2 种文字写成他的名著《泛几何学》．罗巴切夫斯基就是在逆境中奋斗终生的勇士．同样，一名数学工作者，特别是声望较高的学术专家，正确识别出那些已经成熟的或具有明显现实意义的科技成果并不难，难的是及时识别出那些尚未成熟或现实意义尚未显露出来的科学成果．数学的发展决不是一帆风顺的，在更多的情况下是充满犹豫、徘徊，要经历艰难曲折甚至会面临更多危机的．我们每一位科学工作者，既应当作一名勇于在逆境中顽强点头的科学探索者，又应当成为一个科学领域中新生事物的坚定支持者．2.4.2 正确对待数学领域里的成就数学是一门历史性或者说积累性很强的学科．重大的数学理论总是在继承和发展原有理论的基础上建立起来的，它们不仅不会推翻原有的理论，而且总是包含原先的理论．如非欧几何可以看成是欧氏几何的拓广．因此，有的数学史家认为“在大多数的学科里，一代人的建筑为下一代人所拆毁，一个人的创造被下一个人所破坏．惟独数学，每一代人都在古老的大厦上添加一层楼”．克莱茵在考察第五公设研究的历史特别是从18～19 世纪非欧几何由“潜”到“显”转变的100 多年的历史过程时指出：“任何较大的数学分支或较大的特殊成果，都不会只是个人的工作，充其量，某些决定性步骤或证明可以归功于个人．这种数学积累特别适用于非欧几何”．事实上，自从《几何原本》以后到19 世纪，第五公设问题就像一块磁石一样广泛地吸引和激励着各个时代有才华的数学家为之奋斗．这就形成了一个在科学史上时间跨度最长、成员最多，并以传播和研究第五公设为范式的数学共同体．在这个共同体中，数学家相互交流思想，交换研究成果，对研究成果进行评议，形成不断竞争和激励的体制．罗巴切夫斯基也是从前人和自己的失败得到启迪，使他大胆思索问题的相反提法：可能根本就不存在第五公设的证明．于是，他便调转思路，着手寻求第五公设不可证的解答．罗巴切夫斯基正是沿着这个途径，在试证第五公设不可证的过程中发现一个新的几何世界的．也可以说，罗氏几何的出现应归功与萨凯里、兰伯特等对第五公设的研究．在今天分支越来越细的数学领域里，精通多个领域的知识的数学家也越来越少．对此，数学科研者应团结，相互进行交流；用平和的心态对待已取得的。

非欧几何带给我们的启示作者：韩志涛来源：《课程教育研究》 2020年第17期韩志涛（东北大学理学院数学系辽宁沈阳 110004）【摘要】历史上有一些事件影响深远，这样的事件之所以影响深远，是因为它们改变了人们的观念，然而历史上还没有哪个事件像非欧几何这样深刻地改变了人们的世界观，带给人们的是空前绝后的震撼，本文阐述了非欧几何的基本原理和它的影响，起到了用历史警示后人的作用。

【关键词】欧式几何非欧几何相对论黎曼几何【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2020）17-0229-02非欧几何带给数学的是震撼，同样的，带给物理学以及宇宙学的都是前所未有的震撼，因为它彻底地改变了人们的常识和观念，至今仍然有着无穷的魅力。

什么是非欧几何呢？欧几里得的《几何原本》至今仍然是中学平面儿何的基石。

《几何原本》五条公设中,前四条都容易验证，比方说，过平面上的两个点，可以而且只能连一条直线。

但是人们发现,第五公设“在平面上，过直线外一点,可以作一条平行于原来线的直线并且只能作一条直线”，这个结论很难用什么方法验证。

可以看出，欧几里得本人也不太相信这一公设,所以总是尽量避免直接引用它去证明其他问题。

因此在《几何原本》中,前28个命题的证明中没有用到第五公设,直到第29个命题时,才不得不用第五公设。

1815年,罗巴切夫斯基开始研究第五公设,经过10年的冥思苦想,公开声明，人们不能用其他公设、公理来证明第五公设,并得到了一条与第五公设相反的公理，即经过直线外一点，不是只能作一条，而是至少可以做两条直线和已知直线平行。

由其他原来公设,公理和修改了的公理体系,形成了新的非欧几何学，其中的严格证明类似于欧几里得几何:这种新的几何学称之为罗巴切夫斯基几何。

从罗巴切夫斯基建立的公理体系,通过逻辑推理的,可以得出与欧几里得几何完全不同的定理。

“如两个平行线之间的距离不一样”；“三角形三个内角之和居然小于180°等”；“没有矩形存在”；“彼得格拉斯定理不再成立，需要换成更复杂的公式”；“三角形的面积不能任意大”。

高中数学大纲非欧（最新版）目录1.引言：介绍高中数学大纲非欧几何的相关背景知识2.非欧几何的概念：解释非欧几何的定义和特点3.非欧几何的发展历程：概述非欧几何从发现到被广泛接受的历史过程4.非欧几何的应用领域：介绍非欧几何在实际问题中的应用和价值5.结论：总结非欧几何的重要性以及对高中数学教育的意义正文数学是一门研究数量、结构、变化和空间的学科，它在人类历史发展中扮演着重要角色。

高中数学作为基础教育的重要组成部分，其大纲涵盖了各种基本数学知识。

其中，非欧几何作为高中数学大纲的一部分，对于培养学生的数学思维和认知能力具有重要意义。

非欧几何，又称为非欧几里得几何，是指不遵循欧几里得几何公理的几何体系。

它与欧几里得几何的最大不同在于，欧几里得几何基于平行线和三角形内角和为 180 度的假设，而非欧几何则放弃了这些限制。

非欧几何的概念最早可以追溯到古希腊时期，当时的数学家已经注意到了一些与欧几里得几何不符的现象。

然而，直到 19 世纪初，非欧几何才被广泛接受和研究。

非欧几何的发展历程可谓曲折。

早在公元前 3 世纪，古希腊数学家欧几里得就提出了欧几里得几何，奠定了欧式几何的基础。

直到 18 世纪末，德国数学家高斯在对曲面的研究中，提出了非欧几何的概念，并证明了其合理性。

随着研究的深入，19 世纪初，匈牙利数学家波利亚伊和俄国数学家罗巴切夫斯基分别独立发现了非欧几何的两个重要分支：双曲几何和球面几何。

从此，非欧几何开始被广泛接受，并逐渐发展成为现代数学的一个重要领域。

非欧几何在实际问题中有着广泛的应用。

例如，在物理学、工程学、计算机科学等领域，双曲几何和球面几何在描述某些现象时具有优越性。

此外，非欧几何在广义相对论和高能物理等领域也发挥着重要作用。

因此，对于高中生来说，学习非欧几何能够拓宽他们的视野，提高他们的数学思维能力，激发他们对数学的兴趣。

总之，非欧几何作为高中数学大纲的一部分，对于培养学生的数学思维和认知能力具有重要意义。

欧几里得几何与非欧几何摘要：欧几里得的《几何原本》奠定了几何学发展的基础, 随着逻辑推理的理论发展, 非欧几何在艰难中产生发展起来；其中少不了欧几里得、罗巴切夫斯基与黎曼在几何学上的巨大贡献，且两者几何学之间存在着严密的辩证关系。

关键词：欧几里得几何、几何原本、非欧几何、辩证关系欧氏几何是人类创立的第一个完整的严密的（相对而言) 科学体系.它于公元前三世纪由古希腊数学家欧几里得完成,后来经历了两千多年的发展，对科学和哲学的影响是极其深远的。

十九世纪二十年代,几何学发展史上出现了新的转折点，德国数学家高斯、匈牙利数学家亚·鲍耶和俄国数学家罗巴切夫斯基分别在1824年、1825年1826年各自独立地创立了非欧几何，其中以罗巴切夫斯基所发表的内容最完善,因此取名为罗氏几何学.1854年，德国数学家黎曼创立了黎曼几何.十九世纪末，德国数学家阂可夫斯基发展了黎曼几何，创立了四维空时几何学。

1915年，爱因斯坦利用非欧几何——四维空间几何学作为工具创立了广义相对论，不久广义相对论连同非欧几何为天文观察等科学实践所证实.从此，人们确认非欧几何是人类发现的伟大的自然科学真理。

一、欧几里得几何的发展(一）古希腊前期几何学的发展为欧几里得几何的产生奠定了基础在欧几里得时代以前,数学家与学者们就已经获得许多几何方面的成果，但大多数是零星的，有的对部分内容也作过一些整理加工，但不系统。

面对前人留下的材料以及一些证明方法，欧几里得认真进行了总结、提练、筛选，以及分析、综合、归纳、演绎，集前人工作之大成,系统整理加工成巨著《几何原本》，所以说古希腊前期的几何学的发展为欧几里得几何的产生奠定了基础。

最早研究几何的一批人是爱奥尼亚学派，它的创始人是泰勒斯，据传他曾用一根已知长度的杆子，通过同时测量竿影和金字塔影之长，求出了金字塔的高度。

人也把数学之成为抽象理论和有些定理演绎证明归功于他，如圆被直径二等分, 等腰三角形两底角相等，两直线相交对顶角相等，两角及夹边对应相等的两个三角形全等，内接于半圆的角是直角等的论证。

从非欧几何的产生看数学对人类文化的影响
从非欧几何的产生看数学对人类文化的影响
非欧几何的创立是数学史上最光辉的篇章,也是人类历史上一次伟大的思想解放的典范,它不仅带来了数学思想的深刻变革,也使人们的思想发生了极大的变化,使人们对真理、时空等一系列重大的哲学问题有了新的认识,对人类文化的发展产生了非同寻常的影响.
作者：赵晓芬作者单位：华南师范大学政法学院,广东广州,510631 刊名：长春师范学院学报(自然科学版) 英文刊名：JOURNAL OF CHANG CHUN TEACHERS COLLEGE (SCIENCE SECTION) 年，卷(期)： 2004 23(2) 分类号： B028 关键词：非欧几何思维认识论真理。

数学发展中的重要事件
数学发展中有许多重要事件，其中一些包括但不限于以下几点：
1. 古希腊数学的发展，古希腊数学在几何学和数论方面取得了
重大突破。

毕达哥拉斯学派的发展对数学的发展产生了深远的影响，例如毕达哥拉斯定理等。

欧几里得的《几何原本》是古希腊数学的
巅峰之作，对后世的数学发展产生了深远的影响。

2. 阿拉伯数字的引入，阿拉伯数字的引入对数学的发展产生了
革命性的影响。

阿拉伯数字系统的使用使得数学计算变得更加高效
和便捷，为现代数学的发展奠定了基础。

3. 微积分的发展，微积分的发展是现代数学的重要里程碑。

牛
顿和莱布尼兹分别独立地发展出了微积分学，这一理论对于物理学、工程学和许多其他领域的发展产生了深远的影响。

4. 非欧几何的发展，19世纪的非欧几何理论的发展颠覆了人
们对几何学的传统理解，开辟了新的数学领域。

黎曼几何的发展为
广义相对论的建立奠定了基础。

5. 计算机的出现，计算机的出现对数学的发展产生了深远的影响。

计算机的发展推动了计算数学、离散数学等新的数学分支的兴起，同时也为数值计算和模拟实验提供了新的工具和方法。

这些事件只是数学发展中的一部分重要事件，但足以展示数学发展的多样性和丰富性。

数学作为一门古老而又不断发展的学科，其历史和现代的发展都充满了令人着迷的故事和成就。

非欧几何创立过程及其教育价值全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：非欧几何是数学领域中的一个重要分支，它的创立过程曲折而又充满挑战，同时也具有重要的教育价值。

在本文中，我们将从非欧几何的发展历程、重要理论及其教育意义等方面展开探讨。

非欧几何的创立可以追溯到19世纪，当时欧几里得几何学被视为数学领域中的唯一标准。

随着数学研究的深入和发展，人们开始发现欧几里得几何并非是唯一的几何学体系。

在这个背景下，一些数学家开始尝试推翻欧几里得几何的基本假设，并提出了一些与欧几里得几何不同的几何理论。

在非欧几何的发展过程中，黎曼、庞加莱和狄拉克等数学家的贡献不可忽视。

黎曼几何的提出被认为是非欧几何的重要里程碑，它开辟了一条完全不同于欧几里得几何的研究方向。

黎曼几何不仅对数学领域产生了深远影响，还为后来的相对论和量子力学等物理学理论的发展提供了重要的数学基础。

非欧几何具有重要的教育价值，它对于培养学生的数学思维能力和创新意识具有积极的作用。

在传统的欧几里得几何学习中，学生主要被要求记忆和应用一些定理和公式，缺乏对数学本质的深刻理解。

而非欧几何则要求学生在逻辑性、抽象性和创造性等方面有更高的要求，从而培养学生的综合运用能力和问题解决能力。

非欧几何还可以激发学生的兴趣和热情，激发他们对数学的探索欲望。

传统的欧几里得几何学习内容相对单一和枯燥，很难引起学生的积极性和主动性。

而非欧几何则提供了一种全新的数学学习方式，能够引起学生的好奇心和求知欲，从而激发他们对数学的热爱和兴趣。

第二篇示例：非欧几何学是数学中的一个重要分支，起源于19世纪初的欧洲。

它的创立过程非常曲折和复杂，涉及到许多著名数学家的贡献和努力。

非欧几何学的创立不仅仅是数学界的一次革命，更是对传统欧几里德几何学体系的挑战和颠覆。

它的兴起和发展不仅为数学领域带来了新的思考和理论，还对现代教育体系产生了深远的影响和启发。

非欧几何学的创立过程可以追溯到哥伦比亚大学数学教授尼科拉斯·亨利·埃尔米特提出的“第五公设”问题。

数学文化从欧几里得几何到非欧几何从欧几里得几何到非欧几何欧几里得〔Euclid，约公元前330~275〕的《几何原本》是一部划时代的著作，其伟大的历史意义在于它是用公理方法建立起演绎体系的典范。

公元7世纪以前的所谓几何学，都只限于一些具体问题的解答，并且是十分粗糙的、零碎的、片段的和单凭经验的。

当积累起来的几何知识相当丰富时，把这一领域的材料系统地整理，并阐明它们的关系，就显得十分必要了。

由于几何学本来的对象是图形，研究它必然要借助与空间的直观性。

但是直观性也有不可靠的时候，因而在明确地规定了定义和公理的基础上，排除直观性，建立合乎逻辑的几何学体系的思想在古希腊时代就已经开始。

欧几里得就是在这种思想的基础上，编著完成了他的《几何原本》。

《几何原本》的第一卷是全书逻辑推理的基础，给出全书最初出现的23个定义，5条公设，5条公理：定义〔1〕点没有部分。

〔2〕线有长度，而没有宽度。

〔3〕线的界限是点〔注：《几何原本》中没有伸展到无穷的线〕。

〔4〕直线是同其中各点看齐的线。

〔5〕面只有长度和宽度。

〔6〕面的界限是线。

〔7〕平面是与其上的直线看齐的面。

〔8〕平面上的角是在一个平面上的两条相交直线的相互倾斜度。

〔9〕当形成一角的两线是一直线时，这个角叫做平角。

〔10〕 ~〔22〕〔略〕〔是关于直角、锐角、钝角、圆、三角形、四边形等的定义〕。

〔23〕平行直线是在同一个平面内，而且往两个方向无限延长后，在这两个方向上都不会相交的直线。

关于几何的基本规定的5条公设：〔1〕从每个点到每个其它的点必定可以引直线。

〔2〕每条直线都可以无限延伸。

〔3〕以任意点作中心，通过任何给定的点另一点，可以作一个圆。

〔4〕所有的直角都相等。

〔5〕同平面内如有一条直线与另两条直线相交，且在前一条直线的某一侧所交的两内角之和小于两直角，那么后两条直线无限延长后必在这一侧相交。

关于量的基本规定的5条公理：〔1〕等于同量的量相等；〔2〕等量加等量，总量相等；〔3〕等量减等量，余量相等；〔4〕彼此重合的量是全等的；〔5〕整体大于部分。

数学的几何探秘从欧式几何到非欧几何的发展数学的几何探秘：从欧式几何到非欧几何的发展几何学是数学的一个重要分支，它研究的是空间和形状的性质以及它们之间的关系。

在数学的历史长河中，欧式几何是最早被研究和发展起来的几何学体系之一，而非欧几何则是在欧式几何之后才逐渐形成的。

本文将探究数学几何在欧式几何到非欧几何的发展过程中的重要里程碑，并探索其背后的原理。

一、欧式几何的基础欧几里得是古希腊几何学的奠基人之一，他在公元前3世纪著作的《几何原本》中提出了欧式几何学的基本原理和定理。

这一体系以点、线、面为基本元素，采用了公理和证明的严密方法，建立了严谨的逻辑体系。

欧式几何在描述平面和空间中的图形性质和空间关系方面极为成功，为数学的进一步发展奠定了坚实的基础。

二、非欧几何的崛起19世纪中期，数学家们开始探索非欧几何。

最早提出非欧几何的是俄国数学家罗巴切夫斯基和德国数学家冯康。

他们从不同的角度出发，通过修改欧式几何的公理体系，构建了两种非欧几何系统：超几何和椭圆几何。

这些非欧几何系统打破了欧式几何传统的思维模式，提出了一些与直觉相矛盾，但在逻辑上仍然是自洽的命题。

三、超几何与椭圆几何超几何是从平行公理的否定出发，提出了一种没有平行线的几何系统。

由于没有平行线的约束，超几何的空间结构呈现出非欧几何的特征，其中最为著名的例子就是黎曼球面几何。

而椭圆几何则是在超几何的基础上，进一步将欧式几何的直线延伸到无穷远处，形成了一个封闭结构。

椭圆几何的一个重要应用就是研究球面上的性质，如经纬度系统。

四、广义相对论与非欧几何的应用非欧几何的发展不仅对数学学科本身有了重要的影响，而且对其他领域如物理学也产生了深远的影响。

广义相对论就是建立在非欧几何的基础上的理论，它通过引入弯曲的时空概念和测地线的概念，改变了牛顿力学中的绝对时空观念，给出了更为精确的描述重力和宇宙结构的理论框架。

在本文中，我们回顾了从欧式几何到非欧几何的发展过程，探讨了非欧几何系统的特点和应用。

非欧几何（Non-Euclidean geometry）简介福州大学林鸿仁非欧几何就是非欧几里得几何，是针对欧几里得几何而言的，非欧几何通常指的是罗巴切夫斯基几何和黎曼几何。

众所周知，素有“几何之父”之称的古希腊的数学家欧几里得( Euclid，希腊文：Ευκλειδης，约公元前330年-前275年）有一本传世之作叫《几何原本》，已经传了两千多年了。

其中的基本内容，至今还是我们孩子们学习的课程，包括《平面几何》和《立体几何》。

西方的几何学大概兴于公元前7世纪的古埃及，对古代埃及人来说，几何学就是“测地术”，几何是在测量地块中获得的，是一种经验的几何知识，所以大都十分零散杂乱，缺乏系统。

古希腊的欧几里得首先觉察到，很有必要对这些“上帝的杰作”进行整理，于是特地到古埃及的亚历山大，收集整理并于公元前3世纪写成《几何原本》这一巨著，开创了数学理论的系统化逻辑化的先河，除了使几何成为一门独立学科之外，也成为西方科学研究方法的典范。

欧几里得的《几何原本》全书共分13卷，包含了5条“公理”、5条“公设”、23个定义和467个命题。

在每一卷中，欧几里得都采用了完全不同的叙述方式，先提出公理、公设和定义，再将命题进行逻辑推理和证明。

他先后对直边形、圆、比例论、相似形、数、立体几何等进行系统的论述。

在这里，作为定义的基本概念，如点、线、面、直角等，已不是具体的图形或图像，而是抽象的一般概念；推演定理的方法，也尽量避开直观，而采用“三段论式”的逻辑方法。

欧几里得的成功之处在于，从一些被认为是不证自明的事实出发，通过逻辑演绎，用很少的几个公理公设，令人信服地推出了很多的定理，而且它们与现实世界又是一致的。

欧几里得建立的这一个几何学公理体系一直受到后世数学家的普遍称颂，被公认为数学严格性的典范。

因此，在相当长的历史时期里，人们一直把几何称为“欧几里得几何”简称“欧氏几何”，并把它奉为金科玉律。

但由于时代的局限，他的5条公设中的第5条一直被质疑。

数学中的非欧几何与应用知识点数学作为一门学科，其中的几何学一直以来都是研究空间、形状和变换的重要分支。

而欧几里得几何作为传统几何学的基础，主要研究了平面和空间中的几何关系和性质。

然而，19世纪的数学家们通过对平行公设的思考和推翻，引入了非欧几何的概念，开辟了几何学的新篇章。

本文将介绍非欧几何的概念、基本理论和应用知识点。

一、非欧几何的概念和分类非欧几何是与欧几里得几何相对应的一个几何学分支，它不满足欧几里得几何中的平行公设。

根据非欧几何的不同特性，可以将其分为以下两种类型：1. 椭圆几何椭圆几何是一种非欧几何，其中的平行公设被取否定，即不存在平行线。

相反，任意两条直线在某一点处相交。

椭圆几何主要研究了曲率为正的几何空间，如球面。

2. 双曲几何双曲几何也是一种非欧几何，其中的平行公设被替换为双曲公设，即通过一点外一直线的平行线可以有无数条。

相比于椭圆几何，双曲几何研究的是曲率为负的几何空间。

二、非欧几何的基础理论非欧几何的基础理论包括非欧空间、非欧几何公设和非欧运动等。

1. 非欧空间非欧空间，也称为开平面，是非欧几何的基础。

它是一个无穷大的平面空间，没有边界和界限。

在非欧空间中，平行线不再存在，给几何学带来了全新的视角。

2. 非欧几何公设非欧几何的公设与欧几里得几何不同。

非欧几何中的公设包括反证法、证明方法和平行公设的改变等。

其中最为重要的是改变平行公设，也是区分椭圆几何和双曲几何的关键因素。

3. 非欧运动非欧运动是指在非欧几何中的刚体运动。

在椭圆几何和双曲几何中，刚体在空间中的平移、旋转和翻转等运动被重新定义，不再满足欧几里得几何中的性质。

三、非欧几何的应用知识点非欧几何在现实生活中有着广泛的应用，特别是在相对论、地理学和计算机图形学等领域。

1. 相对论相对论是物理学中的一项重要理论，其中的时空观念受到了非欧几何的影响。

爱因斯坦的相对论通过引入非欧几何的概念，重新定义了时空的结构，改变了传统的欧几里得空间观念，从而对现代物理学产生了深远影响。

高中数学大纲非欧摘要：一、高中数学大纲非欧几何部分简介1.非欧几何的定义2.非欧几何与欧氏几何的区别3.高中数学大纲非欧几何部分的重要性二、非欧几何的主要内容1.罗氏几何a.罗氏几何的基本概念b.罗氏几何的性质和定理2.黎曼几何a.黎曼几何的基本概念b.黎曼几何的性质和定理三、非欧几何在现实生活中的应用1.物理学中的应用2.工程学中的应用3.计算机科学中的应用四、学习非欧几何的意义和方法1.培养学生的抽象思维能力2.拓宽数学视野，提高数学素养3.学习非欧几何的方法和建议正文：一、高中数学大纲非欧几何部分简介非欧几何，顾名思义，是与欧氏几何不同的几何体系。

它主要研究在非欧几里得空间中的几何图形和性质。

在我国高中数学大纲中，非欧几何作为一个选修模块，旨在培养学生的抽象思维能力，拓宽数学视野，提高数学素养。

二、非欧几何的主要内容1.罗氏几何罗氏几何是一种非欧几何，它的基本假设是：在平面内，任意两点都可以用直线段连接，而且可以作无数条直线通过一点，使得这些直线段的长度都相等。

罗氏几何的性质和定理与欧氏几何有很大差异，如罗氏几何中不存在平行线，所有的角都是锐角或直角。

2.黎曼几何黎曼几何是另一种非欧几何，它的基本假设是：在平面内，任意两点之间存在一条曲线，使得这条曲线上的任意一段长度都小于等于连接这两点的直线段长度。

黎曼几何的性质和定理也与欧氏几何有很大不同，如黎曼几何中不存在直线，所有的曲线都可以用某种方式进行比较。

三、非欧几何在现实生活中的应用非欧几何虽然在日常生活中不常直接应用，但在物理学、工程学、计算机科学等领域有着广泛的应用。

例如，在相对论中，我们需要使用非欧几何来描述弯曲的时空；在计算机图形学中，非欧几何可以用来模拟曲面和曲线等。

四、学习非欧几何的意义和方法学习非欧几何，对于培养学生抽象思维能力具有重要意义。

非欧几何与欧氏几何有很大的不同，它要求学生跳出习惯的思维框架，学会从不同角度看问题。

同时，非欧几何的学习也有助于提高学生的数学素养。

非欧几何的诞生及其给我们的启示摘要：数学史上，非欧几何占有特殊的地位．以非欧几何的发明过程为基本线索，探讨了其对数学学科本身、人类文化、哲学思想的影响；对数学科研者、数学教育工作者及高校学生的启示．关键词：非欧几何；罗巴切夫斯基几何；黎曼几何1 非欧几何的发展史1.1 问题的提出非欧几何的发展源于2 000 多年前的古希腊数学家的欧几里得的《几何原本》．其中公设五是欧几里得自己提出的，它的内容是“若一条直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点”．这一公设引起了广泛的讨论，因为它不如其他公理、公设那样简明，欧几里得本人也不满意这条公设，他在证完了所有不需要平行公设的定理后才使用它，怀疑它可能不是一个独立的公设，或许能用其它公设或公理代替．从古希腊时代开始到19 世纪的2000 多年来数学家们始终对这条公设耿耿于怀，孜孜不倦的试图解决这个问题．数学家们主要沿2 条研究途径前进：一条途径是寻找一条更为自明的命题代替平行公设；另一条途径是试图从其他9 条公理、公设推导出平行公设来．沿第一条途径找到的第五公设最简单的表述是1795 年苏格兰数学家普雷菲尔（J.Playfair 1748-1819）给出的：“过直线外一点，有且只有一条直线与原直线平行”也就是我们今天中学课本里使用的平行公理．但实际上古希腊数学家普罗克鲁斯在公元5 世纪就陈述过它．然而问题是，所有这些替代公设并不比原来的第五公设更好接受，更“自然”．历史上第一个证明第五公设的重大尝试是古希腊天文学家托勒玫（Ptolemy，约公元150 年）做出的，后来普罗克鲁斯指出托勒玫的“证明”无意中假定了过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行，这就是上面提到的普雷菲尔公设．1.2 问题的解决1.2.1 非欧几何的萌芽沿第二条途径论证第五公设的工作在18 世纪取得突破性进展．首先是意大利人萨凯里（Saccharin 1667-1733）提出用归谬法证明第五公设，萨凯里从四边形ABCD开始，如果角A 和角B 是直角，且AC=BD，容易证明角C等于角D．这样第五公设便等价于角C 和角D 是直角这个论断．萨凯里提出另2 个假设：(1)钝角假设：角C 和角D 都是钝角；(2)锐角假设：角C 和角D 都是锐角．最后在锐角假设下，萨凯里导出了一系列结果，因为与经验认识违背，使他放弃了最后结论．但是从客观上为非欧几何的创立提供了极有价值的思想方法，开辟了一条不同于前人的新途径．其后瑞士数学家兰伯特（Lambert1728-1777）所做的工作与萨凯里相似．他也考察了一类四边形，其中3 个角为直角，而第5 个角有3 种可能性：直角、钝角和锐角．他同样在锐角假设下得到“三角形的面积取决于其内角和；三角形的面积正比于平角与内角和的差．他认为只要一组假设相互没有矛盾，就提供了一种几何的可能．著名的法国数学家勒让德（A.M.Legendar1752-1833）对平行公设问题也十分关注，他得到的一个重要定理：“三角形内角之和不能大于两直角”．这预示着可能存在着一种新几何．19 世纪初，德国人萨外卡特（schweikart 1780-1859）使这种思想更加明朗化．他通过对“星形几何”的研究，指出：“存在两类几何：狭义的几何（欧氏几何）星形几何．在后一个里面，三角形有一个特点，就是三角形内角之和不等于两直角”．1.2.2 非欧几何的诞生前面提到的一些数学家尤其是兰伯特，都是非欧几何的先驱，但是他们都没有正式提出一种新几何并建立其系统的理论．而著名的数学家高斯（Gauss 1777-1855）、波约（Bolyai 1802-1860）、罗巴切夫斯基（Lobatchevsky1793-1856）就这样做了，成为非欧几何的创始人．高斯是最早指出欧几里得第五公设独立于其他公设的人．早在1792 年他就已经有一种思想，去建立一种逻辑几何学，其中欧几里得第五公设不成立．1794 年高斯发现在他的这种几何中，四边形的面积正比于2 个平角与四边形内角和的差，并由此导出三角形的面积不超过一个常数，无论其顶点相距多远．后来他进一步发展了他的新几何，称之为非欧几何．他坚信这种几何在逻辑上是无矛盾的，并且是真实的，能够应用的，为此他还测量了3个山峰构成的三角形内角，他相信内角和的亏量只有在很大的三角形中才能显露出．但他的测量因为仪器的误差而宣告失败．遗憾的是高斯在生前没有任何关于非欧几何的论著．人们是在他逝世后，从他与朋友的来往函件中得知了他关于非欧几何的研究结果和看法．匈牙利青年数学家波约在研究欧几里得第五公设的基础上建立了一种新几何，他称之为“绝对空间中的几何”，并写了一篇26 页的论文《绝对空间的科学》．本论文出版时作为附录附于其父的书《为好学青年的数学原理论著》．当时的波约已建立起非欧几何的思想，并且相信新几何不是自相矛盾的，在1823-11-23 给他父亲的信中，波约写道：“我已得到如此奇异的发现，使我自己也为之惊讶不止”[1]，在非欧几何的3 个发明人中，只有罗巴切夫斯基最早且系统地发表了自己的研究成果．罗巴切夫斯基曾卓越的指出：“直到今天，几何学中的平行线理论还是不完善的，从欧几里得时代以来，两千多年来徒劳无益的努力，促使我们怀疑在概念本身之中并未包括那样的真实情况，它是大家想要证明的，也是可以像别的物理规律一样单用实验（如天文检测）来检验．最后，我肯定了推测的真实性，而且认为困难的问题完全解决了”，“不论是如何给出的，只可以认为是说明，而且数学证明的完整意义不是不应该获得尊重的”[2]．他的工作是在前人的基础上，引用与欧氏第五公设相矛盾的命题，即直线外1 点可作2 条平行线为假设，并且把他同欧氏几何中其它公设和公理相联系．经过推理后，得出3 个结论：（1）用欧氏几何其它公设和公理不能证明欧氏第五公设，即第五公设是独立的；（2）与第五公设相矛盾的公设同欧氏几何其它公设、公理相结合，展开一系列推理，获得了许多在逻辑上无矛盾的定理，构成了不同于欧氏几何的新的几何学；（3）这种逻辑上无矛盾的几何学的真理性同物理学中的定理一样，只能凭实验，例如用天文观测来检验．这3条结论显然与欧氏几何不同，是一种全新的几何体系，是罗氏独创性思维的结晶．他的结论是在1826 年2 月的一次学术报告上以《简要叙述平行定理的一个严格证明》为题报告的．由于罗巴切夫斯基对非欧几何的特殊贡献，人们把这种几何称为罗氏几何．1.2.3 非欧几何的发展与确认非欧几何要获得人们的普遍接受，需要确实的建立非欧几何自身的无矛盾性和现实意义．罗巴切夫斯基终其一身努力最后并没有实现这个目标．1854 年，黎曼（G．F．B．Riemann 1826-1866）摆脱高斯等前人把几何对象局限在3 维欧几里得空间的曲线和曲面的束缚，从维度出发，建立了更一般的抽象几何空间．黎曼仿照传统的微分几何定义流形上2 点之间的距离、流形上的曲线和曲线之间的夹角．并以这些概念为基础，展开对n 维流形几何性质的研究．在n 维流形上他也定义类似于高斯在研究一般曲面时刻画曲面弯曲程度的曲率．他指出对于3 维空间，有以下3 种情形：(1)曲率为正常数；(2)曲率为负常数；(3)曲率恒等于0．黎曼指出后2 种情形分别对应于罗巴切夫斯基的非欧几何和通常的欧氏几何学，而第一种情形则是黎曼本人的创造，它对应于另一种非欧几何学．黎曼创造的几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何2 条直线都有公共点(交点)．在黎曼几何学中不承认平行线的存在．它的另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的．黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面．19 世纪70 年代以后，意大利数学家贝尔特拉米、德国数学家克莱茵和法国数学家庞加莱等人先后在欧几里得空间中给出了非欧几何的直观模型，从而揭示出非欧几何的现实意义．贝尔特拉米的模型是一个叫“伪球面”的曲面，它由平面曳物线绕其渐近线旋转一周而得．贝尔特拉米证明，罗巴切夫斯基平面片上的所有几何关系与适当的“伪球面”片上的几何关系相符合：也就是说，对应于罗巴切夫斯基几何的每一断言，就有一个伪球面上的内蕴几何事实．这使罗巴切夫斯基几何立刻就有了现实意义．克莱茵的模型比贝尔特拉米的简单明了．在普通欧氏平面上取1 个圆，并且只考虑整个圆的内部．他约定把圆的内部叫“平面”，圆的弦叫“直线”（根据约定将弦的端点除外）．可以证明，这种圆内部的普通（即欧氏）几何事实就变成罗巴切夫斯基几何的定理，而且反过来，罗巴切夫斯基几何中的每个定理都可以解释成圆内部的普通几何事实．在克莱茵之后，庞加莱也对罗巴切夫斯基几何给出了模型：在欧氏平面内划1 条直线，而使之分为上、下2 个平面，把不包括这条直线在内的上半平面作为罗氏平面，其上的欧氏点当作罗氏几何的点，把以该直线上任一点为中心，任意长为半径所做出的半圆作为罗氏几何的直线，然后对如此规定了的罗氏元素一一验证罗氏几何诸公理全部成立．这样一来，如果罗氏系统在今后出现了正、反2 个相互矛盾的命题的话，则只要按上述规定之几何元素之间的对应名称进行翻译，立即成为相互矛盾的2 个欧氏几何定理，从而欧氏几何就有矛盾了．因此，只要承诺欧氏几何是无矛盾的，那么罗氏几何一定也是相容的，这就把罗氏几何的相容性证明通过上述庞家莱模型转化为欧氏系统的相容性证明．由于人们承认欧氏几何是相容的，因此，罗氏几何也是相容的．这样一来，就使非欧几何具有了至少与欧氏几何同等的真实性．至此，历经2 000 余a，非欧几何学作为一种几何的合法地位可以说充分建立起来了，也真正获得了广泛的理解，人们最初的愿望终于变成了现实．2 非欧几何发展史的启示非欧几何的诞生，是自希腊时代以来数学中一个重大的革新步骤．在这里我们将沿着事物的历史发展过程来叙述这一历史的重要意义．M．克莱茵（M. Klein）在评价这一段历史的时候说：“非欧几何的历史以惊人的形式说明数学家受其时代精神影响的程度是那么厉害．当时萨凯里曾拒绝过欧氏几何的奇异定理，并且断定欧氏几何是唯一正确的．但在一百年后，高斯、罗巴切夫斯基和波约满怀信心地接受了新几何”．2.1 对数学学科本身2.1.1 数学发展的相对独立性通过逻辑演绎法建立的非欧几何体系为数学的发展提供了一种模式，使人们清楚地看到数学可以有自己的逻辑体系存在，从而独立发展．数学发展的相对独立性突出表现为：数学理论的发展往往具有超前性，它可以独立于物理世界而进行，可以超前于社会实践，并反作用于社会实践，推动数学乃至于整个科学向前发展．19 世纪前，数学始终与应用数学紧密结合在一起，即数学不能离开实用学科而独立发展，研究数学的最终目的是为了解决实际问题．但是非欧几何第一次使数学的发展领先于实用科学，超越人们的经验．非欧几何为数学创造了一个全新的世界：人类可以利用自己的思维，按照数学的逻辑要求自由自在的进行思考．于是数学被认为应当是那些并不是直接地或间接地由于研究自然界的需要而产生出来的任意结构．这种观点逐渐被人们了解，于是造成了今天的纯粹数学与应用数学的分裂[1]．2.1.2 数学的本质在于它的充分自由非欧几何的创立，使一直为人们意识到但未曾清楚地认识的区别呈现出来了即数学空间与物理空间的不同．数学家创造出几何理论，然后由此决定他们的空间观．这种建立在数学理论基础上的空间观、自然观，一般并不能否定客观世界的存在等内容，它仅仅强调这样一些事实：人们关于空间的判断所获得的一系列结论纯粹是自己的创造．物质世界现实与这种现实的理论，永远是两回事．正因为如此，人类探索知识、建立理论的认识活动才永远没有尽头．非欧几何的创立使人们认识到数学是人的精神的创造物，而不是对客观现实的直接临摹，这样就使数学获得了极大的自由，同时也使数学丧失了对现实的确定性．数学从自然界和科学中解脱出来，继续着它自己的行程．对此，M.克莱茵说：“数学史的这一阶段，使数学摆脱了与现实的紧密联系，并使数学本身从科学中分离出来了，就如同科学从哲学中分离出来，哲学从宗教中分离出来，宗教从万物有灵论和迷信中分离出来一样．现在可以利用乔治.康托的话了：‘数学的本质在于它的充分自由’”．2.1.3 几何观念的更新非欧几何的出现打破了欧氏几何一统天下的局面，使几何学的观念得到更新．传统欧氏几何认为空间是唯一的，而非欧几何的出现打破了这种观念，促使人们对欧氏几何乃至整个几何学的基础问题作深入探讨．2.2.1 非欧几何是敢于向传统挑战、勇于为科学献身的人类精神的产物高斯、波约、罗巴切夫斯基几乎同时发现了非欧几何，但3 人对待新几何的态度是不同的．高斯很早就意识到了新几何的存在，但他没有向世人公布他的新思想，他受康特（Kant）唯心思想的影响，不敢向传统几何学界达2 000 a 之久的欧氏几何挑战，以致推迟了非欧几何的诞生．波约致力于平行公设的研究，终于发现了新几何．这其中还有一个故事，当高斯决定将自己的发现秘而不宣时，波约却急切的想通过高斯的评价将自己的研究公诸于世，然而高斯回信给他的父亲F.波约中说：“夸奖他就等于称赞我自己．整篇文章的内容，你儿子采取的思路和获得的结果，与我在30 至35 年前的思考不谋而合”[3]，波约对高斯的回答深感失望，认为高斯想剽窃自己的成果，特别是在罗巴切夫斯基关于非欧几何的著作出版后，他更决定从此不再发表论文．罗巴切夫斯基在1826 年公开新几何思想后，并没有得到同代人的理解与赞扬，反而遭到讽刺和攻击，“可是没有任何力量可以动摇罗巴切夫斯基的信心，他像屹立在大海中的灯塔，惊涛骇浪的冲击，十足显出他刚毅的意志，他一生始终为新思想而斗争[4]”．在他双目失明时，还口授完成了《泛几何学》．3 人们发现新几何的过程启示我们：只有突破了对传统、对权威的迷信，才能充分发挥科学的创造性；只有不畏艰难困苦，勇于为科学献身，才能追求、捍卫超越时代的真理．一般认为高斯、波约、罗巴切夫斯基3 人们同时发现了新几何，这是人们对历史的公正，但人们更喜欢称新几何为罗氏几何，这正是人们对罗巴切夫斯基为科学献身精神的高度赞扬．2.2.2 非欧几何精神促使人们树立宽容、包容一切的产物非欧几何的创立，解放了人类思想，新见解、新观点不断涌现，“数学显现为人类思想的自由创造物”[5]．数学的发展使康托由衷的说道：“数学的本质在于其自由”．这种思想活跃而且民主的艺术气氛，使数学以前所未有的速度向前发展．非欧几何曲折的创建历程及其所带来的数学的发展，使人们意识到自由创造、百家争鸣对科学发展的重要性，促使人们树立宽容、包容一切的精神与美德[6]．2.3 哲学思想方面2.3.1 认识论的变革法国哲学家、数学家彭加莱（Henri Poincare）说过[7]：非欧几何的发现，是认识论一次革命的根源．简单讲，人们可以说，这一发现已经胜利的打破了那个为传统逻辑所要求的，束缚住任何理论的两难论题：即科学的原理要么（感官观察的事实）．他指出：原理可能是简单的任意约定，但是这些约定决不是同我们的心灵和自然界无关的，它们只能靠着一切人的默契才能存在，它们并且紧密地依赖着我们所生活的环境中的实际外界条件．事实上正是由于这一点，对于探索未知或目前无法感知的事物，我们可对自然界的认识作某种“默契约定”，这是认识一切事物的开始和基础．另外，我们在理论评判中，放弃非彼即此的评判，爱因斯坦就说过[8]：这种非彼即此的评判是不正确的．这些评判家、数学家的评判无疑是非欧几何创立后，其对思想、理论建立，特别是对认识论有最为直接的影响；更进一步的近代的理论和技术的进步均离不开它的内在影响，像“相对论”的产生、特别是对时空的进一步认识，集合论、现代分析基础、数理逻辑、量子力学等学科建立与发展均可以看成是非欧几何的直接结果．非欧几何的创立所产生的震荡至今余波未消[9,10]．2.3.2 打破人类的传统思维方式分析和评价一种理论的首要依据应该是看其是否有“相容性”，即它是否有或会得出自相矛盾的结论．如果一个理论尚不能“自圆其说”，说明这一理论要么还只是人类经验的一种简单表述和列举，还没有进化到“理论”的高度；要么至少还需要进一步完善和改进．本来非欧几_何与欧氏几何理论建立的前提是矛盾的，而欧氏几何已被普遍接受．是否接受非欧几何势必产生这样的问题，矛盾的前提是否一定能够导出矛盾的结果？传统的思维方式认为这是一定的，即矛盾的前提必然导致矛盾的结果．接受非欧几何就意味着要冲破这一传统思维方式的束缚．随着时间的推移，特别是非欧几何的成果的广泛应用，使人们认识到：我们在建立理论的过程中不能保证矛盾的前提一定能导出矛盾的结果．因此，在理论的建立过程中，相容性是必须具备的[11]，特别是在导出某个结论的过程中，我们必须清醒的认识到建立的理论体系是否具有无矛盾性、是否具有排中性．2.4 对数学科研者2.4.1 勇敢面对在科学探索路途上的暴风雨在科学探索的征途上，一个人经得住一时的挫折和打击并不难，难的是勇于长期甚至终生在逆境中奋斗．罗巴切夫斯基的新学说，违背了2 000 多a 来的传统思想，动摇了欧氏几何“神圣不可侵犯”的权威基础，同时也违背了人们的“常识”．他的学说一发表，社会上的嘲弄、攻击，甚至侮辱、谩骂，暴雨般地袭来：科学院拒绝接受他的论文；大主教宣布他的学说是“邪说”；大多数的权威们称罗巴切夫斯基的学说是“伪科学”，是一场“笑话”；即使那些心肠比较好的人最多也只能抱着“对一个错误的怪人的宽容和惋惜态度”；连不少著名的文学家也起来反对这种新的几何，如德国诗人歌德，在他的名著(浮士德)中写下了这样的诗句：“有几何兮，名曰：‘非欧’，自己嘲笑，莫名其妙”．面对种种攻击、嘲笑，罗巴切夫斯基毫不畏惧，寸步不让，他像屹立在大海中的灯塔，表现出一个科学家“追求科学需要的特殊勇敢”．罗巴切夫斯基坚信自己学说的正确性，为此奋斗一生．从1826 年发表了非欧几何体系后，又陆续出版了《关于几何原本》等8本著作．在他逝世前1 a，他的眼睛差不多瞎了，还口述，用俄、法2 种文字写成他的名著《泛几何学》．罗巴切夫斯基就是在逆境中奋斗终生的勇士．同样，一名数学工作者，特别是声望较高的学术专家，正确识别出那些已经成熟的或具有明显现实意义的科技成果并不难，难的是及时识别出那些尚未成熟或现实意义尚未显露出来的科学成果．数学的发展决不是一帆风顺的，在更多的情况下是充满犹豫、徘徊，要经历艰难曲折甚至会面临更多危机的．我们每一位科学工作者，既应当作一名勇于在逆境中顽强点头的科学探索者，又应当成为一个科学领域中新生事物的坚定支持者．2.4.2 正确对待数学领域里的成就数学是一门历史性或者说积累性很强的学科．重大的数学理论总是在继承和发展原有理论的基础上建立起来的，它们不仅不会推翻原有的理论，而且总是包含原先的理论．如非欧几何可以看成是欧氏几何的拓广．因此，有的数学史家认为“在大多数的学科里，一代人的建筑为下一代人所拆毁，一个人的创造被下一个人所破坏．惟独数学，每一代人都在古老的大厦上添加一层楼”[12]．克莱茵在考察第五公设研究的历史特别是从18～19 世纪非欧几何由“潜”到“显”转变的100 多a 的历史过程时指出：“任何较大的数学分支或较大的特殊成果，都不会只是个人的工作，充其量，某些决定性步骤或证明可以归功于个人．这种数学积累特别适用于非欧几何”．事实上，自从《几何原本》以后到19 世纪，第五公设问题就像一块磁石一样广泛地吸引和激励着各个时代有才华的数学家为之奋斗．这就形成了一个在科学史上时间跨度最长、成员最多，并以传播和研究第五公设为范式的数学共同体．在这个共同体中，数学家相互交流思想，交换研究成果，对研究成果进行评议，形成不断竞争和激励的体制．罗巴切夫斯基也是从前人和自己的失败得到启迪，使他大胆思索问题的相反提法：可能根本就不存在第五公设的证明．于是，他便调转思路，着手寻求第五公设不可证的解答．罗巴切夫斯基正是沿着这个途径，在试证第五公设不可证的过程中发现一个新的几何世界的．也可以说，罗氏几何的出现应归功与萨凯里、兰伯特等对第五公设的研究．在今天分支越来越细的数学领域里，精通多个领域的知识的数学家也越来越少．对此，数学科研者应团结，相互进行交流；用平和的心态对待已取得的成绩，不骄不躁．2.5 对数学教师和数学学习者2.5.1 在质疑问难中培养创新思维罗巴切夫斯基认为，作为一名优秀的数学教师，讲授数学必须叙述精确、严密，所有概念都应当完全清晰．因为在他看来，数学课程是以概念为基础的，几何学尤其如此．所以他在备课中，通过对欧氏几何的逻辑结构的全面思考，发现了其逻辑体系的缺陷，使他感到非常困惑．他决心在自己的教学实践中消除那些缺陷．后来他确实编写了一本几何教科书《几何学教程》（1883）．他不仅在教材中形成并贯彻了他的非欧几何思想，而且他关于非欧几何的研究，始终是和教学活动相结合的．他关于非欧几何的许多定理都是在授课过程中推导出来的，在学生中交流、修改和完善的．我们可以肯定的说，他创立非欧几何的伟大成果是从几何教育改革的角度切入的，是一个数学教育家取得伟大突破的成功范例．正如数学史家鲍尔加斯指出的“罗巴切夫斯基希望建立起在教学法意义上无可指责的几何学”，“这是促使他改革新几何的重要原因”．“他对教学法的探讨，获得了出色的、开创几何学发展新阶段的、作为人类研究和征服周世界围新方法的科学结论”．所以作为一名21 世纪的数学教师，在平时的教学过程中要不断的学习这个时代的新的知识，要勇于质疑你已经掌握的知识；教学中要引导学生广开思路，重视发散思维；教师要精选一些典型问题，鼓励学生标新立异、大胆猜想、探索，培养学生的创新意识．2.5.2 在教学中训练学生的创新思维罗巴切夫斯基刚开始是循着前人的思路，试图给出第五公设的证明．在仅存下来的他的学生听课笔记中，就记载着他在1816-1817 学年度几何教学中给出的几个证明．但他很快就意识到证明是错误的．前人和自己的失败从反面启迪了他，使他大胆思索问题的相反提法：可能根本就不存在第五公设的证明．于是，他便调转思路，着手寻求第五公设不可证的解答．罗巴切夫斯基正是沿着这个途径，在试证第五公设不可证的过程中发现一个新的几何世界的．“学起于思，思源于疑”，我们在探索知识的思维过程总是从问题开始，又在解决问题中得到发展．教师不仅要善于设。

几何学，作为数学的一个分支，研究的是空间的形状和属性。

传统上，欧几里德几何被认为是几何学的基础，它依赖于五条公理来建立空间的理论。

然而，在19世纪，一些学者开始对这些公理进行质疑，并提出了一种被称为非欧几何的新的几何形式。

非欧几何在几何学的发展史上起着重要作用，并为我们带来了新的思考方式。

非欧几何很大一部分是由德国数学家伯恩哈德·黎曼所推动和发展的。

他的工作对于几何学领域的新的探索起到了至关重要的作用。

黎曼在他的《非欧几何的基础》中提出了几何学的新概念，他将几何学从传统的平面或曲面推广到任何维度的空间。

这种扩展为我们的世界观打开了视野。

非欧几何的核心概念是非欧空间。

在欧几里德几何中，存在一个基本公理，即“过一点可以作唯一的与已知一致的直线”。

然而，在非欧几何中，这个基本公理被否定了。

在非欧空间中，存在无数与给定直线平行的直线。

这一思想的出现颠覆了我们对空间的常规认识，挑战了我们原有的几何学思维方式。

非欧几何的发展不仅仅影响了数学领域，也改变了物理学和哲学的思考方式。

例如，爱因斯坦的相对论是建立在非欧几何的基础上的。

相对论中的时空观念采用了非欧几何的思想，通过曲率和平行线的概念来描述宇宙。

非欧几何的属性也给人们带来了新的启示。

在欧几里德几何中，三角形的内角和总是180度，然而，在非欧几何中，三角形的内角和取决于其曲率。

如果是正曲率，那么三角形的内角和大于180度；如果是负曲率，那么三角形的内角和小于180度。

这种性质在我们日常的生活中并不容易直观地观察到，但它确实是几何学领域的一个重要发现。

虽然非欧几何的发展需要深厚的数学基础，但我们也可以从中得到一些启示。

非欧几何的出现告诉我们，我们的思维方式并不是唯一的，并且我们的认知可以随着新的发现而被改变。

这也提醒我们要保持开放的心态，勇于挑战现有的观念，并不断拓展我们的思维边界。

总的来说，几何学的非欧几何是对传统欧几里德几何的一次革命性挑战。

它提出了新的思考方式，改变了我们对空间的认识，并对物理学和哲学的发展产生了深远的影响。

不可思议的几何──非欧几何非欧几何的来源非欧几何学是一门大的数学分支，一般来讲，他有广义、狭义、通常意义这三个方面的不同含义。

所谓广义式泛指一切和欧几里的几何学不同的几何学，狭义的非欧几何只是指罗式几何来说的，至于通常意义的非欧几何，就是指罗式几何和黎曼几何这两种几何。

欧几里得的《几何原本》提出了五条公设，长期以来，数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见。

有些数学家还注意到欧几里得在《几何原本》一书中直到第二十九个命题中才用到，而且以后再也没有使用。

也就是说，在《几何原本》中可以不依靠第五公设而推出前二十八个命题。

因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。

由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对？第五公设到底能不能证明？到了十九世纪二十年代，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中，他走了另一条路子。

他提出了一个和欧式平行公理相矛盾的命题,用它来代替第五公设，然后与欧式几何的前四个公设结合成一个公理系统，展开一系列的推理。

他认为如果这个系统为基础的推理中出现矛盾，就等于证明了第五公设。

我们知道，这其实就是数学中的反证法。

但是，在他极为细致深入的推理过程中，得出了一个又一个在直觉上匪夷所思，但在逻辑上毫无矛盾的命题。

最后，罗巴切夫斯基得出两个重要的结论：第一，第五公设不能被证明。

第二，在新的公理体系中展开的一连串推理，得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，并形成了新的理论。

这个理论像欧式几何一样是完善的、严密的几何学。

这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何，简称罗氏几何。

这是第一个被提出的非欧几何学。

从罗巴切夫斯基创立的非欧几何学中，可以得出一个极为重要的、具有普遍意义的结论：逻辑上互不矛盾的一组假设都有可能提供一种几何学。

非欧几何的产生是认识论的转变
非欧几何的产生是认识论的转变。

在传统的欧几里得几何中，我们认为几何是一种既定的、客观存在的知识体系，几何定理与命题具有普适性和唯一性。

19世纪初，非欧几何的出现颠覆了这种观念，从而引发了对于几何学基本概念的重新思考，以及对于认识论的革新。

非欧几何的产生与认识论的转变密切相关。

在19世纪初，数学家们开展了一系列有关于平行公理的探讨，并最终发现了非欧几何。

在欧几几何中，平行公理被视为一条既定的公理，也就是平行线永远不相交。

非欧几何通过否定或放松平行公理，提出了新的几何模型。

高斯在非欧几何中通过放松平行公理，提出了抛物几何学；黎曼则在非欧几何中通过否定平行公理，提出了球面几何学。

非欧几何的产生使得传统的欧几几何被纳入了一种更为广泛的几何体系之中，几何学不再是一成不变的，而是多样化的。

非欧几何的产生还对哲学和科学产生了深远影响。

在哲学领域，非欧几何的出现使得传统的实证主义受到了挑战。

实证主义强调科学知识的确定性和客观性，而非欧几何的产生证明了几何学知识的相对性和主观性。

非欧几何的出现也对科学方法论产生了启示，使得人们开始思考科学知识的建构和值得性。

非欧几何的创立：人类认识史上最伟大的成果非欧几何的创立与数学的变革非欧几何是人类认识史上一个富有创造性的伟大成果，它的创立，不仅带来了近百年来数学的巨大进步，而且对现代物理学、天文学以及人类时空观念的变革都产生了深远的影响。

经得起历史风霜考验的,只有欧几里得的《几何原本》《几何原本》作为古希腊数学的一种总结性再创造，作为欧几里得精心雕琢的数学模式，成为古希腊文化中的一块瑰宝。

但是，无论是把欧氏几何作为一种哲学的表现，还是把它作为一种基督教神的教义理性，欧氏几何中有关第五公设（即：同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧面两个内角的和小于两直角，则这两条直线无限延长后在这一侧相交）的论述总让人感到有某些不尽人意的遗憾，比如语言叙述冗长，与公理、公设应有的明显、直观性和不证自明的真理程度似乎有些差别。

特别是，在第五公设的叙述中还隐含有直线可以无限延长的涵义，由于古希腊人在数学中对无限基本上采取了一种完全排斥的态度，因此这也引起了人们的关注和不安。

出于对柏拉图哲学的领悟，或是出于对欧氏几何体系的爱护，再加上后来对神学宗教的信仰，人们一直都希望能对欧几里得的第五公设做出新的叙述或能对它进行证明将其从公设中去掉而成为一个定理。

从公元前300年到公元1800年的这两千多年的时间里，几乎所有有作为的数学家、神学家都在第五公设上投入了大量的精力：哲学家、神学家希望能由此进一步完善欧氏几何的理想化地位，数学家则希望能使几何的逻辑演绎体系更加完美。

然而，在长达两千多年的时间中尽管数学家使用了不同的方法，结果却都没能获得成功。

这里有数学家萨开里（Saccheri 1667-1733）、兰伯特(Lambert 1728-1777)和陶里努斯(Taurinus 1794-1874)等人对非欧几何逻辑可能性的初步认识，但他们的努力离非欧几何的确立只有一步之遥。

非欧几何两千多年的失败历史无疑促使人们对这种证明的方法和目的等做出一定的反思，特别是由于正面的努力始终未能获得成功，因此，一些数学家就开始了反面的努力，即是希望能从相反的规定引出矛盾而用反证法证明第五公设。

非欧几何简介欧氏几何与球面几何的区别与联系比较球面上的几何图形与平面上的几何图形的性质，我们可以总结出以下显著的差别，见表6-1：表6-1 球面上的几何图形与平面上的几何图形的性质差异，其中A、B、C为单位球面上三角形的三个内角（弧度制）通过上面的比较，我们看到，球面上的几何是与平面几何不同的一种几何理论。

平面几何最早由希腊数学家欧几里德（Euclid，公元前300年左右）整理成系统的理论。

他的不朽之作《几何原本》不仅包含了平面几何，也包含了立体几何。

为了纪念他对人类做出的伟大贡献，后来就把这种几何称为欧氏几何。

球面上的几何是与欧氏几何不同的几何，所以叫做非欧几何。

球面上的几何与欧氏几何有不相同之处，但他们之间也有一些共同特征，见表6-2。

表6-2 球面上的几何与欧氏几何的共同特征两种几何的这些相同之处，说明它们之间应该有某种内在的联系。

首先分析一下球面三角形的面积公式把这个公式改写成这个等式的左端称为球面三角形的角超，它反映出球面上的几何与平面几何的差距。

在平面几何中三角形三内角之和等于，角超等于零。

在球面上的几何中角超大于零。

不难看出当球面半径R无限增大时，球面逐渐趋向于平面，越来越小，即三角形的角超越来越小，球面三角形逐渐趋向于平面三角形，球面几何的性质逐渐接近于平面几何的性质。

所以我们可以说：当球面半径趋向于无穷大时，球面上的几何以平面几何为极限。

因为地球的半径非常大，当我们研究的范围相对于地球半径很小时，三角形的角超就一定很小。

因此，可以用平面几何的知识来代替球面几何知识，所产生的误差很小。

另一种非欧几何通过前一小节的分析，我们发现三角形的三个内角之和的大小，在很大程度上反映了平面欧氏几何与球面几何的差别。

当三角形的三个内角之和等于时，就是欧氏几何，当三角形的三个内角之和大于时，就反映出球面几何的主要特征。

有没有三角形三个内角之和小于的几何呢？我们简单回顾一段几何发展史。

在十七世纪以前，人们认为只有一种几何，就是欧氏几何，它是一切科学的基础。