由一道求值域题的解法想到的

一道求值域问题的多种解法数学是一个有机的整体，所有感觉是分开的知识其实相互之间是有紧密的联系的。

即大家在学习每一部分内容时，要注意横向联系，把相互关系结成一张网，这样就可覆盖全部内容，使之融会贯通。

这里所说的横向联系，主要是靠一题多解来完成的。

通过用不同的方法解决同一道数学题，既可以开拓解题思路，巩固所学知识；又可激发学习数学的兴趣和积极性，达到开发潜能，发展智力，提高能力的目的。

从而培养创新精神和创造能力。

下面仅举一例进行一题多解和一题多变来说明：例：已知x、y≥0且x+y=1，求x2+y2的取值范围。

解答此题的方法比较多，下面给出几种常见的思想方法，以作示例。

解法一：（函数思想）由x+y=1得y=1-x，则x2+y2= x2+（1-x）2=2x2－2x+1=2（x－12）2+12由于x∈[0，1]，根据二次函数的图象与性质知当x=12时，x2+y2取最小值12；当x=0或1时，x2+y2取最大值1。

评注：函数思想是中学阶段基本的数学思想之一，揭示了一种变量之间的联系，往往用函数观点来探求变量的最值。

对于二元或多元函数的最值问题，往往是通过变量替换转化为一元函数来解决，这是一种基本的数学思想方法。

解法二：（三角换元思想）由于x+y=1，x、y≥0，则可设x=cos2θ，y=sin2θ其中θ∈[0，π2 ]则x2+y2= cos4θ+sin4θ=（cos2θ+sin2θ）2－2 cos2θsin2θ=1－12（2sinθcosθ）2=1－12sin22θ=1－12×1－cos4θ2=34+14cos4θ于是，当cos4θ=－1时，x2+y2取最小值12；当cos4θ=1时，x2+y2取最小值1。

评注：三角换元思想也是高中数学的基本思想方法之一，通过三角换元就将问题转化为三角恒等式变形后来解决，而三角恒等变形却有着一系列的三角公式，所以运用三角换元解决某些问题往往比较方便。

解法三：（运用基本不等式）由于x、y≥0且x+y=1则 xy≤（x+y）24=14，从而0≤xy≤14于是，x2+y2=（x+y）2－2xy=1－2xy所以，当xy=0时，x2+y2取最大值1；当xy=14时，x2+y2取最小值12。

一、配方法适用类型：二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型.【例1】求函数的值域.解：为便于计算不妨: 配方得: ，利用二次函数的相关知识得,从而得出: .【例2】已知函数y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2(a∈R，a≠0)，求函数y的最小值.解析：y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2＝(ex＋e－x)2－2a(ex＋e－x)＋2a2－2.令t＝ex＋e－x，f(t)＝t2－2at＋2a2－2.∵t≥2，∴f(t)＝t2－2at＋2a2－2＝(t－a)2＋a2－2的定义域为[2，＋∞)．∵抛物线y＝f(t)的对称轴为t＝a，∴当a≤2且a≠0时，ymin＝f(2)＝2(a－1)2；当a＞2时，ymin＝f(a)＝a2－2.练习○1 求y = sin2x - 6sinx + 2值域.○2 当1≤x≤1000时，求y＝(lgx)2－2lgx＋3值域.二、换元法【例3】求函数的值域.适用类型:无理函数、三角函数（用三角代换）.解析：由于题中含有不便于计算，但如果令：注意从而得：变形得即：【例4】设a，b∈R，a2＋2b2＝6，则a＋b的最小值是______．解：∵a，b∈R，a2＋2b2＝6，∴令a＝6cosα，2b＝6sinα，α∈R.∴a＋b＝6cosα＋3sinα＝3sin(α＋φ)．∴a＋b的最小值是－3；故填－3.练习○3 已知是圆上的点，试求的值域.三、反函数法（变量分类法）【例5】求函数的值域.解：原式中x∈R，将原式化为由○1解出x，得；（也可由直接得到）因此函数值域是（－1，1）四、不等式法利用不等式法求解函数最值，主要是指运用均值不等式及其变形公式来解决函数最值问题的一种方法．常常使用的基本不等式有以下几种：a2＋b2≥2ab(a，b为实数)；a＋b2≥ab(a≥0，b≥0)；ab≤a＋b22≤a2＋b22(a，b为实数)．【例6】设x，y，z为正实数，x－2y＋3z＝0，则的最小值为________．解析：因为x－2y＋3z＝0，所以y＝x＋3z2，因此y2xz＝x2＋9z2＋6xz4xz.又x，z为正实数，所以由基本不等式，得y2xz≥6xz＋6xz4xz＝3，当且仅当x＝3z时取“＝”．故y2xz的最小值为3五、数形结合法【例7】适用类型:函数本身可和其几何意义相联系的函数类型.六、判别式法把函数转化为x的二次方程F(x，y)＝0，通过方程有实根，判别式Δ≥0，从而求得函数的最值．判别式法多用于求形如y＝ax2＋bx＋cdx2＋ex＋f(a，d不同时为0)的分式函数的最值．【例9】求函数y＝x2－3x＋4x2＋3x＋4的最大值和最小值．解析：∵x2＋3x＋4＝0的判别式Δ1＝32－4×1×4＝－7＜0，∴x2＋3x＋4＞0对一切x∈R均成立．∴函数的定义域为R.∴函数表达式可化为(y－1)x2＋(3y＋3)x＋4y－4＝0.当y＝1时，x＝0；当y≠1时，由x∈R，上面的一元二次方程必须有实根，∴Δ＝(3y＋3)2－4(y－1)(4y－4)≥0，解得17≤y≤7(y≠1)．综上得ymax＝7，ymin＝17.七、函数单调性法【例10】设a＞1，函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为12，则a＝________. 解析：∵a＞1，∴函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上是增函数，∴函数在区间[a,2a]上的最大值与最小值分别为loga2a，logaa＝1.又∵它们的差为12，∴loga2＝12，a＝4.八、导数法【例11】函数f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[－3,0]上的最大值、最小值分别是________．解析：因为f′(x)＝3x2－3，所以令f′(x)＝0，得x＝－1(舍正)．又f(－3)＝－17，f(－1)＝3，f(0)＝1，比较得，f(x)的最大值为3，最小值为－17.。

5-182019年第5期从一道带根号函数的值域错解谈起黄海(贵州省六盘水市第二十三中学，贵州六盘水553000)用数形结合法求形如/仏)=J+b x x+c,-j+b2x+c2(a iy a2M0,x e R)函数值域时，文[1]给出这样一个例题：例求y=y/x2+9-Jx-8%+41的值域文中给出如下的分析及解法：分析：原式可看作y=y(x-0)2+(0-3)2-y(x-4)2+(0-5)2,因此问题转化成：y的值就是在平面直角坐标系中的乂轴上一点到两定点4(0,3)、B(4,5)的距离之差.r^j■命题和提出新数学问题的能力.我们应当以模式的观念为核心来组织数学解题教学，即应该注重通过模式的识别、简单运用、综合运用和创造性运用，引导学生逐渐学会建立与发展识别模式、分析模式、鉴赏模式、创造模式、拓展模式与应用模式的能力.波利亚先生曾指出：一种解题方法，无论是自己获得的，或是学来的、听来的，只要经过了你自己的体验，那么它对你来讲，就可成为一种楷模，当你再次碰到类似的数学问题，它就是你可依照的模式•⑹笛卡尔也说:“我们解决的每一个问题，都将成为一个范例，用于解决其他问题•”数学试题成千上万，我们不可能把它们一一做完•但许多数学问题，无论是题设、结论，还是整体结构、直观图像或解题方法，都表现出或隐含着某种数学模式，解题时若善于观察、识别和捕捉这些模式特征，往往可以迅速地获得问题解决的途径，而且，常常可以基于模式相似性特征推广原有命题和提岀新的数学问题.当然，识别问题所蕴含的模式和基于该模式提出新的数学问题,这个过程常常连结B4,延长B4交％轴于点P0(%0,0).从图1中可知：x轴上任意一点P(P°除外)到/z*w r^i是很不容易的，需要具有模式直观的洞察力和蕴藏着思维的灵动、自然而又曼妙的想象,以及由此及彼、由表及里的综合联系与抽象提炼•教师在此要有意识地引导、教育和培养学生,使学生的解题和提出问题的能力得到提升.参考文献[1][美]Steen LA.模式的科学[J].李亚平，译.数学译林,1993(2)：96-105.[2]阿蒂亚等著.数学与物理最前沿[M].香港:商务印书馆,2010.[3]邓东皋等主编.数学与文化[M].北京:北京大学出版社，1990.[4][美]基思•德夫林.千年难题:七个悬赏1000000美元的数学问题[M].沈崇圣，译•上海:上海科技教育出版社,2007.[5][美]G•波利亚著.数学与猜想:合情推理模式(第二卷)M].李志尧等，译.北京：科学出版社,2001.[6][美]波利亚著.数学的发现——对解题的理解、研究和讲授[M].刘景麟等，译.呼和浩特：内蒙古人民出版社，1979.2019年第5期欽学孰学5-194、B两点距离差的绝对值都小于\AB\.即-1AB丨<I AP丨-I BP丨=Jx+9--8%+41<I AB\.因为\AP0\-\BP0\=-g-8陶+41+a J+9—-1AB I,所以-I4BI<1ABI，得值域-仍W y<2^5.评析：对于此结果，当4、B、P o三点共线时取得最小值，这一点毋庸置疑.对于右边的值出现的却是一个放大的结果,这是因为尽管数形结合它是形象的、直观的，在解题时可以避免繁琐的计算过程，但有时并非是“全能”的，更不能简简单单地根据图形得出答案.因为形只是我们操作的一种手段，一种工具，并不是理论证据.下面将给出正确的解法.解法1：将原式变形为y=7(x-0)2+(0-3)2-7(%-4)2+(0-5)2,定义域为％e R,y的值域可看作P(%,0)到点4(0,3)和点2(4,5)的距离之差.(i)当%=-6时，如图2,点P与4、B三点共线，有I PAI-1“丨=-14BI,即y=-仍；在Rt APOC和RtAPOA中，因为丨PO I=(2)当%逐渐增大，假设为点0) (X<%!),如图4,连结PiA、P(B,匕4与PB交于点0”令巴4=如,P l B=b1,由三角形两边之和大于第三边，则\0}A\+\0t P\>a,............①I0x B\+\0x P x I>............②因为I0x A\+\0”I=a],I0t B I+ I0x P\=b,所以①+②得5+b>a+g,即4>b—a〉b、—a】.当％—+oo时，4>b-a >b x-a x>…> b”-a n.当x#-6时，由三角形两边之差小于第三边，有丨P'AI-I P'BI>-\AB\，即y>-仍，所以y M-2^5.(ii)当x>-6时，如图3,过点B作y轴的垂线交V轴于点C,连结刃、PB、PC,则I BCI=4,I ACI=2.(1)令I PA\=a,I PB\=b,I PCI=c,由三角形两边之和大于第三边，有6+4>c.(iii)当％<-6时同理.综上所述,y的值域为[-275,4).评析：此时所得结果最小值相等，右边的值却发生了变化，即在错解中函数的值域[-2点，2点)只是一个大致单位，就像我们在高中时，求值域经常出现一个放大的值域.这便说明错解简单从三角形两边之差小于第三边的角度思考，只能得到函数的最小值，得不到最大值•尽管求出一个2点，但只是小于，不是小于等于，这样完全可能使得值域的最大值5-20欽学救学2019年第5期比2点小.而解法1中的“结合”严格遵循了“数”与“形”内在的一致性，实质也是在补上错解中的短板，是此函数数与形完美结合的表现，通过这样“结合”，问题才能形象、直观、准确地解决•接下来用极值的第一充分条件⑵求解说明此类带根号函数值域用数形结合法求解时,要严格保持“数”与“形”的一致解法2：由x2+9＞9,x2-8x+41=(x-4)2+25M25,所以％e R.对y求导，则y，二(丿/+9)z-(J/-8%+41)'x x-4a/x2+9J&+41令y'=0,解得勺=-6,x2因为当％7时』'2 2 ~28x-------M0,所以力+4122 2是y'的增根，故舍去.所以x--6是y唯一的稳定点.又当％w(-8,~6)时y，＜0,即歹在(-8,-6)上单调递减；当XW(-6,+8)时y，＜0,即y在(_6, +8)上单调递增.所以当％=-6时，丁罰=745--丿125=-2^5.又limy=lim(x2+9_y/x2-8x+41)X—»+8X―+00(/+9)-(%2-8%+41)=lim--------------------------------------i+9+y x2-8%+41-8%-32=lim------；•-1+x\/x2+9+\/%2—8%+418』=lim-------------------上=4.同理limy=-4,所以,y的值域为[-2点, X—»-004).评析：用导数法求解此函数的值域所得结果无疑是正确的.所以，在求形如/(x)=y/a t x2+6]%+C]-y/a2x2+b2x+c2(tz,a20,x e R)的函数值域问题时，如果使用数形结合法求解，则不能简单地利用几何图形，必须在几何图形的基础上考察动点的变化趋势，使数与形的转化保持一致，否则滥用数形结合将出现错误的结果.如函数/(%)=y/x2-6x+13-y/x2+4x+5的值域是(-5,丿厉]，而不是(-/26,726],等等.参考文献[1]王秀珍•关于求带根号函数值域方法的探究[J].数学教学,1996(2)：23-25.[2]华东师范大学数学系•数学分析(第四版)[M].北京：高等教育出版社,2010.。

值域的解题方法
值域是数学中的一个重要概念，它描述了一个函数能够取到的所有可能值的范围。

在解决值域问题时，我们可以采用以下方法：
观察函数形式：首先观察函数的解析式，了解函数的性质和特点。

例如，一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等都有不同的性质和特点，需要分别对待。

定义域：确定函数的定义域，即函数能够取值的范围。

在解决值域问题时，必须先确定函数的定义域，否则无法确定函数的值域。

换元法：对于一些复杂的函数，可以通过换元法将其转化为简单的函数，从而更容易求解值域。

例如，对于一些复杂的分式函数，可以通过换元将其转化为二次函数或一次函数，从而更容易求解值域。

反解法：对于一些反函数问题，可以通过反解法求解值域。

例如，对于一些反比例函数或对数函数，可以通过反解法求解值域。

数形结合：对于一些函数图像问题，可以通过数形结合的方法求解值域。

例如，对于一些二次函数或指数函数，可以通过数形结合的方法观察函数的取值范围，从而确定值域。

特殊值法：对于一些特殊情况，可以通过特殊值法求解值域。

例如，对于一些常数
函数或一次函数，可以通过特殊值法求解值域。

总之，解决值域问题需要综合运用以上方法，根据具体问题的特点和性质选择合适的方法进行求解。

数学求值域真题答案及解析数学是一门抽象而又具体的科学，对于一些人来说，数学可能是最头痛的学科之一。

然而，数学也是一门非常实用的学科，它运用广泛，可以用来解决现实生活中的很多问题。

今天，我想和大家分享一些数学求值域的真题答案及解析，希望能帮助大家更好地理解数学这门学科。

求值域是数学中一个非常重要的概念，它指的是一个函数在定义域上所有可能取到的值的集合。

换句话说，求值域就是函数的所有可能的输出值。

在解决数学问题的过程中，求值域的概念经常被用到。

下面，我将通过几个例子来解释求值域的求解方法。

首先，我们考虑一个简单的例子：例1: 求函数f(x) = 2x + 1的值域。

要求函数f(x) = 2x + 1的值域，我们需要寻找可以使得函数f(x)取到的所有可能的值。

首先，我们可以观察到函数f(x)是一个线性函数，其图像是一条直线。

由于直线是无限延伸的，所以函数f(x)的值域也是无限的。

通过观察函数f(x)的线性特点，我们可以得出结论：函数f(x)的值域为全体实数。

这个例子比较简单，接下来，我们来看一个稍微复杂一些的例子：例2: 求函数g(x) = x^2的值域。

同样地，我们需要找到可以使得函数g(x)取到的所有可能的值。

函数g(x)是一个二次函数，可以通过绘制函数图像来观察其值域。

我们可以发现，二次函数g(x)的图像是一个开口向上的抛物线，它的顶点位于坐标原点。

由于抛物线的开口向上，我们可以得出结论：函数g(x)的值域为所有大于等于0的实数。

以上两个例子展示了如何求解函数的值域。

在实际应用中，我们还可以通过变换函数、利用函数的性质等方法来求解值域。

下面，我将通过一个具体的例子来进一步说明。

例3: 求函数h(x) = sin(x)的值域。

对于函数h(x) = sin(x)，我们很难通过观察其图像来判断其值域。

我们可以通过观察正弦函数的周期性来解决这个问题。

正弦函数的周期是2π，即sin(x + 2π) = sin(x)。

函数值域的求法例题详解函数是数学中一个重要的概念，它描述了输入和输出之间的关系。

在函数中，我们常常需要求出函数的值域，即函数可能的输出值的集合。

本文将通过一些例题来详细解析函数值域的求法。

例题1：求函数值域已知函数f(x) = x^2 - 3x + 2，求函数f(x)的值域。

解析：要求函数的值域，首先需要确定函数的定义域，即输入值的取值范围。

对于这个例题中的函数f(x)，它是一个二次函数，对于任意实数x都有定义。

因此，函数f(x)的定义域为全体实数。

接下来，我们可以通过一些方法来确定函数的值域。

常见的方法包括图像法、导数法和代数法。

图像法是通过绘制函数的图像来观察函数的值域。

对于这个例题中的函数f(x) = x^2 - 3x + 2，我们可以绘制它的图像。

通过观察图像，我们可以发现函数的图像是一个开口向上的抛物线。

导数法是利用函数导数的性质来推导出函数的值域。

对于这个例题中的函数f(x) = x^2 - 3x + 2，我们可以计算它的导数f'(x) = 2x - 3。

由于导数表示函数的增减性，我们可以通过求导数的零点来确定函数的极值点。

对于这个例题中的函数，它的导数f'(x)的零点为x= 3/2。

根据导数的正负性，我们可以知道当x < 3/2时，函数递增；当x > 3/2时，函数递减。

因此，函数的极值点为x = 3/2，它是这个函数的最小值点。

所以，我们可以得到函数f(x)的值域为大于等于最小值点对应的函数值。

代数法是通过分析函数的表达式来推导出函数的值域。

对于这个例题中的函数f(x) = x^2 - 3x + 2，我们可以通过完成平方的形式转化为确定函数的值域。

我们可以将函数进行平方完成，得到f(x) = (x - 3/2)^2 - 1/4。

因为平方的结果永远大于等于0，所以最小值为0。

所以，函数的值域为大于等于0的实数。

综上所述，根据图像法、导数法和代数法，我们得出函数f(x) =x^2 - 3x + 2的值域为大于等于0的实数。

求函数值域的九种策略【策略1】观察法【例1】求函数1y =的值域。

【解析】0x ≥，【例2】求函数1y =的值域。

【解析】0x ≠, ∴【例3】已知函数2(1)1y x =--，{}1,0,1,2x ∈-，求函数的值域。

【解析】因为{}1,0,1,2x ∈-，而(1)(3)3f f -==，(0)(2)0f f ==，(1)1f =-,所以{}1,0,3y ∈- ★注意：求函数的值域时，【例4】 求函数2x y +=的值域【例5】 求函数21x xy x x -=-+的值域。

【例6】函数2566x x y x x -+=+-的值域为【策略3】利用函数的有界性求值域【例7】函数21x y -=的值域为，211x +≥法二：22x y x -=+2)1x y =+101y y +=≥-，解得1-的值域为【例8】求函数12xx y -=的值域。

，211x+>，20x>，11y ∴-<<，故函数【策略4】判别式法(,)0F x y =【例9】求函数222x x y -+=的值域。

【解析】21x x ++2(2)(1)20y x y x y -+++-=。

①当20y -=即2y =时，300,0x x R +=∴=∈； ②当20y -≠即2y ≠时，x R ∈时，方程2(2)(1)20y x y x y -+++-=恒有实根，22(1)4(2)0,15y y y ∴∆=+-⨯-≥∴≤≤且2,y ≠∴原函数的值域为[]1,5。

【例10】已知函数222()x ax bf x ++=的值域为[1,3]，求,a b 的值。

【例11】求函数2y =的值域。

【策略5】换元法：【例12】函数()2f x x =- ）[).0,A +∞ 17.,8B ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 5.,4C ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 15.,8D ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭,[0,t ∈+∞【例13】函数113x y -=的值域为的形式，所以可将指数进行换元，从而转化为指数函数值域问题：令，所以可得【例14】函数[]1()428,2,2x x f x x +=--∈-的值域为__________【思路分析】12()428(2)228x x x x f x +=--=-⋅-，将2x视为一个整体令2xt =，则可将其转化为二次函数求得值域.，[2,2x ∈-【例15】函数1ln x e y +=的值域为__________的范围，再取对数即可。

值域_求值域的方法大全及习题加详解(总25页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--求值域方法函数值域的求法方法有好多,主要是题目不同,或者说稍微有一个数字出现问题,对我们来说,解题的思路可能就会出现非常大的区别.这里我主要弄几个出来,大家一起看一下吧. 函数的值域取决于定义域和对应法则，求函数的值域要注意优先考虑定义域常用求值域方法（1）、直接观察法：利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域 对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。

例1、求函数1,[1,2]y x x =∈的值域。

（）例2、 求函数x 3y -=的值域。

（）答案：值域是：]3,[-∞ 【同步练习1】函数221xy+=的值域. （）解：}210{≤<y y（2）、配方法：二次函数或可转化为形如c x bf x f a x F ++=)()]([)(2类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意)(x f 的范围；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例1、求函数225,y x x x R =-+∈的值域。

（）例2、求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。

（）解：将函数配方得：4)1x (y 2+-= ∵]2,1[x -∈ 由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8]例3、求()()22log 26log 62log 222222-+=++=x x x y 。

（）（配方法、换元法）解：………所以当41=x 时，y 有最小值-2。

故所求函数值域为[-2，+∞）。

例4、设02x ≤≤，求函数1()4321xx f x +=-+的值域．解：12()4321(23)8xx x f x +=-+=--，02x ∵≤≤，24x 1∴≤≤．∴当23x =时，函数取得最小值8-；当21x =时，函数取得最大值4-，∴函数的值域为[84]--，．评注：配方法往往需结合函数图象求值域． 例5、求函数13432-+-=x x y 的值域。

高中数学函数值域的种求法总结高中数学中，函数值域是指函数在定义域内所有可能的取值的集合。

求函数值域是解决各类函数问题的重要方法之一、下面将总结高中数学中常用的求函数值域的11种方法。

1.利用定义法：根据函数的定义，直接求解函数的取值范围。

例如，对于函数f(x)=x^2，由于平方永远非负，所以其值域为[0,+∞)。

2. 利用图像法：通过绘制函数的图像，观察图像的上下界即可求得函数的值域。

例如，对于函数 f(x) = sin(x)，由于正弦函数的取值范围在[-1, 1]之间，故其值域为[-1, 1]。

3.利用对称性：对于一些具有对称性的函数，可以利用函数的对称性来快速求解其值域。

例如，对于奇函数f(x)=x^3，由于x^3关于原点对称，故其值域为整个实数轴。

4.利用函数的性质：通过函数的特点和性质来求解其值域。

例如，对于指数函数f(x)=a^x，由于指数函数永远大于0，所以其值域为(0,+∞)。

5. 利用最值的求解方法：对于具有最值的函数，可以通过求解最值来确定函数的值域。

例如，对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，其中a > 0，由于 a > 0，故二次函数的开口向上，函数的最小值为顶点的 y坐标，可以通过求解顶点坐标来确定函数的值域。

6.利用函数的递增性或递减性：对于递增函数或递减函数，可以根据函数递增性或递减性来求解其值域。

例如，对于递增函数f(x)=2x+1，由于斜率大于零，函数单调递增，故值域为(-∞,+∞)。

7. 利用函数的周期性：对于具有周期性的函数，可以利用函数的周期性来求解其值域。

例如，对于正弦函数 f(x) = sin(x)，由于正弦函数的值在一个周期内是重复的，故其值域为 [-1, 1]。

8. 利用函数的复合性：对于复合函数，可以将函数拆解成多个简单的函数，然后求解每个简单函数的值域，最后将值域组合起来得到复合函数的值域。

例如，对于函数 f(x) = sqrt(x^2 + 1)，可以拆解成 f(x) = g(h(x)), 其中 g(x) = sqrt(x) 和 h(x) = x^2 + 1，然后求解 g(x) 和h(x) 的值域，最后得到 f(x) 的值域。

高中数学求函数值域解题方法大全高中数学求函数值域解题方法大全一、观察法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围。

例1：求函数y=x+1的值域。

解析：由于x≥-1，所以x+1≥0，因此函数y=x+1的值域为[1,+∞)。

例2：求函数y=1/x的值域。

解析：显然函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，当x>0时，y>0；当x<0时，y<0.因此函数的值域是：例3：已知函数y=(x-1)-1，x∈{-1,1,2}，求函数的值域。

解析：因为x∈{-1,1,2}，而f(-1)=f(3)=3，f(2)=-1，f(1)=-∞，所以：y∈{-1,3}。

注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该题的定义域为x∈R，则函数的值域为{y|y≥-1}。

二、配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。

形如F(x)=af2(x)+bf(x)+c的函数的值域问题，均可使用配方法。

例1：求函数y=x2-2x+5，x∈[-1,2]的值域。

解析：将函数配方得：y=(x-1)2+4，当x=1∈[-1,2]时，y取得最小值4，当x=-1或x=2时，y取得最大值8，因此函数的值域是：[4,8]。

变式：已知f(x)=ax2+bx+c，其中a>0，且在区间[-1,1]内的最小值为1，求函数在[-2,2]上的最值。

解析：由已知，可得a>0，且f(x)在x=0处取得最小值1，即b=0.又因为在区间[-1,1]内的最小值为1，所以a≤4.将f(x)配方得：f(x)=a(x-1)2+1，当x=-2或x=2时，f(x)取得最大值5a+1；当x=1时，f(x)取得最小值1.因此，当a=4时，函数在[-2,2]上的最值分别为9和17.当a<4时，函数在[-2,2]上的最值分别为1和5a+1.三、其他方法：对于一些特殊的函数，可以采用其他方法求解。

例：已知函数f(x)=sinx+cosx，求函数的值域。

求函数值域的8种方法带例题哎呀，大家好呀！今天咱们要聊的可不是八卦，也不是美食，而是一个学术的话题——求函数值域！听起来可能有点儿高大上，但别担心，我会尽量让这个过程轻松点，就像吃块巧克力蛋糕那样愉快。

话不多说，咱们直接进入正题吧！1. 理解函数值域1.1 什么是函数值域？首先，咱们得搞清楚什么是函数值域。

简单来说，函数值域就是这个函数输出值的范围。

就像你每次去吃自助餐，能吃的东西就是你那一顿的“值域”，明白吗？假设你去的自助餐厅只提供寿司、意面和沙拉，那么今天的选择就只有这三样。

反过来，如果你能吃的东西是全世界的美食，那你的值域就宽广得多了！1.2 为啥要找值域？你可能会问，值域有什么用？好吧，这个问题我来解答！函数值域告诉你这个函数能“走多远”，让你了解它的特性。

比如说，学物理时，你要知道一个物体能达到的最大高度，值域就是你得考虑的关键因素。

通过找到值域，你会更清楚函数的行为，就像看懂了一个人的性格一样。

2. 方法一：代入法2.1 直接代入好啦，接下来咱们看看第一个方法——代入法。

这个方法就像你尝试在超市里找你喜欢的零食，直接去货架上寻找。

假设你有个简单的函数，比如 ( f(x) = x^2 )。

那么你可以把不同的 ( x ) 值代入，看看会得到什么。

比如当 ( x = 1 )，结果是 ( 1^2 = 1 )；当( x = 1 )，结果又是 ( (1)^2 = 1 )。

哇哦，没错，所有的结果都是正数，看来这个函数的值域是 ( 0, +infty) )！2.2 图像法再来，咱们可以用图像法。

就像看电影一样，图像给你直接的感觉。

画出 ( f(x) = x^2 ) 的图像，你会发现它是一条漂亮的抛物线，开口向上，最底点是原点（0,0）。

通过图像，你可以一眼看出，函数的值域从0开始，一直往上延伸。

简直美得不像话！3. 方法二：求导法3.1 一步到位接下来，我们要聊的就是求导法。

这个方法有点儿像解谜游戏，找出函数的极值。

求函数值域的8种方法带例题嘿，伙计们！今天我们来聊聊一个很有趣的话题——求函数值域的8种方法。

你们知道吗，学习数学的时候，我们经常会遇到一些让我们头疼的问题，比如求一个函数的值域。

别着急，我今天就来教你们8种简单易懂的方法，让你轻松搞定这个难题。

我们来看第一种方法：观察法。

这种方法很简单，就是直接观察函数在哪些区间内取值。

比如，我们来看一个例子：求函数f(x) = x^2在区间[-1, 2]内的值域。

我们可以看到，当x = 0时，f(x) = 0;当x = 1时，f(x) = 1;当x = 2时，f(x) = 4。

所以，这个函数在这个区间内的值域是[0, 4]。

接下来，我们来看第二种方法：图像法。

这种方法需要用到一些图形工具，比如Excel或者Python的matplotlib库。

我们可以通过绘制函数的图像来直观地看到函数在哪些区间内取值。

比如，我们还是以f(x) = x^2为例。

我们可以在Excel中输入x和f(x)的值，然后通过“插入”->“散点图”功能绘制出函数图像。

从图像中，我们可以看出函数在[-1, 0]和[2, +\infty)内都单调递增，所以这两个区间都是函数的值域。

而在[0, 2]内，函数是先单调递减再单调递增的，所以这个区间也是函数的值域。

因此，这个函数的值域是[0, 4]。

第三种方法：分段法。

这种方法适用于那些在某个区间内单调递增或单调递减的函数。

比如，我们还是以f(x) = x^2为例。

我们可以发现，当x在[-1, 0]和[2, +\infty)内时，函数都是单调递增的；而当x在[0, 2]内时，函数是先单调递减再单调递增的。

所以，我们可以将这个问题分成两个子问题：求f(x)在区间[-1, 0]和[2, +\infty)内的值域；以及求f(x)在区间[0, 2]内的值域。

通过分段法，我们可以分别求出这两个子问题的解，然后将它们合并起来得到原问题的解。

因此，这个函数的值域是[0, 4]。

求值域的例题及解析要理解什么是值域，首先需要了解函数的定义和图像。

在函数中，定义域是指可以输入的所有实数值的集合，而值域则是函数实际输出的所有值的集合。

值域可以通过观察函数的图像来确定。

例如，考虑一个简单的函数 f(x) = x^2，我们可以画出它的图像，这是一个抛物线，开口朝上。

通过观察图像，我们可以看到这个函数的值域是所有大于或等于0的实数，因为平方的结果永远是非负数。

另一个例子是函数 g(x) = sin(x)。

正弦函数的图像是一条连续的波浪线，它在-1和1之间循环。

因此，这个函数的值域是-1到1之间的所有实数。

下面是一些关于值域的例题及其解析：例题1：求函数 f(x) = 2x + 1的值域。

解析：首先，我们可以看到这是一个线性函数，所以它的图像将是一条直线。

我们可以找到这条直线的最低点和最高点，进而确定值域。

最低点出现在当 x = -∞ 时，此时 f(x) = -∞。

最高点出现在当x = +∞ 时，此时f(x) = +∞。

因此，该线性函数的值域为整个实数集。

例题2：求函数 g(x) = x^3 - 4x的值域。

解析：这是一个立方函数，我们可以通过观察它的图像来确定值域。

但是，为了简化问题，我们可以找到函数的最低点和最高点。

最低点出现在当 x = -∞ 时，此时 g(x) = -∞。

最高点出现在当x = +∞ 时，此时g(x) = +∞。

因此，该立方函数的值域为整个实数集。

参考内容：1. Stewart, James. "Calculus: Early Transcendentals." Cengage Learning, 2015. (《微积分：早期超越》詹姆斯·斯图尔特著)2. Larson, Ron, and Edwards, Bruce H. "Calculus." Cengage Learning, 2013. (《微积分》盧恩著、布魯斯·愛德華茲著)3. Courant, Richard, and John, Fritz. "Introduction to Calculus and Analysis, Vol. 1." Springer, 1989. (《微积分与分析导引第1卷》理查德·库朗特著、约翰·弗里茨著)4. Swokowski, Earl William. "Calculus with Analytic Geometry." Prindle, Weber & Schmidt, 2000. (《解析几何与微积分》厄尔·威廉·斯沃科夫斯基著)这些参考内容包含了关于函数、图像和值域的详细解释和例题，并提供了更深入的数学理论和实例。

关于函数值域问题的解法探究与思考
赵丽云
【期刊名称】《数学教学通讯》
【年(卷),期】2024()6
【摘要】函数值域问题的解法众多,常用的有单调性法、配方法、常数分离法、判别式法、导数法等五种方法.文章深入解读方法,并结合实例探究构建思路,提出几点教学建议.
【总页数】3页(P86-88)
【作者】赵丽云
【作者单位】江苏省清江中学
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.对一道函数求值域问题的解法探究
2.无理函数y=√ax＋b＋√cx＋d的值域问题解法探究
3.二元函数最值(值域)问题的解法探究
4.改“反函数法”为“反解法”——也谈反函数法求值域问题
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方法集锦函数值域问题是高中数学各类试题中的考查热点，主要考查了函数的解析式、定义域、图象、性质、解不等式等.解答此类问题的方法有很多，如换元法、判别式法、单调性法、导数法等.本文由一道题出发，深入地探究了求函数值域的思路.例题：求函数y =x2+1-x 值域.本题主要考查求函数值域的方法.由于函数式中含有根式，所以题目的难度增加了，我们需要对根式作特殊处理，才能顺利求得函数的值域.这里有三种思路.思路一：局部换元法局部换元法是解答函数值域问题的常规技巧之一，主要适用于解答题目中出现根式或者复杂的代数式的问题.我们可将根式或者复杂的代数式用新元替换，将问题转化为关于新元的常规最值问题来求解.这样不仅可以简化解题的过程，还能转换解题的思路.解：令t =1-x (t ≥0)，则y =-12(t -1)2+1，函数的对称轴为t =1，开口方向向下，由函数的图象可知，函数在（0,1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减.∴f (t )max =f (1)=1.∴y =x2+1-x 值域为(]-∞，1.思路二：三角换元法本题还可以采用三角换元法来求解.三角换元是指将函数式中的某些项用三角函数替换的方法.运用三角换元法解题的基本思路是通过三角换元，将函数值域问题转化为三角函数最值问题，运用三角函数的图象和性质来解题.解：由题知函数的定义域为x ≤1，当0≤x ≤1，由y =x 2+1-x 可得æèöøy -x 22+x =1，令y -x 2=cos α,x =sin αæèöø0≤α≤π2，则y =sin 2α2+cos α=-12(cos α-1)2+1，因为|cos α|≤1，所以y ∈éëùû12,1.当x <0时，æèöøy -x 22-()-x 2=1，令y -x 2=sec α,-x =tan αæèöø0≤α≤π2，则y =-12()sec 2α-1+sec α=-12()sec α-12+1，当sec α→1,即x →0时，y →1，所以y max <1.综上所得y =x2+1-x 值域为(]-∞,1.我们由æèöøy -x 22+x =1可以联想到sin 2α+cos 2α=1，由æèöøy -x 22-()-x 2=1联想到sec 2α-tan 2α=1，于是想到运用三角换元法来解题.通过三角换元将问题转化为三角函数值域问题，通过三角恒等变换将函数式化简，然后利用三角函数的有界性求得函数的值域.在运用三角换元法解题的过程中，要注意换元前后定义域的等价转化.思路三：导数法对于较复杂的函数值域问题，我们也可以利用导数法来解题，首先对函数式求导，然后通过分析导函数来确定函数在定义域内的单调性，进而求得函数的值域.解：对函数式求导得y ′=12+-121-x，令y ′=0，解得x =0，则函数y 在(]-∞，0上单调递增，在(]0,1上单调递增，则f (x )max =f (1)=1，所以y =x2+1-x 值域为(]-∞，1.运用导数法求函数值域的思路较为简单，但解题过程中的运算量较大.高中数学中的函数值域问题有多种不同的解法，同学们在解题的过程中要展开联想，培养发散性思维，学会从多个不同的角度思考解题的思路，进而优化解题的方案，提升解题的效率.（作者单位：江苏省仪征中学）47Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。

高中数学值域例题讲解
当涉及到高中数学的值域问题时，一般是指函数的取值范围。

下面我将为您讲解一个高中数学的值域例题。

例题：给定函数 f(x) = x^2 + 3x - 4，求函数 f(x) 的值域。

解答：要求函数 f(x) 的值域，我们需要找到所有可能的函数输出值。

首先，我们观察函数 f(x) = x^2 + 3x - 4 的形式。

它是一个
二次函数，其中最高次项的系数为正数，表明抛物线开口向上，即它的图像是一个向上凸起的曲线。

接下来，我们考虑函数 f(x) 的最低点（也称为顶点），可以通
过求导或者配方进行计算。

对于这个函数，我们可以使用配方法来求解。

首先，将函数 f(x) 转化成标准形式：f(x) = (x + 3/2)^2 - 25/4。

由于 a > 0，所以这是一个开口向上的抛物线。

顶点坐标为 (-3/2, -25/4)。

现在，我们知道这个函数的最低点位于抛物线上方的所有点都会小于或等于该点的 y 值。

因此，-25/4 就是函数 f(x) 的最小值。

此外，由于函数是连续的，它可以在整个实数范围内取到值。

所以值域是从最小值 -25/4 开始一直到正无穷大。

综上所述，函数 f(x) 的值域为 [-25/4, +∞)。

希望这个例题的讲解能够帮助您理解高中数学中的值域问题。

如果您还有其他问题，欢迎随时提问！。

学考方略函数值域问题在高中数学中比较常见，此类问题虽然难度不大，但综合性较强，常常涉及函数的图象、解析式、性质、不等式的性质以及方程的判别式等.很多同学在解答函数最值问题时常常无法得到正确的答案.对此，笔者归纳了解答函数值域问题的几种办法，帮助同学们破解函数值域难题.一、换元换元法是指通过设元，以新的变量替换原式中的某个变量或者某个式子，将所求的问题转化为易于求解的函数问题，从而得出原函数的值域.换元法常用于求解含有根式、绝对值、复合函数、分式等的函数值域问题.例1.求函数y =2x -1-13-4x 的值域.解：设13-4x =t ≥0,可得x =13-t 24，将其代入函数式中，可得y =f (x )=g (t )=2×13-t 24-1-t =-12(t +1)2+6(t ≥0),当t >-1时，函数单调递减，所以当t =0时，y max =112，所以函数的值域为(-∞，112].对于形如y =ax +b ±cx +d (a ，b ，c ，d 均为常数，且ac ≠0)的函数，我们常借助换元法来求值域.在运用换元法解题时，要注意确定辅助元的取值范围.对于某些较为复杂的函数式，同学们若能根据函数式的特点巧妙换元，则可以使问题变得简单、易于求解.二、借助方程的判别式判别式法是解答函数值域问题的有效方法之一.若所求目标二次函数的定义域为非空数集，则可以把所求目标函数转化为关于x 的二次方程，根据方程有实数解，建立关于方程判别式的关系式：△≥0，从而求出目标函数的值域.例2.求函数f (x )=x 2-2x -32x 2+2x +1的值域.解：因为函数f (x )的定义域为R ，所以关于x 的方程y =x 2-2x -32x 2+2x +1，即(2y -1)x 2+(2y +1)x +y +3=0在R 上有解.当二次项系数2y -1=0，即y =12时，x =-76；当二次项系数2y -1≠0，即y ≠12时，△=(2y +1)2-4(2y -1)(y +3)≥0，解得-4≤y ≤1.综上所述，原函数的值域为[-4，1].一般地，对于二次分式函数值域问题，可采用判别式法来求函数的值域.在运用判别式法解题时，应特别注意判别式△>0、△<0、△=0的条件.同时，在对函数式进行变形后，不能忽略对方程的二次项系数进行讨论.三、采用联想法联想法是指抓住问题之间的相似性或关联性，由此及彼，展开联想，进而探寻出解题思路的方法.很多函数式、图象之间具有相似性，因此，在求函数值域问题时，我们只要仔细观察函数式的结构、特点、函数图象的特征，联想所学的函数概念、性质、公式、定理等，就不难找到解题的突破口.例3.求函数y =1-x 21+x 2的值域.解法1：令x 2=tan α，α∈(0，π2)，则y =1-tan α1+tan α=tan(π4-α).因为-π4<π4-α≤π4，所以-1<tan(π4-α)≤1，故函数y 的值域是（-1，1].解法2：令x =tan α，α∈(-π2，π2)，则y =1-tan 2α1+tan 2α=cos a 2α.因为α∈(-π2，π2)，所以2α∈（-π，π），所以-1＜cos a 2α≤1，故函数y 的值域是（-1，1].解法3：由y =1+x 2⋅(-1)1+x2可得λ=x 2≥0.当λ=0时，y =1；当λ＞0时，把y 看成是数轴上两点-1，1的内分点，则函数y 的值域是（-1，1].解法1是根据函数的结构、特点联想到正切函数的差角公式，然后利用正切函数的差角公式和正切函数的有界性进行求解；解法2是根据函数式联想到三角函数万能公式，借助万能公式和余弦函数的有界性进行求解；对于解法3，我们由函数的解析式联想到定比分点公式，运用定比分点公式求得问题的答案.从多个角度展开联想，得到了多种不同的解法.总之，求解函数值域问题的方法比较多，同学们在平时的解题中，要注意从从多个角度进行思考和剖析，以便找到更多、更好的解题方法，从而拓宽解题的思路，提升解题的效率.（作者单位：江苏省响水中学）51Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。