高中数学《第一章集合与函数概念1.2函数及其表示习题1.2》200教案教学设计讲

1＆1.2函数及其表示习题1.2A组（教学设计）1.教材分析人教A版必修一函数及其表示习题课，在前面的课程中已经学习的了函数的概念及其表示方法，本节课通过对1.2所学内容的典型习题巩固使学生对函数所涉及的相关概念及解题技巧有一定的掌握．2.教学目标一．知识与技能目标（1）通过习题的解答巩固函数概念及与函数相关的概念．（2）注重解题的思维过程和特点．二．过程与方法目标（1）通过习题的分析解答，增强学生的审题解题能力．（2）通过习题的解答巩固学生对函数相关概念的掌握，并增强他们分析问题、解决问题的能力．三．情感、态度及价值观通过本节课的学习，摸索理清函数相关概念的脉络和解题步骤，提高学生整理归纳总结知识脉络和解题技巧的能力．3.教学重点/难点教学重点：函数相关概念的复习．教学难点：如何应用函数相关概念解题．4.学情分析在前面的课程中已经学习的了函数的概念及其表示方法，本节课通过对1.2所学内容的典型习题巩固使学生对函数所涉及的相关概念及解题技巧有一定的掌握．5.教学过程一、知识回顾（一）、函数概念：一般地，设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)x∈A}叫做函数的值域．二、习题讲解（习题1.2A组）1.求下列函数定义域（请学生上台板演，老师点评总结）（1）43)(xxxf；（2）2xxf；（3）2362xxxf；（4）.14xxxf2解：（1）4,04xx得由，所以.443)(xxxxxf的定义域是（2）因为对于Rx的任何一个值，2xxf都有意义，所以.2Rxxxxf的定义域是（3）因为由.2123621,02322xxxxxxfxxxx且的定义域是，所以且得（4）因为由.1414,14,01,04xxxxxxfxxxx且的定义域是所以，且得小结：定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域．求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 2.下列哪一组中的函数f(x)与g(x)相等（请学生回答并说明理由）.,3;,2;1,11362422xxgxxfxxgxxfxxxgxxf解：（1）()1fxx的定义域为R，而2()1xgxx的定义域为{0}xx，即两函数的定义域不同，得函数()fx与()gx不相等；（2）2()fxx的定义域为R，而4()()gxx的定义域为{0}xx，即两函数的定义域不同，得函数()fx与()gx不相等；（3）对于任何实数，都有362xx，即这两函数的定义域相同，且对应法则相同，得函数()fx与()gx相等．小结：相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致(两点必须同时具备)(见课本18页相关例2)3．画出下列函数的图象，并说出函数的定义域和值域．（1）3yx；（2）8yx；3）45yx；（4）267yxx．3解：（1）（2）定义域是(,)，定义域是(,0)(0,)值域是(,)；值域是(,0)(0,)（3）（4）定义域是(,)，定义域是(,)，值域是(,)，值域是[2,)．小结：数形结合在解题中的应用4.已知函数.3,3,,2,2532的值求fafafaffxxxf解答：直接代入计算4.16532353325334;141332353333;253253)2(;258225232)1( 22222222aaaafafaaaaafaaaaaff小结：代入求值5．已知函数2()6xfxx，（1）点(3,14)在()fx的图象上吗？（2）当4x时，求()fx的值；（3）当()2fx时，求x的值．解：（1）当3x时，325(3)14363f，即点(3,14)不在()fx的图象上；（2）当4x时，42(4)346f，即当4x时，求()fx的值为3；（3）2()26xfxx，得22(6)xx，即14x．6．若2()fxxbxc，且(1)0,(3)0ff，求(1)f的值．解：由(1)0,(3)0ff，得1,3是方程20xbxc的两个实数根，即13,13bc，得4,3bc，即2()43fxxx，得2(1)(1)4(1)38f，即(1)f的值为8．三、归纳小结1.求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；5(3)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.2.相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致(两点必须同时具备) 3.代入求值4.画图，数形结合的应用。

学习资料1。

2 函数及其表示1.2。

1函数的概念学习目标核心素养1.进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．能用集合与对应的语言刻画出函数，体会对应关系在刻画数学概念中的作用．（重点、难点) 2。

了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．(重点)3.能够正确使用区间表示数集．(易混点)1．通过学习函数的概念,提升数学抽象素养．2．借助函数定义域的求解，提升数学运算素养．3．借助f（x)与f（a）的关系，培养逻辑推理素养。

1．函数的概念定义设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数三要素对应关系y＝f(x），x∈A定义域自变量x的取值范围值域与x的值相对应的y的值的集合｛f(x)｜x∈A｝（2）f（x）与f（a)有何区别与联系？提示：（1)这种看法不对．符号y＝f（x）是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y ＝f(x）仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”．在研究函数时,除用符号f(x)外，还常用g(x)，F（x),G(x)等来表示函数．(2)f（x)与f(a）的区别与联系:f(a）表示当x＝a时，函数f（x)的值，是一个常量，而f（x)是自变量x的函数，一般情况下,它是一个变量，f（a）是f（x）的一个特殊值，如一次函数f （x）＝3x＋4,当x＝8时，f(8）＝3×8＋4＝28是一个常数．2．区间及有关概念（1)一般区间的表示设a，b∈R，且a<b，规定如下：定义名称符号数轴表示{x｜a≤x≤b｝闭区间[a，b]｛x｜a〈x<b｝开区间(a，b）｛x|a≤x<b｝半开半闭区间[a，b）{x｜a〈x≤b}半开半闭区间(a，b](2)特殊区间的表示定义R｛x｜x≥a｝{x｜x＞a}{x｜x≤a｝｛x|x＜a｝符号(－∞，＋∞) ［a，＋∞）(a，＋∞)(－∞，a］（－∞，a)思考2：(1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗?（2)“∞”是数吗?如何正确使用“∞”？提示：(1）不是任何数集都能用区间表示，如集合｛0｝就不能用区间表示．(2）“∞"读作“无穷大”，是一个符号,不是数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号．1．函数y＝错误!的定义域是（）A．［－1，＋∞)B．[－1,0）C．（－1,＋∞) D．（－1，0）C［由x＋1>0得x〉－1.所以函数的定义域为(－1，＋∞）．］2．若f（x）＝11－x2,则f(3)＝________。

1.2.2 函数的表示法整体设计教学分析课本从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法：解析法，图象法，列表法．函数的不同表示方法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念．特别是在信息技术环境下，可以使函数在形与数两方面的结合得到更充分的表现，使学生通过函数的学习更好地体会数形结合这种重要的数学思想方法．因此，在研究函数时，要充分发挥图象的直观作用．在研究图象时，又要注意代数刻画以求思考和表述的精确性．课本将映射作为函数的一种推广，这与传统的处理方式有了逻辑顺序上的变化．这样处理，主要是想较好地衔接初中的学习，让学生将更多的精力集中理解函数的概念，同时，也体现了从特殊到一般的思维过程．三维目标1．了解函数的一些基本表示法(列表法、图象法、解析法)，会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数，树立应用数形结合的思想．2．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用，提高应用函数解决实际问题的能力，增加学习数学的兴趣．3．会用描点法画一些简单函数的图象，培养学生应用函数的图象解决问题的能力．4．了解映射的概念及表示方法，会利用映射的概念来判断“对应关系”是否是映射，感受对应关系在刻画函数和映射概念中的作用，提高对数学高度抽象性和广泛应用性的进一步认识．重点难点教学重点：函数的三种表示方法，分段函数和映射的概念．教学难点：分段函数的表示及其图象，映射概念的理解．课时安排3课时教学过程第1课时导入新课思路1．语言是沟通人与人之间的联系的，同样的祝福又有着不同的表示方法．例如，简体中文中的“生日快乐！”用繁体中文为：生日快樂！英文为：Happy Birthday！法文是Bon Anniversaire！德文是Alles Gute Zum Geburtstag！印度尼西亚文是Selamat Ulang Tahun！……那么对于函数，又有什么不同的表示方法呢？引出课题：函数的表示法．思路2．我们前面已经学习了函数的定义，函数的定义域的求法，函数值的求法，两个函数是否相同的判定方法，那么函数的表示方法常用的有哪些呢？这节课我们就来研究这个问题(板书课题)．推进新课新知探究提出问题初中学过的三种表示法：解析法、图象法和列表法各是怎样表示函数的？讨论结果：(1)解析法：用数学表达式表示两个变量之间的函数关系，这种表示方法叫做解析法，这个数学表达式叫做函数的解析式．(2)图象法：以自变量x的取值为横坐标，对应的函数值y为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各个点，这些点构成了函数的图象，这种用图象表示两个变量之间函数关系的方法叫做图象法．(3)列表法：列一个两行多列的表格，第一行是自变量的取值，第二行是对应的函数值，这种用表格来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做列表法．应用示例例1 某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元．试用函数的三种表示法表示函数y＝f(x)．活动：学生思考函数的表示法的规定．注意本例的设问，此处“y＝f(x)”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是对应值表．本题的定义域是有限集，且仅有5个元素．解：这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}，用解析法可将函数y＝f(x)表示为y＝5x，x∈{1,2,3,4,5}．用列表法可将函数y＝f(x)表示为图1点评：本题主要考查函数的三种表示法．解析法的特点是：简明、全面地概括了变量间的关系，可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质，还有利于我们求函数的值域；图象法的特点是：直观、形象地表示自变量变化时相应的函数值变化的趋势，有利于我们通过图象来研究函数的某些性质，图象法在生产和生活中有许多应用，如企业生产图、股市走势图等；列表法的特点是：不需要计算就可以直接看出与自变量的值对应的函数值，列表法在实际生产和生活中也有广泛的应用，如银行利率表、列车时刻表等等．并不是所有的函数都能用解析法表示，只有函数值随自变量的变化发生有规律的变化时，这样的函数才可能有解析式，否则写不出解析式，也就不能用解析法表示．例如：张丹的年龄n(n∈N*)每取一个值，那么他的身高y(单位：cm)总有唯一确定的值与之对应，因此身高y是年龄n的函数y＝f(n)，但是这个函数的解析式不存在，函数y＝f(n)不能用解析法来表示．注意：①函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等；②解析法：必须注明函数的定义域，否则使函数解析式有意义的自变量的取值范围是函数的定义域；③图象法：根据实际情境来决定是否连线；④列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征.图2＋c＜0b＝ax2＋bx＋c的性质，易知表：活动：学生思考做学情分析，具体要分析什么？怎么分析？借助什么工具？本题利用表格给出了四个函数，它们分别表示王伟、张城、赵磊的考试成绩及各次考试的班级平均分．由于表格区分三位同学的成绩高低不直观，故采用图象法来表示．做学情分析，具体要分析学习成绩是否稳定，成绩变化趋势．解：把“成绩”y看成“测试序号”x的函数，用图象法表示函数y＝f(x)，如图3所示．图3由图3可看到：王伟同学的数学成绩始终高于班级平均分，学习情况比较稳定而且成绩优秀；张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均分水平上下波动，而且波动幅度较大；赵磊同学的数学学习成绩呈上升趋势，表明他的数学成绩稳步提高．点评：本题主要考查根据实际情境需要选择恰当的函数表示法的能力，以及应用函数解决实际问题的能力．通过本题可见，图象法比列表法和解析法更能直观反映函数值的变化趋势．注意：本例为了研究学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，这样便于研究成绩的变化特点.图4的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h 所示，那么水瓶的形状是( )图5图6要求由水瓶的形状识别容积V 和高度h 的函数关系，突出了对思维能力的考查．观察图象，根据图象的特点发现：取水深h ＝H 2，注水量V ′＞V 02，知能训练课本本节练习2,3. 【补充练习】1．等腰三角形的周长是20，底边长y 是一腰长x 的函数，则( )A．y＝10－x(0＜x≤10)B．y＝10－x(0＜x＜10)C．y＝20－2x(5≤x≤10)D．y＝20－2x(5＜x＜10)解析：根据等腰三角形的周长列出函数解析式．∵2x＋y＝20，∴y＝20－2x.则20－2x＞0.∴x＜10.由构成三角形的条件(两边之和大于第三边)可知2x＞20－2x，得x＞5，∴函数的定义域为{x|5＜x＜10}．∴y＝20－2x(5＜x＜10)．答案：D2．定义在R上的函数y＝f(x)的值域为[a，b]，则y＝f(x＋1)的值域为( )A．[a，b] B．[a＋1，b＋1]C．[a－1，b－1] D．无法确定解析：将函数y＝f(x)的图象向左平移一个单位得函数y＝f(x＋1)的图象，由于定义域均是R，则这两个函数图象上点的纵坐标的取值范围相同，所以y＝f(x＋1)的值域也是[a，b]．答案：A3．函数f(x)＝11＋x2(x∈R)的值域是( )A．(0,1) B．(0,1] C．[0,1) D．[0,1]解析：(观察法)定义域是R，由于x2≥0，则1＋x2≥1，从而0＜11＋x2≤1.答案：B拓展提升问题：变换法画函数的图象都有哪些？解答：变换法画函数的图象有三类：1．平移变换：(1)将函数y＝f(x)的图象向左平移a(a＞0)个单位得函数y＝f(x＋a)的图象；(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移a(a＞0)个单位得函数y＝f(x－a)的图象；(3)将函数y＝f(x)的图象向上平移b(b＞0)个单位得函数y＝f(x)＋b的图象；(4)将函数y＝f(x)的图象向下平移b(b＞0)个单位得函数y＝f(x)－b的图象．简记为“左加(＋)右减(－)，上加(＋)下减(－)”．2．对称变换：(1)函数y＝f(x)与函数y＝f(－x)的图象关于直线x＝0即y轴对称；(2)函数y ＝f (x )与函数y ＝－f (x )的图象关于直线y ＝0即x 轴对称；(3)函数y ＝f (x )与函数y ＝－f (－x )的图象关于原点对称． 3．翻折变换：(1)函数y ＝|f (x )|的图象可以将函数y ＝f (x )的图象位于x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留y ＝f (x )的x 轴上方部分即可得到．(2)函数y ＝f (|x |)的图象可以将函数y ＝f (x )的图象位于y 轴右边部分翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留y ＝f (x )在y 轴右边部分图象即可得到．函数的图象是对函数关系的一种直观、形象的表示，可以直观地显示出函数的变化状况及其特性，它是研究函数性质时的重要参考，也是运用数形结合思想研究和运用函数性质的基础．另一方面，函数的一些特性又能指导作图，函数与图象是同一事物的两个方面，是函数的不同表现形式．函数的图象可以比喻成人的相片，观察函数的图象可以解决研究其性质，当然，也可以由函数的性质确定函数图象的特点．借助函数的图象来解决函数问题，函数的图象问题是高考的热点之一，应引起重视．课堂小结本节课学习了：函数的三种表示方法，在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数．作业课本习题1.2A 组 7,8,9.设计感想本节教学设计容量较大，尽量借助于信息技术来完成．本节的设计重点是函数的三种表示方法，提出了表示法的应用，特别是用图象法求函数的值域，并对求函数值域的方法进行了总结以满足高考的要求．第2课时 作者：刘菲导入新课思路1．当x ＞1时，f (x )＝x ＋1；当x ≤1时，f (x )＝－x ，请写出函数f (x )的解析式．这个函数的解析式有什么特点？教师指出本节课题．思路2．化简函数y ＝|x |的解析式，说说此函数解析式的特点，教师指出本节课题． 推进新课新知探究 提出问题①函数h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，－x ＋1，x <－1，x ≥－1与f (x )＝x －1，g (x )＝x 2在解析式上有什么区别？②请举出几个分段函数的例子．活动：学生讨论交流函数解析式的区别．所谓“分段函数”，习惯上指在定义域的不同部分，有不同对应法则的函数．讨论结果：①函数h (x )是分段函数，在定义域的不同部分，其解析式不同．说明：分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集；生活中有很多可以用分段函数描述的实际问题，如出租车的计费、个人所得税纳税额等等．②例如：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0，1，x >0，x <0等．应用示例例1 画出函数y ＝|x |的图象．活动：学生思考函数图象的画法：①化简函数的解析式为基本初等函数；②利用变换法画出图象，根据绝对值的概念来化简解析式．解法一：由绝对值的概念，我们有y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，－x ，x ≥0，x <0.所以，函数y ＝|x |的图象如图7所示．图7解法二：画函数y ＝x 的图象，将其位于x 轴下方的部分对称到x 轴上方，与函数y ＝x 的图象位于x 轴上方的部分合起来得函数y ＝|x |的图象如图7所示．点评：函数y ＝f (x )的图象位于x 轴上方的部分和y ＝|f (x )|的图象相同，函数y ＝f (x )的图象位于x 轴下方的部分对称到x 轴上方就是函数y ＝|f (x )|图象的一部分．利用函数y ＝f (x )的图象和函数y ＝|f (x )|的图象的这种关系，由函数y ＝f (x )的图象画出函数y ＝|f (x )|的图象.图821),0,x ≤>的图象．①画整个二次函数y ＝(x ＋1)2的图象，再取其在区间图9(1)乘坐汽车5千米以内(含5千米)，票价2元；(2)5千米以上，每增加5千米，票价增加1元(不足5千米按5千米计算)，如果某条线路的总里程为20千米，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．活动：学生讨论交流题目的条件，弄清题意．本例是一个实际问题，有具体的实际意义，由于里程在不同的范围内，票价有不同的计算方法，故此函数是分段函数．图10解：设里程为x千米时，票价为y元，根据题意得x∈(0,20]．由“招手即停”公共汽车票价制定的规定，可得到以下函数解析式：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2，3，4，5， 0<x ≤5，5<x ≤10，10<x ≤15，15<x ≤20.根据这个函数解析式，可画出函数图象，如图10所示．点评：本题主要考查分段函数的实际应用，以及应用函数解决问题的能力．生活中有很多可以用分段函数描述的实际问题，如出租车的计费、个人所得税纳税额等等．在列出其解析式时，要充分考虑实际问题的规定，根据规定来求得解析式．注意：①本例具有实际背景，所以解题时应考虑其实际意义；②分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写成函数值不同的几种表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况.1．函数f (x )＝|x －1|的图象是( )图11解析：方法一：函数的解析式化为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －1，1－x ， x ≥1，x <1.画出此分段函数的图象，故选B.方法二：将函数f (x )＝x －1位于x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，与f (x )＝x －1位于x 轴上方部分合起来，即可得到函数f (x )＝|x －1|的图象，故选B.方法三：由f (－1)＝2，知图象过点(－1,2)，排除A ，C ，D ，故选B.答案：B2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2， x >0，1， x ＝0，－1x ，x <0.(1)画出函数的图象； (2)求f (1)，f (－1)，f [f (－1)]的值．解：分别作出f (x )在x ＞0，x ＝0，x ＜0上的图象，合在一起得函数的图象．(1)如图12所示，画法略．图12(2)f (1)＝12＝1，f (－1)＝－1－1＝1，f [f (－1)]＝f (1)＝1. 3．某人驱车以52千米/时的速度从A 地驶往260千米远处的B 地，到达B 地并停留1.5小时后，再以65千米/时的速度返回A 地．试将此人驱车走过的路程s (千米)表示为时间t 的函数．分析：本题中的函数是分段函数，要由时间t 属于哪个时间段，得到相应的解析式．解：从A 地到B 地，路上的时间为26052＝5(小时)；从B 地回到A 地，路上的时间为26065＝4(小时)．所以走过的路程s (千米)与时间t 的函数关系式为s ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 52t ，260，260＋65(t －6.5)， 0≤t <5，5≤t ≤6.5，6.5<t ≤10.5.拓展提升问题：已知函数f (x )满足f (1)＝1，f (n ＋1)＝f (n )＋2，n ∈N *.(1)求：f (2)，f (3)，f (4)，f (5)；(2)猜想f (n )，n ∈N *.探究：(1)由题意得f (1)＝1，则有 f (2)＝f (1)＋2＝1＋2＝3，f (3)＝f (2)＋2＝3＋2＝5，f(4)＝f(3)＋2＝5＋2＝7，f(5)＝f(4)＋2＝7＋2＝9.(2)由(1)得f(1)＝1＝2×1－1，f(2)＝3＝2×2－1，f(3)＝5＝2×3－1，f(4)＝7＝2×4－1，f(5)＝9＝2×5－1.因此猜想f(n)＝2n－1，n∈N*.课堂小结本节课学习了：画分段函数的图象；求分段函数的解析式以及分段函数的实际应用．作业课本习题1.2B组3,4.设计感想本节教学设计容量较大，特别是例题涉及图象，建议使用信息技术来完成．本节重点为分段函数，这是课标明确要求也是高考的重点，通过分段函数问题能够区分学生的思维层次，因此教学中应予以重视．第3课时作者：林大华导入新课思路1．复习初中常见的对应关系1．对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对应．2．对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对(x，y)和它对应．3．对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应．4．某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应．5．函数的概念．我们已经知道，函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种对应就叫映射(板书课题)．思路2．前面学习了函数的概念是：一般地，设A，B是两个非空数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应．(1)对于任意一个实数，在数轴上都有唯一的点与之对应．(2)班级里的每一位同学在教室里都有唯一的座位与之对应．(3)对于任意的三角形，都有唯一确定的面积与之对应．那么这些对应又有什么特点呢？这种对应称为映射，引出课题．推进新课新知探究提出问题①给出以下对应关系：图13这三个对应关系有什么共同特点？②像问题①中的对应我们称为映射，请给出映射的定义？③“都有唯一”是什么意思？④函数与映射有什么关系？讨论结果：①集合A，B均为非空集合，并且集合A中的元素在集合B中都有唯一的元素与之对应．②一般地，设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A 中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B 为从集合A到集合B的一个映射，记作“f：A→B”．如果集合A中的元素x对应集合B中的元素y，那么集合A中的元素x叫集合B中元素y的原象，集合B中元素y叫集合A中的元素x的象．③包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思，即是一对一或多对一．④函数是特殊的映射，映射是函数的推广．应用示例例题下列哪些对应是从集合A到集合B的映射？(1)集合A＝{P|P是数轴上的点}，集合B＝R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；(2)集合A＝{P|P是平面直角坐标系中的点}，集合B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；(3)集合A＝{x|x是三角形}，集合B＝{x|x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；(4)集合A＝{x|x是新华中学的班级}，集合B＝{x|x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生．活动：学生思考映射的定义．判断一个对应是否是映射，要紧扣映射的定义．(1)中数轴上的点对应着唯一的实数；(2)中平面直角坐标系中的点对应着唯一的有序实数对；(3)中每一个三角形都有唯一的内切圆；(4)中新华中学的每个班级对应其班内的多个学生．解：(1)是映射；(2)是映射；(3)是映射；(4)不是映射．新华中学的每个班级对应其班内的多个学生，是一对多，不符合映射的定义.图14答案：(1)不是；(2)是；(3)是．在图15中的映射中，A中元素60°对应的元素是什么？在A中的什么元素与中元素22对应？图1560°对应的元素是32，在A 中的元素1．下列对应是从集合S 到T 的映射的是( )A ．S ＝N ，T ＝{－1,1}，对应法则是(－1)n，n ∈SB ．S ＝{0,1,4,9}，T ＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，对应法则是开平方C ．S ＝{0,1,2,5}，T ＝{1，12，15}，对应法则是取倒数 D ．S ＝{x |x ∈R }，T ＝{y |y ∈R }，对应法则是x →y ＝1＋x 1－x解析：判断映射的方法简单地说应考虑A 中的元素是否都可以受对应法则f 的作用，作用的结果是否一定在B 中，作用的结果是否唯一这三个方面．很明显A 符合定义；B 是一对多的对应；C 中集合S 中的元素0没有象；D 中集合S 中的元素1也无象．答案：A2．已知集合M ＝{x |0≤x ≤6}，P ＝{y |0≤y ≤3}，则下列对应关系中不能看作从M 到P 的映射的是( )A ．f ：x →y ＝12x B ．f ：x →y ＝13x C ．f ：x →y ＝xD ．f ：x →y ＝16x 解析：选项C 中，集合M 中部分元素没有象，其他均是映射．答案：C3．已知集合A ＝N *，B ＝{a |a ＝2n －1，n ∈Z }，映射f ：A →B ，使A 中任一元素a 与B 中元素2a －1对应，则与B 中元素17对应的A 中元素是( )A．3 B．5 C．17 D．9解析：利用对应法则转化为解方程．由题意得2a－1＝17，解得a＝9.答案：D4．若映射f：A→B的象的集合是Y，原象的集合是X，则X与A的关系是________；Y 与B的关系是________．解析：根据映射的定义，可知集合A中的元素必有象且唯一；集合B中的元素在集合A 中不一定有原象．故象的集合是B的子集．所以X＝A，Y⊆B.答案：X＝A Y⊆B5．已知集合M＝{a，b，c，d}，P＝{x，y，z}，则从M到P能建立不同映射的个数是________．解析：集合M中有4个元素，集合P中有3个元素，则从M到P能建立34＝81个不同的映射．答案：816．下列对应哪个是集合M到集合N的映射？哪个不是映射？为什么？(1)设M＝{矩形}，N＝{实数}，对应法则f为矩形到它的面积的对应．(2)设M＝{实数}，N＝{正实数}，对应法则f为x→1|x|.(3)设M＝{x|0≤x≤100}，N＝{x|0≤x≤100}，对应法则f为开方再乘10.解：(1)是M到N的映射，因为它是多对一的对应．(2)不是映射，因为当x＝0时，集合N中没有元素与之对应．(3)是映射，因为它是一对一的对应．7．设集合A和B都是自然数集，映射f：A→B把A中的元素n映射到B中的元素2n＋n，则在映射f下，A中的元素________对应B中的元素3.( )A．1 B．3 C．9 D．11解析：对应法则为f：n→2n＋n，根据选项验证2n＋n＝3，可得n＝1.答案：A8．已知集合A＝{1,2,3，k}，B＝{4,7，a4，a2＋3a}，且a∈N，k∈N，x∈A，y∈B，映射f：A→B，使B中元素y＝3x＋1和A中元素x对应，求a及k的值．分析：先从集合A和对应法则f入手，同时考虑集合中元素的互异性，可以分析出此映射必为一一映射，再由3→10，求得a值，进而求得k值．解：∵B中元素y＝3x＋1和A中元素x对应，∴A中元素1的象是4；2的象是7；3的象是10，即a4＝10或a2＋3a＝10.∵a∈N，∴由a2＋3a＝10，得a＝2.∵k 的象是a 4，∴3k ＋1＝16，得k ＝5.∴a ＝2，k ＝5.9．已知集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＜3，x ∈N ，y ∈N }，B ＝{0,1,2}，f ：(x ，y )→x ＋y ，则这个对应是否为映射？是否为函数？请说明理由．解：是映射，不是函数．由题意得A ＝{(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(2,0)}，显然对于A 中的每一个有序实数对，它们的和是0或1或2，则在B 中都有唯一一个数与它对应，所以是映射，因为集合A 不是数集而是点集，所以不是函数．拓展提升问题：集合M 中有m 个元素，集合N 中有n 个元素，则从M 到N 能建立多少个不同的映射？探究：当m ＝1，n ＝1时，从M 到N 能建立1＝11个不同的映射；当m ＝2，n ＝1时，从M 到N 能建立1＝12个不同的映射；当m ＝3，n ＝1时，从M 到N 能建立1＝13个不同的映射；当m ＝2，n ＝2时，从M 到N 能建立4＝22个不同的映射；当m ＝2，n ＝3时，从M 到N 能建立9＝32个不同的映射．集合M 中有m 个元素，集合N 中有n 个元素，则从M 到N 能建立n m 个不同的映射． 课堂小结本节课学习了：(1)映射的对应是一种特殊的对应，元素之间的对应必须满足“一对一或多对一”．(2)映射由三个部分组成：集合A ，集合B 及对应法则f ，称为映射的三要素．(3)映射中集合A ，B 中的元素可以为任意的．作业课本本节练习4.补充作业：已知下列集合A 到B 的对应，请判断哪些是A 到B 的映射，并说明理由．(1)A ＝N ，B ＝Z ，对应法则f 为“取相反数”；(2)A ＝{－1,0,2}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，对应法则：“取倒数”； (3)A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝R ，对应法则：“求平方根”；(4)A ＝{0,1,2,4}，B ＝{0,1,4,9,64}，对应法则f ：a →b ＝(a －1)2；(5)A ＝N *，B ＝{0,1}，对应法则：除以2所得的余数．答案：(2)不是映射，(1)(3)(4)(5)是映射．设计感想本节教学设计的内容拓展较深，在实际教学中根据学生实际选取例题和练习．本节重点为映射的概念，对于映射来说，只需要掌握概念即可，不要求拓展其内容，以免加重学生的负担，也偏离了课标要求和高考的方向．备课资料【备选例题】【例1】区间[0，m]在映射f：x→2x＋m下所得的象集区间为[a，b]，若区间[a，b]的长度比区间[0，m]的长度大5，则m等于( )A．5 B．10 C．2.5 D．1解析：函数f(x)＝2x＋m在区间[0，m]上的值域是[m,3m]，则有[m,3m]＝[a，b]，则a＝m，b＝3m，又区间[a，b]的长度比区间[0，m]的长度大5，则有b－a＝(m－0)＋5，即b－a＝m＋5，所以3m－m＝m＋5，解得m＝5.答案：A【例2】设x∈R，对于函数f(x)满足条件f(x2＋1)＝x4＋5x2－3，那么对所有的x∈R，f(x2－1)＝________.解析：(换元法)设x2＋1＝t，则x2＝t－1，则f(t)＝(t－1)2＋5(t－1)－3＝t2＋3t－7，即f(x)＝x2＋3x－7.所以f(x2－1)＝(x2－1)2＋3(x2－1)－7＝x4＋x2－9.答案：x4＋x2－9【知识总结】1．函数与映射的知识记忆口诀：函数新概念，记准要素三；定义域值域，关系式相连；函数表示法，记住也不难；图象和列表，解析最常见；对应变映射，只是变唯一；映射变函数，集合变数集．2．映射到底是什么？怎样理解映射的概念？剖析：对于映射这个概念，可以从以下几点来理解：(1)映射中的两个集合A和B可以是数集、点集或由图形组成的集合等；(2)映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往是不一样的；(3)映射要求对集合A中的每一个元素在集合B中都有元素与之对应，而这个与之对应的元素是唯一的，这样集合A中元素的任意性和在集合B中对应的元素的唯一性构成了映射的核心；(4)映射允许集合B中存在元素在A中没有元素与其对应；(5)映射允高中数学第一章集合与函数概念1.2函数及其表示1.2.2函数的表示法教学设计新人教A版必修1许集合A中不同的元素在集合B中有相同的对应元素，即映射只能是“多对一”或“一对一”，不能是“一对多”；(6)映射是特殊的对应，函数是特殊的映射．3．函数与映射的关系函数是特殊的映射，对于映射f：A→B，当两个集合A，B均为非空数集时，则从A到B 的映射就是函数，所以函数一定是映射，而映射不一定是函数．21 / 21。

1《立体几何》教学设计(一)定知识主要考查线线垂直、线面垂直、线面角．(二)定能力1.考查直观想象：三棱锥几何体中线线垂直、线面垂直的空间位置关系.2.考查逻辑推理：欲证线面垂直，需证线线垂直；欲求线面角，需建系求面的法向量.[典例1](2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P-ABC中，AB＝BC＝22，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中2点．(1)证明：PO⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且二面角M-PA-C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值.[解](1)证明：因为PA＝PC＝AC＝4，O为AC的中点，所以PO⊥AC，且PO＝23.连接OB，因为AB＝BC＝22AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝12AC＝2. 所以PO2＋OB2＝PB2，所以PO⊥OB.又因为OB∩AC＝O，所以PO⊥平3面ABC.(2)以O为坐标原点，OB―→的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.由已知得O(0,0,0)，B(2,0,0)，A(0，－2,0)，C(0,2,0)，P(0,0，23)，AP―→＝(0,2,23)．取平面PAC的一个法向量OB―→＝(2,0,0)．设M(a,2－a,0)(0<a≤2)，则AM―→＝(a,4－a,0)．设平面PAM的法向量为n＝(x，y，z)．4由AP―→·n＝0，AM―→·n＝0，得2y＋23z＝0，ax＋4－ay＝0，令y＝3a，得z＝－a，x＝3(a－4)，所以平面PAM的一个法向量为n＝(3(a－4)，3a，－a)，所以cos〈OB―→，n〉＝23a－423a－42＋3a2＋a2.由已知可得cos〈OB―→，n〉＝cos30°＝32，5所以23a－423a－42＋3a2＋a2＝32，解得a＝43或a＝－4(舍去)．所以n＝－833，433，－43.又PC―→＝(0,2，－23)，所以cos〈PC―→，n〉＝833＋8334＋12·643＋163＋169＝34.所以PC与平面PAM所成角的正弦值为34.练习(2018·湖南五市十校联考)。

《微专题—函数解析式的求法》教学设计四川省青川第一高级中学何平一、教学内容分析函数贯穿于整个高中数学的教学中，是整个高中数学的主题内容。

其中函数的表示方法之一解析法尤为重要，解析法有两个优点：一是简洁、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量对应的函数值。

中学阶段所研究的主要是能够用解析式表示的函数。

能根据函数所具有的某些性质或它所满足的关系式，求出解析式，是高考重点考查内容之一，需引起重视。

二、教学目标分析本节主要帮助学生在深刻理解函数定义的基础上，掌握求函数解析式的几种方法：待定系数法、配凑法、换元法和方程组思想，并形成能力，并培养学生的创新能力和解决实际问题的能力。

三、学生学情分析学生在已经复习了函数的定义及复合函数的概念，任有部分学生对符号的理解还不是很清楚明白。

本节课通过简单的一次函数待定系数法求解析式入手，层层引入复杂点的函数式子，让学困生也得到发展，同时让学生明确求函数解析式的常用方法，从而进一步理解解符号的含义。

四、教学策略分析问题式教学法（问题情境、启发引导、合作交流）本节课从学生初中学习的待定系数法开始，根据学生的心理特征和认知规律，我结合以问题为主线，以学生为主体，以教师为主导的教学理念，采用一系列的设问、引导、启发、发现，让学生学生明确待定系数法、换元法、配凑法、方程组思想是求函数解析式的常用方法，并会用这些方法求解析式。

五、教学过程分析1、知识回顾一（1）函数的定义：（2）函数三要素：定义域、值域、对应法则（3）函数的表示方法：解析法、图像法、列表法，指出其中的解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，这个表达式叫做函数解析表达式，简称解析式。

如：一次函数2、知识回顾二常见的函数解析式：（让学生回忆前面所学的基本初等函数）正比例函数：反比例函数：一次函数：二次函数：3、引入问题问题0：已知一次函数满足，=0，求的解析式。

让学生回答：解析：由题意可设,则：解得：所以：，总结：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数）可用待定系数法求解析式问题1：已知一次函数满足，求的解析式。

1.2.1 函数的概念（2）函数相等一、【学习目标】1、进一步理解函数的三要素；进一步熟悉区间的写法；2、深刻理解函数相等的含义，并会用此解决相关题目.【教学效果】：学习目标的出示，引起学生的学习兴趣.对于函数三要素的复习，起到了良好的作用.复习时引入一个实际函数有助于学生的理解.二、【自学内容和要求及自学过程】阅读材料，然后回答问题（函数相等）材料一：通过上一节课的学习，我们可以知道，构成一个函数的三要素是：定义域、值域和对应关系，譬如函数2)(x x f =的三要素为定义域：R ；对应法则：2x x →；值域：[]∞+，0 材料二：教材1.2.1 函数相等部分内容<1>指出构成函数y=x+1和函数y=t+1的定义域和对应法则；指出二者的值域相同吗？由此你可以得出一个什么结论？<2>由题目<1>，你能理解函数相等的真正含义吗？结论：<1>函数y=x+1的构成要素为：定义域R ，对应关系：x →x+1；函数y=t+1的构成要素为：定义域R ，对应关系：t →t+1；二者的值域都是R ，相同；由此我们可以知道，两个函数若是定义域和对应关系完全相同，则两个函数的值域相同；<2>如果两个函数的定义域和对应关系分别相同，那么它们的值域一定相等.因此只要两个函数的定义域和对应关系分别相同，那么这两个函数就相等.(引申：若两个函数的值域和对应法则相同，两个函数相等吗？你能说出原因吗？)【教学效果】:对于材料一和材料二，由于教学内容很艰涩，所以要注意领学.领学占主要部分，学生的自学，在这一节要占次要部分.教学中出现一些问题，譬如学生实在是搞不清楚到底为什么三要素相同函数就相等？为什么只要定义域和对应法则相同值域就确定？这些问题的出现都是很正常的，关键是要在习题课作辅导，通过练习，让学生逐渐的明白其中的含义.三、【练习与巩固】自学教材1.2.1 例2，做练习一、二练习一：判断下列各组的两个函数是否相同，并说明理由 y=x-1，x∈R 与y=x-1，x∈N ；②y=4-x 2与y=2-x ·2x +；③y=1+x /1与u=1+x /1；④y=x 2与y=x 2x ；⑤y=f(x)与y=f(u).注意：两个函数是否相等，主要看函数的定义域和对应法则，若两个函数的值域明显不相同，则这两个函数肯定不相等.练习二：教材1.2.1 练习3.【教学效果】：对于第一个，学生们都能从定义域看出来，两个函数的定义域是不同的.但是对于第二个，学生们可能还是分的不是很清楚.要加强训练和锻炼.四、【作业】五、【小结】这节课主要讲了函数相等这一个数学内容，其中着重的复习了函数的定义域值域对应法则的相关知识.本节课的重点是理解定义，运用定义做题.但是由于刚刚的学习了区间的写法，应当注意的是引导学生多多的训练区间的写法，达到熟练的程度.六、【反思】有时候课堂上虽然学生很投入，但是还是有很多地方不能够理解.所以我们备课一定要备课堂、备学情，不能仅仅是备“课”而已.。

知识点考纲下载函数及其表示了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.了解简单的分段函数，并能简单应用.单调性理解函数的单调性及其几何意义.理解函数最大值、最小值及其几何意义.奇偶性结合具体函数了解函数奇偶性的含义.指数函数了解指数函数模型的实际背景.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点.知道指数函数是一类重要的函数模型.对数函数理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点.知道对数函数是一类重要的函数模型.了解指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a ＞0，且a≠1)互为反函数.幂函数了解幂函数的概念.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x12的图象，了解它们的变化情况.函数的图象会运用函数图象理解和研究函数的性质.函数与方程结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解. 函数模型及其应用了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义. 了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.第1讲函数及其表示1．函数与映射的概念函数映射两集合A，B设A，B是两个非空的数集设A，B是两个非空的集合对应关系f：A→B如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f(x)(x∈A)对应f：A→B是一个映射2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A 叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．[注意]函数图象的特征：与x轴垂直的直线与其最多有一个公共点．利用这个特征可以判断一个图形能否作为一个函数的图象．3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．[注意]分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对于函数f：A→B，其值域是集合B.()(2)函数f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是同一函数．()(3)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．()(4)若A＝R，B＝{xx>0}，f：x→y＝x，则对应关系f是从A 到B的映射．()(5)函数y＝f(x)的图象与直线x＝a最多有2个交点．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×(5)×(教材习题改编)函数f(x)＝(x－2)0＋23x＋1的定义域是( )A.－13，＋∞B.－∞，－13C．RD.－13，2∪(2，＋∞)解析：选D.要使函数f(x)有意义，只需x≠2，3x＋1>0，所以x>－13且x≠2，所以函数f(x)的定义域是－13，2∪(2，＋∞)．故选D.下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是()A．Y＝(x＋1)2B．Y＝3x3＋1C．Y＝x2x＋1D．Y＝x2＋1解析：选B.对于A.函数y＝(x＋1)2的定义域为{xx≥－1}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B.定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C.函数y＝x2x＋1的定义域为{xx≠0}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数．(教材习题改编)已知函数f(x)＝x（x＋4），x≥0，x（x－4），x<0，则f(1)＋f(－3)＝________．解析：f(1)＝1×5＝5，f(－3)＝－3×(－3－4)＝21，故f(1)＋f(－3)＝5＋21＝26.答案：26若x－4有意义，则函数y＝x2－6x＋7的值域是________．解析：因为x－4有意义，所以x－4≥0，即x≥4.又因为y＝x2－6x＋7＝(x－3)2－2，所以ymin＝(4－3)2－2＝1－2＝－1.所以其值域为[－1，＋∞)．答案：[－1，＋∞)求函数的定义域(师生共研)(1)(2019·重庆质量调研(一))函数y＝log2(2x－4)＋1x－3的定义域是()A．(2，3)B．(2，＋∞)C．(3，＋∞)D．(2，3)∪(3，＋∞)(2)如果函数f(x)＝ln(－2x＋a)的定义域为(－∞，1)，那么实数a的值为()A．－2B．－1C．1D．2(3)若函数y＝f(x)的定义域是[0，2]，则函数g(x)＝f（2x）x－1的定义域为________．【解析】(1)由题意，得2x－4＞0，x－3≠0，解得x＞2且x≠3，所以函数y＝log2(2x－4)＋1x－3的定义域为(2，3)∪(3，＋∞)，故选D.(2)因为－2x＋a>0，所以x<a2，所以a2＝1，所以a＝2.(3)由x－1≠0，0≤2x≤2，得0≤x<1，即函数g(x)的定义域是[)0，1.【答案】(1)D(2)D(3)[)0，1[提醒]定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．1．(2019·河南、河北两省重点高中联考)函数f(x)＝4－4x ＋ln(x＋4)的定义域为________．解析：要使函数f(x)有意义，需4－4x≥0，x＋4>0，解得－4＜x≤1，即函数f(x)的定义域为(－4，1]．答案：(－4，1]2．若函数f(x)＝mx2＋mx＋1的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是________．解析：由题意可得mx2＋mx＋1≥0对x∈R恒成立．当m＝0时，1≥0恒成立；当m≠0时，则m>0，Δ＝m2－4m≤0，解得0<m≤4.综上可得：0≤m≤4.答案：[0，4]求函数的解析式(师生共研)(1)已知fx＋1x＝x2＋1x2，则f(x)的解析式为________．(2)已知f2x＋1＝lgx，则f(x)的解析式为________．(3)若f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2，则f(x)的解析式为________．(4)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，则f(x)的解析式为________．【解析】(1)(配凑法)由于fx＋1x＝x2＋1x2＝x＋1x2－2，。

《函数的概念》教学设计【教学内容】函数的概念【教学目标】知识与技能：让学生理解构成函数的三要素、函数概念的本质、抽象的函数符号)(xf的意义，会求一些简单函数的定义域。

过程与方法：让学生通过合作探究，经历函数概念的形成过程，渗透归纳推理的数学思想，发展学生的抽象思维能力。

情感态度价值观：通过师生互动、生生互动，让学生在民主、和谐的课堂氛围中，深化函数概念，体会数学形成和发展的一般规律，培养学生的辨证思想。

同时感受数学的抽象性和简洁美，激发学生学习数学的热情。

【教学难重点】重点：理解函数的概念；难点：理解函数符号y=f(x)的含义。

【教学过程】1．创设情境，引出课题同学们好！上课前我们先分好四人小组以便上课讨论活动。

我们班一共有56位同学，坐位号由01到56。

01.02.03.04为第一组以此类推。

每位同学都明白自己是第几小组吗？如果把坐位编号认为是变量x小组编号看成是变量y，那么能说y是x的函数吗？问题一：请同学们回忆初中函数的定义是什么?在一个变化过程中，有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值和它对应，那么就说y是x的函数，x叫自变量．2.分析实例，抽象概念实例一：一枚炮弹发射后，经过s26落到地面击中目标．炮弹的射高为m845，且炮弹距地面的高度h（单位：m）随时间t（单位：s）变化的规律是：25130tth。

问题二（备用）：1、t的范围是什么？H的范围是什么？2、t和h有什么关系？这个关系有什么特点？实例二：近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题．图12.1中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从2001~1979年的变化情况。

实例三：国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高．表11中恩格尔系数随时间（年）变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化。

时间（年）1992199319941995199619971998199920002001恩格尔系数（%）53.852.950.149.949.948.646.444.541.939.2问题三：（1）函数是由那几部分构成的？（2）实例一、实例二、实例三的对应关系在呈现方式上有什么不同？（3）以上三个实例有什么相同的特征？学生活动:让学生分组讨论交流，总结归纳．函数概念：设BA、是非空的数集，如果按某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数)(xf和它对应，那么就称BAf:为集合A到集合B的一个函数，记作Axxfy),(.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合})({Axxf叫做函数的值域．20255101530图12625tSO197919811983198519871989199119931995199719992001问题四：课前我们的分组问题是函数吗？3.讨论研究，深化理解学生活动：学生以小组为单位讨论完成以下问题。

1《函数的表示法》教学设计中山市杨仙逸中学隋志微一、教材分析本节课是人教版高中数学必修1第一章《集合与函数概念》中1.2.2函数的表示法，学习函数的表示，不仅是研究函数本身和应用函数解决实际问题所必须涉及的问题，而且是加深理解函数概念，丰富对函数的认识的过程，对提升学生数学抽象与数学运算的数学素养很有帮助。

特别是在信息技术环境下，可以使函数在数与形两方面的结合上得到更充分的体现，更有益于提升学生直观想象的数学素养。

学生在初中已经接触过函数的三种表示法：解析法、列表法和图像法，因此教材通过运用三种表示法表示一个函数后，让学生了解三种表示法的各自优缺点，目的在于使学生面对实际情境时，会根据不同的需要选择恰当方法（解析法、图像法、列表法）表示函数。

教材中还介绍了分段函数，在实际问题中，有很多函数是用分段函数来表示的，所以讨论分段函数是很有必要的，在教学中结合教材内容向学生渗透分类讨论思想方法，对培养学生全面分析问题，解决问题的能力是很有帮助的。

根据实际问题中的条件列出函数解析式的训练，是建立函数模型研究实际问题的关键步骤，这种应用意识的培养和应用能力的提高应不断贯穿于教学过程中。

基于高中阶段所接触的许多函数均可用几种不同的方式表示，因而使得学习函数的表示也是向学生渗透数形结合思想的重要过程。

二、学情分析学生为普通高中高一学生，学生在初中已经了解了函数的三种表示法，并在实际生活中积累了一定的关于函数关系的实例，会用函数的三种表示法表示一些简单的函数，但对三种表示法的优缺点与深入运用还有一定的欠缺。

三、教学目标：1.掌握函数的解析法、列表法、图像法三种主要表示方法及其优缺点。

2.在实际情境中，能根据不同的需要，选择恰当方法表示函数。

3.了解分段函数及其简单应用。

2四、教学重难点：重点：1.函数的三种表示法及其特点；2.分段函数的概念及其应用。

难点：1.选择恰当的方法表示函数；2.分段函数的表示及图象。

五、教学过程（一）复习回顾问题1：函数的概念是什么？设A,B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称BAf:为从集合A到集合B的一个函数.记作.,Axxfy问题2：函数的三要素是什么？定义域、值域、对应关系。

《习题1.2》教学设计一．教学设计：1.知识与技能：根据要求求函数的解析式，了解分段函数及其简单应用。

2.过程与方法：通过学习函数的表示形式，其目的不仅是研究函数的性质和应用需要，而且是为加深理解函数概念的形成过程。

3.情感态度与价值观：让学生感到学习函数的必要性，渗透数形结合的思想方法。

二．教学难点：函数解析式的求法和映射概念的理解。

三．教学难点：函数解析式的求法和映射概念的理解。

四．教学策略与方法：问题探究五．教学准备：多媒体课件教学过程：一．复习引入：前两节课中，我们已经学习了函数的三种表示法，分段函数等问题，这一节课，我们研究其在实际问题中的应用。

二．讲解新课：1.函数图像：画出下列函数的图像：（1）xy3;（2）xy8;（3）54xy;（4）762xxy;变式训练：A组7题B组1，2题2.函数解析式的求法：（待定系数法，代入法，换元法，构造方程组法）一个圆柱形容器的底部直径是dcm,高是hcm，现在以vscm3的速度向容器内注入某种溶液。

求容器内溶液的高度xcm关于注入溶液的时间ts的函数解析式，并写出函数的定义域与值域。

变式训练：B组3，4题3.映射的概念：设集合A={a,b,c},B={0,1}.试问：从A到B的映射共有几个？并将他们分别表示出来。

变式训练：若集合A有元素m个，集合B有元素n个，从A 到B的映射共有几个？三．课堂小结：1.函数图像；2.函数解析式的求法；3.映射的概念及应用；4.数形结合思想。

四．课后作业：完成变式训练。

1课题：函数的单调性（第一课时）【教学目标】1．从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和定义判断函数单调性的方法．2．通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合思想方法，培养观察、归纳、抽象和语言表达能力；3．通过知识的探究过程培养细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯。

【教学过程】（一）创设情境：例如:成都市冬天某天的气温变化曲线图：问题：随着时间的变化，温度的变化趋势是？（二）建构定义:1、直观感知定义：观察下列函数的图象,由学生讨论交流并回答下列问题（几何画板动态展示）问题1:这两个函数图象有怎样的变化趋势?问题2:函数2()fxx在区间内y随x的增大而增大，在区间内y随x的增大而减小；总结到一般情况下：在区间D内在区间D内图象图象特征从左到右，图象_____从左到右，图象_____数量特征y随x的增大而_____y随x的增大而_____直观性定义单调递增函数单调递减函数问题：若区间内有两点21xx时，有)()(21xfxf，能否推出()fx是单调递增函数？2(2)()fxx(1)()1fxxy2()fx1()fx1x2xxy2()fx 1()fx 01x2x232yfx-4 215431-1-2-1-5-3-2x2、归纳定义定义：一般地，设函数)(xf的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值12xx、，当21xx时，都有)()(21xfxf，那么就说函数)(xf在区间D上是单调递增函数。

同学们类比得到减函数的定义:________________________________________________ ______________________________________________________ ____________________________注:对增函数,减函数的三点说明①___________________________________________________ ______________②___________________________________________________ ______________③___________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________.(三)定义应用:例、下图是定义在[－5，5]上的函数)(xfy的图象，根据图象说出函数)(xfy的单调区间，以及在每一单调区间上，)(xfy是增函数还是减函数。

教学课题2.1.2指数函数及其性质（一）授课教师教学课型新授[来源学科网ZXXK]教学课时1教学目标1．理解指数函数的概念；2．掌握指数函数的图象、性质；[来源学&科&网] 3．培养学生实际应用函数的能力．教学重点指数函数的图象、性质．教学难点指数函数的图象性质与底数a的关系．教学方法讲授法启发式教学教学基本程序动态修改一、复习引入：引例1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…….1个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系是什么？分裂次数：1，2，3，4，…，x细胞个数：2，4，8，16，…，y由上面的对应关系可知，函数关系是xy2．在xy2中指数x是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量.我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个大于0且不等于1的常量的函数叫做指数函数.二、新授内容：1．指数函数的定义：探究1：指数函数的结构特征如右图：函数)10(aaayx且叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R．探究2：为什么要规定a＞0,且a1呢？①若a=0，则当x＞0时，xa=0；当x0时，xa无意义.②若a＜0，则对于x的某些数值，可使xa无意义.如x)2(，这时对于x=41，x=21，…等等，在实数范围内函数值不存在.③若a=1，则对于任何xR，xa=1，是一个常量，没有研究的必要性.为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a1．在规定以后，对于任何xR，xay＝1·ax自变量常数系数为1都有意义，且xa＞0.因此指数函数的定义域是R，值域是(0,+∞).练习：下列函数中，哪些是指数函数?放入集合A中．⑴y＝x10；⑵y＝x10＋1；⑶y＝x10＋1；⑷y＝2·x10；⑸y＝x)10(；⑹y＝xa)10(（a＞－10，且a≠－9）；⑺y＝x10；⑻y＝xx．解：有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如y=xa+k(a＞0且a1，kZ)；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如y=xa(a＞0,且a1),它可以化为y=xa1，其中a1＞0，且a11. 2.指数函数的图象和性质：在同一坐标系中分别作出函数y=x2，y=x21，y=x10，y=x101的图象.列表如下：x…-3-2-1-0.50.5123…y=x2…0.13 0.25 0.50.7111.4248…y=x)21( …841.410.710.50.250.13…x…-1.5-1-0.5-0.250.250.511.5[来源:] …y=x10…0.10.320.5611.783.161031.62…⑴y＝x10⑹y＝xa)10(（a＞－10，且a≠－9）Ay=x101…31.62103.161.7810.32[来源:Z+xx+]0.10.03…我们观察以上的图象特征，就可以得到)10(aaayx且的图象和性质．a＞10＜a＜1图象654321-1-4-224601654321-1-4-224601性质(1)定义域：R（2）值域：（0，+∞）（3）过点（0，1），即x=0时，y=1（4）在R上是增函数（4）在R上是减函数3.底数a对指数函数y＝xa的图象有何影响?⑴a＞1时，图象向右不断上升，并且无限靠近x轴的负半轴；0＜a＜1时，图象向右不断下降，并且无限靠近x轴的正半轴．⑵对于多个指数函数来说，底数大的图象在y轴右侧的部分越高(简称：右侧底大图高)．⑶指数函数xay与xay)1(的图象关于y轴对称．三、讲解范例：例1．已知指数函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的图象过点(3,)，求f(0)，f(1)，f(－3)的值.解：因为f(x)＝a的图象经过点(3,)，所以f(3)＝，即a3＝，解得31a，于是.)(3xxf所以f(0)＝0＝1，f(1)＝31＝3，f(－3)＝1＝1.[来源学#科#网]例2．比较下列各题中两个值的大小：①5.27.1，37.1；②1.08.0，2.08.0；解：利用函数单调性①5.27.1与37.1的底数是1.7，它们可以看成函数y=x7.1，当x=2.5和3时的函数值；因为1.7＞1，所以函数y=x7.1在R是增函数，而2.5＜3，所以，5.27.1＜37.1；②②1.08.0与2.08.0的底数是0.8，它们可以看成函数y=x8.0，当x=-0.1和-0.2时的函数值；因为0＜0.8＜1，所以函数y=x8.0在R是减函数，而-0.1＞-0.2，所以，1.08.0＜2.08.0；③小结：对同底数幂大小的比较用的是指数函数的单调性，必须要明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值；对不同底数是幂的大小的比较可以与中间值进行比较.四、练习：⑴用“＞”或“＜”填空：5341041；6534034；4706.5006.5；3219.0019.0.这是一道幂值与“1”的大小比较的题，它不仅可以解决一类底数相同指数不同的幂的大小问题，而且还为后继内容，如函数的奇偶性、不等式的证明等做了铺垫.⑵比较大小：32)5.2(,54)5.2(（备用题）四、课堂小结1．指数函数概念；2．指数函数的图象和性质．五、课后作业：1．阅读教材第54-----56页；2．《基训》39页自学检测．。

§1．2.2函数的表示法一．教学目标1．知识与技能（1）明确函数的三种表示方法；（2）会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数；（3）通过具体实例，了解简单的分段函数及应用．2．过程与方法：学习函数的表示形式，其目的不仅是研究函数的性质和应用的需要，而且是为加深理解函数概念的形成过程．3．情态与价值让学生感受到学习函数表示的必要性，渗透数形结合思想方法。

二．教学重难点1、教学重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念．2、教学难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象．三．教学准备1．学法：学生通过观察、思考、比较和概括，从而更好地完成本节课的教学目标．2．教学用具：圆规、三角板、投影仪．四．教学过程（一）创设情景，揭示课题．我们在前两节课中，已经学习了函数的定义，会求函数的值域，那么函数有哪些表示的方法呢？这一节课我们研究这一问题．（二）研探新知1．函数有哪些表示方法呢？(回顾上节课所举的三个事例得出答案。

)（表示函数的方法常用的有：解析法、列表法、图象法三种）2．明确三种方法各自的特点？（解析式的特点为：函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质，还有利于我们求函数的值域．列表法的特点为：不通过计算就知道自变量取某些值时函数的对应值、图像法的特点是：能直观形象地表示出函数的变化情况）（三）质疑答辩，排难解惑，发展思维．例3．某种笔记本的单价是5元，买}{(1,2,3,4,5)x x ∈个笔记本需要y 元，试用三种表示法表示函数()y f x =．分析：注意本例的设问，此处“()y f x =”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是对应值表． 解：（略） 注意：①函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等； ②解析法：必须注明函数的定义域； ③图象法：是否连线；④列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．例4．下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级平均分表： 8.275.7请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．分析：本例应引导学生分析题目要求，做学情分析，具体要分析什么？怎么分析？借助什么工具？ 解：（略） 注意：①本例为了研究学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，这样更便于研究成绩的变化特点： ②本例能否用解析法？为什么？ 例5．画出函数||y x =的图象 解：（略）例6．某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定： （1）乘坐汽车5公里以内，票价2元；（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按5公里计算），已知两个相邻的公。

1.2.1 函数的概念整体设计教学分析函数是中学数学中最重要的基本概念之一．在中学，函数的学习大致可分为三个阶段．第一阶段是在义务教育阶段，学习了函数的描述性概念，接触了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等最简单的函数，了解了它们的图象、性质等．本节学习的函数概念与后续将要学习的函数的基本性质、基本初等函数(Ⅰ)和基本初等函数(Ⅱ)是学习函数的第二阶段，这是对函数概念的再认识阶段．第三阶段是在选修系列的导数及其应用的学习，这是函数学习的进一步深化和提高．在学生学习用集合与对应的语言刻画函数之前，学生已经把函数看成变量之间的依赖关系；同时，虽然函数概念比较抽象，但函数现象大量存在于学生周围．因此，课本采用了从实际例子中抽象出用集合与对应的语言定义函数的方式介绍函数概念．三维目标1．会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y＝f(x)的含义；通过学习函数的概念，培养学生观察问题、提出问题的探究能力，进一步培养学习数学的兴趣和抽象概括能力；启发学生运用函数模型表述思考和解决现实世界中蕴涵的规律，逐渐形成善于提出问题的习惯，学会数学表达和交流，发展数学应用意识．2．掌握构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域，体会对应关系在刻画函数概念中的作用，使学生感受到学习函数的必要性和重要性，激发学生学习的积极性．重点难点教学重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数．教学难点：符号“y＝f(x)”的含义，不容易认识到函数概念的整体性，而将函数单一地理解成对应关系，甚至认为函数就是函数值．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课问题：已知函数y＝1,,0,,xx∈⎧⎨∈⎩RQQ请用初中所学函数的定义来解释y与x的函数关系？先让学生回答后，教师指出：这样解释会显得十分勉强，本节将用新的观点来解释，引出课题．推进新课新知探究提出问题(1)给出下列三种对应：(幻灯片)①一枚炮弹发射后，经过26 s落到地面击中目标．炮弹的射高为845 m，且炮弹距地面的高度h(单位：m)随时间t(单位：s)变化的规律是h＝130t－5t2.时间t的变化范围是数集A＝{t|0≤t≤26}，h的变化范围是数集B＝{h|0≤h≤845}．则有对应f：t→h＝130t－5t2，t∈A，h∈B.②近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题．图1中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积S(单位：106km2)随时间t(单位：年)从1979～2001年的变化情况．图1根据图1中的曲线，可知时间t的变化范围是数集A＝{t|1979≤t≤2001}，臭氧层空洞面积S的变化范围是数集B＝{S|0≤S≤26}，则有对应：f：t→S，t∈A，S∈B.③国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高．下表中的恩格尔系数y随时间t(年)变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化．“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况化范围是数集B＝{y|37.9≤y≤53.8}.则有对应：f：t→y，t∈A，y∈B.以上三个对应有什么共同特点？(2)我们把这样的对应称为函数，请用集合的观点给出函数的定义.(3)函数的定义域是自变量的取值范围，那么你是如何理解这个“取值范围”的？(4)函数有意义又指什么？(5)函数f：A→B的值域为C，那么集合B＝C吗？活动：让学生认真思考以上三个对应，也可以分组讨论交流，引导学生找出这三个对应的本质共性．解：(1)共同特点是：集合A ，B 都是数集，并且对于数集A 中的每一个元素x ，在对应关系f ：A →B 下，在数集B 中都有唯一确定的元素y 与之对应．(2)一般地，设A ，B 都是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A ，其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．在研究函数时常会用到区间的概念，设a ，b 是两个实数，且a ＜b ，如下表所示：(4)函数有意义是指：自变量的取值使分母不为0；被开方数为非负数；如果函数有实际意义时，那么还要满足实际取值等等．(5)C ⊆B .应用示例例题 题已知函数f (x )＝x ＋3＋1x ＋2， (1)求函数的定义域；(2)求f (－3)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23的值； (3)当a ＞0时，求f (a )，f (a －1)的值．活动：(1)让学生回想函数的定义域指的是什么？函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，故转化为求使x ＋3和1x ＋2有意义的自变量的取值范围.x ＋3有意义，则x＋3≥0，1x ＋2有意义，则x ＋2≠0，转化为解由x ＋3≥0和x ＋2≠0组成的不等式组． (2)让学生回想f (－3)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23表示什么含义？f (－3)表示自变量x ＝－3时对应的函数值，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23表示自变量x ＝23时对应的函数值．分别将－3，23代入函数的对应法则中得f (－3)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23的值．(3)f (a )表示自变量x ＝a 时对应的函数值，f (a －1)表示自变量x ＝a －1时对应的函数值．分别将a ，a －1代入函数的对应法则中得f (a )，f (a －1)的值．解：(1)要使函数有意义，自变量x的取值需满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3≥0，x ＋2≠0，解得－3≤x ＜－2或x＞－2，即函数的定义域是[－3，－2)∪(－2，＋∞)．(2)f (－3)＝－3＋3＋1－3＋2＝－1；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝23＋3＋123＋2＝333＋38. (3)∵a ＞0，∴a ∈[－3，－2)∪(－2，＋∞)，即f (a )，f (a －1)有意义． 则f (a )＝a ＋3＋1a ＋2；f (a －1)＝a －1＋3＋1a －1＋2＝a ＋2＋1a ＋1. 点评：本题主要考查函数的定义域以及对符号f (x )的理解．求使函数有意义的自变量的取值范围，通常转化为解不等式组．f (x )是表示关于变量x 的函数，又可以表示自变量x 对应的函数值，是一个整体符号，分开符号f (x )没有什么意义．符号f 可以看作是对“x ”施加的某种法则或运算．例如f (x )＝x 2－x ＋5，当x ＝2时，看作对“2”施加了这样的运算法则：先平方，再减去2，再加上5；若x 为某一代数式(或某一个函数记号时)，则左右两边的所有x 都用同一个代数式(或某一个函数)来代替．如：f (2x ＋1)＝(2x ＋1)2－(2x ＋1)＋5，f [g (x )]＝[g (x )]2－g (x )＋5等等．符号y ＝f (x )表示变量y 是变量x 的函数，它仅仅是函数符号，并不表示y 等于f 与x 的乘积．符号f (x )与f (m )既有区别又有联系：当m 是变量时，函数f (x )与函数f (m )是同一个函数；当m 是常数时，f (m )表示自变量x ＝m 对应的函数值，是一个常量．已知函数的解析式，求函数的定义域，就是求使得函数解析式有意义的自变量的取值范围，即(1)如果f (x )是整式，那么函数的定义域是实数集R .(2)如果f (x )是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合．(3)如果f (x )是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合．(4)如果f (x )是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合(即求各部分定义域的交集)．(5)对于由实际问题的背景确定的函数，其定义域还要受实际问题的制约.1．已知函数f (x )满足：f (p ＋q )＝f (p )f (q )，f (1)＝3，则f 2(1)＋f (2)f (1)＋f 2(2)＋f (4)f (3)＋f 2(3)＋f (6)f (5)＋f 2(4)＋f (8)f (7)＋f 2(5)＋f (10)f (9)＝________.解析：∵f (p ＋q )＝f (p )f (q )，∴f (x ＋x )＝f (x )f (x )，即f 2(x )＝f (2x )． 令q ＝1，得f (p ＋1)＝f (p )f (1)， ∴f (p ＋1)f (p )＝f (1)＝3. ∴原式＝2f (2)f (1)＋2f (4)f (3)＋2f (6)f (5)＋2f (8)f (7)＋2f (10)f (9)＝2(3＋3＋3＋3＋3)＝30.答案：302．若f (x )＝1x的定义域为A ，g (x )＝f (x ＋1)－f (x )的定义域为B ，那么( )A．A∪B＝B B．A B C．A⊆B D．A∩B＝解析：由题意得A＝{x|x≠0}，B＝{x|x≠0，且x≠－1}．则A∪B＝A，则A错；A∩B ＝B，则D错；由于B A，则C错，B正确．答案：B拓展提升问题：已知函数f(x)＝x2＋1，x∈R.(1)分别计算f(1)－f(－1)，f(2)－f(－2)，f(3)－f(－3)的值；(2)由(1)你发现了什么结论？并加以证明．活动：让学生探求f(x)－f(－x)的值．分析(1)中各值的规律，归纳猜想出结论，再用解析式证明．解：(1)f(1)－f(－1)＝(12＋1)－[(－1)2＋1]＝2－2＝0；f(2)－f(－2)＝(22＋1)－[(－2)2＋1]＝5－5＝0；f(3)－f(－3)＝(32＋1)－[(－3)2＋1]＝10－10＝0.(2)由(1)可发现结论：对任意x∈R，有f(x)＝f(－x)．证明如下：由题意得f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f(x)．∴对任意x∈R，总有f(x)＝f(－x)．课堂小结本节课学习了：函数的概念、函数定义域的求法和对函数符号f(x)的理解．作业课本习题1.2A组1,5.设计感想本节教学中，在归纳函数的概念时，本节设计运用了大量的实例，如果不借助于信息技术，那么会把时间浪费在实例的书写上，会造成课时不足即拖堂现象．本节重点设计了函数定义域的求法，而函数值域的求法将放在函数的表示法中学习．由于函数是高中数学的重点内容之一，也是高考的重点和热点，因此对函数的概念等知识进行了适当的拓展，以满足高考的需要．第2课时作者：刘玉亭复习1．函数的概念．2．函数的定义域的求法．导入新课思路1．当实数a，b的符号相同，绝对值相等时，实数a＝b；当集合A，B中元素完全相同时，集合A ＝B ；那么两个函数满足什么条件才相等呢？引出课题：函数相等．思路2．我们学习了函数的概念，y ＝x 与y ＝x 2x是同一个函数吗？这就是本节课学习的内容，引出课题：函数相等．推进新课新知探究 提出问题①指出函数y ＝x ＋1的构成要素有几部分？ ②一个函数的构成要素有几部分？③分别写出函数y ＝x ＋1和函数y ＝t ＋1的定义域和对应关系，并比较异同. ④函数y ＝x ＋1和函数y ＝t ＋1的值域相同吗？由此可见两个函数的定义域和对应关系分别相同，值域相同吗？⑤由此你对函数的三要素有什么新的认识？讨论结果：①函数y ＝x ＋1的构成要素为：定义域R ，对应关系x →x ＋1，值域是R . ②一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域，简称为函数的三要素．其中定义域是函数的灵魂，对应关系是函数的核心．当且仅当两个函数的三要素都相同时，这两个函数才相同．③定义域和对应关系分别相同． ④值域相同．⑤如果两个函数的定义域和对应关系分别相同，那么它们的值域一定相等．因此只要两个函数的定义域和对应关系分别相同，那么这两个函数就相等．应用示例例题 题下列函数中哪个与函数y ＝x 相等？(1)y ＝(x )2；(2)y ＝3x 3；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x 2x.活动：让学生思考两个函数相等的条件后，引导学生求出各个函数的定义域，化简函数关系式为最简形式．只要它们的定义域和对应关系分别相同，那么这两个函数就相等．解：函数y ＝x 的定义域是R ，对应关系是x →x . (1)∵函数y ＝(x )2的定义域是[0，＋∞)， ∴函数y ＝(x )2与函数y ＝x 的定义域不相同， ∴函数y ＝(x )2与函数y ＝x 不相等． (2)∵函数y ＝3x 3的定义域是R ，∴函数y ＝3x 3与函数y ＝x 的定义域相同．又∵y ＝3x 3＝x ，∴函数y ＝3x 3与函数y ＝x 的对应关系也相同． ∴函数y ＝3x 3与函数y ＝x 相等． (3)∵函数y ＝x 2的定义域是R ，∴函数y ＝x 2与函数y ＝x 的定义域相同． 又∵y ＝x 2＝|x |，∴函数y ＝x 2与函数y ＝x 的对应关系不相同． ∴函数y ＝x 2与函数y ＝x 不相等．(4)∵函数y ＝x 2x 的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，∴函数y ＝x 2x 与函数y ＝x 的定义域不相同，∴函数y ＝x 2x与函数y ＝x 不相等．点评：本题主要考查函数相等的含义．讨论函数问题时，要保持定义域优先的原则．对于判断两个函数是否是同一个函数，要先求定义域，若定义域不同，则不是同一个函数；若定义域相同，再化简函数的解析式，若解析式相同(即对应关系相同)，则是同一个函数，否则不是同一个函数.1．下列给出的四个图形中，是函数图象的是( )图2A ．①B ．①③④C ．①②③ D．③④ 答案：B2．函数y ＝f (x )的定义域是R ，值域是[1,2]，则函数y ＝f (2x －1)的值域是________． 答案：[1,2]3．下列各组函数是同一个函数的有________． ①f (x )＝x 3，g (x )＝x x ；②f (x )＝x 0，g (x )＝1x0；③f (x )＝－2x ，g (u )＝－2u；④f (x )＝－x 2＋2x ，g (u )＝－u 2＋2u .答案：②③④拓展提升问题：函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝m 有几个交点？ 探究：设函数y ＝f (x )定义域是D ， 当m ∈D 时，根据函数的定义知f (m )唯一，则函数y ＝f (x )的图象上横坐标为m 的点仅有一个(m ，f (m ))， 即此时函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝m 仅有一个交点； 当m ∉D 时，根据函数的定义知f (m )不存在，则函数y ＝f (x )的图象上横坐标为m 的点不存在， 即此时函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝m 没有交点．综上所得，函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝m 有交点时仅有一个，或没有交点．课堂小结(1)复习了函数的概念，总结了函数的三要素； (2)判断两个函数是否是同一个函数．作业1．设M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出下列4个图形，其中能表示以集合M 为定义域，N 为值域的函数关系的是( )图3答案：B2．某公司生产某种产品的成本为1 000元，以1 100元的价格批发出去，随生产产品数量的增加，公司收入________，它们之间是________关系．解析：由题意，多生产一单位产品则多收入100元．生产产品数量看成是自变量，公司收入看成是因变量，容易得出对于自变量的每一个确定值，因变量都有唯一确定的值与之对应，从而判断两者是函数关系．答案：增加 函数3．函数y ＝x 2与S ＝t 2是同一函数吗？答：函数的确定只与定义域与对应关系有关，而与所表示的字母无关，因此y ＝x 2与S ＝t 2表示的是同一个函数．因此并非字母不同便是不同的函数，这是由函数的本质决定的．设计感想本节教学内容主要是依据高考说明，对课本内容适当拓展，重点对函数的相等问题进行了引申，设计时对拓展的内容采取渐进式，设计时本着逐步提高、拓展，不能急于求成，否则事倍功半．备课资料【备选例题】【例1】已知函数f (x )＝11＋x ，则函数f [f (x )]的定义域是________．解析：∵f (x )＝11＋x ，∴x ≠－1.∴f [f (x )]＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋x ＝11＋11＋x.∴1＋11＋x ≠0，即x ＋2x ＋1≠0.∴x ≠－2.∴f [f (x )]的定义域为{x |x ≠－2，且x ≠－1}．答案：{x |x ≠－2，且x ≠－1}【例2】已知函数f (2x ＋3)的定义域是[－4,5)，求函数f (2x －3)的定义域．解：由函数f (2x ＋3)的定义域得函数f (x )的定义域，从而求得函数f (2x －3)的定义域．设2x ＋3＝t ，当x ∈[－4,5)时，有t ∈[－5,13)，则函数f (t )的定义域是[－5,13)，解不等式－5≤2x －3＜13，得－1≤x ＜8，即函数f (2x －3)的定义域是[－1,8)．【知识拓展】函数的传统定义和近代定义的比较函数的传统定义(初中学过的函数定义)与它的近代定义(用集合定义函数)在实质上是一致的．两个定义中的定义域和值域的意义完全相同；两个定义中的对应法则实际上也一样，只不过叙述的出发点不同．传统定义是从运动变化的观点出发，其中对应法则是将自变量x 的每一个取值与唯一确定的函数值对应起来；近代定义则是从集合、对应的观点出发，其中的对应法则是将原象集合中任一元素与象集合中的唯一确定的元素对应起来．至于函数的传统定义向近代定义过渡的原因，从历史上看，函数的传统定义来源于物理公式，最初的函数概念几乎等同于解析式，要说清楚变量以及两个变量的依赖关系，往往先要弄清各个变量的物理意义，这就使研究受到了不必要的限制．后来，人们认识到了定义域和值域的重要性，如果只根据变量的观点来解析，会显得十分勉强，如：符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，0，－1， x >0，x ＝0，x <0，用集合与对应的观点来解释，就显得十分自然了，用传统定义几乎无法解释，于是就有了函数的近代定义．由于传统的定义比较生动、直观，有时仍然会使用这一定义．。

习题课集合学习目标1.系统和深化对集合基础知识的理解与掌握.2.重点掌握好集合间的关系与集合的基本运算．1．集合元素的三个特性：确定性，互异性，无序性．2．元素与集合有且只有两种关系：∈，.3．已经学过的集合表示方法有列举法，描述法，Venn图法，常用数集字母代号．4．集合间的关系与集合的运算符号定义Venn图子集ABx∈Ax∈B真子集ABAB且存在x0∈B但x0A并集A∪B{xx∈A或x∈B}交集A∩B{xx∈A且x∈B}补集UA(AU){xx∈U且xA}5.常用结论(1)A；(2)A∪＝A；A∪A＝A；A∪B＝AAB.(3)A∩＝；A∩A＝A；A∩B＝AAB.(4)A∪(UA)＝U；A∩(UA)＝；U(UA)＝A.1．若A＝{}x，x，则x<0.(√)2．任何集合至少有两个子集．(×)3．若{}xax2＋x＋1＝0有且只有一个元素，则必有Δ＝12－4a＝0.(×)4．设A，B为全集的子集，则A∩B＝AA∪B＝BUAUB.(√) 类型一集合的概念及表示法例1下列表示同一集合的是()A．M＝{(2,1)，(3,2)}，N＝{(1,2)}B．M＝{2,1}，N＝{1,2}C．M＝{yy＝x2＋1，x∈R}，N＝{yy＝x2＋1，x∈N}D．M＝{(x，y)y＝x2－1，x∈R}，N＝{yy＝x2－1，x∈R} 考点集合的表示综合题点集合的表示综合问题答案B解析A中M，N两集合的元素个数不同，故不可能相同；B中M，N均为含有1,2两个元素的集合，由集合中元素的无序性可得M＝N；C中M，N均为数集，显然有MN；D中M为点集，即抛物线y＝x2－1上所有点的集合，而N为数集，即抛物线y＝x2－1的y的取值，故选B.反思与感悟要解决集合的概念问题，必须先弄清集合中元素的性质，明确是数集，还是点集等．跟踪训练1设集合A＝{(x，y)x－y＝0}，B＝{(x，y)2x－3y＋4＝0}，则A∩B＝________.考点交集的概念及运算题点无限集合的交集运算答案{(4,4)}解析由x－y＝0，2x－3y＋4＝0，得x＝4，y＝4.∴A∩B＝{(4,4)}．类型二集合间的基本关系例2若集合P＝{xx2＋x－6＝0}，S＝{xax＋1＝0}，且SP，求由a的可能取值组成的集合．考点子集及其运算题点根据子集关系求参数的取值范围解由题意得，P＝{－3,2}．当a＝0时，S＝，满足SP；当a≠0时，方程ax＋1＝0的解为x＝－1a，为满足SP，可使－1a＝－3，或－1a＝2，即a＝13，或a＝－12.故所求集合为0，13，－12.反思与感悟(1)在分类时要遵循“不重不漏”的原则，然后对于每一类情况都要给出问题的解答．(2)对于两集合A，B，当AB时，不要忽略A＝的情况．跟踪训练2下列说法中不正确的是________．(填序号)①若集合A＝，则A；②若集合A＝{xx2－1＝0}，B＝{－1,1}，则A＝B；③已知集合A＝{x1<x<2}，B＝{xx<a}，若AB，则a>2.考点集合的包含关系题点集合包含关系的判定答案③解析是任何集合的子集，故①正确；∵x2－1＝0，∴x＝±1，∴A＝{－1,1}，[来源学*科*网Z*X*X*K]∴A＝B，故②正确；若AB，则a≥2，故③错误.1．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P 的子集共有()A．2个B．4个C．6个D．8个考点交集的概念及运算题点有限集合的交集运算答案B2．下列关系中正确的个数为()①22∈R；②0∈N*；③{－5}Z.A．0C．2D．3考点元素与集合的关系题点判断元素与集合的关系答案C解析①③正确．3．已知P＝{yy＝a2＋1，a∈R}，Q＝{mm＝x2－4x＋5，x∈R}，则P与Q的关系不正确的是()A．PQB．PQC．P＝QD．P∩Q＝考点集合的包含关系题点集合包含关系的判定D解析∵P＝{}yy≥1，Q＝{}mm＝x－22＋1＝{}mm≥1，∴P＝Q.∴A，B，C皆正确．4．设全集I＝{a，b，c，d，e}，集合M＝{a，b，c}，N＝{b，d，e}，那么(IM)∩(IN)＝________.考点交并补集的综合问题题点有限集合的交并补运算答案解析(IM)∩(IN)＝I(M∪N)＝II＝.5．(2017·烟台检测)已知集合U＝R，集合A＝{}xx<－2或x>4，B＝{}x－3≤x≤3，则(UA)∩B＝________.考点交并补集的综合问题[来源学科网ZXXK]题点无限集合的交并补运算{}x－2≤x≤3解析由图知(UA)∩B＝{}x－2≤x≤3.1．要注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系，二是集合与集合的包含关系．2．在利用集合中元素相等列方程求未知数的值时，要注意利用集合中元素的互异性这一性质进行检验，忽视集合中元素的性质是导致错误的常见原因之一．。

课题指数函数图像及其性质姓名：张小凤工作单位：浈江区曲仁中学学科年级：高一教材版本：人教版一、教材内容分析本节课是人教版数学必修1第二章2.1.2指数函数及其性质第1课时的内容。

本节课是学生在已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上，进一步研究指数函数，以及指数函数的图像与性质，它一方面可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，同时也为今后进一步熟悉函数的性质和作用打下坚实的基础二、教学目标1.会用列表描点法画出指数函数的图象,能根据图象认识指数函数的性质.了解底数互为倒数时图象之间的关系.2.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习,培养学生观察,分析归纳的能力,进一步体会数形结合的思想方法.过程与方法1.以学生的自主探索为主，充分利用信息技术，研究指数函数xay的图象及性质，底数互为倒数时图象之间的关系及底数大小对指数函数图象的影响，让学生感受现代技术在研究数学问题中的作用。

2.在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程，数形结合的方法等情感与态度3.通过利用信息技术对指数函数有关知识的自主探究,激发学生学习数学的兴趣，享受发现知识，得出成果的快乐。

体会指数函数是一类重要的函数模型，并且有广泛的用途，逐步培养学生的应用意识.让学生体会到现代信息技术是认识世界的有效手段三、教学重难点重点：在理解指数函数定义的基础上掌握指数函数的图象、性质及其应用难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、归纳概括指数函数的性质四、学习者特征分析指数函数是在学生系统的学习了函数概念、基本掌握了函数性质的基础上进行学习的，具有初步的函数知识,但是对于研究具体的初等函数的性质的基本方法和步骤还比较陌生,对于指数函数要怎么样进行较为系统的研究是学生要面临的重要问题。

五、教学策略选择与设计本节课我采用讲授法和引导发现式的教学方法，并充分利用多媒体辅助教学。

《函数及其表示习题1.2》教学设计大通二中兰国云一、设计理念数学学习离不开解题，所以数学习题训练是数学课教学的重要环节.《普通高中数学课程标准(实验)指出，高中数学课程应注重提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一.人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程.这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴含的数学模式进行思考和做出判断.数学思维能力在形成理性思维中发挥着独特的作用.众所周知，解题是一种极具主动性的思维活动以活动为中介去理解和掌握知识，积极进行探索，不断地对内容再组织，从中有所领悟，有所发展，解题活动最为根本的功能就是使学生形成良好的思维品质，促进学生思维水平的提升.让学生做“精良的有丰富营养价值”的习题，促进理解内化知识、激发他们的学习兴趣，形成优良的思维品质，进而提高学生的学业成绩，促进他们的学习能力和数学思维水平的提高.二、教材分析函数是高中数学中的一个重要基本概念，函数思想更是重要的数学思想之一、而函数概念是函数思想的基础，它不仅巩固和发展了前面学习的集合，而且是学好后续知识的基础和工具、函数与代数式、方程、不等式、数列、三角函数、解析儿何、导数等内容的联系也非常密切，函数的基础知识在现实生活、社会、经济及其他学科中有着广泛的应用.函数概念及其反映出来的数学思想方法已经广泛渗透到数学的各个领域，是进一步学习数学的基础.函数的表示是本节的主要内容之一.学生在学习用集合与对应的语言刻画函数之前，比较习惯的用解析式表示函数，但这是对函数很不全面的认识.从引进函数概念开始就比较函数的不同表示方法:解析法，图象法，列表法函数的不同表示方法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念，特别是在信息技术环境下，可以使函数在数与形两方面的结合得到更充分的表现，使学生通过函数的学习更好地体会数形结合这种重要的数学思想方法.三、学情分析学生在初中初步探讨了函数的相关知识，有一定的基础.通过高一第一节“集合”的学习，学生对集合思想的认识也日渐提高，为重新定义函数，从根本上揭示函数的本质提供了知识保证.学生在本节学习中存在的困难：1.不容易认识到函数概念的整体性，而将函数单一地理解成函数中的对度关系，甚至认为函数是函数值.2.函数符号y＝f(x)是学生难以理解的抽象符号之一，它的内涵是“对于定义域中的任意x，在对应关系f的作用下即可得到y”.在有些问题中，对应关系f可用一个解析式表示，但在不少问题中，对应关系f不便用或不能用解析式表示，这时，就必须采用其他方式，如图象或表格等，这些是学生不容易理解的.四、教学目标1.运用函数的概念求定义域和值域，应用函数的定义解决实际问题.2.注重培养学生的抽象概括能力，启发学生运用函数模型表述、思考和解决现实世界中蕴涵的规律，逐渐形成善于提出问题的习惯，学会数学表达和交流，发展数学应用意识. 五、教学重、难点教学重点：应用函数的定义解决实际问题教学难点：培养学生的抽象概括能力，启发学生运用函数模型表述、思考和解决现实世界中蕴涵的规律，逐渐形成善于提出问题的习惯，学会数学表达和交流，发展数学应用意识六、教学过程（一）本节知识结构函数映射函数的表示定义域对应关系值域解析法图像法列表法（二）习题统计、错因分析1.习题分布函数及其表示函数的概念函数的表示方法分段函数的性质计算推理A组1，2，4，6A组3，5，8，9，10B组2，3，4A组7B组12.错题统计题号A2A8A9A10B1B2B4错误人数56186201921原因函数概念理解不到位,不能形成系统性；抽象概括能力不足，运用函数模型表述、思考和解决现实世界中蕴涵的规律的数学应用意识薄弱. (三)典型错题分析A9:一个圆柱形容器的底部直径是dcm，高是hcm，现在以vcm3/s的速度向容器内注入某种溶液。

1.2 函数及其表示1.2.1 函数的概念 第一课时 函数的概念 三维目标定向〖知识与技能〗理解函数的概念，能用集合与对应的语言刻画函数，了解构成函数的三要素。

〖过程与方法〗1、通过丰富实例，建立函数概念的背景，体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。

2、体会对应关系在刻画函数概念中的作用。

〖情感、态度、价值观〗通过从实际问题中抽象概括函数概念的活动，培养学生的抽象思维能力。

教学重、难点〖重点〗体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，正确理解函数的概念。

〖难点〗函数概念及符号的理解。

教学过程设计 一、知识回顾1、初中学习的函数概念是什么？设在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有惟一的值与它对应，则称x 是自变量，y 是x 的函数；其中自变量x 的取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x 的值对应的y 的值叫做函数的值域。

2、思考：（1）y = 1是函数吗？（2）y = x 与2x y x=是同一个函数吗？显然，仅用初中函数的概念很难回答这些问题。

因此，需要从新的高度认识函数。

二、问题情境设疑引例1、（炮弹发射）一枚炮弹发射后，经过26s 落到地面击中目标。

炮弹的射高为845m ，且炮弹距地面的高度h （单位：m ）随时间t （单位：s ）变化的规律是：25130t t h -=（*）。

炮弹飞行时间t 的变化范围是数集A = {t |0 ≤ t ≤ 26}，炮弹距地面的高度h 的变化范围是数集B = {h | 0 ≤ h ≤ 845}。

从问题的实际意义可知，对于数集A 中的任意一个时间t ，按照对应关系（*），在数集B 中都有惟一的高度h 和它对应。

引例2、（南极臭氧空洞）近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题，如图的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979 ~ 2001年的变化情况：根据可图中的曲线可知，时间t 的变化范围是数集A = {t | 1979 ≤ t ≤ 2001}，臭氧层空洞面积S 的变化范围是数集B = {S |0 ≤ S ≤26}。

高一数学教学案第一学期第周第课时累计课时月日一、自学导航预习课本第33--34页，完成下列问题：1.列表法：用列表来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做列表法，其优点是函数的和一目了然.2.解析法：用来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做解析法（这个等式通常叫函数的解析表达式，简称），其优点是函数关系清楚，知道自变量的具体值容易求出其对应的，便于用解析式研究函数的性质.3.图像法：用来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做图像法，其优点是能直观地反映函数值随变换的趋势.二、自学检测1.1nmile（海里）约合1852m，根据这一关系，则米数y关于海里数x的函数解析式为.2.购买某种饮料x听，所需钱数为y元，若每听2元，试分别用解析法，列表法，图像法将y表示成x（4,3,2,1x）的函数，（1）解析法：（2）列表法：（3）图像法三、合作释疑例1.画出函数xxf)(的图像，并求)1(),1(),3(),3(ffff的值.记录与整理学习目标1.掌握函数的三种常用表示方法；2.理解分段函数的意义，初步学会用函数的知识解决具体问题的方法.重点：函数的三种表示方法难点：分段函数函数的表示方法高一数学教学案第一学期第周第课时累计课时月日例2.某市出租汽车收费标准如下：在3km以内（含3km）路程按起步价7元收费，超过3km以外的路程按2.4元/km收费.试写出收费额（单位：元）关于路程（单位：km）的函数解析式.四、当堂达标1.画出函数3)(xxf的图像.2.（1）用长为30cm的铁丝围成矩形，试将矩形面积S（2cm）表示为矩形一边长x（单位：cm）的函数，并画出函数的图像.（2）用细铁丝围一个面积为12cm的矩形，试将所用铁丝的长度l（单位：cm）表示为矩形一边长x（单位：cm）的函数.3.已知函数2,0()0,01,0xxfxxxx，则[(0)]ff=.记录与整理小结与反思。