2017届新人教B版 正弦定理、余弦定理 课时作业

课时作业 17一、选择题1．定义在R 上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a ，b ，总有f a －f ba －b>0，则必有( )A ．函数f(x)先增后减B ．f(x)是R 上的增函数C ．函数f(x)先减后增D ．函数f(x)是R 上的减函数解析：由f a －f ba －b>0知，当a>b 时，f(a)>f(b)；当a<b 时，f(a)<f(b)，所以函数f(x)是R 上的增函数．答案：B2．下列函数中，在(0,2)上为增函数的是( )A ．y ＝－3x ＋2B ．y ＝3xC ．y ＝x 2－4x ＋5D ．y ＝3x 2＋8x －10解析：显然A 、B 两项在(0,2)上为减函数，排除；对C 项，函数在(－∞，2)上为减函数，也不符合题意；对D 项，函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，＋∞上为增函数，所以在(0,2)上也为增函数，故选D.答案：D3．函数f(x)在[－2,2]上的图像如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )A ．f(－2)，0B ．0,2C ．f(－2)，2D ．f(2)，2解析：由图像知点(1,2)是最高点，故y main ＝f(－2)． 答案：C4．函数y ＝f()>f(－m ＋9)，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3) B ．(0，＋∞)调递增区间是____________．解析：由图像知单调递增区间为[－1.5,3]和[5,6]．0]，[2,4]．答案：(－∞，0]，[2,4]于是f(x 1)－f(x 2)<0， 即f(x 1)<f(x 2)，∴f(x)＝－1x＋1在(0，＋∞)上是增函数．9．作出函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x≤1，x －22＋3，x>1的图像，并指出函数的单调区间．解析：f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x≤1，x －22＋3，x>1的图像如图所示．由图像可知：函数的单调减区间为(－∞，1]和(1,2]；单调递增区间为(2，＋∞)． [尖子生题库]10．已知函数f(x)＝|x|(x ＋1)，试画出函数f(x)的图像，并根据图像解决下列两个问题．(1)写出函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12上的最大值．解析：f(x)＝|x|(x ＋1)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ，x≤0，x 2＋x ，x>0的图像如图所示．⎛⎤1。

课时跟踪检测（二十六） 正弦定理和余弦定理[达标综合练]1．在△ABC 中，若A ＝60°，C ＝45°，c ＝3，则a ＝( ) A ．1 B.322 C.233D ．2解析：选B 由正弦定理得，a ＝c sin A sin C ＝322.2.△ABC 中，已知面积4S ＝a 2＋b 2－c 2，则角C 的度数为( ) A. 135° B. 45° C. 60°D. 120° 解析：选B 由4S ＝a 2＋b 2－c 2，得4×12ab sin C ＝2ab cos C ，解得tan C ＝1，又角C为△ABC 的内角，所以C ＝45°.3.在△ABC 中，如果A ＝60°，c ＝4,23<a <4，则此三角形有( ) A ．无解 B ．一解 C ．两解D ．无穷多解解析：选C 根据正弦定理，可得a sin A ＝csin C ，所以sin C ＝c ·sin A a ＝23a ， 因为23<a <4，所以sin C ∈⎝⎛⎭⎫32，1， 又由c >a ，则60°<C <120°，有两个C 满足条件，所以此三角形有两解． 4．在△ABC 中， cos 2B 2＝a ＋c2c ，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选B 因为cos 2B 2＝1＋cos B 2，所以1＋cos B 2＝a ＋c 2c ，有cos B ＝ac ＝a 2＋c 2－b 22ac ，整理得a 2＋b 2＝c 2，故C ＝π2， △ABC 的形状为直角三角形．5.已知锐角三角形的三边长分别为1, 2, a ，则a 的取值范围是( ) A ．(3，5) B ．(3,5) C ．(3，5)D ．(5，3)解析：选A 要使锐角三角形的三边长分别为1, 2，a ，则保证2所对应的角和a 所对应的角均为锐角即可，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a 2－42a>0，1＋4－a24>0，a >0，解得3<a < 5.6.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a cos B ＋b cos A ＝4sin C ，则△ABC 的外接圆面积为( )A ．16πB ．8πC ．4πD ．2π解析：选C 设△ABC 的外接圆半径为R ，∵a cos B ＋b cos A ＝4sin C ，∴由余弦定理可得a ×a 2＋c 2－b 22ac ＋b ×b 2＋c 2－a 22bc ＝2c 22c ＝c ＝4sin C ，∴2R ＝csin C ＝4，解得R ＝2，故△ABC 的外接圆面积为S ＝πR 2＝4π.7.如图，点D 是△ABC 的边BC 上一点，AB ＝7，AD ＝2，BD ＝1，∠ACB ＝45°，AC ＝________.解析：∵AB ＝7，AD ＝2，BD ＝1，∠ACB ＝45°， ∴由余弦定理可得cos ∠ADB ＝AD 2＋BD 2－AB 22AD ·BD ＝4＋1－72×2×1＝－12，∵∠ADB ∈(0，π)，∴∠ADB ＝120°， ∴∠ADC ＝180°－∠ADB ＝60°，∴由正弦定理可得AC ＝AD ·sin ∠ADC sin ∠ACB＝2×3222＝ 6.答案： 68．在△ABC 中，给出下列5个命题：①若A <B ，则sin A <sin B ；②若sin A <sin B ，则A <B ；③若A >B ，则1tan 2A >1tan 2B ；④若A <B ，则cos 2A >cos 2B ；⑤若A <B ，则tan A 2<tan B 2.其中正确命题的序号是__________．解析：在△ABC 中，A <B ⇔a <b ⇔sin A <sin B ⇔sin 2A <sin 2B ⇔cos 2A >cos 2B ，故①②④正确；若A ＝75°，B ＝30°，则1tan 150°<1tan 60°，∴③错误；∵0<A <B <π，∴0<A 2<B 2<π2，∴tan A 2<tan B2，故⑤正确．答案：①②④⑤9．(2019·浙江高考)在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，点D 在线段AC 上．若∠BDC ＝45°，则BD ＝________，cos ∠ABD ＝________.解析：如图，易知sin C ＝45，sin A ＝35，cos A ＝45.在△BDC 中，由正弦定理可得BD sin C ＝BC sin ∠BDC ，∴BD ＝BC ·sin Csin ∠BDC＝3×4522＝1225. ∴cos ∠ABD ＝cos(45°－A )＝cos 45°cos A ＋sin 45°sin A ＝22×45＋22×35＝7210. 答案：1225 721010.已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos C (a cos C ＋c cos A )＋b ＝0.(1)求角C 的大小；(2)若b ＝2，c ＝23，求△ABC 的面积． 解：(1)∵2cos C (a cos C ＋c cos A )＋b ＝0，∴由正弦定理可得2cos C (sin A cos C ＋sin C cos A )＋sin B ＝0， ∴2cos C sin(A ＋C )＋sin B ＝0，即2cos C sin B ＋sin B ＝0， 又0°＜B ＜180°，∴sin B ≠0，∴cos C ＝－12，又0°＜C ＜180°，∴C ＝120°.(2)由余弦定理可得(23)2＝a 2＋22－2×2a cos 120°＝a 2＋2a ＋4，又a ＞0，∴解得a ＝2，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝3，∴△ABC 的面积为 3.11．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为a 23sin A .(1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长． 解：(1)由题设得12ac sin B ＝a 23sin A ，即12c sin B ＝a 3sin A. 由正弦定理得12sin C sin B ＝sin A 3sin A ，故sin B sin C ＝23.(2)由题设及(1)得cos B cos C －sin B sin C ＝－12，即cos(B ＋C )＝－12.所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π3.由题设得12bc sin A ＝a 23sin A，即bc ＝8.由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9， 解得b ＋c ＝33.故△ABC 的周长为3＋33.12．(2019·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sin A ＋C2＝b sin A .(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围． 解：(1)由题设及正弦定理得sin A sin A ＋C2＝sin B sin A .因为sin A ≠0，所以sin A ＋C2＝sin B .由A ＋B ＋C ＝180°， 可得sin A ＋C 2＝cos B 2，故cos B 2＝2sin B 2cos B2.因为cos B 2≠0，所以sin B 2＝12，所以B ＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝34a . 由(1)知A ＋C ＝120°，由正弦定理得a ＝c sin A sin C ＝sin (120°－C )sin C ＝32tan C ＋12.由于△ABC 为锐角三角形， 故0°<A <90°，0°<C <90°.结合A ＋C ＝120°，得30°<C <90°， 所以12<a <2，从而38<S △ABC < 32.因此△ABC 面积的取值范围是⎝⎛⎭⎫38，32. [素养强化练]1．[数学运算]已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，b cos ∠BCA ＝a ，点M 在线段AB 上，且∠ACM ＝∠BCM .若b ＝6CM ＝6，则cos ∠BCM ＝( )A.104B.34C.74D.64解析：选B 设∠ACM ＝∠BCM ＝θ，则∠BCA ＝2θ. 又a ＝b cos ∠BCA ，b ＝6CM ＝6， ∴a ＝6cos 2θ，CM ＝1.则由面积关系S △ACM ＋S △BCM ＝S △ABC ， 得12×6×1×sin θ＋12×1×6cos 2θ×sin θ ＝12×6×6cos 2θ×sin 2θ，∴sin θcos θ(4cos θ－3)(3cos θ＋2)＝0. ∵0＜θ＜π2，∴cos θ＝34，故选B.2．[数学建模]线段的黄金分割点定义：若点C 在线段AB 上，且满足AC 2＝BC ·AB ，则称点C 为线段AB 的黄金分割点．在△ABC 中，AB ＝AC ，A ＝36°，若角B 的平分线交边AC 于点D ，则点D 为边AC 的黄金分割点．利用上述结论，可以求出cos 36°＝( )A.5－14B.5＋14C.5－12 D.5＋12解析：选B 设AB ＝2，AD ＝x ， 又AB ＝AC ，所以CD ＝2－x .由黄金分割点的定义可得AD 2＝AC ·CD ， 即x 2＝2·(2－x )，解得AD ＝5－1. 在△ABD 中，由余弦定理得cos 36°＝AD 2＋AB 2－BD 22·AD ·AB ＝(5－1)2＋22－(5－1)22×(5－1)×2＝5＋14.故选B. 3．[数学运算]已知a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，且a cos C ＋12c＝b .(1)求A ；(2)若a ＝1，求△ABC 的周长l 的取值范围． 解：(1)∵a cos C ＋12c ＝b ，由正弦定理得sin A cos C ＋12sin C ＝sin B .又∵sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ， ∴12sin C ＝cos A sin C ， ∵sin C ≠0，∴cos A ＝12.又∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝2sin B 3，c ＝2sin C3，∴l ＝a ＋b ＋c ＝1＋23(sin B ＋sin C ) ＝1＋23[sin B ＋sin(A ＋B )] ＝1＋2⎝⎛⎭⎫32sin B ＋12cos B ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6.∵A ＝π3，∴B ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3，∴B ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，5π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6∈⎝⎛⎦⎤12，1. 故△ABC 的周长l 的取值范围为(2,3]．。

1.1.2 余弦定理课时过关·能力提升1已知在△ABC 中,a ∶b ∶c=1∶1∶√3,则cos C 的值为( ) A.23 B.-23C.12D.-122在△ABC 中,若2cos B sin A=sin C ,则△ABC 的形状一定是( ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形D.等边三角形2cos B sin A=sin C ,得a 2+a 2-a 2aa·a=c , 所以a=b.所以△ABC 为等腰三角形.3已知在△ABC 中,AB=3,BC=√13,AC=4,则边AC 上的高是( ) A.3√22B.3√32C.32D.3√3,得cos A=aa 2+aa 2-aa 22aa ·aa =9+16-132×3×4=12.∴sin A=√32.∴S △ABC =12AB ·AC ·sin A=12×3×4×√32=3√3.设边AC 上的高为h ,则S △ABC =12AC ·h=12×4×h=3√3. ∴h=3√32.4已知在△ABC 中,∠ABC=π4,AB=√2,BC=3,则sin ∠BAC=( ) A.√1010 B.√105C.3√1010D.√55ABC中,由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2AB·BC cos∠ABC=2+9-2×√2×3×√22=5,即得AC=√5.由正弦定理aasin∠aaa =aasin∠aaa,即√5√22=3sin∠aaa,所以sin∠BAC=3√1010.5已知在△ABC中,∠B=60°,b2=ac,则△ABC一定是三角形.B=60°,b2=ac,由余弦定理,得b2=a2+c2-2ac cos B,得ac=a2+c2-ac,即(a-c)2=0,所以a=c.又∠B=60°,所以△ABC是等边三角形.6已知△ABC的内角∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且3b2+3c2-3a2=4√2bc,则sin A=.7设△ABC的内角∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且a=1,b=2,cos C=14,则sinB=.,得c2=a2+b2-2ab cos C=1+4-2×1×2×14=4,解得c=2,即b=c,故sin B=sin C=√1-(14)2=√154.8如图,在△ABC中,已知点D在BC边上,AD⊥AC,sin∠BAC=2√23,AB=3√2,AD=3,则BD的长为.AD⊥AC,∴∠DAC=π2.∵sin ∠BAC=2√23,∴sin (∠aaa +π2)=2√23,∴cos ∠BAD=2√23.由余弦定理,得BD 2=AB 2+AD 2-2AB ·AD ·cos∠BAD=(3√2)2+32-2×3√2×3×2√23=3.∴BD=√3. √3 9在△ABC 中,已知∠B=45°,D 是BC 边上的一点,AD=10,AC=14,DC=6,求AB 的长.ADC 中,AD=10,AC=14,DC=6,由余弦定理,得cos ∠ADC=aa 2+aa 2-aa 22aa ·aa=100+36-1962×10×6=-12,∴∠ADC=120°,∴∠ADB=60°.在△ABD 中,AD=10,∠B=45°,∠ADB=60°, 由正弦定理,得aa sin∠aaa=aasin a, ∴AB=aa ·sin∠aaasin a=10sin60°sin45°=10×√32√22=5√6.10在△ABC 中,∠A ,∠B ,∠C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足c=2b cos A. (1)求证:∠A=∠B ;(2)若△ABC 的面积S=152,cos C=45,求c 的值.c=2b cos A ,由正弦定理,得sin C=2sin B ·cos A ,所以sin(A+B )=2sin B ·cos A ,所以sin(A-B )=0.在△ABC 中,因为0<∠A<π,0<∠B<π, 所以-π<∠A-∠B<π,所以∠A=∠B.(1)知a=b.因为cos C=45,又0<∠C<π,所以sin C=35.又因为△ABC 的面积S=152, 所以S=12ab sin C=152,可得a=b=5. 由余弦定理,得c 2=a 2+b 2-2ab cos C=10. 所以c=√10. ★11设△ABC 是锐角三角形,a ,b ,c 分别是内角∠A ,∠B ,∠C 所对的边,并且sin 2A=sin (π3+a )sin (π3-a )+sin 2B.(1)求∠A 的值;(2)若aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12,a=2√7,求b ,c (其中b<c ).因为sin 2A=(√32cos a +12sin a )·(√32cos a -12sin a )+sin 2B=34cos 2B-14sin 2B+sin 2B=34,所以sin A=√32.又∠A 为锐角, 所以∠A=π3.(2)由aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12,可得bc cos A=12.① 由(1)知∠A=π3, 所以bc=24.②由余弦定理知a 2=c 2+b 2-2bc cos A , 将a=2√7及①代入上式,得c 2+b 2=52,③ 由③+②×2,得(b+c )2=100,所以b+c=10. 因此b ,c 是一元二次方程t 2-10t+24=0的两个根. 解此方程并由c>b 知c=6,b=4.。

课时作业(二)余弦定理一、选择题1．在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝13，b ＝3，A ＝60°，则c ＝()A ．1B ．2C ．4D ．62．边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是()A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，如果A ＝60°，b ＝3，△ABC的面积S ＝323，那么a 等于()A ．7B ．7C ．17D ．174．(多选)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，对于△ABC ，有如下命题，其中正确的有()A ．sin (B ＋C )＝sin AB ．cos (B ＋C )＝cos AC ．若a 2＋b 2＝c 2，则△ABC 为直角三角形D ．若a 2＋b 2<c 2，则△ABC 为锐角三角形二、填空题5．在△ABC 中，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则∠B 的值为________．6．在△ABC 中，B ＝60°，a ＝1，c ＝2，则c sin C＝________．7．若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B ，则B ＝________.三、解答题8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A ＋sin B sin C ＝b －c b －a.(1)求角A ；(2)若a ＝6，△ABC 的面积为3，求△ABC 的周长．9．已知△ABC 中，(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，试判断△ABC 的形状．[尖子生题库]10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a sin A＋b sin B－c sin Csin B sin C－233a＝0.(1)求角C；(2)若△ABC的中线CE的长为1，求△ABC的面积的最大值．参考答案1．解析：a2＝c2＋b2－2cb cos A⇒13＝c2＋9－2c×3×cos60°，即c2－3c－4＝0，解得c＝4或c＝－1(舍去)，故选C.答案：C2．解析：设中间角为θ，则θ为锐角，由余弦定理得cosθ＝52＋82－722×5×8＝12，θ＝60°，180°－60°＝120°，所以三角形最大角与最小角的和是120°.答案：B3．解析：因为S＝12bc sin A＝33c4＝332，所以c＝2；又因为cos A＝b2＋c2－a22bc，所以12＝9＋4－a212，所以a＝7，故选A.答案：A4．解析：依题意，△ABC 中，B ＋C ＝π－A ，sin (B ＋C )＝sin (π－A )＝sin A ，A 正确；cos (B ＋C )＝cos (π－A )＝－cos A ，B 不正确；因a 2＋b 2＝c 2，则由余弦定理得：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝0，而0<C <π，即有C ＝π2，△ABC 为直角三角形，C 正确；因a 2＋b 2<c 2，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab<0，而0<C <π，即有π2<C <π，△ABC 为钝角三角形，D 不正确．答案：AC5．解析：根据余弦定理，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32，又∠B ∈(0，π)，所以∠B ＝π6.答案：π66．解析：由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝3，所以b ＝3，由正弦定理得c sin C ＝b sin B ＝332＝2.答案：27．解析：由正弦定理得a 2＋c 2－2ac ＝b 2，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，故cos B ＝22.又因为B 为三角形的内角，所以B ＝45°.答案：45°8．解析：(1)因为sin A ＋sin B sin C ＝b －c b －a ，所以a ＋b c ＝b －c b －a，化简得c 2＋b 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)因为△ABC 的面积为3，所以12bc sin A ＝34bc ＝3，得bc ＝4.因为A ＝π3，a ＝6，所以b 2＋c 2－2bc cos π3＝6，整理得(b ＋c )2＝3bc ＋6＝18，解得b ＋c ＝32.故△ABC 的周长为6＋32.答案：(1)A ＝π3(2)6＋329．解析：方法一(利用边的关系判断)由正弦定理，得sin C sin B ＝c b .∵2cos A sin B ＝sin C ，∴cos A ＝sin C 2sin B ＝c 2b .∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∴b 2＋c 2－a 22bc＝c 2b ，∴c 2＝b 2＋c 2－a 2，∴a 2＝b 2，∴a ＝b .∵(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，∴(a ＋b )2－c 2＝3ab .∵a ＝b ，∴4b 2－c 2＝3b 2，∴b 2＝c 2，∴b ＝c ，∴△ABC 为等边三角形．方法二(利用角的关系判断)∵A ＋B ＋C ＝180°，∴sin C ＝sin (A ＋B ).∵2cos A sin B ＝sin C ，∴2cos A sin B ＝sin (A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，∴sin (A －B )＝0.∵0°<A <180°，0°<B <180°，∴－180°<A －B <180°，∴A －B ＝0°，即A ＝B .∵(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，∴(a ＋b )2－c 2＝3ab ，∴a 2＋b 2－c 2＝ab ，∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝12，∴C ＝60°，∴△ABC 为等边三角形．10．解析：(1)由a sin A ＋b sin B －c sin C sin B sin C －233a ＝0，得a ·a ＋b ·b －c ·c b ·sin C ＝233a ，即a 2＋b 2－c 22ab ＝33sin C ，由余弦定理得cos C ＝33sin C ，所以tan C ＝3，因为C ∈(0，π)，所以C ＝π3.(2)由余弦定理b 2＝1＋c 24－2×1×c 2·cos ∠CEA ①，a 2＝1＋c 24－2×1×c 2·cos ∠CEB ②，①＋②得，b 2＋a 2＝2＋c 22，即2(b 2＋a 2)＝4＋c 2，因为c 2＝a 2＋b 2－2ab ·cos C ，所以a 2＋b 2＝4－ab ≥2ab ，所以ab ≤43，当且仅当a ＝b 时取等号，所以S △ABC ＝12ab sin C ≤12×43×32＝33，即△ABC 面积的最大值为33.。

第四章 三角函数、解三角形第六节 正弦定理和余弦定理A 级·基础过关 |固根基|1.在△ABC 中，若sin A a ＝cos Bb ，则B 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选B 由正弦定理知，sin A sin A ＝cos Bsin B ，∴tan B ＝1.∵0°<B <180°，∴B ＝45°.故选B ．2．在△ABC 中，2a cos A ＋b cos C ＋c cos B ＝0，则角A 的大小为( ) A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6解析：选C 由余弦定理得，2a cos A ＋b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝0，即2a cos A ＋a ＝0，∴cos A ＝－12，又A ∈(0，π)，∴A ＝2π3.故选C ．3．(2021届宝鸡一模)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＝7，c ＝4，cos B ＝34，则△ABC 的面积等于( ) A ．37 B ．372C ．9D ．92解析：选B ∵b ＝7，c ＝4，cos B ＝34，∴sin B ＝1－cos 2B ＝74，∴由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，可得7＝a 2＋16－2×a ×4×34，整理可得a 2－6a ＋9＝0，解得a ＝3，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×3×4×74＝372.故选B ． 4．(2021届湘东六校联考)若△ABC 的三个内角满足6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．以上都有可能解析：选C 由题意，利用正弦定理可得6a ＝4b ＝3c ，则可设a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k ，k >0，则cos C＝4k 2＋9k 2－16k 22×2k ×3k<0，所以C 是钝角，所以△ABC 是钝角三角形，故选C ．5．(2021届昆明市高三诊断测试)在平面四边形ABCD 中，∠D ＝90°，∠BAD ＝120°，AD ＝1，AC ＝2，AB ＝3，则BC ＝( )A ． 5B ． 6C ．7D ．2 2解析：选C 如图，在△ACD 中，∠D ＝90°，AD ＝1，AC ＝2，所以∠CAD ＝60°.又∠BAD ＝120°，所以∠BAC ＝∠BAD －∠CAD ＝60°.在△ABC 中，由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC ＝7，所以BC ＝7.故选C ．6．(2021届湖北部分重点中学联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，cos A a ＋cos Bb ＝sin C c ，若b 2＋c 2－a 2＝85bc ，则tan B 的值为( ) A ．－13B ．13C ．－3D ．3解析：选C 因为cos A a ＋cos B b ＝sin C c ，所以由正弦定理得cos A sin A ＋cos B sin B ＝sin C sin C ＝1，即1tan A ＋1tan B ＝1.又b 2＋c 2－a 2＝85bc ，所以由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得cos A ＝45，则sin A ＝1－cos 2A ＝35，则tan A ＝sin A cos A ＝34，解得tan B ＝－3，故选C ．7．(2021届四川五校联考)在△ABC 中，角A 的平分线交BC 于点D ，BD ＝2CD ＝2，则△ABC 面积的最大值为( )A ．3 2B ．2 2C ．3D ．4解析：选C 如图，由BD ＝2CD ＝2，知BC ＝3，由角平分线定理，得AB AC ＝BDCD ＝2，设AC ＝x ，∠BAC ＝2α，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则AB ＝2x ，由余弦定理，得32＝4x 2＋x 2－2·2x ·x ·cos 2α，即x 2＝95－4cos 2α.S △ABC ＝12·2x ·x ·sin 2α＝x 2·sin 2α＝9sin 2α5－4cos 2α＝9×2sin αcos α5－4×（cos 2α－sin 2α）＝9·2tan α1＋tan 2α5－4·1－tan 2α1＋tan 2α＝18tan α1＋9tan 2α＝181tan α＋9tan α≤1821tan α·9tan α＝3，当且仅当1tan α＝9tan α，即tan α＝13时取等号，故△ABC 面积的最大值为3.8．(2021届合肥调研)在△ABC 中，A ＝2B ，AB ＝73，BC ＝4，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，则线段AD 的长为________．解析：解法一：因为A ＝2B ，BC ＝4，所以由正弦定理AC sin B ＝BC sin A ，得AC sin B ＝4sin 2B ＝42sin B cos B，所以cos B ＝2AC 且AC >2，由余弦定理AC 2＝BC 2＋AB 2－2BC ·AB cos B ，得AC 2＝42＋⎝⎛⎭⎫732－2×4×73×2AC ，即9AC 3－193AC ＋336＝0，得(AC －3)(3AC －7)(3AC ＋16)＝0，解得AC ＝73或AC ＝3.当AC ＝73时，△ABC为等腰三角形，且cos B ＝67，2B ＝2∠ACB ＝A ，由三角形内角和定理A ＋B ＋∠ACB ＝π，得B ＝π4，与cos B＝67矛盾，舍去；当AC ＝3时，由三角形的角平分线定理，得AD BD ＝AC BC ，即AD 73－AD ＝34，解得AD ＝1.综上可得，AD ＝1.解法二：因为A ＝2B ，BC ＝4，所以由正弦定理AC sin B ＝BC sin A ，得AC sin B ＝4sin 2B ＝42sin B cos B ，所以cosB ＝2AC ，则cos A ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝8AC2－1.在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，由正弦定理可得AC cos A ＋BC cos B ＝AB ，即AC ·⎝⎛⎭⎫8AC 2－1＋4·2AC ＝73，解得AC ＝－163(舍去)或AC ＝3，由三角形的角平分线定理，得AD BD ＝AC BC ，即AD 73－AD ＝34，解得AD ＝1.答案：19．(年天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＋c ＝2a ，3c sin B ＝4a sin C ．(1)求cos B 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6的值． 解：(1)在△ABC 中，由正弦定理b sin B ＝csin C，得b sin C ＝c sin B ，又由3c sin B ＝4a sin C ，得3b sin C＝4a sin C ，即3b ＝4a .又因为b ＋c ＝2a ，得到b ＝43a ，c ＝23a .由余弦定理可得，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋49a 2－169a 22·a ·23a＝－14. (2)由(1)可得，sin B ＝1－cos 2B ＝154， 从而sin 2B ＝2sin B cos B ＝－158，cos 2B ＝cos 2B －sin 2B ＝－78， 故sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6＝sin 2B cos π6＋cos 2B sin π6＝－158×32－78×12＝－35＋716. 10．(2021届石家庄摸底)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，b cos A ＋22a ＝c ，D 是BC 边上的点．(1)求角B ；(2)若AC ＝7，AD ＝5，DC ＝3，求AB 的长． 解：(1)由b cos A ＋22a ＝c 及正弦定理，得sin B cos A ＋22sin A ＝sin C ，即sin B cos A ＋22sin A ＝sin(A ＋B )，所以sin B cos A ＋22sin A ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即22sin A ＝sin A cos B ．∵sin A ≠0，∴cos B ＝22，∴B ＝π4.(2)在△ADC 中，AC ＝7，AD ＝5，DC ＝3，∴cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC ＝52＋32－722×5×3＝－12，∴∠ADC ＝2π3.在△ABD 中，AD ＝5，B ＝π4，∠ADB ＝π3，由AB sin ∠ADB ＝ADsin B ，得AB ＝AD ·sin ∠ADB sin B ＝5×sin π3sin π4＝5×3222＝562. 11．(年江苏卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . (1)若a ＝3c ，b ＝2，cos B ＝23，求c 的值；(2)若sin A a ＝cos B2b ，求sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π2的值． 解：(1)因为a ＝3c ，b ＝2，cos B ＝23，由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，得23＝（3c ）2＋c 2－（2）22×3c ×c，即c 2＝13.所以c ＝33. (2)因为sin A a ＝cos B2b，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得cos B 2b ＝sin Bb ，所以cos B ＝2sin B ，从而cos 2B ＝(2sin B )2，即cos 2B ＝4(1－cos 2B )，故cos 2B ＝45.因为sin B >0，所以cos B ＝2sin B >0， 从而cos B ＝255.因此sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π2＝cos B ＝255. B 级·素养提升 |练能力|12.(2021届惠州调研)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且内角满足sin A －sin B ＋sin Csin C ＝sin Bsin A ＋sin B －sin C .(1)求角A ；(2)若△ABC 的外接圆半径为1，求△ABC 的面积S 的最大值． 解：(1)由题意及正弦定理可得a －b ＋c c ＝ba ＋b －c，化简得b 2＋c 2－a 2＝bc ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∴cos A ＝bc 2bc ＝12.又0<A <π，∴A ＝π3. (2)记△ABC 外接圆的半径为R ，由正弦定理得a sin A ＝2R ，即a ＝2R sin A ＝2sin π3＝3，由余弦定理得3＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ， 即bc ≤3(当且仅当b ＝c 时取等号)，故S ＝12bc sin A ≤12×3×32＝334(当且仅当b ＝c 时取等号)，即△ABC 的面积S 的最大值为334.13．(年全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sin A ＋C2＝b sin A . (1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围． 解：(1)由题设及正弦定理，得sin A sin A ＋C2＝sin B sin A . 因为sin A ≠0，所以sin A ＋C 2＝sin B ．由A ＋B ＋C ＝180°，可得sinA ＋C 2＝cosB 2，故cos B 2＝2sin B 2cos B2.因为cos B 2≠0，故sin B 2＝12，因此B ＝60°.(2)由题设及(1)知，△ABC 的面积S △ABC ＝12ac sin B ＝34a .由正弦定理得a ＝c sin A sin C ＝sin （120°－C ）sin C ＝32tan C ＋12.由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°.由(1)知，A ＋C ＝120°， 所以30°<C <90°，故12<a <2，从而38<S △ABC <32.所以△ABC 面积的取值范围是⎝⎛⎭⎫38，32. 14．(2021届长春市第二次质量监测)如图，在△ABC 中，AB ＝3，∠ABC ＝30°，cos ∠ACB ＝74. (1)求AC 的长；(2)作CD ⊥BC ，连接AD ，若AD ∶CD ＝2∶3，求△ACD 的面积． 解：(1)因为cos ∠ACB ＝74，所以sin ∠ACB ＝34， 由正弦定理得AC ＝ABsin ∠ACB·sin ∠ABC ＝2.(2)因为CD ⊥BC ，所以∠ACD ＝90°－∠ACB ，所以cos ∠ACD ＝sin ∠ACB ＝34.设AD ＝2m ，则CD ＝3m .由余弦定理得AD 2＝AC 2＋CD 2－2×AC ×CD cos ∠ACD ，即4m 2＝4＋9m 2－2×2×3m ×34，解得m ＝1或m ＝45.当m ＝1时，CD ＝3，sin ∠ACD ＝74，S △ACD ＝12·AC ·CD ·sin ∠ACD ＝374； 当m ＝45时，CD ＝125，sin ∠ACD ＝74，S △ACD ＝12·AC ·CD sin ∠ACD ＝375.综上，△ACD 的面积为374或375.。

1.1正弦定理、余弦定理习题课【学习目标】1.能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化；2.能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；3.能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式【自主检测】1.在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π4的值．2.在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且3a ＝2c sin A .(1)确定角C 的大小；(2)若c ＝7，且△ABC 的面积为332，求a ＋b 的值．【典型例题】例1.在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求BC 的长．例2.设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，cos(A －C )＋cos B ＝32，b 2＝ac ，求B .【目标检测】1.在△ABC 中，已知b ＝a sin B ，且cos B ＝cos C ，则△ABC 的形状是( )A ．等边三角B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形2.根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是( )A ．a ＝8 b ＝16 A ＝30°有两解B ．b ＝18 c ＝20 B ＝60°有一解C．a＝5 b＝2 A＝90°无解 D．a＝30 b＝25 A＝120°有一解3.已知△ABC中，AB＝3，AC＝1，且B＝30°，则△ABC的面积等于( )A.32B.34C.32或 3 D.34或324*.在△ABC中，若tan A－tan Btan A＋tan B＝c－bc，求角A【总结提升】1.在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理与所证结论的联系，并注意特殊正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等；2.三角恒等式的证明或者三角形形状的判断，重在发挥正、余弦定理的边角互换作用。

课时练习(三) 正弦定理与余弦定理的应用数学探究活动：得到不可达两点之间的距离(建议用时：40分钟)一、选择题1．海上有A，B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C之间的距离为()A．2 6 n mile B．3 6 n mileC．5 6 n mile D．6 6 n mileC[在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝75°，∴∠C＝45°.∵ABsin C＝BCsin A，∴BC＝AB·sin Asin C＝10×3222＝56(n mile)．]2．某人向正东方向走x km后向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好是 3 km，那么x的值是()A. 3 B．23C．23或 3 D．3C[如图所示，在△ABC中，AB＝x，BC＝3，AC＝3，∠B＝30°.由余弦定理，得(3)2＝x2＋32－2×3×x×32，所以x2－33x＋6＝0，解得x＝3或x＝2 3.]3．一艘船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，船继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这艘船的航行速度是()A．52海里/时B．5海里/时C．102海里/时D．10海里/时D[如图所示，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10海里，在直角三角形ABC中，可得AB＝5海里，于是这艘船的航行速度是10海里/时．]4．有一条与两岸平行的河流，水速为1 m/s，小船的速度为 2 m/s，为使所走路程最短，小船应朝什么方向行驶()A．与水速成45°B．与水速成135°C．垂直于对岸D．不能确定B[如图所示，AB是水速，AD为船速，AC是船的实际速度，且AC⊥AB，在Rt△ABC中，cos∠ABC＝ABBC＝ABAD＝22.∴∠ABC＝45°，∴∠DAB＝180°－45°＝135°.则小船的方向应与水速成135°行驶．]5．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在地面上前进600 m后测得仰角为2θ，继续在地面上前进200 3 m以后测得山峰的仰角为4θ，则该山峰的高度为()A．200 m B．300 mC．400 m D．100 3 mB[如图，△BED，△BDC为等腰三角形，BD＝ED＝600(m)，BC＝DC＝2003 (m)．在△BCD中，由余弦定理可得cos 2θ＝6002＋(2003)2－(2003)22×600×2003＝32，∵0°＜2θ＜90°，∴2θ＝30°，4θ＝60°.在Rt△ABC中，AB＝BC·sin 4θ＝2003×32＝300(m)，故选B.]二、填空题6．如图所示，为测量一棵树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60 m，则树的高度为________．(30＋303)m[由正弦定理得60sin(45°－30°)＝PBsin 30°，∴PB＝30sin 15°，∴树的高度h＝PB sin 45°＝(30＋303)(m)．]7．如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C.测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B 两点的距离为________m.502[由题意知∠ABC＝30°，由正弦定理，得ACsin∠ABC＝ABsin∠ACB，∴AB＝AC·sin∠ACBsin∠ABC＝50×2212＝502(m)．]8．如图，某交警队为了了解山底一段水平公路上行驶车辆的车速情况，现派交警进行测量．交警小明在山顶A处观测到一辆汽车在这段水平公路上沿直线匀速行驶，交警小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC ＝135°，若山高AD＝100 m，汽车从B点到C点历时14 s，则这辆汽车的速度为________m/s.50107[分析知∠ABD＝30°，∠ACD＝45°，∴在△ABD和△ACD中，AB＝200 m，AC＝100 2 m，∴在△ABC中，BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC cos∠BAC＝100 000，即BC＝10010 m，∴这辆汽车的速度为BC14＝1001014＝50107(m/s)．]三、解答题9．如图，一人在C地看到建筑物A在正北方向，另一建筑物B在北偏西45°方向，此人向北偏西75°方向前进30 km到达D处，看到A在他的北偏东45°方向，B在北偏东75°方向，试求这两座建筑物之间的距离．[解]由题意可知CD＝30，∠BDC＝180°－75°－75°＝30°，∠CBD＝180°－30°－30°＝120°，∠DAC＝45°.在△BDC中，由正弦定理可得，BC＝DC·sin∠BDCsin∠DBC＝30·sin 30°sin 120°＝10.在△ADC中，由正弦定理可得，AC＝DC·sin∠ADCsin∠DAC＝30·sin 60°sin 45°＝3 5.在△ABC中，由余弦定理可得，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝(35)2＋(10)2－2×35×10×cos 45°＝25，∴AB＝5.故这两座建筑物之间的距离为5 km.10．如图所示，在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处(3－1) n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2 n mile的C处的缉私船奉命以10 3 n mile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿着什么方向能最快追上走私船？[解]设缉私船用t h在D处追上走私船，则有CD＝103t，BD＝10t，在△ABC中，∵AB＝3－1，AC＝2，∠BAC＝120°，∴由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝(3－1)2＋22－2×(3－1)×2cos 120°＝6，∴BC＝6，且sin∠ABC＝ACBC·sin∠BAC＝26·32＝22.∴∠ABC＝45°.∴BC与正北方向垂直．∵∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理，得sin∠BCD＝BD·sin∠CBDCD＝10t sin 120°103t＝12，∴∠BCD＝30°.即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．11．如图，为绘制海底地貌图，测量海底两点C，D间的距离，海底探测仪沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，C，D在同一个铅垂平面内．海底探测仪测得∠BAC＝30°，∠DAC＝45°，∠ABD＝45°，∠DBC＝75°，A，B两点的距离为3 km.则C，D间的距离是()A. 3 km B．3 kmC. 5 km D．5 kmC[在△ABD中，因为∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝30°＋45°＝75°，所以∠ADB＝180°－∠BAD－∠ABD＝180°－75°－45°＝60°.由ABsin∠ADB＝ADsin∠ABD，得AD＝3sin 45°sin 60°＝2，因为∠ABC＝∠ABD＋∠DBC＝45°＋75°＝120°，∠BAC＝∠BCA＝30°，所以BC＝AB＝3，所以AC＝AB2＋BC2－2AB×BC cos∠ABC＝3.在△ACD中，由余弦定理，得CD2＝AC2＋AD2－2AC×AD cos∠DAC＝5，即CD＝ 5.故C，D间的距离为 5 km.故选C.]12．如图所示，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6 km，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为()A．8 km/h B．6 2 km/hC．234 km/h D．10 km/hB[设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sin θ＝0.61＝35，从而cos θ＝45，所以由余弦定理得⎝⎛⎭⎪⎫110v2＝⎝⎛⎭⎪⎫110×22＋12－2×110×2×1×45，解得v＝6 2.]13．(一题两空)如图，一艘轮船从A出发，沿南偏东70°的方向航行40海里后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东35°的方向航行了402海里到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到C，则此船航行的方向为北偏东______度，航行路程为________海里．8020(6＋2)[由题意，在△ABC中，∠ABC＝70°＋35°＝105°，AB＝40，BC＝40 2.根据余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos∠ABC＝402＋(402)2－2×40×402×2－6 4＝3 200＋1 6003，∴AC＝20(6＋2)．根据正弦定理得BCsin∠CAB＝ACsin 105°，∴∠CAB＝45°，∴此船航行的方向和路程分别为北偏东65°，20(6＋2)海里．]14.如图所示，有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC.小明在山脚B处看索道AC，此时视角∠ABC＝120°，从B处攀登200米到达D处，回头看索道AC，此时视角∠ADC＝150°，从D处再攀登300米到达C处．则石竹山这条索道AC长为________米．10039[在△ABD中，BD＝200米，∠ABD＝120°.因为∠ADB＝30°，所以∠DAB＝30°.由正弦定理，得BDsin∠DAB＝ADsin∠ABD，所以200sin 30°＝ADsin 120°.所以AD＝200×sin 120°sin 30°＝2003(米)．在△ADC中，DC＝300米，∠ADC＝150°，所以AC2＝AD2＋DC2－2AD×DC×cos∠ADC＝(2003)2＋3002－2×2003×300×cos 150°＝390 000，所以AC＝10039(米)．故石竹山这条索道AC长为10039米．]15．如图所示，某军舰艇位于岛屿A的正西方C处，且与岛屿A相距120海里．经过侦察发现，国际海盗船以50海里/时的速度从岛屿A出发沿东偏北60°方向逃窜，同时，该军舰艇从C处出发沿东偏北α的方向匀速追赶国际海盗船，恰好用4小时追上．(1)求该军舰艇的速度；(2)求sin α的值．[解](1)依题意知，∠CAB＝120°，AB＝50×4＝200，AC＝120，∠ACB＝α，在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠CAB＝2002＋1202－2×200×120cos 120°＝78 400，解得BC＝280.所以该军舰艇的速度为BC4＝70海里/时．(2)在△ABC中，由正弦定理，得ABsin α＝BCsin 120°，即sin α＝AB sin 120°BC＝200×32280＝5314.。

2017春高中数学 第1章 解三角形 1。

1 正弦定理和余弦定理 第1课时 正弦定理 课时作业 新人教B 版必修5基 础 巩 固一、选择题 1．在△ABC 中，AB ＝3，∠A ＝45°,∠C ＝75°,则BC 等于错误!（ A )A ．3－ 3B ． 2C ．2D ．3＋错误!［解析］ 由正弦定理，得错误!＝错误!，即错误!＝错误!，∴BC ＝错误!＝错误!＝3－错误!.2．已知△ABC 的三个内角之比为A ︰B ︰C ＝3︰2︰1,那么对应的三边之比a ︰b ︰c 等于错误!（ D )A ．3︰2︰1B ．错误!︰2︰1C ．错误!︰错误!︰1D ．2︰错误!︰1 ［解析］ ∵⎩⎨⎧ A ︰B ︰C ＝3︰2︰1A ＋B ＋C ＝180°，∴A ＝90°，B ＝60°，C ＝30°.∴a ︰b ︰c ＝sin A ︰sin B ︰sin C ＝1︰错误!︰错误!＝2︰错误!︰1。

3．在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝错误!，则sin B ＝错误!( B ）A ．错误!B ．错误!C ．错误!D ．1 ［解析］ 由正弦定理，得a sin A ＝错误!，∴错误!＝错误!，即sin B ＝错误!，选B ．4．在△ABC 中,三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若错误!＝错误!，则角B 的大小为错误!( B )A ．错误!B ．错误!C．错误!D．错误!［解析]由错误!＝错误!及错误!＝错误!，可得sin B＝cos B，又0<B<π,∴B＝错误!。

5．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量m＝(3，－1）,n＝(cos A,sin A），若m⊥n,且a cos B＋b cos A＝c sin C，则角A、B的大小分别为错误!（ C ）A．错误!，错误!B．错误!，错误!C．π3，错误!D．错误!，错误![解析]∵m⊥n,∴错误!cos A－sin A＝0,∴tan A＝错误!,则A＝错误!。

习题课 正弦定理和余弦定理基础过关1.在△ABC 中，若a ＝7，b ＝8，cos C ＝1314，则最大角的余弦值是( ) A.－15B.－16C.－17D.－18解析 ∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝9，c ＝3，∴B 为最大角，cos B ＝a 2＋c 2－b22ac＝49＋9－642×7×3＝－17.答案 C2.设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a ，3sin A ＝5sin B ，则C ＝( ) A.π3B.2π3C.3π4D.5π6解析 根据正弦定理可将3sin A ＝5sin B 化为3a ＝5b ， 所以a ＝53b ，代入b ＋c ＝2a 可得c ＝73b ， 由余弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12， 因为0<C <π，所以C ＝2π3. 答案 B3.已知△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6.则AB →·BC →的值为( )A.19B.14C.－18D.－19解析 由余弦定理的推论知： cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝1935.所以AB→·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B )＝7×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1935＝－19，故选D.答案 D4.在△ABC 中，B ＝60°，a ＝1，S △ABC ＝32，则csin C ＝________. 解析 S △ABC ＝12ac sin B ＝12×1×c ×32＝32， ∴c ＝2，∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝1＋4－2×1×2×12＝3， ∴b ＝3，∴c sin C ＝b sin B ＝332＝2.答案 25.在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C ，则△ABC 是________三角形. 解析 ∵a cos A ＝bcos B ，∴a cos B －b cos A ＝0， ∴sin A cos B －sin B cos A ＝0，∴sin(A －B )＝0. ∵A ，B ∈(0，π)，∴A －B ∈(－π，π)， ∴A －B ＝0，∴A ＝B .同理B ＝C ，∴A ＝B ＝C ， ∴△ABC 为等边三角形. 答案 等边6.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin A ＝4b sin B ，ac ＝5(a 2－b 2－c 2). (1)求cos A 的值； (2)求sin(2B －A )的值.解 (1)由a sin A ＝4b sin B 及a sin A ＝bsin B ，得a ＝2b .由ac ＝5(a 2－b 2－c 2)及余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－55ac ac ＝－55. (2)由(1)，可得sin A ＝255，代入a sin A ＝4b sin B ，得sin B ＝a sin A 4b ＝55.由(1)知，A为钝角，所以cos B＝1－sin2B＝255.于是sin 2B＝2sin B cos B＝45，cos 2B＝1－2sin2B＝35，故sin(2B－A)＝sin 2B cos A－cos 2B sin A＝45×⎝⎛⎭⎪⎫－55－35×255＝－255.7.在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2a sin B＝3b.(1)求角A的大小；(2)若a＝6，b＋c＝8，求△ABC的面积.解(1)由2a sin B＝3b及正弦定理asin A＝bsin B，得sin A＝3 2.因为A是锐角，所以A＝π3.(2)因为a＝6，cos A＝1 2，所以由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得b2＋c2－bc＝36.又因为b＋c＝8，所以bc＝28 3.由三角形面积公式S＝12bc sin A，得△ABC的面积为12×283×32＝733.能力提升8.△ABC的两边长分别为2，3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆半径为()A.922 B.924C.928 D.229解析不妨设c＝2，b＝3，则cos A＝13，sin A＝223.∵a2＝b2＋c2－2bc cos A，∴a2＝32＋22－2×3×2×13＝9，∴a＝3.∵asin A＝2R，∴R＝a2sin A＝32×223＝928.答案C9.已知△ABC中，三边与面积的关系为S△ABC＝a2＋b2－c243，则cos C的值为()A.12 B.22 C.32 D.0解析S△ABC ＝12ab sin C＝a2＋b2－c243＝2ab cos C43，∴tan C＝33，又C∈(0，π)，∴C＝π6，∴cos C＝32.答案C10.在△ABC中，若a2－b2＝3bc，sin C＝23sin B，则A＝________.解析由sin C＝23sin B，根据正弦定理，得c＝23b，代入a2－b2＝3bc，得a2－b2＝6b2，即a2＝7b2.由余弦定理的推论得cos A＝b2＋c2－a22bc＝b2＋12b2－7b22b·23b＝6b243b2＝32.又∵0°＜A＜180°，∴A＝30°.答案30°11.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c＝12a，2sin B＝3sin C，则cos A的值为________.解析由2sin B＝3sin C及正弦定理可得：2b＝3c，由b－c＝12a可得：a＝c，b＝32c，由余弦定理的推论可得cos A＝b2＋c2－a22bc＝34.答案3 412.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b 2＝ac ，且cos B ＝34.(1)求1tan A ＋1tan C 的值； (2)设BA→·BC →＝32，求a ＋c 的值. 解 (1)由cos B ＝34及0<B <π，得sin B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝74，由b 2＝ac 及正弦定理，得sin 2 B ＝sin A sin C ， 于是1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C ＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝sin （A ＋C ）sin 2B＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝477.(2)由BA→·BC →＝32得ca cos B ＝32， 由cos B ＝34， 可得ca ＝2，即b 2＝2.由余弦定理得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B ＝5， ∴(a ＋c )2＝a 2＋c 2＋2ac ＝5＋4＝9，∴a ＋c ＝3.创新突破13.在△ABC 中，a ＋b ＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求： (1)a 的值；(2)sin C 和△ABC 的面积. 条件①：c ＝7，cos A ＝－17； 条件②：cos A ＝18，cos B ＝916.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 解 (从条件①②中任选一个即可)选条件①：c ＝7，cos A ＝－17，且a ＋b ＝11. (1)在△ABC 中，由余弦定理的推论，得 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝（11－a ）2＋72－a 22×（11－a ）×7＝－17，解得a ＝8.(2)∵cos A ＝－17，A ∈(0，π)， ∴sin A ＝1－cos 2A ＝1－149＝437.在△ABC 中，由正弦定理，得 sin C ＝c ·sin A a ＝7×4378＝32.∵a ＋b ＝11，a ＝8，∴b ＝3，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×8×3×32＝6 3. 选条件②：cos A ＝18，cos B ＝916，且a ＋b ＝11. (1)∵A ∈(0，π)，B ∈(0，π)，cos A ＝18，cos B ＝916， ∴sin A ＝1－cos 2A ＝1－164＝378， sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫9162＝5716. 在△ABC 中，由正弦定理，可得 a b ＝sin A sin B ＝3785716＝65. 又∵a ＋b ＝11，∴a ＝6，b ＝5. (2)sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B＝378×916＋18×5716＝327128＝74.∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×5×74＝1574.。

第2课时 正弦定理和余弦定理一、选择题1．若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段( )A ．能组成直角三角形B ．能组成锐角三角形C ．能组成钝角三角形D ．不能组成三角形答案 B解析 设最大角为θ，则最大边对应的角的余弦值为cos θ＝52＋62－722×5×6＝15>0，所以能组成锐角三角形． 2．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b 2－2a 2＝ac ＋2c 2，则sin B 等于( ) A.154 B.14 C.32 D.12 答案 A解析 由2b 2－2a 2＝ac ＋2c 2，得2(a 2＋c 2－b 2)＋ac ＝0.由余弦定理，得a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，∴4ac cos B ＋ac ＝0.∵ac ≠0，∴4cos B ＋1＝0，cos B ＝－14， 又B ∈(0，π)，∴sin B ＝1－cos 2B ＝154. 3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝13，b ＝3，A ＝60°，则边c 等于( )A ．1B ．2C ．4D ．6答案 C解析 ∵a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ，∴13＝c 2＋9－2c ×3×cos 60°，即c 2－3c －4＝0，解得c ＝4或c ＝－1(舍去)．4．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( ) A.43 B ．8－4 3 C ．1 D.23答案 A解析 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝(a ＋b )2－2ab －2ab cos C ，∴(a ＋b )2－c 2＝2ab (1＋cos C )＝2ab (1＋cos 60°)＝3ab ＝4，∴ab ＝43. 5．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c 2－b 2＝ab ，C ＝π3，则sin A sin B的值为( )A.12B ．1C ．2D ．3 答案 C解析 由余弦定理得c 2－b 2＝a 2－2ab cos C ＝a 2－ab ＝ab ，所以a ＝2b ，所以由正弦定理得sin A sin B＝a b＝2. 6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＋c ＝2a ，3sin A ＝5sin B ，则C 等于( )A.π3B.3π4C.2π3D.5π6答案 C解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B和3sin A ＝5sin B ， 得3a ＝5b ，即b ＝35a ， 又b ＋c ＝2a ，∴c ＝75a ， 由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12， ∴C ＝2π3. 7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( ) A. 3 B.932 C.332 D ．3 3 答案 C解析 由题意得c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6，由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ，∴－2ab ＋6＝－ab ，即ab ＝6.∴S △ABC ＝12ab sin C ＝332. 8．在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC 等于( ) A.1010 B.105 C.31010 D.55答案 C解析 在△ABC 中，由余弦定理，得AC 2＝BA 2＋BC 2－2BA ·BC ·cos ∠ABC＝(2)2＋32－2×2×3×cos π4＝5. ∴AC ＝5，由正弦定理BC sin ∠BAC ＝AC sin ∠ABC，得 sin ∠BAC ＝BC ·sin ∠ABC AC ＝3×sin π45＝3×225＝31010. 二、填空题9．若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B ，则B ＝ .答案 45°解析 由正弦定理，得a 2＋c 2－2ac ＝b 2，由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，故cos B ＝22. 又因为B 为三角形的内角，所以B ＝45°.10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 满足b 2＋c 2＝a 2＋bc ，且bc ＝8，则△ABC 的面积为 ．答案 2 3解析 因为b 2＋c 2＝a 2＋bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以A ＝π3， 三角形面积S ＝12bc sin A ＝12×8×32＝2 3. 11．在△ABC 中，a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝ .答案 30°解析 由sin C ＝23sin B 及正弦定理，得c ＝23b ，把它代入a 2－b 2＝3bc ，得a 2－b 2＝6b 2，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 22b ·23b ＝6b 243b 2＝32， 又0°<A <180°，所以A ＝30°.三、解答题12.如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点且AB ＝AD ，2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，求sin C 的值．解 设AB ＝a ，则AD ＝a ，BD ＝2a 3，BC ＝2BD ＝4a 3， cos A ＝AB 2＋AD 2－BD 22AB ·AD ＝2a 2－43a 22a 2＝13， ∴A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin A ＝1－cos 2A ＝223. 由正弦定理，得sin C ＝AB BC ·sin A ＝34×223＝66. 13．已知在△ABC 中，BC ＝15，AB ∶AC ＝7∶8，sin B ＝437，求BC 边上的高AD 的长． 解 在△ABC 中，设AB ＝7x ，则AC ＝8x ，由正弦定理，得7x sin C ＝8x sin B， 则sin C ＝7x sin B 8x ＝78×437＝32， 因为0<C <180°，AB <AC ，所以C ＝60°或C ＝120°(舍去)．再由余弦定理，得(7x )2＝(8x )2＋152－2×8x ×15×cos 60°，即x 2－8x ＋15＝0，解得x ＝3或x ＝5，所以AB ＝21或AB ＝35.当AB ＝21时，AC ＝24，当AB ＝35时，AC ＝40，均可与BC ＝15构成三角形．在△ABD 中，AD ＝AB sin B ＝437AB ， 所以AD ＝123或AD ＝20 3.14．在△ABC 中，关于x 的方程(1＋x 2)sin A ＋2x sin B ＋(1－x 2)sin C ＝0有两个不等的实根，A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．不存在答案 A解析 由方程可得(sin A －sin C )x 2＋2x sin B ＋sin A ＋sin C ＝0.∵方程有两个不等的实根，∴4sin 2B －4(sin 2A －sin 2C )＞0.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C， 代入不等式中得 b 2－a 2＋c 2＞0，再由余弦定理，有2bc cos A ＝b 2＋c 2－a 2＞0.∴ 0°<A <90°，A 为锐角．15．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C .(1)求角A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝3，试判断△ABC 的形状．解 (1)∵2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C ，∴2a 2＝(2b －c )b ＋(2c －b )c ，即bc ＝b 2＋c 2－a 2，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12. ∵0°<A <180°，∴A ＝60°.(2)∵A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＋C ＝180°－60°＝120°，由sin B ＋sin C ＝3，得sin B ＋sin(120°－B )＝3，∴sin B ＋sin 120°cos B －cos 120°sin B ＝3，∴32sin B ＋32cos B ＝3，即sin(B ＋30°)＝1. 又∵0°<B <120°，∴30°<B ＋30°<150°，∴B ＋30°＝90°，即B ＝60°，∴A ＝B ＝C ＝60°，∴△ABC 为正三角形．。

课时作业一、选择题1．在△ABC中,a、b分别是角A、B所对的边，条件“a<b”是使“cos A〉cos B”成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件C ［a〈b⇔A<B⇔cos A>cos B．]2．在△ABC中，a,b，c分别是角A，B，C所对的边．若A＝错误!，b＝1，△ABC的面积为错误!，则a的值为（) A．1 B．2C.错误!D.错误!D ［由已知得错误!bc sin A＝错误!×1×c×sin错误!＝错误!，解得c＝2，则由余弦定理可得a2＝4＋1－2×2×1×cos错误!＝3⇒a＝错误!。

］3．(2014·“江南十校"联考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2错误!，c＝2错误!,1＋错误!＝错误!，则C＝（)A．30°B．45°C．45°或135°D．60°B ［由1＋错误!＝错误!和正弦定理得cos A sin B＋sin A cos B＝2sin C cos A，即sin C＝2sin C cos A，所以cos A＝错误!,则A＝60°.由正弦定理得错误!＝错误!，则sin C＝错误!，又c〈a，则C<60°，故C＝45°.］4．(2012·陕西高考）在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a,b，c，若a2＋b2＝2c2，则cos C的最小值为（）A。

错误! B.错误!C.错误!D．－错误!C ［由余弦定理得a2＋b2－c2＝2ab cos C,又c2＝错误!（a2＋b2）,得2ab cos C＝错误!（a2＋b2)，即cos C＝错误!≥错误!＝错误!.］5．(2012·上海高考）在△ABC中，若sin2A＋sin2B<sin2C，则△ABC 的形状是（) A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定C [由正弦定理得a2＋b2<c2，所以cos C＝错误!〈0,所以C是钝角，故△ABC是钝角三角形．］6．(2014·乌鲁木齐一诊)△ABC中,若(错误!＋错误!）·错误!＝错误!｜错误!|2，则错误!的值为( ) A．2 B．4C.错误!D．2错误!B ［设△ABC中，a,b，c分别是角A，B，C所对的边，由(错误!＋错误!)·错误!＝错误!｜错误!|2得，错误!·错误!＋错误!·错误!＝错误!｜错误!|2，即bc cos(π－A）＋ac cos B＝错误!c2,∴a cos B－b cos A＝错误!c，由正弦定理得sin A cos B－cos A sin B＝错误!sin C＝35sin(A＋B)＝错误!（sin A cos B＋cos A sin B)，即sin A cos B＝4cos A sin B，∴错误!＝4。

《6.4.3 余弦定理、正弦定理》教案第3课时余弦定理、正弦定理应用举例【教材分析】三角形中的几何计算问题主要包括长度、角、面积等，常用的方法就是构造三角形，把所求的问题转化到三角形中，然后选择正弦定理、余弦定理加以解决，有的问题与三角函数联系比较密切，要熟练运用有关三角函数公式.【教学目标与核心素养】课程目标1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语；2、激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力.数学学科素养1.数学抽象：方位角、方向角等概念；2.逻辑推理：分清已知条件与所求，逐步求解问题的答案；3.数学运算：解三角形；4.数学建模：数形结合，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求的量，从而得到实际问题的解．【教学重点和难点】重点：由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解；难点：根据题意建立数学模型，画出示意图.【教学过程】一、情景导入在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，但是没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。

于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。

那么运用正弦定理、余弦定理能否解决这些问题？又怎么解决？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本48-51页，思考并完成以下问题1、方向角和方位角各是什么样的角？2、怎样测量物体的高度？3、怎样测量物体所在的角度？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1、实际测量中的有关名称、术语四、典例分析、举一反三题型一测量高度问题例1 济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征．李明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A 点测得泉标顶端的仰角为60°，他又沿着泉标底部方向前进15.2 m ，到达B 点，测得泉标顶部仰角为80°.你能帮李明同学求出泉标的高度吗？(精确到1 m)【答案】泉城广场上泉标的高约为38 m.【解析】如图所示，点C ，D 分别为泉标的底部和顶端．依题意，∠BAD ＝60°，∠CBD ＝80°，AB ＝15.2 m ，则∠ABD ＝100°，故∠ADB ＝180°－(60°＋100°)＝20°.在△ABD 中，根据正弦定理，BD sin 60°＝AB sin ∠ADB . ∴BD ＝AB ·sin 60°sin 20°＝15.2·sin 60°sin 20°≈38.5(m)． 在Rt △BCD 中，CD ＝BD sin 80°＝38.5·sin 80°≈38(m)，即泉城广场上泉标的高约为38 m.解题技巧（测量高度技巧）(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用．跟踪训练一1、乙两楼相距200 m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是多少？【答案】甲楼高为200 3 m ，乙楼高为40033m. 【解析】如图所示，AD 为乙楼高，BC 为甲楼高．在△ABC 中，BC ＝200×tan 60°＝2003，AC ＝200÷sin 30°＝400，由题意可知∠ACD ＝∠DAC ＝30°，∴△ACD 为等腰三角形．由余弦定理得AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD ·cos 120°，4002＝AD 2＋AD 2－2AD 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3AD 2，AD 2＝40023，AD ＝40033.故甲楼高为200 3 m ，乙楼高为40033 m. 题型二 测量角度问题例2 如图所示，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3) n mile 的两个观测点．现位于A 点北偏东45°方向、B 点北偏西60°方向的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距20 3 n mile 的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30n mile/h ，则该救援船到达D 点需要多长时间？【答案】 救援船到达D 点需要的时间为1 h. 【解析】由题意，知AB ＝5(3＋3)n mile ，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°，∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB 中，由正弦定理得BD sin ∠DAB ＝AB sin ∠ADB， 即BD ＝AB sin ∠DAB sin ∠ADB＝＝＝10 3 n mile.又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝60°，BC ＝20 3 n mile ， 3)sin 45sin1055(33)sin 4545cos 60cos 45sin 60++∴在△DBC 中，由余弦定理，得CD ＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC cos ∠DBC ＝ 300＋1 200－2×103×203×12＝30 n mile ， 则救援船到达D 点需要的时间为3030＝1 h. 解题技巧： (测量角度技巧)测量角度问题的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量．通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求的量，从而得到实际问题的解．跟踪训练二1、在海岸A 处，发现北偏东45°方向，距离A 处(3－1)n mile 的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°的方向，距离A 2 n mile 的C 处的缉私船奉命以10 3 n mile 的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h 的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？【答案】缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船.【解析】 设缉私船用t h 在D 处追上走私船，画出示意图，则有CD ＝103t ，BD ＝10t ，在△ABC 中，∵AB ＝3－1，AC ＝2，∠BAC ＝120°，∴由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos∠BAC ＝(3－1)2＋22－2·(3－1)·2·cos 120°＝6，∴BC ＝6，且sin ∠ABC ＝ACBC ·sin∠BAC ＝26·32＝22， ∴∠ABC ＝45°，∴BC 与正北方向成90°角．∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°，在△BCD 中，由正弦定理，得sin ∠BCD ＝BD ·sin∠CBD CD ＝10t sin 120°103t＝12，∴∠BCD ＝30°.即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船.题型三 测量距离问题例3 如图所示，要测量一水塘两侧A ，B 两点间的距离，其方法先选定适当的位置C ，用经纬仪测出角α，再分别测出AC ，BC 的长b ，a 则可求出A ，B 两点间的距离．若测得CA＝400 m ，CB ＝600 m ，∠ACB ＝60°，试计算AB 的长．【答案】A ，B 两点间的距离为2007 m.【解析】在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ，∴AB 2＝4002＋6002－2×400×600cos 60°＝280 000.∴AB ＝2007 (m)．即A ，B 两点间的距离为2007 m.例4 如图所示，A ，B 两点在一条河的两岸，测量者在A 的同侧，且B 点不可到达，要测出A ，B 的距离，其方法在A 所在的岸边选定一点C ，可以测出A ，C 的距离m ，再借助仪器，测出∠ACB ＝α，∠CAB ＝β，在△ABC 中，运用正弦定理就可以求出AB .若测出AC ＝60m ，∠BAC ＝75°，∠BCA ＝45°，则A ，B 两点间的距离为________ m.【答案】20 6 .【解析】∠ABC ＝180°－75°－45°＝60°，所以由正弦定理得，AB sin C ＝AC sin B ， ∴AB ＝AC ·sin C sin B ＝60×sin 45°sin 60°＝206(m)． 即A ，B 两点间的距离为20 6 m.解题技巧（测量距离技巧）当A，B两点之间的距离不能直接测量时，求AB的距离分为以下三类：(1)两点间不可通又不可视(如图①)：可取某点C，使得A，B与C之间的距离可直接测量，测出AC＝b，BC＝a以及∠ACB＝γ，利用余弦定理得：AB＝a2＋b2－2ab cos γ.(2)两点间可视但不可到达(如图②)：可选取与B同侧的点C，测出BC＝a以及∠ABC 和∠ACB，先使用内角和定理求出∠BAC，再利用正弦定理求出AB.(3)两点都不可到达(如图③)：在河边测量对岸两个建筑物之间的距离，可先在一侧选取两点C，D，测出CD＝m，∠ACB，∠BCD，∠ADC，∠ADB，再在△BCD中求出BC，在△ADC 中求出AC，最后在△ABC中，由余弦定理求出AB.跟踪训练三1.如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB.若测得CD＝32km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B两点间的距离．【答案】A，B两点间的距离为64km.【解析】∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，∴AC＝DC＝32.在△BCD中，∠DBC＝45°，由正弦定理，得BC ＝DC sin ∠DBC ·sin∠BDC ＝32sin 45°·sin 30°＝64. 在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 45°＝34＋38－2×32×64×22＝38. ∴AB ＝64(km)．∴A ，B 两点间的距离为64km. 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本51页练习，52页习题6.4中剩余题.【教学反思】对于平面图形的计算问题，首先要把所求的量转化到三角形中，然后选用正弦定理、余弦定理解决.构造三角形时，要注意使构造三角形含有尽量多个已知量，这样可以简化运算.学生在这里的数量关系比较模糊，需要强化，三角形相关知识点需要简单回顾。

1.1.2 余弦定理1．若三角形的三条边长分别为4,5,7，则这个三角形是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．钝角或锐角三角形2．在△ABC 中，(a ＋b －c)(a ＋b ＋c)＝ab ，则∠C 为( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°3．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是__________．4．在△ABC 中，若sinA ∶sinB ∶sinC ＝5∶7∶8，则∠B 的大小为__________．答案：1．C 设长为7的边对应的角为α，则由余弦定理得72＝42＋52－2×4×5cos α，∴cos α＝－15<0.∴角α为钝角．2．C 由已知，得(a ＋b)2－c2＝ab ，∴c2＝a2＋b2＋ab ＝a2＋b2－2abcosC.∴cosC ＝－12.∵∠C ∈(0，π)，∴∠C ＝120°.3．锐角三角形 设三边为a ，b ，c ，其中c 为斜边，各边增加的长度为x ，则三角形的最大内角的余弦cosC ＝(a ＋x)2＋(b ＋x)2－(c ＋x)22(a ＋x)(b ＋x)＝2(a ＋b －c)x ＋x22(a ＋x)(c ＋x)>0， ∴∠C 为锐角．∴新三角形为锐角三角形．4.π3 由sinA ∶sinB ∶sinC ＝5∶7∶8，得a ∶b ∶c ＝5∶7∶8.设a ＝5k ，b ＝7k ，c ＝8k ，由余弦定理可得∠B ＝π3.课堂巩固1．在△ABC 中，若2cosBsinA ＝sinC ，则△ABC 的形状是( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形2．在不等边三角形中，a 是最大的边，若a2<b2＋c2，则∠A 的取值范围是( )A ．(π2，π)B ．(π4，π2)C ．(π3，π2)D ．(0，π2)3．在△ABC 中，有一个内角为60°，它的对边长为7，面积为103，则另两边长分别为________．4．在△ABC 中，∠B ＝60°，b2＝ac ，则△ABC 的形状是__________．5．在△ABC 中，已知∠A>∠B>∠C ，且∠A ＝2∠C ，b ＝4，a ＋c ＝8，求a ，c 的长．6．(2009全国高考卷Ⅰ，理17)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知a2－c2＝2b ，且sinAcosC ＝3cosAsinC ，求b.答案：1．C 由正弦定理和余弦定理得2·a2＋c2－b22ac·a ＝c ，整理，得a2－b2＝0，即a ＝b.∴△ABC 为等腰三角形．2．C ∵a 是最大边，∴∠A>π3.又a2<b2＋c2，由余弦定理，得cosA ＝b2＋c2－a22bc>0， ∴∠A<π2.∴π3<∠A<π2.3．8和5 设两边长分别为a 、b ，则⎩⎨⎧a2＋b2－722ab ＝12，12absin60°＝10 3. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5，b ＝8. 4．等边三角形 由余弦定理cosB ＝a2＋c2－b22ac和∠B ＝60°，得a2＋c2－b2＝ac. 又b2＝ac ，∴a2＋c2－2ac ＝0，即(a －c)2＝0.∴a ＝c.又∠B ＝60°，∴三角形为等边三角形．5．解：由正弦定理，得a sinA ＝c sinC .∵∠A ＝2∠C ，∴a sin2C ＝c sinC .∴a ＝2ccosC.又a ＋c ＝8，∴cosC ＝8－c 2c .①又由余弦定理及a ＋c ＝8，得cosC ＝a2＋b2－c22ab ＝a2＋42－c28a＝(8－c)2＋42－c28(8－c)＝10－2c 8－c.② 由①②，知8－c 2c ＝10－2c 8－c， 整理得5c2－36c ＋64＝0.∴c ＝165或c ＝4.∵∠A ＞∠B ＞∠C ，∴a ＞b ＞c.∴c ≠4.∴a ＝8－c ＝245.故a ＝245，c ＝165.6．解：由余弦定理得a2－c2＝b2－2bccosA.又a2－c2＝2b ，b ≠0，所以b ＝2ccosA ＋2.①又sinAcosC ＝3cosAsinC ，sinAcosC ＋cosAsinC ＝4cosAsinC.sin(A ＋C)＝4cosAsinC ，sinB ＝4sinCcosA.由正弦定理得sinB ＝b c sinC.故b ＝4ccosA.②由①②解得b ＝4.1．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，设向量p ＝(a ＋c ，b)，q ＝(b －a ，c －a)，若p ∥q ，则角C 的大小为( )A.π3B.π6C.2π3D.5π61．答案：A 由p ∥q 可得(a ＋c)(c －a)－b(b －a)＝0，即a2＋b2－c2＝ab ，∴cosC ＝a2＋b2－c22ab＝12. 又0<∠C<π，∴∠C ＝π3.2．在△ABC 中，∠A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sinB sinC 的值为( )A.85B.58C.53D.352．答案：D 由余弦定理BC2＝AB2＋AC2－2AB ·AC ·cosA 得49＝25＋AC2－2×5·AC ·cos120°，解得AC ＝3，由正弦定理得sinB sinC ＝AC AB ＝35.3．在△ABC 中，∠A ＝60°，且最大边长和最小边长是方程x2－7x ＋11＝0的两个根，则第三边的长为( )A ．2B ．3C ．4D ．53．答案：C 设△ABC 的最大边长和最小边长分别为a ，b ，第三边长为c.∵a ，b 是方程x2－7x ＋11＝0的两根，∴a ＋b ＝7，ab ＝11.由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos60°＝a2＋b2－ab ＝(a ＋b)2－3ab ＝72－3×11＝16， ∴c ＝4.4．(江南十校联考)已知△ABC 的外接圆半径为R ，且2R(sin2A －sin2C)＝(2a －b)sinB(其中a 、b 分别是∠A 、∠B 的对边)，那么∠C 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°4．答案：B 根据正弦定理a sinA ＝b sinB ＝c sinC ＝2R ，得sinA ＝a 2R ，sinB ＝b 2R ，sinC ＝c 2R ，代入已知式，得2R[a2(2R)2－c2(2R)2]＝(2a －b)·b 2R ，化简，得a2＋b2－c2＝2ab ，即a2＋b2－c2ab ＝ 2. 由余弦定理，得cosC ＝a2＋b2－c22ab ＝22，∴∠C ＝45°.5．已知钝角三角形ABC 三边a ＝k ，b ＝k ＋2，c ＝k ＋4，则k 的取值范围为__________．5．答案：2<k<6 ∵c>b>a ，∴角C 为钝角．∴cosC ＝a2＋b2－c22ab<0， 即a2＋b2－c2<0.整理，得k2－4k －12<0，即－2<k<6.又k ＋(k ＋2)>k ＋4，∴k>2.∴2<k<6.6．在△ABC 中，tanB ＝1，tanC ＝2，b ＝100，则a ＝__________.6．答案：605 ∵tanB ＝1，∴sinB ＝22.∵tanC ＝2，∴sinC ＝255.由正弦定理c sinC ＝b sinB ，得c ＝10022·255＝4010， 又cosA ＝－cos(B ＋C)＝－cosBcosC ＋sinBsinC ＝1010，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA ＝18 000，∴a ＝60 5.7．在△ABC 中，a ＋b ＝10，cosC 是方程2x2－3x －2＝0的一个根，则△ABC 周长的最小值为__________．7．答案：10＋53 ∵cosC 是方程2x2－3x －2＝0的一个根，解得x ＝－12或2，∴cosC ＝－12.又c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2＋ab ＝(a ＋b)2－ab＝100－ab ＝100－a(10－a)＝(a －5)2＋75，∴当a ＝5时，c 最小为5 3.∴△ABC 周长的最小值为10＋5 3.8.(2009浙江高考，文18)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2＝255，A B ·A C ＝3. (1)求△ABC 的面积；(2)若c ＝1，求a 的值．8．答案：解：(1)因为cos A 2＝255， 所以cosA ＝2cos2A 2－1＝35，sinA ＝45.又由A ·A ＝3，得bccosA ＝3，所以bc ＝5.因此S △ABC ＝12bcsinA ＝2.(2)由(1)知，bc ＝5，又c ＝1，所以b ＝5.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA ＝20，所以a ＝2 5.9．已知△ABC 的周长为2＋1，且sinA ＋sinB ＝2sinC.(1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为16sinC ，求角C 的度数．9. 答案：解：(1)由题意及正弦定理，得AB ＋BC ＋AC ＝2＋1，BC ＋AC ＝2AB ，两式相减，得AB ＝1. (2)由△ABC 的面积12BC ·AC ·sinC ＝16sinC ，得BC ·AC ＝13，由余弦定理，得cosC ＝AC2＋BC2－AB22AC ·BC ＝(AC ＋BC)2－2AC ·BC －AB22AC ·BC＝12， 所以∠C ＝60°.10．(2009天津高考，文17)在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sinC ＝2sinA.(1)求AB 的值； (2)求sin(2A －π4)的值．10．答案：解：(1)在△ABC 中，根据正弦定理，AB sinC ＝BC sinA .于是AB ＝sinC sinA BC ＝2BC ＝2 5.(2)在△ABC 中，根据余弦定理，得cosA ＝AB2＋AC2－BC22AB ·AC ＝255. 于是sinA ＝1－cos2A ＝55.从而sin2A ＝2sinAcosA ＝45，cos2A ＝cos2A －sin2A ＝35.所以sin(2A －π4)＝sin2Acos π4－cos2Asin π4＝210.。

完整版)正弦定理与余弦定理练习题1.已知三角形ABC中，a=4，b=43，A=30°，求角B的大小。

解：根据正弦定理，有XXX，即sinB=43/4×sin30°=21.5/4.由此可知B的大小为30°或150°，故选B。

2.已知锐角三角形ABC的面积为33，BC=4，CA=3，求角C的大小。

解：根据面积公式，有33=1/2×4×3×sinC，即sinC=22/3.由此可知C的大小为arcsin(22/3)≈75°，故选A。

3.已知三角形ABC中，a,b,c分别是角A,B,C所对的边，且(2a+c)cosB+bcosC=0，求角B的大小。

解：根据余弦定理，有c^2=a^2+b^2-2abcosC，即cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)。

代入已知式中，得(2a+c)cosB-b(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=0，化简得(4a^2+2ac-b^2)cosB=2abc。

由此可知cosB=(2abc)/(4a^2+2ac-b^2)。

代入cosine double angle formula，得cos2B=(4a^2b^2c^2)/(4a^2b^2+2a^2c^2-2ab^3+2abc^2-2b^2c^2-b^4)。

由于cos2B≤1，可列出不等式4a^2b^2+2a^2c^2-2ab^3+2abc^2-2b^2c^2-b^4≥4a^2b^2c^2，即b^4-2ab^3+(2ac-2c^2-4a^2)b+6a^2c^2-5a^2b^2≤0.考虑b的取值，当b=0时，不等式显然成立；当b>0时，由于a,b,c均为正数，不等式两边同除以b^4后，得到一个关于x=ac/b^2的一元二次不等式6x^2-5x-2≤0.解得x∈[2/3,1]，即ac/b^2∈[2/3,1]。

由此可知cosB的取值范围为[1/2,√3/2]，故角B的大小为arccos(1/2)≈60°或arccos(√3/2)≈30°，故选B。

习题课 正弦定理和余弦定理一、基础达标1．在钝角△ABC 中，a ＝1，b ＝2，则最大边c 的取值范围是( ) A ．1＜c ＜3 B ．2＜c ＜3 C.5＜c ＜3 D ．22＜c ＜3答案 C解析 在钝角△ABC 中，由于最大边为c ，所以角C 为钝角．所以c 2＞a 2＋b 2＝1＋4＝5，即c ＞5，又因c ＜a ＋b ＝1＋2＝3，所以5＜c ＜3.2．已知△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6.则AB →·BC →的值为( ) A ．19 B ．14 C ．－18 D ．－19 答案 D解析 由余弦定理的推论知：cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝1935. 所以AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B ) ＝7×5×(－1935)＝－19，故选D.3．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c, 若b cos C ＋c cos B ＝a sin A, 则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定 答案 B解析 因b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，由正弦定理，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin A sin A . 即sin(B ＋C )＝sin 2A ，所以sin A ＝sin A sin A ，所以sin A ＝1，A ＝π2.故选B.4．在△ABC 中，若a ＝7，b ＝8，cos C ＝1314，则最大角的余弦值是( )A ．－15B ．－16C ．－17D ．－18答案 C解析 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝9，c ＝3，B 为最大角，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝49＋9－642×7×3＝－17.5．在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c2c ，则△ABC 是( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形 答案 B 解析∵cos 2B 2＝a ＋c 2c ，∴cos B ＋12＝a ＋c 2c ，∴cos B ＝ac ，∴a 2＋c 2－b 22ac ＝a c，∴a 2＋c 2－b 2＝2a 2，即a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形．6．已知锐角三角形的三边长分别为2,3，x ，则x 的取值范围是________． 答案 (5，13)解析 x 满足：⎩⎪⎨⎪⎧1＜x ＜522＋32－x 2＞022＋x 2－32＞0，解得5<x <13.7．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，求A 的值． 解 ∵B ＝A ＋60°，∴sin B ＝sin(A ＋60°)． sin B ＝12sin A ＋32cos A ，又b ＝2a,2R sin B ＝4R sin A ，∴sin B ＝2sin A ， ∴2sin A ＝12sin A ＋32cos A,3sin A ＝3cos A ，∴tan A ＝33，又∵0°＜A ＜180°，∴A ＝30°. 8.如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，求sin C 的值．解 设BD ＝a ，则BC ＝2a ，AB ＝AD ＝32a .在△ABD 中，由余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AD 2－BD 22AB ·AD ＝⎝⎛⎭⎫32a 2＋⎝⎛⎭⎫32a 2－a 22×32a ·32a＝13.又∵A 为△ABC 的内角，∴sin A ＝223.在△ABC 中，由正弦定理得，BC sin A ＝ABsin C，∴sin C ＝AB BC ·sin A ＝32a2a ·223＝66.二、能力提升9．在△ABC 中，a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a ＞b ，则∠B 等于( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6 答案 A解析 由正弦定理，得sin A sin B cos C ＋sin C sin B cos A ＝12sin B ，因为sin B ≠0.即sin A cos C ＋sin C cos A ＝12，∴sin(A ＋C )＝12，即sin B ＝12，∵a ＞b ，∴B ＝π6.10．在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC 等于( )A.1010 B.105 C.31010 D.55答案 C解析 由余弦定理，得AC 2＝BA 2＋BC 2－2BA ·BC cos ∠ABC ＝5.由正弦定理，得BCsin ∠BAC＝AC sin ∠ABC，所以sin ∠BAC ＝31010.11．在△ABC 中，若lg a －lg c ＝lg sin A ＝－lg 2，并且A 为锐角，则△ABC 为________三角形． 答案 等腰直角解析 ∵lg a －lg c ＝lg sin A ＝－lg 2，∴a c ＝sin A ＝22，∵A 为锐角，∴A ＝45°，∵sin C ＝casin A ＝2×sin 45°＝1，∴C ＝90°. 12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin A ＋sin C ＝p sin B (p ∈R )，且ac ＝14b 2.(1)当p ＝54，b ＝1时，求a ，c 的值；(2)若角B 为锐角，求p 的取值范围．解 (1)由题设并由正弦定理，得a ＋c ＝pb ，所以a ＋c ＝54.由⎩⎨⎧a ＋c ＝54，ac ＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝14或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，c ＝1.(2)由余弦定理，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ＝p 2b 2－12b 2－12b 2cos B ，即p 2＝32＋12cos B . 因为0<cos B <1，所以p 2∈⎝⎛⎭⎫32，2，由题设知p >0，所以62<p < 2. 三、探究与创新13．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知b 2＝ac 且cos B ＝34.(1)求1tan A ＋1tan C的值； (2)设BA →·BC →＝32，求a ＋c 的值．解 (1)由cos B ＝34，B ∈(0，π)，得sin B ＝1－⎝⎛⎭⎫342＝74.由b 2＝ac 及正弦定理得sin 2B ＝sin A sin C . 于是1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝sin (A ＋C )sin 2B＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝477. (2)由BA →·BC →＝32得ca ·cos B ＝32，由cos B ＝34，可得ca ＝2，即b 2＝2.由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ， 得a 2＋c 2＝b 2＋2ac ·cos B ＝5，∴(a ＋c )2＝a 2＋c 2＋2ac ＝5＋4＝9，∴a ＋c ＝3.。

一、选择题 1．在△ABC 中，A B ＝12，sin C ＝1，则abc 等于( )A ．12 3B ．321C ．13 2D ．231解析：由sin C ＝1，∴C ＝π2，由AB ＝12，故A ＋B ＝3A ＝π2，得A ＝π6，B ＝π3，由正弦定理得，a b c ＝sin A sin Bsin C ＝12321＝132.答案：C2．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不能确定解析：由正弦定理得a 2＋b 2<c 2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c22ab<0，所以C是钝角，故△ABC 是钝角三角形．答案：C3．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( )A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定解析：由正弦定理得b sin B ＝csin C，∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220＝3>1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在． 答案：C4．(2014·新课标全国卷Ⅱ)钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5 C ．2D ．1解析：由题意知S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B ，即12＝12×1×2sin B ，解得sin B ＝22. ∴B ＝45°或B ＝135°.当B ＝45°时，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝12＋(2)2－2×1×2×22＝1. 此时AC 2＋AB 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不符合题意； 当B ＝135°时，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝12＋(2)2－2×1×2×⎝⎛⎭⎪⎪⎫－22＝5，解得AC ＝ 5.符合题意．故选B. 答案：B5．(2014·江西卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3D ．33解析：在△ABC 中，由已知条件及余弦定理可得c 2＝(a －b )2＋6＝a 2＋b 2－2ab cos π3，整理得ab ＝6，再由面积公式S ＝12ab sin C ，得S △ABC ＝12×6×sin π3＝32 3.故选C.答案：C6．已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C .若△ABC 的面积为16sin C ，则角C 的大小为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°解析：由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝2＋1，a ＋b ＝2c ，∴c ＝1，a ＋b ＝ 2.又12ab sin C ＝16sin C ，∴ab ＝13. ∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a ＋b 2－2ab －c 22ab ＝12，∴C ＝60°. 答案：B 二、填空题7．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则c ＝________.解析：由已知条件可得sin A ＝45，sin B ＝1213，而sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝5665，根据正弦定理b sin B ＝c sin C 得c ＝145.答案：1458．(2014·广东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＋c cos B ＝2b ，则ab＝________.解析：因为b cos C ＋c cos B ＝2b ，所以由正弦定理可得 sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin B ， 即sin(B ＋C )＝2sin B ，所以sin(π－A )＝2sin B ，即sin A ＝2sin B .于是a ＝2b ，即ab＝2.答案：29．在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且3a ＝2c sin A ，c ＝7，△ABC 的面积为332，则a ＋b ＝________.解析：由3a ＝2c sin A 及正弦定理得a c ＝2sin A 3＝sin Asin C ，∵sin A ≠0，∴sin C ＝32.∵△ABC 是锐角三角形，∴C ＝π3，∴S △ABC ＝12ab ·sin π3＝332，即ab ＝6，∵c ＝7，由余弦定理得a 2＋b 2－2ab cos π3＝7，即a 2＋b 2－ab ＝7，解得(a ＋b )2＝25，∴a ＋b ＝5.答案：5 三、解答题10．(2014·安徽卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B .(1)求a 值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4的值．解：(1)因为A ＝2B ，所以sin A ＝sin2B ＝2sin B cos B .由正弦定理、余弦定理得a ＝2b ·a 2＋c 2－b 22ac.因为b ＝3，c ＝1，所以a 2＝12，a ＝2 3.(2)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋1－126＝－13.由于0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－19＝223.故sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝sin A cos π4＋cos A sin π4＝223×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×22＝4－26.11．(2014·山西四校联考)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos A ＝23，sin B ＝5cos C .(1)求tan C 的值；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．解：(1)∵cos A ＝23，∴sin A ＝1－cos 2A ＝53.∴5cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝53cos C ＋23sin C . 整理得tan C ＝ 5.(2)由(1)知sin C ＝56，cos C ＝16， 由a sin A ＝csin C知，c ＝ 3. ∵sin B ＝5cos C ＝5·16， ∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝52.1．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －bc －a＝sin Asin C ＋sin B，则B ＝( )解析：由sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R ，代入整理得：c －bc －a＝ac ＋b ⇒c 2－b 2＝ac －a 2，所以a 2＋c 2－b 2＝ac ，即cos B ＝12，所以B ＝π3. 答案：C2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝3a cos C ，则sin A ＋sin B 的最大值是( )A ．1D ．3解析：由c sin A ＝3a cos C ，所以sin C sin A ＝3sin A cos C ，即sin C ＝3cos C ，所以tan C ＝3，C ＝π3，A ＝2π3－B ，所以sin A ＋sin B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＋sin B ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6，∵0<B <2π3，∴π6<B ＋π6<5π6，∴当B ＋π6＝π2，即B ＝π3时，sin A ＋sin B 的最大值为 3.故选C.答案：C3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成等差数列，且A －C ＝90°，则cos B ＝________.解析：∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ， ∴2sin B ＝sin A ＋sin C ，∵A －C ＝90°， ∴2sin B ＝sin(90°＋C )＋sin C ，∴2sin B ＝cos C ＋sin C ，∴2sin B ＝2sin(C ＋45°)． ∵A ＋B ＋C ＝180°，且A －C ＝90°，∴C ＝45°－B2代入上式中，2sin B ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫90°－B 2，∴2sin B ＝2cos B 2，∴4sin B 2cos B 2＝2cos B2，∴sin B2＝24，∴cos B ＝1－2sin 2B 2＝1－14＝34.答案：344．已知a ＝(2cos x ＋23sin x,1)，b ＝(y ，cos x )，且a ∥b . (1)将y 表示成x 的函数f (x )，并求f (x )的最小正周期；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若f (B )＝3，BA →·BC →＝92，且a ＋c ＝3＋3，求边长b . 解：(1)由a ∥b 得2cos 2x ＋23sin x cos x －y ＝0，即y ＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＝cos2x ＋3sin2x ＋1＝2sin(2x ＋π6)＋1，所以f (x )＝2sin(2x ＋π6)＋1， 又T ＝2πω＝2π2＝π，所以函数f (x )的最小正周期为π.(2)由f (B )＝3得2sin(2B ＋π6)＋1＝3，解得B ＝π6.又由BA →·BC →＝92知ac cos B ＝92，所以ac ＝3 3.b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ＝(3＋3)2－2×33－2×33×32＝3，所以b ＝ 3.。

1.1正弦定理和余弦定理（数学5必修）1.2应用举例1.3实习作业[基础训练A 组]一、选择题（六个小题，每题5分，共30分）1．在△ABC 中，若0030,6,90===B a C ，则b c -等于（）A ．1B ．1-C ．32D ．32-2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（）A ．A sinB ．A cosC ．A tanD ．Atan 1 3．在△ABC 中，角A 、B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长=（）A ．2B ．23C ．3D ．32 5．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（）A ．006030或B ．006045或C ．0060120或D ．0015030或6．边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（）A ．090B ．0120C ．0135D ．0150二、填空题（五个小题，每题6分，共30分）1． 在Rt △ABC 中，C=090，则B A sin sin 的最大值是_______________。

2．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_________。

3．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,200_________。

4．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C=7∶8∶13，则C=_____________。

5．在△ABC 中，,26-=AB ∠C=300，则AC+BC 的最大值是________。

三、解答题（四个小题，每题10分，共40分）1． 在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么？2．在△ABC 中，求证：)cos cos (aA bB c a b b a -=-3．在锐角△ABC 中，求证：C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++。