4.1 无理数

无理数发展简史引言概述：无理数是数学中的一个重要概念，它是指不能用两个整数的比值表示的数。

无理数的发展历史可以追溯到古希腊时期，经过数学家们的不懈努力和探索，无理数的概念逐渐被确立并得到了广泛的应用。

本文将从古希腊时期开始，逐步介绍无理数的发展简史。

一、古希腊时期1.1 古希腊数学家的困惑古希腊数学家发现，有些长度无法用整数比值表示，比如正方形的对角线与边长之间的关系。

1.2 毕达哥拉斯学派的发现毕达哥拉斯学派提出了“一切皆数”的观念，但无法解释对角线与边长之间的关系，这引起了无理数概念的探讨。

1.3 毕达哥拉斯学派的保密措施毕达哥拉斯学派将对角线与边长之间的关系视为绝密，只内部传授，不对外公开。

二、欧几里得时期2.1 欧几里得的《几何原本》欧几里得在其著作中系统地阐述了几何学的基本概念，但对无理数并未有详细的讨论。

2.2 欧几里得的数论研究欧几里得在数论方面有较深的研究，但对于无理数的概念并未有深入的探讨。

2.3 欧几里得对无理数的影响欧几里得的几何学和数论研究对后来无理数的发展产生了一定的影响，为后来的研究奠定了基础。

三、近代数学发展3.1 费马与无理数费马在其著作中对无理数的性质进行了研究，为后来的数学家提供了重要的参考。

3.2 康托尔的无理数理论康托尔提出了无限集合的概念，进一步推动了无理数理论的发展。

3.3 无理数在数学中的应用无理数在数学中的应用日益广泛，涉及到分析、代数、几何等多个领域，为数学的发展做出了重要贡献。

四、现代数学的发展4.1 无理数的推广现代数学对无理数的概念进行了推广，引入了超越数和超限数等新概念。

4.2 无理数的计算现代计算机技术的发展，使得对无理数的计算变得更加便捷和高效。

4.3 无理数在科学研究中的应用无理数在物理学、工程学等科学领域中有着广泛的应用，为科学研究提供了重要的数学工具。

五、结语无理数作为数学中的重要概念，经过数学家们的不懈努力和探索，逐渐得到了广泛的应用。

无理数发展简史引言概述：无理数是数学中一个重要的概念，它指的是不能表示为两个整数的比值的实数。

无理数的发展历程可以追溯到古希腊时期，随着数学的发展，无理数的概念逐渐被完善和扩展。

本文将从古希腊时期开始，介绍无理数的发展历史。

一、古希腊时期1.1 毕达哥拉斯学派的发现毕达哥拉斯学派是古希腊数学的重要学派之一。

在公元前5世纪，毕达哥拉斯学派成员发现了无理数的存在。

他们通过对勾股定理的研究，发现了不能表示为整数比值的边长关系，从而确立了无理数的概念。

1.2 伊壁鸠鲁学派的质疑伊壁鸠鲁学派是古希腊哲学的一支。

该学派对毕达哥拉斯学派的无理数概念提出了质疑。

他们认为无理数是不存在的，一切都可以用有理数表示。

这一争论持续了一段时间，直到欧几里得给出了无理数存在的证明，才解决了这一争议。

1.3 欧几里得的证明欧几里得是古希腊数学家，他在《几何原本》中给出了无理数存在的证明。

他通过反证法证明了不能用有理数表示的线段存在，从而证明了无理数的存在。

欧几里得的证明为无理数的研究奠定了基础。

二、中世纪的发展2.1 无理数的被遗忘在中世纪，无理数的概念被遗忘了一段时间。

由于宗教和哲学的影响，数学的发展受到了限制，无理数的研究停滞不前。

2.2 无理数的重新发现到了16世纪，无理数的概念重新被人们关注。

意大利数学家维埃塔在《无理数的存在》一书中重新提出了无理数的概念，并给出了更加严谨的证明。

这使得无理数的研究重新得到了推动。

2.3 无理数的应用随着无理数概念的重新被接受，人们开始发现无理数在数学中的广泛应用。

无理数在几何、代数等领域中起着重要作用，为数学的发展带来了新的动力。

三、无理数的扩展3.1 无理数的无限性无理数的一个重要特点是无限性。

无理数的小数表示无限不循环，这使得无理数的研究更加复杂和有趣。

3.2 无理数的无穷性无理数的无穷性是指无理数的小数位数无限多。

这使得无理数可以无限接近任何有理数，为数学中的近似计算提供了便利。

无理数1.在数0、2.0 、3π、227、0.1010010001中，无理数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2.在实数12，－3，－3.14，0，π中，无理数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个3.下列各数：3π，0，4.2121121112A.4个B.3个C.2个D.1个4.下列是有理数的是（）A.0B.5C.πD.1.010010001…（每两个1之间的0的个数依次多1）5.在12，－3，－3.14，0，π，2.61611611161…（每两个6之间依次多一个1）中，无理数有（）A ． 1 个B ．2个C ． 3个D ．4个6.在实数：3.14159，1.010010001…，，π，227中，无理数有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个7.下列六种说法正确的个数是（）①无限小数都是无理；②正数、负数统称有理数；③无理数的相反数还是无理数；④无理数与无理数的和一定还是无理数；⑤无理数与有理数的和一定是无理数；⑥有理数和无理数统称实数（）4.21••A．2个 B．3个 C．4个 D．5个8.下列实数是无理数的是（）AB． C． D ．9.实数0，，π，﹣1中，无理数是（）A．0 B． C．π D．﹣110.在数2,3π，-3．14，722，0．2,..32.0，5．1010010001中，其中无理数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个11.有下列说法：①有理数与数轴上的点一一对应；②直角三角形的两边长是5和12，则第三边长是13；③近似数1.5万精确到十分位；④无理数是无限小数.其中错误说法的个数有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个12.已知下列各数：8，3.14，2-，3π，0，14，•13.0，，则无理数有；分数有．参考答案1.A2.B3.D4.A5.A6.B7.B101-8.A9.C10.A11.B12.。

三、精讲点拨
四、反思拓展
五．系统总结教师指导
1.易错点:
(1)“无限不循环小数”与“无限循环小数”的联系和区别.
(2)圆周率π=3.141 592 65…也是一个无限不循环小数,故π是无
理数.
2.归纳小结:
(1)任何有限小数或无限循环小数都是有理数.
(2)无限不循环小数叫做无理数.
3.方法规律:
1.下列各数是无理数的是( )
(A)(B)(C)16
2.在数,中,无理数是.
3.按要求将下列数字分类:,,0,3.14,-,7.151 551…(每相邻两
个“1”之间依次多一个“5”),
整数集合{ ,…},
分数集合{ ,…},
无理数集合{ ,…}.
你学到了哪些知识点？
你学到了哪些方法？
教师引导，
点拨
教师讲解
教师引导，
点拨
学生认真
听讲
学生回答
学生讨论
回答。

七年级无理数的概念与运算无理数是指既不能表示为两个整数的比值，也不能表示为有限小数或循环小数的实数。

它们是无限不循环小数的一种特殊形式。

在七年级数学中，我们将学习无理数的概念和运算。

一、无理数的概念无理数是指不能写成两个整数的比值的实数，也不是有限小数或循环小数的实数。

无理数的表示一般用根号形式表示，如√2，√5等。

无理数可以是正数也可以是负数。

二、无理数的运算2.1 无理数的加减运算无理数的加减运算与有理数的加减运算类似，只需要将无理数的根号部分进行合并即可。

例如，√2 + √2 = 2√2。

2.2 无理数的乘法运算无理数的乘法运算也是将根号部分进行合并。

例如，√2 × √3 = √6。

2.3 无理数的除法运算无理数的除法运算需要用到有理化的方法，将无理数分母的根号部分有理化。

例如，√2 ÷ √3 = (√2 × √3) ÷ (√3 × √3) = √6/3 = (√6)/3。

三、无理数的应用无理数在数学和实际生活中都有广泛的应用。

在几何中，无理数常用于描述无法精确表示的长度，如正方形的对角线长度等。

在物理学中，无理数也常用于科学计算中，例如计算圆的面积、体积等。

四、无理数的性质4.1 无理数与有理数的关系无理数和有理数是实数的两个主要子集，它们之间没有交集。

无理数和有理数的并集构成了实数的全体。

4.2 无理数的无穷性和稀疏性无理数存在无限多个，并且无理数的任意两个数之间都存在有理数。

这个性质被称为无理数的无穷性和稀疏性。

4.3 无理数的数轴表示无理数可以在数轴上表示，位于有理数之间。

例如，√2位于1和2之间，√3位于1和2之间。

五、无理数的近似值无理数通常无法精确表示，但可以使用有理数来近似表示。

例如，我们通常将√2近似为1.414，将√3近似为1.732。

六、总结无理数是既不能表示为两个整数的比值，也不能表示为有限小数或循环小数的实数。

我们学习了无理数的概念和运算方法，包括加减运算、乘法运算和除法运算。

无理数发展简史标题：无理数发展简史引言概述：无理数是数学中的一个重要概念，它们不可以用整数或分数表示，是一种无限不循环小数。

无理数的概念在数学发展史上起到了重要的作用，本文将从古希腊时期开始，介绍无理数的发展历程。

一、古希腊时期1.1 古希腊的数学思想在古希腊时期，数学家们主要关注于有理数的研究，认为一切可以表示为整数或分数。

例如，毕达哥拉斯学派认为世界万物皆可用整数比例来表示。

1.2 毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯学派发现了一个重要的定理，即毕达哥拉斯定理。

但是，他们也发现了一个问题，即根号2的长度无法用有理数表示，这导致了无理数的概念的出现。

1.3 无理数的发现古希腊数学家发现了无法用有理数表示的数，这些数被称为无理数。

例如，根号2被证明是一个无理数，这一发现在数学史上具有重要意义。

二、欧几里得时期2.1 欧几里得几何学欧几里得是古希腊时期的一位著名数学家，他在其著作《几何原本》中提出了欧几里得几何学，这对无理数的研究有着深远的影响。

2.2 无理数的推广欧几里得在其著作中提出了一种新的方法，可以用无理数来表示几何中的长度。

这一方法为无理数的推广奠定了基础。

2.3 无理数的地位在欧几里得时期，无理数的地位逐渐得到认可，人们开始意识到无理数在数学中的重要性，并逐渐深入研究无理数的性质。

三、近代数学发展3.1 无理数的形式化在近代数学发展中，数学家们对无理数进行了形式化的定义和研究，使得无理数的概念更加清晰和准确。

3.2 无理数的应用无理数在现代数学中有着广泛的应用，例如在物理学、工程学和计算机科学中都有着重要的作用，无理数已经成为数学中不可或缺的一部分。

3.3 无理数的发展随着数学理论的不断发展，无理数的研究也在不断深入，人们对无理数的理解和应用也在不断扩展，无理数的发展将继续对数学和科学领域产生重要影响。

四、无理数的未来4.1 无理数的研究未来，无理数的研究将继续深入，人们将更加深入地探索无理数的性质和应用，为数学和科学领域带来新的突破。

七上4.1无理数（第1课时）教学目标1.通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性.2.能判断给出的数是否为有理数；并能说出理由.3、通过回顾有理数的有关知识，能正确地进行推理和判断，识别某些数是否为有理数，训练他们的思维判断能力.重点：让学生经历无理数发现的过程.感知生活中确实存在着不同于有理数的数.难点：判断一个数是否为有理数.自学设计学习准备：你还记得吗？1.有理数的概念：--------------和--------------，统称为有理数2.数的分类：正整数如------------------整数零负整数如---------------------- 有理数正分数如----------------------分数负分数如----------------------自学任务一：自学教材86页内容,结合图4-1，完成下列问题：做两个边长为1分米的小正方形，剪一剪，拼一拼，你能得到一个大正方形吗？画出你的做法：根据画图回答几个问题设大正方形的边长为a 分米，因为大正方形面积是（ ），所以a 满足的条件为（ ）a 是整数吗？（ ），理由：---------------------------------------------------- a 是分数吗？（ ），理由：---------------------------------------------------- a 是有理数吗？（ ），理由：---------------------------------------------------- 归纳总结：在22a 中，a 既不是（ ），也 不是（ ） ，所以a 不是（ ） 。

所以在现实生活中，存在着既不是整数又不是分数的数，也就是存在着不是（ ）的数 对比练习：将上述活动中的小正方形的边长变为2分米，大正方形的边长是有理数吗？为什么？（ ） 自学任务二：自学教材86页做一做,结合图4-2，完成下列问题(1)在下图中，以直角三角形的斜边为边长的正方形的面积是多少？(2)设该正方形的边长为b ，则b 应满足什么条件？(3)b 是有理数吗？归纳总结：在上面的问题中，数a,b 表示正方形的边长，确实存在，但它们不是（ ），由此可见：在现实生活中，除了有理数之外，还存在着不是有理数的数。

第四章 指数函数与对数函数4.1指数4.1.2 无理数指数幂及其运算性质教学设计一、教学目标1．理解无理数指数幂的含义，掌握其运算性质．2．掌握无理数指数幂的运算性质，并能对代数式进行化简或求值．二、教学重难点教学重点无理数指数幂的概念及其运算性质教学难点无理数指数幂的运算三、教学过程（一）新课导入在初中的学习中，我们通过有理数认识了一些无理数.类似地，也可以通过有理数指数幂来认识无理数指数幂.（二）探索新知探究一:无理数指数幂的运算性质学习课本探究部分，明白无理数指数幂是一个确定的实数.无理数指数幂的概念：一般地，无理数指数幂a α（a >0，α为无理数）是一个确定的实数，这样，我们就将指数幂a α（α>0）中指数的取值范围从整数逐步拓展到了实数，实数指数幂是一个确定的实数.无理数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，即对于任意实数r ，s ，均有下面的运算性质.(1)(0,,)r s r s a a a a r s +=>∈R(2)()(0,,)sr rs a a a r s =>∈R (3)()(0,0,)r r r ab a b a b r =>>∈R（三）课堂练习1.化简1327125-⎛⎫ ⎪⎝⎭的结果是( ) A.35 B.53 C.3 D.5 答案：B 解析：11313327335125553---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.故选B. 2.若ab =a b +=( )A.1B.5C.-1D.2π5- 答案：A解析：3π|2π|3ππ21a b +==-+-=-+-=，故选A.3.若35n m b -=（m , *n ∈N ），则b =( ) A.35nm - B.35n m- C.35nm D.35mn答案：B解析：35n m b -=，()()131335n n m n b---∴=，即35m n b -=.故选B.4.化简： （1）1112121336325346a b a b a b ----⎛⎫⎛⎫⨯-÷= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______； （2=______.答案：（1）1654b - （2）1解析：（1）原式11111113113113632633262255532644a b a b a b a b b ------+--⎛⎫=⨯-÷=-=- ⎪⎝⎭. （20a >，所以原式1a a ===÷=.四、小结作业小结：本节课我们主要学习了哪些内容？1.无理数指数幂的运算性质：(1)(0,,)r s r s a a a a r s +=>∈R(2)()(0,,)sr rs a a a r s =>∈R （3）()(0,0,)r r r ab a b a b r =>>∈R五、板书设计4.1.2无理数指数幂及其运算性质无理数指数幂的运算性质：(1)(0,,)r s r s a a a a r s +=>∈R(2)()(0,,)sr rs a a a r s =>∈R （3）()(0,0,)r r r ab a b a b r =>>∈R。