中考数学：第12章《二次函数》知识点精讲

考点1：二次函数的图象和性质1．二次函数的一般形式：(a,b,c是常数，a≠0)注：未知数的最高次数是2，a≠0,b,c是任意实数。

2．函数图象和性质函数二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)图象a>0a<0性质①当a>0时，抛物线开口向上，并向上无限延伸.①对称轴是abx2-=，顶点坐标是⎪⎪⎭⎫⎝⎛--abacab4422，.①在对称轴的左侧,即当x<ab2-时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>ab2-时，①当a<0时，抛物线开口向下，并向下无限延伸.①对称轴是abx2-=，顶点坐标是⎪⎪⎭⎫⎝⎛--abacab4422，.①在对称轴的左侧，即当x<ab2-时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>ab2-时，y随x的增大而减小，简记为左增右减.专题10 二次函数知识导航知识精讲y随x的增大而增大，简记为左减右增.①抛物线有最低点，当x=ab2-时，y有最小值，y最小值=abac442-.①抛物线有最高点，当x=ab2-时，y有最大值，y最大值=abac442-.【例1】（山东中考真题）一次函数()0y ax b a=+≠与二次函数()20y ax bx c a=++≠在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【例2】（四川中考真题）如图，已知抛物线2y ax bx c=++（a，b，c为常数，0a≠）经过点()2,0，且对称轴为直线12x=，有下列结论：①0abc>；①0a b+>；①4230a b c++<；①无论a，b，c取何值，抛物线一定经过,02ca⎛⎫⎪⎝⎭；①2440am bm b+-≥．其中正确结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个抛物线y=ax2+bx+c中a,b,c的作用（1）a决定开口方向及开口大小，这与y=ax2中的a完全一样.方法技巧a >0时，抛物线开口向上；a <0时，抛物线开口向下；a 的绝对值越大，开口越小. （2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y =ax 2+bx +c 的对称轴是直线abx 2-=，故：①b =0时，对称轴为y 轴；①abx 2-=>0（即a,b 同号） 时，对称轴在y 轴左侧；①abx 2-=<0（即a,b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.(口诀:“左同右异”）【注意问题】（1）二次函数的图象与系数的关系;（2）会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换.1．（湖南中考真题）若二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则一次函数y ax b =+与反比例函数cy x=-在同一个坐标系内的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．2．（福建中考真题）二次函数()220y ax ax c a =-+>的图象过1234()()3,,1,,2(),,)4,(A y B y C y D y --四个点，下列说法一定正确的是（ ） A ．若120y y >，则340y y > B ．若140y y >，则230y y > C ．若240y y <，则130y y <D ．若340y y <，则120y y <3．（湖北中考真题）二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象的一部分如图所示．已知图象经过点()1,0-，其对称轴为直线1x =．下列结论：①0abc <；①420a b c ++<；①80a c +<；①若抛物线经过点()3,n -，则关于针对训练x 的一元二次方程()200ax bx c n a ++-=≠的两根分别为3-，5，上述结论中正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个考点2：二次函数的平移1．抛物线y=a (x -h )2+k 与y=ax 2的关系（1）二者的形状相同，位置不同，y=a (x -h )2+k 是由y=ax 2通过平移得来的，平移后的顶点坐标为(h,k). （2）y=ax 2的图象y=a (x -h )2的图象y=a (x -h )2+k 的图象.口诀：上加下减，左加右减【例3】（广东）把函数y ＝（x ﹣1）2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的的数解析式（ ） A ．y ＝x 2+2 B ．y ＝（x ﹣1）2+1C ．y ＝（x ﹣2）2+2D ．y ＝（x ﹣1）2﹣3图像平移规律：由函数y =ax 2平移得到y =a (x -h )2+k 满足“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”，概括成八个字，即：“左加右减，上加下减”.1．（上海中考真题）将抛物线2(0)y ax bx c a =++≠向下平移两个单位，以下说法错误的是（ ） A ．开口方向不变B ．对称轴不变C ．y 随x 的变化情况不变D ．与y 轴的交点不变2．（绥化）将抛物线y ＝2（x ﹣3）2+2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物方法技巧针对训练右左 上下线的解析式是（ ） A ．y ＝2（x ﹣6）2 B ．y ＝2（x ﹣6）2+4 C ．y ＝2x 2D ．y ＝2x 2+43．（哈尔滨）将抛物线y ＝x 2向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的拋物线 为（ ） A ．y ＝（x +3）2+5 B ．y ＝（x ﹣3）2+5 C ．y ＝（x +5）2+3 D ．y ＝（x ﹣5）2+3考点3：二次函数与方程、不等式的关系 1．二次函数与一元二次方程的关系二次函数图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点。

初三数学《二次函数》考点整理与例题解析二次函数重难点分析:1、二次函数的图像2、二次函数的性质以及性质的综合应用3、二次函数的应用性问题：①面积最值问题②高度、长度最值问题③利润最大化问题④求近似解知识点归纳：1、二次函数的概念y=ax2+bx+c(a≠0)2、求二次函数的解析式一般式y=ax2+bx+c、顶点式y=a（x+m）2+k交点式y=a（x-x1）(x-x2)3、二次函数的图像和性质当a>0时，图像开口向上，有最低点，有最小值当a<0时，图像开口向下，有最高点，有最大值顶点式对称轴：直线x=-m一般式对称轴：直线x=-b/2a交点式对称轴：直线x=（x1+x2）/24.二次函数图像的平移函数y=a（x+m）2+k的图像，可以由函数y=ax2的图像先向右（当m<0时）或向左（m>0时）平移|m|个单位，再向上（当k>0时）或向下（当k<0时）平移|k|个单位得到5、抛物线与系数的关系二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。

常数项c决定抛物线与y轴交点抛物线与y轴交于（0，c）抛物线与x轴交点个数?= b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。

?= b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

?= b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点知识拓展：初中数学最重要的部分，在中考中占的比重大，跟其他知识点联系多，以数形结合的题型考查几何，解方程、代数等都相互联系，知识点多题型多变，压轴题多以此为出题点1、考查形式：以选择题、填空题形式考察二次函数图像的性质，以解答题形式考察以二次函数为载体的综合题。

2、考察趋势：二次函数图像与系数的关系，二次函数的应用仍是重点3、二次函数求最值的应用：依据实际问题中的数量关系，确定二次函数的解析式，结合方程、一次函数等知识解决实际问题（对于二次函数最大（小）值的确定，一定要注意二次函数自变量的取值范围，同时兼顾实际问题中对自变量的特殊约定，结合图像进行理解）经典例题。

初中二次函数最全知识点总结二次函数是初中数学中的重要内容，以下是二次函数的最全知识点总结：一、基本概念1. 二次函数的定义：y=ax^2+bx+c（a≠0）。

2. 求解二次函数的根：当y=0时，求解二次方程ax^2+bx+c=0的解。

3.二次函数的图像：二次函数的图像为抛物线，开口方向由a的正负决定。

4.抛物线的顶点：二次函数的图像的顶点坐标为（-b/2a，f(-b/2a)）。

5.抛物线的对称轴：二次函数图像的对称轴是直线x=-b/2a。

二、图像与相关性质1.拉平方法：将一般式的二次函数化为顶点形式的二次函数。

2.抛物线的开口方向：若二次函数的a>0，则抛物线开口向上；若二次函数的a<0，则抛物线开口向下。

3.抛物线的最值：若抛物线开口向上，则函数有最小值（最小值为f(-b/2a)）；若抛物线开口向下，则函数有最大值。

4.抛物线的轴对称性：抛物线关于对称轴对称。

5.零点存在性：若一元二次方程有实数根，则抛物线与x轴有交点；若一元二次方程无实数根，则抛物线与x轴无交点。

6.抛物线的轨迹：当抛物线的开口向上时，抛物线图像在x轴上方；当抛物线的开口向下时，抛物线图像在x轴下方。

三、解二次方程1. 提取公因式法：ax^2+bx+c=0，公因式为a，即a(x^2+(b/a)x+c/a)=0，再由零因积性质解得x的值。

2. 公式法：对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，解的公式为x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a)。

3. 完全平方式：对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，通过变形将方程化为完全平方式(x﹦d)^2=0，再解出x的值。

四、因式分解1. 根与系数关系：若x1和x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0的两个解，则方程可以分解为a(x-x1)(x-x2)=0。

2. 判别式与因式分解：一元二次方程ax^2+bx+c=0，其中b^2-4ac 被称为判别式，当判别式大于0时，方程有两个不等实数根，即方程可因式分解为a(x-p)(x-q)=0，其中p和q是方程的两个根；当判别式等于0时，方程有两个相等实数根，即方程可因式分解为a(x-r)^2=0，其中r 是方程的根；当判别式小于0时，方程无实数根，即方程不可因式分解。

二次函数知识点归纳及相关典型题第一部分 基础知识1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2ax y =的性质（1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系.①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =）（0≠a . 3.二次函数c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线. 4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2-=. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线a b x 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.（3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0<ab. 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=.12.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0,c ).（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2).（3）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故acx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb a ca b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=-=-=444222122122121第二部分 典型习题１.抛物线y ＝x 2＋2x －2的顶点坐标是 （ D ）A.（2，－2）B.（1，－2）C.（1，－3）D.（－1，－3） ２.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ C ）Ａ．ab ＞0，c ＞0 Ｂ．ab ＞0，c ＜0 Ｃ．ab ＜0，c ＞0 Ｄ．ab ＜0，c ＜0第２,３题图 第4题图３.二次函数c bx ax y ＋＋＝2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ Ｄ ） A ．a ＞0，b ＜0，c ＞0 B ．a ＜0，b ＜0，c ＞0 C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0 D ．a ＜0，b ＞0，c ＞0 ４.如图，已知中，BC=8，BC 上的高，D 为BC 上一点，，交AB 于点E ，交AC 于点F （EF 不过A 、B ），设E 到BC 的距离为，则的面积关于的函数的图象大致为（ Ｄ ）2482,484EF xEF x y x x -=⇒=-∴=-+ ５.抛物线322--=x x y 与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为 4 ．6.已知二次函数11)(2k 2－－＋＝x kx y 与x 轴交点的横坐标为1x 、2x （21x x ＜），则对于下列结论：①当x ＝－2时，y ＝1；②当2x x ＞时，y ＞0；③方程011)(22＝－＋-x k kx 有两个不相等的实数根1x 、2x ；④11-＜x ，12＞－x ；⑤21x x －，其中所有正确的结论是 ①③④ （只需填写序号）．7.已知直线()02≠+-=b b x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；一抛物线的解析式为()c x b x y ++-=102.（1）若该抛物线过点B ，且它的顶点P 在直线b x y +-=2上，试确定这条抛物线的解析式；（2）过点B 作直线BC ⊥AB 交x 轴交于点C ，若抛物线的对称轴恰好过C 点，试确定直线b x y +-=2的解析式. 解：（1）102-=x y 或642--=x x y将0)b （，代入，得c b =.顶点坐标为21016100(,)24b b b +++-，由题意得21016100224b b b b +++-⨯+=-，解得1210,6b b =-=-.（2）22--=x y8.有一个运算装置，当输入值为x 时，其输出值为y ，且y 是x 的二次函数，已知输入值为2-,0,1时, 相应的输出值分别为5,3-,4-．（1）求此二次函数的解析式；（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值y 为正数时输入值x 的取值范围. 解：（1）设所求二次函数的解析式为c bx ax y ++=2,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++-=+⋅+⋅=+-+-43005)2()2(22c b a c b a c b a ,即⎪⎩⎪⎨⎧-=+=--=1423b a b a c ,解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-==321c b a 故所求的解析式为:322--=x x y . （2)函数图象如图所示.由图象可得，当输出值y 为正数时， 输入值x 的取值范围是1-<x 或3>x ．9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同．他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图．请根据图象回答：⑴第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少时间? ⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少? ⑶兴趣小组又在研究中发现，图中10时到 22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解 析式．解：⑴第一天中，从4时到16时这头骆驼的体温是上升的它的体温从最低上升到最高需要12小时 ⑵第三天12时这头骆驼的体温是39℃⑶()22102421612≤≤++-=x x x y 10.已知抛物线4)334(2+++=x a ax y 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．是否存在实数a ，使得△ABC 为直角三角形．若存在，请求出a 的值；若不 存在，请说明理由．解：依题意，得点C 的坐标为（0，4）．设点A 、B 的坐标分别为（1x ，0），（2x ，0）， 由04)334(2=+++x a ax ，解得 31-=x ，ax 342-=． ∴ 点A 、B 的坐标分别为（-3，0），（a34-，0）． ∴ |334|+-=aAB ，522=+=OC AO AC ， =+=22OC BO BC 224|34|+-a． ∴ 9891693432916|334|2222+-=+⨯⨯-=+-=aa a a a AB ， 252=AC ，1691622+=a BC ． 〈ⅰ〉当222BC AC AB +=时，∠ACB ＝90°． 由222BC AC AB +=，得)16916(259891622++=+-a a a ． 解得 41-=a ．∴ 当41-=a 时，点B 的坐标为（316，0），96252=AB ，252=AC ，94002=BC ．于是222BC AC AB +=． ∴ 当41-=a 时，△ABC 为直角三角形． 〈ⅱ〉当222BC AB AC +=时，∠ABC ＝90°． 由222BC AB AC +=，得)16916()98916(2522+++-=aa a ． 解得 94=a ． 当94=a 时，3943434-=⨯=-a ，点B （-3，0）与点A 重合，不合题意． 〈ⅲ〉当222AB AC BC +=时，∠BAC ＝90°． 由222AB AC BC +=，得)98916(251691622+-+=+aa a ．解得 94=a ．不合题意． 综合〈ⅰ〉、〈ⅱ〉、〈ⅲ〉，当41-=a 时，△ABC 为直角三角形． 11.已知抛物线y ＝－x 2＋mx －m ＋2.（1）若抛物线与x 轴的两个交点A 、B 分别在原点的两侧，并且ABm 的值；（2）设C 为抛物线与y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M 、N ，并且 △MNC 的面积等于27，试求m 的值. 解: (1)Ａ（x 1，0）,B(x 2，0) . 则x 1，x 2是方程x 2－mx ＋m －2＝0的两根. ∵x 1 ＋x 2＝m , x 1·x 2=m －2 ＜0 即m ＜2 ;又AB ＝∣x 1—x 2∴m 2－4m ＋3=0 .解得：m=1或m=3(舍去) , ∴m 的值为1 . （2）M(a ，b)，则N(－a ，－b) . ∵M 、N 是抛物线上的两点,∴222,2.a ma m b a ma m b ⎧-+-+=⎪⎨---+=-⎪⎩①②①＋②得：－2a 2－2m ＋4＝0 . ∴a 2＝－m ＋2 . ∴当m ＜2时，才存在满足条件中的两点M 、N.∴a = .这时M 、N 到y又点C 坐标为（0，2－m ）,而S △M N C = 27 , ∴2×12×（2－m∴解得m=－7 .12.已知：抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1，0）． （1）求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；（2）D 是抛物线与y 轴的交点，C 是抛物线上的一点，且以AB 为一底的梯形ABCD 的面积为9，求此抛物线的解析式；（3）E 是第二象限内到x 轴、y 轴的距离的比为5∶2的点，如果点E 在（2）中的抛物线上，且它与点A 在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△APE 的周长最小?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解法一：（1）依题意，抛物线的对称轴为x ＝－2． ∵ 抛物线与x 轴的一个交点为A （－1，0），∴ 由抛物线的对称性，可得抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为（－3，0）．（2）∵ 抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1， 0），∴ 0)1(4)1(2＝＋－＋－t a a ．∴ t ＝3a ．∴ a ax ax y 342＋＋＝． ∴ D （0，3a ）．∴ 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且点C 在抛物线a ax ax y 342＋＋＝ 上， ∵ C （－4，3a ）．∴ AB ＝2，CD ＝4． ∵ 梯形ABCD 的面积为9，∴ 9)(21＝OD CD AB ⋅+．∴ 93)42(21＝＋a ．∴ a ±1．∴ 所求抛物线的解析式为342＋＋＝x x y 或342---ax x y ＝．（3）设点E 坐标为（0x ，0y ）.依题意，00＜x ，00＜y ， 且2500＝x y ．∴ 0025x y ＝－．①设点E 在抛物线342＋＋＝x x y 上，∴340200＋＋＝x x y ．解方程组⎪⎩⎪⎨⎧34,25020000＋＋＝＝－x x y x y 得⎩⎨⎧-；＝，＝15600y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'-'．＝，＝452100y x ∵ 点E 与点A 在对称轴x ＝－2的同侧，∴ 点E 坐标为（21-，45）． 设在抛物线的对称轴x ＝－2上存在一点P ，使△APE 的周长最小． ∵ AE 长为定值，∴ 要使△APE 的周长最小，只须PA ＋PE 最小． ∴ 点A 关于对称轴x ＝－2的对称点是B （－3，0）， ∴ 由几何知识可知，P 是直线BE 与对称轴x ＝－2的交点． 设过点E 、B 的直线的解析式为n mx y ＋＝，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧-.03,4521＝＋－＝＋n m n m 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧.23,21＝＝n m ∴ 直线BE 的解析式为2321＋＝x y ．∴ 把x ＝－2代入上式，得21＝y ． ∴ 点P 坐标为（－2，21）． ②设点E 在抛物线342---x x y ＝上，∴ 340200---x x y ＝．解方程组⎪⎩⎪⎨⎧---.34,25020000x x y x y ＝＝－ 消去0y ，得03x 23x 020＝＋+．∴ △＜0 . ∴ 此方程无实数根． 综上，在抛物线的对称轴上存在点P （－2，21），使△APE 的周长最小． 解法二：（1）∵ 抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1，0），∴ 0)1(4)1(2＝＋－＋－t a a ．∴ t ＝3a ．∴ a ax ax y 342＋＋＝．令 y ＝0，即0342＝＋＋a ax ax ．解得 11＝－x ，32＝－x ． ∴ 抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为（－3，0）．（2）由a ax ax y 342＋＋＝，得D （0，3a ）． ∵ 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且点C 在抛物线a ax ax y 342＋＋＝上，∴ C （－4，3a ）．∴ AB ＝2，CD ＝4． ∵ 梯形ABCD 的面积为9，∴ 9)(21＝＋OD CD AB ⋅．解得OD ＝3． ∴ 33＝a ．∴ a ±1．∴ 所求抛物线的解析式为342＋＋＝x x y 或342－－＝－x x y ．（3）同解法一得，P 是直线BE 与对称轴x ＝－2的交点． ∴ 如图，过点E 作EQ ⊥x 轴于点Q ．设对称轴与x 轴的交点为F ．由PF ∥EQ ，可得EQ PFBQ BF ＝．∴ 45251PF ＝．∴ 21＝PF ．∴ 点P 坐标为（－2，21）．以下同解法一．13.已知二次函数的图象如图所示．（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M 的坐标．（2）若点N 为线段BM 上的一点，过点N 作x 轴的垂线，垂足为点Q ．当点N 在线段BM 上运动时（点N 不与点B ，点M 重合），设NQ 的长为l ，四边形NQAC 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式及自变量t 的取值范围；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ，使△PAC 为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）将△OAC 补成矩形，使△OAC 的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）．解：（1）设抛物线的解析式)2)(1(-+=x x a y ，∴ )2(12-⨯⨯=-a ．∴ 1=a ．∴ 22--=x x y ．其顶点M 的坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛-4921，． （2）设线段BM 所在的直线的解析式为b kx y +=，点N 的坐标为N （t ，h ），∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+=-+=.214920b k b k ，．解得23=k ，3-=b ．∴ 线段BM 所在的直线的解析式为323-=x y ． ∴ 323-=t h ，其中221<<t ．∴ t t s )3322(212121-++⨯⨯=121432+-=t t ．∴ s 与t 间的函数关系式是121432+-=t t S ，自变量t 的取值范围是221<<t ．（3）存在符合条件的点P ，且坐标是1P ⎪⎭⎫ ⎝⎛4725，，⎪⎭⎫ ⎝⎛-45232，P ． 设点P 的坐标为P )(n m ，，则22--=m m n ．222)1(n m PA ++=，5)2(2222=++=AC n m PC ，．分以下几种情况讨论：i ）若∠PAC ＝90°，则222AC PA PC +=．∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+++=++--=.5)1()2(222222n m n m m m n ， 解得：251=m ，12-=m （舍去）． ∴ 点⎪⎭⎫ ⎝⎛47251，P ． ii ）若∠PCA ＝90°，则222AC PC PA +=．∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+++=++--=.5)2()1(222222n m n m m m n ， 解得：02343==m m ，（舍去）．∴点⎪⎭⎫ ⎝⎛45232，－P ． iii ）由图象观察得，当点P 在对称轴右侧时，AC PA >，所以边AC 的对角∠APC 不可能是直角．（4）以点O ，点A （或点O ，点C ）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这边OA （或边OC ）的对边上，如图a ，此时未知顶点坐标是点D （－1，－2），以点A ，点C 为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边AC 的对边上，如图b ，此时未知顶点坐标是E ⎪⎭⎫⎝⎛-5251，，F ⎪⎭⎫ ⎝⎛-5854，．图a 图b14.已知二次函数22－＝ax y 的图象经过点（1，－1）．求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与x 轴的交点的个数．解：根据题意，得a －2＝－1.∴ a ＝1． ∴ 这个二次函数解析式是22-x y ＝．因为这个二次函数图象的开口向上，顶点坐标是（0，－2），所以该函数图象与x 轴有两个交点．15.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB ＝5 cm ，拱高OC ＝0.9 cm ，线段DE 表示大桥拱内桥长，DE ∥AB ，如图（1）．在比例图上，以直线AB 为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴，以1 cm 作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）．（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；（2）如果DE 与AB 的距离OM ＝0.45 cm ，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：4.12≈，计算结果精确到1米）． 解：（1）由于顶点C 在y 轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为1092＋＝ax y ．因为点A （25-，0）（或B （25，0））在抛物线上， 所以109)25(02＋＝-⋅a ，得12518＝－a ．因此所求函数解析式为)2525(109125182≤≤-x x y ＋＝－．（2）因为点D 、E 的纵坐标为209， 所以109125182092＋－x =，得245±＝x ． 所以点D 的坐标为（245－，209），点E 的坐标为（245，209）． 所以225)245(245＝－＝-DE ． 因此卢浦大桥拱内实际桥长为385227501.011000225≈⨯⨯＝（米）． 16.已知在平面直角坐标系内，O 为坐标原点，A 、B 是x 轴正半轴上的两点，点A 在点B 的左侧，如图．二次函数c bx ax y ＋＋＝2（a ≠0）的图象经过点A 、B ，与y 轴相交于点C ．（1）a 、c 的符号之间有何关系?（2）如果线段OC 的长度是线段OA 、OB 长度的比例中项，试证a 、c 互为倒数；（3）在（2）的条件下，如果b ＝－4，34＝AB ，求a 、c 的值．解:（1）a 、c 同号． 或当a ＞0时，c ＞0；当a ＜0时，c ＜0．（2）证明：设点A 的坐标为（1x ，0），点B 的坐标为（2x ，0），则210x x ＜＜．∴ 1x OA =，2x OB =，c OC =．据题意，1x 、2x 是方程)0(02≠=a c bx ax ＋＋的两个根． ∴ ac x x =⋅21． 由题意，得2OC OB OA ＝⋅，即22c c a c＝＝． 所以当线段OC 长是线段OA 、OB 长的比例中项时，a 、c 互为倒数．（3）当4-=b 时，由（2）知，0421＞＝＝－＋a a b x x ，∴ a ＞0．解法一：AB ＝OB －OA ＝21221124)(x x x x x x -＋＝－，∴ aa ac a c a AB 32416)(4)4(22=-==－． ∵ 34=AB ，∴ 3432＝a ．得21=a ．∴ c ＝2. 解法二：由求根公式，a a a ac x 322416424164±-±-±＝＝＝， ∴ a x 321-＝，ax 322+＝． ∴ a a a x x OA OB AB 32323212＝－－＝－＝－＝+． ∵ 34＝AB ，∴ 3432＝a ，得21＝a ．∴ c ＝2． 17.如图，直线333+-=x y 分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，⊙E 经过原点O 及A 、B 两点． （1）C 是⊙E 上一点，连结BC 交OA 于点D ，若∠COD ＝∠CBO ，求点A 、B 、C 的坐标；（2）求经过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式：（3）若延长BC 到P ，使DP ＝2，连结AP ，试判断直线PA 与⊙E 的位置关系，并说明理由．解：（1）连结EC 交x 轴于点N （如图）．∵ A 、B 是直线333+-=x y 分别与x 轴、y 轴的交点．∴ A （3，0），B )3,0(．又∠COD ＝∠CBO ． ∴ ∠CBO ＝∠ABC ．∴ C 是的中点． ∴ EC ⊥OA ． ∴ 232,2321====OB EN OA ON ． 连结OE ．∴ 3==OE EC ． ∴ 23=-=EN EC NC ．∴ C 点的坐标为（23,23-）． （2）设经过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式为()3-=x ax y ．∵ C （23,23-）． ∴)323(2323-⋅=-a ．∴ 392=a ． ∴ x x y 8329322-=为所求． （3）∵ 33tan =∠BAO ， ∴ ∠BAO ＝30°，∠ABO ＝50°． 由（1）知∠OBD ＝∠ABD ．∴ ︒=︒⨯-∠=∠30602121ABO OBD ． ∴ OD ＝OB ·tan30°－1．∴ DA ＝2．∵ ∠ADC ＝∠BDO ＝60°，PD ＝AD ＝2．∴ △ADP 是等边三角形．∴ ∠DAP ＝60°．∴ ∠BAP ＝∠BAO ＋∠DAP ＝30°＋60°＝90°．即 PA ⊥AB ． 即直线PA 是⊙E 的切线．。

九年级二次函数知识点讲解二次函数是初中数学中的重要内容之一，也是数学学习的基础。

本文将对九年级二次函数的知识点进行详细讲解，希望对同学们的学习有所助益。

一、二次函数的定义和性质二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c都是实数且a≠0。

其中a决定了二次函数的开口方向（a>0时开口向上，a<0时开口向下），b决定了二次函数的对称轴位置，c则是二次函数的纵坐标偏移量。

二次函数的图像为一条平滑的曲线，被称为抛物线。

抛物线的顶点对应了二次函数的最值点，也是二次函数的最高点或最低点。

二、二次函数的图像二次函数的图像是由抛物线组成的。

对于二次函数f(x) = ax^2+ bx + c，我们可以通过以下步骤绘制出其图像：1.计算出抛物线的对称轴位置，即取-b/2a得到x = -b/2a；2.计算出抛物线的顶点，即在对称轴上取x = -b/2a进行代入得到y坐标值；3.根据对称性，将顶点的横坐标左右对称，得到抛物线的两侧；4.根据函数的性质，计算出抛物线与x轴的交点，即当f(x) =ax^2 + bx + c = 0时求解x的值；5.将顶点、交点等关键点连接起来，即完成了二次函数的图像。

通过这一过程，我们可以描绘出二次函数的几何形状，进一步理解二次函数的性质和特点。

三、二次函数的最值对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c来说，它的最值点即为其顶点。

顶点的横坐标为-x轴系数除以2倍的a值，即x = -b/2a；纵坐标则可通过将横坐标代入函数中得到。

根据最值点的位置，我们可以判断二次函数的开口方向和最值点的位置。

当a>0时，二次函数开口向上，最值点为最低点，也是函数的最小值；当a<0时，二次函数开口向下，最值点为最高点，也是函数的最大值。

四、二次函数的平移和伸缩二次函数的平移指的是抛物线在坐标系中的位置变化，可以通过改变函数的常数项c来实现。

当c>0时，抛物线上移；当c<0时，抛物线下移。

初三数学二次函数知识点归纳在初中数学的学习中，二次函数是一个重要的内容，也是进一步深入学习代数的基础。

学好二次函数的性质和运用对于学生的数学能力的提升至关重要。

下面将对初三数学中二次函数的知识进行归纳总结。

一、二次函数及其图象的性质1. 二次函数的定义二次函数是一个以x的二次幂作为最高次幂的多项式函数，一般的二次函数表达式为： y = ax^2 + bx + c （其中 a, b, c 为常数且 a ≠ 0）。

2. 二次函数图象的平移二次函数图象的平移可以通过改变 a, b 和 c 的值来实现。

当将 a 的值变为 a'，则图象的开口方向和大小会有相应的改变；当将 b 的值变为 b'，则图象在 x 轴方向上平移；当将 c 的值变为 c'，则图象在y 轴方向上平移。

3. 二次函数图象的对称轴二次函数图象的对称轴是一个线段，记作 x = -b/2a，对称轴将图象分为两个对称的部分。

4. 二次函数的顶点二次函数的顶点就是图象的最高点或最低点，所有的二次函数图象都有一个顶点。

5. 二次函数图象的开口方向二次函数图象的开口方向由二次项的系数 a 的正负决定。

当 a > 0 时，图象开口向上；当 a < 0 时，图象开口向下；当 a = 0 时，不再是二次函数。

二、二次函数的求解1. 二次函数的零点二次函数的零点是指函数曲线与 x 轴相交的点，也就是函数的根。

求解二次函数的零点可以通过以下步骤进行：首先，将函数表达式设置为 y = 0；然后，应用求根公式 x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a) 计算 x 的值。

2. 二次函数的最值二次函数的最值通过求解顶点来确定。

当a > 0 时，函数有最小值，且最小值为顶点的纵坐标；当 a < 0 时，函数有最大值，且最大值为顶点的纵坐标。

三、二次函数的应用1. 抛物线二次函数的图象通常被称为抛物线。

中考数学常考易错点《二次函数》知识点梳理《二次函数》是中考数学中的重要知识点之一，也是考试中容易出错的部分。

为了帮助同学们复习和避免常见错误，下面将对《二次函数》的知识点进行梳理，详细介绍其中的易错点。

《二次函数》是形如y = ax² + bx + c的函数，其中a、b和c是常数，并且a ≠。

它的图像是一个开口向上或向下的抛物线。

下面我们来逐个讲解常见易错点。

1.函数的定义域和值域：在解析式中，x可以取任意实数值，所以函数的定义域是全体实数集R。

而在图像上，如果a>，则函数的值域是[,+∞)；如果a<，则函数的值域是(-∞,]。

错误经常出在对值域的判断上，容易忽略函数的开口方向。

2.抛物线的开口和对称轴：当a>时，抛物线开口向上，对称轴是x=-b/2a；当a<时，抛物线开口向下，对称轴是x=-b/2a。

易错点在于判断抛物线的开口方向和对称轴的判断。

3.抛物线的顶点和轴对称性：顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，其中f(x) = ax² + bx + c。

抛物线与对称轴关于顶点具有轴对称性，即对称轴上的点到顶点的距离与对称轴上的点到抛物线的距离相等。

4.求解方程和不等式：与二次函数相关的方程和不等式是中考数学考试中的常见题型。

对于二次方程ax² + bx + c = ，可以使用因式分解、配方法和求根公式等方法求解。

对于二次不等式ax² + bx + c > 或ax² + bx + c < ，可以通过画图法或求解方程法来确定解集。

5.函数的增减性和极值：二次函数的增减性与a的正负有关，当a>时，函数递增；当a<时，函数递减。

相应地，函数的极值与抛物线的开口方向相反，开口向上时有最小值，开口向下时有最大值。

6.函数与坐标轴的交点：函数与x轴的交点称为零点，可以通过求解方程ax² + bx + c = 来求得。

初中数学二次函数最全知识点总结二次函数是初中数学的重点内容之一，掌握二次函数的知识对于解决实际问题和提高数学能力都具有重要意义。

以下是二次函数的最全知识点总结：一、基本概念1.函数：函数是一种特殊的关系，它可以用来描述自变量和因变量之间的对应关系。

2. 二次函数：二次函数是形如y = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。

二、图像和性质1.基本图像：二次函数的基本图像是抛物线，开口方向由常数a的正负决定。

2. 零点：二次函数的零点即为方程ax² + bx + c = 0的解，可以用求根公式或配方法求出。

3.对称轴：二次函数的对称轴是抛物线的轴线，其方程为x=-b/(2a)。

4.最值：二次函数的最值可以通过对称轴得到，最值为抛物线的顶点。

5.单调性：当抛物线开口向上时，二次函数是增函数；开口向下时，二次函数是减函数。

6.平移：二次函数的图像可以通过上下平移、左右平移和扩大缩小来获得新图像。

三、二次函数的解析式1. 标准形式：当a = 1时，二次函数的标准形式是y = x² + px + q。

2.顶点式：二次函数的顶点式是y=a(x-h)²+k，其中(h,k)为顶点的坐标。

3. 一般形式：二次函数的一般形式是y = ax² + bx + c，实际问题中常用。

四、二次函数的变形1. 增长量：二次函数y = ax² + bx + c中，增长量即为b。

2.曲线方向：二次函数的曲线方向由a的正负决定，a>0时，开口向上；a<0时，开口向下。

3.平移：二次函数的图像可以通过上下平移、左右平移和扩大缩小进行变形。

4.翻折：二次函数的图像可以进行关于x轴或y轴的翻折，得到新的图像。

五、二次函数的性质1.零点性质：二次函数的零点个数最多为2个。

2.对称性质：二次函数关于对称轴具有对称性。

3.成立范围：二次函数在全体实数范围内都成立。

初中数学二次函数知识点整理二次函数是初中数学中的一个重要知识点，它在数学中有很广泛的应用。

下面将对初中数学二次函数的相关知识点进行整理。

一、基本概念1. 二次函数的定义：二次函数是形如y=ax²+bx+c（其中a≠0）的函数，其中a、b、c为常数，且a表示二次项的系数，b表示一次项的系数，c表示常数项。

2.二次函数的图像：二次函数的图像是一个抛物线。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

3.二次函数的顶点：二次函数的图像上的最高点（a<0）或最低点（a>0）称为二次函数的顶点，其坐标为（h，k），其中h为顶点的横坐标，k为顶点的纵坐标。

4.对称轴：二次函数图像的对称轴是通过顶点的一条垂直线。

5.零点：二次函数与x轴交点的横坐标称为零点，即二次函数的根。

6. 判别式：对于二次函数y=ax²+bx+c，其判别式Δ=b²-4ac的值能够确定二次函数的图像与x轴的交点个数。

a）当Δ>0时，二次函数与x轴有两个交点，即有两个不相等的根。

b）当Δ=0时，二次函数与x轴有一个交点，即有一个重根。

c）当Δ<0时，二次函数与x轴没有交点，即没有实根。

二、性质和特点1. 对于二次函数y=ax²+bx+c，等价于y=a(x-h)²+k，其中(h，k)为顶点的坐标。

二次函数的特点有：a）当a>0时，教材开口向上，最小值为k。

b）当a<0时，教材开口向下，最大值为k。

c）当a>1时，抛物线越“瘦长”，曲线变化越快。

d）当a<1时，抛物线越“胖宽”，曲线变化越慢。

e）当a=1时，曲线为标准的抛物线。

2.二次函数的平移和缩放a）平移：对于函数y=ax²+bx+c，平移后的函数为y=a(x-h)²+k，其中(h，k)为平移的向量。

b）缩放：对于函数y=x²，缩放后的函数为y=ax²，其中a的取值决定了缩放的程度。

九年级二次函数知识点讲义二次函数是初中数学中非常重要的一个概念，也是进入高中数学学习的基础。

本文将为大家简要介绍九年级二次函数的相关知识点，希望能对大家的学习有所帮助。

一、二次函数的定义和特点二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是常数，且a≠0。

二次函数的图像一般呈现抛物线的形状，开口的方向取决于a的正负值。

当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。

二次函数的特点有以下几个方面：1. 对称性：二次函数的抛物线是关于直线x = -b/(2a)的对称图形，对于任意一点(x, y)在抛物线上，与它关于对称轴的另外一个点(x', y')，有x + x' = -b/a。

2. 零点：二次函数的零点也叫作方程ax^2 + bx + c = 0的根，是使得二次函数取值为0的x值。

一般情况下，二次函数有两个零点。

3. 最值：二次函数的最值是指在定义域内的最大值或最小值，这个最值出现在抛物线的顶点处。

当a>0时，抛物线的顶点是最小值；当a<0时，抛物线的顶点是最大值。

二、二次函数的图像与参数1. 平移变换：二次函数的图像可以通过平移变换得到。

对于一般形式的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，平移变换可以通过f(x - h) + k来实现。

其中，h表示横向平移的大小，k表示纵向平移的大小。

当h和k为正值时，二次函数图像向右上方平移；当h和k为负值时，二次函数图像向左下方平移。

2. 缩放变换：通过改变二次函数的参数a的值，可以实现对图像的缩放操作。

当a的绝对值越大，抛物线越瘦长；当a的绝对值越小，抛物线越扁平。

三、二次函数的性质和应用1. 图像的方向：通过二次函数的a的正负值可以判断图像的方向，即抛物线的开口方向。

这对于解决实际问题时，确定问题中所涉及的抛物线的开口方向非常有帮助。

2. 最值的求解：通过对二次函数进行求导，可以求得抛物线的最值。

初三数学二次函数知识点总结一、二次函数的定义一般地，如果形如 y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a、b、c 是常数，a ≠ 0）的函数，叫做二次函数。

其中，x 是自变量，a 叫做二次项系数，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项。

需要注意的是，二次函数的二次项系数 a 不能为 0，如果 a ＝ 0，那么就不是二次函数了。

二、二次函数的图像二次函数的图像是一条抛物线。

当 a ＞ 0 时，抛物线开口向上；当 a ＜ 0 时，抛物线开口向下。

抛物线的对称轴是直线 x ＝ b ／ 2a 。

抛物线的顶点坐标为（b ／ 2a ，（4ac b²) ／ 4a）。

例如，对于二次函数 y ＝ 2x² 4x ＋ 1，其中 a ＝ 2 ＞ 0，抛物线开口向上，对称轴为 x ＝（－4) ／（2×2) ＝ 1，顶点坐标为（1，－1）。

三、二次函数的平移二次函数的平移遵循“上加下减，左加右减”的原则。

“上加下减”指的是在函数表达式后面直接加上或减去一个常数，影响抛物线的上下移动。

比如，将 y ＝ x²向上平移 2 个单位，得到 y ＝ x²＋ 2；向下平移 3 个单位，得到 y ＝ x² 3 。

“左加右减”指的是在自变量 x 上加上或减去一个常数，影响抛物线的左右移动。

例如，将 y ＝（x 1)²向左平移 2 个单位，得到 y ＝（x 1 ＋ 2)²＝（x ＋ 1)²；向右平移 3 个单位，得到 y ＝（x 1 3)²＝（x 4)²。

四、二次函数的最值当 a ＞ 0 时，抛物线开口向上，函数有最小值，在顶点处取得，即y 最小值＝（4ac b²) ／ 4a 。

当 a ＜ 0 时，抛物线开口向下，函数有最大值，同样在顶点处取得，即 y 最大值＝（4ac b²) ／ 4a 。

例如，对于二次函数 y ＝ x²＋ 2x 3，因为 a ＝－1 ＜ 0，所以函数有最大值。

初中数学中考二次函数重点知识点梳理汇总一、定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax 2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下，IaI 还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大），则称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

二、二次函数的三种表达式一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）顶点式：y=a(x-h)2+k[抛物线的顶点P（h，k）]交点式：y=a(x-x?)(x-x?)[仅限于与x轴有交点A（x?，0）和B（x?，0）的抛物线]注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：h=-b/2ak=(4ac-b2)/4ax?,x?=(-b±√b2-4ac)/2a三、二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

四、抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线x=-b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）。

2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P(-b/2a，(4ac-b 2)/4a)。

当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ=b2-4ac=0时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于（0，c）。

6.抛物线与x轴交点个数：Δ=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。

Δ=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

Δ=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。

中考数学复习二次函数知识点二次函数是数学中的重要概念，它在高中数学以及各类数学竞赛中都有广泛的应用。

了解和掌握二次函数的知识点对于中考数学复习非常重要。

以下是关于二次函数的知识点的详细介绍：一、二次函数的定义和基本形式二次函数是指形如 f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中 a、b、c是实数且a ≠ 0。

其中，a 称为二次函数的二次项系数，b 称为一次项系数，c 称为常数项。

二次函数的图像是一个拱形，开口的方向由二次项系数a的正负决定，当a>0时，图像开口朝上；当a<0时，图像开口朝下。

二、二次函数的顶点二次函数的顶点是图像的最高点或最低点，它的横坐标为x=-b/2a，纵坐标为y=f(-b/2a)。

顶点是对称轴x=-b/2a上的一个点，它将图像分为两部分。

三、二次函数的轴对称性二次函数的图像关于对称轴x=-b/2a对称，即对称轴左侧和右侧的部分是相同的。

四、二次函数的平移与伸缩在二次函数的基本形式上，通过变换可以得到平移和伸缩后的二次函数。

(1) 平移：将二次函数的图像沿着 x 轴或 y 轴平移。

在标准的二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c 上平移 h 个单位，得到 f(x-h) = a(x-h)^2 + b(x-h) + c。

(2) 伸缩：将二次函数的图像横向或纵向拉长或缩短。

在标准的二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c 上横向伸缩为 y = a(x-h)^2 + k。

五、二次函数的解析式二次函数的解析式是对二次函数 y = ax^2 + bx + c 进行化简得到的表达式。

(1) 一般形式：y = ax^2 + bx + c(2)顶点式：y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)是函数的顶点坐标。

(3)因式分解式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1和x2是函数的零点或根。

(4)标准式：y=a(x-p)(x-q)，其中p和q是函数的零点或根。

第十二章 二次函数知能图谱()()222,,,0004,242,20y ax bx c a b c a y ax bx c a a a b ac b a a b x a b x y x a a x ⎧=++≠⎪⎨++≠⎪⎩⎧⎨⎩><⎛⎫-- ⎪⎝⎭>-><-一般地，形如是常数且的函数叫做二次函数二次函数的定义一般形式:=上下平移“上加下减”图象的平移规律左右平移“左加右减”开口方向：0，开口向上；，开口向下顶点坐标：对称轴：直线=-二次函数的图象与随的增大而增大性质图象与性质增减性二次函数()()()()()()()2212,2,20,200:0b y x a b x y x a a b x y x a y a x h k a y ax bx c a y a x x x x a ⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎪⎧⎪⎪⎪>-⎪⎪⎪⎪⎪<⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪<-⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩⎧=-+≠⎪⎪=++≠⎨⎪=--≠⎩随的增大而减小随的增大而减小随的增大而增大数学规律及关系二次函数顶点式:解析式的待定系数法一般式:确定交点式拓展()2222240440404y b ac x b ac x b ac x b ac x x x b ac ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩⎧->-⎪-=⎨⎪-<⎩-二次函数在实际问题中的应用顶点二次函数图象中的特殊点与轴的交点与x 轴的交点实当时，抛物线与轴有两个交点践利用判与断抛物线与轴当时，抛物线与轴有一个交点探二次函数图象抛物线的交点个数当时，抛物线与轴没有交点索与轴交点的判断根据抛物线与轴的交点个数，利用求字母系数的取值或取值范()20y ax bx c a ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪=++≠⎩⎩围二次函数的最大值或最小值第2６讲 二次函数的定义、图象及性质知识能力解读知能解读(一)二次函数的定义一般地,形如2y ax bx c =++(,,a b c 是常数,且0a ≠)的函数叫作二次函数.其中x 是自变量,,,a b c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.例如,22213,32,223y x y x y x x ==+=--+等都是二次函数. 注意（１）任何一个二次函数的解析式都可以化成2y ax bx c =++ (,,a b c 是常数,且0a ≠）的形式,因此,把2y ax bx c =++ (,,a b c 是常数，且0a ≠）叫作二次函数的一般式. (2)二次函数()20y ax bx c a =++≠中,,x y 都是变量,,,a b c 是常量，自变量x 的取值是全体实数，b 和c 可以是任意实数，a 是不为0的实数，所以二次函数还有如下特殊形式:①:2y ax =(当0,0,0a b c ≠==时);②2y ax bx =+ (当0,0,0a b c ≠≠=时)；③2y ax c =+ (当0,0,0a b c ≠=≠时）.(3)二次函数()20y ax bx c a =++≠的结构特征:等号右边是关于自变量x 的二次整式.知能解读(二)二次函数()20y ax a =≠的图象和性质二次函数()20y axa =≠的图象是一条抛物线,它的对称轴是y 轴,顶点是原点．()20y ax a =≠0a >0a <图象yxO开口方向 向上向下顶点坐标 ()0,0()0,0对称轴 y 轴x 轴增减性 当0x <时,y 随x 的增大而减小;当0x >时，y 随x 的增大而增大当0x <时,y 随x 的增大而增大; 当0x >时,y 随x 的增大而减小最值 当0x =时,=0y 最小值当0x =时，0y =最大值注意（１)(供参考）抛物线()20y axa =≠的开口大小由a 决定，a 越大,抛物线的开口越小；a 越小，抛物线的开口越大.(2)画()20y axa =≠的图象时,描点法画出的只是整个图象的一部分，是近似的，由于x 可取一切实数,所以图象应向两方无限延伸.(３)选取自变量x 的值时,为了计算方便，x 一般取整数. 知能解读（三)二次函数()()()()2220,0,y ax k a y a x h a y a x h k =+≠=-≠=-+()0a ≠的图象和性质1二次函数()20y ax k a =+≠的图象和性质二次函数()20y ax k a =+≠的图象是一条拋物线,它的对称轴是y 轴,顶点坐标是()0,k .２二次函数()()20y a x h a =-≠的图象和性质二次函数()()20y a x h a =-≠的图象是一条抛物线，它的对称轴是平行于y 轴或与y 轴重合的直线x h =,顶点坐标是(),0h .3二次函数()()20y a x h k a =-+≠的图象和性质二次函数()()20y a x h k a =-+≠的图象是一条抛物线,它的对称轴是直线x h =,顶点坐标为(),h k ．最值 当x h =时,y k =最小值 当x h =时,y k =最大值注意(1）由()2y a x h k =-+可直接看出抛物线的顶点坐标(),h k (2) a 决定抛物线的形状、大小,,h k 决定抛物线的位置. 具体的平移操作如图所示．点拨 (1)对于函数()()20y a x h k a =-+≠的性质,要注意与()()()()2220,0,0y ax a y ax k a y a x h a =≠=+≠=-≠对比学习,通过图象得出函数()()20y a x h k a =-+≠的性质．(2)二次函数()2y a x h k =-+的图象可由抛物线2y ax =的图象平移得到,h 与k 的符号分别确定左右平移和上下平移的方向,h 与k 的绝对值确定平移的距离．抛物线平移规律是“左右平移,左加右减：上下平移.上加下减”知能解读(四)二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象与性质关系式 一般式()20y ax bx c a =++≠顶点式()()20y a x h k a =-+≠图象形状 抛物线开口方向 当0a >时,开口向上;到那个0a <时,开口向下顶点坐标24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭(),h k对称轴2b x a=-x h =知能解读(五）二次函数()20y ax bx a a =++≠图象的画法 (１)描点法,其步骤如下:①把二次函数解析式()20y ax bx a a =++≠化成()()20y a x h k a =-+≠的形式;②确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标;③在对称轴两侧，以顶点为中心,左右对称描点画图. 注意若抛物线与x 轴有交点,最好选取交点描点，特别是作抛物线草图时,应抓住以下五点:①开口方向;②对称轴;③顶点；④与x 轴交点；⑤与y 轴交点. (２)平移法，其步骤如下:①利用配方法把二次函数解析式化成()()20y a x h k a =-+≠的形式，确定其顶点坐标(),h k ；②作出()20y ax a =≠的图象;③将()20y axa =≠的图象平移,使其顶点移到(),h k .知能解读（六)待定系数法求二次函数的解析式二次函数解析式有三种常见形式：(１)—般式（或三点式):2y ax bx a =++ (,,a b c 为常数，0a ≠)； (2)顶点式(或配方式):()2y a x h k =-+ （,,a h k 为常数，0a ≠）;(3)交点式（或两根式)：()()12y a x x x x =-- （12,,a x x 是常数,0a ≠拓展点). 注意(a ）任何一个二次函数解析式通过配方都可以化成顶点式()2y a x h k =-+，抛物线顶点坐标为(),h k ．当0h =时,抛物线顶点在y 轴上;当0k =时,抛物线顶点在x 轴上；当0,0h k ==时,抛物线顶点在原点处.(2)两根式又叫交点式，12,x x 是抛物线与x 轴的交点的横坐标,即交点()1,0A x ,交点()2,0B x .(3)确定二次函数解析式时，根据所给的条件;合理地选择恰当的表达式．一般地,已知抛物线上;任意三点时，通常设函数解析式为一般式;当已知顶点坐标时，通常设函数解析式为顶点式；当已知抛物线与x 轴的两个交点时，通常设函数解析式为交点式.知能解读（七)二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象特征与,,a b c 的符号之间的关系注意（1)由抛物线的开口方向可确定a 的符号,简记为“上正下负”.(２)由a 的符号及对称轴2bx a=-的位置可确定b 的符号.特殊地,对称轴为y 轴时，0b =；—般情况可简记为“左同右异”,即对称轴在y 轴左侧，,a b 同号,对称轴在y 轴右侧,,a b 异号.(3)当抛物线与y 轴交于原点时，0c =，否则可简记为“上正下负”,即抛物线与y 轴交于x 轴上方，c 为正；交于x 轴下方，c 为负.方法技巧归纳方法技巧(一)识别二次函数的方法 判断一个函数是否为二次函数，主要依据有三条：（1)数解析式的右边必须是整式;⑵化筒后的自变量最高次数是2;(3)二次项系数必须不为零.方法技巧(二)求二次函数图象的顶点坐标和对称轴的方法(1）公式法：()2224024b ac b y ax bx c a x a a a -⎛⎫=++=++≠ ⎪⎝⎭,所以顶点坐标为24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,对称轴是直线2bx a =-. (2)配方法:运用配方法,将拋物线的关系式化为()()20y a x h k a =-+≠的形式，得到顶点为(),h k ,对称轴是直线x h =．(3)对称点法:由于抛物线是轴对称图形,所以连接对称点所得线段的垂直平分线是对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.方法技巧(三）二次函数的图象与性质二次函数的图象与性质主要有二次函数图象的顶点坐标,二次函数的增减性以及函数与坐标轴的交点等问题.方法技巧(四)根据二次函数图象获取相关信息的方法（１)由抛物线的开口方向判断a 的符号，开口向上，0a >；开口向下，0a <.(2)由抛物线对称轴的位置判断b 的符号,即对称轴为y 轴,0b =;对称轴在y 轴左侧，则,a b 同号；对称轴在y 轴右侧，则,a b 异号.(３)由抛物线与y 轴的交点位置判断c 的符号,当交点在y 轴的正半轴上时,0c >;当交点为原点时，0c =;当交点在y 轴的负半轴上时,0c <. 方法技巧(五）用待定系数法求二次函数解析式的技巧由于二次函数有多种表达形式,所以我们在求二次函数解析式时,首先要根据已知条件的特点，灵活选择合适的表达形式，然后用“待定系数法”求解,可以达到简便、快捷的效果． 1一般式这是最基本的方法，若已知函数图象上的三个点的坐标,可设函数解析式为()20y ax bx c a =++≠.2顶点式若已知抛物线的顶点或对称轴，则设函数解析式为顶点式()()20y a x h k a =-+≠，顶点的坐标为(),h k ,对称轴为直线x h =．3交点式若已知抛物线与x 轴的两交点坐标或已知抛物线与x 轴的一交点坐标与对称轴，可通过设交点式()()12y a x x x x =--来求解.方法技巧(六）抛物线的平移技巧抛物线()()20y a x h k a =-+≠在平移时,a 的值不变，改变的只是顶点的位置，即只是h 或k 的值发生变化,因此解决抛物线平移问题,要把抛物线解析式化为顶点式,并准确求出抛物线的顶点坐标，然后根据“左加右减，上加下减”的平移规律，即可确定平移后的二次函数解析式.方法技巧（七)解决二次函数综合题的技巧当问题的条件不确定时,需要对可能的情况分别讨论，这是二次函数中常用的思想方法.易混易错辨析易混易错知识由已知二次函数图象平移得到另一个二次函数图象时，易将平移方向以及,h k 的符号混淆. 易混易错(一)对二次函数的定义理解不透，忽视“0a ≠”这一隐含条件 易混易错(二)忽视隐含条件致错易混易错（三)平移时混淆()2y a x h k =-+中h 的符号而出错．中考试题研究中考命题规律二次函数的图象和性质是中考考查的重点内容,主要考查二次函数的平移、图象与性质，二次函数图象位置与表达式中字母系数的关系以及二次函数的综合应用．主要以填空题、选择题或解答题的形式出现.用待定系数法求二次函数的解析式是中考的热点之一. 中考试题(一)二次函数图象的平移 中考试题（二)二次函数的性质中考试题(三）二次函数的图象位置与系数关系 中考试题(四)二次函数的综合应用 中考试题(五)二次函数性质的综合应用第２７讲 二次函数的实践与探索知识能力解读知能解读(一)抛物线与直线的交点直线()0y kx b k =+≠与抛物线()20y ax bx c a =++≠的交点坐标即方程组2,y kx b y ax bx c=+⎧⎨=++⎩的解. 当方程组有两个不同解时⇔两函数图象有两个交点； 当方程组只有一个解时⇔两函数图象只有一个交点； 当方程组无解时⇔两函数图象没有交点.知能解读（二)二次函数与一元二次方程的关系函数()20y ax bx c a =++≠,当0y =时，得到一次方程()200ax bx c a ++=≠,那么一元二次方程的根就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此，二次函数的图象与x 轴的交点情况决定相应一元二次方程根的情况.(1)当二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象与x 轴有两个交点时,240b ac ->,方程()200ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根;(2)当二次函数的图象与()20y ax bx c a =++≠轴有且只有一个交点时,240b ac -=,方程()200ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根;(3)当二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象与x 轴无交点时,240b ac -<,方程()200ax bx c a ++=≠无实数根.综上,求一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根也就是求二次函数()20y ax bx c a =++≠的值为0时自变量x 的值，即抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴的交点的横坐标．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象与x 轴的交点的三种情况分别对24b ac -的取值240b ac ->240b ac -=240b ac -<二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象与x 轴的交点a >有两个交点yxO有一个交点yxO无交点a <yxO有两个交点yxO有一个交点yxO无交点 一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的实数根 有两个不相等的实数根12,x x有两个相等的实数根12x x =没有实数根注意若抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴的交点为()1,0A x 和()2,0B x ，则抛物线的对称轴为直线122x x x +=，对称轴与x 轴的交点恰为线段AB 的中点. 知能解读(三)二次函数与一元二次不等式的关系（拓展点）抛物线()20y ax bx c a =++≠在x 轴上方的部分点的纵坐标为正,所对应的x 的所有值就是不等式()200ax bx c a ++>≠的解集;在x 轴下方的部分点的纵坐标都为负,所对应的x的所有值就是不等式()200ax bx c a ++<≠的解集,不等式中如果带有等号其解集也相应带有等号.二次函数()20y ax bx c a =++≠与一元二次不等式()200ax bx c a ++>≠及()200ax bx c a ++<≠之间的关系如下:知能解读(四)二次函数在实际问题中的应用函数的应用指的是运用函数概念建立函数模型，研究、解决某些实际问题的过程和方法，它包括两个方面：(1)用二次函数表示实际问题中变量之间的关系;(2)用二次函数解决实际问题中的最优化问题,其实质就是求函数的最大(小)值. 注意(1)优化问题,即求二次函数何时达到最大(小）值,此时需注意顶点的横坐标是否在实际问题中x 的取值范围内.⑵已知函数值,求自变量的对应值.特别地,：求抛物线与x 轴交点的横坐标,这些可以通过解一元二次方程解决，但要注意检验方程的解是否符合实际问题的要求．方法技巧归纳方法技巧(一）求两函数图象交点问题的方法两函数图象交点的横坐标和纵坐标就是两函数解析式所组成的方程组的解. 方法技巧（二)二次函数与一元二次方程关系的综合应用主要依据判别式24b ac ∆=-的符号来判断,即当0∆>时，抛物线与x 轴有两个不同的交点;当0∆=时，抛物线与x 轴有一个交点;当0∆<时，抛物线与x 轴无交点. 方法技巧(三）利用二次函数图象求不等式解集的方法(拓展） 方法技巧（四)利用二次函数解决实际问题的方法利用二次函数解决实际问题通常先要建立变量之间的二次函数解析式,再利用二次函数的相关性质求解．方法技巧（五)与二次函数相关的综合题易混易错辨析易混易错知识二次函数配方为顶点式与用配方法解一元二次方程混淆． 易混易错(一)实际问题中忽视自变量取值范围致错 易混易错(二)忽视二次项系数不为0致错中考试题研究中考命题规律在近几年的中考中,各地对应用函数知识解决生活中的问题及二次函数与方程、一次函数、反比例函数、几何图形的综合运用考查较多.中考中的压轴题多与二次函数相结合，尤其是二次函数的应用题是考查二次函数的主流题目．题型有填空题、选择题、解答题,主要以贴近生产生活、反映时代热点的图象信息题、阅读理解题、开放探究题等为主.利用二次函数最值解决实际问题已成为中考的热点，这也是二次函数知识的创新点，应予以关注. 中考试题(一)由图象获取信息中考试题（二)二次函数与一元二次方程中考试题(三）应用二次函数知识解决实际问题 中考试题(四)解决抛物线型问题。

九年级二次函数知识点总结讲解在九年级数学课程中，学生将接触到二次函数的知识。

二次函数是一种非常重要的函数形式，它在数学、物理、经济等各个领域具有广泛的应用。

本文将对九年级二次函数的相关知识点进行总结和讲解。

一、二次函数的定义和表示方法二次函数是指函数的自变量的最高次幂为2的函数形式。

一般来说，二次函数的表示形式可以写为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为实数，a不为0。

其中，a称为二次项系数，b称为一次项系数，c称为常数项。

二、二次函数的图像特征对于二次函数f(x) = ax² + bx + c来说，它的图像是抛物线。

具体来说，当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下；当a=0时，抛物线退化为直线。

除了开口方向外，二次函数的图像还包含以下几个特征：顶点、对称轴和判别式。

1. 顶点：二次函数的图像在抛物线上的最高点或最低点称为顶点。

顶点的横坐标可以通过公式x = -b / (2a)求得，纵坐标可以代入公式计算得出。

2. 对称轴：二次函数的图像是关于一条直线对称的，这条直线称为对称轴。

对称轴的方程可以通过公式x = -b / (2a)得出。

3. 判别式：判别式是一个用来判断二次函数的图像与x轴的交点个数和性质的重要指标。

判别式的数值可以通过公式Δ = b² -4ac计算得出。

当Δ>0时，二次函数与x轴有两个交点；当Δ=0时，二次函数与x轴有一个交点；当Δ<0时，二次函数与x轴无交点。

三、二次函数的性质和应用除了图像特征外，二次函数还具有一些重要的性质和应用。

1. 单调性：当二次函数的二次项系数a>0时，函数是上凸的，也就是说随着自变量的增大，函数值也会增大；当a<0时，函数是下凸的，随着自变量的增大，函数值会减小。

2. 极值：对于上凸的二次函数来说，函数的最小值就是顶点的纵坐标；对于下凸的二次函数来说，函数的最大值就是顶点的纵坐标。

一、基本概念二次函数是指函数$f(x)=ax^2+bx+c$的形式，其中$a$、$b$、$c$为常数且$a\neq0$。

二次函数是一个关于$x$的二次多项式，其中最高次幂为2二、二次函数图像的特征1.凹凸性：当$a>0$时，二次函数图像开口向上，称为正定二次函数；当$a<0$时，二次函数图像开口向下，称为负定二次函数。

2. 对称轴：二次函数图像关于$y$轴对称，对称轴方程为$x=-\frac{b}{2a}$。

3. 判别式：对于二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$，判别式$D=b^2-4ac$决定了该二次函数的图像与$x$轴的交点个数和位置。

（1）若$D>0$，则二次函数的图像与$x$轴有两个交点；（2）若$D=0$，则二次函数的图像与$x$轴有一个交点；（3）若$D<0$，则二次函数的图像与$x$轴无交点。

三、二次函数的平移1.左右平移：设二次函数$f(x)$的图像为$y=f(x-a)$，则$f(x)$的图像向右平移$a$个单位，设二次函数$f(x)$的图像为$y=f(x+a)$，则$f(x)$的图像向左平移$a$个单位。

2.上下平移：设二次函数$f(x)$的图像为$y=f(x)+a$，则$f(x)$的图像向上平移$a$个单位，设二次函数$f(x)$的图像为$y=f(x)-a$，则$f(x)$的图像向下平移$a$个单位。

四、二次函数的性质1.零点与因式分解：若二次函数$f(x)$的零点为$x_1$和$x_2$，则$f(x)$可以因式分解为$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$。

2.最值点：对于开口向上的二次函数，其最小值为顶点，最大值则为无穷大；对于开口向下的二次函数，其最大值为顶点，最小值则为无穷小。

3. 范围与值域：若$a>0$，则二次函数$f(x)$的值域为$[k,+\infty)$，其中$k$为$f(x)$的最小值；若$a<0$，则二次函数$f(x)$的值域为$(-\infty,k]$，其中$k$为$f(x)$的最大值。