浙江省绍兴一中2019-2020学年高二下学期期中数学试题

2019-2020学年浙江省9 1高中联盟高二(下)期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1. 设全集U ={x|x >0}，集合M ={x|x −3>0}，则∁U M =( )A. {x|0<x ≤3}B. {x|x <3}C. {x|x ≤3}D. {x|0<x <3}2. x ∈[0,2π]，y =√tanx +√−cosx 定义域为( )A. x ∈[0,π2)B. (π2,π]C. [π,3π2)D. (3π2,2π]3. 如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外的点D ，若OC⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则m +n 的取值范围是( ) A. (0,1) B. (1,+∞) C. (−∞,−1) D. (−1,0)4. 已知z =m −1+(m +2)i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是( )A. (−1,2)B. (−2,1)C. (1,+∞)D. (−∞,−2)5. 不等式a 1x 2+b 1x +c <0和a 2x 2+b 2x +c 2<0解集分别为M ，N 则a1a 2=b1b 2=c1c 2是M =N 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 要得到函数y =2cosx ⋅sin(x +π6)−12的图象，只需将y =sinx 的图象( )A. 先向左平移π6个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变) B. 先向左平移π6个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的2倍(纵坐标不变) C. 先将所有点的横坐标缩短为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位长度 D. 先将所有点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位长度7. 若a ，b 在区间[0,√3]上取值，则函数f(x)=13ax 3+bx 2+14ax 在R 上有两个相异极值点的概率是( )A. 14B. 1−√32C. 34D. √328. 将甲、乙、丙、丁、戊共五位同学分别保送到北大、上海交大和浙大3所大学，若每所大学至少保送1人，则不同的保送方案共有( )种．A. 114B. 100C. 72D. 1509. 定义在R 上的奇函数f(x)对任意x ∈R 都有f(x +1)=f(3−x)，若f(1)=−2，则2012f(2012)−2013f(2013)=( )A. −4026B. 4026C. −4024D. 402410. 已知函数f(x)={ax 2+1,(x ≥0)(a +2)e ax ,(x <0)为R 上的单调函数，那么实数a 的取值范围是( )A. ( 0,+∞)B. [−1,0 )C. (−2,0)D. (−∞,−2)二、单空题（本大题共3小题，共12.0分）11. 要做一个母线长为30cm 的圆锥形的漏斗，要使其体积最大，则其底面半径为______cm ． 12. 已知函数f(x)={x(x +4),x ≥0x(x −4),x <0，则f(1)+f(−3)=______．13. 已知向量a ⃗ =(2,1)，b ⃗ =(k,−3)，若(a ⃗ +b ⃗ )⊥a ⃗ ，则实数k =______． 三、多空题（本大题共4小题，共24.0分）14. 已知点A(2,0)，B(1,2)，C(2,2)，|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，O 为坐标原点，则|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |= ，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OA⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角的取值范围是 ．15. 袋中有大小相同的3个红球，2个白球，1个黑球．若不放回摸球，每次1球，摸取3次，则恰有两次红球的概率为 (1) ；若有放回摸球，每次1球，摸取3次，则摸到红球次数的期望为 (2) ．16. 若(1+x)(1−2x)7=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 8x 8，则a 1+a 2+⋯+a 7的值是 ；在上述展开式右边的九项中，随机任取不同的三项，假设这三项均不相邻，则有 种不同的取法． 17. 对于实数x ，用[x]表示不超过x 的最大整数，如[0.3]=0，[5.6]=5.若n ∈N ∗，a n =[n4]，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 8= (1) ；S 4n = (2) ． 四、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18. 已知函数f(x)=2√3sinx ⋅cosx +cos2x ，x ∈R ．(1)求f(x)的最小正周期；(2)若x ∈[−π6,π3]，求f(x)的最大值和最小值．19.汽车租赁业被称为“朝阳产业”，因为它具有无须办理保险、无须年检维修、车型可随意更换等优点，以租车代替买车来控制陈本，正慢慢受到国内企事业单位和个人用户的青睐，可以满足人民群众个性化出行、商务活动需求和保障重大社会活动．2013年国庆长假期间某汽车租赁公司为了调查P、Q两种车型的出租情况，现随机抽取了这两种车型各100辆，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如表：P型车出租天数1234567车辆数51030351532Q型车出租天数1234567车辆数1420201615105(1)根据一周内的统计数据，预测该公司一辆P型车，一辆Q型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；(2)如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从P、Q两种车型中购买一辆，请你给出建议应该购买哪一种车型，并说明理由．20.(本小题满分12分)已知向量=3i−4j，=6i−3j，=(5−m)i−(3+m)j其中i，j分别是直角坐标系内x轴与y轴正方向上的单位向量(1)A，B，C能够成三角形，求实数m应满足的条件。

柯桥中学2019学年第二学期高二期中考试数学试卷一、选择题1.设集合{}{}21,|4A x x B x x =>=≤，则A B =( )A. ()1,2B. (]1,2C. (]0,2D. ()1,+∞【答案】B 【解析】 【分析】首先求解集合B ，然后求AB .【详解】24x ≤，解得22x -≤≤， 所以{}22B x x =-≤≤， 所以{}12A B x x ⋂=<≤. 故选：B【点睛】本题考查集合的交集，重点考查不等式的解法，属于基础题型.2.已知复数1z i =+（i 是虚数单位），则211z z -=+( )A. iB. i -C. 1i +D. 1i -【答案】A 【解析】 【分析】根据完全平方和除法计算公式计算结果.【详解】原式()()()()()211212215112225i i i i ii i i i i +----=====++++-.故选：A【点睛】本题考查复数的化简求值，属于基础计算题型.3.设{n a }为等差数列，公差2d =-，n S 为其前n 项和，若1011S S =，则1a =（ ） A. 18 B. 20C. 22D. 24【答案】B【解析】试题分析：由等差数列的前10项的和等于前11项的和可知，第11项的值为0，然后根据等差数列的通项公式，利用首项和公差d 表示出第11项，让其等于0列出关于首项的方程，求出方程的解即可得到首项的值．解：由s 10=s 11，得到a 1+a 2+…+a 10=a 1+a 2+…+a 10+a 11即a 11=0，所以a 1-2（11-1）=0，解得a 1=20．故选B 考点：等差数列的性质点评：此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用等差数列的通项公式化简求值，是一道基础题4.已知函数()()()sin 0,0,0πf x A x A ωϕωϕ=+>><<的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A. 函数()f x 的周期为πB. 函数()πy f x =-为奇函数C. 函数()f x 在ππ,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D. 函数()f x 的图象关于点3π,04⎛⎫⎪⎝⎭上对称 【答案】B 【解析】 【分析】由图像可知2A =，再将点53),(,2)4π-的坐标代入函数中求出ωϕ，的值，然后求解其周期、单调区间、对称中心可得答案. 【详解】解：由图像可知2A =， 因为函数图像过点53),(,2)4π-，所以2sin 52sin()24ϕπωϕ⎧=⎪⎨+=-⎪⎩，由2sin ϕ=sin 2ϕ=， 因为0πϕ<<，所以3πϕ=或23πϕ=，由图像可知图像向左平移超过了548T π≥，即58πϕ>，所以23πϕ=，则522sin()243ππω⋅+=- 由五点对应法得523432πππω⋅+=，得23ω=， 所以22()2sin()33f x x π=+， 则()f x 的周期为3π，所以A 错误；()222π2sin[()]2sin 333y f x x x ππ=-=-+=为奇函数，所以B 正确；由ππ,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得22()[0,]33x ππ+∈，此时()f x 不是增函数，所以C 错误； 因为3232()2sin()04343f πππ=⨯+≠，所以3π,04⎛⎫⎪⎝⎭不是函数()f x 的图像的对称中心，所以D 错误， 故选：B【点睛】此题考查三角函数的图像和性质，根据条件确定函数的解析式是解决此题的关键，综合性较强，属于中档题. 5.“a b >”是“a a b b ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】首先判断y x x =的单调性，再根据单调性判断充分必要条件.【详解】22,0,0x x y x x x x ⎧≥==⎨-<⎩，函数是奇函数，并且在R 上单调递增，所以a b >时，a a b b ，反过来，若满足a a b b 时，根据函数y x x =是单调递增函数，所以a b >， 所以a b >”是“a a b b ”的充要条件.故选：C【点睛】本题考查充分必要条件，重点考查函数单调性的判断方法，转化与化归的思想，属于基础题型. 6.函数()()212x y x x e =--（其中e 为自然对数的底数）的图象可能是( )A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】首先判断函数零点，并判断零点左右的正负，排除选项，得到正确答案. 【详解】由函数可知函数有两个零点，1,x =和2x =， 当2x >时，0y >，2x <且1x ≠时，0y < ，故排除B,C,D. 满足条件的是A. 故选：A【点睛】本题考查函数图象的识别，重点考查函数性质的灵活应用，属于基础题型，一般函数图象的识别，首先考查函数的定义域，零点，单调性，极值，特殊值等，一般都是排除选项，得到正确答案.7.已知1F ，2F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点，P 为双曲线右支上一点，满足21π2PF F ∠=，连接1PF 交y 轴于点Q ，若2QF =，则双曲线的离心率是（ ）C. 1+D. 1+【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得2PF 垂直于x 轴，2//OQ PF ，Q 为1PF 的中点，运用直角三角形斜边中线为斜边的一半，结合双曲线的方程可得22||b PF a=，再由勾股定理和离心率公式，计算即可得到所求值．【详解】解：由题意可得2PF 垂直于x 轴，2//OQ PF ， 因为O 为12F F 的中点，则Q 为1PF 的中点，可得12||2||PF QF ==，由x c =可得2by a=±=±， 即有22||b PF a=，在直角三角形12PF F 中， 可得2221212||||||PF PF F F =+，即有422284b c c a=+，可得4224b a c =， 即2222b ac c a ==-， 由ce a=可得，2210e e --=，解得12(12e =+-舍去）， 故选：C.【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质，注意运用直角三角形的性质和勾股定理，考查化简整理的运算能力．8.已知函数(2()lg 12sin f x x x x x =+++，12()()0f x f x +>，则下列不等式中正确的是（ ） A. 12x x >B. 12x x <C. 120x x +<D.120x x +>【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得()()lg10f x f x +-==，可得函数()f x 是奇函数，并且可得函数()f x 在0x ≥时单调递增，因此在R 上单调递增，利用单调性与奇偶性可得结果. 【详解】()()(()22lg 12sin lg 12sin f x f x x x x x x x x x ⎛+-=+++++--+-- ⎝lg10==，∴函数()f x 是奇函数，设(2lg 1()g x x x +=在[0,)+∞单调递增，设()2sin ,()2cos 0h x x x h x x =+'=+>恒成立，()h x 在(,)-∞+∞上是增函数，所以函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，()f x 是奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递增，()f x 在0x =处连续，因此在R 上单调递增，()()120f x f x +>，()()()()1212,f x f x f x f x ∴>-∴>-，12x x ∴>-，即120x x +>.故选：D.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性应用的，以及对数的运算、对数函数的性质、不等式的性质，意在考查推理能力与计算能力以及综合运用所学知识解决问题的能力，属于中档题.9.已知数列{}n a 满足112(,2)n n n a a a n n *-+∈≥N ≤＋，则（ ） A. 52143a a a ≤- B. 2736a a a a +≤+ C. 76633()a a a a -≥- D. 2367a a a a +≥+【答案】C 【解析】 【分析】由112n n n a a a -+≤＋可知11n n n n a a a a -+-≤-，再根据这个不等关系判断选项正误． 【详解】由题得11n n n na a a a -+-≤-，则有213243546576a a a a a a a a a a a a -≤-≤-≤-≤-≤-， 76435465633()()()()a a a a a a a a a a -≥-+-+-=-，故选C ．【点睛】本题考查数列的递推关系，用到了放缩的方法，属于难题． 10.若非零向量a 与向量b 的夹角为钝角，2b =，且当12t =-时，()b ta t R -∈取最小值c 满足()()c b c a -⊥-，则当()·c a b +取最大值时，c b -等于（ ）B.C. D.52【答案】A 【解析】【详解】设a MA =，b MB =，c MC =，如图：∵向量a ，b 的夹角为钝角，∴当a 与b ta -垂直时，b ta -取最小值3，即12a b a ⎛⎫⊥+ ⎪⎝⎭． 过点B 作BD ⊥AM 交AM 延长线于D ，则BD 3=，∵|b |＝MB ＝2，∴MD ＝1，∠AMB ＝120°，即a 与b 夹角为120°． ∵12a b a ⎛⎫⊥+⎪⎝⎭，∴a ⋅（12b a +）＝0， ∴|a |•|b |•cos120°12+|a |2＝0， ∴|a |＝2，即MA ＝2，∵()()c a c b -⊥-，∴c 的终点C 在以AB 为直径的圆O 上， ∵O 是AB 中点，∴a b +=2MO ，∴当M ，O ，C 三点共线时，()c a b ⋅+取最大值， ∵AB 22AD BD =+=23，∴OB ＝0C 132AB ==， ∵MA ＝MB ＝2，O 是AB 中点，∴MO ⊥AB ， ∴∠BOC ＝∠MOA ＝90°， ∴|c b -|＝BC 2=OB 6=．故选：A ．考点：向量运算、两个向量垂直．【思路点晴】本题考查了平面向量在几何中的应用，根据题目的已知条件，结合向量运算的几何意义作出符合条件的图形是解题的关键.作出图象后，寻找b ta -在什么位置取得最小值，计算出向量,a b 的夹角，及a .由()()c a c b -⊥-可知c 的终点C 在以AB 为直径的圆O 上，结合图象，找出当()c a b ⋅+取得最大值时C 的位置，由此求得结果.二、填空题11.双曲线2214x y -=的焦距为__________；渐近线方程为__________．【答案】 (1). 12y x =± 【解析】由双曲线2214x y -=可知，224,1,a b ==故2225c a b =+=,焦距2c =,渐近线:12b y x x a =±=±,故答案为(1) ， (2) 12y x =±.12.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，36S a =，且3a ，6a ，k a 成等比数列，则n S =________，k =________．【答案】 (1). 22n n+ (2). 12【解析】 【分析】根据条件11a =，36S a =，求出等差数列{}n a 的通项公式，再求出前n 项和，再根据3a ，6a ，k a 成等比数列求出k .【详解】设等差数列的公差为d ，则由36S a =得11335a d a d +=+，即3315d d +=+，解得1d =，则n a n =，(1)2n n n S n -=+=22n n+． 由3a ，6a ，k a 成等比数列得263k a a a =⋅，即263k =，解得12k =．故答案为：22n n+；12【点睛】本题考查等差数列的概念与求和公式及等比数列的性质，根据题意确定等差数列的通项是解题的关键．13.已知点O 为ABC 的外心，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若3450OA OB OC →→→→++=，cos BOC ∠的值为______，OA OB →→⋅=______.【答案】 (1). 45-； (2). 0. 【解析】 【分析】设三角形ABC 的外接圆半径为R ，将已知的等式变形后，左右两边平方，由O 为三角形的外心，得到OA OB OC R →→→===，再利用平面向量的数量积运算法则计算，可得出cos BOC ∠的值；由4533OA OB OC →→→=--，利用平面向量的数量积运算，即可求出OA OB →→⋅的值.【详解】解：设外接圆半径为R ，则OA OB OC R →→→===，由3450OA OB OC →→→→++=，得：453OB OC OA →→→+=-， 平方得：2221640259R OB OC R R →→++=，则245OB OC R →→=-，即224cos 5R BOC R ∠=- 则4cos 5BOC ∠=-； 因为4545333OB OC OA OB OC →→→→→+==---，4533OA O OB OC OB B →→→→→--⎛⎫∴⋅=⋅ ⎪⎝⎭24533OB OC OB →→→-⋅-=2245cos 33R R BOC --⋅∠=22454335R R ⎛⎫--⋅- ⎪⎝⎭=0=.即0OA OB →→⋅=. 故答案为：45-；0. 【点睛】本题考查平面向量的数量积运算和利用平面向量的数量积求夹角，以及向量在几何中的运用，考查化简运算能力． 14.对于函数()()321332a f x x x a xb =-+-+，若()27f =，则()2f -=______.若()f x 有六个不同的单调区间，则a 的取值范围为______. 【答案】 (1). 7 (2). ()2,3 【解析】 【分析】利用定义判断出函数()f x 为偶函数，可求得()2f -的值，令()()321332ag x x x a x b =-+-+，可知函数()g x 在()0,∞+上有两个极值点，即函数()g x '在()0,∞+上有两个不同的零点，利用二次函数的零点分布可得出a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围. 【详解】()()321332a f x x x a xb =-+-+，该函数的定义域为R ， ()()()()()332211333232a a f x x x a xb x x a x b f x -=---+--+=-+-+=， 所以，函数()f x 为偶函数，则()()227f f -==.令()()321332a g x x x a xb =-+-+，则()()f x g x =， 由于函数()f x 有六个不同的单调区间，则函数()g x 在()0,∞+上有两个极值点， 即函数()g x '在()0,∞+上有两个不同的零点，且()()23g x x ax a '=-+-，由二次函数的零点分布得()2024120030aa a g a '⎧>⎪⎪∆=+->⎨⎪=->⎪⎩，解得23a <<.因此，实数a 的取值范围是()2,3. 故答案为：7；()2,3.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求函数值，同时也考查了利用函数的单调区间求参数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.15.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则3+a c 的最小值为______.【答案】4+【解析】 【分析】 由ABCABDCBDSSS=+可推出ac c a =+，即111a c+=，故利用基本不等式，结合“乘1法”即可求出3+a c 的最值. 【详解】由题可知ABCABDCBDSSS=+，则由角平分线性质和三角形面积公式可得：111sin120sin 60sin 60222ac c a =+， 化简得ac c a =+，即111a c+=，所以()1133344a c a c a c a c c a ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭当且仅当3a cc a=即1c ==时取等号.故答案为：4+.【点睛】本题考查了三角形和基本不等式的综合应用，属于中档题，在应用基本不等式时，注意遵循“一正二定三相等”原则.16.双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率为e ，过2F 的直线与双曲线的右支交于A ，B 两点，若1F AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则2e =______.【答案】5- 【解析】 【分析】可设2AF m =，122F F c =，根据双曲线的定义及1F AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，得12AF a m =+，14BF a =，11BF =，求得m .再在12Rt F AF 中，用勾股定理，得到关于a c 、的方程，运用离心率公式计算即可. 【详解】解：设2AF m =，122F F c =，由122AF AF a -=，12AF a m ∴=+，又1222AF AB AF BF m BF ==+=+，22BF a ∴=，又122BF BF a -=， 14BF a ∴=，1F AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，11BF ∴=，即)42a a m =+，)21m a ∴=，在12Rt F AF 中，222124AF AF c +=，()222824a ac ∴+=，即2225c a =-，25e ∴=-故答案为：5-.【点睛】本题主要考查双曲线的定义、方程和性质、考查离心率的求法，考查学生的计算能力，属于中档题.17.已知()f x '是函数()()322113f x mx m x n x =-+-+的导函数，若函数()x y f f '=⎡⎤⎣⎦在区间[],1m m +上单调递减，则实数m 的范围是______. 【答案】[]1,0- 【解析】 【分析】求出函数()f x 的导函数，利用导函数研究原函数的单调区间，再二次求导得()22f x x m ''=-，从而得到()f x '的单调区间，由导函数在区间[m ，1]m +上单调递增求出其值域[]1,0-，将函数的单调性把问题转化为[][]1,01,1m m -⊆-+，即可列出不等式即可求出m 的范围.【详解】解：由函数3221()(1)3f x x mx m x n =-+-+，得222()21()1f x x mx m x m '=-+-=--， 由2()10x m -->，得1x m <-或1x m >+，∴函数()f x 的增区间为(,1)m -∞-，(1,)m ++∞，由2(1)0x m --<，得11m x m -<<+，∴函数()f x 单调减区间为[]1,1m m -+，由()22f x x m ''=-，则()0f x ''>时，x m >；()0f x ''<时，x m <，得()f x '的单调增区间为[),m +∞，单调减区间为(],m -∞，函数()f x '在[],1m m +上单调递增，∴函数()f x '在[],1m m +上的值域为[]1,0-， 又函数[()]y f f x '=在区间[],1m m +上单调递减，也就是函数()y f x =在区间[]1,0-上单调递减，因此要满足条件[][]1,01,1m m -⊆-+，即1110m m -≤-⎧⎨+≥⎩，解得：10m -≤≤，∴实数m 的范围是[]1,0-.故答案为：[]1,0-.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性以及根据复合函数的单调性求参数取值范围，考查转化思想和运算能力，属中档题. 三、解答题 18.（12sin 50cos101︒+︒+︒（2）在ABC 中，已知2AC =，1AB =，且角A ，B ，C 满足2cos 22sin 12B CA ++=.求角A 的大小和BC 边的长；【答案】（1）2；（2）60A =︒，BC =. 【解析】 【分析】（1）先切化弦，再用辅导角公式，分母用倍角公式等三角恒等变换化简求值； （2）对2cos 22sin12B CA ++=利用倍角公式，降次公式化简，可得1cos 2A =，从而求得60A =︒，再求余弦定理可求得BC 的长. 【详解】解：（12sin 50cos101︒+︒+︒40cos 40︒⋅+︒⋅==2sin85cos5︒=︒2= （2）由2cos 22sin12B CA ++=，得cos 2cos()ABC =+，又180A B C ++=︒， 得cos2A =cos(180)A ︒-，得22cos 1cos A A -=-，得(cos 1)(2cos 1)0A A +-=， 由cos 10A +≠，得1cos 2A =，又(0,180)A ∈︒，得60A =︒， 2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅⋅211221232=+-⨯⨯⨯=，得BC =，即60A =︒，BC =【点睛】本题考查了三角恒等变换的化简与求值，辅助角公式，二倍角公式，降次公式，余弦定理，还考查了学生分析推理能力，运算能力，属于中档题.19.已知：二次函数()21f x ax bx =+-的图象过点()1,0-，且对任意实数均有()0f x ≤成立.（1）求()f x 的表达式；（2）若奇函数()h x 的定义域和值域都是区间[],k k -，且[]0x k ∈-，时，()()1h x f x =+，求k 的值.【答案】（1）()221f x x x =---；（2）1k =或3k =.【解析】 【分析】（1）根据函数过点()1,0-和0∆≤计算得到答案.（2）根据奇函数得到函数解析式，讨论01k <≤和1k >两种情况，计算得到答案. 【详解】（1）()21f x ax bx =+-，()110f a b -=--=，故1a b -=，对任意实数均有()0f x ≤成立.，故240b a ∆=+≤，即()224420b b b ++=+≤，故2b =-，1a =-，即()221f x x x =---.（2）当[]0x k ∈-，时，()()()221211x x f x h x x =--=-+++=，0k >， 当(]0,x k ∈时，[)0x k -∈-，，故()()22h x h x x x -=--=， 当1k ≤时，函数()h x 在[],k k -上单调递减，故()()2max 2h x h k k k k =-=-+=，()()2min 2h x h k k k k ==-=-，解得1k =；当1k >时，()()(){}(){}max max 1,max 1,f x f f k f k k =-==，故()f k k =， 即22k k k -=，解得3k =，验证满足()()min f x f k k =-=-. 综上所述：1k =或3k =.【点睛】本题考查了求二次函数解析式，根据函数的值域求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力，分类讨论是解题的关键. 20.已知等差数列{}n a 的公差为1-，前n 项和为n S ，且27126a a a ++=-． （1）求数列{}n a 的通项公式n a 与前n 项和n S ；（2）将数列{}n a 的前四项抽取其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{}n b 的前三项，记数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，若存在m *∈N ，使得对任意n *∈N ，总有n m S λ<T +成立，求实数λ的取值范围．【答案】（1）5n a n =-，2922n n n S =-（2）29,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】【详解】试题分析：（1）求等差数列通项公式，一般利用待定系数法，本题已知公差，因此只需确定一项即可：由27126a a a ++=-利用等差数列性质得736a =-，72a =-，再根据等差数列广义通项公式得：()77275n a a n d n n =+-=--+=-，最后利用等差数列和项公式求前n 项和n S ，（2）先根据题意确定数列{}n a 的前四项抽取的是哪一项，再根据剩下三项，利用待定系数法求等比数列{}n b 通项，然后利用错位相减法求数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，对存在性问题及恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题：()()max max n m S T λ<+，nS 为二次函数，可根据对称轴求其最大值，需注意n *∈N ，而n T 的最值，需根据数列单调性确定.试题解析： 解：（1）{}n a 为等差数列，且27126a a a ++=-，∴736a =-，即72a =-，又公差1d =-，∴()77275n a a n d n n =+-=--+=-，n *∈N ．()()214592222n n n a a n n n n S ++-===-，n *∈N ． （2）由（1）知数列{}n a 的前4项为4，3，2，1，∴等比数列{}n b 的前3项为4，2，1， ∴，∴()11452n n n a b n -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭，∴()()01211111443652222n n n T n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⨯+-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，① ∴()()121111114436522222n nn T n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⨯+-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，② ①-②得()12111111444522222n nn T n -⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++--⨯⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()111212111645122612212n n n n n --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦=---⨯=+-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-． ∴()11244122n n T n -⎛⎫=+-⨯ ⎪⎝⎭，n *∈N ．∴()11214112412204222n n n n n n n nT T ---------=-=， ∴12345T T T T T <<<=，且56n T T >>>T ，∴*n ∈N 时，()45max 492n T T T ===． 又2922n n n S =-，∴*n ∈N 时，()45max 10n S S S ===，存在*m ∈N ，使得对任意*n ∈N ，总有n m S T λ<+成立．∴()()max max n m S T λ<+，∴49102λ<+， ∴实数λ的取值范围为29,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．考点：等差数列通项及求和，错位相减法求和【名师点睛】一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法．用错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形更值得注意．(2)在写出“S n ”和“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便于下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式． 21.如图，已知()1,1P 为抛物线2yx 上一点，斜率分别为k ，k -()2k >的直线PA ，PB 分别交抛物线于点A ，B （不与点P 重合）.（1）证明：直线AB 的斜率为定值； （2）若△ABP 265. （i ）求△ABP 的周长（用k 表示）； （ii ）求直线AB 的方程.【答案】（1）证明见解析；（2）（i ）22125k k +；（ii ）224y x =-+. 【解析】 【分析】（1）首先设直线PA 的方程为()11y k x =-+，与抛物线2yx 联立，求得点A 的坐标，将k k =-，求得点B 的坐标，再求直线AB 的斜率；（2）（ⅰ）利用弦长公式，分别求三角形的三边长，（ⅱ）首先求点P到直线AB的距离，再利用等面积公式转化方程求k，最后求直线AB的方程.【详解】（1）设直线PA的方程为()11y kx=-+，与抛物线2y x联立，得210x kx k-+-=，易知()()21,1A k k--，()()21,1B k k--+，所以直线AB的斜率2ABk=-（定值）.（2）由（1）得直线AB的方程为()()2211y x k k=--++-，所以点P到直线AB的距离2d=()2AP k=-，()2BP k=+，AB=.（ⅰ）求ABP∆的周长2l=；（ⅱ）设ABP∆的内切圆半径为r，则r=2AB drl⋅====5k=.所以直线AB的方程为224y x=-+.【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系的综合应用，重点考查转化与化归的思想，计算能力，坐标法解决几何问题的思想，属于中档题型，本题的关键是利用方程联立求出点,A B的坐标.22.已知函数()()1xf x x e=-.（1）求函数()f x的单调递增区间；（2）若方程()(),f x ax b a b R=+∈有非负实数解，求2+4a b的最小值.【答案】（1）()0,∞+；（2）()24ln21--【解析】【分析】（1）首先求函数的导数()xf x xe '=，直接求函数的单调递增区间；（2）设()()g x f x ax b =--，求函数的导数()x g x xe a '=-，当0a ≤时，判断函数在()0,∞+上单调性，当有非负实数解时，求24a b +的最小值，当0a >，转化为存在00x >使()00g x '=，即00x a x e =，且()g x 在[]00,x 上单调递减，在[)0,x +∞上单调递增转化为()002222000441x x a b x e x x e +≥--+，通过构造函数()()22241x x h x x e x x e =--+，求函数的最小值.【详解】（1）因为()x f x xe '=，所以函数()f x 的单调递增区间为()0,∞+.（2）设()()1x g x x e ax b =---，则()xg x xe a '=-. ①当0a ≤时，因为()0g x '≥，所以()g x 在[)0,+∞单调递增，所以()010g b =--≤，得1b ≥-，故244a b +≥-.②当0a >时，存在00x >使()00g x '=，即00x a x e =，且()g x 在[]00,x 上单调递减，在[)0,x +∞上单调递增.所以()()000010x g x x e ax b =---≤，解得()()0002000011x x x b x e ax x e x e ≥--=--， 因此()002222000441x x a b x ex x e +≥--+. 设()()22241x x h x x e x x e =--+，则()()()222x x x h x x e e =+-'，所以()h x 在[]0,ln 2上单调递减，在[)ln 2,+∞上单调递增，所以()()ln 204h h <=-，()()2ln 24ln 28ln 28h x h ≥=-+-. 所以当2ln2a =，22ln 22ln 22b =-+-时，24a b +取到最小值()24ln 21--，此时方程()f x ax b =+有零点ln 2. 【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，最值，零点，属于综合性强的题型，本题的a 时的讨论，通过转化，变形构造函数，转化为求函数的最小值. 难点是第二问0。

柯桥中学2019学年第二学期高二期中考试数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.设集合{}1A x x =>，{}24B x x =≤，则A B =（ ）A.()1,2B.(]1,2C.(]0,2 B.()1,+∞2.已知复数1z i =+（i 是虚数单位），则211z z -=+（ ） A.i B.i - C.1i + D.1i -3.设{}n a 为等差数列，公差2d =-，n S 为其前n 项和，若1011S S =，则1a =（ ）A.18B.20C.22D.244.已知函数()()sin f x A wx ϕ=+（0A >，0w >，0ϕπ<<）的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.函数()f x 的周期为πB.函数()y f x π=-为奇函数C.函数()f x 在,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D.函数()f x 的图象关于点3,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭上对称 5.“a b >”是“a a b b >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件6.函数()()212x y x x e =--（其中e 为自然对数的底数）的图象可能是（）A B C D7.已知1F ，2F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点，P 为双曲线右支上一点，满足212PF F π∠=，连接1PF 交y 轴于点Q ，若2QF =，则双曲线的离心率是（）C.11+8.已知函数()(lg 2sin f x x x x =++，()()120f x f x +>，则下列不等式中正确的是（） A.12x x > B.12x x < C.120x x +> D.120x x +<9.已知数列{}n a 满足()*1122,n n n a a a n N n -++∈≤≥，则（）A.25143a a a -≤B.2736a a a a ++≤C.()76633a a a a --≥D.2367a a a a ++≥10.若向量a 与向量b 的夹角为钝角，2b =，且当12t =-时，()b ta t R -∈，向量c 满足()()c b c a -⊥-，则当()c a b ⋅+取最大值时，c b -等于（）B.52二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11.双曲线2214x y -=的焦距是 ▲，渐近线方程是 ▲ . 12.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，36S a =，且3a ，6a ，k a 成等比数列，则n S =▲ ，k =▲ .13.已知点O 为ABC △的外心，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若3450OA OB OC ++=，cos BOC ∠的值为▲ ，OA OB ⋅=▲ .14.对于函数()()321332a f x x x a xb =-+-+，若()27f =，则()2f -=▲ .若()f x 有六个不同的单调区间，则a 的取值范围为▲ .15.在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则3a c +的最小值为▲ .16.双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率为e ，过2F 的直线与双曲线的右支交于A ，B 两点，若1F AB △是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则2e =▲ .17.已知()f x '是函数()()322113f x x mx m x n =-+-+的导函数，若函数()y f f x '=⎡⎤⎣⎦在区间[],1m m +上单调递减，则实数m 的范围是▲ .三、解答题：本大题共5小题，共74分.18.（12sin 50cos101︒+︒︒；（2）在ABC △中，已知2AC =，1AB =，且角A 、B 、C 满足2cos 22sin 12B C A ++=.求角A 的大小和BC 边的长；19.已知二次函数()21f x ax bx =+-的图象过点()1,0-，且对任意实数均有()0f x ≤成立. （1）求()f x 的表达式；（2）若奇函数()h x 的定义域和值域都是区间[],k k -，且[],0x k ∈-时，()()1h x f x =+，求k 的值.20.已知等差数列{}n a 的公差为1-，且27126a a a ++=-.（1）求数列{}n a 的通项公式n a 与前n 项和n S ；（2）将数列{}n a 的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{}nb 的前3项，记{}n b 的前n 项和为n T ，若存在．．*m N ∈，使对任意．．*n N ∈总有n m S T λ<+恒成立，求实数λ的取值范围.21.如图，已知()1,1P 为抛物线2y x =上一点，斜率分别为k ，()2k k ->的直线PA ，PB 分别交抛物线于点A ，B （不与点P 重合）.（1）证明：直线AB 的斜率为定值；（2）若ABP △，（ⅰ）求ABP △的周长（用k 表示）；（ⅱ）求直线AB 的方程.22.（本题满分15分）已知函数()()1xf x x e =-. （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若方程()(),f x ax b a b R =+∈有非负实数解，求24a b +的最小值。

2019-2020学年绍兴市柯桥中学高二下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合A={x|x2−5x−6≥0}，B={x|−2≤x<6}，则A∩B=()A. [−2,−1]B. [−1,6)C. [−1,3]D. [−2,6)2.1−2i1+i +1+2i1−i=()A. −1B. −iC. 1D. i3.已知等差数列的公差，若、、成等比数列，那么等于()A. B. C. D.4.函数y=2cos2(x−)−1是()A. 最小正周期为p的奇函数B. 最小正周期为2p的奇函数C. 最小正周期为p的偶函数D. 最小正周期为2p的偶函数5.已知a∈R，则“a<1”是“a3<2a2”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于()A. 2B. 3C. 4D. 67.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，则该双曲线的顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为()A. 12B. √22C. √33D. √328.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=x+√x+1.则f(x)≤3的解集是()A. [0,1]B. [−1,1]C. [−2,1]D. (−∞,−1]∪[1,+∞)9.已知数列{a n}满足a1=2,a n+1=a na n+1，则a n=()A. 2n B. 22n−1C. 2n−12D. 22n+110.已知向量a⃗，b⃗ 均为单位向量，它们的夹角为2π3，则|a⃗+b⃗ |=()A. 1B. √2C. √3D. 2二、单空题（本大题共4小题，共18.0分）11.13.如图为函数f(x)的图像，f′(x)为函数f(x)的导函数，则不等式的解集为________．12.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2bsinA=acos(B+π6)，b=2，若满足条件的△ABC有且仅有一个，则a的取值范围是______．13.若双曲线的一条渐近线方程为，则此双曲线的离心率是____________．14.设f(x)=(x+1)3e−x+1，g(x)=(x+1)2+a，若∃x1，x2∈R，使得f(x2)≥g(x1)成立，则实数a的取值范围为______．三、多空题（本大题共3小题，共18.0分）15.双曲线C：y2−x24=1的渐近线方程为(1)，设双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)经过点(4,1)，且与C具有相同渐近线，则C的方程为(2)．16.已知数列{a n}是等差数列，公差d≠0，a1=1，a1，a3，a6成等比数列，则数列{a n}的公差d等于(1)；前n项和S n等于(2)．17.已知向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=2，|b⃗ |=1，a⃗⋅b⃗ =1，则|a⃗+b⃗ |=(1)，b⃗ 在a⃗上的投影等于(2)．四、解答题（本大题共5小题，共63.0分）18.在①tanα=4√3，②7sin2α=2sinα，③cosα2=2√77这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决问题．已知α∈(0,π2)，β∈(0,π2)，cos(α+β)=−13，______，求cosβ.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19. (1)计算：lg √27+lg8−log 4812lg0.3+lg2；(2)f(x)满足f(x +1)+f(x −1)=x 2−4x ，试求f(x )的解析式．20. 已知数列{a n }的各项为正数，其前n 项和S n 满足S n =(a n +12)2，设b n =10−a n (n ∈N)(1)求证：数列{a n }是等差数列，并求{a n }的通项公式； (2)设数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n 的最大值． (3)求数列{|b n |}(n ∈N)的前n 项和．21. 如图，椭圆C 1：x 24+y 2=1，x 轴被曲线C 2：y =x 2−b 截得的线段长等于C 1的长半轴长．(1)求实数b 的值；(2)设C 2与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与C 2相交于点A 、B ，直线MA 、MB 分别与C 1相交于D 、E ．①证明：MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0；②记△MAB ，△MDE 的面积分别是S 1，S 2.若S1S 2=λ，求λ的取值范围．22. 已知函数f(x)=ln(x −1)−k(x −1)+1(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)≤0恒成立，试确定实数k 的取值范围； (3)证明：1n23+1n34+1n45+⋯1nn n+1<n(n−1)4(n ∈N ∗且n >1)【答案与解析】1.答案：A解析：解：∵A={x|x2−5x−6≥0}={x|x≥6或x≤−1}，B={x|−2≤x<6}，∴A∩B={x|−2≤x≤−1}=[−2,−1]，故选：A求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.答案：A解析：解：1−2i1+i +1+2i1−i=(1−2i)(1−i)(1+i)(1−i)+(1+2i)(1+i)(1−i)(1+i)=−1−3i2+−1+3i2=−1．故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.答案：A解析：试题分析：∵a5，a9，a15成等比数列，∴a92=a5⋅a15，即结合等差数列的通项公式表达式得到，(a1+8d)2=(a1+4d)(a1+14d)，整理得：2a1d=8d2，由d≠0，解得：4d=a1，故可知，故可知选A．考点：本题主要考查了等比数列的性质，以及等比数列的通项公式。

2019-2020学年绍兴市诸暨中学平行班高二下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分） 1. 设集合，集合.若中恰含有一个整数，则实数的取值范围是( )A.B.C.D.2. 分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的( )A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 等价条件3. 数列{}的通项公式是=()，那么与的大小关系是( )A. >B. <C. =D. 不能确定4. 已知直角△ABC ，AB =AC =3，P ，Q 分别为边AB ，BC 上的点，M ，N 是平面上两点，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，(PB⃗⃗⃗⃗⃗ +BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且直线MN 经过△ABC 的外心，则|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=( ) A. 12B. 23C. 1D. 25. 已知函数y =f(x)是定义在R 上的偶函数，满足f(2+x)=f(2−x)，若函数y =f(x)在(0,4)上至少有1个零点，且f(0)=0，则函数y =f(x)在(−8,10]上至少有( )个零点．A. 7B. 9C. 11D. 136. 设函数f(x)是偶函数，且当x >0时，f(x)=2x+1，则在区间[−4,−2]内，函数f(x)( )A. 单调递增，最大值25 B. 单调递减，最大值23 C. 单调递增，最小值23D. 单调递增，最大值237. 已知函数f(x)=Acos 2(ωx +φ)+1(A >0,ω>0,0<φ<π2)的最大值为3，f(x)的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)++f(2020)的值为( )A. 2458B. 3501C. 4040D. 57398. 不等式√2sin x 2cos x 2+√6cos 2x 2−√62−m ≥0对于x ∈[−π6,π3]恒成立，则实数m 的取值范围是( )A. (−∞,√62]B. (−∞,√22]C. (−∞,√2]D. [√22,+∞)9.设f(x)在R上可导，其导数为f′(x)，给出下列四组条件：①p：f(x)是奇函数，q：f′(x)是偶函数；②p：f(x)是以T为周期的函数，q：f′(x)是以T为周期的函数；③p：f(x)在区间(−∞,+∞)上为增函数，q：f′(x)>0在(−∞,+∞)恒成立；④p：f(x)在x0处取得极值，q：f′(x0)=0．由以上条件中，能使p⇒q成立的序号为()．A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④10.若偶函数f(x)在区间[−5,0]上是增函数且最小值为−4，则f(x)在区间[0,5]上是()A. 减函数且最小值为−4B. 增函数且最小值为−4C. 减函数且最大值为4D. 增函数且最大值为4二、单空题（本大题共3小题，共12.0分）11.已知函数f(x)=若直线y=m与函数f(x)的图像有两个不同的交点，则实数m的取值范围是________．12.已知函数f(x)=x(x5−16x2+x−4)，且f(x)≥f(x0)对x∈R恒成立，则曲线y=f(x)在点x )处的切线的斜率为______．(x0,f(x0)x013.如图，在正方形ABCD中，已知AB=2，M为BC的中点，若N为正方形内(含边界)任意一点，则·的最大值是________．三、多空题（本大题共4小题，共24.0分）14.z=1+3i，则z的共轭复数z−=(1)，z⋅z−=(2)．2+i15.计算：lg4+lg25=(1)) −12=(2)．4+20−(11616.函数y=的定义域是(1)；最小值是(2)．√x17.如图，在△ABC中，AB⊥AC，AB=AC=3，D，E，F分别在边AB，BC，CA上，且DE⊥EF，BE=2EC.则①EFDE=(1)；②△DEF面积的最大值为(2)．四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）18.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足sinA(sinB+√3cosB)=√3sinC．(1)求角A的大小；(2)若a=3，求△ABC周长的取值范围．19.设函数f(x)=sinxcos(x+π3)+√34，x∈R．(1)设α,β∈[0,π2]，f(α2+π12)=526,f(β2−5π12)=−310，求sin(α−β)的值．(2)△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列；且a+c=6，f(B2)=√34，求△ABC的面积．20. 直线x +y =a 与圆x 2+y 2=3交于A 、B 两点，O 为原点，若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2，求实数a 的值．21. (本小题10分) 已知正实数a 、b 、c 满足条件a +b +c =3，(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)若c =ab ，求c 的最大值．22. 设函数f(x)=x 2−mlnx ，ℎ(x)=x 2−x +a(Ⅰ)当a =0时，f(x)≥ℎ(x)在(1,+∞)上恒成立，求实数m 的取值范围；(Ⅱ)当m =2时，若函数g(x)=f(x)−ℎ(x)在[1,3]上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：试题分析：先求解一元二次不等式化简集合A，B，然后分析集合B的左端点的大致位置，结合A∩B中恰含有一个整数得集合B的右端点的范围，列出无理不等式组后进行求解解：由x2+2x−3>0，得：x<−3或x>1.由x2−2ax−1≤0，得：a−≤x≤a+.所以，A={x|x2+ 2x−3>0}={x|x<−3或x>1}，B={x|x2−2ax−1≤0,a>0}={x|a−≤x≤a+ }.因为a>0，所以a+1>，则a−>−1且小于0.由A∩B中恰含有一个整数，所以2≤a+<3.解得所以，满足A∩B中恰含有一个整数的实数a的取值范围是，选B．考点：交集及其运算点评：本题考查了交集及其运算，考查了数学转化思想，训练了无理不等式的解法，求解无理不等式是该题的一个难点．此题属中档题．2.答案：A解析：试题分析：分析法是从要证明的结论出发，逐步的去寻找使结论成立的条件，即由哪些条件能推得结论成立，所以要找的条件是结论的充分条件考点：分析法点评：分析法是从结论入手去寻找使其成立的条件，综合法是从已知，定理入手逐步推证所求结论，这两种方法在求解证明题时经常结合应用3.答案：B解析：试题分析：因为=，所以，所以<．考点：本小题主要考查数列的单调性的判断．点评：判断与的大小关系，即判断数列的单调性，基本的方法是作差法比较两个数的大小．4.答案：D解析：解：建立坐标系将，将直角三角形放入坐标系中， 若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 即A 是PM 的中点，∵直线MN 经过△ABC 的外心， ∴直线MN 经过BC 的中点E ， ∵(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴PQ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即PQ ⊥BC ，AE ⊥BC ， 则PN//AE ，PN =2AE =2×3√2=6√2， ∵PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴PN =3PQ =6√2， 即PQ =2√2，直线BC 的方程为x +y −3=0， 设P(0,m)，0<m <3， 则PQ =|m−3|√2=2√2，即|m −3|=2，则m =1或m =5(舍)， 即P(0,1)，则|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BP|=2， 故选：D ．建立坐标系，利用坐标法将直角三角形放入坐标系中，根据AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得到A 是PM 的中点，以及PQ ⊥BC ，结合三角形的长度关系转化为点到直线的距离进行求解即可．本题主要考查向量数量积的应用，利用坐标法结合数形结合，条件中点坐标公式以及直线垂直的条件进行转化是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．5.答案：B解析：解：∵函数y =f(x)是定义在R 上的偶函数，满足f(2+x)=f(2−x)， ∴f(2+x)=f(2−x)=f(x −2)，即f(x +4)=f(x)，则函数f(x)是周期4的周期函数，∵f(0)=0，∴f(0)=f(4)=f(8)=f(−4)=0，此时有4个零点，设函数y =f(x)在(0,4)上的零点为a ，则f(0−a)=f(4−a)=f(−a)=f(a)=0， 则得4−a =a ，解得a =2，即f(2)=0，则f(−2)=f(2)=0， 则f(2)=f(6)=f(10)=f(−2)=f(−6)=0，此时有5个零点， 则函数y =f(x)在(−8,10]上至少有9个零点， 故选：B根据条件判断函数的周期性，根据函数函数的奇偶性和周期性寻找零点即可得到结论． 本题主要考查函数零点个数的判断，根据函数周期性和奇偶性的性质是解决本题的关键．6.答案：D解析：解：当x >0时，f(x)=2x+1为减函数，则在[2,4]上，f(x)的最大值为f(2)=23，最小值为f(4)=25， ∵函数f(x)是偶函数，∴在区间[−4,−2]内为增函数，且最大值为f(−2)=23，最小值为f(−4)=25， 故选：D根据函数奇偶性和单调性之间的关系，进行判断即可．本题主要考查函数单调性和最值的判断，根据函数奇偶性和单调性的关系是解决本题的关键．7.答案：C解析：解：∵已知函数f(x)=Acos 2(ωx +φ)+1(A >0,ω>0,0<φ<π2)的最大值为A +1=3，故A =2．f(x)的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，∵f(0)=2cos 2φ+1=2，∴cosφ=√22，φ=π4，即f(x)=2cos 2(ωx +π4)+1=cos(2ωx +π2)+2=−sin2ωx +2．再根据其相邻两条对称轴间的距离为12T =12⋅2π2ω=2，可得ω=π4，f(x)=−sin π2x +2， 故函数的周期为2ππ2=4．∵f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1+2+3+2=8，∴f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2020) =505⋅[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]=4040，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由特殊点求出φ的值，可得函数的解析式，再利用函数的周期性，求得要求式子的值．本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由特殊点求出φ的值，函数的周期性的应用，属于基础题．8.答案：B解析：解：不等式等价为√22sinx+√6⋅cosx2−m≥0，⇒√2sin(x+π3)≥m，∵∀x∈[−π6,π3]恒成立，∴x+π3∈[π6,2π3]，则√2sin(x+π3)∈[√22,√2]，∴m≤√22，故选：B．利用辅助角公式进行转化，结合不等式恒成立求出三角函数的最值即可．本题主要考查三角函数恒成立问题，利用辅助角公式进行化简，转化为求最值是解决本题的关键．是中档题．9.答案：B解析：由f(−x)=−f(x)，得−f′(−x)=−f′(x).∴f′(−x)=f′(x).即f′(x)是偶函数①正确．易知②正确．③不正确．根据f′(x0)=0是可导函数f(x)在x=x0取得极值的必要不充分条件，∴④正确．10.答案：A解析：解：∵f(x)在区间[−5,0]上是增函数，最小值是−4，∴f(−5)=−4，又f(x)为偶函数，∴f(x)在[0,5]上单调递减，f(x)≥f(5)=f(−5)=−4．即f(x)在区间[0,5]上的最小值为−4，综上，f(x)在[0,5]上单调递减，且最小值为−4．根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，可知f(x)在区间[0,5]上的单调性，再由所给最小值为−4，可求f(x)在[0,5]上的最值．本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，属基础题．11.答案：(0,1)解析：分别画出函数y =2x (x <0)和y =log 2x(x >0)的图像，不难看到当0<m <1时，直线y =m 与函数f(x)的图像有两个不同的交点．12.答案：17解析：解：因为f(x)=x(x 5−16x 2+x −4)=x 6−16x 3+x 2−4x =(x 3−8)2−(x −2)2−68， ∴当x =2时，函数取得最小值即x 0=2， ∵(f(x)x)′=5x 4−32x +1，∴则曲线y =f(x)x在点(x 0,f(x 0)x 0)处的切线的斜率k =5×24−32×2+1=17．故答案为：17由已知结合导数可求x 0，然后结合导数的几何意义即可求解．本题主要考查了导数的几何意义及最值的求解，考查了推理与论证的能力．13.答案：6解析：由数量积的定义得·=||·||cos∠NAM ，当N 点与C 点重合时，||cos∠NAM 最大，解三角形得最大值为，所以·的最大值是6．14.答案：1−i2解析：解：∵z =1+3i 2+i=(1+3i)(2−i)(2+i)(2−i)=5+5i 5=1+i ，∴z −=1−i ，z⋅z−=|z|2=(√2)2=2．故答案为：1−i；2．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念求z−，然后利用z⋅z−=|z|2求z⋅z−．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．15.答案：21解析：解：lg4+lg25=lg100=2．4+20−(116) −12=4+1−2−4×(−12)=5−4=1．故答案为：2，1．利用指数与对数运算性质即可得出．本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16.答案：(0,+∞)4解析：本题考查了函数的定义域和利用基本不等式求最值，利用基本不等式y=√x =√x√x≥2√√x·4√x=4，即可得出结果．解：函数y=√x的定义域是(0,+∞)，y=√x =√x+√x≥2√√x·√x=4，当且仅当√x=√x，即x=4，等号成立，故答案为(0,+∞)；4 ．17.答案：124−2√2解析：解：如图，作EN⊥AC于N，作EM⊥BC于M，可得F在线段MN上运动．∵AB=AC=3，BE=2EC.则CE=√2，BE=2√2，设CF=x，DB=y，(x、y∈[1,√2])，在△CEF中，由余弦定理可得EF2=CF2+CE2−2CF⋅CEcos45°=x2−2x+2，同理可得DE2=y2−4y+8，由勾股定理可得DF2=(3−x)2+(3−y)2，由EF2+ED2=FD2，即可得x2−2x+2+y2−4y+8=(3−x)2+(3−y)2，整理得：2x+y=4①，∴EF2DE2=x2−2x+2y2−4y+8=x2−2x+24x2−8x+8=14，EFDE=12②，△DEF面积为S=12EF⋅DE=EF2=x2−2x+2=(x−1)2+1∈[1,4−2√2]；∴△DEF面积的最大值为4−2√2．作EN⊥AC于N，作EM⊥BC于M，可得F在线段MN上运动，设CF=x，DB=y，(x、y∈[1,√2])，由EF2+ED2=FD2，整理得：2x+y=4①，EF2DE2=x2−2x+2y2−4y+8=x2−2x+24x2−8x+8=14，EFDE=12②，△DEF面积为S=12EF⋅DE=EF2=x2−2x+2=(x−1)2+1∈[1,4−2√2]，本题考查了解三角形，考查了转化思想、计算能力，属于中档题．18.答案：(本题满分为12分)解：(1)由A+B+C=π，得sinC=sin(A+B)，代入已知条件得：sinAsinB+√3sinAcosB=√3sinAcosB+√3cosAsinB，…(1分)即：sinAsinB=√3cosAsinB，…(3分)∵sinB≠0，由此得tanA=√3，…(4分)∵0<A<π，∴A =π3.…(6分)(2)由上可知：B +C =2π3，∴C =2π3−B ．由正弦定理得：2R =asinA =3sin π3=2√3，…(7分)∴b +c =2R(sinB +sinC)=2√3[sinB +sin(2π3−B)]=2√3(32sinB +√32cosB)=6sin(B +π6)，…(9分) ∵由0<B <2π3得：12<sin(B +π6)≤1， ∴3<b +c ≤6，且a =3，∴△ABC 周长的取值范围为(6,9].…(12分)解析：(1)由三角形内角和定理及三角函数恒等变换的应用化简可得sinAsinB =√3cosAsinB ，又sinB ≠0，由此得tanA =√3，结合范围0<A <π，即可求A ． (2)由上可知C =2π3−B.由正弦定理得：2R =a sinA =3sin π3=2√3，可得b +c =6sin(B +π6)，结合B的范围即可求得b +c 的范围，结合a =3，即可得解．本题主要考查了三角形内角和定理，正弦定理，正弦函数的图象和性质的应用，考查了三角函数恒等变换的应用，属于中档题．19.答案：解：(1)f(x)=sinx(12cosx −√32sinx)+√34=14sin2x −√32⋅1−cos2x 2+√34=12sin(2x +π3)，∴f(α2+π12)=12sin(α+π2)=12sinα=526，即sinα=513；f(β2−5π12)=12sin(β−π2)=−12cosβ=−310，即sinβ=35， ∵α，β∈[0,π2]， ∴cosα=1213，cosβ=45， 则sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ=1665； (2)∵f(B2)=12sin(B +π3)=√34，即sin(B +π3)=√32， ∴B +π3=2π3，即B =π3， 又a 、b 、c 成等比数列，∴b 2=ac ，由余弦定理知12=a 2+c 2−b 22ac =(a+c)2−3ac2ac =36−3ac 2ac，即ac =9，则△ABC 的面积S =12acsinB =9√34．解析：(1)f(x)解析式利用两角和与差的余弦函数公式化简，整理为一个角的正弦函数，确定出sinα与sinβ的值，进而求出cosα与cosβ的值，原式利用两角和与差的正弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值；(2)由f(B2)=√34求出B 的度数，由a ，b ，c 成等比数列，利用等比数列的性质得到b 2=ac ，利用余弦定理列出关系式，将cos B 以及b 2=ac 代入求出ac 的值，再由sin B 的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC 面积．此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，等比数列的性质，以及三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．20.答案：解：联立直线x +y =a 与圆x 2+y 2=3，消掉y 并整理得：2x 2−2ax +a 2−3=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则由韦达定理得： x 1+x 2=a ，x 1x 2=a 2−32，∴y 1y 2=(a −x 1)(a −x 2)=a 2−a(x 1+x 2)+x 1x 2 =a 2−a 2+x 1x 2=a 2−32又OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2，∴x 1x 2+y 1y 2=2，代入解得a =±√5．解析：联立方程得到方程组，消元得到2x 2−2ax +a 2−3=0，由韦达定理得x 1x 2，y 1y 2再由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2，代入可求解． 本题考查直线与圆的位置关系，注意韦达定理及整体思想的运用，属基础题．21.答案：解：(Ⅰ)由柯西不等式得 (√a +√b +√c)2≤(a +b +c)(1+1+1)代入已知a +b +c =3， ∴ (√a +√b +√c)2≤9， ∴ √a +√b +√c ≤3当且仅当=b =c =1，取等号． (Ⅱ)由 a +b ≥2√ab ， 得 2√ab +c ≤3，若c=ab，则2√c+c≤3，(√c+3)(√c−1)≤0，所以√c≤1，即c≤1，当且仅当a=b=1时，∴c有最大值1．解析：本题考查柯西不等式的应用．(I)利用柯西不等式得(a2+b2+c2)(m2+n2+p2)≥(am+bn+cp)2得(√a+√b+√c)2≤(a+ b+c)(1+1+1)，代入已知a+b+c=3即得；(Ⅱ)由a+b≥2√ab，得2√ab+c≤3，若c=ab，由(I)得2√c+c≤3，(√c+3)(√c−1)≤0，从而得出c≤1即得．22.答案：解：(I)由a=0，f(x)≥ℎ(x)可得−mlnx≥−x，即m≤xlnx记φ=x，则f(x)≥ℎ(x)在(1,+∞)上恒成立等价于m≤φ(x)min．lnx求得φ′(x)=lnx−1ln2x当x∈(1,e)时；φ′(x)<0；当x∈(e,+∞)时，φ′(x)>0故φ(x)在x=e处取得极小值，也是最小值，即φ(x)min=φ(e)=e，故m≤e．(II)函数k(x)=f(x)−ℎ(x)在[1,3]上恰有两个不同的零点等价于方程x−2lnx=a，在[1,3]上恰有两个相异实根．令g(x)=x−2lnx，则g′(x)=1−2x当x∈[1,2)时，g′(x)<0，当x∈(2,3]时，g′(x)>0g(x)在[1,2]上是单调递减函数，在(2,3]上是单调递增函数．故g(x)min=g(2)=2−2ln2又g(1)=1，g(3)=3−2ln3∵g(1)>g(3)，∴只需g(2)<a≤g(3)，故a的取值范围是(2−2ln2,3−2ln3]解析：(I)由a=0，我们可以由f(x)≥ℎ(x)在(1,+∞)上恒成立，得到−mlnx≥−x，即m≤x在lnx (1,+∞)上恒成立，构造函数φ=x，求出函数的最小值，即可得到实数m的取值范围；lnx(Ⅱ)当m=2时，我们易求出函数g(x)=f(x)−ℎ(x)的解析式，由方程的根与对应函数零点的关系，易转化为x−2lnx=a，在[1,3]上恰有两个相异实根，利用导数分析函数的单调性，然后根据零点存在定理，构造关于a的不等式组，解不等式组即可得到答案．本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，函数的零点，其中(I)的关键是构造函数，将问题转化为函数恒成立问题，(II)的关键是利用导数分析函数的单调性后，进而构造关于a的不等式组．。

2019-2020学年绍兴市名校数学高二第二学期期末教学质量检测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足2()'(2)ln f x x f x =+，则'(2)f 的值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C 【解析】 【分析】求出''1()2(2)f x x f x=+⋅，再把2x =代入式子，得到'(2)8f =. 【详解】因为''1()2(2)f x x f x =+⋅，所以'''1(2)4(2)(2)82f f f =+⋅⇒=.选C. 【点睛】本题考查对'(2)f 的理解，它是一个常数，通过构造关于'(2)f 的方程，求得'(2)f 的值. 2．定义在（0，+∞）上的函数f （x ）的导数'()f x 满足x 2'()f x ＜1，则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．f （14）+1＜f （13）＜f （12）﹣1 B ．f （12）+1＜f （13）＜f （14）﹣1 C ．f （14）﹣1＜f （13）＜f （12）+1D ．f （12）﹣1＜f （13）＜f （14）+1【答案】D 【解析】 【分析】构造函数g （x ）＝f （x ）1x+，利用导数可知函数在（0，+∞）上是减函数，则答案可求． 【详解】由x 2f ′（x ）＜1，得f ′（x ）21x＜，即得f ′（x ）21x -＜0， 令g （x ）＝f （x ）1x +，则g ′（x ）＝f ′（x ）21x -＜0，∴g （x ）＝f （x ）1x+在（0，+∞）上为单调减函数，∴f （12）+2＜f （13）+3＜f （14）+4，则f （12）＜f （13）+1，即f （12）﹣1＜f （13）；f （13）＜f （14）+1．综上，f （12）﹣1＜f （13）＜f （14）+1．故选：D ．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，正确构造函数是解题的关键，是中档题．3．已知函数()21log (2)(1)()21x x x f x x --<⎧=⎨≥⎩，则2(2)(log 6)f f -+=（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数解析式，结合指数幂与对数的运算，即可化简求解. 【详解】 函数()()21log 2,12,1x x x f x x -⎧-<=⎨≥⎩则()2(2)log 222f -=--=⎡⎤⎣⎦，22log 61log 32(log 6)223f -===所以2(2)(log 6)235f f -+=+=， 故选：A. 【点睛】本题考查了分段函数的求值，指数幂与对数式的运算应用，属于基础题.4．已知函数21()ln(||1)(1)f x x x -=+-+，则使得()(21)f x f x >-成立的x 的解集为（ ）A ．1(,1)3B ．1(,)(1,)3-∞⋃+∞C ．11(,)33-D ．11(,)(,)33-∞-+∞ 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得：()f x 是偶函数，当0x ≥时，()f x 在[)0,+∞为增函数，利用()f x 的单调性及奇偶性将()()21f x f x >-转化成：21x x >-，解得：113x <<，问题得解.【详解】因为()()()()()()1122ln 11ln 11f x x x x x f x --⎡⎤-=-+--+=+-+⎣⎦=所以()f x 是偶函数.当0x ≥时，()()()12ln 11f x x x -=+-+又()=ln 1y x +在()0,∞+为增函数，()121y x -=+在()0,∞+为减函数所以()()()12ln 11f x x x -=+-+在[)0,+∞为增函数所以()()21f x f x >-等价于21x x >-，解得：113x <<故选：A 【点睛】本题主要考查了函数单调性及奇偶性的应用，还考查了转化思想及函数单调性的判断，属于中档题。

浙江省绍兴市2019-2020学年数学高二下期末经典试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知()21x x f x =-，()2x g x =则下列结论正确的是 A ．()()()h x f x g x =+是偶函数 B ．()()()h x f x g x =+是奇函数C ．()()()h x f x g x =是奇函数D ．()()()h x f x g x =是偶函数 【答案】A【解析】因为(),()212x x x f x g x ==-，所以()()()212x x x F x f x g x =+=+-，又2()()()2(21)x x G x f x g x =⋅=-，故2()(),()()2(21)x x G x G x G x G x --=≠-≠--，即答案C ，D 都不正确；又因为211111()()(1)()212122122221x x x x x x x F x F x ----=+=-+=--++=+=---- ，所以应选答案A ．2．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，得0分的概率为0.5（投篮一次得分只能3分、2分、1分或0分），其中a 、b，已知他投篮一次得分的数学期望为1，则ab 的最大值为A ．16B ．112C ．124D ．132【答案】D【解析】【分析】设这个篮球运动员得1分的概率为c ，由题设知，解得2a+b=0.5，再由均值定理能求出ab 的最大值．【详解】设这个篮球运动员得1分的概率为c ，∵这个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，得0分的概率为0.5， 投篮一次得分只能3分、2分、1分或0分，他投篮一次得分的数学期望为1，∴， 解得2a+b=0.5，∵a、b∈（0，1），∴ = = ， ∴ab ，当且仅当2a=b=时，ab 取最大值 ． 故选D ．点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意均值定理的灵活运用．3．双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交曲线左支于A ，B 两点，△F 2AB 是以A 为直角顶点的直角三角形，且∠AF 2B ＝30°．若该双曲线的离心率为e ，则e 2＝（ ） A ．113+B ．1353+C ．163-D ．19103- 【答案】D【解析】【分析】 设22BF m =，根据2F AB ∆是以A 为直角顶点的直角三角形，且230AF B ∠=，以及双曲线的性质可得212(33),2(23)AF a AF a ==，再根据勾股定理求得,a c 的关系式，即可求解.【详解】 由题意，设22BF m =，如图所示，因为2F AB ∆是以A 为直角顶点的直角三角形，且230AF B ∠=， 由212AF AF a -=，所以132AF m a =-， 由212BF BF a -=，所以122BF m a =-， 所以11AF BF AB +=3222m a m a m -+-=， 所以2(31)m a =， 所以232(31)2(33)AF a a ==，12(33)22(23)AF a a a =-=，在直角12F AF ∆中，222124AF AF c +=，即222224(33)4(23)4a a c -+-=， 整理得22(19103)a c -=，所以22219103c e a==- 故选D.【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，以及双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出,a c，代入公式cea=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c的齐次式，转化为,a c的齐次式，然后转化为关于e的方程，即可得e的值(范围)．.4．数学40名数学教师，按年龄从小到大编号为1,2，…40。

2019-2020学年浙江省绍兴市诸暨中学高二（平行班）下学期期中数学试题一、单选题1．已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A ．(–1，+∞) B ．(–∞，2) C ．(–1，2) D ．∅【答案】C【解析】本题借助于数轴，根据交集的定义可得． 【详解】 由题知，(1,2)A B =-，故选C ．【点睛】本题主要考查交集运算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．易错点是理解集合的概念及交集概念有误，不能借助数轴解题． 2．“0x <”是“ln(1)0x +<”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】试题分析：由题意得，ln(1)001110x x x +<⇔<+<⇔-<<，故是必要不充分条件，故选B ．【考点】1．对数的性质；2．充分必要条件．3．已知2log 7a =，3log 8b =，0.20.3c =，则,,a b c 的大小关系为 A ．c b a << B ．a b c << C ．b c a << D ．c a b << 【答案】A【解析】利用利用0,1,2等中间值区分各个数值的大小． 【详解】0.200.30.31c =<=；22log 7log 42>=；331log 8log 92<<=．故c b a <<． 故选A ． 【点睛】利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与1的大小区别对待．4．设,x y R ∈，向量(,1)a x =，(1,)b y =，(2,4)c =-，且a c ⊥，//b c ，则||a b +=（ ） A ．5 B ．10C ．25D ．1【答案】B【解析】由题意,根据a c ⊥求得2x =，得到向量a 的坐标,再由//b c ，求得2y =-得到向量b 的坐标，再利用向量的坐标运算和模的公式，即可求解. 【详解】∵a c ⊥，∴240x -=，∴2x =，∵//b c ，∴42y -=，∴2y =-， ∴()3,1a b +=-，∴10a b +=. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了向量垂直与平行的坐标表示，向量的模的求解问题，熟记向量的坐标运算公式和平面向量的模的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.5．函数()2e e x xf x x--=的图像大致为 ( ) A ． B ．C ．D ．【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x --≠-==-∴为奇函数，舍去A, 1(1)0f e e -=->∴舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x---+---++=='∴>'>， 所以舍去C ；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．6．设偶函数f(x)满足f(x)=2x -4 (x ≥0），则(){}|20x f x ->= A ．{}|24x x x -或B ．{}|04? x x x 或 C ．{}|06? x x x 或D ．{}|22?x x x -或 【答案】B【解析】由偶函数f （x ）满足()24xf x =-（x≥0），可得f （x ）=f （|x|）=24x -， 则f （x-2）=f （|x-2|）=224x --，要使f （|x-2|）＞0，只需224x --＞0，|x-2|＞2，解得x ＞4，或x ＜0，故选B7．已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【解析】把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x 图象，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到函数y=cos2（x +π12）=cos （2x +π6）=sin （2x +2π3）的图象，即曲线C 2，故选D ．点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数π()k k Z ϕ⇔=∈；函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数ππ+()2k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数ππ+()2k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数π()k k Z ϕ⇔=∈.8．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（ ） A ．2a b = B ．2b a =C ．2A B =D ．2B A =【答案】A【解析】sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A.【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有A ，B ，C 的式子，用正弦定理将角转化为边，得到2a b =.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.9．已知可导函数()f x 的导函数()f x '，若对任意的x ∈R ，都有()()2f x f x '>+，且()2020f x -为奇函数，则不等式()20182xf x e -<的解集为（ ）A ．(),0-∞B ．()0,∞+C ．21,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．21,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】令()2()xf xg x e -=，()x R ∈，从而求导()0g x '<，从而可判断()y g x =单调递减，再由奇函数的性质可得，(0)2020f =，从而可得到不等式的解集．解：设()2()xf xg x e -=，由()()2f x f x '>+， 得：()()2()0xf x f xg x e '-+'=<， 故函数()g x 在R 递减，由()2020f x -为奇函数，得(0)2020f =， (0)(0)22018g f ∴=-=，即(0)2018g =，不等式()20182xf x e -<，∴()22018xf x e-<，即()(0)g x g <， 结合函数的单调性得：0x >，故不等式()20182xf x e -<的解集是(0,)+∞， 故选：B ． 【点睛】本题考查了导数的综合应用及函数的性质的应用，构造函数的思想，阅读分析问题的能力，属于中档题．10．若不等式()sin 06x a b x ππ⎛⎫--+≤ ⎪⎝⎭对[]1,1x ∈-上恒成立，则a b +=（ ） A ．23B ．56C ．1D ．2【答案】B【解析】将不等式()sin 06x a b x ππ⎛⎫--+≤ ⎪⎝⎭看作两个因式，x a b --和sin 6x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，先讨论sin 6x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的正负，确定x 对应区间，再对x a b --的正负进行判断，确定在交汇处取到等号，进而求解 【详解】 解析： 法一：由题意可知：当15,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，sin 06x ππ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，当151,,166x ⎡⎤⎡⎤∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，sin 06x ππ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，故当15,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，0x a b --≤，当151,,166x ⎡⎤⎡⎤∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，0x a b --≥，即有510653161026a b a a b b a b ⎧⎧--==⎪⎪⎪⎪⇒⇒+=⎨⎨⎪⎪=---=⎪⎪⎩⎩，故选B ； 法二：由sin 6x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭右图像可得：显然有510653161026a b a a b b a b ⎧⎧--==⎪⎪⎪⎪⇒⇒+=⎨⎨⎪⎪=---=⎪⎪⎩⎩，故选B 【点睛】本题考查双变量不等式中参数的求解问题，通过分段讨论确定交汇点是解题关键，方法二采用数形结合的方式进一步对方法一作了补充说明，建议将两种方法对比研究二、填空题11．已知复数(1)(12)z i i =++，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为_______，z =_____. 【答案】310【解析】根据复数运算计算，然后由虚部定义和模长的运算可求得结果 【详解】复数(1)(12)13z i i i =++=-+，则复数z 的虚部为3，22||(1)310z =-+=故答案为：310 【点睛】本题考查复数的概念，复数的乘法和模的运算，属于简单题.12．已知函数()2,1{ 66,1x x f x x x x≤=+->，则()2f f ⎡⎤-=⎣⎦ ， ()f x 的最小值是 ． 【答案】1;2662--【解析】试题分析：如图根据所给函数解析式结合其单调性作出其图像如图所示，易知()()()min 12,62662f f f x f ⎡⎤-=-==-⎣⎦.【考点】分段函数的图像与性质13．在ABC 中，D 为边BC 上一点，1,120,22BD DC ADB AD =∠=︒=.若ADC 的面积为33-，则AB =_____，BAC ∠=________.63π【解析】根据面积公式得到232DC =，31BD =，再利用余弦定理求AB 6=AC ，在ACB △中，用余弦定理可求BAC ∠.【详解】解：120ADB ∠=，则ADC 60∠=，13sin 332ADC A S AD DC DC DC ∠=⋅==-△ 故232DC =，1312BD DC ==. 根据余弦定理：2222cos12044232326AB AD BD AD BD =+-⋅︒=+-=， 故AB 6=在ADC 中，2222cos 60416424AC AD CD AD CD =+-⋅︒=+-=-.在ACB △中， 2222cos BC AB CA AB CA BAC =+-⋅∠()213624,cos 2BAC BAC =+-∠∠=所以3BAC π∠=；3π. 【点睛】本题考查了余弦定理和面积公式，意在考查学生的计算能力；基础题.14．已知函数2(43)3,0()(01)log (1)1,0a x a x a x f x a a x x 且⎧+-+<=>≠⎨++≥⎩在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|23xf x =-恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是___________. 【答案】12[,)33【解析】【详解】试题分析：由函数()f x 在R 上单调递减得43130,01,31234a a a a --≥<<≥⇒≤≤，又方程()23x f x =-恰有两个不相等的实数解，所以232,3解得a a <<，因此a 的取值范围是12[,)33.【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化为求函数值域的问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．15．若函数()()3221f x x ax a R =-+∈在()0,+∞内有且只有一个零点，则()f x 在[]1,1-上的最大值与最小值的和为__________．【答案】3-.【解析】分析：先结合三次函数图象确定在(0,)+∞上有且仅有一个零点的条件，求出参数a ,再根据单调性确定函数最值，即得结果.详解：由()2620f x x ax '=-=得0,3ax x ==，因为函数()f x 在(0,)+∞上有且仅有一个零点且()0=1f ，所以0,033a a f ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，因此322()()10, 3.33a a a a -+==从而函数()f x 在[1,0]-上单调递增，在[0,1]上单调递减，所以()max ()0,f x f ={}min ()min (1),(1)(1)f x f f f =-=-，max min ()()f x f x +=()0+(1)14 3.f f -=-=-点睛：对于函数零点个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数取值条件．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．16．已知平面向量,,a b c 满足604,1a b a b c a ⋅=-=-=，， 则c 的取值范围为_________. 【答案】[]5,11【解析】根据平面向量减法的模的几何意义画出图像，判断出c 的轨迹，由此求得c 的取值范围. 【详解】设,,OA a OB b OC c ===，依题意4AB a b ==-，设D 是线段AB 的中点，则()()a b OD DA OD DB ⋅=+⋅+()()OD DA OD DA =+⋅-2260OD DA =-=，即2226026064OD DA =+=+=，所以8OD =，故22OD OA OD -≤≤+，即610OA ≤≤，由于1c a AC -==，所以C 在以A 为圆心，半径为1的圆上，所以11OA OC OA -≤≤+，即511c ≤≤.故答案为：[]5,11.【点睛】本小题主要考查向量减法的模的几何意义，考查向量数量积运算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.三、双空题17．设lg 2,lg3a b ==，则10a b +=________（用数字表示），3lg 8=________（用,a b 表示）【答案】6 3b a -【解析】第一个空直接把对数形式转化为指数形式，利用指数的运算性质求解即可；第二个空直接利用对数的运算性质求解即可． 【详解】解：2a lg =，3b lg =，102a ∴=，103b =，101010236a b a b +∴==⨯=． 2a lg =，3b lg =，33833238lg lg lg lg lg b a ∴=-=-=-．故答案为6，3b a -． 【点睛】本题主要考查对数以及指数的运算性质，属于基础题．四、解答题18．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c .已知tan()24A π+=.（1）求2sin 2sin 2cos AA A+的值；（2）若,34B a π==，求ABC ∆的面积.【答案】（1）25；（2）9【解析】（1）利用两角和与差的正切公式，得到1tan 3A =，利用同角三角函数基本函数关系式得到结论；（2）利用正弦定理得到边b 的值，根据三角形，两边一夹角的面积公式计算得到三角形的面积.试题解析：（1）由tan()24A π+=，得1tan 3A =，所以22sin 22sin cos 2tan 2sin 2cos 2sin cos cos 2tan 15A A A A A A A A A A ===+++.（2）由1tan 3A =可得，sin ,cos 1010A A ==.3,4a B π==，由正弦定理知：b =又sin sin()sin cos cos sin 5C A B A B A B =+=+=，所以11sin 3922ABC S ab C ∆==⨯⨯=. 【考点】1.同角三角函数基本关系式；2.正弦定理；3.三角形面积公式.19．已知函数2()cos sin()3f x x x x x R π=+∈ （1）求f (x )的单调递增区间；（2）求f (x )在闭区间44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值. 【答案】（1）5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦；（2）min max 11()()24，=-=f x f x . 【解析】（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得1()sin(2)23f x x π=-，由222232k x k ππππ--π+得单调增区间； （2）利用函数的关系式，进一步利用函数的定义域求出函数的值域，在求出函数的最值．【详解】解：由2()cos sin()3f x x x x π=+-+2cos (sin cos cos sin )3cos 33x x x x ππ=+-+213sin cos 2x x x =-1sin 2cos 2)4x x =++ 1sin(2)23x π=- （1）由222232k x k ππππ--π+得5()1212k x k k Z ππππ-+∈， 即单调增区间为5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈；（2）由于[,]44x ππ∈-， 所以52[,]366x πππ-∈-， 所以1sin(2)[1,]32x π-∈-， 故11()[,]24f x ∈-， 故函数的最小值为12-，函数的最大值为14． 【点睛】 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．20．如图，在平行四边形ABCD 中，,E F 分别是,BC DC 上的点，且满足,2BE EC DF FC ==，记AB a =，AD b =，试以,a b 为平面向量的一组基底.利用向量的有关知识解决下列问题；（1）用,a b 来表示向量,DE BF ；（2）若3,2AB AD ==，且3BF =DE ；【答案】（1）见解析；（27【解析】（1）利用向量的线性运算，直接用基底表示向量；（2）由（Ⅰ）可知：13BF AD AB =-，12DE AB AD =-，故2222121()339BF AD AB AD AD AB AB =-=-⋅+，可得12cos BAD ，∠=即可求得求|DE |2，从而求得|DE |．【详解】（1）∵在ABCD 中，2DF FC =，∴111222DE DC CE AB CB AB AD a b =+=+=-=- 111333BF BC CF AD CD AD AB b a =+=+=-=-（2）由（1）可知：13BF AD AB =-，12DE AB AD =- ∴2222121·339BF AD AB AD AD AB AB ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭∵3,2AB AD ==且BF =∴()22221223cos 339BAD =-⨯⨯⨯∠+⨯ ∴1cos 2BAD ∠= ∴222211·24DE AB AD AB AB AD AD ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭ 2211332cos 2961742BAD =-⨯⨯∠+⨯=-⨯+=， ∴7DE =【点睛】本题考查了向量的线性运算，向量的数量积运算，考查计算能力，属于中档题． 21．已知关于x 的函数()22f x x kx =--，x ∈R . （1）若函数()f x 是R 上的偶函数，求实数k 的值；（2）若函数()()21x g x f =-，当2(]0,x ∈时，()0g x ≤恒成立，求实k 数的取值范围；（3）若函数()()212h x f x x =+-+，且函数()h x 在()0,2上两个不同的零点1x ，2x ，求证：12114x x +<. 【答案】（1）0k =； （2）7[,)3+∞； （3）见解析.【解析】（1）由()f x 是R 上的偶函数，可得()()f x f x -=恒成立，从而可得结果；（2）当(]0,2x ∈时，()0g x ≤恒成立，即()()2212120x x k ----≤恒成立，令21x u =-，(]0,3u ∈，只需2k u u≥-在(]0,3u ∈时恒成，从而可得结果；（3）不妨设1202x x <<<，可得()f x 在()0,1上至多一个零点，若1212x x ≤<<，不合题意；可得12012x x <<≤<；由()10f x =，()20f x =，可得2121124x x x +=<.【详解】（1）()f x 是R 上的偶函数，()()f x f x ∴-=，即2222x kx x kx +-=--对x R ∈都成立，0k ∴=.（2）当(]0,2x ∈时，()0g x ≤恒成立，即()()2212120x x k ----≤恒成立. 令21x u =-，则(]0,3u ∈， ()()2212120x x k ∴----≤在(]0,2x ∈时恒成立等价于：2k u u≥-在(]0,3u ∈时恒成立，又227333u u -≥-=， k ∴的取值范围是7,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. （3）不妨设1202x x <<<，因为()21,01,21,12,kx x h x x kx x -+<<⎧=⎨--≤<⎩， 所以()f x 在()0,1上至多一个零点，若1212x x ≤<<，则120x x ⋅>，而12102x x ⋅=-<，矛盾. 因此12012x x <<≤<；由()10h x =，得11k x =，由()20h x =，得222210x kx --=， 22211210x x x ∴-⋅-=，即212122x x x x +=⋅， 2121124x x x ∴+=<. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、函数的零点以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.22．设函数()()()2ln 1xx x ax b x g x e f x ex =-+-=-，.（1）当0b =时，函数()f x 有两个极值点，求a 的取值范围；（2）若()y f x =在点()()11f ，处的切线与x 轴平行，且函数()()()h x f x g x =+在()1x ∈+∞，时，其图象上每一点处切线的倾斜角均为锐角，求a 的取值范围.【答案】（1）10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）()1,11,2e +⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝⎦【解析】分析：（1）求得导函数'()ln 2f x x ax =-，题意说明'()f x 有两个零点，即ln 2x a x =有两个解，或直线2y a =与函数ln ()x m x x=的有两个交点，可用导数研究()m x 的性质（单调性，极值等），再结合图象可得a 的范围；（2）首先题意说明'(1)0,(1)0f f =≠，从而有2b a =且1a ≠，其次1x >时，'()'()'()0h x f x g x =+>恒成立，因此()'()x h x ϕ=的最小值大于0，这可由导数来研究，从而得出a 的范围．详解：（1) ）当0b =时，()2ln f x x x ax x =--，()ln 2f x x ax '=-， 所以()2ln f x x x ax x =--有两个极值点就是方程ln 20x ax -=有两个解， 即2y a =与()ln x m x x =的图像的交点有两个. ∵()21ln x m x x-'=，当()0,x e ∈时，()0m x '>，()m x 单调递增；当(),x e ∈+∞时，()0m x '<，()m x 单调递减.()m x 有极大值1e又因为(]0,1x ∈时，()0m x ≤；当()1,x ∈+∞时，()102m x e<<. 当1,2a e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时2y a =与()ln x m x x =的图像的交点有0个； 当(],0a ∈-∞或12a e =时2y a =与()ln x m x x =的图像的交点有1个； 当10,2a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时2y a =与()ln x m x x=的图象的交点有2个； 综上10,2a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. （2）函数()y f x =在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行，所以()10f '=且()10f ≠，因为()ln 2f x x ax b '=-+，所以2b a =且1a ≠；()()2ln 1x h x x x ax b x e ex =-+-+-在()1,x ∈+∞时，其图像的每一点处的切线的倾斜角均为锐角，即当1x >时，()()()0h x f x g x ''+'=>恒成立，即ln 220x x e ax a e +-+->，令()ln 22x t x x e ax a e =+-+-，∴()12x t x e a x=+-' 设()12x x e a x ϕ=+-，()21x x e x ϕ='-，因为1x >，所以21,1x e e x><，∴()0x ϕ'>，∴()x ϕ在()1,+∞单调递增，即()t x '在()1,+∞单调递增，∴()()112t x t e a >=+-''，当12e a +≤且1a ≠时，()0t x '≥， 所以()ln 22x t x x e ax a e =+-+-在()1,+∞单调递增；∴()()10t x t >=成立 当12e a +>，因为()t x '在()1,+∞单调递增，所以()1120t e a '=+-<，()1ln2220ln2t a a a a=+->'， 所以存在()01,ln2x a ∈有()00t x '=；当()01,x x ∈时，()0t x '<，()h x 单调递减，所以有()()010t x t <=，()0t x >不恒成立；所以实数a 的取值范围为()1,11,2e +⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝⎦. 点睛：本题考查函数的单调性、极值、零点、函数与方程、不等式等基础知识，考查运算求解、推理论证能力，考查数形结合、分类与整合、转化与化归等数学思想． 解题时转化的方法有多种多样，第（1）小题人等价转化还可这样转化求解： 当0b =时，()2ln f x x x ax x =--，()ln 2f x x ax '=-， 令()ln 2p x x ax =-，()1122ax p x a x x='-=- ①(],0a ∈-∞时，()0p x '>，∴()p x 在()0,+∞单调递增，不符合题意；②()0,a ∈+∞时，令()0p x '>，10,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴()p x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增；令()0p x '<，1,2x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭，∴()p x 在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减； 令1ln2102p a a ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，∴10,2a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 又因为()120p a =-<，22111ln 0442p a a a ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，且211124a a <<， 所以10,2a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2ln f x x x ax x =--有两个极值点. 即2y a =与()ln x m x x=的图像的交点有两个.。

同步测试一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知双曲线的焦距是虚轴长的倍，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A ．B ．C ．D ．2．设直线0x y a +-=与圆22(2)4x y -+=交于A ，B 两点，圆心为C ，若ABC ∆为直角三角形，则a =（ ） A ．0B ．2C ．4D ．0或43．设A ，B ，C 是三个事件，给出下列四个事件： （Ⅰ）A ，B ，C 中至少有一个发生； （Ⅱ）A ，B ，C 中最多有一个发生； （Ⅲ）A ，B ，C 中至少有两个发生； （Ⅳ）A ，B ，C 最多有两个发生； 其中相互为对立事件的是（ ） A ．Ⅰ和ⅡB ．Ⅱ和ⅢC ．Ⅲ和ⅣD ．Ⅳ和Ⅰ4．某大型联欢会准备从含甲、乙的6个节目中选取4个进行演出，要求甲、乙2个节目中至少有一个参加，且若甲、乙同时参加，则他们演出顺序不能相邻，那么不同的演出顺序的种数为（ ） A ．720B ．520C ．600D ．2645．等差数列{a n }的前n 项和S n ，且4≤S 2≤6，15≤S 4≤21，则a 2的取值范围为（ ） A ．94788⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．233388⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C ．93388⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．234788⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 6．已知复数z 满足()()122z i i +-=，则复数z 在复平面内的对应点所在象限是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．已知A(2，－5, 1)，B(2，－4，2)，C(1，－4, 1)，则AB 与AC 的夹角为（ ） A ．30°B ．60°C ．45°D ．90°8．下列说法正确的是（ ）A ．若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题B ．命题“若1x >-，则21x >”的否命题是真命题C ．命题“函数()ln 2xy =的值域是R ”的逆否命题是真命题D ．命题:p “a ∀∈R ，关于x 的不等式210x ax ++>有解”，则p ⌝为“0a R ∃∈，关于x 的不等式2010x a x ++≤无解”9．在复平面内，复数()21i i -对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．1111．设非零向量a b c 、、满足a b c ==，a b c +=，则向量a b 、间的夹角为( ) A ．150° B ．60° C ．120°D ．30°12．函数3()ln f x x x=-的零点所在的大致区间是（ ） A ．()1,2 B ．()2,e C ．(),3eD ．()3,+∞二、填空题：本题共4小题 13．若函数()21ln 2f x ax x x x =+-存在单调递增区间，则a 的取值范围是___. 14．己知n S 是等差数列{n a }的前n 项和，253,25a S ==，则4a =________.15．命题p :[1,1]x ∃∈-，使得2x a <成立；命题:(0,)q x ∀∈+∞，不等式21ax x <+恒成立.若命题p q ∧为真，则实数a 的取值范围为___________. 16．已知一组数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的方差为12，则数据21x ，22x ，23x ，24x ，25x 的方差为_______． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2019-2020学年浙江省绍兴一中高二（下）期中数学试卷试题数：22，总分：0+lnx的定义域为（）1.（单选题，0分）函数f(x)=√x−1A.{x|x≠1}B.{x|x＞0且x≠1}C.{x|x＞1}D.{x|0＜x＜1}2.（单选题，0分）已知a⃗ =（1，-3），b⃗⃗ =（-2，1），且（a⃗ +2 b⃗⃗） || （k a⃗ - b⃗⃗），则实数k=（）A.-2B.2C. 12D. −123.（单选题，0分）若角α的终边过点（-1，-2），则sin2α=（）A. −25B. 25C. −45D. 45⃗⃗⃗⃗⃗⃗⊥4.（单选题，0分）已知O为坐标原点，点A（0，1），B（2，5），C（x，-3），若AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则实数x=（）OCA.6B.-6C. 32D. −325.（单选题，0分）已知x=log52，y=log2√5，z= 3−12，则下列关系正确的是（）A.x＜z＜yB.x＜y＜zC.z＜x＜yD.z＜y＜x6.（单选题，0分）函数f（x）=ln|x|+|sinx|（-π≤x≤π且x≠0）的图象大致是（）A.B.C.D.e2⃗⃗⃗⃗|≤| e1⃗⃗⃗⃗+λe2⃗⃗⃗⃗ |，则向量7.（单选题，0分）设单位向量e1⃗⃗⃗⃗，e2⃗⃗⃗⃗对任意实数λ都有| e1⃗⃗⃗⃗+√32e1⃗⃗⃗⃗，e2⃗⃗⃗⃗的夹角为（）A. π3B. 2π3C. π6D. 5π68.（单选题，0分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若2ccosB−√3b= 2a，则C=（）A. π6B. 5π6C. 2π3D. π39.（单选题，0分）设平面向量a⃗，b⃗⃗，c⃗满足|a⃗|=|b⃗⃗|=2a⃗•b⃗⃗=1，|c⃗−2a⃗|+|c⃗−b⃗⃗|=√3，则|c⃗−a⃗|+|c⃗+a⃗|的最小值是（）A. √3B.2C. √7D.410.（单选题，0分）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2bsinC，则tanA+tanB+tanC的最小值是（）A.4B. 3√3C.8D. 6√311.（填空题，0分）若复数z满足条件（1+2i）z=5，则z =___ ；|z|=___ ．12.（填空题，0分）若f(n)=1+12+13+⋯+13n−1(n∈N∗)，用数学归纳法验证关于f（n）的命题时，第一步计算f（1）=___ ；第二步“从n=k到n=k+1时”，f（k+1）=f（k）+___ ．13.（填空题，0分）已知当x=θ时，函数f（x）=2sinx-cosx取得最大值，则最大值为___ ，sin(θ+π4) =___ ．14.（填空题，0分）若函数f(x)=12x2 f'（2）+lnx，则f'（2）=___ ，f（x）的极大值点为___ ．15.（填空题，0分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cos2B=1-2sinAsinC，且a=3c，则cos（A+B）=___ ．16.（填空题，0分）若x1是方程xe x=e2的解，x2是方程xlnx=e2的解，则x1x2=___ ．17.（填空题，0分）在△ABC中，D是线段BC上靠近C点的三等分点，若∠ABC=∠DAC=θ，则tanθ的最大值为___ ．18.（问答题，0分）在△ABC 中，2sin 2 A 2 -sin A2 =sinA ． （I ）求sinA 的值；（2）若AB+AC=4，△ABC 的面积为 32 ，求边BC 的长．19.（问答题，0分）已知数列{a n }满足a 1=- 23 ，a n =- 1a n−1+2（n≥2，n∈N *）．（1）求a 2、a 3、a 4；（2）猜想数列通项公式a n ，并用数学归纳法给出证明．20.（问答题，0分）已知函数 f (x )=cos (ωx +φ)(ω＞0，0＜φ＜π2) 部分图象如图所示．（1）若f （x ）的图象向左平移 π6 个单位后，得到g （x ）的图象，求g （x ）的解析式； （2）若方程f （x ）-3m=0在 [−π6，13π12] 上有三个不同的实根，求m 的取值范围．21.（问答题，0分）在△OAB 中，已知 |OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√2 ， |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=1 ，∠AOB=45°． （1）求 |OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗| 的值； （2）若 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λOA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，且λ+2μ=2，求 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影的取值范围．22.（问答题，0分）定义函数f（x）=（1-x2）（x2+bx+c）．（1）如果f（x）的图象关于x=2对称，求2b+c的值；（2）若x∈[-1，1]，记|f（x）|的最大值为M（b，c），当b、c变化时，求M（b，c）的最小值．2019-2020学年浙江省绍兴一中高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：01.（单选题，0分）函数 f (x )=√x−1+lnx 的定义域为（ ）A.{x|x≠1}B.{x|x ＞0且x≠1}C.{x|x ＞1}D.{x|0＜x ＜1} 【正确答案】：C【解析】：分母不能为0，被开方数大于等于0，从而得出x-1＞0；对数的真数大于0，从而得出x ＞0，从而得到不等式组 {x −1＞0x ＞0，然后解出x 的范围即可．【解答】：解：要使f （x ）有意义，则 {x −1＞0x ＞0 ，解得x ＞1，∴f （x ）的定义域为{x|x ＞1}． 故选：C ．【点评】：本题考查了函数定义域的定义及求法，对数函数的定义域，考查了计算能力，属于基础题．2.（单选题，0分）已知 a ⃗ =（1，-3）， b ⃗⃗ =（-2，1），且（ a ⃗ +2 b ⃗⃗ ） || （k a ⃗ - b ⃗⃗ ），则实数k=（ ） A.-2 B.2 C. 12 D. −12【正确答案】：D【解析】：可得出 a ⃗+2b ⃗⃗=(−3，−1) ， ka ⃗−b ⃗⃗=(k +2，−3k −1) ，然后根据 (a⃗+2b ⃗⃗)∥(ka ⃗−b ⃗⃗) 即可得出 (a ⃗+2b ⃗⃗)•(ka ⃗−b ⃗⃗)=0 ，然后进行向量坐标的数量积运算即可求出k 的值．【解答】：解：∵ a ⃗+2b ⃗⃗=(−3，−1) ， ka ⃗−b ⃗⃗=(k +2，−3k −1) ，且 (a ⃗+2b ⃗⃗)∥(ka⃗−b ⃗⃗) ， ∴ (a ⃗+2b ⃗⃗)•(ka ⃗−b ⃗⃗)=3(3k +1)+k +2=0 ，解得 k =−12 ． 故选：D ．【点评】：本题考查了向量坐标的加法、减法、数乘和数量积的运算，平行向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．3.（单选题，0分）若角α的终边过点（-1，-2），则sin2α=（ ） A. −25 B. 25 C. −45 D. 45【正确答案】：D【解析】：由题意利用任意角的三角函数的定义求得sinα和cosα的值，再利用二倍角的正弦公式求得结果．【解答】：解：∵角α的终边过点（-1，-2），∴sinα= √1+4 =- 2√55 ，cosα= √1+4=- √55 ， 则sin2α=2sinαcosα= 45 ， 故选：D ．【点评】：本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦公式，属于基础题． 4.（单选题，0分）已知O 为坐标原点，点A （0，1），B （2，5），C （x ，-3），若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⊥OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数x=（ ） A.6 B.-6 C. 32 D. −32【正确答案】：A【解析】：根据平面向量的坐标表示与数量积运算法则，计算即可．【解答】：解：由点A （0，1），B （2，5），C （x ，-3）， 则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，4）， OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（x ，-3）； 若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⊥OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x-12=0， 解得x=6． 故选：A ．【点评】：本题考查了平面向量的坐标表示与数量积运算问题，是基础题．5.（单选题，0分）已知x=log 52，y=log 2 √5 ，z= 3−12，则下列关系正确的是（ ） A.x ＜z ＜y B.x ＜y ＜z C.z ＜x ＜y D.z ＜y ＜x 【正确答案】：A【解析】：利用指数与对数函数的单调性即可得出．【解答】：解：x=log 52＜ log 5√5 = 12 ，y=log 2 √5 ＞1，z= 3−12 = 1√3∈（ 12 ，1）．∴x ＜z ＜y ． 故选：A ．【点评】：本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 6.（单选题，0分）函数f （x ）=ln|x|+|sinx|（-π≤x≤π且x≠0）的图象大致是（ ）A.B.C.D.【正确答案】：B【解析】：利用函数的奇偶性排除选项，通过函数的导数求解函数的极值点的个数，求出f （π）的值，推出结果即可．【解答】：解：函数f（x）=ln|x|+|sinx|（-π≤x≤π且x≠0）是偶函数排除A．当x＞0时，f（x）=lnx+sinx，可得：f′（x）= 1x +cosx，令1x+cosx=0，作出y= 1x与y=-cosx图象如图：可知两个函数有一个交点，就是函数有一个极值点．f（π）=lnπ＞1，故选：B．【点评】：本题考查函数的奇偶性以及函数的导数的应用，函数的极值，考查转化思想以及计算能力．7.（单选题，0分）设单位向量e1⃗⃗⃗⃗，e2⃗⃗⃗⃗对任意实数λ都有| e1⃗⃗⃗⃗+√32e2⃗⃗⃗⃗|≤| e1⃗⃗⃗⃗+λe2⃗⃗⃗⃗ |，则向量e1⃗⃗⃗⃗，e2⃗⃗⃗⃗的夹角为（）A. π3B. 2π3C. π6D. 5π6【正确答案】：D【解析】：可设e1⃗⃗⃗⃗，e2⃗⃗⃗⃗的夹角为θ，根据e1⃗⃗⃗⃗，e2⃗⃗⃗⃗为单位向量，对| e1⃗⃗⃗⃗+√32e2⃗⃗⃗⃗|≤| e1⃗⃗⃗⃗+λe2⃗⃗⃗⃗ |两边平方可得，1+√3cosθ+34≤1+2λcosθ+λ2，整理可得，λ2+2cosθ•λ−√3cosθ−34≥0，而该不等式对于任意的λ恒成立，从而得出△=(2cosθ+√3)2≤0，从而得出2cosθ+√3=0，这样即可求出θ．【解答】：解：∵ e1⃗⃗⃗⃗，e2⃗⃗⃗⃗是单位向量，设e1⃗⃗⃗⃗，e2⃗⃗⃗⃗的夹角为θ；∴对|e1⃗⃗⃗⃗+√32e2⃗⃗⃗⃗|≤|e1⃗⃗⃗⃗+λe2⃗⃗⃗⃗|两边平方得，1+34+√3cosθ≤1+λ2+2λcosθ；整理得，λ2+2cosθ•λ−√3cosθ−34≥0，该不等式对任意实数λ恒成立；∴ △=4cos2θ+4√3cosθ+3 = (2cosθ+√3)2≤0；∴ 2cosθ+√3=0；∴ cosθ=−√32；又0≤θ≤π；∴ θ=5π6．故选：D．【点评】：考查单位向量的概念，不等式的性质，向量数量积的运算及计算公式，向量夹角的范围，以及已知三角函数值求角．8.（单选题，0分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若2ccosB−√3b= 2a，则C=（）A. π6B. 5π6C. 2π3D. π3【正确答案】：B【解析】：由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求cosC，进而可求C．【解答】：解：因为2ccosB−√3b=2a，所以2sinCcosB- √3sinB =2sinA=2sin（B+C）=2sinBcosC+2sinCcosB，所以- √3sinB =2sinBcosC，因为sinB＞0，，所以cosC=- √32因为C为三角形的内角，．则C= 5π6故选：B．【点评】：本题主要考查了正弦定理，和差角公式在三角求解中的应用，属于基础试题．9.（单选题，0分）设平面向量a⃗，b⃗⃗，c⃗满足|a⃗|=|b⃗⃗|=2a⃗•b⃗⃗=1，|c⃗−2a⃗|+|c⃗−b⃗⃗|=√3，则|c⃗−a⃗|+|c⃗+a⃗|的最小值是（）A. √3B.2C. √7D.4【正确答案】：C【解析】：结合已知可考虑设 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗ =（1，0）， OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗ =（ 12，√32）， c ⃗ =（x ，y ），从而 |c ⃗−2a ⃗|+|c ⃗−b ⃗⃗|=√3 ，可表示点C （x ，y ）到点B （ 12，√32 ）与D （2，0）的距离之和为 √3 可判断C 在线段BD 上，而 |c ⃗−a ⃗|+|c ⃗+a ⃗| = √(x +1)2+y 2+√(x −1)2+y 2 表示C （x ，y ）与F （-1，0），A （1，0）的距离之和，然后结合对称性可求．【解答】：解：∵ |a ⃗|=|b ⃗⃗|=2a ⃗•b⃗⃗=1 ， 令 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗ =（1，0）， OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗ =（ 12，√32）， c ⃗ =（x ，y ），∵ |c ⃗−2a ⃗|+|c ⃗−b ⃗⃗|=√3 ， ∴ √(x −2)2+y 2+√(x −12)2+y 2 = √3 ，表示点C （x ，y ）到点B （ 12，√32 ）与D （2，0）的距离之和为 √3 且DB= √3 ，∴C 在线段BD 上，则 |c ⃗−a ⃗|+|c ⃗+a ⃗| = √(x +1)2+y 2+√(x −1)2+y 2 表示C （x ，y ）与F （-1，0），A （1，0）的距离之和，设A （1，0）关于BD 对称的点E ，则E （ 32，√32）， C （x ，y ）与F （-1，0），A （1，0）的距离之和的最小值即为EF= √(1+32)2+(√32)2= √7 ，故选：C ．【点评】：本题主要考查了向量的加减运算，向量模长公式的应用，体现了转化思想的应用，属于难题．10.（单选题，0分）在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若a=2bsinC ，则tanA+tanB+tanC 的最小值是（ ） A.4 B. 3√3 C.8 D. 6√3【正确答案】：C【解析】：由题意求得tanB+tanC=2tanBtanC ① ，tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC ② ，化简tanA+tanB+tanC ，利用基本不等式求得它的最小值．【解答】：解：在锐角三角形ABC 中，sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC．∵a=2bsinC，∴si nA=2sinBsinC，∴sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，化简可得tanB+tanC=2tanBtanC ① ．∵tanA=-tan（B+C）= tanB+tanCtanBtanC−1＞0，∴tanB+tanC=tanA（tanBtanC-1），∴tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC ② ，且tanB•tanC-1＞0．则tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC= tanB+tanCtanBtanC−1•tanBtanC，令tanB•tanC-1=m，则m＞0，故tanA+tanB+tanC= tanB+tanCm •（m+1）= 2tanBtanCm•（m+1）= 2m+2m•（m+1）= 2(m+1)2m=4+2m+ 2m≥4+2 √4 =8，当且仅当2m= 2m，即m=1时，取等号，此时，tanB•tanC=2，故tanA+tanB+tanC的最小值是8，故选：C．【点评】：本题主要考查诱导公式，两角和差的正切公式，基本不等式的应用，属于中档题．11.（填空题，0分）若复数z满足条件（1+2i）z=5，则z =___ ；|z|=___ ．【正确答案】：[1]1+2i; [2] √5【解析】：利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】：解：（1+2i）z=5，∴（1-2i）（1+2i）z=5（1-2i），∴z=1-2i，∴ z =1+2i，|z|= √12+(−2)2 = √5．故答案为：1+2i，√5．【点评】：本题考查了复数的运算法则化简、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.（填空题，0分）若f(n)=1+12+13+⋯+13n−1(n∈N∗)，用数学归纳法验证关于f（n）的命题时，第一步计算f（1）=___ ；第二步“从n=k到n=k+1时”，f（k+1）=f（k）+___ ．【正确答案】：[1] 32 ; [2] 13k+ 13k+1+ 13k+2【解析】：当n=k时，f（k）=1+ 12+13+…+ 13k−1，当n=k+1时，f（k+1）的最后的项为13k+2，结合分母为连续的自然数得答案．【解答】：解：f（1）=1+ 12=32；假设当n=k时，f（k）=1+ 12+13+…+ 13k−1，那么，当n=k+1时，f（k+1）=1+ 12+13+…+ 13k−1+ 13k+13k+1+13k+2，f（k+1）=f（k）+ 13k +13k+1+13k+2，故答案为：32；13k+13k+1+13k+2．【点评】：本题考查数学归纳法，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是基础题．13.（填空题，0分）已知当x=θ时，函数f（x）=2sinx-cosx取得最大值，则最大值为___ ，sin(θ+π4) =___ ．【正确答案】：[1] √5 ; [2] √1010【解析】：用辅助角公式化简函数的解析式为函数f（θ）= √5 sin（θ+α），（其中sinα=√5cosα=- 1√5）由题意可得θ+α=2kπ+ π2，k∈z，即θ=2kπ+ π2-α，k∈z，再利用诱导公式求得sinθ，cosθ 的值，利用和与差的公式化简sin（θ+ π4）可得答案．【解答】：解：由题意，函数f（θ）=2sinθ-cosθ= √5 sin（θ+α）取得最大值√5，（其中sinα=√5cosα=-√5可得：θ+α=2kπ+ π2，k∈z，即θ=2kπ+ π2-α，k∈z，那么：sinθ=sin（2kπ+ π2 -α）=cosα=-√5cosθ=cos（2kπ+ π2-α）=sinα=√5．可得：sin（θ+ π4）= √22sinθ+ √22cosθ= √22×√5= √1010．故答案为：√5．√1010．【点评】：本题主要考查辅助角公式的应用，考查了正弦函数的最大值，和与差的公式的运用，属于中档题，14.（填空题，0分）若函数f(x)=12x2 f'（2）+lnx，则f'（2）=___ ，f（x）的极大值点为___ ．【正确答案】：[1]- 12; [2] √2【解析】：求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系即可得到结论．【解答】：解：f(x)=12x2 f'（2）+lnx（x＞0），则f'（x）=xf'（2）+ 1x，∴f'（2）=2f'（2）+ 12，解得f'（2）=- 12．∴f'（x）=- 12 x+ 1x=- x2−22x（x＞0），当0＜x＜√2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x＞√2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，故x= √2为函数的极大值点．故答案为：- 12，√2．【点评】：本题主要考查了导数的运算、利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法，属于中档题．15.（填空题，0分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cos2B=1-2sinAsinC，且a=3c，则cos（A+B）=___ ．【正确答案】：[1]- 7√618【解析】：由已知利用同角三角函数基本关系式可得sin2B=2sinAsinC，由正弦定理可得：b2=2ac，结合a=3c，可得：b= √6 c，进而根据三角形内角和定理，诱导公式，余弦定理即可计算得解cos（A+B）的值．【解答】：解：∵cos2B=1-2sinAsinC=cos2B+sin2B-2sinAsinC，∴sin2B=2sinAsinC，∴由正弦定理可得：b2=2ac，又∵a=3c，∴可得：b= √6 c，∴cos（A+B）=cos（π-C）=-cosC=- a2+b2−c22ab =- 2222×3c×√6c=- 7√618．故答案为：- 7√618．【点评】：本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角形内角和定理，诱导公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16.（填空题，0分）若x1是方程xe x=e2的解，x2是方程xlnx=e2的解，则x1x2=___ ．【正确答案】：[1]e2【解析】：显然x1e x1=e2，x2lnx2=lnx2•e lnx2=e2，构造函数f（x）=xe x，利用导数可知f（x）=e2有唯一解，故x1=lnx2，进而得解．【解答】：解：依题意，x1e x1=e2，x2lnx2=lnx2•e lnx2=e2，设f（x）=xe x，则f′（x）=e x+xe x=（x+1）e x，易知函数f（x）在（-∞，-1）递减，在（-1，+∞）递增，作出函数图象如图所示，由图象可知，函数y=f（x）与直线y=e2有唯一交点，即xe x=e2有唯一解，∴x1=lnx2，又lnx2=e2x2，∴ x1=e2x2，∴ x1x2=e2．故答案为：e2．【点评】：本题考查函数与导数的综合运用，涉及了同构式的运用以及利用导数研究函数的性质，考查数形结合思想，属于基础题．17.（填空题，0分）在△ABC中，D是线段BC上靠近C点的三等分点，若∠ABC=∠DAC=θ，则tanθ的最大值为___ ．【正确答案】：[1] √22【解析】：易知，△ABC∽△DAC，令∠C=α，然后在这两个三角形中分别利用正弦定理，构造出θ，α的方程，将tanθ化成关于α的三角函数，求最值．【解答】：解：如图所示：因为∠ABC=∠DAC=θ，∠C=∠C．所以△ABC∽△DAC，令∠C=α，BD=2CD=2，易知α∈（0，π）．在△ABC中，ACsinB =BCsin∠BAC，即ACsinθ=3sin(θ+α)① ．同理，在△ACD中可得：ACsin(θ+α)=1sinθ② ．由① ② 可得：√3sinθ=sin(θ+α)=sinθcosα+cosθsinα，整理得tanθ=√3−cosα，令f(α)=√3−cosα，所以f′(α)=√3cosα−1(√3−cosα)2，令f′（α）=0得：cosα0=1√3，α0∈(0，π2)，当α∈（0，α0）时，f′（α）＞0；当α∈(α0，π2)时，f′（α）＜0．故f(α)max=f(α0)=√1−cos2α0√3−cosα0 = √22．故tanθ的最大值为√22．故答案为：√22．【点评】：本题考查正余弦定理以及三角函数的最值问题．属于中档题．18.（问答题，0分）在△ABC中，2sin2A2 -sin A2=sinA．（I）求sinA的值；（2）若AB+AC=4，△ABC的面积为32，求边BC的长．【正确答案】：【解析】：（1）由已知结合二倍角公式及同角平方关系进行化简可求sinA，（2）由已知可求cosA，然后结合三角形的面积公式及余弦定理可求．【解答】：解：（1）由已知可得2sin A2cos A2+sin A2=2sin 2A2，因为sin 12A≠0，所以sin 12A−cos12A = 12，两边平方可得sinA= 34，（2）由以sin 12A−cos12A＞0可得tan 12A＞1，从而A＞90°，于是cosA=- √74， 因为△ABC 的面积为 32 ， 所以AB•AC=4，由余弦定理可得，BC= √(AB +AC )2−2AB •AC (1+cosA ) =1+ √7 ．【点评】：本题主要考查了同角三角函数间的平方关系，二倍角公式及余弦定理在求三角形中的应用．19.（问答题，0分）已知数列{a n }满足a 1=- 23，a n =- 1a n−1+2（n≥2，n∈N *）．（1）求a 2、a 3、a 4；（2）猜想数列通项公式a n ，并用数学归纳法给出证明．【正确答案】：【解析】：（1）数列{a n }满足a 1=- 23，a n =-1a n−1+2（n≥2，n∈N *）．可得a 2=-1a 1+2，a 3=- 1a 2+2． （2）猜想数列通项公式a n =- n+1n+2 ．用数学归纳法证明即可．【解答】：解：（1）数列{a n }满足a 1=- 23 ，a n =- 1a n−1+2（n≥2，n∈N *）．则a 2=-1a 1+2 =- 1−23+2=- 34 ，a 3=- 1a 2+2 =- 45 ． （2）猜想数列通项公式a n =-n+1n+2． 用数学归纳法证明：（i ）n=1时，a 1=- 23 =- 1+11+2 成立， （ii ）假设n=k∈N *时成立，a k =- k+1k+2 ． 则n=k+1时，a k+1=-1a k +2 =- 1−k+1k+2+2=- k+2k+3 =- (k+1)+1(k+1)+2 ． 因此n=k+1时，猜想成立．综上可得：数列通项公式a n =- n+1n+2 ．n∈N *．【点评】：本题考查了数学归纳法、数列递推关系、猜想归纳方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.（问答题，0分）已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω＞0，0＜φ＜π2)部分图象如图所示．（1）若f（x）的图象向左平移π6个单位后，得到g（x）的图象，求g（x）的解析式；（2）若方程f（x）-3m=0在[−π6，13π12]上有三个不同的实根，求m的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）根据图象求周期，从而求出ω，将点（5π6，1）带入求出φ的值，可得f（x）的解析式，再利用函数y=cos（ωx+φ）的图象变换规律，可得g（x）的解析式．（2）方程f（x）-3m=0在[−π6，13π12]上有三个不同的实根，转化为f（x）图象与y=3m图象有三交点，即可求解m的取值范围．【解答】：解：（1）由题设图象知，周期T=2（5π6−π3）=π，∴ω= 2πT=2．∵点（5π6，1）在函数图象上，∴cos（2× 5π6+φ）=1，即cos（5π3+φ）=1．又∵0＜φ＜π2，∴φ= π3那么f（x）的解析式为f（x）=cos（2x+ π3）将f（x）的图象向左平移π6个单位，可得y=cos[2（x+ π6）+ π3]=cos（2x+ 2π3）∴g（x）的解析式为g（x）=cos（2x+ 2π3）（2）方程f （x ）-3m=0在 [−π6，13π12] 上有三个不同的实根， 即f （x ）=cos （2x+ π3 ）在 [−π6，13π12] 上与y=3m 有三个交点；∵x∈ [−π6，13π12] ∴2x+ π3 ∈[0， 5π2]；要使y=3m 与f （x ）有三个交点； 则0≤3m ＜1， 可得 0≤m ＜13 ；故m 的取值范围是[0， 13 ）．【点评】：本题主要考查由函数y=Asin （ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．21.（问答题，0分）在△OAB 中，已知 |OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√2 ， |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=1 ，∠AOB=45°． （1）求 |OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗| 的值； （2）若 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λOA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，且λ+2μ=2，求 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）由 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，两边平方化简可求得 |OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| 的值；（2）先表示出 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λOA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+(1−λ2)OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=1+λ2 |OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√2+λ22 ，从而可得 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影为 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√22•√λ2+4λ 的不同取值范围求其值可得结果．【解答】：解：（1）∵ OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=2，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=1，∠AOB =45° ， 在△OAB 中，由余弦定理得|AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2+|OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2−2|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|•cos∠AOB ， 12=(√2)2+|OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2−2•√2•|OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|•cos45° ， 即 |OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2−2|OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+1=0 ， 解得： |OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=1 ．（2）由 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λOA⃗⃗⃗⃗⃗⃗+μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，且 λ+2μ=2， 则 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•[λOA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+(1−λ2)OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗] = λOA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+(1−λ2)OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 由 （1）可知： |OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=1 ， ∴ OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ+(1−λ2)×1×√2×√22=1+λ2 ，|OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√[λOA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+(1−λ2)OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗]2 = √λ2|OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2+2λ(1−λ2)OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+(1−λ2)2|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2 = √λ22+2 ， 故 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影为 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=1+λ2√22+2=√22√λ2+4， 当λ＜-2 时，上式= −√22•√(λ+2)2λ2+4 = −√22•√1+4λ+4λ∈(−√22，0] ； 当λ≥-2 时，上式= √22√(λ+2)2λ2+4 ， ① λ=0，上式= √22 ，② -2≤λ＜0 时，上式= √22•√1+4λ+4λ∈[0，√22) ， ③ λ＞0，上式= √22•√1+4λ+4λ∈(√22，1] ． 综上， OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影的取值范围是 (−√22，1] ．【点评】：本题考查了向量的模，向量的投影，考查了分类讨论思想，考查了计算能力，属于中档题．22.（问答题，0分）定义函数f （x ）=（1-x 2）（x 2+bx+c ）．（1）如果f （x ）的图象关于x=2对称，求2b+c 的值；（2）若x∈[-1，1]，记|f （x ）|的最大值为M （b ，c ），当b 、c 变化时，求M （b ，c ）的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）知道函数的对称轴，可以通过平移，数形结合的思想进而求得答案；（2）利用放缩法求解函数最小值．【解答】：解：（1）f （x ）的图象关于直线x=2对称，则将f （x ）的图象向左移动2个单位，得到函数，g （x ）=f （x+2）=[1-（x+2）2][（x+2）2+b （x+2）+c]=-x 4-（8+b ）x 3-（19+4b ）x 2-（28+11b+4c ）x-（12+6b+3c ）为偶函数，∴ {8+b =028+11b +4c =0 解得 {b =−8c =15， ∴2b+c=-1；（2）对任意的x∈[-1，1]，|f （x ）|≤M （b ，c ），取x=±λ得 {|(1−λ2)(λ2+bλ+c )|≤M(b ，c)|(1−λ2)(λ2−bλ+c )|≤M(b ，c)， 同理取x=0得，|c|≤M （b ，c ），由上述三式得：2|（1-λ2）（λ2+c ）|≤2M （b ，c ），∴|（1-λ2）（λ2+c ）|≤M （b ，c ），∴|（1-λ2）λ2|≤|（1-λ2）（λ2+c ）|+|（1-λ2）|c||≤（2-λ2）M （b ，c ），因此，M （b ，c ）≥ [(1−λ2)λ22−λ2]max =3−2√2 （当且仅当λ2=2- √2 时，取得最大值），此时b=0，c= 2√2−3 ，经验证，（ (1−x 2)(x 2+2√2−3)≤3−2√2 ）满足题意．故当b=0，c= 2√2−3 时，M （b ，c ）取得最小值，且最小值为 3−2√2 ．【点评】：（1）考察对抽象函数，奇偶函数，数形结合的理解；（2）通过最大值进行放缩，求得最小值，注意基本不等式的一正、二定、三等号．。

浙江省绍兴市2019版高二下学期期中数学试卷（理科）C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2015高三上·东莞期末) 已知i是增数单位，若是纯虚数，则| |=（）A .B .C . 1D .2. （2分） (2016高二下·邯郸期中) 下列说法中，正确的有（）①用反证法证明命题“a，b∈R，方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要作的假设是“方程至多有两个实根”；②用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n+2=2n+3﹣1，在验证n=1时，左边的式子是1+2+22；③用数学归纳法证明 + +…+ ＞（n∈N*）的过程中，由n=k推导到n=k+1时，左边增加的项为 + ，没有减少的项；④演绎推理的结论一定正确；⑤要证明“ ﹣＞﹣”的最合理的方法是分析法．A . ①④B . ④C . ②③⑤D . ⑤3. （2分） (2017高二上·张家口期末) 曲线y=2x2﹣x在点（1，1）处的切线方程为（）A . x﹣y+2=0B . 3x﹣y+2=0C . x﹣3y﹣2=0D . 3x﹣y﹣2=04. （2分） (2017高三上·赣州期末) 已知变量x，y成负相关，且由观测数据算得样本平均数，，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A . y=0.4x+2.3B . y=2x+2.4C . y=﹣2x+9.5D . y=﹣0.4x+4.45. （2分） (2017高二下·郑州期中) 利用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）…（n+n）=2n×1×3×…×（2n ﹣1），n∈N*”时，从“n=k”变到“n=k+1”时，左边应增乘的因式是（）A . 2k+1B .C .D .6. （2分） (2017高二上·孝感期末) 两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中至少有一个加工为一等品的概率为（）A .B .C .D .7. （2分）设a= （sinx+cosx）dx，且二项式（a ﹣）n的所有二项式系数之和为64，则其展开式中含x2项的系数是（）A . ﹣192B . 192C . ﹣6D . 68. （2分） (2016高一下·福州期中) 如果数据x1 ， x2 ，…，xn的平均数为2，方差为3，则数据3x1+5，3x2+5…，3xn+5的平均数和方差分别为（）A . 11，25B . 11，27C . 8，27D . 11，89. （2分）根据历年气象统计资料，宜都三月份吹东风的概率为，下雨的概率为，既吹东风又下雨的概率为．则在吹东风的条件下下雨的概率为（）A .B .C .D .10. （2分）在平面几何中，可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这个正三角形的高的．”拓展到空间中，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的（）A .B .C .D .11. （2分） (2018高一上·和平期中) 已知函数，若对任意的，且时，，则实数的取值范围为（）A .B .C .D .12. （2分）(2017·宁波模拟) 设f（x）= ，则函数y=f（f（x））的零点之和为（）A . 0B . 1C . 2D . 4二、填空题． (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二下·上海期中) 计算i+2i2+3i3+…+2016i2016=________．14. （1分） (2015高二下·永昌期中) （3x2﹣2x+1）dx=________．15. （1分） (2017高二下·南昌期末) 在某次联考数学测试中，学生成绩η服从正态分布N（100，δ2），（δ＞0），若η在（80，120）内的概率为0.6，则落在（0，80）内的概率为________．16. （1分） (2017高一下·苏州期末) 已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2﹣x，则不等式f（x）＞x的解集用区间表示为________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分） (2019高三上·山西月考) 已知、、均为正实数.（1）若，求证：（2）若，求证：18. （15分） (2016高三上·成都期中) 已知函数f（x）=kx3+3（k﹣1）x2﹣k2+1在x=0，x=4处取得极值．（1）求常数k的值；（2）求函数f（x）的单调区间与极值；（3）设g（x）=f（x）+c，且∀x∈[﹣1，2]，g（x）≥2c+1恒成立，求c的取值范围．19. （5分） 2013年4月14日，CCTV财经频道报道了某地建筑市场存在违规使用未经淡化海砂的现象．为了研究使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关，某大学实验室随机抽取了60个样本，得到了相关数据如下表：混凝土耐久性达标混凝土耐久性不达标总计使用淡化海砂25t30使用未经淡化海砂s1530总计402060（Ⅰ）根据表中数据，求出s，t的值，利用独立性检验的方法判断，能否在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关？（Ⅱ）若用分层抽样的方法在使用淡化海砂的样本中抽取了6个，现从这6个样本中任取2个，则取出的2个样本混凝土耐久性都达标的概率是多少？参考数据：参考公式：k2=．20. （5分）(2017·昌平模拟) 设函数f（x）=a（x﹣1）2﹣xe2﹣x ．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线与x轴平行，求a的值；（Ⅱ）若，求f（x）的单调区间．21. （10分）新学年伊始，附中社团开始招新．某高一新生对“大观天文社”、“理科学社”、“水墨霓裳社”很感兴趣．假设他能被这三个社团接受的概率分别为，，．（1）求此新生被两个社团接受的概率；（2）设此新生最终参加的社团数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．22. （5分）(2017·湖北模拟) 已知函数f（x）=|x﹣a|，若不等式f（x）≤3的解集为{|x|﹣1≤x≤5}．（Ⅰ）求实数a的值：（Ⅱ）若不等式f（3x）+f（x+3）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题． (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分)17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、20-1、21-1、21-2、22-1、第11 页共11 页。

浙江省绍兴市2019年高二下学期期中数学试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高二下·高密期末) 某学校组织5个年级的学生外出参观包括甲科技馆在内的5个科技馆，每个年级任选一个科技馆参观，则有且只有两个年级选择甲科技馆的方案有（）A . A ×A 种B . A ×43种C . C ×A 种D . C ×43种2. （2分）有4名优秀的大学毕业生被某公司录用，该公司共有5个部门，由公司人事部分安排他们去其中任意3各部门上班，每个部门至少安排一人，则不同的安排方法为（）A . 120B . 240C . 360D . 4803. （2分） (2016高二下·海南期末) 如果X～B（1，p），则D（X）（）A . 有最大值B . 有最大值C . 有最小值D . 有最小值4. （2分）某班有50名学生，一次数学考试的成绩ξ服从正态分布N（105，102），已知P（95≤ξ≤105）=0.32，估计该班学生数学成绩在115分以上的人数为（）A . 10B . 9C . 8D . 75. （2分）有5名优秀毕业生到母校的3个班去作学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为（）A . 150B . 180C . 200D . 2806. （2分）（1+）（1﹣x）4的展开式中含x3的项的系数为（）A . -2B . 2C . -3D . 37. （2分）一个工人看管三台机床，在一小时内，这三台机床需要工人照管的概率分别0.9、0.8、0.7，则没有一台机床需要工人照管的概率为（）A . 0.018B . 0.016C . 0.014D . 0.0068. （2分） (2017高二下·莆田期末) 甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，目标被命中的概率为（）A .B .C .D .9. （2分） (2016高一下·宜春期中) 已知随机变量服从正态分布，且，则=（）A . 0.2B . 0.3C . 0.4D . 0.610. （2分）某射击手射击一次命中的概率是0.7，连续两次均射中的概率是0.4，已知某次射中，则随后一次射中的概率是（）A .B .C .D .11. （2分） (2018高二下·重庆期中) 已知函数，若是从1，2，3三个数中任取的一个数，是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为（）A .B .C .D .12. （2分）(2017·日照模拟) 甲、乙、丙 3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是（）A . 210B . 84C . 343D . 336二、填空题． (共4题；共4分)13. （1分）(2020·宝山模拟) 在的展开式中，的系数为________14. （1分）若X～B（n，p），且E（X）=6，D（X）=3，则P（X=1）的值为________．15. （1分）设随机变量ξ服从正态分布N（3，4），若P（ξ＜2a﹣3）=P（ξ＞a+2），则a=________ ．16. （1分） (2016高二下·高密期末) 用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （15分） (2016高二下·张家港期中) 已知在（﹣）n的展开式中，第6项为常数项．（1）求n；（2）求含x2项的系数；（3）求展开式中所有的有理项．18. （10分）在每道单项选择题给出的4个备选答案中，只有一个是正确的．若对4道选择题中的每一道都任意选定一个答案，求这4道题中：（1）恰有两道题答对的概率；（2）至少答对一道题的概率．19. （5分）如图，电路中共有7个电阻与一个电灯A，若灯A不亮，电阻断路的可能性共有多少种情况.20. （10分）(2020·银川模拟) 2019年12月16日，公安部联合阿里巴巴推出的“钱盾反诈机器人”正式上线，当普通民众接到电信网络诈骗电话，公安部钱盾反诈预警系统预警到这一信息后，钱盾反诈机器人即自动拨打潜在受害人的电话予以提醒，来电信息显示为“公安反诈专号”.某法制自媒体通过自媒体调查民众对这一信息的了解程度，从5000多参与调查者中随机抽取200个样本进行统计，得到如下数据：男性不了解这一信息的有50人，了解这一信息的有80人，女性了解这一信息的有40人.附：P(K2≥k)0.010.0050.001k 6.6357.87910.828（1）完成下列列联表，问：能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为200个参与调查者是否了解这一信息与性别有关？了解不了解合计男性女性合计（2）该自媒体对200个样本中了解这一信息的调查者按照性别分组，用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人给予一等奖，另外3人给予二等奖，求一等奖与二等奖获得者都有女性的概率.21. （15分）(2018·株洲模拟) 某协会对两家服务机构进行满意度调查，在两家服务机构提供过服务的市民中随机抽取了1000人，每人分别对这两家服务机构进行评分，满分均为60分.整理评分数据，将分数以 10 为组距分成6 组：，得到服务机构分数的频数分布表，服务机构分数的频率分布直方图：定义市民对服务机构评价的“满意度指数”如下:（1）在抽样的1000人中，求对服务机构评价“满意度指数”为0的人数；（2）从在两家服务机构都提供过服务的市民中随机抽取1人进行调查，试估计其对服务机构评价的“满意度指数”比对服务机构评价的“满意度指数”高的概率；（3）如果从服务机构中选择一家服务机构，你会选择哪一家？说明理由22. （5分）设正整数a，b，c满足：对任意的正整数n，an+bn=cn+1求证：a+b≥c参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题． (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分)17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、。