连续时间傅立叶变换与离散时间傅里叶变换之间的关系

离散傅里叶变换时移-概述说明以及解释1.引言1.1 概述离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，简称DFT）是一种将一个离散信号（或称时域信号）转换为频域表示的数学工具。

在现代信号处理和通信领域中，DFT被广泛应用于信号分析、滤波、频谱估计等领域。

DFT的概念源于傅里叶分析，它是将一个连续时间函数表示为一组基函数乘以一系列复数系数的线性组合。

而离散傅里叶变换则是将这一思想应用于离散信号，将离散时间序列转换为离散频率表示。

通过使用离散傅里叶变换，我们可以将一个时域上的离散信号转换为频域上的频谱表示，从而可以更加直观地观察信号的频率成分和能量分布。

离散傅里叶变换的时移性质是指当输入信号在时域上发生时移时，其在频域上的表示也随之发生相应的时移。

这一性质使得我们可以通过时移操作对信号进行处理和分析。

具体来说，如果我们对一个信号进行时移操作，即将信号中的每个样本向前或向后平移若干个位置，那么该信号在频域上的表示也会相应地发生同样的平移。

在本文中，我们将着重讨论离散傅里叶变换时移的原理和性质。

我们将介绍离散傅里叶变换的基本概念和原理，包括如何进行DFT变换、如何计算DFT系数以及DFT的逆变换等。

然后，我们将详细解释离散傅里叶变换的时移性质，包括时域上的时移操作如何在频域上体现以及时域和频域之间的变换关系等。

通过对离散傅里叶变换时移性质的研究，我们可以更好地理解信号在时域和频域之间的关系，以及对信号进行时移操作的影响。

同时，我们还将探讨离散傅里叶变换时移的应用，包括在信号处理、通信系统和图像处理等领域中的具体应用案例。

通过这些应用案例，我们将展示离散傅里叶变换时移的重要性以及它在实际问题中的实用价值。

1.2 文章结构文章结构部分的内容：本文主要分为三个部分：引言、正文和结论。

在引言部分，首先概述了离散傅里叶变换时移的主题，介绍了离散傅里叶变换的基本概念和原理。

接着，详细说明了本文的结构，即按照离散傅里叶变换时移的相关性质展开论述。

cost信号与系统的z变换在信号与系统的领域中，cost信号是一种周期信号，具有连续时间和离散时间两种形式。

cost信号是一种正弦信号的变体，其数学表达式可以表示为：x(t) = A * cos(ωt + θ)其中，A表示振幅，ω表示角频率，t表示时间，θ表示相位。

在连续时间下，cost信号的频谱是一个连续的函数，可以使用连续时间傅里叶变换来表示。

然而，在离散时间下，我们需要使用离散时间傅里叶变换（DTFT）来描述cost信号的频谱。

离散时间傅里叶变换是一种将离散时间信号转换到z域的变换方法。

z域是一个复平面，用于表示离散时间信号的频谱。

在z域中，cost信号的变换可以表示为：X(z) = (1/2) * [z^(-e^(jω) + z^(e^(-jω))]其中，X(z)表示cost信号在z域的频谱，z表示复平面上的变量，e 表示自然对数的底数。

通过对cost信号进行z变换，我们可以得到其在z域中的频谱。

频谱是信号在频率域中的表示，可以帮助我们分析信号的频率成分和特性。

在实际应用中，z变换对于数字滤波器的设计和分析非常重要。

通过将滤波器的差分方程进行z变换，我们可以得到滤波器在z域中的传递函数，从而分析滤波器的频率响应和性能。

z变换还可以用于离散时间系统的稳定性分析。

在z域中，通过分析系统的极点位置，我们可以判断系统是否稳定。

稳定性是系统分析和设计中一个重要的考虑因素，它决定了系统的性能和可靠性。

总结起来，cost信号与系统的z变换是信号与系统理论中的重要内容。

z变换可以帮助我们分析信号的频谱、设计数字滤波器以及分析系统的稳定性。

对于深入理解信号与系统的原理和应用具有重要意义。

通过学习和掌握z变换，我们可以更好地理解和应用信号与系统的知识。

第3章 离散时间傅里叶变换在信号与系统中，分析连续时间信号可以采用时域分析方法和频域分析方法，它们之间是通过连续时间的傅里叶变换来完成从时域到频域的变换，它们之间是完成了一种域的变换，从而拓宽了分析连续时间信号的途径。

与连续时间系统的分析类似，在离散时间系统中，也可以采用离散傅里叶变换，将时间域信号转换到频率域进行分析，这样，不但可以得到离散时间信号的频谱，而且也可以使离散时间信号的分析方法更具有多元化。

本章将介绍离散时间系统的频域分析方法。

3.1 非周期序列的傅里叶变换及性质3.1.1 非周期序列傅里叶变换1．定义一个离散时间非周期信号与其频谱之间的关系，可用序列的傅里叶变换来表示。

若设离散时间非周期信号为序列)(n x ，则序列)(n x 的傅里叶变换(DTFT)为：正变换： ∑∞-∞=ω-ω==n nj j en x e X n x DTFT )()()]([ (3-1-1)反变换： ⎰ππ-ωωω-ωπ==d e e X n x e X DTFT n j j j )(21)()]([1 (3-1-2)记为：)()(ω−→←j Fe X n x当然式(3-1-2)等式右端的积分区间可以是)2,0(π或其它任何一个周期。

[例3-1] 设序列)(n x 的波形如图3-1所示，求)(n x 的傅里叶变换)(ωj e X解：由定义式(3-1-1)可得ωω=--=--===ω-ω-ωω-ω-ωω-ω-ω-ω-=ω-∞-∞=ω∑∑21sin 3sin )()(11)()(25212121333656j j j j j j j j j nj n nj n j ee e e e e e e e een R e X 2．离散时间序列傅里叶变换存在的条件：离散时间序列)(n x 的傅里叶变换存在且连续的条件为)(n x 满足绝对可和。

即：∞<∑∞-∞=)(n x n （3-1-3）反之，序列的傅里叶变换存在且连续，则序列一定是绝对可和的。

离散时间傅⾥叶变换1. 离散时间傅⾥叶变换的导出针对离散时间⾮周期序列，为了建⽴它的傅⾥叶变换表⽰，我们将采⽤与连续情况下完全类似的步骤进⾏。

考虑某⼀序列x[n]，它具有有限持续期；也就是说，对于某个整数N1和N2，在 −N1⩽以外，x[n]=0。

下图给出了这种类型的⼀个信号。

由这个⾮周期信号可以构成⼀个周期序列\tilde x[n]，使x[n]就是\tilde x[n]的⼀个周期。

随着N的增⼤，x[n]就在⼀个更长的时间间隔内与\tilde x[n]相⼀致。

⽽当N\to \infty，对任意有限时间值n⽽⾔，有\tilde x[n]=x[n]。

现在我们来考虑⼀下\tilde x[n]的傅⾥叶级数表⽰式\tag{1}\tilde x[n] = \sum_{k=(N)}a_ke^{jk{(2\pi/N)}n}\tag{2}a_k = \frac{1}{N} \sum_{n=(N)} \tilde x[n]e^{-jk{(2\pi/N)}n}因为在-N_1 \leqslant N \leqslant N_2区间的⼀个周期上\tilde x[n]=x[n]，因此我们将上式的求和区间就选在这个周期上\tag{3}a_k = \frac{1}{N} \sum_{n=-N_1}^{N_2} x[n]e^{-jk{(2\pi/N)}n} = \frac{1}{N} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[n]e^{-jk{(2\pi/N)}n}现定义函数\tag{4}X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]e^{-j\omega n}可见这些系数a_k正⽐于X(e^{j\omega})的各样本值，即\tag{5}a_k = \frac{1}{N}X(e^{jk\omega_0})式中，\omega_0=2\pi/N⽤来记作在频域中的样本间隔。

离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换摘要本文主要介绍了离散时间信号的离散时间傅里叶变换及离散傅里叶变换，说明其在频域的具体表示和分析，并通过定义的方法和矩阵形式的表示来给出其具体的计算方法。

同时还介绍了与离散时间傅里叶变换（DTFT ）和离散傅里叶变换（DFT ）相关的线性卷积与圆周卷积，并讲述它们之间的联系，从而给出了用圆周卷积计算线性卷积的方法，即用离散傅里叶变换实现线性卷积。

1. 离散时间傅里叶变换1.1离散时间傅里叶变换及其逆变换离散时间傅里叶变换为离散时间序列x[n]的傅里叶变换，是以复指数序列｛｝的序列来表示的（可对应于三角函数序列），相当于傅里叶级数的展n j e ω-开，为离散时间信号和线性时不变系统提供了一种频域表示，其中是实频率ω变量。

时间序列x[n]的离散时间傅里叶变换定义如下：)(ωj e X （1.1）∑∞-∞=-=nnj j e n x e X ωω][)(通常是实变量的复数函数同时也是周期为的周期函数，并且)(ωj e X ωπ2的幅度函数和实部是的偶函数，而其相位函数和虚部是的奇函数。

)(ωj e X ωω这是由于：（1.2）)()()(tan )()()()(sin )()()(cos )()(222ωωωωωωωωωωθωθωθj re j im j im j re j j j im j j re e X e X e X e X e X e X e X e X e X =+===由于式（1.1）中的傅里叶系数x[n]可以用下面给出的傅里叶积分从中算出：)(ωj e X 1（1.3）ωπωππωd e eX n x n j j )(21][⎰-=故可以称该式为离散时间傅里叶逆变换（IDTFT ），则式（1.1）和（1.3）构成了序列x[n]的离散时间傅里叶变换对。

上述定义给出了计算DTFT 的方法，对于大多数时间序列其DTFT 可以用收敛的几何级数形式表示，例如序列x[n]=,此时其傅里叶变换可以写成简单n α的封闭形式。

连续时间信号与系统的频域分析报告1. 引言连续时间信号与系统的频域分析是信号与系统理论中的重要分支，通过将信号和系统转换到频域，可以更好地理解和分析信号的频谱特性。

本报告将对连续时间信号与系统的频域分析进行详细介绍，并通过实例进行说明。

2. 连续时间信号的频域表示连续时间信号可以通过傅里叶变换将其转换到频域。

傅里叶变换将信号分解成一系列不同频率的正弦和余弦波的和。

具体来说，对于连续时间信号x(t)，其傅里叶变换表示为X(ω)，其中ω表示频率。

3. 连续时间系统的频域表示连续时间系统可以通过频域中的频率响应来描述。

频率响应是系统对不同频率输入信号的响应情况。

通过系统函数H(ω)可以计算系统的频率响应。

系统函数是频域中系统输出与输入之比的函数，也可以通过傅里叶变换来表示。

4. 连续时间信号的频域分析频域分析可以帮助我们更好地理解信号的频谱特性。

通过频域分析，我们可以获取信号的频率成分、频谱特性以及信号与系统之间的关系。

常用的频域分析方法包括功率谱密度估计、谱线估计等。

5. 连续时间系统的频域分析频域分析也可以用于系统的性能评估和系统设计。

通过分析系统的频响特性，我们可以了解系统在不同频率下的增益和相位变化情况，进而可以对系统进行优化和设计。

6. 实例分析以音频信号的频域分析为例，我们可以通过对音频信号进行傅里叶变换，将其转换到频域。

通过频域分析，我们可以获取音频信号的频谱图，从而了解音频信号的频率成分和频率能量分布情况。

进一步，我们可以对音频信号进行系统设计和处理，比如对音乐进行均衡、滤波等操作。

7. 结论连续时间信号与系统的频域分析是信号与系统理论中重要的内容，通过对信号和系统进行频域分析，可以更好地理解和分析信号的频谱特性。

频域分析也可以用于系统的性能评估和系统设计，对于音频信号的处理和优化具有重要意义。

总结：通过本报告，我们了解了连续时间信号与系统的频域分析的基本原理和方法。

频域分析可以帮助我们更好地理解信号的频谱特性和系统的频响特性，对系统设计和信号处理具有重要意义。

傅里叶变换的原理傅里叶变换是一种将一个信号在时域与频域之间进行转换的数学工具。

它把一个时域上的信号分解成许多不同频率的正弦波组成的频谱，从而可以分析信号的频率分量和相对强度。

傅里叶变换几乎应用于所有领域，包括信号处理、图像处理、通信系统、物理学、工程学等，它被认为是现代科学中最重要的数学工具之一F(ω) = ∫f(t)e^(-jωt)dt其中，F(ω)表示原始信号f(t)在频域上的表示，ω是角频率，j是虚数单位，e是自然常数。

这个公式表示的是原始信号f(t)在不同频率上的分量通过复指数函数（e^(-jωt)）与时间域上的积分来表示。

在实际应用中，傅里叶变换有两种形式：连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。

连续傅里叶变换（CFT）用于连续信号的处理，而离散傅里叶变换（DFT）用于离散信号的处理。

在连续傅里叶变换中，信号f(t)是一个连续的函数，时间t也是连续的。

连续傅里叶变换将信号f(t)分解成指数级数的形式，振幅和相位响应表示了信号在不同频率上的分量。

在离散傅里叶变换中，信号f[n]是一个离散的序列。

离散傅里叶变换将信号f[n]分解成等间隔采样的频率组成的谱。

离散傅里叶变换可以通过快速傅里叶变换（FFT）算法来高效计算。

傅里叶变换的应用非常广泛。

在信号处理中，傅里叶变换可以用于滤波、频谱分析、噪声消除等。

在通信系统中，傅里叶变换可以用于信号调制和解调、频谱分析、信号重构等。

在图像处理中，傅里叶变换可以用于图像压缩、图像滤波、频域增强等。

在物理学和工程领域中，傅里叶变换可以用于信号采集和分析、波动方程的解析等。

总之，傅里叶变换是一种非常重要的数学工具，它将信号从时域转换到频域，为信号处理和分析提供了丰富的工具和方法。

通过傅里叶变换，我们可以更好地理解和处理各种类型的信号，从而在各个领域中提高信号处理和分析的效率和质量。

信号与系统_湘潭大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.设连续时间信号x(t)的傅里叶变换【图片】，则x(t)=答案:2.卷积运算计算的是线性时不变系统的答案:零状态响应3.下列现象应用的的混频现象的是答案:频闪器_采样示波器_大篷车轮效应4.以下属于离散时间系统的频率响应函数的求解方法的是答案:由系统的单位脉冲响应函数求解_由系统的输入输出信号求解_由系统的差分方程求解_由系统的互联情况求解5.帕斯瓦尔定理表明信号的能量既可以在时域求得，也可以在频域求得。

答案:正确6.四种傅里叶分析方法包括答案:连续时间傅里叶级数_离散时间傅里叶级数_连续时间傅里叶变换_离散时间傅里叶变换7.时域是实偶序列，其频域也是实偶函数。

答案:正确8.一个离散的非周期信号的频谱是答案:连续的周期谱9.有关信号、电路、系统的关系，以下描述正确的是答案:电路和系统是为传送信号进行加工处理而构成的某种组合。

_信号必定是由系统产生、发送、传输与接收。

_离开系统没有孤立存在的信号。

10.设输入为x1(t)、x2(t)时系统产生的响应分别是y1(t)、y2(t)，并设a、b为任意实常数，若系统具有如下性质ax1(t)+bx2(t)【图片】ay1(t)+by2(t)，则系统为答案:线性系统11.下列各表达式正确的是答案:(t-1)= -12.关于系统记忆性的描述，正确的是答案:系统的输出取决于过去的输入或将来的输入。

_一般含有记忆元件（电容器、电感、磁芯、寄存器）的系统都是记忆系统。

_具有记忆性质的系统称为记忆系统13.离散时间傅里叶变换就是单位圆上的z变换。

答案:正确14.从系统的因果性和记忆性来看，y[n]=x[-n]是（）、（）系统。

答案:非因果_记忆性15.周期序列2cos[1.5【图片】n+45]的周期N等于答案:416.连续时间系统的单位冲激响应随系统的输入信号的变化而变化。

答案:错误17.单位冲激响应函数是指系统对输入为（）的零状态响应。

傅里叶变换一、傅里叶变换的表述在数学上，对任意函数f（x），可按某一点进行展开，常见的有泰勒展开和傅里叶展开.泰勒展开为各阶次幂函数的线性组合形式,本质上自变量未改变,仍为x,而傅里叶展开则为三角函数的线性组合形式,同时将自变量由x变成ω,且由于三角函数处理比较简单,具有良好的性质,故被广泛地应用在信号分析与处理中,可将时域分析变换到频域进行分析。

信号分析与处理中常见的有CFS（连续时间傅里叶级数)、CFT （连续时间傅里叶变换）、DTFT（离散时间傅里叶变换)、DFS(离散傅里叶级数）、DFT（离散傅里叶变换)。

通过对连续非周期信号x c（t)在时域和频域进行各种处理变换,可推导出以上几种变换,同时可得出这些变换之间的关系。

以下将对上述变换进行简述，同时分析它们之间的关系。

1、CFS(连续时间傅里叶级数）在数学中，周期函数f(x）可展开为由此类比，已知连续周期信号x（t)，周期为T0，则其傅里叶级数为其中，为了简写，有其中，为了与复数形式联系，先由欧拉公式e j z=cos z+jsin z得故有令则对于D n，有n≤0时同理.故CFS图示如下：Figure 错误!未定义书签。

理论上，CFS对于周期性信号x（t）在任意处展开都可以做到无误差，只要保证n从-∞取到+∞就可以。

在实践中，只要n取值范围足够大,就可以保证在某一点附近对x(t）展开都有很高的精度。

2、CFT（连续时间傅里叶变换)连续非周期信号x（t），可以将其看成一连续周期信号的周期T0→∞。

当然，从时域上也可以反过来看成x（t)的周期延拓。

将x（t)进行CFS展开,有若令则有T0→∞使得Ω0→0，则由此,定义傅里叶变换与其逆变换如下CFT:CFT-1：x（t)是信号的时域表现形式,X（jΩ）是信号的频域表现形式，二者本质上是统一的，相互间可以转换。

CFT即将x（t）分解,并按频率顺序展开,使其成为频率的函数。

上式中，时域自变量t的单位为秒（s），频域自变量Ω的单位为弧度/秒（rad/s）.CFS中的D n与CFT中的X（jΩ）之间有如下关系即从频域上分析,D n是对X（jΩ)的采样（可将Figure 1与Figure 2进行对比）.CFT图示如下：Figure 错误!未定义书签。

傅里叶变换的变换对对于N点序列{x[n ]} 0 ≤ n < N ，它的离散傅里叶变换（DFT）为? x [k ] = N - 1 Σ n = 0 e - i 2 π –––––N n k x[n ] k = 0,1, …,N-1. 其中e 是自然对数的底数，i 是虚数单位。

通常以符号F表示这一变换，即? x = Fx 离散傅里叶变换的逆变换（IDFT）为：x[n ] = 1 ––N N - 1 Σ k = 0 e i 2 π –––––N nk ? x [k ] n = 0,1, …,N-1. 可以记为：x = F -1 ? x 实际上，DFT和IDFT变换式中和式前面乘上的归一化系数并不重要。

在上面的定义中，DFT和IDFT前的系数分别为 1 和1/N。

有时会将这两个系数都改成1/ √ ––N ，这样就有x = FFx，即DFT成为酉变换。

从连续到离散连续时间信号x(t) 以及它的连续傅里叶变换（CT）? x ( ω) 都是连续的。

由于数字系统只能处理有限长的、离散的信号，因此必须将x 和? x 都离散化，并且建立对应于连续傅里叶变换的映射。

数字系统只能处理有限长的信号，为此假设x(t)时限于[0, L]，再通过时域采样将x(t) 离散化，就可以得到有限长的离散信号。

设采样周期为T，则时域采样点数N=L/T。

x discrete (t) = x (t) N - 1 Σ n = 0 δ(t-nT) = N - 1 Σ n = 0 x (nT) δ(t-nT) 它的傅里叶变换为? x discrete ( ω) = N - 1 Σ n = 0 x (nT)F δ(t-nT) = 1 ––T N - 1 Σ n = 0 x (nT)e - i 2 π n ω T 这就是x(t)时域采样的连续傅里叶变换，也就是离散时间傅里叶变换，它在频域依然是连续的。

类似的，频域信号也应当在带限、离散化之后才能由数字系统处理。

信号与系统四种重要变换的联系和区别作者：林晓伟来源：《知识文库》2019年第20期1 四种重要变换的概念联系信号的主要作用为传播信息，因此人们对信号的关注重点为该信号所携带的信息。

而信号所携带的信息存在于其各个频率分量中。

所以我们在第三章中讨论了周期信号的傅里叶级数分析，以傅里叶级数的方式分析了周期信号各频率分量所占的比重。

然而，在自然界中，我们所遇到的信号不可能是理想的周期信号，而是有限能量的信号。

因此，我们将周期信号的傅里叶级数推广到了非周期的有限能量信号的傅里叶变换。

随着时代的发展，我们对信号的需求由连续时间的模拟信号转移到了离散时间的数字信号中（模拟信号刚干扰能力较差，取样频率大于二倍的奈奎斯特频率信号就不会失真）。

所以我们的研究方向从连续时间信号（模拟信号）傅里叶变换转移到了离散时间信号（数字信号）傅里叶变换中。

傅里叶分析可以解决信号分析中的许多问题，然而傅里叶分析也有其局限之处。

例如，傅里叶分析并不能适用于不稳定信号的分析。

因此我们需要将傅里叶分析进一步推广。

相应的，连续时间傅里叶分析推广到了拉普拉斯变换;离散时间傅里叶变换推广到了z变换。

这两种变换与傅里叶变换共有的代数性质组合在一起，就形成了一整套重要的系统分析工具。

以上是DTFT、CTFT、LT与ZT的简要概述及其概念上的联系。

可以简述为：将CTFT 推广可得到LT，将DTFT推广可得到ZT，而将CTFT离散化可得到DTFT，将LT离散化可得到ZT。

2 四种重要变换的具体联系四种变换都具有相似的性质，具体为线性、时移、频移、共轭、时间反转、时间尺度变换、时域微分，积分（离散形式为差分）、频域微分，积分等。

以综合等式及分析等式为基础，运用这些性质可以获得一系列基本变换对，并由这些基本变换对得到一系列变换对从而对信号进行高效的分析。

可以简要的说明：拉普拉斯变换将频域从实数推广到了复数，频域也从实轴推广到了复平面，因此连续时间傅里叶变换成为了拉普拉斯变换的一种特例。

e-a丨t丨的傅里叶变换1.引言1.1 概述在现代科学和工程领域中，傅里叶变换是一种广泛应用的数学工具。

在电子信号处理、图像处理、物理学、工程学和许多其他领域中，傅里叶变换被广泛使用来分析和处理信号和数据。

e-a丨t丨是一个具有周期性的函数，其中e是自然对数的底数，a 是一个实数，t是时间。

这个函数在一定范围内相对较简单，但在频谱分析中，傅里叶变换可以将其分解为一系列复数形式的正弦和余弦函数，从而提供了更深入的理解。

傅里叶变换的原理是基于将一个函数表示为一组正弦和余弦函数的叠加。

通过分解函数的频域特性，我们可以获得信号在不同频率上的能量分布情况，从而描述和分析信号的频谱特征。

本文将通过介绍e-a丨t丨的基本概念以及傅里叶变换的原理，探讨这两者之间的关系。

我们将探讨e-a丨t丨的周期性属性以及傅里叶级数中的正弦和余弦函数与e-a丨t丨的关系。

同时，我们将介绍傅里叶变换的数学表达式和计算方法，以及其在信号处理中的应用。

通过本文的学习，读者将能够理解e-a丨t丨的周期性特性以及傅里叶变换的原理，并了解傅里叶变换在实际应用中的重要性。

我们将探索傅里叶变换的应用领域，并总结本文的主要内容。

在正文部分，我们将详细介绍e-a丨t丨的基本概念以及傅里叶变换的原理。

我们将通过数学推导和实例来解释这些概念，并提供一些实际应用的案例。

最后，在结论部分，我们将总结本文的主要内容，并探讨e-a 丨t丨的傅里叶变换在不同领域中的应用前景。

接下来，让我们深入探讨e-a丨t丨的基本概念。

1.2文章结构1.2 文章结构本文主要分为三个部分：引言、正文和结论。

引言部分介绍了本文的背景和目的。

首先，我们将对文章的主题进行概述，说明e-a丨t丨的基本概念以及傅里叶变换的原理。

接下来，我们将详细介绍傅里叶变换的应用，包括在e-a丨t丨中的应用。

最后，我们将总结全文并提出进一步研究的方向。

正文部分将重点探讨e-a丨t丨的基本概念和傅里叶变换的原理。

连续时间傅立叶变换与离散时间傅里叶变换之间的关系对于连续限带（B ）的时间信号x (t)，在满足奈奎斯特抽样定理的条件下进行抽样（抽样频率f s =1/T s = 2B'>2B ），其样点为x n =x (nT s )。

可以由样点序列进行内插来恢复原始信号x (t)：()()()sin 2')s nx t x nT c B t n =-∑ (1)证明：抽样采用理想冲击脉冲串：()()s T s t t nT δδ=-∑()()()s s T x t x t t δ=()()ssnx nT t nT δ=-∑ (2)其中2B'=1/T s 。

由傅里叶变换的频域卷积性质，理想抽样信号x s (t)的傅里叶变换为：1()()s k ss k X f X f f T T δ⎛⎫=*- ⎪⎝⎭∑ (3) 其中*表示连续的卷积运算。

于是得到()1s k ss k X f X f T T ⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑sks k f X f T ⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑(4)即理想抽样信号在频域是原信号x (t)傅里叶变换（频谱密度）的周期性位移，周期为1/T s 。

其中更详细的原理请参看经典课本：奥本海姆（《信号与系统》）/樊昌信先生（《通信原理》）/周炯盘先生（《通信原理》）。

本文目的是架起连续时间傅里叶变换和离散时间傅里叶变换的桥梁，这在很多课本中都是省略掉的；对抽样定理不再赘述。

在频域k=0处对抽样信号进行理想低通滤波，滤波器带宽为B'>B 。

理想低通滤波器的频率响应为矩形窗函数H(f)=()2'fB ∏，它对应的时域单位冲激响应函数h(t)=2B'sinc(2B't)为内插函数。

其中内插函数sinc 函数的定义为：()()sin sin x c x xππ=(5) 于是有()()1()s sX f X f H f f =(6) 对上式作傅立叶反变换，利用变换的卷积性质，以及h (t)的定义，得()()()s s x t T x t h t =* (7) 把T s h(t)作为新的h'(t)，即h'(t)=2B'T s sinc(2B't)= sinc(2B't)，则()()()'s x t x t h t =* (7')代入x s (t)的表达式(2)，以及h'(t)的表达式，到(7)中，得()()()'()s s n x t h t x nT t nT δ⎡⎤=*-⎢⎥⎣⎦∑()()()2'sinc 2B't *s s n B T x nT t nT δ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦∑()s nx nT =∑()()sin 2's c B t nT -()()s i n 2's nx n T c B t n =-∑ （8） ()'()s s nx nT h t nT =-∑ (8’) （8）式即为内插公式。

8、线性相位FIR 数字滤波器的单位脉冲响应h(n ) 应满足条件h(n)= 士h(N -n - 1)。

9. IIR 数字滤波器的基本结构中，直接型运算累积误差较大；级联型运算累积误差较小；并联型运算误差最小且运算速度最高。

10. 数字滤波器按功能分包括低通、高通、带通、带阻滤波器。

11. 若滤波器通带内群延迟响应 = 常数，则为线性相位滤波器12. x(n)= A cos(| 3n)|的周期为 14\ 7 )13. 求 z 反变换通常有围线积分法 (留数法)、部分分式法、长除法等。

第 1 页共 7 页A. 零点为z= ，极点为 z=0B. 零点为z=0，极点为z=C. 零点为z= ，极点为 z=1D. 零点为z= ，极点为z=24.下列各种滤波器的结构中哪种不是IIR 滤波器的基本结构？ (CA.直接型B.级联型C.频率抽样型D.并联型5.以下关于用双线性变换法设计IIR 滤波器的论述中正确的是( B )。

A.数字频率与模拟频率之间呈线性关系B.总是将稳定的模拟滤波器映射为一个稳定的数字滤波器C.使用的变换是s 平面到 z 平面的多值映射D.不宜用来设计高通和带阻滤波器6.对连续信号均匀采样时，采样角频率为Ωs，信号最高截止频率为Ωc，折叠频率为( D )。

A. ΩsB. ΩcC. Ωc/2D. Ωs/2 7．下列对 IIR 滤波器特点的论述中错误的是( C )。

A．系统的单位冲激响应h(n)是无限长的 B.结构必是递归型的C.肯定是稳定的D.系统函数H(z)在有限 z 平面 (0<|z|<∞ )上有极点第 2 页共 7 页8. δ (n)的 z 变换是 ( A )。

A. 1B. δ (w)C. 2 πδ (w)D. 2 π9.设x(n) , y(n) 的傅里叶变换分别是X(e j O ), Y(e j O )，则x(n) . y(n) 的傅里叶变换为 ( D ) .A. X(e j O ) *Y(e j O )B. X(ej O ) .Y(e j O )C．X(e j O ) . Y(e j O )D.X(e j O )*Y(e j O )10.一个线性移不变系统稳定的充分必要条件是其系统函数的收敛域包括( A )。

知识文库 第20期238信号与系统四种重要变换的联系和区别林晓伟1 四种重要变换的概念联系信号的主要作用为传播信息，因此人们对信号的关注重点为该信号所携带的信息。

而信号所携带的信息存在于其各个频率分量中。

所以我们在第三章中讨论了周期信号的傅里叶级数分析，以傅里叶级数的方式分析了周期信号各频率分量所占的比重。

然而，在自然界中，我们所遇到的信号不可能是理想的周期信号，而是有限能量的信号。

因此，我们将周期信号的傅里叶级数推广到了非周期的有限能量信号的傅里叶变换。

随着时代的发展，我们对信号的需求由连续时间的模拟信号转移到了离散时间的数字信号中（模拟信号刚干扰能力较差，取样频率大于二倍的奈奎斯特频率信号就不会失真）。

所以我们的研究方向从连续时间信号（模拟信号）傅里叶变换转移到了离散时间信号（数字信号）傅里叶变换中。

傅里叶分析可以解决信号分析中的许多问题，然而傅里叶分析也有其局限之处。

例如，傅里叶分析并不能适用于不稳定信号的分析。

因此我们需要将傅里叶分析进一步推广。

相应的，连续时间傅里叶分析推广到了拉普拉斯变换；离散时间傅里叶变换推广到了z 变换。

这两种变换与傅里叶变换共有的代数性质组合在一起，就形成了一整套重要的系统分析工具。

以上是DTFT、CTFT、LT 与ZT 的简要概述及其概念上的联系。

可以简述为：将CTFT 推广可得到LT，将DTFT 推广可得到ZT，而将CTFT 离散化可得到DTFT，将LT 离散化可得到ZT。

2 四种重要变换的具体联系四种变换都具有相似的性质，具体为线性、时移、频移、共轭、时间反转、时间尺度变换、时域微分，积分（离散形式为差分）、频域微分，积分等。

以综合等式及分析等式为基础，运用这些性质可以获得一系列基本变换对，并由这些基本变换对得到一系列变换对从而对信号进行高效的分析。

可以简要的说明：拉普拉斯变换将频域从实数推广到了复数，频域也从实轴推广到了复平面，因此连续时间傅里叶变换成为了拉普拉斯变换的一种特例。