《一元微积分A上》2015-2016 学年第一学期

（勤奋、求是、创新、奉献）2012 ～ 2013学年第一学期考试 2012. 11课程代码 210151 班级 姓名___ ______ 学号 ___ _________一元微积分A （上）试卷（本卷考试时间 120 分钟）题号一二三 四 五 六七 八 九 十 十一 十二总 分分值 20分18分5分 5分 6分 5 分5分 6分 7分 9分 8分 6分 100分得 分一、填空题（每小题4分，共5小题20分）1. 极限233632lim 15n n n n→∞++=+ ．2. 3. 设2sin ln3y x =+, 则dy = dx .4. 设函数()(1)(2)(3)(4)(5)f x x x x x x =-----，则方程()0f x '=正好有 个实根.5. 函数23x y xe =+的驻点是x = .二、单项选择题（每小题3分，共6小题18分）2t a n 2,00.,0xx y x k xk x x ⎧<⎪===⎨⎪+≥⎩设函数在点连续，则()y f x =O yx2-2()y f x =O yx 2-2O yx 2-2()y f x =Oyx -22-11()y f x =1. 下列极限中存在的是（ ）. A. 11lim 2xx →-； B. 01lim sinx x→； C. 11lim 1x x →-； D. lim arctan x x →∞．2. 设质点的运动方程为)sin(θω+=t A s ，其中,,A ωθ为常数，则（ ）成立.A. 0ds s dt ω+=;B. 2220d s s dt ω+=; C. 220d s ds dt dt ω+=; D. 220d s ds dt dt+=． 3. 函数21()lim1nn xf x x →∞+=+有（ ）个间断点.A. 3;B. 2;C. 1;D. 0.4．在区间[1,1]-上满足罗尔定理条件的函数是（ ）. A. 41()f x x=； B. 2()1f x x =+； C . ()tan f x x =； D .()||f x x =. 5. 设函数()f x 可导，且0lim ()1x f x →'=，则0x =是函数()f x 的（ ） A ．零点; B ．驻点; C ．极值点; D ．以上都不是.6. 设函数()f x 可导，在(,2)-∞-上()0f x '>，在(2,2)-上()0f x '<，在(2,)+∞上()0f x '>，则此函数的图形是( ).A ．B ．C. D ．三、（5分）求极限30sin 21lim x x x e x→+-.四、（5分）设sin tan arccos ln 2xy x x x x =+++，求dxdy .五、（6分）设 sin cos ,cos sin ,x t t t y t t t =-⎧⎨=+⎩， 求4t dydx π=，22d y dx．六、（5分）方程35y y xe x +=确定y 为x 的函数，求出它在1,0x y ==处的导数.七、（5分）一球形物体收缩时，其半径以2cm/s 的速率缩短，试求半径为４m 时，该球形物体体积的变化率.八、(6分) 设函数)(x f ln(2),0sin 2,0ax x x b x +≤⎧=⎨+>⎩，问b a ,为何值时，(1) )(x f 在0=x 连续； (2) )(x f 在0=x 可导；(3) )(x f 在0=x 可导时，求出)(x f '．九、（7分）设曲线c bx ax x y +++=23过)0,1(点，且在该点与直线33+-=x y 相切，此外该函数)(x y y =在2-=x 取得极值，求常数c b a ,,的值.十、(9分)求曲线2ln=的凹凸区间与拐点.y x x十一、（8分）油脂公司要制作一个容积为16πkL的圆柱形储油罐，问应当如何确定油罐的底圆半径r和高h，才能使得造价最省？(体积单位与容积单位的换算公式：3=)1m1kL十二、(6分) 设函数)(x f 在],[b a 上可导，在),(b a 内有二阶导数，且()()0,()()0,f a f b f a f b ''==>试证明：在),(b a 内至少有两个点,ξη，使得()0,()0.f f ξη''==。

第四章 不定积分一、概念【理解原函数与不定积分的概念】若()()F x f x ¢=，则称()F x 是()f x 的一个原函数．()f x 的全体原函数称为()f x 的不定积分，记为()()f x dx F x C =+ò，其中()()F x f x ¢=．二、基本积分公式【掌握不定积分的基本公式】kdx kx C =+⎰ 11x x dx C μμμ+=++⎰ （1μ≠-）ln xxa a dx C a=+⎰ x x e dx e C =+⎰ 1ln dx x C x =+⎰ sin cos xdx x C =-+⎰ cos sin xdx x C =+⎰2sectan xdx x C =+⎰ 2csc cot xdx x C =-+⎰21arctan 1dx x C x =++⎰ arcsin x C =+sec ln sec tan xdx x x C =++⎰ csc ln csc cot xdx x x C =-+⎰ln(x C =+ln(x C =++2211arctan x dx C a x a a =++⎰ arcsin x C a=+ 三、求积分的四种方法 【掌握不定积分的凑微分法、第二换元法与分部积分法,会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分】1.公式法 【例1】 求22221111()arctan (1)1dx dx x C x x x x x=-=--+++⎰⎰. 【例2】 求 22tan (sec 1)tan xdx x dx x x C =-=-+⎰⎰.2.凑微分（第一换元法）： ()()f x dx df x ¢=． 常见凑法：11,11x dx dx μμμμ+=≠-+， 1()(0)dx d ax b a a =+≠ ，1ln dx d x x=，x xe dx de = ， sin cos xdx d x =- ， cos sin xdx d x =21arctan 1dx d x x=+， 2sec tan xdx d x =， 2csc cot xdx d x =- 【例1】 求 222221111()2222x x t t x t x xedx e d x e dt e C e C ---=-=---=-+=-+⎰⎰⎰.【例2】 求11(2ln )ln 2ln (2ln )2ln dx d x x C x x x =+=++++⎰⎰【例3】 求 2arctan 1x xxe dx e C e=++⎰. 【补例】 求 111ln(1)111x x x xx x x e e e dx dx dx x e C e e e ⎛⎫+-==+=+++ ⎪+++⎝⎭⎰⎰⎰【补例】 求 2221111ln(1)(1)(1)1(1)1x x x x x x x x x e e e dx dx dx x e C e e e e e ⎛⎫+-==-=++++ ⎪+++++⎝⎭⎰⎰⎰【例4】 求22arcsin x C =-=+.【例5】 求22211sin 11cos tan sec 1sin cos cos cos x dx dx dx d x x x C x x x x -==+=-++⎰⎰⎰⎰.【例6】 求C ==-=.【例7】 求211114()ln 3454151dx x dx C x x x x x -=-=+---++⎰⎰. （分母判别式大于零，拆分） ()22113arctan 6132243dx x dx C x x x -==+-++-⎰⎰【补例】（分母判别式小于零，配方）222222221(613)31(613)361326136132613613133ln 613arctan 222xdx x x d x x dx dx dxx x x x x x x x x x x x x C '-+-+=+=+-+-+-+-+-+-=-+++⎰⎰⎰⎰⎰【例8】【例9】 求32222322111(1)(1)2221(1)3x x x C ==+-+=+原式 (或令tan x t =)【例10】 求2arcsin 2x C -==+.3.分部积分公式：()()()()()()()f x dx u x dv x u x v x v x du x ==-⎰⎰⎰． 被积函数为“反对幂三指”的某两个相乘时，考虑用分部积分公式.选()u x 的原则：“反对幂三指”读在前面的作()u x ；或不易凑进去的作()u x ；若被积函数只有一项，该项即作为()u x ，总之要使右侧积分()()v x du x ⎰易求.【例1】 求x x x x x xxe dx xde xe e dx xe e C ==-=-+⎰⎰⎰.【例2】 求21ln(21)ln(21)ln(21)ln(21)212x x dx x x dx x x x x C x +=+-=+-++++⎰⎰ 【例3】求22222111arctan arctan arctan arctan arctan 2212x x xdx xdx x x dx x x x x x ==--++⎰⎰⎰（）=（）+C 【例4】 求 ln ax xdx ⎰ 分11a a =-⎧⎨≠-⎩两种情况讨论.【例5】 求 cos xe xdx ⎰cos cos cos cos cos sin cos sin cos (sin cos )x x x x x x x x x x xe xdx xde e x e d x e x e xdxe x xde e x e x e xdx ==-=+=+=+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰解：则 1cos (cos sin )2xxx e xdx e x e x C =++⎰.解：原式11(1)[]ln(1)111111x x xx x x x x x x x e e x xd dx dx x e C e e e e e e+-=-=--=-+=-+-++++++++⎰⎰⎰ 【例7】求 2tan x xdx ⎰2tan x sin (sec 1)tan tan x cos ln cos x x x x x dx xd x xdx x x dx x x C=⋅=-=-=⋅-++⎰⎰⎰⎰221-21-2【例8】 已知()f x 的一个原函数为2ln x ，求()xf x dx '⎰．解：由已知得： ()f x =212ln (ln )2ln x x x x x'=⋅= 2()ln f x dx x C =+⎰ 则222ln ()()()()ln 2ln ln xxf x dx xdf x xf x f x dx x x C x x C x'==-=⋅-+=-+⎰⎰⎰4.第二换元法：()x=()f x dx f j j j j ⅱ蝌令（t ）,dx=（t ）dt（t ）（t ）dt ．被积函数中含根号，若能用凑微分方法积分就用凑微分，若不能就用第二换元法把根号换掉．直接代换：f dx òt ， 倒代换： 令1x t=三角代换：f dx òf dx òf dx ò 令sin x a t =令tan x a t = 令sec x a t =（利用辅助三角形）【例1】 求222arctan 1dt t C C t -=-+=-+.【例2】 求t t t e dt te e C C ==-+=-+⎰⎰t.【例3】 求t = 则434x tdx t dt ==原式23333333444(ln(1))ln(1333411t t C t t t dt dt C t t -+++=⋅===++⎰⎰.t =， 则222ln(1)1tx t dx dt t=+=+原式222arctan 11t dt t C tC t ++==⋅=⎰. 【例5】 求解：令2sin x t = 则2cos dx tdt =2sin 24cos 2(1cos 2)2()2arcsin 222t x tdt t dt t C x C ==+=++=+⋅+⎰⎰【例6】 求1x=t 1arcsin arcsin t C C x -=-+=-+令. 注：本题还可令sec x t =t =【例7】 求解：令：tan x t = 2sec dx tdt = 则原式2sec tan arctan ln tan sec tan sec sec sec sec sec sec ln t t C x x Ct ttdt t t tdt td t t t tdt t t t ++=+⋅=⋅=⋅⋅==⋅-=⋅-⎰⎰⎰⎰ 【例8】()22arctan 1x dx x x +⎰解:令tan x t =，2sec dx tdt =，()2222222222arctan sec cot (csc 1)cot tan sec 21cot cot cot ln sin 22x t t dx tdt t tdt t t dt td t t t x x t tt t tdt t t t C ===-=--⋅+⎡⎤=---=-+-+=⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 则【例9】 （2009数2、3）计算不定积分ln(1dx ⎰211t x t =⇒=-2221ln(1)11ln(1ln(1)1111t dx t d dt t t t t +=+=-⋅---+⎰⎰⎰则22111112111ln 11411(1)412(1)t dt dt C t t t t t t t ⎡⎤-⋅=--=++⎢⎥-+-++++⎣⎦⎰⎰而2ln(1)111ln(1ln 1412(1)t t dx C t t t ++=+-+=--+⎰则【例10】求211t x t =⇒=-则222112212ln 111t t dt dt t C t t t -⎡⎤=-=-+=--+=⎢⎥--+⎣⎦⎰⎰【例11】2222sin cos dxa xb x +⎰解：00a b ≠⎧⎨≠⎩时，原式=22222tan 1tan 1arctan(tan )tan tan 1()d x d x a x C a x a x b b ab b b==+++⎰⎰ 00a b =⎧⎨≠⎩时，原式=2222sec 11tan tan x dx d x x C b b b ==+⎰⎰ 00a b ≠⎧⎨=⎩时，原式=2222csc 11cot cot x dx d x x C a a a =-=-+⎰⎰【例12】 21002100(1)1(1)x x dxx t t t dt --=--⋅=⎰⎰ . 【例13】 求()()()222(11)11111111xxx x x x xxe x e e e e e dx dx dx dx dx e d C x x x x x x x +-==-=+=++++++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰【例14】 求()2ln 1ln 11ln 1111xx dx xd dx x x x xx ==-⋅=----⎰⎰⎰其他代换（换元）：如万能公式222222212sin cos tan 21111x du u u uu tg dx x x x u u u u-=====+++-，，　，【例】 求22211222221sin 1(1)111tan 12dt dt dx C C t xx t t t t =⋅==-+=-++++++++⎰⎰⎰。

东华大学 2015----2016 学年第一学期月考试卷踏实学习，弘扬正气；诚信做人，诚实考试；作弊可耻，后果自负。

课程名称 一元微积分A （上） 考试教室教师 班号 姓名 学号一、填空题（每小题 3分，总计 30分 ） 1、函数1ln(12)y x =-的定义域为 ；2、1lim(1)xx x→∞-= ；3、11lim(sin sin )x x x x x→∞-= ； 4、3sin 10() , 00ax x e x f x x a xa x ⎧+-≠⎪===⎨⎪=⎩，当设在处连续，则 ，当 ； 5、已知0lim()x f x a →=存在，并且3x →=，则a = ； 6、设10()0x e x fx a x x ⎧+<=⎨+≥⎩，当a = 时，0lim ()x f x →存在；7、当lim nn n a n a →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭a =； 8、当0x →时，1-与1cos x －是等价无穷小，则=a __ __；9、220sin (2)lim ln(13)x x x →+= ；10、x →= .二、选择题（每小题4分，共20分）1、函数()f x 在[,]a b 上有界是()f x 在[,]a b 上连续的（ ）. A ．必要条件 B.充分条件 C. 充分必要条件 D.无关条件2、设函数20()100x e x f x x x ⎧≠⎪=-⎨⎪=⎩，则下列说法中正确的是（ ）.A ．()f x 有1个间断点 B. ()f x 有2个间断点 C. ()f x 有3个间断点 D. ()f x 无间断点. 3、当0x →时，下列函数中与x 是等价无穷小的是（ ）.A ．1cos x - B. 2tan x x + C. 13sin x x + D.. 4、下列命题中不正确的是( ).A ．数列极限lim lim n n l n n x a x a +→∞→∞=⇔=，其中l 为某个确定的正整数.B. 数列极限212lim lim lim =.n n n n n n x a x x a -→∞→∞→∞=⇔=C. 数列{}n x 极限存在，则{}n x 有界.D. 数列极限lim n n x a →∞=的充要条件是a 的任何领域内都有{}n x 的无穷多项.5、函数210()00102x x f x x x x⎧⎪-≤<⎪==⎨⎪⎪<≤⎩的连续区间为（ ）A ．[1,2]- B. (,)-∞+∞ C. [1,0)(0,2]- D. (1,0)(0,2)-.三、计算下列极限（每小题 5 分，总计20分 ） 1、12sin 0lim(1)xx x x →++2、lim x →+∞-3、2221lim(cos )x x x x→∞+4、利用夹逼准则计算 22212lim()12n nn n n n n n n→∞+++++++++.四、(8分)用函数极限的εδ→定义证明：1limln 0x x →=.五、 (12分)求2ln||()32x f x x x =-+的间断点，并指出类型.六、 (10分)设函数()f x 在区间[0,2]l 上连续，且(0)(2)f f l =，证明：在[0,]l 上至少存在一点ξ，使()()f f l ξξ=+.东华大学 2015----2016 学年第一学期月考试卷踏实学习，弘扬正气；诚信做人，诚实考试；作弊可耻，后果自负。

第一章 函数、极限、连续重点：1、求函数的极限（最重要的方法是L ’P 法则）2、无穷小的比较3、考察分段函数在分段点的连续性4、间断点的判定及分类5、介值定理 一、函数1、函数的定义及表示法【理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立简单应用问题的函数关系式】 函数概念 ()y f x =函数的两要素 ⎧⎨⎩定义域对应规则函数的表示方法① 显函数： ()y f x =② 隐函数：由方程(,)0F x y =确定的函数()y y x =.例：1yy xe +=确定了()y y x =⇒01x y==．③ 参数方程表示的函数：由方程()()x x t y y t =⎧⎨=⎩确定的函数()y y x =.例：2ln(1)arctan x t y t⎧=+⎨=⎩ 确定了()y f x =.④ 积分上限函数： ()()xax f t dt Φ=⎰．例：2311()(1)3xx t dt x Φ==-⎰⑤ 概率表示的函数：()()F x P X x =≤， 其中X 为随机变量，x 为实数.⑥ 分段函数：自变量不同范围内用不同式子表示的一个函数．【例】 ,0()sin ,0a x x f x x x x +≥⎧⎪=⎨<⎪⎩ ； 1sin ,0()0,0x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ .如 A. 绝对值表示的函数 11111x x y x xx -≥⎧=-=⎨-<⎩ ；B. 极限表示的函数 2211()lim111nnn x x x f x x x x x x →∞⎧<-⎪=⋅==⎨+⎪->⎩； C. 其他形式 2022101()max{1,}12x x f x x xx ≤≤≤≤⎧==⎨<≤⎩ ．10sgn()0010x y x x x >⎧⎪===⎨⎪-<⎩-------符号函数[]y x =--取整函数．2、函数的性质 【了解函数的有界性，单调性，周期性，奇偶性】①．有界性：()f x 在某区间I 内有定义，若存在0M >，对任意x I ∈，总有()f x M ≤， 则称()f x 在某区间I 内有界.否则称()f x 在某区间I 内无界.例：2111sin1,(0);arctan ,();,1,()2121xx x x x R x R xx e π≤≠≤∈≤<∈++． ②．单调性：()f x 在某区间I 内有定义，若12,x x I ∀∈，当12x x <时12()()f x f x ≤，就称()f x 单调上升；当12x x <时，12()()f x f x ≥，就称()f x 单调下降． 不含等号时称严格单增（或单减）.③．奇偶性：若()()f x f x -=， 则称()f x 为偶函数，偶函数的图形关于y 轴对称； 若()()f x f x -=-，则称()f x 为奇函数，奇函数的图形关于原点对称．④．周期性：()()(0)f x T f x T +=≠． （主要是三角函数）【例1】讨论()ln(f x x =的奇偶性． 【奇函数】 【例2】 设sin ()tan xf x x x e=⋅⋅，则()f x 是（ ）．A. 偶函数B. 无界函数C. 周期函数D. 单调函数． 【解】 因为 2x k ππ→+时， ()f x →∞，所以()f x 非有界即为无界函数.3、 基本初等函数 【掌握基本初等函数的性质及图形】 （反、对、幂、三、指）① 常数函数---y C =② 幂函数---y x μ= （μ为常数）例：21,y x y y x===③ 指数函数---xy a = （0,1a a >≠） ，xy e =④ 对数函数---log a y x = （0,1a a >≠） ， ln y x =， lg y x = ⑤ 三角函数---sin ,cos ,tan y x y x y x===⑥ 反三角函数---arcsin ,arctan y x y x==4、 复合函数、反函数、初等函数 【了解反函数和隐函数的概念，理解复合函数及分段函数的概 念，了解初等函数的概念】① 复合函数 (),()[()y f uu x y f x ϕϕ==⇒=；f 为外层函数，ϕ称为内层函数．② 反函数 ()y y x =的反函数为1()x fy -=或1()y fx -=.【例】3y x x y =⇒=⇒3y x =的反函数.【例】 sin xy e= 看作是由 ,sin uy e u x == 复合而成的复合函数.③ 初等函数：由六类基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合运算而得的用一个数学式子 表示的函数. 注意：分段函数一般不是初等函数。

一元微积分大一知识点总结微积分是数学的一个重要分支，包括微分学和积分学两个部分。

在大一学习微积分的过程中，我们需要掌握一些基本的概念、理论和技巧。

本文将对一元微积分大一知识点进行总结，希望能够帮助大家复习和巩固所学内容。

一、函数与极限函数是微积分的基础，我们需要了解函数的定义、性质以及常见函数的图像和性质。

另外，理解极限的概念也是非常重要的。

1. 函数：函数的定义：函数是一种映射关系，将自变量的值映射为因变量的值。

常见函数：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

函数的图像：函数图像可以通过画出关键点、研究增减性和凹凸性等方法得到。

极限的定义：函数在某一点无论从左侧还是右侧逼近时的极限都相等，则称该函数在该点有极限。

极限的性质：极限存在的充分必要条件是左极限和右极限存在且相等。

二、导数与微分导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。

微分是导数的一个应用，主要用于求解函数的近似值和极值问题。

1. 导数：导数的定义：函数在一点的导数表示了函数在该点的切线斜率。

导数的计算方法：可以利用极限的性质来求解导数，也可以利用求导法则进行计算。

导数的性质：导数运算是线性的，满足求和、差、常数倍、乘积、商等法则。

微分的定义：微分表示了函数的变化量与自变量的变化量之间的关系。

微分的应用：微分可以用来求函数的近似值，也可以用来研究函数的极值问题。

三、积分与定积分积分是导数的逆运算，它可以用来求反函数、定积分以及解决曲线下面积的问题。

1. 不定积分：不定积分的定义：不定积分可以看作是导数的逆运算，表示了函数的原函数。

不定积分的计算方法：可以利用基本积分公式和换元积分法进行计算。

2. 定积分：定积分的定义：定积分表示了函数在一个区间上的累积效应，可以用来求解曲线下面积等问题。

定积分的计算方法：可以利用定积分的性质和积分区间的划分来计算定积分。

四、微分方程微分方程是一种包含导数的方程，它在各个学科中都有广泛的应用，尤其在物理和工程领域中扮演着重要角色。

第一章、极限与连续 1．求21)]1x x x -→+∞+-。

2。

求n 0≥x )。

3． 设3214lim1x x ax x l x →---+=+，求常数,a l 。

4。

求已知()0lim x f x →存在，且3x →=，求()0lim x f x →．5。

极限sin sin sin lim sin x t xt xt x -→⎛⎫⎪⎝⎭，并记此极限为()f x ，求函数()f x 的间断点并指出其间断类型。

6。

求常数,a b ，使()1,0, 011arctan , 1-1x x f x ax b x x x ⎧<⎪⎪⎪=+≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩在所定义的区间上连续． 7。

设()()21211lim ,1n n n n n x a x f x a x ax +→∞+--=--为常数，求()f x 的分段表达式，并确定常数a 的值，使()f x 在[0,)+∞上连续． 8．设101=x , n n x x +=+61( ,3,2,1=n ),试证数列{}n x 极限存在,并求此极限。

第二章、导数1．设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0),0(,0,)()(x f x x x f x F 其中)(x f 在0=x 处可导，0)0(≠'f ，0)0(=f ，则的是 )( 0x F x =（ ）（A ）连续点； （B ）第一类间断点； （C ）第二类间断点； （D ）不能确定。

2．函数x x x x x f ---=32)2()(不可导点的个数是（ ）. (A)3； (B)2； (C)1； (D)0。

3．⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=,0 ),(,0 ,cos 1)(2x x g x x xxx f 其中)(x g 是有界函数，则)(x f 在0=x 处（ ）（A ）极限不存在；（B ）极限存在但不连续；（C ）连续但不可导；（D ）可导。

4．设x x x x f -=2)(，则)(x f （ ）（A ）处处不可导；（B ）处处可导；（C ）有且仅有一个不可导点；（D ）有且仅有两个不可导点。

一元微积分数学函数题库有答案一元微积分学数学（1） 函数一、 填空题： 1． 函数 y=arcsin 92-x定义域是:310103-≤≤-⋃≤≤x x2.设y=f (x)的定义域是[0，1]，则复合函数f (sinx)的定义域是:z k k x k ∉+≤≤,22πππ.3．函数33+=x y 的值域是 0≤y ≤+∝ . 4．函数)1,0(11≠>+-=a a ax ax y 的反函数是:axa xy +-=1. 5．函数12+-=x y 在区间 ]0,(-∞ 内是单调增加的.在区间)0[∞+，内是单调减少.6．设21)1(x x x f ++=，（x>o ）,则)(x f =xx 211++.7．设1)(-=x x x f ,则))(((x f f f =1-x x, ))((x f f = x . 8．函数⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<≤≤<<-∞=x x x x x y x 4,241,1,2的反函数y=⎪⎩⎪⎨⎧+∞<≤≤≤<<-∞.16,log ,161,,1,2x x x x x x. 二．选择题：1． 在同一直角坐标系中，函数 与它的反函数说代表的曲线具有的性质是（D ）(A) 关于y 轴对称; (B) 关于x 轴对称; (C)重合； (D) 关于直线y=x 对称.2.下列几对函数中，)(x f 与)(x g 相同的是（C ）.（A ）2lg )(x x f =与x x g lg 2)(= （B ）x x f =)(与2)(x x g = （C ）2)(x x g =与2)(x x g = （D ）1)(=x f 与xxx g =)( 3．已知的定义域为则的定义域是（C ）（A ）[-a,3a] (B) [a,3a] (C) {a} (D) {-a} 4．如果1)(-=x x x g ，那么))(1(x f f 的表达式是（B ）(A) x-1 (B)1-x (C)xx 1- (D) 都不是 三．设函数)(x f y =是线性函数，已知,3)1(,1)0(-==f f 求此函数. 解：设f(x)=ax+b,则有0+b=1, a+b=-3,解得a= -4,b=1.四．证明函数1)(2+=x xx f 在它的整个定义域内是有界.证明：f(x)的定义域为R.xx x x1112+=+因为2111,21≤+≥+xx xx 所以所以： 函数1)(2+=x xx f 在它的整个定义域内是有界 五．试讨论函数21121)(+-=xx f 的奇偶性. 解：21121)(+-=xx f 21121)(+-=--xx f 211211+-=x 212211+-=xx 21212+-=x x 2121211+-+-=xx 212111+-+-=x21211--=x )(x f -= 所以 21121)(+-=xx f 偶函数. 一元微积分学题库（2） 数列的极限一．判断题：1．如果数列{n u }以A 为极限，那么在数列｛n u ｝增加或去掉有限项之后，说形成的新数列｛n u ｝仍以阿A 为极限． ( T )2．如果0lim =∞→n n n v u ，则有0lim =∞→n n u 或0lim =∞→n n v( F )3．如果a a n n =∞→lim ，且存在自然数N ，当n>N 时恒有n a ＜０，则必有a<０． ( F )4．如果n n a ∞→lim ，n n b ∞→lim 均不存在，则有)(lim n n n b a +∞→必不存在． ( F )一元微积分学题库（3） 函数的极限，无穷大，无穷小一． 选择题：下列题中其条件对其结论来说是（Ａ）充分但非必要条件； （Ｂ）必要但非充分条件； （Ｃ）充分必要条件： （Ｄ）既非充分又非必要条件； １．条件a a n n =∞→lim ，b b n n =∞→lim .结论b a b a n n n +=+∞→)(lim （A ）２．条件)(lim 0x f a n -→和)(lim 0x f a n +→都存在.结论)(lim x f an →存在 （B ）３．条件)(lim x f an →和)(lim x g an →都存在.结论 )]()([lim x g x f an +→存在. （A ）４．条件f(x)在a 的某个邻域内单调有界．结论)(lim x f an →存在． （D ）三．求0)(,)(→==x xx x g x xx f ，当时的左右极限，并说明它们在x →0时的极限是否存在？解：xxx f =)(=1，所以1)(lim 0=→x f x .⎩⎨⎧><-==.0,1,0,1)(x x x xx g 所以 1)(lim 00-=-→x g x ， 1)(lim 00=+→x g x 显然≠-→)(lim 00x g x )(lim 00x g x +→，故)(lim 0x g x →不存在.五．证明：函数 xx y 1cos 1=在区间（０，１］上无界，但当x →＋０时，这函数不是无穷大．证明：1. 取+∞→∈=k N k k x 当),(21π时，x x y 1cos 1==+∞=πk 2 所以 x x y 1cos 1=在区间（０，１］上无界.2.取0),(21+→+∞→∈+=x k N k k x 时，当ππ， x x y 1cos 1==021⋅+ππk =0 即在0的任何邻域都不可能有M xx y >=1cos 1（M>0）成立. 所以当x →＋０时，这函数不是无穷大．一元微积分学题库（4） 极限的求法一． 判断题：下列运算是否正确：0)(lim .12=∞-∞=--∞→x x x n(F).1)53(lim )32(lim 5332lim .24343=∞∞=++=++∞→∞→∞→x x x x x x x(F)0lim 2lim 1lim )21(lim .3222222=+⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++∞→∞→∞→∞→nnn n n n n n n n n n （F ）二．计算下列极限：１．x x xx x x 2324lim 2230++-→解：xx x x x x 2324lim 2230++-→ =23124lim 20++-→x x x x =21 ２．)2141211(lim n n +⋅⋅⋅+++∞→解：)2141211(lim n n +⋅⋅⋅+++∞→=211)21(1lim--∞→nn =2３．)1111(lim 31xx x ---→ 解：设31111)(x x x f ---=，则311111)(1x x x f ---=因为2313111lim 11111lim )(1lim x x x x x x f x x x +-=---=→→→=0，所以∞=→)(lim 1x f x即：∞=---→)1111(lim 31xx x 从而时，当,10,1lim .40-∞→-→→x x x arctgx 从而时，当,10,21lim 0+∞→+→-=-→x x x arctgx π)(.1lim ,21lim 00T xarctg x arctgx x 不存在所以→+→=π４．x x x 11lim-+→ 解：xx x 11lim-+→ =)11()11()11(lim++⋅++⋅-+→x x x x x=)11(lim++⋅→x x x x=111lim++→x x=21 ５．xarctgxx ∞→lim解：因为 22ππ<<-arctgx 所以arctgx 为有界函数.而 xx 1lim∞→=0， 由有界函数与无穷小的乘积是无穷小知.xarctgxx ∞→lim =0６．)(lim x x x x x -+++∞→解：)(lim x x x x x -+++∞→=xx x x x x x x x x x x x ++++++⋅-+++∞→)()(lim=xx x x x x x x x +++-+++∞→)(lim=xx x x x x x +++++∞→lim=xxx 111111lim+++++∞→=21 ７．)1()1)(1(lim 2n n x x x +⋅⋅⋅++∞→解：)1()1)(1(lim 2n n x x x +⋅⋅⋅++∞→=x x x x x n n -+⋅⋅⋅++-∞→1)1()1)(1)(1(lim 2=xx n n --∞→11lim 2=x-11 三．已知a x f x a x x x x f x 存在，求且)(lim ,3,3,3)(3→⎩⎨⎧<+≥-= 解：)(lim 03x f x +→=3lim3-+→x x =0，)(lim 03x f x -→=)(lim 03a x x +-→=3+a,)(lim 3x f x →存在，即：)(lim 03x f x +→=a x f x +==-→3)(lim 003所以. 3-=a .一元微积分学题库（5）极限存在准则 两个重要极限 无穷小的比较一、 判断题：1． 因为0→x 时，tgx~x,sinx~x,所以 0lim sin lim 330=-=-→→xxx xtgx x x x （F ） 2． 222)21(lim )2(lim e xx x xx x x =+=+•∞→∞→ (T)3． 1sin lim )sin (lim sin lim=⋅=⋅=→→→x xx tgx x x x tgx x tgx x x x πππ (F)二、计算下列极限1. xxx 5sin 2sin lim 0→解：x x x 5sin 2sin lim 0→=)525sin 522sin (lim 0⋅⋅→x x x x x =⋅→x x x 22sin lim 0⋅→x x x 5sin 5lim 052=522. xctgx x 0lim →解：xctgx x 0lim →=)cos sin (lim 0x x x x ⋅→=)sin (cos lim 0x x x x ⋅→=⋅→x x cos lim 0xxx sin lim 0→=13. xx xx sin 2cos 1lim0-→解：x x x x sin 2cos 1lim 0-→=xx x x sin sin 2lim 20⋅→=x x x sin 2lim 0→=x x x sin lim 20→⋅=24. xx x 1sin lim ∞→解：x x x 1sin lim ∞→=x x x 11sinlim∞→=xx x11sinlim 01→=1. 5. kx x x)11(lim -∞→解：kx x x )11(lim -∞→=)()()11(lim k x x x -•-∞→--+=k x x x --∞→--+])11[(lim =ke - 6. xx x x )11(lim -+∞→ 解：x x x x )11(lim -+∞→=x x x x ]12)1([lim -+-∞→=x x x )121(lim -+∞→=1221)2111(lim +•-∞→-+x x x=)]2111()2111[(lim 221-+⋅-+•-∞→x x x x =2e . 二、 证明：当x →0时，下列各对无穷小量是等价的 1.x arctgx ~证明：设A=arctgx,则 x=tgA, 当0→x 时，0→A . xarctgx x 0lim→=tgA AA 0lim →=12.1-cosx ~ 22x证明：2cos 1lim 20x x x -→=2)2sin(2lim 220x xx ⋅→=2202)2(2)2sin(2lim x x x ⋅⋅→=2202)2()2sin(lim x x x →=1. 四、证明：0)2124321(lim =-⋅⋅⋅⋅∞→nn n 用两边夹法则：（解法一）设F(n)= nn 2124321-⋅⋅⋅⋅>0 则2)2124321()(nn n F -⋅⋅⋅=22222)2()12(4321n n -⋅⋅⋅⋅=1)2()12(14312122222--⋅⋅⋅-⋅-<n n )12()12()12(75353122+⋅--⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n n121+=n 设 g(n)=0, h(n)= 121+n , 则g(n)=0 < F(n) < h(n).显然0)(lim =∞→n g n ，0)(lim =∞→n h n ；由极限存在准则I 知：0)(lim =∞→n F n .证毕.（解法二）：设F(n)=nn 2124321-⋅⋅⋅⋅>0 因为 nn n n 112-<--（n 为自然数）， 所以有F(n)< 12254322124321+⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n n n n=n21 设 g(n)=0, h(n)= 121+n , 则g(n)=0 < F(n) < h(n).显然0)(lim =∞→n g n ，0)(lim =∞→n h n ；由极限存在准则I 知：0)(lim =∞→n F n .证毕.另解：设F(n)=nn 2124321-⋅⋅⋅⋅( 0<F(n)<1 )， 则F(n+1)= 122)(+⋅n nn F ，有F(n+1)<F(n).所以F(n)为单调有界数列，由极限存在准则II 知F(n)有极限.设A n F n =∞→)(lim .则有)1(lim +∞→n F n =))(1(lim n F n nn ⋅+∞→ )1(lim +∞→n F n =1+n n)(lim n F n ∞→⋅A=1+n nA , A=0. 即0)(lim =∞→n F n .证毕.五、设2112,,2,1,10n n n x x x n x -=⋅⋅⋅=<<+，证明数列}{n x 的极限存在，并求其极限.证明： 212n n n x x x -=+ 2211n n x x -+-=2)1(1n x --= ]))1(1(1[1221-----=n x 221)1(1---=n x 322)1(1---=n x = (1)21)1(1---=k x因为 ,101<<x 所以 ,10<<n x 因为 212n n n x x x -=+所以)1(1n n n n x x x x -=-+>0 即： n n x x >+1 所以}{n x 为单调有界数列，由极限存在准则II 知}{n x 有极限. A x n n =∞→lim ， 则有 )2(lim lim 21n n n n n x x x -=∞→+∞→，A=2A--2A ，解得：A=1 或A=0（舍去，因为}{n x 为递增数列且01>x .）所以 1lim =∞→n n x一元微积分学题库（6） 函数的连续性一． 判断题1．21))12)(12(1...5*313*11(lim =+-+++∞→n n n （ T ） 2.设)(x f 在0x 点连续，则)lim ()(lim 0x f x f x x x x →→=（ T ）3．如果函数)(x f 在],[b a 上有定义，在],[b a 上连续，且<)(*)(b f a f 0，则在),(b a 内至少存在一点ξ，使得)(ξf = 0（ T ）4．若)(x f 连续，则)(x f 必连续. （ T ）5．若函数)(x f 在],[b a 上连续且恒为正，则)(1x f 在],[b a 上必连续. （ T ）6．若a x f x x =→)(lim 0,且0>a ，则在0x 的某一邻域内恒有0)(>x f .（ F ）7．0=x 是函数xx x f 1sin )(=的振荡间断点.（ F ）二． 填空题：1．-→ππx xx sin lim(1-) 2. =∞→x xx sin lim( 0 ) 3. =+--+-→123lim2312x x x x x x ( ∞ ) 4. 0=x 是xe xf 1)(=的第（二）类间断点.三． 求xx x x sin 10sin 1tan 1lim ⎪⎭⎫⎝⎛++→解：xx x x sin 10sin 1tan 1lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛++→=()()1sin 1tan 1lim sin 1sec cot 0==++→ee x x xxx x 四． 求函数4tan()1()(π-+=x xx x f 在)2,0(π内的间断点，并判断其类型.解：)(x f 在()π2,0内的间断点有：4π=x ，43π=x ，45π=x ，47π=x因为 ),(lim 4x f x π→)(lim 45x f x π→不存在，,1)(lim 43=→x f x π1)(lim 47=→x f x π所以43π=x ，47π=x 是)(x f 的第一类（可去）间断点; 4π=x ，45π=x 是)(x f 的第二类间断点.五． 设1lim )(2212+++=-∞→n n n x bxax x x f ，（1）求)(x f ；（2）当)(x f 连续时，求b a ,的值.解：(1) n n n n xx bx ax x f 2122231lim )(---∞→+++= ∴ ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<+-=-+-=++>=112112111)(2x bx ax x b a x b a x x x f(2) )(x f 连续21)1(11lim)(lim 0101ba f x x f x x ++====+→+→1=+⇒b a 21)1(11lim )(lim )01()01(b a f x x f x x -+-====--→--→1-=-⇒b a∴⎩⎨⎧==1b a .一元微积分学题库（7） 连续函数的性质一．计算下列极限： 1．2321lim4--+→x x x 解：原式= )321)(4()2)(921(lim4++-+-+→x x x x x =321)2(2lim4+++→x x x =342．22011lim xx x +-→ 解：原式=2220)11(lim x x x x ++→=)11(lim 20x x ++→=2 3．x x x sin lnlim 0→ 解：原式=)sin limln(0xxx →=01ln = 4．ctgx x tgx )31(lim 0+→解：原式=tgxx tgx 33)31(lim +→=331])31(lim [tgx x tgx +→=3e5．145lim1---→x xx x解：原式=)45)(1()1(4lim1x x x x x +---→=xx x +-→454lim1=26．xe x x 1lim 0-→解：令t e x =-1，得)1ln(+=t x ，当0,0→→t x 时 原式=)1ln(limt tt +→=tt t 10)1ln(1lim+→=])1(lim ln[110tt t +→=1ln 1=e二．证明方程b x a x +=sin 至少有一个不超过b a +的正根（其中0,0>>b a ）. 证明：设x b x a x f -+=sin )(，则)(x f 在],0[b a +上连续. 又0)0(>=b f ，0]1)[sin()(≤-+=+b a a b a f . 若0)(=+b a f ，则结论成立.若0)(<+b a f ，则由零点定理0)(),0(=+∈∃ξξf b a 使得. 三．设)(x f 在]1,0[上连续，且1)(0≤≤x f ，证明：至少存在一点]1,0[∈ξ，使得ξξ=)(f .证明：设x x f x F -=)()(，则)(x F 在]1,0[上连续. 又0)0(0)0()0(≥=-=f f F ,01)1()1(≤-=f F 若0)1(0)0(==F F 或，则结论成立.若0)1(0)0(<>F F 或，则由零点定理0)()1,0(=∈∃ξξf 使得.四．设)(x f 在),(b a 上连续，且B x f x f bx ax ==-+→→)(lim )(lim 00，又存在),(1b a x ∈使 B x f >)(1.证明)(x f 在),(b a 上有最大值. 证明：取),(1B x f -=ε1δ∃, 当10δ<-<a x 时, B x f B x f -<-)()(1. 即 当),(1δ+∈a a x 时，)()(1x f x f <.2δ∃, 当02<-<-b x δ时, B x f B x f -<-)()(1. 即 当),(2b b x δ-∈时，)()(1x f x f <.若21δδ->+b a ,)(1x f 为最大值),(1b a x ∈.若21δδ-≤+b a ,)(x f 在],[21δδ-+b a 上连续,必有最大值. )()(10x f x f ≥, ],[210δδ-+∈b a x .∴在),(b a 上)(x f 取得最大值)(0x f .一元微积分学题库（8） 导数的概念一． 选择题：1． 设f ′ (x)存在，a 为常数，则ha h x f a h x f h )()(lim0--+→等于（C ）. (A) f ′(x) ; (B) 0 ; (C) )('2x f a; (D) )('2x f .2. 在抛物线23x y =上，与抛物线上横坐标11=x 和22-=x 的两点连线平行的切线方程是（B ）.(A) 12x-4y+3=0; (B)12x+4y+3=0; (C) 4x+12x+3=0; (D)12x+4y+1=0.3. 将一个物体铅直上抛，设经过时间t 秒后，物体上升的高度为22140gt t s -=，则物体在3秒时的瞬时速度为（B ）.(A) g 2340-; (B) 40-3g ; (C) 0 ; (D) g 29120-.4. 若函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(x x xx x f 在x=0处 (B). (A) 连续且可导； （B ）连续，不可导；（C ）不连续； （D ）都不是.二．设函数⎩⎨⎧>+≤=1,1,)(2x b ax x x x f 在处x=1可导，求a 和b. 解：)(x f 在x=1处可导∴)(x f 在x=1处连续，可得 )(lim )(lim 0101x f x f x x -→+→= 即 1=+b a (1)又)(x f 在x=1处可导, 可得1)1()(lim 1)1()(lim0101--=---→+→x f x f x f x f x x 即 211lim 11lim20101=--=--+-→+→x x x b ax x x (2) 由(1),(2)得 2=a , 1-=b . 三．设5323)(xx x x f =，求)('x f .解: 67)(x x f =, 由幂函数的导数公式可得6167)('x x f =.四．已知⎩⎨⎧≥<=0,0,sin )(x x x x x f ，求)('x f .（提示：分段点x=0处的导数用导数的定义求）解: 当x=0时, 令0-=x h , 1sinhlim )0()0(lim 00==-+--→→hh f h f h h ;1lim )()0(lim00==-+++→→h hhx f h f h h . 所以 1)0('=f∴ ⎩⎨⎧≥<=0,10,cos )('x x x x f 五．设f(x)在),(+∞-∞上有连续导函数.证明f(x)为偶函数的充要条件是：)('x f 为奇函数（充分性的证明用到不定积分的概念，只证必要性）.证明: 对于∀ ),(0+∞-∞∈x 则有),(0+∞-∞∈-x 依题意 令0x x h -=有 h x f h x f x f h )()(lim)('0000-+=→;hx f h x f x f h )()(lim)('0000--+-=-→;)(x f 为偶函数).(')()(lim)('00000x f hx f h x f x f h -=--=-∴→一元微积分学题库（9） 求导法与复合函数求导一． 填空题：1． 曲线xx y 1-=与x 轴交点的切线方程是)1(2±=x y .2． 曲线2sin 2x x y +=在横坐标x=0点处的切线方程是x y 2=,法线方程是x y 21-=.3． 设x x y ln 1ln 1+-=，则2)ln 1(2'x x y +-=. 4． 设x x y 2sin =，则22sin 2cos 2'xxx x y -=. 5． 设)(cos )(sin 22x f x f y +=，则x x f x x f y 2sin )(cos '2sin )(sin ''22-=. 二． 求下列函数的导数. 1. 52322+-=xx y .解: 3222246)'2()'3()'523('x x x x x x y +=-=+-=.2. x x y cos 2=.解: )'(cos cos )()'cos ('222x x x x x x y +==x x x x sin cos 22-=. 3. x x y cos sin ⋅=.解: x x x x y 2cos )'2sin 21()'cos (sin '==⋅=.4. )13(2+-=x x e y x .解: )'13()13('22+-++-=x x e x x e y x x )3213(2-++-=x x x e x )2(2--=x x e x .5. 110110+-=x x y .解: 2)110()110(10ln 10)110(10ln 10'+--+=x x x x x y2)110(10ln 102+⋅=x x . 三.求导数:1. x y 2ln 1+=,求'y . 解: x x x x x y 222ln 1211ln 2ln 121)'ln 1('+⋅⋅=+⋅+= xx x 2ln 1ln +=.2. 2ln x tgy =,求dx dy. 解: x x x x x x tg y csc sin 12cos 2sin 212sec 2121'2==⋅=⋅⋅=.3. t t y cos 1sin 1-+=,求dtdy.解: 2)cos 1()'cos 1()sin 1()cos 1()'sin 1('t t t t t y --⋅+--⋅+=222)cos 1(sin cos sin cos t t t t t ----= 2)cos 1(1sin cos t t t ---=. 四.已知)2523(+-=x x f y ,2arctan )('x x f =,求0=x dx dy. 解: 令2523+-=x x u ,则 22)2523()25()23(5)25(3)('''+-⋅+--+=⋅=x x arctg x x x u f u y ===140arctg dxdy x π.一元微积分学题库(10) 复合函数求导(二) 高阶导数一. 求下列函数的导数: 1. )21arcsin(2x y -=. 解：2222124)21(11)'21('xx x x x y --=--⋅-=.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<--<<--=01,1210,1222x xx x2．xe y arcsin=.解： xxe xxe x y arcsinarcsin1121)'(arcsin '⋅-⋅=⋅=2arcsin2xx e x -=.3．3212tt arctgy +=. 解： 1444)21()21(82)212(11)'212('23623233233++++⋅+-=++⋅+=t t t t t t tt tty 1444822363+++-=t t t t .4．242arcsinx xx y -+=. 解： 22422)2(11212arcsin 'xx xx x y ---⋅⋅+=)4242(22arcsin 22x x x x ---+=2arcsin x =. 5．xey 1sin 2-=.解： x xe x x xe x y 1sin 21sin 222)1cos 1sin 2(1)'1sin ('--⋅⋅-⋅-=⋅-=x e x x 1sin 222sin-⋅=.二. 求下列函数的二阶导数:1. )1ln(2x y -=.解： 212'x x y --=, 222222)1()1(2)1(22)1(2''x x x x x x y -+-=-⋅---=. 2. arctgx x y )1(2+=.解： 1211)1(2'22+=+⋅++=xarctgx x x xarctgx y , 2122''xx arctgx y ++=. 3. x xe y =.解： x x xe e y +=', x x x x x xe e xe e e y +=++=2''. 三. 求函数x x y ln =的n 阶导数. 解： 1ln '+=x y ，x y 1''=，21'''x y -=，3)4(2x y =， 一般地，可得 ⎪⎩⎪⎨⎧≥--=+=-2,)!2()1(1,1ln 1)(n x n n x y n n n . 四. 设)()()(2x a x x f ϕ-=,其中)('x ϕ在点a 的邻域内连续,求)(''a f . 解： )(')()()22()('2x a x x a x x f ϕϕ-+-=.ax x a x x a x a x a f x f a f a x a x --+-=--=→→)(')()()22(lim )(')('lim )(''2ϕϕ)('x ϕ在点a 的邻域内连续 ∴)(')('lim a x ax ϕϕ=→∴0)(lim )(')(')(lim2=-=--→→a x a ax x a x a x a x ϕϕ. )(20)(2lim )(''a x a f ax ϕϕ=+=→.一元微积分学题库(11) 隐函数求导法一. 求由下列方程所确定的隐函数y 的导数dxdy. 1. y xe y -=1.解： )'('yye xy e y +-=, 即 yyxee y +-=1' 其中y 是由方程y xe y -=1所确定的隐函数. 2. )(y x tg y +=.解： )(sec )'1('2y x y y +⋅+=, 即 221'yy y +-=. 其中y 是由方程)(y x tg y +=所确定的隐函数. 3. 0922=+-xy y .解： 0'22'2=--xy y y y , 即 xy y y -='. 其中y 是由方程0922=+-xy y 所确定的隐函数. 二. 用对数函数求导法求下列函数的导数'y : 1. 22x ctg xtg y =.解： 先两边取对数(假定422πππk x k +<< . ,2,1,0±±=k ) 得 x tg xctg y 2ln 2ln ⋅=. 则)2ln 2csc 21222sec 2('122x tg xx ctg x ctg x y y -⋅⋅=. )2ln 2csc 21222sec 2(2'222x tg xx ctgx ctg x x tg y xctg -⋅⋅=. 当2)1(42πππ+<<+k x k 时,用同样的方法可得与上面相同的结果. 2. 55225+-=x x y .解： 先两边取对数(假定5>x ) 得)]2ln(51)5[ln(51ln 2+--=x x y .对上式两边对x 求导，得)2125151(51'12+⋅⋅--=x x x y y .即 ])2(5251[2551'2552+--+-=x xx x x y . 当5<x 时,用同样的方法可得与上面相同的结果.三. 求下列函数的二阶导数22dxyd .1. ⎩⎨⎧==tb y t a x sin cos .解： t a bt a t b dtdx dt dy dx dy cot sin cos -=-==,t a b t a t a b dtdx t a b dt d dx y d 32222sin sin 1csc 1)cot (-=-⋅=⋅-=.2. 已知⎩⎨⎧-==)()(')('t f t tf y t f x 这里)(''t f 存在且不为零.解： )(''t f 存在且不为零 ∴t t f t f t tf t f dx dy =-+=)('')(')('')(', )(''122t f dxy d =. 四. 设⎪⎩⎪⎨⎧+=+=tt t y tt x 4522,证明y=y(x)在t=0时dx dy 存在,并求其值. 证明： 原方程可化为 02=-x y . 当0=t 时0=x ,.0)0()(lim lim )0()(lim 0200=-==--+→→→hf h f h h h f h f h h h 一元微积分学题库(12) 微分一. 选择题:1. 已知x y 2tan =,则dy 等于(C).(A) 2tgxdx ; (B)tgxdx x212+ ; (C) xdx tgx 2sec 2 ; (D) x tgx 2sec 2. 2． 一元函数连续是可导的（A ）；一元函数可导是可微的（C ）. （A ）必要条件； （B ）充分条件；（C ）充要条件； （D ）既非充分条件又非必要条件. 2. 函数x x x x x f ---=32)2()(不可微点的个数是（B ）. （A ） 3; (B) 2; (C) 1; (D) 0. 二．填空题：1． 已知函数2)(x x f =在点x 处的自变量的增量2.0=∆x ，对应的函数增量y ∆的线性主部是8.0-=dy ，那末自变量的始值为2-. 2． )](ln ln[ln 32x y =，则dx xx dy ln ln ln 2-=.3. xdx c x d 3cos )sin 31(=+; dx e c e d xx22)2(--=+-;dx xc xd 1)2(=+; dx x c x d 11))1(ln(-=+-. 三． 利用微分求近似值：ο59cos .解： 180359ππο-=. 这里x ∆较小应用(p150)(2)式,得1803sin3cos)1803cos(59cos πππππο⋅+≈+=5151.01802321=⋅+=π. 四． 已知测量球的直径D 时有1%的相对误差，问用公式36D V π=计算球的体积时，相对误差有多少？解： 我们把测量D 时所产生的误差当作自变量D 的增量D ∆，那么，利用公式36D V π=来计算V 时所产生的误差就是函数V 的对应增量V ∆.当V∆很小时，可以利用微分dV 近似地代替增量V ∆，即D D D V dV V ∆⋅=∆⋅=≈∆22'π.其相对误差 %3)(3=∆=∆=D VV V s v . 五． 求由方程t t s st =-+)ln()sin(所确定的隐函数s 在t=0处的微分ds .解： 对方程两边关于t 求导，得11')cos()'(=--++t s s st s t s . 当 t=0时, 得 1'2++-=s s s .又对原方程, 当 t=0时, 得 0ln =s 即 s=1.1111=++-=∴dt ds一元微积分学题库（13）中值定理一．选择题：1．下列函数中，满足罗尔定理条件的是（B ）.(A)()[];1,1,132-∈-=x x x f (B)()()[];8,0,42∈-=x x x f(C)()];3,1[,3-∈=x x x f(D)()[].1,10,00,1sin 2-∈⎪⎩⎪⎨⎧=≠=x x x xx x f 2.对于函数()332x x f -=，在区间[]1,0上满足拉格朗日中值定理的点ξ是(A).(A)21; (B)31±; (C)31; (D)1. 二. 应用导数证明恒等式：()112arccos arcsin ≤≤-=+x x x π.（注意：对1±=x处的讨论）证：令()x x x f arccos arcsin +=当()1,1-∈x 时，()()()01111'arccos 'arcsin '22=---=+=xxx x x f()C x f =∴（C 为常数）. 特别地，取0=x ,则求得()20π==f C当1-=x 时，()221πππ=+-=-f当1=x 时，()2021ππ=+=f∴ 当[]1,1-∈x 时，2arccos arcsin π=+x x三. 设0>>b a ，证明：bba b a a b a -<<-ln .证：设()x x f ln =，在],[a b 上利用拉格朗日中值定理，有：()()a b b a b a <<==--ξξξ1'ln ln lnba 111<<ξ∴bba b a a b a -<<-ln . 四. 证明：不论b 取何值，方程033=+-b x x 在区间[]1,1-上至多有一个实根.证：反证法.设()b x x x f +-=33，且在区间[]1,1-上有两个以上实根，其中两个分别记为21,x x ，不妨设1121≤<≤-x x ，则()()021==x f x f ，由罗尔定理，在()1,1-内至少有一点ξ，使()0'=ξf . 而()33'2-=x x f 在()1,1-内恒小于0，矛盾.命题成立.五. 构造辅助函数，证明不等式e e ππ>.证：设()x x f ln =，则在区间[]π,e 上，()ππln =f ，().1=e f 根据拉格朗日中值定理，在()π,e 内至少存在一点ξ使()()()()πξξξππ<<==--e f e e f f ,1'即()ξππe -+=1ln 又πξ<<e()()e e e ππξππ=-+<-+=∴11lnππ<∴ln e 即ππe e <六. 设函数()x f 和()x g 在[]b a ,上存在二阶导数，且(),0''≠x g()()()()0====b g a g b f a f ，证明 （1） 在(a,b)内()0≠x g ；（2） 在(a,b)内至少存在一点ξ，使()()()()ξξξξ''''g f g f =. 证：（1）反证法.设（a,b ）内存在一点1x 使0)(1=x g ，则在[]1,x a 上有g(a)=g(x 1)=0,由罗尔定理知在(a,x 1)内至少存在一点ξ1使'g (ξ1)=0. 同理在(x 1,b)内也至少存在一点ξ2使'g (ξ2)=0. ∵'g (ξ1)='g (ξ2)=0∴由罗尔定理，在(ξ1,ξ2)内至少存在一点3ξ使0)(''3=ξg ,这与0)(''≠x g 矛盾，故在()b a ,内()0≠x g . （3） 令)(')()(')()(x f x g x g x f x F -=由题设条件可知，F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且F(a)=F(b)=0,由罗尔定理可知，存在()b a ,∈ξ使得()0'=ξF 即()()()()0''''=-ξξξξg f g f 由于()()0'',0≠≠ξξg g ，故()()()()ξξξξ''''g f g f =. 一元微积分学题库（14）罗必塔法则一. 求下列极限：1. xe e x x x cos 12lim 0--+-→解：原式=2cos lim sin lim00=+=--→-→xe e x e e xx x x x x 2. 0lim→x xxx 3sin arcsin -解：原式=0lim →x cos sin 311122=--x x x 0lim →x ()()xx x x x sin cos 9sin 321212232+---- =0lim→x xx sin 0lim→x ()xx 2232cos 931+----=61- 3．0lim →x xctgx解：原式=0lim→x x xsin 0lim →x x cos =1 4．tgxx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+→1lim 0 解：令tgxx y ⎪⎭⎫⎝⎛=1，则ctgx x x tgx y ln ln ln -=-= 0lim +→x =y ln 0sin lim csc 1lim ln lim 20200===-+→+→+→xx x x ctgx x x x x ∴lim +→x y=e 0=1 5．⎪⎭⎫ ⎝⎛--→x x xx ln 11lim 1 解：原式=()()21111lim 1ln 11ln lim ln 11ln lim 2111=+=-+-+=---→→→xx xx x x x x x x x x x x x 一元微积分学题库（15）函数的单调性一． 填空题：1．函数y=(x-1)(x+1)3在区间)5.0,(-∞内单调减少，在区间),5.0(+∞内单调增加.2．函数2x ax x y -= （a>0）在区间)43,0(a 内单调增加，在区间),43(a a 内单调减少.3．函数7186223---=x x x y 在区间),3()1,(+∞⋃--∞内单调增加，在区间（-1， 3）内单调减少. 4. 函数xx x y 6941023+-=在区间（0.5，1）内单调增加，在区间()),1()5.0,0(0,+∞∞- 内单调减少.二. 证明下列不等式： 1. 当4>x 时，22x x >.证：令22)(x x f x -=，则0)4(=f .x x f x 22ln 2)('-=，082ln 16)4('>-=f2)2(ln 2)(''2-=x x f ，显然，当4>x 时，0)(''>x f )('x f ∴在区间),4(+∞内单调增加. 又0)4('>f)('x f ∴在区间),4(+∞内恒大于零. 又0)4(=f)(x f ∴在区间),4(+∞内大于零.即当4>x 时，02)(2>-=x x f x 即22x x >. 2. 当20π<<x 时，x tgx x 2sin >+.证：令x tgx x x f 2sin )(-+= 2sec cos )('2-+=x x x f)1sec 2(sin sec 2sin )(''32-=+-=x x x tgx x x f 显然，当20π<<x 时，0)(''>x f)('x f ∴在)2,0(π内单调增加.又)0('f =0)('x f ∴在)2,0(π内大于零.)(x f ∴在)2,0(π内单调增加.而)0(f =0 )(x f ∴在)2,0(π内恒大于零. 即当20π<<x 时，02sin )(>-+=x tgx x x f即.2sin x tgx x >+ 3. 当20π<<x 时，x x x <<sin 2π证：令x x x f sin )(=，则2sin cos )('x xx x x f -=. 令x x x x g sin cos )(-=，则)20(0sin )('π<<<-=x x x x g .)(x g ∴在此区间内单调减少.)('x f ∴在此区间内也单调减少.而()02sin lim sin cos lim0'020=-=-=→→x xx xx x x f x x )('x f ∴在)2,0(π内小于0.)(x f ∴在)2,0(π内单调减少.∴xxx f sin )(=在区间的两端取得极大极小值.即ππ2)2(1sin lim)0(0===→f xxf xx x x <<∴sin 2π三. 证明方程sinx=x 只有一个根.证：令x x x f -=sin )(，则01cos )('≤-=x x f . )(x f ∴在),(+∞-∞内单调减少.∴f(x)=sinx-1=0至多有一个根.而f(0)=0, 0)(=∴x f 有且只有一个根. 即方程sinx=x 只有一个根.一元微积分学题库（16）函数的极值一. 填空题：1. 函数3443x x y -=在1=x 处取得极小值.2. 已知函数322)1()5(+-=x x y 当=x -1或5时，y=0为极小值；当x=0.5时， y=318881为极大值. 3．已知bx ax x x f ++=23)(在x=1处有极值-2，则a=0,b=-3,y=f(x)的极大值为2； 极小值为-2.二. 求下列函数的极值： 1. ()()23321--=x x y解：)12)(32()1(5'2++-=x x x y)188)(1(10''2-+-=x x x y令0'=y 得三驻点：5.0,5.1,1321-=-==x x x . 当1>x 时，0'>y ，当15.0<<-x 时，0'>y . 11=∴x 处为非极值点.当5.12-=x 时，,0''<y 取得极大值，其值为0. 当5.03-=x 时，0''>y ，取得极小值，其值为-13.5. 2. x e y x cos =解：)sin (cos 'x x e y x -=，令0'=y ，得驻点4ππ+=k x （k 为整数）.x e y x sin 2''-=∴当42ππ+=k x 时，,0''<y x 在该处取得极大值，其值为4222ππ+=k ey 当452ππ+=k x 时，,0''>y x 在该处取得极小值，其值为45222ππ+-=k ey 三. 试问a 为何值时，函数x x a x f 2sin 31sin )(+=在3π=x 处取得极值？它是极大值还是极小值？并求出此极值.解：x x a x f 2cos 32cos )('+=，令0)('=x f ，则02cos 32cos =+x x a即x x a cos /2cos 32-=3π=x 时)(x f 取得极值.323cos /32cos 32=-=∴ππax x x x a x f 2sin 34sin 322sin 34sin )(''--=--=0332sin 343sin 32)3(''<-=--=πππf)(x f ∴在3π=x 处取得极大值，其值为23. 四. 设q px x x f +-=3)(，q p ,为实数，且0>p(1) 求函数的极值.(2) 求方程03=+-q px x 有三个实根的条件.解：(1) p x x f -=23)('，令0)('=x f 得3p x ±=，而x x f 6)(''= 31px =∴处取得极小值，其值为q p +-23)3(231px -=处取得极大值，其值为q p +23)3(2 (2)由上述的讨论我们可以看出，)(x f 仅有 ),3(),3,3(),3,(+∞---∞p p p p 三个单调区间，由介值定理及区间 单调性知：方程要有三个实根，必须满足在这三个单调区间上各有一个实根，也就是说，极小值应小于或等于0同时极大值应大于或等于0（等于0时含重根）.即0320322323≥+⎪⎭⎫⎝⎛≤+⎪⎭⎫⎝⎛-q p q p即当23233232⎪⎭⎫⎝⎛≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-p q p 时，方程有三个实根.五. 一个无盖的圆柱形大桶，已规定体积为V,要使其表面积为最小，问圆 柱的底半径及高应是多少？解：设圆柱的底半径为R,高为h ，则h R V 2π=,R V R Rh R S /2222+=+=πππ表0/222=-=R V R dRdS π表则3πVR =32/RV R V h ==π 六. 设)(x f 在[]1,0上二阶可微，0)1()0(==f f ，且2)(max 10=≤≤x f x .证明存在 )1,0(∈ξ，使得()16''-≤ξf .证：将)1(),0(f f 在x 取得极大值处展开一阶泰勒公式（设此时0x x =）201000)0(!2)('')0(!1)(')()0(x f x x f x f f -+-+=ξ，010x <<ξ202000)1(!2)('')1(!1)(')()1(x f x x f x f f -+-+=ξ，120<<ξx 0)1()0(,0)(',2)(00====f f x f x f ，两式相加得：8)1)(('')(''202201-=-+x f x f ξξ令()(){}21'',''min )(''ξξξf f f =，则16212128)(''8)122)((''20020-≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛--≤-≤+-x f x x f ξξ一元微积分学题库 (17) 最大值 最小值 凹凸性 拐点一、求下列函数的最大值和最小值： 1.)41( 3223≤≤--=x x x y-11234-2-11函数在所给区间内可导，因此可令 066)(2=-='='x x x f y 解得 1 ,0==x x而 104)4( ,1)1( ,0)0( ,5)1(=-==-=-f f f f 所以函数在区间]4,1[-上的最大值、最小值分别为104和-5. 2. )41( 718x -6223≤≤+-=x x x y-1123456-50-25255075100函数在所给区间内可导，因此可令18126)(2=--='='xxxfy解得)(1,3舍去-==xx而33)4(,47)3(,15)1(-=-=-=fff所以函数在区间]4,1[上的最大值、最小值分别为-47和-15.二、某车间靠墙壁盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌20米长的墙壁，问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？解：设宽为)200(<<xx米，则长为x220-米，因此，面积为xxS)220(-=显然，当5=x时，面积取最大值502m.三、求数项),2,1(=nnn中的最大项.解：246810121.11.21.31.4令 0)(x )(1>=xx x f 则 )ln 1()(21x xx f x-='-解得唯一驻点，e x = ，并且)(x f 在区间e] ,0[上单调递增，在区间] ,[∞+e 上单调递减，而332<所以数项),2,1( =n n n 中的最大项为33. 四、求下列函数的凹凸区间与拐点： 1. 53x 523++-=x x y 解：-2246-20-101020函数在定义域) ,(∞+-∞内阶导数存在，并且 3106)(2+-='='x x x f y 1012)(-=''=''x x f y因此，当)65 ,(-∞∈x 时，0<''y ，曲线为凸的，当) ,65(∞+∈x 时，0>''y ，曲线为凹的，点)216995,65(是曲线的拐点. 2. )1ln(2+=x y解：-4-2240.511.522.53函数在定义域) ,(∞+-∞内阶导数存在，并且 12)(2+='='x xx f y 22)1()1)(1(2)(x x x x f y ++-=''='' 因此，当)1- ,(-∞∈x 时，0<''y ，曲线为凸的，当) 1 ,1(-∈x 时，0>''y ，曲线为凹的，当) ,1(∞+∈x 时，0<''y ，曲线为凸的，点)ln2 ,1(±是曲线的拐点.五、证明112+-=x x y 有三个拐点位于同一直线上. 证明：-4-224-1.5-1-0.5函数在定义域) ,(∞+-∞内二阶导数存在，并且。

2015----2016 学年第一学期月考试卷踏实学习，弘扬正气；诚信做人，诚实考试；作弊可耻，后果自负。

课程名称 一元微积分A （上） 考试教室教师 班号 姓名 学号一、填空题（每小题 3分，共30分 ）1、函数1ln(12)y x =-的定义域为1[3,0)(0,)2-U ； 2、1lim(1)x x x →∞-=1e； 3、11lim(sin sin )x x x x x→∞-= -1 ； 4、设3sin 10() , 0ax x e x f x x a x ⎧+-≠⎪=⎨⎪=⎩， ，0x a ==在处连续，则12-； 5、已知0lim ()x f x a →=存在，并且 0lim 3x →=，则a = -18 ； 6、设1()0x e x f x a x x ⎧+<=⎨+≥⎩，当a = 2 时，0lim ()x f x →存在；7、当lim nn n a n a →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭a =14； 8、当0x →时，1-与1cos x －是等价无穷小，则=a __ 2 __.9、220sin (2)lim ln(13)x x x →+=43； 10、x →=23.二、选择题（每小题4分，共20分）1、函数()f x 在[,]a b 上有界是()f x 在[,]a b 上连续的（ A ）. A ．必要条件 B.充分条件 C. 充分必要条件 D.无关条件2、设函数20()100x e x f x x x ⎧≠⎪=-⎨⎪=⎩，则下列说法中正确的是（ C ）.A ．()f x 有1个间断点 B. ()f x 有2个间断点 C. ()f x 有3个间断点 D. ()f x 无间断点. 3、当0x →时，下列函数中与x 是等价无穷小的是（ D ）.A ．1cos x - B. 2tan x x + C. 13sin x x + D.. 4、下列命题中不正确的是( D ).A ．数列极限lim lim n n l n n x a x a +→∞→∞=⇔=，其中l 为某个确定的正整数.B. 数列极限212lim lim lim =.n n n n n n x a x x a -→∞→∞→∞=⇔=C. 数列{}n x 极限存在，则{}n x 有界.D. 数列极限lim n n x a →∞=的充要条件是a 的任何领域内都有{}n x 的无穷多项.5、函数210()00102x x f x x x x⎧⎪-≤<⎪==⎨⎪⎪<≤⎩的连续区间为（ C ）A ．[1,2]- B. (,)-∞+∞ C. [1,0)(0,2]-U D. (1,0)(0,2)-U .三、计算下列极限（每小题5分，共20分 ） 1、12sin 0lim(1)xx x x →++2211sin 22sin 0lim(1)lim (1)x x xxx x x x x x x x ++→→⎡⎤++=++⎢⎥⎣⎦20limsin =ex x x xe →+=2、lim x →+∞-lim limlim1x x x →+∞===3、2221lim(cos )x x x x→∞+ 解：2221lim(cos )x x x x→∞+22221(cos 1)121cos 1221lim (1cos 1)x x xx xx x x +-+-→∞⎡⎤⎢⎥=++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦222211lim[(cos 1)2(cos 1)]lim x x x x x x x e e→∞→∞+-+-==222113()(cos 1)2lim 2lim 22x x x x x xeee→∞→∞--++===4、利用夹逼准则计算 22212lim()12n nn n n n n n n→∞+++++++++L . 解： 22222121212121n n n n n n n n n n n n n n n ++++++≤+++≤++++++++++L L L 2222211(1)(1)1222121n n n n n n n n n n n n n n n n n ++≤+++≤++++++++++L 2211(1)(1)122lim lim 12n n n n n n n n n n n →∞→∞++==++++ 222121lim()122n n n n n n n n n →∞+++=++++++L四、(8分)用函数极限的εδ→定义证明：1limln 0x x →=.证：0ε∀>，由于|ln 0|x ε-<，e x e εε-<<，111e x e εε--<-<-，从而取min{|e |,e 1}εεδ-=－1－（或e e 1εεδ-=（－），或min{,e 1}e εεδ-=１－－），则当0|1|x δ<-<时就有|ln 0|x ε-<，于是1limln 0x x →=.五、 (12分)求2ln||()32x f x x x =-+的间断点，并指出类型.解：，（1）=0x 20ln||lim ()lim=32x x x f x x x →→=∞-+－，故=0x 为第二类无穷间断点； （2）=x １，2ln||ln lim ()lim=lim 32(2)x x x x x f x x x x x →→→=-+-１１１（－1)ln(11)lim (2)x x x x →+-=-１（－1)1lim 1(2)x x x x →-==--１（－1) =x １是第一类可去间断点； (3) =x 2，222ln||lim ()lim=32x x x f x x x →→=∞-+，故=2x 为第二类无穷间断点；六、 (10分)设函数()f x 在区间[0,2]l 上连续，且(0)(2)f f l =，证明：在[0,]l 上至少存在一点ξ，使()()f f l ξξ=+.证：设()()()F x f x f x l =-+，则()F x 在[0,]l 上连续，(0)(0)(0)(2)()F f f l f l f l =-+=-，()()()()(2)F l f l f l l f l f l =-+=-； ()(2)0F l F l ⋅≤，故在[0,]l 上至少存在一点ξ，使()0,()()F f f l ξξξ==+.。

东华大学2017～2018学年一元微积分(A 上)试卷（A 卷） 踏实学习，弘扬正气;诚信做人,诚实考试;作弊可耻，后果自负课程名称 一元微积分(A 上) 使用专业 全校 17级教师 班号 班级 姓名 _______学号 ___ _(1) 设()f x =(9)f '= ; (2) 已知10lim(1)2x x x a→+=，则常数a = ；(3) 设1sinxy e=， 则dy = dx ;(4) 011lim()1x x x e →-=- ；(5) 20ln(1)lim sec cos x x x x →+=- ；(6) 2123(1)limn n n →∞+++-= ；(7) 当0x →对于x 是k 阶无穷小，则k = ； ;(8) 设()y x ''存在，则ln[()]y f x =的二阶导数22d ydx = ;(9) 0x =是函数11,0()ln(1+),10x e x f x x x 的 间断点;（填写间断点的类型）(10) 设ln(15)y x =+，则()n y = .二、解下列各题（每题7分，共35分） （1）求出曲线2ln(1)y x =+的凹凸区间以及拐点.（2）设参数方程2323x t ty t t⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，求22d d ,d d y y x x .（3）设()f x 在2x =处连续，且2()lim32x f x x →=-，求()f x 在2x =处的切线方程.（4）设方程1yy xe =+确定了隐函数()y y x =，求二阶导数22d ydx.（5）求()(2f x x =-5[1,]2-上的最大值和最小值.三、(8分) 求极限2240cos lim x x x e x -→-.四、（10分）设函数1cos 0()0010x x x f x x x -⎧>⎪⎪==⎨⎪<⎪⎩，求()f x 并分析()f x 在0x 点的连续性.五、(7分)设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，且1()12f =，(0)(1)0f f ==，证明：（1）存在1(,1),2ξ∈使得();f ξξ=（2）对于任意实数λ，必存在(0,),ηξ∈使得()[()]1f f ηληη'--=.。

考 研 数 学 强 化 讲 义 白 云 霄第一章 函数、极限、连续(一)函数一、 函数的解析式 二、 函数的性质 三、 几种特殊函数 （1）()[]f x x =；（2）()sgn f x x =：sgn x x 与x 的关系； （3）分段函数； （4）复合函数； 题型1 求函数表达式例1 设1()()f x f x ==1()[()]n n f x f f x +=，1,2,n =求1150();();()n n n f x f x f x dx⎰例2 设()f x 是周期为2的偶函数，当(2,3)x ∈时，2()f x x =.求当(2,0)x ∈-时，()f x 的表达式.例3 设()n f x =0x ≥，求()f x 的表达式.例4 已知()x x xe e f -='，且()01=f ，求()x f 例5已知,,()()(),(0)2x y f x f y f x y f '∀=+=，求()x f题型2 函数奇偶性例1．设()()x f x F ='，则下列结论正确的是 （ ） （A ）若()x f 为奇函数，则()x F 为偶函数（B ）若()x f 为偶函数，则()x F 为奇函数 （C ）若()x f 为周期函数，则()x F 为周期函数 （D ）若()x f 为单调函数，则()x F 为单调函数 例2．求()()[]⎰--++-+=11251ln dx x x e e x x I x x题型3 判别函数的有界性 例1设()(,)f x C ∈-∞+∞，且lim ()x f x A →∞=，证明：()(,)f x B ∈-∞+∞.例2设2()1x f x x=+，220()x x t f x e te dt -=⎰，判别()f x 的有界性. （二）极限 极限的定义 极限的性质 极限的运算法则 极限的计算 极限的应用1．求极限的方法 1) 洛必达法则；00；∞∞；∞*0；∞-∞；∞1；00；0∞2) 等价无穷小因子代换； 3) 无穷小与有界量之积为无穷小 4) 重要极限 5) 导数的定义 6) 夹逼准则7）定积分的定义基本公式：()⎰∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∞→1011lim dx x f n k f n n k n [如果存在]7) 单调有界原理8）泰勒公式：当0→x 时，()n nxx o n x x x e +++++=!!212 例：求32021lim x x x e xx ---→用()332!3!21x o x x x e x ++++=（最后一项比3x 高阶无穷小）原式61)(6lim 3330=+=→xx o x x ，这样比用洛比达法则简单 ()()()121253!121!5!3sin ++++-++-=n n nx o n x x x x x()()()n nn x o n xx x x 2242!21!4!21cos +-+-+-=()()()n nn x o nx x x x x +--+-=++1321321ln ()()121215312153arctan +++++-+-+-=n n n x o n xx x x x ()()()()[]()n nax o x n n a a a x a a ax x +---++-++=+!11!21112 题型1 研究数列{}n x 的极限例1 设1112,2,1,2,n nx x n x +==-=，证明{}n x 收敛并求例2设1112,2,1,2,n nx x n x +==+=，证明{}n x 收敛并求lim nn x →∞题型2 n 项和的极限常用到的方法有：夹逼准则；定积分定义；级数求和.例1证明22212lim()12n nn n nn n n n→∞+++++++++收敛例2设数列22(1)n n k n x +==∑，则lim n n x →∞=例2 证明11112n n n n++++++收敛例3极限n →∞∑=∞→+nk n kn n122lim 例5 证明2121lim 1nn k k n n →∞=++∑收敛 例6 证明21lim nn k →∞=收敛例7 证明1sinlim 1nn k k nn kπ→∞=+∑收敛 题型3 多项乘积的极限常用到的方法有：乘以某个因子，引发连锁反应；取对数后再求极限. 例8 （1）当1x <时，求22lim(1)(1)(1)nn x x x →∞+++（2）当0x ≠时，求limcoscos cos242n n x x x→∞题型4 未定式的极限型，常用到的方法有：（1）等价无穷小代换；（2）分解因式或根式有理化后消去零因子；（3）洛必达法则；（4）利用麦克劳林展开式；例9 （1）202lim x x →（2）0ln(1)lim(1cos )sin x x x x x x→-++（3）1202sin()limx xt dt x →⎰（4）设函数)(x f 连续，0)0(≠f ，求⎰⎰--→x xx dtt x f x dtt f t x 0)()()(lim∞∞型，常用到的方法有：（1）抓大头法；（2）洛必达法则； 例10 （1）limx →-∞（2）limx（3）[]lim 1x x x x →∞++ （4）222(1)limx t x x t edtx-→+∞+⎰∞-∞型（合并、提取、代换）例11 22201cos lim()sin x x x x →-lim (x x →+∞-21lim[ln(1)]x x x x →∞-+0⋅∞型（下放）lim [arctan ]41x xx x π→+∞-+ 1121lim (22)nn n n +→∞-1∞ 000∞型例12 2lim tan ()4nn n π→∞+ sin 0lim xx x+→lim x x π+→ 21lim(tan )n n n n →∞ tan 01lim()x x x +→题型5求分段函数的极限例1 求下列函数在分段点处的极限2sin 2 <0() >01cos xx xf x x x x⎧⎪⎪=⎨⎪⎪-⎩ 例3求1402sin lim 1x x x e x x e →⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭题型6 求极限的反问题例3（1）当0x →时，34sin sin cos x x x x -+ 与n x 是同阶无穷小，则n =（2）已知)0x ax b →∞-=时，求,a b（3）已知54lim[(42)](0)c x x x x A →∞+--=≠），求,c A（4）设()x f 在()+∞,0内可导，()0>x f ，()1lim =∞→x f x ，且满足()()x hh e x f hx x f 11lim =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+→，求()x f 。