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数学分析知识要点整理数学分析是数学专业的重要基础课程，它为后续的许多课程提供了必备的知识和方法。
以下是对数学分析中的一些关键知识要点的整理。
一、函数函数是数学分析的核心概念之一。
1、函数的定义设 X 和 Y 是两个非空数集，如果对于 X 中的每个元素 x，按照某种确定的对应关系 f，在 Y 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称 f 是定义在 X 上的函数，记作 y ＝ f(x)，x ∈ X。
2、函数的性质（1）单调性：若对于定义域内的任意两个自变量 x1 和 x2，当 x1＜ x2 时，都有 f(x1) ＜ f(x2)（或 f(x1) ＞ f(x2)），则称函数 f(x)在其定义域上单调递增（或单调递减）。
（2）奇偶性：若对于定义域内的任意 x，都有 f(x) ＝ f(x)，则称函数 f(x)为奇函数；若 f(x) ＝ f(x)，则称函数 f(x)为偶函数。
（3）周期性：若存在非零常数 T，使得对于定义域内的任意 x，都有 f(x ＋ T) ＝ f(x)，则称函数 f(x)为周期函数，T 为函数的周期。
3、反函数设函数 y ＝ f(x)，其定义域为 D，值域为 R。
如果对于 R 中的每一个 y，在 D 中都有唯一确定的 x 与之对应，使得 y ＝ f(x)，则这样得到的 x 关于 y 的函数称为 y ＝ f(x)的反函数，记作 x ＝ f⁻¹(y)。
二、极限极限是数学分析中的重要概念，用于描述变量在一定变化过程中的趋势。
1、数列的极限对于数列｛an}，若存在常数 A，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数 N，使得当 n ＞ N 时，不等式｜an A| ＜ε 恒成立，则称常数 A 是数列｛an} 的极限，记作lim(n→∞） an ＝ A。
2、函数的极限（1）当x → x0 时函数的极限：设函数 f(x)在点 x0 的某个去心邻域内有定义，如果存在常数 A，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当 0 ＜｜x x0| ＜δ 时，不等式｜f(x) A| ＜ε 恒成立，则称常数A 是函数 f(x)当x → x0 时的极限，记作lim(x→x0) f(x) ＝ A。
数学分析知识点最全数学分析是数学的一个重要分支，它主要研究实数空间上的函数与序列的性质、极限、连续性、可微性等。
以下是数学分析的一些重要知识点：1.实数与复数的性质：包括实数和复数的定义、有理数和无理数的性质、实数的完备性、复数的代数和几何性质等。
2.数列的极限与收敛性：数列极限的定义、极限存在的判定、序列的比较、夹逼定理等。
3.函数的极限与连续性：函数极限的定义、函数极限存在的判定、函数的连续性与间断点、无穷点的连续性等。
4.导数与微分：导数的定义、导数存在的判定、导函数的计算法则、高阶导数与泰勒展开、凸凹性与拐点等。
5.不定积分与定积分：不定积分的定义与计算、变量替换法、分部积分法、定积分的定义与计算、定积分的应用（面积、弧长、体积等）等。
6.级数与幂级数：级数的定义与性质、级数的收敛性判定、常见级数的收敛性、幂级数的收敛半径与求和等。
7.解析几何与曲线的性质：平面曲线的方程、曲线的切线与法线、曲线的弧长与曲率等。
8.参数方程与极坐标系：参数方程与平面曲线的参数方程表示、平面曲线的切线与法线等。
9.函数项级数与傅立叶级数：函数项级数的收敛性判定、幂级数与傅立叶级数的展开等。
10.偏导数与多元函数的微分：偏导数的定义与计算、高阶偏导数、多元函数的全微分与偏微分、隐函数与显函数等。
11.多重积分与曲面积分：二重积分的定义与计算、三重积分的定义与计算、曲面积分的定义与计算等。
12.向量值函数与向量场：向量值函数的极限与连续性、向量场的散度与旋度等。
以上只是数学分析的一部分重要知识点，数学分析还包括很多其他内容，如场论、数学分析在物理学和工程中的应用等。
对于数学分析的学习，需要掌握一定的数学基础和逻辑思维能力，并进行大量的练习与实际应用。
数学分析重点概念整理第一章 集合与函数1. 集合定理1.1.1可列个可列集之并也是可列集。
定理1.1.2 有理数集Q 是可列集Descartes 乘积集合{(,)|}A B x y x A y B ⨯=∈∈并且 2. 映射与函数映射的基本要素映射要求元素的像必须是唯一的，但不要求逆像也具有唯一性。
基本初等函数Dirichlet 函数，任何有理数都是其周期。
定义1.2.7 算术平均值：1...n a a n ++，调和平均值111...nna a ++第二章 数列极限1.实数系的连续性上确界的定义：下确界的定义：定理 2.1.1(确界存在定理——实数系连续性定理)非空有上界的数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界。
定理2.1.2非空有界数集的上(下)确界是唯一的。
2.数列与数列极限数列极限的形式 (1)唯一性定理2.2.1 收敛数列的极限必唯一 (2)有界性定理2.2.2收敛数列必有界 (3)数列的保序性定理2.2.3 设数列{},{}n n x y 均收敛，若，且a b <，则存在正整数N ，当n N >是，成立n n x y <四则运算只能推广到有限个数列的情况3.无穷大量4.收敛准则定理2.4.1 单调有界数列必定收敛。
(确界存在定理)用定理证明的时候先用方法证明有界性(归纳法等)，再证明单调性(做差)用闭区间套定理可以证明定理2.4.3 实数集R 是不可列集。
定理2.4.5(Bolzano-Weierstrass 定理)有界数列必有收敛子列。
定理 2.4.6 若{}n x 是一个无界数列，则存在子列{}k n x 使得lim k n k x →∞=∞。
定理2.4.7(Cauchy收敛原理)数列{}n x收敛的充要条件是{}n x是基本数列。
由实数构成的基本数列必存在实数极限，这一性质称为实数系的完备性，有理数不具有完备性。
实数系之间的推理关系：定理2.4.8 实数系的完备性等价于实数系的连续性。
数学分析知识点总结一、实数系与复数系1.1 实数系的定义实数系是我们熟知的数系，包括有理数和无理数。
实数系满足加法、乘法封闭性、交换律、结合律、分配律等运算性质。
在实数系中，每个数都可以用小数形式表示，例如π=3.1415926535…，e=2.7182818284…等。
1.2 复数系的定义复数系是由实部和虚部组成的数，常用形式为a+bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，满足虚数单位的定义i²=-1。
复数系具有加法、乘法运算，也满足封闭性、交换律、结合律、分配律等运算性质。
1.3 实数系与复数系的关系实数系是复数系的一个子集，所有实数可以看作复数系中的实部为零的复数。
实数系和复数系是数学分析中的基础，涉及了数的概念和性质，对后续的学习具有重要的作用。
二、函数与极限2.1 函数的定义函数是一种对应关系，如果对于每一个自变量x，都有唯一确定的函数值f(x)，那么称f是x的函数，在数学分析中，常见的函数有多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
2.2 极限的概念极限是数学分析中的重要概念，用来描述函数在某一点附近的表现。
通俗地说，极限是函数在某一点上的“接近值”，用数学语言来描述，如果当自变量x趋近于a时，函数值f(x)趋近于L，那么称L是函数f(x)在x=a处的极限，记作lim(x→a)f(x)=L。
2.3 极限的性质极限有一些重要的性质，包括唯一性、局部有界性、保号性等。
同时，极限还具有四则运算性质，即两个函数的极限之和、差、积、商等于分别对应的函数的极限之和、差、积、商。
这些性质为求解极限问题提供了便利。
2.4 极限存在的条件函数在某一点处极限存在的条件有界性、单调性、有序性、保号性等。
在实际问题中，要根据极限存在的条件来判断函数在某一点处的极限是否存在。
2.5 极限的计算方法极限的计算方法包括用极限的性质、夹逼定理、洛必达法则等，这些方法能够帮助我们求解复杂的极限问题，对于深入理解函数的性质有很大的帮助。
（完整版）最新数学分析知识点最全汇总第⼀章实数集与函数§1实数授课章节：第⼀章实数集与函数——§1实数教学⽬的：使学⽣掌握实数的基本性质．教学重点：(1)理解并熟练运⽤实数的有序性、稠密性和封闭性；(2)牢记并熟练运⽤实数绝对值的有关性质以及⼏个常见的不等式．（它们是分析论证的重要⼯具）教学难点：实数集的概念及其应⽤．教学⽅法：讲授．（部分内容⾃学）教学程序：引⾔上节课中，我们与⼤家共同探讨了《数学分析》这门课程的研究对象、主要内容等话题．从本节课开始，我们就基本按照教材顺序给⼤家介绍这门课程的主要内容．⾸先，从⼤家都较为熟悉的实数和函数开始．[问题]为什么从“实数”开始．答：《数学分析》研究的基本对象是函数，但这⾥的“函数”是定义在“实数集”上的（后继课《复变函数》研究的是定义在复数集上的函数）．为此，我们要先了解⼀下实数的有关性质．⼀、实数及其性质1、实数(,q p q p ?≠有理数:任何有理数都可以⽤分数形式为整数且q 0)表⽰，也可以⽤有限⼗进⼩数或⽆限⼗进⼩数来表⽰.⽆理数:⽤⽆限⼗进不循环⼩数表⽰.{}|R x x =为实数--全体实数的集合．[问题]有理数与⽆理数的表⽰不统⼀，这对统⼀讨论实数是不利的．为以下讨论的需要，我们把“有限⼩数”（包括整数）也表⽰为“⽆限⼩数”．为此作如下规定：例： 2.001 2.0009999→L ；利⽤上述规定，任何实数都可⽤⼀个确定的⽆限⼩数来表⽰．在此规定下，如何⽐较实数的⼤⼩？2、两实数⼤⼩的⽐较1）定义1给定两个⾮负实数01.n x a a a =L L ，01.n y b b b =L L . 其中3 2.99992.001 2.0099993 2.9999→-→--→-L L L ；；00,a b 为⾮负整数，,k k a b (1,2,)k =L 为整数，09,09k k a b ≤≤≤≤．若有,0,1,2,k k a b k ==L ，则称x 与y 相等，记为x y =；若00a b >或存在⾮负整数l ，使得,0,1,2,,k k a b k l ==L ，⽽11l l a b ++>，则称x ⼤于y 或y ⼩于x ，分别记为x y >或y x <．对于负实数x 、y ，若按上述规定分别有x y -=-或x y ->-，则分别称为x y =与x y <（或y x >）．规定：任何⾮负实数⼤于任何负实数．2）实数⽐较⼤⼩的等价条件（通过有限⼩数来⽐较）．定义2（不⾜近似与过剩近似）：01.n x a a a =L L 为⾮负实数，称有理数01.n n x a a a =L 为实数x 的n 位不⾜近似；110n n n x x =+称为实数x 的n 位过剩近似，0,1,2,n =L .对于负实数01.n x a a a =-L L ，其n 位不⾜近似011.10n n n x a a a =--L ；n 位过剩近似01.n n x a a a =-L .注：实数x 的不⾜近似n x 当n 增⼤时不减，即有012x x x ≤≤≤L ；过剩近似n x 当n 增⼤时不增，即有012x x x ≥≥≥L ．命题：记01.n x a a a =L L ，01.n y b b b =L L 为两个实数，则x y >的等价条件是：存在⾮负整数n ，使n n x y >（其中n x 为x 的n 位不⾜近似，n y 为y 的n 位过剩近似）．命题应⽤例1．设,x y 为实数，x y <，证明存在有理数r ，满⾜x r y <<．证明：由x y <，知：存在⾮负整数n ，使得n n x y <．令()12n n r x y =+，则r 为有理数，且n n x x r y y ≤<<≤．即x r y <<．3、实数常⽤性质（详见附录Ⅱ．289302P P -）．1）封闭性（实数集R 对,,,+-?÷）四则运算是封闭的．即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍是实数．2）有序性：,a b R ?∈，关系,,a b a b a b <>=，三者必居其⼀，也只居其⼀.3）传递性：a b c R ?∈，，，,a b b c a c >>>若，则．4）阿基⽶德性：,,0a b R b a n N ?∈>>??∈使得na b >．5）稠密性：两个不等的实数之间总有另⼀个实数．6）⼀⼀对应关系：实数集R 与数轴上的点有着⼀⼀对应关系．例2．设,a b R ?∈，证明：若对任何正数ε，有a b ε<+，则a b ≤．（提⽰：反证法．利⽤“有序性”，取a b ε=-）⼆、绝对值与不等式1、绝对值的定义实数a 的绝对值的定义为,0||0a a a a a ≥?=?-从数轴看，数a 的绝对值||a 就是点a 到原点的距离．||x a -表⽰就是数轴上点x 与a 之间的距离．3、性质1）||||0;||00a a a a =-≥=?=（⾮负性）；2）||||a a a -≤≤；3）||a h h a h ；4）对任何,a b R ∈有||||||||||a b a b a b -≤±≤+（三⾓不等式）； 5）||||||ab a b =?；6）||||a ab b =（0b ≠）．三、⼏个重要不等式1、,222ab b a ≥+ .1 sin ≤x . sin x x ≤2、均值不等式:对,,,,21+∈?R n a a a Λ记 ,1 )(121∑==+++=ni i n i a n n a a a a M Λ (算术平均值) ,)(1121nn i i n n i a a a a a G ???? ??==∏=Λ (⼏何平均值) .1111111)(1121∑∑====+++=n i i n i i n i a n a n a a a na H Λ (调和平均值)有平均值不等式:),( )( )(i i i a M a G a H ≤≤即：1212111n n a a a nna a a +++≤≤+++L L 等号当且仅当n a a a ===Λ21时成⽴.3、Bernoulli 不等式:(在中学已⽤数学归纳法证明过),1->?x 有不等式(1)1, .n x nx n +≥+∈N当1->x 且0≠x ,N ∈n 且2≥n 时,有严格不等式.1)1(nx x n +>+ 证：由01>+x 且>+++++=-++?≠+111)1(1)1( ,01Λn n x n x x ).1( )1( x n x n n n +=+>.1)1( nx x n +>+?4、利⽤⼆项展开式得到的不等式:对,0>?h 由⼆项展开式,!3)2)(1(!2)1(1)1(32n n h h n n n h n n nh h ++--+-++=+Λ有 >+n h )1( 上式右端任何⼀项.［练习］P4．5［课堂⼩结］：实数：⼀实数及其性质⼆绝对值与不等式. [作业]P4．1．(1)，2．(2)、(3)，3§2数集和确界原理授课章节：第⼀章实数集与函数——§2数集和确界原理教学⽬的：使学⽣掌握确界原理，建⽴起实数确界的清晰概念. 教学要求：(1)掌握邻域的概念；(2)理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运⽤.教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）.教学难点：确界的定义及其应⽤.教学⽅法：讲授为主.教学程序：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导⼊新课.引⾔上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后⼜让⼤家⾃学了第⼀章§1实数的相关内容.下⾯，我们先来检验⼀下⾃学的效果如何！1、证明：对任何x R ∈有：(1)|1||2|1x x -+-≥；(2) |1||2||3|2x x x -+-+-≥. （111(2)12,121x x x x x -=+-≥--∴-+-≥Q （））（2121,231,23 2.x x x x x x -+-≥-+-≥-+-≥（）三式相加化简即可）2、证明：||||||x y x y -≤-.3、设,a b R ∈，证明：若对任何正数ε有a b ε+<，则a b ≤.4、设,,x y R x y ∈>，证明：存在有理数r 满⾜y r x <<.[引申]：①由题1可联想到什么样的结论呢？这样思考是做科研时的经常的思路之⼀.⽽不要做完就完了！⽽要多想想，能否具体问题引出⼀般的结论：⼀般的⽅法？②由上述⼏个⼩题可以体会出“⼤学数学”习题与中学的不同；理论性强，概念性强，推理有理有据，⽽⾮凭空想象；③课后未布置作业的习题要尽可能多做，以加深理解，语⾔应⽤.提请注意这种差别，尽快掌握本门课程的术语和⼯具.本节主要内容：1、先定义实数集R 中的两类主要的数集——区间与邻域；2、讨论有界集与⽆界集；3、由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）.⼀、区间与邻域1、区间（⽤来表⽰变量的变化范围）设,a b R ∈且a b <.有限区间区间⽆限区间，其中{}{}{}{}|(,)|[,]|[,)|(,]x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b ?∈<<=∈≤≤=∈≤<=∈<≤=开区间: 闭区间: 有限区间闭开区间:半开半闭区间开闭区间:{}{}{}{}{}|[,).|(,].|(,).|(,).|.x R x a a x R x a a x R x a a x R x a a x R x R ?∈≥=+∞?∈≤=-∞??∈>=+∞??∈<=-∞??∈-∞<<+∞=?⽆限区间2、邻域联想：“邻居”.字⾯意思：“邻近的区域”.与a 邻近的“区域”很多，到底哪⼀类是我们所要讲的“邻域”呢？就是“关于a 的对称区间”；如何⽤数学语⾔来表达呢？（1）a 的δ邻域：设,0a R δ∈>，满⾜不等式||x a δ-<的全体实数x 的集合称为点a 的δ邻域，记作(;)U a δ，或简记为()U a ，即 {}(;)||(,)U a x x a a a δδδδ=-<=-+.其中a δ称为该邻域的中⼼，称为该邻域的半径.（2）点a 的空⼼δ邻域{}(;)0||(,)(,)()o o U a x x a a a a a U a δδδδ=<-<=-?+@.（3）a 的δ右邻域和点a 的空⼼δ右邻域{}{}00(;)[,)();(;)(,)().U a a a U a x a x a U a a a U a x a x a δδδδδδ++++=+=≤<+=+=<<+@@（4）点a 的δ左邻域和点a 的空⼼δ左邻域{}{}00(;)(,]();(;)(,)().U a a a U a x a x a U a a a U a x a x a δδδδδδ+---=-=-<≤=-=-<<@@（5）∞邻域，+∞邻域，-∞邻域{}()||,U x x M ∞=>（其中M 为充分⼤的正数）； {}(),U x x M +∞=>{}()U x x M -∞=<-⼆、有界集与⽆界集1、定义1（上、下界）：设S 为R 中的⼀个数集.若存在数()M L ，使得⼀切x S ∈都有()x M x L ≤≥，则称S 为有上（下）界的数集.数()M L 称为S 的上界（下界）；若数集S 既有上界，⼜有下界，则称S 为有界集.闭区间[],a b 、开区间b a b a ,( ),(为有限数）、邻域等都是有界数集，集合 {}) , ( ,sin ∞+∞-∈==x x y y E 也是有界数集.若数集S 不是有界集，则称S 为⽆界集.) , 0 ( , ) 0 , ( , ) , (∞+∞-∞+∞-等都是⽆界数集,集合∈==) 1 , 0 ( ,1 x xy y E 也是⽆界数集. 注：1）上（下）界若存在，不唯⼀；2）上（下）界与S 的关系如何？看下例：例1 讨论数集{}|N n n +=为正整数的有界性.解：任取0n N +∈，显然有01n ≥，所以N +有下界1；但N +⽆上界.因为假设N +有上界M,则M>0，按定义，对任意0n N +∈，都有0n M ≤，这是不可能的，如取[]0[]1n M M M =+（符号表⽰不超过的最⼤整数），则0n N +∈，且0n M >.综上所述知：N +是有下界⽆上界的数集，因⽽是⽆界集.例2证明：（1）任何有限区间都是有界集；（2）⽆限区间都是⽆界集；（3）由有限个数组成的数集是有界集.[问题]：若数集S 有上界，上界是唯⼀的吗？对下界呢？(答：不唯⼀，有⽆穷多个).三、确界与确界原理1、定义定义2（上确界）设S 是R 中的⼀个数集，若数η满⾜：(1) 对⼀切,x S ∈有x η≤（即η是S 的上界）; (2) 对任何αη<，存在0x S ∈，使得0x α>（即η是S 的上界中最⼩的⼀个），则称数η为数集S 的上确界，记作sup .S η=从定义中可以得出：上确界就是上界中的最⼩者.命题1sup M E = 充要条件1）,x E x M ?∈≤；2）00,,o x S x M εε?>?∈>-使得.证明：必要性，⽤反证法.设2）不成⽴，则00,,o x E x M εε?>?∈≤-使得均有，与M 是上界中最⼩的⼀个⽭盾.充分性（⽤反证法），设M 不是E 的上确界，即0M ?是上界，但0M M >.令00M M ε=->，由2），0x E ?∈，使得00x M M ε>-=，与0M 是E 的上界⽭盾.定义3（下确界）设S 是R 中的⼀个数集，若数ξ满⾜：（1）对⼀切,x S ∈有x ξ≥（即ξ是S 的下界）；（2）对任何βξ>，存在0x S ∈，使得0x β<（即ξ是S 的下界中最⼤的⼀个），则称数ξ为数集S 的下确界，记作inf S ξ=.从定义中可以得出：下确界就是下界中的最⼤者.命题2 inf S ξ=的充要条件：1）,x E x ξ?∈≥；2）ε?＞0，00,x S x ∈有＜.ξε+上确界与下确界统称为确界.例3（1）,) 1(1-+=n S n 则sup S = 1 ；inf S = 0 . （2）{}.),0( ,sin π∈==x x y y E 则sup S = 1 ；inf S = 0 . 注：⾮空有界数集的上（或下）确界是唯⼀的.命题3：设数集A 有上（下）确界，则这上（下）确界必是唯⼀的.证明：设sup A η=，sup A η'=且ηη'≠，则不妨设ηη'<A sup =η?A x ∈?有η≤xsup A η'=?对ηη'<，0x A ?∈使0x η<，⽭盾.例：sup 0R -= ，sup 11n Z n n +∈??= ?+??，1inf 12n Z n n +∈??= ?+?? {}5,0,3,9,11E =-则有inf 5E =-.开区间(),a b 与闭区间[],a b 有相同的上确界b 与下确界a例4设S 和A 是⾮空数集，且有.A S ?则有.inf inf ,sup sup A S A S ≤≥. 例5设A 和B 是⾮空数集.若对A x ∈?和,B y ∈?都有,y x ≤则有.inf sup B A ≤证明：,B y ∈?y 是A 的上界,.sup y A ≤?A sup ?是B 的下界,.inf sup B A ≤?例6A 和B 为⾮空数集,.B A S Y =试证明:{}. inf , inf m in inf B A S = 证明：,S x ∈?有A x ∈或,B x ∈由A inf 和B inf 分别是A 和B 的下界,有A x inf ≥或{}. inf , inf m in .infB A x B x ≥?≥即{} inf , inf m in B A 是数集S 的下界,{}. inf , inf m in inf B A S ≥?⼜S A S ,??的下界就是A 的下界,S inf 是S 的下界,S inf ?是A 的下界,;inf inf A S ≤?同理有.inf inf B S ≤于是有{} inf , inf m in inf B A S ≤.综上,有{} inf , inf m in inf B A S =.1. 数集与确界的关系:确界不⼀定属于原集合.以例3⑵为例做解释.2. 确界与最值的关系:设 E 为数集.（1）E 的最值必属于E ,但确界未必,确界是⼀种临界点.（2）⾮空有界数集必有确界(见下⾯的确界原理),但未必有最值.（3）若E max 存在,必有.sup max E E =对下确界有类似的结论.4. 确界原理:Th1.1(确界原理).设S ⾮空的数集.若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必有下确界.这⾥我们给⼀个可以接受的说明 ,E R E ?⾮空，E x ∈?，我们可以找到⼀个整数p ，使得p 不是E 上界，⽽1p +是E 的上界.然后我们遍查9.,,2.,1.p p p Λ和1+p ，我们可以找到⼀个0q ，900≤≤q ，使得0.q p 不是E 上界，)1.(0+q p 是E 上界，如果再找第⼆位⼩数1q ，,Λ如此下去，最后得到Λ210.q q q p ，它是⼀个实数，即为E 的上确界.证明：（书上对上确界的情况给出证明，下⾯讲对下确界的证明）不妨设S 中的元素都为⾮负数，则存在⾮负整数n ，使得1）S x ∈?，有n x >；2）存在S x ∈1，有1+≤n x ；把区间]1,(+n n 10等分，分点为n.1，ｎ.2，．．．,ｎ.9, 存在1n ，使得 1）S ∈?，有；1.n n x >；2）存在S x ∈2，使得10112.+≤n n x ．再对开区间111(.,.]10n n n n +10等分，同理存在2n ，使得1）对任何S x ∈，有21.n n n x >；2）存在2x ，使2101212.+≤n n n x 继续重复此步骤，知对任何Λ,2,1=k ，存在k n 使得1）对任何S x ∈，k k n n n n x 10121.->Λ；2）存在S x k ∈，k k n n n n x Λ21.≤．因此得到ΛΛk n n n n 21.=η．以下证明S inf =η．（ⅰ）对任意S x ∈，η>x ；（ⅱ）对任何ηα>，存在S x ∈'使x '>α．［作业］：P9 1（1），（2）； 2； 4（2）、（4）；７§3函数概念授课章节：第⼀章实数集与函数——§3 函数概念教学⽬的：使学⽣深刻理解函数概念.教学要求：（１）深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表⽰法；（２）牢记基本初等函数的定义、性质及其图象.会求初等函数的存在域，会分析初等函数的复合关系.教学重点：函数的概念.教学难点：初等函数复合关系的分析.教学⽅法：课堂讲授，辅以提问、练习、部分内容可⾃学.教学程序：引⾔关于函数概念，在中学数学中已有了初步的了解.为便于今后的学习，本节将对此作进⼀步讨论.⼀、函数的定义１．定义１设,D M R∈，，如果存在对应法则f，使对x D存在唯⼀的⼀个数y M∈与之对应，则称f是定义在数集D上的函数，记作→:f D M→ .|x y数集D称为函数f的定义域，x所对应的y，称为f在点x的函数值，记为()f D.f x.全体函数值的集合称为函数f的值域，记作()即{}==∈.()|(),f D y y f x x D２．⼏点说明（1）函数定义的记号中“:f D M→”表⽰按法则f建⽴D到M 的函数关系，|x y→表⽰这两个数集中元素之间的对应关系，也记作→.习惯上称x⾃变量，y为因变量.|()x f x（2）函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域.当对应法则和定义域确定后，值域便⾃然确定下来.因此，函数的基本要素为两个：定义域和对应法则.所以函数也常表⽰为：(),y f x x D =∈. 由此，我们说两个函数相同，是指它们有相同的定义域和对应法则.例如：1）()1,,f x x R =∈ {}()1,\0.g x x R =∈（不相同，对应法则相同，定义域不同）2）()||,,x x x R ?=∈ 2(),.x x x R ψ=∈（相同，只是对应法则的表达形式不同）.（3）函数⽤公式法（解析法）表⽰时，函数的定义域常取使该运算式⼦有意义的⾃变量的全体，通常称为存在域（⾃然定义域）.此时，函数的记号中的定义域可省略不写，⽽只⽤对应法则f 来表⽰⼀个函数.即“函数()y f x =”或“函数f ”.（4）“映射”的观点来看，函数f 本质上是映射，对于a D ∈，()f a 称为映射f 下a 的象.a 称为()f a 的原象.（5）函数定义中，x D ?∈，只能有唯⼀的⼀个y 值与它对应，这样定义的函数称为“单值函数”，若对同⼀个x 值，可以对应多于⼀个y 值，则称这种函数为多值函数.本书中只讨论单值函数（简称函数）.⼆、函数的表⽰⽅法1 主要⽅法：解析法（公式法）、列表法（表格法）和图象法（图⽰法）.2 可⽤“特殊⽅法”来表⽰的函数.1）分段函数：在定义域的不同部分⽤不同的公式来表⽰.例如 1,0sgn 0,01,0x x x x >??==??-，（符号函数）（借助于sgnx 可表⽰()||,f x x =即()||sgn f x x x x ==）.2）⽤语⾔叙述的函数.（注意；以下函数不是分段函数）例１）[]y x =（取整函数）⽐如： [3.5]=3, [3]=3, [-3.5]=-4.常有 [][]1x x x ≤<+, 即[]01x x ≤-<.与此有关⼀个的函数[]{}y x x x =-@（⾮负⼩数函数）图形是⼀条⼤锯，画出图看⼀看.２）狄利克雷（Dirichlet ）函数1,()0,x D x x ?=??当为有理数,当为⽆理数,这是⼀个病态函数，很有⽤处，却⽆法画出它的图形.它是周期函数，但却没有最⼩周期，事实上任⼀有理数都是它的周期.３）黎曼（Riemman ）函数 1,(,,()0,0,1(0,1)p p x p q N q q q R x x +?=∈?=??=?当为既约分数),当和内的⽆理数.三函数的四则运算给定两个函数12,,,f x D g x D ∈∈，记12D D D =U ，并设D φ≠，定义f 与g 在D 上的和、差、积运算如下：()()(),F x f x g x x D=+∈；()()(),G x f x g x x D =-∈；()()(),H x f x g x x D =∈. 若在D 中除去使()0g x =的值，即令{}2\()0,D D x g x x D φ=≠∈≠g ，可在D g 上定义f 与g 的商运算如下；()(),()f x L x x Dg x =∈g . 注：１）若12D D D φ==U ，则f 与g 不能进⾏四则运算.２）为叙述⽅便，函数f 与g 的和、差、积、商常分别写为：,,,f f g f g fg g+-. 四、复合运算１．引⾔在有些实际问题中函数的⾃变量与因变量通过另外⼀些变量才建⽴起它们之间的对应关系.例：质量为m 的物体⾃由下落，速度为v ，则功率E 为2221122E mv E mg t v gt ?=??=??=?. 抽去该问题的实际意义，我们得到两个函数21(),2f v mv v gt ==，把()v t 代⼊f ，即得221(())2f v t mg t =. 这样得到函数的过程称为“函数复合”，所得到的函数称为“复合函数”.[问题] 任给两个函数都可以复合吗？考虑下例；2()arcsin ,[1,1],()2,y f u u u D u g x x x E R ==∈=-==+∈=.就不能复合，结合上例可见，复合的前提条件是“内函数”的值域与“外函数”的定义域的交集不空（从⽽引出下⾯定义）.2．定义（复合函数）设有两个函数(),,(),y f u u D u g x x E =∈=∈，{}()E x f x D E =∈g I ，若E φ≠g ，则对每⼀个x E ∈g ，通过g 对应D 内唯⼀⼀个值u ，⽽u ⼜通过f 对应唯⼀⼀个值y ，这就确定了⼀个定义在E g 上的函数，它以x 为⾃变量，y 因变量，记作(()),y f g x x E =∈g 或()(),y f g x x E =∈g o .简记为f g o .称为函数f 和g 的复合函数，并称f 为外函数，g 为内函数，u 为中间变量.3. 例⼦例 .1)( ,)(2x x g u u u f y -==== 求 ()[]).()(x g f x g f =ο并求定义域.例⑴._______________)( ,1)1(2=++=-x f x x x f⑵ .1122xx x x f +=??? ??+ 则) ( )(=x fA. ,2xB. ,12+xC. ,22-xD. .22+x例讨论函数()[0,)y f u u ==∈+∞与函数()u g x x R ==∈能否进⾏复合，求复合函数.4 说明１）复合函数可由多个函数相继复合⽽成.每次复合，都要验证能否进⾏？在哪个数集上进⾏？复合函数的最终定义域是什么？例如：2sin ,1y u u v x ===-，复合成：[1,1]y x =∈-.２）不仅要会复合，更要会分解.把⼀个函数分解成若⼲个简单函数，在分解时也要注意定义域的变化. ①2log (0,1)log ,1.a a y x y u u z x =∈→===-②2arcsin , 1.y y u u v x =→===+③2sin 222,,sin .x u y y u v v x =→===五、反函数１.引⾔在函数()y f x =中把x 叫做⾃变量，y 叫做因变量.但需要指出的是，⾃变量与因变量的地位并不是绝对的，⽽是相对的，例如：2()1,f u u t ==+ 那么u 对于f 来讲是⾃变量，但对t 来讲，u 是因变量.习惯上说函数()y f x =中x 是⾃变量，y 是因变量，是基于y 随x 的变化现时变化.但有时我们不仅要研究y 随x 的变化状况，也要研究x 随y 的变化的状况.对此，我们引⼊反函数的概念.２.反函数概念定义设→X f :R 是⼀函数，如果?1x ，X x ∈2, 由)()(2121x f x f x x ≠?≠(或由2121)()(x x x f x f =?=)，则称f 在X 上是 1-1 的.若Y X f →:，)(X f Y =，称f 为满的.若 Y X f →:是满的 1-1 的，则称f 为1-1对应.→X f :R 是1-1 的意味着)(x f y =对固定y ⾄多有⼀个解x ，Y X f →:是1-1 的意味着对Y y ∈，)(x f y =有且仅有⼀个解x .。
数学分析知识点总结数学分析是数学的基础学科之一，需要掌握的知识点很多。
以下是数学分析的一些基本知识点总结：一、极限与连续1. 实数与数列：实数的定义、有界性与稠密性、数列的极限与收敛性、Cauchy收敛准则。
2. 函数极限与连续：函数极限的定义、单侧极限与无穷极限、函数的连续性、Intermediate Value Theorem、间断点与可去间断点、无穷间断点。
二、导数与微分1.导数的定义与性质：导数的定义、导数的几何意义与物理意义、导数的性质（和差积商法则、链式法则等）、高阶导数、隐函数与由参数方程所确定的函数的导数。
2. 微分与微分中值定理：微分的概念与表达式、Rolle定理、Lagrange中值定理、Cauchy中值定理、Taylor公式与多项式逼近。
三、积分与积分学应用1.不定积分与定积分：不定积分的定义与性质、定积分的定义与性质、牛顿-莱布尼茨公式、换元法与分部积分法、定积分的几何与物理应用。
2.定积分求和与平均值：定积分求和的性质、定积分的平均值定理、定积分的迭加性质、定积分的估值与比较定理。
3.曲线与曲面的长度、面积与体积：曲线的长度、曲面的面积、旋转体的体积、曲线与曲面的参数化等。
四、级数与函数项级数1.数列级数与级数收敛性：数列的级数与偏序集、级数的部分和与极限、级数的收敛性判别法（比较判别法、比值判别法、根值判别法、积分判别法等）。
2. 函数项级数：函数项级数的定义与性质、幂级数与Taylor级数、幂级数的收敛半径与收敛区间、函数项级数的逐项求导与逐项求积、函数项级数的一致收敛与逐点收敛。
五、一元多项式与实代数函数1.多项式函数：多项式的定义与性质（系数、次数、根与因式分解等）、多项式函数的性质与图像。
2.真分式函数与部分分式分解：真分式的定义与性质、真分式的等价性、部分分式分解的方法与应用。
3.实代数函数：实代数函数的定义与性质、实代数函数的根与曲线的图像等。
六、基本解析几何1.点、线、面：基础概念与性质、点、线、面间的关系、点、线、面的投影与旋转等。
最新数学分析知识点最全汇总
1、极限的概念：极限是理论数学的基础，它通过描述函数的行为，
我们可以测量函数随着变量变化时函数结果的变化情况，并从中推断函数
的一些性质，比如函数是否可以导数、函数是在一些值附近是否有极值等。
2、微积分的概念：微积分是一门描述函数变化的数学分析，由微分
和积分组成。
它解决了复杂的函数变化问题，比如求函数极值的点、求函
数的曲线与轴线的交点等。
3、复数的概念：复数是一种数学概念，它由实部和虚部组成，可以
使用较复杂的函数来描述复数的变化，并且可以增强函数的可解性。
4、矩阵分析：矩阵分析可以用来描述线性方程组的解，可以对向量
空间及其子空间进行研究。
可以用来分析一些常见的函数、矩阵及它们之
间的关系。
5、定积分：定积分是一种计算函数的积分方法，它可以用来求解一
些复杂的积分问题，如求椭圆的面积等。
6、级数的概念：级数是一种表示数字或函数变化的数学工具，它可
以用来表示一系列数字或函数，比如Maclaurin级数就可以用来表示指数
函数的变化。
7、泰勒级数：泰勒级数是一种描述函数变化的数学工具，它可以用
来估计函数的近似值，比如用泰勒级数估计函数值的精确度高于用极限。
最新数学分析知识点最全汇总数学分析是数学的重要分支，它涉及到函数、极限、微分和积分等基本概念和方法。
本文将全面介绍数学分析的最新知识点，包括极限、导数、积分、级数、泰勒展开等。
一、极限1. 数列极限：给定一个实数序列{an}，若存在实数A，使得对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，当n>N时，有，an-A，<ε，那么称A为序列{an}的极限。
2. 函数极限：设函数f(x)在x0的一些去心邻域内有定义，若存在常数A，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0<，x-x0，<δ时，有，f(x)-A，<ε，则称函数f(x)在x0处的极限为A，记作lim(x→x0)f(x)=A。
3. 极限运算法则：设lim(x→x0)f(x)=A，lim(x→x0)g(x)=B，则有lim(x→x0)(f(x)±g(x))=A±B，lim(x→x0)(f(x)g(x))=AB，lim(x→x0)(f(x)/g(x))=A/B（其中B≠0）。
4. 无穷大与无穷小：当x→∞时，称f(x)是无穷大，记作lim(x→∞)f(x)=∞；当x→∞时，称f(x)是无穷小，记作lim(x→∞)f(x)=0。
二、导数与微分1. 导数的定义：设函数f(x)在点x0的一些去心邻域内有定义，如果极限lim(h→0)(f(x0+h)-f(x0))/h存在，那么称这个极限为函数f(x)在点x0处的导数，记作f'(x0)。
2. 导数的运算法则：设f(x)和g(x)都在点x0处可导，则有导数和的运算法则(d/dx)(f(x)±g(x))=f'(x)±g'(x)，导数的乘法法则(d/dx)(f(x)g(x))=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)，导数的除法法则(d/dx)(f(x)/g(x))=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/[g(x)]^23.高阶导数：函数f(x)的导数关于x的导数称为f(x)的二阶导数，记作f''(x)，依此类推，可得到f(x)的高阶导数。
《数学分析(3)》知识点整理
一、积分变换、微分变换
1.重积分变换：
（1）重积分的定义：定义函数F(x)的重积分为
恒定a的重积分，即，
若F(x)是以a为界的累积函数，则称为
（2）重积分的性质：
a)重积分的计算公式为：
b)重积分的分部积分：
c)重积分的这个积分变换所得无穷积分计算公式：
2.连续函数的微分变换：
（1）微分变换：定义函数f（x）在区间（a，b）上的微分变换为：
（3）微分变换的计算公式：
二、定积分应用
1.定积分的定义：在实数域上定义的函数的定积分的定义如下：
若f(x)在闭区间[a,b]上可导，则F(x)定义在[a,b]上的定积分为：
（i）原函数关于x的定积分的计算公式：
3.定积分的特殊情况：
（1）定积分可以用来求一般函数在区间极限：
（3）定积分可用向量场的方向在偶分野上的积分：
（4）定积分可用于求解概率分布函数的极限问题：
三、曲线积分
曲线积分是根据几何图形求积分的一种方法。
曲线积分有以下特点：
（1）以曲线形式表示函数：在曲线积分中，用几何图形形式代表函数f (x)，通过分段求面积，求出函数f (x)在原区间内的积分值。
（2）根据曲线形状更改区间：对于复杂曲线，可以将原区间拆分几个较小的区间，在拆分区间上，让函数的形状较为简单，以此求解。
（3）根据不同的函数，使用不同的方法：曲线面积求积法可分为三种：半圆面积求积法、梯形面积求积法和轴对称图形的面积求积法。
(完整版)数学分析知识点总结数学分析知识点总结导数与微分- 导数的定义：导数是一个函数在某一点的斜率，表示函数的增减速度。
- 常见函数的导数公式：- 幂函数：$(x^n)' = nx^{n-1}$- 指数函数：$(a^x)' = a^x\ln(a)$- 对数函数：$(\log_a(x))' = \frac{1}{x\ln(a)}$- 微分的定义：微分是切线在某一点处的线性近似，表示函数在该点的局部变化情况。
积分与不定积分- 不定积分的定义：不定积分是对函数的原函数的求解，表示函数从某一点到变量的积分结果。
- 常见函数的基本积分公式：- 幂函数：$\int x^n dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$- 正弦函数：$\int \sin(x) dx = -\cos(x) + C$- 余弦函数：$\int \cos(x) dx = \sin(x) + C$一元函数极限- 极限的定义：函数在某一点处的极限是函数在这一点附近的取值逐渐趋于某个固定值的情况。
- 常见函数的极限计算方法：- 算术运算法则：常数的极限是常数本身；极限的和等于极限的和；极限的乘积等于极限的乘积。
- 复合函数法则：对于复合函数，可以先求内层函数的极限，再求外层函数的极限。
泰勒级数- 泰勒级数的定义：泰勒级数是一个函数在某一点附近的展开式，由函数在该点的导数决定。
- 常见函数的泰勒级数展开：- 幂函数：$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 +\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \dots$以上是数学分析的一些基本知识点总结，希望对您有所帮助。
数学分析复习要点上册第一章实数集与函数内容：实数集相关概念及性质、确界原理，复合函数，反函数，基本初等函数与初等函数，函数的有界性、单调性及奇偶性等相关问题。
重点：邻域，上、下确界的概念，确界原理。
第二章数列极限内容：数列极限的精确定义与性质，单调数列概念，单调有界定理、柯西收敛准则，收敛与发散数列，数列极限存在条件。
重点：数列极限的精确定义，利用ε-Ν定义证题，收敛数列性质，数列极限的求法。
第三章函数极限内容：函数极限的概念与性质、函数极限的存在性，两个重要极限，无穷量及阶的比较，曲线的渐近线。
重点：函数极限的精确定义及其证题，极限的求法，极限存在准则，两个重要极限，常用等价无穷小。
第四章函数的连续性内容：函数的连续与间断的概念，间断点的分类，连续函数的局部性质与闭区间上连续函数的基本性质，初等函数的连续性。
重点：函数在一点连续与左、右连续概念，间断点及分类，连续性的判别，闭区间上连续函数的最值性、有界性、介值性、根的存在性与一致连续性定理，初等函数的连续性及在求极限中应用。
第五章导数和微分内容：导数与高阶导数的概念，导数的几何意义，求导法则与公式、各类型函数（尤其复合函数）的求导（含高阶导数）法，函数极值的概念与费马定理、达布定理、微分与高价微分概念与性质及应用。
重点：导数的几何意义的应用，基本求导公式及求导法，微分形式不变性，可导、可微与连续的关系。
第六章微分中值定理及其应用内容：三个微分中值定理，利用导数研究函数的单调性、不定式极限、泰勒公式，函数的极值与最值的求法，函数的凹凸性及函数的作图。
重点：三个微分中值定理，特别是拉格朗日中值定理及推论，函数单调性与凹凸性的判定及其应用，不定式极限求法、函数的极值与最值的求法及应用。
第七章实数的完备性内容：区间套、点集聚点与开覆盖概念的概念、实数完备性七个基本定理的內容及证明（除确界原理）。
闭区间上连续函数性质的证明。
重点：区间套定理。
第八章不定积分内容：原函数与不定积分的概念与性质，不定积分的求法、重点：原函数与不定积分的概念，基本积分公式，利用換元积分法与分部积分法求不定积分。
《数学分析》考试知识点题目类型及所占比例：填空题（20分）、解答题（60分）、证明题(70分)考试范围：一、极限和函数的连续性考试内容：1映射与函数的概念及表示法，函数的四则运算、复合函数与反函数的求法，函数的有界性、奇偶性、单调性与周期性；2数列与函数极限的定义与性质，函数的左右极限，无穷小量与无穷大量的概念及关系、无穷小量与无穷大量的阶，极限的计算；3函数的连续性和一致连续性；4实数系的连续性；5连续函数的各种性质。
考试要求：1理解映射与函数的概念，掌握函数的表示法；会函数的四则运算、复合运算；知道反函数及隐函数存在的条件及求法；了解初等函数的概念，会求初等函数的定义域；2理解函数与数列极限(包括左右)的概念，会用极限的概念证明有关极限的命题；熟练掌握极限的四则运算及性质；会问题及简单的求函数熟练掌握数列极限与函数极限的概念；理解无穷小量的概念及基本性质。
掌握极限的性质及四则运算性质，能够熟练运用两面夹原理和两个特殊极限。
掌握实数系的基本定理。
熟练掌握函数连续性的概念及相关的不连续点类型。
熟练掌握闭区间上连续函数的性质。
二、一元函数微分学考试主要内容：微分的概念、导数的概念、微分和导数的意义；求导运算；微分运算；微分中值定理；洛必达法则、泰勒展式；导数的应用。
考试要求：理解导数和微分的概念。
熟练掌握函数导数与微分的运算法则，包括高阶导数的运算法则、复合函数求导法则，会求分段函数的导数。
熟练掌握Rolle中值定理，Lagrange中值定理和Cauchy中值定理以及Taylor展式。
能用导数研究函数的单调性、极值，最值和凸凹性。
掌握用洛必达法则求不定式极限的方法。
三、一元函数积分学考试主要内容：定积分的概念、性质和微积分基本定理；不定积分和定积分的计算；定积分的应用；广义积分的概念和广义积分收敛的判别法。
考试要求：理解不定积分的概念。
掌握不定积分的基本公式，换元积分法和分部积分法，会求初等函数、有理函数和三角有理函数的积分。
第一篇 分析基础 1.1收敛序列（收敛序列的定义）定义：设}{n x 是实数序列，a 是实数，如果对任意0>ε都存在自然数N ，使得只要N n >，就有ε<-a x n那么}{n x 收敛，且以a 为极限，称为序列}{n x 收敛收敛于a ，记为a x n =lim 或者)(+∞→→n a x n定理1：如果序列}{n x 有极限，那么它的极限是唯一的。
定理2（夹逼原理）：设}{n x ，}{n y 和}{n z 都是实数序列，满足条件N n z y x n n n ∈∀≤≤,如果a z x n n ==lim lim ，那么}{n y 也是收敛序列，且有a y n =lim定理3：设}{n x 是实数序列，a 是实数，则以下三陈述等价（1） 序列}{n x 以a 为极限； （2） {}n x a -是无穷小序列； （3） 存在无穷小序列{}n a 使得,1,2,.n n x a a n =+=（收敛序列性质）定理4：收敛序列}{n x 是有界的。
定理5：（1）设a x n =lim ，则a x n =lim 。
（2）设a x n =lim ，b y n =lim ，则b a y x n n ±=±)lim (。
（3）设a x n =lim ，b y n =lim ，则ab y x n n =)lim(。
（4）设0≠n x ，0lim ≠=a x n ，则ax n 11lim=。
（5）设0≠n x ，0lim ≠=a x n ，b y n =lim ，则lim limlim n n n n y y b x x a==。
（收敛序列与不等式）定理6：如果lim lim n n x y <，那么存在0N N ∈，使得0n N >时有n n x y <定理7：如果}{n x 和{}n y 都是收敛序列，且满足0,,n n x y n N ≤∀>那么lim lim n n x y ≤1.2 收敛原理（单调序列定义）定义：（１）若实数序列}{n x 满足1,,n n x x n N +≤∀∈则称}{n x 是递增的或者单调上升的，记为{}.n x ↑（２）若实数序列{}n y 满足1,,n n y y n N +≥∀∈则称{}n y 是递减的或者单调下降的，记为{}n y ↓（３）单调上升的序列和单调下降的序列统称为单调序列。
数学分析理论整理一、实数完备性：1. 关于实数完备性的基本定理◇确界原理（该教材的理论基础、最基本定理）（用实数的无限小数表示证明）◇单调有界定理（用确界原理证明）◇区间套定理（用单调有界定理证明）◇有限覆盖定理（用区间套定理证明）◇聚点定理（用区间套定理证明）推论：致密性定理◇柯西收敛准则（用区间套定理或致密性定理证明）2. 上极限和下极限◇有界点列至少有一个聚点，且存在最大聚点与最小聚点（类似聚点定理，用区间套定理证明）◇A为{a n}上极限<＝> (i)存在N＞0，使得当n＞N时有a n＜A+ε；(ii)存在子列{a nk}，a nk＞A-ε◇A为{a n}上极限<＝>任何α＞A，大于α的项有限个；任何β＜A，大于β的项无限多个◇上、下极限保不等式性◇A为{a n}上极限<＝>A=limsup{a k} (n→∞, k≥n)二、极限1. 收敛数列的性质：◇唯一性◇有界性◇保号性◇保不等式性◇迫敛性◇四则运算法则◇数列{a n}收敛<＝>{a n}的任何非平凡子列都收敛2. 数列极限存在的条件：◇单调有界定理（用确界原理证明）◇柯西收敛准则（用区间套定理或致密性定理证明）3. 函数极限的性质◇唯一性◇局部有界性◇局部保号性◇保不等式性◇迫敛性◇四则运算法则4. 函数极限存在的条件◇归结原则◇单调有界定理（适用于单侧极限）◇柯西准则（用归结原则和数列柯西收敛准则证明）5. 无穷小量与无穷大量◇若f与g为等价无穷小量，则lim(f*h)=lim(g*h)，lim(h/f)=lim(h/g)◇若f为x→x0时的无穷小量（且在空心邻域内不等于0），则1/f 为x→x0时的无穷大量◇若g为x→x0时的无穷大量，则1/g为x→x0时的无穷小量三、函数的连续性1. 连续函数的性质◇局部有界性◇局部保号性◇四则运算法则◇若f在x0连续，g在u0=f(x0)连续，则g(f(x))在x0连续◇有界性定理（适用于闭区间）（用局部有界性与有限覆盖定理证明）◇最大最小值定理（适用于闭区间）（用有界性定理和确界原理证明）◇根的存在定理（适用于闭区间）（用局部保号性和区间套定理证明）◇介值性定理（适用于闭区间）（用根的存在定理证明）◇一致连续性定理（用有限覆盖定理证明）四、导数和微分1. 导数的概念◇费马定理（可导函数极值的必要条件）（用连续函数局部保号性证明）◇导函数的介值定理（用最大最小值定理和费马定理证明）2. 求导法则◇四则运算法则◇反函数的导数◇复合函数的导数及其引理◇参变量函数的导数◇高阶导数3. 微分◇可微<＝>可导，且微分AΔx中的A等于导数（用有限增量公式证明）◇微分运算法则（由导数运算法则推出）◇高阶微分◇一阶微分形式的不变性 / 高阶微分不具有形式不变性4. 微分中值定理◇罗尔中值定理（用连续函数最大最小值定理与费马定理证明）◇拉格朗日中值定理（用罗尔中值定理证明）◇导数极限定理（用拉格朗日中值定理证明）◇函数（严格）单调递增（减）的充要条件（用拉格朗日中值定理证明）◇柯西中值定理（用罗尔中值定理证明）◇洛必达法则（用柯西中值定理证明）5. 泰勒公式◇佩亚诺余项（用洛必达法则证明）◇拉格朗日余项（泰勒定理）（用柯西中值定理证明）◇积分型余项（用推广的定积分分部积分法证明）◇柯西型余项（对积分型余项使用积分第一中值定理得）6. 函数的极值◇极值的第三充分条件：设f在x0某邻域内存在n-1阶导函数，在x0处可导，且f(k)(x0)=0 (k=1,2,...,n-1)，f(n)(x0)≠0，则：(i) 当n为偶数时，f在x0取极值，且当f(n)(x0) ＜0时取极大值，当f(n)(x0) ＞0时取极小值；(ii) 当n为奇数时，f在x0处不取极值（在x0处用n阶泰勒公式（佩亚诺余项）证明，极值第二充分条件可作为其推论）7. 凸函数的性质◇充要条件：对I上的任意三点x1＜x2＜x3，总有(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)≤(f(x3)-f(x2))/(x3-x2)◇充要条件：对I上的任意三点x1＜x2＜x3，总有(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)≤(f(x3)-f(x1))/(x3-x1)≤(f(x3)-f(x2))/(x3-x2)◇充要条件：f’为I上的增函数（用上两条（引理）证）◇充要条件：对I上的任意两点x1、x2，f(x2) ≥ f(x1)+f’(x1)(x2- x1)（用拉格朗日中值定理与上一条定理证）◇Jensen不等式（用数学归纳法证）五、积分1. 不定积分法◇换元积分法（用复合函数求导法验证）◇分部积分法（由乘积求导法推出）2. 可积性理论◇可积必有界◇上和是所有积分和的上确界，下和是所有积分和的下确界◇T’为T添加p个新分点后的分割，则S(T) ≥S(T’) ≥S(T)-(M-m)p||T||，s(T) ≤s(T’) ≤s(T)+(M-m)p||T||◇达布定理：limS(T)=S，lims(T)=s (||T||→0)（用上一条性质证明）◇可积第一充要条件：S=s（用达布定理证明）◇可积第二充要条件（可积准则）：S(T)-s(T) ＜ε，即∑ωΔx＜ε（用可积第一充要条件证明）◇可积第三充要条件：任可正数ε、η，T中ω≥ε的区间总长∑Δx ＜η（用可积第二充要条件证明）◇闭区间上连续函数可积（用可积准则证明）◇闭区间上有限间断点的函数可积（用可积准则证明）◇闭区间上单调函数可积（用可积准则证明）3. 定积分性质◇牛顿—莱布尼茨公式（用拉格朗日中值定理证明）◇线性性质◇f、g可积则fg可积（用可积准则证明）◇积分区间可加性（用可积准则证明）◇保号性推论：积分不等式性◇f可积则|f|也可积，且|∫fdx|＜∫|f|dx（用绝对值不等式与可积准则证明）◇积分第一中值定理（用连续函数最大最小值定理和介值性定理证明）◇推广的积分第一中值定理（用连续函数最大最小值定理和介值性定理证明）◇变限积分在[a,b]上连续（用积分区间可加性和可积必有界证明）◇原函数存在定理（微积分学基本定理）（用积分第一中值定理证明）◇积分第二中值定理（用变限积分连续、连续函数最大最小值定理、介值性定理、积分区间可加性、可积准则证明）推论：[a, b]上f可积，g单调，则存在ξ使∫f(x)g(x)dx=g(a) ∫aξf(x)dx+g(b) ∫ξb f(x)dx◇换元积分法、分部积分法（类似不定积分，由微分法逆得）4. 定积分的应用◇平面图形的面积A=∫|f(x)|dx=∫|y(t)x’(t)|dt◇由平行截面面积求体积V=∫A(x)dx◇平面曲线的弧长s=∫ (x’2(t)+y’2(t))^(1/2)dt（用拉格朗日中值定理证明）◇平面曲线的曲率K=|x’y’’-x’’y’|/(x’2+y’2)^(3/2)（由弧微分推得）◇旋转曲面的面积S=2π∫y(t)(x’2(t)+y’2(t))^(1/2)dt5. 反常积分◇无穷积分收敛的充要条件：任给正数ε，存在G，只要a, b＞G，|∫a b f(x)dx|＜ε（即柯西准则）◇无穷积分线性性质◇无穷积分区间可加性◇无穷积分收敛的充要条件：任给正数ε，存在G，只要u＞G，|∫u∞f(x)dx|＜ε（由区间可加结合收敛定义证明）◇|f|收敛则f也可积，且|∫a∞fdx|＜∫a∞|f|dx（用柯西收敛准则、定积分绝对值不等式、极限保不等式性证明）◇无穷积分比较法则（用单调有界定理证明）推论：(i) |f(x)| ≤1/xp且p＞1时，∫a∞|f(x)|dx 收敛；(ii) |f(x)| ≥1/xp且p≤1时，∫a∞|f(x)|dx 发散◇若f和g都在[a,u]上可积，g(x) ＞0，且lim|f(x)|/g(x)=c，则(i)0＜c＜+∞时，∫a∞g(x)dx与∫a∞|f(x)|dx 同敛态；(ii)c=0时，∫a∞g(x)dx 收敛时∫a∞|f(x)|dx必收敛；(iii) ∫a∞g(x)dx发散时∫a∞|f(x)|dx必发散（用比较法则证明）推论：limxp|f(x)|=c，(i)p＞1，0≤c＜+∞时，∫a∞|f(x)|dx 收敛；(ii)p≤1，0＜c≤+∞时，∫a∞|f(x)|dx发散◇狄里克雷判别法（用积分第二中值定理和柯西收敛准则证明）◇阿贝尔判别法（用积分第二中值定理或狄里克雷判别法证明）◇瑕积分收敛柯西准则（类似无穷积分）◇瑕积分线性性质（类似无穷积分）◇瑕积分区间可加性（类似无穷积分）◇瑕积分绝对值不等式（类似无穷积分）◇瑕积分比较法则及推论（类似无穷积分）◇瑕积分比较法则极限形式及推论（类似无穷积分）--------------------------------------------注：1. 该整理是由包晨风根据华东师大数学系编的《数学分析（上册）》完成的2. 斜体字为证明方法提示（并不唯一，只是个人觉得较方便的方法），无斜体字的均可由定义证出3. 该整理不包括任何定义，部分定理的叙述从简，并不严谨4. 该整理的编排顺序与教材不同，除了泰勒公式的积分型余项和柯西型余项，其余定理或性质的证明所需的前置定理均可在前文中找到5. 请大家多指教。
数学分析全章复习讲义
在这份文档中，我们将对数学分析的各个章节进行复，并提供一些重点思路和要点。
第一章：实数和数列
- 实数的定义和性质
- 数列的定义和性质
- 有界数列和无界数列
- 收敛数列和发散数列
第二章：极限和连续
- 极限的定义和性质
- 数列极限和函数极限
- 极限的运算法则
- 连续函数的定义和性质
- 连续函数的运算法则
第三章：导数和微分
- 函数的导数定义和性质
- 导数与连续性的关系
- 一阶导数和高阶导数
- 微分的定义和性质
- 微分中值定理和泰勒公式
第四章：积分
- 不定积分和定积分的定义和性质
- 积分中值定理和牛顿-莱布尼茨公式- 反常积分的概念和判定
- 定积分的计算方法
第五章：级数
- 级数的定义和性质
- 收敛级数和发散级数的判定方法
- 常见级数的求和
- 幂级数和泰勒级数
第六章：函数序列和一致连续性
- 函数序列的极限和一致收敛
- 一致连续性的定义和性质
第七章：多元函数的极限和连续
- 多元函数的极限定义和性质
- 多元函数的连续性定义和性质
- 偏导数和全微分的概念
第八章：多元函数的导数和微分
- 多元函数的偏导数和混合偏导数
- 多元函数的全微分和复合函数的导数
- 隐函数的导数和参数方程的导数
以上是数学分析的全章复习内容，希望对你的学习有所帮助！。
数学分析知识点总结考点一：集合与简易规律集合局部一般以选择题消失，属简单题。
重点考察集合间关系的理解和熟悉。
近年的试题加强了对集合计算化简力量的考察，并向无限集进展，考察抽象思维力量。
在解决这些问题时，要留意利用几何的直观性，并注意集合表示方法的转换与化简。
简易规律考察有两种形式：一是在选择题和填空题中直接考察命题及其关系、规律联结词、“充要关系”、命题真伪的推断、全称命题和特称命题的否认等，二是在解答题中深层次考察常用规律用语表达数学解题过程和规律推理。
考点二：函数与导数函数是高考的重点内容，以选择题和填空题的为载体针对性考察函数的定义域与值域、函数的性质、函数与方程、根本初等函数（一次和二次函数、指数、对数、幂函数）的应用等，分值约为10分，解答题与导数交汇在一起考察函数的性质。
导数局部一方面考察导数的运算与导数的几何意义，另一方面考察导数的简洁应用，如求函数的单调区间、极值与最值等，通常以客观题的形式消失，属于简单题和中档题，三是导数的综合应用，主要是和函数、不等式、方程等联系在一起以解答题的形式消失，如一些不等式恒成立问题、参数的取值范围问题、方程根的个数问题、不等式的证明等问题。
考点三：三角函数与平面对量一般是2道小题，1道综合解答题。
小题一道考察平面对量有关概念及运算等，另一道对三角学问点的补充。
大题中假如没有涉及正弦定理、余弦定理的应用，可能就是一道和解答题相互补充的三角函数的图像、性质或三角恒等变换的题目，也可能是考察平面对量为主的试题，要留意数形结合思想在解题中的应用。
向量重点考察平面对量数量积的概念及应用，向量与直线、圆锥曲线、数列、不等式、三角函数等结合，解决角度、垂直、共线等问题是“新热点”题型。
考点四：数列与不等式不等式主要考察一元二次不等式的解法、一元二次不等式组和简洁线性规划问题、根本不等式的应用等，通常会在小题中设置1到2道题。
对不等式的工具性穿插在数列、解析几何、函数导数等解答题中进展考察。
