定积分的证明题44题word文档良心出品

单项选择题（50题）1、下面的（C）属于《供电服务规范》内容。

（A）用电检查服务规范（B）装表接电服务规范（C）“95598”服务规范（D）抄核收服务规范2、下面的（D）属于《供电服务规范》内容。

（A）用电检查服务规范（B）装表接电服务规范（C）抄核收服务规范（D）投诉举报处理服务规范3、《供电服务规范》要求接待客户时，应面带微笑，目光专注，做到（B）。

（A）满足客户要求（B）来有迎声、去有送声（C）提高服务水平（D）迎三步4、办理居民客户收费业务的时间一般每件不超过（C）分钟。

（A）3 （B）4 （C）5 （D）65、办理客户用电业务的时间一般每件不超过（D）。

（A）5 （B）10 （C）15 （D）206、如前一位客户业务办理时间过长，应对下一位客户（B）（A）不理睬（B）致歉（C）说明原因（D）优先办理7、当有特殊情况必须暂时停办业务时，应列示（A）标牌。

（A）暂停营业（B）停止营业（C）请稍侯（D）暂停办理8、下班时如仍有等候办理业务的客户，应（C）。

（A）暂停营业（B）停止营业（C）继续办理（D）暂停办理9、对客户投诉，应做到（A）跟踪投诉受理全过程。

（A）100% （B）98% （C）96% （D）95%10、《供电服务规范》中现场服务是对客户侧用电情况开展（B）。

（A）检查（B）巡查（C）抢修（D）维护11、对产权不属于供电企业的电力设施进行维护和抢修实行（D）的原则。

（A）无偿服务（B）产权归属（C）公平公正（D）有偿服务12、应客户要求进行有偿服务的，电力修复或更换电气材料的费用，执行（C）物价管理部门核定的收费标准。

（A）自治区、直辖市（B）地市（县级）（C）省（自治区、直辖市）（D）省（直辖市、地市）13、进行有偿服务工作时，客户付费后，应开具（C）。

（A）服务性收据（B）政府公益事业性收据（C）正式发票（D）白条14、国家电网公司员工服务“十个不准”规定，不准对外泄漏客户的（ D ）。

一、选择题(15*2分)1.算法分析是（ C）A.将算法用某种程序设计语言恰当地表示出来B.在抽象数据集合上执行程序,以确定是否会产生错误的结果C.对算法需要多少计算时间和存储空间作定量分析D.证明算法对所有可能的合法输入都能算出正确的答案2.算法与程序的区别在于算法具有（C ）A.能行性B.确定性C.有穷性D.输入和输出3.记号Ω的定义正确的是（B）A.O(g(n)) = { f(n) | 存在正常数c和n0使得当n≥n0 有f(n) ≤ cg(n) }B.O(g(n)) = { f(n) | 存在正常数c和n0使得当n≥n0有 cg(n) ≤ f(n) }>0使得对所有n≥n0 C.(g(n)) = { f(n) | 对于任何正常数c>0，存在正数和n有f(n)<cg(n) }D.(g(n)) = { f(n) | 对于任何正常数c>0，存在正数和n>0使得对所有n≥n0有cg(n) < f(n) }4.衡量一个算法好坏的标准是（C ）A.运行速度快B. 占用空间少C.时间复杂度低D. 代码短5.二分搜索算法是利用（A）实现的算法。

A.分治法B.动态规划法C.贪心法D.回溯法6.下面问题（B ）不能使用贪心法解决。

A. 单源最短路径问题B. N皇后问题C. 最小代价生成树问题D. 背包问题7．用贪心法设计算法的关键是（ B ）。

A.将问题分解为多个子问题来分别处理B.选好最优量度标准C.获取各阶段间的递推关系式D.满足最优性原理8.找最小生成树的算法Kruskal的时间复杂度为（ D ）（其中n为无向图的结点数，m为边数）A．O(n2) B．O(mlogn) C．O(nlogm) D．O(mlogm)9.回溯法搜索状态空间树是按照（C ）的顺序。

A.中序遍历B.广度优先遍历C.深度优先遍历D.层次优先遍历10. 一个问题可用动态规划算法或贪心算法求解的关键特征是问题的（ B ）A.重叠子问题B.最优子结构性质C.最优量度标准性质D.定义最优解11.程序块（A）是回溯法中遍历排列树的算法框架程序。

- 106 -第四章 定积分本章主要知识点● 定积分计算● 特殊类函数的定积分计算 ● 变限积分● 定积分有关的证明题 ● 广义积分敛散性 ● 定积分应用（1）面积 （2）旋转体体积一、定积分计算定积分计算主要依据牛顿—莱伯尼兹公式：设⎰+=C x F dx x f )()(，则()()()()bb a af x dx F b F a F x =-=⎰。

其主要计算方法与不定积分的计算方法是类似的，也有三个主要方法，但需要指出的是对于第Ⅱ类直接交换法，注意积分限的变化：()111()()()()()(())x t bb aa t x f x dx f t t dt ϕϕϕϕϕϕ---=='=⎰⎰。

例4.1．111)edx x ⎰解：原式=e11)ln d x ⎰=32125((ln )ln )|33ex x +=例4.2．30dx ⎰ 解：原式t x t x =+-==11222 1121t tdt t -+⎰=32 121t t dt t -+⎰=322125()|33t t -= 例4.3．⎰22sin πxdx x- 107 -解：原式=⎰-22cos 21πx xd =⎰+-2022cos 21|2cos 21ππxdx x x =20|2sin 414ππx +=4π 二、特殊类函数的定积分计算1．含绝对值函数利用函数的可拆分性质，插入使绝对值为0的点，去掉绝对值，直接积分即可。

例4.4．⎰--21|1|dx x解：原式=121 1(1)(1)x dx x dx --+-⎰⎰=212|)2(2x x -+=)121(02--+=25例4.5．⎰--++22|)1||1(|dx x x解：原式=112211(|1||1|)(|1||1|)(|1||1|)x x dx x x dx x x dx ---++-+++-+++-⎰⎰⎰=112211(11)(11)(11)x x dx x x dx x x dx ------++++-+++-⎰⎰⎰=112211222xdx dx xdx ----++⎰⎰⎰=212122|4|x x ++---=)14(4)41(-++--=102．分段函数积分例4.6．⎩⎨⎧≤+>=0,10,)(2x x x x x f ，求⎰-11)(dx x f解：原式=⎰⎰-+0110)()(dx x f dx x f =⎰⎰-++01102)1(dx x dx x =103012|31|)2(x x x ++- =31)121(+--=65- 108 -例4.7．⎩⎨⎧≤>+=1,1,12)(x x x x x f ，求⎰-+12)1(dx x f解：原式11221(1)()u x f x dx f u du =+--=+==⎰⎰1211()()f u du f u du -+⎰⎰1222111(21)0()udu u du u u -=++=++⎰⎰624=-=3．奇函数积分如果 ()f x 为定义在[],a a -的奇函数，则()0aaf x dx -≡⎰，这是一个很重要考点。

《定积分的应用》复习题一．填空：1．曲线ln ,ln ,ln (0)y x y a y b a b y ===<<及轴所围成的平面图形的面积为A =ln ln by ae dy ⎰=b-a______2.2y x y ==曲线和 ____13____二．计算题：1．求由抛物线 y 2 = 2x 与直线 2x + y – 2 = 0 所围成的图形的面积。

解：（1）确定积分变量为y ，解方程组2222y x y x ⎧=⎨=-+⎩ 得12121/22,12x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩ 即抛物线与直线的交点为（21，1）和( 2 , - 2 ).故所求图形在直线y = 1和y = - 2 之间，即积分区间为［－2，1 ］。

（2）在区间［－2，1］上，任取一小区间为［ y , y + dy ］,对应的窄条面积近似于高为［(１－21y ）-21y 2 ］,底为dy 的矩形面积，从而得到面积元素 dA = [(１－21y)- 21y 2 ]dy (3)所求图形面积 A =⎰-12[（1- 21y ）-21y 2 ]dy = [y - 41y 2 – 61y 3]12-= 942．求抛物线 y = - x 2 + 4x - 3 及其在点（0，- 3）和（3，0）处的切线所围成的图形的面积。

解：由y = - x 2 + 4x – 3 得 '24,'(0)4,'(3)2y x y y =-+==-。

抛物线在点（0，- 3）处的切线方程为 y = 4x – 3 ;在点（3，0）处的切线方程为 y = - 2x + 6 ; 两切线的交点坐标为 （ 32，3 ）。

故 面积A =332223029[(43)(43)][(26)(43)]4x x x dx x x x dx --+-+-+-+-=⎰⎰3．求由摆线 x = a (t – sint) , y = a( 1- cost) 的一拱（02t π≤≤）与横轴所围成的图形的面积。

选择填空1、单选题（1）html中的注释标签是（）A、 <-- -->B、<--! -->C、<!-- -->D、<-- --!>（2）<strong>…</strong>标签的作用是（）A、斜体B、下划线C、上划线D、加粗（3）网页中的空格在html代码里表示为（）A、&amp;B、&nbsp;C、&quot;D、&lt;（4）定义锚记主要用到<a>标签中的（）属性。

A、nameB、targetC、onclickD、onmouseover（5）要在新窗口中打开所点击的链接，实现方法是将<a>标签的target属性设为（）A、_blankB、_selfC、_parentD、_top（6）下列代表无序清单的标签是（）A、 <ul>…<li>…</ul>B、<ol>…<li>…</ol>C、<hl>…<li>…</hl>D、< li >…< ol >…</ li >（7）要实现表单元素中的复选框，input标签的type属性应设为（）A、radioB、checkboxC、selectD、text（8）要实现表单元素中的单选框，input标签的type属性应设为（）A、radioB、checkboxC、selectD、text（9）要使表单元素（如文本框）在预览时处于不可编辑状态，显灰色，要在input中加（）属性A、selectedB、disabledC、typeD、checked2、多选题（选错、多选、少选都不给分）（5*2）（1）定义表格常用的3个标签是（）A、tableB、trC、tdD、tp（2）哪两个属性可用于表格的合并单元格（）A、colspanB、trspanC、tdspanD、rowspan（3）实现下拉列表框，要用到一下哪几个标签（）A、inputB、selectC、optionD、radio（4）定义框架要用到以下的哪个标签（）A、frameworkB、framesetC、frameD、framespace（5）要在网页中加入音乐或背景音乐，以下哪个标签可以实现（）A、embedB、objectC、bgsoundD、sound3、填空题（1*8）（1）、可用p标签定义段落。

题目1证明题容易d x证明(x -t) f (t)dt = f (x) - f (a) dx」a题目2证明题容易JI利用积分中值定理证明:lim 4 sin n xdx ^0 b=0题目3证明题一般b设函数f(x)在［a,b］内可导，且f(a) =0, a 证明：在［a,b］内至少存在一点•使f ()f (x)dx = 0 =0。

题目4证明题一般设f (x) = f (x +a)，na证明：当n为正整数时° f (x)dxan 0f (x)dx。

题目5证明题一般1 1 证明：oX m (1-x)n dxx n (1-x)m dx o 题目6证明题 一般设f (x)在［a,b ］上有定义,且对［a,b ］上任意两点x, y,有 f (x) — f (y) _ x — y.则f (x)在［a,b ］上可积，且1题目7证明题一般 设f (x)在［a,b ］上的连续,在(a,b)内可导,且f(a) = f (b) =0.b 2 证明:4 | f (x)dx 兰 M (b —a),其中 M = sup f "(x)。

a *x :bb［f (x)dx —(b —a) f (a)兰一(b —a)题目8证明题一般设f(x)在［a,b］上正值，连续，则在(a,b)内至少存在一点t ,b 1 b使f(x)dx = f(x)dx f(x)dx 。

■ a ' 2 ■ a题目9证明题一般jc 丑证明:0：：：2sin n1xdx ：：刁sin n xdx。

题目10证明题一般11 dx 二求证2°4-x2 x3 6题目11证明题一般设f(x)在区间(a,b)上连续，且在(a,b)内任一闭区间上积分为零，证明f(x)在(a,b)内恒等于零。

题目12证明题一般若函数f (x)在［0,1］上连续,a 3 2 1 a2证明:o x f(x )dx xf (x)dx (a 0)。

题目13证明题一般设函数f(x)和g(x)在［a,b］上连续，b 2 b 2 b 2证明:［f(x)g(x)dx］2乞f2(x)dx g2(x)dxa a a题目14证明题一般设f (x)在［0,1］上连续，证明：02f (sin2 Jcos「d = 04f(sin2 J(cos「sin「)d「题目15证明题一般设f (x)在［a,b］上可导,且 f (x)玄M, f(a) =0,b Me证明:a f(x)dx^3(b—a)2。

十六章1、（10分）证明函数f(x,y)=x y y x x y x y x y sin sin ,,,110000000+≠≠=≠≠=⎧⎨⎪⎩⎪当当或在原点的极限是0. 2、(8分)证明lim()x y x xy y →→++=222173、证明： f x y x y y x x y x y x y (,)sin sin ,,,,,=+≠≠=≠≠=⎧⎨⎪⎩⎪110000000当当或在(0,0)的极限为零。

（10分） 4.设f(x,y) 在集合G ⊂R 2 上对x 连续,对y 满足利普希茨条件即f x y f x y L y y (,)(,)'-''≤'-''试证 f 在G 上处处连续十七章1、设ϕ,ψ 是任意的二阶可导函数,证明z=x y x y xϕψ()()+ 满足022222222=++y z y y x z xy x z x ∂∂∂∂∂∂∂ 2、（8分）设z=12224a tex b a tπ()- 证明∂∂∂∂z t a z t =2223、(10分)设z=sinx+F(u),u=siny-sinx 证明sec xz x ∂∂+secy ∂∂zy=1 4.证明函数2222222(,),0;(,)0,0x y f x y x y f x y x y x y=+≠=+=+在点(0,0)连续且偏导数存在,但在此点不可微.5. 证明函数222222(,)(0;(,)0,0f x y x y x y f x y x y =++≠=+=在点(0,0)连续且偏导数存在,但在此点偏导数不连续,而f 在(0,0)可微.6.证明:若二元函数f 在点00(,)P x y 的某邻域()U P 内的偏导函数x f 与y f 有界,则f 在()U P 内连续.7.证明:可微函数(,,)F x y z 为k 次齐次函数的充要条件是:(,,)(,,)(,,)(,,)x y z xF x y z yF x y z zF x y z kF x y z ++=8.设(,)f x y 可微,(,)(cos sin ,sin cos )g u v f u v u v θθθθ=-+,求证2222()()()()x y u v f f g g +=+9.设(,)f x y 可微,1l 与2l 是2R 上的一组线性无关向量.试证明:若(,)0(1,2)i l f x y i ≡=,则(,)f x y ≡常数.10.若(,)f x y 在区域D 上存在偏导数,且0x y f f =≡,则(,)f x y ≡常数.11.设,x y f f 和yx f 在点00(,)x y 的某领域内存在, yx f 在点00(,)x y 连续,证明00(,)xy f x y 也存在,且0000(,)(,)xy yx f x y f x y =.12. 设,x y f f 在点00(,)x y 的某领域内存在且在点00(,)x y 可微,则有0000(,)(,)x y y x f x y f x y =. 13.设f 在点000(,)P x y 可微,且在0P 给定了n 个向量(1,2,,)i l i n = ,相邻两个向量之间的夹角为2n π.证明:01()0i nl i f P ==∑.14.设(,)f x y 为n 次齐次函数,证明()(1)(1)m xy f n n n m f x y∂∂+=--+∂∂ . 十八章1、(10分)试证：所有切于曲面z xf y x=()的平面都相交于一点。

《高等数学》一.选择题1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ）A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ）A )、必要条件B )、充分条件C )、充要条件D )、无关条件3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）.A)、()()()2221,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-=B)、(())()ln ,ln f x x g x x ==-C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2tan,sec csc )(xx g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ）A ）、2l n 2x xx dx C =+⎰ B ）、s i n c o s t d t t C =-+⎰C ）、2a r c t a n 1dxdx x x =+⎰ D ）、211()dx C x x-=-+⎰ 5. 下列等式不正确的是（ ）.A ）、()()x f dx x f dx d b a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ C ）、()()x f dx x f dx d x a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ D ）、()()x F dt t F dx d x a '=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'⎰ 6. 0ln(1)limxx t dt x→+=⎰（ ）A ）、0B ）、1C ）、2D ）、47. 设bx x f sin )(=，则=''⎰dx x f x )(（ ）A ）、C bx bx b x +-sin cos B ）、C bx bx b x+-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin8. 10()()bx xa e f e dx f t dt =⎰⎰，则（ ）A ）、1,0==b aB ）、e b a ==,0C ）、10,1==b aD ）、e b a ==,19. 23(sin )x x dx ππ-=⎰( )A ）、0B ）、π2C ）、1D ）、22π10. =++⎰-dx x x x )1(ln 2112( )A ）、0B ）、π2C ）、1D ）、22π11. 若1)1(+=x xxf ，则dx x f ⎰10)(为（ ）A ）、0B ）、1C ）、2ln 1-D ）、2ln12. 设)(x f 在区间[]b a ,上连续，⎰≤≤=xa b x a dt t f x F )()()(，则)(x F 是)(x f 的（ ）.A ）、不定积分B ）、一个原函数C ）、全体原函数D ）、在[]b a ,上的定积分13. 设1sin 2y x x =-，则dxdy=（ ） A ）、11c o s2y - B ）、11c o s2x - C ）、22c o sy- D ）、22c o sx-14. )1ln(1lim 20x e x xx +-+→=( )A 21-B 2C 1D -115. 函数x x y +=在区间]4,0[上的最小值为（ ）A 4;B 0 ;C 1;D 3二.填空题1. =+++∞→2)12(lim xx x x ______.2. 2-=⎰3. 若⎰+=C e dx e x f xx 11)(，则⎰=dx x f )(4. =+⎰dt t dx d x 26215. 曲线3y x =在 处有拐点 三.判断题 1. xxy +-=11ln是奇函数. （ ） 2. 设()f x 在开区间(),a b 上连续，则()f x 在(),a b 上存在最大值、最小值.( ) 3. 若函数()f x 在0x 处极限存在，则()f x 在0x 处连续. （ ） 4. 0sin 2xdx π=⎰. （ ）5. 罗尔中值定理中的条件是充分的，但非必要条件.( )四.解答题1. 求.cos 12tan lim20xxx -→ 2. 求nxmxx sin sin limπ→，其中n m ,为自然数.3. 证明方程01423=+-x x 在(0,1)内至少有一个实根.4. 求cos(23)x dx -⎰.5. 求⎰+dx xx 321.6. 设21sin ,0()1,0x x f x x x x ⎧<⎪=⎨⎪+≥⎩，求()f x '7.求定积分4⎰8. 设)(x f 在[]1,0上具有二阶连续导数，若2)(=πf ，⎰=''+π5sin )]()([xdx x f x f ，求)0(f ..9. 求由直线0,1,0===y x x 和曲线x e y =所围成的平面图形绕x 轴一周旋转而成的旋转体体积《高等数学》答案一.选择题1. C2. A3. D4. B5. A6. A7. C8. D9. A 10. A 11. D 12. B 13. D14. A15. B 二.填空题 1. 21e 2. 2π 3. C x+1 4. 412x x + 5. (0,0) 三.判断题 1. T 2. F 3. F 4. T 5. T 四.解答题 1. 82. 令,π-=x t nmn nt m mt nx mx n m t x -→→-=++=)1()sin()sin(lim sin sin lim 0πππ3. 根据零点存在定理.4.1cos(23)cos(23)(23)31sin(23)3x dx x d x x C-=---=--+⎰⎰5. 令t x =6，则dt t dx t x 566,==原式⎰⎰⎰++-=+=+=dt )t111t (6dt t 1t 6dt t t t 62435 C t 1ln t 2t 62+⎪⎭⎫⎝⎛++-= C x x x +++⋅-⋅=6631ln 6636. 222sin 2cos ,0()1,00x x x x f x x x ⎧-+<⎪⎪⎪'=>⎨⎪=⎪⎪⎩不存在，7. 42ln3-8. 解：⎰⎰⎰''--=-=ππππ0sin )()0()()cos ()(sin )(xdx x f f f x d x f xdx x f所以3)0(=f9. V=())1(2121)2(212102102102210-====⎰⎰⎰e e x d e dx e dx exx xxπππππ 《高等数学》试题2一.选择题1. 当0→x 时，下列函数不是无穷小量的是 （ ）A )、x y =B )、0=yC )、)1ln(+=x yD )、x e y =2. 设12)(-=x x f ，则当0→x 时,)(x f 是x 的（ ）。

综合题：1.已知一个求值公式（A2+3B）/（B+5A），若A、B已赋值，试画出该公式求值过程的前趋图。

解：在本题公式的求值过程中，有些运算分量的计算是可以并发进行的。

为了描述方便起见，可以设置一些变量保存中间计算结果，并为每条语句命名，如下图1所示。

其求值过程的前趋图如下图2所示只要信箱中有信件，进程B就不断从信箱中取走信件进行处理。

初始时，信箱为空。

试用P、V操作表达进程A、B之间的关系。

解：本题信号量规则：设置两个信号量full、empty，信号量full表示信箱中的信件数目，其初值为0；信号量empty表示信箱中的空位置数目，其初值为1 semaphore empty=1; 将信件放入信箱中；semaphore full=0; v(full); && 唤醒取信进程取信main( ) }{ }cobegin B( )A( ); && 送信进程 {B( ); && 取信进程 while(true)Coend; {} p(full);A( ) 从信箱中取出一封信件；{ v(empty); && 唤醒送信进程送信while(true) 处理信件；{ }产生一封信件； }p(emtpy);3.有两个程序，A程序按顺序使用CPU 10秒，使用设备甲5秒，使用CPU 5秒，使用设备乙10秒，最后使用CPU 10秒。

B程序按顺序使用设备甲10秒，使用CPU 10秒，使用设备乙5秒，使用CPU 5秒，使用设备乙10秒。

在顺序执行环境下，先执行A程序，再执行B 程序，问CPU的利用率是多少？解：有题目所给条件可知，两个程序顺序执行，先执行程序A，后执行程序B。

A程序的执行时间为：10+5+5+10+10=40秒其中使用CPU的时间为：10+5+10=25秒B程序的执行时间为：10+10+5+5+10=40秒其中使用CPU的时间为：10+5=15秒两个程序的总执行时间为：40+40=80秒其中使用CPU时间为：15+25=40秒故CPU利用率为：40/80*100%=50%4.某虚拟存储器的用户编程空间共32个页面，每页为1KB，内存为16KB。

定积分证明题方法总结定积分证明题方法总结「篇一」一、原函数定义1 如果对任一xI，都有F(x)f(x) 或 dF(x)f(x)dx则称F(x)为f(x)在区间I 上的原函数。

例如：(sinx)cosx，即sinx是cosx的原函数。

[ln(xx2)原函数存在定理：如果函数f(x)在区间I 上连续，则f(x)在区间I 上一定有原函数，即存在区间I 上的可导函数F(x)，使得对任一xI，有F(x)f(x)。

注1：如果f(x)有一个原函数，则f(x)就有无穷多个原函数。

设F(x)是f(x)的原函数，则[F(x)C]f(x)，即F(x)C也为f(x)的原函数，其中C为任意常数。

注2：如果F(x)与G(x)都为f(x)在区间I 上的原函数，则F(x)与G(x)之差为常数，即F(x)G(x)C（C为常数）注3：如果F(x)为f(x)在区间I 上的一个原函数，则F(x)C（C为任意常数）可表达f(x)的任意一个原函数。

1x2，即ln(xx2)是1x2的原函数。

二、不定积分定义2 在区间I上，f(x)的带有任意常数项的原函数，成为f(x)在区间I上的不定积分，记为f(x)dx。

如果F(x)为f(x)的一个原函数，则f(x)dxF(x)C，（C为任意常数）三、不定积分的几何意义图 5—1 设F(x)是f(x)的一个原函数，则yF(x)在平面上表示一条曲线，称它为f(x)f(x)的不定积分表示一族积分曲线，它们是由f(x)的某一条积分曲线沿着y轴方向作任意平行移动而产生的所有积分曲线组成的．显然，族中的每一条积分曲线在具有同一横坐标x的点处有互相平行的切线，其斜率都等于f(x)．在求原函数的具体问题中，往往先求出原函数的一般表达式yF(x)C，再从中确定一个满足条件 y(x0)y0 (称为初始条件)的原函数yy(x)．从几何上讲，就是从积分曲线族中找出一条通过点(x0,y0)的积分曲线．四、不定积分的性质（线性性质）[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dxk为非零常数） kf(x)dxkf(x)dx（五、基本积分表∫ a dx = ax + C，a和C都是常数∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1 ∫ 1/x dx = ln|x| + C∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1∫ e^x dx = e^x + C∫ cosx dx = sinx + C∫ sinx dx = - cosx + C∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C∫ tanx dx = - ln|cosx| + C = ln|secx| + C∫ secx dx =ln|cot(x/2)| + C= (1/2)ln|(1 + sinx)/(1 - sinx)| + C= - ln|secx - tanx| + C = ln|secx + tanx| + C ∫ cscx dx = ln|tan(x/2)| + C= (1/2)ln|(1 - cosx)/(1 + cosx)| + C= - ln|cscx + cotx| + C = ln|cscx - cotx| + C ∫ sec^2(x) dx = tanx + C∫ csc^2(x) dx = - cotx + C∫ secxtanx dx = secx + C∫ cscxcotx dx = - cscx + C∫ dx/(a^2 + x^2) = (1/a)arctan(x/a) + C∫ dx/√(a^2 - x^2) = arcsin(x/a) + C∫ dx/√(x^2 + a^2) = ln|x + √(x^2 + a^2)| + C∫ dx/√(x^2 - a^2) = ln|x + √(x^2 - a^2)| + C∫ √(x^2 - a^2) dx = (x/2)√(x^2 - a^2) - (a^2/2)ln|x + √(x^2 - a^2)| + C ∫ √(x^2 + a^2) dx = (x/2)√(x^2 + a^2) + (a^2/2)ln|x +√(x^2 + a^2)| + C ∫ √(a^2 - x^2) dx = (x/2)√(a^2 - x^2) +(a^2/2)arcsin(x/a) + C六、第一换元法（凑微分）设F(u)为f(u)的原函数，即F(u)f(u) 或 f(u)duF(u)C 如果 u(x)，且(x)可微，则 dF[(x)]F(u)(x)f(u)(x)f[(x)](x) dx即F[(x)]为f[(x)](x)的原函数，或f[(x)](x)dxF[(x)]C[F(u)C]u(x)[f(u)du]因此有定理1 设F(u)为f(u)的原函数，u(x)可微，则f[(x)](x)dx[f(u)du]公式(2-1)称为第一类换元积分公式。