离散数学(一)

离散数学（1）复习题一、单项选择题1、下列命题正确的是（ A ）。

A. φ⋂{φ}=φB. φ⋃{φ}=φC. {a}∈{a，b，c}D. φ∈{a，b，c}2、设集合｛1 2 3 4 ｝，A上的关系R=｛（1 1）（2 3）（2 4）（3 4）｝则R具有（ B ）。

A. 自反性B. 传递性C. 对称性D. 以上答案都不对3、设Z是整数集，函数f定义为：Z Z→, f(x)=|x|-2x,则f是（ A ）。

A. 单射B. 满射C. 双射D. 非单射也非满射4、设R为实数集，定义R上4个二元运算，不满足结合律的是（ B ）。

A. f1(x,y)= x+y B. f2(x,y)=x-yC. f3(x,y)=xy D. f4(x,y)=max{x,y}5、设(A,≤) 是一个有界格，它也是有补格，只要满足（ B ）。

A. 每个元素都有一个补元B. 每个元素至少有一个补元C. 每个元素都无补元D. 每个元素都有多个补元6、图G和'G的结点和边分别存在一一对应关系是G和'G同构的（ B ）。

A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7、集合上A的等价关系R，其等价类集合{ [a] 天津大学考试题库及答案R| a∈A }称为（ C ）。

A. A与R的并集，记作A Y RB. A与R的交集，记作A I RC. A关于R的商集，记作A/RD. A与R的差集，记作A—R8、设G是连通平面图，G中有6个顶点8条边，则G的面的数目是（ C ）。

A. 2B. 3C. 4D. 59、一个公式在等价意义下，下面哪个写法是唯一的（ C ）。

A. 析取范式B. 合取范式C. 主析取范式D. 以上答案都不对10、设谓词():Q x x犯错误，命题“没有不犯错误的人”符号化为P x x是人，():（ D ）。

A. (()())⌝∃→⌝x P x Q x ∀∧ B. (()())x P x Q xC. (()())⌝∃∧⌝x P x Q x ⌝∃∧ D. (()())x P x Q x11、设 |A|=m，|B|=n，则 |ρ(A×B) | 等于（ C ）。

离散数学（一）知识梳理•逻辑和证明部分o命题逻辑题型▪命题符号化问题将自然语言转为符号化逻辑命题▪用命题变量来表示原子命题▪用命题联结词来表示连词▪命题公式的类型判断判断命题公式是否是永真式、矛盾式、可能式▪利用真值表判断▪利用已知的公式进行推理判断▪利用主析取和合取范式判断▪定理：A为含有n个命题变元的命题公式，若A的主析取范式含有2^n个极小项，则A为重言式，若极小项在0到2^n之间，则为可满足式，若含有0个极小项，则A为矛盾式；若A的主合取范式含有2^n个极大项，则A为矛盾式，若极小项在0到2^n之间，则为可满足式，若含有0个极小项，则A为重言式▪翻译：一个命题公式化成主范式后，若所有项都分布在主析取范式中（主合取范式为1）则为重言式；若所有项都分布在主合取范式中（主析取范式为0）则为矛盾式；若均有分布，则为可满足式。

【思想来源：真值表法求主范式】▪一个质析取式是重言式的充要条件是其同时含有某个命题变元及其否定式；一个质合取式是矛盾式的充要条件是其同时含有某个命题变元及其否定式▪一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每项都是矛盾式；一个合取范式是重言式当且仅当它的每项都是重言式▪求（主）析取或合取范式▪等值演算法▪ 1. 利用条件恒等式消除条件（蕴含和双条件）联结词，化简得到一个范式▪ 2. 在缺项的质项中不改变真值地添加所缺项，化简得到一个主范式▪ 3. 找出包含所有命题变元排列中剩余项，凑出另一个主范式（思想上类似于真值表法）▪真值表法▪ 1. 画出命题公式真值表▪ 2. 根据真值表结果求出主范式▪主析取范式：真值为1的所有项，每一项按对应01构成极小项▪主合取范式：真值为0的所有项，每一项按对应01构成极大项▪形式证明与命题推理利用推理规则构造一个命题公式的序列，证明结论▪形式证明：命题逻辑的论证是一个命题公式的序列，其中每个公式或者是前提，或者是由它之前的公式作为前提推得的结论，序列的最后一个是待证的结论，这样的论证也称为形式证明。

离散数学（1）复习笔记Ch1 命题逻辑的基本概念1.1 命题命题：能判断真假且⾮真即假的陈述句。

命题的真值，真命题，假命题。

* 真值待定 *简单命题 | 原⼦命题，复合命题。

1.2 常⽤的5个命题联结词否定，合取，析取，蕴涵，双蕴涵。

* 异或 | 排斥或 | 不可兼或 * 注意语义判断。

* p→q = ﹁ p∨q ** 必要条件 * 只有……才……；仅当……，……；……，仅当……。

注意命题符号化的蕴涵⽅向。

* domain * A horse is white. （×）联结词集，⼀元联结词，⼆元联结词。

* 优先顺序 * （），﹁，∧，∨，→，↔1.3 合式公式及其赋值命题常项 | 命题常元（值是确定的），命题变项 | 命题变元（真值可以变化的陈述句）。

合式公式 | 命题公式 | 命题形式 | 公式（wff）（well formed formulas），原⼦命题公式（单个命题变项），⼦公式。

* 单个命题变项是合式公式，没说命题常项。

*赋值 | 解释，成真赋值，成假赋值。

真值表。

* 真值表要点：赋值从00…0开始，按照⼆进制加法，直到11…1为⽌；按照运算的优先次序写出各⼦公式。

*命题公式的分类：重⾔式 | 永真式，⽭盾式 | 永假式，可满⾜式。

1.4 重⾔式与代⼊规则代⼊规则。

* 1. 公式中被代换的只能是命题变项（原⼦命题），⽽不能是复合命题。

2.对公式中某命题变项施以代⼊，必须对该公式中出现的所有同⼀命题变项施以相同的代换。

* 1.5 命题形式化命题形式化 | 符号化。

* 注意充分条件和必要条件的区别 ** 注意语义是否考虑完整 *1.6 波兰表达式中置式 | 中缀式，前置式 | 前缀式 | 波兰式，后置式 | 后缀式 | 逆波兰式。

Ch2 命题逻辑的等值和推理演算2.1 等值定理等值 | 等价，等值定理：设A，B为两个命题公式，A = B的充分必要条件是 A↔B为⼀个重⾔式。

离散数学知识点总结（1）-命题逻辑⼀、命题命题：陈述句，有唯⼀真值/⾮真既假（不⼀定知道）简单命题/命题常元：真值确定。

命题变元p：常⽤来表⽰命题。

只有明确表⽰某个命题时才有具体的含意和确定的真值。

命题联结词/命题运算符：否定联结词┐、合取联结词∧、析取联结词∨、蕴含联结词→、与⾮联结词、或⾮联结词p→q：当且仅当p真q假时，p→q为假（因此它和┐p∨q等值）。

即p为假时，p→q必定为真⟷：当且仅当、充要条件、反之亦然⼆、命题公式命题公式/命题形式/合式公式/公式：（1）可满⾜式：⾮重⾔的可满⾜式重⾔式/永真式（2）⽭盾式/永假式（不存在成真指派）命题公式不是命题，只有当公式中的每⼀个命题变项都被赋以确定的真值时，公式的真值才被确定，从⽽成为⼀个命题。

三、命题逻辑的等值演算A⟺B：A和B有等值关系。

对任意真值指派，A与B取值相同。

A⟷B为永真式。

等值关系⼀般通过真值表法或者等值演算法得到。

⽽不等值，只能通过真值表法，找到某个真值指派使得⼀个为真⼀个为假德摩根律：┐(A∨B)⟺┐A∧┐B、┐(A∧B)⟺┐A∨┐B蕴含等值式：A→B⟺┐A∨B吸收律：A∨(A∧B)⟺A、A∧(A∨B)⟺A归谬式：(A→B)∧(A→┐B)⟺┐A例题：p→(q→r)⟺┐p∨(┐q∨r)⟺(┐p∨┐q)∨r⟺┐(p∧q)∨r⟺(p∧q)→r四、范式由有限个⽂字的析取所组成的公式称为析取式；由有限个⽂字的合取所组成的公式称为合取式形如A1∨A2∨…∨A n的公式称为析取范式DNF（其中A i为合取式）；形如A1∧A2∧…∧A n的公式称为合取范式CNF（其中A i为析取式）任⼀命题公式都存在着与之等值的析取范式和合取范式，但析取范式和合取范式可能不是惟⼀的。

极⼩项q1∧q2∧…∧q n：⼀共2n种解释，每个极⼩项只在⼀个解释下为真。

每个极⼩项对应⼀个⼆进制数，该⼆进制数正是该极⼩项真值为真的指派，即m0可表⽰┐q1∧┐q2∧…∧┐q n极⼤项q1∨q2∨…∨q n：⼀共2n种解释，每个极⼤项只在⼀个解释下为假。

1 / 6离散数学（1）复习题一、填空题1、集合S={n 100 | n ∈N}的基数为（ 0ℵ ）。

2、设R 是集合A 上的二元关系，则R 是对称的，当且仅当其关系矩阵（ 为对称矩阵 ）。

3、集合P={Ф，{a}}的幂集ρ(P)=（ {Ф,{Ф},{a}, {Ф，{a}} } ）。

4、设A={1,2,7,8}，B={i │i ∈N 且i 2<50}，则A —B=（ {8} ）。

5、设(A ，≤)是一个有界格，只要满足（ 每个元素均有补元 ），它也是有补格。

6、设S 为非空有限集，代数系统（ρ(S)，Y ，I ）中，ρ(S)对Y 的零元为（ S ），ρ(S)对I 的单位元为（ Ф ）。

7、重言式的否定式是（ 矛盾 ）。

8、设A=φ，B={φ，{φ}}，则B －A=（ {}{}φφ， ）。

9、集合A={1，2，…，10}上的关系R={（x ，y ）│x+y=10且x 、y ∈A}，则R 的性质为（ 对称的 ）。

10、有界格（P ，∧，∨）对于“∧”运算的零元为（ 0 ）。

11、设P ：张三可以做这件事，Q ：李四可以做这件事。

则命题“张三或李四可以做这件事”符号化为（ P Q ∨ ）。

12、设M={x| f 1（x ）=0}，N={x| f 2（x ）=0}，则方程f 1（x ）·f 2（x ）=0的答案为（ M N U ）。

13、设 |A|=m ，|B|=n ，则 |ρ(A ×B) | 等于（ 2m n ⨯ ）。

二、计算与证明题1、设A={0，1}，B={a ，b}，求：（1）A ×B ；（2）B ×A答：（1）()()()(){}0,,0,,1,,1,A B a b a b ⨯=（2）()()()(){},0,,0,,1,,1B A a b a b ⨯=2、（1）叙述幂集的定义；（2）求集合P={Ф，{a}}的幂集ρ(P)．。

《离散数学(1)》15春在线作业3
一、判断题（共8 道试题，共40 分。

）
1. 命题“存在一些人是大学生”的否定是所有的人都不是大学生。

A. 错误
B. 正确
正确答案：B
2. 如果太阳从东边出来，那么地球自转停止。

A. 错误
B. 正确
正确答案：A
3. 凡陈述句都是命题。

A. 错误
B. 正确
正确答案：A
4. 任一命题公式的主析取范式和它的主和取范式互为对偶式。

A. 错误
B. 正确
正确答案：A
5. “王兰和王英是姐妹”是复合命题，因为该命题中出现了联结词“和”。

A. 错误
B. 正确
正确答案：A
6. “蓝色和黄色可以调成绿色”是一个复合命题。

A. 错误
B. 正确
正确答案：A
7. 同一谓词公式，指定不同的论域，其真值不一定相同。

A. 错误
B. 正确
正确答案：A
8. “喜马拉雅山比华山高”是一个命题。

A. 错误
B. 正确
正确答案：B。

离散数学知识点整理（⼀）离散数学数学语⾔与证明⽅法集合幂集运算交集并集相对补集绝对补集对称差集运算律交换律结合律分配律德摩根律恒等式证明⽅法直接证明归谬法分情况证明构造性证明数学归纳法命题逻辑命题简单命题p,q,r复合命题基本复合命题五种复杂复合命题真值真命题假命题命题符号化联结词否定联结词¬否定式合取联结词∧合取式析取联结词∨析取式相容或p∨q排斥或(¬p∧q)∨(p∧¬q)蕴含联结词蕴含式p->q真值p真q假，p->q为真其他全为真前件p后件q等价联结词等价式p<->q真值p,q真值相同，p<->q为真不同为假‘当且仅当’公式命题常项p,q,r为定值变项p,q,r为变量合式公式/命题公式A，B，C，D永真式重⾔式永假式⽭盾式可满⾜式赋值/解释成真赋值成假赋值等值演算A<->B，则A<=>B等价式为重⾔式常⽤等值公式蕴含等值式A→B⇔¬A∨B德摩根律 ¬(A∨B)⇔¬A∧¬B联结词集优先顺序扩展与⾮联结词p↑q⇔¬(p∧q)或⾮联结词p↓q⇔¬(p∨q)联结词完备集(1)S={¬,∧,∨}(2)S={↑}(3)S={↓}范式分类析取范式主析取范式极⼤项合取范式主合取范式极⼩项计算推理概念蕴含式为重⾔式⇒形式结构(A1∧A2∧...∧A k)⇒B前提结论证明推理规则前提引⼊结论引⼊置换规则等值置换A⇔B:A⇒B;B⇒A推理定律特殊证明⽅法附加前提证明法(A1∧A2∧...∧A k)⇒A→B(A1∧A2∧...∧A k∧A)⇒B归结证明法归结规则(L∨C1)∧(¬L∨C2)⇒C1∨C2基本思想归谬法证明步骤结论的否定引⼊前提把所有前提化成合取范式，并将简单析取式作为单个前提归结规则进⾏推理推出0则推理正确⼀阶逻辑表达个体与总体之间的内在联系与数量关系概念个体词个体常项a,b,c....个体变项个体域x,y,z....谓词谓词常项表⽰具体性质或关系⼦主题 2谓词变项表⽰抽象性质或关系F，G....0元谓词不带个体变项的谓词当谓词为谓词常项时为命题量词全称量词存在量词符号化不同个体域形式可能不同引⼊特性谓词公式分类原⼦公式合式公式/谓词公式闭式A中不含⾃由出现的个体变项概念x:指导变元A:辖域x在A中约束出现A中出现的除x所有其他个体变项都为⾃由出现解释/赋值定义封闭的公式在任何解释下都变成命题分类永真式/逻辑有效式A在任何解释和任何赋值下均为真永假式/⽭盾式A在任何解释和任何赋值下均为假可满⾜式⾄少存在⼀个解释和⼀个赋值使A为真代换实例重⾔式的代换实例都是重⾔式⽭盾式的代换实例都是⽭盾式等值演算命题逻辑的代换实例等值式消去量词等值式量词否定等值式量词辖域收缩与扩张等值式量词分配等值式规则置换规则换名规则前束范式存在但不唯⼀利⽤等值演算求前束范式Processing math: 100%。