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14.3.2_因式分解(完全平方公式)课件

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公式法2—公开课课件定稿

公式法2—公开课课件定稿
两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍， 等于这两个数的和（或差）的平方.
练一练
1.判断各式是不是完全平方式，若是，说出公
式中a和b，若不是，说明理由。
（1） 4a2+9 （×） （2）a2+2ab+b（×）
（3）m2-mn+n2（×）（4）x2-6x-9（√ ）
（5）x2+4x+4y2（× ）
目标二
学会并较熟练地运用完全平方公式分解因式
针对练习三（微课导学）
（1） 3xm2 6xmn 3xn2
（2）(x+2y) 3 + 2(x + 2y)2 + (x + 2y)
归纳解题步骤
因式分解的步骤： 一提 ①对任意多项式分解因式，都必须首先考
虑提取公因式。 二套 ② 对于二项式，考虑应用平方差公式分解。
对于三项式，考虑应用完全平方公式分解。 三查 ③检查：特别看看多项式因式是否分解彻
底。
四【综合训练】
1.已知4y2+my+9是完全平方公式，则m的值是 _____ 。
2.分解因式：(a2＋4)2－16a2
通过本课时的学习，需要我们掌握：一 三 三
一个公式 三个特征
三个步骤
六【延伸拓展】
1.若 x2 y2 6x 8y 25 0 ,求(x y)2013的值。
14.3 因式分解
14.3.2因式分解——完全平方式
讲课人：魏士杰
学习目标：
1．会判断完全平方式。 2．能直接利用完全平方式因式分解,掌握 利用完全平方公式因式分解的步骤。 3. 能够综合全平方公式．
1．分解因式： （1） ab2－a2b； （2） ma2－mb2；

14.3.2公式法-完全平方公式法 课件人教版数学八年级上册

14.3.2公式法-完全平方公式法 课件人教版数学八年级上册

5.如果x2+mxy+9y2是一个完全平方式，那么m的值为（ B ） A.6 B.±6 C.3 D.±3
6.已知a、b、c是三角形的三边,请你判断a2-b2-c2-2bc的值的正负.
7.说明无论a、b为何值，代数（a+b)²+2(a+b)+5 的值均为正值.
8.若a+b=1,a+c=2,b+c=3,利用因式分解求值： a2+b2+c2+ab+ac+bc.
自 学 检 查
1.下列各式是不是完全平方式？
（1）a2-ab+b2 × （2）a2-4a+4 =a2 -4a +22 √ （3）x2+4xy+4y2=x2+4xy + (2y)2√ （4）x2-6x-9 =x2-6x-32 ×
2.按照完全平方公式填空：
（1）a2-10a+( 25 )=( a-5 )2
(4)原式=(2x +y-3) 2
总结:①因式分解的一般思路: 一提（提公因式法） 二套（套用公式法）
②整体思想，例如：把 2x＋y 看做一个整体。
巩固练习
1.(1)若x2＋2kx＋9是一个完全平方式，则k＝ ___±___3__ (2)若x2＋8x＋k2是一个完全平方式，则k＝ __±___4___．
（ （23））1(a2-y2()+r2s)a+yr+21s2==((
ay+1)2
½ - rs)2
4
自 3.把下列各式因式分解 1 x2 12x 36 2 2xy x2 y2
学 (3) 3ax2﹢6axy﹢3ay2
检 查

14.3.2公式法 第1课时课件

14.3.2公式法 第1课时课件

答案:a(x+y)(x－y)
4.（东阳·中考） 因式分解：x3-x=___. 【解析】x3-x=x(x2-1)=x(x+1)(x-1). 答案: x(x+1)(x-1) 5.（盐城·中考）因式分解: x 9 =______.
2
【解析】 原式=（x+3）(x-3).
答案:（x+3）(x-3)
6.利用因式分解计算：
因为a2－1还能继续分解成（a+1）（a－1）. 应为a4－1=（a2+1）（a2－1）=（a2+1）（a+1）（a－1）.
3.分解因式：
（1）x4-y4. （2）a3b-ab.
分解因式，必须进行到 每一个多项式都不能再 分解为止.
【解析】(1)x4-y4 =（x2)2-(y2)2 =(x2+y2)(x2-y2) =(x2+y2)(x+y)(x-y). (2)a3b-ab=ab(a2-1) =ab(a+1)(a-1).
1002-992+982-972+962-952+… +22-12.
【解析】原式=（100+99)(100-99)+(98+97)(98-97）+… +(2+1)(2-1) =199+195+191+… +3
=5 050.
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1.利用平方差公式分解因式: a2－b2=（a+b)(a-b).
2.因式分解的步骤是:首先提取公因式,然后考虑用公式法.
3.因式分解应进行到每一个因式不能分解为止. 4.计算中应用因式分解,可使计算简便.

14.3.2 公式法 课件-人教版数学八年级上册

14.3.2 公式法 课件-人教版数学八年级上册

a，b可以是单项式，也可以是多项式
知1－讲
2. 平方差公式的特点 (1)等号的左边是一个二项式，各项都是平方的形式且 符号相反； (2)等号的右边是两个二项式的积，其中一个二项式是 这两个数的和，另一个二项式是这两个数的差.
3. 运用平方差公式分解因式的步骤
知1－讲
一判：判断是不是平方差，若负平方项在前面，则
据多项式的特点，把其变形为能提取公因式或能用公式法
的形式，再分解因式；
(3)当乘积中每一个因式都不能再分解时，因式分解就结束了.
特别解读
知2－讲
1. 因式分解中的完全平方公式是整式乘法中的完全平方公式逆
用的形式.
2. 结果是和的平方还是差的平方由乘积项的符号确定，乘积项
的符号可以是“＋”，也可以是“－”，而两个平方项的符号
利用加法的交换律把负平方项交换放在后面；
二定：确定公式中的a和b，除a和b是单独一个数或
字母外，其余情况都必须用括号括起来，表示一个整体；
三套：套用平方差公式进行分解；四整理：将每个
因式去括号，合并同类项化成最简形式.
特别解读
知1－讲
1. 因式分解中的平方差公式是乘法公式中的平方差公式逆
用的形式.
解：∵ 9a2＝(±3a)2，16＝±42，9a2＋ka＋16是一个完
全平方式， ∴ ka＝±2×3a·4＝±24a. ∴ k＝±24.
有和的完全平方式和差 的完全平方式两种形式
知2－练
2－1. 若x2＋2(m－3)x＋16是关于x的完全平方式，则m＝ _－__1_或__7__．
例 3 分解因式： (1)x2－14x＋49； (2)－6ab－9a2－b2；
2. 乘法公式中的平方差公式指的是符合两数之和与两数之

人教版八年级数学上册课件：14.3.2因式分解(公式法-平方差公式)

人教版八年级数学上册课件：14.3.2因式分解(公式法-平方差公式)
－－因式分解的平方差公式
你学了什么方法进行分解因式？
把下列各式因式分解：
(1) ax - ay = a( x – y ) (2) 9a2 - 6ab+3a =3a(a-2b+1) (3) 3a(a+b)-5(a+b) =(a+b)(3a - 5) (4) ax2 - a3 =a(x2-a2) =a(x+a)(x-a) (5) 2xy2 - 50x =2x(y2-25) =2x(y+5)(y - 5)
个整体，加括号
熟记公式 a2 b2 (a b)(a b)
把下列式子分解因式
(x p)2 (x q)2
a² - b²= ( a + b)( a - b )
(1)a2－1
=( a )2－( 1 )2
(2)x4y2－4
=( x2y )2－( 2 )2
(3) 9 x2－0.01y2
49
=( 3
=(x+2)(x-2) =(3+y)(3-y)
(3) 1-a2
(4) 4x2-y2
=(1+a)(1-a) =(2x+y)(2x-y)
把下列各式分解因式
（1） 1－25x2
解： 1－25x2
＝12－(5x)2
把两项写成平方的形式，
＝(1+5x)(1-5x) 找出a和b。底数既有数
字还有字母，需要看成一
7
x )2－( 0.1y )2
(4)0.0001－121x2源自=( 0.01 )2－( 11x )2
因式分解：
１、 – a4 + 16 2、 4(a+2)2 - 9(a - 1)2 3、 (x+y+z)2 - (x-y-z)2

《完全平方公式》优品课件人教版初中数学

《完全平方公式》优品课件人教版初中数学

两个数的积的两倍，我们把 a +2ab+b 2、在下面的横线上填上适当的数或字母使其变为完全平方式。
1．了解完全平方式及公式法的概念，会用完全平方公式进行因式分解． 2
2
（3）直到每一个因式都不能再分解为止
和 a -2ab+b 这样的式子叫做完全平方式． 2问、题因四式分这解两时个，多首项2先式考有虑什是么否共有同公的因特式点2，？如果有公因式，先提公因式，如果没有公因式或提取公因式后，通常分以下情况
解：2a 8ab 8b 32 2、因式分解时，首先考2虑是否有公因式，如2果有公因式，先提公因式，如果没有公因式或提取公因式后，通常分以下情况
2、看是否有两数平方和
2、因式分解时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，先提公因式，如果没有公因式或提取公因式后，通常分以下情况
2a 4ab 4b 16 提公因数 方法：若式子有整体2满足完全平方式可直接2进行因式分解，需注意中间项的符号
1、下列多项式是不是完全平方式？为什么？
方法：若式子中有公因数或公因式，应先提公因数或公因式，再进行因式分解
1、下列多项式是不是完全平方式？为什么？ 问题六 我们将完全平方公式前后倒过来看，你会发现什么？
问题四 这两个多项式有什么共同的特点？
（1）4b +4b+1 1．了解完全平方式及公式法的概念，会用完全平方公式进行因式分解．
（1）、 x2 4x 4
（2）、y2 6xy 9x2
(3) 、4x2 8xy 4 y2
(4)、2a b2 182a b 81
5、 9 a2 3 ab 1 b2
25 10
16
方法：1、填平方项就是把中间项除以另一个平 方项底数的2倍，再平方就是要填的平方项 2、中间项就是两个平方项底数积的2倍

14.3.2因式分解完全平方公式课件八年级数学人教版上册

14.3.2因式分解完全平方公式课件八年级数学人教版上册

a
b
探究新知 理解新知 经典例题 归纳总结 巩固提升 小结回顾
利用公式把某些具有特殊 形式(如平方差式，完全平 方式等)的多项式分解因式， 这种分解因式的方法叫做 公式法因式分解.
探究新知 理解新知 经典例题 归纳总结 巩固提升 小结回顾
判断下列各式是完全平方式吗？
a2 4a 22 (a 2)2
探究新知 理解新知 经典例题 归纳总结 巩固提升 小结回顾
例4 计算：
(1) 1002–2×100×99+99²；
解：(1)原式=(100–99)² =1.
(2) 342＋34×32＋162.
(2)原式＝(34＋16)2 ＝2500.
利用完全平方 公式分解因式， 可以简化计算.
探究新知 理解新知 经典例题 归纳总结 巩固提升 小结回顾
2a(x y)2
先纳总结 巩固提升 小结回顾
例2 因式分解
（2） 16a4 8a2b2 b4 解：原式 (4a2 )2 2 4a2 b2 (b2 )2
(4a2 b2 )2 [(2a b)(2a b)]2 (2a b)2 (2a b)2
因式分解 步骤方法
先提公因式→一提 再用公式→二用 继续分解→三查
例2 因式分解
（5） ( p 1)( p 4) p 解：原式 p2 4 p p 4 p
p2 4p 4 ( p 2)2
无提无公式， 展开合并 再观察。
探究新知 理解新知 经典例题 归纳总结 巩固提升 小结回顾
例3 已知: a2+b2+2a–4b+5=0，求 2a2+4b–3的值.
解：∵a2+b2+2a–4b+5=0
∴ 2a2+4b–3

14.3.2公式法 课件 2024—2025学年人教版数学八年级上册

14.3.2公式法 课件 2024—2025学年人教版数学八年级上册
13.在括号内填上适当的数，使之能用完全平方公式进行因式分解.
（1）x2 （ ）xy+25y2； (2) 9a2 36ab ( ) .
14.已知a，b，c为三角形的三边，且a2 b2 c2 ab bc ac 0
判断此三角形的形状.
15.证明：无论a，b为何值，a2 b2 6a 10b 40 的值都大于0.
(1)a2b2 10ab 25;
(2) 16m2 40mn 25n2 ;
(3) x2 y2 8xy3 16 y4;
(4) x4 6x2 y2 9 y4 ;
(5) (m n)2 8(m n) 16 ; (6) (x y)2 4xy ;
(7) x2 4x 4;
(8) m2 12m 36 ;
16.若x 2z 3y，求 x2 9 y2 4z2 4xz 的值.
(3) x2 2x 1 ;
(6) 1 x2 x 1； 4
(9) a2 1 ab 1 b2 ; 24
(12) a2b2 6ab 9
2.把下列各式分解因式：
（1）a2 12a 36； (3) 9x2 12xy 4 y2 ; (5) 3x2 6xy 3y2； (7)(a b)2 6(a b) 9; (9) x4 2x2 1 ;
把（a-b）看作一个整体，这个多项式恰好是
（a-b）与5的平方，及（a-b）与5的乘积的2
倍，这样就可以利用完全平方公式分解因式了.
解：(1)m2 10mn 25n2 (m)2 2 (m)(5n) (5n)2 (m 5n)2
（3）(a b)2 1（0 a b） 25 (a b)2 2 5(a b) 52 (a b 5)2
(4)
x2 4x
2
8
x2 4x

14.3.2公式法_因式分解(完全平方公式)

14.3.2公式法_因式分解(完全平方公式)

a 2ab b a 2ab b
2 2
2
2
完全平方式的特点： 1、必须是三项式 2、有两个“项”的平方 3、有这两“项”的2倍或-2倍
2 2 首 2首尾 尾
判别下列各式是不是完全平方式
1x 2 xy y 2 2 2A 2 AB B 2 2 3甲 2 甲乙 乙 2 2 4 2
a 2ab b a b
2 2
2
a 2ab b a b
2 2
2
这两个多项式有什么特征?
2 2 2 2 a +2ab+b 与a -2ab+b
这两个多项式是两个数的平方和加上(或 减去)这两个数的积的2倍，这恰是两个 数和或差的平方。
我们把 2 2 和 2 2 a +2ab+b a -2ab+b 这样的式子叫做完全平方式。
1. 因式分解：9x2－y2－4y－4＝_____． 2 2 【解析】9x －y －4y－4
= 9x2－(y2+4y+4） = 答案： 2. 分解因式：2a2–4a+2 2 【解析】 2a – 4a+2 = 2(a 2 – 2a +1) = 2(a – 1) 2
需要我们掌握： 1：如何用符号表示完全平方公式？
(1) (2) 1 6 a 4 + 2 4 a 2 b 2 + 9 b 4 2 2 解:（1）x － 12xy+36y 2 2 = x －2· x· 6y+ （ 6y ） = （ x － 6y ） 2 （ 2 ） 16a 4 +24a 2 b 2 +9b 4
2. 因式分解.
2 2 x － 12xy+36y

公式法完全平方公式.ppt

公式法完全平方公式.ppt

思考题:
1、多项式:
(x+y)2-2(x2-y2)+(x-y)2能
用完全平方公式分解吗?
2、在括号内补上一项，使多项 式成为完全平方式：
X4+4x2+(
)
1.(x+y)2-2(x2-y2)+(x-y)2
=(x+y)2-2(x+y)(x-y)+(x-y)2 =（x+y-x+y）2 =(2y)4 =4y2
1 x2 __2_x__y__ y2 2 4a2 9b2 ___1_2_a_b_ 3 x2 _4__x_y__ 4 y2
4 a2 __a_b____ 1 b2
4
5 x4 2x2 y2 ____y_4_
三、新知识或新方法运用
例题：把下列式子分解因式
4x2+12xy+9y2
2x2 22x3y 3y2 2x 3y2
(x 3)2 (2 y 1)2
1 4a2 x2 x 1
24 4 y2 12 xy 9x2
不是 不是 不是
(2x y)2 6(2x y) 9
是
a表示：2x+y b表示：3
(2x y)2 2•(2x y)•3 32
(2x y 3)2
3、请补上一项，使下列多项式成 为完全平方式
a2 2abb2 a2 2abb2
我们把以上两个式子 叫做完全平方式
“头” 平方, “尾” 平方, “头” “尾”两倍中间放.
1、回答：下列各式是不是完全平方式
1 a2 b2 2ab 是
22xy x2 y 2 是 3 x2 4xy4 y 2 是 4a2 6abb2 否 5x2 x 1 是
—
2.(116 )x6 4x3 -4x3 4

八年级数学14.3.2因式分解—平方差公式优秀课件

八年级数学14.3.2因式分解—平方差公式优秀课件
〔1〕如果多项式各项含有公因式那么第一步提出公因式； 〔2〕如果多项式各项没有公因式，那么第一步考虑用公
式法分解因式； 〔3〕分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解
为止； 〔4〕对具体问题选准方法加以解决．
五、真见—能力提升 〔自我表达〕
1.把以下多项式分解因式： (1)9-16x2. (2)16m2-9n2. (3) x2y-4y. (4) 4xy9y3x. 【思路点拨】此题(1)(2)中两项都可以表示成平方的 形式，多项式是二项式且前面的符号相反，应考虑
3.以下多项式能否用平方差公式来分解因式？ (1) x2 + y2(2) x2 - y2(3) -x2+y2 (4) -x2 - y2 (5) x2 -9y2 (6) (3m+n)2-(m-2n)2 ． (2)(3)(5)(6)能，(1)(4)不能
注意：平方差公式的结构以及整体换元思想的应用
四、亮见—知识应用 〔小组展示〕
把以下多项式分解因式：
(1)9-16x2.
(2)16m2-9n2. (3) x2y-4y.
9y3x.
解:(1)9-16x2
解: (2)16m2-9n2
=32-(4x)2
=(4m)2-(3n)2
=(3+4x)(3-4x). 解: (3) x2y-4y
= y (x2-4) = y (x+2)(x-2)
=(4m+3n)(4m-3n). 解: (4) 4xy-9y3x
=xy(4-9y2) = xy(2+3y) (2-3y)
(4) 4xy
2.分解因式： (1) -a4+16 (3)(m+2n)2-(m-n)2
解: (1)-a4+16 =(4+a²)(4-a²) =(4+a²)(2+a)(2-a)

人教版八年级数学上册14.3.2《公式法》 课件第1课时(共17张PPT)

人教版八年级数学上册14.3.2《公式法》 课件第1课时(共17张PPT)
3．因式分解与整式乘法有着怎样的关系？ 因式分解与整式乘法是方向相反的变形，把整式 乘法的平方差公式 (a b)(a b) a2 b2 的等号两 边互换位置，就得到 a2 b2 (a b)(a b) ．
探究新知
4．将 a2 b2 (a b)(a b) 用文字语言表述， 并说明公式中的字母a，b可以表示什么？
（1）(a b)2 c2 a2 2ab b2 c2 ；
不正确． 对分解因式的概念不清，左边是多项式的形 式，右边应是整式乘积的形式，但右边还是多项 式的形式，因此，最终结果是未对所给多项式进 行因式分解.
课堂练习
（2）a4 1 (a2 )2 1 (a2 1)(a2 1) ．
不正确． 因式分解不彻底．
3．因式分解应进行到每一个因式不能分解为止． 4．计算中应用因式分解，可使计算简便．
课堂小结
本图片资源介绍了用平方差公式分解因式，适用于公 式法的教学.若需使用，请插入图片【知识点解析】 用平方差公式分解因式.
课堂小结
本图片资源介绍了因式分解的一般步骤，适用于因式 分解的教学.若需使用，请插入图片【知识点解析】 因式分解的一般步骤.
（1）x2 4 与多项式和 （2）a2 36 进行因式
分解？
（1）x2 4 x2 22 (x 2)(x 2) ； （2） a2 36 a2 62 (a 6)(a 6) ．
例题解析
【例1】分解因式：
（1）4x2 9 ； （2） (x p)2 (x q)2 ．
解：（1）4x2 9 (2x)2 32 (2x 3)(2x 3) ； （2）(x p)2 (x q)2 [(x p)+(x q)][(x p) (x q)] (2x p q)( p q) ．
文字语言表述：两个数的平方差，等于这两个数 的和与这两个数的差的积．字母a 、b可以表示任何 数、单项式或多项式．

14.3.2 公式法 - 第二课时 运用完全平方公式因式分解

14.3.2 公式法 - 第二课时 运用完全平方公式因式分解
分解因式：a2－2a(b＋c)＋(b＋c)2.
解：原式＝[a－(b＋c)]2＝(a－b－c)2.
师生活动：学生先独立思考并完成解答，教师适当给予指导，最后进行统一讲解
1.学生独立思考、合作交流，在前面学习利用平方差公式分解因式的经验的基础上，总结利用完全平方公式分解因式的经验．
经历对例题和变式的探究过程，加深因式分解的一般解题步骤，达到巩固知识的目的，培养学生分析问题、解决问题的能力.
课前预学任 务（前提测评内容）
上节课我们学习了运用平方差公式分解因式，同学们能解决下面的题目吗？
因式分解：81a4－16.
情境导入
出示目标
导学活动预设
教师活动
学生活动
设计意图
活动一：创设情境、导入因式：
(1)m2－8mn＋16n2；(2)a2－2ab＋b2.
“以学为主’有效课堂范式”之课堂导学设计预案
课 题
14.3.2运用完全平方公式因式分解
授课时间
年 月 日
星 期
第 节
课标及教材解读
在学习本节课之前，已经学过了因式分解的有关概念和方法，特别是学过了运用平方差公式分解因式与本节课有类似之处，为本节课打下了基础．运用完全平方公式分解因式不仅是现阶段的学习重点，而且为后面分解二次三项式奠定了一定的基础．教学时注意类比平方差公式分解因式得出完全平方公式分解因式的意义，并分析完全平方式的特点．
(2)－x2＋4xy－4y2＝－(x2－4xy＋4y2)＝－[x2－2·x·2y＋(2y)2]＝－(x－2y)2.
方法归纳：运用完全平方公式分解因式，被分解的多项式必须满足三个特点：(1)多项式为三项式；(2)其中有两项是平方项且符号相同；(3)第三项是两个平方项幂的底数的积的2倍或－2倍．

人教版数学八年级上册课件：14.3.2 公式法

人教版数学八年级上册课件：14.3.2 公式法

知
提公因式法
平方差公式 a2–b2=(a+b)(a–b)
3.完全平方公式 (a±b)2=a2±2ab+b2
探究新知
探究
你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你
拼成的图形的面积吗？
a a² a
ab a ab a b²b
b
b
b
同学们拼出图形为：
探究新知
这个大正方形的面积可以怎么求？ (a+b)2 = a2+2ab+b2
探究新知
辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？
(1)x2+y2
×
(2)x2–y2
√
★符合平方差的形 式的多项式才能用
(3)–x2–y2 (4)–x2+y2 (5)x2–25y2 (6)m2–1
–(x×2+y2) y√2–x2
(x√+5y)(x–5y) (m√+1)(m–1)
平方差公式进行因 式分解，即能写成: ( )2–( )2的形式.
这两项都是数或式的平方，并且符号相同.
(3)中间项和第一项，第三项有什么关系？
是第一项和第三项底数的积的±2倍.
探究新知
完全平方式: a 2 2ab b2
完全平方式的特点： 1.必须是三项式(或可以看成三项的)； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的±2倍.
探究新知
简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央. 凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将
答：剩余部分的面积为36 cm2.
课堂检测
拓广探索题
(1)992–1能否被100整除吗？ (2)n为整数，(2n+1)2–25能否被4整除？

14.3.2公式法(教学课件)-初中数学人教版八年级上册

14.3.2公式法(教学课件)-初中数学人教版八年级上册

（3）4(2a+b)2-4(2a+b)+1；
(4) y2+2y+1－x2；
(3)原式=[2(2a+b)]²－ 2·2(2a+b)·1+(1)² =(4a+2b－1)2；
(4)原式=(y+1)²－x² =(y+1+x)(y+1－x).
完全平方公式因式分解
结论
把整式乘法的平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2和完 全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2 的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式 的公式：a2-b2=(a+b)(a-b)，a2+2ab+b2=(a+b)2，a22ab+b2=(a-b)2 ，用来把某些具有特殊形式的多项 式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.
完全平 方公式 分解因
式
公式 特点
a2±2ab+b2=(a±b)2
（1）要求多项式有三项. （2）其中两项同号，且都可以写成 某数或式的平方，另一项则是这两数 或式的乘积的2倍，符号可正可负.
1.分解因式:(1)4x2＋4x＋1；(2)
1
3 x2－2x＋3.
小聪和小明的解答过程如下：
小聪:
小明:
例3：把下列完全平方公式分解因式： (1)1002－2×100×99+99²； (2)342＋34×32＋162.
解：(1)原式=（100－99)² =1.
(2)原式＝(34＋16)2 ＝2500.
综合应用
计算：(1)38.92－2×38.9×48.9＋48.92.

人教版八年级数学上册课件：14.3.2公式法(第一课时)

人教版八年级数学上册课件：14.3.2公式法(第一课时)
解：(1)72-52=8×3，152-132=8×7． (2)规律：任意两个奇数的平方差是8的倍数．
(3)证明这个规律的正确性．
(3)设两奇数为2m+1和2n+1，则 (2m+1)2-(2n+1)2 =(2m+2n+2)(2m-2n) =4(m+n+1)(m-n)． 当m、n同为奇数或偶数时，4(m-n)一定为8的倍数； 当m、n为一奇一偶时，m+n+1为偶数， 4(m+n+1)一定为8的倍数． 综上，任意两奇数的平方差是8的倍数．
(2x+5y)(2x-5y)
12．已知a、b、c为△ABC的三边长，且满足a2c2b2c2=a2b2-a4，则△ABC的形状是 等腰三角．形
13．老师在黑板上写出几个算式： 52-32=8×2，92-72=8×4，152-32=8×27， 王华接着又写了两个具有同样规律的算式： 112-52=8×12，152-72=8×22，… (1)请再写出两个具有上述规律的算式(不同于上面算式)； (2)用文字写出上述算式的规律；
(2)m3-m； 解：原式=m(； 解：原式=(4m2+3n)(4m2-3n);
(4)3ax2-3ay2； 解：原式=3a(x+y)(x-y);
(5)(x+2)2-9． 解：原式=(x+5)(x-1)．
10．将下列各式因式分解． (1)(2x+3)2-25x2; 解：原式=(2x+3+5x)(2x+3-5x) =(7x+3)(3-3x) =-3(x-1)(7x+3);
4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19

完全平方公式 (优质课)获奖课件 (优质课)获奖课件

完全平方公式 (优质课)获奖课件 (优质课)获奖课件

(3)例子： 把 x2＋6x＋9 和 4x2－20x＋25 因式分解． 显然，它们不能用学过的方法，可以用完全平方公式 分解吗？ 三、应用举例 1．(1)提问：式子 x2－4x＋4，1＋16a2，4x2＋4x－1，
x2＋xy＋y2，m2＋2nm＋n2 是不是完全平方式？ (2)填空： m2＋(____)＋4＝(m＋2)2，m2＋(____)＋4＝(2－m)2，
让学生体会法则的理论依据：乘法对加法的分配律． 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个 多项式的每一项，再把所得的积相加． (二)例题讲解与巩固练习 1．教材例6计算： (1)(3x＋1)(x＋2)； (2)(x－8y)(x－y)； (3)(x＋y)(x2－xy＋y2)．
2．计算下列各题：
1．叙述平方差公式，并写出公式．
2．把下列各式分解因式：
(1)－16＋x2；
(2)x3－xy2；
(3)m4－1; (4)ab(x－y)3＋ab3(y－x)．
3．填空：
(1)(a＋b)2＝________； (2)(a－b)2＝________．
二、探究新知
完全平方式与完全平方公式
(1)公式： 把乘法公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2和(a－b)2＝a2－2ab＋b2反 过来，就可以得到：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a －b)2. 这就是说，两个数的平方和，加上(或减去)这两个数的积 的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方． 把a2＋2ab＋b2和a2－2ab＋b2这样的式子叫做完全平方式． 上面两个公式叫做完全平方公式． (2)完全平方式的形式和特点； ①项数：三项； ②有两项是两个数的平方和，这两项的符号相同； ③有一项是这两个数的积的两倍．
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16x2+24x+9= (4x)2+ 2· 3 +32 4x·
a b a2 + 2 · · + b2
解:(1)16x2+24x+9=(4x)2+2· 3+32 4x·
=(4x+3)2.
三、新知识或新方法运用
例５:
分解因式：(2) –x2+4xy–4y2.
解：(2) –x2+4xy-4y2
= -(x2-4xy+4y2)
2 2
1 5 x x 是 4 6 a 2 2ab 4b 2 否
2
2.填写下表
多项式
是否是完 全平方式
a 、b各 表示什么
a表示：x b表示：3 a表示：2y b表示：1
表示为：
a 2 2ab b 2 x 2 2 x 3 32
(2 y) 2 2 (2 y) 1 12
二、完全平方式
a 2ab b
2
2
完全平方式的特点：
1、必须是三项式（或可以看成三项的）
2、有两个同号的平方项 3、有一个乘积项（等于平方项底数的±2倍）
简记口诀：
首平方，尾平方，首尾两倍在中央。
1 a 2 b 2 2ab 是
2 2 2 2
1、回答：下列各式是不是完全平方式
2 2 xy x y 是 3 x 4 xy 4 y 是 4 a 6ab b 否
第一关：知识回顾
问题3：分解因式（）
(1)4a 9a
2
4
(2)(x 1) (x 1)
2
2 2
2
2
4a 9a
2
4
a (4 9a ) a (2 3a)(2 3a)
因式分解时，先考虑提取公 因式，再考虑其它方法。
(x 1)2 (x 1)2(x x 1)(x 1 1 x 1)
1.因式分解要彻底，直到不能分解为止。 2.在分解过程中还要有整体和换元思想。
第二关：探究新知
问题1：整式乘法中的完全平方公式是怎样的？
( a b ) a 2ab b
2
2
2
( a b ) a 2ab b
2
2
2 右边是整式的积
因式分解中的完全平方公式：
a 2ab b (a b) (a b)(a b) 2 2 2 a 2ab b (a b) (a b)(a b)
四、小结
1：如何用符号表示完全平方公式？ a2+2ab+b2=(a+b)2， a2-2ab+b2(a-b)2． 2：完全平方公式的结构特点是什么？
完全平方式的特点： 1、必须是三项式（或可以看成三项的） 2、有两个同号的平方项 3、有一个乘积项（等于平方项底数的±2倍） 简记口诀： 首平方，尾平方，首尾两倍在中央。
(6) －3x2+6xy－3y2.
四、作业
书P ：119 习题14.3
第3题。
不是 是
a表示：2x+y (2 x y) 2 2 (2 x y) 3 32 b表示：3
(2 x Leabharlann y 3) 23、请补上一项，使下列多项式成 为完全平方式
2xy 1 x _______ y 2 2 2 4a 9b _______ 12ab 2 4xy 4 y 2 3 x ______
2 2
1 2 ab 4 a _______ b 4 4 2 2 5 x 2 x y ______ y4
2
三、新知识或新方法运用
例５，分解因式：(1) 16x2+24x+9
分析：在(1)中，16x2=(4x)2,9=32,24x=2· 3, 4x· 所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即
表示为 (a b) 或 (a b) 2 形式
2
x2 6x 9
是 是 不是 不是
( x 3) 2 (2 y 1) 2
4 y2 4 y 1
1 4a 2
x2 x 1 2 4
4 y 2 12 xy 9 x 2
(2 x y) 2 6(2 x y) 9
14.3
14.3.2
因式分解
完全平方公式
人教新课标
第一关：知识回顾
问题1：整式乘法中的平法差公式是怎样的?
答案: (a b)( a b)
a b
2
2
问题2：因式分解中的平法差公式是怎样的? 答案： a
2
b (a b)( a b)
2
你能熟练的运用平方差公式进行因式分解吗？
2 2 2
左边是多项式
第二关：探究新知
形如
a 2ab b
2
2
或
a 2ab b
2
2
的多项式
,叫做完全平方式。 平方差公式法和完全平方公式法统称公式法。 平方差公式法：适用于平方差形式的多项式 完全平方公式法：适用于完全平方式 用完全平方公式分解因式的关键是： 判断一个多项式是不是一个完全平方式。
= -[x2-2· 2y+(2y)2] x·
= - (x-2y)2
三、新知识或新方法运用
例６: 分解因式: (1) 3ax2+6axy+3ay2;
(2) (a+b)2-12(a+b)+36. 分析：在（1）中有公因式3a，应先 提出公因式，再进一步分解。
解:(1)3ax2+6axy+3ay2 (2)(a+b)2-12(a+b)+36 =3a(x2+2xy+y2) =(a+b)2-2· (a+b)· 2 6+6 =3a(x+y)2 =(a+b-6)2.
练习
1.下列多项式是不是完全平方式？为 什么 (1) a2－4a+4;
(2)1+4a2; (3) 4b2+4b－1 ;
(4)a2+ab+b2.
2.分解因式： (1) x2+12x+36; (3) a2+2a+1; (2) －2xy－x2－y2; (4) 4x2－4x+1;
(5) ax2+2a2x+a3;