第六章 点估计一、 教学基本要求1、 理解参数的点估计的概念，掌握矩估计法（一阶，二阶）与 极大似然值估计法2、 了解估计量的无偏性，有效性，一致性3、 了解估计的概念，会求单个正态总体的均值与方差的置信区间会求两个正态总体的均值及方差比的置信区间二、 教学重点和难点1、 点矩估计中的矩估计法 极大似然估计法2、 估计量的性质3、 置信区间§6.1 矩法估计一、 参数估计：根据已知信息（样本的观侧值），对母体ξ的分布（概率函数()θ,x f ）中未知的参数做出推断即 从一簇概率函数{()θ,x f ，θ∈参数空间Θ}中选定一个分布① 构造一个统计量 作为参数θ的一个估计量 则()xn x x x y .3,2,1μ=是θ的点估计值 ，若{()k x f θθ ,1,，（k θθ ,1）∈Θ} 则 需构造k 个估计量② 得到关于k θθθ 2,1的方程组 ，解出估计值kθθθ∧∧∧,2,1二．矩法估计：用子样的经验分布和子样矩去替换总体的分布和总体矩的原则。
1． 设（ξ1，ξ2，…ξn ）取自总体的一个样本，如果未知参数θ=h(u1,u2, …um).则θ=（ξ1，ξ2，…，ξn ）为θ的矩估计量。
2． 矩阵估计的基本步骤：3． ①如待估参数只有一个θ，先求总体ξ的一阶矩阵E ξ，若E ξ中不含有θ，再求E ξ2…直到式中含θ为止，即E ξ=g(θ). ②解出θ=h （E ξ）。
③替换θ= h （ξ）。
如待估参数有θ1，θ2。
此时E ξ= g1（θ1，θ2），E ξ= g2（θ1，θ2）。
解出θ1=h1(E ξ,E ξ2), θ2=h2(E ξ,E ξ2). 例1． 求团体均值E ξ与 D ξ的矩阵计。
例2． 设团体ξ服从Γ分布，其密度函数。
F(x,p,b)=⎪⎩⎪⎨⎧>≤--Γ时当时当0001)(x e x x bxp p b p 求b ，p 。
三．估计量的优良性。
1．一致性：n θ=θ（ξ1，ξ2，…ξn ）为参数θ的估计量。
若∀θ∈Θ,当样本容量n ∞→时，n θ−→−pθ。
即∀有0∈>0)(lim =≥-∞→εθθp n .例1．验证若,0lim =∞→n n E θ0lim=∞→θnn D ，则θn是θ的一致估计量。
证法一：p )(εθθ≥-n ==-≤⎰⎰≥-∞+∞-dx x f dx x f nn n n )()()(22θεθθθθθθ22)(εθθ-n E又2)(θθ-nE =E（222θθθθ+-n n）=E 222θθθθE E n n+-=D 222)(θθθθθ+-+n n n E E故2222)(lim θθθθθ+-=-∞→n n E =00)(lim)(lim 22=-≤≥-∴∞→∞→εθθεθθn n n n E p即.0)(lim =≥-∞→εθθn n p2． 无偏估计。
设θθ=（ξ1，ξ2，…ξn ）是母体ξ的概率函数{}Θ∈θθ),(x f 的未知参数θ 的一个估值。
若E （θ）=θ。
则称θ为θ的无偏估计，否则为有偏的。
例1．E （E ξ）=E ξξE =。
E （ξD ）=E （2n S ）=.1ξD nn ,∞→)(lim θE n ∞→。
则θ为θ的渐近无偏估计。
P 262 例6.3 例6.4§6.2 极大似然估值一 引入：例如产品抽样问题。
ξ=1表示不合格，ξ=0表示合格。
f ⎩⎨⎧=-=-其他01,0)1().(1x p p p x x x ξ 0<p<1为不合格品率。
子样（ξ1，ξ2，…ξn ）的联合分布。
p （ξ1=x 1，ξ2=x 2，…ξn=x n ）=p 111)1(x x p --…p nx n p x --1)1(=p∑-∑==-nn inn ix n x p 11)1(.其中0=i x 或1。
多个参数Def3.似然函数L （m n x x x θθθ,...,,,...,2121）=∏=ni m i x f 121),...,,(θθθ.为关于样本值nx x x ,...,21的似然函数，记为I(,1θm θθ,...2),它是观测到（n x x x ,...,21）时出现何种i θ的一个量度。
Def4 使I(,1θm θθ,...2)达到最大值时的点（(1θn x x x ,...,21），),...2n θθ，称为参数i θ的极大似然估计值。
相应的估计值。
极大似然估计量),,...,(21n L ξξξθL （n x x x ,...,,21θ）=),...,,(21n x x x L Sup θθΘ∈。
Def1.单个未知参数Θ∈θ。
L （θ,,...,21n x x x ）=∏=ni i x f 1),(θ。
称为样本的似然函数。
（关于样本值nx x x ,...,21的似然函数）。
Def2.设（ξ1，ξ2，…ξn ）是来自总体ξ的一个样本。
如果∃),...,(21n x x x θθ=使L （θ）=),(ln x L Sup θθΘ=.例P 266例6.6 f(x,θ)= ⎪⎩⎪⎨⎧∞<<≤<其它00,01θθθx解：子样（ξ1，ξ2，…ξn ）的似然函数。
L （n x x x ,...,,21θ）=nθ10〈x n i i ,...2,1,=≤θL （θ）关于θ单调递减。
且0>≥i x θ同时成立（I=1,2,…n）. 可见当i x =θ此时i x 不小于n i i x x x x x ...,...,11,21+-。
),...,max(21n x x x =∴θ为θ的极大似然函数估计量。
相应)(n L ξθ=（最大次序统计量）为极大似然估计量。
注：L θ不是θ的无偏估计。
二．极大似然估计的性质（不变性）Th1 θˆ为f （x ，θ）中参数θ的极大估计，并且函数u=u （θ）具有单值反函数)(u θθ=则)ˆ(ˆθu u=是u （θ）的极大似然估计，这是∈θH 的值域。
证：)ˆ(θL =HSup ∈θL （θ） u （θ）的单值反函数=θθ（u ）L （ )ˆ(ˆuθ）=HSup ∈θL （)(u θ） L （)ˆ(ˆθu）=HSup ∈θL （)(θu ） 例1 若固体ξ--N （u ，2σ）。
求σ的极大似然估计解：2Sn 为2σ的极大 似然估计σ =u=2ω有单值反函数2ˆSn=∴σP 9.6300=lnX ——N （u ，2σ），求EX ，DX 的极大似然估计。
证： Z---N （u ，2σ）∴uˆ=Z ，2σ=Sn 2为u ，2σ的 极大似然估计又 EX=σ1222)(σu x xe e--∞+∞--⎰dx=e221σ+u2ˆˆβσ+=∴ue XE Th2。
（渐近正态性）Dague 定理θ∂∂L ln =0的解*θ存在：当n →∞时，*θ0θ→（0θ为θ的未知真值）且F *θ（x ）→N （])[(1,20θθ∂∂Lnf nE ）)(n ξ 的密度函数f n y ξ)()(=θθ1)(1yn n -∙ 60≤<y∴Λ)(θL E =dyyn n ynE ⎰-=θθθξ1)(1)(=θθθ1+=⎰n n ndy ynn但ξθ)(*1n nn +=Λ是θ的无偏估计。
可见 _2ξθ=Λ和ξθ)(1n l nn +=Λ均为参数θ的无偏估计，即参数θ的 无偏估计不唯一。
事实上，若ΛΛθθl ,为θ的无偏估计，对于任何1,021≤≤aa 且121=+aaΛΛ+θθla a 21均为θ的无偏估计。
p268例6，7若 !)(k k p ek λλξ-=== k=0,1,2…求λ的极大似然估计。
解：似然函数e xxn nni ix L λλλ-∑==!!)(11取对数)ln(ln )(ln 11x xxini in i in L ∑∑==-+-=λλλ对参数λ求导01ln 1=+-=∂∂∑=ni ixn I λλ∑=Λ=ni ix n11λ为极大似然估计值。
_ξλ=Λl为极大似然估计量。
p269例6，8 ξ~),(2δμNex x i f i δμδπμδ2222)(21),,(-=-.解：),;,(12xx nLδμ=eni x i n∑-=-122)(212122μδδπ∑-=---=ni x i n n L 1222)(21ln2)2ln(2ln μδδπ令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=∂∂=-=∂∂∑-∑==ni n i i x x i n I I 12222120212ln 0)(1ln )(μδδδδμμ解方⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===∑-∑=ΛΛ122__11)(i i x x x i n x n δμ 可见 _ξ=Λu l snl22=Λδ为极大似然估计量。
例3： x~b(1,p) 未知参数∈p H=]43,41[ 由容量为1样本求p 的极大似然估计量。
)1(1),(p p xx p x L --=。
)1ln()1(ln ln p x p x I --+∙=pp x I ∂∂),('ln =px px --+∙111 有唯一解x,但x=0或1，不在]43,41[内，因而x 不能作为p 的极大似然估计，此时只能用定义。
当x=0时 p p x L -=1),( ]43,41[∈p 41=Λp 为极大似然估计值；当x=1时 p p x L =),( ]43,41[∈p 43=Λp 为极大似然估计值。
又如：=)(x fξ()⎪⎩⎪⎨⎧≥--其他0)(1μθθμx ex 求 μθ，的极大似然估计。
解： 样本)21ξξξn（的极大似然函数=),;,(21x x x n L μθ⎪⎩⎪⎨⎧≥∑=--其他）(0)(11)(1μμθθx ei nni i x当μ≥x i 时有 )(1ln ),(ln 1μθθμθ---=∑=ni ixn l令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=∂∂=-+-=∂∂∑=0),(ln 0)(1),(ln 12θμμθμθθμθθn L n I n i i x由方程（1）知 _11x nni ix ==+∑=μθ 但无法求出ΛΛμθ,但在θ恒定时，要使),(θμL 最大，只须μ最大。
又 μ只能在xx x n21,中取，且xi≤μ)...2,1(n i =∴xxjnj )1(1min ==≤≤Λμ xx )1(_-=Λθ。
ξμ)1(=Λlξθξ)1(_-=Λl 为极大似然估计量。
§6.3 Rao---Cramer 不等式一 有效性Th3 若参数θ的两个无偏估计1ˆθ和2θ，它们的方差对一θ切∈θH 有D （1θ）)(2θD ≤，则称估计1θ比估计2θ有效。
例1 若ξ分布均匀U[0，θ]；1θ=2ξξ为θ的无偏，)(2n ξθ=为θ的渐进无偏*2θ =21θnn +为无偏。
D （1θ）=D （2ξ）=4D ξ=n 32θE （22θ）=θθθ1)(12nyy n -⎰dy=222θθ+n nD （2θ）=[222)1(2θ+-+n nn n ]=22)2)(1(++n n n θD （*2θ）=)()1(222θD n n+=2)2(1θ+n n当n ≥2时 *l θ比θˆ有效。
