2018高中物理选修3-4学案：第1章 第2讲 单摆教科版

第2节单摆1.理解什么是单摆及在什么情况下单摆的振动是简谐运动．(重点)2.知道单摆的周期跟哪些因素有关，了解单摆周期公式，并能进行有关计算．3.单摆的回复力及单摆简谐运动的推导．(重点＋难点)一、单摆的简谐运动1．单摆模型：细线的上端固定，下端系一小球，若忽略悬挂小球的细线长度的微小变化和质量，且线长比球的直径大得多，与小球受到的重力及绳的拉力相比，空气等对它的阻力可以忽略，这样的装置就叫做单摆．2．单摆的回复力：单摆的回复力是摆球的重力沿圆弧切线方向的分力，在摆角很小的情况下，单摆所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，因此单摆在摆角很小时做简谐运动．二、单摆做简谐运动的周期1．影响单摆周期的因素：实验表明，单摆振动的周期与摆球质量无关，在振幅较小时与振幅无关，但与摆长有关，摆长越长，周期越长．2．单摆的周期公式：周期T跟摆长l的二次方根成正比，跟重力加速度g的二次方根成反比，周期公式为T＝2π__l g．1．为了能够忽略空气阻力，选择摆球时应选择什么样的球？提示：选质量大体积小的球，这样就可以忽略空气阻力．2．为什么摆角很小时，单摆的振动可以看做简谐运动？提示：摆角很小时，圆弧可以近似地看成直线，分力F可以近似地看做沿这条直线作用，这样就可以证明F＝－kx.对单摆模型的理解1．运动特点(1)摆球以悬点为圆心做变速圆周运动，在运动过程中只要速度v≠0，沿半径方向都有向心力．(2)摆球以平衡位置为中心做往复运动，在运动过程中只要不在平衡位置，轨迹的切线方向都有回复力．2．摆球的回复力(1)平衡位置：小球静止时所在的位置．(2)小球的受力情况：小球受重力和绳的拉力(如图)．(3)单摆的简谐运动：在θ很小时(理论值为5°)，sin θ≈x l ，G 1＝G sin θ＝mgl x ，G 1方向与摆球位移方向相反，所以有回复力F 回＝－G 1＝－mgl x ＝－kx .因此，在摆角θ很小时，单摆做简谐运动．摆球经过平衡位置时，回复力为零，而合力不为零，此时合力提供小球做圆周运动的向心力．关于单摆，下列说法中正确的是( ) A ．摆球受到的回复力方向总是指向平衡位置 B ．摆球受到的回复力是它的合力 C ．摆球经过平衡位置时，所受的合力为零D ．摆角很小时，摆球受到的合力的大小跟摆球对平衡位置的位移大小成正比[解析] 单摆的回复力不是它的合力，而是重力沿圆弧切线方向的分力，A 对、B 错；当摆球运动到平衡位置时，回复力为零，但合力不为零，因为小球还有向心力，方向指向悬点(即指向圆心)，C 错；另外摆球所受的合力与位移大小不成正比，D 错．[答案] A对单摆的摆动过程的动力学分析，首先要搞清单摆的运动既有往复性摆动又有绕悬点的圆周运动，搞清单摆回复力和向心力的来源．关于单摆摆球在运动过程中的受力，下列结论正确的是( )A ．摆球受重力、摆线的张力、回复力、向心力作用B ．摆球受的回复力最大时，向心力为零；回复力为零时，向心力最大C ．摆球受的回复力最大时，摆线中的张力大小比摆球的重力大D ．摆球受的向心力最大时，摆球的加速度方向沿摆球的运动方向解析：选B ．单摆在运动过程中，摆球受重力和绳的拉力，故A 错．重力垂直于绳的分力提供回复力．当回复力最大时，摆球在最大位移处，速度为零，向心力为零，则拉力小于重力，在平衡位置处，回复力为零，速度最大，向心力最大，摆球的加速度方向沿绳指向悬点，故C 、D 错，B 对．对单摆周期公式的理解及应用1．摆长l(1)实际的单摆摆球不可能是质点，所以摆长应是从悬点到摆球球心的长度，即l ＝L ＋d2，L 为摆线长，d 为摆球直径．(2)等效摆长：图(a)中甲、乙在垂直纸面方向摆起来效果是相同的，所以甲摆的摆长为l ·sin α，这就是等效摆长，其周期T ＝2πl sin αg. 图(b)中，乙在垂直纸面方向摆动时，与甲摆等效；乙在纸面内小角度摆动时，与丙等效．2．等效重力加速度(1)若单摆在光滑斜面上摆动，如图：则等效重力加速度g ′＝g ·sin α，其周期为T ＝2π Lg sin α.(2)若单摆系统处在非平衡状态(如加速、减速、完全失重状态)，则一般情况下，g 值等于摆球相对静止在自己的平衡位置时摆线所受的张力与摆球质量的比值．例如：图(c)场景中的等效重力加速度g ′＝g sin α，球相对静止在O 时，F T ＝mg sin α，等效加速度g ′＝F Tm＝g sin α. 3．模型的等效：如图(d)所示，光滑的半球壳半径为R，O点为最低点，小球在O点附近的来回运动等效于单摆的简谐运动．球壳对球的支持力与摆线的拉力等效，其等效摆长为半球壳的半径R，故其周期公式为：T＝2πR g.命题视角1单摆周期公式的简单应用如图所示是描绘沙摆振动图像的实验装置和木板上留下的实验结果．沙摆的运动可看做简谐运动．若用手向外拉木板的速度是0.20 m/s，木板的长度是0.60 m，那么下列说法中正确的是()A．该沙摆的周期为3 sB．该沙摆的频率为1.5 HzC．这次实验所用的沙摆的摆长约为56 cmD．这次实验所用的沙摆的摆长约为1.5 m[解析]由题，薄木板水平匀速运动，运动时间为：t＝sv ＝0.60.2s＝3 s，设沙摆的周期为T，由图看出，2T＝t，得：T＝1.5 s．频率为f＝1T ＝23Hz，选项A、B错误；由单摆的周期T＝2πlg，得：l＝gT24π2＝0.56 m＝56 cm，选项C正确，D错误．[答案] C命题视角2等效法处理单摆问题如图所示，MN为半径较大的光滑圆弧的一部分，把小球A放在MN的圆心处，再把另一个小球B放在MN上离最低点C很近的B处，今使两小球同时释放，则()A．球A先到达C点B．球B先到达C点C．两球同时到达C点D．无法确定哪个球先到达C点[解析] 球A 做自由落体运动，到达C 点的时间为T A ＝2h g ＝ 2R g. 当BC 所对的圆心角小于5°时，球B 在圆弧的支持力F N 和重力G 的作用下做简谐运动(与单摆类似)，它的振动周期为T ＝2πlg＝2πR g. 球B 离最低点C 很近，因此球B 运动到C 点所需的时间是T B ＝T 4＝π2Rg，故 T A <T B ，显然球A 先到达C 点．[答案] A【通关练习】1．做简谐运动的单摆，其摆长不变，若摆球的质量增加为原来的94倍，摆球经过平衡位置的速度减为原来的23，则单摆振动的( )A ．周期不变，振幅不变B ．周期不变，振幅变小C ．周期改变，振幅不变D ．周期改变，振幅变大解析：选B ．由单摆的周期公式T ＝2πLg可知，单摆摆长不变，则周期不变；摆球经过平衡位置的速度减为原来的23，由于振动过程中机械能守恒，故：mgh ＝12m v 2，据此式可知，速度变小，高度减小，所以偏离平衡位置的最大距离变小，即振幅减小；故选B ．2．如图所示实线和虚线分别是同一个单摆在A 、B 两个大小相同的星球表面的振动图像，其中实线是A 星球上的，虚线是B 星球上的，则两星球的平均密度ρA ∶ρB 是( )A ．1∶2B ．2∶1C ．4∶1D ．8∶1解析：选C ．由图示图像可知，2T A ＝T B ，由单摆周期公式T ＝2πl g ，故g A g B ＝41，万有引力等于重力，G Mm R 2＝mg ，又M ＝ρ·43πR 3，所以两个星球的平均密度之比ρA ∶ρB ＝4∶1，故C正确，A 、B 、D 错误．3．(多选)细长轻绳下端拴一小球构成单摆，在悬点正下方12摆长处有一个能挡住摆线的钉子P，如图所示，现将单摆向左方拉开一个小角度，然后无初速度地释放，对于以后的运动，下列说法中正确的是()A．摆球往返运动一次的周期比无钉子时单摆的周期小B．摆球在左右两侧上升的最大高度一样C．摆球在平衡的位置左右两侧走过的最大弧长相等D．摆线在平衡位置右侧的最大摆角是左侧的两倍解析：选AB．摆线被钉子挡住后，绕A点做单摆运动，摆长发生变化，则周期也要发生变化．以前往返一次的周期T＝2πlg.挡住后，往返一次的周期为πlg＋πl2g，故A正确；根据机械能守恒定律，摆球在左、右两侧上升的最大高度一样．故B正确；由几何关系得，右边的弧长小于左边的弧长，故C错误；由几何关系得，摆球在平衡位置右侧的最大摆角不是左侧的两倍，故D错误．。

单摆一、教学目标1.知道什么是单摆。

2.会分析摆球在摆动过程中任意点的受力情况。

用近似方法，求出单摆在偏角很小时摆球所受的力。

3.通过比拟，认识到摆球与弹簧振子两者在振动时的回复力具有相同的形式，进而理解单摆在偏角很小时的振动是简谐运动。

4.通过实验探究，作出T2-l图像，能分析得出周期和摆长的关系式，并能用来进行有关计算。

二、教学过程引入：小故事〔2分钟〕伽利略作为一个虔诚的天主教徒，到教堂做祷告时观察被风吹动的吊灯，发现当这些吊灯摆幅减小后周期相同，惠更斯总结伽利略的研究成果，做成了世界上第一台摆钟，并说出“给我一根绳子，我就可以丈量时间〞。

老师自言自语“用一根绳子丈量时间，这么厉害〞。

同学们可有兴趣跟老师一起来学习一下？学生齐答：有好！这节课我们就一起来学习惠更斯是如何用一根绳子丈量时间的吧！教师提问1：生活中类似于吊灯的摆动还有哪些？学生答复：钟摆、荡秋千、吊桥等教师总结：非常不错，很善于观察生活。

展示钟摆和荡秋千动图并说明：由于存在空气阻力等的原因，它们最终都会停下来。

本着物理研究的一贯习惯，抓住主要因素，忽略次要因素，我们将空气阻力等因素忽略掉，将这类问题进行理想化处理，即得到我们今天将要学习的单摆运动。

板书：单摆1、单摆〔3分钟〕⑴展示单摆图片——单摆教师提问2：请同学们翻到课本第6页，并快速查看什么是单摆？板书：一、单摆1、概念：学生答复：假设忽略悬挂小球的细线长度的微小变化和质量，且线长比球的直径大的多，这样的装置就叫做单摆．教师总结：非常好，反响不错，是个学物理的好苗子！教师提问3：这样的单摆在现实生活中能找到吗？学生答复：能教师总结：错了，不能找到。

现实生活中找不到没有重力，且不可伸长的细绳。

也找不到只有重力没有体积的小球板书：2、单摆是理想化模型教师提问4：单摆做什么运动？学生答复：以O点为中心的往复运动教师总结：单摆做的是机械振动，O点为平衡位置,悬点到小球重心的距离叫摆长，即摆长l=绳长+r，绳子偏离竖直线的最大角度叫偏角。

单摆学习目标：1、通过阅读教材，知道单摆的结构，知道单摆是实际摆的理想化模型；2、通过阅读教材和推导计算，理解单摆在微振动条件下的运动，是简谐运动；3、通过猜想、实验探究和理论计算，掌握单摆的周期。

研究方法：本课所体现的物理学科研究方法：1、一般到特殊。

在前期研究严格的、由弹性力提供回复力的简谐振动的模型后，开始研究准弹性力简谐运动。

2、对未知或可能的结论的猜想和实验探究。

研究单摆的周期与摆长的关系时，我们可以通过实验探究，甚至可能采用理论推导，得出单摆的周期。

(若学生)知识结构：教学过程：引言：简谐运动的定义，是从回复力的角度定义的，对于水平弹簧振子，有，回复力由弹簧弹性力提供，有些情况下，回复力并不是弹簧的弹力，但它也有类似的形式，例如，对于竖直弹簧振子，回复力由弹力和重力的合力提供，且，对于如图所示的电荷系统，第三电荷在微小振动时，回复力仍然具有类似的线性形式。

显然，我们在研究弹性回复力的简谐运动中得到的认识与公式、图像等工具，自然可以应用于一切有的任何力提供回复力的情景。

实际物体的微弱摆动就是一个实例。

而在众多实际情况之中，我们仍然研究最简单的情况。

一、认识单摆阅读教材。

讨论交流：单摆是理想化模型，其理想化条件是什么？二、单摆的微振动规律阅读教材。

讨论交流：1、单摆的回复力是哪个(些)力提供的？你能解释原因吗？2、有人说，单摆的运动就是简谐运动，这句话对吗？为什么？3、尝试一下，按照教材的思路，你能独立推导出单摆在摆角较小时振动的回复力形式吗？三、对单摆周期的研究这里的单摆振动的周期，特指单摆在摆角较小时振动的周期。

●猜想：单摆做简谐运动的周期与哪些因素有关？●验证：如何设计实验方案，寻求变量间的未知关系？(不排除由于提前自学，使得探究性实验，转化为验证性实验)1、单摆做简谐运动时，与周期有关的因素(变量)。

2、实验方案。

⑴实验目的；⑵实验步骤；⑶数据记录与处理；⑷结论及评估。

(简要记录)可能的讨论交流：1、摆线和摆球的选择，需要注意什么？2、细线上端悬挂时，需要注意什么？3、测量摆长时，需要注意什么？4、测量振动周期时，你有什么好经验？5、你是怎样通过数据规律得到结论的？四、课时总结五、巩固练习1.一条细线下面挂一个小球，让它自由摆动，作出它的振动图象如图。

教科版高三物理选修3《单摆》教案及教学反思一、教学目标知识目标1.掌握单摆的基本概念和原理2.理解单摆的运动规律3.熟悉单摆的应用领域能力目标1.能够设计实验验证单摆的运动规律2.能够运用单摆的相关知识解决实际问题3.能够分析单摆运动中的实验误差二、教学重难点教学重点1.单摆的基本概念和原理2.单摆运动规律的理解和应用教学难点1.实验误差的分析和控制2.单摆应用题的解题方法和步骤三、教学过程1. 导入环节引导学生回忆初中物理中对单摆的学习，并通过生活实例引入单摆的应用领域。

2. 教学中心【教学内容1】单摆的基本概念和原理1.讲解单摆的定义：简单来说，单摆就是一个质量为m的物体，通过一条不可伸缩的细线连接一个固定点。

2.讲解单摆的运动方式：单摆往返摆动的运动形式被称为简谐运动。

3.讲解单摆长度、弧度和角度的关系：单摆长度为l的摆动，其振幅$\\theta$与弧度$\\alpha$、角度$\\varphi$的关系为$\\theta=l\\alpha=l(\\mathrm{\\frac{\\pi}{180}}\\va rphi)$。

【教学内容2】单摆运动规律1.讲解单摆的运动规律：单摆摆动的周期与单摆长度成正比，与重力加速度成反比。

即$T=2\\pi\\sqrt{\\frac{l}{g}}$。

2.指导学生运用摆动周期公式，计算不同长度的单摆的运动周期。

3.设计实验，验证单摆的运动规律，以及掌握实验误差分析方法。

【教学内容3】单摆的应用1.讲解单摆在科学实验、钟表等领域的应用。

2.指导学生运用单摆相关知识，解决实际问题，如钟摆的调速问题。

3. 实验环节设计实验，验证单摆运动规律，帮助学生巩固理论知识，以及掌握实验误差分析方法。

4. 总结环节对本次教学内容进行总结，并帮助学生理清相关知识点之间的联系和应用场景。

四、教学反思单摆作为物理学常用的教学实验，具有着较广泛的应用性和较高的教育价值，在课堂教学中能有效地激发学生的学习兴趣。

第2节 单__摆对应学生用书P5[自读教材·抓基础] 1．单摆2．单摆的回复力(1)回复力的来源：摆球所受重力沿圆弧切线方向的分力。

(2)回复力的特点：在偏角很小时，单摆摆球所受的回复力与偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即F ＝－mg lx 或F ＝－kx 。

3．单摆做简谐运动的条件1.单摆的回复力是摆球所受重力沿圆弧切线方向的分力，只有在摆角较小时，才满足F ＝－kx ，才可看做简谐运动。

2．单摆在平衡位置时速度最大，回复力为零，但摆球所受合外力不为零。

3．单摆的周期公式T ＝2π l g ，其大小与摆球质量及振幅无关。

在偏角较小的情况下，单摆做简谐运动。

[跟随名师·解疑难]1．单摆的运动特点(1)摆线以悬点为圆心做变速圆周运动，因此在运动过程中只要速度v ≠0，沿半径方向都受向心力。

(2)摆线同时以平衡位置为中心做往复运动，因此在运动过程中只要不在平衡位置，沿轨迹的切线方向都受回复力。

2．单摆的动力学特征(1)任意位置：图1－2－1如图1－2－1所示，G 2＝G cos θ，F －G 2的作用就是提供摆球绕O ′做变速圆周运动的向心力；G 1＝G sin θ的作用是提供摆球以O 为中心做往复运动的回复力。

(2)平衡位置：摆球经过平衡位置时，G 2＝G ，G 1＝0，此时F 应大于G ，F －G 的作用是提供向心力；因在平衡位置，回复力F 回＝0，与G 1＝0相符。

(3)单摆做简谐运动的推证：在θ很小时，sin θ≈tan θ＝x l， G 1＝G sin θ＝mg lx ， G 1的方向与摆球位移方向相反，所以有回复力F 回＝G 1＝－mg lx ＝－kx 。

因此，在摆角θ很小时，单摆做简谐运动。

(摆角一般不超过5°)[学后自检]┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(小试身手)关于单摆摆球在运动过程中的受力，下列结论正确的是( )A ．摆球受重力、摆线的张力、回复力、向心力作用B ．摆球受的回复力最大时，向心力为零；回复力为零时，向心力最大C ．摆球受的回复力最大时，摆线中的张力大小比摆球的重力大D ．摆球受的向心力最大时，摆球的加速度方向沿摆球的运动方向解析：选B 单摆在运动过程中，摆球受重力和摆线的拉力作用，故A 错。

第 2 课时 单 摆基础知识归纳 1.单摆在一条不可伸长、不计质量的细线下端系一质点所形成的装置.单摆是实际摆的理想化物理模型.2.单摆做简谐运动的回复力单摆做简谐运动的回复力是由重力mg 沿圆弧切线的分力 F ＝mg sin θ 提供(不是摆球所受的合外力)，θ为细线与竖直方向的夹角，叫偏角.当θ很小时，圆弧可以近似地看成直线，分力F 可以近似地看做沿这条直线作用，这时可以证明F ＝－tmgx ＝－kx .可见θ很小时，单摆的振动是 简谐运动 . 3.单摆的周期公式(1)单摆的等时性：在振幅很小时，单摆的周期与单摆的 振幅 无关，单摆的这种性质叫单摆的等时性，是 伽利略 首先发现的. (2)单摆的周期公式 π2 g lT =，由此式可知T ∝g1，T 与 振幅 及 摆球质量 无关. 4.单摆的应用(1)计时器：利用单摆的等时性制成计时仪器，如摆钟等，由单摆的周期公式知道调节单摆摆长即可调节钟表快慢. (2)测定重力加速度：由gl Tπ2=变形得g ＝22π4T l ，只要测出单摆的摆长和振动周期，就可以求出当地的重力加速度. 5.单摆的能量摆长为l ，摆球质量为m ，最大偏角为θ，选最低点为重力势能零点，则摆动过程中的总机械能为E ＝ mgl (1－cos θ) ，在最低点的速度为v ＝ ) cos 1(2 θ-gl重点难点突破一、单摆做简谐运动的回复力如图所示，摆球受重力mg 和绳子拉力F ′两个力的作用，将重力按切线方向和径向方向正交分解，则绳子的拉力F ′与重力的径向分量的合力提供了摆球做圆周运动所需的向心力，而重力的切向分力F 提供了摆球振动所需的回复力F ＝mg sin θ设单摆的摆长为l ，在最大偏角θ很小的条件下，摆球对O 点的位移x 的大小与θ角所对应的弧长、θ角所对应的弦长都近似相等，即x ＝=OP若偏角θ用弧度表示，则由数学关系知sin θ＝lxl OP ≈ 所以重力沿切向的分力F ＝mg sin θ≈mglx令k ＝lmg，则F ＝k x 因为F 的方向可认为与x 方向相反，则F 回＝－k x 由此可见单摆的偏角很小条件下的振动为简谐运动. 二、单摆的周期公式1.等效摆长l ：摆长l 是指摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离，而不是一定为摆线的长，如下图中，摆球可视为质点，各段绳长均为l ，甲、乙摆球做垂直纸面的小角度摆动，丙图中球在纸面内做小角度摆动，O ′为垂直纸面的钉子，而OO ′＝3l，求各摆的周期.甲：等效摆长l ′＝l sin α，T 甲＝2πgl αsin 乙：等效摆长l ′＝l sin α＋l ，T 乙＝2πgl )1 (sin +α 丙：摆线摆到竖直位置时，圆心就由O 变为O ′，摆球振动时，半个周期摆长为l ，另半个周期摆长为(l －3l )，即为32l ，则单摆丙的周期为T 丙＝πg l＋πgl 32 2.等效重力加速度g ，g 不一定等于9.8 m/s 2.g 由单摆所在的空间位置决定，由g ＝G2RM，g 随所在地球表面的位置和高度的变化而变化，而且纬度越低，高度越高，g 的值就越小，在不同星球上g 也不同.g 还由单摆系统的运动状态决定，如单摆处在向上加速的升降机中，设加速度为a ，则摆球处于超重状态，沿圆弧的切向分力变大，则重力加速度的等效值g ′＝g ＋a ，若升降机加速下降，则g ′＝g －a ，单摆若在轨道上运行的卫星内，摆球完全失重，回复力为零，等效值g ′＝0，摆球不摆动，周期无穷大.一般情况下，g ′值等于摆球相对于加速系统静止在平衡位置时(平衡位置是指回复力为零的位置，而不是合力为零的位置，也可以说成是让摆球不摆动时的位置)，摆线所受的张力与摆球质量的比值.三、用单摆测定重力加速度 由公式T ＝2πg l，可知g ＝22π4Tl ，因此测出摆长l 和周期T ，就可以求出当地的重力加速度.典例精析1.单摆周期公式的应用【例1】如图，两个单摆摆长相等，平衡时两摆球刚好接触.现在将摆球A 在两摆球所在的平面内向左拉开一小角度后释放，碰撞后两个摆球各自做简谐运动，以m A 和m B 分别表示两球质量，则( )A.如果m A >m B ，下一次碰撞将发生在平衡位置右侧B.如果m A >m B ，下一次碰撞将发生在平衡位置左侧C.无论两摆球的质量关系如何，下一次碰撞都不可能发生在平衡位置右侧D.无论两摆球的质量关系如何，下一次碰撞都不可能发生在平衡位置左侧【解析】从单摆的周期公式可以知道，当摆长相等时，周期就相等.两球碰后有两种可能：一是速度方向相反，这样两球各自到达最高点再返回平衡位置都是半个周期的时间.只能在平衡位置相碰；二是碰后速度向同一方向摆动，也都是分别摆到各自的最大高度处再返回平衡位置，时间还是半个周期，仍在平衡位置相碰. 【答案】CD【思维提升】单摆的周期与摆球质量无关.【拓展1】一只计时准确的摆钟从甲地拿到了乙地，它的钟摆摆动加快了，则下列对此现象的分析及调准方法的叙述正确的是( C )A.g 甲＞g 乙，将摆长适当增长B.g 甲＞g 乙，将摆长适当缩短C.g 甲＜g 乙，将摆长适当增长D.g 甲＜g 乙，将摆长适当缩短 【解析】钟摆摆动加快，周期变小，由于T ＝2πgl可知l 一定时，g 增大，则T 变小，所以g 甲＜g 乙，要使T 不变，应适当增长摆长l .2.利用T ＝2πgl测重力加速度 【例2】一位同学用单摆测定当地的重力加速度，他将单摆挂起后，做了如下工作： a.测摆长l ：用米尺量出摆线的长度；b.测周期T ：将摆球拉起，然后放开，在摆球某次通过最低点时，按下秒表开始计时，同时将此次通过最低点作为第1次，接着一直数到摆球第60次通过最低点时，按下秒表停止计时.读出这段时间t ，算出单摆的周期T ＝60t； c.将所测得的l 和T 代入单摆的周期公式T ＝2πgl ，算出g ，将它作为实验的最后结果写入报告中去.指出上面步骤中遗漏或错误的地方，写出该步骤的字母，并加以改正(不要求进行误差计算). 【解析】a.要测出摆球直径d ，摆长l 等于摆线长加上2d ；b.周期T ＝5.29t；c.应多测量几次，然后取g 的平均值作为实验的最后结果.【思维提升】正确理解摆长的测量，正确记录周期，多次测量，减小误差. 【拓展2】下表是用单摆测定重力加速度的实验中获得的有关数据(1)利用上述数据，在右图坐标系中描出图象.(2)利用图象，取T 2＝4.2 s 2时，l ＝ 1.05 m ，重力加速度g＝ 9.86 m/s 2.【解析】(1)l-T 2图象如图中直线所示.(2)T 2＝4.2 s 2时，从图中画出的直线上可读出其摆长约为l ＝1.05 m ，将T 2与l 代入公式g ＝22π4Tl 得g ＝9.86 m/s 23.非平衡系统中单摆周期的计算【例3】在一加速系统中有一摆长为l 的单摆.(1)当加速系统以加速度a 竖直向上做匀加速运动时，单摆的周期多大？若竖直向下加速呢？ (2)当加速系统在水平方向以加速度a 做匀加速直线运动时，单摆的周期多大？【解析】(1)当单摆随加速系统向上加速时，设在平衡位置相对静止的摆球的视重为F ，如图甲所示，则 F －mg ＝ma故F ＝m (g ＋a )，由F ＝mg ′得g ′＝g ＋a所以单摆周期T 1＝2πgl'＝2πag l+ 同理，当加速系统竖直向下加速时，视重F ＝m (g －a ) 则g ′＝g －a ，故T 2＝2πag l- (2)当系统在水平方向加速时，相对系统静止时摆球的位置如图乙所示，视重F ＝m 22a g +.故等效重力加速度g ′＝22a g +，所以T 3＝2π221ag +【思维提升】等效重力加速度的大小等于摆球相对系统静止于平衡位置时，绳的拉力F (即视重)与质量m 的比值.【拓展3】如图所示，在光滑水平面上的O 点系一长为l 的绝缘细线，线的另一端系一质量为m 、带电荷量为q 的小球，当沿细线方向加上场强为E 的匀强电场后，小球处于平衡状态，现给小球一垂直于细线的初速度v 0，使小球在水平面上开始运动，若v 0很小，则小球第一次回到平衡位置所需时间为 πqEml. 【解析】球离开平衡位置后，由于v 0很小，故做简谐运动，回复力为电场力在运动方向的分量.由周期公式T ＝2πg l知，g 可等效为m qE ，代入公式得T ＝2πqEml，则第一次回到平衡位置的时间为2T＝πqEml易错门诊4.摆钟的计时【例4】某摆钟，当其摆长为l 1时，在一段时间内快了Δt ；当其摆长为l 2时，在同样一段时间内慢了Δt ，试求走时准确时摆钟的摆长.【错解】设准确的摆钟摆长为l 0，周期为T 0，设这段时间为t ，则快了的摆钟周期为T 1，慢了的摆钟周期为T 2，周期长了就是时间显示快了，周期慢了就是时间显示短了.根据题意，可得T 1/T 0＝(t ＋Δt )/t ，T 2/T 0＝(t －Δt )/t 而我们可以根据周期公式写出下面的关系式T 1＝2πg l 1，T 2＝2πg l 2，T 0＝2πgl 0所以有21l l ＝(t ＋Δt )/t ，2l l ＝(t －Δt )/t上面两式消除t 可得l 0＝422121l l l l ++【错因】上述解法没有考虑到钟的快慢决定于频率的快慢.时间显示快了正是因为摆钟的频率大了或周期小了，恰好与上述解法相反.【正解】摆钟走慢是因为频率小，走快是因为频率大，因此有频率之比等于显示的时间之比，即t tt l l f f t t t l l f f ∆-==∆+==20021001, 两式消除t 得l 0＝22121)(4l l l l -【思维提升】由摆钟的机械构造决定钟摆每完成一次全振动摆钟所显示的时间为一定值，若周期变长则实际用时大于钟面显示的时间，计时变慢，反之，则计时变快.。

2018 年高中物理创新学案含解析第 2 讲单摆[目标定位 ] 1.知道什么是单摆.2.理解偏角很小时单摆的振动是简谐运动.3.知道单摆的周期跟什么因素有关，了解单摆的周期公式并能用它进行计算.一、单摆的简谐运动1．如图 1，若忽略悬挂小球的细线长度的微小变化和质量，且线长比球的直径大得多，这样的装置就叫做单摆．图 12．在偏角很小的情况下，单摆摆球所受的回复力与偏离平衡位置的位移成正比，因而单摆在偏角很小时的振动是简谐运动．想一想单摆的回复力是否就是单摆所受的合外力？答案不是．单摆的运动可看作是变速圆周运动，其合力可分解为指向圆心的法向力和沿圆周切线的切向力，在沿圆周切线的切向力作用下，单摆做的是简谐运动，因而单摆的回复力只是其所受合力的一个分力．二、单摆做简谐运动的周期单摆在偏角很小的情况下做简谐运动的周期T 跟摆长 l 的二次方根成正比，跟重力加速度 g 的二次方根成反比，跟振幅、摆球的质量无关，单摆做简谐运动时的周期公式为T＝2πlg.一、单摆及单摆的回复力1．单摆(1)单摆是实际摆的理想化模型(2)实际摆看作单摆的条件①摆线的形变量与摆线长度相比小得多②悬线的质量与摆球质量相比小得多③摆球的直径与摆线长度相比小得多2．单摆的回复力(1)单摆的回复力是由重力沿圆弧切向的分力 F ＝mgsin θ提供的．x(2)如图 2 所示，在最大偏角很小的条件下，sin θ≈l，其中 x 为摆球相对平衡位置O 点的位移．图 2单摆的回复力 F ＝－mgl x，令 k＝mgl，则 F＝－ kx.由此可见，单摆在偏角很小的条件下的振动为简谐运动．注意： (1)单摆经过平衡位置时，回复力为零，但合外力不为零．(2)单摆的回复力为小球受到的沿切线方向的合力，而不是小球受到的合外力．【例 1】对于单摆的振动，以下说法中正确的是()A．单摆振动时，摆球受到的向心力大小处处相等B．单摆运动的回复力就是摆球受到的合力C．摆球经过平衡位置时所受回复力为零D．摆球经过平衡位置时所受合外力为零解析单摆振动过程中受到重力和细线拉力的作用，把重力沿切向和径向分解，其切向mv2分力提供回复力，细线拉力与重力的径向分力的合力提供向心力，向心力大小为，可见l最大偏角处向心力为零，平衡位置处向心力最大，而回复力在最大偏角处最大，平衡位置处为零．故应选C．答案C借题发挥单摆振动的回复力是重力在切线方向的分力，或者说是摆球所受合外力在切线方向的分力．摆球所受的合外力在摆线方向的分力作为摆球做圆周运动的向心力，所以并不是合外力完全用来提供回复力．因此摆球经过平衡位置时，只是回复力为零，而不是合外力为零 (此时合外力提供摆球做圆周运动的向心力)．针对训练关于单摆，下列说法中正确的是()A．摆球受到的回复力方向总是指向平衡位置B．摆球受到的回复力是它的合力C．摆球经过平衡位置时，所受的合力为零D．摆角很小时，摆球受的合力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小成正比解析单摆的回复力不是它的合力，而是重力沿圆弧切线方向的分力；当摆球运动到平衡位置时，回复力为零，但合力不为零，因为小球还有向心力，方向指向悬点(即指向圆心 )；另外摆球所受的合力与位移大小不成正比，故 A 正确．答案A二、单摆做简谐运动的周期1．伽利略发现了单摆运动的等时性，惠更斯得出了单摆的周期公式并发明了摆钟．l2．单摆的周期公式：T＝ 2πg.3．对周期公式的理解(1)单摆的周期公式在单摆偏角很小时成立(偏角为 5°时，由周期公式算出的周期和精确值相差 0.01%)．(2)公式中 l 是摆长，即悬点到摆球球心的距离l＝ l 线＋ r 球．如是双线摆，则公式中l 应为等效摆长：如图 3 所示，图中甲、乙在垂直纸面方向摆起来的效果是相同的，所以甲摆的摆lsin α长为 lsin α，这就是等效摆长，所以其周期为T＝ 2π.g图 3(3)公式中 g 是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定．(4)周期 T 只与 l 和 g 有关，与摆球质量m 及振幅无关．所以单摆的周期也叫固有周期．【例 2】在“探究单摆的周期和摆长的关系”实验中．(1)下列说法正确的是________．A ．悬线越短越好B．悬线上端固定且摆角要小C．摆球应在竖直平面内摆动D．摆球摆至最高点时开始计时(2)以摆球通过平衡位置时开始计时，用停表记下摆球通过平衡位置n 次所用的时间t，则单摆周期T＝ ____________；用米尺量出悬线的长度l0，用游标卡尺量出摆球的直径d，则摆长 l＝ ____________.(3)根据记录的数据，在坐标纸上以T 为纵轴， l 为横轴，作出T l 图像，发现图线是曲线；然后尝试以T2为纵轴， l 为横轴，作出T2l 图像，发现图线是一条过原点的倾斜直线，由此得出单摆做简谐运动的周期和摆长的关系是()2018 年高中物理创新学案含解析A ． T∝1B ． T2∝1 l lC．T∝ l D ．T2∝ l解析 (1)摆线长些好，否则摆球的运动不明显；悬线上端要固定以防摆长变长，并且摆角要小，否则单摆周期公式不成立；摆球应在竖直平面内摆动，应该在摆球摆至最低点时开始计时，因为此时摆球的速度最大，计时更准确．(2)以摆球通过平衡位置时开始计时，记为 0，用停表记下摆球通过平衡位置n 次所用的时间 t，则单摆周期 T＝2t；摆长指的是从悬点到摆球球心的距离，本题中摆长l＝ l 0＋d. n2(3)根据题述“T2l 图线是一条过原点的倾斜直线”可知， T2∝ l ，选项 D 正确．2t d答案 (1)BC (2) n l 0＋2 (3)D【例 3】一个单摆和一个弹簧振子，在上海调节使得它们的振动周期相等(设为 T)．现在把它们一起拿到北京，若不再做任何调节．设这时单摆的振动周期为T1，弹簧振子的振动周期为 T2，则它们的周期大小的关系为()A ． T1<T2＝ TB ． T1＝ T2<TC．T1>T2＝ T D ．T1<T2<T解析弹簧振子的振动周期只与弹簧的劲度系数和振子质量有关，拿到北京后周期不变；北京的重力加速度比上海的大，单摆拿到北京后周期变小．答案A单摆的简谐运动1． (多选 )单摆是为研究振动而抽象出来的理想化模型，其理想化条件是()A．摆线质量不计B．摆线长度不伸缩C．摆球的直径比摆线长度小得多D．只要是单摆的运动就是一种简谐运动解析单摆由摆线和摆球组成，摆线只计长度不计质量，摆球只计质量不计大小，摆线不伸缩， A 、 B、 C 选项均正确；但把单摆作为简谐运动来处理是有条件的，只有在偏角很小( θ≤ 5°)的情况下才能视单摆的运动为简谐运动．故 A 、 B 、C 正确．答案ABC2．单摆振动的回复力是()A．摆球所受的重力C．悬线对摆球的拉力D．摆球所受重力和悬线对摆球拉力的合力解析摆球振动的回复力是其重力沿圆弧切线方向的分力，即摆球重力在垂直悬线方向上的分力， B 正确．答案B单摆做简谐运动的周期3． (多选 )单摆原来的周期为T，下列哪种情况会使单摆周期发生变化()1A ．摆长减为原来的41B．摆球的质量减为原来的41C．振幅减为原来的41D．重力加速度减为原来的4解析由单摆周期公式可知周期仅与摆长、重力加速度有关．答案AD4．如图 4 所示，一摆长为l 的单摆，在悬点的正下方的P 处固定一光滑钉子，P 与悬点相距 l－ l ′，则这个单摆做小幅度摆动时的周期为()图 4A ． 2πlB ． 2πl ′g gC．πl ＋l′ D ．2πl ＋ l ′2gg g解析碰钉子前摆长为l，故周期T ＝ 2πl ，碰钉子后摆长变为l′，则周期T＝1g22πl′，所以该组合摆的周期T＝T1＋T2＝πl ＋l′g22g g.答案C题组一单摆的简谐运动A ．带小孔的实心木球B ．带小孔的实心钢球C ．长约 1 m 的细线D ．长约 10 cm 的细线解析 制作单摆时应选用体积小、质量大的球和细、长、轻、弹性小的线．答案BC2．关于单摆，下列说法中正确的是()A ．摆球运动的回复力是它受到的合力B ．摆球在运动过程中经过轨迹上的同一点，加速度是不变的C ．摆球在运动过程中加速度的方向始终指向平衡位置D ．摆球经过平衡位置时，加速度为零解析摆球的回复力为重力沿轨迹切线方向的分力，A 错；摆球经过最低点时， 回复力为 0，但合力提供向心力，C 、D 错；由简谐运动特点知B 正确．答案B3．当单摆的摆球摆到最大位移处时，摆球所受的()A ．合外力为零B ．回复力为零C ．向心力为零D ．摆线中张力为零解析当摆球摆到最大位移处时，回复力最大，不为零，所以选项A 、B 均错；摆球在2最大位移处，速度为零，由向心力公式F ＝mv可知，向心力也为零，此时摆线中的张力等l于重力沿摆线方向上的分力，所以选项C 对，D 错．答案C4．做简谐运动的单摆，在摆动的过程中()A ．只有在平衡位置时，回复力才等于重力和细绳拉力的合力B ．只有在最高点时，回复力才等于重力和细绳拉力的合力C ．小球在任意位置处，回复力都等于重力和细绳拉力的合力D ．小球在任意位置处，回复力都不等于重力和细绳拉力的合力解析 单摆在一个圆弧上来回运动，摆球做圆周运动的向心力由重力沿悬线方向的分力和悬线拉力的合力提供， 而回复力是指重力沿圆弧切线方向的分力．摆球在平衡位置速度不为零，向心力不为零， 而回复力为零， 所以合力不等于回复力；摆球在最高点时， 速度为零，向心力为零，合力等于回复力．故选项B 正确．答案B5． (多选 )如图 1 所示是单摆振动示意图，下列说法正确的是()2018 年高中物理创新学案含解析图 1A ．在平衡位置摆球的动能和势能均达到最大值B ．在最大位移处势能最大，而动能最小C ．在平衡位置绳子的拉力最大，摆球速度最大D ．摆球由 A → C 运动时，动能变大，势能变小解析 单摆的振动是简谐运动， 机械能守恒， 远离平衡位置运动， 位移变大， 势能变大，而动能减小；反之，向平衡位置运动时，动能变大而势能变小，故B 、D 正确， A 错；小球2在平衡位置只受重力和绳子拉力，在平衡位置C ，拉力 F ＝ mg ＋mv，由上述分析知，平衡l位置时动能最大，即v 最大，故 F 也最大，所以 C 正确．答案BCD题组二 单摆做简谐运动的周期6．发生下列哪一种情况时，单摆周期会增大( )A ．增大摆球质量B ．缩短摆长C ．减小单摆振幅D ．将单摆由山下移至山顶解析由单摆周期公式T ＝ 2πl知， T 与单摆的摆球质量、振幅无关；缩短摆长， lg变小， T 变小；单摆由山下移到山顶，g 变小， T 变大．答案D7． (多选 )如图 2 所示，甲、乙是摆长相同的两个单摆，它们中间用一根细线相连，其中一个摆线与竖直方向成θ角．已知甲的质量大于乙的质量． 当细线突然断开后， 两单摆都做简谐运动，在摆动过程中下列说法正确的是()图 2A ．甲的振幅小于乙的振幅B ．甲的振幅等于乙的振幅C ．甲的最大速度小于乙的最大速度2018 年高中物理创新学案含解析解析由题意知，甲、乙是摆长相同的两个单摆，原来二者静止时由于质量不同，故偏角不同，质量大的偏角小，甲的振幅小，选项 A 正确， B 错误；两物体在平衡位置时速度最大，根据12得 v＝ 2hg，与质量无关，所以甲的最大速度小于乙的最大速度，mgh＝ mv2选项 C 正确；根据 T＝ 2πl ，周期与质量无关，选项 D 错误．g答案AC8．一只钟从甲地拿到乙地，它的钟摆摆动加快了，则下列对此现象的分析及调准方法的叙述中正确的是()A ． g 甲＞ g 乙，将摆长适当增长B ． g 甲＞g 乙，将摆长适当缩短C．g 甲＜ g 乙，将摆长适当增长 D ．g 甲＜ g 乙，将摆长适当缩短解析从甲地到乙地，钟摆的周期减小了，由T＝ 2πl ，知g甲＜g乙，若要使周期回g到原值，应适当增加摆长．答案C9．已知演示简谐运动的沙摆的摆长为l，漏斗的质量为m，细沙的质量为M， M? m，细沙逐渐下漏的过程中，单摆的周期()A ．不变B ．先变大后变小C．先变小后变大 D ．逐渐变大解析在沙摆摆动细沙逐渐下漏的过程中，摆的重心逐渐下移，即摆长l 逐渐变大，当细沙流到一定程度后，摆的重心又重新上移，即摆长l 变小，由周期公式T＝ 2πl 可知，g沙摆的周期先变大后变小，故正确选项为 B.答案B10．如图 3 所示的单摆，摆长为l＝ 40 cm，摆球在 t＝ 0 时刻从右侧最高点释放做简谐运动，则当t ＝1 s 时，小球的运动情况是()图 3A ．向右加速B ．向右减速C．向左加速 D ．向左减速l0.43球从右侧最高点释放做简谐运动，在t＝ 1 s 时已经越过平衡位置( 最低点 )，正向右侧最大位移处运动，由平衡位置向最大位移运动的过程中，摆球做的是减速运动，故 A 、C、D 错误，B 正确．答案B11．有一摆长为 L 的单摆，悬点正下方某处有一小钉，当摆球经过平衡位置向左摆动时，摆线的上部将被小钉挡住．使摆长发生变化．现使摆球做小幅度摆动，摆球从右边最高点 M 至左边最高点 N 运动过程的闪光照片，如图 4 所示 (悬点和小钉未被摄入 )．P 为摆动中的最低点，已知每相邻两次闪光的时间间隔相等，由此可知，小钉与悬点的距离为()图 4L LA ．4B ．23LC．4 D ．条件不足，无法确定解析题图中 M 到 P 为四个时间间隔，P 到 N 为两个时间间隔，即左半部分单摆的周期是右半部分单摆周期的1，根据周期公式T＝ 2πl ，可得左半部分单摆的摆长为L，即小2g4钉距悬点的距离为34L ，故 C 选项正确．答案C12． (多选 )如图 5 所示，有一个小球(视为质点 )从光滑圆弧槽的P 点由静止释放，沿圆︵弧槽来回摆动，PO (O 点为圆弧的最低点)段远小于圆弧槽的半径R，则下列说法正确的是()图 5A．小球摆动过程中的回复力由重力沿其运动方向的分力提供B．小球摆动至最低点O 时所受合外力为零C．小球摆动的周期为T＝ 2πR gD．若小球在 P 点释放的同时， O 点右侧的Q 点上也有一个不计大小的小球由静止释放，︵︵已知 PO＞ OQ ，则两球将在O 点左侧相遇解析圆弧摆摆球受力与单摆相似，圆弧槽对其弹力 F 与单摆摆线的拉力F所起的作用是一样的，重力沿圆弧切线方向的分力做振动的回复力，故 A 正确；摆至最低点时，回复力为零，但向心力最大，故 B 错误；当偏角(半径与竖直方向夹角)θ≤ 5°时，近似为简谐︵R运动，因 PO段远小于圆弧槽的半径R，满足条件，故周期T＝ 2πg，C正确；周期与振幅大小无关，两小球必在最低点O 相遇， D 错误．答案AC13．一个单摆的摆球偏离到最大位置时，正好遇到空中竖直下落的雨滴，雨滴均匀附着在摆球的表面，下列说法正确的是()A．摆球经过平衡位置时速度要增大，周期也增大，振幅也增大B．摆球经过平衡位置时速度没有变化，周期减小，振幅也减小C．摆球经过平衡位置时速度没有变化，周期也不变，振幅要增大D．摆球经过平衡位置时速度要增大，周期不变，振幅要增大解析由题意可知，单摆的摆长和重力加速度不变，根据单摆的周期公式可知，周期不变，摆球偏离到最大位置雨滴均匀附着在摆球的表面，摆球的质量增加，摆球经过平衡位置时速度要增大，振幅要增大，选项 D 正确．答案D14．在“探究单摆的周期与摆长的关系”实验中，某同学准备好相关实验器材后，把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度后释放，同时按下秒表开始计时，当单摆再次回到释放位置时停止计时，将记录的这段时间作为单摆的周期．以上操作中有不妥之处，请对其中两处加以改正．解析摆球通过平衡位置时具有较大的速度，此时开始计时，误差较小．若只测量一次全振动的时间会产生较大的误差，而测量多次全振动的时间求平均值可减小误差．答案①应在摆球通过平衡位置时开始计时；②应测量单摆多次全振动的时间，再计算出周期的测量值．(或在单摆振动稳定后开始计时)15．如图 6 所示，三根细线在O 点处打结， A、 B 端固定在同一水平面上相距为l 的两点上，使△ AOB 成直角三角形，∠BAO＝30°，已知OC 线长是 l ，下端 C 点系着一个直径可忽略的小球．图 6(1)让小球在纸面内小角度摆动，求单摆的周期是多少？(2)让小球垂直纸面小角度摆动，周期又是多少？解析 (1)让小球在纸面内摆动，在偏角很小时，单摆可看做简谐运动，摆长为OC 的2018 年高中物理创新学案含解析长度，所以单摆的周期T ＝ 2πl g.3(2)让小球垂直纸面摆动，如图所示，由几何关系可得OO ′＝ 4 l ，等效摆长为l ′ ＝33l ′＝ 2π1＋ 4lg.OC ＋ OO ′ ＝ l ＋ 4 l ，所以周期 T ′ ＝2πg答案 见解析11。

第3节 单摆1．单摆模型把一根细线上端固定，下端拴一个小球，线的质量和球的大小可以忽略不计，这种装置叫做单摆．2．单摆的回复力(1)回复力的来源：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力．(2)回复力的特点：在偏角很小时(通常θ<5°)，单摆所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即F ＝－mglx .(3)运动规律单摆在偏角很小时做简谐运动，其振动图象遵循正弦函数规律．1．单摆模型中对细线的要求是细线的伸缩可忽略，质量可忽略．(√) 2．单摆模型中对小球的要求是密度较大，其直径与线的长度相比可忽略．(√) 3．单摆回复力不符合简谐运动．(×)(1)单摆做简谐运动的条件是什么？【提示】 单摆做简谐运动的条件是偏角很小，通常应在5 °以内． (2)单摆做简谐运动的回复力是否等于小球所受的合力？【提示】 小球的重力沿圆弧切线方向上的分力提供回复力，而不是小球所受的合力．1．单摆的回复力(1)单摆受力：如图1­3­1所示，受细线拉力和重力作用． (2)向心力来源：细线拉力和重力沿径向的分力的合力．(3)回复力来源：重力沿圆弧切线方向的分力F ＝mg sin θ提供了使摆球振动的回复力．图1­3­12．单摆做简谐运动的推证在偏角很小时，sin θ≈xl ，又回复力F ＝mg sin θ，所以单摆的回复力为F ＝－mg lx (式中x 表示摆球偏离平衡位置的位移，l 表示单摆的摆长，负号表示回复力F 与位移x 的方向相反)，由此知回复力符合F ＝－kx ，单摆做简谐运动．1．下列有关单摆运动过程中的受力，说法正确的是( ) A ．单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力 B ．单摆运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力 C ．单摆经过平衡位置时合力提供向心力 D ．单摆运动的回复力是摆线拉力的一个分力E ．在摆角很小的情况下，单摆回复力符合简谐运动特点【解析】 单摆运动的回复力不是由重力与摆线拉力的合力提供，平衡位置时，重力和摆线拉力的合力提供向心力，A 错误，C 正确；单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力，而不是摆线拉力的分力，故选项B 正确，D 错误；当θ＜5 °时，单摆回复力符合简谐运动特点，E 正确．【答案】 BCE图1­3­22．一单摆做小角度摆动，其振动图象如图1­3­2所示，以下说法正确的是( )A．t1时刻摆球速度为零，摆球的回复力最大B．t2时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最小C．t3时刻摆球速度为零，摆球的回复力最小D．t4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大E．t1到t3摆球的回复力先减小后增大【解析】由振动图象知，t1和t3时刻摆球偏离平衡位置的位移最大，此时摆球的速度为零，摆球的回复力最大；A正确C错误；t2和t4时刻摆球位移为零，正在通过平衡位置，速度最大，由于摆球做圆周运动(一部分)，由牛顿第二定律得出悬线对摆球拉力最大，故D 正确，B错误；t1到t3摆球位移先减小再增大，故回复力先减小后增大，E正确．【答案】ADE3．关于单摆摆球在运动过程中的受力，下列结论正确的是( )【导学号：78510007】A．摆球受重力、摆线的张力两个力作用B．摆球的回复力最大时，向心力为零；回复力为零时，向心力最大C.摆球的回复力最大时，摆线中的张力大小比摆球的重力大D．摆球的向心力最大时，摆球的加速度方向沿摆球的运动方向E．摆球由最大位移处向平衡位置运动时回复力逐渐减小，向心力逐渐增大【解析】单摆在运动过程中，摆球受重力和摆线的拉力，故A正确．重力垂直于摆线的分力提供回复力．当回复力最大时，摆球在最大位移处，速度为零，向心力为零，则拉力小于重力，在平衡位置处，回复力为零，速度最大，向心力最大，摆球的加速度方向沿摆线指向悬点，故C、D错，B对．摆球由最大位移处向平衡位置运动时，回复力逐渐减小，向心力逐渐增大，E正确．【答案】ABE单摆中的“回复力”1．单摆振动中的回复力不是它受到的合外力，而是重力沿圆弧切线方向的一个分力．单摆振动过程中，有向心力，这是与弹簧振子不同之处．2．在最大位移处时，因速度为零，所以向心力为零，故此时合外力也就是回复力．3．在平衡位置处时，由于速度不为零，故向心力也不为零，即此时回复力为零，但合外力不为零．1．实验探究(1)探究方法：控制变量法．(2)实验结论：①单摆振动的周期与摆球质量无关．②摆长越长，周期越大；摆长越短，周期越小．2．周期公式(1)公式：T＝2πl g .(2)单摆的等时性：单摆的周期与振幅无关．1．摆球质量越大，周期越长．(×)2．摆动幅度越大，周期越长．(×)3．摆线越长时，单摆的周期越长．(√)摆钟的结构如图1­3­3所示，发现它走时不准时，为什么要调整摆锤下面的螺母？图1­3­3【提示】调整摆锤下面的螺母，以改变摆钟的摆长，从而改变摆钟周期，以调整摆钟的走时快慢．1．摆长的确定(1)图1­3­4(a)中，甲、乙在垂直纸面方向摆起来效果是相同的，所以甲摆的摆长为l sinα，这就是等效摆长，其周期T＝2πl sin αg.图1­3­4(b)中，乙在垂直纸面方向摆动时，与甲摆等效；乙在纸面内小角度摆动时，与丙摆等效．图1­3­4(2)如图1­3­4(c)所示，小球在光滑的半径较大的圆周上做小幅度(θ很小)的圆周运动时，可等效为单摆，小球在A 、B 间做简谐运动，周期T ＝2πRg. 2．公式中重力加速度g 的变化与等效(1)若单摆系统只处在重力场中且处于静止状态，g 由单摆所处的空间位置决定，即g ＝GM R2，式中R 为物体到地心的距离，M 为地球的质量，g 随所在位置的高度的变化而变化．另外，在不同星球上M 和R 也是变化的，所以g 也不同，g ＝9.8 m/s 2只是在地球表面附近时的取值．图1­3­5(2)等效重力加速度：若单摆系统处在非平衡状态(如加速、减速、完全失重状态)，则一般情况下，g 值等于摆球相对静止在自己的平衡位置时，摆线所受的张力与摆球质量的比值．如图1­3­5所示，球静止在O 时，F T ＝mg sin θ，等效加速度g ′＝F T m＝g sin θ.4．图1­3­6为甲、乙两单摆的振动图象，则( )图1­3­6A ．由图象可知两单摆周期之比为2∶1B ．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比l 甲∶l 乙＝2∶1C ．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比l 甲∶l 乙＝4∶1D ．若甲、乙两摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两摆所在星球的重力加速度之比g 甲∶g 乙＝4∶1E ．若甲、乙两摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两摆所在星球的重力加速度之比g 甲∶g 乙＝1∶4【解析】 由题中图象可知T 甲∶T 乙＝2∶1，若两单摆在同一地点，则两摆摆长之比l甲∶l 乙＝4∶1，若两摆摆长相等，则所在星球的重力加速度之比为g 甲∶g 乙＝1∶4. 【答案】 ACE5．一个单摆的长为l ，在其悬点O 的正下方0.19l 处有一钉子P (如图1­3­7所示)，现将摆球向左拉开到A ，使摆线偏角θ＜5°，放手后使其摆动，求出单摆的振动周期．图1­3­7【解析】 释放后摆球到达右边最高点B 处，由机械能守恒可知B 和A 等高，则摆球始终做简谐运动．摆球做简谐运动的摆长有所变化，它的周期为两个不同单摆的半周期的和．小球在左边的周期为T 1＝2πlg小球在右边的周期为T 2＝2π 0.81lg则整个单摆的周期为T ＝T 12＋T 22＝πlg ＋π 0.81lg＝1.9πl g. 【答案】 1.9πl g求单摆周期的方法1．明确单摆的运动过程，看是否符合简谐运动的条件． 2．在运用T ＝2πlg时，要注意l 和g 是否发生变化， 如果发生变化，则分别求出不同l 和g 时的运动时间． 3．改变单摆振动周期的途径是： (1)改变单摆的摆长．(2)改变单摆的重力加速度(如改变单摆的位置或让单摆失重或超重)． 4．明确单摆振动周期与单摆的质量和振幅没有任何关系．1．实验原理由单摆周期公式T ＝2πl g ，得g ＝4π2lT2，只要测出单摆的摆长l 和振动周期T ，就可以计算出当地的重力加速度．2．实验步骤(1)做单摆：将线的一端穿过小球的小孔，并打一比孔大的结．然后把线的上端用铁夹固定于铁架台上，在平衡位置处做上标记．如图1­3­8所示．图1­3­8(2)测摆长：用毫米刻度尺测出摆线长度l 线，用游标卡尺测量出摆球的直径d ，则单摆的摆长l ＝l 线＋d2.(3)测周期：将单摆从平衡位置拉开一个小于5°的角，然后释放摆球，当单摆振动稳定后，过平衡位置时开始用秒表计时，测量N 次(一般取30～50次)全振动的时间t ，则周期T ＝t N.(4)改变摆长，重复实验多次． 3．数据处理(1)平均值法：每改变一次摆长，将相应的l 和T 代入公式g ＝4π2lT2中求出g 值，最后求出g 的平均值．设计如表所示实验表格．(2)图象法：由T ＝2πl g 得T 2＝4π2gl ，作出T 2­l 图象，即以T 2为纵轴，以l 为横轴，其斜率k ＝4π2g.由图象的斜率即可求出重力加速度g .图1­3­96．在“用单摆测重力加速度”的实验中，下列措施中可以提高实验精度的是( ) A ．选细线做为摆线B ．单摆摆动时保持摆线在同一竖直平面内C ．拴好摆球后，令其自然下垂时测量线长为摆长D ．计时起止时刻，选在最大摆角处E ．计时初始时刻应选在摆球通过平衡位置时【解析】 为减小空气阻力的影响，应选细线做为摆线，A 正确；由于单摆与圆锥摆的周期不同，本实验是利用单摆的简谐运动周期公式T ＝2πlg测量g ，所以单摆摆动时必须保持摆线在同一竖直平面内，不能形成圆锥摆，B 正确；由于细线有伸缩性，所以应拴好摆球后，令其自然下垂时测量悬点到球心的距离作为摆长，不能将线长作为摆长，C 错误；摆球经过平衡位置时，速度最大，相同的距离误差引起的时间误差最小，故应从平衡位置开始计时和停止计时，D 错误，E 正确．【答案】 ABE7．用单摆测定重力加速度的实验装置如图1­3­10所示．图1­3­10(1)测出悬点O 到小球球心的距离(摆长)L 及单摆完成n 次全振动所用的时间t ，则重力加速度g ＝________(用L 、n 、t 表示)．(2)下表是某同学记录的3组实验数据，并做了部分计算处理．【解析】 (1)根据单摆的周期公式T ＝2πl g 可得g ＝4π2l T 2＝4π2n 2l t 2. (2)第三组实验中，周期T ＝2.01 s ，由加速度公式g ＝4π2l T2，代入数据得g ＝9.76 m/s 2.【答案】 (1)4π2n 2L t2(2)2.01 9.76用单摆测定重力加速度应注意的问题1．实验时，摆线长度要远大于摆球直径，且摆线无明显伸缩性，另外摆球要选取密度大且质量分布均匀的钢球．2．单摆摆球应在竖直平面内摆动，且摆角应小于5°.3．测摆长l 时，应为悬点到球重心的距离，球质量分布均匀时等于摆线长加上小球半径．4．应从摆球经过平衡位置时开始计时，以摆球从同一方向通过平衡位置时计数． 5．适当增加测量的全振动次数，以减小测量周期的误差，一般30～50次即可．。

1.2《单摆》教案教学目标1、理解单摆振动的特点及它做简谐运动的条件；2、掌握单摆振动的周期公式。

3、观察演示实验，概括出周期的影响因素，培养学生由实验现象得出物理结论的能力。

4、在做演示实验之前，可先提出疑问，引起学生对实验的兴趣，让学生先猜想实验结果，由教师实验验证，使学生能更好的有目的去观察实验。

重点难点重点：掌握好单摆的周期公式及其成立条件难点：单摆回复力的分析教学过程主要内容【预习导引】提问：什么是简谐运动？答：物体做机械振动，受到的回复力大小与位移大小成正比，方向与位移方向相反。

【创设情景】前节课我们学习了弹簧振子，了解了简谐运动和振动周期。

日常生活中，我们常常见到钟表店里摆钟摆锤的振动，这种振动有什么特点呢？它是根据什么原理制成的？钟摆类似于物理上的一种理想模型——单摆。

我们就来分析一下单摆来解决以上的问题。

【学生活动】认识单摆构造，知道单摆是理想化模型【建构新知】一、单摆：1、构造：一根绳子上端固定，下端系着一个球。

物理上的单摆（单摆是理想化模型），是在一个固定的悬点下，用一根不可伸长的细绳，系住一个一定质量的质点，在竖直平面内小角度地摆动。

所以，实际的单摆要求绳子轻而长，小球要小而重，将摆球拉到某一高度由静止释放，单摆振动类似于钟摆振动。

我们这一章研究的是机械振动，而单摆振动也属于机械振动，单摆振动也是在某一平衡位置附近来回振动，这个平衡位置，就是绳子处于竖直的位置。

补充：机械振动的两个必要条件，一是运动中物体所受阻力要足够小；二是物体离开平衡位置后，总是受到回复力的作用。

对于第一个条件单摆是符合的，单摆绳要轻而长，球要小而重都是为了减少阻力；第二个条件说到回复力。

提问：单摆的回复力又由谁来提供？2．单摆的回复力要分析单摆回复力，先从单摆受力入手。

单摆从A位置释放，沿AOB圆弧在平衡点O附近来回运动，以任一位置C为例，此时摆球受重力G，拉力T作用，由于摆球沿圆弧运动，所以将重力分解成切线方向分力G1和沿半径方向G2，悬线拉力T 和G2合力必然沿半径指向圆心，提供了向心力。