陕西省商洛市洛南县2019-2020学年高二上学期期末数学(理)试题(解析版)

2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合0，，，则A. B. 0， C. D.【答案】C【解析】解：；．故选：C．可求出B，然后进行并集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，绝对值不等式的解法，以及并集的运算．2.已知数列中，，则A. 4B. 9C. 12D. 13【答案】D【解析】解：数列中，，则．故选：D．利用通项公式即可得出．本题考查了数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.已知椭圆C：中，，，则该椭圆标准方程为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：根据题意，椭圆C：，其焦点在x轴上，若，，则，则椭圆的方程为；故选：A．根据题意，分析椭圆的焦点位置，由椭圆的几何性质可得b的值，代入椭圆的方程即可得答案．本题考查椭圆的标准方程，注意掌握椭圆标准方程的形式，属于基础题．4.若向量，，则A. B. C. 3 D.【答案】D【解析】解：向量，，0，，．故选：D．利用向量坐标运算法则求解0，，由此能求出的值．本题考查向量的模的求法，考查向量坐标运算法则、向量的模等基础知识，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，是基础题．5.设a，，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】C【解析】解：若，，不等式等价为，此时成立．，不等式等价为，即，此时成立．，不等式等价为，即，此时成立，即充分性成立．若，当，时，去掉绝对值得，，因为，所以，即．当，时，．当，时，去掉绝对值得，，因为，所以，即即必要性成立，综上“”是“”的充要条件，故选：C．根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质结合分类讨论是解决本题的关键．6.若x，y满足，则的最小值为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：x，y满足的区域如图：设，则，当此直线经过时z最小，所以z的最小值为；故选：B．画出平面区域，利用目标函数的几何意义求最小值．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键，比较基础．7.设抛物线上一点P到y轴的距离是2，则点P到该抛物线焦点的距离是A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】解：由于抛物线上一点P到y轴的距离是2，故点P的横坐标为2．再由抛物线的准线为，以及抛物线的定义可得点P到该抛物线焦点的距离等于点P到准线的距离，故点P到该抛物线焦点的距离是，故选：C．由题意可得点P的横坐标为2，抛物线的定义可得点P到该抛物线焦点的距离等于点P 到准线的距离，由此求得结果．本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题．8.设是等差数列的前n项和，若，，则A. B. 2017 C. 2018 D. 2019【答案】D【解析】解：设等差数列的公差为d，，，，化为：，解得．则．故选：D．设等差数列的公差为d，根据，，利用求和公式可得d，即可得出．本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.下列各组两个向量中，平行的一组向量是A. ，2，B. ，1，C. ，1，D. ，【答案】B【解析】解：在A中，，2，，，故A中两个向量不平行，故A错误；在B中，，1，，，故B中两个向量平行，故B正确；在C中，，1，，，故C中两个向量不平行，故C错误；在D中，，，，故D中两个向量不平行，故D错误．故选：B．利用向量平行的性质直接求解．本题考查平行向量的判断，考查向量与向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．10.的内角A，B，C的对边分別为a，b，c，已知，，，则的面积是A. B. C. 1 D.【答案】B【解析】解：的内角A，B，C的对边分別为a，b，c，已知，利用正弦定理得：，整理得：，由于：，所以：，由于：，则：．由于：，，则：．故选：B．首先利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理求出B的值，进一步利用三角形的面积公式求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和三角形面积公式的应用．11.设，是双曲线C：的左，右焦点，O是坐标原点过作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若，则C的离心率为A. B. 2 C. D.【答案】C【解析】解：双曲线C：的一条渐近线方程为，点到渐近线的距离，即，，，，，在三角形中，由余弦定理可得，，即，即，，故选：C．先根据点到直线的距离求出，再求出，在三角形中，由余弦定理可得，代值化简整理可得，问题得以解决．本题考查了双曲线的简单性质，点到直线的距离公式，余弦定理，离心率，属于中档题．12.已知正方体的棱长为1，若P点在正方体的内部，且满足，则平面PAB与平面ABCD所成二面角的余弦值为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：以A为坐标原点，AB，AD，分别为x，y，z轴，由，可得，0，，1，，则，0，，设平面PAB的法向量为y，，由，且，可得，且，可取，而平面ABCD的法向量为0，，则平面PAB与平面ABCD所成二面角的余弦值为．故选：B．以A为坐标原点，AB，AD，分别为x，y，z轴，求得P、A、B的坐标，可得向量AP，向量AB的坐标，设平面PAB的法向量为y，，由向量数量积为0，可得平面PAB的一个法向量，再由平面ABCD的法向量为0，，运用两个向量的夹角公式计算可得所求值．本题考查平面和平面所成角的求法，注意运用坐标法和平面的法向量，考查化简整理的运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知等比数列中，，，则______．【答案】【解析】解：等比数列中，，，，解得，．故答案为：．由等比数列中，，，得到，由此能求出．本题考查等比数列的第7项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.已知，，，则的最小值为______．【答案】8【解析】解：当且仅当，时取等故答案为：8先变形：，然后根据基本不等式可求得最小值．本题考查了基本不等式及其应用，属基础题．15.已知，1，，则，______．【答案】【解析】解：，1，，，．故答案为：．利用空间向量夹角公式直接求解．本题考查向量夹角的余弦值的求法，考查空间向量夹角公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．16.设，若时均有成立，则______．【答案】【解析】解：若，则当时，，由二次函数的性质可知，不等式不可能在时恒成立，故当时不可能都有成立，故，故当时，，当时，，当时均有成立，故当时，，当时，，故是方程的实数根，故，解得：舍或，综上：，故答案为：．通过讨论a的范围以及函数恒成立问题，求出，进而得到是方程的实数根，求出a的值即可．本题考查了函数恒成立问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.解关于x的不等式【答案】解：当时，不等式化为，；分当时，原不等式化为，当时，不等式的解为或；当时，不等式的解为；当时，不等式的解为或；分综上所述，得原不等式的解集为：当时，解集为；当时，解集为或；当时，解集为；当时，解集为或．【解析】根据a的范围，分a等于0和a大于0两种情况考虑：当时，把代入不等式得到一个一元一次不等式，求出不等式的解集；当a大于0时，把原不等式的左边分解因式，再根据a大于1，及a大于0小于1分三种情况取解集，当a大于1时，根据小于1，利用不等式取解集的方法求出解集；当时，根据完全平方式大于0，得到x不等于1；当a大于0小于1时，根据大于1，利用不等式取解集的方法即可求出解集，综上，写出a不同取值时，各自的解集即可．此题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论及转化的数学思想根据a的不同取值，灵活利用不等式取解集的方法求出相应的解集是解本题的关键．18.如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点，平行于OM的直线l在y轴上的截距为，直线l交椭圆于A，B 两个不同点．求椭圆的方程；求m的取值范围．【答案】解：设椭圆方程为则分解得，分椭圆方程为；分直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m又，的方程为：由直线方程代入椭圆方程，分直线l与椭圆交于A、B两个不同点，，分解得，且分【解析】设出椭圆的方程，利用长轴长是短轴长的2倍且经过点，建立方程，求出a，b，即可求椭圆的方程；由直线方程代入椭圆方程，利用根的判别式，即可求m的取值范围．本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．19.设数列的前n项和为，且满足，求数列的通项公式；若，求数列的前n项和．【答案】解：，当时，，得，，时，得，，符合上式．数列的通项公式为；，，得．．【解析】由求得，验证成立后得数列的通项公式；把数列的通项公式代入，然后利用错位相减法求数列的前n项和．本题考查由数列的前n项和求数列的通项公式，训练了错位相减法求数列的和，是中档题．20.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．求A的大小；若，求．【答案】解：，可得：，可得：，解得：，，，，．，．由可得：，，由三角形的面积公式可得：．【解析】由已知利用余弦定理可求，，联立解得，，利用余弦定理可求的值，结合范围，可求A的值．由已知及可得：，，由三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算了和转化思想，属于中档题．21.如图，已知四棱锥，是以AD为斜边的等腰直角三角形，，，，E为PD的中点．Ⅰ证明：平面PAB；Ⅱ求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．【答案】证明：Ⅰ取AD的中点F，连结EF，CF，为PD的中点，，在四边形ABCD中，，，F为中点，，平面平面ABP，平面EFC，平面PAB．解：Ⅱ连结BF，过F作于M，连结PF，，，推导出四边形BCDF为矩形，，平面PBF，又，平面PBF，，设，由，得，，，，又平面PBF，，平面PBC，即点F到平面PBC的距离为，，D到平面PBC的距离应该和MF平行且相等，为，E为PD中点，E到平面PBC的垂足也为垂足所在线段的中点，即中位线，到平面PBC的距离为，在中，由余弦定理得，设直线CE与平面PBC所成角为，则．【解析】Ⅰ取AD的中点F，连结EF，CF，推导出，，从而平面平面ABP，由此能证明平面PAB．Ⅱ连结BF，过F作于M，连结PF，推导出四边形BCDF为矩形，从而，进而平面PBF，由，得，再求出，由此能求出．本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．22.已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，且直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求面积的取值范围．【答案】解：由题意可设椭圆方程为，由得，所以，椭圆方程为分由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为，，，则由，消去y得．，且，．分因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，所以，，即，又，所以，即分由于直线OQ的斜率存在，且，得且．设d为点O到直线l的距离，则，所以的取值范围为分【解析】根据中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点，利用待定系数法，求出几何量，可得椭圆的方程设直线l的方程为，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求出k的值，表示出面积，即可求出面积的取值范围．本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．。

洛南中学2019-2020学年度第一学期期末考试高二数学（理）试题★祝考试顺利★ 注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题1.抛物线22y x =的焦点坐标是（ ） A. 1(0,)2B. 1(0,)2-C. 1(,0)2-D. 1(,0)2【答案】D 【解析】【详解】解：由于抛物线焦点在x 轴上，开口向右，2p=2,故122p =, 抛物线22y x =的焦点坐标是1(,0)2,因此选择D2.命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是（ ） A. 0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠- B. 0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =- C. (0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠- D. (0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-【答案】C 【解析】试题分析：特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-考点：全称命题与特称命题 【此处有视频，请去附件查看】3.“2a b c +>”的一个充分条件是（ ） A. a c >或b c > B. a c >且b c <C. a c >且 b c >D. a c>或b c < 【答案】C 【解析】对于,A a c >或b c >，不能保证2a b c +>成立，故A 不对；对于,B a c >或b c <，不能保证2a b c +>成立，故B 不对；对于,C a c >且b c >，由同向不等式相加的性质知，可以推出2a b c +>，故C 正确；对于,D a c >或b c <，不能保证2a b c +>成立，故D 不对，故选C.4.已知01x <<，则(33)x x -取最大值时x的值为（ ）．A.13B.12C.23D.34【答案】B 【解析】分析：由()()3331x x x x -=-，利用基本不等式可得结果 详解：∵01x <<，∴()()2133331324x x x x x x +-⎛⎫-=-≤⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当12x =时取等号． ∴()33x x -取最大值34时x 的值为12． 故选B ．点睛：本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.5.等差数列{}n a 中，已知公差12d =，且139960a a a L +++=，则123100a a a a ++++L 的值为（ ） A. 170 B. 150C. 145D. 120【答案】C 【解析】∵数列{a n }是公差为12的等差数列，∴数列{a n }中奇数项构成公差为1的等差数列， 又∵a 1+a 3+…+a 97+a 99=60，∴501a +50492⨯×1=60,1 a =64952- ,123100a a a a ++++L =110099110022a ⨯+⨯=145 故选C6.已知直线l 的方向向量为a r ，平面α的法向量为n r，若()1,1,1a =r ， ()1,0,1n =-r，则直线l 与平面α的位置关系是（ ） A. 垂直B. 平行C. 相交但不垂直D. 直线l在平面α内或直线l 与平面α平行 【答案】D 【解析】 【分析】由0a n =r n r，即可判断出直线l 与平面α的位置关系． 【详解】∵110a n =-+=r rn ， ∴a r ⊥n r，∴直线l 在平面α内或直线l 与平面α平行． 故选D ．【点睛】本题考查平面法向量的应用、直线与平面位置关系的判定，考查推理能力与计算能力．7.ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知22,2(1)b c a b sinA ==-,则A= A.34π B.3π C.4π D.6π【答案】C 【解析】试题分析：由余弦定理得：()2222222cos 22cos 21cos a b c bc A b b A b A =+-=-=-，因为()2221sin a b A =-，所以cos sin A A =，因为cos 0A ≠，所以tan 1A =，因为()0,A π∈，所以4A π=，故选C.【考点】余弦定理【名师点睛】本题主要考查余弦定理的应用、同角三角函数的基本关系，是高考常考知识内容.本题难度较小，解答此类问题，注重边角的相互转换是关键，本题能较好地考查考生分析问题、解决问题的能力及基本计算能力等. 【此处有视频，请去附件查看】8.各项都是正数的等比数列{}n a 中，3241,,2a a a 成等差数列，则公比q 的值为（ ）A.B.C.D.或12【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件3241,,2a a a 成等差数列，求出等比数列的公比，即可得结论. 【详解】设等比数列{}n a 公比为q ，3241,,2a a a 成等差数列，2234222,0,10a a a q q q a q a q =+=+>∴+-=Q ，()()3341451123234111111,212a q q a a a q a q q q a a a q a q a q q +++=∴====+++. 故选：A.【点睛】本题考查等比数列基本量的运算，属于基础题.9.已知,x y 满足2442x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤-⎩，则2x y -的取值范围是（ ）A. [6,0]-B. [5,1]--C. [6,1]-D. [5,0]-【答案】B 【解析】 【分析】作出满足条件的一元二次不等式组所表示的可行域，即可求出目标函数的取值范围. 【详解】作出可行域，如下图所示： 设2,2z x y y x z =-∴=-，当目标函数过(1,3)A -时，取得最小值5-， 当目标函数过()1,3B 时，取得最大值1-，2x y -的取值范围是[5,1]--.故选:B【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，以及求线性目标函数范围，属于基础题.10.已知圆22(3)16x y -+=与抛物线22(0)y px p =>的准线相切，则p 的值为（ ） A. 1 B. 2C.12D. 4【答案】B 【解析】【分析】根据抛物线的准线与x 轴负半轴垂直，求出圆满足条件的切线，即可求值. 【详解】圆22(3)16x y -+=与x 轴负半轴垂直的切线是与1x =-，即为抛物线的准线方程，所以2p =. 故选:B【点睛】本题考查抛物线的标准方程，属于基础题.11.若双曲线22221x y a b-= ）A. y=±2xB. y=C. 12y x =±D.y x = 【答案】B 【解析】双曲线的离心率为a=b y x a =±，计算得b a =方程为y =.【考点定位】本小题考查了离心率和渐近线等双曲线的性质. 【此处有视频，请去附件查看】12.将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C ，有如下四个结论：①AC BD ⊥ ②ACD ∆是等边三角形 ③AB 与平面BCD 所成的角是60︒ ④AB 与CD 所成角为60︒，其中错误的结论个数是（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】 【分析】设正方形的边长为1，取BD 中点O ，连接,AO CO ，根据已知条件可得OC ⊥平面ABD ，OA ⊥平面BCD ，可证BD ⊥平面AOC ，故AC BD ⊥为正确；由OA OC ==求出1AC =，故ACD ∆是等边三角形为正确；0A ⊥平面BCD ，求出AB 平面BCD 所成角45o ，故③不正确；过D 作//,DE AB DE AB =，可求出120CDE ∠=o ，故④正确，可得结论.【详解】设正方形的边长为1，取BD 中点O ，连接,AO CO ， 可得,,,OC BD OA BD OC OA O BD ⊥⊥=∴⊥I 平面AOC ，AC ⊂平面,AOC BD AC ∴⊥，①正确；正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C ，即平面ABD ⊥平面BCD ，OC BD ⊥，平面ABD ⋂平面BCD BD =， OC ∴⊥平面ABD ，同理OA ⊥平面BCD ，,1OC OA OC OA AC ∴⊥==∴==Q ， 故ACD ∆为正三角形，故②正确；由OA ⊥平面BCD ，所以ABO ∠为AB 平面BCD 所成角， 而45ABO ∠=o ，故③不正确；过D 作//,DE AB DE AB =，连,CE OE ，则CDE ∠或补角为AB 与CD 所成角，在3,1,4ODE DE OD EDO π∆==∠=， 由余弦定理得22225,32OE CE OE OC ==+=， 1DE CD ==，由余弦定理得2221cos 22CD DE CE CDE CD DE +-∠==-⋅，120CDE ∴∠=o ，AB 平面BCD 所成角为60o ，故④正确.故选：A【点睛】本题考查平面图形翻折后空间图形的垂直关系，三角形形状判断，求空间角，属于中档题.二、填空题13.已知数列111112123123n+++++++L L L ，，，，，，则其前n 项的和等于______． 【答案】21n n + 【解析】 【分析】由题意可知此数列为1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，将n S 代入，根据数列特点，将通项公式化简，利用裂项相消的求和方法即可求出前n 项和.【详解】由题意可知此数列分母为以1为首项，以1为公比的等差数列的前n 项和，由公式可得：()12n n n S +=，所以数列通项：()1211211nS n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 求和得：122111nn n ⎛⎫-=⎪++⎝⎭. 【点睛】本题考查数列通项公式与数列求和，当通项公式为分式且分母为之差为常数时，可利用裂项相消的方法求和，裂项时注意式子的恒等，有时要乘上系数. 14.在ABC ∆中,23,3A a c π∠=＝，则C ∠＝____________.【答案】6π 【解析】 【分析】由正弦定理求出sin C ，即可求解.【详解】1,sin ,sin 2a A C C =∴=∴=Q ， 0,26C C ππ<<∴=.故答案为:6π 【点睛】本题考查正弦定理的应用，属于基础题. 15.若21x a a x+≥-对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】[1,2]-. 【解析】 【分析】21x a a x +≥-转化为2min 1()x a a x +≥-，求出min 1()x x+，解关于a 的不等式，即可求解. 【详解】1(0,),2x x x∈+∞∴+≥Q ，当且仅当1x =时，等号成立，21x a a x +≥-对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，等价于22a a -≤，解得 12a -≤≤， 所以实数a 的取值范围是[1,2]-. 故答案为:[1,2]-【点睛】本题考查不等式恒成立问题，利用等价转化思想转化为函数的最值与参数a 的关系，属于基础题.16.已知命题:p 函数0.5()log (3)f x x =-的定义域为(,3)-∞，命题:q 若k 0<，则函数()kh x x=在()0,∞+上是增加的，则下列结论中错误的是_______ ①p q ∧真 ②p q ∨假 ③()p q ∨⌝假 ④()()p q ⌝∧⌝假 【答案】②③ 【解析】 【分析】判断命题,p q 均为真命题，根据“或、且、非”命题间的真假关系，可得②③错误. 【详解】因为0.5()log (3)f x x =-的定义域为(,3)-∞，命题p 为真； 根据反比例函数的图像特征可得命题q 为真；所以p q ∧为真，p q ∨为真，()p q ∨⌝为真，()()p q ⌝∧⌝为假. 故答案为: ②③【点睛】本题考查复合命题的真假的判断，属于基础题.三、解答题17.已知等差数列{}n a 满足32a =，前3项和392S =. （1）求{}n a 的通项公式（2）设等比数列{}n b 满足11b a =，415b a =，求{}n b 的通项公式n b 及{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）12n n a +=；（2）12n n b -=，21nn T =-． 【解析】【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，则由已知条件得，．化简得11322,,2a d a d +=+=解得11=1,2a d =，故通项公式1=1+2n n a -，即+1=2n n a ． （2）由（1）得141515+1=1==82b b a =，．设{}n b 的公比为q ,则3418b q b ==,从而2q =． 12n n b -=故{}n b 的前n 项和1(1)1(12)21112n n n n b q T q -?===---． 【此处有视频，请去附件查看】18.C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量()3m a b =r与()cos ,sin n =A B r平行．（Ⅰ）求A ； （Ⅱ）若7a =2b =求C ∆AB 的面积．【答案】（Ⅰ）3π；（Ⅱ33 【解析】【详解】试题分析：（1）根据平面向量//m n r r，列出方程，在利用正弦定理求出tan A 的值，即可求解角A 的大小；（2）由余弦定理，结合基本不等式求出bc 的最大值，即得ABC ∆的面积的最大值.试题解析：（1）因为向量()m a =r与()cos ,sin n =A B r平行，所以0asinB ＝，由正弦定理得sinAsinB －0sinBcosA ＝，又sin 0B ≠，从而tanA ，由于0<A<π，所以A ＝3π.（2）由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，而a ，b ＝2，A ＝3π， 得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0， 因为c>0，所以c ＝3.故△ABC 的面积为12bcsinA ＝2. 考点：平面向量的共线应用；正弦定理与余弦定理. 【此处有视频，请去附件查看】19.曲线C 上任意一点M 到定点(3,0)F 的距离比到直线1x =-的距离大2. （1）求曲线C 的方程；（2）过点F 且斜率为1的直线与曲线C 交于A 、B 两点，O 为坐标原点，求OAB ∆的面积.【答案】（1）212y x =；（2）【解析】 【分析】（1）把已知条件转为曲线C 上任意一点M 到定点(3,0)F 的距离等于到直线3x =-的距离相等，根据抛物线的定义，即可求出曲线C 的方程；（2）求出过点F 且斜率为1的直线方程，与抛物线方程联立，消元，得到一元二次方程，结合韦达定理，即可求出结论.【详解】（1）曲线C 上任意一点M 到定点(3,0)F 的距离比到直线1x =-的距离大2. 则曲线C 上任意一点M 到定点(3,0)F 的距离等于到直线3x =-的距离，曲线C 的轨迹就是以(3,0)F 为焦点，3x =-为准线的抛物线， 其方程为212y x =；（2）过点F 且斜率为1的直线方程为3y x =-，联立2123y x y x ⎧=⎨=-⎩，消去x ，得212360y y --=，设11221212(,),(,),12,36A x y B x y y y y y ∴+==-，2121212133||()418222OAB S y y y y y y ∆∴=⨯⨯-=+-=.【点睛】本题考查抛物线的定义求方程，考查抛物线与直线的位置关系，以及相交弦有关的面积问题，属于中等题.20.如图，已知菱形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，2==AB AF ，060ADC ∠=.(1)求直线BF 与平面ABCD 的夹角； (2)求点A 到平面FBD 的距离. 【答案】(1) 4π25【解析】 【分析】设AC BD O =I ,以O 点为坐标原点，以OD 为x 轴， OA 为y 轴，过O 点且平行于AF 的方向为z 轴正方向，建立空间坐标系，（1）由题意，求出直线BF 的方向向量，平面ABCD 的一个法向量，由向量夹角，即可得到直线与平面夹角；（2）先求出平面FBD 的一个法向量n r，由点A 到平面FBD 的距离⋅=u u u r r r AF n d n，即可求出结果.【详解】设AC BD O =I ，因为菱形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，所以易得AF ⊥平面ABCD ；以O 点为坐标原点，以OD 为x 轴， OA 为y 轴，过O 点且平行于AF 的方向为z 轴正方向，建立空间坐标系，（1）由已知得：(0,1,0)A,(B ,(0,1,0)C -,D ,(0,1,2)F , 因为z 轴垂直于平面ABCD ，因此可令平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)m =u r，又2)BF =u u u r,设直线BF 与平面ABCD 的夹角为θ，则有sin cos ,2θ⋅=<>===⋅u r u u u r u r u u u r u r u u u r m BF m BF m BF , 即4πθ=，所以直线BF 与平面ABCD 的夹角为4π. （2）因为BD =u u u r,2)BF =u u u r,设平面FBD 的法向量为(,,)n x y z =r，0020BD n BF n y z ⎧⎧=⋅=⎪⇒⎨⋅=++=⎩u u u v vu u u v v，令1z =得(0,2,1)n =-r ， 又因为(0,0,2)AF =u u u r,所以点A 到平面FBD的距离AF n d n⋅===u u u r r r .【点睛】本题主要考查求直线与平面所成的角，以及点到平面的距离问题，灵活运用空间向量的方法求解即可，属于常考题型.21.已知二次函数()f x 的二次项系数为a ，且不等式()2f x x >-的解集为（1，3）． （1）若方程()60f x a +=有两个相等的实数根，求()f x 的解析式； （2）若()f x 的最大值为正数，求a 的取值范围．【答案】（1）2163()555f x x x =---（2）a 的取值范围是【解析】 第一问利用∴()2(1)(3),f x x a x x +=--所以0a <① 由方程②因为方程②有两个相等的根，所以第二问由及由解得解：（1）∴()2(1)(3),f x x a x x +=--所以0a <…………………………2分[来①由方程② ……………………4分因为方程②有两个相等的根，所以，即………………………6分 由于代入①得的解析式为……………………………8分（若本题没有舍去“1a =”第一小问得6分） （2）由及……………………………12分由解得故当的最大值为正数时，实数a 的取值范围是…15分22.已知椭圆M ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 且垂直于x 轴的焦点弦的弦长为2，过1F 的直线l 交椭圆M 于G ，H 两点，且2GHF ∆的周长为82（1）求椭圆M 的方程；（2）已知直线1l ，2l 互相垂直，直线1l 过1F 且与椭圆M 交于点A ，B 两点，直线2l 过2F 且与椭圆M 交于C ，D 两点.求11AB CD+的值. 【答案】（1）22184x y +=（2）11328AB CD += 【解析】分析：（1）根据周长确定a =由通径确定22b a=，求得24b =，因而确定椭圆的方程．（2）分析得直线AB 、直线CD 的斜率存在时，根据过焦点可设出AB 直线方程为()2y k x =+，因而直线CD 的方程为()12y x k=--.联立椭圆方程消去y ，得到关于x 的一元二次方程()2222218880k x k x k +++-=.由韦达定理求得)22121k AB k +=+和)2212k CD k +=+，进而118AB CD +=. 当AB斜率不存在时，求得AB =CD =，所以11AB CD += 当直线AB 的斜率为0时，求得AB =，CD =，所以11AB CD +=即可判断11AB CD += 详解：（1）将x c =代入22221x y a b +=，得2b y a =，所以22ba=因为2GHF ∆的周长为4a =，a =将a =22b a =24b =，所以椭圆M 的方程为22184x y +=.（2）（i ）当直线AB 、直线CD 的斜率存在且不为0时，设直线AB 的方程为()2y k x =+，则直线CD 的方程为()12y x k=--. 由()222184y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()2222218880k x k x k +++-=.由韦达定理得2122821k x x k -+=+，21228821k x x k -=+，所以，AB =)22121k k +=+.同理可得)2212k CD k +=+.211AB CD += 28+=.（ii ）当直线AB 的斜率不存在时，AB =，CD =，11AB CD +=.（iii ）当直线AB 的斜率为0时，AB =CD =，118AB CD +=.综上，118AB CD +=. 点睛：本题综合考查了圆锥曲线的定义、应用，对直线和圆锥曲线的位置问题，常见方法是设出直线方程，联立曲线方程，得到一元二次方程，利用韦达定理解决相关问题，思路较为清晰，关键是注意计算，综合性强，属于难题．。

商洛市2019~2020学年度第一学期期末教学质量检测高二数学试卷（理科）一、选择题1．命题“0x ∀≥，211x -≥-”的否定是（ ）A ．0x ∀≥，211x -<-B ．0x ∀<，211x -<-C ．0x ∃≥，211x -<-D ．0x ∃<，211x -<-2．已知向量()2,3,1a =-，()1,2,4b =-，则a b +=（ ）A ．()1,1,5-B ．()3,5,3--C ．()3,5,3-D ．()1,1,5--3．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若45A =︒，60B =︒，1a =，则b =（）A B C D 4．已知a ，b ，c 是任意实数，a b >，且0ab ≠，则下列结论不正确的是（ ）A ．2211a b c c >++B ．33a b >C ．220a b a b ->D ．22a b >5．若等差数列{}n a 的公差2d =，87:7:8a a =，则1a =（ ）A ．－15B ．－28C ．15D ．286．若椭圆C ：22143x y +=，则该椭圆上的点到两焦点距离的最大、最小值分别为（ ）A ．3，1B ．2+，2C ．2，1D 117．命题“[]1,2x ∃∈，20x x a +-≤”为假命题，则a 的取值范围为（ ）A ．(),2-∞B ．(),6-∞C ．(],2-∞D ．(],6-∞8．如图，在三棱锥P ABC -中，点D ，E ，F 分别是AB ，PA ，CD 的中点，设PA a =，PB b =，PC c =，则EF =（ ）A ．111442a b c -- B ．111442a b c -+ C ．111442a b c +- D ．111442a b c -++ 9．设x R ∈，则ln 0x >的一个充分不必要条件是（ ）A．x >B ．0x >C ．1x >D ．1x <- 10．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若123451111110a a a a a ++++=，31a =，则5S =（ ） A ．10 B ．15C ．20D ．25 11．已知a ，b 为正数，2247a b +=，则 ）ABC． D ．2 12．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，P 为抛物线C 上一点，且P 在第一象限，当PFPK 取得最小值时，点P 的坐标为（ ）A．12⎛ ⎝ B ．()1,2 C．(2, D ．()4,4二、填空题13．已知双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的一条渐近线方程为3y x =，则该曲线的离心率为______.14．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3a =，c =，1cos 3C =，则b =______. 15．设x ，y 满足约束条件20040x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的最大值是______.16．在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是线段1AC 上的一点，且11PC t AC =，若BPD ∠为锐角，则t 的取值范围是______.三、解答题17．设a R ∈，p ：函数()2ln 41y x ax =++的定义域为R ，q ：函数()24f x x x a =--在区间[]0,3上有零点.（1）若q 是真命题，求a 的取值范围；（2）若()p q ∨⌝是真命题，求a 的取值范围.18．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，ccos sin C c B =+.（1）求角B 的值；（2）若2b =，且ABC △ABC △的周长.19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，()112n n S a n -=-≥.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21log n n b a +=，求数列{}n n a b 的前n 项和n T .20．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是直角梯形，BC AD ，AB AD ⊥，22AD BC ==，四边形11ABB A 和11ADD A 均为正方形.（1）证明：平面11ABB A ⊥平面ABCD .（2）求二面角1B CD A --的余弦值.21．已知函数()()2222f x ax a x a =-++.（1）若不等式()60f x x +≤的解集是(][),21,-∞--+∞，求a 的值；（2）当0a ≤时，求不等式()0f x ≤的解集. 22．已知椭圆W ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，点P 为W 的上顶点，点Q 在W 上，227PF F Q =，且1167PF PQ ⋅=-. （1）求W 的方程； （2）已知过原点的直线1l 与椭圆W 交于C ，D 两点，垂直于1l 的直线2l 过1F 且与椭圆W 交于M ，N 两点，若26CD MN =，求2F CD S △.。

2019学年陕西省高二上学期期末理科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 命题“ 若α= ，则 tanα=1” 的逆否命题是（）A ．若α≠ ，则 tanα≠1________B ．若α= ，则 tanα≠1C ．若 tanα≠1 ，则α≠ ________D ．若 tanα≠1 ，则α=2. 已知椭圆上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3 ，则 P 到另一个焦点的距离（）A ． 2________B ． 3________C ． 5________D ． 73. 命题“ 对任意的x ∈ R ， x 3 ﹣x 2 +1≤0” 的否定是（）A ．不存在x ∈ R ， x 3 ﹣x 2 +1≤0________B ．存在x ∈ R ， x 3 ﹣x 2+1≤0C ．存在x ∈ R ， x 3 ﹣x 2 +1 ＞ 0D ．对任意的x ∈ R ， x 3 ﹣x 2 +1 ＞ 04. 下列双曲线中，焦点在 y 轴上且渐近线方程为y=±2x 的是（）A ． x 2 ﹣ =1________B ．﹣y 2 =1________C ．﹣x 2 =1________D ． y 2 ﹣ =15. 抛物线 y=4x 2 的焦点坐标是（）A ．（ 0 ， 1 ）________B ．（ 0 ，）________C ．（ 1 ， 0 ）________D ．（， 0 ）6. 已知双曲线﹣ =1 的一个焦点与抛物线 y 2 =4x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（）A ．________B ．________C ．________D ．7. 在△ ABC 中，“A=60°” 是“ ” 的（）A ．充分而不必要条件________B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件________________D ．既不充分也不必要条件8. 设 F 1 ， F 2 分别是椭圆 +y 2 =1 的左、右焦点， P 是第一象限内该椭圆上的一点，且PF 1 ⊥ PF 2 ，求点 P 的横坐标为（）A ． 1________B ．________C ． 2 ________D ．9. 如图，四棱柱 ABCD﹣A 1 B 1 C 1 D 1 的底面 ABCD 为平行四边形，已知 = ，= ， = ，则用向量，，可表示向量为（）A ． + + ________B ．﹣ + + ________C ．﹣ + ________D ．﹣ + ﹣10. 已知椭圆 C ： =1 （ a ＞ b ＞ 0 ）的左焦点为 F ， C 与过原点的直线相交于 A ， B 两点，连接 AF ， BF ，若 |AB|=10 ， |BF|=8 ，cos ∠ ABF= ，则 C 的离心率为（）A ．________B ．________C ．________D ．11. 如图，四棱柱 ABCD﹣A 1 B 1 C 1 D 1 的底面 ABCD 是正方形， O 为底面中心，A 1 O ⊥ 平面 ABCD ， AB=AA 1 = ．平面 OCB 1 的法向量 = （ x ， y ， z ）为（）A ．（ 0 ， 1 ， 1 ）________B ．（ 1 ，﹣1 ， 1 ）________C ．（ 0 ， 1 ，﹣1 ）________D ．（﹣1 ，﹣1 ， 1 ）12. 抛物线 y=2x 2 上两点 A （ x 1 ， y 1 ）、 B （ x 2 ， y 2 ）关于直线y=x+m 对称，且x 1 •x 2 =﹣，则 m 等于（）A ．________B ． 2________C ．________D ． 3二、填空题13. 抛物线 y 2 =2px （ p ＞ 0 ）上的动点 Q 到焦点的距离的最小值为 1 ，则p=___________ ．14. 双曲线的离心率为，则 m 等于___________ ．15. 如图，在直三棱柱 ABC﹣A 1 B 1 C 1 中， AB=BC=AA 1 ，∠ ABC=90° ，则直线 AB 1 和 BC 1 所成的角是___________ ．16. 如图，在正三棱柱 ABC﹣A 1 B 1 C 1 中，所有棱长均为 1 ，则点 B 1 到平面ABC 1 的距离为_________ ．17. 设椭圆的两个焦点分别为 F 1 ， F 2 ，过 F 2 作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为 P ，若△ F 1 PF 2 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是_________ ．三、解答题18. 椭圆的两个焦点的坐标分别为 F 1 （﹣2 ， 0 ）， F 2 （ 2 ， 0 ），且椭圆经过点（，﹣）（ 1 ）求椭圆标准方程．（ 2 ）求椭圆长轴长、短轴长、离心率．19. 已知 p ：∀ x ∈ R ，不等式 x 2 ﹣mx+ ＞ 0 恒成立， q ：椭圆 +=1 的焦点在 x 轴上，若“p 或q” 为真，“p 且q” 为假，求实数 m 的取值范围．20. 如图，三棱柱 ABC﹣A 1 B 1 C 1 中， CA=CB ， AB=AA 1 ，∠ BAA 1 =60° ．（Ⅰ ）证明AB ⊥ A 1 C ；（Ⅱ ）若平面ABC ⊥ 平面 AA 1 B 1 B ， AB=CB ，求直线 A 1 C 与平面 BB 1 C 1 C 所成角的正弦值．21. 已知椭圆 E ： + =1 （ a ＞ b ＞ 0 ）的半焦距为 c ，原点 O 到经过两点（ c ， 0 ），（ 0 ， b ）的直线的距离为 c ．（Ⅰ ）求椭圆 E 的离心率；（Ⅱ ）如图， AB 是圆 M ：（ x+2 ） 2 + （ y﹣1 ） 2 = 的一条直径，若椭圆E 经过 A 、 B 两点，求椭圆 E 的方程．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】。

2019-2020学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n 2．（5分）如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）A．3＜m＜4 B．C．D．3．（5分）“x＞1”是“log（x+2）＜0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a3=5，a5=9，则S7等于（）A．13 B．35 C．49 D．635．（5分）有下列四个命题：①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题；④“直角三角形有两个角是锐角”的逆命题；其中真命题为（）A．①②B．②③C．①③D．③④6．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=，a3a5=4（a4﹣1），则a2=（）A．2 B．1 C．D．7．（5分）设z=x+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为12，则z 的最小值为（）A．﹣3 B．﹣6 C．3 D．68．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos2=，则△ABC的形状一定是（）A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形9．（5分）若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆（x+3）2+（y+1）2=1的弦长为2，则+的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．1210．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥平面ABCD，AB=PD=a，E为侧棱PC的中点，又作DF⊥PB交PB于点F，则PB与平面EFD所成角为（）A．90°B．60°C．45°D．30°11．（5分）若△ABC顶点B，C的坐标分别为（﹣4，0），（4，0），AC，AB边上的中线长之和为30，则△ABC的重心G的轨迹方程为（）A．=1（y≠0） B．=1（x≠0）C．=1（x≠0） D．=1（y≠0）12．（5分）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r ＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）已知，则向量与﹣λ垂直的充要条件是λ=．14．（5分）△ABC中，A、B、C对应边分别为a、b、c．若a=x，b=2，B=45°，且此三角形有两解，则x的取值范围为．15．（5分）过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于．16．（5分）设数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，q：实数x满足（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．（12分）已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，一条渐近线方程为y=x，且过点（4，﹣）．（1）求双曲线方程；（2）若点M（3，m）在此双曲线上，求•．19．（12分）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC 面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E 为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．21．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n=3n+3．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}，满足a n b n=log3a n，求{b n}的前n项和T n．22．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=|PQ|．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n 【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．【解答】解：命题的否定是：∀n∈N，n2≤2n，故选：C．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．2．（5分）如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）A．3＜m＜4 B．C．D．【分析】进而根据焦点在y轴推断出4﹣m＞0，m﹣3＞0并且m﹣3＞4﹣m，求得m的范围．【解答】解：由题意可得：方程表示焦点在y轴上的椭圆，所以4﹣m＞0，m﹣3＞0并且m﹣3＞4﹣m，解得：．故选D．【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程，解题时注意看焦点在x轴还是在y轴．3．（5分）“x＞1”是“log（x+2）＜0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式之间的关系进行判断即可．【解答】解：由log（x+2）＜0得x+2＞1，即x＞﹣1，则“x＞1”是“log（x+2）＜0”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式之间的关系是解决本题的关键．比较基础．4．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a3=5，a5=9，则S7等于（）A．13 B．35 C．49 D．63【分析】由题意可得a3+a5=14，进而可得a1+a7=a3+a5=14，而S7=，代入即可得答案．【解答】解：由题意可得a3+a5=14，由等差数列的性质可得a1+a7=a3+a5=14，故S7====49，故选C【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．5．（5分）有下列四个命题：①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题；④“直角三角形有两个角是锐角”的逆命题；其中真命题为（）A．①②B．②③C．①③D．③④【分析】利用四种命题关系写出四个命题，然后判断真假即可．【解答】解：①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题：“若x，y互为相反数，则x+y=0”逆命题正确；②“全等三角形的面积相等”的否命题：“不全等三角形的面积不相等”，三角形的命题公式可知只有三角形的底边与高的乘积相等命题相等，所以否命题不正确；③“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题：“x2+2x+q=0没有实根，则q＞1”，因为x2+2x+q=0没有实根，所以4﹣4q＜0可得q＞1，所以逆否命题正确；④“直角三角形有两个角是锐角”的逆命题：两个角是锐角的三角形是直角三角形，显然不正确．正确命题有①③．故选：C．【点评】本题考查四种命题的关系，命题的真假的判断，基本知识的考查．6．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=，a3a5=4（a4﹣1），则a2=（）A．2 B．1 C．D．【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵，a3a5=4（a4﹣1），∴=4，化为q3=8，解得q=2则a2==．故选：C．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．7．（5分）设z=x+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为12，则z的最小值为（）A．﹣3 B．﹣6 C．3 D．6【分析】先画出可行域，得到角点坐标．再利用z的最大值为12，通过平移直线z=x+y得到最大值点A，求出k值，即可得到答案．【解答】解：可行域如图：由得：A（k，k），目标函数z=x+y在x=k，y=k时取最大值，即直线z=x+y在y轴上的截距z最大，此时，12=k+k，故k=6．∴得B（﹣12，6），目标函数z=x+y在x=﹣12，y=6时取最小值，此时，z的最小值为z=﹣12+6=﹣6，故选B．【点评】本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义．8．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos2=，则△ABC的形状一定是（）A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【分析】在△ABC中，利用二倍角的余弦与正弦定理可将已知cos2=，转化为cosA=，整理即可判断△ABC的形状．【解答】解：在△ABC中，∵cos2=，∴==+∴1+cosA=+1，即cosA=，∴cosAsinC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∴sinAcosC=0，sinA≠0，∴cosC=0，∴C为直角．故选：B．【点评】本题考查三角形的形状判断，着重考查二倍角的余弦与正弦定理，诱导公式的综合运用，属于中档题．9．（5分）若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆（x+3）2+（y+1）2=1的弦长为2，则+的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．12【分析】由题意可知直线过圆心，可得3m+n=2，从而+=（+），展开后利用基本不等式可求答案．【解答】解：∵直线截得圆的弦长为直径，∴直线mx+ny+2=0过圆心（﹣3，﹣1），即﹣3m﹣n+2=0，∴3m+n=2，∴+=（+）=3+≥3+=6，当且仅当时取等号，由截得，∴+的最小值为6，故选A．【点评】该题考查直线与圆的位置关系、基本不等式的应用，变形+=（+）是解决本题的关键所在．10．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥平面ABCD，AB=PD=a，E为侧棱PC的中点，又作DF⊥PB交PB于点F，则PB与平面EFD所成角为（）A．90°B．60°C．45°D．30°【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能求出PB与平面EFD所成角．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，D为坐标原点．P（0，0，a），B（a，a，0），=（a，a，﹣a），又=（0，，），=0+=0，∴PB⊥DE．由已知DF⊥PB，又DF∩DE=D，∴PB⊥平面EFD，∴PB与平面EFD所成角为90°．故选：A．【点评】本题考查线面角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．11．（5分）若△ABC顶点B，C的坐标分别为（﹣4，0），（4，0），AC，AB边上的中线长之和为30，则△ABC的重心G的轨迹方程为（）A．=1（y≠0） B．=1（x≠0）C．=1（x≠0） D．=1（y≠0）【分析】根据三角形重心的性质可得G到B、C两点的距离之和等于20，因此G 的轨迹为以B、C为焦点的椭圆．利用题中数据加以计算可得相应的椭圆方程，注意到点G不能落在x轴上得到答案．【解答】解：设AC、AB边上的中线分别为CD、BE∵BG=BE，CG=CD∴BG+CG=（BE+CD）=20（定值）因此，G的轨迹为以B、C为焦点的椭圆，2a=20，c=4∴a=10，b==，可得椭圆的方程为∵当G点在x轴上时，A、B、C三点共线，不能构成△ABC∴G的纵坐标不能是0，可得△ABC的重心G的轨迹方程为=1（y≠0）故选：D【点评】本题给出三角形两条中线长度之和等于定值，求重心G的轨迹方程．着重考查了三角形重心的性质、椭圆的定义与标准方程和轨迹方程的求法等知识，属于中档题．12．（5分）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r ＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）【分析】先确定M的轨迹是直线x=3，代入抛物线方程可得y=±2，所以交点与圆心（5，0）的距离为4，即可得出结论．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），斜率存在时，设斜率为k，则y12=4x1，y22=4x2，则，相减，得（y1+y2）（y1﹣y2）=4（x1﹣x2），当l的斜率存在时，利用点差法可得ky0=2，因为直线与圆相切，所以=﹣，所以x0=3，即M的轨迹是直线x=3．将x=3代入y2=4x，得y2=12，∴﹣2，∵M在圆上，∴（x0﹣5）2+y02=r2，∴r2=y02+4＜12+4=16，∵直线l恰有4条，∴y0≠0，∴4＜r2＜16，故2＜r＜4时，直线l有2条；斜率不存在时，直线l有2条；所以直线l恰有4条，2＜r＜4，故选：D．【点评】本题考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）已知，则向量与﹣λ垂直的充要条件是λ=2．【分析】⊥（﹣λ）⇔•（﹣λ）=0，解出即可得出．【解答】解：﹣λ=（﹣3+λ，2，1﹣4λ），∵⊥（﹣λ），∴•（﹣λ）=﹣3（﹣3+λ）+4+1﹣4λ=0，解得λ=2．∴向量与﹣λ垂直的充要条件是λ=2．故答案为：2．【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．（5分）△ABC中，A、B、C对应边分别为a、b、c．若a=x，b=2，B=45°，且此三角形有两解，则x的取值范围为．【分析】利用余弦定理，构建方程，根据解此三角形有两解，可得方程有两个不等的正根，从而可求x的取值范围【解答】解：由余弦定理可得：4=c2+x2﹣2cx×cos45°∴c2﹣xc+x2﹣4=0∵解此三角形有两解，∴方程有两个不等的正根∴△=2x2﹣4（x2﹣4）＞0，且x2﹣4＞0，x＞0∴x2﹣8＜0，且x2﹣4＞0，x＞0∴2＜x＜2故答案为：．【点评】本题重点考查余弦定理的运用，考查解三角形解的个数，解题的关键是利用余弦定理，构建方程，将解此三角形有两解，转化为方程有两个不等的正根．15．（5分）过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于．【分析】利用点差法，结合M是线段AB的中点，斜率为﹣，即可求出椭圆C 的离心率．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则①，②，∵M是线段AB的中点，∴=1，=1，∵直线AB的方程是y=﹣（x﹣1）+1，∴y1﹣y2=﹣（x1﹣x2），∵过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，M是线段AB的中点，∴①②两式相减可得，即，∴a=b，∴=b，∴e==．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的离心率，考查学生的计算能力，正确运用点差法是关键．16．（5分）设数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为．【分析】数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），利用“累加求和”可得a n=．再利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：∵数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），∴当n≥2时，a n=（a n﹣a n﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1=n+…+2+1=．当n=1时，上式也成立，∴a n=．∴=2．∴数列{}的前n项的和S n===．∴数列{}的前10项的和为．故答案为：．【点评】本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，q：实数x满足（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【分析】（1）若a=1，分别求出p，q成立的等价条件，利用且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）利用￢p是￢q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）由x2﹣4ax+3a2＜0，得（x﹣3a）（x﹣a）＜0．又a＞0，所以a＜x＜3a．当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．由得得2＜x≤3，即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3．若p∧q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是2＜x＜3．（2）￢p是￢q的充分不必要条件，即￢p⇒￢q，且￢q推不出￢p．即q是p的充分不必要条件，则，解得1＜a≤2，所以实数a的取值范围是1＜a≤2．【点评】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用逆否命题的等价性将￢p是￢q的充分不必要条件，转化为q是p的充分不必要条件是解决本题的关键，18．（12分）已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，一条渐近线方程为y=x，且过点（4，﹣）．（1）求双曲线方程；（2）若点M（3，m）在此双曲线上，求•．【分析】（1）设双曲线方程为x2﹣y2=λ，λ≠0，由双曲线过点（4，﹣），能求出双曲线方程．（2）由点M（3，m）在此双曲线上，得m=．由此能求出•的值．【解答】解：（1）∵双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，一条渐近线方程为y=x，∴设双曲线方程为x2﹣y2=λ，λ≠0，∵双曲线过点（4，﹣），∴16﹣10=λ，即λ=6，∴双曲线方程为=1．（2）∵点M（3，m）在此双曲线上，∴=1，解得m=．∴M（3，），或M（3，﹣），∵F 1（﹣2，0），，∴当M（3，）时，=（﹣2﹣3，﹣），=（，﹣），•=﹣12﹣6=0；当M（3，﹣）时，=（﹣2﹣3，），=（，），•=﹣12﹣6+6+9+3=0．故•=0．【点评】本题考查双曲线方程的求法，考查向量的数量积的求法，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用．19．（12分）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC 面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．【分析】（1）如图，过A作AE⊥BC于E，由已知及面积公式可得BD=2DC，由AD平分∠BAC及正弦定理可得sin∠B=，sin∠C=，从而得解．（2）由（1）可求BD=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，由AD平分∠BAC，可求AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，利用余弦定理即可解得BD和AC的长．【解答】解：（1）如图，过A作AE⊥BC于E，∵==2∴BD=2DC，∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠DAC在△ABD中，=，∴sin∠B=在△ADC中，=，∴sin∠C=；∴==．…6分（2）由（1）知，BD=2DC=2×=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，∵AD平分∠BAC，∴DM=DN，∴==2，∴AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，∵∠BAD=∠DAC，∴cos∠BAD=cos∠DAC，∴由余弦定理可得：=，∴x=1，∴AC=1，∴BD的长为，AC的长为1．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理，余弦定理等知识的应用，属于基本知识的考查．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E 为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．【分析】（Ⅰ）连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EO∥PB，即可证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，说明∠CMD=60°，是二面角的平面角，求出CD，即可三棱锥E﹣ACD的体积．【解答】（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O点，连接EO，∵O为BD中点，E为PD中点，∴EO∥PB，（2分）EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC；（6分）（Ⅱ）解：延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，∴CD⊥平面AMD，∴CD⊥MD．∵二面角D﹣AE﹣C为60°，∴∠CMD=60°，∵AP=1，AD=，∠ADP=30°，∴PD=2，E为PD的中点．AE=1，∴DM=，CD==．三棱锥E﹣ACD的体积为：==．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，几何体的体积的求法，二面角等指数的应用，考查逻辑思维能力，是中档题．21．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n=3n+3．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}，满足a n b n=log3a n，求{b n}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）利用2S n=3n+3，可求得a1=3；当n＞1时，2S n﹣1=3n﹣1+3，两式相减2a n=2S n﹣2S n﹣1，可求得a n=3n﹣1，从而可得{a n}的通项公式；（Ⅱ）依题意，a n b n=log3a n，可得b1=，当n＞1时，b n=31﹣n•log33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n，于是可求得T1=b1=；当n＞1时，T n=b1+b2+…+b n=+（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n），利用错位相减法可求得{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）因为2S n=3n+3，所以2a1=31+3=6，故a1=3，=3n﹣1+3，当n＞1时，2S n﹣1此时，2a n=2S n﹣2S n﹣1=3n﹣3n﹣1=2×3n﹣1，即a n=3n﹣1，所以a n=．（Ⅱ）因为a n b n=log3a n，所以b1=，当n＞1时，b n=31﹣n•log33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n，所以T1=b1=；当n＞1时，T n=b1+b2+…+b n=+（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n），所以3T n=1+（1×30+2×3﹣1+3×3﹣2+…+（n﹣1）×32﹣n），两式相减得：2T n=+（30+3﹣1+3﹣2+…+32﹣n﹣（n﹣1）×31﹣n）=+﹣（n ﹣1）×31﹣n=﹣，所以T n=﹣，经检验，n=1时也适合，综上可得T n=﹣．【点评】本题考查数列的求和，着重考查数列递推关系的应用，突出考查“错位相减法”求和，考查分析、运算能力，属于中档题．22．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=|PQ|．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．【分析】（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C的方程，求得x0=，根据|QF|=|PQ|求得p的值，可得C的方程．（Ⅱ）设l的方程为x=my+1 （m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|．把直线l′的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得|MN|．由于MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，由此求得m的值，可得直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C：y2=2px （p＞0），可得x0=，∵点P（0，4），∴|PQ|=．又|QF|=x0+=+，|QF|=|PQ|，∴+=×，求得p=2，或p=﹣2（舍去）．故C的方程为y2=4x．（Ⅱ）由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，y2=4x的焦点F（1，0），设l的方程为x=my+1（m≠0），代入抛物线方程可得y2﹣4my﹣4=0，显然判别式△=16m2+16＞0，y1+y2=4m，y1•y2=﹣4．∴AB的中点坐标为D（2m2+1，2m），弦长|AB|=|y1﹣y2|==4（m2+1）．又直线l′的斜率为﹣m，∴直线l′的方程为x=﹣y+2m2+3．过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，把线l′的方程代入抛物线方程可得y2+y﹣4（2m2+3）=0，∴y3+y4=，y3•y4=﹣4（2m2+3）．故线段MN的中点E的坐标为（+2m2+3，），∴|MN|=|y3﹣y4|=，∵MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，∴+DE2=MN2，∴4（m2+1）2 ++=×，化简可得m2﹣1=0，∴m=±1，∴直线l的方程为x﹣y﹣1=0，或x+y﹣1=0．【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理、弦长公式的应用，体现了转化的数学思想，属于难题．。

2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理（含解析）说明：本试卷分为第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，共4页.考试时间120分钟，分值150分.注意事项：1.答题前，考生必须将自己的姓名，考号填写清楚，并将条形码粘贴到指定区域.2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清晰.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草纸，试题卷上答案无效.4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破，弄皱，不准使用涂改液，修正带，刮纸刀.第Ⅰ卷一、单项选择（每题5分，共计60分）1.用秦九韶算法求多项式当时的值时，（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将多项式进行整理变形，代值计算即可.【详解】因为故可得.故选：B.【点睛】本题考查秦九韶算法中的相关计算，属基础题.2.已知向量，且，则的值为（）A. 11B. 6C. 7D. 15【答案】A【解析】【分析】利用向量共线定理即可求出.【详解】向量，且，存在实数使得，，解得，.故选：.【点睛】本题追要考查是向量共线定理应用，考查了计算能力，及空间向量的应用，是基础题.3.执行如图所示的程序框图，输出的k值为A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的k的值.【详解】模拟程序的运行，可得，执行循环体，，不满足条件，执行循环体，；不满足条件,执行循环体，；满足条件，退出循环，输出的值为6，故选C.【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于常考题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.4.甲、乙两名运动员分别进行了5次射击训练，成绩如下：甲：6，7，8，8，10；乙：8，9，9，9，10.若甲、乙两名运动员的平均成绩分别用，表示，方差分别用，表示，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据平均数和方差的计算公式，分别求出两组数据的平均数和方差，即可进行选择.【详解】因为；；；故可得；.故选：D.【点睛】本题考查平均数和方差的计算，属基础题.5.某年级有学生560人，现用系统抽样的方法抽取一个容量为70的样本，把学生编号为1～560号，已知编号为20的学生被抽中，则样本中编号最小的是（）A. 004B. 005C. 006D. 007【答案】A【解析】分析】根据系统抽样等距抽样的特点，结合已知编号，即可求得结果.【详解】因为抽取容量为70的样本，故应该将全部人员分为70组，则抽样距离为8，又编号20是第三组，故最小编号是.又编号均是三位数，故最小编号是.故选：A.【点睛】本题考查系统抽样中编号的计算，属基础题.6.如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别是（）A. 12.5；12.5B. 13；13C. 13；12.5D. 12.5；13【答案】D【解析】分析：根据频率分布直方图中众数与中位数的定义和计算方法，即可求解频率分布直方图的众数与中位数的值.详解：由题意，频率分布直方图中最高矩形的底边的中点的横坐标为数据的众数，所以中间一个矩形最该，故数据的众数为，而中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于轴的直线横坐标，第一个矩形的面积为，第二个矩形的面积为，故将第二个矩形分成即可，所以中位数是，故选D.点睛：本题主要考查了频率分布直方图的中位数与众数的求解，其中频率分布直方图中小矩形的面积等于对应的概率，且各个小矩形的面积之和为1是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.7.设a，b∈R，那么“＞1”是“a＞b＞0”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：a＞b＞0，可推出，而当，时，例如取a=﹣2，b=﹣1，显然不能推出a＞b＞0，由充要条件的定义可得答案．解：由不等式的性质，a＞b＞0，可推出，而当，时，例如取a=﹣2，b=﹣1，显然不能推出a＞b＞0．故是a＞b＞0的必要不充分条件．故选B．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．8.命题，的否定是（）A. B.C. D.【解析】【分析】按存在性命题的否定的规则写出即可.【详解】因命题为“，”，它是存在性命题，故其否定为：，选B.【点睛】全称命题的一般形式是：，，其否定为.存在性命题的一般形式是，，其否定为.9.若点到直线的距离比它到点的距离小1，则点的轨迹为（）A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线【答案】D【解析】【详解】依题意，点P到直线x＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹是抛物线10.已知双曲线的离心率为，且它的一个焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】D【分析】根据离心率以及焦点到渐近线的距离，结合，解方程，从而求得曲线方程.【详解】设双曲线的一个焦点为，其中一条渐近线为，由点到直线的距离公式可得，解得；又因为，，解得.故选：D.【点睛】本题考查双曲线方程的求解，属基础题.11.斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列1，1，2，3，5，画出来的螺旋曲线.如图，白色小圆内切于边长为1的正方形，黑色曲线就是斐波那契螺旋线，它是依次在以1，2，3，5为边长的正方形中画一个圆心角为的扇形，将其圆弧连接起来得到的.若在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先计算出矩形的面积和阴影部分的面积，再根据几何概型的概率计算公式求得结果.【详解】因为矩形的边长为和5，故矩形面积；又阴影部分的面积为；故在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率.故选：D.【点睛】本题考查几何概型的概率计算，属基础题；本题的易错点是容易在计算阴影部分面积的时候出现计算错误.12.已知点为抛物线：的焦点. 若过点的直线交抛物线于，两点，交该抛物线的准线于点，且，，则（）A. B. 0 C. 1 D. 2【答案】B【解析】【分析】将长度利用相似转换为坐标关系，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理求得答案.【详解】易知：焦点坐标为，设直线方程为：如图利用和相似得到：，【点睛】本题考查了抛物线与直线的关系，相似，意在考查学生的计算能力.二、填空题（每空5分，共计20分）13.若“”为真命题，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】根据全称命题为真命题得到判别式，即可得到结论.【详解】若“”为真命题，则判别式，即，解得.故答案为：.【点睛】本题主要考查的是全称命题为真命题求参数的取值范围的应用，同时考查的是一元二次不等式的解法，是基础题.14.已知与之间的一组数据：21则与的线性回归方程为必过点___________.【答案】【解析】【分析】计算样本中心点，即可求得结果.【详解】由数据可知：；，故线性回归方程必过点.故答案为：.【点睛】本题考查线性回归直线方程的特点，属基础题.15.在极坐标系中，有点，则两点间的距离为___________.【答案】【解析】【分析】根据极坐标系中，两点之间的距离公式即可求得.【详解】设两点之间的距离为，则.故答案为：.【点睛】本题考查极坐标系中两点之间距离的求解，属基础题.16.下列命题中：①已知点，动点满足，则点的轨迹是一个圆；②已知，则动点的轨迹是双曲线；③两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1；④在平面直角坐标系内，到点和直线的距离相等的点的轨迹是抛物线；正确的命题是_________．【答案】①③【解析】【分析】根据轨迹方程的求解，以及双曲线的定义，相关系数的性质，结合选项进行逐一分析即可.【详解】①：设动点，由，故可得，整理得：，且，故该方程表示圆，则①正确；②：根据双曲线的定义，，则动点的轨迹只表示双曲线的左支，故②错误；③：根据相关系数性质，相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1，故③正确；④：因为点在直线上，故满足题意的点的轨迹为过点且垂直于直线的直线，故④错误.故答案为：①③.【点睛】本题考查轨迹方程的求解，以及相关系数的性质，属综合中档题.三、解答题（17题、18题、19题、20题、21题每题12分，22题10分，共计70分）17.设实数满足（其中），实数满足.（1）若，且为真，求实数的取值范围.（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求解一元二次不等式，解得命题对应的范围，结合均是真命题，即可求得；（2）根据题意，则是的必要不充分条件，根据集合之间的包含关系，求参数范围即可.【详解】（1）当时，解得，即为真时，实数取值范围是.若为真，则真，且真，所以实数的取值范围是.（2）是的充分不必要条件，即是的必要不充分条件，设，则，由得，，，又，则且，解得.所以实数的取值范围是.【点睛】本题考查由命题的真假求参数的范围，涉及由集合关系求参数范围的问题，属综合基础题.18.如图，正四棱柱中，，点在上，且.（1）证明平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出的坐标，通过计算数量积得出，，故平面；（2）求出平面的法向量，通过计算两平面的法向量的夹角得出法向量的夹角从而得出二面角的余弦值.【详解】以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系.依题设.，.（1），，又，且平面，平面.（2）由（1）知为平面的法向量，设向量是平面的法向量，则.，.令，则，..根据图像可得等于二面角的平面角，二面角的余弦值为.【点睛】本题主要考查的是利用向量法证明线面垂直以及利用向量法求面面所成角，考查学生对空间向量的应用，考查学生的计算能力，是中档题.19.某电动车售后服务调研小组从汽车市场上随机抽取20辆纯电动汽车调查其续驶里程（单次充电后能行驶的最大里程），被调查汽车的续驶里程全部介于50公里和300公里之间，将统计结果分成5组：，绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）求续驶里程在的车辆数；（2）求续驶里程的平均数；（3）若从续驶里程在的车辆中随机抽取2辆车，求其中恰有一辆车的续驶里程在内的概率.【答案】（1）5辆；（2）170；（3）.【解析】【分析】（1）根据所有长方形面积之和为1，求得未知数，计算出区间长方形的面积之和即为概率，用此数据乘以样本容量即可；（2）用每个长方形的面积乘以所在区间底边中点值，再求和即可得到结果；（3）先计算出在中的车辆数量，再列举出所有的抽取可能性，找出满足题意的可能性，用古典概型的概率计算公式即可求得.【详解】由题意可知，∴，故续驶里程在的车辆数为：（2）由直方图可得：续航里程平均数为：.（3）由（2）及题意可知，续驶里程在的车辆数为3，分别记为，续驶里程在的车辆数为2，分别记为，事件“其中恰有一辆汽车的续驶里程为”从该5辆汽车中随机抽取2辆，所有的可能如下：共10种情况，事件包含的可能有共6种情况，则.【点睛】本题考查频率分布直方图中参数的计算，平均数的求解，涉及古典概型概率的计算，属综合基础题.20.已知椭圆及直线.（1）当直线与该椭圆有公共点时，求实数的取值范围；（2）在（1）的条件下，直线与椭圆交于两点，求当时，直线被椭圆截得的弦长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）联立椭圆方程和直线方程，消去，得到一元二次方程，只需即可；（2）根据韦达定理，结合弦长公式，即可求得.【详解】（1）由消去，并整理得①直线与椭圆有公共点，可解得：故所求实数的取值范围为（2）设直线与椭圆的交点为由①得：当时，直线被椭圆截得的弦长为.【点睛】本题考查由直线与椭圆的位置关系求参数范围的问题，以及椭圆中弦长的求解，属于常考题型.21.已知为坐标原点，抛物线与直线相交于两点.（1）求：的值；（2）当的面积等于时，求实数的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）联立直线方程和抛物线方程，得到一元二次方程，通过根与系数的关系，结合直线的斜率乘积为，即可得的值；（2）求出直线与轴交点，表示出的面积，根据面积等于，解方程即可求出实数的值.【详解】（1）显然直线的斜率存在且，联立，消去，得.如图，设，则，由根与系数的关系可得，，因为在抛物线上，所以.因为，所以.所以（2）设直线与轴交于点，令，则，即.因为，所以，解得.【点睛】本题主要考查的是直线与抛物线的位置关系，一般要用到根与系数关系，有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过焦点，可以直接利用公式，若不过焦点，则必须用一般的弦长公式，是中档题.22.已知直线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于，两点，求线段的长．【答案】（Ⅰ），.（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）消去参数可得直线的普通方程，将，代入极坐标方程可得曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）将直线的参数方程代入抛物线方程，根据参数的几何意义将和韦达定理相结合即可得结果.【详解】（Ⅰ）将为参数消去参数可得，即，故直线的普通方程为．由可得，把，代入上式，可得，即，故曲线的直角坐标方程为．（Ⅱ）将代入，可得，设点，对应的参数分别为，，则，，所以，故线段的长为．【点睛】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理（含解析）说明：本试卷分为第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，共4页.考试时间120分钟，分值150分.注意事项：1.答题前，考生必须将自己的姓名，考号填写清楚，并将条形码粘贴到指定区域.2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清晰.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草纸，试题卷上答案无效.4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破，弄皱，不准使用涂改液，修正带，刮纸刀.第Ⅰ卷一、单项选择（每题5分，共计60分）1.用秦九韶算法求多项式当时的值时，（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将多项式进行整理变形，代值计算即可.【详解】因为故可得.故选：B.【点睛】本题考查秦九韶算法中的相关计算，属基础题.2.已知向量，且，则的值为（）A. 11B. 6C. 7D. 15【答案】A【解析】【分析】利用向量共线定理即可求出.【详解】向量，且，存在实数使得，，解得，.故选：.【点睛】本题追要考查是向量共线定理应用，考查了计算能力，及空间向量的应用，是基础题.3.执行如图所示的程序框图，输出的k值为A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的k的值.【详解】模拟程序的运行，可得，执行循环体，，不满足条件，执行循环体，；不满足条件,执行循环体，；满足条件，退出循环，输出的值为6，故选C.【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于常考题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.4.甲、乙两名运动员分别进行了5次射击训练，成绩如下：甲：6，7，8，8，10；乙：8，9，9，9，10.若甲、乙两名运动员的平均成绩分别用，表示，方差分别用，表示，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据平均数和方差的计算公式，分别求出两组数据的平均数和方差，即可进行选择.【详解】因为；；；故可得；.故选：D.【点睛】本题考查平均数和方差的计算，属基础题.5.某年级有学生560人，现用系统抽样的方法抽取一个容量为70的样本，把学生编号为1～560号，已知编号为20的学生被抽中，则样本中编号最小的是（）A. 004B. 005C. 006D. 007【答案】A【解析】分析】根据系统抽样等距抽样的特点，结合已知编号，即可求得结果.【详解】因为抽取容量为70的样本，故应该将全部人员分为70组，则抽样距离为8，又编号20是第三组，故最小编号是.又编号均是三位数，故最小编号是.故选：A.【点睛】本题考查系统抽样中编号的计算，属基础题.6.如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别是（）A. 12.5；12.5B. 13；13C. 13；12.5D. 12.5；13【答案】D【解析】分析：根据频率分布直方图中众数与中位数的定义和计算方法，即可求解频率分布直方图的众数与中位数的值.详解：由题意，频率分布直方图中最高矩形的底边的中点的横坐标为数据的众数，所以中间一个矩形最该，故数据的众数为，而中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于轴的直线横坐标，第一个矩形的面积为，第二个矩形的面积为，故将第二个矩形分成即可，所以中位数是，故选D.点睛：本题主要考查了频率分布直方图的中位数与众数的求解，其中频率分布直方图中小矩形的面积等于对应的概率，且各个小矩形的面积之和为1是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.7.设a，b∈R，那么“＞1”是“a＞b＞0”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：a＞b＞0，可推出，而当，时，例如取a=﹣2，b=﹣1，显然不能推出a＞b ＞0，由充要条件的定义可得答案．解：由不等式的性质，a＞b＞0，可推出，而当，时，例如取a=﹣2，b=﹣1，显然不能推出a＞b＞0．故是a＞b＞0的必要不充分条件．故选B．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．8.命题，的否定是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】按存在性命题的否定的规则写出即可.【详解】因命题为“，”，它是存在性命题，故其否定为：，选B.【点睛】全称命题的一般形式是：，，其否定为.存在性命题的一般形式是，，其否定为.9.若点到直线的距离比它到点的距离小1，则点的轨迹为（）A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线【答案】D【解析】【详解】依题意，点P到直线x＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹是抛物线10.已知双曲线的离心率为，且它的一个焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据离心率以及焦点到渐近线的距离，结合，解方程，从而求得曲线方程.【详解】设双曲线的一个焦点为，其中一条渐近线为，由点到直线的距离公式可得，解得；又因为，，解得.故选：D.【点睛】本题考查双曲线方程的求解，属基础题.11.斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列1，1，2，3，5，画出来的螺旋曲线.如图，白色小圆内切于边长为1的正方形，黑色曲线就是斐波那契螺旋线，它是依次在以1，2，3，5为边长的正方形中画一个圆心角为的扇形，将其圆弧连接起来得到的.若在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先计算出矩形的面积和阴影部分的面积，再根据几何概型的概率计算公式求得结果.【详解】因为矩形的边长为和5，故矩形面积；又阴影部分的面积为；故在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率.故选：D.【点睛】本题考查几何概型的概率计算，属基础题；本题的易错点是容易在计算阴影部分面积的时候出现计算错误.12.已知点为抛物线：的焦点. 若过点的直线交抛物线于，两点，交该抛物线的准线于点，且，，则（）A. B. 0 C. 1 D. 2【答案】B【解析】【分析】将长度利用相似转换为坐标关系，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理求得答案.【详解】易知：焦点坐标为，设直线方程为：如图利用和相似得到：，【点睛】本题考查了抛物线与直线的关系，相似，意在考查学生的计算能力.二、填空题（每空5分，共计20分）13.若“”为真命题，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】根据全称命题为真命题得到判别式，即可得到结论.【详解】若“”为真命题，则判别式，即，解得.故答案为：.【点睛】本题主要考查的是全称命题为真命题求参数的取值范围的应用，同时考查的是一元二次不等式的解法，是基础题.14.已知与之间的一组数据：21则与的线性回归方程为必过点___________.【答案】【解析】【分析】计算样本中心点，即可求得结果.【详解】由数据可知：；，故线性回归方程必过点.故答案为：.【点睛】本题考查线性回归直线方程的特点，属基础题.15.在极坐标系中，有点，则两点间的距离为___________.【答案】【解析】【分析】根据极坐标系中，两点之间的距离公式即可求得.【详解】设两点之间的距离为，则.故答案为：.【点睛】本题考查极坐标系中两点之间距离的求解，属基础题.16.下列命题中：①已知点，动点满足，则点的轨迹是一个圆；②已知，则动点的轨迹是双曲线；③两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1；④在平面直角坐标系内，到点和直线的距离相等的点的轨迹是抛物线；正确的命题是_________．【答案】①③【解析】【分析】根据轨迹方程的求解，以及双曲线的定义，相关系数的性质，结合选项进行逐一分析即可.【详解】①：设动点，由，故可得，整理得：，且，故该方程表示圆，则①正确；②：根据双曲线的定义，，则动点的轨迹只表示双曲线的左支，故②错误；③：根据相关系数性质，相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1，故③正确；④：因为点在直线上，故满足题意的点的轨迹为过点且垂直于直线的直线，故④错误.故答案为：①③.【点睛】本题考查轨迹方程的求解，以及相关系数的性质，属综合中档题.三、解答题（17题、18题、19题、20题、21题每题12分，22题10分，共计70分）17.设实数满足（其中），实数满足.（1）若，且为真，求实数的取值范围.（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求解一元二次不等式，解得命题对应的范围，结合均是真命题，即可求得；（2）根据题意，则是的必要不充分条件，根据集合之间的包含关系，求参数范围即可.【详解】（1）当时，解得，即为真时，实数取值范围是.若为真，则真，且真，所以实数的取值范围是.（2）是的充分不必要条件，即是的必要不充分条件，设，则，由得，，，又，则且，解得.所以实数的取值范围是.【点睛】本题考查由命题的真假求参数的范围，涉及由集合关系求参数范围的问题，属综合基础题.18.如图，正四棱柱中，，点在上，且.（1）证明平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出的坐标，通过计算数量积得出，，故平面；（2）求出平面的法向量，通过计算两平面的法向量的夹角得出法向量的夹角从而得出二面角的余弦值.【详解】以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系.依题设.，。

陕西省商洛市2019-2020学年高二上学期期末数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．命题“20,11x x ∀≥-≥-”的否定是（ ） A ．20,11x x ∀≥-<- B ．20,11x x ∀<-<- C ．20,1x x ∃≥-<-1D ．20,11x x ∃<-<-2．已知向量()2,3,1a =-，()1,2,4b =-，则a b +=（ ） A ．()1,1,5- B ．()3,5,3-- C ．()3,5,3-D ．()1,1,5--3．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c .若45A =︒，60B =︒，1a =，则b =（ ）A B C D 4．已知,,a b c 是任意实数，a b >，且0ab ≠，则下列结论不正确的是（ ）A ．2211a bc c >++ B ．33a b > C ．220a b a b->D ．22a b >5．若等差数列{}n a 的公差2d =，87:7:8a a =，则1a =（ ） A ．15-B ．28-C ．15D ．286．若椭圆22:143x y C +=，则该椭圆上的点到两焦点距离的最大，最小值分别为（ ）A ．3，1B ．22-C ．2，1D 17．命题“[]1,2x ∃∈，20x x a +-≤”为假命题，则a 的取值范围为（ ） A ．(),2-∞ B ．(),6-∞ C ．(],2-∞D ．(],6-∞8．如图，在三棱锥P ABC -中，点D ，E ，F 分别是AB ，PA ，CD 的中点，设PA a =，PB b =，PC c =，则EF =（ ）A ．111442a b c --B ．111442a b c -+ C ．111442a b c +-D ．111442a b c -++9．设x ∈R ，则ln 0x >的一个充分不必要条件是（ ） A．x >B ．0x > C ．1x >D ．1x <-10．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若123451111110a a a a a ++++=，则31a =，5S =（ ）A ．10B ．15C ．20D ．2511．已知,a b 为正数，2247a b +=，则 ） ABC．D ．212．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，P 为抛物线C 上一点，且P 在第一象限，当PF PK取得最小值时，点P 的坐标为（ ）A．12⎛⎝ B ．()1,2C．(2,D ．()4,413．已知双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的一条渐近线方程为3y x =，则该双曲线的离心率为__________.14．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3a =，c =，1cos 3C =，则b =______.15．设x ，y 满足约束条件20040x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的最大值是______.16．在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是线段1AC 上的一点，且11PC t AC =，若BPD ∠为锐角，则t 的取值范围是______.17．设a R ∈，p ：函数()2ln 41y x ax =++的定义域为R ，q ：函数2()4f x x x a=--在区间[]0,3上有零点.（1）若q 是真命题，求a 的取值范围； （2）若()p q ∨⌝是真命题，求a 的取值范围.18．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，已知cos sin C c B =+．（1）求角B 的值；（2）若2b =，且ABCABC 的周长． 19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，()112n n S a n -=-≥． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21log n n b a +=，求数列{}n n a b 的前n 项和n T ．20．如图.四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是直角梯形，BC AD ∥，AB AD ⊥，22AD BC ==，四边形11ABB A 和11ADD A 均为正方形.（1）证明；平面11ABB A ⊥平面ABCD ； （2）求二面角1B CD A --的余弦值. 21．已知函数()22()22f x ax a x a =-++.（1）若不等式()60f x x +≤的解集是(,2][1,)-∞--+∞，求a 的值； （2）当0a ≤时，求不等式()0f x ≤的解集.22．已知椭圆2222:1x y W a b+=(0a b >>)的左、右焦点分别是1F ，2F ，点P 为W 的上顶点，点Q 在W 上，227PF F Q =，且1167PF PQ ⋅=-. （1）求W 的方程；（2）已知过原点的直线1l 与椭圆W 交于C ，D 两点，垂直于1l 的直线2l 过1F 且与椭圆W 交于M ，N 两点，若26CD MN =，求2F CD S △.参考答案1．C 【解析】 【分析】利用全称命题的否定解答即得解. 【详解】所给命题为全称量词命题，故其否定为存在量词命题，同时要否定结论， 所以所给命题的否定为20,1x x ∃≥-<-1. 故选C 【点睛】本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 2．A 【解析】 【分析】根据向量加法的坐标运算直接得出结果. 【详解】()()()2,3,11,2,41,1,5a b +=-+-=-.故选：A. 【点睛】本题考查空间向量加法的坐标运算，属于简单题. 3．D 【解析】 【分析】由正弦定理求解即可. 【详解】因为sin sin a bA B=，所以1sin sin a B b A ===.故选：D本题主要考查了正弦定理解三角形，属于基础题. 4．D 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断即可. 【详解】若a b >，210c +>，则2211a bc c >++成立； 若a b >，则33a b >成立； 若a b >，则220a ba b ->成立； 若0b a <<，则22a b >不成立. 故选：D 【点睛】本题主要考查了由条件判断所给不等式是否正确，属于基础题. 5．B 【解析】 【分析】由题意可设87a k =，78a k =，根据等差数列的定义可得k 的值，从而可得7a 的值，根据176a a d =-即可得结果.【详解】设87a k =，78a k =，87782a a k k k -=-=-=，则2k =-. 即716a =-，故176161228a a d =-=--=-， 故选：B. 【点睛】本题考查等差数列首项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列定义的合理运用． 6．A【分析】根据题中椭圆方程求出椭圆基本量a ，b ，c ，然后根据a ，b ，c 的值求出椭圆上的点到两焦点距离的最大，最小值即可. 【详解】由题知2a =，b =所以1c ==，所以距离的最大值为3a c +=， 距离的最小值为1a c -=. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了椭圆上的点到焦点的距离最值，属于基础题. 7．A 【解析】 【分析】由于命题是假命题，可得其否定为真命题，然后可以建立关系即可求解. 【详解】∴命题“[]1,2x ∃∈，20x x a +-≤”为假命题,∴该命题的否定“[]1,2x ∀∈，20x x a +->”为真命题，即20x x a +->在[]1,2x ∈上恒成立，2y x x a =+-在[]1,2单调递增， min20y a ，解得2a <.故选：A. 【点睛】本题考查根据命题的真假求参数范围，属于中档题. 8．D 【解析】利用空间向量的加减运算以及数乘运算求解即可. 【详解】点D ，E ，F 分别是AB ，PA ，CD 的中点， 且PA a =，PB b =，PC c =，∴()11112224EF EP PC CF PA PC CD PA PC CA CB =++=-++=-+++()1111124442PA PC PA PC PB PC PA PB PC =-++-+-=-++111442a b c =-++.故选：D. 【点睛】本题主要考查了空间向量在立体几何中的应用.属于较易题. 9．A 【解析】 【分析】先求出不等式ln 0x >的解集，然后选择该集合的真子集即可. 【详解】由不等式ln 0x >可解得1x >，则ln 0x >的一个充分不必要条件表示的集合是不等式ln 0x >的解集的真子集， 则只有选项A 满足. 故选：A. 【点睛】本题考查与集合相关的充分条件和必要条件的判断，属于基础题. 10．A 【解析】 【分析】对已知等式左侧的式子一、五两项，二、四两项分别通分，结合等比数列的性质再和第三项通分化简可得521234531111110S a a a a a a ++++==，结合3a 的值进而可得结果.15123455242212345152433311111110a a a a a a a S a a a a a a a a a a a a a a ++++++++++=++===， 则510S =， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了等比数列的性质，利用性质化简是解题的关键，属于中档题. 11．D 【解析】 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】22114122222a b ⎛⎫++=⨯≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2241a b =+时，取得最大值.故选：D 【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，属于中档题. 12．B 【解析】 【分析】过点P 作PE 垂直于抛物线C 的准线，垂足为点E ，由抛物线的定义可得PE PF =，可得出cos cos PF PE KPE PKF PKPK==∠=∠，结合图形可知，当直线PK 与抛物线相切时，PKF ∠最大，则PF PK最小，设直线PK 的方程为()10x my m =->，将该直线方程与抛物线C 的方程联立，利用0∆=，求出方程组的解，即可得出点P 的坐标. 【详解】 如下图所示：过点P 作PE 垂直于抛物线C 的准线l ，垂足为点E ，由抛物线的定义可得PE PF =， 抛物线C 的准线为:1l x =-，则点()1,0K -， 由题意可知，//PE x 轴，则KPE PKF ∠=∠，cos cos PF PE KPE PKF PKPK==∠=∠， 由图形可知，当直线PK 与抛物线相切时，PKF ∠最大，则PF PK最小，设直线PK 的方程为()10x my m =->，将该直线方程与抛物线C 的方程联立214x my y x=-⎧⎨=⎩， 消去x 得2440y my -+=，216160m ∆=-=，0m >，解得1m =，则2440y y -+=， 解得2y =，此时，2214x ==，因此，点P 的坐标为()1,2.故选：B. 【点睛】本题考查根据抛物线上线段比的最值来求点的坐标，涉及抛物线定义的转化，解题的关键就是要抓住直线与抛物线相切这一位置关系来分析，考查数形结合思想的应用，属于中等题.13．3【解析】 【分析】 由渐近线方程得出3ab=，结合离心率公式即可得出答案.【详解】由题可得3a b =，故c e a ===.故答案为：3【点睛】本题主要考查了求双曲线的离心率，属于基础题. 14．3 【解析】 【分析】根据余弦定理可直接列出方程，解出即可. 【详解】由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，代入数据整理可得2230b b --=，解得3b =或1b =-（舍去）， 所以3b =. 故答案为：3. 【点睛】本题考查余弦定理解三角形，属于基础题. 15．8 【解析】 【分析】画出约束条件所表示的可行域，由z x y =+，即y x z =-+，把直线y x z =-+平移到可行域的A 点时，此时目标函数取得最大值，进而求解目标函数的最大值． 【详解】画出约束条件所表示的可行域，如图(阴影部分)所示， 又由z x y =+，即y x z =-+，把直线y x z =-+平移到可行域的A 点时，此时直线y x z =-+在y 轴上的截距最大，目标函数取得最大值， 又由040x y y -=⎧⎨-=⎩，解得(4,4)A ，所以目标函数的最大值为max 8z =. 故答案为：8. 【点睛】本题主要考查了利用线性规划求最大值问题，其中解答中正确画出约束条件所表示的平面区域，结合图象，平移目标函数确定最优解，即可求解目标函数的最大值，着重考查了推理与计算能力，属于较易题． 16．10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】如图，建立空间坐标系，设正方体的边长为1，设(),,P x y z ，写出点的坐标，代入已知条件，利用空间向量的数量积坐标公式求解即可得出结果. 【详解】如下图，建立空间坐标系，设正方体的边长为1，设(),,P x y z ，则()()()()10,0,0,1,1,1,1,0,0,0,1,0A C B D ， 由11PC t AC =，得01t ≤≤，()()11,1,11,1,111x tx y z t y t z t =-⎧⎪---=⇒=-⎨⎪=-⎩，则()(),1,1,1,,1PB t t t PD t t t =--=--，BPD ∠为锐角，0PB PD ∴⋅>，()()()2211103410t t t t t t t ∴-+-+->⇒-+>，则1t >或13t <， 又01t ≤≤， 故103t ≤<. 故答案为：10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题主要考查了利用空间向量的数量积坐标公式求解参数的问题.属于较易题. 17．（1）[]4,0-（2）{4a a <-或1}2a >- 【解析】（1）将函数的零点问题转化为两个函数的交点问题，从而得出a 的范围； （2）由判别式小于0得出p 中a 的范围，根据或命题的性质得出a 的范围. 【详解】解：（1）当q 是真命题时，24a x x =-在[]0,3x ∈上有解 即函数y a =与函数[]24,0,3y x x x =-∈有交点又[]24,0,3y x x x =-∈的值域为[]4,0-所以a 的取值范围为[]4,0-.（2）当p 是真命题时，由题意，2410x ax ++>在x ∈R 上恒成立， 则2(4)40a -<，则1122a -<<. 记当p 是真命题时，a 的取值集合为A ，则1122A a a ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭； 记当q ⌝是真命题时，a 的取值集合为B ，则{|4B a a =<-或}0a >， 因为()p q ∨⌝是真命题所以a 的取值范围是A B ={4a a <-或1}2a >-【点睛】本题主要考查了由命题为真命题求参数的范围，属于中档题. 18．（1）3B π=（2）周长为6．【解析】 【分析】（1cos sin sin A B C C B =+，结合三角形内角和，sin sin sin B C C B =，由商数关系即可得出角B 的值；（2）由三角形面积公式化简得出4ac =，再由余弦定理得出4a c +=，即可得出ABC 的周长.（1cos sin sin A B C C B =+． ∵A B C π++=，∴()sin sin A B C =+，代入得cos sin cos sin sin B C B C B C C B +=+，sin sin sin B C C B =．∵0C π<<，∴sin 0C ≠，tan B = 又∵0B π<<，∴3B π=．（2）∵1sin 2ABCSac B ===4ac = 由余弦定理得()22222cos 3b a c ac B a c ac =+-=+- ∴()22316a c b ac +=+=，∴4a c += ∴ABC 的周长为6． 【点睛】本题主要考查了正弦定理的边化角公式以及三角形面积公式，余弦定理，属于中档题. 19．（1）12n n a （2）()121n n T n =-⋅+【解析】 【分析】（1）根据n S 与n a 的关系得出数列{}n a 为等比数列，即可得出数列{}n a 的通项公式； （2）利用错位相减法求解即可. 【详解】解：（1）当2n =时，121S a =-，即2112a a =+=； 当2n ≥时，11n n S a -=-①，11n n S a +=-② 由②-①得11n n n n S S a a -+-=-，即1n n n a a a +=-，∴12n na a +=即34232a a a a ===，又212a a = ∴数列{}n a 为等比数列，公比为2，首项为1∴11122n n n a --=⋅=（2）由（1）可得12n n a +=，2log 2n n b n ==，12n n n a b n -=⋅， ∴01211222322n n T n -=⋅+⋅+⋅++⋅③()12312122232122n n n T n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅④③-④得()()2111212222212112nn nnnn T n n n -⋅--=++++-⋅=-⋅=-⋅--，∴()121nn T n =-⋅+． 【点睛】本题主要考查了利用n S 与n a 的关系求数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题.20．(1)证明见解析；(2)6【解析】 【分析】（1）证明1AA ⊥平面ABCD ，再利用面面垂直判定定理证明（2）由（1）知1AA ，AB ，AD 两两互相垂直，故以A 为坐标原点，AB ，A D ，1AA 所在直线分别为x ，y ，z 轴建系，求出两个半平面的法向量，再利用二面角的向量公式求解即可 【详解】（1）证明：因为四边形11ABB A 和11ADD A 均为正方形，所以1AA AD ⊥，1AA AB ⊥. 又AD AB A ⋂=，所以1AA ⊥平面ABCD .因为1AA ⊂平面11ABB A ，所以平面11ABB A ⊥平面ABCD .（2）（法—）由（1）知1AA ，AB ，AD 两两互相垂直，故以A 为坐标原点，AB ，A D ，1AA 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A ，1(2,0,2)B ，(2,1,0)C ，(0,2,0)D ，则(2,1,0)CD =-，1(0,1,2)CB =-.设(,,)m a b c =为平面1B CD 的法向量，则120,20,m CD a b m CB b c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩令1a =，则2b =，1c =，所以(1,2,1)m =.又因为1AA ⊥平面ABCD ，所以1(0,0,2)AA =为平面ABCD 的一个法向量.所以1cos ,6m AA 〈〉==因为二面角1B CD A --是锐角.所以二面角1B CD A --（法二）过B 作BH CD ⊥于H ，连接1B H . 由（1）知1BB ⊥平面ABCD ，则1BB CD ⊥， 而1BHBB B =，所以CD ⊥平面1BB H所以1B H CD ⊥从而1BHB ∠为二面角1B CD A --的平面角.12=⨯，即BH =.所以1B H ==故11cos 6BH BHB B H ∠==. 【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用． 21．（1）4-（2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据不等式的解集得出()22420ax a x a --+=的根，将其代入方程即可得出a 的值； （2）将不等式变形为(2)()0(0)ax x a a --≤≤，讨论参数a 的值，利用一元二次不等式的解法得出解集. 【详解】解：（1）∵不等式()60f x x +≤的解集是(][),21,-∞--+∞∴2-与1-是方程()22420ax a x a --+=的实根，且0a <则243220a a aa a ⎧-=-⎪⎪⎪=⎨⎪<⎪⎪⎩解得4a =-. （2）不等式()0≤f x 可化为(2)()0(0)ax x a a --≤≤ ①若0a =，则20x -≤，即0x ≥. ②若0a <，则22(2)()0()0()0ax x a a x x a x x a a a ⎛⎫⎛⎫--≤⇔--≤⇔--≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 方程2()0x x a a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭的解为x a =或2x a =，当2a a=，即a =R ； 当2a a >，即0a <<时，原不等式的解集为[)2,,a a ⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦；当2a a >，即a <(]2,,a a ⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭. 综上所述，原不等式的解集情形如下：当0a =时，解集为[)0,+∞；当0a <<时，解集为[)2,,a a⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦；当a =R ；当a <(]2,,a a ⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题主要考查了已知一元二次不等式的解集求参数以及分类讨论解一元二次不等式，属于中档题.22．（1）2214x y +=；（2【解析】 【分析】（1）设12(,0),(,0)F c F c -，由已知227PF F Q =，求得Q 的坐标为8,77c b ⎛⎫-⎪⎝⎭，代入椭圆方程，得2234c a =；再由1167PF PQ ⋅=-，求得222c b -=，结合222a b c =+，求出,a b 值，即可求得结论；（2）先讨论直线2l 斜率不存在和斜率为0的情况，验证不满足条件，设直线2l 的方程为(()0y k x k =≠，与椭圆方程联立，消元，由韦达定理和相交弦长公式，求出||MN ；再将直线1l 方程1=-y x k与椭圆联立，求出2CD ，由26CD MN =求出k 的值，进而求出||CD ，再求出点2F 到直线CD 的距离，即可求解. 【详解】（1）设椭圆W 的焦距为2c ，∵227PF F Q =， ∴Q 的坐标为8,77c b ⎛⎫-⎪⎝⎭.∵Q 在W 上，将8,77Q c b ⎛⎫- ⎪⎝⎭代人22221x y a b+=，得2234c a =.又∵1167PF PQ ⋅=-，∴()8816,777,c b c b ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭--， ∴222c b -=.又∵222a b c =+，∴24a =，21b =，W 的方程为2214x y +=.（2）当直线2l 的斜率不存在时，||2CD =，||4MN =，不符合题意； 当直线2l 的斜率为0时，||4CD =，||1MN =，也不符合题意. ∴可设直线2l的方程为(()0y k x k =≠,联立(22,1,4y k x xy ⎧=⎪⎨⎪+=⎩得()2222411240k x x k +++-=，则212241x x k -+=+，212212441k x x k -=+.()2241||41k MN k +==+.由221,1,4y x kx y ⎧=-⋅⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴()222161||4k CD k +=+.又∵26||||MN CD =，∴()()2222241161444k k k k ++=++，∴22k =，∴||CD =∵2F到直线CD的距离1d ==，∴2112F CD S =⨯⨯=△. 【点睛】本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

洛南中学2019-2020学年度第一学期期末考试高二数学（理）试题一、选择题1.抛物线22y x =的焦点坐标是（ ） A. 1(0,)2 B. 1(0,)2- C. 1(,0)2- D. 1(,0)22.命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是（ ）A. 0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠-B. 0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =-C. (0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-D. (0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =- 3.“2a b c +>”的一个充分条件是（ ）A. a c >或b c >B. a c >且b c <C. a c >且 b c >D. a c >或b c < 4.已知01x <<，则(33)x x -取最大值时x的值为（ ）． A. 13 B. 12C. 23D. 34 5.等差数列{}n a 中，已知公差12d =，且139960a a a L +++=，则123100a a a a ++++L 的值为（ ） A. 170 B. 150 C. 145 D. 1206.已知直线l 的方向向量为a r，平面α的法向量为n r ，若()1,1,1a =r ， ()1,0,1n =-r ，则直线l 与平面α的位置关系是（ ）A. 垂直B. 平行C. 相交但不垂直D. 直线l 在平面α内或直线l 与平面α平行 7.ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知22,2(1)b c a b sinA ==-,则A= A. 34π B. 3π C. 4π D. 6π 8.各项都是正数的等比数列{}n a 中，3241,,2a a a 成等差数列，则公比q 的值为（ ）A.B.C.D.9.已知,x y 满足2442x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤-⎩，则2x y -的取值范围是（ ）A. [6,0]-B. [5,1]--C. [6,1]-D. [5,0]-10.已知圆22(3)16x y -+=与抛物线22(0)y px p =>的准线相切，则p 的值为（ ）A. 1B. 2C. 12D. 411.若双曲线22221x y a b-=） A. y=±2x B.y= C. 12y x =±D. y x = 12.将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C ，有如下四个结论：①AC BD ⊥ ②ACD ∆是等边三角形 ③AB 与平面BCD 所成的角是60︒ ④AB 与CD 所成角为60︒，其中错误的结论个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题13.已知数列111112123123n+++++++L L L ，，，，，，则其前n 项的和等于______． 14.在ABC ∆中,2,3A a π∠=＝，则C ∠＝____________. 15.若21x a a x+≥-对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是___________. 16.已知命题:p 函数0.5()log (3)f x x =-的定义域为(,3)-∞，命题:q 若k 0<，则函数()k h x x =在()0,∞+上是增加的，则下列结论中错误的是_______①p q ∧真 ②p q ∨假 ③()p q ∨⌝假 ④()()p q ⌝∧⌝假三、解答题17.已知等差数列{}n a 满足32a =，前3项和392S =. （1）求{}n a 的通项公式（2）设等比数列{}n b 满足11b a =，415b a =，求{}n b 通项公式n b 及{}n b 的前n 项和n T .18.C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c．向量()m a =r 与()cos ,sin n =A B r平行． （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若a =2b =求C ∆AB 的面积．19.曲线C 上任意一点M 到定点(3,0)F 的距离比到直线1x =-的距离大2.（1）求曲线C 的方程；（2）过点F 且斜率为1的直线与曲线C 交于A 、B 两点，O 为坐标原点，求OAB ∆的面积. 20.如图，已知菱形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，2==AB AF ，060ADC ∠=.(1)求直线BF 与平面ABCD 的夹角；(2)求点A 到平面FBD 的距离.21.已知二次函数()f x 的二次项系数为a ，且不等式()2f x x >-的解集为（1，3）． （1）若方程()60f x a +=有两个相等的实数根，求()f x 的解析式；（2）若()f x 的最大值为正数，求a 的取值范围．22.已知椭圆M ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 且垂直于x 轴的焦点弦的弦长为221F 的直线l 交椭圆M 于G ，H 两点，且2GHF ∆的周长为2（1）求椭圆M 的方程；（2）已知直线1l ，2l 互相垂直，直线1l 过1F 且与椭圆M 交于点A ，B 两点，直线2l 过2F 且与椭圆M 交于C ，D 两点.求11AB CD+的值.。

洛南中学2019-2020学年度第一学期期末考试高二物理试题一、选择题（本题共13小题，每小题4分，共计52分；其中1-9为单项选择题，10-13为多项选择题，全部选对得4分，选对但不全得2分，有选错的得0分。

）1.关于电场，下列说法中正确的是( )A. E ＝F q，若q 减半，则该处电场强度为原来的2倍 B. E ＝k2Q r 中，E 与Q 成正比，而与r 2成反比 C. 在以一个点电荷为球心，r 为半径的球面上，各处的场强相同D. 电场中某点场强的方向就是该点所放电荷受到的静电力的方向【答案】B【解析】【详解】A 、电场强度是由电场本身决定，与放入的试探电荷无关，故q 减半后，电场强度保持不变，故A 错误；B 、根据2kQ E r=可知，在点电荷所形成的电场中，某一点的电场强度E 与场源电荷的电荷量Q 成正比，与该点到场源的距离的平方成反比，故B 正确； C 、由于电场强度是矢量，故根据2kQ E r =可知在以一个点电荷为球心，r 为半径的球面上，各处的场强大小相同但方向不同，故各处场强不同（方向不同），故C 错误；D 、电场中某点场强的方向就是该点所放正电荷受到的电场力的方向，与负电荷所受电场力的方向相反，故D 错误．故选B ．2.在磁场中，某点磁感应强度的方向应是（ ）A. 放入该点处的通电直导线所受磁场力的方向B. 放入该点处小磁针S 极的受力方向C. 运动的电荷在该点处所受到的洛伦兹力的方向D. 通过该点处磁感线的切线方向【答案】D【解析】【详解】A ．通电导线受力的方向与磁场方向相互垂直;故A 错误;B ．放在该点小磁针的N 极受力方向为磁感应强度的方向;故B 错误;C ．运动电荷在磁场中受到的洛仑磁力与磁场是相互垂直的;故C 错误;D ．磁感线的切线方向为该点的磁感应强度的方向;所以D 正确;3.某静电场中的电场线如图所示，带电粒子在电场中仅受电场力作用，其运动轨迹如图中虚线所示，由M 运动到N ，以下说法正确的是A 粒子必定带负电荷B. 粒子在M 点的加速度大于它在N 点的加速度C. 粒子在M 点的电势能小于它在N 点的电势能D. 粒子在M 点的动能小于它在N 点的动能【答案】D【解析】【详解】A.粒子在电场里做曲线运动，由曲线运动的规律可知，粒子受到的电场力指向轨迹的凹侧， 因电场线向右上方，则粒子一定带正电，故A 错误； B.电场线越密粒子受到的电场力越大，加速度越大，由图可知，M 点的电场线比N 点疏，则粒子在M 点的加速度小于它在N 点的加速度，故B 错误； CD. 粒子受到的电场力指向轨迹的凹侧，由M 运动到N ，电场力与位移夹角为锐角，则电场力做正功，电势能减小，动能增大，故D 正确C 错误。

2019～2020学年度陕西省商洛市洛南县高中二年级第一学期期末理科数学试题试题一、单选题1.抛物线22y x =的焦点坐标是( ) A.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭ D.1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭【试题参考答案】D解:由于抛物线焦点在x 轴上,开口向右,2p=2,故p/2=1/2,,因此选择D 2.命题“存在000(0,),ln 1x x x ∈+∞=-”的否定是( ) A.存在000(0,),ln 1x x x ∈+∞≠- B.存在000(0,),ln 1x x x ∉+∞=- C.任意(0,),ln 1x x x ∈+∞≠- D.任意(0,),ln 1x x x ∉+∞≠-【试题参考答案】C根据命题的否定的形式,即可得出结论. 【试题解答】“存在000(0,),ln 1x x x ∈+∞=-”的否定是 “任意(0,),ln 1x x x ∈+∞≠-”. 故选:C本题考查命题的否定,要注意特称量词和全称量词之间的转换,属于基础题. 3.“2a b c +>”的一个充分条件是( ) A.a c >或b c > B.a c >且b c <C.a c >且 b c >D.a c >或b c <【试题参考答案】C对于,A a c >或b c >,不能保证2a b c +>成立,故A 不对;对于,B a c >或b c <,不能保证2a b c +>成立,故B 不对;对于,C a c >且b c >,由同向不等式相加的性质知,可以推出2a b c +>,故C 正确;对于,D a c >或b c <,不能保证2a b c +>成立,故D 不对,故选C.4.已知01x <<,则(33)x x -取最大值时x 的值为( ).A.13B.12C.23D.34【试题参考答案】B分析:由()()3331x x x x -=-,利用基本不等式可得结果. 详解:∵01x <<,∴()()2133331324x x x x x x +-⎛⎫-=-≤⋅= ⎪⎝⎭,当且仅当12x =时取等号. ∴()33x x -取最大值34时x 的值为12. 故选B .点睛:本题主要考查利用基本不等式求最值,属于难题.利用基本不等式求最值时,一定要正确理解和掌握“一正,二定,三相等”的内涵:一正是,首先要判断参数是否为正;二定是,其次要看和或积是否为定值(和定积最大,积定和最小);三相等是,最后一定要验证等号能否成立(主要注意两点,一是相等时参数否在定义域内,二是多次用≥或≤时等号能否同时成立).5.等差数列{}n a 中,已知公差12d =,且139960a a a L +++=,则123100a a a a ++++L 的值为( ) A.170B.150C.145D.120【试题参考答案】C∵数列{a n }是公差为12的等差数列,∴数列{a n }中奇数项构成公差为1的等差数列, 又∵a 1＋a 3＋…＋a 97＋a 99=60,∴501a ＋50492⨯×1=60,1a =64952- ,123100 a a a a ++++L =110099110022a ⨯+⨯=145 故选C6.已知直线l 的方向向量为a r ,平面α的法向量为n r,若()1,1,1a =r , ()1,0,1n =-r,则直线l 与平面α的位置关系是( ) A.垂直B.平行C.相交但不垂直D.直线l 在平面α内或直线l 与平面α平行 【试题参考答案】D由0a n =r n r,即可判断出直线l 与平面α的位置关系. 【试题解答】∵110a n =-+=r rn , ∴a r ⊥n r,∴直线l 在平面α内或直线l 与平面α平行. 故选:D .本题考查平面法向量的应用、直线与平面位置关系的判定,考查推理能力与计算能力. 7.ABC V 中,角A,B,C 的对边分别是a,b,c,已知22,2(1)b c a b sinA ==-,则A= A.34π B.3π C.4π D.6π 【试题参考答案】C由余弦定理得:()2222222cos 22cos 21cos a b c bc A b b A b A =+-=-=-,因为()2221sin a b A =-,所以cos sin A A =,因为cos 0A ≠,所以tan 1A =,因为()0,A π∈,所以4A π=,故选C.余弦定理本题主要考查余弦定理的应用、同角三角函数的基本关系,是高考常考知识内容.本题难度较小,解答此类问题,注重边角的相互转换是关键,本题能较好地考查考生分析问题、解决问题的能力及基本计算能力等.8.各项都是正数的等比数列{}n a 中,3241,,2a a a 成等差数列,的值为( )B.12C.12或 【试题参考答案】A 根据已知条件3241,,2a a a 成等差数列,求出等比数列的公比,即可得结论. 【试题解答】设等比数列{}n a 公比为q ,3241,,2a a a 成等差数列, 2234222,0,10a a a q q q a q a q =+=+>∴+-=Q,()()334145112323411111a q q a a a q a q q q a a a q a q a q q +++=∴====+++.故选:A.本题考查等比数列基本量的运算,属于基础题.9.已知,x y 满足2442x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤-⎩,则2x y -的取值范围是( ) A.[6,0]-B.[5,1]--C.[6,1]-D.[5,0]-【试题参考答案】B作出满足条件的一元二次不等式组所表示的可行域,即可求出目标函数的取值范围. 【试题解答】作出可行域,如下图所示: 设2,2z x y y x z =-∴=-,当目标函数过(1,3)A -时,取得最小值5-, 当目标函数过()1,3B 时,取得最大值1-,2x y -的取值范围是[5,1]--.故选:B本题考查二元一次不等式组表示平面区域,以及求线性目标函数的范围,属于基础题. 10.已知圆22(3)16x y -+=与抛物线22(0)y px p =>的准线相切,则p 的值为( ) A.1B.2C.12D.4【试题参考答案】B根据抛物线的准线与x 轴负半轴垂直,求出圆满足条件的切线,即可求值.【试题解答】圆22(3)16x y -+=与x 轴负半轴垂直的切线是与1x =-, 即为抛物线的准线方程,所以2p =. 故选:B本题考查抛物线的标准方程,属于基础题.11.若双曲线22221x y a b-=则其渐近线方程为( )A.y=±2xB.y=C.12y x =±D.2y x =±【试题参考答案】B=渐进性方程为b y x a =±,计算得b a =故渐进性方程为y =.【考点定位】本小题考查了离心率和渐近线等双曲线的性质.12.将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C ,有如下四个结论:①AC BD ⊥ ②ACD ∆是等边三角形 ③AB 与平面BCD 所成的角是60︒ ④AB 与CD 所成角为60︒,其中错误的结论个数是( ) A.1B.2C.3D.4【试题参考答案】A设正方形的边长为1,取BD 中点O ,连接,AO CO ,根据已知条件可得OC ⊥平面ABD ,OA ⊥平面BCD ,可证BD ⊥平面AOC ,故AC BD ⊥为正确;由2OA OC ==,可求出1AC =,故ACD ∆是等边三角形为正确;0A ⊥平面BCD ,求出AB 平面BCD 所成角45o ,故③不正确;过D 作//,DE AB DE AB =,可求出120CDE ∠=o ,故④正确,可得结论.【试题解答】设正方形的边长为1,取BD 中点O ,连接,AO CO ,可得,,,OC BD OA BD OC OA O BD ⊥⊥=∴⊥I 平面AOC ,AC ⊂平面,AOC BD AC ∴⊥,①正确;正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C ,即平面ABD ⊥平面BCD ,OC BD ⊥,平面ABD ⋂平面BCD BD =, OC ∴⊥平面ABD ,同理OA ⊥平面BCD ,222,,12OC OA OC OA AC OA OC ∴⊥==∴=+=Q , 故ACD ∆为正三角形,故②正确;由OA ⊥平面BCD ,所以ABO ∠为AB 平面BCD 所成角, 而45ABO ∠=o ,故③不正确;过D 作//,DE AB DE AB =,连,CE OE ,则CDE ∠或补角为AB 与CD 所成角,在23,1,,24ODE DE OD EDO π∆==∠=, 由余弦定理得22225,32OE CE OE OC ==+=, 1DE CD ==,由余弦定理得2221cos 22CD DE CE CDE CD DE +-∠==-⋅,120CDE ∴∠=o ,AB 平面BCD 所成角为60o ,故④正确.故选:A本题考查平面图形翻折后空间图形的垂直关系,三角形形状判断,求空间角,属于中档题.二、填空题13.已知数列111112123123n+++++++L L L ，，，，，,则其前n 项的和等于______.【试题参考答案】21nn + 由题意可知此数列为1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭,将n S 代入,根据数列特点,将通项公式化简,利用裂项相消的求和方法即可求出前n 项和. 【试题解答】由题意可知此数列分母为以1为首项,以1为公比的等差数列的前n 项和, 由公式可得:()12n n n S +=,所以数列通项:()1211211n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭, 求和得:122111nn n ⎛⎫-=⎪++⎝⎭.本题考查数列通项公式与数列求和,当通项公式为分式且分母为之差为常数时,可利用裂项相消的方法求和,裂项时注意式子的恒等,有时要乘上系数.14.在ABC ∆中,2,3A a π∠=＝，则C ∠＝____________.【试题参考答案】6π 由正弦定理求出sin C ,即可求解. 【试题解答】1,sin ,sin 2a A C C =∴=∴=Q , 0,26C C ππ<<∴=.故答案为:6π本题考查正弦定理的应用,属于基础题. 15.若21x a a x+≥-对任意的(0,)x ∈+∞恒成立,则实数a 的取值范围是___________. 【试题参考答案】[1,2]-.21x a a x +≥-转化为2min 1()x a a x +≥-,求出min 1()x x+,解关于a 的不等式,即可求解.【试题解答】1(0,),2x x x∈+∞∴+≥Q ,当且仅当1x =时,等号成立,21x a a x+≥-对任意的(0,)x ∈+∞恒成立, 等价于22a a -≤,解得 12a -≤≤, 所以实数a 的取值范围是[1,2]-. 故答案为:[1,2]-本题考查不等式恒成立问题,利用等价转化思想转化为函数的最值与参数a 的关系,属于基础题.16.已知命题:p 函数0.5()log (3)f x x =-的定义域为(,3)-∞,命题:q 若k 0<,则函数()kh x x=在()0,∞+上是增加的,则下列结论中错误的是_______ ①p q ∧真 ②p q ∨假 ③()p q ∨⌝假 ④()()p q ⌝∧⌝假 【试题参考答案】②③判断命题,p q 均为真命题,根据“或、且、非”命题间的真假关系,可得②③错误. 【试题解答】因为0.5()log (3)f x x =-的定义域为(,3)-∞,命题p 为真; 根据反比例函数的图像特征可得命题q 为真;所以p q ∧为真,p q ∨为真,()p q ∨⌝为真,()()p q ⌝∧⌝为假. 故答案为: ②③本题考查复合命题的真假的判断,属于基础题.三、解答题17.已知等差数列{}n a 满足32a =,前3项和392S =. (1)求{}n a 的通项公式;(2)设等比数列{}n b 满足11b a =,415b a =,求{}n b 的前n 项和n T .【试题参考答案】(1)a n 12n += (2)n T =2n ﹣1. (1)先设等差数列{}n a 的公差为d ,根据题意求出首项与公差,即可求出结果;(2)先设等比数列{}n b 的公比为q ,根据题意求出公比,由求等比数列的求和公式,即可求出结果.【试题解答】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ,∵32a =,前3项和392S =. ∴122+=a d ,19332+=a d ,解得11a =,12d =. ∴111(1)22n n a n +=+-=.(2)设等比数列{}n b 的公比为q , 因为111b a ==,4158==b a ,所以38q =,解得2q =.∴{}n b 前n 项和212121-==--n n nT .本题主要考查等差数列与等比数列,熟记等差数列与等比数列的通项公式、求和公式即可,属于常考题型18.C ∆AB 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .向量()m a =r与()cos ,sin n =A B r平行.(Ⅰ)求A ;(Ⅱ)若a =2b =求C ∆AB 的面积.【试题参考答案】(Ⅰ)3π;(Ⅱ. 【试题解答】(1)根据平面向量//m n r r,列出方程,在利用正弦定理求出tan A 的值,即可求解角A 的大小;(2)由余弦定理,结合基本不等式求出bc 的最大值,即得ABC ∆的面积的最大值.试题解析:(1)因为向量()m a =r与()cos ,sin n =A B r平行,所以0asinB ＝,由正弦定理得sinAsinB －0sinBcosA ＝,又sin 0B ≠,从而tanA 由于0<A<π,所以A ＝3π.(2)由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ,而a ,b ＝2,A ＝3π, 得7＝4＋c 2－2c,即c 2－2c －3＝0, 因为c>0,所以c ＝3.故△ABC 的面积为12bcsinA ＝2. 平面向量的共线应用;正弦定理与余弦定理.19.曲线C 上任意一点M 到定点(3,0)F 的距离比到直线1x =-的距离大2. (1)求曲线C 的方程;(2)过点F 且斜率为1的直线与曲线C 交于A 、B 两点,O 为坐标原点,求OAB ∆的面积.【试题参考答案】(1)212y x =;(2).(1)把已知条件转为曲线C 上任意一点M 到定点(3,0)F 的距离等于到直线3x =-的距离相等,根据抛物线的定义,即可求出曲线C 的方程;(2)求出过点F 且斜率为1的直线方程,与抛物线方程联立,消元,得到一元二次方程,结合韦达定理,即可求出结论. 【试题解答】(1)曲线C 上任意一点M 到定点(3,0)F 的距离比到直线1x =-的距离大2. 则曲线C 上任意一点M 到定点(3,0)F 的距离等于到直线3x =-的距离, 曲线C 的轨迹就是以(3,0)F 为焦点,3x =-为准线的抛物线, 其方程为212y x =;(2)过点F 且斜率为1的直线方程为3y x =-,联立2123y xy x ⎧=⎨=-⎩,消去x ,得212360y y --=, 设11221212(,),(,),12,36A x y B x y y y y y ∴+==-,1213||2OAB S y y ∆∴=⨯⨯-==本题考查抛物线的定义求方程,考查抛物线与直线的位置关系,以及相交弦有关的面积问题,属于中等题.20.如图,已知菱形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直,2==AB AF ,060ADC ∠=.(1)求直线BF 与平面ABCD 的夹角; (2)求点A 到平面FBD 的距离. 【试题参考答案】(1)4π. (2) 25设AC BD O =I ,以O 点为坐标原点,以OD 为x 轴, OA 为y 轴,过O 点且平行于AF 的方向为z 轴正方向,建立空间坐标系,(1)由题意,求出直线BF 的方向向量,平面ABCD 的一个法向量,由向量夹角,即可得到直线与平面夹角;(2)先求出平面FBD 的一个法向量n r,由点A 到平面FBD 的距离⋅=u u u r rr AF n d n,即可求出结果. 【试题解答】设AC BD O =I ,因为菱形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直,所以易得AF ⊥平面ABCD ;以O 点为坐标原点,以OD 为x 轴, OA 为y 轴,过O 点且平行于AF 的方向为z 轴正方向,建立空间坐标系,(1)由已知得:(0,1,0)A ,(3,0,0)B ,(0,1,0)C -,3,0,0)D ,(0,1,2)F , 因为z 轴垂直于平面ABCD ,因此可令平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)m =u r ,又(3,1,2)BF =u u u r,设直线BF 与平面ABCD 的夹角为θ,则有2sin cos ,2122θ⋅=<>===⋅⋅u r u u u r u r u u u r ur u u u r m BF m BF m BF , 即4πθ=,所以直线BF 与平面ABCD 的夹角为4π. (2)因为(23,0,0)BD =u u u r ,3,1,2)BF =u u u r,设平面FBD的法向量为(,,)n x y z=r,2300320xBD nBF n x y z⎧⎧=⋅=⎪⇒⎨⎨⋅=++=⎪⎩⎩u u u v vu u u v v,令1z=得(0,2,1)n=-r,又因为(0,0,2)AF=u u u r,所以点A到平面FBD的距离22555AF ndn⋅===u u u r rr.本题主要考查求直线与平面所成的角,以及点到平面的距离问题,灵活运用空间向量的方法求解即可,属于常考题型.21.已知二次函数()f x的二次项系数为a,且不等式()2f x x>-的解集为(1,3).(1)若方程()60f x a+=有两个相等的实数根,求()f x的解析式;(2)若()f x的最大值为正数,求a的取值范围.【试题参考答案】(1)2163()555f x x x=---(2)a的取值范围是第一问利用∴()2(1)(3),f x x a x x+=--所以0a<①由方程②因为方程②有两个相等的根,所以第二问由及由解得解:(1)∴()2(1)(3),f x x a x x +=--所以0a <…………………………2分[来①由方程② ……………………4分因为方程②有两个相等的根,所以,即………………………6分 由于代入①得的解析式为……………………………8分(若本题没有舍去“1a =”第一小问得6分) (2)由及……………………………12分由解得故当的最大值为正数时,实数a 的取值范围是 (15)分22.已知椭圆M :22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,过2F 且垂直于x 轴的焦点弦的弦长为22过1F 的直线l 交椭圆M 于G ,H 两点,且2GHF ∆的周长为2(1)求椭圆M 的方程;(2)已知直线1l ,2l 互相垂直,直线1l 过1F 且与椭圆M 交于点A ,B 两点,直线2l 过2F 且与椭圆M 交于C ,D 两点.求11AB CD+的值.【试题参考答案】(1)22184x y +=(2)11AB CD +=分析:(1)根据周长确定a =由通径确定22b a=求得24b =,因而确定椭圆的方程。