2018届高三理科数学考前50天专题小练(核心考点3：判断三角形形状)

1．(2016·隆化期中)在△ABC 中，如果sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，那么cos C ＝________.2.(2016·银川月考)如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点间的距离为______________m.3．(2016·安庆检测)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c .若a 2－c 2＝3bc ，sin B ＝23sin C ，则A ＝________.4．(2016·苏北四市一模)在△ABC 中，已知AB ＝3，A ＝120°，且△ABC 的面积为1534，那么边BC 的长为________．5．(2016·常州一模)在△ABC 中，已知内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若tan A＝7tan B ，a 2－b 2c ＝3，则c ＝________.6．(2016·东营期中)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 表示△ABC 的面积，若a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，S ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则B ＝________.7．(2016·南京、盐城、徐州二模)如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，已知∠B ＝60°，AD ＝2，AC ＝10，DC ＝2，那么AB ＝________.8．已知点O 是△ABC 的外接圆圆心，且AB ＝3，AC ＝4.若存在非零实数x ，y ，使得AO→＝xAB →＋yAC →，且x ＋2y ＝1，则cos ∠BAC 的值为________． 9．△ABC 中，A 、B 、C 是其内角，若sin2A ＋sin(A －C )－sin B ＝0，则△ABC 的形状是________________三角形．10．(2016·惠州二调)在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且∠C ＝60°，c ＝3，则a ＋23cos A sin B＝________. 11．(2016·佛山期中)如图，一艘船以每小时15km 的速度向东航行，船在A 处看到一灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4h 后，船到达B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km.12．(2016·吉安期中)在△ABC 中，D 为BC 边上一点，若△ABD 是等边三角形，且AC ＝43，则△ADC 的面积的最大值为________．13．(2016·如东高级中学期中)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，a ＝8，b ＝10，△ABC 的面积为203，则△ABC 的最大角的正切值是________．14．(2016·南通二模)若一个钝角三角形的三个内角成等差数列，且最大边与最小边之比为m ，则实数m 的取值范围是________．答案精析1．－14 2.502 3.π6 4.7 5.46．45°解析 由正弦定理可知a cos B ＋b cos A ＝2R sin A cos B ＋2R sin B cos A ＝2R sin(A ＋B )＝2R sin C ＝c sin C ＝2R sin C ·sin C ，∴sin C ＝1，C ＝90°.∴S ＝12ab ＝14(b 2＋c 2－a 2)，解得a ＝b ，因此B ＝45°. 7.263解析 在△ADC 中，AD ＝2，AC ＝10，DC ＝2，则cos ∠ADC ＝－22，所以∠ADC ＝135°，从而在△ABD 中，∠ADB ＝45°.又因为∠B ＝60°，由正弦定理得AD sin B ＝AB sin ∠ADB ，即232＝AB 22，解得AB ＝263. 8.23解析 设线段AC 的中点为点D ，则直线OD ⊥AC .因为AO→＝xAB →＋yAC →，所以AO →＝xAB →＋2yAD →. 又x ＋2y ＝1，所以点O 、B 、D 三点共线，即点B 在线段AC 的中垂线上，则AB ＝BC ＝3.在△ABC 中，由余弦定理，得cos ∠BAC ＝32＋42－322×3×4＝23. 9．等腰或直角解析 因为sin2A ＋sin(A －C )－sin B＝sin2A ＋sin(A －C )－sin(A ＋C )＝2sin A cos A －2sin C cos A＝2cos A (sin A －sin C )＝0，所以cos A ＝0或sin A ＝sin C ，所以A ＝π2或A ＝C .故△ABC 为等腰或直角三角形．10．4解析 由正弦定理知a sin A ＝c sin C ＝2，所以a ＝2sin A ，代入得原式＝2sin A ＋23cos A sin B＝4·sin (A ＋60°)sin B ＝4.11．30 2解析 依题意有AB ＝15×4＝60，∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°，在△AMB 中，由正弦定理得60sin45°＝BM sin30°，解得BM ＝30 2.12．4 3解析 在△ACD 中，cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC ＝AD 2＋DC 2－482AD ·DC ＝－12，整理得AD 2＋DC 2＝48－AD ·DC ≥2AD ·DC ，∴AD ·DC ≤16，当且仅当AD ＝CD 时等号成立，∴△ADC 的面积S ＝12AD ·DC ·sin ∠ADC ＝34AD ·DC ≤4 3.13.533解析 由题意得203＝12×8×10×sin C ⇒sin C ＝32⇒C ＝π3或C ＝2π3(舍)，由余弦定理得c 2＝82＋102－2×8×10×12＝84，由三角形中大边对大角知角B 最大，则cos B ＝82＋84－1022×8×84＝384，所以tan B ＝533. 14．(2，＋∞)解析 设A 为钝角，C 为最小角，则A ＋C ＝120°，C ∈(0°，30°)，由正弦定理得m＝a c ＝sin A sin C ＝sin (120°－C )sin C ＝32tan C ＋12.而0＜tan C ＜33，∴1tan C ＞3，则m ＞2.。

真题演练集训1．将函数y＝sin错误!图象上的点P错误!向左平移s(s＞0)个单位长度得到点P′。

若P′位于函数y＝sin 2x的图象上，则（)A．t＝错误!,s的最小值为错误!B．t＝错误!，s的最小值为错误!C．t＝错误!，s的最小值为错误!D．t＝错误!，s的最小值为错误!答案：A解析:因为点P错误!在函数y＝sin错误!的图象上，所以t＝sin错误!＝sin错误!＝错误!.又P′错误!在函数y＝sin 2x的图象上，所以12＝sin 2错误!，则2错误!＝2kπ＋错误!或2错误!＝2kπ＋错误!，k∈Z，得s＝－kπ＋错误!或s＝－kπ－错误!，k∈Z。

又s>0，故s的最小值为错误!。

故选A.2．若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移错误!个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）A．x＝错误!－错误!(k∈Z）B ．x ＝错误!＋错误!（k ∈Z )C ．x ＝错误!－错误!（k ∈Z )D ．x ＝错误!＋错误!（k ∈Z ）答案:B解析：函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移错误!个单位长度，得到的图象对应的函数表达式为y ＝2sin 2错误!，令2错误!＝k π＋错误!（k ∈Z ），解得x ＝错误!＋错误!（k ∈Z ）,所以所求对称轴的方程为x ＝k π2＋错误!（k ∈Z )，故选B 。

3．将函数f (x ）＝sin 2x 的图象向右平移φ错误!个单位后得到函数g （x ）的图象．若对满足|f （x 1)－g (x 2）｜＝2的x 1，x 2，有｜x 1－x 2|min ＝错误!，则φ＝（ )A.错误!B.错误!C.错误!D.错误! 答案:D解析:因为g （x )＝sin 2（x －φ)＝sin （2x －2φ），所以|f （x 1）－g (x 2)|＝｜sin 2x 1－sin(2x 2－2φ)|＝2.因为－1≤sin 2x 1≤1，－1≤sin(2x 2－2φ）≤1，所以sin 2x 1和sin(2x 2－2φ）的值中,一个为1，另一个为－1，不妨取sin 2x1＝1，sin(2x2－2φ）＝－1，则2x1＝2k1π＋错误!，k1∈Z,2x2－2φ＝2k2π－错误!,k2∈Z，2x1－2x2＋2φ＝2(k1－k2）π＋π，（k1－k2）∈Z，得｜x1－x2|＝错误!.因为0〈φ<错误!，所以0<错误!－φ<错误!,故当k1－k2＝0时，|x1－x2|min＝错误!－φ＝错误!,则φ＝错误!，故选D.4．函数f（x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f（x)的单调递减区间为( ）A.错误!，k∈ZB.错误!，k∈ZC。

核心考点解读——解三角形1．（2017高考新课标Ⅰ，理17）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为23sin a A. （1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求ABC △的周长.2．（2017高考新课标Ⅱ，理17）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2sin 8sin 2B AC +=． （1）求cos B ；（2）若6a c +=，ABC △的面积为2，求b ．3.（2017新课标III ，理17）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，C ．已知sin 0A A =，a b =2.（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC,求△ABD 的面积.4.（2016高考新课标II ，理13）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A =45，cos C =513，a =1，则b = .5.（2016高考新课标III ，理8）在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =A B C ．- D ．-6.(2016高考新课标I ，理17)ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c = （I ）求C ；（II ）若c ABC △=的面积为2，求ABC △的周长． 7. (2015高考新课标Ⅰ，理16)在平面四边形ABCD 中，∠A =∠B =∠C =75°，BC =2，则AB 的取值范围是 . 8. (2015高考新课标Ⅱ，理17)ABC △中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD △面积是ADC △面积的2倍． (Ⅰ) 求sin sin BC∠∠；(Ⅱ)若1AD =，DC =BD 和AC 的长．1．在ABC △中,内角的对边分别为,若,则ABC △的面积为A ．3B ．C ．D ．2．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设ABC △的面积为S ，若22232a b c =+，则222Sb c +的最大值为________________．3．已知ABC △中,π2A =,角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、,点D 在边BC 上,1AD =,且BD =2,DC BAD ∠=2DAC ∠,则sin sin BC=__________． 4．我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法---“三斜求积术”，即ABC △的面积，其中a b c 、、分别为ABC △内角A B C 、、的对边.若2b =，且，则ABC △的面积S 的最大值为__________．5.在中，角 的对边分别为.（1）求角的大小； （2）若，求的面积.1. 在ABC △中,分别为内角的对边, 且,则A ．B ．C ．D ．2．已知ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且ABC △的面积S =b =，120B =o .（1）求b 、c 的值； （2）证明：tan 10S A =.真题回顾：1.（1）由题设得21sin 23sin a ac B A=，即1sin 23sin a c B A =.由正弦定理得1sin sin sin 23sin AC B A =.故2sin sin 3B C =. （2）由题设及（1）得1cos cos sin sin 2B C BC -=-，即1cos()2B C +=-.所以2π3B C +=，故π3A =. 由题设得21sin 23sin a bc A A=，即8bc =.由余弦定理得229b c bc +-=，即2()39b c bc +-=，得b c +=故△ABC的周长为3.2.（1）由题设及A B C ++=π，可得2sin 8sin 2BB =，故()sin 41cos B B =-． 上式两边平方，整理得217cos 32cos 150B B -+=，解得cos 1B =(舍去)，15cos 17B =． （2）由15cos 17B =得8sin 17B =，故14=sin 217△ABC S ac B ac =．又=2ABC S △，则172ac =．由余弦定理及6a c +=得：()()222217152c o s 21co217b ac acBa c =+-=+-+所以2b =． 3.（1）由已知可得tan A =2π3A =.在ABC △中，由余弦定理得22π2844cos 3c c =+-，即22240c c +-=.解得6c =- (舍去)，4c =.（2）由题设可得π2CAD ∠=，所以π6BAD BAC CAD ∠=∠-∠=.故ABD △面积与ACD △面积的比值为1πsin 26112AB AD AC AD ⋅⋅=⋅.又ABC △的面积为142sin 2BAC ⨯⨯∠=，所以ABD △4.2113【解析】因为45cos ,cos 513A C ==，且,A C 为三角形的内角，所以312sin ,sin 513A C ==，63sin sin[π()]sin()sin cos cos sin 65B AC A C A C A C =-+=+=+=，又因为sin sin a bA B=，所以s i n 21s i n 13a Bb A ==.5.C 【解析】设BC 边上的高为AD ，则3BC AD =，所以AC =，AB =．由余弦定理，知222222cos210AB AC BC A AB AC +-===-⋅，故选C ． 6.（I ）由已知及正弦定理得()2cos sin cos sin cos sin C ΑΒΒΑC +=，()2cos sin sin C ΑΒC +=． 故2sin cos sin C C C =．可得1cos 2C =，所以πC 3=．（II ）由已知，1sin 2ab C =．又π3C =，所以6ab =．由已知及余弦定理得，222cos 7a b ab C +-=．故2213a b +=，从而()225a b +=．所以ΑΒC △的周长为5【名师点睛】三角形中的三角变换常用到诱导公式,()()sin sin ,cos cos ,A B C A B C +=+=-()tan tan A B C +=-,这是常用的结论,另外利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式,常考虑对其实施“边化角”或“角化边”.【解析】如图,作△PBC ,使∠B =∠C =75°,BC =2,作直线AD 分别交线段PB 、PC 于A 、D 两点(不与端点重合),且使∠BAD =75°,则四边形ABCD 就是符合题意的四边形.过C 作AD 的平行线交PB 于点Q ,在△PBC 中,可求得BP =在△QBC 中,可求得BQ 所以AB 的取值范围为8.(Ⅰ)由题意，知1sin 2ABD S AB AD BAD =⋅∠△，1sin 2ADC S AC AD CAD =⋅∠△，因为2ABD ADC S S =△△，BAD CAD ∠=∠，所以2AB AC =．由正弦定理可得sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠．(Ⅱ)因为::ABD ADC S S BD DC =△△，所以BD =ABD △和ADC △中，由余弦定理得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠．又AD =1，cos 2BD CD ADB ADC ==∠与∠互为相反数，所以 222222326AB AC AD BD DC +=++=．由(Ⅰ)知2AB AC =，所以1AC =．1．【答案】C 【解析】由可得,又因为,所以,所以ab=6,则.2．【答案】【解析】由22232a b c=+可得22223b ca+=，所以222222223cos22b cb cb c aAbc bc ++-+-===22263b cbc+≥=，所以tan2A==，当且仅当b=时取等号，所以2222sin sin tan22(2)12cos12S bc A bc A Ab c b c bc A===≤++．故222Sb c+的最大值为24．3．【答案】2【解析】由π2A=及2BAD DAC∠=∠可得BAD∠=π,3DAC∠=π6,由2BD DC=,令,2DC x BD x==则,因为1AD=,在ADC△中,由正弦定理可得1πsin sin6xC=,所以sin C=12x, 在ABD△中,πsin3sin2Bx==所以sinsinBC4．【答案】【解析】由题设可知，即，由正弦定理可得，所以，当242a a=⇒=时，5．【解析】（1）在中，，则，所以，所以，即，所以.（2）在中，，由余弦定理，得，所以，所以，.1.【答案】B【解析】因为,且,所以两式相减可得==,因为,所以,则2π3A=, 此时,则b=c,所以,故选B．2. 【解析】（1）由余弦定理2222cosb ac ac B=+-及b=，120B=o，得2227a a c ac=++，故2260a ac c --=，故(2)(3)a c a c -+=，故2c a =.又ABC △的面积为，所以21sin 2ac B a ==2a =，故b =4c =.（2）在ABC △中，由正弦定理sin sin a b A B =，得sin sin 14a A Bb ==，又120B =o，所以A 是锐角，故cos A ==，所以sin tan cos A A A ===因为S =，所以tan 10S A =.。

(时间：40分钟)1．给定性质：①最小正周期为π;②图象关于直线x ＝错误!对称，则下列四个函数中，同时具有性质①②的是（ ）A ．y ＝sin 错误!B ．y ＝sin 错误!C ．y ＝sin 错误!D ．y ＝sin ｜x ｜ 答案 B解析 注意到函数y ＝sin （）2x －π6的最小正周期T ＝错误!＝π，当x ＝错误!时，y ＝sin 错误!＝1，因此该函数同时具有性质①②。

2．函数y ＝2sin 错误!(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为（ ）A ．2－错误!B ．0C ．－1D ．－1－错误! 答案 A解析 ∵0≤x ≤9，∴－错误!≤错误!x －错误!≤错误!,∴sin 错误!∈错误!.∴y ∈,∴y max ＋y min ＝2－错误!。

3．函数f (x )＝tan ωx （ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝1所得的线段长为错误!，则f 错误!的值是( ）A．0 B．错误!C．1 D．错误!答案D解析由条件可知,f（x)的周期是错误!。

由错误!＝错误!，得ω＝4，所以f错误!＝tan错误!＝tan错误!＝错误!.4．函数y＝错误!的定义域为（)A．错误!B.错误!（k∈Z）C．错误!（k∈Z)D．R答案C解析∵cos x－错误!≥0，得cos x≥错误!，∴2kπ－错误!≤x≤2kπ＋错误!，k∈Z。

5．函数y＝2sin错误!(x∈）的递增区间是（)A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!答案A解析首先将函数化为y＝－2sin错误!(x∈)，令t＝2x－错误!，x增大,t增大，所以为求函数的增区间,须研究y＝2sin t的减区间．由错误!＋2kπ≤2x－错误!≤错误!＋2kπ，k∈Z得错误!＋kπ≤x≤错误!＋kπ，k∈Z，所以k＝0时得错误!，故选A。

6．函数y＝3－2cos错误!的最大值为________,此时x＝________.答案 5 错误!＋2kπ（k∈Z)解析函数y＝3－2cos错误!的最大值为3＋2＝5，此时x＋错误!＝π＋2kπ(k∈Z)，即x＝错误!＋2kπ（k∈Z）．7．若函数y＝cos错误!(ω∈N*）的一个对称中心是错误!，则ω的最小值是________．答案2解析由题意得ω×错误!＋错误!＝错误!＋kπ(k∈Z),ω＝6k＋2(k∈Z),∵ω∈N*,所以ω的最小值是2。

专题三三角函数及解三角形第1讲三角函数图象与性质、三角恒等变换(限时:45分钟)【选题明细表】知识点、方法题号同角三角函数关系式、诱导公式1,7三角恒等变换2,6,9三角函数图象与性质3,5,8,11综合应用4,10一、选择题1.(2017·河南天一大联考)若cos(-α)=,则cos(π-2α)等于( B )(A)(B)-(C)(D)-解析:cos(π-2α)=2cos2(-α)-1=-.故选B.2.(2017·云南民族中学三模)已知sin 2α=,则tan α+等于( A )(A)(B) (C) (D)4解析:由sin 2α=2sin αcos α=,可得sin αcos α=,所以tan α+=+==.故选A.3.(2017·成都实验外国语学校二诊)已知函数f(x)=sin2x+cos2x-,若将其图象向左平移(>0)个单位后所得的图象关于原点对称,则的最小值为( C )(A) (B) (C) (D)解析:函数f(x)=sin 2x+cos2x-=sin 2x+cos 2x=sin(2x+),将其图象向左平移(>0)个单位后,可得y=sin(2x+2+)的图象,若该函数图象关于原点对称,则2+=kπ,k∈Z,故的最小值为.故选C.4.(2017·云南昆明一模)已知常数ω>0,f(x)=-1+2sin ωx cos ωx+2cos2ωx图象的对称中心到对称轴的距离的最小值为,若f(x0)=,≤x0≤,则cos 2x0等于( D )(A)(B)(C)(D)解析:f(x)=-1+2sin ωxcos ωx+2cos2ωx,sin 2ωx+cos 2ωx=2sin(2ωx+)因为对称中心到对称轴的距离的最小值为,所以T=π.由T==π,可得ω=1.f(x0)=,即2sin(2x0+)=,因为≤x0≤,所以≤2x0+≤,又sin(2x0+)=>0,所以cos(2x0+)=-.那么cos 2x0=cos(2x0+-)=cos(2x0+)cos+sin(2x0+)sin=. 故选D.5. (2017·青海西宁二模)函数y=cos(ωx+)(ω>0,0<<π)为奇函数,其部分图象如图所示,A,B分别为最高点与最低点,且|AB|=2,则该函数图象的一条对称轴方程为( D )(A)x= (B)x=。

2018届高三理科数学微专题复习二（立体几何中的三角形）班级_________姓名_____________一、回顾教材直线与平面平行的判定定理：____________________________________________思考：证明这些平行、垂直关系的方法有哪些？1、如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点. （Ⅰ）证明：PB ∥平面AEC ；2、如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D E 、分别是1AB BB 、的中点，12AA AC CB AB ===. (1)证明：11//BC ACD 平面；3、如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，01,90,2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠= E 是PD 的中点. （Ⅰ）证明：直线//CE 平面PAB ；ABCDPEM1、等边三角形ABC 的边长为3，点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且满足AD DB =12CE EA =（如图3）．将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置，使二面角1A DE B --成直二面角，连结1A B 、1A C （如图4）．证明：1A D BCED ⊥平面2、如图5，在等腰直角三角形ABC 中，︒=∠90A ，6BC =，D E 、分别是AC AB 、上的点，CD BE ==O 为BC 的中点。

将ADE ∆沿DE 折起，得到如图6所示的四棱锥BCDE A -'，其中3='O A 。

证明：A O BCDE '⊥平面；3、如图，三棱柱111ABC A B C -中，011,,60CA CB AB AA BAA ==∠=.(1)证明：1AB AC ⊥；图6图5C DEA'OBA CB课后作业1、如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，//AD BC ，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点.（I ）证明：//MN PAB 平面2、如图三棱锥111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1AB B C ⊥.（Ⅰ） 证明：1AC AB =；3、如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，5AB =，6AC =，点E F 、分别在AD CD 、上，54AE CF ==，EF 交BD 于点H .将DEF ∆沿EF 折到'D EF ∆的位置10OD '=. （I ）证明：DH'⊥平面ABCD ；。

真题演练集训1．若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin 2α＝( ) A.725 B.15C ．－15D ．－725 答案：D解析：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin π4·sin α＝22(sin α＋cos α)＝35，所以sin α＋cos α＝325，所以1＋sin 2α＝1825，所以sin 2α＝－725，故选D. 2．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( ) A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2答案：B解析：解法一：由tan α＝1＋sin βcos β，得 sin αcos α＝1＋sin βcos β， 即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，π2－α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴由sin(α－β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α，得 α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2. 解法二：tan α＝1＋sin βcos β＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－βsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cot ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2 ＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β2， ∴α＝k π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β2，k ∈Z ∴2α－β＝2k π＋π2，k ∈Z . 当k ＝0时，满足2α－β＝π2，故选B. 3．已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0)，则A ＝________，b ＝________. 答案： 2 1解析：由于2cos 2x ＋sin 2x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，所以A ＝2，b ＝1.4．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＜α＜2π3，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π2的值． 解：(1)因为f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2. 又因为f (x )的图象关于直线x ＝π3对称， 所以2×π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，…. 因为－π2≤φ＜π2得k ＝0， 所以φ＝π2－2π3＝－π6. (2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2·α2－π6＝34， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝14.由π6＜α＜2π3得0＜α－π6＜π2， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6 ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154. 因此cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6 ＝14×32＋154×12＝3＋158. 课外拓展阅读给值求角忽视角的范围致误已知α，β为三角形的两个内角，cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，则β＝________. ∵0<α<π，cos α＝17， ∴sin α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫172＝437. 又∵sin(α＋β)＝5314， ∴cos(α＋β)＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫53142＝－1114. ∴sin β＝sin ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝32. 又∵0<β<π，∴β＝π3或2π3. (1)不能根据题设条件缩小α，β及α＋β的取值范围，在由同角基本关系式求sin(α＋β)时不能正确判断符号，产生两角解．(2)结论处应由cos β的值确定β的取值，由sin β确定结论时易出现两解而造成失误．因为0<α<π，cos α＝17，所以sin α＝1－cos 2α＝437，故π3<α<π2.又因为0<α＋β<π，sin(α＋β)＝5314<32，所以0<α＋β<π3或2π3<α＋β<π. 由π3<α<π2，知2π3<α＋β<π， 所以cos(α＋β)＝－1－sin2α＋β＝－1114， 所以cos β＝cos ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝12， 又0<β<π，所以β＝π3. π3答题启示利用三角函数值求角时，要充分结合条件，确定角的取值范围，再选取合适的三角函数进行求值，最后确定角的具体取值．。

2018版高考数学一轮总复习 第3章 三角函数、解三角形 3.3 三角函数的图象和性质模拟演练 理[A 级 基础达标](时间：40分钟)1．给定性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x ＝π3对称，则下列四个函数中，同时具有性质①②的是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6 B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6D ．y ＝sin|x |答案 B解析 注意到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的最小正周期T ＝2π2＝π，当x ＝π3时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π3－π6＝1，因此该函数同时具有性质①②.2．[2017·衡阳模拟]函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3答案 A解析 ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.∴y ∈[－3，2]，∴y max ＋y min ＝2－ 3.3．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝1所得的线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12的值是( )A ．0B ．33C ．1D ． 3答案 D解析 由条件可知，f (x )的周期是π4.由πω＝π4，得ω＝4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫4×π12＝tan π3＝ 3.4．[2017·南昌模拟]函数y ＝cos x －32的定义域为( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π6(k ∈Z ) C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z ) D ．R 答案 C 解析 ∵cos x －32≥0, 得cos x ≥32，∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z .5．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x (x ∈[0，π])的递增区间是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3 答案 A解析 首先将函数化为y ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6(x ∈[0，π])，令t ＝2x －π6，x 增大，t 增大，所以为求函数的增区间，须研究y ＝2sin t 的减区间．由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π，k ∈Z 得π3＋k π≤x ≤5π6＋k π，k ∈Z ，所以k ＝0时得⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6，故选A.6．函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为________，此时x ＝________.答案 53π4＋2k π(k ∈Z ) 解析 函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2k π(k ∈Z )，即x ＝3π4＋2k π(k ∈Z )． 7．若函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω∈N *)的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则ω的最小值是________．答案 2解析 由题意得ω×π6＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )，ω＝6k ＋2(k ∈Z )，∵ω∈N *，所以ω的最小值是2.8．[2017·郑州模拟]已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值为________．答案 32解析 因为f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，所以T 4≤π3，即π2ω≤π3.所以ω≥32，即ω的最小值为32. 9．设函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3.(1)求函数f (x )的定义域、周期和单调区间； (2)求不等式－1≤f (x )≤3的解集．解 (1)由x 2－π3≠π2＋k π(k ∈Z )，得x ≠5π3＋2k π(k ∈Z )，所以函数f (x )的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈R ，且x ≠5π3＋2k π，k ∈Z. 因为ω＝12，所以周期T ＝πω＝2π.由－π2＋k π<x 2－π3<π2＋k π(k ∈Z )，得－π3＋2k π<x <5π3＋2k π(k ∈Z )．所以函数f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋2k π，5π3＋2k π(k ∈Z )．(2)由－1≤tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3≤3，得－π4＋k π≤x 2－π3≤π3＋k π(k ∈Z )．解得π6＋2k π≤x ≤4π3＋2k π(k ∈Z )．所以不等式－1≤f (x )≤3的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪π6＋2k π≤x ≤4π3＋2k π，k ∈Z. 10．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<2π3的最小正周期为π.(1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间．解 ∵由f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)． (1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )，∴sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)， 展开整理得sin2x cos φ＝0， 由已知上式对∀x ∈R 都成立， ∴cos φ＝0.∵0<φ<2π3，∴φ＝π2.(2)f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝32，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝32.又∵0<φ<2π3，∴π3<π3＋φ<π，∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3， ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z .∴f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z .[B 级 知能提升](时间：20分钟)11．函数y ＝3cos(x ＋φ)＋2的图象关于直线x ＝π4对称，则|φ|的最小值是( )A ．π4B ．π3C ．π6D ．π2答案 A解析 由题意可知，π4＋φ＝k π，k ∈Z ，故φ＝k π－π4，k ∈Z .当k ＝0时，φ＝－π4，此时|φ|＝π4为最小值，选A.12．[2017·石家庄模拟]若f (x )＝2sin ωx ＋1(ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3上是增函数，则ω的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34解析 由2k π－π2≤ωx ≤2k π＋π2，k ∈Z ，得f (x )的增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k πω－π2ω，2k πω＋π2ω，k ∈Z .因为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3上是增函数，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω，π2ω.所以－π2≥－π2ω且2π3≤π2ω，所以ω∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34. 13．已知x ∈(0，π]，关于x 的方程2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝a 有两个不同的实数解，则实数a的取值范围为________．答案 (3，2)解析 令y 1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈(0，π]，y 2＝a ，作出y 1的图象如图所示．若2sin ( x ＋π3 )＝a 在(0，π]上有两个不同的实数解，则y 1与y 2应有两个不同的交点，所以3<a <2.14．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(0<ω<1,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，0对称．(1)求φ，ω的值； (2)求f (x )的单调递增区间；(3)x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π2， 求f (x )的最大值与最小值．解 (1)因为f (x )＝sin(ωx ＋φ)是R 上的偶函数，所以φ＝π2＋k π，k ∈Z ，且0≤φ≤π，则φ＝π2，即f (x )＝cos ωx .因为图象关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，0对称，所以ω×34π＝π2＋k π，k ∈Z ，且0<ω<1，所以ω＝23.(2)由(1)得f (x )＝cos 23x ，由－π＋2k π≤23x ≤2k π且k ∈Z 得，3k π－3π2≤x ≤3k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤3k π－3π2，3k π，k ∈Z .(3)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π2，所以23x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π3，当23x ＝0时，即x ＝0，函数f (x )的最大值为1， 当23x ＝－π2时，即x ＝－3π4，函数f (x )的最小值为0.。

真题演练集训1．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x答案：A解析：y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，最小正周期T ＝2π2＝π，且为奇函数，其图象关于原点对称，故A 正确；y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x ，最小正周期为π，且为偶函数，其图象关于⎝⎛⎭⎪⎫π4＋k π2，0对称，故B 不正确；C ，D 均为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，故C ，D 不正确．2．设函数f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ，则f (x )的最小正周期( ) A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关 D ．与b 无关，但与c 有关 答案：B解析：由于f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ＝1－cos 2x 2＋b sin x ＋c .当b ＝0时，f (x )的最小正周期为π；当b ≠0时，f (x )的最小正周期为2π.c 的变化会引起f (x )图象的上下平移，不会影响其最小正周期．故选B.3．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．5答案：B解析：因为x ＝－π4为函数f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，所以π2＝kT 2＋T4(k ∈Z ，T 为周期)，得T ＝2π2k ＋1(k ∈Z )．又f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，所以T ≥π6，k ≤112.又当k ＝5时，ω＝11，φ＝－π4，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上不单调；当k ＝4时，ω＝9，φ＝π4，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，满足题意，故ω＝9，即ω的最大值为9.4．函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________．答案：π ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋3π8，k π＋7π8(k ∈Z ) 解析：∵f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1 ＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋1 ＝12sin 2x －12cos 2x ＋32 ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋32，∴ 函数f (x )的最小正周期T ＝π. 令π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 解得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )，故函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋3π8，k π＋7π8(k ∈Z )．5．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x－3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上的单调性． 解：(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x＝cos x sin x －32(1＋cos 2x ) ＝12sin 2x －32cos 2x －32 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－32，因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π.当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增；当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，2π3上单调递减． 课外拓展阅读 三角函数的最值问题三角函数的最值问题是三角函数中最基本的问题，是历年高考考查的重点和热点内容，对于这类问题如果能找到恰当的方法，掌握其规律，就可以简捷地求解．前面考点3中介绍了两种类型，还有如下几种常见类型．1．y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 型函数的最值可将y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 中的sin x 看作t ，即令t ＝sin x ，则y ＝at 2＋bt ＋c ，这样就转化为二次函数的最值问题．但这里应注意换元前后变量的取值范围要保持不变，即要根据给定的x 的取值范围，求出t 的范围．另外，y ＝a cos 2x ＋b cos x ＋c ，y ＝a sin 2x ＋b cos x ＋c 等形式的函数的最值都可归为此类．设x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，2π3，求函数y ＝4sin 2x －12sin x －1的最值．令t ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，2π3→t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1→求得y ＝4t 2－12t －1的最值，即原函数的最值令t ＝sin x ，由于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，2π3，故t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.y ＝4t 2－12t －1＝4⎝⎛⎭⎪⎫t －322－10，因为当t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1时，函数单调递减， 所以当t ＝－12，即x ＝－π6时，y max ＝6；当t ＝1，即x ＝π2时，y min ＝－9.2．y ＝a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 型函数的最值可利用降幂公式⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x ＝1－cos 2x 2，cos 2x ＝1＋cos 2x 2，sin x cos x ＝sin 2x 2将y ＝a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 整理转化为y ＝A sin 2x ＋B cos 2x ＋C 求最值．求函数y ＝sin x (cos x －sin x )⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <π4的最大值．y ＝sin x (cos x －sin x ) ＝sin x cos x －sin 2x ＝12sin 2x －1－cos 2x2 ＝12(sin 2x ＋cos 2x )－12 ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－12.因为0<x <π4，所以π4<2x ＋π4<3π4，所以当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，y max ＝2－12.3．y ＝a sin x ＋cb cos x ＋d型函数的最值此类题目的特点是分子或分母中含有sin x 或cos x 的一次式的形式，一般可将其化为f (y )＝sin(ωx ＋φ)的形式，然后利用三角函数的有界性求其最值．求函数y ＝3cos x2＋sin x 的最值．由y ＝3cos x2＋sin x ，得y sin x －3cos x ＝－2y ，所以y 2＋3sin(x －φ)＝－2y (其中φ为辅助角)，所以sin(x －φ)＝－2yy 2＋3，又|sin(x －φ)|≤1， 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2y y 2＋3≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2y y 2＋32≤1， 解得－1≤y ≤1，故y max ＝1，y min ＝－1.4．y ＝a (sin x ±cos x )＋b sin x cos x ＋c 型函数的最值对于y ＝a (sin x ＋cos x )＋b sin x cos x ＋c ，令sin x ＋cos x ＝t ，t ∈，因为(sin x ＋cos x )2＝1＋2sin x cos x ，所以sin x cos x ＝t 2－12，则函数就变为y ＝at ＋b ·t 2－12＋c 的形式，因此，此类函数的最值也可通过换元转化为二次函数的最值问题．对于形如y ＝a (sin x －cos x )＋b sin x cos x ＋c 的函数也可采用同样的方法，另外，此类题目也应注意换元前后变量的取值范围要保持相同．求函数y ＝(4－3sin x )(4－3cos x )的最小值．y ＝16－12(sin x ＋cos x )＋9sin x cos x ， 令t ＝sin x ＋cos x ，则t ∈， 且sin x cos x ＝t 2－12，所以y ＝16－12t ＋9×t 2－12＝12(9t 2－24t ＋23)．故当t ＝43时，y min ＝72.5．通过换元转化为代数函数的最值通过换元的方法将三角函数的最值问题转化为代数函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性等求函数的最值．已知x ∈(0，π)，求函数y ＝3sin x1＋3sin 2x 的最大值．令sin x ＝tt→转化为求代数函数y ＝31t＋3t的最值→利用基本不等式求最值 令sin x ＝t (0<t ≤1)， 则y ＝3t 1＋3t 2＝31t＋3t ≤321t·3t＝12， 当且仅当t ＝33时等号成立．故y max ＝12. 已知x ∈(0，π)，求函数y ＝sin x ＋2sin x 的最小值．令sin x ＝t (0<t ≤1)，然后求导，利用函数的单调性求最值． 设sin x ＝t (0<t ≤1)， 则原函数可化为y ＝t ＋2t，因为y ′＝1－2t 2＝t 2－2t 2＝t －2t ＋2t2， 所以当0<t ≤1时，y ′<0，则y ＝t ＋2t在(0,1]上为减函数，所以当t ＝1时，y min ＝3.即函数y ＝sin x ＋2sin x 的最小值是3.温馨提示y ＝sin x ＋asin x型三角函数求最大值时，当sin x >0，a >1时，不能用基本不等式求最值，宜用函数在区间上的单调性求解．。