2.4矩阵的秩详解ppt课件
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2.4矩阵的秩 第二章矩阵的初等变换与线性方程组 线性代数 课件
r3 5 r4 r3
1 2 2 1 1 0 0 2 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
R ( A ) 2 , R ( B ) 3 .
三、小结
1. 矩阵秩的概念 2. 求矩阵秩的方法 (1)利用定义 (即寻找矩阵中非零子式的最高阶数); (2)初等变换法
(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行 阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).
1.5、矩阵秩的概念
任何矩A阵 mn ,总可经过有限次变初换等 把它变为梯 行形 阶，行 梯阶 形矩阵中非零行 数是唯一确. 定的
定义1 在mn矩阵A中任取k行k列（km, kn），位于这些行列交叉处的k2 个元素,不改 变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式， 称为矩阵A的k阶子式.
m n矩A 阵 的 k阶子C m k 式 •C n k个 共 .
例1
求矩阵 A12
2 3
35的秩 .
4 7 1
解
在 A 中，1
2 0.
23
又 A的 3阶子式只 A， 且 有A一 0，个
R (A )2.
Байду номын сангаас另解
对矩A 阵
1 0
3 2
2 1
32做初等变换
2 0 1 5
1 3 2 2 1 3 2 2 0 2 1 3~0 2 1 3,
2 0 1 5 0 0 0 0
1 6 4 1 4 0 4 3 1 1 0 12 9 7 11 0 16 12 8 12
1 6 4 1 4
r3 3r2
0
4
3
1 1
r4 4r2
0 0
0 0
0 0
4 8 4 8
r4 r3
矩阵的秩及其求法课件
矩阵的秩及其求法课件
目 录
• 矩阵的秩的定义 • 矩阵的秩的求法 • 矩阵的秩的应用 • 矩阵的秩的特殊情况 • 矩阵的秩的注意事项
矩阵的秩的定义
01
秩的定义
秩
一个矩阵的秩是其行向量组或列向量组的一个最大线性无关组中所含向量的个数。
定义中的关键词
线性无关、最大、个数。
秩的性质
性质1
矩阵的秩是其行向量组的秩或列向量组的秩，即r(A)=r(A 的行向量组)=r(A的列向量组)。
矩阵的秩的特殊情
04
况
零矩阵的秩
要点一
总结词
零矩阵的秩总是为0。
要点二
详细描述
对于任何n阶零矩阵，其秩都为0，因为零矩阵其行列式值。
详细描述
对于n阶方阵A，其秩r(A)等于其行列式值|A|，当且仅当 A是满秩矩阵时。
特殊矩阵的秩
总结词
特殊矩阵的秩可以通过其元素性质计算。
详细描述
对于一些具有特定元素性质的矩阵，如上三 角矩阵、下三角矩阵、对角矩阵等，其秩可
以通过元素的性质直接计算得出。
矩阵的秩的注意事
05
项
秩的计算与误差
计算方法
矩阵的秩可以通过多种方法计算，如行初等变换法、 列初等变换法、子式法等。
误差控制
在计算过程中，应尽量减少误差，确保结果的准确性 。
精度要求
方法2
初等列变换法。通过初等列变换将矩阵化为阶梯形矩阵，阶梯形矩阵中非零行的行数即为 原矩阵的秩。
方法3
利用子式求秩。一个n阶矩阵的秩等于其所有n阶子式的秩，而n阶子式的秩又等于其所有 元素的最高次幂系数乘积不为0时的最高阶数。
矩阵的秩的求法
02
行列式法
目 录
• 矩阵的秩的定义 • 矩阵的秩的求法 • 矩阵的秩的应用 • 矩阵的秩的特殊情况 • 矩阵的秩的注意事项
矩阵的秩的定义
01
秩的定义
秩
一个矩阵的秩是其行向量组或列向量组的一个最大线性无关组中所含向量的个数。
定义中的关键词
线性无关、最大、个数。
秩的性质
性质1
矩阵的秩是其行向量组的秩或列向量组的秩，即r(A)=r(A 的行向量组)=r(A的列向量组)。
矩阵的秩的特殊情
04
况
零矩阵的秩
要点一
总结词
零矩阵的秩总是为0。
要点二
详细描述
对于任何n阶零矩阵，其秩都为0，因为零矩阵其行列式值。
详细描述
对于n阶方阵A，其秩r(A)等于其行列式值|A|，当且仅当 A是满秩矩阵时。
特殊矩阵的秩
总结词
特殊矩阵的秩可以通过其元素性质计算。
详细描述
对于一些具有特定元素性质的矩阵，如上三 角矩阵、下三角矩阵、对角矩阵等，其秩可
以通过元素的性质直接计算得出。
矩阵的秩的注意事
05
项
秩的计算与误差
计算方法
矩阵的秩可以通过多种方法计算，如行初等变换法、 列初等变换法、子式法等。
误差控制
在计算过程中，应尽量减少误差，确保结果的准确性 。
精度要求
方法2
初等列变换法。通过初等列变换将矩阵化为阶梯形矩阵，阶梯形矩阵中非零行的行数即为 原矩阵的秩。
方法3
利用子式求秩。一个n阶矩阵的秩等于其所有n阶子式的秩，而n阶子式的秩又等于其所有 元素的最高次幂系数乘积不为0时的最高阶数。
矩阵的秩的求法
02
行列式法
2-4矩阵的秩
（3）非零常数k乘以第i行后加到第j行上
1 1 显然， 3 中的行向量组 A i i 可以由 A 的行向量组线性表示 rj kri A A3 j j k i 而 A 的行向量组可以由 A 中的行向量组线性表示。 3 m m
0 r ( A) min m , n
当r(A)=m，A的行向量组一定线性无关，称A为行 满秩矩阵;当r(A)=n, A的列向量组一定线性无关， 称A为列满秩矩阵 行满秩矩阵和列满秩矩阵统称为满秩矩阵
例1 化矩阵A为等价标准形并求秩R A） （ . 1 2 1 4 A 2 5 3 5 1 1 6 7
r列
1 a12 0 a 22 0 am 2
a1n a2 n
1 0 0 0 1 0 ＝ 0 0 1 A 0 0 0 0 0 0
r列
T 1 T 2
a1 n a2n a in a mn
T m
T 2
T 1
T i
T m
向量组 , , …， 称为矩阵A的行向量组．
定义1：矩阵的行向量的秩，就称为矩阵的行秩; 矩阵的列向量的秩，就称为矩阵的列秩。
1 2 s
1
2
s
1
2
s
j k1 j k2 j k s j
1 2
s
则 A1 的列向量组 1, 2 , , n 中，对应的向量 j 可 由其中的 , , , 线性表示： j j j
线性代数课件第三章矩阵的秩课件
VS
矩阵的秩可以用于判断两个矩阵是否相似。如果两个矩阵相似，则它们的秩相同。
特征值和特征向量
矩阵的秩还可以用于确定矩阵的特征值和特征向量的个数。对于给定的矩阵，其秩等于其非零特征值的个数。
矩阵相似
矩阵的秩可以用于矩阵分解，如奇异值分解（SVD）和QR分解等。这些分解方法将一个复杂的矩阵分解为几个简单的、易于处理的矩阵，有助于简化计算和解决问题。
1 2 3 | 0 0 -3
7 8 9 | 0 0 0`
```
由于非零行的行数为2，所以矩阵B的秩为2。
题目3
求矩阵C=[1 -2 3; -4 5 -6; 7 -8 9]的秩。
解答
首先，将矩阵C进行初等行变换，得到行阶梯矩阵
```
继续进行初等行变换，得到
1 -2 3 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0
矩阵秩的应用
03
线性方程组的解
矩阵的秩可以用来判断线性方程组是否有解，以及解的个数。如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，则方程组有唯一解；否则，方程组无解或有无数多个解。
最小二乘法
矩阵的秩还可以用于最小二乘法，通过最小化误差平方和来求解线性方程组。最小二乘法的解就是使残差矩阵的秩等于其行数或列数的最小二乘解。
第四节 矩阵秩与矩阵的等价标准形
-9-
如果我们对矩阵
1 0 0 0
0 1 0 0
1 1
0 0
0 0 1 0
4 3 3 0
列变换
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
0 0 0 0
E3 0
0 0
定理3 (等价标准形定理)
-4-
二、秩的求法：
秩的基本定理 初等变换不改变矩阵的秩。
即: A ~ B, 则: r( A) r(B)
例1. 求下列矩阵的秩
3 2 1
(1)A 0 1 2
0 0 0
解:
3 (1)
2 30
01
1 2 4 3 (2)B 0 6 1 4
0 0 0 2 而 A 0 r( A) 2
r
0 4 3 1 1
0 0 0 4 8
0 0 0 0 0
r(A) 3
建议只用行变换
阶梯形不唯一
-7-
求 r(A) 和 r(A~) r[A | b]
例2
1 2 2 1 1
A
2 2
4 4
8 2
0 3
, b
2 3
r + 2 阶不为零的子式？ 如果 A 的所有 r 阶子式都等于零, A 的秩最
大可能是 多少? 没有
r -1
(5) r(A) = r(AT)? r(A) = r(AT)
满秩矩阵
(6) A为 n 阶可逆矩阵的充要条件是 r(A) = n
(7) A = O 的充要条件是 r(A) = 0
矩阵的秩及其求法ppt课件
2，求,
5 3 6
1 A 3
1
1 1
2 1 2 0
1
3
1 4
2 4
5 3 6 0 8 5 4
1 1 1 2 R( A) 2,
0 3 4 4 0 5 1 0
设
1 A 4
2 6
3 5
1
4
，共有C
2 3
C
2 4
18
Байду номын сангаас1 0 1 1
个二阶子式，有
C
3 4
C 33
4 个三阶子式。
12 3 而 D3 4 6 5 为 A 的一个三阶子式。
1 0 1
显然， m n 矩阵 A 共有 cmk cnk 个 k 阶子式。
ppt课件
3
2. 矩阵的秩
定义2 设 A
aij
，有r
mn
阶子式不为0，任何r+1阶
子式(如果存在的话)全为0 , 称r为矩阵A的秩，
记作R(A)或秩(A)。
二、矩阵秩的求法
1、子式判别法(定义)。
例1
B
1 0
12 为阶梯形矩阵，求R(B)。
解 由于 1 2 0 ，二阶子式不为0，所以 R(B) = 2. 01
ppt课件
4
例2
1 A 0
2 1
3 0
0 1
求R(A)。
0 0 1 0
解： 1 2 3 0 1 0 1 0 存在一个三阶子式不为0，
001
5
A没有4阶子式，所以 R(A) = 3.
ppt课件
线性代数课件第三章矩阵的秩
线性方程组的解 与矩阵的秩的关 系
利用矩阵的秩判 断线性方程组是 否有解
利用矩阵的秩求 解线性方程组的 步骤和方法
矩阵的秩在判断向量组线性相关性的应用
矩阵的秩与向量组 线性相关性的定义
矩阵的秩在判断向 量组线性相关性中 的应用
矩阵的秩与向量组 线性相关性的关系
矩阵的秩在解决实 际问题中的应用
矩阵的秩在求向量空间维数中的应用
汇报人：PPT
PPT,a click to unlimited possibilities汇报人Leabharlann PPT目录矩阵秩的定义
矩阵的秩的概念
矩阵秩的几何意义
矩阵秩的计算方法
矩阵秩的性质和定理
矩阵的秩的计算方法
定义：矩阵的秩是其行向量或列向量的最大线性无关组的个数
计算方法：通过初等行变换或初等列变换将矩阵化为阶梯形矩阵，然后数非零行数或非零列 数
利用初等列变换求矩阵的秩的证明
初等列变换的定义和性质
阶梯形矩阵的秩的计算方法
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
利用初等列变换将矩阵化为阶梯形 矩阵
证明利用初等列变换求矩阵的秩的 正确性
零矩阵的秩
零矩阵的定义：所 有元素都为0的矩 阵
零矩阵的秩为0
零矩阵与任何矩阵 相乘都等于0
零矩阵在数学中的 意义和作用
性质：矩阵的秩与行数和列数有关，且不超过行数和列数中的最小值
应用：矩阵的秩在解线性方程组、判断向量组的线性相关性等方面有重要应用
矩阵的秩的性质
矩阵的秩等于其行秩或列秩
矩阵的秩是其所有子矩阵的 秩的最大值
矩阵的秩是唯一的
矩阵的秩等于其转置矩阵的 秩
矩阵的秩在解线性方程组中的应用
矩阵的秩ppt课件
00
行
0
阶 梯 形 矩 阵
行
最 简
0
←r
行
形 矩 阵
定理1 任一矩阵的等价标准形唯一. >>>
矩阵的秩 如果矩阵 A 的等价标准形为
F
Er O
O O
那么称 F 中单位阵的阶数 r 为矩阵 A 的秩, 记为 R(A).
R( AB) R( A, AB) R( A,O) R( A)
类似可证 R( AB) R(B). 两式合起来, 即为
R(AB) min{R( A), R(B)}
定理2 若 Amn Bnl O, 则 R(A) R(B) n. 证明 存在可逆方阵 P, Q, 使
于是
§2.3 矩阵的秩
0
0
0
0 0
0
r
0 0
0 0
c
Er O
0 a1 00 00
0 a2 00
00
00
00
00
0 a11
00 00
0 0 a12
00
00
00
00
00
O
O
标准形矩阵
0 ar 00
0 0 0 0 a1r
PAQ
F
Er O
O O
,
r
R( A)
FQ1B PAQQ1B PAB O
记
Q1B
C D
,
其中C
行
0
阶 梯 形 矩 阵
行
最 简
0
←r
行
形 矩 阵
定理1 任一矩阵的等价标准形唯一. >>>
矩阵的秩 如果矩阵 A 的等价标准形为
F
Er O
O O
那么称 F 中单位阵的阶数 r 为矩阵 A 的秩, 记为 R(A).
R( AB) R( A, AB) R( A,O) R( A)
类似可证 R( AB) R(B). 两式合起来, 即为
R(AB) min{R( A), R(B)}
定理2 若 Amn Bnl O, 则 R(A) R(B) n. 证明 存在可逆方阵 P, Q, 使
于是
§2.3 矩阵的秩
0
0
0
0 0
0
r
0 0
0 0
c
Er O
0 a1 00 00
0 a2 00
00
00
00
00
0 a11
00 00
0 0 a12
00
00
00
00
00
O
O
标准形矩阵
0 ar 00
0 0 0 0 a1r
PAQ
F
Er O
O O
,
r
R( A)
FQ1B PAQQ1B PAB O
记
Q1B
C D
,
其中C
2.4 矩阵的秩
二、秩( A )求法 （1）子式判别法(定义)。 （2）用初等变换法求矩阵的秩。
依据 定理2.4.2 矩阵初等变换不改变矩阵的秩。 作法 A 行变换 阶梯形，秩(A)=阶梯数。
1 0 2 4 1 3 6 例3 A 2 1 1 1 2 1 0 2 4 1 0 2 4 r2 2 r1 0 1 1 2 0 1 1 2 ， 解 A r r 3 1 0 1 1 2 0 0 0 0
当A可逆时， 思考：
0 1 2 A E 1 1 4 2 1 3
AX B, XA B,
X ? X ?
XA B 1 X BA
1
Th2.3.3 A可逆 A可表成一系列初等方阵乘积。
证明：必要性: A可逆，则A-1可逆
设
Pm P2 P1
-1
-1
设A是 m n 矩阵， P、Q 分别为m阶、 定理2.4.5 : n阶可逆矩阵， 则r(A)= r(PA)=r(AQ)=r(PAQ) r(AB) r(A), r(AB) r(B),即 定理2.4.6 : r(AB) min{r(A)，r(B)}。
例4 设 A a ij
mn
例6
0 1 2 1 1 设 A 1 1 4 ， B 1 ，A 2 X A B， 2 1 3 1
解
A
求X 。
1
2 X A B ，
A
1
2 X A A BA ，
A
0 A E 1 2
秩(A)=2
三、重要结论
定理2.4.3:
矩阵的秩课件
总结词
理解矩阵秩的定义
详细描述
矩阵的秩定义为线性无关的行向量或 列向量的最大数量。
总结词
掌握特殊矩阵的秩
详细描述
对于方阵，其秩等于其所有非零子 式的最高阶数；对于增广矩阵，其 秩等于其对应的系数矩阵的秩。
习题二：判断矩阵是否可逆
总结词
掌握判断矩阵可逆的方法
01
总结词
理解矩阵可逆的定义
03
总结词
掌握可逆矩阵的性质
秩也可以定义为矩阵中非零子 式的最高阶数。
秩的性质
秩具有传递性，即如果矩阵A的秩为r ，矩阵B的秩也为r，那么矩阵A+B的 秩也为r。
如果矩阵P和Q可逆，那么(P*Q)的秩 等于(Q*P)的秩，即 rank(P*Q)=rank(Q*P)。
秩的计算方法
利用初等行变换或初等列变换，将矩阵化为阶梯形矩阵，然后数阶梯形矩阵中非零行的数量即可得到 矩阵的秩。
THANKS
感谢观看
详细描述
构造法是一种直接证明方法，适用于能够具体构造出满足 条件的例子或反例的情况。在证明矩阵秩的性质时，构造 法可以通过构造一个具体的矩阵例子或反例，来证明命题 的正确性或错误性。
06
矩阵秩的习题与解答
习题一：求矩阵的秩
总结词
掌握求矩阵秩的方法
详细描述
通过初等行变换，将矩阵转化为行 阶梯形矩阵，非零行的行数即为矩 阵的秩。
归纳法
总结词
通过数学归纳法，证明对于所有自然数n，命题都成立。
详细描述
归纳法是一种通过有限步骤证明无限命题的方法。在证明矩阵秩的性质时，归纳法可以 通过从n=1开始，逐步推导归纳步骤，最终证明对于所有自然数n，命题都成立。
构造法
要点一
理解矩阵秩的定义
详细描述
矩阵的秩定义为线性无关的行向量或 列向量的最大数量。
总结词
掌握特殊矩阵的秩
详细描述
对于方阵，其秩等于其所有非零子 式的最高阶数；对于增广矩阵，其 秩等于其对应的系数矩阵的秩。
习题二：判断矩阵是否可逆
总结词
掌握判断矩阵可逆的方法
01
总结词
理解矩阵可逆的定义
03
总结词
掌握可逆矩阵的性质
秩也可以定义为矩阵中非零子 式的最高阶数。
秩的性质
秩具有传递性，即如果矩阵A的秩为r ，矩阵B的秩也为r，那么矩阵A+B的 秩也为r。
如果矩阵P和Q可逆，那么(P*Q)的秩 等于(Q*P)的秩，即 rank(P*Q)=rank(Q*P)。
秩的计算方法
利用初等行变换或初等列变换，将矩阵化为阶梯形矩阵，然后数阶梯形矩阵中非零行的数量即可得到 矩阵的秩。
THANKS
感谢观看
详细描述
构造法是一种直接证明方法，适用于能够具体构造出满足 条件的例子或反例的情况。在证明矩阵秩的性质时，构造 法可以通过构造一个具体的矩阵例子或反例，来证明命题 的正确性或错误性。
06
矩阵秩的习题与解答
习题一：求矩阵的秩
总结词
掌握求矩阵秩的方法
详细描述
通过初等行变换，将矩阵转化为行 阶梯形矩阵，非零行的行数即为矩 阵的秩。
归纳法
总结词
通过数学归纳法，证明对于所有自然数n，命题都成立。
详细描述
归纳法是一种通过有限步骤证明无限命题的方法。在证明矩阵秩的性质时，归纳法可以 通过从n=1开始，逐步推导归纳步骤，最终证明对于所有自然数n，命题都成立。
构造法
要点一
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第二章
第四节 矩阵的秩
一、矩阵秩的概念 二、矩阵秩的求法 三、小结
1
一、矩阵秩的概念
定义1 在 m n 矩阵 A中任取 k 行 k 列（k m, k n）, 位于这些行列交叉处的 k2个 元素,不改变它们在 A中所 处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵 A的 k 阶子式.
m n 矩阵 A 的 k 阶子式共有 Cmk Cnk 个.
4 7 1
解
在 A 中，1
2 0.
23
又 A的 3 阶子式只有一个 A，且 A 0，
R( A) 2.
4
例2
已知
A
1 0
3 2
2 1
2 3
，求该矩阵的秩．
2 0 1 5
解
1
3 2 0,
计算A的3阶子式，
02
1 3 2 1 3 2 3 2 2 1 2 2
0 2 1 00, 2 3 20, 1 3 00, 1 3 0,
定义2 若在矩阵 A中有一个不等于 0 的 r 阶子式 D， 且所有 r 1 阶子式（如果存在的话）全等于 0，那末 D 称为矩阵A的最高阶非零子式，数 r称为矩阵 A 的秩， 记作 R( A) .并规定零矩阵的秩等于零.
2
由定义可知m n 矩阵 A的秩 R( A) 是 A中非零 子式的最高阶数.
17
求 A 的一个最高阶子式 .
R( A) 3, 知A的最高阶非零子式为3阶 .
A的
3
阶子式共有C
3 4
C
3 5
40
个
.
考察A的行阶梯形矩阵，
记A (a1,a2 ,a3 ,a4 ,a5 ),则矩阵B (a1,a2 ,a4 )的行
阶梯形矩阵为 1
6
1
0 4 1
0 0 4 0 0 0
从而一个矩阵的秩是唯一确定的.
显然 R(Amn ) minm, n
R( AT ) R( A) 设 n 阶可逆矩阵 A， A 0, A 的最高阶非零子式为 A , R( A) n,
可逆矩阵的秩等于阶数，故称可逆矩阵 为满秩矩阵. 奇异矩阵为降秩矩阵.
3
例1
求矩阵
A
1 2
2 3
3 5
的秩.
11
任何矩阵 Amn , 总可以经过有限次初等行 变换把它变成阶梯形矩阵,再通过有限次初等列
变换便可化为标准形
Er 0
0 0
.
显然标准形中1的个数即为矩阵的秩 又初等变换不改变矩阵的秩， 且一个矩阵的秩是唯一确定的. 从而一个矩阵的标准形也是唯一的.
12
初等变换求矩阵秩的方法：
将矩阵用初等行变换变成阶梯形矩阵，阶梯 形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.
设A经初等列变换变为 B,也有R( A) R(B).
10
设 A 经初等列变换变为 B, 则 AT 经初等行变换变为BT , R( AT ) R(BT ),
且 R( A) R( AT ), R(B) R(BT ), R( A) R(B). 综上,若 A 经有限次初等变换变为B( 即
A ~ B),则 R( A) R(B). 证毕
8
对 (1),(2) 两种情形，显然B 中与 Dr 对应的 子式 Dr Dr 0,故 R(B) r.
对情形 (3)，
Dr ri krj ri k rj Dr kDˆ r ,
若Dˆ r 0, 因 Dˆ r 中不含第 i 行知 A 中有不含第i 行的 r 阶 非零子式, R(B) r.
7
当A ri rj B或 A rik B时， 在 B 中总能找到与Dr 相对应的子式 Dr ,. 由于Dr Dr 或 Dr kDr , 因此 Dr 0，从而 R(B) r.
当A ri krj B时，分三种情况讨论： （1）Dr中不含第i行； （2）Dr中同时含第i行和第j行； （3）Dr中含第i行但不含第j行；
9
若Dˆ r 0, 则 Dr Dr 0,也有 R(B) r. 若A经一次初等行变换变为 B，则 R( A) R(B).
又由于 B 也可经一次初等行变换变为 A,
故也有 R(B) R( A).
因此 R( A) R(B). 经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经 有限次初等行变换矩阵的秩仍不变．
R(B) 3
18
故 B 中必有 3 阶非零子式. 且共有 4 个. 计算B的前三行构成的子式
3 2 5 32 5 2 0 52 0 5 3 2 6 6 0 11
3 2 0 5 0
例4
设
A
3 2
2 0
3 1
6 5
13 ,
求矩阵
A的
1 6 4 1 4
秩，并求 A 的一个最高阶非零子式．
解 对A作初等行变换，变成阶梯形矩阵：
13
3 2 0 5 0
A
3 2
2 0
3 1
6 1 5 3
1 6 4 1 4
1 6 4 1 4
3 2 2 0
6
二、矩阵秩的求法
任何矩阵 Amn , 总可以经过有限次初等行 变换把它变成阶梯形矩阵.
阶梯形矩阵中非零行的行数是唯一确定的. 问题：经过变换矩阵的秩是否改变？
定理 1 若 A ~ B,则 R A RB.
证 先证明：若A经一次初等行变换变为B， 则R( A) R(B).
设 R( A) r，且 A 的某个 r 阶子式 Dr 0.
2 0 1 2 0 5 0 1 5 2 1 5
0.
RA 2.
5
2 1 1 3 2
例3
求矩阵
B
0 0
3 0
0 0
2 4
5 3
的秩.
0 0 0 0 0
解 Q B是一个阶梯形矩阵，其非零行有3行， B 的所有 4 阶子式全为零.
2 1 3 而 0 3 2 0, R(B) 3.
00 4
3 1
6 1 5 3
3 2 0 5 0
14
3 2 0 5 0
A
3 2
2 0
3 1
6 1 5 3
1 6 4 1 4
1 6 4 1 4
0 4 2 0
3 1
1 1 5 3
3 2 0 5 0
15
3 2 0 5 0
A
3 2
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0
3 1
6 1 5 3
1 6 4 1 4
1 6 4 1 4
0 4 0 12
3 9
1 1 7 11
0 16 12 8 12
16
1 6 4 1 4
0 4 0 0
3 0
1 1 4 8
0 0 0 4 8
1 6 4 1 4 0 4 3 1 1
0 0 0 0
0 0
4 8 0 0
由阶梯形矩阵有三个非零行可知 R( A) 3.
第四节 矩阵的秩
一、矩阵秩的概念 二、矩阵秩的求法 三、小结
1
一、矩阵秩的概念
定义1 在 m n 矩阵 A中任取 k 行 k 列（k m, k n）, 位于这些行列交叉处的 k2个 元素,不改变它们在 A中所 处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵 A的 k 阶子式.
m n 矩阵 A 的 k 阶子式共有 Cmk Cnk 个.
4 7 1
解
在 A 中，1
2 0.
23
又 A的 3 阶子式只有一个 A，且 A 0，
R( A) 2.
4
例2
已知
A
1 0
3 2
2 1
2 3
，求该矩阵的秩．
2 0 1 5
解
1
3 2 0,
计算A的3阶子式，
02
1 3 2 1 3 2 3 2 2 1 2 2
0 2 1 00, 2 3 20, 1 3 00, 1 3 0,
定义2 若在矩阵 A中有一个不等于 0 的 r 阶子式 D， 且所有 r 1 阶子式（如果存在的话）全等于 0，那末 D 称为矩阵A的最高阶非零子式，数 r称为矩阵 A 的秩， 记作 R( A) .并规定零矩阵的秩等于零.
2
由定义可知m n 矩阵 A的秩 R( A) 是 A中非零 子式的最高阶数.
17
求 A 的一个最高阶子式 .
R( A) 3, 知A的最高阶非零子式为3阶 .
A的
3
阶子式共有C
3 4
C
3 5
40
个
.
考察A的行阶梯形矩阵，
记A (a1,a2 ,a3 ,a4 ,a5 ),则矩阵B (a1,a2 ,a4 )的行
阶梯形矩阵为 1
6
1
0 4 1
0 0 4 0 0 0
从而一个矩阵的秩是唯一确定的.
显然 R(Amn ) minm, n
R( AT ) R( A) 设 n 阶可逆矩阵 A， A 0, A 的最高阶非零子式为 A , R( A) n,
可逆矩阵的秩等于阶数，故称可逆矩阵 为满秩矩阵. 奇异矩阵为降秩矩阵.
3
例1
求矩阵
A
1 2
2 3
3 5
的秩.
11
任何矩阵 Amn , 总可以经过有限次初等行 变换把它变成阶梯形矩阵,再通过有限次初等列
变换便可化为标准形
Er 0
0 0
.
显然标准形中1的个数即为矩阵的秩 又初等变换不改变矩阵的秩， 且一个矩阵的秩是唯一确定的. 从而一个矩阵的标准形也是唯一的.
12
初等变换求矩阵秩的方法：
将矩阵用初等行变换变成阶梯形矩阵，阶梯 形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.
设A经初等列变换变为 B,也有R( A) R(B).
10
设 A 经初等列变换变为 B, 则 AT 经初等行变换变为BT , R( AT ) R(BT ),
且 R( A) R( AT ), R(B) R(BT ), R( A) R(B). 综上,若 A 经有限次初等变换变为B( 即
A ~ B),则 R( A) R(B). 证毕
8
对 (1),(2) 两种情形，显然B 中与 Dr 对应的 子式 Dr Dr 0,故 R(B) r.
对情形 (3)，
Dr ri krj ri k rj Dr kDˆ r ,
若Dˆ r 0, 因 Dˆ r 中不含第 i 行知 A 中有不含第i 行的 r 阶 非零子式, R(B) r.
7
当A ri rj B或 A rik B时， 在 B 中总能找到与Dr 相对应的子式 Dr ,. 由于Dr Dr 或 Dr kDr , 因此 Dr 0，从而 R(B) r.
当A ri krj B时，分三种情况讨论： （1）Dr中不含第i行； （2）Dr中同时含第i行和第j行； （3）Dr中含第i行但不含第j行；
9
若Dˆ r 0, 则 Dr Dr 0,也有 R(B) r. 若A经一次初等行变换变为 B，则 R( A) R(B).
又由于 B 也可经一次初等行变换变为 A,
故也有 R(B) R( A).
因此 R( A) R(B). 经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经 有限次初等行变换矩阵的秩仍不变．
R(B) 3
18
故 B 中必有 3 阶非零子式. 且共有 4 个. 计算B的前三行构成的子式
3 2 5 32 5 2 0 52 0 5 3 2 6 6 0 11
3 2 0 5 0
例4
设
A
3 2
2 0
3 1
6 5
13 ,
求矩阵
A的
1 6 4 1 4
秩，并求 A 的一个最高阶非零子式．
解 对A作初等行变换，变成阶梯形矩阵：
13
3 2 0 5 0
A
3 2
2 0
3 1
6 1 5 3
1 6 4 1 4
1 6 4 1 4
3 2 2 0
6
二、矩阵秩的求法
任何矩阵 Amn , 总可以经过有限次初等行 变换把它变成阶梯形矩阵.
阶梯形矩阵中非零行的行数是唯一确定的. 问题：经过变换矩阵的秩是否改变？
定理 1 若 A ~ B,则 R A RB.
证 先证明：若A经一次初等行变换变为B， 则R( A) R(B).
设 R( A) r，且 A 的某个 r 阶子式 Dr 0.
2 0 1 2 0 5 0 1 5 2 1 5
0.
RA 2.
5
2 1 1 3 2
例3
求矩阵
B
0 0
3 0
0 0
2 4
5 3
的秩.
0 0 0 0 0
解 Q B是一个阶梯形矩阵，其非零行有3行， B 的所有 4 阶子式全为零.
2 1 3 而 0 3 2 0, R(B) 3.
00 4
3 1
6 1 5 3
3 2 0 5 0
14
3 2 0 5 0
A
3 2
2 0
3 1
6 1 5 3
1 6 4 1 4
1 6 4 1 4
0 4 2 0
3 1
1 1 5 3
3 2 0 5 0
15
3 2 0 5 0
A
3 2
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0
3 1
6 1 5 3
1 6 4 1 4
1 6 4 1 4
0 4 0 12
3 9
1 1 7 11
0 16 12 8 12
16
1 6 4 1 4
0 4 0 0
3 0
1 1 4 8
0 0 0 4 8
1 6 4 1 4 0 4 3 1 1
0 0 0 0
0 0
4 8 0 0
由阶梯形矩阵有三个非零行可知 R( A) 3.