江西省上饶市横峰中学、弋阳一中、铅山一中2020-2021学年高二数学上学期期中试题 理(统招班)

2020-2021学年江西省上饶市横峰中学、弋阳一中、铅山一中高二（统招班）上学期期中考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}2230A x x x =--≤，{}3,2,1,0,1,2B =---，则AB =（ ）A ．{}3,2,1---B ．1,0,1,2C ．{}1,2D ．{}2,1,0,1--【答案】B【分析】求出集合A ，利用交集定义能求出A B .【详解】{}{}223013A x x x x x =--≤=-≤≤，{}3,2,1,0,1,2B =---，因此，{}1,0,1,2A B ⋂=-. 故选：B.【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.2．已知向量a ，b 满足2=a ，1=b ，()-⊥a b b ，则a ，b 的夹角是（ ）. A ．π3B ．π6C ．2π3D ．5π6【答案】A【分析】先利用向量垂直的性质得到22||a b b b ⋅==，再计算cos θ的值，从而求得a 与b 的夹角θ的值．【详解】非零向量,a b 满足2=a ，1=b ， 且()a b b -⊥，则()0-⋅=a b b ，即22|1|a b b b ⋅===，所以2||11cos 212||||||||a b b a b a b θ⋅====⨯⨯⨯， 又[0θ∈，]π， 所以a 与b 的夹角为3πθ=．故选：A ．【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有垂直关系的向量表示，向量夹角大小的计算问题，属于基础题目．3．某企业一种商品的产量与单位成本数据如表：现根据表中所提供的数据,求得y 关于x 的线性回归方程为ˆ21yx =-,则a 值等于( ) A ．4.5 B ．5C ．5.5D ．6【答案】B【分析】由已知表格中的数据求得x 与y 的值,代入线性回归方程求解a 值. 【详解】由所给数据可求得∴ 23433x ++==, 103ay +=, 代入线性回归方程为ˆ21yx =-, 得102313a+=⨯-, 解得5a = 故选:B.【点睛】本题考查线性回归方程的求法,明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键,是基础题.4．已知ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若23A π=，2b =，且ABCa 的值为（ ）A ．12B ．8C ．D ．【答案】D【分析】根据已知条件，利用三角形面积公式求得c 的值，然后利用余弦定理求得a 的值.【详解】由题可得，1sin 2b c A ⨯⨯⨯=221c ⨯=⨯，∴2c =，又2222cos a b c bc A =+-=1448122⎛⎫+-⨯-= ⎪⎝⎭，∴a = 故选：D ．【点睛】本题考查三角形的面积公式和余弦定理的综合运用,属基础题.5．若sin cos 1sin cos 3αααα+=-，则tan α等于（ ）A ．2-B ．34C ．43-D ．2【答案】A【分析】根据弦化切，将原式化为关于正切的方程，求解，即可得出结果. 【详解】因为sin cos 1sin cos 3αααα+=-，所以tan 11tan 13αα+=-，即3tan 3tan 1αα+=-， 解得tan 2α.故选：A.【点睛】本题主要考查由弦化切求三角函数值，属于基础题型.6．总体由编号01，,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为A ．08B ．07C ．02D ．01【答案】D【解析】从第一行的第5列和第6列起由左向右读数划去大于20的数分别为：08,02,14,07,01，所以第5个个体是01，选D.【解析】此题主要考查抽样方法的概念、抽样方法中随机数表法，考查学习能力和运用能力.7．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B 等于（ ）A ．4B ．13C ．40D ．41【答案】C【分析】模拟程序运行的过程，分析循环体各变量的变化情况，可得答案 【详解】模拟程序运行，可得：1,0A B == 满足条件4,A ≤执行循环体，1,2B A ==； 满足条件4,A ≤执行循环体，4,3B A ==； 满足条件4,A ≤执行循环体，13,4B A ==； 满足条件4,A ≤执行循环体，40,5B A ==； 此时不满足条件4A ≤,退出循环，输出B 的值为40 故选：C8．《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ） A ．310πB ．320π C ．3110π-D ．3120π-【答案】D【解析】由题意可知：直角三角向斜边长为17，由等面积，可得内切圆的半径为：815381517r ⨯==⇒++落在内切圆内的概率为2331208152r ππ⨯==⨯⨯，故落在圆外的概率为3120π-9．连续掷两次骰子，分别得到的点数作为点P 的坐标，则点P 落在圆2215x y +=内的概率为A ．19B ．29C ．59D ．79【答案】B【分析】由抛掷两枚骰子得到点P 的坐标共有36种，再利用列举法求得点P 落在圆2215x y +=内所包含的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解．【详解】由题意知，试验发生包含的事件是连续掷两次骰子分别得到的点数作为点P 的坐标，共有6636⨯=种结果，而满足条件的事件是点P 落在圆2215x y +=内，列举出落在圆内的情况：（1，1）（1，2）（1，3）（2，1）（2，2）（2，3）（3，1）（3，2），共有8种结果， 根据古典概型概率公式，可得82369P ==，故选B ．【点睛】本题主要考查的是古典概型及其概率计算公式.，属于基础题．解题时要准确理解题意，先要判断该概率模型是不是古典概型，正确找出随机事件A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数，令古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．10．已知正项等比数列{}n a 中979a a =，若存在两项m a 、n a ，使2127m n a a a =，则116m n+的最小值为（ ） A ．5 B ．215C ．516D ．654【答案】A【分析】根据条件可先求出数列的公比，再根据2127m n a a a =可得出5m n +=，利用基本不等式即可求出116m n+的最小值. 【详解】正项等比数列中，2979a q a ==，所以3q =. 因为11222111127m n m n m n a a a q a q a qa --+-=⋅==，所以5m n +=.因为11611161161()()(17)17)5555n m m n m n m n m n +=++=++≥=， 当且仅当16n mm n=，即4n m =时取等号，因为m 、n *N ∈，所以1m =，4n =，所以116m n+的最小值为5. 故选：A.【点睛】本题考查等比数列的基本量的计算，考查利用基本不等式求最值，属于基础题. 11．在直角梯形ABCD 中， AB AD ⊥， //AD BC ， 22AB BC AD ===， ,E F 分别为BC ， CD 的中点，以A 为圆心， AD 为半径的圆交AB 于G ，点P 在弧DG 上运动（如图）.若AP AE BF λμ=+，其中λ， R μ∈，则6λμ+的取值范围是（ ）A ．2]B ．[1,2]C ．2,2]D ．[2,22]【答案】D【分析】建立如图所示的坐标系，则A （0，0），B （2，0），D （0，1），C （2，2），E （2，1），F （1，1.5），P （cos α，sin α）（0≤α2π≤），由AP =λAE +μBF 得，（cos α，sin α）＝λ（2，1）+μ（﹣1，32），λ，μ用参数α进行表示，利用辅助角公式化简，即可得出结论．【详解】解：建立如图所示的坐标系，则A （0，0），B （2，0），D （0，1），C （2，2），E （2，1），F （1，1.5）， P （cos α，sin α）（0≤α2π≤），由AP =λAE +μBF 得，（cos α，sin α）＝λ（2，1）+μ（﹣1，32） ⇒cos α＝2λ﹣μ，sin α＝λ32μ+⇒λ3184cos sin αα=+，1124sin cos μαα=-∴6λ+μ＝6（3184cos sin αα+）1124sin cos αα+-=2（sin α+cos α）＝2sin （4πα+）∵3444πππα⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，，∴sin （4πα+）21⎤∈⎥⎣⎦∴2sin （4πα+）∈[2，2]，即6λ+μ的取值范围是[2，2]．故选D ．【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查学生的计算能力，正确利用坐标系是关键．属于中档题．二、多选题12．已知直线m ，n ，平面α，β，给出下列命题正确的是（ ） A ．若m ⊥α，n ⊥β，且m ⊥n ，则α⊥β B ．若m // α，n // β，且m // n ，则α // β C ．若m ⊥α，n // β，且m ⊥n ，则α⊥β D ．若m ⊥α，n // β，且m // n ，则α⊥β 【答案】AD【分析】根据直线与平面平行，垂直的性质定理，判断定理，灵活判断，可以正确推导，也可以举反例说明．【详解】解：对于A ：若m α⊥，n β⊥，且m n ⊥可以判断αβ⊥是正确的，因为可以设两个平面的法向量为1n ，2n ，可得数量积为零，即12n n ⊥，所以可判断αβ⊥是正确的，故A 正确，对于B ：若//m α，//n β，且//m n ，则//αβ．不正确，如两个面相交，两个相交的墙面，直线m ，n 都平行于交线，也满足，//m α，//n β，所以B 不正确； 对于C ：若m α⊥，//n β，且m n ⊥，则有可能//αβ，不一定αβ⊥，所以C 不正确； 对于D ：若m α⊥，//n β，且//m n ，n α∴⊥，//n β，αβ∴⊥，故D 正确；故选：AD ．【点睛】本题考察了直线与平面的位置关系，熟练掌握好平行，垂直的定理即可判断，属于中档题．三、填空题13．已知向量a ，b 的夹角为60°，||1,||2a b ==，则2a b -=________. 【答案】2【分析】先根据已知条件计算数量积a b ⋅，再由()2222a ba b -=-计算，即得结果.【详解】因为向量a ，b 的夹角为60°，||1,||2a b ==，所以12cos601a b ⋅=⨯⨯︒=， 故()()2222222441444a ba ba ab b -=-=-⋅+=⨯-+=，22a b ∴-=.故答案为：2.【点睛】本题考查了数量积的定义和向量模长的计算，属于基础题.14．已知实数x ，y 满足12020x x y x y ≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =-的最大值为________．【答案】1【分析】先根据约束条件画出可行域，再根据可行域求目标函数的最大值即可.【详解】解：由约束条件12020x x y x y ≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，画出可行域，如图，有题意12x y x =⎧⎨=-+⎩，解得点(1,1)B ，根据图象可得，当目标函数过点(1,1)B 时，2z x y =-取得最大值211=1z =⨯-， 故答案为：1.【点睛】本题考查简单的线性规划、求线性目标函数的最值，是基础题.15．函数()sin cos 6f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的值域为______________.【答案】[]1,1-【分析】利用两角和与差的三角函数，化简已知表达式，再利用余弦函数的值域求出它的值域即可.【详解】解：函数()1sin cos sin cos sin cos 6226f x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵[]cos 1,16x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， ∴函数的值域为：[]1,1-. 故答案为：[]1,1-.【点睛】本题考查两角和与差的三角函数，余弦函数的值域，属于基本知识的考查. 16．已知等比数列{}n a 满足()143nn n a a n N*++=⋅∈，的前n 项和为nS，若不等式n n S ka ≥对于任意n *∈N 恒成立，则实数k 的取值范围是______.【答案】(],1-∞【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，利用等比数列的定义求出q 的值，结合等式143n n n a a ++=⋅可求得数列n a ，并计算出n S ，由n n S ka ≥可得131223n k -≤-⋅，求出数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最小值，即可求得实数k 的取值范围. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()1143nn n n a a q a ++=+=⋅，可得()1211143n n n n a a q a +++++=+=⋅，上述两式相除得()()111433143n n nn q a q q a +++⋅===+⋅，则1443n n n n a a a ++==⋅，得3n n a =， 所以，等比数列{}n a 的公比为3，首项也为3，则()111333132n n na S +--==-，由于n n S ka ≥，则11333123223n n n n n S k a +--≤==-⋅，所以数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭单调递增， 当1n =时，数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为111S a =，1k ∴≤. 因此，实数k 的取值范围是(],1-∞. 故答案为：(],1-∞.【点睛】本题考查数列不等式恒成立问题的求解，涉及等比数列通项公式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.四、解答题17．当0a ≤时，解关于x 的不等式()21330ax a x +--≤.【答案】答案见解析.【分析】将所求不等式变形为()()130ax x +-≤，对实数a 的取值进行分类讨论，结合二次不等式的求解方法可得出原不等式的解集.【详解】由()21330ax a x +--≤，可得()()130ax x +-≤.①当0a =时，原不等式即30x -≤，解得3x ≤； ②当0a <时，()()130ax x +-≤. 方程()()130ax x +-=的两根为110x a=->，23x =. 当13a =-时，原不等式即()21303x --≤，即()230x -≥，解得x ∈R ； 当103-<<a 时，13a ->，解原不等式得1x a ≥-或3x ≤；当13a <-时，13a -<，解原不等式得3x ≥或1x a≤-.综上，当0a =时，原不等式的解集为{}3x x ≤； 当13a =-时，原不等式的解集为R ； 当103-<<a 时，原不等式的解集为{3x x ≤或1x a ⎫≥-⎬⎭；当13a <-时，原不等式的解集为1x x a⎧≤-⎨⎩或}3x ≥. 【点睛】本题考查含参二次不等式的求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题. 18．已知ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足关系式=. （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若3a b +=，2c =，求ABC 的面积.【答案】（Ⅰ）23π；.【分析】（Ⅰ）由正弦定理边化角可得sin sin )cos sin A B A B C C+=，化简整理可得：sin C C = （Ⅱ）根据余弦定理得22242cos3a b ab π=+-，化简求值可得5ab =，代入面积公式即可得解.【详解】（Ⅰ）由正弦定理得sin sin )cos sin A B A B C C+=，化简得sin (sin )A C C A =，∵sin 0A ≠，∴sin C C =则ππ2πsin 32333C C π⎛⎫-=-<-< ⎪⎝⎭， 得π33C π-=，∴23C π=. （Ⅱ）由余弦定理得22242cos3a b ab π=+-，化简得24()9a b ab ab =+-=-，故5ab =，1sin 2S ab C ==，∴ABC 的面积为4. 【点睛】本题考查了正余弦定理的应用，考查了面积公式，解此类问题的关键是角化边或者边化角，同时考查了计算能力，属于中档题.19．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意n *∈N ，点(),n n a S 都在函数()22f x x =-的图象上.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列()21n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ；【答案】（1）2n n a =；（2）()16232n n T n +=+-⨯.【分析】（1）由题意可得22n n S a =-，由1n =时，11a S =，2n 时，1n n n a S S -=-，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求；（2）求得(21)(21)2n n n b n a n =-=-，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，化简可得所求和；【详解】解：（1）将点(),n n a S 代入函数()y f x =的解析式得到22n n S a =-. 当1n =时，1122S a =-，即1122a a =-，解得12a =；当2n ≥时，由22n n S a =-得1122n n S a --=-，上述两式相减得122n n n a a a -=-，得12n n a a -=，即12n n a a -=. 所以，数列{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，因此，1222n n n a -=⨯=；（2）()()21212n n n b n a n =-⋅=-⋅，n *∈N ，因此()123123252212n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯，①()()23121232232212n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+-⨯，②由①-②得()23112222222212n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯()()()211121222212632212n n n n n -++-=+⨯--⨯=-+-⨯-，所以()16232n n T n +=+-⨯；【点睛】本题考查数列通项公式的计算以及错位相减法求和，属于中档题.20．在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：[)40,50，[)50,60，[)60,70，…，[]90,100，得到如下频率分布直方图.（1）求出直方图中m 的值；（2）利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01）；（3）现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品.利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，并从中再随机抽取2个作进一步的质量分析，试求这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率.【答案】（1）0.030m =（2）平均数为71，中位数为73.33（3）35【分析】（1）根据频率分布直方图中各小矩形面积和为1，即可求得m 的值； （2）由平均数与中位数的求法，结合频率分布直方图即可得解.（3）由分层抽样性质可分别求得抽取的5个口罩中一等品、二等品的数量，利用列举法列举出抽取2个口罩的所有情况，即可求得2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率.【详解】（1）由()100.0100.0150.0150.0250.051m ⨯+++++=，得0.030m =.（2）平均数为450.1550.15650.15750.3850.25950.0571x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，设中位数为n ，则()0.10.150.15700.030.5n +++-⨯=，得22073.333n =≈. 故可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为71，中位数为73.33.（3）由频率分布直方图可知：100个口罩中一等品、二等品各有60个、40个， 由分层抽样可知，所抽取的5个口罩中一等品、二等品各有3个、2个.记这3个一等品为a ，b ，c ，2个二等品为d ，e ，则从5个口罩中抽取2个的可能结果有：(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),c d ，(),c e ，(),d e ，共10种，其中恰有1个口罩为一等品的可能结果有：(),a d ，(),a e ，(),b d ，(),b e ，(),c d ，(),c e .共6种.故这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率为63105P ==. 【点睛】本题考查了频率分布直方图的性质及由频率分布直方图求平均数与中位数的方法，列举法求古典概型概率，属于基础题.21．如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是菱形，SB SD =．（1）证明：BD SA ⊥；（2）若面SBD ⊥面ABCD ，SB SD ⊥，60BAD ︒∠=，1AB =，求B 到平面SAD 的距离．【答案】（1）证明见解析（2）21 【分析】（1）连接AC 交BD 于O ，连接SO ，推导出BD SO ⊥，BD ⊥面SAC ，由此能证明BD SA ⊥．（2）推导出SO 是三棱锥S ABD -的高，设B 到平面SAD 的距离为h ，根据B SAD S ABD V V --=，即可求出结果．【详解】（1）连接AC 交BD 于O ，连接SO ，在菱形ABCD 中，BD AC ⊥，O 是BD 的中点，又因为SB SD =，所以BD SO ⊥，又ACSO O =， 所以BD ⊥面SAC ，又SA ⊂面SAC ，所以BD SA ⊥．（2）因为面SBD ⊥面ABCD ，面面SBD 面ABCD BD =，BD SO ⊥，SO ⊂面SBD ，所以SO ⊥面ABCD ，即SO 是三棱锥S ABD -的高．依题意可得，ABD ∆是等边三角形，所以1BD AD ==，3AO =，在等腰Rt SBD ∆，1122SO BD ==，1111322S ABD V -⎛=⨯⨯⨯= ⎝⎭，经计算得SD =1SA =， 等腰三角形ASD的面积为12ASD S ∆=， 设点B 到平面SAD 的距离为h ，则由B SAD S ABD V V --=，得13ASD S h ∆⨯⨯，解得h =， 所以B 到平面SAD的距离为7． 【点睛】本题主要考查证明线线垂直，以及求点到面的距离，熟记线面垂直的判定定理与性质定理，以及等体积法求点到面的距离即可，属于常考题型.22．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费对年销售量（单位：t ）的影响.该公司对近5年的年宣传费和年销售量数据进行了研究，发现年宣传费x （万元）和年销售量y （单位：t ）具有线性相关关系，并对数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值.（1）根据表中数据建立年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程；（2）已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为20.05 1.85z y x =--，根据（1）中的结果回答下列问题：①当年宣传费为10万元时，年销售量及年利润的预报值是多少？②估算该公司应该投入多少宣传费，才能使得年利润与年宣传费的比值最大.附：问归方程ˆˆˆybx a =+中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()1111112221111ˆn n i i nn i i x y nx y x x y y b x nxx x ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-. 参考数据：11188.5S i x y ==∑，21190S i x ==∑.【答案】（1）ˆ0.850.6y x =+；（2）①年销售量为9.1，年利润的预报值为2.25；②5万元【分析】（1）利用回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程.（2）①先求得年利润z 关于x 的表达式，然后将10x =分别代入回归直线方程和年利润的函数表达式，由此求得年销售量及年利润的预报值②求得年利润与年宣传费的比值w 的表达式，利用基本不等式求得5x =时，年利润与年宣传费的比值最大.【详解】（1）由题意2453645x ++++==， 2.5 4.543645y ++++==， 21222188.554ˆ0.859054n i ii n i i x y nx y b xnx ==--⨯∴===-⨯-∑∑， ˆˆ40.8540.6ay bx =-=-⨯=， 0.80.ˆ56yx ∴=+. （2）①由（1）得220.05 1.850.050.85 1.25z y x x x =+--=--，当10x =时，0.85100.ˆ69.1y∴=⨯+=，20.05100.8510 1.25 2.25z =-⨯⨯-=+. 即当年宣传费为10万元时，年销售量为9.1，年利润的预报值为2.25.②令年利润与年宣传费的比值为w ，则()1.250.050.850w x x x=--+>，1.25 1.250.050.850.050.85w x x x x ⎛⎫=--+=-++≤- ⎪⎝⎭0.850.35=. 当且仅当 1.250.05x x=即5x =时取最大值.故该公司应该投入5万元宣传费，才能使得年利润与年宣传费的比值最大.【点睛】本小题主要考查回归直线方程的计算，考查利用回归直线方程进行预测，考查利用基本不等式求最值，属于中档题.。

江西省上饶市横峰中学、铅山一中、弋阳一中2020-2021学年上学期高二年级开学联考数学试卷（课改班）一、选择题1．设全集为R ，集合{}02A x x =<<，{}1B x x =≥，则()AB =RA ．{}01x x <≤ B ．{}01x x << C ．{}12x x ≤< D ．{}02x x << 2．若直线1:320l x my +-=,2:280l x y ++=互相平行,则实数m 的值为（ ） A ．6- B ．6 C ．32 D ．32- 3．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数若(1)1f =-，则满足1(2)1f x -≤-≤的取值范围是（ ） A ．[2,2]- B ．[1,1]- C ．[0,4] D ．[1,3]4．某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查，利用22⨯列联表，由计算得27.218K ≈,参照下表:得到正确结论是A ．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关”B ．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”C ．在犯错误的概率不超过%的前提下，认为“学生性别与中学生追星无关”D ．在犯错误的概率不超过%的前提下，认为“学生性别与中学生追星有关” 5．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间(,)2ππ上为减函数的是（ ）A ．sin 2y x =B ．2|cos |y x =C ．cos2xy = D ．tan()y x =- 6．从0，1，2，3，4中选取三个不同的数字组成一个三位数，其中偶数有（ ） 个 个 个 个7．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数如图，若从四个阴数和五个阳数中各随机选取1个数，则选取的两数之和能被5整除的概率（ ）A ．110 B ．320 C ．15 D ．3108．在()8311x x ⎛- ⎝的展开式中，含21x 项的系数等于（ ）A ．98B ．42C ．98-D ．42- 9．若3sin()45πα+=且(,)44ππα∈-，则cos α的值为（ ） ABCD10．若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如图所示，则所截去的三棱锥的外接球的表面积等于（ ）A ．34πB ．32πC ．17πD ．172π 11．在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =+上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C 有公共点，则k 的最小值是（ ） A ．43-B ．54- C ．35 D ．53- 12．已知数列 {}n a 满足：11a =，()*1N 2n n n a a n a +=∈+，若 ()1111,n n b n b a λλ+⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，且数列 {}n b 是单调递增数列，则实数 λ 的取值范围是（ ） A ．()2,+∞ B ．(),2∞- C ．()3,∞+ D ．(),3∞-二、填空题13．设变量满足约束条件12210x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，则28yx z =的最小值为 。

【最新】江西铅山一中、横峰中学高二上学期期中理科数学卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列给出的赋值语句中正确的是 （ ） A ．x =－xB ．5 = MC ．B=A=3D ．x +y = 02．不等式()20x x +≥的解集为（ ） A ．{|0x x ≥或2}x B ．{|20}x x -≤≤ C ．{|02}x x ≤≤D ．{|0x x ≤或2}x ≥3．5个人站成一排，若甲、乙两人之间恰有1人，则不同的站法数有（ ） A ．18 B ．26 C ．36 D ．484．如果7722107)21(x a x a x a a x ++++=- ，那么721a a a +++ 的值等于（ ）A ．－1B ．－2C ．0D ．25．若某公司从四位大学毕业生甲、乙、丙、丁中录用两人，这四人被录用的机会均等，则甲被录用的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．416．图1给出的是计算1001614121++++ 的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是 （ ）A ．50>iB ．50≥iC ．50<iD ．100>i 7．下面是两个变量的一组数据： X12345678则这两个变量之间的线性回归方程是（ ） A ．y=－16+9xB ．y=31－xC ．y=30－xD ．y=－15+9x8．某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为 （ ） A ．11B ．12C ．13D ．149．如果一个n 位十进制数n a a a a 321的数位上的数字满足“小大小大 小大”的顺序，即满足： 654321a a a a a a <><><，我们称这种数为“波浪数”；从1,2,3,4,5组成的数字不重复的五位数中任取一个五位数abcde ，这个数为“波浪数”的个数是（ ） A ．16 B ．18 C ．10 D ．810．设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数)0,0(>>+=b a by ax z 的值是最大值为12，则ba 32+的最小值为（ ） A ．38 B ．625 C ．311 D ．411．某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是 A ．72B ．120C ．144D ．16812．不等式222y axy x +-≤0对于任意]2,1[∈x 及]3,1[∈y 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ≤22B ．a ≥22C ．a ≥311D ．a ≥29二、填空题13．一组数据的平均数是2．8，方差是3．6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得 到一组新的数据，则所得的新数据的平均数和方差分别是__________．14．若关于 x 的不等式x 2－ax －a>0的解集为（－∞，＋∞），则实数a 的取值范围是_________．15．甲乙丙丁四个人做传球练习，球首先由甲传出，每个人得到球后都等概率地传给其余三个人之一，设P n 表示经过n 次传递后球回到甲手中的概率，则P n =_________（用含n 的式子表示）．三、解答题16．某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，期中成绩分布区间是[50)60，，[60)70，，[70)80，，[80)90，，[90]100，．(1)图中a 的值为多少？(2)根据频率分布直方图，估计这次100名学生数学成绩的平均数.17．从4名男同学中选出2人，6名女同学中选出3人，并将选出的5人排成一排． （1）共有多少种不同的排法？（2）若选出的5人排队，男、女同学各排一排，共有多少种不同的排法？（用数字表示）18．已知213nx ⎫+⎪⎭的第五项的二项式系数与第三项的二项式系数的比是14:3，（1）求n ；（2）求展开式中常数项．19．某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表队人数分别为120人、120人、n 人．为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐，其中高二代表队有6人． （1）求n 的值；（2）把在前排就坐的高二代表队6人分别记为f e d c b a ,,,,,，现随机从中抽取2人上台抽奖，求a 和b 至少有一人上台抽奖的概率；（3）抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个]1,0[之间的均匀随机数y x ,，并按如右所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率．20．已知函数．（1）当a=4，解不等式；（2）若不等式f（x）<x在[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．21．（12分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+1（a，b∈R，a＞0），设方程f（x）=x的两个实数根为x1和x2．（1）如果x1＜2＜x2＜4，设二次函数f（x）的对称轴为x=x0，求证：x0＞﹣1；（2）如果|x1|＜2，|x2﹣x1|=2，求b的取值范围．参考答案1．A 【详解】用来表明赋给某一个变量一个具体的确定值的语句叫做赋值语句， 5 = M 左边是常数不合题意； B=A=3不能连续赋值，不合题意； x +y = 0左边是表达式，不合题意，A 中是将x -值赋值给x ，符合题意，故选A. 2．A 【详解】由于方程()20x x +=的解为10x =，22x =-，所以不等式()20x x +≥的解集为{|02}x x x ≥≤-或，故选A.3．C 【解析】试题分析：先排列其余三人后甲乙两人插空，所以有A 33×3A 22=36种考点：排列问题 4．B 【解析】试题分析：；令1x =得01271a a a a ++++=-，令0x =得01a =1272a a a ∴+++=-考点：赋值法求系数和 5．C 【解析】试题分析：甲被录用的方法数共3种，任取2人录用方法数有246C =种，因此概率3162P == 考点：古典概型概率 6．A 【解析】 试题分析：程序执行中的数据变化如下：1110,2,1,150,,4,2,250,,6,3224s n i s n i s n i ===>===>=+==11115050,,102,51,5150246100s n i >=++++==>成立，因此输出1001614121++++ 考点：程序框图 7．D 【解析】试题分析：由表格数据可知线性正相关，因此x 系数为正，128149644.5,25.588x y +++++++====，代入回归方程可知y=－15+9x 成立考点：回归方程 8．B 【解析】试题分析：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人． ∴从编号1～480的人中，恰好抽取480/20=24人， 接着从编号481～720共240人中抽取240/20=12人 考点：系统抽样 9．A 【解析】试题分析：根据题意，分析可得在“波浪数”中，十位数字，千位数字中必有一个是5、另一数是3或4；另一数是4时，将5与4放在千位、十位上，有22A 种情况，剩余的1、2、3放在其余三个数位上，有33A 种情况，则此时的“波浪数”有232312A A =个；另一数3时，4、5必须相邻，有45132；45231；13254；23154四个“波浪数”．则由1，2，3，4，5可构成数字不重复的五位“波浪数”个数为12+4=16 考点：排列组合 10．B 【解析】试题分析：线性约束条件对应的可行域为直线360,20,0,0x y x y x y --=-+===围成的四边形区域，当z ax by =+过直线360,20x y x y --=-+=的交点()4,6时取得最大值，4612a b ∴+=236a b ∴+=()(231231661252349136666a b a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫∴+=++=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当66a bb a=时等号成立 考点：1．线性规划问题；2．均值不等式求最值 11．B 【解析】分两类，一类是歌舞类用两个隔开共3333(2)A A 种，第二类是歌舞类用三个隔开共31223222()A C A A 种，所以N=3333(2)A A +31223222()A C A A =120.种．选B. 12．D 【解析】试题分析：不等式变形为2222x y y x a xy x y +≥=+，设yt x=，因为]2,1[∈x 及]3,1[∈y ，所以01,302y y x x -⎡⎤=∈⎢⎥-⎣⎦21,,32a t t t ⎡⎤∴≥+∈⎢⎥⎣⎦恒成立2t t +的最大值为9292a ∴≥ 考点：1．不等式恒成立问题；2．函数最值；3．数形结合法 13．62．8，3．6 【解析】试题分析：设这组数据分别为12,,n x x x ，则()121n x x x x n=+++，方差为()()22211n s x x x x n ⎡⎤=-++-⎣⎦，每一组数据都加60后，()1216060 2.86062.8n x x x x n x n=+++++=+='=方差()()2222116062.86062.8 3.6n s x x s n ⎡⎤=+-+++-==⎣⎦'考点：平均数和方差14．（-4，0） 【解析】试题分析：结合二次函数性质可知需满足204040a a a ∆<∴+<∴-<<，实数a 的取值范围是（-4，0）考点：一元二次不等式解法15．1111443n n p -⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭【解析】试题分析：要想红过n 次传递后球落在甲的手中，那么在n-1次传递后球一定不在甲手中， 所以()1113n n p p -=-，n=1，2，3，4，…， 1111111111111434443443n n n n n n p p p p p ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=--∴-=-⋅-∴=-⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭考点：相互独立事件的概率乘法公式 16．（1）0.005；（2）73. 【分析】（1）利用每个小矩形面积和为1，列方程求解即可；（2））每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均数. 【详解】(1)由频率分布直方图可知：20.040.030.0()2101a +⨯++=，所以0.005a =;(2)根据频率分布直方图，估计平均数为：550.05650.4750.3850.2950.0573⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，属于中档题. 直方图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为1；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均值；（4）直方图左右两边面积相等处横坐标表示中位数. 17．（1）14400（2）2880【解析】试题分析：（1）先选出5人，再进行全排，利用分步计数原理，即可得到结论；（2）分两步分别排列男生和女生，采用分步计数原理求解试题解析：（1） 235465C C A 62012014400⋅⋅=⨯⨯=（2）23624A A =2880考点：排列组合问题 18．（1）10 （2）5 【解析】试题分析：（1）由题意知42:14:3n n C C =，由此求得n 的值；（2）在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项试题解析：（1）由题意知42:14:3nn C C =， (1)(2)(3)(1)144!2!3n n n n n n ----÷=∴，化简，得25500n n --=．解得5n =-（舍），或10n =． （2）设该展开式中第1r +项中不含x ，则1010522211010(3)3r r rrr rr T C x x C x----+==··，依题意，有10502r --，2r =．所以，展开式中第三项为不含x 的项，且2231035T C -==． 考点：二项式定理 19．（1）160；（2）35；（3）34【解析】试题分析：（1）根据分层抽样可得620120120120n=++，故可求n 的值；（2）求出高二代表队6人，从中抽取2人上台抽奖的基本事件，确定a 和b 至少有一人上台抽奖的基本事件，根据古典概型的概率公式，可得a 和b 至少有一人上台抽奖的概率；（3）确定满足0≤x≤1，0≤y≤1点的区域，由条件2100101x y x y --≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩得到的区域为图中的阴影部分，计算面积，可求该代表中奖的概率试题解析：（1）依题意，由8:6:6:120:120=n ，解得160=n （2）记事件A 为“a 和b 至少有一人上台抽奖”，从高二代表队6人中抽取2人上台抽奖的所有基本事件列举如下：),(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(f e f d e d f c e c d c f b e b d b c b f a e a d a c a b a共15种可能，其中事件A 包含的基本事件有9种 所以53159)(==A P （3）记事件B 为“该代表中奖”如图，y x ,所表示的平面区域是以1为边的正方形，而中奖所表示的平面区域为阴影部分11o y x1=S ,阴影部分面积43121211'=⨯⨯-=S所以该代表中奖的概率为43')(==S S B P考点：1．程序框图；2．古典概型及其概率计算公式；3．几何概型 20．（1）2|113x x x ⎧⎫<--<<⎨⎬⎩⎭或（2）2a < 【解析】试题分析：（1）当a=4时，把要解得不等式等价转化为()()32101x x x +-<+，由此求得不等式f （x ）＞3x 的解集；（3）由题意可得21a x x <++在x ∈[1，+∞）上恒成立，设()21h x x x =++，利用基本不等式求得h （x ）min ＝2，从而得到a 的取值范围 试题解析：（1）当a=4时，，不等式，解得或．∴原不等式的解集为或．（2）在[1，+∞）上恒成立在[1，+∞）上恒成立在[1，+∞）上恒成立，设函数，h（x）=x+,12x x∈[1，+∞）,则h（x）min=2∴a<2．考点：1．基本不等式的应用；2，函数恒成立问题；3．分式不等式的解法21．（1）详见解析；（2）或【解析】试题分析：（1）由x1＜2＜x2＜4转化为g（x）=f（x）-x=0有两根：一根在2与4之间，另一根在2的左边，利用一元二次方程根的分布可证；（2）先有a＞0，知两根同号，在分两根均为正和两根均为负两种情况来讨论．再利用两根之和与两根之积和|x2﹣x1|=2来求b的取值范围试题解析：（1）设g（x）=f（x）﹣x=ax2+（b﹣1）x+1，∵a＞0，∴由条件x1＜2＜x2＜4，得g（2）＜0，g（4）＞0．即由可行域可得，∴．（2）由g（x）=ax2+（b﹣1）x+1=0，知，故x1与x2同号．①若0＜x1＜2，则x2﹣x1=2（负根舍去），∴x2=x1+2＞2．∴，即∴b＜；②若﹣2＜x1＜0，则x2=﹣2+x1＜﹣2（正根舍去），，即∴b＞．综上，b的取值范围为或．考点：1．二次函数的性质；2．二次函数的图象。

2020-2021学年度上学期高二年级期中考试数学答案（理科）答案：1.D2.C3.C4.C5.D6. B7. D8.B9.A 10.D 11.A 12.B 13. 2 14. 23 . 15. 16π- 16.165.17.解：(1)因为各组的频率和等于1，所以第四组的频率为10.0250.01520.0100.0()05100.3--⨯++⨯=. 补全的频率分布直方图如图所示．(2)众数为：70+80=752， 设中位数为x ,则()10.1+20.15+700.030.5733x x ⨯-⨯=⇒=抽取学生的平均分约为45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71(分)，所以可估计这次考试的平均分为71分．18.（1）∵2*2,n S n n n N =+∈，∴当1n =时，113a S ==.当2n ≥时，2212[2(1)(1)]41n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=-.∵1n =时，13a =满足上式，∴*41,n a n n N =-∈.又∵*24log 3,n n a b n N =+∈，∴2414log 3n n b -=+，解得：12n n b -=. 故41,n a n =-，12n n b -=，*n N ∈. （2）∵41,n a n =-，12n n b -=，*n N ∈∴1122n n n T a b a b a b =+++01213272(45)2(41)2n n n n --=⨯+⨯++-⨯+-⨯①12123272(45)2(41)2n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+-⨯②由①-②得：1213424242(41)2n n n T n --=+⨯+⨯++⨯--⨯12(12)34(41)2(54)2512n n n n n --=+⨯--⨯=-⨯--∴(45)25nn T n =-⨯+，*n N ∈.19.（1）由题意2453645x ++++==， 2.5 4.543645y ++++==，21222188.554ˆ0.859054ni ii nii x y nx ybxnx ==--⨯∴===-⨯-∑∑， ˆˆ40.8540.6ay bx =-=-⨯=， 0.80.ˆ56yx ∴=+. （2）①由（1）得220.05 1.850.050.85 1.25z y x x x =+--=--，当10x =时，0.85100.ˆ69.1y∴=⨯+=，20.05100.8510 1.25 2.25z =-⨯⨯-=+. 即当年宣传费为10万元时，年销售量为9.1，年利润的预报值为2.25. ②令年利润与年宣传费的比值为w ，则()1.250.050.850w x x x=--+>，1.25 1.250.050.850.050.85w x x x x ⎛⎫=--+=-++≤- ⎪⎝⎭ 1.2520.050.850.35x x ⋅+=. 当且仅当 1.250.05x x=即5x =时取最大值.故该公司应该投入5万元宣传费，才能使得年利润与年宣传费的比值最大.20.（1）∵22232cos R ac B a c +=+，∴222232cos R a c ac B b =+-=，即33R b =，∴sin2bB bR===，又B为锐角，∴3Bπ=.（2）∵ABC∆的面积1sin23S acπ==，∴3b=，∴23R==2sin sina cRA C==，23A C Bπ+=π-=，∴232(sin sin)sin sin sin32a c R A C A A A Aπ⎫⎤⎛⎫+=+=+-=⎪⎪⎥⎪⎝⎭⎦⎭6sin6Aπ⎛⎫=+⎪⎝⎭由ABC∆是锐角三角形得,62Aππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴2,633Aπππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴sin62Aπ⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥⎪⎝⎭⎝⎦，∴a c+∈，即a c+的取值范围为.21.（1）令1n=，则2136132a a=+++，即1266616433aa+⨯+===.（2）由题意，()()16312n nS na n n n+=-++①，当2n≥时，()()()163111n nS n a n n n-=---+②，①-②得，()()()11633131n n n nS S na n a n n-+-=---+，则()()1211n n na na n a n n+=---+，即()()111n nn a na n n++=-+，所以111n na an n+-=+，即数列nan⎧⎫⎨⎬⎩⎭从第二项起是以1为公差的等差数列，且24222a==，所以当2n≥时，22nan nn=+-=，则2na n=，又11a=，符合2na n=，故{}n a的通项公式为2na n=()n N*∈.（3）当1n=时，11513a=<成立；当2n=时，12111551443a a+=+=<成立；当3n≥时，22111111()1211na n n n n=<=---+，则222121111111123na a a n+++=++++11111111111[()()()()]422435211n n n n<++-+-++-+---+51111142231n n⎛⎫=++--⎪+⎝⎭511153213n n⎛⎫=+--<⎪+⎝⎭.综上所述，对于一切正整数n，都有1211153na a a+++<.22.（1）据题意知，对于[]x1,2∈，有2ax4x20++≥恒成立，即224x224ax x x--≥=--恒成立，因此2max24ax x⎛⎫≥--⎪⎝⎭，设11t,t,1x2⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦则，所以()()22g t2t4t2t12=--=-++，函数()g t在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调递减的，∴ ()max 15g t g 22⎛⎫==- ⎪⎝⎭，5a 2∴≥-（2）由()f x 0≥对于一切实数x 恒成立，可得a 0,Δ0>≤且，由存在0x R ∈，使得200ax 4x b 0++=成立可得Δ0≥，16-4ab 0,4ab ∴∆==∴=，()()2222a b 2ab a b 8a ba b a b a b-+-++==≥=---，当且仅当a b -=时等号成立，22a ba b+∴≥-。

2020学年第一学期高三联考数学试卷（文）分值：150分 考试时间：120分钟第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设复数z 满足z ＋2z －＝6＋i(i 是虚数单位)，则复数z 在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知全集U ＝R ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪18<2x <1，M ＝{}x |y ＝ln （－x －1），则图中阴影部分表示的集合是( )A.{}x |－3<x<－1B.{}x |－3<x<0C.{}x |－1≤x<0D.{}x|x<－33.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,点()10081010,a a 在直线20x y +-=上,则2017S =( )A.4034B.2017C.1008D.10104.随机抛掷一枚质地均匀的骰子,记正面向上的点数为a ,则函数()222f x x ax =++有两个不同零点的概率为( )A.13B.12C.23D.565.设123log 2,ln 2,5a b c -===,则( )A.a b c <<B.b c a <<C.c a b <<D.c b a <<6．已知平面向量的夹角为，且，则( )A. 1B.C. 2D.7．如图给出的是计算1111352017++++L 的值的一个程序框图，则判断框内可以填入的条件是( ) A. 1008?i > B. 1009?i ≤ C. 1010?i ≤D. 1011?i <8．如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗实线及粗虚线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的最长棱长为（ ）A.23B.4C.6D. 429．若实数错误!未找到引用源。

满足不等式组错误!未找到引用源。

某某省某某市铅山县第一中学2020-2021学年高二数学上学期第三次月考试题（文科统招班）考试时间：120分钟 满分：150分一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在下列四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．在复平面内，复数对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．有50件产品，编号为0，1，2，…，49，现从中抽取5个进行检验，用系统抽样的方法抽取样本的编号可以为()A ．5，10，15，20，25B ．5，13，21，29，37C ．8，22，23，1，20D ．1，11，21，31，41 3．已知向量a ，b 满足2a →=，2b →=，且()2a a b ⊥+，则b 在a 方向上的投影为（）A ．12-B ．12C ．1-D ．14．执行如图所示的程序框图，如果输出s ＝4，那么判断框内应填入的条件是（ ）A ．k ≤ 14?B ．k ≤ 15?C ．k ≤ 16?D ．k ≤ 17?5．为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第1小组的频数为6，则报考飞行员的学生人数是 （ ）A.36B.40C.48D.506．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos22A c bc+=，则ABC 的形状为（） A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形7．在平行四边形ABCD 中，120,2,1DAB AB AD ∠===，若E 为线段AB 中点，则DE AC ⋅=（）A ．12B ．1C ．32D ．2 8．有歌唱道：“某某是个好地方，山清水秀好风光.”现有甲乙两位游客慕名来到某某旅游，分别准备从庐山、三清山、龙虎山和明月山4个著名旅游景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件A ：甲和乙至少一人选择庐山，事件B ：甲和乙选择的景点不同，则条件概率()P B A =（） A ．716B ．78C ．37D ．679．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若m ＝(a －b ，b －c )，n ＝(sin A ＋sin B ，sin C )，且m ⊥n .则（） A ．A ＝6πB ．C ，A ，B 成等差数列 C ．B ＝3πD ．A ，C ，B 成等差数列10．一个盒子里装有标号为1-6的6个大小和形状都相同的小球，其中1到4号球是红球，其余两个是黄球，若从中任取两个球，则取的两个球颜色不同，且恰有1个球的是偶数的概率是（） A ．115B ．215C ．315D ．41511．观察数列1，2，2，4，4，4，8，8，8，8…的特点，按此规律，则第100项为（） A ．132B ．142C ．152D ．16212．在ABC ，角A ，B ，C 的边分别为a ，b ，c ，且sin 32c B a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，20⋅=CA CB ，7c =，则ABC 的内切圆的半径为（ ）AB ．1C ．3D 二、填空题：（本大题共4小题、每小题5分，共20分） 13．设复数满足(12)i z i +=，则||z =__________.14．设,a b 为单位向量，且1a b -=，则2a b -=________.15．已知点P ，Q 为圆C ：x 2＋y 2＝25上的任意两点，且|PQ|＜6，若PQ 中点组成的区域为M ，在圆C 内任取一点，则该点落在区域M 上的概率为__________ ． 16．设锐角△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos )2sin ,3a B b A c C b +==，则c 的取值X 围为_____.三、解答题：（本大题共6小题，共70分。

江西省上饶市2020-2021学年高二数学上学期期末教学质量测试试题 文（含解析）一､选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的). 1. 设11izi，则z =（ ） A. 2B. 3C. 2D. 12. 庚子新春，病毒肆虐，某老师为了解某班50个同学宅家学习期间上课､休息等情况，决定将某班学生编号为01，02，…，50.利用下面的随机数表选取10个学生调查，选取方法是从下面随机数表的第1行的第2列和第3列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第4个学生的编号为（ ）7 2 5 6 0 8 1 3 0 2 5 8 3 2 4 9 8 7 0 2 4 8 1 2 9 7 2 8 0 1 9 83 1 04 9 2 3 1 4 9 35 8 2 0 9 36 2 4 4 8 6 9 6 9 3 87 48 1A. 25B. 24C. 29D. 193. 某学生一星期的总开支分布如图①所示，一星期的食品开支如图②所示，则该生一星期的牛奶开支占总开支的百分比约为（ ）A. 10%B. 8%C. 5%D. 4%4. 利用反证法证明“若3a b c ++=，则a ，b ，c 中至少有一个数不小于1”正确的假设为（ ） A. a ，b ，c 中至多有一个数大于1 B a ，b ，c 中至多有一个数小于1 C. a ，b ，c 中至少有一个数大于1 D a ，b ，c 中都小于15. 执行如图所示的算法，若输出的结果2y ≥，则输入的x 满足（ ）A. 4x ≥B. 1x ≤C. 1x ≤-或4x ≥D. 14x -≤≤6. 已知(1,2)a =，(,4)b x =，且10a b ⋅=，则a b -=（ ） A. 5B. 5C. 10D. 107. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，3AE AF =，则DF =（ ）A. 1233AB AD -+ B.1323AB AD - C. 1536AB AD -D. 1334AB AD -8. 在平面直角坐标系中，点()00,x y 到直线0Ax By C ++=的距离0022Ax By C d A B++=+，类比可得在空间直角坐标系中，点()2,3,4到平面2240x y z ++-=的距离为（ ） A. 4B. 5C.163D.2039. 将一颗骰子抛掷两次分别得到向上的点数a 、b ，则直线0ax by -=与2255x y 相切的概率为（ ） A.16B.112C.118D.13010. 边长为m 的正方形内有一个半径为2⎛⎫< ⎪⎝⎭m n n 的圆，向正方形中机扔一粒豆子（忽略大小，视为质点），若它落在该圆内的概率为12，则圆周率π的值为（ ）A. 2m nB. 2n mC. 222m nD. 222n m11. 若A 为不等式组002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x y a +=扫过A 中的那部分区域的面积为（ ） A. 1B. 1.5C. 0.75D. 1.7512. 已知AB 是半圆O 的直径，2AB =，三角形OCD 的顶点C ､D 在半圆弧AB 上运动，且120COD ∠=︒，点P 是半圆弧AB 上的动点，则PC PD ⋅的取值范围是（ ）A. 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 353,424⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C. 373,424⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ D. 153,224⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 二､填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的横线上) 13. 设i 为虚数单位，若复数z 满足()21z i -⋅=，则z =___________. 14. 已知随机事件A ，B 互对立事件，且()()3P A P B =，则()P A =___________.15. 锐角ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，sin 2sin sin sin a b C Bc A B--=+，且2a =，则ABC 面积的取值范围是___________. 16. 给出下列说法：①回归直线ˆˆˆybx a =+恒过样本点的中心(),x y ；②两个变量相关性越强，则相关系数r 就越接近1；③某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差不变；④在回归直线方程ˆ20.5yx =-中，当变量x 增加一个单位时，ˆy 平均减少0.5个单位. 其中说法正确的是_____________.三､解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明､演算步骤) 17. 已知22a b ==，且向量a 在向量b 方向上的投影为1-，求：（1）a 与b 的夹角θ;（2）()2a b b -⋅. 18. 已知m实数，i 为虚数单位，设复数()()2256253z m m m m i =++++-.（1）当复数z 为纯虚数时，求m 的值；（2）当复数z 对应的复点在直线70x y -+=的右下方，求m 的取值范围.19. 设x ，y 满足约束条件2101000x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩.（1）在如图所示的网格中画出不等式组表示的平面区域； （2）若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为1，求1123a b+的的最小值. 20. 某市一隧道由于机动车常在隧道内变道、超速，进而引发交通事故，交管部门在该隧道内安装了监控测速装置，并将该隧道某日所有车辆的通行速度进行统计，如图所示．已知通过该隧道车辆的平均速度为164km h -⋅．（1）求a ，b 的值，并估计这一天通过该隧道车辆速度的中位数；（2）为了调查在该隧道内安装监控测速装置的必要性，研究人员随机抽查了通过该隧道的200名司机，得到的答复统计如表所示，判断是否有99%的把握认为对安装监控测速装置的态度与司机的性别相关．认为安装监控测速装置十分必要认为安装监控测速装置没有必要男司机 70 30 女司机5050附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．20()P K k0.100 0.050 0.010 0.0010k2.7063.841 6.635 10.82821. 用综合法或分析法证明：（1）已知三角形ABC 中，边BC 的中点为D ，求证：向量22AB AC AD BD ⋅=-.（2）已知a b c >>，且0a b c ++=，求证：23b aca-<.22. 已知关于x 的一元二次方程210x ax b -+-=，记该方程有两个不等的正实根为事件A . （1）设抛掷两枚质地均匀的正方体骰子所得点数分别为a 、b ，求事件A 发生的概率； （2）利用计算器产生两个随机数x 、y ，且[]0,1x ∈，[]0,1y ∈，若21a x =-，254b y =-+，求事件A 发生的概率.上饶市2020-2021学年度第一学期期末教学质量测试高二数学(文科)试题卷（解析版）一､选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的).1. 设11izi，则z=（）A. 2 D. 1 【答案】D【解析】【分析】先化简z i=-，即得解.【详解】由题得21(1)21(1)(1)2i i iz ii i i---====-++-，所以1z=.故选：D【点睛】本题主要考查复数的除法运算和模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2. 庚子新春，病毒肆虐，某老师为了解某班50个同学宅家学习期间上课､休息等情况，决定将某班学生编号为01，02，…，50.利用下面的随机数表选取10个学生调查，选取方法是从下面随机数表的第1行的第2列和第3列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第4个学生的编号为（）7 2 5 6 0 8 1 3 0 2 5 8 3 2 4 9 8 7 0 2 4 8 1 2 9 7 2 8 0 1 9 83 1 04 9 2 3 1 4 9 35 8 2 0 9 36 2 4 4 8 6 9 6 9 3 87 48 1A. 25B. 24C. 29D. 19【答案】C【解析】【分析】根据随机数表结合编号逐次取可得正确的编号.【详解】从下面随机数表的第1行的第2列和第3列数字，依次取出的编号为：25，30，24，29，故选出来的第4个学生的编号为29.故选：C.3. 某学生一星期的总开支分布如图①所示，一星期的食品开支如图②所示，则该生一星期的牛奶开支占总开支的百分比约为（）A. 10%B. 8%C. 5%D. 4%【答案】D 【解析】 【分析】根据图2可得牛奶开支占食品开支的比例，结合图1，即可得答案.【详解】由图2可得，牛奶开支占食品开支的比例为4043040100805030=++++，根据图1可得该生一星期的牛奶开支占总开支的百分比约为430%4%30⨯=. 故选：D4. 利用反证法证明“若3a b c ++=，则a ，b ，c 中至少有一个数不小于1”正确的假设为（ ） A. a ，b ，c 中至多有一个数大于1 B. a ，b ，c 中至多有一个数小于1 C. a ，b ，c 中至少有一个数大于1 D. a ，b ，c 中都小于1 【答案】D 【解析】 【分析】否定原命题的结论可得结果.【详解】“若3a b c ++=，则a ，b ，c 中至少有一个数不小于1”的否定为：a ，b ，c 都小于1， 故选：D5. 执行如图所示的算法，若输出的结果2y ≥，则输入的x 满足（ ）A. 4x ≥B. 1x ≤C. 1x ≤-或4x ≥D. 14x -≤≤【答案】C 【解析】 【分析】解不等式后可得输入的输入的x 的取值范围.【详解】流程图的作用是求分段函数(),01,02x x x f x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎩的函数值.2y ≥的解即为20x x ≥>⎪⎩或0122xx ≤⎧⎪⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，故1x ≤-或4x ≥，故选：C.6. 已知(1,2)a =，(,4)b x =，且10a b ⋅=，则a b -=（ ） A. 5 5 C. 1010【答案】B 【解析】 【分析】利用向量数量积的坐标运算公式求解x ，再根据向量线性运算公式以及模长公式求解即可. 【详解】由(1,2)a =，(,4)b x =， 得2410a b x ⋅=+⨯=， 解得2x =，(2,4)b = 故(1,2)a b -=--，22(1)(2)5a b -=-+-=，故选：B.【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．7. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，3AE AF =，则DF =（ ）A. 1233AB AD -+ B.1323AB AD - C. 1536AB AD -D. 1334AB AD -【答案】C 【解析】 【分析】先用,AB AD 表示AE ，再结合DF AF AD =-可得正确的表示形式.【详解】因为12=+=+AE AB BE AB AD ， 故1111533636DF AF AD AE AD AB AD AD AB AD =-=-=+-=-，故选：C.8. 在平面直角坐标系中，点()00,x y 到直线0Ax By C ++=的距离0022Ax By C d A B++=+，类比可得在空间直角坐标系中，点()2,3,4到平面2240x y z ++-=的距离为（ ） A. 4 B. 5C.163D.203【答案】A 【解析】 【分析】类比可得，点()000,,x y z 到平面0Ax By Cz D +++=的距离为000222Ax By Cz Dd A B C+++=++，即为即可得出结果.【详解】类比可得，点()000,,x y z 到平面0Ax By Cz D +++=的距离为d =，故点()2,3,4到平面2240x y z ++-=的距离：4d ==，故选：A.9. 将一颗骰子抛掷两次分别得到向上的点数a 、b ，则直线0ax by -=与2255x y 相切的概率为（ ） A.16B.112C.118D.130【答案】B 【解析】 【分析】本题首先可以通过直线0ax by -=与圆2255x y 相切以及点到直线距离公式得出2a b =，然后通过题意确定(),a b 数对一共有多少种以及满足2a b =的(),a b 数对有几种，最后通过概率计算公式即可得出结果．【详解】因为直线0ax by -=与圆2255x y 相切，所以圆的圆心为0,555b ab，化简得2a b =，因为一颗骰子抛掷两次分别得到向上的点数为a 、b ，所以(),a b 数对共有36种，其中满足2a b =的数对有()2,1、4,2、6,3三种， 故313612P，故选B ． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系以及古典概型的相关计算公式，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，考查计算能力与推理能力，是中档题． 10. 边长为m 的正方形内有一个半径为2⎛⎫< ⎪⎝⎭m n n 的圆，向正方形中机扔一粒豆子（忽略大小，视为质点），若它落在该圆内的概率为12，则圆周率π的值为（ ）A. 2m nB. 2n mC. 222m nD. 222n m【答案】C 【解析】 【分析】根据几何概型的思想,求出圆的面积占正方形面积的比例即为豆落在圆内的概率,再化简求得圆周率π的表达式即可.【详解】根据几何概型可知, 边长为m 的正方形内有一个半径为2⎛⎫< ⎪⎝⎭m n n 的圆， 向正方形中机扔一粒豆子它落在该圆内的概率为2222122n m m nππ=⇒=. 故选：C【点睛】本题主要考查了根据几何概型的运用,属于基础题.11. 若A 为不等式组002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x y a +=扫过A 中的那部分区域的面积为（ ） A. 1 B. 1.5C. 0.75D. 1.75【答案】D 【解析】 【分析】先由不等式组画出其表示的平面区域，再确定动直线x y a +=的变化范围，最后由三角形的面积公式解之即可.【详解】如图，不等式组002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域是AOB ，动直线x y a += (即y x a =-+)在y 轴上的截距从-2变化到1，知ADC 是斜边为3的等腰直角三角形，EOC △是直角边为1的等腰直角三角形，所以区域的面积为：ADCEOCS SS阴影131311222 71.754. 故选:D .【点睛】本题考查的是线性规划应用，利用数形结合是解决线性规划问题的基本方法，是基础题. 12. 已知AB 是半圆O 的直径，2AB =，三角形OCD 的顶点C ､D 在半圆弧AB 上运动，且120COD ∠=︒，点P 是半圆弧AB 上的动点，则PC PD ⋅的取值范围是（ ）A. 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 35344⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C. 37344⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D. 15324⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，设()()22cos ,sin ,cos ,sin ,cos ,sin 33D C P ππααααθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中03πα≤≤，0θπ≤≤，求出PC 、PD 的坐标后可求数量积的取值范围.【详解】如图，设()()22cos ,sin ,cos ,sin ,cos ,sin 33D C P ππααααθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 其中03πα≤≤，0θπ≤≤22cos cos ,sin sin 33PC ππαθαθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()cos cos ,sin sin PD αθαθ=--，所以()2cos cos cos cos 3PC PD παθαθ⎡⎤⎛⎫+-⨯- ⋅=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()2sin sin sin sin 3παθαθ⎡⎤⎛⎫++-⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 1221cos cos cos sin sin sin 233ππθααθαα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-⨯++-⨯++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦1cos sin sin cos 266ππθαθα⎛⎫⎛⎫=-⨯--⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1sin 26παθ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭， 因03πα≤≤，0θπ≤≤，故3πθαπ-≤-≤，7666πππθα-≤-+≤故1sin 126παθ⎛⎫-≤-+≤ ⎪⎝⎭，故1,12PC PD ⎡⎤⋅∈-⎢⎥⎣⎦. 故选：A.【点睛】方法点睛：向量的数量积的计算，有四种途径：（1）利用定义求解，此时需要知道向量的模和向量的夹角；（2）利用坐标来求，把数量积的计算归结坐标的运算，必要时需建立直角坐标系；（3）利用基底向量来计算，也就是用基底向量来表示未知的向量，从而未知向量数量积的计算可归结为基底向量的数量积的计算；（4）靠边靠角，也就是利用向量的线性运算，把未知向量的数量积转化到题设中的角或边对应的向量．二､填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的横线上) 13. 设i 为虚数单位，若复数z 满足()21z i -⋅=，则z =___________. 【答案】2i + 【解析】 【分析】利用复数的四则运算可求得z ，利用共轭复数的定义可求得复数z . 【详解】()21z i -⋅=，122z i i∴=+=-，因此，2z i =+.故答案为：2i +.14. 已知随机事件A ，B 互为对立事件，且()()3P A P B =，则()P A =___________. 【答案】34【解析】 【分析】根据对立事件的概率关系可求()P A .【详解】因为随机事件A ，B 互为对立事件，故()()1P A P B +=，而故()()3P A P B =，故()34P A =， 故答案为：34.15. 锐角ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，sin 2sin sin a b C Bc A B--=+，且2a =则ABC 面积的取值范围是___________.【答案】12⎛+ ⎝⎦【解析】 【分析】利用正弦定理、余弦定理可得出cos A 的值，可求得角A的值，利用正弦定理、三角恒等变换思想可得出12242ABC S B π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭△，求出角B 的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得ABC 面积的取值范围.【详解】由正弦定理可得sin sin sin a b C B c c A B a b--==++，所以，222a b c -=，可得222b c a +-，所以，222cos 22b c a A bc +-==， 0A π<<，4A π∴=，由正弦定理可得2sin sin sin b c aB C A===，2sin b B ∴=，2sin c C =，()11sin 2sin sin sin sin 224ABC S ac B C B B A B B B π⎛⎫===+=+ ⎪⎝⎭△)211cos 2cos sin sin cos sin sin sin 222B B B B B B B B -=+=+=+1sin 2242B π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 因为ABC 为锐角三角形，则0224B B ππππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<+<⎪⎩，解得42B ππ<<，32444B πππ∴<-<，sin 214B π⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭，则11242B π⎛⎫<-+≤⎪⎝⎭因此，ABC面积的取值范围是11,2⎛ ⎝⎦.故答案为：11,2⎛ ⎝⎦.【点睛】方法点睛：求三角形有关代数式的取值范围是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 16. 给出下列说法：①回归直线ˆˆˆybx a =+恒过样本点的中心(),x y ； ②两个变量相关性越强，则相关系数r 就越接近1；③某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差不变；④在回归直线方程ˆ20.5yx =-中，当变量x 增加一个单位时，ˆy 平均减少0.5个单位. 其中说法正确的是_____________. 【答案】①②④. 【解析】 【分析】①中，根据回归直线方程的特征，可判定是正确；②中，根据相关系数的意义，可判定是是正确的；③中，根据方差的计算公式，可判定是不正确的；④中，根据回归系数的含义，可判定是正确的.【详解】解:对于①中，回归直线ˆˆˆybx a =+恒过样本点的中心(,)x y 所以正确； 对于②中，根据相关系数的意义，可得两个变量相关性越强，则相关系数||r 就越接近1，所以是正确的； 对于③中，根据平均数的计算公式可得744471x ⨯+==+,根据方差的计算公式()2217244 1.7528s ⎡⎤=⨯+-=<⎣⎦，所以是不正确的；对于④中，根据回归系数的含义，可得在回归直线方程ˆ20.5yx =-中，当解释变量x 增加一个单位时，预报变量ˆy平均减少0.5个单位，所以是正确的. 故答案为：①②④.【点睛】关键点点晴：本题主要考查了统计知识的相关概念及判定，其中解答中熟记回归直线方程的特征，回归系数的含义，相关系数的意义，以及方程的计算方法是解答的关键. 三､解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明､演算步骤) 17. 已知22a b ==，且向量a 在向量b 的方向上的投影为1-，求： （1）a 与b 的夹角θ; （2）()2a b b -⋅. 【答案】（1）23π；（2）3-. 【解析】 【分析】（1）由题知2,1,cos 1a b a θ===-，进而得出cos θ，即可求得θ.（2）根据数量积的定义cos a b a b θ⋅=⋅⋅即可得出答案.【详解】解：（1）由题意，2,1,cos 1a b a θ===-，所以1cos 2θ=-. 又因为[]0,θπ∈，所以23πθ=. （2）()2222122cos22121332a b b a b b a b b π⎛⎫-⋅=⋅-=⋅⋅-=⨯⨯--⨯=- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了向量的夹角、向量的数量积，考查学生对公式的熟练程度，属于基础题. 18. 已知m 为实数，i 为虚数单位，设复数()()2256253z m m m m i =++++-. （1）当复数z 为纯虚数时，求m 的值；（2）当复数z 对应的复点在直线70x y -+=的右下方，求m 的取值范围. 【答案】（1）2-；（2）(4,4)-. 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数的性质，列出方程组，即可求得答案；（2）根据题意，可得复数z 对应点的坐标，根据题意，列出不等式，即可求得答案.【详解】（1）由题意得：225602530m m m m ⎧++=⎨+-≠⎩，解得2m =-；（2）复数z 对应的点的坐标为22(56,253)m m m m +++-，直线70x y -+=的右下方的点的坐标(),x y 应满足70x y -+>，所以22(56)(253)70m m m m ++-+-+>， 解得44m -<<，所以m 的取值范围为(4,4)-.19. 设x ，y 满足约束条件2101000x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩.（1）在如图所示的网格中画出不等式组表示的平面区域； （2）若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为1，求1123a b+的的最小值. 【答案】（1）答案见解析；（2）最小值为4. 【解析】 【分析】（1）由题意可知不等式组表示的平面区域为在第一象限内两直线与y 轴所围成的区域； （2）由图可知当直线z ax by =+经过可行域上的点C 时取得最大值1，即有231a b +=，从而有1111(23)2323a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，化简后利用基本不等式可求得其最小值 【详解】解：（1）画出约束条件2101000x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩表示的平面区域，如图阴影四边形AOBC 所示；由题意知，1(0,1),,02A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由21010x y x y --=⎧⎨-+=⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩，即(2,3)C ；（2）目标函数z ax by =+经过可行域上的点C 时取得最大值1，即231a b +=；所以11112323(23)222423233232a b a b a b a b a b b a b a ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当1232a b ==时取等号；所以1123a b +的最小值为4. 20. 某市一隧道由于机动车常在隧道内变道、超速，进而引发交通事故，交管部门在该隧道内安装了监控测速装置，并将该隧道某日所有车辆的通行速度进行统计，如图所示．已知通过该隧道车辆的平均速度为164km h -⋅．（1）求a ，b 的值，并估计这一天通过该隧道车辆速度的中位数；（2）为了调查在该隧道内安装监控测速装置的必要性，研究人员随机抽查了通过该隧道的200名司机，得到的答复统计如表所示，判断是否有99%的把握认为对安装监控测速装置的态度与司机的性别相关．认为安装监控测速装置十分必要认为安装监控测速装置没有必要 男司机 70 30 女司机5050附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．20()P K k0.100 0.050 0.010 0.0010k2.7063.841 6.635 10828【答案】（1）0.04a =，0.03b =，中位数为65；（2）有99%的把握认为对安装监控测速装置的态度与司机的性别相关． 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1以及平均数为64可以建立起关于a ，b 的二元一次方程，从而可以求出a ，b 的值，进而可以由频率分布直方图求出中位数；（2）根据2K 的计算公式计算出2K 的值，与临界值比较，即可得出结论. 【详解】（1）根据频率和为1可得：10(0.020.01)1a b ⨯+++=， 化简为0.07a b +=，①又450.1550.26510751064a b ⨯+⨯+⨯+⨯=， 所以6575 4.85a b +=，②由①②联立得，0.04a =，0.03b =； 由于前两块矩形的面积分别为0.1和0.2， 故所求的中位数为()0.5100.010.026010650.4-⨯++⨯=；（2）根据表中数据，计算22200(70503050)258.333 6.635100*********K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为对安装监控测速装置的态度与司机的性别相关． 21. 用综合法或分析法证明：（1）已知三角形ABC 中，边BC 的中点为D ，求证：向量22AB AC AD BD ⋅=-.（2）已知a b c >>，且0a b c ++=23b ac-<.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）用综合法证明：因为2AB AC AD +=，2AB AC DB -=由22AD DB -化简得证；（2）用分析法证明：要证a<，即证223b ac a -<，逐步推出其成立的充分条件. 【详解】证明：（1）2AB AC AD +=，2AB AC DB -= ()222211242AB AC AD AB AC AB AC ⎛⎫+∴==++⋅ ⎪⎝⎭ ()222211242AB AC DB AB AC AB AC ⎛⎫-==+-⋅ ⎪⎝⎭ 22AB AC AD DB ∴⋅=-（2）要证a << 即证223b ac a -<即2230a b ac -+>又因为c a b =--即证223()0a b a a b -+-->即证2220a ab b -->即证()(2)0a b a b -+>又因为a b >，0a b ->，即证20a b +>，又因为a b c +=-即证0a c ->即证a c >又由已知，a c >，故原不等式成立.【点晴】方法点晴：综合法由定义、定理公理等逐步推出结论成立；分析法从结论出发，推出其成立的充分条件，直到得到一个显然成立的条件.22. 已知关于x 的一元二次方程210x ax b -+-=，记该方程有两个不等的正实根为事件A .（1）设抛掷两枚质地均匀的正方体骰子所得点数分别为a 、b ，求事件A 发生的概率；（2）利用计算器产生两个随机数x 、y ，且[]0,1x ∈，[]0,1y ∈，若21a x =-，254b y =-+，求事件A 发生的概率.【答案】（1）512；（2）416π-. 【解析】【分析】（1）计算出基本事件的总数，列举出事件A 所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得()P A ，即为所求；（2）根据题意求出事件A 所构成的区域，作出图形，利用面积比可求得()P A ，即为所求.【详解】（1）抛掷两枚质地均匀的骰子所得点数构成有序数对(),a b 的所有基本事件数为2636=，用事件A 表示“方程210x ax b -+-=有两个不等的正实数根”，则()2410a b ∆=-->且10b ->， 则事件A 包含的基本事件有：()3,2、()3,3、()4,2、()4,3、()4,4、()5,2、()5,3、()5,4、()5,5、()5,6、()6,2、()6,3、()6,4、()6,5、()6,6，共15个基本事件，所以，()1553612P A ==； （2）用事件A 表示“方程210x ax b -+-=有两个不等的正实数根”，()()222221114102140424a b x y x y ⎛⎫⎛⎫∆=-->⇒---+>⇒-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 211100042b y y ->⇒->⇒≤<， 12102a x x =->⇒>， 所以事件A 构成的区域如下图中的阴影部分区域如下图所示：阴影部分区域的面积为2111444216S ππ-⎛⎫=-⨯⨯= ⎪⎝⎭， 因此，()24416116P A ππ--==.【点睛】方法点睛：常见的几何概型类型如下：（1）长度型；（2）面积型；（3）体积型.。

高二年级期中考试数学答案（理科）统招班答案：1.D2.C3.C4.C5.D6. B7. D8.B9.A 10.D 11.A 12.B13. 2 14. 23 . 15. 16π- 16.1655.17.解：(1)因为各组的频率和等于1，所以第四组的频率为10.0250.01520.0100.0()05100.3--⨯++⨯=.补全的频率分布直方图如图所示． (2)众数为：70+80=752， 设中位数为x ,则()10.1+20.15+700.030.5733x x ⨯-⨯=⇒=抽取学生的平均分约为45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71(分)，所以可估计这次考试的平均分为71分．18.（1）∵2*2,n S n n n N =+∈，∴当1n =时，113a S ==. 当2n ≥时，2212[2(1)(1)]41n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=-. ∵1n =时，13a =满足上式，∴*41,n a n n N =-∈.又∵*24log 3,n n a b n N =+∈，∴2414log 3n n b -=+，解得：12n n b -=.故41,n a n =-，12n n b -=，*n N ∈.（2）∵41,n a n =-，12n n b -=，*n N ∈∴1122n n n T a b a b a b =+++01213272(45)2(41)2n n n n --=⨯+⨯++-⨯+-⨯①12123272(45)2(41)2n nn T n n -=⨯+⨯++-⨯+-⨯② 由①-②得：1213424242(41)2n n n T n --=+⨯+⨯++⨯--⨯12(12)34(41)2(54)2512n n n n n --=+⨯--⨯=-⨯--∴(45)25nn T n =-⨯+，*n N ∈.19.（1）由题意2453645x ++++==， 2.5 4.543645y ++++==，21222188.554ˆ0.859054ni ii nii x y nx ybxnx ==--⨯∴===-⨯-∑∑， ˆˆ40.8540.6ay bx =-=-⨯=， 0.80.ˆ56yx ∴=+. （2）①由（1）得220.05 1.850.050.85 1.25z y x x x =+--=--，当10x =时，0.85100.ˆ69.1y∴=⨯+=，20.05100.8510 1.25 2.25z =-⨯⨯-=+. 即当年宣传费为10万元时，年销售量为9.1，年利润的预报值为2.25. ②令年利润与年宣传费的比值为w ，则()1.250.050.850w x x x=--+>，1.25 1.250.050.850.050.85w x x x x ⎛⎫=--+=-++≤- ⎪⎝⎭ 1.2520.050.850.35x x ⋅+=. 当且仅当 1.250.05x x=即5x =时取最大值.故该公司应该投入5万元宣传费，才能使得年利润与年宣传费的比值最大.20.（1）∵22232cos R ac B a c +=+，∴222232cos R a c ac B b =+-=，即33R b =，∴3sin 223b B b R b==⨯=，又B 为锐角，∴3B π=.（2）∵ABC ∆的面积1sin 23S ac π==，∴3b =，∴2R ==2sin sin a c R A C ==，23A C B π+=π-=，∴232(sin sin )sin sin sin 322a c R A C A A A A π⎫⎤⎛⎫+=+=+-=+⎪ ⎪⎥⎪⎝⎭⎦⎭ 6sin 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由ABC ∆是锐角三角形得,62A ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭， ∴2,633A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴sin 62A π⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，∴a c +∈，即a c +的取值范围为.21.（1）令1n =，则2136132a a =+++，即1266616433a a +⨯+===. （2）由题意，()()16312n n S na n n n +=-++①， 当2n ≥时，()()()163111n n S n a n n n -=---+②， ①-②得，()()()11633131n n n n S S na n a n n -+-=---+，则()()1211n n n a na n a n n +=---+，即()()111n n n a na n n ++=-+， 所以111n na a n n+-=+， 即数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭从第二项起是以1为公差的等差数列，且24222a ==，所以当2n ≥时，22na n n n=+-=，则2n a n =， 又11a =，符合2n a n =，故{}n a 的通项公式为2n a n =()n N*∈.（3）当1n =时，11513a =<成立； 当2n =时，12111551443a a +=+=<成立； 当3n ≥时，22111111()1211n a n n n n =<=---+， 则222121111111123n a a a n +++=++++11111111111[()()()()]422435211n n n n <++-+-++-+---+51111142231n n ⎛⎫=++-- ⎪+⎝⎭511153213n n ⎛⎫=+--< ⎪+⎝⎭. 综上所述，对于一切正整数n ，都有1211153n a a a +++<.22.（1）据题意知，对于[]x 1,2∈，有2ax 4x 20++≥恒成立， 即224x 224a x x x --≥=--恒成立，因此2max 24a xx ⎛⎫≥-- ⎪⎝⎭ ， 设11t ,t ,1x 2⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦则，所以()()22g t 2t 4t 2t 12=--=-++， 函数()g t 在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调递减的，∴ ()max 15g t g 22⎛⎫==- ⎪⎝⎭，5a 2∴≥-（2）由()f x 0≥对于一切实数x 恒成立，可得a 0,Δ0>≤且，由存在0x R ∈，使得200ax 4x b 0++=成立可得Δ0≥，16-4ab 0,4ab ∴∆==∴=，()()2222a b 2aba b 8a ba ba ba b-+-++==≥=---，当且仅当a b -=时等号成立，22a ba b+∴≥-。